小学数学《带余除法与同余》ppt
《有余数的除法》ppt课件完整版
9除以4，商为2，余数为1，即9 = 4 × 2 + 1。
有余数除法的性质
01
02
03
04
余数非负性
在有余数的除法中，余数总是 非负的。
余数小于除数
余数总是小于除数的绝对值。
商的唯一性
对于给定的被除数和除数，商 是唯一的。
余数的周期性
当被除数连续增加除数的倍数 时，余数呈现周期性变化。
与其他数学概念的联系
在线学习资源 推荐学生利用在线学习资源，如数学课程网站、 教学视频等，进行自主学习和巩固提高。
3
数学竞赛与活动
鼓励学生参加数学竞赛和数学活动，如全国大学 生数学竞赛、数学建模竞赛等，以锻炼数学应用 能力和团队协作能力。
THANKS
感谢观看
同余式求解
利用有余数的除法可以求 解同余式，这在密码学、 计算机科学和数学竞赛等 领域有广泛应用。
素数检验
通过有余数的除法可以判 断一个数是否为素数，这 对于数学研究和实际应用 具有重要意义。
05
有余数除法在实际问题中的应用
在日常生活中的应用
分配问题
在分配物品时，如果物品数量不 能被平均分配，就需要使用有余 数的除法来确定每个人应得的物
数。
周期性现象
许多自然现象和工程问题都呈现 出周期性变化。使用有余数的除 法可以确定某个时刻在周期中的
位置以及剩余的时间或数量。
数据处理
在处理大量数据时，有时需要将 数据按照某个标准进行分组或分 类。使用有余数的除法可以确定 每个组或类别中的数据数量和剩
余的数据数量。
在经济学和金融学中的应用
01
货币计算
在几何中的应用
图形分割
在几何图形中，有余数的除法可用于 将图形进行等分或不等分分割，例如 将一个圆等分为若干份。
dd12-暑-05s-p06带余除法与同余
第六讲带余除法一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，0≢r＜b，使得a=b×q+r。
当r=0时，我们称a能被b整除。
当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）.用带余除式又可以表示为a÷b=q…r，0≢r＜b。
例1 一个两位数去除251，得到的余数是41.求这个两位数。
例2 用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16.被除数、除数、商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？例3 某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几？例4 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数。
例5 一个布袋中装有小球若干个.如果每次取3个，最后剩1个；如果每次取5个或7个，最后都剩2个.布袋中至少有小球多少个？例669、90和125被某个正整数N除时，余数相同，试求N的最大值。
【家庭作业】1.用一个自然数去除另一个自然数，商是8，余数是16.被除数、除数、商、余数这四个数的和为463，求除数。
2.某数除以3余1，除以4余2，除以5余3，除以6余4，这个数最小是多少？3.某数除以8余3，除以9余4，除以12余7，在1000以内这样的数有哪几个？4.用卡车运货，每次运9袋余1袋，每次运8袋余3袋，每次运7袋余2袋.这批货至少有多少袋？5.57、96、148被某自然数除，余数相同，且不为零.求284被这个自然数除的余数同余同余定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b（modm）. （*）可读作：a同余于b，模m。
同余式（*）意味着（我们假设a≣b）：a-b=mk，k是整数，即m｜（a-b）.a可被m整除，可用同余式表示为：a≡0（modm）。
补充定义：若m（a-b），就说a、b对模m不同余，用式子表示是：a b（modm）我们书写同余式的方式，使我们想起等式，而事实上，同余式与等式在其性质上相似.同余式有如下一些性质（其中a、b、c、d是整数，而m是自然数）。
余数的除法解决问题课堂ppt
余数的值是小于除数的，且余数的值是0、正数或负数。
特殊除法的认识
整除
01
当余数为0时，称除数为被除数的因数，此时被除数被整除。
余数为0的特殊情况
02
当被除数为0时，商为任意数，余数为0。当除数为0时，无法
进行除法运算，无意义。
不完全整除
03
当余数不为0时，称被除数无法被除数整除，此时不完全整除
规律
余数除法的结果是一个整数加上一个余数，其中整数表示商，余数表示余数 。
技巧
掌握一些常见的余数除法技巧，如倍数法、尾数法等，可以简化计算过程， 提高解题速度。
培养学生的数学思维和解决问题的能力
数学思维
通过余数除法的应用，可以培养学生的逻辑思维、数学思维和抽象思维等方面的 能力。
解决问题能力
余数除法解决问题课堂不仅传授知识，更注重培养学生的解决问题能力。通过引 导学生主动探究、发现规律、应用规律，帮助学生积累解决问题的经验，提高解 决问题的能力。
。
03
余数在生活中的应用
用余数解决时间分配问题
总结词
公平分配、优化资源
详细描述
在时间分配问题中，余数可以用于公平地分配时间资源，使得每个人都能够得到 他们所需要的合理时间。例如，可以将一天的时间划分为30份，每个人都按需分 配，余下的时间可以作为公共资源进行优化配置。
用余数解决物资分配问题
总结词
讲解如何利用余数的除法解决实际问题 总结并预告下次课的主题和内容
THANKS
感谢观看
05
本堂课小结
回顾余数在生活中的应用
分配问题
在分配物品时，常常会遇到剩余物品和不足整份分配的问题 。此时，余数除法可以帮助我们确定剩余物品的数量和如何 进行再次分配。
《余数和除数的关系》有余数的除法PPT教学课件
这节课你有什么收获？你还有什么问题？
• 在有余数的除法算式中余数要比除 数小。
• 要会列有余数是除法算式。
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余数和除数的关系
课后作业
1.从教材课后习题中选取； 2.从课时练中选取。
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青岛版（五年制） 数学 二年级 上册
8 野营——有余数的除法
余数和除数的关系
-.
余数和除数的关系
情境导入
课前复习 13÷4= 3……1 19÷8= 2……3 23÷4= 5……3
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余数和除数的关系
根据右图所示信 息，思考下面的 问题。
12个草莓，每人分几个？如果有13个、14个，新知
12个草莓平均分给4个人 13个草莓平均分给4个人 14个草莓平均分给4个人 15个草莓平均分给4个人 16个草莓平均分给4个人
12÷4=3（个） 13÷4=3（个）……1（个） 14÷4=3（个）……2（个） 15÷4=3（个）……3（个） 16÷4=4（个）
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余数和除数的关系
18÷2=9（人） 18÷3=6（人）
观察余数和除数，你能发现什么？
18÷4=4（人）……2（片）
18÷5=3（人）……3（片） 18÷6=3（人）
余数都小于除数
18÷7=2（人）……4（片）
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余数和除数的关系
课堂练习
1、 摆一摆，填一填。
8÷3 = □2 ⋯⋯□2 9÷2 = □4 ⋯⋯□1
13÷5 = □2 ⋯⋯□3 23÷4 = □5 ⋯⋯□3
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余数和除数的关系
4.有9名队员打算去“恐龙乐园”进行野营。让我们一起为他 们打理 野营装备吧。 （1）香肠20包，平均每人分得（ 2 ）包，还剩（ 2 ）包。 （2）苹果30个，平均每人分得（ 3 ）个，还剩（ 3 ）个。 （3）矿泉水40瓶，平均每人分得（ 4 ）瓶，还剩（ 4 ）瓶。
有余数的除法PPT课件
课件contents•引入与概念•运算方法与步骤目录•实例分析与计算•应用场景与拓展•练习题与答案解析引入与概念01如何分配物品，使得每个人得到的数量不同？在日常生活中，遇到不能整除的情况怎么办？有余数除法在实际问题中的应用有哪些？引入问题有余数除法定义有余数除法的概念两个整数相除，不能整除时，商为整数，余数为非零整数的除法运算。
余数的定义在整数除法中，被除数减去除数与商的乘积后所得的数。
有余数除法表示方法a ÷b =c …… r，其中a为被除数，b 为除数，c为商，r为余数。
无余数除法中，被除数能被除数整除，商为整数；有余数除法中，被除数不能被除数整除，商为整数，余数为非零整数。
结果差异无余数除法满足结合律和交换律；有余数除法不满足这些运算性质。
运算性质无余数除法常用于等分、计算比例等问题；有余数除法常用于解决分配、周期等问题。
应用场景与无余数除法区别运算方法与步骤02将被除数、除数和商按照竖式格式排列。
列竖式如果余数大于除数，说明试商偏小，需要调大；如果余数小于除数，说明试商偏大，需要调小。
调整根据被除数和除数的大小，估计一个接近的商。
试商将试商与除数相乘，得到积。
相乘将被除数减去积，得到余数。
相减0201030405竖式运算方法运算步骤详解观察被除数和除数的大小关系，确定商的位数。
从被除数的最高位开始，依次与除数相除，得到每一位的商和余数。
将每一位的商相加，得到最终的商。
根据被除数的最高位和除数的最高位进行试商，确定商的最高位。
010204注意事项在列竖式时，要保证被除数、除数和商的位数对齐。
在试商时，要根据被除数和除数的大小关系进行估计，避免过大或过小的试商。
在相乘和相减时，要注意运算顺序和符号问题。
在得到最终的商后，要检查余数是否为零，以确保运算的正确性。
03实例分析与计算03例子1：23 ÷5 = 4...3计算过程：23 -5 ×4 = 3被除数为17，除数为3，商为5，余数为2。
带余除法1 PPT
前面我们讲到除法中被除数和除数的整 除问题.除此之外，例如：16÷3=5…1，
即16=5×3+1.此时，被除数除以除数 出现了余数，我们称之为带余数的除法。
定义1 设a与b是两个整数，b > 0，则存在唯一 的两个整数q和r，使得
a bq r, 0 r b
(1)
定义2：（1）式通常写成
例 利用带余数除法，由a, b的值求q, r .
(1) a 14,b 3
14 3 4 ( 余 2 ), q 4, r 2
(2) a 14,b 3
14 3 5 ( 余 1 ),q 5, r 1
(3)a 14,b 3
14 (3) 14 3
注：一般地，要求a, q是整数，b, r是非负整数； 如果允许b取负值，则要求 0 r b .
解：∵被除数=除数×商+余数，
即被除数=除数×40+16。
由题意可知：被除数+除数=933-40-16=877，
∴（除数×40+16）+除数=877，
思考：是否就是关于除
∴除数×41=877-16，
数和减去余数的被除数 的和倍问题
除数=861÷41，
除数=21，
∴被除数=21×40+16=856。 答：被除数是856，除数是21。
例7 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，求符合条件的最小自然数。
•
解：想：2+3×？之后能满足“5除余3”的条件？
2+3×2=8。
再想：8+[3，5]×？之后能满足“7除余4”的条件？
8+[3，5]×3=53。
∴符合条件的最小的自然数是53。
• 归纳以上两例题的解法为：逐步满足条件法.当找到满足某个条 •件的数后，为了再满足另一个条件，需做数的调整，调整时注意要 •加上已满足条件中除数的倍数。
小学数学公开课有余数的除法余数和除数的关系公开课一等奖课件ppt
（二）摆一摆，解决新问题
把下面这些 每2个摆一盘，摆一摆。
问题：1. 观察，你发现了什么？ 2. 现在你还会摆吗？互相说一说你打算怎样做。 3. 这1个草莓怎么不摆了？ 4. 能把你的想法用算式表示出来吗？
经营者提 供商品 或者服 务有欺 诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
三、对比观察，理解关系
（一）初步理解余数与除数的关系
问题：1. 用9根小棒，你能摆几个这样的 正方形？请你动手摆一摆。 2. 能用除法算式表示你摆的意思吗？ 3. 如果用10根小棒来摆呢？ 4. 11根、12根呢? 5. 余数和谁有很密切的关系？ 是什么关系？ 余数 ＜除数
经营者提 供商品 或者服 务有欺 诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
经营者提 供商品 或者服 务有欺 诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
三、对比观察，理解关系
（二）活动思考，加深理解
用一堆小棒摆 。如果有剩余，可能会 剩几根小棒？
问题：1. 读一读，说一说你知道了什么。 2. 你是怎么想的？和同伴说一说，也可以摆一摆 证明自己的想法。 3. 如果用这些小棒摆 呢？
经营者提 供商品 或者服 务有欺 诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
四、课堂作业
作业：第60页“做一做”，第2题。 第64页练习十四，第1题、第2题。
《余数和除数的关系》有余数的除法PPT教学课件
摆正方形，列出相应的除法算式。
8根
8÷4 = 2(个)
9根
9÷4 = 2(个)……1(根)
10根
10÷4 = 2(个)……2(根)
摆正方形，列出相应的除法算式。
观察每道题的余数和除数，你发现了什么？
11根
11÷4 = 2(个)……3(根)
12根
12÷4 = 3(个)
探究算式中余数和除数的关系。
变式训练
3 把10个桃子平均分给3个小朋友，每个小朋友分 几个，还剩下几个？
10÷3 =3（个）……1（个）
答：每个小朋友分3个，还剩下1个。
思维训练
1 每件衣服需要5个纽扣，现有36个纽扣，最多可 以钉多少件衣服？ 36÷5＝7（件）……1（个）
答：最多可以钉7件衣服。
思维训练
2 56块糖，每盒装6块，可以装几盒，还剩多少块？
8根
9根
10根 1余中1根数最都小的比余除数数是小，1，其 1最2根大的余数是3。
8÷4 = 2(个) 9÷4 = 2(个)……1(根) 10÷4 = 2(个)……2(根) 11÷4 = 2(个)……3(根) 12÷4 = 3(个) 余数
除数 余数 ＜ 除数
小组讨论
为什么余数一定比除数小呢？
在小组内说说自己的想法。
（ 2 ）份，还剩（ 5 ）根。
（3）16根小棒，每7根分一份，最多可以分成
（ 2 ）份，还剩（ 2 ）根。
变式训练
2 填一填。
（1）如果（ ）÷9=5……（ ），余数最
大是（ 8 ）。 （2）一个数除以8，余数最大是（ 7 ）。 （3）19里面有（ 6 ）个3，还余（ 1 ）；
28里面有（ 4 ）个6，还余（ 4 ）。
第三讲 同余课件
课后作业1
对于一个不等于 1 的整数，用它除 967 ，1000 ，2001 都 得到相同的余数。那么这个整数是多少？
考查的同余性质❶
课后作业2
求乘积34×37×41×43除以13所得的余数是多少
考查的同余性质❼
课后作业3
21994被7除余几？
考查带余除法和周期
课后作业4
2008²÷7的余数是多少？ 考查同余性质❻
考查带余除法
【模仿2】
19931994÷7的余数是多少
考查的同余性质❻和周期
【例题3】
求33335555＋55553333被7除的余数。
考查的同余性质❻和周期
【模仿3】
有一个整数，被4除余1，被9除余1，被5除余2，求这个 数最小是多少
考查的带余除法
【模仿4】
在一个圆圈上有几十个孔（如图），小明像玩跳棋那样，从a孔出发，沿逆时 一个整数除以3余1，除以5余1，是7的倍数，求这个数？ 针方向，每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回a孔，他先试着每隔2孔跳 一步，结果只能跳到b孔，他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到b孔。最后他 每隔6孔跳一步，正好跳回a孔。这个圆圈上共有多少个孔？
谢谢大家
第五讲 牛吃草
【模仿1】
考查的
①②③④
【模仿1】
考查的
①②③④
【例题2】
数713,1103，830,947被一个数除所得余数相同（余数 不为0）。求这个除数。
考查的同余性质❶
Байду номын сангаас
【模仿2】
三个整数492，2241，3195分别除以同一个整数，所得 的余数都是15，这个除数是多少？
考查的同余性质❶或者带余除法
《有余数的除法》精品课件
汇报人：日期:contents •有余数的除法概述•有余数的除法基本原理•有余数的除法的计算方法•常见题型与解题技巧•有余数的除法在数学中的地位和意义•拓展与提高目录01有余数的除法概述定义概念定义与概念有余数的除法是数学运算体系中的重要组成部分，它与其他运算规则相互补充，共同构建了完整的数学体系。
为什么需要有余数的除法完善数学体系精确表示有余数的除法在生活中的应用02有余数的除法基本原理除法定义商与余数除法运算的基本规则判断方法观察余数如何判断有余数的除法余数的含义与重要性余数的含义余数是指在除法运算中，被除数除以除数后，未能被整除的部分。
余数的重要性余数在数学中有着广泛的应用，如判断质数、求解方程等，掌握好余数的概念对于深入学习数学有很大的帮助。
同时，在实际生活中，余数也有诸多应用，如时间计算、物品分配等。
因此，理解余数的含义与重要性，对于提高数学素养和解决实际问题都有重要意义。
03有余数的除法的计算方法列竖式计算首先写出被除数和除数，并在被除数的下方对齐写出除数，然后进行除法运算，得到商和余数。
商写在竖式中间，余数写在竖式的最下方，与被除数的个位对齐。
逐步减法计算将被除数减去除数与商的乘积，得到余数。
然后，根据余数大小调整商的值，再次进行减法运算，直到余数为零为止。
最后得到的商即为所求。
手工计算方法利用计算器进行计算使用普通计算器使用科学计算器在购物过程中，当消费金额不能被整除时，可以通过有余数的除法计算来找零。
例如，消费了87元，而手头只有100元钞票，那么需要找回13元。
这时可以利用有余数的除法，100除以87得到商1余13，因此找回的钱就是13元。
时间规划在日常生活中，有时需要将一段时间等分，但时间长度不能被整除。
这时可以用有余数的除法来计算每段时间的长度以及剩余的时间。
例如，将3小时20分钟平均分给4个人，每人得到的时间为45分钟，剩余20分钟可以留作机动时间。
购物时计算找零实际应用中的计算技巧VS04常见题型与解题技巧典型例题解析01020304例题1•解析例题2•解析易错题1•分析易错题2•分析易错题型分析解题策略与技巧分享策略1•技巧•技巧策略3策略2•技巧05有余数的除法在数学中的地位和意义有余数的除法在数学体系中的位置基础运算数的整除性有余数的除法与其他数学知识的联系与分数的关系应用于实际问题理解余数概念掌握计算方法实际问题应用思维拓展培养学生对有余数的除法的理解和应用能力06拓展与提高题目类型数学竞赛中常出现与有余数除法相关的题目，如最大余数、最小除数等类型的题目。
数学五年级竞赛讲座第9讲同余课件
但如果计算得到4278×39682=169759896。 从末位看不出问题，不敢确定计算有无错误。
在“同余的几条简单性质”的例题中，我们
曾计算三个数的乘积437×309×1993被7除的余 数，若改为计算437×309×1993被9除的余数，
根据同余的性质可以分别计算437、309、 1993被9除的余数，再求余数之积被9除的余数。
例5．用弃九法检验465187586÷9762=47653是 否可能正确。 解：转化为检验乘法9762×47653=465187586。
9762≡(9+7+6+2)(mod 9)≡6(mod 9)， 47653≡(4+7+6+5+3) (mod 9)≡7(mod 9)， 所以9762×47653≡6×7(mod 9)
所以3145×92653≡1(mod 9)， 设2910 93995的横线处填写的是a， 即2910a93995 ≡(2+9+1+0+a+9+3+9+9+5)(mod 9)≡a+2(mod 9)， 所以a=8.
334≡1(mod 9)， 而1226452≡(1+2+2+6+4+5+2) (mod 9)
≡4(mod 9)， 用弃九法知道计算不正确。
5．乘法算式3145×92653=2910 93995的横线处 漏写了一个数字，那么横线处应填写 8 。 解：3145≡4(mod 9)，92653≡7(mod 9)，
≡42(mod 9)≡6(mod 9)，
465187586≡(4+6+5+1+8+7+5+8+6)(mod 9) ≡5(mod 9)，
有余数的除法ppt课件
”。
余数的求法
将被除数和除数相除，得到的 结果即为余数。
余数的性质
余数小于除数，即余数的取值 范围为0到除数-1。
余数的应用
余数可以用于判断整数的除法 是否整除，以及确定整数的位
置等。
04 有余数除法在生活中的应 用
生活中的有余数除法实例
切分蛋糕
当有一个完整的蛋糕，需要均匀地分给若干人时，每人得到 的蛋糕部分就是整块蛋糕除以人数得到的商，而剩余的部分 就是余数。
时间计算
在时钟上，每小时代表30度，每分钟代表6度。例如，计算 15分钟是几度，可以通过15分钟 x 6度/分钟 = 90度，即90 度。而15分钟之后时针所转的角度就是90度，即3/2小时的 位置，这就是有余数除法的应用。
有余数除法的性质
总结词
有余数除法具有一些重要的性质，如余数的唯一性、余数的取值范围、余数的符号等。
详细描述
余数的唯一性是指在一个除法运算中，余数是唯一的，它取决于被除数、除数和商的值 。余数的取值范围是0到除数之间的一个非负整数，当被除数为负数时，余数的符号与 被除数相同。此外，有余数除法还具有一些重要的定理和公式，如长除法、短除法等。
02 有余数除法的概念
有余数除法的定义
总结词
有余数除法是指除法运算中，被除数不能被除数整除，商和余数都是非负整数且余数不为零的情况。
详细描述
有余数除法是一种常见的数学概念，它描述了当一个数不能被另一个数完全除尽时的情况。在有余数 除法中，被除数被除数除后，结果是一个商和余数，其中商是整数，余数是0到除数之间的一个数。
03 有余数除法的运算
商的运算
商的定义
有余数的除法课件PPT
余数处理不当
学生可能未能正确处理余 数，导致余数与商的位数 不一致。
运算顺序错误
在复杂的除法运算中，学 生可能未能依照正确的运 算顺序进行计算，导致结 果错误。
错误原因分析
概念理解不清楚
学生对除法的概念理解不 清楚，无法准确判断商的 位数和余数的处理方式。
运算能力不足
学生的运算能力不足，无 法在复杂的除法运算中正 确处理余数和商的位数。
余数的性质
总结词
余数具有一些重要的性质，包括余数的唯独性、余数的取值范围以及余数的符 号。
详细描写
余数的唯独性是指在一个除法中，余数是唯独的。余数的取值范围取决于除数 的大小，例如，如果除数是a，那么余数的取值范围是0到a-1。余数的符号与被 除Biblioteka 和除数的符号相同。余数的范围
总结词
余数的取值范围受到除数的限制，具体的范围取决于除数的 大小。
余数的取值范围是0到除数-1， 当余数为0时，表示被除数能被
除数整除。
有余数除法的计算方法
01
02
03
04
确定被除数和除数
第一确定要进行除法运算的被 除数和除数。
确定商
将被除数除以除数，得到商。
确定余数
用被除数减去商乘以除数的结 果，得到余数。
写出答案
将商和余数写出，即为有余数 除法的结果。
03
详细描写
如果除数是正数或零，余数的取值范围是0到除数减一。如果 除数是负数，余数的取值范围是负除数到0。例如，如果除数 是5，那么余数的取值范围是0到4；如果除数是-3，那么余 数的取值范围是-3到0。
02
有余数的除法运算
除法的基本概念
除法是一种数学运算，表示将一个数（被除数）平均分成若干等份（除数），求每 一份的数值（商）和剩余的部分（余数）。
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小试身手
237除以一个大于50的两位数，余数 是6，则合适这个条件的两位数是多少？
答案：如果a被b除得的余 数是n，那么a-n能被b整除所以 用237-6=231，231能被一个两 位数整除，把231分解质因数后 找出大于50的两位数约数即为 所求237-6=231， 231=3×7×11，231的两位数 约数有11，21，77，33，其中 大于50的只有77，所以这个两 位数就是77
【例1】一个两位数去除259， 得到的余数是49，求这个两位数
思路点拨:如果a被b除得的 余数是n，那么a-能被b整除，所 以用259-49=210，210能被一个 两位数整除，把210分解质因数 后找出大于49的两位数约数即 为所求
【解】259-49=210， 210=2×3×5×7，210的两位约 数有10，14，15，21，35，42， 70，其中大于余数49的只有70， 所以这个两位数是70
对于已知整数a和自然数b， 求q和r，使a=bq+r(0≤r<b) 成立的运算叫做有余数的 除法，或称为带余除法， 记为a÷b=q(余r)或 a÷b=q...r
51÷8=6......3，27÷8=3......3,
其中51，27被8除的余数相同， 是同余除法
若整数a,b同除以自然数n的余 数相同，则称a和b对模n同余 （模n即除以n的意思，）这 就是同余除法
【例2】两个整数相除，商5余3，被 除数，除数，商，余数之和为113，求被 除数是多少？
思路点拨：由题意知道等量关 系式：被除数+除数+商+余数=11， 其中商是5，余数是3，所以被除数 +除数+5+3=11，即被除数+除数 =105，根据有余数除法中各部分之 间的关系，被除数=除数×商(5)+余 数（3），可巧设除数为x,则被除数 为5x+3，然后列出方程即可解答
【解】设除数为x,则被除数为 5x+3
（5x+3）+x+5+3=113解 得:x=17
所以被除数为： 17×5+3=88
小试身手
试一试，在被除数小于20的条件下，在（） 中填上合适的数，使等式成立（三个式子 的被除数相同）
（）÷（）=4......3 （）÷（）=6......5 （）÷（）=3......2
答案：观察所给算式，我们可以发 现余数都比商小1，如果采取先借后 还的策略给被除数增加1，则等式变 为： （）÷（）
=4（）时÷余（数）和除数相同，如果把 4，6，=33.分....别.3 做除数，那么被除数 （增加1后）都能被4，6，3整除， 所以被除数（增加1后）是4，6，3 的公倍数，而小于20的4，6，3的公 倍数只有12，再用12减去1）（还 1），就得到被除数应为12-1=11， 所以答案是11
带余除法与同余
我们以前学过整数的除法，以 前都是被除数能被除数整除的那么 老师出几个数你们看看能不能计算 出来呢，13÷3，21÷6，遇到这样 的除法我们应该怎么办呢，今天老 师就带大家来学习一个新的内容
带余除法与同余
什么是带余除法及同余？
13÷4=3......1
13就是就是被除数，4是除数，3就是商， 1就是余数
这节课我们学习了什么 内容？你有哪些收获？还 有什么问题吗？
规律小结： （1）对于任意一个整数除以一个自
然数，一定存在唯一确定的商和余数， 使被除数=除数×商+余数（0≤余数< 除数）。
(2)用一个相同一个 自然数出除两个或更多 整数，余数可能不同， 也可能相同，余数相同 的叫同余除法。
(3)几个数分别除以同一个 自然数得到的余数相同，求作 为除数的自然数的方法：（1） 求同余的各被除数两两的差（2） 找出差的公约数即为除数。
(4)已知被除数和余数，求 除数的个数的方法是：通过分 解质因数找出所有约数个数， 再去掉比余数小的约数的个数 即可。
现实是此岸，理想是彼岸。 中间隔着湍急的河流，行 动则是架在川上的桥梁