常微分方程试题及参考答案

常微分方程试题

一、填空题(每小题3分，共39分)

1.常微分方程中的自变量个数是________.

2.路程函数S(t)的加速度是常数a，则此路程函数S(t)的一般形式是________.

3.微分方程=g( )中g(u)为u的连续函数，作变量变换________，方程可化为变

量分离方程.

4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式

为x= (t),P=ψ(t),t为参数，则方程参数形式的通解为________.

5.方程=(x+1)3的通解为________.

6.如果函数f(x,y)连续，y= (x)是方程=f(x,y)的定义于区间x0≤x≤x0+h上，满

足初始条件 (x0)=y0的解.则y= (x)是积分方程________定义于x0≤x≤x0+h 上的连续解.

7.方程=x2+xy，满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是________.

8.方程+a1(t) +…+a n-1(t) +a n(t)x=0

中a i(t) i=1,2,…，n是〔a,b〕上的连续函数，又x1(t),x2(t),…，x n(t)为方程n 个线性无关的解，则其伏朗斯基行列式W(t) 应具有的性质是：________.

9.常系数线性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为________.

10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，x1(t),x2(t),…，x n(t)是方程组

x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为：x(t)=________的形式.

11.初值问题(t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3 可化为与之

等价的一阶方程组________.

12.如果A是3×3的常数矩阵，-2为A的三重特征值，则方程组x′=Ax的基

解矩阵exp A t=________.

13.方程组

的奇点类型是________.

二、计算题(共45分)

1.(6分)解方程

= .

2.(6分)解方程

x″(t)+ =0.

3.(6分)解方程

(y-1-xy)dx+xdy=0.

4.(6分)解方程

5.(7分)求方程：

S″(t)-S(t)=t+1

满足S(0)=1, (0)=2的解.

6.(7分)求方程组

的基解矩阵Φ(t).

7.(7分)验证方程：

有奇点x1=1, x2=0,并讨论相应驻定方程的解的稳定性.

三、证明题(每小题8分，共16分)

1.设f(x,y)及连续，试证方程

dy-f(x,y)dx=0

为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x的积分因子.

2.函数f(x)定义于-∞

方程

x=f(x)

存在唯一的一个解.

常微分方程试题参考答案

一、填空题(每小题3分，共39分)

1.1

2. 2+c1t+c2

3.u=

4. c为任意常数

5.y= (x+1)4+c(x+1)2

6.y=y0+

7. (x)=

8.对任意t

9.x(t)=c1e t+c2te t+c3e-t+c4te-t

10.x(t)=c1x1(t)+c2x2(t) +c n x n(t)

11. x1(1)=1,x2(1)=2, x3(1)=3

12.expAt=e-2t[E+t(A+2E)+ ]

13.焦点

二、计算题（共45分）

1.解：将方程分离变量为

改写为

等式两边积分得

y-ln|1+y|=ln|x|-

即y=ln 或e y=

2.解：令则得

=0

当0时

-

arc cosy=t+c1

y=cos(t+c1) 即

则x=sin(t+c1)+c2

当=0时

y= 即

x

3.解：这里M=y-1-xy, N=x

令u=xye-x

u关于x求偏导数得

与Me-x=ye-x-e-x-xye-x 相比有

则

因此

u=xye-x+e-x

方程的解为xye-x+e-x=c

4.解：方程改写为

这是伯努利方程，令

z=y1-2=y-1 代入方程

得

解方程z=

=

于是有

或

5.特征方程为

特征根为

对应齐线性方程的通解为s(t)=c1e t+c2e-t

f(t)=t+1, 不是特征方程的根

从而方程有特解=（At+B）,代入方程得

-(At+B)=t+1

两边比较同次幂系数得

A=B=-1

故通解为S(t)=c1e t+c2e-t-(t+1)

据初始条件得

c1=

因此所求解为：S(t)=

6.解：系数矩阵A=

则，而det

特征方程det( )=0, 有特征根

对

对

对

因此基解矩阵

7.解：因故x1=1，x2=0是方程组奇点

令X1=x1-1, X2=x2, 即x1=X1+1,x2=X2代入原方程，得化简得*

这里R(X)= , 显然（当时）

方程组*中，线性部分矩阵

det(A- )=

由det(A- )=0 得

可见相应驻定解渐近稳定

三、证明题（每小题8分，共16分）

1.证明：若dy-f(x,y)dx=0为线性方程

则f(x,y)=