汉诺塔问题动态演示
《Hanoi塔问题》课件
在游戏设计和人工智能领域，Hanoi塔问题可以作为解决游戏策略和决策问题的 模型。例如在围棋、象棋等游戏中，可以利用Hanoi塔问题的解法来设计更强大 的游戏AI。
PART 04
Hanoi塔问题的扩展和变 种
REPORTING
带限制的Hanoi塔问题
总结词
带限制的Hanoi塔问题是指在移动盘 子时，需要满足一些特定的限制条件 。
分治策略解法的优点是能够将问题分 解为更小的子问题，降低问题的复杂 度。但缺点是需要仔细设计子问题的 分解方式和合并方式，以确保能够正 确地解决问题。
PART 03
Hanoi塔问题的应用
REPORTING
在计算机科学中的应用
算法设计
Hanoi塔问题可以作为解决复杂算法问题的模型，例如在解决图论、动态规划 等算法问题时，可以利用Hanoi塔问题的特性来设计更高效的算法。
决。
在Hanoi塔问题中，递归解法的基本思 路是将问题分解为三个子问题：将n个 盘，最后将第n个盘子从
A柱移动到B柱。
递归解法的优点是思路简单明了，易于 理解。但缺点是对于大规模问题，递归 解法的时间复杂度较高，容易造成栈溢
出。
动态规划解法
动态规划解法是一种通过将问题分解为子问题并存储子问题的解来避免重复计算的方法。
数学模型的应用
汉诺塔问题可以通过数学模型进行描述和解决，如使用递归公式或动态规划方法。理解如何将实际问题转化为数 学模型，并运用数学工具进行分析和解决，是数学应用的重要能力。
对解决问题的方法论的启示
解决问题的思维方式
汉诺塔问题提供了一种独特的思维方式，即通过不断将问题分解为更小的子问题来解决。这种思维方 式有助于我们在面对复杂问题时，能够更加清晰地理解和分析问题，从而找到有效的解决方案。
汉诺塔
4
演示：移动3个盘子的分解
move (2, A, C, B)
move (3, A, B, C)
move (1, A, B, C) move (2, B, A, C)A1 2 3BC5
move (1, A, B, C)
move (2, A, C, B) move (3, A, B, C) move (1, A, C, B)
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move(3,A,B,C)
move(2,A,C,B) 输出 3:A to C
move(2,B,A,C)
move(1,A,B,C) move(1,C,A,B) move(1,B,C,A)
move(1,A,B,C)
输出 1:A to C
输出 输出 1:C to B 2:A to B
输出 1:B to A
当n > 1
参考代码
#include <stdio.h> void Move(int n, char a, char b) {//a移到b printf("Move disk %d from %c to %c\n", n, a, b); } void Hanoi(int n,char a, char b, char c){ if(n==0)return; Hanoi(n-1, a, c, b);//a借助c移到b Move(n, a, c); A Hanoi(n-1,b, a, c); } int main(){ B int n; while(scanf("%d", &n)!=EOF) Hanoi(n, 'A', 'B', 'C'); C }
汉诺塔（Haono）故事：
C语言程序设计课程设计报告---汉诺塔问题
XXXX大学计算机科学与技术学院课程设计报告2012 — 2013学年第一学期课程名称C/C++高级语言程序设计课程设计设计题目小游戏和图形处理汉诺塔问题学生姓名XXX学号XXXXXXX专业班级XXXXXXXXXXX指导教师XX2012 年X 月XX 日目录一、课程设计问题描述 (1)1、课程设计题目 (1)2、设计任务要求 (1)二、总体设计 (1)1、设计思路 (1)2、汉诺塔求解流程图 (2)三、详细设计 (2)1、汉诺塔问题描述 (2)2、算法分析 (3)3、实现递归的条件 (4)4、用C语言实现 (4)四、程序运行结果测试与分析 (4)1、打开Microsoft Visual C++ 6.0操作平台输入以下的源代码 (4)2、编译源代码 (5)3、组建 (5)4、执行 (5)5、运行结果 (6)6、按任意键结束程序 (7)五、结论与心得 (7)六、参考文献 (8)七、附录：程序源代码 (8)一、课程设计问题描述1、课程设计题目汉诺塔问题2、设计任务要求输入盘子数（2个以上有效），移动速度，开始演示汉诺塔移动的步骤，要求：盘子A，B，C柱需要自己绘制，初始时盘子在A柱上通过B柱最终移动到C 柱上，显示出盘子在几个柱之间的移动过程。
二、总体设计1、设计思路对于一个类似的这样的问题，任何一个人都不可能直接写出移动盘子的每一个具体步骤。
可以利用这样的统筹管理的办法求解：我们假设把该任务交给一个僧人，为了方便叙述，将他编号为64。
僧人自然会这样想：假如有另外一个僧人能有办法将63个盘子从一个座移到另一个座，那么问题就解决了，此时僧人A B C64只需这样做：(1).命令僧人63将63个盘子从A座移到C座(2).自己将最底下的最大的一个盘子从A座移到C座(3).再命令僧人63将63个盘子从B座移到C座为了解决将63个盘子从A座移到B座的问题，僧人63又想：如果能再有一个僧人62能将62个盘子移动到另一座，我就能将63个盘子从A座移动到B座。
汉诺塔游戏ppt课件
64层汉诺塔经过计算机计算需要移动： 18446744073709551615次，换算成年，大 约是五千多亿年。据现在的科学研究，地 球从诞生到现在，也才只有大约46亿年的 时间，太阳系的预期寿命据说也就是数百 亿年。而要完成64个圆盘的汉诺塔操作却 要5千多亿年，当这个操作完成时，可能我 们人类的世界真的都不存在了！
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移1.圆动盘技个巧我数（是来步单说数数最两时少句，）…最：…上面的盘直接移
动到目标塔。 2.圆盘个数是双数时，最上面的盘直接移 动到辅助塔。
你有什么收获呢？
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汉诺塔游戏
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汉诺塔游戏规则： （1）每次只能移动一个圆盘； （2）大圆盘不能放到小圆盘上面。
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①
②
③
1个圆盘，只要移动1次。
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①
②
③
2个圆盘，最少移动3次。
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讨论：大、中、小三个圆盘 如何移？最少移动多少次？
①
②
③
3个圆盘，最少移动7次 7
移动技巧（步数最少）： 1.圆盘个数是单数时，最上面的盘 直接移动到目标塔。 2.圆盘个数是双数时，最上面的盘 直接移动到辅助塔。
数学游戏1?传说开天辟地的神在印度的一个教塔里留下了三根金刚石的柱子第一根上面从上到下套着64个按从小到大排列的金盘神命令庙里的众僧不停地把它们一个个地从这根柱子搬到另一根柱子上规定可利用中间的一根柱子作为帮助但每次只能搬一个而且大的不能放在小的上面
数学游戏
1
Hale Waihona Puke • 传说开天辟地的神在印度的一个教 塔里留下了三根金刚石的柱子，第一根 上面从上到下套着64个按从小到大排列 的金盘，神命令庙里的众僧不停地把它 们一个个地从这根柱子搬到另一根柱子 上，规定可利用中间的一根柱子作为帮 助，但每次只能搬一个，而且大的不能 放在小的上面。相传神同时发了咒语， 当所有的金盘全部移完时，就是世界末 日到来的时候。
汉诺塔问题的详解课件
03 汉诺塔问题的变 种和扩展
多层汉诺塔问题
01
02
03
定义
多层汉诺塔问题是指将多 层的盘子从一个柱子移动 到另一个柱子，同时满足 汉诺塔问题的规则。
难度
随着盘子层数的增加，解 决问题的难度呈指数级增 长。
子从中间柱子移动到目标柱子。
递归解法的优点是思路简单明了，易于 理解。但是，对于较大的n值，递归解 法的时间复杂度较高，容易造成栈溢出
。
分治策略
分治策略是解决汉诺塔问题的另一种方法。它将问题分解为若干个子问题，分别求解这些子 问题，然后将子问题的解合并起来得到原问题的解。
分治策略的基本思路是将汉诺塔问题分解为三个阶段：预处理阶段、递归转移阶段和合并阶 段。预处理阶段将n-1个盘子从起始柱子移动到中间柱子，递归转移阶段将第n个盘子从起 始柱子移动到目标柱子，合并阶段将n-1个盘子从中间柱子移动到目标柱子。
制作汉诺塔问题的动画演示
除了使用Python或数学软件进行可视化演示外，还可以使 用动画制作软件来制作汉诺塔问题的动画演示。这些软件 提供了丰富的动画效果和编辑工具，可以创建生动有趣的 演示。
在动画演示中，可以使用不同的颜色和形状来表示不同的 柱子和盘子。通过添加音效和文字说明，可以增强演示的 视觉效果和互动性。最终的动画演示可以保存为视频文件 ，并在任何支持视频播放的设备上播放。
使用Python的图形库，如matplotlib或tkinter，可以创建汉诺塔的动态演示。 通过在屏幕上绘制柱子和盘子，并模拟移动过程，可以直观地展示汉诺塔问题的 解决方案。
Python代码可以编写一个函数来模拟移动盘子的过程，并在屏幕上实时更新盘 子的位置。通过递归调用该函数，可以逐步展示移动盘子的步骤，直到所有盘子 被成功移动到目标柱子上。
汉诺塔问题的详解课件
04
数据结构与排序
汉诺塔问题也可以用来解释和演示不同的 数据结构和排序算法。
05
06
通过汉诺塔问题，人们可以更好地理解如 堆、栈等数据结构的应用和优劣。
在物理学中的应用
复杂系统与自组织
汉诺塔问题在物理学中常被用来研究复杂系统和自组织现 象。
通过对汉诺塔问题的深入研究，人们可以发现其在物理学 中的一些应用，如量子计算、自旋玻璃等。
人工智能与机器学习
在人工智能和机器学习中，汉诺塔问题可以被用来演示 如何使用不同的算法来解决问题。
06
总结与展望
对汉诺塔问题的总结
汉诺塔问题是一个经典的递归问题，其核心在于将一个复杂的问题分解为若干个简单的子问题来解决 。
通过解决汉诺塔问题，我们可以了解到递归算法在解决复杂问题中的重要性，以及将大问题分解为小问 题的方法。
此外，汉诺塔问题还被广泛应用于数学教育和计算机 科学教育中，成为许多课程和教材中的经典案例之一
。
02
汉诺塔问题的数学模型
建立数学模型
定义问题的基本参数
盘子的数量、柱子的数量和塔的直径 。
建立数学方程
根据问题的特点，我们可以建立如下 的数学方程。
递归算法原理
递归的基本思想
将一个复杂的问题分解成更小的子问题来解决。
通过深入研究汉诺塔问题的本质和解决方法，我们可以 为解决其他领域的问题提供有益的启示和方法。
THANKS
感谢观看
其他移动规则
除了传统的规则（盘子只能放在更大的盘子下面）之外，还 可以有其他移动规则，这会改变问题的性质和解决方案。
05
汉诺塔问题的应用场景
在计算机科学中的应用
算法设计与优化
01
【算法】汉诺塔问题
【算法】汉诺塔问题汉诺塔问题是⼀个经典的问题。
汉诺塔（Hanoi Tower），⼜称河内塔，源于印度⼀个古⽼传说。
⼤梵天创造世界的时候做了三根⾦刚⽯柱⼦，在⼀根柱⼦上从下往上按照⼤⼩顺序摞着64⽚黄⾦圆盘。
⼤梵天命令婆罗门把圆盘从下⾯开始按⼤⼩顺序重新摆放在另⼀根柱⼦上。
并且规定，任何时候，在⼩圆盘上都不能放⼤圆盘，且在三根柱⼦之间⼀次只能移动⼀个圆盘。
问应该如何操作？当只有⼀个盘⼦时这是最简单的情况：只需将1号盘⼦从X塔移动到Z塔就OK于是我们可以写出如下的函数，来模拟完成这个过程。
假设盘⼦是⽤1，2，3...按照⼤⼩编码代表的，⽽塔则是⽤⼀个字符char表⽰的。
//将编号为 number 的盘⼦从 from 塔座移到 to 塔座void move(int number , char from , char to){std::cout<<"move dish "<<number<<": "<<from<<"--->"<<to<<std::endl;}有两个盘⼦时有2个盘⼦，⽬标是：将X塔上的盘⼦借助Y移动到Z盘⼦上。
特别的，为了好描述，我把X塔叫做源塔，因为盘⼦起初在这个塔上，把Y塔叫做辅助塔，因为Y塔只是起个过渡作⽤。
把Z盘叫做⽬标塔，最后所以的盘⼦都在这个塔上。
我们可以写出伪代码move(1,X,Y);move(2,X,Z);move(1,Y,Z);有三个盘⼦时在盘⼦数⼤于2的时候，⽆论有多少个盘⼦，我们眼⾥只有2个盘⼦：即最底层的最⼤的盘⼦，和它上⾯的所有盘⼦组和形成的⼀个盘，我们可以把它看做是2.5号盘。
这样考虑的好处是：⽆论有多少盘⼦，都可以⽤2个盘⼦的思路去做。
简化了思路。
因此，步骤是：1、将2.5号盘借助Z塔移动到Y塔上。
注意，处理这步操作时，X是源塔，Z是辅助塔，Y是⽬标塔2、将3盘移动到Z塔上，3、将2.5盘借助X塔移动到Z塔上。
C语言程序设计课程大型作业答辩
设置鼠标的移动范围
SetMouseArea(int x0,int y0,int x1,int y1) { union REGS regs;
regs.x.ax=7;regs.x.cx=x0;regs.x.dx=x1; int86(0x33,®s;®s); regs.x.ax=8;regs.x.cx=y0;regs.x.dx=y1; int86(0x33,®s,®s); }
鼠标简介
鼠标系统实际上由两个主要元素组成： 鼠标机制和称作鼠标驱动程序的内存驻 留程序。鼠标驱动程序提供与鼠标通信 所需的全部低级支持。此外，它自动维 持鼠标光标位置和发现是否按下了某个 键。一旦装入驱动程序，鼠标就可以被 随后执行的任意程序使用。
鼠标简介续
可以通过PC中断33H访问鼠标和鼠标驱 动程序的各种功能。所选择的特定函数 依赖于中断时AX寄存器的值。三个其它 寄存器（BX、CX和DX）用于把各种参数 传送给鼠标例程。同样，鼠标函数使用 这四个寄存器把鼠标的位置和按钮的状 态返回给调用函数。
取得字节某一位的值
int getbit(unsigned char byte,int bit) { if(bit<0||bit>7)
return 0; return (byte>>bit)&0x1; } 函 数 getbit 用 于 得 出 一 个 字 节 中 每 个 位 （bit）是0还是1。
显示24点阵的汉字
• 提交开发文档，说明程序的主要模块及功能、 主要数据结构及意义、程序采用的核心算法及 实现方式、小组成员的分工及完成情况
C语言高级实验班小组登记表格 小组名称
汉诺塔课件PPT课件
7.6 函数的递归调用
定义
函数执行的过程中， 直接或者间接的调用 该函数本身，称为函 数的递归调用。
包括：回溯和递推 两个过程
int fun(int n) {
…
z=n*fun(n-1);
…}
第21页/共86页
引例：了解递归问题的回溯和递归两个过程
例7.6
有5个学生，
问第5个学生几岁，他说比第4个学生大2岁。
z=(x>y)?x,y; return z; }
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复习
4. 函数调用过程
值 形参
实参
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c = max( a , b ); (main函数)
int max(int x,int y) 9 { int z;
z=(x>y)?x,y; return z; }
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复习
4. 函数调用过程
把函数头信息,如int max(int x,int y) 通知给编译系统，以便在调用时系统 按此检查调用的合法性。 c = max ( a , b );
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复习
5. 函数声明 在 哪里 对 谁 进行声明： 主调函数内部对被调用函数进行声明
若main()调用max()，则在（ ）函数 内部，对（ ）函数进行声明。
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复习
5. 函数声明 在 哪里 对 谁 进行声明： 主调函数内部对被调用函数进行声明
若main()调用max()，则在（main）函数 内部，对（max）函数进行声明。
第13页/共86页
复习
5. 函数声明 声明方法：函数原型（首部）加分号
void main() { int a,b;
汉诺塔动画演示课件
汉诺塔的规则和玩法
01
02
03
04
05
规则：汉诺塔的规则是 要求将所有的圆盘从起 始柱子移到目标柱子上， 移动过程中必须遵循以 下三个原 则
1. 每次只能移动一个圆 盘；
2. 圆盘只能放在比它大 3. 圆盘只能放在空柱子
的圆盘上；
上。
玩法：汉诺塔的玩法是 从起始柱子开始，按照 规则将圆盘逐个移到目 标柱子上。在移动过程 中，需要不断地将圆盘 进行分解和组合，以找 到最优的移动方案。
03
人工智能与机器学习
汉诺塔问题可以作为人工智能和机器学习领域的基准测试案例，用于评
估和优化算法和模型的性能。
在物理学中的应用
力学与运动学
汉诺塔问题涉及到物体的运动和相互作用，可以用来解释和演示力学和运动学的基本原理，如牛顿运 动定律、动量守恒定律等。
光学与视觉
汉诺塔问题中的不同颜色和形状的盘子可以用来模拟光线和颜色的传播和反射，可以用来解释和演示 光学和视觉的基本原理。
效地降低时间复杂度，提高求解效率。
优化二：使用遗传算法求解
总结词
遗传算法是一种基于生物进化原理的优化算法，可以用于求解组合优化问题。
详细描述
遗传算法是一种基于生物进化原理的优化算法，它通过模拟生物进化过程中的基因选择、交叉和变异等过程来寻 找最优解。在汉诺塔问题中，我们可以使用遗传算法来求解。首先，我们定义一个表示汉诺塔问题的染色体，然 后通过模拟选择、交叉和变异等过程来不断优化染色体的适应度，最终得到最优解。
02
汉诺塔动画演示
演示一：移动三个盘子
总结词：通过演示，展示汉诺塔问题最简单的情形，即只 有三个盘子需要移动。
详细描述
1. 起始状态：三个盘子叠在一起，放在第一个柱子上。
C语言递归调用实例——汉诺塔问题动画实现(附完整代码)
二、程序框架
古人云，不谋全局者，不足谋一域。同样，在编写代码之前，我们必 须得有个大体的思路和整体上的把握。不能一上来就稀里糊涂地乱敲一通。 当然，这里我也只能仅仅谈自己的个人想法，不一定就是最优的解决方案， 还希望能和大家一起相互交流，共同进步。整个程序的框架，我把它分为 动画效果和核心算法两大部分。我首先实现的是动画效果部分，等能够实 现盘子的随意移动后，我才开始研究核心算法的实现。这样一来，在核心 算法部分，我们正好可以利用前面的动画效果来直观地反映出我们的思路， 有助于代码的调试和缩短程序的开发周期。为了尽量减少废话，我们可以 用一张图来进行表示：
图 1-1 移动第一个圆盘..................................................................................................................... 4 图 1-2 移动第二个圆盘...................................................................................................................... 5 图 1-3 移动最后一个圆盘................................................................................................................. 6
能移动一个圆盘，且圆盘在放到棒上时，大的不能放在小的上面。中间的一根
棒作为辅助移动用。” 事实上，对此曾经有人作过分析，按这个规则，众僧耗尽毕生精力也
不可能完成圆盘的移动，因为需要移动圆盘的次数是一个天文数字 18446744073709551615（64 个圆盘需要移动的次数为 2 的 64 次方）。假设 1us 进行一次移动，也需要约一百万年的时间，使用计算机也很难解决 64
汉诺塔移动超详细步骤分解4到6层
汉诺塔移动超详细步骤分解4到6层关键信息项：1、汉诺塔层数：4 层、5 层、6 层2、移动规则3、具体移动步骤4、示例说明11 汉诺塔简介汉诺塔（Tower of Hanoi）是源于印度一个古老传说的益智玩具。
大梵天创造世界的时候做了三根金刚石柱子，在一根柱子上从下往上按照大小顺序摞着 64 片黄金圆盘。
大梵天命令婆罗门把圆盘从下面开始按大小顺序重新摆放在另一根柱子上。
并且规定，在小圆盘上不能放大圆盘，在三根柱子之间一次只能移动一个圆盘。
111 规则说明在移动汉诺塔的过程中，需遵循以下规则：每次只能移动一个圆盘。
较大的圆盘不能放在较小的圆盘上面。
112 四层汉诺塔移动步骤第一步：把最上面的三个圆盘从第一根柱子移动到第二根柱子。
这需要 7 步，依次为：1 号盘从 A 到 C，2 号盘从 A 到 B，1 号盘从 C 到B，3 号盘从 A 到 C，1 号盘从 B 到 A，2 号盘从 B 到 C，1 号盘从 A到 C。
第二步：把第四层的大盘从第一根柱子移动到第三根柱子。
第三步：把第二根柱子上的三个圆盘按照同样的规则移动到第三根柱子。
这也需要 7 步。
113 五层汉诺塔移动步骤首先，将上面四层从第一根柱子移动到第二根柱子，这需要15 步。
接着，把第五层的圆盘从第一根柱子移动到第三根柱子。
最后，把第二根柱子上的四层按照规则移动到第三根柱子，同样需要 15 步。
114 六层汉诺塔移动步骤初始时，将上面五层从第一根柱子移动到第二根柱子，共需31 步。
然后，把第六层的圆盘从第一根柱子移动到第三根柱子。
最后，把第二根柱子上的五层依照规则移动到第三根柱子，此过程同样需要 31 步。
12 示例说明为了更清晰地理解汉诺塔的移动步骤，我们以四层汉诺塔为例进行逐步演示。
假设三根柱子分别为 A、B、C，初始时四层圆盘都在 A 柱上。
第一步，1 号盘从 A 移动到 C，此时状态为：A 柱上剩下 2、3、4号盘，C 柱上有 1 号盘。
汉诺塔解法原理
汉诺塔解法原理汉诺塔是一道经典的递归问题。
要解决汉诺塔问题，我们需要了解一些递归和分治的基本原理。
汉诺塔问题描述汉诺塔问题是指在一根柱子上按大小顺序放置 N 个盘子，大盘子在下面，小盘子在上面。
现在要求将这些盘子全部移到另一个柱子上，可以借助中间的柱子，但是要满足在移动的过程中始终保持大盘子在下、小盘子在上的原则。
汉诺塔解法汉诺塔问题可以用递归算法求解。
具体解法分为三个步骤：1. 将 n-1 个盘子从 A 移动到 B（借助 C）2. 将第 n 个盘子从 A 移动到 C3. 将 n-1 个盘子从 B 移动到 C（借助 A）其中，第 1 步和第 3 步是递归步骤，第 2 步是基础步骤。
在第 1 步和第 3 步中，我们需要先将 n-1 个盘子从 A 移动到 B（或从 B 移动到A），这是通过递归调用将问题规模缩小实现的。
当问题规模足够小时，基础步骤中进行盘子移动的操作就可以解决问题。
递归基本原理递归算法是一种非常高效的算法，可以解决许多问题。
在使用递归算法时，我们需要注意以下几点：1. 递归函数必须有一个基准条件，这个条件用于判断递归何时停止；2. 递归函数必须能够缩小问题规模，这样才能使得递归过程终止；3. 递归函数必须能够不断地将问题分解为同样的形式，这样才能简化递归算法的实现。
1. 分治算法必须要有一个基础步骤，这个步骤可以解决问题的一部分；2. 分治算法必须能够将问题分为若干个子问题，这些子问题与原问题形式相同；3. 子问题必须能够递归地求解。
总结汉诺塔问题是一道经典的递归问题，可以用递归算法求解。
递归算法的基本原理是基准条件、问题规模缩小和问题形式简化。
重点在递归的时候能够将问题不断缩小，同时保证在基础步骤中能够解决问题的一部分。
分治算法与递归类似，也是一种高效的算法。
分治算法的基本原理是基础步骤、问题分解和递归求解。
分治算法能够将问题分解成若干个子问题，这些子问题与原问题形式相同，这样就能够简化算法实现。
汉诺塔问题演示课程设计
汉诺塔问题演示课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解汉诺塔问题的起源、规则及数学原理；2. 学生掌握运用递归思想解决汉诺塔问题的方法；3. 学生了解汉诺塔问题与数学归纳法的关系。
技能目标：1. 学生能够运用所学知识编写程序解决汉诺塔问题；2. 学生通过小组合作，培养团队协作能力和问题解决能力；3. 学生能够运用数学归纳法分析汉诺塔问题，提高逻辑思维能力。
情感态度价值观目标：1. 学生对数学问题产生兴趣，培养探究精神和创新意识；2. 学生在解决汉诺塔问题的过程中，树立克服困难的信心，培养坚韧不拔的品质；3. 学生通过课程学习，认识到数学在现实生活中的应用价值，提高数学学习的积极性。
本课程针对高年级学生，结合学科特点，强调理论与实践相结合，注重培养学生的逻辑思维能力和实际操作能力。
课程设计以汉诺塔问题为主线，引导学生通过小组合作、自主探究等方式，掌握递归思想和数学归纳法在实际问题中的应用。
课程目标具体、可衡量，旨在让学生在课程结束后能够独立解决汉诺塔问题，并在此过程中培养情感态度价值观。
本课程教学内容主要包括以下三个方面：1. 汉诺塔问题背景介绍：- 汉诺塔问题的起源及发展历程；- 汉诺塔问题的基本规则；- 汉诺塔问题与数学归纳法的关系。
2. 汉诺塔问题的数学原理：- 递归思想及其在汉诺塔问题中的应用；- 数学归纳法的基本概念及运用；- 汉诺塔问题解法与数学公式推导。
3. 汉诺塔问题实践操作：- 编写程序解决汉诺塔问题；- 小组合作探讨汉诺塔问题的优化解法；- 分析汉诺塔问题在不同条件下的解法及规律。
教学内容依据课程目标，结合教材相关章节进行组织。
具体教学大纲如下：1. 引言与背景介绍（1课时）；2. 汉诺塔问题的数学原理（2课时）；3. 汉诺塔问题实践操作（2课时）；4. 拓展与提高（1课时）。
教学内容具有科学性和系统性，旨在帮助学生从理论到实践，全面掌握汉诺塔问题的解法及其数学原理。
同时，注重培养学生的团队合作能力和问题解决能力。
汉诺塔论文——精选推荐
汉诺塔论⽂⽬录⽬录 (1)摘要 (2)⼀、背景知识 (3)⼆、问题重述 (3)三、算法分析 (3)四、流程及程序设计 (5)(1)、流程图 (5)(2)、模块及其功能介绍 (6)五、调试与算法复杂度分析 (7)(1)、运⾏结果 (7)(2)、H ANOI塔问题复杂度分析 (9)总结 (10)参考⽂献 (11)附录 (12)摘要汉诺威塔是⼀款集娱乐与运算的智⼒游戏，它不仅能使⼈在休闲的时候放松⼼情，⽽且还能在玩的过程中不断的提⾼你的思维能⼒。
有三个柱⼦A, B, C。
A柱⼦上叠放有n个盘⼦，每个盘⼦都⽐它下⾯的盘⼦要⼩⼀点，可以从上到下⽤1, 2, ..., n编号。
要求借助柱⼦C，把柱⼦A上的所有的盘⼦移动到柱⼦B上。
移动条件为：1、⼀次只能移⼀个盘⼦2、移动过程中⼤盘⼦不能放在⼩盘⼦上，只能⼩盘⼦放在⼤盘⼦上本⽂的主要算法是利⽤函数的递归调⽤算法。
⾸先，想办法将A座上的前n-1个盘借助C座移动到B座上，然后将A组上的第n个盘移动到C座上。
然后再将B座上的n-1个盘借助A座移动到C座上，此次移动也和第⼀次移动⼀样，重复递归，直到最后⼀个盘为⽌。
关键词：汉诺塔递归思想函数调⽤数组指针⼀、背景知识汉诺塔（⼜称河内塔）问题来⾃中东地区⼀个古⽼的传说：在世界刚被创建的时候有⼀座钻⽯宝塔（塔A),其上有64个⾦碟。
所有碟⼦按从⼤到⼩的次序从塔底堆放⾄塔顶。
紧挨着这座塔有另外两个钻⽯宝塔（塔B和塔C）。
从世界创始之⽇起，婆罗门的牧师们就⼀直在试图把塔A上的碟⼦移动到塔C上去，其间借助于塔B 的帮助。
每次只能移动⼀个碟⼦，任何时候都不能把⼀个碟⼦放在⽐它⼩的碟⼦上⾯。
当牧师们完成任务时，世界末⽇也就到了。
19世纪的法国⼤数学家鲁卡曾经研究过这个问题，他正确地指出，要完成这个任务，僧侣们搬动⾦盘的总次数（把1个⾦盘从某个塔柱转移到另1个塔柱叫做1次）为：18，446，744，073，709，551，615次。
假设僧侣们个个⾝强⼒壮，每天24⼩时不知疲倦地不停⼯作，⽽且动作敏捷快速，1秒钟就能移动1个⾦盘，那么，完成这个任务也得花5800亿年！⼆、问题重述有三个柱⼦A, B, C。
9.总复习：汉诺塔游戏(教案)人教版数学上册四年级
汉诺塔游戏教材分析《汉诺塔游戏》编排在人教版小学数学第7册，第111页，《总复习》单元里的一个数学思考。
首先我把本课定位为数学游戏课，学生要学会动手操作，按照规则达到游戏目标。
其次是数学思想课，在本课中给学生渗透递归的思想，即在探究中发现三层、四层、五层圆盘最少移动次数的内在规律，并推测出移动更多圆盘的最少次数。
每一次移动的最少步数就是上次移动的最少步数的2倍再加一。
“直接调用上一次的结论”，跟煎饼问题有类似之处。
第三定位为数学科普课，也就是汉诺塔游戏，来自于古印度的一个传说。
学情分析班上除极个别的学生对汉诺塔游戏有所了解，明白游戏规则和游戏目标，大部分学生拿到学具以后，都会随意拨弄。
甚至在上课时会忍不住，不听老师的统一要求。
这节课最容易失控的地方就是同学们拿到学具以后“瞎玩”。
怎么避免？自己动手操作可能出现两种情况，一是玩不出、达不到目标，二是能达到目标。
达到目标又分两种情况，一是运气好正好猜中了步骤（如果是运气好正好用最少的步数达到了目标，再玩一次也可能会超过最少步数），二是有计划有目标的移动。
我的教学目标当然是使大多数人学会有计划有目标的移动，达到目的。
教学目标１、了解汉诺塔游戏，以及它的目标和规则。
２、通过动手操作、动脑思考一、二、三层圆盘汉诺塔游戏，学会用最少的步数移动三层汉诺塔圆盘。
明白玩四层、五层……圆盘的操作思路，以及会计算四层、五层的最少操作步数。
３、在数学游戏中感受递归的数学思想，在游戏中提升学习数学的兴趣。
教学重难点重点：掌握移动三个圆盘的具体步骤。
难点：明理、说理，理解三个圆盘的移动方法和最少步数的计算方法。
教学过程教学准备：4层汉诺塔。
每人一个学具。
一、导入：1、认识学具：小朋友们，我们的身边有一些益智游戏，一起来看，这是什么？依次出示：24点、数独、魔方、七巧板、华容道、孔明锁。
今天，老师带来的这个学具，它的名字叫汉诺塔。
板书课题。
我们一起来认识认识它。
说说你看到了什么？（有三根柱子，和一些大小颜色不同的圆盘，这些圆盘由上到小按从小到大堆叠起来）。
Hanoi塔问题
Hanoi塔问题Hanoi塔问题是法国数学家Edouard Lucas于1883年提出来的。
传说有一个东方庙宇（一说为印度，一说为越南）开天辟地的神勃拉玛在一个庙里留下了三根金刚石的棒，第一根上面套着64个圆的金片，最大的一个在底下，其余一个比一个小，依次叠上去，庙里的众僧不倦地把它们一个个地从这根棒搬到另一根棒上，规定可利用中间的一根棒作为过渡，但每次只能搬一个，而且大的不能放在小的上面。
移动圆片的总次数等于2的64次方再减1＝18446744073709551615，如果按照最快每秒钟搬动1片的话，就算昼夜不停地干，要花多少时间？1年有365x24x60x60=31536000秒。
所以共需5849亿年！看来，众僧们耗尽毕生精力也不可能完成金片的移动。
这个问题今天已经成为程序设计中的经典的函数递归调用问题。
此外，还有Hanoi塔电子游戏。
一、需求分析⒈本实验要求4个盘子移动，输出中间结果：三个盘子的图为：三个盘子汉诺塔算法的运行轨迹为：Hanio 算法如下：1 void Hanoi (int n, char A, char B, char C ) //第一列为语句行号2 {3 if (n==1) Move (A, C ); //Move 是一个抽象操作，表示将碟子从A 移到C 上4 else {5 Hanoi (n -1, A, C, B );6 Move (A, C );7 Hanoi (n -1, B, A, C );8 }9 }解释：三根柱子x,y,z.其中x 上有n 个直径递增的圆盘(最顶为最小,然后往下一次增大),现在要把x 上的n 个圆盘移到z 上,要求在移动的过程中不允许出现任何大的圆盘叠放在任何小的圆盘上,柱y 可作中转用).如果柱x 上只有一个圆盘 if(n==1),那么只需要将x 上的这一个圆盘移到z 上即可.程序中的 printf("%c-->%c\n",x,z); 就是把移动的方向打印出来显示在屏幕上.否则（即柱上X 上有不止一个圆盘）else { move(n-1,x,z,y); printf("%c-->%c\n",x,z); move(n-1,y,x,z); }我们先把柱x 上 最上面的(n-1)个圆盘移到柱y(记住柱y 本来就是作中转用的) 上(先不要去深究这n-1个圆盘怎么移得到柱y 上,假设能办到), move(n-1,x,z,y); 注 意此时我们的x,y,z 的角色变了.我们要从x 上移动圆盘到y 上了.你不妨这样标记一 下move 形参 move(圆盘数,来源柱,中转柱,目标柱).就是说现在x 的角色是来源柱,y 的角色是目标柱,我们要把x 上的n-1个圆盘移到y 上.⑸ ⑼ ⑶ Hanio(3,A,B,C) Hanio(3,A,B,C) Hanio(2,A,C,B) Hanio(2,A,C,B) Hanio(1,A,B,C) Hanio(1,A,B,C) Move (A,C) Move (A,B) Hanio(1,C,A,B) Hanio(1,C,A,B) Move (C,B) Move (A,B)Hanio(2,B,A,C) Hanio(2,B,A,C) Hanio(1,B,C,A) Hanio(1,B,C,A) Move (B,C) Hanio(1,A,B,C) Hanio(1,A,B,C) Move (A,C) Move (B,A) 递归第一层 递归第二层 递归第三层 ⑴ ⑵ ⑷⑹ ⑺ ⑻ ⑽⑾ ⑿ ⒀ ⒁这一步完成之后,我们就该把剩在柱x上的那个最大的圆盘移到柱z上了.printf("%c-->%c\n",x,z);现在我们的状态是最大的圆盘已经在z上,其余的n-1个在y上,x上没有圆盘.我们在交换一下x,y,z的角色: move(n-1,y,x,z); 对照move(圆盘数,来源柱,中转柱,目标柱), 我们要把y上剩余的n-1个圆盘移到z上. 自此,n个圆盘全都从x上移到了z上.以此类推，四个盘子的Hanoi塔的问题也是如此解决。
微课-汉诺塔问题教案
本微课适用范围如下所示：课程所属学科：计算机适用专业：计算机应用技术、计算机软件工程、电子信息适用课程：C语言程序设计、C++程序设计、JAVA程序设计、数据结构适用对象：有一定编程基础的同学《汉诺塔问题》微课教案学院(部)：软件学院系（教研室）：网络教研授课教师：杨珺职称：副教授时间复杂度为：O(2n)程序实现部分汉诺塔问题的递归实现：#include<stdio.h>void hanoi(int n,char A,char B,char C){if(n==1){printf("Move disk %d from %c to %c\n",n,A,C);}else{hanoi(n-1,A,C,B);printf("Move disk %d from %c to %c\n",n,A,C);hanoi(n-1,B,A,C);}}main(){int n;printf("请输入数字n以解决n阶汉诺塔问题：\n");scanf("%d",&n);hanoi(n,'A','B','C');}●汉诺塔算法的非递归实现C++源代码#include <iostream>using namespace std;//圆盘的个数最多为64const int MAX = 64;//用来表示每根柱子的信息struct st{int s[MAX]; //柱子上的圆盘存储情况int top; //栈顶，用来最上面的圆盘char name; //柱子的名字，可以是A，B，C中的一个int Top()//取栈顶元素{return s[top];}int Pop()//出栈return s[top--];}void Push(int x)//入栈{s[++top] = x;}} ;long Pow(int x, int y); //计算x^yvoid Creat(st ta[], int n); //给结构数组设置初值void Hannuota(st ta[], long max); //移动汉诺塔的主要函数int main(void){int n;cin >> n; //输入圆盘的个数st ta[3]; //三根柱子的信息用结构数组存储Creat(ta, n); //给结构数组设置初值long max = Pow(2, n) - 1;//动的次数应等于2^n - 1 Hannuota(ta, max);//移动汉诺塔的主要函数system("pause");return 0;}void Creat(st ta[], int n){ta[0].name = 'A';ta[0].top = n-1;//把所有的圆盘按从大到小的顺序放在柱子A上for (int i=0; i<n; i++)ta[0].s[i] = n - i;//柱子B，C上开始没有没有圆盘ta[1].top = ta[2].top = 0;for (int i=0; i<n; i++)ta[1].s[i] = ta[2].s[i] = 0;//若n为偶数，按顺时针方向依次摆放 A B Cif (n%2 == 0){ta[1].name = 'B';ta[2].name = 'C';}else //若n为奇数，按顺时针方向依次摆放 A C Bta[1].name = 'C';ta[2].name = 'B';}}long Pow(int x, int y){long sum = 1;for (int i=0; i<y; i++)sum *= x;return sum;}void Hannuota(st ta[], long max){int k = 0; //累计移动的次数int i = 0;int ch;while (k < max){//按顺时针方向把圆盘1从现在的柱子移动到下一根柱子ch = ta[i%3].Pop();ta[(i+1)%3].Push(ch);cout << ++k << ": " <<"Move disk " << ch << " from " << ta[i%3].name <<" to " << ta[(i+1)%3].name << endl;i++;//把另外两根柱子上可以移动的圆盘移动到新的柱子上if (k < max){ //把非空柱子上的圆盘移动到空柱子上，当两根柱子都为空时，移动较小的圆盘if (ta[(i+1)%3].Top() == 0 ||ta[(i-1)%3].Top() > 0 &&ta[(i+1)%3].Top() > ta[(i-1)%3].Top()){ch = ta[(i-1)%3].Pop();ta[(i+1)%3].Push(ch);cout << ++k << ": " << "Move disk "<< ch << " from " << ta[(i-1)%3].name<< " to " << ta[(i+1)%3].name << endl;}else{ch = ta[(i+1)%3].Pop();ta[(i-1)%3].Push(ch);cout << ++k << ": " << "Move disk "<< ch << " from " << ta[(i+1)%3].name<< " to " << ta[(i-1)%3].name << endl;}}}}汉诺塔问题的非递归实现#include <stdio.h>#include <math.h>#include <stdlib.h>//第0位置是柱子上的塔盘数目int zhua[100]={0},zhub[100]={0},zhuc[100]={0};char charis(char x,int n)//左右字符出现顺序固定,且根据n值奇偶而不同{switch(x){case 'A':return (n%2==0)?'C':'B';case 'B':return (n%2==0)?'A':'C';case 'C':return (n%2==0)?'B':'A';default:return '0';}}void print(char lch,char rch)//打印字符{if(lch=='A'){switch(rch){case 'B':zhub[0]++;zhub[zhub[0]]=zhua[zhua[0]]; zhua[zhua[0]]=0;zhua[0]--;break;case 'C':zhuc[0]++;zhuc[zhuc[0]]=zhua[zhua[0]]; zhua[zhua[0]]=0;zhua[0]--;break;default:break;}}if(lch=='B'){switch(rch){case 'A':zhua[0]++;zhua[zhua[0]]=zhub[zhub[0]]; zhub[zhub[0]]=0;zhub[0]--;break;case 'C':zhuc[0]++;zhuc[zhuc[0]]=zhub[zhub[0]]; zhub[zhub[0]]=0;zhub[0]--;break;default:break;}}if(lch=='C'){switch(rch){case 'A':zhua[0]++;zhua[zhua[0]]=zhuc[zhuc[0]];zhuc[zhuc[0]]=0;zhuc[0]--;break;case 'B':zhub[0]++;zhub[zhub[0]]=zhuc[zhuc[0]];zhuc[zhuc[0]]=0;zhuc[0]--;break;default:break;}}printf("\t");int i;printf("(");for(i=1;i<=zhua[0];i++)printf(" %d ",zhua[i]);printf(")");printf("(");for(i=1;i<=zhub[0];i++)printf(" %d ",zhub[i]);printf(")");printf("(");for(i=1;i<=zhuc[0];i++)printf(" %d ",zhuc[i]);printf(")");printf("\n");}void Hannuo(int n){//分配2^n个空间bool *isrev;isrev=(bool *)malloc(sizeof(bool)*(int)pow(2,n)); for(int i=1;i<pow(2,n);i++)//循环计算是否逆序for(int ci=2;ci<=n;ci++){for(int zixh=(int)pow(2,ci-1);zixh<pow(2,ci);zixh+=4) //初始值重复一次，自增值可加4，减少循环次数。
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H ( 3, A, B, C )
Stack
Output A A 1 C A B 2 A C B 3 A B C C B
H(n-1,a,c,b)
H ( 2, A, C, B )
H(n-1,b,a,c) H ( 1, C, A, B )
n a b c
void hanoi ( int n, char a, char b, char c ) { if ( n >= 1 ) { hanoi ( n-1, a, c, b) ; printf(“%c -->%c\n“,a,c); hanoi (n-1, b, a, c) ; } }
H ( 3, A, B, C )
Stack
Output 0 A C B 1 C A B 2 A C B 3 A B C A A C C B B
H(n-1,a,c,b)
H ( 2, A, C, B )
H(n-1,b,a,c)
H ( 1, C, A, B )
H(n-1,b,a,c) H ( 0, A, C , B )
H(n,A,B,C)
H ( 3, A, B, C )
Stack
Output 0 A C B 1 A B C 2 A C B 3 A B C
H(n-1,a,c,b) H ( 2, A, C, B )
H(n-1,a,c,b) H ( 1, A, B, C )
H(n-1,a,c,b) H ( 0, A, C, B )
H ( 3, A, B, C )
Stack
Output 0 A C B 1 A B C 2 A C B 3 A B C
H(n-1,a,c,b) H ( 2, A, C, B )
H(n-1,a,c,b) H ( 1, A, B, C )
H(n-1,a,c,b) H ( 0, A, C, B )
n a b c
void hanoi ( int n, char a, char b, char c ) { if ( n >= 1 ) { hanoi ( n-1, a, c, b) ; printf(“%c -->%c\n“,a,c); hanoi (n-1, b, a, c) ; } }
H(n,A,B,C)
H ( 3, A, B, C )
n a b c
void hanoi ( int n, char a, char b, char c ) { if ( n >= 1 ) { hanoi ( n-1, a, c, b) ; printf(“%c -->%c\n“,a,c); hanoi (n-1, b, a, c) ; } }
H(n,A,B,C)
H ( 3, A, B, C )
Stack
Output A A 1 C A B 2 A C B 3 A B C C C B B
H(n-1,a,c,b)
H ( 2, A, C, B )
H(n-1,b,a,c)
H ( 1, C, A, B ) cout
n a b c
void hanoi ( int n, char a, char b, char c ) { if ( n >= 1 ) { hanoi ( n-1, a, c, b) ; printf(“%c -->%c\n“,a,c); hanoi (n-1, b, a, c) ; } }
n a b c
void hanoi ( int n, char a, char b, char c ) { if ( n >= 1 ) { hanoi ( n-1, a, c, b) ; printf(“%c -->%c\n“,a,c); hanoi (n-1, b, a, c) ; } }
H(n,A,B,C)
H ( 3, A, B, C )
Stack
Output A A 1 C A B 2 A C B 3 A B C C C B B
H(n-1,a,c,b)
H ( 2, A, C, B )
H(n-1,b,a,c)
H ( 1, C, A, B )
n a b c
n a b c
void hanoi ( int n, char a, char b, char c ) { if ( n >= 1 ) { hanoi ( n-1, a, c, b) ; printf(“%c -->%c\n“,a,c); hanoi (n-1, b, a, c) ; } }
H(n,A,B,C)
printf( " Input the number of diskes:\n “) ; scanf(“%d”,&n) ;
hanoi ( n, 'A' , 'B' , 'C' ) ; }
H(n,A,B,C)
H ( 3, A, B, C )
Stack
Output
3 A B C
n a b c
// 汉诺塔
H(n,A,B,C)
H ( 3, A, B, C )
Stack
Output A C 0 B A C 1 A B C 2 A C B 3 A B C
H(n-1,a,c,b) H ( 2, A, C, B )
H(n-1,a,c,b)
H ( 1, A, B, C )
H(n-1,b,a,c) H ( 0, B , A, C )
H(n,A,B,C)
H ( 3, A, B, C )
Stack
Output 0 A C B 1 C A B 2 A C B 3 A B C A A C C B B
H(n-1,a,c,b)
H ( 2, A, C, B )
H(n-1,b,a,c)
H ( 1, C, A, B )
H(n-1,b,a,c) H ( 0, A, C , B )
n a b c
void hanoi ( int n, char a, char b, char c ) { if ( n >= 1 ) { hanoi ( n-1, a, c, b) ; printf(“%c -->%c\n“,a,c); hanoi (n-1, b, a, c) ; } }
H(n,A,B,C)
H ( 3, A, B, C )
Stack
Output A C
H(n-1,a,c,b) H ( 2, A, C, B )
H(n-1,a,c,b)
H ( 1, A, B, C )
1 A B C 2 A C B 3 A B C
n a b c
void hanoi ( int n, char a, char b, char c ) { if ( n >= 1 ) { hanoi ( n-1, a, c, b) ; printf(“%c -->%c\n“,a,c); hanoi (n-1, b, a, c) ; } }
n a b c
void hanoi ( int n, char a, char b, char c ) { if ( n >= 1 ) { hanoi ( n-1, a, c, b) ; printf(“%c -->%c\n“,a,c); hanoi (n-1, b, a, c) ; } }
H(n,A,B,C)
void hanoi ( int n, char a, char b, char c ) { if ( n >= 1 ) { hanoi ( n-1, a, c, b) ; printf(“%c -->%c\n“,a,c); hanoi (n-1, b, a, c) ; } }
H(n,A,B,C)
H ( 3, A, B, C )
Stack
Output 0 C B A 1 C Байду номын сангаас B 2 A C B 3 A B C A A C B
H(n-1,a,c,b)
H ( 2, A, C, B )
H(n-1,b,a,c) H ( 1, C, A, B )
H(n-1,a,c,b) H ( 0, C, B , A)
H ( 3, A, B, C )
Stack
Output A C 0 B A C 1 A B C 2 A C B 3 A B C
H(n-1,a,c,b) H ( 2, A, C, B )
H(n-1,a,c,b)
H ( 1, A, B, C )
H(n-1,b,a,c) H ( 0, B , A, C )
H(n,A,B,C)
H ( 3, A, B, C )
Stack
Output 0 C B A 1 C A B 2 A C B 3 A B C A A C B
H(n-1,a,c,b)
H ( 2, A, C, B )
H(n-1,b,a,c) H ( 1, C, A, B )
H(n-1,a,c,b) H ( 0, C, B , A)
n a b c
void hanoi ( int n, char a, char b, char c ) { if ( n >= 1 ) { hanoi ( n-1, a, c, b) ; printf(“%c -->%c\n“,a,c); hanoi (n-1, b, a, c) ; } }
H(n,A,B,C)
H ( 3, A, B, C )
Stack
Output A C
H(n-1,a,c,b) H ( 2, A, C, B )
H(n-1,a,c,b)
H ( 1, A, B, C ) cout
1 A B C 2 A C B 3 A B C
n a b c
void hanoi ( int n, char a, char b, char c ) { if ( n >= 1 ) { hanoi ( n-1, a, c, b) ; printf(“%c -->%c\n“,a,c); hanoi (n-1, b, a, c) ; } }