2012常微分方程试题B及答案

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常微分方程第二章练习与答案

1 / 16习题２-１判断下列方程是否为恰当方程,并且对恰当方程求解：１．0)12()13(2=++-dy x dx x解：13),(2-=x y x P , 12),(+=x y x Q ,则0=∂∂y P ,2=∂∂xQ, 所以 x Q y P ∂∂≠∂∂ 即原方程不是恰当方程．２．0)2()2(=+++dy y x dx y x 解：,2),(y x y x P +=,2),(y x y x Q -=则,2=∂∂y P ,2=∂∂xQ所以x Q y P ∂∂=∂∂,即原方程为恰当方程则,0)22(=-++ydy xdy ydx xdx两边积分得：.22222C y xy x =-+ 3．0)()(=+++dy cy bx dx by ax 〔a,b 和c 为常数〕．解：,),(by ax y x P +=,),(cy bx y x Q +=则,b y P =∂∂,b xQ =∂∂ 所以x Q y P ∂∂=∂∂,即原方程为恰当方程则,0=+++cydy bxdy bydx axdx两边积分得：.2222C cy bxy ax =++ 4．)0(0)()(≠=-+-b dy cy bx dx by ax解：,),(by ax y x P -=,),(cy bx y x Q -=则,b y P -=∂∂,b xQ=∂∂ 因为 0≠b , 所以x Q y P ∂∂≠∂∂,即原方程不为恰当方程５．0sin 2cos )1(2=++udt t udu t解：,cos )1(),(2u t u t P +=u t u t Q sin 2),(=则,cos 2u t t P =∂∂,cos 2u t xQ=∂∂ 所以x Q y P ∂∂=∂∂,即原方程为恰当方程则,0cos )sin 2cos (2=++udu udt t udu t2 / 16两边积分得：.sin )1(2C u t =+ ６．0)2()2(2=++++dy xy e dx y e ye xxx解： xy e y x Q y e ye y x P xxx2),(,2,(2+=++=,则,2y e y P x +=∂∂,2y e xQx +=∂∂ 所以x Q y P ∂∂=∂∂,即原方程为恰当方程则,0])2()[(22=++++dy xy e dx y ye dx e xxx两边积分得：.)2(2C xy e y x=++７．0)2(ln )(2=-++dy y x dx x xy解：,2ln ),(),(2y x y x Q x xy y x P -=+=则,1x y P =∂∂,1x x Q =∂∂ 所以xQy P ∂∂=∂∂,即原方程为恰当方程则02)ln (2=-++ydy dx x xdy dx x y两边积分得：23ln 3y x y x -+.C = ８．),(0)(22为常数和c b a cxydy dx by ax =++解：,),(,),(22cxy y x Q by ax y x P =+=则,2by y P =∂∂,cy xQ =∂∂ 所以当x Q y P ∂∂=∂∂,即 c b =2时, 原方程为恰当方程则0)(22=++cxydy dx by dx ax两边积分得：233bxy ax +.C = 而当c b ≠2时原方程不是恰当方程．９．01222=-+-dt ts s ds t s 解：,),(,12),(22ts s s t Q t s s t P -=-= 则,212t s t P -=∂∂,212tss Q -=∂∂ 所以x Q y P ∂∂=∂∂, 即原方程为恰当方程,两边积分得：C ts s =-2．3 / 1610．,0)()(2222=+++dy y x yf dx y x xf 其中)(⋅f 是连续的可微函数．解：),(),(),(),(2222y x yf y x Q y x xf y x P +=+=则,2f xy y P '=∂∂,2f xy xQ '=∂∂ 所以x Q y P ∂∂=∂∂, 即原方程为恰当方程,两边积分得：22()f xy dx C +=⎰,即原方程的解为C y x F =+)(22<其中F 为f 的原积分>．习题２-2. 1. 求解下列微分方程,并指出这些方程在平面上的有意义的区域:：〔１〕yx dx dy 2= 解：原方程即为：dx x ydy 2= 两边积分得：0,2332≠=-y C x y ．〔２〕)1(32x y x dx dy += 解：原方程即为：dx xx ydy 321+=4 / 16两边积分得：1,0,1ln 2332-≠≠=+-x y C x y ．〔３〕0sin 2=+x y dxdy解：当0≠y 时原方程为：0sin 2=+xdx y dy两边积分得：0)cos (1=++y x c ．又y=0也是方程的解,包含在通解中,则方程的通解为0)cos (1=++y x c ．〔４〕221xy y x dx dy +++=；解：原方程即为：2(1)1dyx dx y =++ 两边积分得：c x x arctgy ++=22, 即 )2(2c x x tg y ++=．〔５〕2)2cos (cos y x dxdy= 解：①当02cos ≠y 时原方程即为：dx x y dy 22)(cos )2(cos = 两边积分得：2222sin 2tg y x x c --=． ②y 2cos =0,即42ππ+=k y 也是方程的解. 〔N k ∈〕〔６〕21y dxdyx-= 解：①当1±≠y 时原方程即为：xdx y dy =-21 两边积分得：c x y =-ln arcsin ． ②1±=y 也是方程的解.〔７〕．yxe y e x dx dy +-=- 解．原方程即为：dx ex dy e y xy)()(--=+5 / 16两边积分得：c e x e y x y++=+-2222, 原方程的解为：c ee x y xy=-+--)(222.2. 解下列微分方程的初值问题．〔１〕,03cos 2sin =+ydy xdx 3)2(ππ=y ；解：两边积分得：c yx =+-33sin 22cos , 即c x y =-2cos 33sin 2因为 3)2(ππ=y , 所以 3=c .所以原方程满足初值问题的解为：32cos 33sin 2=-x y ．〔２〕．0=+-dy ye xdx x, 1)0(=y ；解：原方程即为：0=+ydy dx xe x,两边积分得：c dy y dx e x x=+-2)1(2, 因为1)0(=y , 所以21-=c , 所以原方程满足初值问题的解为：01)1(22=++-dy y dx e x x．〔３〕．r d dr=θ, 2)0(=r ；解：原方程即为：θd rdr=,两边积分得：c r =-θln ,因为2)0(=r , 所以2ln =c ,所以原方程满足初值问题的解为：2ln ln =-θr 即θe r 2=．〔４〕．,1ln 2yx dx dy+=0)1(=y ; 解：原方程即为：dx x dy y ln )1(2=+,两边积分得：3ln 3y y x x x c ++-=, 因为0)1(=y , 所以1=c ,所以原方程满足初值为：3ln 13y y x x x ++-=6 / 16〔５〕．321xy dxdyx=+, 1)0(=y ；解：原方程即为：dx xx y dy 231+=, 两边积分得：c x y ++=--22121, 因为1)0(=y , 所以23-=c ,所以原方程满足初值问题的解为：311222=++yx ．１．解下列微分方程,并作出相应积分曲线的简图．〔１〕．x dxdycos = 解：两边积分得：c x y +=sin ．积分曲线的简图如下：〔２〕．ay dxdy=, 〔常数0≠a 〕；解：①当0≠y 时,原方程即为：dx ay dy = 积分得：c x y a +=ln 1, 即 )0(>=c cey ax②0=y 也是方程的解．积分曲线的简图如下：7 / 16〔３〕．21y dxdy-=；解：①当1±≠y 时,原方程即为：dx y dy =-)1(2 积分得：c x yy+=-+211ln ,即 1122+-=x x ce ce y ．②1±=y 也是方程的解．积分曲线的简图如下：〔４〕．n y dx dy =, )2,1,31(=n ；解：①当0≠y 时, ⅰ〕2,31=n 时,原方程即为 dx y dy n =,积分得：c y n x n=-+-111．8 / 16ⅱ〕1=n 时,原方程即为dx ydy= 积分得：c x y +=ln ,即 )0(>=c ce y x．②0=y 也是方程的解．积分曲线的简图如下：4. 跟踪：设某A 从xoy 平面上的原点出发,沿x 轴正方向前进；同时某9 / 16B 从点开始跟踪A,即B 与A 永远保持等距b ．试求B 的光滑运动轨迹．解：设B 的运动轨迹为)(x y y =,由题意与导数的几何意义,则有22yb ydx dy --=,所以求B 的运动轨迹即是求此微分方程满足b y =)0(的解．解之得：222222ln21y b y b b y b b b x ----++=． 5. 设微分方程)(y f dxdy=〔2.27〕,其中f<y> 在a y =的某邻域〔例如,区间ε<-a y 〕内连续,而且a y y f =⇔=0)(,则在直线a y =上的每一点,方程〔2.27〕的解局部唯一,当且仅当瑕积分∞=⎰±εa ay f dy)(〔发散〕．证明：〔⇒〕首先经过域1R ：,+∞<<∞-x a y a <≤-ε 和域2R ：,+∞<<∞-x ε+≤<a y a内任一点〔00,y x 〕恰有方程〔2.13〕的一条积分曲线, 它由下式确定00)(x x y f dyyy-=⎰. 〔*〕这些积分曲线彼此不相交. 其次,域1R 〔2R 〕内的所有积分曲线c x y f dy +=⎰)(都可由其中一条,比如0)(c x y f dy+=⎰ 沿着 x 轴的方向平移而得到。

常微分方程计算题及答案

计算题（每题10分）1、求解微分方程2'22x y xy xe -+=。

2、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy+=通过点(0,0)的第三次近似解. 3、求解方程'2x y y y e -''+-=的通解4、求方程组dx dt ydydtx y ==+⎧⎨⎪⎩⎪2的通解5、求解微分方程'24y xy x +=6、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过点(1,0)的第二次近似解。

7、求解方程''+-=-y y y e x '22的通解8、求方程组dxdt x ydydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪234的通解9、求解微分方程xy y x '-2=24 10、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过(0,0)的第三次近似解. 11、求解方程''+-=-y y y e x '24的通解12、求方程组dxdtx y dydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪2332的通解13、求解微分方程x y y e x (')-=14、试用逐次逼近法求方程22x y dxdy+=通过点(0,0)的第三次逼近解. 15、求解方程''+-=--y y y e x '22的通解16、求解方程x e y y y -=-+''32 的通解17、求方程组⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=yx dt dydtdx x y dt dy dt dx243452的通解 18、解微分方程22(1)(1)0x y dx y x dy -+-= 19、试用逐次逼近法求方程2dyx y dx=-满足初始条件(0)0y =的近似解：0123(),(),(),()x x x x ϕϕϕϕ.20、利用逐次逼近法，求方程22dyy x dx=-适合初值条件(0)1y =的近似解：012(),(),()x x x ϕϕϕ。

(完整版)常微分方程期末试题答案

(完整版)常微分方程期末试题答案一、填空题（每题5分，共25分）1. 一阶线性微分方程的一般形式是_________。

答案：y' + P(x)y = Q(x)2. 当二阶常系数线性微分方程y'' + py' + qy = f(x)中的f(x)为0时，该方程称为_________。

答案：齐次线性微分方程3. 微分方程y'' - 2y' + y = e^x的通解是_________。

答案：y = (C1 + C2x)e^x + (1/2)e^x4. 微分方程y'' + y = sinx的特解形式是_________。

答案：y = x(Acosx + Bsinx)5. 微分方程y' - y = e^x的积分因子是_________。

答案：μ(x) = e^(-x)二、选择题（每题5分，共25分）1. 以下哪个方程是一阶线性微分方程？A. y'' + y = sinxB. y' + y^2 = xC. y' + P(x)y = Q(x)D. y'' + py' + qy = f(x)答案：C2. 以下哪个方程是二阶常系数线性微分方程？A. y' + y^2 = xB. y'' + y = sinxC. y' + P(x)y = Q(x)D. y'' + py' + qy = f(x)答案：D3. 微分方程y'' - 2y' + y = 0的特征方程是？A. r^2 - 2r + 1 = 0B. r^2 - 2r + 2 = 0C. r^2 - 2r - 1 = 0D. r^2 - 2r - 2 = 0答案：B4. 微分方程y' + y = e^x的通解是？A. y = C1e^(-x) + e^xB. y = C1e^x + e^xC. y = C1e^(-x) - e^xD. y = C1e^x - e^x答案：A5. 微分方程y'' + y = 0的通解是？A. y = C1cosx + C2sinxB. y = C1e^x + C2e^(-x)C. y = C1x + C2D. y = C1x^2 + C2x答案：A三、解答题（每题25分，共100分）1. 解微分方程y' + y = e^x。

(完整版)常微分方程习题及解答

常微分方程习题及解答一、问答题：1．常微分方程和偏微分方程有什么区别？微分方程的通解是什么含义?答：微分方程就是联系着自变量，未知函数及其导数的关系式。

常微分方程，自变量的个数只有一个。

偏微分方程，自变量的个数为两个或两个以上。

常微分方程解的表达式中，可能包含一个或几个任意常数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，这样的解为该微分方程的通解。

2．举例阐述常数变易法的基本思想。

答：常数变易法用来求线性非齐次方程的通解，是将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数来求线性非齐次方程的通解。

例：求()()dyP x y Q x dx=+的通解。

首先利用变量分离法可求得其对应的线性齐次方程的通解为()P x dxy c ⎰=l ，然后将常数c 变易为x 的待定函数()c x ，令()()P x dxy c x ⎰=l ，微分之，得到()()()()()P x dxP x dx dy dc x c x P x dx dx⎰⎰=+l l ，将上述两式代入方程中，得到 ()()()()()()()()()P x dxP x dx P x dxdc x c x P x dx c x P x Q x ⎰⎰+⎰=+l l l即()()()P x dx dc x Q x dx-⎰=l 积分后得到()()()P x dxc x Q x dx c -⎰=+⎰%l 进而得到方程的通解()()(())P x dxP x dxy Q x dx c -⎰⎰=+⎰%l l3．高阶线性微分方程和线性方程组之间的联系如何？答：n 阶线性微分方程的初值问题()(1)11(1)01020()...()()()(),(),....()n n n n n nx a t xa t x a t x f t x t x t x t ηηη---'⎧++++=⎪⎨'===⎪⎩ 其中12()(),...(),()n a t a t a t f t ，是区间a tb ≤≤上的已知连续函数，[]0,t a b ∈，12,,...,n ηηη是已知常数。

常微分方程练习题及答案(复习题)

常微分方程练习试卷一、填空题。

1. 方程x 3 d 2 x1 0 是阶（线性、非线性）微分方程 .dt 22.x dyf ( xy) 经变换 _______ ，可以化为变量分离方程.方程y dx3. 微分方程d 3 y y 2 x0 满足条件 y(0) 1, y (0)2 的解有个 .dx 34. 设常系数方程5. 朗斯基行列式yyy ex的一个特解y * (x) e 2 x e x xe x ，则此方程的系数，， .W (t )是函数组x 1(t ), x 2 (t ), , x n (t ) 在 a x b 上线性相关的条件 .6. 方程xydx (2x 2 3y 220)dy 0 的只与 y 有关的积分因子为.7. 已知XA(t) X 的基解矩阵为(t ) 的，则 A(t).8. 方程组x '2 0 x 的基解矩阵为．0 59. 可用变换将伯努利方程化为线性方程 .10 . 是满足方程y 2 y 5 y y 1 和初始条件的唯一解 .11. 方程的待定特解可取的形式 :12. 三阶常系数齐线性方程y 2 y y 0的特征根是二、计算题1. 求平面上过原点的曲线方程 , 该曲线上任一点处的切线与切点和点 (1,0) 的连线相互垂直 .dy x y 12．求解方程xy.dx33. 求解方程xd 2x( dx )20 。

dt 2dt4 ．用比较系数法解方程 ..5 ．求方程yy sin x 的通解 . 6 ．验证微分方程(cos xsin xxy 2 )dx y(1 x 2 )dy 0 是恰当方程，并求出它的通解 .A 311dX(t) ，求dX7．设24，，试求方程组 A X 的一个基解基解矩阵 A X 满足初始条件 x(0)的解 .1dt dt8. 求方程dy 2x13y2通过点 (1,0) 的第二次近似解.dx9.求( dy )34xy dy8 y20的通解dx dxA 21试求方程组 xAx 的解(t ), (0) 1 ,10. 若14并求 expAt2三、证明题1.若2.设(t ), (t ) 是 X A(t )X 的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵 C ，使得(t)(t )C .(x) (x0 , x) 是积分方程x2 y( ) ] d ,y( x) y0[x0 , x [ , ]x0的皮卡逐步逼近函数序列{n ( x)}在[ ,] 上一致收敛所得的解，而(x) 是这积分方程在 [ , ] 上的连续解，试用逐步逼近法证明：在[ , ] 上( x)( x) .3.设都是区间上的连续函数,且是二阶线性方程的一个基本解组.试证明:(i)和都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零);(ii)和没有共同的零点;(iii)和没有共同的零点.4. 试证：如果(t ) 是dXAX 满足初始条件(t0)的解，那么 (t ) exp A(t t0 ) dt.答案一 . 填空题。

试题集：常微分方程

1.常微分方程y′+2y=4e x的通解形式为？o A. y=2e x+Ce−2xo B. y=2e x+Ce2xo C. y=2e−x+Ce2xo D. y=2e−x+Ce−2x参考答案: A解析: 该方程为一阶线性常微分方程，通过积分因子法求解，积分因子为e2x，从而得到通解形式。

2.方程y″−4y′+4y=0的特征方程为？o A. r2−4r+4=0o B. r2+4r+4=0o C. r2−4r−4=0o D. r2+4r−4=0参考答案: A解析: 特征方程由方程的系数确定，对于y″−4y′+4y=0，特征方程为r2−4r+4=0。

3.方程y″+9y=0的解中包含的函数类型是？o A. 指数函数o B. 三角函数o C. 对数函数o D. 幂函数参考答案: B解析: 该方程的特征方程为r2+9=0，解得r=±3i，因此解中包含三角函数。

4.方程y′=2y+3的平衡点是？o A. y=−32o B. y=32o C. y=−3o D. y=3参考答案: A解析: 平衡点满足y′=0，解方程0=2y+3得y=−3。

25.方程y″+4y′+4y=e2x的特解形式为？o A. y=Ax2e2xo B. y=Axe2xo C. y=A2xe2xo D. y=Ae2x参考答案: B解析: 由于e2x的形式，特解形式应为Axe2x。

6.方程y′=y2−4的奇点是？o A. y=2o B. y=−2o C. y=0o D. y=2,y=−2参考答案: D解析: 奇点满足y′=0，解方程0=y2−4得y=2,y=−2。

7.方程y″−5y′+6y=0的特征根是？o A. r=2,r=3o B. r=−2,r=−3o C. r=2,r=−3o D. r=−2,r=3参考答案: A解析: 特征方程为r2−5r+6=0，解得r=2,r=3。

8.方程y′=3y+e x的通解中包含的函数是？o A. e3xo B. e−3xo C. e xo D. e−x参考答案: A解析: 该方程为一阶线性方程，通解中包含e3x。

常微分方程+B卷

一、判断正误（2×10）。

（）1 2221d r dr y dy dy ⎛⎫+= ⎪⎝⎭是线性方程。

（）2可以利用1n z y -=将()()n dy P x y Q x y dx=+化为线性方程。

（）3 2()(2)0x y dx x y dy ++-=为恰当方程。

（）4 (,)f x y 关于y 满足利普希茨条件是f y∂∂存在的充要条件。

（）5 函数12(),(),...,()n x t x t x t 在区间上线性相关的充要条件是在区间上它们的朗斯基行列式()0W t ≡。

（）6若12(),()y x y x ϕϕ==是一阶线性非齐次微分方程的两个不同的特解，则12(()())C x x ϕϕ-为该方程的导出组的通解。

（）7 n 阶线性非齐次微分方程的所有解，不构成线性空间。

（）8 sin ()cos t v t t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是1201,10x x x x x ⎡⎤⎡⎤'==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦满足初值条件0(0)1v ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的解。

（）9对于一切正整数,k 有!!k kA A k k ≤。

（）10 如果A 的特征值至少有一个具有正实部，则x Ax '=至少有一个解当t →+∞时趋于无穷二、填空题（2×5）。

1方程(,)(,)M x y d x N x y d y +=有只与y 有关的积分因子的充要条件是。

2 22,:|1|1,||1(1)0dy x y R x y dx y ⎧=-+≤≤⎪⎨⎪-=⎩的解的存在区间为。

3二阶线性齐次微分方程的两个解12(),()x t x t 成为其基本解组的充要条件是。

4 [cos ,sin ]W t t = 。

5若10,02A x Ax ⎡⎤'==⎢⎥⎣⎦的基解矩阵为。

三、计算题。

1、（12分）求解方程22dy y dx x y=-。

2、（12分）求解方程3(2)()0x y dy x y dx -++=。

常微分试题及答案

常微分试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 微分方程 y' - 2y = 6x 是（）。

A. 可分离变量的微分方程B. 齐次微分方程C. 非齐次线性微分方程D. 非线性微分方程2. 微分方程 y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x) 的解是（）。

A. 特解B. 通解C. 齐次解D. 特解和齐次解的和3. 微分方程 y'' - y = 0 的通解是（）。

A. y = C1e^x + C2e^(-x)B. y = C1cos(x) + C2sin(x)C. y = C1x + C2D. y = C1ln(x) + C24. 微分方程 y'' + y = 0 的通解是（）。

A. y = C1e^x + C2e^(-x)B. y = C1cos(x) + C2sin(x)C. y = C1x + C2D. y = C1ln(x) + C25. 微分方程 y'' - 2y' + y = 0 的通解是（）。

A. y = C1e^x + C2e^(-x)C. y = C1e^(2x) + C2e^(-x)D. y = C1x + C26. 微分方程 y'' + 4y = 0 的通解是（）。

A. y = C1e^x + C2e^(-x)B. y = C1cos(2x) + C2sin(2x)C. y = C1e^(2x) + C2e^(-2x)D. y = C1x + C27. 微分方程 y'' - y' - 2y = 0 的通解是（）。

A. y = C1e^x + C2e^(-2x)B. y = C1cos(x) + C2sin(x)C. y = C1e^(2x) + C2e^(-x)D. y = C1x + C28. 微分方程 y'' - 4y = 0 的通解是（）。

常微分方程习题及答案

第十二章常微分方程(A)7. y=-所满足的微分方程是x、是非题 1•任意微分方程都有通解。

（） 2.微分方程的通解中包含了它所有的解。

（） 3.函数y =3sinx —4cosx 是微分方程y" + y=0的解。

（） 4.函数y=x 2 ■e x 是微分方程y"-2y ，+y=0的解。

（）1 25.微分方程xy'-1 n X = 0的通解是j In x ） +C （C 为任意常数）。

（） 6.y' 7. y'8. y 9. dydx 、填空题=sin y 是一阶线性微分方程。

（） = x 3y 3+xy 不是一阶线性微分方程。

（） -2/ +5y=0 的特征方程为 r 2-2 r + 5=0。

(= 1+x + y 2 +xy 2是可分离变量的微分方程。

（） 1.在横线上填上方程的名称 ①(y -3 H n xdx-xdy =0 是 ②(xy 2 +x dx + (y - X 2y dy = 0是 2. 3.4. 5. ③x —.ln y 是 dx x ④ xy’ = y +x 2sinx 是y ^+sin xy’—x =cosx 的通解中应含y =sin2x -cosx 的通解是 xy'" + 2x 2y"2 +x 3y = x 4 +1是6.微分方程yry"-(y '6 =0是个独立常数。

阶微分方程。

12. 3阶微分方程yJx 3的通解为三、选择题1 .微分方程xyy "+x （y ，3-y 4y = 0的阶数是（） A. 3 B . 4 C . 5 D . 22 .微分方程厂-x 2y"-x 5=1的通解中应含的独立常数的个数为（）。

A. 3 B . 5 C . 4 DA . y = 2xB . y = X 2C .24 .微分方程y'=3y 3的一个特解是（）。

常微分方程题库(附答案)4.1线性微分方程的一般理论

【单选题】n 阶齐次线性微分方程的基本解组中所含解的个数恰好是________个．A 、n -1；B 、n ；C 、n +1；D 、n +2.答案：B【单选题】下了判断正确的是_______________.A 、一阶线性非齐次微分方程组的任意两个解之差不是对应齐次微分方程组的解；B 、一阶线性非齐次微分方程组的任意两个解之差是对应齐次微分方程组的解;C 、一阶线性非齐次微分方程组的任意两个解之和还是该非齐次微分方程组的解；D 、一阶线性非齐次微分方程组的任意两个解之和是对应齐次微分方程组的解.答案：B【计算题】解微分方程'''1211,,11t t x x x t x t x e t t+-=-==--. 答案：常数变易法令12()()t x c t t c t e =+是原方程的解，并代入原方程得''12''12()()0()()1t t c t t c t e c t c t e t ⎧+=⎨+=-⎩，解得''12()1,()t c t c t te -=-=,所以1122(),()(1)t c t t c c t t e c -=-+=-++ 因此原方程的通解为2121t x c t c e t =+-- 其中21,c c 是任意常数. 【计算题】解微分方程2'''2312ln 4636,,t t x tx x x t x t t-+===. 答案：常数变易法令2312()()x c t t c t t =+是原方程的解，并代入原方程得'2'312'2'123()()0ln 2()3()36c t t c t t t tc t t c t t ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得334411229()412ln ,()9ln 4c t t t t c c t t t t c ----=++=--+ 因此原方程的通解为23111273ln 4x c t c t t t t --=+++ 其中21,c c 是任意常数 . 【计算题】已知方程220d x x dt-=有基本解组 ,t t e e -，试求此方程适合初值条件'(0)1,(0)0x x ==及'(0)0,(0)1x x ==的基本解组.答案：由题意知通解为12t t x c e c e -=+ ，则'12t t x c e c e -=-，分别把初值条件代入得121111(),()2222t t t t x t e e x t e e --=+=-.因此方程的标准基本解组为 121111(),()2222t t t t x t e e x t e e --=+=-.【证明题】证明n 阶非齐次线性微分方程1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dtdt---++++= 存在且最多存在1n +个线性无关的解. 答案：设齐次线性微分方程的n 个线性无关的解为12,,,n x x x ，设满足某初值条件的非齐次线性微分方程的解为x ，则显然12,,,,n x x x x x x x +++为非齐次微分方程的+1n 个解。

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南京农业大学试题纸
2011-2012学年第2 学期课程类型：必修试卷类型：B
课程常微分方程班级学号姓名
题号一二三四五六七八九总分签名
得分

一、填空题（每小题3分，本题共30分）
1．方程2231)(dsrddsdr是阶方程．
2. 若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为
__________________________________________.

3．若)(),...(),(21txtxtxn为n阶齐次线性方程在区间I上的n个解，则它们线性无关的充要条件是
__________________________________________.

4. 方程0),(),(dyyxNdxyxM有只含x的积分因子的充要条件
是 .

5. 方程21ddyxy的常数解是．
6．n阶线性齐次微分方程的所有解构成一个维线性空间．
7. 李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的条件．

8. 求(,)dyfxydx满足00)(yx的解等价于求积分方程____________________的连续解.
9. 函数()atfte的Laplace 变换是．

10. 方程212ydxdy经过（0，0）点的解的存在区间是．
二、计算题（每小题5分，本题共20分）
求解下列微分方程：

11. xyxy2e3dd

本试卷适应范围
信息与计算科学

装
订
线

装
订
线
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12. 0xxx
13．0)2()(2dyyxdxyx
14. 52dyxydxxy
三、计算题（每小题10分，本题共30分）
15. 求下列方程组的通解．











yxtyyxtx4
d

d
d
第3页共4页

16. 用常数变易法求解一阶非齐次线性微分方程()().dyPxyQxdx
17. 讨论方程23dxdy31y在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切
解.

四、证明题（每小题10分，本题共20分）
18.
设),(yxf及yf连续,试证方程0),(dxyxfdy为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x的积分因

子.
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19．设 (),()pxqx都是区间 (,)上的连续函数, 且(),()xx是二阶线性方程
0)()(yxqyxpy
的一个基本解组. 试证明:

(i) (),()xx都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零)；
(ii) (),()xx没有共同的零点；
(iii) (),()xx没有共同的零点.
第5页共4页

常微分方程模拟试题(B)参考答案 2012.7
一、填空题（每小题3分，本题共30分）
1．二 2． )()]()([1211xyxyxyC 3． ()0Wt或00()=0,WttI

4．)(xNxNyM 5.1y 6. n 7. 充分
8. 00(,)xxyyfxydx 9. 1,Resasa 10. ,
二、计算题（每小题5分，本题共20分）
11. 解：齐次方程的通解为 xCy3e (3分)

令非齐次方程的特解为 xxCy3e)(
代入原方程，确定出 CxCx5e51)(
原方程的通解为
xCy3e

+x2e51 （5分）

12. 解：对应的特征方程为：012，
解得ii23,23212211 （3分）

所以方程的通解为：)23sin23cos(2121tctcext （5分）

13. 1yM，
xN


=1 , xNyM

所以此方程是恰当方程. （3分）
凑微分，0)(22xdyydxydydxx

得
Cyxyx
23
3

（5分）

14． 5,1,dydtxytdxdx令则
1,(7)77dtttdtdxdxt原方程化为：变量分离
（3分）

2
1
772txct两边积分

2
1
7(5)7.2(5)xyxcxy代回变量
（5分）
第6页共4页

三、计算题（每小题10分，本题共30分）
15．特征方程为 01411EA,

即 0322.
特征根为 31，12. （4分）
31

对应特征向量应满足






00314
131

1
1

可确定出











2
1

1
1

同样可算出12对应

的特征向量为





2
1

2
2

所以，原方程组的通解为




ttttCC
y

2ee2e
e

2331
（10分）

.
16．解： (),dyPxydx （1）

这是一个变量分离方程，通解为(),Pxdxyce这里c是任意常数。（4分）
假设()()Pxdxycxe是()()dyPxyQxdx的通解，代入方程，则有
()()()PxdxdcxQxedx



积分后得到
()()(),PxdxcxQxedxc



（8分）

这里c是任意常数，方程的通解为
()()(())PxdxPxdxyeQxedxc



（10分）

17. 解：设f(x,y)= 2331y,则)0(2132yyyf
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故在0y的任何区域上yf存在且连续，
因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件. （4分）

显然，0y是通过点（0，0）的一个解；（6分）

又由23dxdy31y解得，|y|=23)(cx
所以，通过点（0，0）的一切解为0y及
|y|=是常数0),()()(023ccxcxcx （10分）

四、证明题（每小题10分，本题共20分）
18. 证明：必要性若该方程为线性方程,则有)()(xQyxPdxdy ,

此方程有积分因子dxxPex)()(,)(x只与x有关 . （4分）
充分性若该方程有只与x有关的积分因子)(x,
则0),()()(dxyxfxdyx为恰当方程,

从而dxxdyyxfx)()),()(( ,)()(xxyf,
)()()()()()()()(xQyxPxQyxxxQdyxxf





其中)()()(xxxP . （8分）
于是方程可化为0))()((dxxQyxPdy
即方程为一阶线性方程. （10分）

19．证明：
(),()xx

的朗斯基行列式

为
()()()()()xx
Wxxx


因(),()xx是基本解组, 故
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()0,()WxxR
.

若存在 0xR, 使得

00
()()0xx
, 则由行列式性质可得 0()0Wx, 矛盾. 即 ()x最多只能有简单零点. 同理对
()x



有同样的性质, 故(i)得证.

若存在 0xR, 使得 00()()0xx, 则由行列式性质可得 0()0Wx, 矛盾. 即 (),()xx无共同零
点. 故(ii)得证

若存在 0xR, 使得 00()()0xx 则同样由行列式性质可得 0()0Wx, 矛盾.

(),()xx


没有共同的零点.. 故(iii)得证.