(完整版)第四章物体的重心与形心
建筑力学课程教学大纲
《建筑力学》课程教学大纲一、本课程的地位、作用和任务《建筑力学》是水利水电建筑工程专业的一门重要的专业基础课，在本专业中起着承上启下的作用，为后续课程打基础。
《建筑力学》的任务是：教授学生掌握物体受力分析与静力平衡问题的求解方法；杆件及结构内力与变形的分析方法；关于构件的强度、刚度与稳定性的计算及构件应力、应变的方法。
通过本课程的学习，要求学生具备对常见结构、构件进行受力分析、内力与变形计算的能力，并初步具备对结构的实验分析能力。
二、教学内容和教学要求第一章绪论1、教学内容建筑力学的研究对象、研究方法、主要内容。
2、教学要求了解建筑力学课程的性质、地位和作用，了解建筑力学各部分的内容、了解建筑力学的学习方法。
第一篇、静力学第二章刚体静力分析基础1、教学内容2—1 力与力偶1）力的概念和性质2）力对点之矩3）力偶的概念和性质2—2 约束与约束反力1）约束与约束反力的概念2）工程中常见的约束与约束反力2—3 受力分析与受力图2、教学要求（1）理解力、力对点的矩、平面力偶的概念及静力学的四个公理，合力矩定理、刚体的概念；掌握平面力偶系合成的计算。
（2）了解约束的概念及荷载的分类；了解作用在构件上荷载的计算方法；掌握常见工程中的约束类型及其约束反力的确定；第三章平面力系1、教学内容3—1 平面力系向一点的简化1）力的平移定理2）平面力系向一点的简化3）力在坐标轴上的投影主矢与主矩的计算4）平面力系向一点简化结果的进一步分析3—2 平衡方程及其应用1）平面一般力系的平衡条件和平衡方程2）平面力系的几种特殊情形3）静定与超静定问题4）物体系的平衡问题2、教学要求（1）了解力的平移定理的内容；掌握力在坐标轴上的投影的概念及计算，掌握合力的投影定理；（2）理解平面一般力系的概念；了解平面一般力系向一点简化和简化结果分析。
（3）掌握平面一般力系、平面汇交力系、平面平行力系及平面力偶系的平衡方程及其应用，重点掌握常见物体支座反力的求法。
物体的重心及形心教案
解： xC =0
y
10 10
5 2.5
2.5
=4.75cm
着重说明 组合法求 形心位置
说明：1、辅助坐标的建立 2、负面积法
例 2、求图示 T 形形心的位置。
解： xC =0
yc
10 60 5 40 20 30 10 6 40 20
19.3cm
10 60 0 40 20 25 yc 10 60 40 20 14.3cm
yc
40 20 20 6010 45 10 60 40 20
30.7cm
zc
FGi zi FG
FGi zi FGi
物体连同坐标轴转 90 度，而使坐标面 oxz 成为水平面，由重心的概念
知，此物体重心的位置不变，再对 x 轴应用合力矩定理求 Zc。
体积为 V。假想把物体分割成许多微小体积ΔVi，每个微小体积所受的
重力为ΔFGi=γΔVi，其作用点坐标为（xi，yi，zi）。整个物体所受的重力
点上；
（3）中心对称的简单物体及图形，其对称中心便是重心或形心。
2、积分法
若将平面图形分割成无穷多个微分面积 dA ，在极限情况下用积分公式
3、组合法
工程实际中，有些物体的截面是由若干个简单图形组成的，这种图形
称为组合图形，这些截面称为组合截面。由于简单图形的面积及形心一般 是已知的，因此计算组合截面的形心时可以利用这些已知结果。
为 FG=∑△FGi。应用合力矩定理可以推导出物体重心的近似公式
2、均质物体重心（形心）坐标公式
对于均质物体（常把同一材料制成的物体称为均质物体），其容重γ为
常量（物体每单位体积的重量），各微小部分的体积为 V1 V2 Vn ， 整个物体的体积为V
工程力学第四章 重心及截面的几何性质
yC
Wi yi W
zC
Wi zi W
二、均质物体的重心公式 若单位体积的重量γ=常量。以ΔVi表示微小部分Mi的体积，
以V=∑ΔVi表示整个物体的体积，则有 Wi Vi 和W V ，
代入重心公式得：
xC
Vi xi
V
yC
Vi
V
xC
FN Bl W
第二节 截面的几何性质
一、静矩
Sx
ydA
A
,
Sy
xdA
A
静矩可正，可负，可为零，具有长度的三次方量纲。
设该平面图形的形心C的坐标为xC 、yC ，
xc
xdA
A
Sy
AA
,
yc
A ydA S x AA
S x yC A , S y xC A
20
解：（一）组合法 取Oxy坐标系如图所示。
1
单位:mm
2
100
A1 (120 20) 20 2000 mm 2
x1 10 mm
y1
20
120 2
20
70 mm
A2 100 20 2000mm2
x2 50mm y2 10mm
120 20
xC
Ai xi A
第四章
重心及平面图形的几何性质
第一节 第二节
物体重心坐标公式
平面图形的几何性质
本章重点：
计算均质物体的重心坐标。
第一节 重心
重心：物体重力合力的作用点。重心相对于刚体的位置固定不变。
大学工程力学重点知识点总结—期末考试、考研必备!!
工程力学重点总结—期末考试、考研必备！！第一章静力学的基本概念和公理受力图一、刚体P2刚体：在力的作用下不会发生形变的物体。
力的三要素：大小、方向、作用点。
平衡：物体相对于惯性参考系处于静止或作匀速直线运动。
二、静力学公理1、力的平行四边形法则：作用在物体上同一点的两个力，可以合成为仍作用于改点的一个合力，合力的大小和方向由这两个力为边构成的平行四边形的对角线矢量确定。
2、二力平衡条件：作用在同一刚体上的两个力使刚体保持平衡的必要和充分条件是：这两个力的大小相等、方向相反，并且作用在同一直线上。
3、加减平衡力系原理：作用于刚体的任何一个力系中，加上或减去任意一个平衡力系，并不改变原来力系对刚体的作用。
（1）力的可传性原理：作用在刚体上某点的力可沿其作用线移动到该刚体内的任意一点，而不改变该力对刚体的作用。
（2）三力平衡汇交定理：作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇于一点，则此三个力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点。
4、作用与反作用定律：两个物体间相互作用的力，即作用力和反作用力，总是大小相等，方向相反，作用线重合，并分别作用在两个物体上。
5、刚化原理：变形体在某一力系作用下处于平衡状态时，如假想将其刚化为刚体，则其平衡状态保持不变。
三、约束和约束反力1、柔索约束：柔索只能承受拉力，只能阻碍物体沿着柔索伸长的方向运动，故约束反力通过柔索与物体的连接点，方位沿柔索本身，指向背离物体。
2、光滑面约束：约束反力通过接触点，沿接触面在接触点的公法线，并指向物体，即约束反力为压力。
3、光滑圆柱铰链约束：①圆柱、②固定铰链、③向心轴承：通过圆孔中心或轴心，方向不定的力，可正交分解为两个方向、大小不定的力；④辊轴支座：垂直于支撑面，通过圆孔中心，方向不定。
4、链杆约束（二力杆）：工程中将仅在两端通过光滑铰链与其他物体连接，中间又不受力作用的直杆或曲杆称为连杆或二力杆，当连杆仅受两铰链的约束力作用而处于平衡时，这两个约束反力必定大小相等、方向相反、沿着两端铰链中心的连线作用，具体指向待定。
《重心和形心》课件
重心在实际生活中的应用
平衡与稳定性
在建筑、机械、交通等领域中，重心位置的计算对于保证物体的稳定性和安全性至关重要 。例如，在桥梁设计中，需要计算桥墩的重心位置，以确保桥墩心位置的计算对于分析物体的运动规律和受力情况非常重要。例 如，在研究物体的平动和转动时，需要计算物体的重心位置。
03
重心和形心都是物体质量的中心点。
重心是物体质量分布的等效点，而形心是物体几何形 状的中心点。
在形状规则、质量分布均匀的物体中，重心和形心通 常是重合的。
区别
重心是质量分布的等效点，其 位置取决于物体的质量分布， 而形心是几何形状的中心点， 其位置取决于物体的几何形状 。
重心的质量分布是均匀的，而 形心的质量分布不一定均匀。
质量分布
在生产制造和质量控制中，通过测量和计算物体的重心位置，可以了解物体的质量分布情 况，从而对产品质量进行控制和检测。例如，在制造汽车时，需要测量和计算车身的重心 位置，以确保车辆的稳定性和安全性。
03
形心
定义与性质
定义
形心是二维封闭图形或三维封闭物体 上所有点组成的集合的重心。
性质
形心是唯一的，且只与图形的形状和 大小有关，与图形的位置无关。
为什么学习重心和形心
实际应用
重心和形心在日常生活和工程中有着 广泛的应用，例如建筑结构的稳定性 分析、物体的平衡和稳定性研究等。
理论意义
重心和形心是数学中重要的概念，对 于理解力学、几何学等领域的基础理 论具有重要意义。
02
重心
定义与性质
定义
物体的重心是物体各部分所受重力的合力的作用点。在质量分布均匀、形状规 则的物体中，重心就是其几何中心。
结构分析
在建筑和机械设计中，形心对 于分析结构的强度、刚度和稳 定性非常重要。例如，在分析 梁的弯曲时，需要考虑梁的形 心位置和截面的惯性矩。
《重心和形心》课件
在这份PPT课件中，我们将探讨重心和形心的概念、计算方法以及应用。这 两个概念不仅在物理领域中扮演关键角色，也在各个设计和优化领域中发挥 作用。
什么是重心和形心？
1 重心
物体所受重力的集中点，也是物体平衡的关键点。
2 形心
物体所有小部分形状、质量加权后得到的点，也是物体对应的简化物体的重心。
形心
• 物体质心位移估计 • 物流、仓储布局优化 • 结构设计优化
总结
1 重心和形心的重要
性
重心和形心都是描述物 体重量分布的重要点。
2 计算重心和形心要
考虑的因素
计算重心和形心需要应用
范围
重心和形心的应用涉及 到各个领域的设计和优 化。
如何计算重心和形心？
1 重心
2 形心
若物体均匀，则重心位于物体中心。若物 体不均匀，则可以通过挂钟实验或测量法 计算重心位置。
若物体有规则形状，则可以使用公式计算 形心位置。若物体没有规则形状，则可以 通过分割成若干个规则形状再计算每个形 状的形心位置后加权平均得到。
重心和形心的应用
重心
• 汽车平衡设计 • 物体挂钩位置确定 • 反击点位置确定
重心
三者定义1、重心：物体的重力的合力作用点称为物体的重心。
(与组成该物体的物质有关)重心只在重力场中才有意义，一旦物体离开重力场，重心就没有任何意义；而质心是反映质点系质量分布情况的一个几何点，它与作用力无关，无论质点系是否在重力场中，质心总是存在的。
在重力场中，物体的重心和质心的位置是重合的。
2、质心：指物质系统上被认为质量集中于此的一个假想点。
与重心不同的是，质心不一定要在有重力场的系统中。
值得注意的是，除非重力场是均匀的，否则同一物质系统的质心与重心不通常在同一假想点上。
说明白一点,质心就是物体质量集中的假想点(对于规则形状物体就是它的几何中心),重心就是重力的作用点,通常情况下,由于普通物体的体积比之于地球十分微小,所以物体所处的重力场可看作是均匀的,此时质心与重心重合;如果该物体的体积比之于地球不可忽略(例如一个放在地面上半径为3000km的球体),则该球体所处的重力场就不均匀了,具体说是由下自上重力场逐渐减小,此时重力的作用点靠下,也就是重心低于质心. 如果物体所处的位置不存在重力场(如外太空),则物体就无所谓重心了,但由于质量仍然存在,所以质心仍然存在。
质心和重心的关系就好象质量与重量的关系3、形心：物体的几何中心。
(只与物体的几何形状和尺寸有关，与组成该物体的物质无关)。
一般情况下重心和形心是不重合的，只有物体是由同一种均质材料构成时，重心和形心才重合。
当截面具有两个对称轴时，二者的交点就是该截面的形心。
据此，可以很方便的确定圆形、圆环形、正方形的形心；只有一个对称轴的截面，其形心一定在其对称轴上，具体在对称轴上的哪一点，则需计算才能确定。
对于一些常见的简单图形，如圆形、矩形、三角形、正方形等，其形心都是熟知的，利用这些简单图形的形心，由叠加法即可确定由这些简单图形组成的组合图形的形心。
重心重心在工程中具有重要的意义。
例如，水坝的重心位置关系到坝体在水压力作用下能否维持平衡；飞机的重心位置设计不当就不能安全稳定地飞行；构件截面的重心（形心）位置将影响构件在载荷作用下的内力分布规律，与构件受力后能否安全工作有着紧密的联系。
第4章 空间力系
Ai
A1 + A2
yC =
yi Ai = A1 y1 + A2 y2 = 25.37mm
Ai
A1 + A2
(2)负面积法
将该图形看成是一个大矩形I减去一个小矩
形II。它们的形心位置分别为C 1(xl，yl)、 C2 (x2，y2)。其面积分别为A1和A2。根据图 形分析可知，
x1=20mm ， y1=30mm ， A1=40 × 60=2400mm2
M z (F ) = M O (Fxy ) = Fxyd
结论：力对某轴之矩是力使物体绕该轴 转动效应的度量，其大小等于力对垂直 于某轴平面内力对O点（即某轴在该面 的投影点）之矩。
力对轴之矩的符号规定：
空间力系合力矩定理：
M FR = M F1 + M F2 + + M Fn
= M Байду номын сангаасi
x2=30mm ， y2=38mm ， A2=20 × 44=880mm2
则有：
xC =
xi Ai = A1x1 A2x2 = 14.21mm
Ai
A1 A2
yC =
yi Ai = A1 y1 A2 y2 = 25.37mm
Ai
A1 A2
习题参考解答或提示
二次投影法
力F 在三个轴上的投影分别为
Fx = F sin γcos φ Fy = F sin γsin φ Fz = F cos γ
F = Fx2 + Fy2 + Fz2
cosa = Fx F cos b = Fy F cos g = Fz F
§4－2 力对轴之矩
力对轴之矩（N·m）：度量力使物体绕轴的转动效应
重心及截面的几何性质-工程力学-课件-附录
C
形心 x
反之，若图形对某轴静矩为零，该轴一定过形心。 2、平面图形若有对称轴，则形心在对称轴上。 （因为图形关于对称轴的静矩为 0。）
O
5
三、组合图形（组合截面）的静矩与形心
1．组合图形： 由简单图形(矩形、圆形等）组合而成的图形。
2．组合图形的静矩： 组合图形由A1、A2、An组成，其形心分别为（xC1，yC1） （xC2，yC2） （xCn，yCn）。
A A1 A2 An
i 1
n
组合截面的惯性矩等于各个组成部分（简单图形）对同一轴的 惯性矩之和。 对于任意截面，都可以利用积分求惯性矩。但计算繁琐。 由于组合截面由几个简单图形组成，如矩形，圆形。而矩形、 圆形关于自身对称轴的惯性矩已有现成公式，可以在此基础上用平 行移轴定理很方便的求出组合截面的惯性矩。
1
附录：重心及截面的几何性质
z C
§1
C2 C1 ∆W2 Ci ∆Wi W zC yC xC zi xi
重心•形心•静矩
利用合力矩定理： M y (W ) M y ( Wi ) W xC W i x i
∆W1
y
W 若物体在xi、yi、zi处单位体积的重
量为 ，称为重度。 ∆Wi=dVi
xc
x W
i
i
x
yi
xc
对于均质物体 为常量：
V
x dV
V
dV
yc
V
y dV
V
dV
y dV V
zc
V
z dV
V
dV
xc
x dV
工程力学第5节 物体的重心
解 将偏心块挖空的圆孔 视为“负面积”，于是偏心 块的面积可以视为由半径为 R的大半圆、半径为 r1 的小 半圆和半径为 r2 的小圆（负 面积）共三部分组成。 取坐标系 Oxy，其中 Oy 轴为对称轴。根据对称 性，偏心块的形心 C 必在对称轴 Oy 上，所以有：
xC 0mm
半径为 R 的大半圆
xC
Gi xi
i 1 n
n
Gi
i 1
; yC
Gi yi
i 1 n
n
Gi
i 1
; zC
Gi zi
i 1 n
n
Gi
i 1
xC yC zC
lim Gi xi
n i 1 n
n
G lim Gi yi
n i 1 n
gxdV V V gdV gydV V V gdV gzdV V V gdV
重心的一般公式
G lim Gi zi
n i 1
G
式中 为物体的密度， g 为重力加速度， g 为单位体积所受的重力，dV 是微单元的体积。
对于匀质的物体来说， g 常数，其重心公式
重心公式 注意
xdV V xdV V xC V V dV ydV V ydV V yC V V dV zdV V zdV V A2
30 300 (225 30) 30 14850 mm
2
由组合形体的形心计算公式
xC yC
Ai xi
i 1 n
n
A
i 0
900015 5850127.5 59.3mm 14850 9000150 585015 96.8mm 14850
重心与形心
间有如下的关系：
Sx=yCA ， Sy=xCA
由上式还可以得到下面的重要结论：若某轴通过平面图形的形 心，则平面图形对该轴的静矩必为零；反之，若平面图形对某轴的 静矩为零，则该轴必通过平面图形的形心。
目录
空间力系\重心和形心
1.5 确定重心和形心位置的方法
1. 利用对称性
图所示，则zC=0， xC和yC分别为
xC
xiAi ， A
yC
yi Ai A
或
xdA
yd A
xC
Aห้องสมุดไป่ตู้
A
， yC
A
A
目录
空间力系\重心和形心
若物体为均质等截面细杆（如图）或 曲线，则其形心的坐标公式为
xC
xili ， l
yC
yili ， l
或
zC
zi li l
xdl
yd l
xC
xiVi ， V
yC
yiVi ， V
zC
ziVi V
如令各微小部分的体积趋近于零，则有
xdV
yd V
zdV
xC
V
V
，
yC
V
V
，
zC
V
V
由此可见,均质物体的重心位置完全取决于物体的几何形状而
与物体的重量无关。因此，均质物体的重心也称形心。
目录
空间力系\重心和形心
工程实际中常采用薄壳结构，例 如厂房的双曲顶壳、薄壁容器、飞机 机翼等。由于薄壳的厚度相等，并较 其他二个方向的尺寸小得多，若材料 是均质的，可以把它看成是均质曲面 如图所示，则其形心坐标公式为
第四章起重吊点的选择及物体绑扎
第四章：起重吊点的选择及物体的绑扎第一节物体重心的计算在起重作业中，设备的起重搬运吊装都需考虑到物体的重心，在吊装作业中，重心位置的不正确会造成钢丝绳受力不均，甚至设备在吊装过程中有发生倾覆的危险。
由于地球的引力，物体内部各点都要受到重力的作用；物体上各质点重力的合力，就是物体的重量，各质点重力的合力作用点就是物体的重心。
也即物体的重心是物体各部分重量的中心。
一个物体不论处在什么地方，不论放置位置如何，它的重心在物体内部的位置是不会改变的。
物体的重心可用合力矩定理求得它的坐标位置。
P59几何形状简单的物体重心位置如下：长方形物体的重心位置在其对角线的交点上；圆柱形物体的重心位置在其中间横断面的圆心上；三角形物体的重心位置在其三条中线的交点上。
对于不规则的形状的物体，可用悬挂法测定其重心的位置。
方法是用匀质薄板（纸板或薄铁板）按比例画出不规则物体的截面形状，并剪下来，如图4—1所示。
在薄板上任取一A点，用细绳悬挂起来，过A点画一垂线A A′。
之后再另选一B点，悬挂起来，过B点画一垂线BB′。
那么不规则物体的重心必然在两条垂线的交点o处。
如果物体是由两个或两个以上的基本几何图形组成，则重心的位置可根据物理关系求得，其方法是先分别求出各基本图形的重心位置，然后用静力学力矩平衡的方法求出整个物体的重心位置。
例如：试求出图4—2所示物体的重心位置（设该物体密度匀质）。
解：（1）设物体在XOY坐标系中，将其分成两个矩形Ⅰ和Ⅱ（见图4—2所示）。
求Ⅰ和Ⅱ的坐标尺寸。
矩形Ⅰ的重心C坐标尺寸为：11 1.5（m）YⅠ==1+2矩形Ⅱ的重心CⅡ坐标尺寸为：2=1（m）XⅡ=21=0.5（m）YⅡ=2矩形Ⅰ和Ⅱ的面积为：SⅠ=1×（2-1）=1（2m）SⅡ=2×1=2（2m）（3）求物体的质量设物体材料的密度为ρ，物体的厚度为δ，则矩形Ⅰ和Ⅱ的质量分别为G Ⅰ=S Ⅰδρ，G Ⅱ=S Ⅱδρ。
物体的总质量为：G= G Ⅰ+ G Ⅱ=δρ（S Ⅰ+ S Ⅱ）（4）求物体在X 、Y 坐标轴的重心位置设物体横截面重心坐标为X c 、Y c ，根据物体重力对X 、Y 轴的力矩平衡原理得：1）对X 轴：GX c -G ⅠX Ⅰ-G ⅡX Ⅱ=0X c =G X G X G 2211+=)(212211S S X S X S ++ρδδρδρ=212211S S X S X S ++=21125.01+⨯+⨯ =35.2=0.83(m) 2）对Y 轴：GY c -G ⅠY Ⅰ-G ⅡY Ⅱ=0Y c =G Y G Y G 2211+=)(212211S S Y S Y S ++ρδδρδρ=212211S S Y S Y S ++=35.025.11⨯+⨯ =35.2=0.83(m) 答：物体的坐标位置在坐标X=0.83m ，Y=0.83m 点C 上。
工程力学第5节 物体的重心
L ydL L yC L zdL L zC L
xdL L xC
二、确定物体重心的几种方法
1、对称法 对于具有对称轴、对称面或对称中心的匀质物 体，可以利用其对称性确定重心位置。可以证明这 种物体的重心必在对称轴、对称面或对称中心上。 例：圆球体或球面的重心在球心，圆柱体的重 心在轴线中点，圆周的重心在圆心，等腰三角形的 重心在垂直于底边的中线上。 2、积分法 对于具有某种规律的规则形体，可以根据重心 计算公式，利用积分方法求出形体的重心。表2-1
n
A
式中A——是整个面积体的面积。
例4-11 角钢截面的尺寸如图所示，试求其形心 的位置。 解 取 Oxy 坐标系如图 所示，角钢截面可分为两个 矩形。两矩形的形心位置C1 和C2分别处于矩形对角线的 交点，坐标分别为：
x1 15mm
y1 150mm
225 30 x2 (30 )mm 2 x2 127.5mm y2 15mm
Ai yi
A
4、负面积法
形体组合法的推广
如果在规则形体上切去一部分，例如钻孔或开槽 等。当求这类形体的形心时，首先认为原形体是完整 的形体，然后把切去的部分视为负面积，运用公式求 出形心。 例2-12 已知振动器上用 的偏心块为等厚度的匀质形 体，如图所示。其上有半径 为 r2 的圆孔。偏心块的几何 尺寸R=120mm，r1=35mm， r2=15mm。试求偏心块形心 的位置。
xC
Gi xi
i 1 n
n
Gi
i 1
; yC
Gi yi
i 1 n
n
Gi
i 1
; zC
Gi zi
i 1 n
n
4.4 物体的重心
1､物体重心坐标的一般公式 假象地将物体分割成若干个微小部分，每部分的重力分 别为DG1､DG2……DGn，各力的作用点的坐标分别为(x1， y1，z1)､(x2，y2，z2)……(xn，yn，zn)，该物体的重力 G=DG1+DG2+……+DGn 。由合力矩定理可得其重心坐标 公式为：
矩形II
70 10 x 2 10 45mm y 2 5mm 2 2
代入组合截面的形心坐标公式
x
i 1 2
Ai x i
i 1
2
Ai
y
i 1 2
Ai y i
i 1
2
Ai
解得：
x 20mm
y 40mm
例 试计算图示截面形心C的位置。
y 10
解：将截面分为1、2两个矩形。 建立坐标系如图示。 各矩形的面积和形心坐标如下： 矩形I
Ⅰ
xⅠ
C ( y ,x ) y1 10
A1 10120 1200mm2
Ⅱ
120
O
Ⅱ
xⅡ 80
x y
10 120 x1 5mm y1 60mm 2 2 A2 10 70 700mm2
三､物体重心(形心)的求法 1､查表法 对于简单几何形状的均质物体，其重心可从有关手册中查到， 可直接查表。 2､对称法 对于具有对称面､对称轴或对称中心的均质物体，其重心 就在对称面､对称轴或对称中心上。若物体有两个对称面，则 其重心就在这两个对称面的交线上；若物体有两个对称轴，则 其重心就在这两个对称轴的交点上。 3､实验法 实验法具有直接､简便的特点，在工程实际中，常采用实 验的方法测定复杂形状物体的重心。 (1)悬挂法 如图所示，任选一点A将物体悬挂起来，并在物体上过A点做 铅垂线AA'，再选另外一点B按同样方法画出铅垂线BB'，则 AA'与BB'的交点即为物体的重心。观看视频
第5节 物体的重心
y3 0
yC
Ai y i
i 1
A
7200 160 46 . 67 612 . 5 ( ) ( 225 ) 0 7200 612 . 5 ( 225 )
47 . 1mm
第二章 5、试验法
力系的简化和平衡方程
对于某些形状复杂的机械零部件，在工程实际 中常采用试验方法来测定其重心。试验法往往比计 算法直接、简便，并具有足够的准确性。常用的试 验方法有如下两种：
第二章
力系的简化和平衡方程
3、组合法
工程中有些形体虽然比较复杂，但往往是由一 些简单形体组成的，而简单形体重心位置根据对称 性或查表很容易确定。因而可将组合形体分割为n 个简单几何形体，然后应用下式求出组合形体的重 心位置：
Ai x i
xC
i 1
n
Ai y i
; yC
i 1
n
Ai z i
n
A
i0
9000 15 5850 127 . 5 59 . 3 mm 14850 9000 150 5850 15 96 . 8 mm 14850
yC
Ai y i
A
n
第二章
力系的简化则形体上切去一部分，例如钻孔或开槽 等。当求这类形体的形心时，首先认为原形体是完整 的形体，然后把切去的部分视为负面积，运用公式求 出形心。 例2-11 已知振动器上用 的偏心块为等厚度的匀质形 体，如图所示。其上有半径 为 r2 的圆孔。偏心块的几何 尺寸R=120mm，r1=35mm， r2=15mm。试求偏心块形心 的位置。
第二章
力系的简化和平衡方程
匀质、等厚度的薄板、簿壳结构的重心计算公式
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制作 郭智勇
第四章 物体的重心与形心
第一节 重心的概念及其坐标
一、重心的概念
重力的作用点称为物体的重心。 无论物体怎样放置，重心相对于物体的位置都是固定不变的。 二、重心的坐标公式 确定重心的方法有两种：1、为实验法，2、为微分法 对于对称的物体其重心在其对称轴上。 实验法确定物体重心的方法为悬挂法。
制作：郭智勇
z
O
x
yi
yc
对于均质物体
Mi △Vi
Pi
C
zi
P
zc
xi xc
物体重心的坐标为
xc
Pi xi P
yc
Pi yi P
y
zc
Pi zi P
对于连续物体
xc
Vi xi V
yc
Vi yi V
zc
Vi zi V
xc
xdV
V
yc
ydV V
zc
zdV
V
重心的坐标公式
5
例3 求图示T形截面形心位置。
解：取参考坐标轴y、z,由对称图形, z c=0。
分解图形为１、２两个矩形，则
A1 0.072 m2, y1 2.46m;
A2 0.48m2 , y2 1.2m;
yc
A1 y1 A2 y2 A1 A2
0.072 2.46 0.481.2 1.36m; 0.072 0.48
例1 试确定下图的形心坐标。解 ： 1.用分割法求解，图形分割
10
及坐标如图(a)
120 10
y
C2
C1 80
C1(0,0) C2(-35,60)
x
xi Ai
x 1
A1
x
2
A2
A
A1 A2
3510110 20.3 101108A1
y
2
A2
A
A1 A2
图(a)
验证：34.7 + 20.3 + 5 = 60
计算物体形心的方法:分割法和负面积法
例2.求图示平面图形的形心.
5m
15m
20m
5m
y
解:(1)分割法
5m
取坐标如图且把平
面图形分为 A和 B两 部分.
C1
15m
5m
C1(2.5,7.5) C2(12.5,2.5)
A
o
C2
B
x
20m
515 2.5 15 512.5
A2
A
A1 A2
y
yi Ai
y 1
A1
y
2
A2
A
A1 A2
为确定物体重心的位置，如图取直角坐标系。将物体分成许多微小 部分，设任一微小部分的重力为G1，其作用点坐标为（x,y）则物 体的重心为
y
x
dA
x yy
x
xi Ai A
y
yi Ai A
x
制作：郭智勇
均质物体重心的位置与物体的重量无关，完全取决于 物体的几何形状和尺寸。由物体的几何形状和尺寸所 决定的物体的几何中心，称为形心。 对均质物体来说形心和重心是重合的。非均质物体的 重心和形心一般是不重合的。 通过平面图形形心的坐标轴称为形心轴。
6010110 34.7 10110 8010
y
2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)
负面积
C2 C1
C1（0,0） C2（5,5）
x
x
xi
Ai
x 1
A1
x
2
A2
A
A1A2
5 (70110) 20.3 12080 70110
图(b)
y 5 (70110) 20.3 12080 70110
制作：郭智勇
第二节 确定物体重心和形心位置的方法
一、分割法
基本的形体的形心可用微分法来确定，也可从有关设计手册中查的，表4-1 给出了常用简单形状的均质物体的重心位置。 有些复杂的形体是由几个简单形体组合而成的，称为组合形体。
对于平面组合图形，可将其分割为几个简单的规则图形，然后由公 式求出其形心坐标公式为
若分解为１、２、３三个矩形，则
2.4m yo
0.12m
0.6m y
C1
1
c
3
2 yc' y1
C2
z'
y2
y1
0.2m
z
0.6 2.52 (1.26 1.2) y'c 0.6 2.52 2 0.2 2.4 0.16m;
制作：郭智勇
下一张 上一张
课后习题： 4-1
x
xi Ai
x 1
A1
x 2
xc
515 15 5
7.5
yc
515 7.5 15 5 2.5 515 15 5
5
y
(2)负面积法
5m
取坐标如图.使平面 图形组合成矩形A.
C1(10,7.5)
C2
B
A
C1
5m
以及负面积的矩形B.
x
C2(12.5,10)
o
20m
xc
201510 151012.5 2015 1510
7.5
yc
2015 7.5 151010 2015 1510
x
xi Ai A
y
yi Ai A
二、组合截面的静矩与形心：
整个图形对某轴的静矩， 等于图形各部分对同轴静矩的代数和 （由静矩定义可知）
n
如 : A Ai
i 1
则
n
Sx Ai yi Ay i 1
n
S y Ai xi Ax i 1
∴
制作：郭智勇
x
xi Ai A
y
yi Ai A
制作：郭智勇
悬挂法
悬挂法 只适用于很薄的物体。首先找一根细绳，在
物体上找一点，用绳悬挂，划出物体静止后的重 力线，同理再找一点悬挂，两条重力线的交点就 是物体重心。
制作：郭智勇
（1）悬挂法
根据二力平衡的原理， 第一次悬挂，确定AB线
根据二力平衡的原理， 第二次悬挂，确定DE线
AB线与CD线的交点C即为物体的重心位置。