高考数学试题研究---不动点与稳定点

高考数学试题研究

不动点：已知函数，，若存在，使得，则称0x 为函)(x f y =I x ∈I x ∈000)(x x f =数的不动点。

)(x f y =不动点实际上是方程组的解的横坐标，或两者图象的交点的横坐标 ⎩

⎨⎧==x y x f y )(),(00y x 当然，这个方程组根据函数的不同，可能有多解。

)(x f y =例如1：的解只有一个，故函数有一个不动点 ⎩

⎨⎧=-=x y x y 12)1,1(12-=x y 10=x 例如2：的解为，，故函数有两个不动点 ⎩⎨⎧=-=x

y x y 12221,21(-)1,1(122-=x y 1,21-稳定点：已知函数，，若存在，使得，则称0x 为)(x f y =I x ∈I x ∈000))((x x f f =函数的稳定点。

)(x f y =很显然，若0x 为函数的不动点，则0x 必为函数的稳定点。 )(x f y =)(x f y =证明是非常简单的！因为，所以，

00)(x x f =000)())((x x f x f f ==即，故0x 也是函数的稳定点。

00))((x x f f =)(x f y =反之，有没有不是不动点的稳定点呢？答案是肯定的！

例如3：设，令，解得

12)(-=x x f x x =--1)12(21=x 故函数有一个稳定点

12-=x y 10=x 例如4：，令，因为不动点必为稳定点，所以该方程一12)(2-=x x f x x =--1)12(222定有两解，由此因式分解，可得 1,2

1-=x 0)124)(12)(1(2=-++-x x x x 还有另外两解，故函数的稳定点有， 451±-=x 122-=x y 1,21-451±-其中

是稳定点，但不是不动点。 4

51±-

请看下面四个图形，分别对应例1、2、3、4.

2

1

由此，清晰可见，不动点是函数图象与直线的交点的横坐标，而稳定点是函数图象x y =与它的反函数（可以是多值的）的图象的交点的横坐标.

根据例1和例3，我们可以给出命题：

若函数单调递增，则它的不动点与稳定点是完全等价的。 )(x f y =证明：若函数有不动点，显然它也有稳定点；

)(x f y =0x 0x 若函数有稳定点，即，设，则 )(x f y =0x 00))((x x f f =00)(y x f =00)(x y f =即和都在函数的图象上，

),(00y x ),(00x y )(x f y =假设，因为是增函数，则，即，与假设矛盾； 00y x >)(x f y =)()(00y f x f >00x y >假设，因为是增函数，则，即，与假设矛盾； 00y x <)(x f y =)()(00y f x f <00x y <故，即，有不动点.

00y x =00)(x x f =)(x f y =0x

【2013年• 四川卷 （文科）第10题】

1.设函数（，为自然对数的底数）. 若存在使a x e x f x -+=)(R a ∈e ]1,0[∈b 成立，则的取值范围是（ ）

b b f f =))((a A. B. C. D. ],1[e ]1,1[+e ]1,[+e e ]1,0[解析: ，根据复合函数的单调性，可以判断该函数为增函数 a x e x f x -+=)(又因为存在使，即有稳定点，

]1,0[∈b b b f f =))((b 所以它必有不动点，使得

]1,0[∈b b b f =)(即在有解,

x a x e x f x =-+=

)(]1,0[∈x 整理可得，，在有解

2x x e a x -+=]1,0[∈x 令，

2)(x x e x g x -+=]1,0[∈x ∵，∴在单调递增

021121)(=-+>-+='x e x g x )(x g ]1,0[∈x ，，，故选择A. 1)0(=g e g =)1(],1[e a ∈【2013年• 四川卷 （理科）第10题】

设函数（，为自然对数的底数）. 若曲线上存在点a x e x f x -+=)(R a ∈e x y sin =使成立，则的取值范围是（ ）

),(00y x 00))((y y f f =a A. B. C. D. ],1[e ]1,1[1--e ]1,1[+e ]1,1[1+--e e 解析: ，根据复合函数的单调性，可以判断该函数为增函数 a x e x f x -+=)(又因为存在使，即有稳定点，

]1,1[0-∈y 00))((y y f f =0y 所以它必有不动点，使得

]1,1[0-∈y 00)(y y f =即在有解，显然是无解的.

x a x e x f x =-+=)(]1,1[-∈x )0,1[-∈x 整理可得，，在有解

2x x e a x -+=]1,0[∈x 令，

2)(x x e x g x -+=]1,0[∈x ∵，∴在单调递增

021121)(=-+>-+='x e x g x )(x g ]1,0[∈x ，，，故选择A.1)0(=g e g =)1(],1[e a ∈