解析几何第四版吕林根课后习题集规范标准答案第三章

第三章 平面与空间直线

§ 3.1平面的方程

1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：

（1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点

)1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面；

（3）已知四点)3,1,5(A ，)2,6,1(B ，)4,0,5(C )6,0,4(D 。求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与ABC ∆平面垂直的平面。

解： （1）Θ }1,2,2{21--=M M ，又矢量}2,0,1{-平行于所求平面， 故所求的平面方程为：

⎪⎩

⎪

⎨⎧++-=-=--=v u z u y v

u x 212123

一般方程为：07234=-+-z y x

（2）由于平面垂直于xoy 面，所以它平行于z 轴，即}1,0,0{与所求的平面平行，又

}3,7,2{21-=M M ，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为：

⎪⎩

⎪

⎨⎧+-=+-=+=v u z u y u x 317521 一般方程为：0)5(2)1(7=+--y x ，即01727=--y x 。 （3）（ⅰ）设平面π通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=，}2,0,1{-= 从而π的参数方程为：

⎪⎩

⎪

⎨⎧+-=+=--=v u z u

y v

u x 235145 一般方程为：0745910=-++z y x 。

（ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ∆所在的平面

∴ }1,5,4{--=， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-⨯--=⨯

均与π'平行，所以π'的参数式方程为：

⎪⎩

⎪

⎨⎧+-=++=+-=v u z v u y v u x 35145 一般方程为：0232=--+z y x .

2.化一般方程为截距式与参数式： 042:=+-+z y x π.

解： π与三个坐标轴的交点为：)4,0,0(),0,20(),0,0,4(--， 所以，它的截距式方程为：

14

24=+-+-z y x . 又与所给平面方程平行的矢量为：}4,0,4{},0,2,4{-，

∴ 所求平面的参数式方程为：

⎪⎩

⎪

⎨⎧=-=++-=v z u

y v u x 24 3.证明矢量},,{Z Y X =平行与平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为：

0=++CZ BY AX . 证明： 不妨设0≠A ，

则平面0=+++D Cz By Ax 的参数式方程为：

⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧==---=v z u

y v A C u A B A D x 故其方位矢量为：}1,0,{},0,1,{A

C

A B --，

从而平行于平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为：

，}1,0,{},0,1,{A

C

A B --

共面⇔

01

001=--A

C A B Z Y X ⇔ 0=++CZ BY AX .

4. 已知连接两点),12,0(),5,10,3(z B A -的线段平行于平面0147=--+z y x ，求B 点的z 坐标.

解： Θ }5,2,3{z +-= 而平行于0147=--+z y x 由题3知：0)5(427)3(=+-⨯+⨯-z 从而18=z .

5. 求下列平面的一般方程.

⑴通过点()1,1,21-M 和()1,2,32-M 且分别平行于三坐标轴的三个平面; ⑵过点()4,2,3-M 且在x 轴和y 轴上截距分别为2-和3-的平面; ⑶与平面0325=+-+z y x 垂直且分别通过三个坐标轴的三个平面; ⑷已知两点()()1,2,4,2,1,321--M -M ,求通过1M 且垂直于21,M M 的平面; ⑸原点O 在所求平面上的正射影为()6,9,2-P ;

⑹求过点()1,5,31-M 和()2,1,42M 且垂直于平面0138=-+-z y x 的平面.

解:平行于x 轴的平面方程为

00

1

011112

=--+-z y x .即01=-z .

同理可知平行于y 轴,z 轴的平面的方程分别为01,01=-+=-y x z . ⑵设该平面的截距式方程为

132=+-+-c z y x ,把点()4,2,3-M 代入得19

24-=c 故一般方程为02419812=+++z y x .

⑶若所求平面经过x 轴，则()0,0,0为平面内一个点,

{}2,1,5-和{}0,0,1为所求平面的方位矢量,

∴点法式方程为

00

1

215000

=----z y x ∴一般方程为02=+z y .

同理经过y 轴,z 轴的平面的一般方程分别为05,052=-=+y x z x . ⑷{}2121.3,1,1M M --=M M →

垂直于平面π,

∴该平面的法向量{}3,1,1--=→

n ,平面∂通过点()2,1,31-M , 因此平面π的点位式方程为()()()02313=--+--z y x . 化简得023=+--z y x . (5) {}.6,9,2-=→

op .1136814=++=

=→

op p

()().6,9,2cos ,cos ,cos 110-=∂=⋅=→

γβn p op

∴ .11

6

cos ,119cos ,112cos -===

∂γβ 则该平面的法式方程为:.01111

6

119112=--+z y x

既 .0121692=--+z y x

（6）平面0138=-+-z y x 的法向量为{}3,8,1-=→

n ，{}1,6,121=M M ，点从()2,1,4

写出平面的点位式方程为

01

6

1

381214

=----z y x ，则,261

63

8-=-=A

74282426,141

131,21

113-=++⨯-===

==

D C B ，

则一般方程,0=+++D Cz By Ax 即：.037713=---z y x 6．将下列平面的一般方程化为法式方程。

()()()().07444.023.012.0352.1=+-=+=+-=-+-z y x x y x z y x

解：.3-=D Θ