中考高分的十八个关节+关节12+几何图形的不变性
中考高分的十八个关节+关节6+统计问题的“三项注意”和概率求法的“一个核心”WORD
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关节六统计问题的“三项注意”和概率求法的“一个核心”一、以“三项注意”指导统计问题的解决从统计类中考试题(特别是解答类的题)来看,其考查目标主要集中在如下的方面: 方面一、统计图、表的绘制、阅读和使用;方面二、数据的代表值(众数、中位数、平均数),和离散程度(极差、方差等)的确定; 方面三、根据数据的代表值和离散程度作出决策对总体作出合理推断。
要解决好以上三个方面的问题,就应当落实好如下的“三项注意”;Ⅰ、注意每个统计图、表的完备性和同一组数据的两个统计图、表之间的一致性; Ⅱ、注意数据代表值和离散程度确定时的准确性; Ⅲ、注意决策与推断要求的取向性。
1、注意统计图、表的完备性与一致性的运用不论统计图还是统计表,都是对全体数据的一种分类表示,因此,各类之间和应等于全体,且各类之间互不交融—这就是它的完备性;而同一组数据的两种统计图、表是对同一全体、同一分类情况的不同表示形式,二者必是一致的,许多统计问题正是以这样的两条性质作为解答的基础的。
例1 小刘对本班同学业余兴趣爱好进行了一次调查,她根据采集到的数据,绘制了下面的图(1)和图(2) (1)(2)请你根据图中提供的信息,解答下列问题:(1)在图(1)中,将“书画”部分的图形补充完整;(2)在图(2)中,求出“球类”部分所对应的圆心角的度数,并分别写出爱好“音乐”、“书画”、“其它”的人数占本班学生数的百分数;(3)观察图(1)和图(2),你能得出哪些结论,(只要写一条结论)【观察与思考】根据“完备性”,应先求得“全体”,而这个“全体”就隐含在“球类”部分在两种图、表中的 “一致性”之中,而得到“全体”之后,本题的几个问题即可迎刃而解。
书画球类35%其它 音乐兴趣爱好内容人数 26 8 4 10 球类 书画音乐 其它12 14解:(1)40%3514=÷ (人) ∴本班同学共40人。
∴爱好书画的同学为4121440---10=(人)将图(1)补充完整后如图(1`)。
中考高分的十八个关节 关节 函数知识的三个支点
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关节三函数知识的三个支点 函数是“数与代数”部分最重要的内容之一,它在实际问题及综合性问题中都有着极为广泛的应用,而且在以后的数学乃至其他学科的学习中,也都发挥着基础性与工具性的作用。
那么,怎样才算较好地掌握了函数知识呢? 从一道简单的数学题说起。
题目:若a 满足不等式组 41313)1(2+≤+≤-a a a a 那么,代数式)11()1(62a a a a -÷-⋅- 最大值和最小值分别是多少?简解:由所给的不等式组解得33≤≤-a又 )11()1(62aa a a -÷-⋅-15)3(6622--=--=a a a 可将,15)3(2--=a y 其中33≤≤-a ,看作是一段抛物线,该抛物线的对称轴为3=a 且开口向上,可知原式在3-=a 时有最大值,21,在3=a 时有最小值—15。
析评:以上解法的思考基础可分为三层:第一层,认识到这是个求函数最值的问题;第二层,求得这个函数的标准表示式为),33(662≤≤---=a a a y 第三层,用二次函数的性质解决原来的问题。
由此可以看出:把未指明的函数总题恰当地归为函数问题。
再定出其表达式,进而应用函数的性质解决问题,正是掌握与运用函数知识的三大支点。
函数知识的三个支点:一、明意义:指总能在需要的情况下恰如其分地将问题归结为函数,即形成“函数思想”;二、定表达式;三、用性质:指恰当地运用函数的性质解决相应的问题。
一、明意义1、函数“明意义”的基本体现对函数相关的问题,能够从以下两个方面来观察、认识和把握:①能从“总体感知”和“具体对应方式”两个视角来认识与考虑问题;②能从“整体过程”和某些“特殊值的对应情况”来认识与考虑问题;例1 如图所示:边长分别为1和2的两个正方形,其一边在同一水平纸上,小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形,设穿过的时间为t ,大正方形内除去小正方形部分的面积为S (阴影部分),那么S 与t 的函数图象大致应为( )A B C D【观察与思考】“总体感知”:大正方形的面积为4,小正方形的面积为1,在小正方形平移的整个过程中阴影部分面积变化的过程是 解:选A 。
中考高分的十八个关节 关节10 图形变换引出的计算与证明
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关节十图形变换引出的计算与证明图形(或部分图形)经“平移”、“轴对称”或“旋转”(包括中心对称)之后,就会引起图形形状,位置关系的变化,就会出现新的图形和新的关系。
因此,图形变换引出的问题主要有两类:一类是变换引出的新的性质和位置关系问题;另一类是变换引出的几何量的计算问题。
一、图形平移变换引出的几何计算与证明这类问题的解法的思考应当突出两点: Ⅰ、把背景图形研究清楚;Ⅱ、充分运用图形平移的性质,特别应注意的是:“平移变换不改变角度”(即平移中的线和不平移的线,交角的大小不变)。
两者的恰当结合,就是解法的基础。
例1 如图,若将边长为cm 2的两个互相重合的正方形纸片沿对角线AC 翻折成等腰直角三角形后,再抽出一个等腰直角三角形沿AC 移动,若重叠部分PC A '∆的面积是21cm ,则移动的距离'AA 等于 。
【观察与思考】第一,搞清楚背景图形:ABC ∆和'''C B A ∆ 均为底边长为cm 22的等腰直角三角形;第二,由平移搞 清楚新图形的特征:由于平移不改变角度,可知PC A '∆也 是等腰直角三角形,这样一来,,)'22(212'C A S PC A =∆ 即2411AC =。
解得,2'=C A 而22=AC ,222'-=∴AA 。
解:填222-。
【说明】可以看出,由背景和平移的性质相结合得出PC A '∆为等腰直角三角形,是本题迅速获解之关键。
例2 如图(1),已知ABC ∆的面积为3,且,AC AB =现将ABC ∆沿CA 方向平移CA 长度得到EFA ∆。
(1)求ABC ∆所扫过的图形面积;(2)试判断,AF 与BE 的位置关系,并说明理由; (3)若,15︒=∠BEC 求AC 的长。
(1)【观察与思考】第一,搞清楚原图形即ABC ∆的特征:,AC AB = ABC'B'A'CPBCA ('C )FE为CA 的长度。
中考数学高分十八个关节
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中考数学高分十八个关节中考高分十八个关节关节一、数与式的三项要点1、准确与灵活是运算之魂2、深入把握“数”、“式”的性质3、善于将情境中的数量或数量关系抽象为代数式关节二、充分发挥方程的工具性作用1、方程用于实际问题中的求值2、方程用于数学问题中的求值关节三、函数知识的三个支点1、明意义2、定关系式3、用性质关节四、基本图形性质与功能的再认识1、线段的性质和线段中点的功能2、角平分线的功能3、等腰三角形的变换性质4、等边三角形的变换性质5、等腰直角三角形的变换性质6、平行四边形的变换性质7、正方形的变换性质关节五、几何计算方法与作用的归纳1、掌握好几何计算的两种主要方法2、重新认识几何计算的数学功能关节六、统计问题的“三项注意”和概率法的“一个核心”1、以“三项注意”指导统计问题的解决2、概率求法的“一个核心”关节七、从变换视角提高知识与构图能力1、从“轴对称”视角识别图形与构造图形2、从“旋转变换”视角识别图形与构造图形关节八、审题与解法探寻的策略1、审题的策略2、关于解法的探寻关节九、用代数式表示变化规律1、借助于以归纳为指导的思想方法,得到表示变化规律的代数式2、借助于函数思想,得到表示变化规律的代数式3、借助直接计算,得到表示变化规律的代数式关节十、图形变换引出的计算与证明1、图形平移变换引出的计算与证明2、图形的轴对称变换引出的计算与证明3、图形的旋转变换引出的计算与证明关节十一、“存在性”问题和“最值”问题的解决方法1、关于“存在性”问题2、关于“最值”问题关节十二、几何图形的不变性和变化规律以及特殊条件下的特定性1、探究图形变化引出的不变性或变化规律2、探究特定结论或特定条件关节十三、图形引入动点后形成的函数和方程问题1、图形引入动点形成的函数问题2、图形引入动点形成的方程问题3、图形引入动点形成的函数和方程问题关节十四、坐标系里的几何图形1、坐标系里的基本几何图形2、坐标系里的图形引入动点3、坐标系里的图形变换关节十五、由函数图象衍生出的问题1、由图象研究对应的实际问题2、函数图象和几何图形相结合的问题关节十六、应用性问题(含“方案”确定)解法研究1、化归到方程(不等式)模型或函数模型2、化归到“几何计算”模型关节十七、图形的分割与剪拼1、图形的分割2、将原图形剪拼成新图形关节十八、研究性问题的思考要点1、设置“新概念”或“新规定”情景的研究性问题2、设置“发现新规律”的研究性问题3、设置“特殊化”情景的研究性问题。
九年级数学中考复 习高分的十八个关节 关节13 图形引入形成的函数和方程问题doc人教版
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关节十三图形引入动点后形成的函数和方程问题图形中引入动点以后 ,随着点 的移动,便会引起其他相关量的变化,这样就会出现变量之间的函数关系;而动点在运动过程中,也会引起相关图形的变化,这样就可能产生特定形状、特定位置或特定关系的图形。
这些问题就需要借助方程来解决。
但不管是动点问题引出的函数。
还是由动点引出的方程,却都需要借助于几何计算来建立。
因此,几何计算才是图形动点问题得以解决的真正核心基础,也即一、图形引入动点形成的函数问题例1 如图(1),ABC Rt ∆中,,5,4,90==︒=∠BA AC ACB 点P 是AC 上的动点(P 不与A ,C 重合)。
x PC =,点P 到AB 的距离为y 。
(1)求y 与x 的函数关系式;(2)试讨论以P 为圆心,半径为x 的圆与AB 所在直线的位置关系,并指出相应的x 取值X 围。
(1)(1`)【观察与思考】(1)如图(1`),若AB PQ ⊥于Q ,要建立PQ 和CP 的函数关系,可以通过APQ Rt ∆和ABC Rt ∆的相似关系。
(2)就是讨论⊙P 的半径(即x )和圆心P 到AB 的距离(即y )的大小关系。
解:(1)过P 作AB PQ ⊥于Q ,如图(1`),则y PQ =, 易知AQP Rt ∆∽ACB Rt ∆,AB AP BC PQ ::=∴,图形动点问题通过几何计算(主要是解直角形和三角形的相似关系函数(变化规律)方程(特定形状的图形、特定位置的图形、特定关系的图形)⇒ ⇒ABPABP,543x y -=∴化简得:)40(51253<<+-=x x y 。
(2)令y x =,即,51253+-=x x 解得23=x ,此时⊙P 与直线AB 相切。
对应地有:230<<x 时,⊙P 与直线AB 相离;423<<x 时,⊙P 与直线AB 相交。
【说明】本题的关键就是通过两直角三角形相似关系构成的比例等式导出函数关系式,再通过⊙P 和AB 相切这一特殊情况来判断⊙P 和AB 的三种位置关系。
中考高分的十八个关节关节4基本图形性质与功能的再认识
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关节四基本图形性质与功能的再认识所有几何图形问题的解决,几乎都要回归到基本图形的性质,而能否得心应手地运用基本图形,则要靠以下两点:第一点,对基本图形性质掌握的深刻程度;第二点,基本图形的各性质都是以怎样的方式发挥着作用的。
正是为了帮助同学们学好、用好这两点,我们特将最重要的一些基本图形性质与功能加以梳理和解析,以便为各类几何图形问题的解决打下牢固的基础。
一、线段的性质和线段中点的功能 应掌握好:1、线段的两种变换性质;2、线段中点的三项功能。
1、线段的变换性质从“变换”的角度说,线段既是轴对称图形(它所在的直线和它的垂直平分线都是对称轴),又是中心对称图形(中点就是对称中心)例1 如图,ABC ∆是任意三角形,请画出BC A '∆和ABC ∆具有全等的关系。
【观察与思考】如果把要画的BC A '∆看作是由ABC ∆变换而来的,那么这个变换使线段BC 变成自身,联想到线段的变换性质,就应有三种结果。
(1)(2)解:如图(2)(其中直线1l 是BC 所在的直线,点1A 为点A 关于直线1l 的对称点;直线2l 是线段BC 的垂直平分线,点2A 为点A 关于直线2l 的对称点;点O 是线段BC 的中点,点3A 和点A 关于点O 为对称。
BC A BC A BC A 321,,∆∆∆都和ABC ∆全等。
【证明】正是线段的变换性质成为本题解法的基础和向导的。
2、线段中点的三项功能(1)构造三角形的中线,特别是直角三角形的中线三角形的中线,特别是直角三角形斜边上的中线,在相关问题的解决中常有重要的作用。
例2 如图,在平行四边形ABCD 中,E ,F 分别是AB ,CD 的中点,AG//DB ,交CB 延长线于点G 。
若四边形BEDF 是菱形,则四边形AGBD 是什么特殊四边形?并证明你的结论。
BACABC1A3AO1l2l2A【观察与思考】首先,由,GB//AD ,AG//DB ,知四边形AGBD 已是平行四边形,其次, 由四边形BEDF 是菱形,而点E 是AB 的中点,即ED 是ABD ∆中AB 边上的中线,且 DE=EB=AE ,立刻知道︒=∠90ADB ,即四边形AGBD 是矩形。
中考高分的十八个关节 关节1 数与式的三项要点
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关节一 数与式的三项要点 ■ 1 第一编 核心知识的再提升⏹ 任何教学问题的解决都必以核心知识为基础。
⏹ 对知识的掌握是有层次高低之别的,只有上升到“原理”层次的知识掌握,才能和心应手发挥作用。
关节一数与式的三项要点“数与式”是初中数学的核心内容之一,不公在各中考试卷中占有相当比重,更重要的是它的作用体现与融合在诸多知识运用之中,其中三项要点,尤望同学们掌握与用好。
要点一、准确与灵活是“运算”之魂; 要点二、深入把握“教”、“式”的性质;要点三、善于将情景中的数量或数量关系抽象为代数式;一、准确与灵活是“运算”之魂1、 灵活运用运算法则,运算律和运算性质对以个几道中考试题,我们给出新的解法,请同学们感悟“灵活”的意义和作用。
例1化简:()y x y x x y x x +÷⎪⎭⎫⎝⎛--+-221 解:原式)......12(21yx y x y x x y x x ++-+⋅+-=(先把除法转换成乘法,再用分配律乘入括号内) 112121=+-=xx2 ■ 中考数学高分的十八个关节例2计算:⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⋅++2422122a a a a a a 解:原式)......4(21)2(12--⋅++=a a a a a (先从括号内提出“公因式21-a ”而后约分)a11+= 例3已知x 是一元二次方程0132=-+x x 的实数根,求代数式)252(6332--+÷--x x xx x的值。
解:原式)......9(332-÷-=x xx (除式和被除式同乘以)2-x )13......(31)3(3122=+=+=x x x x 因为以上三题是中考题,也都是较容易的题,从每一道题的解法可以看出:越是能适时而恰当运用“运算律”,“公式”“性质”等,则越可使运算步骤减少,过程简化。
所以,越是善于将算法、算律、公式、性质联合运用,越能提高运 算的准确性和过程的简约性。
中考高分的十八个关节+关节5+几何计算方法与作用的归纳
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关节五几何计算方法与作用的归纳当以比单纯逻辑论证宽泛得多的思想和视角来研究几何图形及其和相关的问题时,“几何计算”的意义和作用,就被大大地加强了。
第一,几何图形的大小及形状、几何图形间的位置关系,在许多时候本来就需要运用相关的数量来表示,无疑地就会涉及到几何量的计算;第二,当我们注重研究图形的动点问题,图形的变换及运动问题,在坐标系里研究图形的一些问题时,就愈是不可避免地要借助几何量的计算;第三,那些基于实际而模型化为几何图形的应用类问题,更是必须依靠几何量的计算来解决。
因此,《课标》理念下的几何学习,几何计算的份量加大了,层次提高了。
在本关节,我们先将几何计算的基本方法加以归纳,为而后的应用作好充分准备。
一、掌握好几何计算的两种主要方法几何计算的两种主要方法是: Ⅰ、借助于解直角三角形; Ⅱ、借助于三角形的相似关系。
1、善于用解直角三角形的方法完成几何计算 (1)要善于依题情恰当地构造直角三角形例1 如图,两条宽度都为1的纸条,交叉重叠放在一起,且它们的交角为α,则它们重叠(如图中阴影)部分的面积是( )(1`)(1)A 、αsin 1 B 、αcos 1C 、αsinD 、αcos【观察与思考】将原问题抽象为图(1`),在菱形ABCD 中,α∠=∠A ,顶点A 到直线CD 和直线CB 的距离都为1,求菱形ABCD 的面积。
为此,作,CD AH ⊥交CD 的延长线于点H ,则有AH ,AD AH CD S ABCD ⋅=⋅=菱形其中ααsin 1,sin 1sin 1==∠==ABCD S ADH AH ,AD AH 菱形即AB CD Hαα例2 如图,在ABC Rt ∆中,190==︒=∠BC ,AC ACB 。
将ABC ∆绕点C 逆时针旋转30°得到111C B A ∆,1CB 与AB 相交于点D 。
求BD 的长。
【观察与思考】注意到,45︒=∠B 若作CB DG ⊥于点G ,如图(1`)则(1) 可得DBG Rt ∆中,DG=BG ,同时在︒=∠∆30DCG ,CDG Rt 中,而CB=1, 从而可构造关于BD 的方程,求得其值。
中考高分的十八个关节 关节15 由函数图象衍生出的问题
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关节十五由函数图象衍生出的问题图象本是函数关系的一种表达方式,现以它为主背景,可以衍生出如下的两类问题:Ⅰ、由图象反过来研究对应的实际问题,这类问题解决的基本过程是:“图象→对应的函数关系→实际问题”;Ⅱ、图象和坐标系里的几何图形相结合,这类问题解决的基本方向是:将图象上点的特征和几何图形的相关计算恰当地结合起来。
一、由图象研究对应的实际问题例1 如图(1),三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形,两小孔形状、大小都相同。
正常水位时,大孔水面宽度20=AB 米,顶点M 距水面6米(即6=MO 米),小孔顶点N 距水面5.4米(即5.4=NC 米)。
当水位上涨刚好淹没小孔时,借助图中的直角坐标系,求此时大孔的水面宽度EF 。
【观察与思考】读图,并和实际背景对照,可知: ①应先求出大孔对应的抛物线的解析式; ②求出F 点的横坐标;解:设大孔对应的抛物线解析式为h ax y +=2, 因为点)6,0(),0,10(M B 在该抛物线上,即 解得65032+-=∴x y 令5.465032=+-x ,解得51=x ,.52-=x 10=∴EF 米。
答;当水位不涨刚好淹没小孔时,大孔的水面宽为10米。
例2 某企业有甲、乙两个长方体形的蓄水池,将甲池中的水以每小时6立方米的速度注入乙水池,甲,乙两个蓄水池中的水的深度y (米)与注水时间x (小时)之间的函数图象如图(2)的所示,结合图象回答下列问题:(1)求注水多长时间甲,乙两个蓄水池水深度相同;xyOA B EM FN正常水位Ch a +=1000h =6h =6 503-=ay42甲乙(2)求注水多长时间甲,乙两个蓄水量相同;【观察与思考】由两段图象可求出对应的两函数关系式, 再借两函数关系式去解决(1),(2)两个问题。
解:设11b x k y +=甲。
把(0,2)和(3,0)代入,解得2,3211=-=b k 232+-=∴x y 甲。
设22b x k y +=乙。
中考高分的十八个关节-关节10-图形变换
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关节十图形变换引出的计算与证明图形(或部分图形)经“平移”、“轴对称”或“旋转”(包括中心对称)之后,就会引起图形形状,位置关系的变化,就会出现新的图形和新的关系。
因此,图形变换引出的问题主要有两类:一类是变换引出的新的性质和位置关系问题;另一类是变换引出的几何量的计算问题。
一、图形平移变换引出的几何计算与证明 这类问题的解法的思考应当突出两点: Ⅰ、把背景图形研究清楚;Ⅱ、充分运用图形平移的性质,特别应注意的是:“平移变换不改变角度”(即平移中的线和不平移的线,交角的大小不变)。
两者的恰当结合,就是解法的基础。
例1 如图,若将边长为cm 2的两个互相重合的正方形纸片沿对角线AC 翻折成等腰直角三角形后,再抽出一个等腰直角三角形沿AC 移动,若重叠部分PC A '∆的面积是21cm ,则移动的距离'AA 等于 。
【观察与思考】第一,搞清楚背景图形:ABC ∆和'''C B A ∆ 均为底边长为cm 22的等腰直角三角形;第二,由平移搞 清楚新图形的特征:由于平移不改变角度,可知PC A '∆也 是等腰直角三角形,这样一来,,)'22(212'C A S PC A =∆ 即2411AC =。
解得,2'=C A 而22=AC , 222'-=∴AA 。
解:填222-。
【说明】可以看出,由背景和平移的性质相结合得出PC A '∆为等腰直角三角形,是本题迅速获解之关键。
例2 如图(1),已知ABC ∆的面积为3,且,AC AB =现将ABC ∆沿CA 方向平移CA 长度得到EFA ∆。
(1)求ABC ∆所扫过的图形面积;(2)试判断,AF 与BE 的位置关系,并说明理由; (3)若,15︒=∠BEC 求AC 的长。
)【观察与思考】第一,搞清楚原图形即ABC ∆的特征:,AC AB =面积为3,第二,搞清楚平移过程:平移沿CA 方向进行;平移距离 为CA 的长度。
中考高分的十八个关节+关节14+坐标系里的几何图形doc
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坐标系里的几何图形将几何图形置于坐标系,是为了用代数的方法研究图形,因此坐标系里是“数形结合”的大演场,是“几何与代数综合”的新舞台。
现在,我们就来研究这类问题的思考与解法特征。
坐标系里的几何图形问题又可分三类:Ⅰ、坐标系里的基本几何图形; Ⅱ、坐标系里的几何图形引入动点; Ⅲ、坐标系里的几何图形实施交换。
※这三类问题围绕的共同核心都是“求点的坐标”与“求线段的长度”,解决的共同依据是“几何图形的性质”(包括变换的性质)和“几何计算”(特别是构造与解直角三角形。
)一、坐标系里的基本几何图形例1 如图,已知边长为1的正方形OABC 在直角坐标系中,B ,C 两点在第二象限内,OA 与x 轴的夹角为︒60,那么C 点的坐标是 ,B 点的坐标是 。
【观察与思考】 去构造合适的直角三角形,如图那样作辅助线,可由OCM Rt ∆求得点C 的坐标,由OEA Rt ∆和BEN Rt ∆求得点B 的坐标。
解:如图所示,作x CM ⊥轴于点M ,在OCM Rt ∆中,︒=∠=30,1COM OC ,,23,21==∴MO CM ∴C 点的坐标为)1,23(-。
又设AB 与y 轴的交点为E ,y BN ⊥轴于N 。
在OEA Rt ∆中,332,33,30,1==︒=∠=OE AE EOA OA 。
在BEN Rt ∆中,︒=∠-=-=-=60,333331BEN AE AB BE,21323333,633-=⋅-=-=∴BN EN 213+=+=EN OE ON 。
点B 在第二象限,∴B 点的坐标为231,231(+-)。
【说明】从本题可以看出:Ⅰ、求点的坐标是坐标系里几何图形问题的核心,而求点的坐标的基本过程是分这样的两步走:首先,选定或构造恰当的直角三角形,通过解相关的直角三角形,求得有关的线段的长;然后根据点所在的象限,将有关线段的长转换为点的坐标。
Ⅱ、坐标系里图形问题解法的优或劣,决定因素表现在对相关直角三角形的选取和构造上。
备战2012中考几何解题思路十八关节
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备战2012中考几何解题思路十八关节
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【导语】曾经有过一篇文章《中考数学,得几何者得天下》,文章中罗列出几何在数学中的重要位置,也强调了初三生应该如何学习几何,以及几何在中考中的出题方式。
针对几何的重要性,西安中考网特整理了中考几何解题思路和捷径、几何得高分的十八个关节要点,在此,一一罗列:中考几何解题思路和捷径、几何得高分的十八个关节关节一:数与式的三项要点关节二:充分发挥方程的工具性作用关节三:函数知识的三个支点关节四:基本图形的性质与功能的认识关节五:几何算法与作用的归纳关节六:统计问题与概率关节七:变换视角提高视图与构图的眼力关节八:审题与解法探寻的策略关节九:用代数式表示变化规律关节十:图形变换引出的
计算与证明关节十一:存在性问题和最值问题的解决方法关节十二:几何图形的不变性关节十三:图形引入动点后形成的函数问题关节十四:坐标系里的几何图形关节十五:有函数图像衍生出的问题关节十六:应用性问题解法思路关节十七:图形的分割与拼接关节十八:研究性问题的思考要点
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中考高分的十八个关节关节研究问题目的思考要点WORD
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关节十八研究性问题的思考要点研究性问题最根本的特点在于它具有“获取新知识”的意义或意味,也即它不单纯是已学的课本知识的应用,而是包含有理解和掌握一个“新概念”或“新规定”、发现和总结一个“新规律”或“新结论”的成份及过程,它可以突出地考查我们的“学习能力”和“发现与创新”能力。
从所依循的思考方向和思维方法来看,研究性问题可大体分为三类:Ⅰ、通过引入的“新概念”或“新规定”及其应用,重在体现和考查“抽象概括”的能力”;Ⅱ、通过设置由“特殊到一般”或“由一般到另一特殊”的活动情意,并从中归纳或类比总结出“新规律”,重在体现和考查“合情推理”的能力。
Ⅲ、通过对已知的普遍认识的基础上添加特殊条件或限制,以获得更特殊更深入的新认识,重在体现和考查由特殊化使认识走向更深入。
一、设置“新概念”或“新规定”情景的研究性问题这类问题的思考要点在于把握准“新概念”和“新规定”的实质,或说根本特征,从而将其应用在所属的具体情景之中。
例1 如图(1),菱形、矩形与正方形的形状有差异,我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”。
在研究“接近度”时,应保证相似图形的“接近度”相等。
(1)设菱形相邻两个内角的度数分别为 ︒m 和︒n ,将菱形的“接近度”定义为n m -,于是n m -越小,菱形越接近于正方形。
①若菱形的一个内角为70°,则该菱形的“接近度”等于 ; ②当菱形的“接近度”等于 时,菱形是正方形。
(2)设矩形相邻两条边长分别是a 和b (b a ≤),将矩形的“接近度”定义为b a -,于是b a -越小,矩形越接近于正方形。
你认为这种说法是否合理?若不合理,给出矩形的“接近度”一个合理定义。
a b【观察与思考】对于(1),关键是准确地把握:菱形的“接近度”为n m -,其中m 和n 是该菱形“相邻两内角的度数”。
对于(2),首先要弄清:应保证相似图形的“接近度”相等,此乃是“接近度”的本质特征,接下来的问题就好解决了。
中考高分的十八个关节 关节10 图形变换引出的计算与证明
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关节十图形变换引出的计算与证明图形(或部分图形)经“平移”、“轴对称”或“旋转”(包括中心对称)之后,就会引起图形形状,位置关系的变化,就会出现新的图形和新的关系。
因此,图形变换引出的问题主要有两类:一类是变换引出的新的性质和位置关系问题;另一类是变换引出的几何量的计算问题。
一、图形平移变换引出的几何计算与证明这类问题的解法的思考应当突出两点: Ⅰ、把背景图形研究清楚;Ⅱ、充分运用图形平移的性质,特别应注意的是:“平移变换不改变角度”(即平移中的线和不平移的线,交角的大小不变)。
两者的恰当结合,就是解法的基础。
例1 如图,若将边长为cm 2的两个互相重合的正方形纸片沿对角线AC 翻折成等腰直角三角形后,再抽出一个等腰直角三角形沿AC 移动,若重叠部分PC A '∆的面积是21cm ,则移动的距离'AA 等于 。
【观察与思考】第一,搞清楚背景图形:ABC ∆和'''C B A ∆ 均为底边长为cm 22的等腰直角三角形;第二,由平移搞 清楚新图形的特征:由于平移不改变角度,可知PC A '∆也 是等腰直角三角形,这样一来,,)'22(212'C A S PC A =∆ 即2411AC =。
解得,2'=C A 而22=AC , 222'-=∴AA 。
解:填222-。
【说明】可以看出,由背景和平移的性质相结合得出PC A '∆为等腰直角三角形,是本题迅速获解之关键。
例2 如图(1),已知ABC ∆的面积为3,且,AC AB =现将ABC ∆沿CA 方向平移CA 长度得ABC'B'A'CPBF到EFA ∆。
(1)求ABC ∆所扫过的图形面积;(2)试判断,AF 与BE 的位置关系,并说明理由; (3)若,15︒=∠BEC 求AC 的长。
(1)【观察与思考】第一,搞清楚原图形即ABC ∆的特征:,AC AB = 面积为3,第二,搞清楚平移过程:平移沿CA 方向进行;平移距离 为CA 的长度。
中考高分的十八个关节关节充分发挥方程的工具性作用
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关节二充分发挥方程的工具性作用方程是重要的数学工具,它可以干什么用呢?结论是:一、方程用于实际问题中的求值这方面的题目,同学们做的已经很多,这里只举一例。
例1 秋末,由于冷空气入侵,某地区地面气温急剧下降到0C以下的天气称为“霜冻”。
由霜冻所导致的植物生长受到影响或破坏的现象称为霜冻灾害。
秋末某天,气象台发布了该地区如下的降温预报:午夜0时至次日5时气温将匀速地由3C降到一3C,然后从次日5时至次日8时,气温将又匀速地由一3C升到5C,—种农作物在0C以下持续超过3小时就会造成霜冻灾害,根据气象台的预报信息,你认为是否有必要对该农作物采取防冻措施?并说明理由。
【观察与思考】第一,这实际是要求出两个数值:一是0时至次日5时气温下降过程中在哪个时刻达到0C;二是在次日5时至次日8时气温上升过程中,在哪个时刻达到0C,显然是求值总问题。
应分别构造方程来解决。
第二,可以用“匀速”所包含的“相等关系”来导出方程,即(事实上,只要把本问题的“温度差”看作“路程”,它就相当于行程问题了。
)简解:设在0时至次日5时之间的x时,气温降到0C,则依题意有:咼^二口,解得x=2.5 (时)5-0 x-O设在次日5时至次日8时之间的y时气温升到0C,依题意有:匸凹二口,解得y "125 (时)8 -5 8 -y6.125-2.5 =3.625。
气温在0C以下的时间为3.625小时(大于3小时)因此,会对该农作物造成霜冻灾害,所以应对它采取防冻措施。
二、方程用于数学问题中的价值1、借助方程,解决某些“数与式”的问题例1 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么,称这个正整数为“神秘数”。
如:4 =22 -02,12 = 42 - 22,20 = 62 -42,因此4,12, 20这三个数都是神秘数,(1)28和2008这两个数是神秘数吗?为什么?(2)两个连续奇数的平方差(取正数)是神秘数吗?为什么?【观察与思考】根据题中规定知道,若m=(2x,2)2-(2x)2(※丿,(其中x是整数,m为正整数),则m就是“神秘数”。
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关节十二探究二:几何图形的不变性 和变化规律以及特殊条件下的特定性关于几何图形性质方面的探究,已成为近年来各地中考试卷中带有普遍性的热点,细分起来,这样的题目 又可分为两大类:第一类,设置变化性的图形背景,探究由变化所体现的“图形不变性”或“变化规律”。
第二类,设置附有特殊条件或特殊结论的图形背景,研究由此生产的“特定性质”。
这两类探究问题正好体现着人们扩展认识的两个基本方向:一是由特殊向一般扩充,二是向相对更为特殊的方向深入。
现在我们分别来解析与归纳这两类探究性问题应解的思考特征。
一、探究图形变化引出的不变性或变化规律从图形变化过程来看,又分为三条途径:Ⅰ、由“图形变换”形成变化背景,探究其中的不变性或变化规律; Ⅱ、由“特殊到一般”形成的变化背景,探究其中的不变性或变化规律; Ⅲ、由“类比”形成的变化背景,探究其中的不变性或变化规律。
从解法的思考来说,三类题目尽管有很多一致性,但因图形变化的背景不同必然带来基本切入点的不同。
1、图形变换引出的不变性或变化规律我们知道,图形的“轴对称”、“平移”、“旋转”这些变换,是图形运动及延伸的重要途径,研究这些“变换”中的图形的“不变性”或“变化规律”,便是既自然又现成的展开方式。
对于这些起源于“变换”的探究性问题,解法的思考当然要围绕“变换”而展开,主要思考方向可有:Ⅰ、化归到基本图形的“变换性质”;Ⅱ、沿“变换”考查图形变化中所体现的统一性和差异性。
(1)借助于“化归到基本图形或变换性质”的思考获得解达例1 如图(1),在ABC ∆中,BA CG AC AB ⊥=,交BA 的延长线于点G 。
一等腰直角三角尺按如图(1)所示的F ,一条直角边与AC 边在一条直线上,另一条直角边恰好经过点B 。
(1)(2)ABCGFABCGF ED(1)在图(1)中请你通过观察、测量BF 与CG 的长度,猜想并写出BF 与CG 满足的数量关系, 然后证明你的猜想。
(2)当三角尺沿AC 方向平移到图(2)所示的位置时,一条直角边仍与AC 边在同一直线上,另一条直角边交BC 边于点D 。
过点D 作BA DE ⊥于点E 。
此时请你通过观察、测量DF DE ,与CG 的长度,猜想并写出DF DE +与CG 之间满足的数量关系,然后证明你的猜想。
(3)当三角尺在(2)的基础上沿AC 方向继续平移到图(3)所示的位置时,(点F 在线段AC 上,且点F 与点C 不重合)时,(2)中的猜想是否仍然成立?(不说明理由)。
【观察与思考】经过仔细审题,排除“三角尺”和其平移的表面(3)干扰,题中的图(1),图(2),图(3)对应的几何图形就是:(1`) (2`) (3`)它们就是我们早已熟悉的基本模式;“等腰三角形底边上任意一点到两腰的垂线段之和都等于这个三角形一腰上的高”。
至此,本题的解法已是显而易见,本题的思考就是“回归到基本模式”,而题目所体现的就是“图形中变换中的不变性”。
例2 用两个全等的正方形ABCD 和CDFE 拼成一个矩形ABEF ,把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边AF 的中点D 重合,且将直角三角尺绕点D 按逆时针方向旋转。
(1)当直角三角尺的两直角边分别与矩形ABEF 的两边BE ,EF 相交于点G ,H 时,(如图(1),通过观察或测量BG 与EH 的长度,你能得到什么结论?并证明你的结论。
(2)当直角三角尺的两直角边分别与BE 的延长线,EF 的延长线相交于点G ,H 时,(如图(2)),你在图(1)中得到的结论还成立吗?简要说明理由。
(2)(1)【观察与思考】可以有两种化归的思考方法:方法Ⅰ、若将原图再补上两个全等的小正方形,使基本背景成为一个大正方形,如图(1`)和图(2`)。
这时点DABC G FED A B C G F A B D G F CE AC AB =CA BF ⊥于F ,BA CG ⊥于G AC AB =,D 为BC 上一点, BA DE ⊥于E ,CA DF ⊥于F , BA CG ⊥于G 。
AB D GF C E ,AC AB =D 为BC 上一点,BA DE ⊥于E ,CA DF ⊥于F , BA CG ⊥于G 。
ABCDE F GHABC DE FGH就是大正方形的中心。
根据“正方形是关于中心90°旋转对称图形”(见关节四),立刻知道DCG Rt ∆绕点D 逆时针旋转90°便与DFH Rt ∆重合,当然全等,即均有FH CG =,进而有EH BG =。
方法Ⅱ、原图的背景ABCEFD 是由两个全等的的正方形拼成,因此,若正方形ABCD 绕点D 逆时针旋转90°,则它与正方形CEFD 重合,由︒=∠90GDH ,可知在此过程中BG 与EH 重合(具体论述略)。
(1`)(2`)本题的思考也是回归到“基本图形的性质”,而题目体现的也是“图形变换中的不变性”。
解:只需按如上的方法Ⅰ写出相应的三角形全等的理由即可(结论和过程略)。
例 3 已知,四边形ABCD 中,︒=∠︒=∠=⊥⊥60,120,,,MBN ABC BC BA CD BC AD AB ,MBN ∠绕B 点旋转,它的两边分别交DC AD ,(或它们的延长线)于E ,F 。
当MBN ∠绕B 点旋转到CF AE =时,(如图(1),易证:EF CF AE =+。
当MBN ∠绕B 点旋转到CF AE ≠时,在图(2)和图(3)中这两种情况下,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,线段EF CF AE ,,又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明。
(1)(2)(3)【观察与思考】由背景︒=∠=120,ABC BC BA ,可知BA 和BC 具有绕点B 旋转120°的重合性,依此构造全等三角形。
解:在图(1)和图(2)中均有EF CF AE =+,理由如下;如图(1`)和图(2`),作︒=∠60FBG ,交DC 延长线于点G (这时即有BAE Rt ∆绕点B 顺时针旋转120°重合于BCG Rt ∆中,A B C DE F G H PN MA B CD E FG HPNMABC D MEN F ABCDMEN FABCDMENF(1`)(2`)(3`)在BAE Rt ∆和BCG Rt ∆中,CBG FBC FBC EBF EBC ABE BC BA ∠=∠-︒=∠+∠-︒=∠-︒=∠=60)(120120, 。
,BCG Rt BAE Rt ∆≅∆∴BG BE CG AE ==∴,。
在BEF ∆和BGF ∆中,BF BG BE GBF EBF ,,60=︒=∠=∠公用。
BGF BEF ∆≅∆∴,CF AE CF CG GF EF +=+==∴。
对于(3)的情况,有结论:CF AE EF -=。
理由是:如图(3`),作,60︒=∠EBG 交AD 于点G ,与情况(1`)、(2`)类似地可证明BCF Rt BAG Rt ∆≅∆,得,CF AG =又可有BFE BGE ∆≅∆,可知CF AE AG AE EG EF -=-==由图(1)到图(2)体现的是“不变性”,而由图(1)到图(3),体现的却是“变换过程中的变化规律”。
由以上三个例子可以看出:许多由图形变换引出的不变性或变化规律问题,解法思考的第一选择是将问题化归到“基本图形的变换性质”。
这也进一步说明:“化归到基本”是数学思考的最基本的最重要的原则。
(2)借助于考察图形变换过程中各种形态(情况)的统一和差异性来获得解法例4 如图,已知矩形ABCD ,,3,3==BC AB 在BC 上取两点E ,F (E 在F 左边),以EF 为边作等边三角形PEF ,使顶点P 在AD 上,PF PE ,分别交AC 于点H G ,。
(1)求PEF ∆的边长;(2)若等边三角形PEF ∆的边EF 在线段BC 上移动,试猜想: PH 与BE 有何数量关系?并证明你猜想的结论。
【观察与思考】本题的核心是研究特定的等边PEF ∆在矩形ABCD 内平移的有关问题,首先,把矩形ABCD 的情况搞清楚:在已知数据的基础上易知33tan =∠ACB ,即 ABCDMEN F GABCDMENFGABCDMENFGAB C DE F P GH︒=∠=∠30CAD ACB其次,把等边PEF ∆在矩形ABCD 内平移中的各类形态集中在图(1)中,进行观察和比较,容易看到:第一,在特殊情况(E 重合于B 时),由')'(P E AB Rt ∆可计算出230cos 3''=︒=E P 。
即PEF ∆的边长为2。
第二,比较PEF ∆和'''F E P ∆两种形态对应的图形情况,有1''+=+==BE A P PP PA PH ,再比较''''''F E P ∆和'''F E P ∆两种形态所对应的图形情况,有1'''''''')''(''''+=+==BE A P P P A P H F P 。
这就促使我们形成了对PH 和BE 数量关系的猜想,并找到了其根据,至于计算和证明,我们还应按题目提供的一般情况的图形来进行。
(1)(2)解:(1)过P 作BC PQ ⊥于Q ,如图(2),在PEQ Rt ∆中,2233,60,3==∴︒=∠==PE PEQ AB PQ 。
(2)PH 和BE 数量关系是1+=BE PH 。
理由如下: 作,//'PE BP 交AD 于'P ,如图(3)(3)在A BP Rt '∆中,1',30',2'=∴︒=∠=AP ABP BP 。
1'',30+=+==∴︒=∠=∠BE A P PP PA PH PHA PAH 。
【说明】正是借助于对特殊情况的考察,特别是不同形态情况的对比,更快地发现了等边PEF ∆平移反映的不变性。
例5 (1)如图,(1),OA ,OB 是⊙O 的两条半径,且OB OA ⊥,点C 是OB 延长线上的任意一点,过点C 作CD 切⊙O 于点D ,连结AD 交OC 于点,E 求证:CE CD =。
(2)若将图(1)中的半径OB 所在的直线向上平移交半径OA 于点F ,交⊙O 于点'B ,其他条件不变,如图(2),那么CE CD =的结论还成立吗?为什么? (2)(3)(1)AB C DEFPGH'P ('E ) 'F )''(F''E''P'G'HAB C DEFPGH QAB CDEFPGH Q'P OA BCD EOA 'BCDEFOACDE FG(3)若将图(1)中的半径OB 所在的直线向上平移到与⊙O 相离的位置,它与半径OA 的延长线交于点G ,点E 是DA 延长线与CF 的交点,其他条件不变(如图(3),那么CE CD =的结论还成立吗?为什么?【观察与思考】先考虑图(1)这种特殊情况下是如何推得结论的。