上海大学线性代数样题

A．A=0； B． A的特征根都是0 ；C． | A − I | =(-1) n ；D． ( I − A) −1 =I + A + ⋯ + An −1 5.n 阶方阵可以与对角阵相似的充要条件是 A. A 是实对角阵 B. A 有 n 个线性无关的特征向量 C. A 有 n 个不同特征值; D. A 是非奇异阵 注：教师应使用计算机处理试题的文字、公式、图表等；学生应使用水笔或圆珠笔答题。
5 0 4 0 7 8 , A−1 = 0 5 0 0 7 5
一、选择题： 选择题： （每小题 2 分，5 题共 10 分）
1．A 是数域 F 上 m x n 矩阵，b 为 m 维列向量， 以下错误的是（ ） A．如果 A 是列满秩的，则线性方程组 Ax=b 有唯一解 B．如果 A 是列满秩且 m=n，则线性方程组 Ax=b 有唯一解。 C．齐次线性方程组 Ax=0 若有两个不同的解，它一定有无穷多个解 D．当 m < n 时，则齐次线性方程组 Ax=0 有非零解 E．若 Ax=b 所有解向量至多有 n 个解向量线性无关，则 r(A)=1 2．设 A 是 m╳n 矩阵，且 AB=AC，则（ ） A．当 A≠O 时，B=C B．当 m=n 时，B=C C．当 r(A)=n 时，B=C D．当 r(A)=m 时，B=C 3．设 A，B，C 是方阵，若 ABC =I ,则必有（） A． BCA=I； B． CBA = I ；C． BAC =I ；D． ACB =I . 4. 设 A 是方阵，若 A = 0 ,则错误的是（）
时，向量组线性相关 ；
应试人声明： 当c= 我保证遵守《上海大学学生手册》中的《上海大学考场规则》 ，如有考试违纪、作 弊行为，愿意接受《上海大学学生考试违纪、作弊行为界定及处分规定》的纪律处分。 应试人 题号 得分 得分 评卷人 一 应试人学号 二 三 应试人所在院系 四 五
5 * 1 7. 已知A = 0 0
n
1 -4 -1 2 1 2 1 2 ，则 An = 8. 设 A = 2 -2 1 3 1 1 0 1
9. 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，-1，2，则 A +3A-2I 的行列式为 10 ． 设
*
；
α1 ， α2 ， α3 是 三 元 齐 次 线 性方 程组
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得分
评卷人
三、计算题： 计算题： （本大题 6 小题，共 57 分）
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1 3 13.(9分) 设D = −2 5
1 1 1 1
7 −1 8 0 ，设A11 , A12 , A13 , A14为其第一行代数余子式。 4 3 2 5
1 1 1 1 1 1 1 −1 ( 共 4 页 ) , 且AXA −1 = −2 XA −1 + I , 求A和X 14.（ 10分）设( A + 2 I ) = 1 1 1
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成
得分
评卷人
上海大学 2017 ～2018 学年 秋 季学期样题卷 课程名：线性代数 B 课程号：01013010 学分：
绩
二、填空题： 填空题： （每小题 3 分，7 题共 21 分）
6．已知 α1
3
= (1, 0,1, 2)T , α 2 = ( −1, 4, −2,1)T , α 3 = (1, 2, 0, 7)T , α 4 = (3, c, 2,1)T ,
(1)说明-2A11 +A12 +4A13 +3A14 =0的原因 (2)计算A11 +A12 +A13 +A14
第 15． （13 分）设 a 为实数，计算下列向量组的秩与一个极大无关组
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α1 = (1, 2, 3, 4,1), α 2 = (2, −1, 5, −4,1), α 3 = (1, 3, 4,5, 2), α 4 = (3, 2, 9,1, a), α 5 = (4, 4,12, 5, 4)
Ax=b 的 三 个 解 ， r(A)=2,
α1=(3,2,1)T ，
α2-2α3=(-2,0,1)T,则 Ax=b 的通解是
11. A
为 n 阶方阵， 且 r(A)=n-1, α1， α2 是齐次线性方程组 Ax=0 的两个不同解，
则其通解
2 2 12.已知 A ~ B， A= 2 3 ，B= 1 2 ，则 x+y= 3 x 2 y
18. （6 分）设 A ， B 为 n 阶方阵且 A + B = AB . 求证 AB = BA .
19. （6 分）设 A 是一个矩阵，证明 r(A)=r(ATA)。
1 4 −2 17． （13 分）已知实对称矩阵 A = 4 a −2 有特征向量 ( −2, −2,1)T . -2 −2 −2
(1) (3 分) 求 a ； (2) (10 分) 求正交矩阵 P 使得 PT AP 为对角矩阵。
得分
评卷人
五、证明题： （2 题，每题 6 分，共 12 分） 证明题：
并把其它向量用极大无关组表示。
1 1 1 1 −1 16.(12分)设A= 4 3 5 −1 ,b= −1 .若Ax=0的基础解系有两个解， α 1 3 β 1 问Ax=b是否有解？若无解说明理由，若有解求出全部解。
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