人教版高数选修4-5第1讲：不等式的性质与绝对值不等式(教师版)
高中数学·选修4-5(人教版)第一讲几何平均不等式及绝对值三角不等式PPT课件
9
3 .
归纳升华
1．利用三个正数的算术—几何平均不等式常处理下
面两个类型的最值： (1)求函数 y＝ax2＋bx的最小值，其中 ax2＞0，bx＞0.
则
y
＝
ax2
＋
b x
＝
ax2
＋
b 2x
＋
b 2x
≥
3
3
ax2·2bx·2bx
＝
3 2
3 2ab2.当且仅当 ax2＝2bx，即 x＝ 3 2ba时，等号成立．
(1)如果 a，b，c∈R，那么a＋3b＋c≥3 abc.(
)
(2)如果 a，b，c∈R＋，那么a＋3b＋c≥3 abc，当且仅
当 a＝b 或 b＝c 时，等号成立．( )
(3)如果 a，b，c∈R＋，那么 abc≤a＋3b＋c3，当且 仅当 a＝b＝c 时，等号成立．( )
(4)如果 a1，a2，a3，…，an 都是实数．那么 a1＋a2
n
＋…＋an≥n· a1a2…an.( )
解析：(1)根据定理 3，只有在 a，b，c 都是正数才成
立．其他情况不一定成立，如 a＝1，b＝－1，c＝－3，
a＋b＋c
3
3
3 ＝－1， abc＝ 3，故(1)不正确．
(2)由定理 3，知等号成立的条件是 a＝b＝c.故(2)不正
确．
(3)由定理 3 知(3)正确． (4)必须 a1，a2，…，an 都是正数，命题才成立． 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
第一讲 不等式和绝对值不等式
1.1 不等式 1．1.3 三个正数的算术—
几何平均不等式
[知识提炼·梳理] 1．三个正数的算术—几何平均不等式 (1)如果 a1，a2，a3∈R＋，则a1＋a32＋a3叫做这 3 个正 数的算术平均数，3 a1a2a3叫做这三个正数的几何平均数．
选修4-5第一讲 不等式和绝对值不等式
第一讲 不等式和绝对值不等式§1.1.1不等式的基本性质学习目标1. 理解并掌握不等式的性质，能灵活运用实数的性质; 2 .掌握比较两个实数大小的一般步骤学习重难点学习重点：不等式的基本性质学习过程 一、课前准备实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总 左边的点所表示的数，可知：b a b a -⇔>b a b a -⇔=0ba b a -⇔<结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
二、新课导学不等式的基本性质： 10. 对称性：b a >⇔ ； 20. 传递性：⇒>>c b b a ,；30. 同加性：⇒>b a ；推论：同加性：⇒>>d c b a , ；30. 同乘性：⇒>>0,c b a ，⇒<>0,c b a ；推论1：同乘性：⇒>>>>0,0d c b a ；推论2：乘方性：⇒∈>>+N n b a ,0 ； 推论3：开方性：⇒∈>>+N n b a ,0 ；推论4：可倒性：⇒>>0b a .☆比较两数大小的一般方法：比差法与比商法(两正数)． 典型例题例1已知0,0>>>c b a ，求证：b ca c > ．例2若0a b a >>>-，0c d <<，则下列命题中能成立的个数是( )()1ad bc >；()20a bd c+<；()3a c b d ->-；()4()()a d c b d c ->-.A 1 .B 2 .C 3 .D 4.例3 ()1若0x y <<，试比较()()22x yx y +-与()()22xy x y -+的大小()2设0a >，0b >，且a b ≠，试比较a b a b 与b a a b 的大小.例4 若2()f x ax c =-满足4-≤(1)f ≤1-，1-≤(2)f ≤5，求(3)f 的取值范围.变式训练1：（1）已知0a b >>，0d c <<<（2）已知,,a b c 满足：a b c R +∈、、，222a b c +=，当n N ∈，2n >时，比较n c 与n na b +的大小.（3）设()1log 3,()2log 2x x f x g x =+=，其中0,1x x >≠，比较()f x 与()g x 的大小．§1.1.2基本不等式学习目标1. 理解并掌握重要的基本不等式，不等式等号成立的件 2 . 初步掌握不等式证明的方法学习重难点学习重点： 基本不等式的运用学习过程 一、课前准备 二、新课导学探究1：重要不等式 1. 222(,)a b ab a b R +≥∈（当且仅当a b =时取“=”） 2．重要不等式的几何解释3．变式：（1）22222a b a bab ++⎛⎫≤≤⎪⎝⎭（2）222a b c ab bc ac ++≥++ （3）若0b >，则22a b a b+≥ 例1．若,,a b c R +∈，求证：222a b c a b c b c a++≥++探究2：基本不等式（均值不等式）1.2a b +≤(0,0)a b >>（当且仅当a b =时取“=”），其中2a b+正数a,b 的算数平均数和几何平均数 2．基本不等式的几何解释3．推广：若0,0a b >>,则有22ab a b a b +≤≤≤+a b =时取“=”）例2．已知y x ,都是正数①如果xy 是定值p ，那么当y x =时，和y x +有最小值p 2； ②如果和y x +是定值s ，那么当y x =时，积有最大值241s利用基本不等式求最值应注意:①x,y 一定要都是正数;②求积xy 最大值时,应看和x+y 是否为定值;求和x+y 最小值时,看积xy 是否为定值;③等号是否能够成立.以上三点可简记为“一正二定三相等”. 利用基本不等式求最值时,一定要检验等号是否．．．．．．．．．能取到．．．,若取到等号,则解法是合理的,若取不到,则必须改用其他方法. 例3．(1) 设.11120,0的最小值，求且yx y x y x +=+>> ； (2) 设x 、y 是正实数，且x+y=5,则lgx+lgy 的最大值是_______________________. (3) 若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 ．例4．（1）已知,a b 是正常数,a b ≠,,(0,)x y ∈+∞，求证：222()a b a b x y x y++≥+,指出等号成立的条件；（2）利用（1）的结论求函数29()12f x x x=+-（1(0,)2x ∈）的最小值，指出取最小值时x的值．例5．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架.三角形支架如图，要求∠ACB=60°，BC 长度大于1米， 且AC 比AB 长0.5米.为了广告牌稳固，要求AC 的长度越短越好，求AC 最短为多少米？ 且当AC 最短时，BC 长度为多少米？变式训练2： （1）已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
高中数学 1.2.1绝对值三角不等式课件 新人教A版选修4-5
1．2.1 绝对值三角不等式
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1
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栏 目 链 接
2
利用绝对值三角不等式证明不等式
若|a－b|＞c，|b－c|＜a，求证：c＜a.
证明：由|a－b|＞c 及|b－c|＜a 得
栏
目
c－a＜|a－b|－|b－c|≤|(a－b)＋(b－c)|＝
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εε ＋|b(x－a)|≤|x||y－b|＋|b||x－a|<A·2 ＋A·2 ＝Aε.
所以有|xy－ab|<Aε.
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5
2．已知函数 f(x)＝x2－x＋13，|x－a|<1，求证：|f(x)－f(a)|<2(|a| ＋1)．
证明：|f(x)－f(a)|＝|x2－x＋13－(a2－a＋13)|＝|x2－a2－x＋a|＝ 栏
目 链 接
＋x－6|＝2，从而可求．
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7
解析：y＝|x－4|＋|x－6|＝|4－x|＋|x－6|≥
|4－x＋x－6|＝2，
∴y≥2.
栏
∴函数的最小值为y＝2，
目
此时(4－x)(x－6)≥0，即4≤x≤6.
链 接
∴当4≤x≤6时，函数的最小值为2.
点评： 定理既可正用，也可逆用，但应注意适用的 条件．
链
接
|a－c|＝|c－a|.
由 c－a＜|c－a|知 c－a＜0，故 c＜a.
ε
ε
设 ε＞0，|x－a|＜ 4 ，|y－b|＜ 6 .
精选ppt
人教A版高中数学选修4-5 第一讲 绝对值不等式 (共ppt课件
从代数角度进展证明：
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思索：上述不等式中，等号成立的条件是什么？ ;
对定理1的小结与思索
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;
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例题2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工， 这两个地点分别位于公路路碑的第10km和第20km处.现 要在公路沿线建两个施工队的共同暂时生活区，每个施工 队每天在生活区和施工地点之间往返一次.要使两个施工队 每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？
第一章 第二节 绝对值不等式
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背景知识一：研讨绝对值不等式的意义
1、涉及到间隔长短问题； 2、涉及到平面图形面积问题； 3、涉及到立体图形体积问题； 4、涉及到物体分量的大小问题。
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背景知识二：绝对值不等式的几何意义
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背景知识三：从运算角度调查绝对值
思索：假设这两个 实数中至少有一个 为0，能得到怎样的 关系？
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绝对值不等式的意义
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绝对值不等式的意义
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能否从几何角度来解释例题3呢？
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课后练习
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人教版高中数学选修4-5第一讲第一节不等式1不等式的基本性质教案(1)
不等式求最值的对策利用均值不等式求最值是高中数学中常用方法之一，应注意“一正二定三相等”．在解题的过程中，有时往往出现“凑出了‘常数’却取不到‘等号’”的现象，下面给大家讲几种对策，仅供同学们参考．一、平衡系数 实施均拆这是最常用的一种技巧，常有均拆整式、均拆分式、均拆幂指数等．例1 求函数)0(132>+=x x x y 的最小值． 错解：0>x33222231231213=⋅⋅≥++=+=∴xx x x x x x x y 3min 23=∴y剖析：此类错误出现较多，而且错误是不知不觉的，实际是忽视了等号成立的条件，即212x x x ==必须成立，而实际上是不可能的，解决方法可实施均拆法． 正解：(均拆整式)0>x3322182321232331232313=⋅⋅≥++=+=∴x x x x x x x y 上式当且仅当2123x x =，即332=x 时取等号．3m i n 1823=∴y 例2 求函数y ＝x 2＋16x (x ＞0)的最小值． 解：(均拆分式)∵ x ＞0，∴y ＝x 2＋88x x +≥312． 当且仅当x 2＝8x，即x ＝2时，等号成立．故y 的最小值为12．例3 若0＜x ＜31，求函数y ＝x 2(1－3x )的最大值． 解：(均拆幂指数)∵0＜x ＜31，∴ 1－3x ＞0． y ＝x 2(1－3x )＝x •x •(1－3x )＝433(13)922x x x ∙∙- ≤3334132293x x x ⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭＝4243． 当且仅当3132x x =-，即x ＝29时，等号成立，即y 的最小值为4243． 二、单调处理 简捷迅速例4 求函数4522++=x x y )(R x ∈的最小值．错解：042>+x 2241441445min 222222=∴≥+++=+++=++=∴y x x x x x x y剖析：本题似乎无懈可击，其实令41422+=+x x ，则有32-=x ，即无实数解，也就是等号取不到，因而找不到最小值．正解：由41422+++=x x y ，令242≥+=x t易证)2(1)(≥+==t t t t f y 为增函数．25212)2(min =+==∴f y 所以当242=+x ，即0=x 时，25m i n =y ．三、分项拆项 观察等号对于函数]),0(,()(c x R q p xq px x f ∈∈+=+、的最值，当直接使用均值不等式失效时，除用单调性外，还可用“分项拆项法”，再用均值不等式，同时要注意等号．例5 已知]2,0[π∈x ，求函数x x y sin 12sin 1-+-=的最小值． 解：由20π≤≤x ，得1s i n 10,1s i n 0≤-≤≤≤x x ，则min 111sin 1sin 1sin 213(sin 0时取等号)3y x x x x y =-++≥--≥+==∴=四、整体代换 减少放缩环节多次运用均值不等式，往往导致等号取不到．而用整体代换，可避免多次放缩，从而使问题获解．例6 若x ，y 这正整数，满足416x y+＝1，求 x ＋y 的最小值． 错解：∵1＝416x y +≥=∴16．又∵ x ＋y ≥232．故x ＋y 的最小值为 32．剖析：在求解过程中，利用两次放缩，在16中 y ＝4x 时等号成立．而在x ＋y ≥2，x ＝y 时等号成立，但这两次等号不能同时成立，故最小值32取不到．若采用整体代换，即可避免多次放缩，从而使问题获解．正解：x ＋y ＝1•(x ＋y )＝(416x y +)(x ＋y )＝20＋(416y x x y+) ≥20＋236． ∴ x ＋y 的最小值为36，当x ＝12，y ＝24时等号成立．。
第一讲 不等式和绝对值不等式 知识归纳 课件(人教A选修4-5)
对于不等式恒成立求参数范围问题，常见类型及其解法
如下：
(1)分离参数法：
运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a，f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立
中的参数范围问题．
(2)更换主元法：
不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常 困难或不可能时，可转换思维角度，将主元与参数互换，
常可得到简捷的解法．
5 ②当－ ≤x≤2 时， 2 3 原不等式变形为 2－x－2x－5>2x，解得 x<－ . 5 5 3 ∴解集为{x|－ ≤x<－ }． 2 5 ③当 x>2 时，原不等式变形为 x－2－2x－5>2x， 7 解得 x<－ ，∴原不等式无解． 3 3 综上可得，原不等式的解集为{x|x<－ }. 5
2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.
答案：5
3．(2011· 陕西高考)若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R 恒成立，则a的取值范围是________．
解析：令 f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝ －2x＋1x≤－1， 3－1<x<2， 2x－1x≥2， ∴f(x)≥3. ∵|x＋1|＋|x－2|≥a 对任意 x∈R 恒成立，∴a≤3.
[解析]
x＋3z 由 x－2y＋3z＝0 得 y＝ ， 2
2 2 y2 x ＋9z ＋6xz 6xz＋6xz 则xz＝ ≥ ＝3， 4xz 4xz
当且仅当 x＝3z 时取“＝”．
[答案]
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 1 1 [例 3] 设 a， c 为正实数， b， 求证：3＋ 3＋ 3＋abc≥2 3. a b c 1 [证明]因为 a，b，c 为正实数，由平均不等式可得 3＋ a
高中数学新人教A版选修4-5课件：第一讲不等式和绝对值不等式1.1.1不等式的基本性质
探究四
探究一不等式的基本性质
对于考查不等式的基本性质的选择题,解答时,一是利用不等式的相关
性质,其中,特别要注意不等号变号的影响因素,如数乘、取倒数、开方、平
方等;二是对所含字母取特殊值,结合排除法去选正确的选项,这种方法一般
要注意选取的值应具有某个方面的代表性,如选取 0、正数、负数等.
J 基础知识 Z 重点难点
几乎都有类似的前提条件,但结论会根据不同的要求有所不同,因而这需要
根据本题的四个选项来进行判断.选项 A,还需有 ab>0 这个前提条件;选项
B,当 a,b 都为负数时不成立,或一正一负时可能也不成立,如 2>-3,但 22>(-3)2
1
a
b
不正确;选项 C,c2+1>0,由 a>b 就可知c2+1 > c2 +1,故正确;选项 D,当 c=0 时不
A.P≥Q
B.P>Q
C.P≤Q
1
−
a+1+ a
解析:P-Q=( a + 1 − a)-( a − a-1)=
a-1- a+1
=
D.P<Q
.
( a+1+ a)( a+ a-1)
∵a≥1,∴ a-1 < a + 1,即 a-1 − a + 1<0.
又∵ a + 1 + a>0, a + a-1>0,
a-1- a+1
格依据不等式的性质和运算法则进行运算,是解答此类问题的基础.在使用
不等式的性质中,如果是由两个变量的范围求其差的范围,一定不能直接作
人教版高数选修4-5第1讲：不等式的性质与绝对值不等式(教师版)
不等式的性质与绝对值不等式__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________教学重点: 掌握基本不等式的概念、性质；绝对值不等式及其解法；教学难点: 理解绝对值不等式的解法1.基本不等式 (1)基本不等式成立的条件:(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号.2.几个重要的不等式).0(2);,(222>≥+∈≥+ab ba ab R b a ab b a ),(2)2();,()2(2222R b a b a b a R b a b a ab ∈+≤+∈+≤ 3.算术平均数与几何平均数设则的算术平均数为, 几何平均数为, 基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数．4.利用基本不等式求最值问题已知,0,0>>y x 则(1)如果积是定值那么当且仅当时, 有最小值是(简记: 积定和最小).(2)如果和是定值, 那么当且仅当时, 有最大值是(简记: 和定积最大).5.若, 则 (当且仅当时取“=”）若, 则 (当且仅当时取“=”）若, 则 (当且仅当时取“=”）若, 则 (当且仅当时取“=”）若, 则 (当且仅当时取“=”）若, 则（当且仅当时取“=”）注意：(1)当两个正数的积为定植时, 可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时, 可以求它们的积的最小值, 正所谓“积定和最小, 和定积最大”.(2)求最值的条件“一正, 二定, 三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用6.绝对值的意义: （其几何意义是数轴的点A （a ）离开原点的距离）()()()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,0,00,a a a a a a7、含有绝对值不等式的解法: （解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号）（1）定义法；（2）零点分段法: 通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式；（3）平方法: 通常适用于两端均为非负实数时（比如）；（4）图象法或数形结合法；（5）不等式同解变形原理: 即()a x a a a x <<-⇔><0 ()a x a x a a x -<>⇔>>或0()c b ax c c c b ax <+<-⇔><+0 ()c b ax c b ax c c b ax -<+>+⇔>>+或0 ()()()()()x g x f x g x g x f <<-⇔< ()()()()()()x g x f x g x f x g x f <>⇔>或 ()()()()a x f b b x f a a b b x f a -<<-<<⇔>><<或0类型一: 基本不等式的性质例1.已知且则的最小值为( )A. 18B. 36C. 81D. 243解析：因为m>0, n>0, 所以m ＋n ≥2＝2＝18答案：A① 练习1.若则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是________(写出所有正确命题的编号). ② 1≤ab ②2≤+b a ③222≥+b a ④322≥+b a ⑤.211≥+ba 答案: ①③⑤练习2.已知则的最小值是________．答案：4 例2: 求函数的最大值解析: 注意到与的和为定值。
5.1.1不等式的基本性质(1)课件(人教版选修4-5)
（3）
a
2
b
2
（4）
2 2
a
b
• • • • • • • • > 0 <=> a > b a - b = 0 <=> a = b a - b < 0 <=> a < b 基本理论四大应用之一：比较实数的大小. 一般步骤： 作差－变形－判断符号—下结论。 变形是关键： 1°变形常用方法:配方法，因式分解法。 2°变形常见形式是：变形为常数；一个常数与几 个平方和；几个因式的积。
小结
作业
一、课本 P10 2
二、补充
1．比较 ( x 5)( x 7)与( x 6) 的大小．
2
2．如果x 0,比较 ( x 1) 2 与( x 1) 2 的大小． 3．已知 a 0，比较 (a 2 2a 1)( a 2 2a 1)
与 (a 2 a 1)( a 2 a 1) 的大小．
• = (x -1)2 [2 (x + 1/2)2 + 1/2] • x∈R ∴ 2 (x + 1/2)2 + 1/2 >0 • 若x≠1 那么 (x -1)2 > 0则 2x4+1 >
2x3+x2 • 若 x =1 那么(x -1)2 = 0 则 2x4+1 = 2x3+x2 • 综上所述: 若 x = 1 时 2x4+1 = 2x3+x2 •求差比较大小 x≠1 时 2x4+1 > 2x3+x2 若 分四步进行：①作差；②变形；③定号； ③下结论。
关于a,b的大小关系,有以下基本事实:如果a>b,那么 a-b是正数;如果a=b,那么a-b等于零;如果a<b,那么a-b 是负数;反过来也对.
高中数学·选修4-5(人教版)课件：第一讲绝对不等式的解法PPT课件
当 x＞3 时，x＋3－(x－3)＞3，即 6＞3，故 x＞3. 综上所述，所求的解集为xx＞32. 答案：A
4. 不等式|8－x|≥3 的解集为________________． 解析：原不等式化为 x－8≥3 或 x－8≤－3 解得 x≥11 或 x≤5. 答案：{x|x≥11 或 x≤5}
－x，x＜0，
数时，|x|为－x，即 x 的相反数．
2．|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等 式的图象解法和画出函数 f(x)＝|x－a|＋|x－b|－c(a＜b) 的图象是密切相关的，其图象是折线，正确地画出其图象 的关键是写出 f(x)的分段表达式．不妨设 a＜b，于是 f(x)
－2x＋a＋b－c，x≤a， ＝b－a－c，a＜x＜b， 这种图象法的关键是合 2x－a－b－c，x≥b，
理构造函数，正确画出函数的图象，求出函数的零点，体
现了函数与方程结合、数形结合的思想． 3．几何解法的关键是理解绝对值的几何意义．
类型 3 绝对值不等式的综合应用(规范解答)
[典例 3] (本小题满分 10 分)设函数 f(x)＝|x＋ a|－ |x－ 1－a|.
所以原不等式的解集是(－∞，－32]∪[32，＋∞)．
法二：当 x≤－1 时，原不等式可以化为－(x＋1)－(x －1)≥3，
解得 x≤－32. 当－1<x<1 时，原不等式可以化为 x＋1－(x－1)≥3， 即 2≥3 不成立，无解． 当 x≥1 时，原不等式可以化为 x＋1＋x－1≥3.
所以 x≥32. 综上可知原不等式的解集为{x|x≤－32或 x≥32}． 法三：将原不等式转化为|x＋1|＋|x－1|－3≥0.
高中数学人教新课标A版选修4-5第一讲 不等式和绝对值不等式二绝对值不等式
将│2x-1│≤3两边除以2，得
x1 3, 22
它的解集是数轴上到坐标为
1 2
的点
的距离不大于 3 的点集合.
2
探究
如何求解│x-a│+│x-b│≥c和 │x-a│+│x-b│ ≤c型不等式？
提示
思路一：对几何意义作分析； 思路二：把含绝对值的不等式转化 为不含绝对值的不等式； 思路三：从函数的观点处理。
如果当a,b是实数，则 a b a b ,
当且仅当ab≥0时,等号成立.
定理1 （很重要）
探究
如果把定理1中的实数a,b分别换为向 量a,b能得出什么结果？你能解释它的几 何意义吗？
(1)当向量a,b不共线时，向量a+b,a,b构成 三角形.
因此：a b a b .
其几何意义是三角形的两边之和大于 第三边（如下图）。
可以得到 x x1 a和 x x1 a的解集。
例3 解不等式│2x-1│≤3
分析 可以把 (2x-1) 看成一个整体X， 即所解不等式就是 X 2.
解： 由 2 x 1 3得：-3 ≤2x-1 ≤3 解得-1≤x ≤2 因此，原不等式的解集 为｛x│-1≤x ≤2｝
思考
该题解的几何解释是什么？
解法二： 作函数y=x2-2x的图像. │x2-2x│<3 表示函数图像中在直线 y=-3 和直线 y=3 之间相应部分的自变量的集合.
解方程x2-2x=3得x1=-1,x2=3 即不等式的解集是(-1,3).
2.求函数y=│x-4│+ │x-6│的最小值.
解： y=│x-4│+ │x-6│ = │x-4│+ │6-x│
0 a b a+b
高二数学(人教版)选修4-5教案：第01课时 不等式的基本性质.doc
课 题： 第01课时 不等式的基本性质目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。
《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。
要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。
而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。
本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。
人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。
还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。
生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么? 分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖 后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>a b 即可。
怎么证呢?二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a0<-⇔<b a b a得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
2、不等式的基本性质：①、如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b 。
高二数学之人教版高中数学选修4-5课件：1.1不等式.1
同乘以3 -1da得
3
b，即 c
3
a d
3
b. c
a
3
d
3 b. c
2.(变换条件、改变问法)本题中加上条件“e<0”,其
他【条证件明不】变因,为证c明<d:<0,a所e以c2-＞c>b-ded>02,.
又a>b>0,所以a-c>b-d>0,
1 a
1. b
(2)当a,b有一个为负数时,不妨设a>0,b<0,且a+b>0, 所以a>|b|.又n为偶数,所以(an-bn)·(an-1-bn-1)>0,且 (ab)n>0,
故 an bn an1 bn1
abn
0,
即
bn1 an
a n1 bn
1 a
【证明】因为c<d<0,所以-c>-d>0,
又a>b>0,所以a-c>b-d>0,
所以0<
,再由0<b<a,
1＜1
所以 a c b d
b＜a . ac bd
【延伸探究】 1.(改变问法)本题条件不变,证明: 3 a 3 b .
dc
【证明】因为c<d<0,所以-c>-d>0,
所以 0 1 1 , 又a>b>0, 所以 c d
2.运用不等式的性质判断命题真假的三点注意事项 (1)倒数法则要求两数同号. (2)两边同乘以一个数,不等号方向是否改变要视此数 的正负而定. (3)同向不等式可以相加,异向不等式可以相减.
人教课标版高中数学选修4-5第一讲 不等式和绝对值不等式一 不等式教案4
高中数学选修4-5教案第一备课人：姚雪艳第一讲 不等式和绝对值不等式情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
思想，并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明。
教学重点：绝对值三角不等式的含义，绝对值三角不等式的理解和运用。
教学难点：绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件。
教学过程：一、复习引入：关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。
本节课探讨不等式证明这类问题。
1．请同学们回忆一下绝对值的意义。
⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0000x x x x x x ，如果，如果，如果。
几何意义：在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。
2．证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：（1）a a ≥，当且仅当0≥a 时等号成立，.a a -≥当且仅当0≤a 时等号成立。
（2）2a a =， （3）b a b a ⋅=⋅， （4）)0(≠=b ba b a 那么?b a b a +=+?b a b a +=-二、讲解新课：结论：a b a b ++≤（当且仅当0ab ≥时，等号成立.） 课题： 第04课时绝对值三角不等式教学目标：知识与技能：了解绝对值三角不等式的含义，理解绝对值三角不等式公式及推导方法， 会进行简单的应用。
过程与方法：充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法，体会转化和数形结合的数学探究: ,,a b a b +, 之间的什么关系? b a -a ab +b 已知,a b 是实数，试证明：a b a b ++≤（当且仅当0ab ≥时，等号成立.） 方法一：证明:10 .当ab ≥0时, 20. 当ab <0时,综合10, 20知定理成立.方法二：分析法，两边平方（略）定理1 如果,a b 是实数，则a b a b ++≤（当且仅当0ab ≥时，等号成立.（1）若把b a ,换为向量b a ,情形又怎样呢？根据定理1，有b b a b b a -+≥-++，就是，a b b a ≥++。
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不等式的性质与绝对值不等式__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________教学重点：掌握基本不等式的概念、性质；绝对值不等式及其解法； 教学难点： 理解绝对值不等式的解法1、基本不等式2ba ab +≤(1)基本不等式成立的条件：.0,0>>b a (2)等号成立的条件：当且仅当b a =时取等号． 2、几个重要的不等式).0(2);,(222>≥+∈≥+ab baa b R b a ab b a),(2)2();,()2(2222R b a b a b a R b a b a ab ∈+≤+∈+≤3、算术平均数与几何平均数 设,0,0>>b a 则b a ,的算术平均数为2ba +，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数． 4、利用基本不等式求最值问题已知,0,0>>y x 则(1)如果积xy 是定值,p 那么当且仅当y x =时，y x +有最小值是.2p (简记：积定和最小)．(2)如果和y x +是定值,p ，那么当且仅当y x =时，xy 有最大值是.42p (简记：和定积最大)． 5、若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注意：(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用6、绝对值的意义：（其几何意义是数轴的点A （a ）离开原点的距离a OA =）()()()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,0,00,a a a a a a7、含有绝对值不等式的解法：（解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号） （1）定义法；（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式； （3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如()()x g x f <）； （4）图象法或数形结合法； （5）不等式同解变形原理：即()a x a a a x <<-⇔><0 ()a x a x a a x -<>⇔>>或0()c b ax c c c b ax <+<-⇔><+0 ()c b ax c b ax c c b ax -<+>+⇔>>+或0 ()()()()()x g x f x g x g x f <<-⇔< ()()()()()()x g x f x g x f x g x f <>⇔>或 ()()()()a x f b b x f a a b b x f a -<<-<<⇔>><<或0类型一： 基本不等式的性质例1. 已知,0,0>>n m 且,81=mn 则n m +的最小值为( ) A ．18B ．36C ．81D ．243解析：因为m >0，n >0，所以m ＋n ≥2mn ＝281＝18 答案：A练习1. 若,2,0,0=+>>b a b a 则下列不等式对一切满足条件的b a ,恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)． ① 1≤ab ②2≤+b a ③222≥+b a ④322≥+b a⑤.211≥+ba 答案：①③⑤练习2. 已知,822,0,0=++>>xy y x y x 则y x 2+的最小值是________． 答案：4例2：求函数15()22y x =<<的最大值解析：注意到21x -与52x -的和为定值。
2244(21)(52)8y x x ==+≤+-+-=又0y >，所以0y <≤当且仅当21x -=52x -，即32x =时取等号。
故max y =答案：max y =练习3. 求下列函数的值域22132y x x=+ 答案：值域为[6 ，+∞）练习4. 求下列函数的值域1y x x=+答案：值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 类型二：绝对值不等式的性质及其解法 例3. 解不等式392+≤-x x解析：原等式等价于39)3(2+≤-≤+-x x x ⎩⎨⎧≤≤-≥-≤⇔4323x x x 或423≤≤-=⇔x x 或∴原不等式的解集是{}342-=≤≤x x x 或 答案：原不等式的解集是{}342-=≤≤x x x 或练习5. 解不等式32<-x答案：{}51<<-x x练习6. 解不等式532<+<-x 答案：{}|82x x -<<例4. 解不等式123x x ->-。
解析：原不等式⇔22(1)(23)x x ->-⇔22(23)(1)0x x ---<⇔(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0⇔(3x-4)(x-2)<0 ⇔423x <<。
答案：423x << 练习7. 解不等式125x x -++< 答案：原不等式的解集为{}23<<-x x练习8. 解关于x 的不等式212+<-x x答案：原不等式的解集为)3,31(-1. 已知,0,0>>y x y b a x ,,,成等差数列y d c x ,,,成等比数列，则cdb a 2)(+的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．4答案：D2. 若直线),0,0(02>>=+-b a by ax 被圆014222=+-++y x y x 截得的弦长为4，则ba 11+的最小值为( ) A.14 B. 2C.32＋ 2 D.32＋2 2 答案：C3. 若,0,0>>y x 且y x a y x +≤+恒成立，则a 的最小值是________4. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域 答案：[)9,+∞ 5. 解不等式22x xx x >++的值。
答案：原不等式等价于2xx +＜0⇔()2020x x x +<⇔-<< 6.解不等式 x x 3232->-的值。
答案：原不等式等价于032<-x ，所以不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>32x x_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1. 若函数)2(21)(>-+=x x x x f 在a x =处取最小值，则=a ( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3C ．3D ．4答案：C2. 已知,02,0,0,0=+->>>z y x z y x 则2yxz的( ) A ．最小值为8 B ．最大值为8C ．最小值为18D ．最大值为18答案：D3. 函数xx y 1+=的值域为____________________． 答案：(][),22,-∞-⋃+∞4. 在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数xx f 2)(=的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________． 答案：45. 若,0,0>>y x 满足,53xy y x =+则y x 43+的最小值是( ) A.245 B.285C ．5D ．6答案：C6. 已知,0,0>>b a ,1222=+b a 则21b a +的最大值为________．答案：47. 下列不等式一定成立的是( ) A ．)0(lg )41lg(2>>+x x x B ．),(2sin 1sin Z k k x xx ∈≠≥+π C ．)(212R x x x ∈≥+ D.)(1112R x x ∈>+ 答案：C8. 设,0,0>>b a 且不等式011≥+++ba kb a 恒成立，则实数k 的最小值等于( ) A ．0 B ．4C ．－4D ．－2答案：C9. 已知M 是ABC ∆内的一点，且AB u u u r ·AC uuur ＝23，,300=∠BAC 若MCA MBC ∆∆,和MAB ∆的面积分别为,,,21y x 则y x 41+的最小值是( )A ．20B ．18C ．16D ．19答案：B10. 已知,1log log 22≥+b a 则b a 93+的最小值为________ 答案：1811. 已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值 答案：190,0,1x y x y >>+=Q ，()1991061016y x x y x y x y x y⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9y xx y=时，上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，()min 16x y +=12. 若a x x >+++12恒成立，求实数a 的取值范围。
答案：由几何意义可知，12+++x x 的最小值为1，所以实数a 的取值范围为()1,∞-13. 数轴上有三个点A 、B 、C ，坐标分别为-1，2，5，在数轴上找一点M ，使它到A 、B 、C 三点的距离之和最小。
答案：设M (),0x则它到A 、B 、C 三点的距离之和()521-+-++=x x x x f即()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<+-<≤-+-<≤+≥-=1,6321,852,45,63x x x x x x x x x f由图象可得：当()62min ==x f x 时 14. 解关于x 的不等式10832<-+x x答案：原不等式等价于1083102<-+<-x x ，即⎩⎨⎧<-+->-+1083108322x x x x ⇒⎩⎨⎧<<--<->3621x x x 或 ∴ 原不等式的解集为)3,1()2,6(---Y15. 解关于x 的不等式2321>-x答案：原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧<-≠-2132032x x ⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<≠474523x x能力提升16.已知两条直线m y l =:1和),0(128:2>+=m m y l 1l 与函数x y 2log =的图象从左至右相交于点A 、B ，2l 与函数x y 2log =的图象从左至右相交于点C 、D ,记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为.,b a 当m 变化时，ab的最小值为( ) A ．16 2 B ．8 2C ．348D ．344答案：B17.对任何实数x ，若不等式12x x k +-->恒成立，则实数k 的取值范围为 ( ) A ．k<3 B.k<-3 C.k ≤3 D.k ≤-3答案：B 18.函数)1,0(1≠>=-a a ay x的图象过定点,A 若点A 在直线)0,(01>=-+n m ny mx 上，求nm 11+的最小值； 答案：419.若正数b a ,满足,3++=b a ab 求ab 的取值范围 答案：9ab ≥ 20. 解关于x 的不等式1212-<-m x )(R m ∈答案：⑴ 当012≤-m 时，即21≤m，因012≥-x ，故原不等式的解集是空集。