数学建模概率模型解析
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实例3 从一批产品中,依次任选三件,记录出 现正品与次品的情况.
记 N 正品, D 次品.
则 Ω3 { NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DDN, DND, DDD}.
说明 1. 试验不同, 对应的样本空间也不同. 2. 同一试验 , 若试验目的不同,则对应的样 本空 间也不同.
分析
(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行;
(2) 试验的所有可能结果: 正面、反面;
(3) 进行一次试验之前不能 确定哪一个结果会出现.
故为随机试验.
同理可知下列试验都为随机试验.
(1) 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
(2) 从一批产品中,依次任选三件,记 录出现正品与次品的件数.
2.1.2 样本空间 样本点
结果有可能出现正面也可能出现反面.
随机现象的特征
条件不能完全决定结果
说明 (1) 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性 联系 , 其数量关系无法用函数加以描述. (2) 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶 然性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具 有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象 规律性的一门数学学科. 如何来研究随机现象? 随机现象是通过随机试验来研究的. 问题 什么是随机试验?
例如 对于同一试验: “将一枚硬币抛掷三 次若”观.察正面 H、反面 T 出现的情况 ,则样本空间 为
{HHH , HHT , HTH , THH , HTT , TTH , THT , TTT }.
若观察出现正面的次数 , 则样本空间为
{0,1, 2, 3}.
3. 建立样本空间,事实上就是建立随机现 象的数学 模型. 因此 , 一个样本空间可以 概括许多内容大不 相同的实际问题.
1657年Huygens(惠更斯,荷)发表的《论赌博中的计 算》是最早的概率论著作，论著中第一批概率论概念（ 如数学期望）与定理（如概率加法、乘法定理）标志着 概率论的诞生。
18世纪初，Bernoulli(伯努利，法)、De. Moivre (棣 莫费,法)、蒲丰、 Laplace(拉普拉斯，法) 、Gauss(高斯， 德)和泊松等一批数学家对概率论作了的奠基性的贡献。
定义 随机试验 E 的所有可能结果组成的集合
称为 E 的样本空间, 记为 .
样本空间的元素 , 即试验E 的每一个结 果, 称为
样本点,常用 表示.
实例1 抛掷一枚硬币,观察正面,反面出现的情况.
1 {H ,T}.
H 正面朝上 T 反面朝上
实例2 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
2 {1, 2, 3, 4, 5, 6}.Biblioteka Baidu
通俗地讲 随机事件是指随机试验中可能发生也可能不
发生的事件． 根据这个说法不难发现 随机事件和样本空间的子集有 一一对应关系！
实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数.
“点数不大于4”,“点数为偶数” 等都为随机事件.
它们分别可以对应了样本空间 ={1,2,3,4,5,6} 的子集｛1,2,3,4｝和｛2,4,6｝．
反过来， 的每个子集都对应了该试验的一个随机 事件．
随机事件的定义 随机试验 E 的样本空间 的子集称为 E
(1) 确定性现象(必然现象）
在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象.
实例
“太阳不会从西边升起”,
“水从高处流向低处”,
确定性现象的特征
条件完全决定结果
(2) 随机现象（偶然现象）
在一定条件下可能出现也可能不出现的现 象 即在相同条件下重复进行试验，每次结果 实未必例相1同在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况.
2.1.1 随机试验定义
在概率论中,把具有以下三个特征的试验称 为随机试验.
(1) 可以在相同的条件下重复地进行; (2) 每次试验的可能结果不止一个,并且能 事先明确试验的所有可能结果; (3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果 会出现.
说明 (1) 随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语.它包 括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行 的 “调查”、“观察”或 “测量” 等. (2) 随机试验通常用 E 来表示. 实例 “抛掷一枚硬币,观 察字面,花面出现的情况”.
例如 只包含两个样本点的样本空间
{H , T}
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的 模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的 模型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排 队的模型等.
在具体问题的 研究中 , 描述随机 现象的第一步就是 建立样本空间.
2 .2 随机事件
(1) 基本概念
1812年, Laplace(拉普拉斯，法) —《概率的分析理论 》实现了实现了从组合技巧向分析方法的过渡，开辟了概 率论发展的新时期。
19世纪(1866), Chebyhev(切比雪夫，俄) — 中心 极限理论。是概率论理论的又一次飞跃，为后来数理统计 的产生和应用奠定了基础。
20世纪(1933),kolmogorov (柯尔莫哥洛夫，俄) — 概率公理化定义得到了数学家们的普遍承认。由于公理化 ,概率论成为一门严格的演绎科学,取得了与其他数学学科 同等的地位，并通过集合论与其他数学分支密切的联系。
第四讲 概率模型
1.概率论的诞生及应用 2. 随机事件及其概率 3. 随机变量及其分布 4. 随机变量的数字特征 5. 统计方法的基本概念 6. 参数估计法 7 回归分析法
1 概率论的诞生及应用
起源 —博弈
1654年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约定赌若 干局, 且谁先赢 c 局便算赢家, 若在一赌徒胜 a 局 ( a<c ), 另一赌徒胜b局(b<c)时便终止赌博,问应如何分赌本” 为 题求教于Pascal(帕斯卡, 法), 帕斯卡与Fermat(费玛)通信 讨论这一问题,并用组合的方法给出了正确的解答。
在公理化的基础上, 现代概率论不仅在理论上取得了 一系列突破， 在应用上也取得了巨大的成就，其应用几乎 遍及所有的科学领域，例如天气预报、 地震预报、产品的 抽样调查、经济研究等，在通讯工程中概率论可用以提高 信号的抗干扰性、分辨率等等.
2. 随机事件及其概率 2.1 随机事件
自然界所观察到的现象: 确定性现象 随机现象
记 N 正品, D 次品.
则 Ω3 { NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DDN, DND, DDD}.
说明 1. 试验不同, 对应的样本空间也不同. 2. 同一试验 , 若试验目的不同,则对应的样 本空 间也不同.
分析
(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行;
(2) 试验的所有可能结果: 正面、反面;
(3) 进行一次试验之前不能 确定哪一个结果会出现.
故为随机试验.
同理可知下列试验都为随机试验.
(1) 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
(2) 从一批产品中,依次任选三件,记 录出现正品与次品的件数.
2.1.2 样本空间 样本点
结果有可能出现正面也可能出现反面.
随机现象的特征
条件不能完全决定结果
说明 (1) 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性 联系 , 其数量关系无法用函数加以描述. (2) 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶 然性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具 有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象 规律性的一门数学学科. 如何来研究随机现象? 随机现象是通过随机试验来研究的. 问题 什么是随机试验?
例如 对于同一试验: “将一枚硬币抛掷三 次若”观.察正面 H、反面 T 出现的情况 ,则样本空间 为
{HHH , HHT , HTH , THH , HTT , TTH , THT , TTT }.
若观察出现正面的次数 , 则样本空间为
{0,1, 2, 3}.
3. 建立样本空间,事实上就是建立随机现 象的数学 模型. 因此 , 一个样本空间可以 概括许多内容大不 相同的实际问题.
1657年Huygens(惠更斯,荷)发表的《论赌博中的计 算》是最早的概率论著作，论著中第一批概率论概念（ 如数学期望）与定理（如概率加法、乘法定理）标志着 概率论的诞生。
18世纪初，Bernoulli(伯努利，法)、De. Moivre (棣 莫费,法)、蒲丰、 Laplace(拉普拉斯，法) 、Gauss(高斯， 德)和泊松等一批数学家对概率论作了的奠基性的贡献。
定义 随机试验 E 的所有可能结果组成的集合
称为 E 的样本空间, 记为 .
样本空间的元素 , 即试验E 的每一个结 果, 称为
样本点,常用 表示.
实例1 抛掷一枚硬币,观察正面,反面出现的情况.
1 {H ,T}.
H 正面朝上 T 反面朝上
实例2 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
2 {1, 2, 3, 4, 5, 6}.Biblioteka Baidu
通俗地讲 随机事件是指随机试验中可能发生也可能不
发生的事件． 根据这个说法不难发现 随机事件和样本空间的子集有 一一对应关系！
实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数.
“点数不大于4”,“点数为偶数” 等都为随机事件.
它们分别可以对应了样本空间 ={1,2,3,4,5,6} 的子集｛1,2,3,4｝和｛2,4,6｝．
反过来， 的每个子集都对应了该试验的一个随机 事件．
随机事件的定义 随机试验 E 的样本空间 的子集称为 E
(1) 确定性现象(必然现象）
在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象.
实例
“太阳不会从西边升起”,
“水从高处流向低处”,
确定性现象的特征
条件完全决定结果
(2) 随机现象（偶然现象）
在一定条件下可能出现也可能不出现的现 象 即在相同条件下重复进行试验，每次结果 实未必例相1同在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况.
2.1.1 随机试验定义
在概率论中,把具有以下三个特征的试验称 为随机试验.
(1) 可以在相同的条件下重复地进行; (2) 每次试验的可能结果不止一个,并且能 事先明确试验的所有可能结果; (3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果 会出现.
说明 (1) 随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语.它包 括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行 的 “调查”、“观察”或 “测量” 等. (2) 随机试验通常用 E 来表示. 实例 “抛掷一枚硬币,观 察字面,花面出现的情况”.
例如 只包含两个样本点的样本空间
{H , T}
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的 模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的 模型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排 队的模型等.
在具体问题的 研究中 , 描述随机 现象的第一步就是 建立样本空间.
2 .2 随机事件
(1) 基本概念
1812年, Laplace(拉普拉斯，法) —《概率的分析理论 》实现了实现了从组合技巧向分析方法的过渡，开辟了概 率论发展的新时期。
19世纪(1866), Chebyhev(切比雪夫，俄) — 中心 极限理论。是概率论理论的又一次飞跃，为后来数理统计 的产生和应用奠定了基础。
20世纪(1933),kolmogorov (柯尔莫哥洛夫，俄) — 概率公理化定义得到了数学家们的普遍承认。由于公理化 ,概率论成为一门严格的演绎科学,取得了与其他数学学科 同等的地位，并通过集合论与其他数学分支密切的联系。
第四讲 概率模型
1.概率论的诞生及应用 2. 随机事件及其概率 3. 随机变量及其分布 4. 随机变量的数字特征 5. 统计方法的基本概念 6. 参数估计法 7 回归分析法
1 概率论的诞生及应用
起源 —博弈
1654年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约定赌若 干局, 且谁先赢 c 局便算赢家, 若在一赌徒胜 a 局 ( a<c ), 另一赌徒胜b局(b<c)时便终止赌博,问应如何分赌本” 为 题求教于Pascal(帕斯卡, 法), 帕斯卡与Fermat(费玛)通信 讨论这一问题,并用组合的方法给出了正确的解答。
在公理化的基础上, 现代概率论不仅在理论上取得了 一系列突破， 在应用上也取得了巨大的成就，其应用几乎 遍及所有的科学领域，例如天气预报、 地震预报、产品的 抽样调查、经济研究等，在通讯工程中概率论可用以提高 信号的抗干扰性、分辨率等等.
2. 随机事件及其概率 2.1 随机事件
自然界所观察到的现象: 确定性现象 随机现象