高考数学定比分点与向量中常见的结论
平面向量定比分点定理
平面向量定比分点定理1. 引言大家好，今天咱们要聊聊一个数学中非常有趣的话题——平面向量定比分点定理。
听上去是不是有点高大上？别担心，咱们会把它说得简单易懂，甚至还有点幽默，让你轻松get到这个知识点。
毕竟，数学也可以很有趣，不是吗？1.1 什么是定比分点定理？先来捋捋，这个定理到底是个什么东西。
简单来说，定比分点定理就是告诉我们，如何通过某些特定的比例来确定一个点在两点之间的位置。
想象一下，假如你在一个超市里，想要在两排货架之间找到一个完美的购物位置，你就可以用这个定理来帮助你，当然，前提是你得知道你要的东西在哪儿，对吧？1.2 公式与例子那具体的公式是什么呢？假设你有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，如果我们希望找一个点P，按照比例m:n来分割AB线段，P的坐标就可以用这个公式表示：P(x, y) = ((mx2 + nx1) / (m + n), (my2 + ny1) / (m + n))。
听起来复杂？其实不然，我们来举个例子。
比如说，有两位朋友A和B，A在(1, 2)的位置，B在(3, 4)的位置。
如果你想找一个P点，使得它在A和B之间，比例是1:3，那么用公式计算一下，你就能找到P在(2.5, 3)的位置。
就像是找到朋友聚会的最佳位置，嘿嘿！2. 应用场景2.1 生活中的实际应用说到这儿，你可能会问：“这跟我的生活有什么关系？”其实还真有！想象一下，你在一个公园里散步，突然发现两个大树之间有个超级适合拍照的地方。
你可以用定比分点定理来判断这个地方的最佳位置，分出一段合理的距离。
生活中，许多设计、建筑、甚至是游戏开发，都离不开这个定理的支持，简直是个“万能钥匙”！2.2 动手实践而且，定比分点定理还可以用来做一些小实验。
比如说，你可以带着朋友们去外面，找两个标志性的位置，然后用比例来确定一个新位置，看看是不是大家都觉得这个位置最合适。
就像你们在决定去哪吃饭时，总得有人说：“咱们去那个小店吧，它的蛋糕好吃得不得了！”这种分点定理的思路，恰好就适合用来做决策，嘿！3. 总结与感悟3.1 直观与趣味总之，平面向量定比分点定理并不是个冷冰冰的公式，它其实可以为我们的生活增添一些乐趣和便利。
定比分点向量式的推导及应用_周昧
学术园地
XUESHUYUANDI
微油技术在 3 2 0 MW 火电厂的应用
●刘春雨
天津大港发电厂 3、4 号锅炉由意大利 熟，目前已大面积的 TOSI 锅炉厂制造，采用美国燃烧工 应用于我国大 部 分 二次风箱
二次风
程公司技术及其许可证生产，亚临界参 发电机组。
数、一次中间再热、单炉膛平衡通风、强
命题。
参考文献： 薛金星主编， 中学教材全解， 陕西人民教
育出版社， 2008 。 （ 作者周昧， 湖北襄樊市第五中学；
张庆洲， 湖北省工业经济学校； 喻路， 重 庆市万州纯阳中学）
责任编辑/ 周 弘
112 2010 年第 6 期下旬刊·总第 460 期
流节油技术。虽然微油点火技术起步较 燃油在喷出油枪后达到气化效果，点燃 护喷口安全，防止结焦烧损及补充后期
晚，但由于微油点火技术优势明显，且开 后能产生 1600℃ 的高温火焰。
燃烧所需氧量。其原理如图 1
发手段完善，微油点火技术很快趋于成
2、 微油系统的工作原理
三、 微油点火功能的实现
（1+m）A，，B +（m+n），B，C =（l+n）A，，C ∵ A，，B 、，B，C 、A，，C 是不共线的非零向量
时，
求证：l=m=n。
N
设 P（1 x1，y1）、P、（x，y）P（2 x2，y2），则有
△
△△x=
△△
x1+λ x2 1+λ
△
△
△△△y=
△
y1+λ y2 1+λ
下面我们用向量的形式来讨论定比
即O△△C =
2 5
k
b△-
1 5
平面向量考试常用结论
平面向量考试常用结论
平面向量是高中数学中比较重要的一章，也是考试中常出现的题型。
在考试中，我们不仅要熟练掌握平面向量的概念和基本运算，还需要掌握一些常用的结论，以应对各种题型的考查。
下面是一些平面向量考试常用结论，供大家参考。
1. 平面向量共线的充要条件：两个非零向量共线的充要条件是它们之间存在一个实数 k，使得一个向量等于另一个向量的 k 倍。
2. 平面向量垂直的判定方法：如果两个非零向量的点积为零，那么它们垂直。
3. 平面向量投影的公式：设向量 a 和 b 不共线，向量 a 在向量 b 上的投影为：
proj_b a = (a · b) / |b|^2 * b
其中，proj_b a 表示向量 a 在向量 b 上的投影，|b| 表示向量 b 的长度。
4. 平面向量模长的乘法公式：|a · b| = |a| * |b| * sinθ，其中θ表示向量 a 和向量 b 之间的夹角。
5. 平面向量三角形面积的公式：设三角形 ABC 的两个边向量分别为 a 和 b，那么三角形 ABC 的面积为：
S = 1/2 * |a × b|
其中，×表示向量的叉积。
6. 平面向量几何平均值的公式：设向量 a 和向量 b 不共线，那么它们的几何平均值为：
|a × b| = |a| * |b| * sinθ
7. 平面向量共面的判定方法：如果三个非零向量共面，那么它们的混合积为零。
以上是平面向量考试常用结论的一些例子，希望对大家应对平面向量考试有所帮助。
当然，掌握这些结论只是基础，还需要多做练习，才能在考试中灵活运用。
定比分点的向量公式
定比分点的向量公式定比分点的向量公式，这可是高中数学里一个相当重要的知识点呢！咱们先来聊聊啥是定比分点。
想象一下，在一条直线上有两个点 A 和 B，然后又有一个点 P 把线段 AB 按照一定的比例分成了两段。
这个点 P 就叫做线段 AB 的定比分点。
那定比分点的向量公式是啥呢？假设点 A 的坐标是 (x₁, y₁) ，点B 的坐标是 (x₂, y₂) ，点 P 的坐标是 (x, y) ，并且点 P 分线段 AB 的比是λ ，那么定比分点的向量公式就是：x = (x₁ + λx₂) / (1 + λ) ，y = (y₁ + λy₂) / (1 + λ) 。
听起来是不是有点晕乎？别担心，我给您举个例子哈。
有一次我在课堂上讲这个知识点，有个学生一脸迷茫地看着我，我就知道他没听懂。
于是我走到他身边，问他：“你是不是觉得有点迷糊呀？”他使劲儿点头。
我就拿了一支笔在纸上画了一条直线，标上 A 点和 B 点，然后跟他说：“咱们就把这当成是一条路，A 点是你家，B 点是学校，你每天上学走到某个地方，这个地方就是点 P 。
现在假设你走的路程和剩下的路程有个比例，那这个点 P 的位置是不是就能算出来啦？”这孩子听了，眼睛一下子亮了，好像突然就明白了。
咱们继续说这个公式啊。
定比分点的向量公式在解决很多几何问题的时候特别有用。
比如说，已知两个点的坐标和分点的比例，就能轻松算出定比分点的坐标。
在实际生活中，这个公式也能派上用场呢。
比如说，在规划物流路线的时候，要确定货物在某个路段的分配点，就可以用到这个公式。
还有在建筑设计中，计算一些结构的位置也能用到。
再比如，咱们想象一个场景，有一辆送快递的车，要在一条路线上的几个站点送货，每个站点的需求比例不同。
这时候，就可以用定比分点的向量公式来计算最佳的送货停留点，这样就能提高送货效率啦。
总之，定比分点的向量公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们多做几道题，多联系实际，就能很好地掌握它，让它成为咱们解决问题的有力工具。
高中数学平面向量知识点总结
b2 a2 c2 2ac cos B
c2 a2 b2 2ab cos C
4.强调几个问题： 1熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等 2知三求一 3当夹角为 90时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例）
λ =0
P 与 P2 重合
λ 不存在
2 中点公式是定比分点公式的特例
3
始点终点很重要，如 P 分 P1P2 的定比λ
=1 2
4 公式：如 x1, x2, x, λ 知三求一
十．平面向量的数量积及运算律
则 P 分 P2 P1 的定比λ =2
（一）平面向量数量积
1．定义：平面向量数量积（内积）的定义，ab = |a||b|cos，
坐标。
4．实数与向量积的坐标运算：已知
a
=(x,
y)
实数λ
则λ
a
=λ
(x i +y j )=λ
x i +λ
yj
∴λ
a
=(λ
x,
λ
y)
结论：实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。
八．向量平行的坐标表示
结论：
a
∥
b
( b 0 )的充要条件是 x1y2-x2y1=0
特别的 aa = |a|2 或| a | a a
4cos = a b | a || b |
5|ab| ≤ |a||b| 十一. 平面向量的数量积的运算律
1. 交换律：a b = b a 2. 结合律：( a)b = (ab) = a( b) 3. 分配律：(a + b)c = ac + bc 十二. 平面向量的数量积的坐标表示 1.设 a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，x 轴上单位向量 i，y 轴上单位向量 j，则：ii = 1， jj = 1，ij = ji = 0 2.ab = x1x2 + y1y2 3.长度、角度、垂直的坐标表示
数学向量知识点总结
数学向量知识点总结一、定比分点定比分点公式（向量P1P=λ向量PP2）设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。
则存在一个实数λ，使向量P1P=λ向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1（x1，y1），P2（x2，y2），P（x，y），则有OP=（OP1+λOP2）（1+λ）；（定比分点向量公式）x=（x1+λx2）/（1+λ），y=（y1+λy2）/（1+λ）。
（定比分点坐标公式）我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式。
二、三点共线定理若OC=λOA+μOB，且λ+μ=1，则A、B、C三点共线。
三、三角形重心判断式在△ABC中，若GA+GB+GC=O，则G为△ABC的重心。
四、向量共线的重要条件若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。
a//b的重要条件是xy—xy=0。
零向量0平行于任何向量。
五、向量垂直的充要条件a⊥b的充要条件是ab=0。
a⊥b的充要条件是xx+yy=0。
零向量0垂直于任何向量。
设a=（x，y），b=（x，y）。
六、向量的运算1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=（x+x，y+y）。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：（a+b）+c=a+（b+c）。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=—b，b=—a，a+b=0。
0的反向量为0AB—AC=CB。
即“共同起点，指向被减”a=（x，y）b=（x，y）则a—b=（x—x，y—y）。
4、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
对定比分点向量公式_向量基本定理的理解与体现_楼可飞
( 3) 如图 5 , 利用( 1) 证明 ■ABC 的重心公式 . 分析 ( 1) 由已知点 C 分 向量AB 所成的比 λ= m , 代 n 入定比分点向量公式得OC =
图5
= 1” , 从这里可以看出 , 定比分点向量公式与向 量基本定理是等价的 . 空间向量基本定理的推论 如图 2 , 已知 A 、 B、 C 、P 四点共面 , O 是空间任一点 , 则存在实数
图7
注 在这里可以看到 , OA 、 OB 、OC 的系数 之和等于 1 . ( 2)在立体几何中的体现 例 3 在正三棱锥 P AB C 中 , 三条侧棱 PA 、 PB 、 PC 两 两 互 相 垂 直 , G 是 ■ P AB 的重心 , E 、F 分别为 BC 、 PB 上的点 , 且 BE ∶EC = PF ∶FB = 1 ∶2 , 如图 6 . ( 1)求证 : 面 GEF ⊥ 面 图6 PB C ; ( 2)求证 EG 是 PG 与 BC 的公垂线 . 分析 建立如图所示的空间直角坐标 系 . 3 ,0, ( 1)设 PA = PB = PC = 3 , 则 A( 0) 、 B( 0 , 3 , 0) 、C( 0 , 0 , 3) , ■PAB 的重心 G( 1 ,1, 0) . 点 E 分CB 所成的比为 2 , 由定比分点向量公 PC +2 PB ( 0 , 0 , 3)+2( 0 , 3 , 0) 式得 PE = = = 1 +2 3 ( 0 , 2 , 1) , 即点 E ( 0 , 2 , 1) . 同理点 F 分PB 所成的 比为 1 , 点 F ( 0 , 1 , 0) , 得 GF =( -1 , 0 , 0) , GF ∥ 2 PA , 而 PA ⊥ 面 PBC , 得面 GEF ⊥ 面 PBC ; ( 2)现在 EG =( 1 , -1 , -1) , PG =( 1 ,1, 0) , BC =( 0 , -3 , -3) , 得 EG · PG =1 -1 +0 = 0 , EG · BC = 0 +3 -3 = 0 , 即 EG ⊥ PG , EG ⊥ BC , 所以 EG 是 PG 与 BC 的公垂线 . 注 可以看出 , 在空间直角坐标系中来处理 线线垂直 、 线面垂直 、 面面垂直时 , 有时比不建立
高三数学线段的定比分点
高三备课组
一、基础知识
1、 线段的定比分点
（1）定义
设P1,P2是直线L上的两点，点P是L上不同 于P1,P2的任意一点，则存在一个实数 ， P 使p1 p pp ， 所 2 叫做点P分有向线段 1P 2 成的比。
0 ；当点P在线 当点P在线段 P 上时， 1P 2 <0 段 P1 P2 或 P2 P1 的延长线上时，
（2）定比分点的向量表达式：
点P分有向线段 P 所成的比是 ，则 1P 2 1 OP OP1 OP2 1 1 （O为平面内任意点）
（3）定比分点的坐标形式
x1 x 2 x 1 y y 2 y 1 1
,
（4）中点坐标公式
当 =1时，分点P为线段的中点，即有
练习：
若直线x+2y+m=0，按向量a 1,2平移后与圆C：
x 2 y 2 2x 4 y 0
相切
则实数m的值等于
例5．是否存在这样的平移，使抛物线： y x 2 平移后 过原点，且平移后的抛物线的顶点和它与 x 轴的两个 交点构成的三角形面积为 1 ，若不存在，说明理由；若 存在，求出函数的解析式。 例4．设函数
x1 x y y 1 x2 2 y2 2
ABC 的重心坐标公式： （5）
x A x B xC x 3 y A y B yC y 3
2、平移
（1）图形平移的定义
设F是坐标平面内的一个图形，将图上的所有 点按照同一方向移动同样长度，得到图形 F’ ， 我们把这一过程叫做图形的平移。
A(4,1), B(3,4), C (1,2) ， BD 是角 ABC 的平分 线，求点D的坐标及BD的长。
高考数学必考知识点归纳：平面向量公式汇总
2019高考数学必考知识点归纳：平面向量公式汇总定比分点定比分点公式(向量P1P=λ向量PP2)设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。
则存在一个实数λ，使向量P1P=λ向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x，y)，则有OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；(定比分点向量公式)x=(x1+λx2)/(1+λ)，y=(y1+λy2)/(1+λ)。
(定比分点坐标公式)我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式三点共线定理若OC=λOA+μOB，且λ+μ=1，则A、B、C三点共线三角形重心判断式在△ABC中，若GA+GB+GC=O，则G为△ABC的重心向量共线的重要条件若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。
a//b的重要条件是xy'-x'y=0。
零向量0平行于任何向量。
向量垂直的充要条件a⊥b的充要条件是ab=0。
a⊥b的充要条件是xx'+yy'=0。
零向量0垂直于任何向量.设a=(x，y)，b=(x'，y')。
1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。
其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。
《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。
“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。
“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。
“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。
“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。
高三数学线段的定比分点
《我爱这土地》中写“为什么我的眼里常含泪水”，上文结尾也写到了“流泪”，简要分析“眼泪”背后两位作者思想感情的异同。 3、文中的语言富有表现力，请结合句中加点的词语作简要分析。 一阵沙尘扑面而来，豆大的雨点砸了下来，劈头劈脸，欢笑的人群直往外冲。 ? 4、文
章第④段的“对我来说，去圆明园是一种凭吊，一种拜谒，甚至是一种提醒。”简要说说作者要“凭吊、拜谒”什么？ “提醒”什么呢？ 5、简要分析第⑤段中划线句在文中有什么作用？ ? 6、请你为圆明园遗址准备一条宣传语，要能揭示遗址给人的警示。（不超过20字，至少用一种
修辞手法） ? 参考答案： 1、A 理由：用拟人手法，容易引起读者的注意；更能表达作者对造成这种现象的悲痛心情（主题）。 2、相同点：都有对祖国的深切的爱。 不同点：艾青是目睹山河破碎、人民涂炭的现实，心中的痛苦。 本文作者是因为部分国人不知铭记历史而十分伤心、
难过。 3、“扑”表现风来得猛，“砸”表现雨下得大，这样写更能突出作者对人们不理解废墟价值的一种愤怒与悲哀。（言之有理，可酌情给分） 4、凭吊、拜谒无数在此长眠的死难者（中华民族屈辱的历史） 提醒自己不忘历史的耻辱，不能让悲剧重演。（意同即可） 5、一方面突
（5）ABC 的重心坐标公式：
x
y
xA yA
xB
3 yB
xC yC
3
2、平移
（1）图形平移的定义
设F是坐标平面内的一个图形，将图上的所有 点按照同一方向移动同样长度，得到图形F’， 我们把这一过程叫做图形的平移。
（2）平移公式
设P(x,y)是图形F上任意一点，它在平移后图形上的
起来，用极低的声音问：“老师，我可以带馒头吗？”一阵其实并没有恶意的笑声刺激着女孩，她的脸通红通红的，低着头默默地坐下，眼泪沿着脸颊流了下来。李老师走过去，抚摸着她的头说：“你放心，可以带馒头的。” ③出发的前一天，女孩子拿着饭票在学校食堂买了六个馒头，
平面向量分点定比
平面向量分点定比平面向量分点定比平面向量是数学中的一个重要概念，它可以用来描述平面上的各种运动和变化。
在平面向量中，分点定比是一个常见的概念，它可以帮助我们计算向量的长度和方向，从而更好地理解向量的性质和应用。
什么是分点定比？分点定比是指在平面向量中，将一个向量分成两个部分，使得这两个部分的长度之比等于给定的比例。
具体来说，如果有向量AB和一个比例k，那么我们可以在向量AB上找到一个点C，使得AC和CB的长度之比等于k。
这个点C就是向量AB的分点。
如何计算分点？要计算向量的分点，我们可以使用向量的坐标表示法或向量的几何表示法。
具体来说，如果我们知道向量AB的坐标表示(x1,y1)和(x2,y2)，以及分点的比例k，那么我们可以使用以下公式计算分点的坐标表示(x,y)：x = (kx2 + x1) / (k+1)y = (ky2 + y1) / (k+1)如果我们使用向量的几何表示法，那么我们可以在向量AB上找到一个点C，使得AC和CB的长度之比等于k。
具体来说，我们可以使用以下步骤计算分点：1. 计算向量AB的长度，即|AB| = sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)。
2. 计算分点C到点A的距离，即|AC| = k|AB| / (k+1)。
3. 计算向量AC的方向，即向量AB的方向加上向量AC的方向。
4. 根据向量AC的方向和长度，计算出分点C的坐标表示。
分点定比的应用分点定比在数学中有着广泛的应用，特别是在向量的计算和几何问题中。
例如，我们可以使用分点定比来计算向量的长度和方向，从而更好地理解向量的性质和应用。
此外，分点定比还可以用来解决平面几何中的各种问题，例如求解三角形的重心、垂心和外心等。
总结分点定比是平面向量中的一个重要概念，它可以帮助我们计算向量的长度和方向，从而更好地理解向量的性质和应用。
在计算分点时，我们可以使用向量的坐标表示法或向量的几何表示法。
分点定比在数学中有着广泛的应用，特别是在向量的计算和几何问题中。
用定比分点向量公式的特点解高考题_高召
图６
λ ３ λ 由于 Ｂ， 所以得１ Ｐ， Ｎ 三点共线， ＝ ＋ ， ２ ４
解得λ＝ ４ ． ５ ４ → ， → → → ， 因此Ａ 从而Ａ Ｐ＝ ＡＭ Ｐ＝ ４ＰＭ ５ 所以 Ａ Ｐ∶ＰＭ ＝ ４ ∶ １ ． 综上可以看出 ， 定比分 点 向 量 公 式 及 其 特 点在解决共线问题时具 有 很 大 的 简 捷 性 ， 而用 好这一公 式 的 关 键 是 如 何 借 助 向 量 运 算 和 已 知条件建 立 共 起 点 且 终 点 共 线 的 三 个 向 量 之 间的关系式 ．
→ → → → －Ｏ Ａ， Ｐ Ｂ＝Ｏ Ｂ－Ｏ Ｐ， → → Ｐ → －Ｏ → → → （ ， 由Ａ Ｐ＝ Ｂ得 Ｏ Ａ＝ Ｏ Ｂ－Ｏ Ｐ） λＰ λ → → → ） 于是 （ １ ＋ Ｏ Ｐ＝Ｏ Ａ＋ Ｏ Ｂ， λ λ → → Ｏ Ａ ＋ Ｏ Ｂ １ → λ λ → 所 以Ｏ Ｐ＝ ＝ Ｏ Ａ＋
例 ５ （ ２ ０ ０ ７年陕 ， 如图６ 平 西省 高 考 题 ）
λ → ３ λ→ Ａ Ｂ＋ ＡＮ ． ２ ４
→ 面 内 有 三 个 向 量Ｏ Ａ、 → → → 其 中 与Ｏ Ｏ Ｂ、 Ｏ Ｃ， Ａ与 → → ， Ｏ Ｂ的 夹 角 为 １ ２ ０ ° Ｏ Ａ → ， 与 且 Ｏ Ｃ的 夹 角 为 ３ ０ ° → → → → Ａ → ， 若Ｏ Ｏ Ａ ＝ Ｏ Ｂ Ｏ Ｃ Ｃ＝ ３， ｜ ｜ ｜ ｜＝１ ｜ ｜＝２ 槡 λＯ → ， 则λ＋ ＋ Ｂ（ ． λ， μＯ μ∈Ｒ） μ 的值为 ， ， 分析 连结 Ａ 与 交 于 利 用 已 知 Ｂ Ｏ Ｃ Ｄ → Ａ → →、 条件可建立Ｏ 从而 Ｄ与Ｏ Ｏ Ｂ之 间 的 关 系 式 ，
定比分点的定义及求解方法
定比分点的定义及求解方法在几何学中，比分点是指将一条线段分成两个比例相等的部分的点。
而定比分点则是指已知线段两端点和比例，求这个比例所对应的点的位置。
定比分点的定义定义一：已知线段AB，C是线段AB的任意一点，比例为m:n，则点D就是线段AB的定比分点，当且仅当AD:BD=m:n。
其中，当m=n=1时，点D是线段AB的中点。
定义二：在平面几何中，如果已知线段AB的长度为d，而且已知点D在线段上，线段在D点分割的比例为m:n，则当且仅当AD:BD=m:n时，D称为线段AB的定比分点。
定比分点的求解方法1.按照比分点的定义直接求解我们可以直接根据定比分点的定义来求解，通过构建等式来解出指定的比例段长度，最终确定定比分点的位置。
比如在定义一中，我们有AD:BD=m:n，因此可以得到AD=m/(m+n)×AB,BD=n/(m+n)×AB。
通过这个公式，我们可以根据已知的数据计算出定比分点的位置。
2.使用向量法求解向量法可以被用来求解定比分点的位置。
首先将线段AB表示为向量a和向量b，那么使向量BD=θa，则向量AD=(1-θ)b。
因此，我们有AD/AB=(1-θ)，BD/AB=θ。
同时由于AD/BD=m/n，我们可以得到m/(m+n)=(1-θ)/θ，解出θ=(n/ (n+m))，从而求出点D的位置。
3.使用相似三角形法求解在图形中，我们可以将三角形ADB与三角形CDF进行相似处理。
因此，我们有AD/AB=DF/CF=m/n，由此得到DF=CF×m/n，那么点D就可以表示为点C向量加上DF×向量AB的一部分。
总结以上就是定比分点的定义及求解方法，当然还有其他的方法可以求解定比分点的位置，比如重心法和割分线法等，根据不同的问题，我们可以使用不同的方法来求解定比分点。
无论是哪一种方法，都需要运用相应的数学知识和技巧，才能确保求解结果的准确性。
向量的定比分点公式运用
向量的定比分点公式运用设有向量AB表示一条线段，点C为分割点，将AB分成的两个线段分别为AC和CB。
那么根据向量的定比分点公式，我们可以得到以下关系式：AC=λABCB=(1-λ)AB其中，λ是一个标量，表示分割点C到点A的距离与线段AB的长度之比。
下面我们将介绍向量的定比分点公式的几种具体运用。
1.证明三点共线：给定三个点A、B、C，要证明它们共线，可以使用向量的定比分点公式。
假设分割点C在点A和点B之间，那么根据向量的定比分点公式，可以得到AC=λAB，CB=(1-λ)AB。
若AC与CB的坐标相同，则说明三点共线。
2.点的坐标求解：已知线段AB的坐标，要求分割点C的坐标。
根据向量的定比分点公式，我们可以得到AC=λAB，即(x_C-x_A,y_C-y_A)=λ(x_B-x_A,y_B-y_A)。
令点C的坐标为(x_C,y_C)，代入这个关系式可以求解出点C的坐标。
3. 矢量平均值：给定一组n维向量，要求它们的平均值。
可以使用向量的定比分点公式求解。
假设向量集合为{v_1, v_2, ..., v_n}，则平均向量v_avg可以表示为v_avg = λ_1*v_1 + λ_2*v_2 + ... +λ_n*v_n。
其中，λ_1 + λ_2 + ... + λ_n = 1，且λ_i >= 0。
这样可以求得平均向量v_avg的坐标。
4.线段的等分点：已知线段AB的长度，要求线段上的一个点C，使得AC与AB的长度比为m:n。
根据向量的定比分点公式，我们可以得到AC=λAB，其中λ=(m/(m+n))。
将AB的长度乘以λ，得到AC的长度，即可得到分割点C的坐标。
5.找出一些点到线段的最近点：假设有线段AB和点P，要求点P到线段AB上的最近点Q的坐标。
根据向量的定比分点公式，可以得到向量AQ=λAB，其中λ表示AQ与AB的长度之比。
我们可以通过遍历0≤λ≤1的所有值，计算出对应的点Q的坐标，再选择距离最近的点作为最近点Q的坐标。
高考数学向量部分知识点梳理
高考数学平面向量部分知识点梳理一、向量的概念： (1)向量的基本要素：大小和方向. (2)向量的表示：几何表示法 AB ；字母表示：a ； 坐标表示法 a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）. (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a ｜. (4)特殊的向量：零向量a ＝O ⇔｜a ｜＝O. 单位向量aO 为单位向量⇔｜aO ｜＝1.(5)相等的向量：大小相等，方向相同 (ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）⎩⎨⎧==⇔2121y y x x(6) 相反向量：a=-b ⇔b=-a ⇔a+b=0(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a ∥b.平行向量也称为共线向量. (8)向量的运算： 运算类型 几何方法 坐标方法运算性质向量的 加法1.平行四边形法则2.三角形法则1212(,)a b x x y y +=++ a b b a +=+()()a b c a b c ++=++ AC BC AB =+向量的 减法三角形法则1212(,)a b x x y y -=--()a b a b -=+- AB BA =- ,AB OA OB =- 数 乘 向 量1.a λ是一个向量,满足:||||||a a λλ=2.λ>0时, a a λ与同向;λ<0时, a a λ与异向;λ=0时, 0a λ=. (,)a x y λλλ=()()a a λμλμ=()a a a λμλμ+=+ ()a b a b λλλ+=+ //a b a b λ⇔=向 量 的 数 量 积 a b ∙是一个数 1.00a b ==或时， 0a b ∙=.2.00||||cos(,)a b a b a b a b ≠≠= 且时，1212a b x x y y ∙=+a b b a ∙=∙()()()a b a b a b λλλ∙=∙=∙ ()a b c a c b c +∙=∙+∙ 2222||||=a a a x y =+ 即 ||||||a b a b ∙≤二、重要的公式、定理： (1)平面向量基本定理：e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e1＋λ2e2.(2)两个向量平行的充要条件：a ∥b ⇔a ＝λb(b ≠0)⇔x1y2－x2y1＝O. (3)两个向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b ＝O ⇔x1x2＋y1y2＝O.(4)线段的定比分点公式：设点P 分有向线段21P P所成的比为λ，即P P 1＝λ2PP ，则 OP ＝λ+111OP ＋λ+112OP (线段的定比分点的向量公式)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.1,12121λλλλy y y x x x (线段定比分点的坐标公式) 当λ＝1时，得中点公式：OP ＝21（1OP ＋2OP ）或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.2,22121y y y x x x(5)平移公式：设点P(x ，y)按向量a ＝（ｈ，ｋ）平移后得到点P ′（x ′，y ′），则P O '＝OP +a 或⎩⎨⎧+='+='.,k y y h x x曲线y ＝f （x ）按向量a ＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数解析式为： y －ｋ＝f （x －ｈ) (6)正、余弦定理：正弦定理：.2sin sin sin R C cB b A a ===余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA ， b2＝c2＋a2－2cacosB ， c2＝a2＋b2－2abcosC. （7）三角形面积计算公式：设△ABC 的三边为a ，b ，c ，其高分别为ha ，hb ，hc ，半周长为P ，外接圆、内切圆的半径为R ，r.①S △=1/2aha=1/2bhb=1/2chc ②S △=Pr ③S △=abc/4R ④S △=1/2sinC ·ab=1/2ac ·sinB=1/2cb ·sinA ⑤S △=()()()c P b P a P P --- [海伦公式]⑥S △=1/2（b+c-a ）ra[如下图]=1/2（b+a-c ）rc=1/2（a+c-b ）rb（8）三角形的五个“心”：①重心：三角形三条中线交点.②外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.③内心：三角形三内角的平分线相交于一点.④垂心：三角形三边上的高相交于一点.⑤旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.三、常用的判定：（1）已知⊙O 是△ABC 的内切圆，若BC=a ，AC=b ，AB=c [注：s 为△ABC 的半周长,即2c b a ++]则：①AE=a s -=1/2（b+c-a ）②BN=b s -=1/2（a+c-b ） ③FC=c s -=1/2（a+b-c ）综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边.特例：已知在Rt △ABC ，c 为斜边，则内切圆半径r=c b a abc b a ++=-+2. （2）在△ABC 中，有下列等式成立C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++(3)在△ABC 中，D 是BC 上任意一点，则DCBD BC BCAB BD AC AD ⋅-+=222（4）平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.)(22222b a b a b a +=-++四、空间向量：（1）概念：具有大小和方向的量叫做向量（2）运算：b a AB OA OB +=+=；b a OB OA BA -=-=；)(R a OP ∈=λλ （3）运算律：加法交换律：a b b a+=+；加法结合律：)()(c b a c b a ++=++；数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(（4）共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a//．共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb .推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对于任意一点O ，点P在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式 t OA OP +=a ．其中向量a 叫做直线l 的方向向量.向量与平面平行：已知平面α和向量a，作OA a = ，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向量a 平行于平面α，记作：//a α ．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量（说明：空间任意的两向量都是共面的）（6）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+ 或对空间任一点O ，有O P O M x M A y M B =++ 叫做平面MAB 的向量表达式（7）空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++（8）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b，在空间任取一点O ，作,OA a OB b == ，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <> ；且规定0,a b π≤<>≤ ，显然有,,a b b a <>=<> ；若,2a b π<>= ，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥ . 向量的模：设OA a = ，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a .（9）向量的数量积： a b ⋅= ||||cos ,ab a b ⋅⋅<> ．已知向量AB a = 和轴l ，e是l 上与l 同方向的单位向量，作点A 在l 上的射影A '，作点B在l 上的射影B '，则A B '' 叫做向量AB 在轴l 上或在e上的正射影.可以证明A B '' 的长度||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=⋅ ． （10）空间向量数量积的性质：||cos ,a e a a e ⋅=<> ；0a b a b ⊥⇔⋅= ；2||a a a =⋅ ．（11）空间向量数量积运算律：()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ ；a b b a ⋅=⋅ （交换律）；()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）．五、空间向量的坐标运算： （1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）. ①令a =(a1,a2,a3),),,(321b b b b =，则),,(332211b a b a b a b a ±±±=+))(,,(321R a a a a ∈=λλλλλ332211b a b a b a b a ++=⋅ a ∥)(,,332211R b a b a b a b ∈===⇔λλλλ332211b a b ab a ==⇔ 0332211=++⇔⊥b a b a b a b a222321a a a a a a ++=⋅=(用到常用的向量模与向量之间的转化：aa a a a a ⋅=⇒⋅=2)232221232221332211||||,cos b b b a a a b a b a b a b a ba b a ++⋅++++=⋅⋅>=<②空间两点的距离公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=.（2）法向量：若向量a 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥a ，如果α⊥a 那么向量a 叫做平面α的法向量. （3）用向量的常用方法：①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，则点B 到平面α的距离为||||n n AB ⋅.②利用法向量求二面角的平面角定理：设21,n n 分别是二面角βα--l 中平面βα,的法向量，则21,n n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（21,n n 方向相同，则为补角，21,n n反方，则为其夹角）.③证直线和平面平行定理：已知直线≠⊄a 平面α，α∈⋅∈⋅D C a B A ,，且CDE 三点不共线，则a ∥α的充要条件是存在有序实数对μλ⋅使CE CD AB μλ+=.（常设CE CD AB μλ+=求解μλ,若μλ,存在即证毕，若μλ,不存在，则直线AB 与平面相交）.α▲nBCAαβ▲n 2n 1αCED AB。
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教案5：定比分点与向量中常见的结论一、课前检测1.（丰台一模理6）在平面直角坐标系xOy 中作矩形OABC ,已知3,4==AB OA ,则AC → ·OB →的值为（ D ）（A ）0 （B ）7 （C ）25 （D ）7-2.（宣武一模理4）已知两个向量a =（1，2），b =（x ，1），若（a+2b ）//（2a —2b ），则x 的值是（ C ）A.1B.2C.21D.313.设向量(1,1)a x =-，(3,1)b x =+，则“2x =”是“a b ⊥”的（ A ） （A ）充分但不必要条件 （B ）必要但不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件二、知识梳理1.线段定比分点公式：如图，设→--→--λ=21PP P P . （注：终分，分起→→）1）则定比分点向量式：→--→--→--+++=21111OP OP OP λλλ 2）定比分点坐标式：设P （x,y ）（分点），P 1（x 1,y 1）（起点），P 2（x 2,y 2）（终点）。
则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧λ+λ+=λ+λ+=1y y y 1x x x 2121特例：当λ=1时，就得到中点公式：)OP OP (21OP 21→--→--→--+=，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=2y y y 2x x x 211211实际上，对于起点相同，终点共线三个向量→--OP ，1OP →--，2OP →--（O 与P 1P 2不共线），总有→--OP =u 1OP →--+v 2OP →--，u+v=1，即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量，且系数和为1。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.2,22121y y y x x x ？（三角形内角平分线定理） 解读：2.设OA 、OB 不共线，点P 在AB 上，则OP =λOA +μOB 且λ+μ=1，λ、μ∈R.①OA ，OB 不共线，若OP =λOA +μOB ，且λ+μ=1，λ∈R ，μ∈R ，求证：A 、B 、P 三点共线.提示：证明AP 与AB 共线.②当λ=μ=21时，OP =21（OA +OB ），此时P 为AB 的中点，这是向量的中点公式. 解读：3．已知向量起点与终点坐标，求向量的坐标：向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x ，y)，则→--OA =（x,y ）；当向量起点不在原点时，向量→--AB 坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2），则→--AB =(x 2-x 1,y 2-y 1) 解读：4.向量模的坐标形式：︱︱2211a a x y ∙+解读：5.求向量的夹角：cos θ=a b a b∙∙122x x y ⋅+注：,a b 〈〉为锐角0a b ⇔⋅>,,a b 不同向；,a b 〈〉为直角0a b ⇔⋅=；,a b 〈〉为钝角0a b ⇔⋅<,,a b不反向. 解读：6.平面两点间的距离公式：已知A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2）,A B d =||AB AB AB =⋅=解读：7.与向量→a 同向的单位向量：→→→=aa e ；与向量→a 平行的单位向量：→→→±=aa e 。
与向量y)(x,a =→平行的单位向量为：)y x y ,y x x (2222++±与向量y)(x,a =→垂直的单位向量为：)yx x ,yx y (-2222++±。
解读：8.三角形的五个“心”： 重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点.旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点. 解读：9.三角形中向量性质：① 1）AB AC +过BC 边的中点.2）||||||||()()AB AC AB AC AB AC AB AC +⊥-；②13()0PG PA PB PC GA GB GC G =++⇔++=⇔为ABC ∆的重心；③PA PB PB PC PA PC P ⋅=⋅=⋅⇔为ABC ∆的垂心；④||||||0BC PA CA PB AB PC P ++=⇔为ABC ∆的内心；||||()(0)AB AC AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆内心.解读：10.（1）)c b (a c )b a (→→→→→→∙∙≠∙∙；（2）c b b a⋅=⋅c a=.但可以推出：→→→⊥b )c -a (。
解读：11.三角形重心坐标公式：△ABC 的顶点()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，重心坐标()y x G ,：)3,3(321321y y y x x x ++++ 注意：在△ABC 中，若0为重心，则=++，这是充要条件. 解读：12.三角形五“心”向量形式的充要条件 设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔==. （2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅. （4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=. （5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+. 解读：13.设→1e 、→2e 是平面内不共线的两向量，→→→+=2111e e a μλ，→→→+=2212e e b μλ，若b a//，则0-1221=μλμλ。
解读：14.设→1e 、→2e 是平面内不共线的两向量，⎩⎨⎧==⇔+=→→→0e e 0212111λλλλ 解读：15.不共线向量无除法运算。
解读： 16.首尾相接的向量之和：→→→→→→==++++1n n 1n 1-n 433221A A -A A A A ......A A A A A A解读：17.在∆ABC 中，→→→→=++0CA BC AB 解读：18.直线0C By Ax l =++：的方向向量有无数个。
其中，（1，k ）与)sin ,(cos θθ是较特殊的两个。
θ为直线的倾斜角、k 为直线的斜率。
解读：19.重要结论：1）F 1P → ＝λF 1Q →，则三点1F 、P 、Q 共线。
2）若⇔+=→→→)OB OA (21OP 点P 为AB 的中点。
解读：20.四边形中的向量问题：1）平行四边形两对角线的平方之和等于四边平方之和。
即)b a 2(b -a b a 2222→→→→→→+=++2）在四边形ABCD 中，若⇔=→→DC AB 四边形ABCD 为平行四边形。
注：若在平面中，若→→=DC AB ，则推不出ABCD 为平行四边形，有可能四点共线。
3）在四边形ABCD 中，若→→=DC AB ，且→→=AD AB ，则四边形ABCD 为菱形。
4）在四边形ABCD 中，若0)AD AB ()AD -AB (=+∙→→→→，则四边形ABCD 为菱形。
5）在四边形ABCD 中，若1)(DC AB ≠=→→λλ，则四边形ABCD 为梯形。
6）在四边形ABCD 中，若→→=DC AB ，且0AD AB =∙→→，则四边形ABCD 为矩形。
7）在四边形ABCD 中，若→→→→=+AD -AB AD AB ，则四边形ABCD 为矩形。
解读：三、典型例题分析例1 已知A （-1，2），B （2，8），AC =31AB ，DA = -31BA ，求点C 、D 和向量CD 的坐标．分析：待定系数法设定点C 、D 的坐标，再根据向量AC AB ，DA 和CD 关系进行坐标运算，用方程思想解之．解：设C 、D 的坐标为),(11y x 、),(22y x ，由题意得=（2,111-+y x ），=（3，6）， =（222,1y x ---），=（-3，-6）又AC =31AB ，DA = -31BA ∴（2,111-+y x ）=31（3，6）， （222,1y x ---）=-31（-3，-6）即 (2,111-+y x )=(1,2) ， (222,1y x ---)=(1,2) ∴111=+x 且221=-y ，112=--x 且222=-y ∴01=x 且41=y ，且22-=x 02=y∴点C 、D 和向量 的坐标分别为（0，4）、（-2，0）和（-2，-4） 小结：本题涉及到方程思想，对学生运算能力要求较高．变式训练1 已知点(2,3),(1,1)M N --，点1(,)2P x 在线段M N 的中垂线上，则点P 的横坐标x 的值是（ ）A. 52- B. 32- C. 72- D. 3-小结与拓展：例 2 已知一个平行四边形ABCD 的顶点9(,7),(2,6)2A B --，对角线的交点为3(3,)2M ，则它的另外两个顶点的坐标为 ．变式训练2 已知P 1(3,2)，P 2（8，3），若点P 在直线P 1P 2上，且满足|P 1P|=2|PP 2|，求点P 的坐标。
错解：由|P 1P|=2|PP 2|得，点P 分P 1P 2所成的比为2，代入定比分点坐标公式得P （38,319） 错因：对于|P 1P|=2|PP 2|这个等式，它所包含的不仅是点P 为 P 1，P 2 的内分点这一种情况，还有点P 是 P 1，P 2的外分点。
故须分情况讨论。
正解：当点P 为 P 1，P 2 的内分点时，P 分P 1P 2所成的比为2，此时解得P （38,319）； 当点P 为 P 1，P 2 的外分点时，P 分P 1P 2所成的比为-2，此时解得P （13，4）。
则所求点P 的坐标为（38,319）或（13，4）。
点评：在运用定比分点坐标公式时，要审清题意，注意内外分点的情况。
也就是分类讨论的数学思想。
变式训练3 若点P 分AB 所成的比为34，则A 分BP 所成的比为（ ）A. 37B. 73C. 73- D. 37-变式训练4 设线段12P P 的长为5cm ，写出点P 分有向线段12PP 所成的比为λ（1）点P 在线段12P P 上，11PP cm =，则λ=______.（2）点P 在12P P 的延长线上，21P Pcm =，则λ=______.（3）点P 在12P P 的反向延长线上，11PP cm =，则λ=______.小结与拓展：例3 已知三角形ABC的三个顶点为(1,2),(4,1),(3,4)A B C，（1）求三边的长；（2）求AB边上的中线CM的长；（3）求重心G的坐标；（4）求A∠的平分线AD的长；（5）在AB上取一点P，使过P且平行于BC的直线PQ把ABC∆的面积分成4:5的两部分，求点P的坐标．变式训练 5 已知(1,1),(2,3),(8,3)O A B-且,C D是AB的三等分点，试求OC OD的坐标.,变式训练6 已知向量1(1,1),(4,4)OP OP ==-，且点P 分有向线段12PP 的比为－２，则2OP 的坐标可以是（ ） A.53(,)22- B. 53(,)22- C. (7,9)- D. (9,7)-小结与拓展：四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）1.知识：2.思想与方法：3.易错点：4.教学反思（不足并查漏）。