第四章 物体的重心与形心
建筑力学课程教学大纲
《建筑力学》课程教学大纲一、本课程的地位、作用和任务《建筑力学》是水利水电建筑工程专业的一门重要的专业基础课，在本专业中起着承上启下的作用，为后续课程打基础。
《建筑力学》的任务是：教授学生掌握物体受力分析与静力平衡问题的求解方法；杆件及结构内力与变形的分析方法；关于构件的强度、刚度与稳定性的计算及构件应力、应变的方法。
通过本课程的学习，要求学生具备对常见结构、构件进行受力分析、内力与变形计算的能力，并初步具备对结构的实验分析能力。
二、教学内容和教学要求第一章绪论1、教学内容建筑力学的研究对象、研究方法、主要内容。
2、教学要求了解建筑力学课程的性质、地位和作用，了解建筑力学各部分的内容、了解建筑力学的学习方法。
第一篇、静力学第二章刚体静力分析基础1、教学内容2—1 力与力偶1）力的概念和性质2）力对点之矩3）力偶的概念和性质2—2 约束与约束反力1）约束与约束反力的概念2）工程中常见的约束与约束反力2—3 受力分析与受力图2、教学要求（1）理解力、力对点的矩、平面力偶的概念及静力学的四个公理，合力矩定理、刚体的概念；掌握平面力偶系合成的计算。
（2）了解约束的概念及荷载的分类；了解作用在构件上荷载的计算方法；掌握常见工程中的约束类型及其约束反力的确定；第三章平面力系1、教学内容3—1 平面力系向一点的简化1）力的平移定理2）平面力系向一点的简化3）力在坐标轴上的投影主矢与主矩的计算4）平面力系向一点简化结果的进一步分析3—2 平衡方程及其应用1）平面一般力系的平衡条件和平衡方程2）平面力系的几种特殊情形3）静定与超静定问题4）物体系的平衡问题2、教学要求（1）了解力的平移定理的内容；掌握力在坐标轴上的投影的概念及计算，掌握合力的投影定理；（2）理解平面一般力系的概念；了解平面一般力系向一点简化和简化结果分析。
（3）掌握平面一般力系、平面汇交力系、平面平行力系及平面力偶系的平衡方程及其应用，重点掌握常见物体支座反力的求法。
物体的重心及形心教案
解： xC =0
y
10 10
5 2.5
2.5
=4.75cm
着重说明 组合法求 形心位置
说明：1、辅助坐标的建立 2、负面积法
例 2、求图示 T 形形心的位置。
解： xC =0
yc
10 60 5 40 20 30 10 6 40 20
19.3cm
10 60 0 40 20 25 yc 10 60 40 20 14.3cm
yc
40 20 20 6010 45 10 60 40 20
30.7cm
zc
FGi zi FG
FGi zi FGi
物体连同坐标轴转 90 度，而使坐标面 oxz 成为水平面，由重心的概念
知，此物体重心的位置不变，再对 x 轴应用合力矩定理求 Zc。
体积为 V。假想把物体分割成许多微小体积ΔVi，每个微小体积所受的
重力为ΔFGi=γΔVi，其作用点坐标为（xi，yi，zi）。整个物体所受的重力
点上；
（3）中心对称的简单物体及图形，其对称中心便是重心或形心。
2、积分法
若将平面图形分割成无穷多个微分面积 dA ，在极限情况下用积分公式
3、组合法
工程实际中，有些物体的截面是由若干个简单图形组成的，这种图形
称为组合图形，这些截面称为组合截面。由于简单图形的面积及形心一般 是已知的，因此计算组合截面的形心时可以利用这些已知结果。
为 FG=∑△FGi。应用合力矩定理可以推导出物体重心的近似公式
2、均质物体重心（形心）坐标公式
对于均质物体（常把同一材料制成的物体称为均质物体），其容重γ为
常量（物体每单位体积的重量），各微小部分的体积为 V1 V2 Vn ， 整个物体的体积为V
大学工程力学重点知识点总结—期末考试、考研必备!!
工程力学重点总结—期末考试、考研必备！！第一章静力学的基本概念和公理受力图一、刚体P2刚体：在力的作用下不会发生形变的物体。
力的三要素：大小、方向、作用点。
平衡：物体相对于惯性参考系处于静止或作匀速直线运动。
二、静力学公理1、力的平行四边形法则：作用在物体上同一点的两个力，可以合成为仍作用于改点的一个合力，合力的大小和方向由这两个力为边构成的平行四边形的对角线矢量确定。
2、二力平衡条件：作用在同一刚体上的两个力使刚体保持平衡的必要和充分条件是：这两个力的大小相等、方向相反，并且作用在同一直线上。
3、加减平衡力系原理：作用于刚体的任何一个力系中，加上或减去任意一个平衡力系，并不改变原来力系对刚体的作用。
（1）力的可传性原理：作用在刚体上某点的力可沿其作用线移动到该刚体内的任意一点，而不改变该力对刚体的作用。
（2）三力平衡汇交定理：作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇于一点，则此三个力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点。
4、作用与反作用定律：两个物体间相互作用的力，即作用力和反作用力，总是大小相等，方向相反，作用线重合，并分别作用在两个物体上。
5、刚化原理：变形体在某一力系作用下处于平衡状态时，如假想将其刚化为刚体，则其平衡状态保持不变。
三、约束和约束反力1、柔索约束：柔索只能承受拉力，只能阻碍物体沿着柔索伸长的方向运动，故约束反力通过柔索与物体的连接点，方位沿柔索本身，指向背离物体。
2、光滑面约束：约束反力通过接触点，沿接触面在接触点的公法线，并指向物体，即约束反力为压力。
3、光滑圆柱铰链约束：①圆柱、②固定铰链、③向心轴承：通过圆孔中心或轴心，方向不定的力，可正交分解为两个方向、大小不定的力；④辊轴支座：垂直于支撑面，通过圆孔中心，方向不定。
4、链杆约束（二力杆）：工程中将仅在两端通过光滑铰链与其他物体连接，中间又不受力作用的直杆或曲杆称为连杆或二力杆，当连杆仅受两铰链的约束力作用而处于平衡时，这两个约束反力必定大小相等、方向相反、沿着两端铰链中心的连线作用，具体指向待定。
《重心和形心》课件
重心在实际生活中的应用
平衡与稳定性
在建筑、机械、交通等领域中，重心位置的计算对于保证物体的稳定性和安全性至关重要 。例如，在桥梁设计中，需要计算桥墩的重心位置，以确保桥墩心位置的计算对于分析物体的运动规律和受力情况非常重要。例 如，在研究物体的平动和转动时，需要计算物体的重心位置。
03
重心和形心都是物体质量的中心点。
重心是物体质量分布的等效点，而形心是物体几何形 状的中心点。
在形状规则、质量分布均匀的物体中，重心和形心通 常是重合的。
区别
重心是质量分布的等效点，其 位置取决于物体的质量分布， 而形心是几何形状的中心点， 其位置取决于物体的几何形状 。
重心的质量分布是均匀的，而 形心的质量分布不一定均匀。
质量分布
在生产制造和质量控制中，通过测量和计算物体的重心位置，可以了解物体的质量分布情 况，从而对产品质量进行控制和检测。例如，在制造汽车时，需要测量和计算车身的重心 位置，以确保车辆的稳定性和安全性。
03
形心
定义与性质
定义
形心是二维封闭图形或三维封闭物体 上所有点组成的集合的重心。
性质
形心是唯一的，且只与图形的形状和 大小有关，与图形的位置无关。
为什么学习重心和形心
实际应用
重心和形心在日常生活和工程中有着 广泛的应用，例如建筑结构的稳定性 分析、物体的平衡和稳定性研究等。
理论意义
重心和形心是数学中重要的概念，对 于理解力学、几何学等领域的基础理 论具有重要意义。
02
重心
定义与性质
定义
物体的重心是物体各部分所受重力的合力的作用点。在质量分布均匀、形状规 则的物体中，重心就是其几何中心。
结构分析
在建筑和机械设计中，形心对 于分析结构的强度、刚度和稳 定性非常重要。例如，在分析 梁的弯曲时，需要考虑梁的形 心位置和截面的惯性矩。
形心重心的理论计算公式
形心重心的理论计算公式式中V=∑Vi。
在均质重力场中，均质物体的重心、质心和形心的位置重合。
五、均质等厚薄板的重心（平面组合图形形心）公式：令式中的∑A i.x i＝A.x c＝S y；∑A i.y i＝A.y c＝S x则S y、S x分别称为平面图形对y轴和x轴的静矩或截面一次矩。
六、物体重心位置的求法工程中，几种常见的求物体重心的方法简介如下：1、对称法凡是具有对称面、对称轴或对称中心的简单形状的均质物体，其重心一定在它的对称面、对称轴和对称中心上。
对称法求重心的应用见下图。
2、试验法对于形状复杂，不便于利用公式计算的物体，常用试验法确定其重心位置，常用的试验法有悬挂法和称重法。
（1）、悬挂法利用二力平衡公理，将物体用绳悬挂两次，重心必定在两次绳延长线的交点上。
悬挂法确定物体的重心方法见图(2）、称重法对于体积庞大或形状复杂的零件以及由许多构件所组成的机械，常用称重法来测定其重心的位置。
例如，用称重法来测定连杆重心位置。
如图。
设连杆的重力为G ,重心C点与连杆左端的点相距为Xc，量出两支点的距离L，由磅秤读出B端的约束力F B,则由∑M A(F)=0 F B.L－G.x c＝0x c＝F B.L/G(3)、分割法：工程中的零部件往往是由几个简单基本图形组合而成的，在计算它们的形心时，可先将其分割为几块基本图形，利用查表法查出每块图形的形心位置与面积，然后利用形心计算公式求出整体的形心位置。
此法称为分割法。
下面是平面图形的形心坐标公式：(4)、负面积法：仍然用分割法的公式，只不过去掉部分的面积用负值。
3、查表法在工程手册中，可以查出常用的基本几何形体的形心位置计算公式。
下面列出了几个常用的图形的形心位置计算公式和面积公式。
四、求平面图形的形心举例例1 热轧不等边角钢的横截面近似简化图形如图所示，求该截面形心的位置。
解:方法一（分割法）：根据图形的组合情况，可将该截面分割成两个矩形Ⅰ，Ⅱ，C1和C2分别为两个矩形的形心。
数学重心知识点总结
数学重心知识点总结`本文将围绕数学中的重心概念展开，讨论其在不同领域的应用以及相关的重要知识点。
`1. 重心的概念重心是物体均匀分布质量时的中心点，也是物体受到重力作用时所受合力的作用点。
在数学中，重心也被用来描述几何图形和空间图形的平衡点或中心位置。
重心的位置可以通过重心定理、积分法、向量法等进行计算。
2. 几何图形的重心在平面几何中，不同形状的图形具有不同的重心计算方法。
常见的几何图形包括三角形、四边形、圆等。
三角形的重心位于三条中线的交点处，可以通过中线长的平方和的三倍的和来确定。
四边形的重心位于对角线的交点处，可以通过对角线的中点来确定。
圆的重心位于圆心的位置，其坐标可以通过圆心坐标来确定。
3. 空间图形的重心在空间几何中，立体图形的重心计算较为复杂。
常见的空间图形包括球体、长方体、圆柱体、圆锥体等。
球体的重心位于球心的位置，可以通过球心坐标来确定。
长方体的重心位于中心位置，可以通过长方体的对称性来确定。
其他复杂的空间图形的重心计算通常需要利用积分法或向量法来进行。
4. 重心在力学中的应用重心在力学中具有重要的应用价值。
对于刚体平衡问题，重心是刚体平衡的关键要素。
当刚体受到外力作用时，重心位置的改变会影响刚体的平衡状态。
在飞行器、汽车、船舶等工程领域，重心的位置设计对于整个系统的稳定性至关重要。
5. 重心在航空航天工程中的应用在航空航天工程中，对于飞行器的设计和控制来说，重心的位置是至关重要的。
飞行器的重心位置直接影响其飞行动力学性能和操纵稳定性。
一般来说，飞行器的重心位置应该在飞行器整体几何形状的中心位置，以确保其飞行稳定性和操纵性能。
6. 重心在建筑工程中的应用在建筑工程中，重心的位置也是一个重要考虑因素。
建筑物的重心位置对其整体结构的稳定性和安全性有着直接影响。
在建筑设计中，需要考虑建筑物整体结构的重心位置，以确保建筑物能够承受外部引力和自重的作用，并保持稳定。
7. 重心在船舶工程中的应用在船舶工程中，船舶的重心位置直接影响其稳定性和操纵性能。
(完整版)第四章物体的重心与形心
制作 郭智勇
第四章 物体的重心与形心
第一节 重心的概念及其坐标
一、重心的概念
重力的作用点称为物体的重心。 无论物体怎样放置，重心相对于物体的位置都是固定不变的。 二、重心的坐标公式 确定重心的方法有两种：1、为实验法，2、为微分法 对于对称的物体其重心在其对称轴上。 实验法确定物体重心的方法为悬挂法。
制作：郭智勇
z
O
x
yi
yc
对于均质物体
Mi △Vi
Pi
C
zi
P
zc
xi xc
物体重心的坐标为
xc
Pi xi P
yc
Pi yi P
y
zc
Pi zi P
对于连续物体
xc
Vi xi V
yc
Vi yi V
zc
Vi zi V
xc
xdV
V
yc
ydV V
zc
zdV
V
重心的坐标公式
5
例3 求图示T形截面形心位置。
解：取参考坐标轴y、z,由对称图形, z c=0。
分解图形为１、２两个矩形，则
A1 0.072 m2, y1 2.46m;
A2 0.48m2 , y2 1.2m;
yc
A1 y1 A2 y2 A1 A2
0.072 2.46 0.481.2 1.36m; 0.072 0.48
例1 试确定下图的形心坐标。解 ： 1.用分割法求解，图形分割
10
及坐标如图(a)
120 10
y
C2
C1 80
C1(0,0) C2(-35,60)
x
xi Ai
x 1
形心、质心与重心
1、形心
形心是几何构形的中心，没有物理含义，是对几何构形上所有点的位置的一种等
效，设形心位置为c r r ，则计算公式如下
c rdv r V =⎰
r r 或i
ci x dv x V
=⎰
2、质心
质心是用来等效物体质量分布的一个几何点，由计算物体动量引出，这里假设物体密度为常数
m m d d d vdv rdv m r V r dt dt dt
ρρρ====⎰⎰p r r r r m rdv r V ⇒=⎰r r 或i mi x dv x V
=⎰ 可见，当物体质量分布均匀时质心与形心重合。
若物体密度并非常数，则 m rdv r dv
ρρ⇒=⎰⎰r r 3、重心
重心是用来等效物体重力作用的一个几何点，由计算物体对坐标原点的重力矩引出，这里假设物体密度为常数
()o g g g g M g r i dv g rdv i gVr i ρρρ=⨯=⨯=⨯⎰⎰r r r r r r
g rdv r V ⇒=⎰r r
可见在重力场中，对于质量分布均匀的物体，重心、质心、形心三者重合。
重心
三者定义1、重心：物体的重力的合力作用点称为物体的重心。
(与组成该物体的物质有关)重心只在重力场中才有意义，一旦物体离开重力场，重心就没有任何意义；而质心是反映质点系质量分布情况的一个几何点，它与作用力无关，无论质点系是否在重力场中，质心总是存在的。
在重力场中，物体的重心和质心的位置是重合的。
2、质心：指物质系统上被认为质量集中于此的一个假想点。
与重心不同的是，质心不一定要在有重力场的系统中。
值得注意的是，除非重力场是均匀的，否则同一物质系统的质心与重心不通常在同一假想点上。
说明白一点,质心就是物体质量集中的假想点(对于规则形状物体就是它的几何中心),重心就是重力的作用点,通常情况下,由于普通物体的体积比之于地球十分微小,所以物体所处的重力场可看作是均匀的,此时质心与重心重合;如果该物体的体积比之于地球不可忽略(例如一个放在地面上半径为3000km的球体),则该球体所处的重力场就不均匀了,具体说是由下自上重力场逐渐减小,此时重力的作用点靠下,也就是重心低于质心. 如果物体所处的位置不存在重力场(如外太空),则物体就无所谓重心了,但由于质量仍然存在,所以质心仍然存在。
质心和重心的关系就好象质量与重量的关系3、形心：物体的几何中心。
(只与物体的几何形状和尺寸有关，与组成该物体的物质无关)。
一般情况下重心和形心是不重合的，只有物体是由同一种均质材料构成时，重心和形心才重合。
当截面具有两个对称轴时，二者的交点就是该截面的形心。
据此，可以很方便的确定圆形、圆环形、正方形的形心；只有一个对称轴的截面，其形心一定在其对称轴上，具体在对称轴上的哪一点，则需计算才能确定。
对于一些常见的简单图形，如圆形、矩形、三角形、正方形等，其形心都是熟知的，利用这些简单图形的形心，由叠加法即可确定由这些简单图形组成的组合图形的形心。
重心重心在工程中具有重要的意义。
例如，水坝的重心位置关系到坝体在水压力作用下能否维持平衡；飞机的重心位置设计不当就不能安全稳定地飞行；构件截面的重心（形心）位置将影响构件在载荷作用下的内力分布规律，与构件受力后能否安全工作有着紧密的联系。
机械结构设计课程教学大纲
《机械结构设计》课程教学大纲执笔人：陈建毅编撰日期：2009年8月30日一、课程概述《机械结构设计》是工业设计专业的职业核心课程〔属于B类〕，它包括理论力学、材料力学和机械设计根底三局部内容。
计划时数为68学时，本课程4学分。
通过本课程的学习，使学生掌握工程力学和机械设计有关的根本概念、根本理论和根本方法。
会对物体进展正确的受力分析，会分析计算一些简单力学问题。
培养学生对工程设计中的强度、刚度和稳定性问题有明确的根本概念，必要的根底知识和比拟熟练的计算能力、分析能力和初步的实验分析能力。
使学生学会应用工程力学的根本理论和方法分析与解决机械工程中的一些简单实际问题。
掌握一般机械中常用机构和通用零件的工作原理、性能特点，与其使用、维护的根底知识。
掌握常用机构的根本理论和设计方法，常用零部件失效形式、设计准那么和设计方法。
在本课程的学习，注意培养学生正确的设计思想和严谨的工作作风。
教学对象：工业设计专业大二上学期的高职学生。
二、教学内容描述教学内容分成两个模块：工程力学根底和机械设计根底。
工程力学主要内容分为静力分析和强度分析；机械设计根底分为机械零件根底、常用机构、机械传动根底。
第一篇工程力学根底第一章工程力学的根本概念教学内容：第一节工程力学与工业设计第二节工程力学的研究对象与根本内容第三节工程力学的根本概念第四节静力学公理第五节约束与约束反力第六节别离体与受力图教学要求：了解力与力系的根本概念，掌握静力学的根本公理和各种常见约束的性质，对简单的物体系统，能熟练地取别离体，画受力图。
第二章构件与产品的静力分析教学内容：第一节平面力系的简化与合成第二节平面力系平衡问题的求解第三节空间力系简介超静定的概念第四节物体的重心和平面图形的形心第五节摩擦与摩擦力第六节功与功率教学要求：掌握平面汇交力系的简化和平面简单力系的平衡条件。
理解力、力矩、力偶、力偶矩等根本概念和性质，能熟练计算力的投影和力矩。
掌握平面任意力系的平衡条件，能熟练应用各种形式的平衡方程求解单个物体和简单物体系统的平衡问题。
第4章 空间力系
Ai
A1 + A2
yC =
yi Ai = A1 y1 + A2 y2 = 25.37mm
Ai
A1 + A2
(2)负面积法
将该图形看成是一个大矩形I减去一个小矩
形II。它们的形心位置分别为C 1(xl，yl)、 C2 (x2，y2)。其面积分别为A1和A2。根据图 形分析可知，
x1=20mm ， y1=30mm ， A1=40 × 60=2400mm2
M z (F ) = M O (Fxy ) = Fxyd
结论：力对某轴之矩是力使物体绕该轴 转动效应的度量，其大小等于力对垂直 于某轴平面内力对O点（即某轴在该面 的投影点）之矩。
力对轴之矩的符号规定：
空间力系合力矩定理：
M FR = M F1 + M F2 + + M Fn
= M Байду номын сангаасi
x2=30mm ， y2=38mm ， A2=20 × 44=880mm2
则有：
xC =
xi Ai = A1x1 A2x2 = 14.21mm
Ai
A1 A2
yC =
yi Ai = A1 y1 A2 y2 = 25.37mm
Ai
A1 A2
习题参考解答或提示
二次投影法
力F 在三个轴上的投影分别为
Fx = F sin γcos φ Fy = F sin γsin φ Fz = F cos γ
F = Fx2 + Fy2 + Fz2
cosa = Fx F cos b = Fy F cos g = Fz F
§4－2 力对轴之矩
力对轴之矩（N·m）：度量力使物体绕轴的转动效应
物理 形心和重心
Байду номын сангаас三角形的形心
三角形的形心是在中线的交叉点。连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线 来试试移动点 A、B 或 C：
环面 的形心是在正中心
（虽然中间是空的！）
规则 圆锥体 的形心是在 中线上离底面 ¼ 的位置
一辆车子的重心是很难找到的，我因为车子里有很多空间，同时也有很多密度不 同的零件（例如发动机和座位）。
在计算时，我们通常可以用一件物体的重心来代替它。
例子：你丢下锤子！
它可能会打转，但重心会垂直落下。 受引力影响，下落的速度也会越来越快。 （实际情况会复杂一点，因为跌得越快，空气阻力的影响也越大。）
形心是物体里所有点的平均位置。
形心
与 重心
形心
形心
用纸板切出来的平面图形可以在它的形心上平衡。
在 1918年，美国的地理中心（在堪萨斯州 Lebanon 附近）就是这样确定的。
重心
若物体的密度是均匀的，则它的重心与形心便会在同一位置。 简单立体形状的重心、质心 和 形心都在同一位置。 通常用十字或点 来作为这些点的记号，有时也用英语字母 CG 或 G
理论,力学,答案,理论力学习题答案
·36·第4章 空间力系一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”)1．力在坐标轴上的投影是代数量，而在坐标面上的投影为矢量。
( √ )2．力对轴之矩是力使刚体绕轴转动效应的度量，它等于力在垂直于该轴的平面上的分力对轴与平面的交点之矩。
( √ )3．在平面问题中，力对点之矩为代数量；在空间问题中，力对点之矩也是代数量。
( × )4．合力对任一轴之矩，等于各分力对同一轴之矩的代数和。
( √ )5．空间任意力系平衡的必要与充分条件是力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。
( √ ) 6．物体重力的合力所通过的点称为重心，物体几何形状的中心称为形心，重心与形心一定重合。
( × ) 7．计算一物体的重心，选择不同的坐标系，计算结果不同，因而说明物体的重心位置是变化的。
( × ) 8．物体的重心一定在物体上。
( × )二、填空题1．空间汇交力系共有三个独立的平衡方程，它们分别表示为0=∑xF、0=∑yF和0=∑zF 。
空间力偶系共有三个独立的平衡方程，它们分别表示为0=∑xM、0=∑yM和0=∑zM。
而空间任意力系共有六个独立的平衡方程，一般可表示为0=∑xF、0=∑yF、0=∑zF 、0)(=∑F xM 、 0)(=∑F yM 和0)(=∑F zM 。
2．由n 个力组成的空间平衡力系，如果其中的(n -1)个力相交于A 点，那么另一个力也必定通过点A 。
3．作用在同一刚体上的两个空间力偶彼此等效的条件是力偶矩矢相等。
4．空间力对一点的矩是一个矢量，而空间力对某轴的矩是一个代数量。
5．空间力F 对任一点O 之矩)(F M O 可用矢量积来表示，即F r F M ⨯=)(O 。
写成解析表达式为k j i F M )()()()(x y z x y z O yF xF xF zF zF yF -+-+-=。
6．当空间力与轴相交时，力对该轴的矩等于零。
物体形心计算公式
物体形心计算公式
物体形心的计算公式是通过数学方法来确定一个物体或形状的中心位置。
形心也被称为质心或重心，是物体或形状的平衡点。
在二维空间中，可以使用以下公式来计算物体形心的位置：
X_形心= (Σ(X_i * m_i)) / Σm_i
Y_形心= (Σ(Y_i * m_i)) / Σm_i
其中，X_形心和Y_形心分别表示物体的形心在X和Y方向上的坐标位置。
Xi 和Yi分别代表物体上各个点的X和Y坐标。
mi代表该点的质量或重量。
Σ表示对所有点进行求和操作。
在三维空间中，计算物体形心的公式为：
X_形心= (Σ(X_i * m_i)) / Σm_i
Y_形心= (Σ(Y_i * m_i)) / Σm_i
Z_形心= (Σ(Z_i * m_i)) / Σm_i
类似地，Xi、Yi和Zi分别代表物体上各点的X、Y和Z坐标，mi代表点的质量或重量，Σ为累加求和。
形心的计算公式为物体上所有点的坐标乘以其重量的累加和，再除以总重量的累加和。
通过这个计算公式，我们可以确定物体的形心位置。
形心在物理学、工程学和计算机图形学等领域中具有重要应用，例如，在机械设计中确定物体平衡点或力的作用点。
需要注意的是，当物体的密度均匀且不考虑任何外力或扭矩作用时，形心即为物体的几何中心。
但在复杂情况下，如空心物体或非均匀密度分布的物体，需要使用上述形心计算公式来准确确定形心位置。
总之，物体形心的计算公式允许我们确定物体或形状的平衡点或重心位置，是在多个领域中应用广泛的数学工具。
工程力学第5节 物体的重心
解 将偏心块挖空的圆孔 视为“负面积”，于是偏心 块的面积可以视为由半径为 R的大半圆、半径为 r1 的小 半圆和半径为 r2 的小圆（负 面积）共三部分组成。 取坐标系 Oxy，其中 Oy 轴为对称轴。根据对称 性，偏心块的形心 C 必在对称轴 Oy 上，所以有：
xC 0mm
半径为 R 的大半圆
xC
Gi xi
i 1 n
n
Gi
i 1
; yC
Gi yi
i 1 n
n
Gi
i 1
; zC
Gi zi
i 1 n
n
Gi
i 1
xC yC zC
lim Gi xi
n i 1 n
n
G lim Gi yi
n i 1 n
gxdV V V gdV gydV V V gdV gzdV V V gdV
重心的一般公式
G lim Gi zi
n i 1
G
式中 为物体的密度， g 为重力加速度， g 为单位体积所受的重力，dV 是微单元的体积。
对于匀质的物体来说， g 常数，其重心公式
重心公式 注意
xdV V xdV V xC V V dV ydV V ydV V yC V V dV zdV V zdV V A2
30 300 (225 30) 30 14850 mm
2
由组合形体的形心计算公式
xC yC
Ai xi
i 1 n
n
A
i 0
900015 5850127.5 59.3mm 14850 9000150 585015 96.8mm 14850
重心与形心
间有如下的关系：
Sx=yCA ， Sy=xCA
由上式还可以得到下面的重要结论：若某轴通过平面图形的形 心，则平面图形对该轴的静矩必为零；反之，若平面图形对某轴的 静矩为零，则该轴必通过平面图形的形心。
目录
空间力系\重心和形心
1.5 确定重心和形心位置的方法
1. 利用对称性
图所示，则zC=0， xC和yC分别为
xC
xiAi ， A
yC
yi Ai A
或
xdA
yd A
xC
Aห้องสมุดไป่ตู้
A
， yC
A
A
目录
空间力系\重心和形心
若物体为均质等截面细杆（如图）或 曲线，则其形心的坐标公式为
xC
xili ， l
yC
yili ， l
或
zC
zi li l
xdl
yd l
xC
xiVi ， V
yC
yiVi ， V
zC
ziVi V
如令各微小部分的体积趋近于零，则有
xdV
yd V
zdV
xC
V
V
，
yC
V
V
，
zC
V
V
由此可见,均质物体的重心位置完全取决于物体的几何形状而
与物体的重量无关。因此，均质物体的重心也称形心。
目录
空间力系\重心和形心
工程实际中常采用薄壳结构，例 如厂房的双曲顶壳、薄壁容器、飞机 机翼等。由于薄壳的厚度相等，并较 其他二个方向的尺寸小得多，若材料 是均质的，可以把它看成是均质曲面 如图所示，则其形心坐标公式为
第四章起重吊点的选择及物体绑扎
第四章：起重吊点的选择及物体的绑扎第一节物体重心的计算在起重作业中，设备的起重搬运吊装都需考虑到物体的重心，在吊装作业中，重心位置的不正确会造成钢丝绳受力不均，甚至设备在吊装过程中有发生倾覆的危险。
由于地球的引力，物体内部各点都要受到重力的作用；物体上各质点重力的合力，就是物体的重量，各质点重力的合力作用点就是物体的重心。
也即物体的重心是物体各部分重量的中心。
一个物体不论处在什么地方，不论放置位置如何，它的重心在物体内部的位置是不会改变的。
物体的重心可用合力矩定理求得它的坐标位置。
P59几何形状简单的物体重心位置如下：长方形物体的重心位置在其对角线的交点上；圆柱形物体的重心位置在其中间横断面的圆心上；三角形物体的重心位置在其三条中线的交点上。
对于不规则的形状的物体，可用悬挂法测定其重心的位置。
方法是用匀质薄板（纸板或薄铁板）按比例画出不规则物体的截面形状，并剪下来，如图4—1所示。
在薄板上任取一A点，用细绳悬挂起来，过A点画一垂线A A′。
之后再另选一B点，悬挂起来，过B点画一垂线BB′。
那么不规则物体的重心必然在两条垂线的交点o处。
如果物体是由两个或两个以上的基本几何图形组成，则重心的位置可根据物理关系求得，其方法是先分别求出各基本图形的重心位置，然后用静力学力矩平衡的方法求出整个物体的重心位置。
例如：试求出图4—2所示物体的重心位置（设该物体密度匀质）。
解：（1）设物体在XOY坐标系中，将其分成两个矩形Ⅰ和Ⅱ（见图4—2所示）。
求Ⅰ和Ⅱ的坐标尺寸。
矩形Ⅰ的重心C坐标尺寸为：11 1.5（m）YⅠ==1+2矩形Ⅱ的重心CⅡ坐标尺寸为：2=1（m）XⅡ=21=0.5（m）YⅡ=2矩形Ⅰ和Ⅱ的面积为：SⅠ=1×（2-1）=1（2m）SⅡ=2×1=2（2m）（3）求物体的质量设物体材料的密度为ρ，物体的厚度为δ，则矩形Ⅰ和Ⅱ的质量分别为G Ⅰ=S Ⅰδρ，G Ⅱ=S Ⅱδρ。
物体的总质量为：G= G Ⅰ+ G Ⅱ=δρ（S Ⅰ+ S Ⅱ）（4）求物体在X 、Y 坐标轴的重心位置设物体横截面重心坐标为X c 、Y c ，根据物体重力对X 、Y 轴的力矩平衡原理得：1）对X 轴：GX c -G ⅠX Ⅰ-G ⅡX Ⅱ=0X c =G X G X G 2211+=)(212211S S X S X S ++ρδδρδρ=212211S S X S X S ++=21125.01+⨯+⨯ =35.2=0.83(m) 2）对Y 轴：GY c -G ⅠY Ⅰ-G ⅡY Ⅱ=0Y c =G Y G Y G 2211+=)(212211S S Y S Y S ++ρδδρδρ=212211S S Y S Y S ++=35.025.11⨯+⨯ =35.2=0.83(m) 答：物体的坐标位置在坐标X=0.83m ，Y=0.83m 点C 上。
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xdV
V
ydV
V
zd V
V
重心的坐标公式 为确定物体重心的位置，如图取直角坐标系。将物体分成许多微小 部分，设任一微小部分的重力为G1，其作用点坐标为（x,y）则物 体的重心为
y
x
dA
x
y x Biblioteka y xx A
i
i
A yi Ai A
y
制作：郭智勇
均质物体重心的位置与物体的重量无关，完全取决于 物体的几何形状和尺寸。由物体的几何形状和尺寸所 决定的物体的几何中心，称为形心。
例2.求图示平面图形的形心.
5m
15m 5m
20m
y
解:(1)分割法
5m
取坐标如图且把平 面图形分为 A和 B两 部分. C1(2.5,7.5) C2(12.5,2.5)
o
20m C1 15m B 5m
A
C2
x
5 15 2.5 15 5 12.5 xc 7.5 5 15 15 5
x y
x A
i
i
A yi Ai A
二、组合截面的静矩与形心： 整个图形对某轴的静矩， 等于图形各部分对同轴静矩的代数和 （由静矩定义可知）
如 : A Ai
i 1
n
S x Ai yi Ay
则
i 1 n
n
S y Ai xi Ax
制作：郭智勇
z
Mi △Vi Pi C
物体重心的坐标为
xc yc
Px
i
i
O x yi yc 对于均质物体
xc yc zc
zi
P zc
P Pi yi P Pi zi P
xi
xc
y
zc
对于连续物体
i i
V x
V Vi yi V Vi zi V
xc yc zc
制作：郭智勇
悬挂法
悬挂法
只适用于很薄的物体。首先找一根细绳，在 物体上找一点，用绳悬挂，划出物体静止后的重 力线，同理再找一点悬挂，两条重力线的交点就 是物体重心。
制作：郭智勇
（1）悬挂法
根据二力平衡的原理， 第一次悬挂，确定AB线
根据二力平衡的原理， 第二次悬挂，确定DE线
AB线与CD线的交点C即为物体的重心位置。
5 15 7.5 15 5 2.5 yc 5 5 15 15 5
y
(2)负面积法
5m
取坐标如图.使平面 图形组合成矩形A. C1(10,7.5) 以及负面积的矩形B. C2(12.5,10)
o
20m C2 B
A
C1 5m
x
20 15 10 15 10 12.5 xc 7.5 20 15 15 10
工程力学
制作 郭智勇
第四章 物体的重心与形心
第一节 重心的概念及其坐标
一、重心的概念
重力的作用点称为物体的重心。
无论物体怎样放置，重心相对于物体的位置都是固定不变的。 二、重心的坐标公式 确定重心的方法有两种：1、为实验法，2、为微分法 对于对称的物体其重心在其对称轴上。 实验法确定物体重心的方法为悬挂法。
对均质物体来说形心和重心是重合的。非均质物体的 重心和形心一般是不重合的。
通过平面图形形心的坐标轴称为形心轴。
制作：郭智勇
第二节 确定物体重心和形心位置的方法
一、分割法 基本的形体的形心可用微分法来确定，也可从有关设计手册中查的，表4-1 给出了常用简单形状的均质物体的重心位置。 有些复杂的形体是由几个简单形体组合而成的，称为组合形体。 对于平面组合图形，可将其分割为几个简单的规则图形，然后由公 式求出其形心坐标公式为
i 1
∴
制作：郭智勇
x y
x A
i
i
A yi Ai A
例1 试确定下图的形心坐标。 解 ： 1.用分割法求解，图形分割
10
及坐标如图(a)
y
120
C2
C1(0,0) C2(-35,60)
x
xA
i
i
A
x1 A1 x 2 A2 A1 A2
C1
80
下一张 上一张
课后习题：
4-1
x
xA
i
i
A
x1 A1 x 2 A2 A1 A2
yA y
i
i
A
y 1 A1 y 2 A2 A1 A2
20 15 7.5 15 10 10 yc 5 20 15 15 10
例3 求图示T形截面形心位置。
解：取参考坐标轴y、z,由对称图形, z c=0。
分解图形为１、２两个矩形，则
A1 0.072m2 , y1 2.46m;
0.12m
0.6m y
A2 0.48m , y2 1.2m;
x A x A x x
i i
1
1
2
A2
A
A1 A2
x
5 (70 110 ) 20.3 120 80 70 110
图(b)
5 (70 110 ) y 20.3 120 80 70 110
验证：34.7 + 20.3 + 5 = 60
计算物体形心的方法:分割法和负面积法
2
1
C1
c 3 y1
2.4m
A1 y1 A2 y2 yc A1 A2
0.072 2.46 0.48 1.2 1.36 m; 0.072 0.48
2
yo
yc'
C2
y2
y1
z'
若分解为１、２、３三个矩形，则
y 'c
制作：郭智勇
0.2m
z
0.6 2.52 (1.26 1.2) 0.16 m; 0.6 2.52 2 0.2 2.4
10
3510110 20.3 101108010
yA y
i
x
i
A
y 1 A1 y 2 A2
图(a)
A1 A2 60 10 110 34.7 10 110 80 10
y
2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)
C1（0,0） C2（5,5）
负面积 C2 C1