(完整)高中数学平面向量知识点总结,推荐文档

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高一数学平面向量基础知识整理

高一数学平面向量基础知识整理一、向量的定义与表示在数学中，向量是有大小和方向的量。

常用箭头在平面上表示向量，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

二、向量的性质1. 向量的相等性：向量的大小和方向完全相同，则两个向量相等。

2. 向量的相反性：如果两个向量大小相等，方向相反，则为相反向量。

3. 零向量：大小为零的向量，任何向量与零向量相加仍为原向量。

4. 平行向量：两个向量具有相同或相反的方向时，称为平行向量。

5. 共线向量：两个向量在同一直线上，或者其中一个是另一个的常数倍时，称为共线向量。

6. 自由向量和定位向量：自由向量可以平移，定位向量则有固定的起点和终点。

三、向量的运算1. 向量的加法：- 要将两个向量相加，将它们首尾相连，连接起点和终点，新向量的起点是第一个向量的起点，终点是第二个向量的终点。

- 满足交换律和结合律。

2. 向量的减法：- 将减法转化为加法，即将减去的向量取相反向量，再进行加法。

3. 数量积：- 数量积又称为点积或内积，表示为两个向量的数量积的积，用符号 "·" 表示。

- 定义为两个向量的模的乘积再乘以它们的夹角的余弦值。

4. 向量的数乘：- 数乘即将向量的每个分量都乘以一个标量。

四、向量的模（长度）向量的模表示向量的大小，有两种计算方法：1. 用坐标表示：向量 (a, b) 的模为√(a² + b²)。

2. 用数量积表示：设向量 a 的模为 |a|，则|a| = √(a·a)。

五、单位向量单位向量的模为 1，任何非零向量的单位向量可以通过将向量除以它的模来获得。

六、向量的夹角1. 向量的夹角余弦：- 两个非零向量 a 和 b 的夹角余弦定义为：cosθ = (a·b) / (|a| |b|)，其中θ 为夹角。

2. 向量的垂直与平行关系：- 若 a·b = 0，则 a 与 b 垂直。

平面向量复习基本知识点及结论总结

平面向量复习基本知识点及结论总结平面向量是指在平面上具有大小和方向的量，用箭头表示。

平面向量有两个重要的基本运算：向量的加法和数乘。

1.平面向量的加法：-向量的加法满足交换律：A+B=B+A-向量的加法满足结合律：(A+B)+C=A+(B+C)-零向量的性质：对于任意向量A，有A+0=0+A=A-负向量的性质：对于任意向量A，有A+（-A）=02.平面向量的数乘：-数乘的分配律：k（A+B）=kA+kB-数乘的结合律：（k+m）A=kA+mA- 数乘的分配律：k（lmA）= （klm）A-零向量的数乘：0A=03.平面向量的基本性质和结论：-平行向量：若存在非零实数k，使得A=kB，称向量A与向量B平行。

-相等向量：若AB，CD是向量，则A=C，B=D，则称向量AB和CD相等。

-相反向量：若AB是向量，则存在一个向量BA，满足AB+BA=0，称向量BA是向量AB的相反向量。

-向量共线：若有两个不共线的向量AB和CD，如果存在非零实数k，使得CD=kAB，则称向量CD与向量AB共线。

-平移：若向量u等于向量a加上向量b，即u=a+b，则向量u和向量a平行。

4.向量的模：-向量的模表示向量的长度，通常用，A，表示，它的计算公式为，A，=√(x²+y²)，其中(x,y)是向量A的坐标。

5.向量的共线与垂直：-向量共线：若向量A与向量B不为零向量且存在非零实数k，使得A=kB，则称向量A与向量B共线。

-向量垂直：若点A的坐标(x₁,y₁)和点B的坐标(x₂,y₂)满足x₁x₂+y₁y₂=0，则称向量AB垂直。

6.单位向量与方向角：-单位向量：向量长度为1的向量称为单位向量。

-方向角：向量与x轴的夹角称为它的方向角，用θ表示。

以上是平面向量的基本知识点和结论的总结，掌握这些知识可以帮助我们进行平面向量的运算、证明和推断。

为了更好地理解和应用平面向量，需要进行大量的练习和实践。

高中数学平面向量知识点归纳总结

高中数学平面向量知识点归纳总结
1. 平面向量的定义
平面向量是具有大小和方向的有序数对，可以用箭头表示。

常
用字母表示向量，如a、b等。

向量的大小可以用模表示，记作|a|。

2. 平面向量的运算
2.1 向量的加法
向量的加法是指将两个向量按照相同的方向连接起来，得到一
个新的向量。

加法满足交换律和结合律。

2.2 向量的减法
向量的减法是指将两个向量相加的相反向量相加，得到一个新
的向量。

2.3 向量的数量积
向量的数量积（点积）是指两个向量相乘后的数量，用点表示，记作a · b。

数量积满足交换律和分配律。

2.4 向量的向量积
向量的向量积（叉积）是指两个向量相乘后的向量，用叉表示，记作a × b。

3. 平面向量的性质
3.1 平行向量
如果两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。

平行向
量的数量积等于两个向量的模的乘积。

3.2 垂直向量
如果两个向量的数量积为0，则它们是垂直向量。

垂直向量的
点积为0。

3.3 向量的模
向量的模表示向量的大小，可以使用勾股定理求解。

4. 平面向量的应用
平面向量在几何中有广泛的应用，可以用来表示平移、旋转和
线段的位置关系等。

在物理学中，平面向量可以用来表示力的大小
和方向。

以上是关于高中数学平面向量的基本知识点归纳总结。

希望能够对你的学习和理解有所帮助！。

(完整版)平面向量知识点总结(精华)

平面向量基础知识复习必修4 平面向量知识点小结一、向量的基本概念1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移.举例1 已知(1,2)A ，(4,2)B ，则把向量AB u u u r按向量(1,3)a =-r 平移后得到的向量是_____. 结果：(3,0)2.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0r，规定：零向量的方向是任意的；3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB u u u r共线的单位向量是||AB AB ±u u u ru u u r ）；4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a r、b r 叫做平行向量，记作：a r∥b r ，规定：零向量和任何向量平行.注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0r )；④三点A B C 、、共线 AB AC ⇔u u u r u u u r、共线.6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a r的相反向量记作a -r.举例2 如下列命题：（1）若||||a b =r r ，则a b =rr .（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.（3）若AB DC =u u u r u u u u r，则ABCD 是平行四边形.（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =u u u r u u u u r.（5）若a b =rr ，b c =r r ，则a c =r r .（6）若//a b r r ，//b c r r 则//a c r r.其中正确的是 . 结果：（4）（5）二、向量的表示方法1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如AB u u u r，注意起点在前，终点在后；平面向量基础知识复习2.符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如a r ，b r ，c r等；3.坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j r r 为基底，则平面内的任一向量a r可表示为(,)a xi yj x y =+=r r r ，称(,)x y 为向量a r 的坐标，(,)a x y =r 叫做向量a r的坐标表示.结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.三、平面向量的基本定理定理设12,e e r r 同一平面内的一组基底向量，a r是该平面内任一向量，则存在唯一实数对12(,)λλ，使1122a e e λλ=+r r r.（1）定理核心：1122a λe λe =+r r r；（2）从左向右看，是对向量a r 的分解，且表达式唯一；反之，是对向量a r 的合成.（3）向量的正交分解：当12,e e r r 时，就说1122a λe λe =+r r r为对向量a r 的正交分解．举例3 （1）若(1,1)a =r ，(1,1)b =-r ，(1,2)c =-r ，则c =r . 结果：1322a b -rr . （2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 BA.1(0,0)e =r ，2(1,2)e =-r B.1(1,2)e =-r ，2(5,7)e =r C.1(3,5)e =r ，2(6,10)e =r D.1(2,3)e =-r，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r （3）已知,AD BE u u u r u u u r 分别是ABC △的边BC ，AC 上的中线,且AD a =u u u r r ，BE b =u u u r r ,则BCu u u r可用向量,a b r r 表示为 . 结果：2433a b +rr . （4）已知ABC △中，点D 在BC 边上，且2CD DB =u u u r u u u r ，CD rAB sAC =+u u u r u u u r u u u r，则r s +=的值是 . 结果：0. 四、实数与向量的积实数λ与向量a r 的积是一个向量，记作a λr，它的长度和方向规定如下：（1）模：||||||a a λλ=⋅r r；（2）方向：当0λ>时，a λr 的方向与a r 的方向相同，当0λ<时，a λr的方向与a r的方向相反，当0λ=时，0a λ=r r ，注意：0a λ≠r .五、平面向量的数量积1.两个向量的夹角：对于非零向量a r，b r ，作OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，则把(0)AOB θθπ∠=≤≤称为向量a r，b r 的夹角.当0θ=时，a r ，b 同向；当θπ=时，a r ，b 反向；当2πθ=时，a r，b 垂直.2.平面向量的数量积：如果两个非零向量a r，b r ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θr r 叫做a r与b r 的数量积（或内积或点积），记作：a b ⋅r r ，即||||cos a b a b θ⋅=⋅r r r r.规定：零向量与任一向量的数量积是0.注：数量积是一个实数，不再是一个向量.举例4 （1）ABC △中，||3AB =u u u r ，||4AC =u u u r ，||5BC =u u u r ，则AB BC ⋅=u u u r u u u r_________. 结果：9-.（2）已知11,2a ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，10,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r ，c a kb =+r r r ，d a b =-r r r ，c r 与d r 的夹角为4π，则k = ____. 结果：1.（3）已知||2a =r ，||5b =r ，3a b ⋅=-rr ，则||a b +=r r ____. （4）已知,a b r r 是两个非零向量，且||||||a b a b ==-r r r r ，则a r 与a b +rr 的夹角为____. 结果：30o.3.向量b r 在向量a r上的投影：||cos b θr ，它是一个实数，但不一定大于0.举例 5 已知||3a =r ，||5b =r ，且12a b ⋅=rr ，则向量a r 在向量b r 上的投影为______. 结果：125. 4.a b ⋅r r 的几何意义：数量积a b ⋅r r 等于a r 的模||a r 与b r在a r上的投影的积.5.向量数量积的性质：设两个非零向量a r，b r ，其夹角为θ，则：（1）0a b a b ⊥⇔⋅=r rr r ；（2）当a r、b r 同向时，||||a b a b ⋅=⋅r r r r ，特别地，22||||aa a a a =⋅=⇔=r r r r r ||||ab a b ⋅=⋅r r r r 是a r、b r 同向的充要分条件；当a r 、b r 反向时，||||ab a b ⋅=-⋅r r r r ，||||a b a b ⋅=-⋅r r r r 是a r、b r 反向的充要分条件；当θ为锐角时，0a b ⋅>r r ，且a r、b r 不同向，0a b ⋅>r r 是θ为锐角的必要不充分条件；当θ为钝角时，0a b ⋅<r r ，且a r、b r 不反向；0a b ⋅<r r 是θ为钝角的必要不充分条件.（3）非零向量a r，b r 夹角θ的计算公式：cos ||||a b a b θ⋅=r r r r ；④||||a b a b ⋅≤r r r r . 举例6 （1）已知(,2)aλλ=r ，(3,2)b λ=r ，如果a r与b r 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______. 结果：43λ<-或0λ>且13λ≠；（2）已知OFQ △的面积为S ，且1OF FQ ⋅=u u u r u u u r ，若12S <，则OF u u u r ，FQ u u u r 夹角θ的取值范围是_________. 结果：,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭；（3）已知(cos ,sin )a x x =r ，(cos ,sin )b y y =r ，且满足|||ka b a kb +-r r r r（其中0k >）.①用k 表示a b ⋅r r ；②求a b ⋅rr 的最小值，并求此时a r 与b r 的夹角θ的大小.结果：①21(0)4k a b k k +⋅=>r r ；②最小值为12，60θ=o. 六、向量的运算1.几何运算（1）向量加法运算法则：①平行四边形法则；②三角形法则.运算形式：若AB a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，则向量AC u u u r 叫做a r与b r 的和，即a b AB BC AC +=+=u u ur u u u r u u u r r r ；作图：略.注：平行四边形法则只适用于不共线的向量. （2）向量的减法运算法则：三角形法则.运算形式：若AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，则a b AB AC CA -=-=u u ur u u u r u u u r r r ，即由减向量的终点指向被减向量的终点.作图：略.注：减向量与被减向量的起点相同.举例7 （1）化简：①AB BC CD ++=u u u r u u u r u u u r ；②AB AD DC --=u u u r u u u r u u u u r；③()()AB CD AC BD ---=u u u r u u u r u u u r u u u r . 结果：①AD u u u r ；②CB u u u r ；③0r；（2）若正方形ABCD 的边长为1，AB a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，AC c =u u u r r ，则||a b c ++=r r r. 结果：（3）若O 是ABC △所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则ABC △的形状为. 结果：直角三角形；（4）若D 为ABC △的边BC 的中点，ABC △所在平面内有一点P ，满足0PA BP CP ++=u u u r u u u r u u u r r ，设||||AP PD λ=u u u ru u u r ，则λ的值为 . 结果：2；（5）若点O 是ABC △的外心，且0OA OB CO ++=u u u r u u u r u u u r r，则ABC △的内角C 为 . 结果：120o.2.坐标运算：设11(,)a x y =r，22(,)b x y =r ，则（1）向量的加减法运算：1212(,)a b x x y y +=++r r ，1212(,)a b x x y y -=--r r . 举例8 （1）已知点(2,3)A ，(5,4)B ，(7,10)C ，若()AP AB AC λλ=+∈R u u u r u u u r u u u r，则当λ=____时，点P 在第一、三象限的角平分线上. 结果：12；（2）已知(2,3)A ，(1,4)B ，且1(sin ,cos )2AB x y =u u u r ，,(,)22x y ππ∈-，则x y += .结果：6π或2π-；（3）已知作用在点(1,1)A 的三个力1(3,4)F =u u r ，2(2,5)F =-u u r ，3(3,1)F =u u r，则合力123F F F F =++u u r u u r u u r u u r的终点坐标是 . 结果：(9,1).（2）实数与向量的积：1111(,)(,)a x y x y λλλλ==r.（3）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2121(,)AB x x y y =--u u u r，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.举例9 设(2,3)A ，(1,5)B -，且13AC AB =u u u r u u u r，3AD AB =u u u r u u u r ，则,C D 的坐标分别是__________. 结果：11(1,),(7,9)3-. （4）平面向量数量积：1212a b x x y y ⋅=+rr .举例10 已知向量(sin ,cos )a x x =r ，(sin ,sin )b x x =r ，(1,0)c =-r.（1）若3x π=，求向量a r 、c r的夹角；（2）若3[,]84x ππ∈-，函数()f x a b λ=⋅r r 的最大值为12，求λ的值.结果：（1）150o；（2）12或1.（5）向量的模：2222||||aa x y a ==+⇔=r r r举例11 已知,a b rr 均为单位向量，它们的夹角为60o，那么|3|a b +=r r ＝ .结果：（6）两点间的距离：若11(,)A x y ，22(,)B x y，则||AB =举例12 如图，在平面斜坐标系xOy 中，xOy ∠=P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若12OP xe ye =+u u u r r r ，其中12,e e r ry 轴同方向的单位向量，则P 点斜坐标为(,)x y .（1）若点P 的斜坐标为(2,2)-，求P 到O 的距离||PO ；（2）求以O 为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程. 结果：（1）2；（2）2210x y xy ++-=. 七、向量的运算律1.交换律：a b b a +=+r r r r ，()()a a λμλμ=r r，a b b a ⋅=⋅r r r r ；2.结合律：()ab c a b c ++=++r r r r r r ，()a b c a b c --=-+r r r r r r ，()()()a b a b a b λλλ=⋅=⋅r r r r r r； 3.分配律：()a a a λμλμ+=+r r r，()a b a b λλλ+=+r r r r ，()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅r r r r r r r .举例13 给出下列命题：① ()a b c a b a c ⋅-=⋅-⋅r r r r r r r ；② ()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r；③222()||2||||||a b a a b b -=-+r rr r r r ；④ 若0a b ⋅=rr ，则0a =r r 或0b =r r ；⑤若a b c b ⋅=⋅r r r r 则a c=r r ；⑥22||a a =r r ；⑦2a b b a a⋅=r r r r r ；⑧222()a b a b ⋅=⋅r r r r ；⑨222()2a b a a b b -=-⋅+r r rr r r .其中正确的是 . 结果：①⑥⑨. 说明：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅r r r r r r，为什么？八、向量平行(共线)的充要条件221212//()(||||)0a b a b a b a b x y y x λ⇔⇔⋅=⇔-=r r r rr r r r .举例14 (1)若向量(,1)a x =r ，(4,)b x =r ，当x =_____时，a r 与b r 共线且方向相同. 结果：2.（2）已知(1,1)a =r ，(4,)b x =r ，2u a b =+r r r ，2v a b =+rr r ，且//u v r r ，则x = . 结果：4.（3）设(,12)PA k =u u u r ，(4,5)PB =u u u r ，(10,)PC k =u u u r，则k = _____时，,,A B C 共线. 结果：2-或11.九、向量垂直的充要条件12120||||0a b a b a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=-⇔+=r r r rr r r r .特别地||||||||AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫+⊥- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 举例15 (1)已知(1,2)OA =-u u u r ，(3,)OB m =u u u r ，若OA OB ⊥u u u r u u u r，则m = .结果：32m =；（2）以原点O 和(4,2)A 为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B ∠=︒，则点B 的坐标是 .结果：(1,3)或（3，－1））；（3）已知(,)n a b =r 向量n m ⊥r r ，且||||n m =r r ，则m=r 的坐标是 .结果：(,)b a -或(,)b a -.十、线段的定比分点1.定义：设点P 是直线12PP 上异于1P 、2P 的任意一点，若存在一个实数λ ，使12PP PP λ=u u u r u u u r，则实数λ叫做点P 分有向线段12P P u u u u r 所成的比λ，P 点叫做有向线段12P P u u u u r 的以定比为λ的定比分点.2.λ的符号与分点P 的位置之间的关系（1）P 内分线段12P P u u u u r，即点P 在线段12PP 上0λ⇔>；（2）P 外分线段12P P u u u u r时，①点P 在线段12PP 的延长线上1λ⇔<-，②点P 在线段12PP 的反向延长线上10λ⇔-<<.注：若点P 分有向线段12PP u u u u r 所成的比为λ，则点P 分有向线段21P P u u u u r所成的比为1λ.举例16 若点P 分AB u u u r 所成的比为34，则A 分BP u u u r所成的比为 . 结果：73-. 3.线段的定比分点坐标公式：设111(,)P x y ，222(,)P x y ，点(,)P x y 分有向线段12P P u u u u r所成的比为λ，则定比分点坐标公式为1212,1(1).1x x x y y y λλλλλ+⎧=⎪⎪+≠-⎨+⎪=⎪+⎩. 特别地，当1λ=时，就得到线段12PP 的中点坐标公式1212,2.2x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 说明：（1）在使用定比分点的坐标公式时，应明确(,)x y ，11(,)x y 、22(,)x y 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标.（2）在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比λ.举例17 （1）若(3,2)M --，(6,1)N -，且13MP MN =-u u u u r u u u ur ，则点P 的坐标为 . 结果：7(6,)3--；（2）已知(,0)A a ，(3,2)B a +，直线12y ax =与线段AB 交于M ，且2AM MB =u u u u r u u u u r，则a =r. 结果：２或4-. 十一、平移公式如果点(,)P x y 按向量(,)a h k =r 平移至(,)P x y ''，则,.x x h y y k '=+⎧⎨'=+⎩；曲线(,)0f x y =按向量(,)a h k =r平移得曲线(,)0f x h y k --=.说明：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！举例18 （1）按向量a r 把(2,3)-平移到(1,2)-，则按向量a r 把点(7,2)-平移到点______. 结果：(8,3)-；（2）函数sin 2y x =的图象按向量a r 平移后，所得函数的解析式是cos21y x =+，则a =r ________. 结果：(,1)4π-. 十二、向量中一些常用的结论1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；2.模的性质：||||||||||a b a b a b -≤+≤+r r r r r r.平面向量基础知识复习（1）右边等号成立条件： a b r r 、同向或 a b r r 、中有0r ||||||a b a b ⇔+=+r r ；（2）左边等号成立条件： a b r r 、反向或 a b r r 、中有0r ||||||a b a b ⇔-=+r r r r；（3）当 a b r r 、不共线||||||||||a b a b a b ⇔-<+<+r r r r r r.3.三角形重心公式在ABC △中，若11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，则其重心的坐标为123123(,)33x x x y y y G ++++. 举例19 若ABC △的三边的中点分别为(2,1)A 、(3,4)B -、(1,1)C --，则ABC △的重心的坐标为 .结果：24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭. 5.三角形“三心”的向量表示（1）1()3PG PA PB PC G =++⇔u u u r u u u r u u u r u u u r为△ABC 的重心，特别地0PA PB PC G++=⇔u u u r u u u r u u u r r 为△ABC 的重心.（2）PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔u u u r u u u ru u u r u u u ru u u r u u u r为△ABC 的垂心.（3）||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r为△ABC 的内心；向量(0)||||AB AC AB AC λλ⎛⎫+≠ ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u ru u u u r u u u u r 所在直线过△ABC 的内心. 6.点P 分有向线段12P P u u u u r所成的比λ向量形式设点P 分有向线段12P P u u u u r所成的比为λ，若M 为平面内的任一点，则121MP MPMP λλ+=+u u u u r u u u u r u u u r ，特别地P 为有向线段12P P u u u u r 的中点122MP MPMP +⇔=u u u u r u u u u ru u u r .7. 向量,,PA PB PC u u u r u u u r u u u r中三终点,,A B C 共线⇔存在实数,αβ，使得PA PB PC αβ=+u u u r u u u r u u u r且1αβ+=．举例20 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(3,1)A ，(1,3)B -，若点C 满足12OC OA OB λλ=+u u u r u u u r u u u r,其中12,λλ∈R 且121λλ+=,则点C 的轨迹是 . 结果：直线AB .。

高中平面向量知识点详细归纳总结(附带练习)

向量的概念一、高考要求：理解有向线段及向量的有关概念,掌握求向量和与差的三角形法则和平行四边形法则,掌握向量加法的交换律和结合律.二、知识要点：1. 有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A 为始点,B 为终点的有向线段记作AB ,注意:始点一定要写在前面,已知AB ,线段AB 的长度叫做有向线段AB 的长(或模),AB 的长度记作AB ||.有向线段包含三个要素:始点、方向和长度.2. 向量:具有大小和方向的量叫做向量,只有大小和方向的向量叫做自由向量.在本章中说到向量,如不特别说明,指的都是自由向量.一个向量可用有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.用有向线段AB 表示向量时,我们就说向量AB .另外,在印刷时常用黑体小写字母a 、b 、c 、…等表示向量;手写时可写作带箭头的小写字母a 、b 、c 、…等.与向量有关的概念有:(1) 相等向量:同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.向量a 和b 同向且等长,即a 和b 相等,记作a =b .(2) 零向量:长度等于零的向量叫做零向量,记作0.零向量的方向不确定.(3) 位置向量:任给一定点O 和向量a ,过点O 作有向线段OA a =,则点A 相对于点O 的位置被向量a 所唯一确定,这时向量a 又常叫做点A 相对于点O 的位置向量.(4) 相反向量:与向量a 等长且方向相反的向量叫做向量a 的相反向量,记作a -.显然,()0a a +-=.(5) 单位向量:长度等于1的向量,叫做单位向量,记作e .与向量a 同方向的单位向量通常记作0a ,容易看出:0a a a =│ │. (6) 共线向量(平行向量):如果表示一些向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,即这些向量的方向相同或相反,则称这些向量为共线向量(或平行向量).向量a 平行于向量b ,记作a ∥b .零向量与任一个向量共线(平行).三、典型例题：例:在四边形ABCD 中,如果AB DC =且AB BC =│ │ │ │ ,那么四边形ABCD 是哪种四边形? 四、归纳小结：1. 用位置向量可确定一点相对于另一点的位置,这是用向量研究几何的依据.2. 共线向量(平行向量)可能有下列情况: (1)有一个为零向量;(2)两个都为零向量;(3)方向相同,模相等(即相等向量);(4)方向相同,模不等;(5)方向相反,模相等;(6)方向相反,模不等.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 下列命题中: (1)向量只含有大小和方向两个要素. (2)只有大小和方向而无特定的位置的向量叫自由向量. (3)同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量. (4)点A 相对于点B 的位置向量是BA . 正确的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个2. 设O 是正△ABC 的中心,则向量,,AO OB OC 是( )A.有相同起点的向量B.平行向量C.模相等的向量D.相等向量3. a b =的充要条件是( )A.a b =│ │ │ │ B.a b =│ │ │ │ 且a b ∥ []l C.a b ∥ D.a b =│ │ │ │ 且a 与b 同向 4. AA BB ''=是四边形ABB A ''是平行四边形的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件5. 依据下列条件,能判断四边形ABCD 是菱形的是( )A.AD BC =B.AD BC ∥且AB CD ∥C.AB DC =且AB AD =│ │ │ │ D.AB DC =且AD BC = 6. 下列关于零向量的说法中,错误的是( )A.零向量没有方向B.零向量的长度为0C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向任意7. 设与已知向量a 等长且方向相反的向量为b ,则它们的和向量a b +等于( )A.0B.0C.2aD.2b（二）填空题：8. 下列说法中: (1)AB 与BA 的长度相等 (2)长度不等且方向相反的两个向量不一定共线 (3)两个有共同起点且相等的向量,终点必相同(4)长度相等的两个向量必共线。

高中数学平面向量知识点总结

高中数学平面向量知识点总结一、平面向量的基本概念1. 定义：平面向量是有大小和方向的量，可以用有序实数对表示。

2. 表示法：通常用小写字母加箭头表示，如 $\vec{a}$。

3. 相等：两个向量大小相等且方向相同时，这两个向量相等。

4. 零向量：大小为零的向量，没有特定方向。

二、平面向量的运算1. 加法：- 规则：平行四边形法则或三角形法则。

- 交换律：$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$。

- 结合律：$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$。

2. 减法：- 规则：与加法类似，但方向相反。

- 逆向量：$\vec{a} - \vec{a} = \vec{0}$。

3. 数乘：- 定义：向量与实数相乘。

- 规则：$k\vec{a} = \vec{a}$ 的长度变为 $|k|$ 倍，方向与$k$ 的符号一致。

- 分配律：$(k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$。

- 结合律：$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$。

三、平面向量的坐标表示1. 坐标表示：$\vec{a} = (x, y)$，其中 $x$ 和 $y$ 是向量在坐标轴上的分量。

2. 几何意义：$x$ 分量表示向量在 $x$ 轴上的长度，$y$ 分量表示向量在 $y$ 轴上的长度。

3. 坐标运算：- 加法：$(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$。

- 减法：$(x_1, y_1) - (x_2, y_2) = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$。

- 数乘：$k(x, y) = (kx, ky)$。

四、平面向量的模与单位向量1. 模（长度）：- 定义：向量从原点到其终点的距离。

平面向量知识点梳理

平面向量知识点梳理第一篇：一、平面向量的基本概念及表示方法1. 平面向量的定义：平面向量是具有大小和方向的量，用箭头表示。

2. 平面向量的表示方法：平面向量通常用有向线段来表示，线段的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

二、平面向量的运算法则1. 向量的加法：将两个向量的起点放在一起，然后将两个箭头相连，连接结果的箭头即为两个向量相加的结果。

2. 向量的减法：将两个向量的起点放在一起，然后将第二个向量取反，再按向量加法的法则进行运算。

3. 向量的数乘：将向量的长度与一个数相乘，结果的方向保持不变，只改变了大小。

三、平面向量的性质1. 平面向量的相等：两个向量的大小和方向完全相同，则它们是相等的。

2. 平面向量的负向量：具有相同大小但方向相反的向量称为原向量的负向量。

3. 平面向量的数量积：两个向量的数量积等于两个向量的模长的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。

4. 平面向量的夹角：两个向量的夹角是一个锐角，它与它们的余弦值有关。

5. 平面向量的线性相关与线性无关：若存在不全为零的实数使得向量的线性组合等于零向量，则称这些向量线性相关；否则称这些向量线性无关。

四、平面向量的坐标表示1. 平面向量的坐标表示方法：平面向量可以用有序数对或者列向量来表示。

2. 平面向量的坐标运算：平面向量的加法、减法和数乘运算可以通过对应元素之间的运算来进行。

五、平面向量的标准表示1. 平面向量的标准表示方法：平面向量可以表示为单位向量与它的长度的乘积。

2. 平面向量的标准化：将向量除以它的模长，使其成为单位向量。

六、平面向量的数量积1. 平面向量的数量积的计算：将两个向量的对应坐标相乘，再将相乘结果相加。

2. 平面向量的数量积与夹角：两个向量的数量积等于它们的模长的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积。

以上是平面向量的一些基本概念、运算法则、性质和表示方法的梳理。

通过学习平面向量，我们可以更好地理解和应用向量的概念，并在几何问题中进行计算和推导。

(完整版)高中数学平面向量知识点总结

高中数学必修4之平面向量知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算1、向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行③单位向量：模为1个单位长度的向量④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量2、向量加法：设,ABa BCb uu u ru uu r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =ACuu u r （1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律；AB BCCDPQQRAR u u u r u u u r u uu r u u u r u u u r u u u rL，但这时必须“首尾相连”．3、向量的减法：①相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，③作图法：b a可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点）4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a ；（Ⅱ）当0时，λa 的方向与a 的方向相同；当时，λa 的方向与a 的方向相反；当0时，0a，方向是任意的5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线有且只有一个实数，使得b =a6、平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,使：2211e ea，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二.平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a r可表示成axi yj r rr ，记作a r=(x,y)。

2平面向量的坐标运算：(1)若1122,,,ax y bx y rr ，则1212,a bx x y y r r (2)若2211,,,y x B y x A ，则2121,AB x x y y u u u r(3)若a r =(x,y)，则a r =(x, y)(4)若1122,,,a x y b x y r r ，则1221//0a b x y x y rr (5)若1122,,,ax y bx y rr ，则1212a bx x y y r r 若ab rr ，则02121y y x x 三．平面向量的数量积1两个向量的数量积：已知两个非零向量a r 与b r，它们的夹角为，则a r ·b r =︱a r︱·︱b r ︱cos 叫做a r与b r 的数量积（或内积）规定00ar r 2向量的投影：︱b r ︱cos =||a b a r r r ∈R ，称为向量b r 在a r方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义：a r ·b r 等于a r 的长度与b r 在a r方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：22||a a a a r r r r 5乘法公式成立：2222a b ab a b a b r r r r r r r r ；2222abaa bb r r r r r r 222aa bbr r r r 6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a bb arr r r ②对实数的结合律成立：a b a b a bRr r r r r r ③分配律成立：abca cb c r r r r r r r ca br r r 特别注意：（1）结合律不成立：ab ca b c r r r r r r ；（2）消去律不成立a ba cr r r r 不能得到bc rr （3）a b r r =0不能得到a r =0r或b r =0r 7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)ax y b x y rr，则a r ·b r=1212x x y y 8向量的夹角：已知两个非零向量a r与b r ，作OA u u u r =a r , OB uuu r =b r ,则∠AOB=（01800）叫做向量a r 与b r 的夹角cos =cos,a b a ba b??r r r r r r =222221212121y x y x y y x x 当且仅当两个非零向量a r 与b r 同方向时，θ=00，当且仅当a r与b r 反方向时θ=1800，同时0r与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a r 与b r 的夹角为900则称a r 与b r 垂直，记作a r⊥br 10两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥ba ·b ＝O02121y y x x 平面向量数量积的性质一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则()．A ．AB 与AC 共线B ．DE 与CB 共线C ．AD 与AE 相等D ．AD 与BD 相等2．下列命题正确的是()．A ．向量AB 与BA 是两平行向量B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝bC ．若AB ＝DC ，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足OC ＝OA ＋OB ，其中，∈R ，且＋＝1，则点C 的轨迹方程为()．A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝04．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b)⊥a ，(b －2a)⊥b ，则a 与b 的夹角是A ．6B ．3C ．23D ．565．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP ＝A ．λ(AB ＋AD )，λ∈(0，1)B ．λ(AB ＋BC )，λ∈(0，22)C ．λ(AB －AD )，λ∈(0，1)D ．λ(AB －BC )，λ∈(0，22)6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则DF ＝()．(第1题)A．EF＋ED B．EF－DE C．EF＋AD D．EF＋AF7．若平面向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为()．A．2 B．4 C．6 D．128．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的()．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点9．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，DC＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()．A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形10．如图，梯形ABCD中，|AD|＝|BC|，EF∥AB∥CD则相等向量是()．A．AD与BC B．OA与OBC．AC与BD D．EO与OF二、填空题11．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x＝．13．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC ＋BC·CA＋CA·AB的值等于．14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋mb)⊥(a－b)，则实数m 等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O是△ABC的．16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，若a＋c＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？(第10题)18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求DF．(第18题)19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE(利用向量证明)．(第19题) 20．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值．一、选择题1．B 解析：如图，AB 与AC ，AD 与AE 不平行，AD 与BD 共线反向．2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若AB ＝DC ，可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对．3．D解析：提示：设OC ＝(x ，y)，OA ＝(3，1)，OB ＝(－1，3)，OA ＝(3，)，OB ＝(－，3)，又OA ＋OB ＝(3－，＋3)，∴(x ，y)＝(3－，＋3)，∴33＋＝－＝y x ，又＋＝1，由此得到答案为D ．4．B解析：∵(a －2b)⊥a ，(b －2a)⊥b ，∴(a －2b)·a ＝a 2－2a ·b ＝0，(b －2a)·b ＝b 2－2a ·b ＝0，∴a 2＝b 2，即|a|＝|b|．∴|a|2＝2|a||b|cos θ＝2|a|2cos θ．解得cos θ＝21．∴a 与b 的夹角是3π．5．A解析：由平行四边形法则，AB ＋AD ＝AC ，又AB ＋BC ＝AC ，由λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．6．D解析：如图，∵AF ＝DE ，∴DF ＝DE ＋EF ＝EF ＋AF ．7．C解析：由(a ＋2b)·(a －3b)＝－72，得a 2－a ·b －6b 2＝－72．而|b|＝4，a ·b ＝|a||b|cos 60°＝2|a|，∴|a|2－2|a|－96＝－72，解得|a|＝6．8．D 解析：由OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，得OA ·OB ＝OC ·OA ,即OA ·(OC －OB )＝0，故BC ·OA ＝0，BC ⊥OA ，同理可证AC ⊥OB ，∴O 是△ABC 的三条高的交点．9．C解析：∵AD ＝AB ＋BC ＋D C ＝－8a －2b ＝2BC ，∴AD ∥BC 且|AD |≠|BC |．∴四边形ABCD 为梯形．10．D解析：AD 与BC ，AC 与BD ，OA 与OB 方向都不相同，不是相等向量．(第1题)二、填空题11．－32．解析：A ，B ，C 三点共线等价于AB ，BC 共线，AB ＝OB －OA ＝(4，5)－(k ，12)＝(4－k ，－7)，BC ＝OC －OB ＝(－k ，10)－(4，5)＝(－k －4，5)，又A ，B ，C 三点共线，∴5(4－k)＝－7(－k －4)，∴k ＝－32．12．－1．解析：∵M(－1，3)，N(1，3)，∴MN ＝(2，0)，又a ＝MN ，∴＝4－3－2＝3＋2x x x 解得4＝1＝－1＝－x x x 或∴x ＝－1．13．－25．解析：思路1：∵AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴△ABC 为直角三角形且∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0，∴AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB＝BC ·CA ＋CA ·AB ＝CA ·(BC ＋AB )＝－(CA )2＝－2CA ＝－25．思路2：∵AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴∠ABC ＝90°，∴cos ∠CAB ＝CAAB ＝53，cos ∠BCA ＝CABC＝54．根据数积定义，结合图(右图)知AB ·BC ＝0，BC ·CA ＝BC ·CA cos ∠ACE ＝4×5×(－54)＝－16，CA ·AB ＝CA ·AB cos ∠BAD ＝3×5×(－53)＝－9．∴AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝0―16―9＝－25．14．323．解析：a ＋mb ＝(3＋2m ，4－m)，a －b ＝(1，5)．∵(a ＋mb)⊥(a －b)，∴ (a ＋mb)·(a －b)＝(3＋2m)×1＋(4－m)×5＝0m ＝323．15．答案：重心．解析：如图，以OA ，OC 为邻边作□AOCF交AC 于点E ，则OF ＝OA ＋OC ，又OA ＋OC ＝－OB ，(第15题)D(第13题)∴OF ＝2OE ＝－OB ．O 是△ABC 的重心．16．答案：平行四边形．解析：∵a ＋c ＝b ＋d ，∴a －b ＝d －c ，∴BA ＝CD ．∴四边形ABCD 为平行四边形．三、解答题17．λ＜－1．解析：设点P 的坐标为(x ，y)，则AP ＝(x ，y)－(2，3)＝(x －2，y －3)．AB ＋λAC ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］＝(3，１)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，１＋7λ)．∵AP ＝AB ＋λAC ，∴ (x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)．∴713532yx 即7455yx 要使点P 在第三象限内，只需74055解得λ＜－1．18．DF ＝(47，2)．解析：∵A(7，8)，B(3，5)，C (4，3)，AB ＝(－4，－3)，AC ＝(－3，－5)．又D 是BC 的中点，∴AD ＝21(AB ＋AC )＝21(－4－3，－3－5)＝21(－7，－8)＝(－27，－4)．又M ，N 分别是AB ，AC 的中点，∴F 是AD 的中点，∴DF ＝－FD ＝－21AD ＝－21(－27，－4)＝(47，2)．19．证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋21b ，ED ＝b －21a ．∴AF ·ED ＝(a ＋21b)·(b －21a)＝21b 2－21a 2＋43a ·b ．又AB ⊥AD ，且AB ＝AD ，∴a 2＝b 2，a ·b ＝0．∴AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴|2a －b|2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－43cos θ．又4sin θ－43cos θ＝8(sin θcos3π－cos θsin3π)＝8sin(θ－3π)，最大值为8，∴|2a －b|2的最大值为16，∴|2a －b|的最大值为4．思路2：将向量2a ，b 平移，使它们的起点与原点重合，则|2a －b|表示2a ，b终点间的距离．|2a|＝2，所以2a 的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P ，b 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知，|PQ|的最大值为直径的长为4．(第18题)(第19题)。

(完整版)高中数学必修4平面向量知识点总结

高中数学必修 4 知识点总结平面向量知点一 .向量的基本看法与基本运算1向量的看法：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用 a, b, c ⋯⋯来表示，或用有向段的起点与uuur uuurxi yj ( x, y)点的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a；坐表示法 a向uuur量的大小即向量的模（度），作 | AB | 即向量的大小，作｜a｜向量不可以比大小，但向量的模能够比大小．②零向量：度 0 的向量，0，其方向是随意的，0与随意愿量平行零向量 a ＝0｜r ra ｜＝0因为0的方向是随意的，且定0 平行于任何向量，故在有关向量平行（共）的中必看清楚能否有“非零向量” 个条件．（注意与 0 的区）③ 位向量：模 1 个位度的向量向量 a0位向量｜ a0｜＝1④平行向量（共向量）：方向同样或相反的非零向量随意一平行向量都能够移到同一直上方向同样或相反的向量，称平行向量作a∥ b因为向量能够行随意的平移( 即自由向量 ) ，平行向量能够平移到同向来上，故平行向量也称共向量数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个因素，起点能够随意取，在必划分清楚共向量中的“共” 与几何中的“共”、的含，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一的．⑤相等向量：度相等且方向同样的向量相等向量平移后能够重合， a b 大x1x2小相等，方向同样(x1, y1 )(x2 , y2 )y1y22向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法uuur r uuur r r uuur uuur uuurAB a, BC b ，a+ b = AB BC =AC（1）0 a a 0 a ；（2）向量加法足交律与合律；向量加法有“三角形法”与“平行四形法”：（1）用平行四形法，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条角，而差向量是另一条角，方向是从减向量指向被减向量（2）三角形法的特色是“首尾相接” ，由第一个向量的起点指向最后一个向量的点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法例；当两向量是首尾连结时，用三角形法例．向量加法的三角形法例可推行至多个向量相加：uuur AB uuurBCuuurCD LuuurPQuuurQRuuurAR ，但这时一定“首尾相连”．3 向量的减法①相反向量：与 a 长度相等、方向相反的向量，叫做记作 a ,零向量的相反向量还是零向量a 的相反向量对于相反向量有：（ i）( a)= a；(ii) a +( a )=( a )+ a =0；(iii) 若a、b是互为相反向量，则 a = b , b= a , a +b= 0②向量减法：向量 a 加上b的相反向量叫做 a 与 b的差，记作： a b a ( b) 求两个向量差的运算，叫做向量的减法③作图法： a b 能够表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量（ a 、 b 有共同起点）4实数与向量的积：①实数λ与向量 a 的积是一个向量，记作λ a ，它的长度与方向规定以下：（Ⅰ）a a；（Ⅱ）当0 时，λa 的方向与 a 的方向同样；当0 时，λa 的方向与 a 的方向相反；当0 时，a0 ，方向是随意的②数乘向量知足互换律、联合律与分派律5两个向量共线定理：向量 b 与非零向量 a 共线有且只有一个实数，使得b=a6平面向量的基本定理：假如e1 , e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一直量 a ，有且只有一对实数 1 , 2 使：a1e1 2 e2 ，此中不共线的向量e1 , e2叫做表示这一平面内全部向量的一组基底7特别注意 :（1）向量的加法与减法是互逆运算（2）相等向量与平行向量有差别，向量平行是向量相等的必需条件（3）向量平行与直线平行有差别，直线平行不包含共线（即重合），而向量平行则包含共线（重合）的状况（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的详细地点没关，只与其相对地点有关学习本章主要建立数形转变和联合的看法，以数代形，以形观数，用代数的运算办理几何问题，特别是办理向量的有关地点关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量能否垂直等因为向量是一新的工具，它常常会与三角函数、数列、不等式、解几等联合起来进行综合考察，是知识的交汇点例 1 给出以下命题：① 若 | r r r ra | ＝ |b | ，则 a = b ；② 若 A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则uuur uuur AB DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；r rr rr r ③ 若 a = b ， b = c ，则 a = c ，rrrrr r④ a =b 的充要条件是 | a |=| b | 且 a // b ；r r r r r r⑤ 若 a // b ， b // c ，则 a //c，此中正确的序号是解：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不必定同样．uuur uuur uuur uuur uuur uuur ② 正确．∵AB DC ，∴ | AB| |DC |且 AB// DC ，又 A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴ 四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCDuuuruuur uuur uuur 为平行四边形，则，AB//DC 且|AB| |DC |，uuur uuur所以， AB DC ．③ 正确．∵r r r ra =b ，∴ a ， b 的长度相等且方向同样；r r r r 又 b ＝ c ，∴ b ， c 的长度相等且方向同样，r r r r ∴ a ， c 的长度相等且方向同样，故 a ＝ c ．r rr r r r r r ④ 不正确．当 a // b 且方向相反时，即便 | a |=| b | ，也不可以获得 a =b ，故 | a |=| b | r r r r 且 a // b 不是 a =b 的充要条件，而是必需不充足条件．r r⑤ 不正确．考虑 b = 0 这类特别状况．综上所述，正确命题的序号是②③．评论：本例主要复习向量的基本看法．向量的基本看法许多，因此简单忘记．为此，复习一方面要建立优秀的知识构造，另一方面要擅长与物理中、生活中的模型进行类比和联想．例 2 设 A 、B 、 C 、 D 、 O 是平面上的随意五点，试化简：uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur ① AB BC CD ，② DB AC BD ③OAOCOBCO解：①原式 = uuur uuur uuur uuur uuur uuur( AB BC ) CD AC CD AD ②原式 = uuur uuur uuur r uuur uuur ( DBBD) AC 0 AC AC③原式=uuur (OBuuurOA)uuur ( OC uuurCO)uuurAB uuur(OCuuurCO) uuurAB ruuurAB例 3 设非零向量rrrrrrrrrra 、b 不共线，c =k a + b ，d = a +k b(k R)，若 c ∥ d ，试求 kr r解：∵ c ∥ d∴由向量共线的充要条件得：r r (λ R) c =λ d r r r rr r r 即 k a +b =λ( a +k b ) ∴ (k λ ) a + (1 λ k) b = 0r r又∵ a 、 b 不共线∴由平面向量的基本定理k 0 k11 k二 .平面向量的坐标表示1 平面向量的坐标表示： r r在直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向同样的两个单位向量 i , j作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一直量 r r r rr a 可表示成 a xi yj ，因为 a 与r rr 数对 (x,y)是一一对应的，所以把 (x,y)叫做向量 a 的坐标，记作 a =(x,y)，此中 x 叫作 a 在 x 轴上的坐标， y 叫做在 y 轴上的坐标(1) 相等的向量坐标同样，坐标同样的向量是相等的向量(2) 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的详细地点没关，只与其相对位置有关 2 平面向量的坐标运算：(1) rx 1, y 1 rr rx 1 x 2 , y 1 y 2若 a ,bx 2 , y 2 ，则 a b uuur(2) 若 A x 1, y 1 , B x 2 , y 2 ，则 ABx 2 x 1 , y 2 y 1 (3) r r x, y)若 a =(x,y)，则 a =((4) rx 1, y 1 rx 2 , y 2 r rx 1 y 2 x 2 y 1 0若 a,b，则 a // b(5) rx 1, y 1 r x 2 , y 2 r r x 1 x 2 y 1 y 2若 a,b，则 a br r y 1 y 2 0若 a b ，则 x 1 x 23 向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数目（内积）及其各运算的坐标表示和性质运几何方法坐标方法运算性质算类型向 1 平行四边形法例 r rx,y 21 y)2a bb a量 2 三角形法例a b (x 1的 (a b) c a (b c)加法uuur uuur uuurAB BC AC向三角形法例r ra b a ( b )量a b (x 1 x 2,y 1 y 2)的 uuur uuur减ABBA法uuur uuur uuurOB OA AB 向a 是一个向量 ,a( x, y)(a)() a量知足 :的>0 时, a 与 a 同向 ;()aaa 乘<0 时, a 与 a 异向 ;法=0 时,a = 0( a b ) a ba ∥ bab向 a ? b 是一个数r rx 1x 2 y 1y 2a ?b b ? a量a?b的a0 或 b 0时 ,( a) ba ( b)(a b)数???量 a?b =0(ab) ?ca ?cb ?c积a 0且b 0 时 ,a 2 | a |2 , |a | x 2 y 2a?b |a||b|cos a,b| a ? b | | a || b | r r r r r r r r r r例 1 已知向量 a (1,2), b (x,1), u a 2b ， v 2a b ，且 u // v ，务实数 x 的值r r r r r r r r解：因为 a (1,2), b (x,1),u a 2b ， v 2a br 2( x,1) (2 x 1,4) r 2(1,2) ( x,1) (2 x,3)所以 u (1,2) ， vr r又因为 u // v所以 3(2 x 1) 4(2 x) 0 ，即 10x 5解得 x12AC 和 OB （ O 为坐标原点）交例 2 已知点 A(4,0), B(4,4),C(2,6) ,试用向量方法求直线点 P 的坐标uuur uuur(x 4, y)解：设 P(x, y) ，则 OP ( x, y), AP因为 P 是 AC 与OB 的交点所以 P 在直线 AC 上，也在直线 OB 上uuur uuur uuur uuur即得 OP // OB, AP // ACuuur uuur由点 A(4,0),B(4,4),C(2,6) 得， AC ( 2,6), OB (4, 4)6( x 4) 2 y 0得方程组4x 4 y 0x 3解之得y 3故直线 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为 (3,3) 三．平面向量的数目积1 两个向量的数目积：r rrrr r 已知两个非零向量 a 与 b ，它们的夹角为，则 a ·b =︱ a ︱ ·︱ b ︱ cosr r r r叫做 a 与 b 的数目积（或内积）规定 0 a 0r r rr r2 = a b向量的投影：︱ b ︱ cos r ∈R ，称为向量 b 在 a 方向上的投影投影的绝对值称为射| a |影3 数目积的几何意义：r r r r ra ·b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积4 向量的模与平方的关系： r r r 2 r 2 a aa | a |5 乘法公式建立：r r r r r 2 r 2 r a b a b a bar r 2 r 2r r r 2 r a ba2a b b a2 r 2b ；2 r rr 22a bb6 平面向量数目积的运算律：①互换律建立： rrr r a b b a②对实数的联合律建立： r r r r r r Ra ba b a b③分派律建立：r r r r r r r rr r a bc a cb cca b特别注意：（ 1）联合律不建立： r r rr r r；a b ca b cr r r rr r（2）消去律不建立 a ba c不可以获得 b crr不可以获得r r r r （3） a b =0a = 0 或b =07 两个向量的数目积的坐标运算：rrrr已知两个向量a ( x 1 , y 1),b ( x 2 , y 2 ) ，则 a ·b = x 1x 2 y 1 y 2rr uuur ruuur r8 向量的夹角：已知两个非零向量 a 与 b ，作 OA = a ,OB = b , 则 ∠ AOB=（ 000）叫做向量r r180 a 与b的夹角r rr rx1 x2y1 y2cos= cosa ?b=a, b r r2222? ba x1y1x2y2当且仅当两个非零向量r r r r r a 与b同方向时，θ=00，当且仅当 a 与b反方向时θ=1800，同时0与其余任何非零向量之间不谈夹角这一问题r r900r r r r9 垂直：假如a与b的夹角为则称 a 与b垂直，记作 a ⊥b10 两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b a ·b＝O x1 x2y1 y20平面向量数目积的性质例 1判断以下各命题正确与否：r r r0 ；（1）0 a0 ；（2）0 ar r r r r r r（3）若a0, a b a c ，则 b c ；r r r r r r r r⑷若 a b a c ，则 b c当且仅当 a0 时建立；r r r r r r r r r（5）( a b )c a(b c ) 对随意 a,b , c 向量都建立；（6）对随意愿量r r2r2 a，有 a a解：⑴错；⑵对；⑶错；⑷错；⑸ 错；⑹对例 2 已知两单位向量r r120，若r r r r r r r r a 与b的夹角为c2a b, d3b a ，试求c 与d的夹角解：由题意，r r r r0，a b 1 ，且a与 b 的夹角为 120r r r r01，所以， a b a b cos1202r r r r r r r r2r r r 227 ，Q c c c(2 a b) (2 a b)4a4a b b r7 ，cr13同理可得dr r r r r r r r r 2r217，而 c d(2a b ) (3b a)7a b3b2a2 rr设为 c 与d的夹角，则 cos2 171317 91 arccos17917 182182评论：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑例 3r4,3 r1,2 rr r r r r的已知 a， b， mab , n2a b ，按以下条件务实数值r r r r r r（ 1） m n ；（ 2） m // n ； (3) m nr r r4,32 r r r 7,8解： m a b, n 2a br r 47 3 28 052（ 1） m n；r r9483 27 01 ；（ 2） m// n2r r 423 227 28 25 2488 0(3) mn2 2 115评论：此例展现了向量在座标形式下的基本运算。

(完整版)高中平面向量公式及知识点默写

平面向量知识点及公式默写一，基本概念1，向量的概念：。

2，向量的表示：。

3，向量的大小：（或称模）4，零向量：，记为，零向量方向是。

5，单位向量：长度为的向量称为单位向量，一般用e 、i 1=1=6，平行向量（也称共线向量）：方向向量称为平行向量，规定零向量与任意向量。

若a 平行于b ，则表示为a ∥b 。

7，相等向量：称为相等向量。

若a 与b 相等，记为a =b8，相反向量：称为相反向量。

若a 与b 是相反向量，则表示为a =b -；向量BA AB -=二，几何运算1，向量加法：（1）平行四边形法则（起点相同），可理解为力的合成，如图所示：（2）三角形法则（首尾相接），可理解为：位移的合成，如图所示， =+BC AB（3）两个向量和仍是一个向量；（4）向量加法满足交换律、结合律：a b b a +=+，)()(c b a c b a ++=++ （5）加法几种情况（加法不等式）：= << = 2，减法：（1）两向量起点相同，方向是从减数指向被减数，如图=-AC AB（2）两向量差依旧是一个向量；（3）减法本质是加法的逆运算：CB CA AB CB AC AB =+⇔=- 3，加法、减法联系：（1）加法和减法分别是平行四边行两条对角线，AC AD AB =+，DB AD AB =- （2=，则四边形ABCD 为矩形 4，实数与向量的积：（1）实数λ与向量a 的积依然是个向量，记作a λ，它的长度与方向判断如下： BAaCB A•aba babba +当0>λ时，a λ与a 方向；当0<λ时，a λ与a 方向；当0=λ时，=a λ当0=a 时，0=a λ；=（2）实数与向量相乘满足：=)(a μλ =+a )(μλ=+)(b a λ5，向量共线：（1）向量b 与非零向量a 共线的条件是：有且只有一个实数λ（2）如图，平面内C BA ,,使得0=++OC n OB m OA q ，且0=++q n m ，反之也成立。

(完整版)高三一轮复习平面向量知识点整理,推荐文档

（答： 2 2 ）；
（3）已知作用在点
A(1,1)
的三个力
F1
(3, 4), F2
(2, 5), F3
(3,1)
，则合力
F F1 F2 F3 的终点坐标是
（答：（9,1））
4⑴、实向数量数与乘向运量算a：的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作 a ．
①
a
a
；
②当
0
时，
a
的方向与
（答：2）；
（2）已知 a (1,1),b (4, x) ， u a 2b ， v 2a b ，且 u // v ，则 x＝______
6、向量垂直： a b a b 0 | a b || a b | x1x2 y1 y2 0 .
（答：4）；
【例题】(1)已知 OA (1, 2),OB (3, m) ，若 OA OB ，则 m
1、已知向量 a = 2，4，，b = 11 ．若向量 b (a + b) ，则实数的值是
．
2、若向量
a，b
的夹角为
60
，
a
b
1，则 aA a b
．
3、在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的对角线 OB 的两端点分别为 O(0，0) ， B(1，1) ，
则 ABAAC
．
三、解答题：
1、已知 ΔABC 三个顶点的直角坐标分别为 A(3，4)、B(0，0)、C( c ，0)．
(1)若 ABAAC 0 ，求 c 的值；
(2)若 c 5 ，求 sin∠A 的值
2、在 △ABC 中，角 A，B， C 的对边分别为 a，b，，c tan C 3 7 ．
（1）求 cos C ；

高一平面向量的知识点归纳总结

高一平面向量的知识点归纳总结一、向量的概念和表示法在平面几何中，向量是具有大小和方向的量，可以用有序数对表示。

表示为AB或→AB，其中A为向量的起点，B为终点。

二、向量的运算1. 向量加法向量加法满足交换律和结合律。

设有向量→AB和→CD，则→AB+→CD=→AC。

2. 向量减法向量减法的定义：→AB-→AC=→CB。

3. 数乘数乘的定义：k→AB=(k, k)×→AB，其中k为实数。

三、向量的性质1. 零向量零向量的定义：→0=→AB-→AB，其大小为0。

2. 向量共线向量共线的定义：若存在实数k，使得k→AB=→CD，则→AB与→CD共线。

3. 向量相等向量相等的定义：两个向量→AB和→CD相等，当且仅当它们的起点和终点坐标相等。

四、向量的数量积1. 数量积的定义向量数量积的定义：→AB·→CD=|→AB|·|→CD|·cosθ，其中θ为两个向量的夹角。

2. 数量积的性质（1）交换律：→AB·→CD=→CD·→AB（2）分配律：→AB·(→CD+→EF)=→AB·→CD+→AB·→EF（3）数量积与夹角的关系：若θ为两个向量的夹角，则→AB·→CD=|→AB|·|→CD|·cosθ五、平面向量的坐标表示1. 平面直角坐标系平面直角坐标系在平面上确定了一个原点O和两个互相垂直的单位向量i和j。

2. 平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示：→AB=(x2-x1, y2-y1)，其中A(x1, y1)为向量的起点，B(x2, y2)为终点。

3. 向量共线的判断向量共线的判断：若两个向量→AB和→CD的坐标之比相等，则→AB与→CD共线。

六、向量的线性运算1. 向量的线性组合向量的线性组合：若有向量→AB和→CD，则k→AB+l→CD为向量的线性组合，其中k和l为实数。

2. 向量的线性相关与线性无关（1）若存在不全为0的实数k和l，使得k→AB + l→CD = →0，则称→AB和→CD线性相关。

平面向量知识点总结(精华)

平面向量知识点总结(精华)一、向量的基本概念1. 向量的定义向量是既有大小又有方向的量。

例如，物理学中的力、位移等都是向量。

我们可以用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

向量的表示：几何表示：用有向线段AB表示，其中\(A为起点，\(B为终点。

字母表示：用小写字母a、b、c等表示。

2. 向量的模向量AB或a的大小称为向量的模，记作AB或a。

模是一个非负实数，例如，若a=(x,y)，则a=x^2+y^2。

3. 零向量长度为\(0的向量称为零向量，记作0。

零向量的方向是任意的。

4. 单位向量模等于\(1的向量称为单位向量。

对于非零向量a，与它同方向的单位向量记作e=aa。

例如，向量a=(3,4)，则a= 5，同方向的单位向量e=(35,45)。

5. 平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量称为平行向量。

规定：零向量与任意向量平行。

若向量a与b平行，记作a。

例如，a=(1,2)，b=(2,4)，因为b = 2a，所以a。

6. 相等向量长度相等且方向相同的向量称为相等向量。

若AB=CD，则\(A与\(C重合，\(B与\(D重合，且AB=CD，方向相同。

二、向量的运算1. 向量的加法三角形法则：已知向量a、b，在平面内任取一点\(A，作AB=a，BC=b，则AC=a+b。

平行四边形法则：已知向量a、b，以同一点\(O为起点作OA=a，OB=b，以\(OA、\(OB为邻边作平行四边形\(OACB，则OC=a+b。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a。

结合律：\((a+b)+c=a+(b+c)。

2. 向量的减法相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量称为a 的相反向量，记作a。

向量减法的定义：ab=a+(b)。

其几何意义是：已知向量a、b，在平面内任取一点\(O，作OA=a，OB=b，则BA=ab。

3. 向量的数乘定义：实数\(与向量a的乘积是一个向量，记作a。

高中数学平面向量知识点总结,文档

高中数学必修4之平面向量知识点概括一.向量的基本观点与基本运算、向量的观点：①向量：既有大小又有方向的量向量不可以比较大小，但向量的模能够比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是随意的，0与随意愿量平行③单位向量：模为1个单位长度的向量④平行向量（共线向量）：方向同样或相反的非零向量⑤相等向量：长度相等且方向同样的向量2、向量加法：设uuurr uuuruuuruuuruuurABa,BC b，则a+b=AB BC=AC（1）0a a0a；（2）向量加法知足互换律与联合律；u uuruuuruuurLuuuruuur uuurA BBCCDPQQRAR，但这时一定“首尾相连”．3、向量的减法：①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量②向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，③作图法：ab能够表示为从b的终点指向a的终点的向量（a、b有共同起点）4、实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定以下：（Ⅰ）aa；（Ⅱ）当0时，λa的方向与a的方向同样；当0时，λa的方向与a的方向相反；当0时，a0，方向是随意的5、两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b=a6、平面向量的基本定理：假如e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一直量a，有且只有一对实数1,2使：a1e12e2，此中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内全部向量的一组基底二.平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：平面内的任一直量r r r r ra可表示成a xi yj，记作a=(x,y)。

平面向量的坐标运算：(1)rx1,y1rx2,y2r rx1x2,y1y2若a,b，则a buuurx2x1,y2y1(2)若Ax1,y1,Bx2,y2，则AB(3)r=(x,y)，则rx,y)若a a=((4)r rx2,y2r rx1y2x2y10若a x1,y1,b，则a//b(5)rx,yrx,yr rx x y y 若a,b2，则a b1121212 r ry1y20若a b，则x1x21三．平面向量的数目积两个向量的数目积：r r r r r r已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则a·b=︱a︱·︱b︱cos r r r r叫做a与b的数目积（或内积）规定0a0r r rr r2=ab向量的投影：︱b︱cos r∈R，称为向量b在a方向上的投影投影的绝对值称为射影|a|3数目积的几何意义：r r r r ra·b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：r r r2r2 a a a|a|5乘法公式建立：r r r r r2r2ra b a b a b a r r2r2r r r2r a b a2ab b a r2b；2r r r22a b b平面向量数目积的运算律：①互换律建立：r r r r a b ba②对实数的联合律建立：r r r r r rR a b ab a b③分派律建立：r r r r r r r r r r a b c a c b c c a b特别注意：（1）联合律不建r r r r r r；立：ab cab cr rr rr r（2）消去律不建立aba c 不可以获得b cr r不可以获得 r r rr（3）ab=0a= 0或b=07 两个向量的数目积的坐标运算：rrr r已知两个向量a(x 1,y 1),b(x 2,y 2)，则a ·b=x 1x 2y 1y 2rruuurr uuur r0 0r r8向量的夹角：已知两个非零向量与b ，作OA OB =b,AOB=180与b 的a =a, （）叫做向量a则∠夹角rr rrx 1x 2y 1y 2a ?b =cos=cosa,brr x 12y 12x 22y 22a ?brrrrr当且仅当两个非零向量b 同方向时，θ，同时0与其余任何非零向量a 与 =00，当且仅当a 与b 反方向时θ=180 之间不谈夹角这一问题r rr rrr9垂直：假如a 与b 的夹角为 90 则称a 与b 垂直，记作a ⊥b10两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b a ·b ＝Ox 1x 2y 1y 20平面向量数目积的性质。

高中平面向量知识点总结

高中平面向量知识点总结高中平面向量知识点总结一、基本概念和基本性质：1. 平面向量的定义：平面向量是有大小有方向的量，可以用有向线段来表示。

2. 平面向量的表示：一般表示为AB(或→AB)，其中A为向量的起点，B为向量的终点。

可以用坐标表示或分量表示。

3. 向量的相等：当且仅当它们的大小相等且方向相同。

4. 零向量：大小为0的向量，所有向量都与零向量相等，用0或→0表示。

5. 向量的负向量：一个向量的负向量大小相等，方向相反，用−→AB表示。

6. 平面向量的加法：向量相加的结果称为向量的和，可以用平行四边形法则或三角形法则进行计算。

7. 平行向量的性质：平行向量的大小相等或成比例，方向相同或相反。

8. 平面向量的数乘：一个向量乘以一个实数得到的向量。

即向量AB乘以实数k得到的向量为k→AB，大小为|k||→AB|，方向与→AB相同或相反。

二、坐标表示和分量表示：1. 平面向量的坐标表示：设A(x1, y1)和B(x2, y2)为平面上两点的坐标，向量→AB的坐标表示为(x2-x1, y2-y1)。

2. 平面向量的分量表示：向量→AB的x轴和y轴的分量分别为→AB的坐标中的x分量和y分量，分别记作comp_x(→AB)和comp_y(→AB)。

三、数量积：1. 定义：设有两个向量→A和→B，它们的数量积（又称内积、点乘）为一个实数，记作→A·→B(或A·B)，表示为|→A||→B|cosθ，其中θ为两个向量的夹角。

2. 性质：a. 交换律：→A·→B = →B·→Ab. 分配律：(→A + →B)·→C = →A·→C + →B·→Cc. 结合律：(k→A)·→B = k(→A·→B)，其中k为实数d. |→A·→B| ≤ |→A||→B|，当且仅当两个向量平行时取等号四、平面向量的夹角和正交：1. 夹角：两个非零向量→A和→B之间的夹角θ的余弦值为→A·→B/|→A||→B|，θ的范围为[0,π]。

高中平面向量知识点总结

高中平面向量知识点总结一、平面向量的定义与性质1. 平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的几何对象，通常用有向线段来表示，记作AB→，其中A、B 为起点和终点。

2. 平面向量的性质（1）平面向量相等的充分必要条件是它们的大小相等，方向相同。

（2）平面向量相加的几何意义：平面向量A+B的几何意义是以B为起点，在A的方向上作另一有向线段，则A+B的终点是以A、B的起点为起点、终点的有向线段。

（3）平面向量乘以实数的几何意义：实数k是负数时，它对平面向量的作用是对此向量作方向相反或绝对值为|k|倍的拉伸；k为正数时，它对平面向量的作用是对此向量作方向相同或绝对值为k倍的拉伸；k=0时，作用是得到一个零向量。

二、平面向量的基本运算1. 平面向量的加法平面向量A(a1, a2)、B(b1, b2)相加的结果是C(c1, c2)，其中c1=a1+b1，c2=a2+b2。

2. 平面向量的减法平面向量A(a1, a2)、B(b1, b2)相减的结果是C(c1, c2)，其中c1=a1-b1，c2=a2-b2。

3. 平面向量的数量积平面向量A(a1, a2)、B(b1, b2)的数量积是a1b1+a2b2，它是一个标量（实数）。

4. 平面向量的数量积的性质（1）交换律：A·B = B·A（2）分配律：A·(B+C) = A·B + A·C（3）A·A = |A|^2，其中|A|为向量A的模。

（4）若向量A与向量B夹角为θ，则A·B = |A||B|cosθ5. 平面向量的夹角若向量A、B夹角为θ，则A·B = |A||B|cosθ三、平面向量的应用1. 向量的共线性与共面性两个向量共线的充分必要条件是它们的方向相同或相反；三个向量共面的充分必要条件是它们的线性相关。

2. 向量的投影向量A在向量B上的投影是A在B方向上的长度，记作proj_BA = |A|cosθ，其中θ为A 与B的夹角。

高中平面向量知识点总结

高中平面向量知识点总结一、向量的基本概念1. 定义：- 平面向量：具有大小和方向的量，可以在平面上表示。

- 向量的表示：通常用粗体字母或上方带箭头的字母表示，如$\vec{a}$。

2. 相等的向量：- 两个向量如果大小和方向完全相同，则它们是相等的。

3. 零向量：- 大小为零的向量，通常表示为 $\vec{0}$。

二、向量的运算1. 加法：- 向量加法遵循平行四边形法则或三角形法则。

- 向量加法满足交换律和结合律。

2. 减法：- 向量减法同样遵循平行四边形法则。

- 向量减法满足交换律和结合律。

3. 数乘：- 数乘是将向量乘以一个实数，结果仍然是一个向量。

- 数乘满足分配律、结合律和与实数乘法的兼容性。

三、向量的几何性质1. 长度（模）：- 向量的长度表示向量的大小。

- 计算公式：$|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$，其中$a_x$ 和 $a_y$ 分别是向量在 x 轴和 y 轴上的分量。

2. 方向：- 向量的方向由其与正 x 轴的夹角 $\theta$ 确定。

- 方向角的计算公式：$\theta = \arctan(\frac{a_y}{a_x})$。

3. 单位向量：- 长度为 1 的向量称为单位向量。

- 单位向量可以通过将任意向量除以其长度得到。

四、向量的坐标表示1. 笛卡尔坐标：- 在笛卡尔坐标系中，向量可以表示为 $(x, y)$。

- 坐标表示法便于进行向量的加减和数乘运算。

2. 极坐标：- 向量还可以用极坐标表示，即 $(r, \theta)$，其中 $r$ 是长度，$\theta$ 是方向角。

五、向量的数量积（点积）1. 定义：- 两个向量的数量积是一个标量，表示为 $\vec{a} \cdot\vec{b}$。

- 计算公式：$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y$。

2. 性质：- 数量积可以用来计算两个向量的夹角：$\cos(\theta) =\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$。

高中数学平面向量知识点总结概括3篇

高中数学平面向量知识点总结概括3篇高中数学平面向量知识点总结概括1一、定比分点定比分点公式（向量P1P=λ向量PP2）设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。

则存在一个实数λ，使向量P1P=λ向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。

若P1（x1，y1），P2（x2，y2），P（x，y），则有OP=（OP1+λOP2）（1+λ）；（定比分点向量公式）x=（x1+λx2）/（1+λ），y=（y1+λy2）/（1+λ）。

（定比分点坐标公式）我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式。

二、三点共线定理若OC=λOA+μOB，且λ+μ=1，则A、B、C三点共线。

三、三角形重心判断式在△ABC中，若GA+GB+GC=O，则G为△ABC的重心。

四、向量共线的重要条件若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。

a//b的重要条件是xy—xy=0。

零向量0平行于任何向量。

五、向量垂直的充要条件a⊥b的充要条件是ab=0。

a⊥b的充要条件是xx+yy=0。

零向量0垂直于任何向量。

设a=（x，y），b=（x，y）。

六、向量的运算1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=（x+x，y+y）。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：（a+b）+c=a+（b+c）。

2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=—b，b=—a，a+b=0。

0的反向量为0AB—AC=CB。

即“共同起点，指向被减”a=（x，y）b=（x，y）则a—b=（x—x，y—y）。

4、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣∣a ∣。

当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

(完整版)平面向量重要基础知识点

平面向量重要知识点1、向量有关概念：(1) 向量的概念：既有大小又有方向的量，向量是可以平移的，(2)零向量：长度为0 的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；uuu单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 (与AB 共线的单位向量是相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性; 平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a // b ，规定零向量和任何向量平行。

提醒平行向量无传递性！(因为有0)2.平面向量的基本定理：如果e i 和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任4、平面向量的数量积： (1)两个向量的夹角：(2) 平面向量的数量积：规定：零向量与任一向量的数量积是 0注意数量积是一个实数，不再是一个向量。

(3) b 在a 上的投影为|b|cos ，它是一个实数，但不一定大于 0。

(4) a ?b 的几何意义：数量积a?b 等于a 的模与b 在a 上的投影的积。

(5)向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为，则:r r rb a?b 0 ；(3) uuuAB ).uuu)， |AB|一向量a ，有且只有一对实数12，使 a= 1^ + 2 62。

3、实数与向量的积：实数与向量a 的积是一个向量，记作 a :当>0时，a 的方向与a 的方向相同，当 <0时,a 的方向与a 的方向相反②当「2 r r 特别地，a a?aa ，b 同向时，a ?b =拧；当a 与b 反向时,;当为锐角时，a?b > 0,且a、b不同向，ab 0是为锐角的必要非充分a ? b5、向量的运算：(1)几何运算：掌握三角形发展或者平行四边形法则, (2)坐标运算：设 a (x 1, y 1),b (x 2, y 2)，贝U:7、向量平行(共线)的充要条件 8、8.线段的定比分点：(1)定比分点的概念：设点P 是直线P 1P 2上异于P i 、P 2的任意一点，若存在一个实数的定比分点;X L 1(知道怎样推出来的吗)* y 2 19.向量平移平面向量章节复习题r f r r条件；当为钝角时，a ?b < 0,且a 、b 不反向,r ra b 0是为钝角的必要非充分条件； ③非零向量a ， b 夹角的计算公式：cos④ ia?bi |；|£|。