2018年江苏省南通市中考数学试卷(真题解析版)

2018年南通中考数学20180801
南通市2018年初中毕业、升学考试试卷
数学
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是
符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置
．．．．．．．上）
1． 6的相反数是
A．－6 B．6 C．－1
6
D
．
1
6
2．计算x2·x3结果是
A．2x5 B．x5C．x6D．x8
3．x的取值范围是
A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1
4． 2017年国内生产总量达到827 000亿元，稳居世界第二，将数827 000用科学记数法表示为A．82.7×104B．8.27×105C．0.827×106D．8.27×106
5．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是
A．3，4，5 B．
2，3，4 C．4，6，7 D．5，11，12
6．如图，数轴上的点A，B，O，C，D分别表示数－2，－1，0，1，2．则表示数2P应落在
A．线段AB上B．线段BO上C．线段OC上D．线段CD上
7．若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为
A．4 B．5 C．6 D．7
8．一个圆锥的主视图是边长为4 cm的正三角形，则这个圆锥的侧面积等于
A．16π cm2B．12π cm2C．8π cm2D．4π cm2 -2-10123
9． 如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，按下列步骤作图． 步骤1：分别以点C 和点D 为圆心，大于
1
2
CD 的长为半径作弧，两弧相交于M ，N 两点； 步骤2：作直线MN ，分别交AC ，BC 于点E ，F ； 步骤3：连接DE ，DF ．
若AC ＝4，BC ＝2，则线段DE 的长为
A ．
5
3
B ．
3
2
C
D ．
43
C
D
M N
E F A
B
10. 如图，矩形ABCD 中，E 是AB 的中点，将△BCE 沿CE 翻折，点B 落在点F 处，tan ∠DCE ＝
4
3
．设AB ＝x ，△ABF 的面积为y ，则y 与x
A ．
B ．
C ．
D ．
C
D
F
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写
在答题卡相应位置．．．．．．．上） 11．计算3a 2
b －a 2
b ＝__________．
12．某校学生来自甲，乙，丙三个地区，其人数比为2∶7∶3，绘制成如图所示的扇形统计图，则甲地区所在扇形的圆心角度数为________度．
丙
乙
甲
13．一个等腰三角形的两边长分别为4 cm和9 cm，则它的周长为_________cm．
14．如图，∠AOB＝40°，OP平分∠AOB，点C为射线OP上一点，作CD⊥OA于点D，在∠POB的内部作CE∥OB，则∠DCE＝________度．
O
A
D
C
P
B
E
15．古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马平均每天能跑240里，跑得慢的马平均每天能跑150里．如果慢马先行12天，快马多少天能够追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意，可列方程为___________________．
16．如图，在△ABC中，AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB，AE∥CD，CE∥AD，若从三个条件：①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝BC中，选择一个作为已知条件，则能使四边形ADCE为菱形的是_________（填序号）．
17．若关于x的一元二次方程1
2
x2－2mx－4m＋1＝0有两个相等的实数根，则(m－2)2－2m(m－1)的
值为____________．
18．在平面直角坐标系xOy中，已知A(2t，0)，B(0，－2t)，C(2t，4t)三点，其中t＞0，函数y
＝2t
x
的图象分别与线段BC，AC交于点P，Q，若S△PAB－S△PQB＝t，则t的值为___________．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域
．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（本小题满分10分）
计算（1）(－2)2
(－3)0－(
1
3
)-2；（2）
2
2
93
69
a a
a
a a
--
÷
++
．
20．（本小题满分8分）
解方程
2
1 133
x x
x x
=+ ++
21．（本小题满分8分）
一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把他们分别标号1，2，3．随机摸取一个小球，然后放回，再随机摸出一个小球，用列表或画树状图的方法，求两次取出的小球标号相同的概率．
22．（本小题满分8分）
如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝120°，BD＝520 m，∠D＝30°，那么另一边开挖点E离D多远正好使A，C，E三点在
一直线上．
取1.732，结果取整数）
23．（本小题满分9分）
某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况，对营业员进行适当的奖励．为了确定一个适当的月销售目标，商场服装部统计了每位营业员
在某月的销售额（单位：万元），数据如下：
收集数据
17 18 16 13 24 15 28 26 18 19
22 17 16 19 32 30 16 14 15 26
15 32 23 17 15 15 28 28 16 19
对这30个数据按组距3进行分组，并整理，描述和分析如下：
频数分布表
数据分布表
请根据以上信息解答下列问题．
（1）填空：a＝__________，b＝__________，c＝__________．
（2）若将月销售额不低于25万元确定为销售目标，则有_______位营业员获得奖励．
（3）若想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适？请说明理由．
24．（本小题满分8分）
如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，且交⊙O于点E．连接OC，BE，相交于点F．
（1）求证：EF＝BF．
（2）若DC＝4，DE＝2，求直径AB的长．
D E
A
O
B F
C
25．（本小题满分9分） 小明购买A ，B 两种商品，每次购买同一种商品的单价相同，具体信息如下表：
根据以上信息解答下列问题 （1）求A ，B 两种商品的单价；
（2）若第三次购买这两种商品共12件，且A 种商品的数量不少于B 种商品数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
26．（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝x 2
－2(k －1)x ＋k 2
－5
2
k （k 为常数）． （1）若抛物线经过点(1，k 2
)，求k 的值．
（2）若抛物线经过点(2k ，y 1)和点(2，y 2)，且y 1＞y 2，求k 的取值范围．
（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x ≤2时，新抛物线对应的函数有最小值－3
2
，求k 的值．
27．（本小题满分13分）
如图，正方形ABCD 中，AB ＝
O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，OE ＝2，连接
DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF ，连接AE ，CF ．
（1）求证：AE ＝CF ．
（2）若A ，E ，O 三点共线，连接OF ，求线段OF 的长． （3）求线段OF 长的最小值．
A B
C
O
E D F
A B
C
D
A B
C
O
E D F
H
M N
A B
C
O
E D
F
O ′
28．（本小题满分13分） 【定义】
如图1，AB 为直线l 同侧的两点，过点A 作直线l 的对称点A ′，连接A ′B 交直线l 于点P ，
连接AP ，则称点P 为点A ，B 关于直线l 的“等角点”． 【运用】
如图2，在平面直角坐标系xOy 中，已知A (2
)，B (－2
)两点． （1）C (4
)，D (4
)，E (4，1
2
)三点中，点______是点A ，B 关于直线x ＝4的等角点．
（2）若直线l 垂直于x 轴，点P (m ，n )是点A ，B 关于直线l 的等角点，其中m ＞2，∠APB ＝α，求证：tan
2
＝2n ． （3）若点P 是点A ，B 关于直线y ＝ax ＋b （a ≠0）（a ≠0）的等角点，且点P 位于直线AB 的右下方，当∠APB ＝60°时，求b 的取值范围（直接写出结果）．
A
A ′
B
P
l
图1 图2 备用图
2018年江苏省南通市中考数学试卷
试卷满分：150分 教材版本：人教版
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）
1．答案：A ，解析：只有符号不同的两个数是相反数，所以6的相反数是－6，A 项正确． 2．答案：B ，解析：同底数幂相乘，应该底数不变，指数相加，∴x 2
·x 3
＝x 5
，B 项正确．
3．答案：D ，解析：二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，∴x －1≥0，∴x ≥1，D 项正确． 4．答案：B ，解析：科学记数法的表示形式为a ×10n
的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．①确定a ：
a 是只有一位整数的数，即1≤a ≤10；②确定n ：当原数≥10时，n 等于原数的整数位数减去1，或
等于原数变为a 时，小数点移动的位数．∴827 000＝8.27×105
，故选择B ．
5．答案：A ，解析：根据勾股定理逆定理，能组成直角三角形必须满足两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，若满足，则说明能组成直角三角形；反之则不成立．∵32
＋42
＝52
，∴长为3，4，5三条线段能组成直角三角形．故选择A ．
6．答案：B ，解析：∵2＜3，∴－1＜2＜0，∴P 应落在线段BO 上，故选择B ． 7．答案：C ，解析：设这个多边形的边数n ，由多边形的内角和公式，(n －2)·180°＝720°，∴n ＝6，故选择C ．
8．答案：C ，解析：因为圆锥的主视图是边长为4 cm 的正三角形，所以圆锥地面圆的直径和圆锥的
母线长均为4 cm ，可得圆锥侧面展开图的弧长为4π，圆锥的侧面积为S ＝12lR ＝1
2
×4π×4＝8π．故选择C .
9．答案：D ，解析：由∠ACB ＝90°，CD 平分∠ACB 可知，∠ACD ＝∠DCB ＝45°，由作图可知EF 垂直
平分CD ，∴CE ＝DE ，CF ＝DF ．∴∠ACD ＝∠EDC ＝45°，∠BCD ＝∠FDC ＝45°．∴∠DEC ＝∠CFD ＝90°＝∠ACB ，∴四边形ECFD 是矩形．又CE ＝DE ，∴四边形ECFD 是正方形．∴DE ∥BC ，∴△AED ∽△ACB ，∴
AE DE AC BC =，设DE ＝x ，则442x x -=，则DE ＝x ＝4
3
，故选择C ．
10. 答案：D ，解析：设BF ，EC 交于点G ．∵将△BCE 沿CE 翻折，点B 落在点F 处，∴CE 垂直平分
BF ，BF ＝BE ．又∵AE ＝BE ，∴AE ＝BE ＝BF ．∴点F 在以AB 为直径的圆上．∴∠AFB ＝90°＝∠EGB ．∴EG ∥AF ．∴∠FAB ＝∠GEB ．∵矩形ABCD 中，CD ∥AB ，∴∠DCE ＝∠GEB ＝∠FAB ．，∵tan ∠DCE
＝
43，∴tan ∠FAB ＝BF AF
＝4
3．设AF ＝3a ，BF ＝4a ，则AB ＝5a ．又AB ＝x ，∴AF ＝
35x ，BF ＝45x ．∴y ＝12·(35x )·(45x )＝6
5
x 2（x ＞0）．当x ＝5时，y ＝6．故选择D ． 二、填空（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．答案：2a 2b ，解析：根据合并同类项时“字母部分不变，系数相加减”，可得3a 2b －a 2
b ＝(3－1)a 2
b ＝2a 2
b ．
12．答案：60，解析：甲地区所在扇形的圆心角度数：360°×
2
2+7+3
＝60°． 13．答案：22，解析：已知等腰三角形的两边长分别为4 cm 和9 cm ，分两种情况讨论是否能组成三角形，需要检验两条较短边之和是否大于最长边：①若等腰三角形三边长为4 cm ，4 cm ，9 cm ，∵4＋4＝8＜9，不能构成三角形，舍去；②若等腰三角形三边长为 4 cm ，9cm ，9 cm ，∵4＋9＝13＞9，能构成三角形，此时周长为：4＋9＋9＝22（cm ）．
14．答案：130，解析：∵∠AOB ＝40°，OP 平分∠AOB ，∴∠AOP ＝∠POB ＝20°．∵CD ⊥OA ，∴∠ODC
＝90°，∴∠DCP ＝∠ODC ＋∠AOP ＝110°．∵CE ∥OB ，∠ PCE ＝∠POB ＝20°．∴∠DCE ＝∠DCP
＋∠PCE ＝130°．
15．答案：240x －150x ＝150×12，解析：设快马x 天可以追上慢马，根据“快马x 天所跑的路程－
慢马x 天所跑的路程＝慢马先行的路程”可得， 240x －150x ＝150×12． 16．答案：②，解析：∵AD ，CD 分别平分∠BAC 和∠ACB ，∴∠DAC ＝
12∠BAC ，∠DCAC ＝1
2
∠BCA ．∵AE ∥CD ，CE ∥AD ，∴四边形ADCE 为平行四边形．要使四边形ADCE 为菱形，则需要条件AD ＝CD ，
∴需要条件∠DAC ＝∠DCA ．又∠DAC ＝12∠BAC ，∠DCAC ＝1
2
∠BCA ．∴需要条件∠BAC ＝∠BCA ．∴需要条件②AB ＝BC ． 17．答案：
72，解析：∵关于x 的一元二次方程12
x 2
－2mx －4m ＋1＝0有两个相等的实数根，∴△＝0．∴(－2m ) 2
－4×12(－4m ＋1)＝0．∴4m 2＋8m －2＝0．m 2＋2m ＝12
．∴(m －2)2
－2m (m －1)＝－m 2
－2m ＋4＝－
12＋4＝72
． 18．答案：4，解析：由题意画出示意图，设PA ，BQ 交于点F ．当x ＝2t 时，y ＝2t x ＝1
2
t ，∴Q (2t ，
12t )．又∵A (2t ，0)，∴AQ ＝1
2
t ．设BC 解析式为：y ＝kx ＋b ．∵B (0，－2t )，C (2t ，4t )，∴2,24b t kt b t =-⎧⎨+=⎩．∴3,2k b t =⎧⎨=-⎩． ∴BC 解析式为：y ＝3x －2t ．解方程组2
,
32t y x
y x t
⎧=⎪⎨⎪=-⎩，得11,x t y t =⎧⎨=⎩，11,
33t x y t
⎧
=-⎪⎨
⎪=-⎩
（舍去）．∴P (t ，t ) ．∵S △PAB －S △PQB ＝t ，∴S △PFQ －S △BFA ＝t ．∴S △PAQ －S △BAQ ＝t ．∴12AQ ×p x ＝t .∴12×1
2
t ×t ＝t ．t 1＝0（舍去），t ２＝4．∴t 的值为4．
三、解答题（本大题共
9小题，满分102分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．（2018·南通市，19（1），10）思路分析：先依次计算出(－2)2＝44，(－3)0
＝1， (13
)
-2＝9，在按照顺序计算． 解析：原式＝4－4＋1－9＝－8．
19．（2018·南通市，19（2），10）思路分析：分式相除时，将除式的分子分母颠倒位置后与被除式相乘，注意结果要化到最简．解析：原式＝
2
(3)(3)(3)a a a +-+·33
a - ＝3
3a +． 20．（2018·南通市，20，8） 思路分析：解分式方程的基本思想是“转化思想”，通过去分母，把分式方程转化为整式方程求解．另外，解分式方程一定要验根．
解析：方程两边乘3(x ＋1)，得3x ＝2x ＋3(x ＋1)．解得x ＝32-．检验：当x ＝3
2
-时，3(x ＋
1)≠0．
所以，原分式方程的解为x ＝3
2
-．
21．（2018·南通市，21，8）
思路分析：先用枚举法、列表法或树状图法表示出所有可能出现的结果，然后找出两次取出的小球标号相同的结果数目，最后用概率公式求出概率． 解析：根据题意画出如下树状图：
从树状图可以看出，可能出现的结果共有9种，并且它们出现的可能性相等，其中两次取出的小球标号相同的的结果共有3种．
所以P(两次取出的小球标号相同)＝39＝13
．
22．（2018·南通市，22，8）思路分析：由∠ABD ＝120°，∠D ＝30°，A ，C ，E 三点在一直线上可得∠E ＝90°，在Rt △BDE 中，利用∠D 的余弦可以求出DE 的长．
第一次 第二次
1 1
2
3
2 1
2
3
3 1
2
3
解析：∵∠ABD ＝120°，∠D ＝30°，∴∠E ＝90°．
∵在Rt △BDE 中，cos D ＝DE
．∴DE ＝BD ·cos D
．
∴DE ＝BD ·cos30°＝520＝260×1.732≈450（m ）．
答：DE 长约为450m 时正好使A ，C ，E 三点在一直线上．
23．（2018·南通市，23，9）思路分析：（1）由收集到的数据可统计出销售额在22≤x ＜25的数据有：24，22，23，共3个，∴a ＝3；由收集到的数据可统计出销售额在28≤x ＜31的数据有：28，30，28，28，共4个，∴b ＝4；由收集到的数据可以知道15出现的次数最多，所以众数c ＝15； （2）由频数分布表可知，不低于25的数据共8个，∴若将月销售额不低于25万元确定为销售目标，则有8位营业员获得奖励；
（3）若想让一半左右的营业员都能达到销售目标，可以将中位数作为销售目标． 解析：（1）3，4，15； （2）8；
（3）月销售额定为18万元比较合适．
理由：有统计到的数据可以知道，月销售额在18万元（含18万元）的有16人，约占总人数的一半，可以估计，如果月销售额定为18万元，约有一半左右的营业员能达到销售目标． 24．（2018·南通市，24，8）
D E
A
O
B F
C
思路分析：（1）由已知条件容易证出四边形CDEF 是矩形，从而证出OC ⊥BE ，再根据垂径定理可以得出EF ＝BF ．
（2）在Rt △OBF 中，可以根据勾股定理列出关于半径的方程，求出⊙O 半径后可以得出直径AB 的长．
解析：（1）∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°．∴∠DEF ＝90°． ∵DC 与⊙O 相切于点C ，∴∠DCO ＝90°．∵AD ⊥CD ，∴∠D ＝90°＝∠DEF ＝∠DCO ． ∴四边形CDEF 是矩形．∴∠EFC ＝90°．∴OC ⊥BE ．∴EF ＝BF ． （2）∵四边形CDEF 是矩形．∴EF ＝CD ＝4，CF ＝DE ＝2 ．由（1），EF ＝BF ．∴BF ＝4． 设⊙O 的半径为r ，则OB ＝r ，OF ＝r －2．
在Rt △OBF 中，根据勾股定理可得，OF 2＋BF 2＝OB 2
．
∴(r －2)2＋42＝r 2
．r ＝5．∴AB ＝10． 25．（2018·南通市，25，9）
思路分析：（1）根据表格中的信息可以知道，购买2件A 的费用＋购买1件B 的费用＝55元，购买1件A 的费用＋购买3件B 的费用＝55元，根据这两个等量关系可以列二元一次方程组解决；
（2）要解决购买商品的最省钱的购买方案，可考虑利用函数的增减性求总费用的最小值．在求
函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
解析：（1）设A，B两种商品的单价分别为x元/件，y元/件．
根据题意，得
355,
365.
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
解得
20,
15.
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
答：A，B两种商品的单价分别为20元/件，15元/件．（2）设第三次购买A种商品m件，购买商品的总费用W元；则购买B种商品(12－m)件．W＝20m＋15(12－m)＝5m＋180.
又由题意ｘ≥2(12－m)，∴ｍ≥８.
∵W随m的增大而增大，∴当m＝8时，W有最小值，此时12－m＝4．
∴最省钱的购买方案是购买A种商品8件，B种商品4件．
26．（2018·南通市，26，10）
思路分析：（1）根据抛物线y＝x2－2(k－1)x＋k2－5
2
k（k为常数）经过点(1，k2)，可以将点
(1，k2)的坐标代入抛物线的解析式，得到关于k的方程，从而求出k；
（2）根据抛物线经过点(2k，y1)和点(2，y2)，可以代入抛物线解析式得到y1，y2关于k的表达式，在根据y1＞y2列出关于k的不等式，从而求出k的取值范围；
（3）先利用顶点坐标的变化求出平移后的抛物线的解析式，再根据对称轴的位置，结合二次函数的增减性，分三种情况进行分类讨论．
解析：（1）∵抛物线y＝x2－2(k－1)x＋k2－5
2
k（k为常数）经过点(1，k2)，
∴1－2(k－1)＋k2－5
2
k＝k2．解得k＝
2
3
．
（2）∵抛物线经过点(2k，y1)和点(2，y2)，
∴y1＝(2k)2－4k (k－1)＋k2－5
2
k＝k2＋
3
2
k，y2＝4－4(k－1)＋k2－
5
2
k＝k2－
13
2
k＋8；
又∵y1＞y2，∴k2＋3
2
k＞k2－
13
2
k＋8，∴k＞1．
（3）∵抛物线y＝x2－2(k－1)x＋k2－5
2
k＝(x－k＋1) 2－
1
2
k－1，
∴平移后的解析式为y＝(x－k) 2－1
2
k－1．∴该抛物线的对称轴为直线x＝k．
①若k＜1，则当x＝1时，y有最小值－3
2
．∴(1－k)2－
1
2
k－1＝－
3
2
，解得ｋ1＝1，ｋ2＝
3
2
．
∵k＜1，∴ｋ1＝1，ｋ2＝3
2
都不符合题意，舍去．
②若1≤k≤2，则当x＝k时，y有最小值－3
2
．∴－
1
2
k－1＝－
3
2
，解得ｋ＝1．
③若k＞2，则当x＝2时，y有最小值－3
2
．∴(2－k)2－
1
2
k－1＝－
3
2
，解得ｋ1＝3，ｋ2＝
3
2
．
∵k＞1，∴ｋ＝3．
综上，k的值为1或3 ．
27．（2018·南通市，27，13）
思路分析：（1）可以通过证明△ADE ≌△CDF 得到AE ＝CF ．
（2）过点F 作BC 的垂线，通过构造相似三角形求出有关线段的长度，再用勾股定理求出OF 的长； （3）由题意，点O 为定点，点F 为动点，要求线段OF 长的最小值，就需要弄清点F 的运动规律．当
点E 绕着O 旋转时，点F 也随之运动，因为将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF ，所以类似的将点O 也绕点D 逆时针旋转90°，得到点O 的对应点I ，然后再通过OF ，OI ，FI 的位置发现
OF ≥OI －FI ，从而求出线段OF 长的最小值．
解析：（1）∵正方形ABCD ．∴OC ＝OA ，∠ADC ＝90°．
∵线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF ，∴DE ＝DF ，∠EAF ＝90°．∴∠ADE ＝∠CDF ． ∴△ADE ≌△CDF ．∴AE ＝CF ．
（2）如图，作FH ⊥BC ，交BC 的延长线于点H ．
∵正方形ABCD ．∴∠B ＝90°，BC ＝AB ＝
．又∵O 是BC 边的中点，∴OC ＝OB
． ∵A ，E ，O 三点共线，∴点E 在线段BC 上．
在Rt △ABO 中，OA
＝5．又∵OE ＝2，∴CF ＝AE ＝3．
∵△ADE ≌△CDF ．∴∠DAE ＝∠DCF ．又∵∠DAB ＝∠DCH ＝90°，∴∠BAO ＝∠HCF ． 又∵∠H ＝∠B ＝90°．∴△BAO ∽△HCF ．∴AB BO AO
CH HF CF
==
53==． ∴FH
CH
OH
∴OF
（3）如图，连接OD ，将△ODE 绕点D 逆时针旋转90°得到△IDF ，连接OI ，OF ．
A B
C
O
E D
F H
在Rt △OCD 中，OD
5．在Rt △ODI 中，OI
＝
∵OF ≥OI －FI ，又∵FI ＝OE ＝2．∴OF ≤
2． ∴线段OF 长的最小值为
2． 28．（2018·南通市，28，13）
思路分析：（1）根据“等角点”的定义，过点A 作直线x ＝4的对称点A ′，连接A ′B 交直线x
＝4于点P ，则点P 为点A ，B 关于直线l 的“等角点”，根据点A ′，B 的坐标求出直线A ′B 解析式，进而求出“等角点”的坐标；
（2）方法①：类比（1），根据“等角点”的定义，过点A 作直线l 的对称点A ′，连接A ′B 交直线
l 于点P ，则点P 为点A ，B 关于直线l 的“等角点”，根据点A ′，B 的坐标求出直线A ′B 解析式，进
而求出直线A ′B 与x 轴的交点坐标；由对称性和两直线平行可以得到直线A ′B 与x 轴所夹锐角等于2
α
；然后用正切函数的定义得出结论．
方法②：易证直线A ′B 与x 轴的交点为A ′B 的中点，求出直线A ′B 与x 轴的交点坐标，再由对称性和两直线平行可以得到直线A ′B 与x 轴所夹锐角等于
2
α
；然后用正切函数的定义得出结论． （3）由题意可知，点P 在以AB 为弦，所对的圆心角为60°，且圆心在AB 下方的圆上，直线y ＝ax ＋b （a ≠0）经过该圆上的一个定点，求出该点坐标后，进而找到直线y ＝ax ＋b （a ≠0）的临界位置，求出b 的取值范围．
解析：（1）如下图，过点A 作直线x ＝4的对称点A ′，连接A ′B 交直线x ＝4于点P ，则点P 为点A ，
B 关于直线l 的“等角点”．
A B
C
O
E
D
F
I
∵A (2
)，∴A ′(6
)．设直线A ′B 解析式为：y ＝kx ＋b ，又∵B (－2，
)，
∴62k b k b ⎧+=⎪⎨
-+=⎪⎩
解得2
k b ⎧=
⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴直线A ′B 解析式为：y
x ．当x ＝4时，y
．∴点C (4
)是点A ，
B 关于直线x ＝4的等角点．
（2）方法①：如下图，过点A 作直线l 的对称点A ′，连接A ′B 交直线l 于点P ，交x 轴于点Q ，连接AP ，设直线l 交A A ′于点G ，交x 轴于点H ．
∵A ′与点A 关于直线x ＝m 对称，∴A ′P ＝AP ．∴∠A ＝∠A ′＝
2α．又∵A A ′∥x 轴，∴∠A ′QH ＝∠A ′＝2
α
． ∵点P (m ，n )，∴H （m ，0），PH ＝n ．∵A (2
)，A ′与点A 关于直线x ＝m 对称，∴A ′(2m －2
)．
设直线A ′B 解析式为：y ＝kx ＋b ，又∵B (－2
)
，∴(22)2k m b k b ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩
解得k m
b ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
∴直线A ′B 解析式为：y
x y ＝0
x 0．解得x ＝m －2．∴Q (m －2，0)．又∵H （m ，0）∴QH ＝2．又∵PH ＝n ．
′
′
∴在Rt △PQH 中，tan ∠A ′QH ＝tan
2
α＝PH QH ＝2n ． 方法②：如上图，易证△NBQ ≌△MAQ ，∴Q 为A ′B 的中点．∵A ′(2m －2
)，B (－2
)，∴∴Q (m －2，0)．又∵H （m ，0）∴QH ＝2．又∵PH ＝n ． ∴在Rt △PQH 中，tan ∠A ′QH ＝tan
2
α＝PH QH ＝2n ． （3）如图，当且点P 位于直线AB 的右下方，∠APB ＝60°时，点P 在以AB 为弦，所对的圆心角为60°，且圆心在AB 下方的圆上．若直线y ＝ax ＋b （a ≠0）与圆相交，设圆与直线y ＝ax ＋b （a ≠0）的另一个交点为Q ．由对称性可知，∠APQ ＝∠A ′PQ ，又∠APB ＝60°，∴∠APQ ＝∠A ′PQ ＝60°．∴∠ABQ ＝∠APQ ＝60°，∠AQB ＝∠APB ＝60°．∴∠BAQ ＝60°＝∠AQB ＝∠ABQ ．∴△ABQ 是等边三角形．∵线段AB 为定线段，∴点Q 为定点．若直线y ＝ax ＋b （a ≠0）与圆相切，易得点P 与Q 重合．∴直线y ＝ax ＋b （a ≠0）经过定点Q ．
连接OQ ，过点A ，Q 分别作AM ⊥y 轴，QN ⊥y 轴，垂直分别为M ，N ．
∵A (2
)，B (－2)，∴OA ＝OB
∵△ABQ 是等边三角形，∴∠AOQ ＝∠BOQ ＝90°，OQ OB
AOM ＋∠NOQ
＝90°，又∵∠AOM ＋∠MAO ＝90°，∴∠NOQ ＝∠MAO ． 又∵∠AMO
＝∠ONQ ＝90°，∴△AMO ∽∠ONQ ． ∴
AM
MO AO
ON NQ OQ ==
．∴2ON ==．∴ON ＝
，NQ ＝3
．∴Q (3，－)． ∴直线BQ 解析式为：y
x ，直线AQ 解析式为：y ＝－＋． 若点P 与B 重合，则直线PQ 与直线BQ 重合， b ； 又∵直线y ＝ax ＋b （a ≠0），且点P 位于直线AB 的右下方，
∴b的取值范围为：b且b≠－或b＞．
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