(完整)高中数学平面向量知识点总结,推荐文档
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规定： 0 与任一向量平行 2. 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
a b
c
记作： a = b
规定： 0 = 0 任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。
3. 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ， 所以平行向量也叫共线向量。
三．向量的加法：
1. 定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。
a=λ
a+μ
a
第二分配律：λ( a + b )=λ a +λ b
① ②
③
3.向量共线充要条件：
向量
b
与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数
λ
使
b
=λ
a
六．平面向量定理：用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向 量。（其实质在于：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的 线性组合）
3 向量加法的交换律： a + b = b + a
4 向量加法的结合律：( a + b ) + c = a + ( b + c ) 4.向量加法作图：两个向量相加的和向量，箭头是由始向量始端指向终向量 末端。
四．向量的减法：
1. 用“相反向量”定义向量的减法
1 “相反向量”的定义：与 a 长度相同、方向相反的向量。记作 a
2 规定：零向量的相反向量仍是零向量。 ( a) = a
任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + ( a) = 0 如果 a、b 互为相反向量，则 a = b, b = a, a + b = 0
3 向量减法的定义：向量 a 加上的 b 相反向量，叫做 a 与 b 的差。 即：a b = a + ( b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。
注意：；两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）
2. 三角形法则：
a
a
a
C
b
b
起点wenku.baidu.com
b
强调：
a+b A
a
A B
a+b B
a+b CC A B
1 “向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的
2 可以推广到 n 个向量连加
3 a 0 0 a a 4 不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则 3.加法的交换律和平行四边形法则 2 向量加法的平行四边形法则（三角形法则）：
第二部分：向量的坐标运算
七．向量的坐标表示与坐标运算
1.平面向量的坐标表示：在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)
来表示
取 x 轴、y 轴上两个单位向量i , j 作基底，则平面内作一向量a=x i +y j ，
记作：
a =(x,
y)
称作向量 a的坐标
2. 注意：1 每一平面向量的坐标表示是唯一的；
平面向量基本定理：如果e1 ， e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么于一平
面内的任一向量a，有且只有一对实数
λ1，λ2
使a=λ1
e
1
+λ2 e2
注意几个问题：1 基底
e1 、e2 必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组
2 这个定理也叫共面向量定理
3
λ1，λ2
是被a， e1 ， e2
唯一确定的数量
平面向量知识点总结
第一部分：向量的概念与加减运算，向量与实数的积的运算。 一．向量的概念： 1. 向量：向量是既有大小又有方向的量叫向量。 2. 向量的表示方法： （1） 几何表示法：点—射线 有向线段——具有一定方向的线段 素：起点、方向、长度 记作（注意起讫）
有向线段的三要
（2） 字母表示法： AB 可表示为a
2 设 A(x1, y1) B(x2, y2) 则 AB =(x2 x1, y2 y1)
3 两个向量相等的充要条件是两个向量坐标相等。
3. 结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。 同理可得：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点 的坐标。 4. 实数与向量积的坐标运算：已知 a=(x, y) 实数 λ
3.模的概念：向量 AB 的大小——长度称为向量的模。
记作：| AB | 4.两个特殊的向量：
模是可以比较大小的
1 零向量——长度（模）为 0 的向量，记作 0 。 0 的方向是任意的。
0 与 0 的区别
注意
2 单位向量——长度（模）为 1 个单位长度的向量叫做单位向量。
二．向量间的关系： 1. 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。 记作： a ∥ b ∥ c
1.实数与向量的积 实数 λ 与向量a的积，记作：λ a
定义：实数 λ 与向量a的积是一个向量，记作：λ a
1 |λa|=|λ|| a|
2 λ>0 时 λ a与 a方向相同；λ<0 时 λ a与 a方向相反；λ=0 时
λa= 0
2. 运算定律：结合律：λ(μ a)=(λμ) a
第一分配律：(λ+μ)
使 P1P =λ PP2
P1 P
P2
λ>0(内分)
λ 叫做点 P 分 P1 P2 所成的比，有三种情况：
P1 P2
P
P P1 P2
(外分) λ<0 (λ<-1)
( 外分)
λ<0 (-1<λ<0)
x x1 x2 2.定比分点坐标公式 y1y
y 1
2
1
2.用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若 b + x = a，则 x 叫做 a 与 b 的差，记作 a b
3.向量减法做图： AB 表示 a b。强调：差向量“箭头”指向被减数
总结：1向量的概念：定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、
相等向量、共线向量 2向量的加法与减法：定义、三角形法则、平行四边形法则、运算定律 五：实数与向量的积（强调：“模”与“方向”两点)
则 λ a=λ(x i +y j )=λx i +λy j
∴λ a=(λx, λy) 结论：实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。 八．向量平行的坐标表示
结论： a∥ b ( b 0 )的充要条件是 x1y2-x2y1=0
注意：1 消去 λ 时不能两式相除，∵y1, y2 有可能为 0， ∵ b 0
∴x2, y2 中至少有一个不为 0
2 充要条件不能写成 y1 y2 x1 x2
∵x1, x2 有可能为 0
3
从而向量共线的充要条件有两种形式：
a ∥
b
(b 0)
a b x1 y2 x2 y1 0
九．线段的定比分点：
1. 线段的定比分点及 λ
数 λ，
P1, P2 是直线 l 上的两点，P 是 l 上不同于 P1, P2 的任一点，存在实
a b
c
记作： a = b
规定： 0 = 0 任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。
3. 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ， 所以平行向量也叫共线向量。
三．向量的加法：
1. 定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。
a=λ
a+μ
a
第二分配律：λ( a + b )=λ a +λ b
① ②
③
3.向量共线充要条件：
向量
b
与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数
λ
使
b
=λ
a
六．平面向量定理：用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向 量。（其实质在于：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的 线性组合）
3 向量加法的交换律： a + b = b + a
4 向量加法的结合律：( a + b ) + c = a + ( b + c ) 4.向量加法作图：两个向量相加的和向量，箭头是由始向量始端指向终向量 末端。
四．向量的减法：
1. 用“相反向量”定义向量的减法
1 “相反向量”的定义：与 a 长度相同、方向相反的向量。记作 a
2 规定：零向量的相反向量仍是零向量。 ( a) = a
任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + ( a) = 0 如果 a、b 互为相反向量，则 a = b, b = a, a + b = 0
3 向量减法的定义：向量 a 加上的 b 相反向量，叫做 a 与 b 的差。 即：a b = a + ( b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。
注意：；两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）
2. 三角形法则：
a
a
a
C
b
b
起点wenku.baidu.com
b
强调：
a+b A
a
A B
a+b B
a+b CC A B
1 “向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的
2 可以推广到 n 个向量连加
3 a 0 0 a a 4 不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则 3.加法的交换律和平行四边形法则 2 向量加法的平行四边形法则（三角形法则）：
第二部分：向量的坐标运算
七．向量的坐标表示与坐标运算
1.平面向量的坐标表示：在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)
来表示
取 x 轴、y 轴上两个单位向量i , j 作基底，则平面内作一向量a=x i +y j ，
记作：
a =(x,
y)
称作向量 a的坐标
2. 注意：1 每一平面向量的坐标表示是唯一的；
平面向量基本定理：如果e1 ， e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么于一平
面内的任一向量a，有且只有一对实数
λ1，λ2
使a=λ1
e
1
+λ2 e2
注意几个问题：1 基底
e1 、e2 必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组
2 这个定理也叫共面向量定理
3
λ1，λ2
是被a， e1 ， e2
唯一确定的数量
平面向量知识点总结
第一部分：向量的概念与加减运算，向量与实数的积的运算。 一．向量的概念： 1. 向量：向量是既有大小又有方向的量叫向量。 2. 向量的表示方法： （1） 几何表示法：点—射线 有向线段——具有一定方向的线段 素：起点、方向、长度 记作（注意起讫）
有向线段的三要
（2） 字母表示法： AB 可表示为a
2 设 A(x1, y1) B(x2, y2) 则 AB =(x2 x1, y2 y1)
3 两个向量相等的充要条件是两个向量坐标相等。
3. 结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。 同理可得：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点 的坐标。 4. 实数与向量积的坐标运算：已知 a=(x, y) 实数 λ
3.模的概念：向量 AB 的大小——长度称为向量的模。
记作：| AB | 4.两个特殊的向量：
模是可以比较大小的
1 零向量——长度（模）为 0 的向量，记作 0 。 0 的方向是任意的。
0 与 0 的区别
注意
2 单位向量——长度（模）为 1 个单位长度的向量叫做单位向量。
二．向量间的关系： 1. 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。 记作： a ∥ b ∥ c
1.实数与向量的积 实数 λ 与向量a的积，记作：λ a
定义：实数 λ 与向量a的积是一个向量，记作：λ a
1 |λa|=|λ|| a|
2 λ>0 时 λ a与 a方向相同；λ<0 时 λ a与 a方向相反；λ=0 时
λa= 0
2. 运算定律：结合律：λ(μ a)=(λμ) a
第一分配律：(λ+μ)
使 P1P =λ PP2
P1 P
P2
λ>0(内分)
λ 叫做点 P 分 P1 P2 所成的比，有三种情况：
P1 P2
P
P P1 P2
(外分) λ<0 (λ<-1)
( 外分)
λ<0 (-1<λ<0)
x x1 x2 2.定比分点坐标公式 y1y
y 1
2
1
2.用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若 b + x = a，则 x 叫做 a 与 b 的差，记作 a b
3.向量减法做图： AB 表示 a b。强调：差向量“箭头”指向被减数
总结：1向量的概念：定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、
相等向量、共线向量 2向量的加法与减法：定义、三角形法则、平行四边形法则、运算定律 五：实数与向量的积（强调：“模”与“方向”两点)
则 λ a=λ(x i +y j )=λx i +λy j
∴λ a=(λx, λy) 结论：实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。 八．向量平行的坐标表示
结论： a∥ b ( b 0 )的充要条件是 x1y2-x2y1=0
注意：1 消去 λ 时不能两式相除，∵y1, y2 有可能为 0， ∵ b 0
∴x2, y2 中至少有一个不为 0
2 充要条件不能写成 y1 y2 x1 x2
∵x1, x2 有可能为 0
3
从而向量共线的充要条件有两种形式：
a ∥
b
(b 0)
a b x1 y2 x2 y1 0
九．线段的定比分点：
1. 线段的定比分点及 λ
数 λ，
P1, P2 是直线 l 上的两点，P 是 l 上不同于 P1, P2 的任一点，存在实