常微分方程试题模拟试题(一)

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常微分方程习题集

《常微分方程》测试题1一、填空题30%1、形如的方程，称为变量分离方程，这里.分别为的连续函数。

2、形如-的方程，称为伯努利方程，这里的连续函数.n3、如果存在常数-对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件。

4、形如-的方程，称为欧拉方程，这里5、设的某一解，则它的任一解- 。

二、计算题40%1、求方程2、求方程的通解。

3、求方程的隐式解。

4、求方程三、证明题30%1.试验证=是方程组x=x,x= ，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。

2.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%>《常微分方程》测试题2一、填空题：（30%）1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解，则与线性无关的另一10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是.二、求下列微分方程的通解：（40%）1、2、3、4、5、求解方程．三、求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计.（10分）四、求解微分方程组满足初始条件的解. （10%）五、证明题：（10%）设，是方程的解，且满足==0，，这里在上连续，．试证明：存在常数C使得=C《常微分方程》测试题31．辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、填空题(8%)（1）．方程的所有常数解是___________.（2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________.（3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是________________.（4）.设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________.3、单选题(14%)（1）．方程是（）.(A)可分离变量方程（B）线性方程(C)全微分方程（D）贝努利方程（2）．方程，过点（0，0）有（）.(A) 一个解（B）两个解(C) 无数个解（D）三个解（3）．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（）.(A)y=±1,x=±1, (B)y=±1(C)x=±1 (D)y=1,x=1（4）．若函数y(x)满足方程，且在x=1时，y=1, 则在x = e时y=( ).(A) (B) (C)2(D) e（5）．阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间．（A）维（B）维（C）维（D）维（6）. 方程（）奇解．（A）有三个（B）无（C）有一个（D）有两个（7）．方程过点（）．（A）有无数个解（B）只有三个解（C）只有解（D）只有两个解4.计算题(40%)求下列方程的通解或通积分：（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.5. 计算题(10%)求方程的通解．6．证明题（16%）设在整个平面上连续可微，且．求证：方程的非常数解，当时，有，那么必为或<%建设目标%>《常微分方程》测试题41．辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、填空题(8%)（1）．方程的所有常数解是___________.（2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________.（3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是________________.（4）.设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________3、单选题(14%)（1）．方程是（）.(A)可分离变量方程（B）线性方程(C)全微分方程（D）贝努利方程（2）．方程，过点（0，0）有（）.(A) 一个解（B）两个解(C) 无数个解（D）三个解（3）．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（）.(A)y=±1,x=±1, (B)y=±1(C)x=±1 (D)y=1,x=1（4）．若函数y(x)满足方程，且在x=1时，y=1, 则在x = e时y=( ).(A) (B) (C)2(D) e（5）．阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间．（A）维（B）维（C）维（D）维（6）. 方程（）奇解．（A）有三个（B）无（C）有一个（D）有两个（7）．方程过点（）．（A）有无数个解（B）只有三个解（C）只有解（D）只有两个解4.计算题(40%)求下列方程的通解或通积分：（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.5. 计算题(10%)求方程的通解．6．证明题（16%）设在整个平面上连续可微，且．求证：方程的非常数解，当时，有，那么必为或《常微分方程》测试题5一、填空题（30%）1．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为．2．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．3．连续是保证方程初值唯一的条件．一条积分曲线.4. 线性齐次微分方程组的一个基本解组的个数不能多于个，其中，．5．二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要条件是．6．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．7．方程的所有常数解是．8．方程所有常数解是．9．线性齐次微分方程组的解组为基本解组的条件是它们的朗斯基行列式．10．阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为个二、计算题（40%）求下列方程的通解或通积分：1.2．3．4．5．三、证明题（30%）1．试证明：对任意及满足条件的，方程的满足条件的解在上存在．2．设在上连续，且，求证：方程的任意解均有．3．设方程中，在上连续可微，且，．求证：该方程的任一满足初值条件的解必在区间上存在．《常微分方程》测试题6一、填空题（20%)1．方程的所有常数解是．2．方程的常数解是．3．一阶微分方程的一个特解的图像是维空间上的一条曲线．4．方程的基本解组是．二、选择题(25%)1．阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个．（A）（B）-1 （C）+1 （D）+22．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（）条件．（A）充分（B）必要（C）充分必要（D）必要非充分3. 方程过点共有（）个解．（A）一（B）无数（C）两（D）三4．方程（）奇解．（A）有一个（B）有两个（C）无（D）有无数个5．方程的奇解是（）．（A）（B）（C）（D）三、计算题(25%)=+y=03.4.5.四、求下列方程的通解或通积分(30%)1.2.3.《常微分方程》测试题7一. 解下列方程(80%)1.x=+y2.tgydx-ctydy=03.{y-x(+)}dx-xdy=04.2xylnydx+{+}dy=05. =6-x6. =27. 已知f(x)=1,x0,试求函数f(x)的一般表达式。

[考研类试卷]考研数学二(常微分方程与差分方程)模拟试卷1.doc

[考研类试卷]考研数学二（常微分方程与差分方程）模拟试卷1一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

12 设线性无关的函数y1，y2与y3均为二阶非齐次线性微分方程的解，C1和C2是任意常数，则该非齐次线性方程的通解是( )（A）C1y1+C2y2+y3．（B）C1y1+C2y2一(C1+C2)y3．（C）C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3．（D）C1y1+C2y2一(1一C1—C2)y3．3 如果函数y1(x)与y2(x)都是以下四个选项给出方程的解，设C1与C2是任意常数，则y=C1y1(x)+C2y2(x)必是( )的解．（A）)y”+y’+y2=0．（B）y”+y’+2y=1．（C）（D）x+y+∫0x y(t)dt=1．4 设是某二阶常系数非齐次线性方程的解，则该方程的通解是( )5 设y1(x)和y2(x)是微分方程y”+p(x)y+q(x)y=0的两个特解，则由y1(x)，y2(x)能构成该方程的通解的充分条件为( )．（A）y1(x)y’2(x)一y’1(x)y2(x)=0．（B）y1(x)y’2(x)-y2(x)y’1(x)≠0．（C）y1(x)y’2(x)+y’1(x)y2(x)=0．（D）y1(x)y'2(x)+y2(x)y’1(x)≠0．6 微分方程y"-y=e x+x的特解形式为y*=( )（A）Ae x+Bx．（B）Axe x+Bx+C．（C）Ae x+Bx+C（D）Axe x+Bx2+C．7 微分方程y”+4y=cos 2x的特解可设为y*=( )（A）Acos 2x．（B）Axcos 2x．（C）x(Acos 2x+Bsin 2x)．（D）Acos 2x+Bsin 2x．二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

8 解下列一阶微分方程．9 求下列微分方程满足初始条件的特解：(1)(y+x3)dx一2xdy=0，且(2)x2y’+xy=y2，且y|x=1=1；(3)xy’+(1一x)y=e2x(x＞0)，且y|x=1=0；(4)10 设y=e x是微分方程xy’+p(x)y=x的一个解，求此微分方程满足条件y|x=ln2=0的特解．11 求满足方程f’(x)+xf’(一x)=x的f(x)．12 已知f(x)连续，且满足∫01f(ux)du=，求f(x)．13 如果F(x)是f(x)的一个原函数，G(x)是的一个原函数，且F(x)G(x)=一1,f(0)=1，求f(x)．14 设曲线L位于xOy平面的第一象限内，L上任一点M处的切线与y轴总相交，交点记为A．已知求L的方程．15 设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x＞0)到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点(1)求曲线L的方程；(2)求L 位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L及两坐标轴所围图形的面积最小16 求微分方程xdy+(x一2y)dx=0的一个解y=y(x)，使得由曲线y=y(x)与直线x=1，x=2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积最小．17 求解下列微分方程：(1)(x3+xy2)dx+(x2y+y3)dy=0；(4)(5x4+3xy2一y3)dx+(3x2y一3xy2+y2)dy=0．18 设可微函数f(x)满足方程求f(x)的表达式．19 按要求求下列一阶差分方程的通解或特解． (1)求y x+1-2y x=2x的通解； (2)求y x+1一2y x=3x2满足条件y x(0)=0的解； (3)求2y x+1+10y x一5x=0的通解．20 求下列可降阶的高阶微分方程的通解． (1)x2y”=(y’)2+2xy’；(2)(1+x)y”+y’=ln(x+1)；(3)1+yy”+(y’)2=0；(4)y”=1+(y’)2．21 求下列微分方程的初值问题．22 在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．23 已知y1=3，y2=3+x2，y3=3+x2+e x都是微分方程(x2一2x)y”一(x2一2)y’+(2x一2)y=6x一6的解，求此方程的通解．24 求微分方程y"+4y’+4y=e ax的通解，其中a是常数．25 求微分方程y"+2y’+y=xe x的通解．26 设有方程y”+(4x+e2y)(y’)3=0． (1)将方程转化为x为因变量，y作为自变量的方程； (2)求上述方程的通解．27 求微分方程y”+a2y=sin x的通解，其中常数a＞0．28 求方程y"+4y=3|sinx|满足初始条件．一π≤x≤π的特解．29 求微分方程y”+y=x+cosx的通解．30 设函数y=y(x)满足微分方程 y"-3y’+2y=2e x，且其图形在点(0，1)处的切线与曲线y=x2一x+1在该点的切线重合，求y=y(x)的表达式．31 设f(x)为连续函数，且f(x)=sinx一∫0x(x一t)ft)dt，求f(x)．32 利用代换将y"cos x-2y’sin x+3ycos x=e x化简，并求原方程的通解．33 设φ(x)是方程y"+y=0的满足条件y(0)=0，y’(0)=1的解，证明方程y”+y=f(x)满足条件y(0)=y’(0)=0的解为y=∫0xφ(t)f(x-t)dt．34 设函数f(x)连续，且满足f(x)=e x+∫0x tf(t)dt一x∫0x f(t)dt，求f(x)的表达式·35 设f(x)有二阶连续导数，且f(0)=0，f’(0)=一1，已知曲线积分∫L[xe2x-6f(x)]sin ydx一[5f(x)-f'(x)]cos ydy 与积分路径无关，求f(x)．36 设f(x)有二阶连续导数，且f(0)=0，f’(0)=1，且 [xy(x+y)-Ax)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0 为一全微分方程，求f(x)．37 设y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3e x是某三阶常系数齐次线性微分方程的解，试确定该微分方程的形式.38 已知y1=xe x+e2x，y2=xe x+e-x，y3=xe x+e2x—e-x是某二阶线性非齐次方程三个解，求此微分方程．39 求解欧拉方程x3y"'+x2y”一4xy’=3x2．。

考研数学一(一元函数的泰勒公式及其应用、常微分方程)模拟试卷

考研数学一（一元函数的泰勒公式及其应用、常微分方程）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1.jpg />=C1e3x+C2e4x，其中C1与C2是两个任意常数．由于0不是特征根，所以非齐次微分方程的特解应具有形式y*(x)=Ax+B．代入方程可得A=所以，原方程的通解为代入初始条件，则得因此所求的特解为(Ⅱ)由于对应齐次微分方程的特征根为±ai，所以其通解为y(x)=C1cosax+C2sinax．求原非齐次微分方程的特解，需分两种情况讨论：①当a≠b时，特解的形式应为Acosbx+Bsinbx，将其代入原方程可得所以，通解为+C1cosax+C2sinax，其中C1，C2是两个任意常数．②当a=b时，特解的形式应为Axcosax+Bxsinax，代入原方程可得原方程的通解为y(x)=+C1cosax+C2sinax，其中C1，C2是两个任意常数．(Ⅲ)这是一个三阶常系数线性齐次方程，其相应的特征方程为λ3+λ2+λ+1=0，分解得(λ+1)(λ2+1)=0，其特征根为λ1=一1，λ2,3=±i，所以方程的通解为y(x)=C1e-x+C2cosx+C3sinx，其中C1，C2，C3为任意常数．涉及知识点：常微分方程32．求微分方程xy”一y’=x2的通解．正确答案：方程两端同乘x，使之变为欧拉方程x2y”一xy’=x3．令x=±et，则代入原方程，则有这是一个二阶常系数线性非齐次方程，其通解为．其中C1，C2是两个任意常数．涉及知识点：常微分方程33．利用代换u=ycosx将微分方程y”cosx一2y’sinx+3ycosx=ex化简，并求出原方程的通解．正确答案：令ycosx=u，则y=usecx，从而y’=u’secx+usecxtanx，y”=u”seex+2u’secxtanx+usecxtan2x+usex3x．代入原方程，则得u”+4u=ex．这是一个二阶常系数线性非齐次方程，其通解为代回到原未知函数，则有其中C1，C2是两个任意常数．涉及知识点：常微分方程34．设f(x)=xsinx一∫0x(x一t)f(t)dt，其中f(x)连续，求f(x)·正确答案：将原方程改写为f(x)=xsinx—x∫0xf(t)dt+∫0xtf(t)dt．因为f(x)连续，所以方程的右端是可微的，因而左端的函数f(x)也可微．两端对x求导，又原式中令x=0，则原方程等价于f’(x)=xcosx+sinx—∫0xf(t)dt，f(0)=0．①同理，方程右端仍可微，所以f(x)存在二阶导数，再将①中的方程两边求导并令x=0，则得①等价于f”(x)=一xsinx+2cosx一f(x)，f’(0)=0，f(0)=0．即y=f(x)满足微分方程的初值问题y”+y=一xsinx+2cosx，y(0)=0，y’(0)=0．②由于此方程的特征根为±i，所以其特解应具形式y*(x)=x(Ax+B)cosx+x(Cx+D)sinx．代入方程，求出系数A，B，C，D，则得其特解为进而方程的通解为由f(0)=0可知C1=0，而由f’(0)=0又可推出C2=0，所以f(x)= 涉及知识点：常微分方程35．设有二阶线性微分方程(I)作自变量替换x=，把方程变换成y关于t的微分方程．(Ⅱ)求原方程的通解．正确答案：(I)先求再将①求导，得将②，③代入原方程得(Ⅱ)题(I)已把原方程转化为④，故只需求解这个二阶线性常系数非齐次方程，它的相应特征方程λ2+2λ+1=0，有重根λ=一1．非齐次方程可设特解y*=Asint+Bcost，代入④得一(Asint+Bcost)+2(Acost—Bsint)+(Asint+Bcost)=2sint即Acost—Bsint=sint比较系数得A=0，B=一1，即y*(t)=一cost．因此④的通解为y=(c1+c2t)e-t一cost原方程的通解为涉及知识点：常微分方程36．设f(x)是以ω为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程y’+ky=f(x)存在唯一的以ω为周期的特解，并求此特解，其中k≠0为常数．正确答案：此线性方程的通解即所有解可表示为y(x)=e-kx[C+∫0xf(t)ektdt]?y(x)以ω为周期，即y(x)=y(x+ω)，亦即e-kx[C+∫0xf(t)ektdt]=e-kx-k ω[C+∫0x+ωf(t)ektdt]．C+∫0xf(t)ektdt=e-kω[C+∫0x+ωf(t)ektdte-kω[C+∫-ωxf(s+ω)eks+kωds] =Ce-kω+∫-ω0f(s)eksds+∫0xf(s)eksds．对应于这个C的特解就是以ω为周期的函数，而且这样的常数只有一个，所以周期解也只有一个．涉及知识点：常微分方程。

常微分方程 (1)精选全文完整版

10002# 常微分方程试题第1页(共2页)可编辑修改精选全文完整版浙江省2012年4月高等教育自学考试常微分方程试题课程代码：10002一、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1.微分方程y ″=2x 的通解为______.2.(y －x )d x +y (ln y －ln x )d y =0是______阶微分方程.3.求微分方程满足初始条件的解的问题称为______.4.满足通解为y =ce x （c 为任意常数）的微分方程是______.5.连续可微函数μ(x,y )≠0使得μ(x ,y )M (x ,y )d x +μ(x ,y )N (x ,y )d y =0为全微分方程，则称μ(x ,y )是微分方程M (x ,y )d x +N (x ,y )d y =0的______.6.若ψ(t )是x ′=A (t )x 的基解矩阵，则x ′=A (t )x +f (t )满足x (t 0)=η的解t ϕ（）=______. 7.设λ0是n 阶常系数齐次线性方程特征方程的k 重根，则该方程相应于λ0的k 个线性无关解为______.8.如果方程组的零解x =0稳定,且存在这样的σ>0，使得‖x 0‖<σ时，满足初始条件x (t 0)=x 0的解x (t )均有______时，则称x =0为渐进稳定.9.若()()12,y x y x ϕϕ==是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们______(有或无)共同零点.10.李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解存在惟一的______条件.二、计算题(本大题共8小题，每小题7分，共56分)11.求方程2d 2d y x x y x y=+的通解. 12.求方程5sin5y y x "'=－的通解.13.求方程2(3)d (4)d 0y x x y x y =－－－的通解.14.已知方程34x y ay y e "+'=－有一个解()1xy x xe =，试求该方程的通解.10002# 常微分方程试题第2页(共2页) 15.求方程422xy y x '=－的通解. 16.求方程组d d d 4d x x y t y x y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩的通解.17.方程22d d y x y x=+定义在矩形域R:－1≤x ≤1,－1≤y ≤1上，试利用存在唯一性定理确定经过点（0，0）的解的存在区间，并求在此区间上与真正解的误差不超过0.05的近似解的表达式.18.用李雅普诺夫函数，确定方程组22d d ,d d x y xy yx t t==－－零解的稳定性. 三、证明题(本大题共2小题，每小题7分，共14分)19.试验证()221t t t t ⎡⎤Φ=⎢⎥⎣⎦是方程组20122x x tt ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭－，12x x x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，在任何不包含原点的区间a ≤t ≤b 上的基解矩阵. 20.假设方程()(),d ,d 0M x y x N x y y +=中函数M(x,y)，N(x,y)满足()()M N Nf x Mg y y y∂∂=∂∂－－,其中f(x),g(y)分别为x,y 的连续函数，试证明：此方程有积分因子()()e f x dx g y dy μ+⎰⎰=.。

考研数学三(常微分方程与差分方程与行列式)模拟试卷1(题后含答

考研数学三（常微分方程与差分方程与行列式）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设y(x)是微分方程y”＋(x－1)y’＋x2y－ex满足初始条件y(0)＝0，y’(0)＝1的解，则( )．A．等于1B．等于2C．等于0D．不存在正确答案：A解析：微分方程y”＋(x－1)y’＋x2y＝ex中，令x＝0，则y”(0)＝2，于是y”(0)＝1，选A．知识模块：常微分方程与差分方程2．设A，B为两个n阶矩阵，下列结论正确的是( )．A．｜A＋B｜＝｜A｜＋｜B ｜B．若｜AB｜＝0，则A＝0或B＝0C．｜A－B｜＝｜A｜－｜B｜D．｜AB｜＝｜A｜｜B｜正确答案：D解析：A，C显然不对，设A＝()，B＝()，显然A，B都是非零矩阵，但AB ＝O，所以｜AB｜＝0，B不对，选D．知识模块：行列式填空题3．设y＝y(x)满足△y＝△x＋o(△x)，且有y(1)＝1，则y(x)dx＝_____________．正确答案：解析：由△y＝△x＋o(△x)得函数y＝y(x)可微且y’＝，积分得y(x)＝dx＝＋C，因为y(1)＝1，所以C＝0，于是y(x)＝，故y(x)dx＝d(x－1)＝dx＝2dx＝．知识模块：常微分方程与差分方程4．微分方程y’－xe－y＋＝0的通解为＝_____________．正确答案：ey＝(x3＋C)(C为任意常数)解析：由y’－xe-y＋＝0，得eyy’－x＋ey＝0，即ey＝x，令z＝ey，则z ＝x，解得z＝(dx＋C)＝(x3＋C)(C为任意常数)，所以原方程的通解为ey＝(x3＋C)(C为任意常数)．知识模块：常微分方程与差分方程5．微分方程xy’＝＋y(x＞0)的通解为＝_____________．正确答案：lnx＋C解析：xy’＝＋y，令＝u＝u＋x，所以xarcsinu＝lnx＋Carcsin＝lnx＋C(C为任意常数)．知识模块：常微分方程与差分方程6．以y＝C1ex＋ex(C2cosx＋C3sinx)为通解的三阶常系数齐次线性微分方程为＝_____________．正确答案：y’”－3y”＋4y’－2y＝0解析：特征值为λ1＝1，λ2，3＝1±i，特征方程为(λ－1)(λ－1＋i)(λ－1－i)＝0，即λ3－3λ2＋4λ－2＝0，所求方程为y’”－3y”＋4y’－2y＝0．知识模块：常微分方程与差分方程7．设A，B都是三阶矩阵，A相似于B，且｜E－A｜＝｜E－2A｜＝｜E －3A｜＝0，则｜B－1＋2E｜＝_____________．正确答案：60解析：因为｜E－A｜＝｜E－2A｜＝｜E－3A｜＝0，所以A的三个特征值为，1，又A～B，所以B的特征值为，1，从而B－1的特征值为1，2，3，则B －1＋2E的特征值为3，4，5，故｜B－1＋2E｜＝60．知识模块：行列式解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

常微分方程习题 (1)

习题 2.51. 求解下列方程的解（1） ysinx+dxdy cosx=1 解：移项得，dxdy cosx=1-ysinx 两边同除cosx 得dx dy =—x x cos sin y+x cos 1 所以，y=e ⎰x x d cos )(cos 1（⎰x cos 1e ⎰-x x d cos )(cos 1dx+c ）y=cosx(2)cos 1(⎰x dx+c) y=cosx(⎰2sec xdx+c)y=cosx(tanx+c)所以 y=sinx+cosxc 为方程的通解(2)ydx-xdy=x 2ydy解：两边同除x 2得，2x xdy ydx -=ydy 则d （x y -）=d （22y ）所以，xy y +22=c 为方程的通解。

（3）dxdy =4e -y sinx-1 解：两边同乘以e y 得，e y dx dy=4sinx-e y 所以dxe d y )(=4sinx-e y 令u=e y 得，u x dx du -=sin 4 u=e ⎰-dx 1 (⎰⎰dx xe sin 4dx+c)u=e -x (⎰x xe sin 4dx+c) 又因为⎰x xe sin 4dx=4⎰x xde sin =4sinxe x -4⎰x e dsinx=4sinxe x -4⎰x xe cos dx=4sinxe x -4 ⎰x xde cos =4sinxe x -4e x cosx+4⎰x e d （cosx ）=4sinxe x -4e x cosx-4⎰x xe sin dx所以dx xe x ⎰sin 4=2e x sinx-2e x cosx （分步积分法）即e y =e -x （2e x sinx-2e x cosx+c ）所以e y =2（sinx-cosx ）+ce -x 为方程的通解。

（4）dx dy =xyx y - 解：分子分母同除x 得，x yx y dx dy -=1令u=x y ，则y=ux,由此u dx du x dx dy +=,代入原方程得，x dx du +u=uu -1 化简得，xdx du =u u u -1当u u ≠0时，du uu u -1=x 1dx （dx x du uu u 1)11=- （dx xdu u u 1)123=-- c x u u+=--ln ln 21 1ln ln 2c u x u++=- )21(ln 2111c y u-+-= 令-c c =121 则c y u+-=ln 211 即c y y x +-=ln 21，2)ln 21(c y y x +-= 即x=y （-2)ln 21c y + 经验证，y=0也是方程的解。

常微分方程期中考试题

y sin x 1
, 另外
又
y 0
xc
dz z 2 z 1
也是方程的解
dy p(x) y 2 q(x) y r(x) dx
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，通力根1保过据护管生高线产中敷工资设艺料技高试术中卷0资不配料仅置试可技卷以术要解是求决指，吊机对顶组电层在气配进设置行备不继进规电行范保空高护载中高与资中带料资负试料荷卷试下问卷高题总中2体2资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况1卷中下安，与全要过，加度并强工且看作尽护下可1都关能可于地以管缩正路小常高故工中障作资高；料中对试资于卷料继连试电接卷保管破护口坏进处范行理围整高，核中或对资者定料对值试某，卷些审弯异核扁常与度高校固中对定资图盒料纸位试，置卷编.工保写况护复进层杂行防设自腐备动跨与处接装理地置，线高尤弯中其曲资要半料避径试免标卷错高调误等试高，方中要案资求，料技编试术写5、卷交重电保底要气护。设设装管备备置线4高、调动敷中电试作设资气高，技料课中并3术试、件资且中卷管中料拒包试路调试绝含验敷试卷动线方设技作槽案技术，、以术来管及避架系免等统不多启必项动要方高式案中，；资为对料解整试决套卷高启突中动然语过停文程机电中。气高因课中此件资，中料电管试力壁卷高薄电中、气资接设料口备试不进卷严行保等调护问试装题工置，作调合并试理且技利进术用行，管过要线关求敷运电设行力技高保术中护。资装线料置缆试做敷卷到设技准原术确则指灵：导活在。。分对对线于于盒调差处试动，过保当程护不中装同高置电中高压资中回料资路试料交卷试叉技卷时术调，问试应题技采，术用作是金为指属调发隔试电板人机进员一行，变隔需压开要器处在组理事在；前发同掌生一握内线图部槽纸故内资障，料时强、，电设需回备要路制进须造行同厂外时家部切出电断具源习高高题中中电资资源料料，试试线卷卷缆试切敷验除设报从完告而毕与采，相用要关高进技中行术资检资料查料试和，卷检并主测且要处了保理解护。现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

《常微分方程》期末模拟试题

《常微分方程》模拟练习题及参考答案一、填空题（每个空格4分，共80分）1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。

2、一阶微分方程2=dyx dx的通解为 2=+y x C （C 为任意常数），方程与通过点（2，3）的特解为 21=-y x ，与直线y=2x+3相切的解是 24=+y x ，满足条件33ydx =⎰的解为 22=-y x 。

3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的必要条件。

4、对方程2()dyx y dx=+作变换 =+u x y ，可将其化为变量可分离方程，其通解为 tan()=+-y x C x 。

5、方程21d d y x y -=过点)1,2(π共有无数个解。

6、方程''21=-y x的通解为 4212122=-++x x y C x C ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为421912264=-++x x y x 。

7、方程x x y xy+-=d d 无奇解。

8、微分方程2260--=d y dyy dx dx 可化为一阶线性微分方程组 6⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩dyz dx dz z y dx。

9、方程y xy=d d 的奇解是 y=0 。

10、35323+=d y dy x dx dx是 3 阶常微分方程。

11、方程22dyx y dx=+满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面。

12、微分方程22450d y dy y dx dx--=通解为 512-=+x xy C e C e ，该方程可化为一阶线性微分方程组45⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩dy z dxdz z y dx。

13、二阶线性齐次微分方程的两个解12(),()y x y x ϕϕ==成为其基本解组的充要条件是线性无关。

14、设1342A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则线性微分方程组dXAX dt =有基解矩阵 25253()4φ--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦t t t t e e t ee 。

专升本高等数学(一)-常微分方程(一)

专升本高等数学(一)-常微分方程(一)(总分：91.98，做题时间：90分钟)一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：13，分数：26.00)1.下列方程为一阶线性微分方程的是______∙ A. (y')2+2y=x∙ B. y'+2y2=x∙ C. y'+y=x∙ D. y"+y'=x（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 本题主要考查微分方程的有关概念．一阶线性微分方程要求方程中所含有关未知函数的导数的最高阶数为一阶的，且未知函数及其一阶导数均为一次幂．(答案为C)2.微分方程的通解是______ A. B. C. D. 其中C为任意常数)（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 利用直接积分法可求得给定线性微分方程的通解 [*]．(答案为D)．3.微分方程y"=y的通解是______∙ A. y=C1+C2e x∙ B. y=e x+e-x∙ C. y=C1e x+C2e-x∙ D. y=Ce x+Ce-x(其中C，C1，C2为任意常数)（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 已知微分方程y"=y为二阶线性微分方程，其通解中应含两个独立的任意常数C1，C2．选项B、D中的函数不含有任意常数或者只含有一个任意常数，所以选项B、D是错误的，应筛去．选项A中，y=C1+C2e x中含有两个任意常数，通过求导可得y'=C2e x，y"=C2e x，代入微分方程y"=y，等式关系不成立，因此y=C1+C2e x不是微分方程y"=y的通解．选项C中，y=C1e x+C2e-x中含有两个任意常数，通过求导得y'=C1e x-C2e-x，y"=C1e x+C2e-x，代入微分方程y"=y，等式关系成立，因此y=C1e x+C2e-x是微分方程y"=y的通解．(答案为C)4.y|x=1=1的特解是______∙ A. y=e x∙ B. y=e-x∙ C. y=e x-1∙ D. y=e1-x（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 本小题主要考查可分离变量方程的解法，分离变量[*]，两边积分，得lny=-x+C1，即原方程的通解为y=Ce-x(其中[*])．将初始条件y|x=1代入通解，得C=e，所求特解为y=e·e-x=e1-x．(答案为D)5.微分方程y"=y'的通解为______∙ A. y=C1+C2e2x∙ B. y=C1+C2e x∙ C. y=C1+C2x∙ D. y=C1x+C2x2（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 已知方程为二阶常系数齐次线性微分方程，其相应的齐次方程的特征方程为r2-r=0，特征根r1=0，r2=1，故原方程的通解为y=C1+C2e x．(答案为B)6.下列方程为一阶线性微分方程的是______∙ A.y'+xy3=x∙ B.xy'+y=x3∙ C.y·y'+xy=sinx∙ D.y"+5y'-6y=xe-x（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：7.微分方程y'=的通解是______ A． B． C． D其中C为任意常数) （分数：2.00）A.B. √C.D.解析：8.微分方程y'+xy=0的通解是______ A． B． C． D．其中C为任意常数) （分数：2.00）A. √B.C.D.解析：9.微分方程ylnxdx=xlnydy满足初始条件y|x=1=1的特解是______∙ A.ln2x+ln2y=0∙ B.ln2x+ln2y=1∙ C.ln2x-ln2y=0∙ D.ln2x-ln2y=1（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：10.微分方程y"+4y'-5y=0的通解是______∙ A.y=C1e x+C2e5x∙ B.y=C1e-x+C2e5x∙ C.y=C1e x+C2e-5x∙ D.y=C1e-x+C2e-5x（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：11.对于微分方程y"+4y'+4y=e-2x，利用待定系数法求其特解y*时，下列特解设法正确的是______∙ A.y*=Ae-2x∙ B.y*=(Ax+B)e-2x∙ C.y*=Axe-2x∙ D.y*=Ax2e-2x（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：12.已知二阶线性常系数齐次微分方程的通解是y=C1e-2x+C2e3x，则此方程为______∙ A.y"-y'+6y=0∙ B.y"-y'-6y=0∙ C.y"+y'-6y=0∙ D.y"+y'+6y=0（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：13.已知二阶线性常系数齐次微分方程的两个特解是y1=1与y2=e2x，则此方程为______∙ A.y"-2y'=0∙ B.y"+2y'=0∙ C.y"-3y'+2y=0∙ D.y"+3y'+2y=0（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：二、{{B}}填空题{{/B}}(总题数：11，分数：22.00)14.微分方程xy'=1的通解为______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：ln|x|+C）解析：[解析] 本小题主要考查可分离变量方程的解法． [*] y=ln|x|+C．15.微分方程y'=x的通解为______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[解析] 本题主要考查求解可分离变量微分方程． [*]，即dy=xdx，则[*]16.y|x=2=4的特解为______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：x2+y2=20）解析：[解析] 本题主要考查求解可分离变量方程微分方程，分离变量ydy=-xdx，两边积分[*]，即方程的通解为x2+y2=C(其中C=2C1)．将初始条件y|x=2=4代入通解，得C=20，所求的特解为x2+y2=20．17.微分方程y'-y=1的通解为______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=Ce x-1）解析：[解析] 本题给定方程是可分离变量的微分方程，也是一阶线性微分方程．解法Ⅰ [*]，ln(y+1)=x+C1，y+1=Ce x(其中[*])，即通解为y=Ce x-1．解法Ⅱ p(x)=-1，q(x)=1．y=e-∫p(x)dx[∫q(x)e∫p(x)dx dx+C]-e∫dx[∫e∫dx dx+C]=e x[∫e-x dx+C]=e x[-e-x+C]=Ce x-1．18.微分方程xyy'=1-x2的通解为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：x2+y2=2lnx+C）解析：19. 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：e-y=e-x+C）解析：20.微分方程y'-3y=0的通解为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=Ce3x）解析：21.设y1(x)，y2(x)是二阶线性常系数微分方程y"+py'+qy=0的两个线性无关的解，则它的通解为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=C1y1(x)+C2y2(x)）解析：22.微分方程y"-3y'+2y=0的通解是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=C1e x+C2e2x）解析：23.微分方程y"-6y'+9y=0的通解是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=(C1+C2x)e3x）解析：24.微分方程y"+2y'+5y=0的通解是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=e-x(C1cos2x+C2sin2x)）解析：三、{{B}}解答题{{/B}}(总题数：3，分数：44.00)设曲线y=f(x)上任一点(x，y)处的切线斜率为，（分数：4.00）(1).求函数y=f(x)（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*]， [*]．由[*]知C=0，故[*]．)解析：(2).求由曲线y=f(x)，y=0，x=1所围图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*]．)解析：设函数y=f(x)（分数：35.98）(1).求函数y=f(x)的表达式（分数：2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(方程可化为[*]，则[*]．将初始条件y|x=1=0代入得C=-1，故[*]．)解析：(2).讨论函数y=f(x)在(0，+∞)内的单调性（分数：2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(因[*]，故[*]在(0，+∞)内单调增加．)解析：(3).求连续函数f(x)，使其满足．（分数：2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(对关系式两边求导，得f'(x)+2f(x)=2x.这是标准形式的一阶线性微分方程，其中p(x)=2，q(x)=2x．其通解为y=e-∫p(x)dx[∫q(x)e-∫p(x)dx dx+C]=e-∫2dx[∫2x·e2dx dx+C]=e-2x·[∫2x·e2x dx+C]=e-2x·[xe2x-∫e2x dx+C]=e-2x[*]，由关系式[*]，令x=0，得f(0)=0代入通解，得[*]，所以所求函数为[*]．)解析：(4).设y=e x是微分方程xy'+g(x)y=x的一个解，求此微分方程满足初始条件y|x=ln2=0的特解．（分数：2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(将解y=e x代入给定的微分方程，有xe x+g(x)e x=x，解得g(x)=x(e-x-1)．代入原方程，得y'+(e-x-1)y=1．这是一个一阶线性微分方程的标准形式，其中p(x)=e-x-1，q(x)=1，则其通解[*]．将初始条件y|x=ln2=0代入通解，得[*]，所以所求的特解为[*])解析：(5).求解下列微分方程．求微分方程y-y'=1+xy'的通解．（分数：2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(y-1=C(x+1))解析：(6).求解下列微分方程．满足初始条件y|x=0=0的特解．（分数：2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(7).求解下列微分方程． 2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(8).求解下列微分方程．求微分方程cosx·y'-sinx·y=cos2x满足初始条件y|x=π=1的特解．（分数：2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(9).设f(x)f(x)．（分数：2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(本题给定的关系式中含有变上限定积分，通过等式两边同时微分的方法，根据变上限定积分求导定理将给定的关系式转化为微分方程．[*]，xf(x)=f'(x)+2x，整理为一阶线性微分方程的标准形式y'-xy=-2x，其中p(x)=-x，q(x)=-2x，y=e-∫p(x)dx[∫q(x)e∫p(x)dx dx+C]=e∫xdx[∫-2xe-∫xdx dx+C][*]把x=0代入[*]，得f(0)=0．把初始条件f(0)=0代入方程的通解[*]，得C=-2，所求的函数为[*]．)解析：(10).求解二阶常系数线性非齐次微分方程．求微分方程y"+y'-2y=e-x的通解．（分数：2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(11).求解二阶常系数线性非齐次微分方程．求微分方程y"+6y'+5y=e-x的通解．（分数：2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(12).求解二阶常系数线性非齐次微分方程．求微分方程y"-2y'+y=e x的通解．（分数：2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(13).求解二阶常系数线性非齐次微分方程．求微分方程y"-2y'-3y=x+1的通解．（分数：2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(14).设f(x)为连续函数，求f(x)．（分数：2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(本题给定的关系式中含有变上限定积分，通过等式两边同时微分的方法，根据变上限定积分求导定理将给定的关系式转化为微分方程．[*]对于上式左右两边再对x求导，有f"(x)=6x+f(x)，即f"(x)-f(x)=6x，此为二阶常系数非齐次线性微分方程．为了求解需先确定初始条件：取x=0代入f(x)=x3+1+[*]，得f(0)=03+1+[*]，即得f(0)=1．取x=0代入关系式f'(x)=3x2+[*]，得[*]，即得f'(0)=0．原题转化为求解二阶常系数非齐次线性微分方程f"(x)-f(x)=6x在初始条件f(0)=1，且f'(0)=0下的特解．其对应的齐次方程为f"(x)-f(x)=0．特征方程为r2-1=0，特征根为r=±1，齐次方程的通解为Y=C1e-x+C2e x．自由项f(x)=6x，其中P m(x)=6x，m=1，α=0不是特征根，设非齐次线性方程的特解y*=Ax+B，y*'=A，y*"=0代入微分方程f"(x)-f(x)=6x，得A=-6，B=0，得非齐次线性方程的特解为y*=-6x．所以微分方程f"(x)-f(x)=6x的通解为f(x)=C1e-x+C2e x-6x，将初始条件f(0)=1，且f'(0)=0代入得[*]．所以[*]．)解析：已知可导函数y=f(x)满足关系式y"+y'=0，且其图形在点(0，0)处的切线与直线x-y=1平行．（分数：4.00）(1).求f(x)（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(由题意可知本题实际上是求二阶常系数齐次线性微分方程y"+y'=0在一定初始条件下的特解．二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程是r2+r=0，特征根为r1=0，r2=-1，齐次方程的通解为y=C1+C2e-x．y'=-C2e-x，y'(0)=-C2．由题意有y(0)=C1+C2=0，已知直线x-y=1的斜率k=1．由平行条件可知y'(0)=-C2=1，解得C1=1，C2=-1，所求函数y=f(x)=1-e-x．)解析：(2).求曲线y=f(x)，与直线x=1，y=0所围成的平面图形的面积S.（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：。

江苏省专转本高数数学常微分方程模拟试题练习(含答案)

专转本数学常微分方程模拟试题练习一、选择题1．微分方程0)()(2222=++-dy y x dx y x 是A ．可分离变量微分方程；B ．齐次方程；C ．一阶线性方程；D ．贝努利方程．2．一阶线性微分方程)()(x q y x p dxdy =+的积分因子为 A ．⎰=-dx x p e )(μ； B ．⎰=dx x p e )(μ； C ．⎰=-dx x q e )(μ； D ．⎰=dx x p q e )(μ．3．微分方程012=+'+''y y 的通解是A ．x e x c c y -+=)(21；B ．x x ec e c y -+=21； C ．x e c c y x 21221-+=-； D ．x x c x c y 21sin cos 21-+=． 4．微分方程2-=-''x e y y 的一个特解可设为A ．b ae x +；B ．bx axe x +；C ．bx ae x +；D ．b axe x +。

5．微分方程x x y y y cos 912=+'+''的一个特解可设为A ．x b x a x b x a sin )(cos )(2211+++；B ．x x a x x a sin cos 21+；C ．x x a cos 1；D ．x b ax cos )(+．6．设常数a 、b 同号，则微分方程0)(=-'-+''aby y a b y 的通解为A ．bx ax e c ec y -+=21； B ．bx ax e c e c y 21+=-； C ．bx ax e c e c y 21+=； D ．bx ax e c e c y --+=21．7．已知1=x 时，1=y ，且函数)(x f y =满足方程0)2()2(2222=-++-+dy x xy y dx y xy x ，则当221+=x 时，有=y A ．1； B ．21； C ．22； D ．221+． 8．函数)(x y y =在任意点x 处当自变量有增量x ∆时，函数的增量为)(32x o x e x y y ∆∆∆+=，若3ln )1(-=y ，则)20(3y =A ．2ln ；B ．2ln -；C ．20ln ；D ．20ln -．9．微分方程x y y ='-''4的通解为A ．1682421x x e c c y x +-+=；B ．1682421x x e c c y x -++=； C ．168)(2421x x e x c c y x --+=； D ．1682421x x e c c y x --+=． 10．微分方程x xe y y y 32=-'+''有一特解为A ．x e x x y )32(2-=；B ．x e x x y )32(2+=；C ．x e x x y )2(2-=；D ．x e x y )312(-=．二、填空题1．微分方程y y y y y -'+''''=''2)(是阶微分方程．2．以x c x y )(+=为通解的微分方程为．3．由参数方程⎩⎨⎧=-=)()()2(t tf y t f t x 所确定的函数)(x y y =的导数为3212-+=t t dx dy ，则满足1)3ln (=-f 的函数为．4．微分方程0cos tan 2=+-'x y x y y 的通解为．5．微分方程xe x y y y 3)1(96-=+'-''的特解形式可设为．6．微分方程x y y 2sin 44-=+''的特解形式可设为．7．x y =1、x e x y +=2、x e x y ++=13为常系数线性微分方程)(x f qy y p y =+'+''的解，则此方程的通解为．8．微分方程034=+'-''y y y 的通解为．9．微分方程x e y y y 522510-=+'+''的通解为．10．微分方程x y y cos 2=+''的通解为．三、解答题1．求)0()1(2+∞<<=-+'x e y x y x x满足0)(lim 0=+→x y x 的解． 2．求经过点)0,21(且满足方程11arcsin 2=-+'x y x y 的曲线方程．3．求微分方程y xx y '+=''3213满足10==x y 、4|0='=x y 的特解． 4．求微分方程x x y y cos +=+''的通解．5．在过原点和（2，3）点的单调光滑曲线上任取一点，作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与x 轴及曲线围成的面积是另一条平行线与y 轴及曲线所围成面积的两倍，求此曲线方程．6．求微分方程0)2(=-+dx y x xdy 的一个解)(x y y =，使得由曲线)(x y y =与直线1=x 、2=x 以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周而得的旋转体的体积最小．7．求曲线使曲线的法线上自曲线的点至法线与y 轴的交点上一段距离为常数a ．8．求满足方程⎰-+=-xx x f dt t x f 01)()(2可导函数)(x f ．9．)(x ϕ在),(+∞-∞上有定义，对一切实数x 、y ，都有)()()(x e y e y x y x ϕϕϕ+=+，若)(x ϕ在0=x 点可导，且1)0(='ϕ，（1）证明)(x ϕ在任一点都可导；（2）求)(x ϕ．一、1．B ； 2．A ； 3．C ； 4．D ； 5．A ； 6．A ； 7．B ； 8．B ； 9．D ； 10．A ．二、1．四阶； 2．x y xy =-'1； 3．x e x f 28)(=； 4．x c x y cos )(1+=； 5．x e b ax x 32)(+； 6．)2sin 2cos (*x B x A x y +=； 7．x e c c y x ++=21；8．x x e c e c y 321+=； 9．x x e x e x c c y 52521)(--++= ；10．x x x c x c y sin sin cos 21++=。

常微分方程习题集

《常微分方程》测试题1一、填空题30%1、形如的方程，称为变量分离方程，这里.分别为x.y的连续函数。

2、形如-的方程，称为伯努利方程，这里的连续函数.n3、如果存在常数-对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件。

4、形如-的方程，称为欧拉方程，这里5、设的某一解，则它的任一解- 。

二、计算题40%1、求方程2、求方程的通解。

3、求方程的隐式解。

4、求方程三、证明题30%1.试验证=是方程组x=x,x=，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。

2.设为方程x=Ax（A为n n常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%>《常微分方程》测试题 2一、填空题：（30%）1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的微分方程是.2、方程的通解中含有任意常数的个数为.3、方程有积分因子的充要条件为.4、连续是保证对满足李普希兹条件的条件．5、方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．6、若是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们(有或无)共同零点．7、设是方程的通解，则.8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解，则与线性无关的另一解 .9、设是阶常系数齐次线性方程特征方程的K重根，则该方程相应于的K个线性无关解是 .10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是 .二、求下列微分方程的通解：（40%）1、2、3、4、5、求解方程．三、求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计.（10分）四、求解微分方程组满足初始条件的解.（10%）五、证明题：（10%）设，是方程的解，且满足==0，，这里在上连续，．试证明：存在常数C使得=C《常微分方程》测试题31．辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、填空题(8%)（1）．方程的所有常数解是___________.（2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________.（3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是________________.（4）.设M(x0, y0)是可微曲线y= y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________.3、单选题(14%)（1）．方程是（）.(A)可分离变量方程（B）线性方程(C)全微分方程（D）贝努利方程（2）．方程，过点（0，0）有（）.(A) 一个解（B）两个解(C) 无数个解（D）三个解（3）．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（）.(A)y=±1, x=±1, (B) y=±1(C) x=±1 (D) y=1, x=1（4）．若函数y(x)满足方程，且在x=1时，y=1, 则在x = e时y=( ).(A)(B) (C)2 (D) e（5）．阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间．（A）维（B）维（C）维（D）维（6）.方程（）奇解．（A）有三个（B）无（C）有一个（D）有两个（7）．方程过点（）．（A）有无数个解（B）只有三个解（C）只有解（D）只有两个解4.计算题(40%)求下列方程的通解或通积分：（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.5. 计算题(10%)求方程的通解．6．证明题（16%）设在整个平面上连续可微，且．求证：方程的非常数解，当时，有，那么必为或<%建设目标%>《常微分方程》测试题41．辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、填空题(8%)（1）．方程的所有常数解是___________.（2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________.（3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是________________.（4）.设M(x0, y0)是可微曲线y= y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________3、单选题(14%)（1）．方程是（）.(A)可分离变量方程（B）线性方程(C)全微分方程（D）贝努利方程（2）．方程，过点（0，0）有（）.(A) 一个解（B）两个解(C) 无数个解（D）三个解（3）．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（）.(A)y=±1, x=±1, (B) y=±1(C) x=±1 (D) y=1, x=1（4）．若函数y(x)满足方程，且在x=1时，y=1, 则在x = e时y=( ).(A)(B) (C)2 (D) e（5）．阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间．（A）维（B）维（C）维（D）维（6）.方程（）奇解．（A）有三个（B）无（C）有一个（D）有两个（7）．方程过点（）．（A）有无数个解（B）只有三个解（C）只有解（D）只有两个解4.计算题(40%)求下列方程的通解或通积分：（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.5. 计算题(10%)求方程的通解．6．证明题（16%）设在整个平面上连续可微，且．求证：方程的非常数解，当时，有，那么必为或《常微分方程》测试题5一、填空题（30%）1．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为．2．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．3．连续是保证方程初值唯一的条件．一条积分曲线.4. 线性齐次微分方程组的一个基本解组的个数不能多于个，其中，．5．二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要条件是．6．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．7．方程的所有常数解是．8．方程所有常数解是．9．线性齐次微分方程组的解组为基本解组的条件是它们的朗斯基行列式．10．阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为个二、计算题（40%）求下列方程的通解或通积分：1.2．3．4．5．三、证明题（30%）1．试证明：对任意及满足条件的，方程的满足条件的解在上存在．2．设在上连续，且，求证：方程的任意解均有．3．设方程中，在上连续可微，且，．求证：该方程的任一满足初值条件的解必在区间上存在．《常微分方程》测试题6一、填空题（20%)1．方程的所有常数解是．2．方程的常数解是．3．一阶微分方程的一个特解的图像是维空间上的一条曲线．4．方程的基本解组是．二、选择题(25%)1．阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个．（A）（B）-1 （C）+1 （D）+22．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（）条件．（A）充分（B）必要（C）充分必要（D）必要非充分3. 方程过点共有（）个解．（A）一（B）无数（C）两（D）三4．方程（）奇解．（A）有一个（B）有两个（C）无（D）有无数个5．方程的奇解是（）．（A）（B）（C）（D）三、计算题(25%)1.x=+y2.tgydx-ctydy=03.4.5.四、求下列方程的通解或通积分(30%)1.2.3.《常微分方程》测试题7一. 解下列方程(80%)1.x=+y2.tgydx-ctydy=03.{y-x(+)}dx-xdy=04.2xylnydx+{+}dy=05. =6-x6. =27. 已知f(x)=1,x0,试求函数f(x)的一般表达式。

常微分方程作业一

判断题（共 50 道试题，共 100 分。

）得分：1001.A. 错误B. 正确满分：2 分得分：22.A. 错误B. 正确满分：2 分得分：23. 偏微分方程自变量个数不只一个A. 错误B. 正确满分：2 分得分：24. 题目如图A. 错误B. 正确满分：2 分得分：25.A. 错误B. 正确满分：2 分得分：26. 若函数x1(t),x2(t),…,xn(t)在区间[a,b]上线性相关，则在[a,b]上它们的朗斯基行列式恒为0A. 错误B. 正确满分：2 分得分：27. n阶齐次线性微分方程的基本解组不唯一A. 错误B. 正确满分：2 分得分：28. 题目如图A. 错误B. 正确满分：2 分得分：29.A. 错误B. 正确满分：2 分得分：210. 方程x''+x=tant是齐次线性方程A. 错误B. 正确满分：2 分得分：211.A. 错误B. 正确满分：2 分得分：212. y1和y2是y''+py'+qy=0的两个特解，则y=C1y1+C2y2是此微分方程的通解A. 错误B. 正确满分：2 分得分：213.A. 错误B. 正确满分：2 分得分：214.A. 错误B. 正确满分：2 分得分：215.A. 错误B. 正确满分：2 分得分：216.A. 错误B. 正确满分：2 分得分：217.A. 错误B. 正确满分：2 分得分：218.A. 错误B. 正确满分：2 分得分：219. 方程y''+4y=0的基本解组是cos2x,sin2x.A. 错误B. 正确满分：2 分得分：220.A. 错误B. 正确满分：2 分得分：221. 微分方程(dy/dx)^n+dy/dx-y+x=0 的阶数是n.A. 错误B. 正确满分：2 分得分：222. 若函数f(x,y)在整个Oxy平面有定义，连续和有界，同时存在关于y的一阶连续偏导，则dy/dx=f(x,y)的任一解可以延拓到R上A. 错误B. 正确满分：2 分得分：223. 题目如图A. 错误B. 正确满分：2 分得分：224. 一阶微分方程的通解的包络如果存在的话一定是奇解A. 错误B. 正确满分：2 分得分：225. 1，cosx 的平方,sinx 的平方在任何区间上线性无关. A. 错误 B. 正确满分：2 分得分：226. 所有的微分方程都存在通解A. 错误B. 正确满分：2 分得分：227.A. 错误B. 正确满分：2 分得分：228. n 阶齐次线性微分方程的线性无关解的最大个数等于nA. 错误B. 正确满分：2 分得分：229. n 阶齐次线性方程的基本解组是唯一的A. 错误B. 正确满分：2 分得分：230.A. 错误B. 正确满分：2 分得分：231. y'=x不是微分方程A. 错误B. 正确满分：2 分得分：232.A. 错误B. 正确满分：2 分得分：233. 伯努利方程的形式是一阶非线性微分方程A. 错误B. 正确满分：2 分得分：234.A. 错误B. 正确满分：2 分得分：2A. 错误B. 正确满分：2 分得分：236. 若函数x1(t),x2(t),…,xn(t)在区间[a,b]上的朗斯基行列式恒为0，则它们线性相关A. 错误B. 正确满分：2 分得分：237.A. 错误B. 正确满分：2 分得分：238.A. 错误B. 正确满分：2 分得分：239. 方程组dX/dt=A(t)X 的n个线性无关解称之为dX/dt=A(t)X的一个基本解组.A. 错误B. 正确满分：2 分得分：2A. 错误B. 正确满分：2 分得分：241.A. 错误B. 正确满分：2 分得分：242. x^2+y^2=1是方程dy/dx=-x/y的通解A. 错误B. 正确满分：2 分得分：243. 方程ydx-xdy=0 的一个积分因子是1/x^2。

《常微分方程》期末考试试题库

《常微分方程》期末考试试题目录《常微分方程》期末考试题（一） (1)《常微分方程》期末考试题（二） (6)《常微分方程》期末考试题（三） (13)《常微分方程》期末考试题（四） (18)《常微分方程》期末考试题（五） (24)《常微分方程》期末考试题（六） (31)《常微分方程》期末考试题库 (36)《常微分方程》期末考试题（一）一、填空题（每空2 分，共16分）。

1、方程22d d y x x y+=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面． 2. 方程组n x x xR Y R Y F Y∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线.3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy=初值唯一的充分条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y txd d d d 的奇点)0,0(的类型是中心5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y +=6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 17．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是线性无关8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e -- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。

9．一阶线性微分方程d ()()d yp x y q x x+=的积分因子是（ A ）．（A ）⎰=xx p d )(e μ （B ）⎰=xx q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-xx q d )(e μ10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程（B ）线性方程（C ）全微分方程（D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y (C)1±=y , 1±=x (D)1=y , 1=x12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间（B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间（D ）不能构成一个线性空间 13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．（A ）有一个（B ）有无数个（C ）只有两个（D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。