第3章简单的优化模型
数学模型期末复习总结
10级数学模型期末复习一 作业总结（仅供参考）：1、 列举符合logistic 阻滞增长模型的实例，并阐述其符合的机理。
2、（第二章习题 7）在超市购物时你注意到大包装的商品比小包装的商品便宜这种现象了么？（1）分析商品价格c 与商品重量w 的关系。
价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w 成正比，有的与表面积成正比，还有与w 无关的；（2）给出单位重量价格c 与w 的关系。
参考解答：（1） 生产成本主要是与重量w 成正比，包装成本主要是与表面积s 成正比，其他成本也包含与w 和s 成正比的部分上述三种成本中都含有与w,s 均无关的成分。
又因为形状一定时一般有32w s ∝，故商品的价格可表示为λβ++=32w aw c（2） 单位重量价格131−−++==w w a w C c λβ,c 是w 的减函数，同时该函数是下凸函数，说明单价的减少值随着包装的变大是逐渐降低的，并不是追求过大的包装。
2、 人文科学模型，一名律师为其当事人辩护的问题在模型中我们通过建立模型解决了辩护人在30英尺高度下跳落地瞬间是会受伤的。
但是该辩护是否合理？参考解答：我们需要继续考虑犯罪现场的地势情况，地面的软硬度直接决定了犯罪嫌疑人是否受伤，因此我们考虑建立的参考模型为221=mv FS 3、 钓鱼比赛问题在钓鱼比赛过程中我们只考虑鱼的长短，如果要考虑鱼的胖瘦该如何建立该问题的数学模型，并给出参赛选手一个简洁的方法。
参考解答：参考建立模型：其中s 表示腰围，l 表示鱼长l ks M 2=方法是给每个参赛选手发一卷皮尺和一个对照卡，实现选手对所吊鱼重量的确定4、 核军备竞赛问题参考解答：【1】 甲方提高导弹导航系统的性能；甲方提高导弹系统的导航能力，即甲方的打击精度提升。
则乙方导弹的残存率变小，同时引起乙方的威慑值变大，则乙方曲线整体上移且变陡，从而平衡点向右上方移动；【2】 甲方增加导弹爆破的威力；甲方增加导弹爆破的威力，则甲方的威慑值相应变小，乙方的导弹残存率变小，甲方导弹曲线向左平移，从而平衡点向左下方平移；【3】 甲方发展电子干扰系统；甲方发展电子干扰系统，则乙方的威慑值变大，甲方的残存率变大，则乙方的曲线上移，甲方的曲线变陡。
数学模型 姜启源
r是x的减函数
假设 r(x)rsx (r,s0) r~固有增长率(x很小时)
xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）
r(xm) 0
s r xm
r(x) r(1 x ) xm
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
阻滞增长模型(Logistic模型)
dx rx dt
dx/dt
dxr(x)xrx(1 x)
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
从现实对象到数学模型
我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型
水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型
地图、电路图、分子结构图… … ~ 符号模型
模型是为了一定目的，对客观事物的一部分 进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物
模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征
•测试分析 将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的 统计分析，找出与数据拟合最好的模型
•二者结合 用机理分析建立模型结构, 用测试分析确定模型参数
机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析。
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
数学建模的一般步骤
《数学模型》 姜启源 主编
周次
节次
1 五 5－6
2 五 5－6
3 五 5－6 4 五 5－6 5 五 5－6 6 五 5－6
7 五 5－6 8 五 5－6
数学模型
教学进度
教学内容
1.1-1.5数学模型的介绍 1.6数学模型的基本方法步骤、特点
和分类
2.1公平的席位分配(讨论课) 2.2录像机计数器的用途 2.3双层玻璃的功效
第3章_过程系统模拟的基本方法
1
2
3
0 1 1 0 1 1 c11 c12 2 A 0 0 1 0 0 1 c 21 c 22 1 0 0 1 0 0 c31 c32
c13 1 0 1 c 23 1 0 0 c33 0 1 1
– 弧相邻矩阵
节点相邻矩阵
• 相邻矩阵定义为：
S [ sij ]mm
(i 1,, m;
j 1,, m)
• 式中，m为节点数目； • sij为矩阵元素，定义为
1 sij 0
从节点i到节点j有单向弧 否则
x1
u1
x2
u2 u4
x3
u3 u5 u7
x5 0 0 0 0 0 1 0
A B C D A E F G H I
3
A B 1 1 1 1 1 1
C 1 1 1
D 1 1 1
E 1 1 1 1 1 1 1
F 1 1 1
G
H
I * A A1 1 1
A B C D E F G H I
r个化学反应g个结构变量常见过程单元自由度单元名称自由度数常规指定变量混合器分流器s1流量分配比闪蒸器闪蒸温度压力泵节流阀出口压力压缩机膨胀机绝热多变效率出口压力换热器某一物流出口温度反应器反应程度绝热压降常规精馏塔操作压力平衡级侧线抽出比压力换热量过程系统自由度确定系统状态的独立变量数目系统自由度单元自由度进料自由度反应器放空产品精馏进料反应器加热器混合器进料压缩机调节阀精馏塔分割器产品产品第2节过程系统结构的计算机识别主要内容过程系统结构有向图反应器放空产品精馏进料反应器加热器混合器进料压缩机调节阀精馏塔分割器产品产品弧相邻矩阵节点相邻矩阵ij为矩阵元素定义为否则有单向弧到节点从节点可及矩阵法索引矩阵法图解法steward通路法方程系统识别himmelblau算法
第三章 优化设计(4节
第四节多维无约束优化方法4.1最速下降法（梯度法）x，使f(x)minf(x+α对于多元函数，求极小点k+1k+1)=minf(x k kS k)，需要确定两个内容：步长αk，方向S k，不同的搜索方向导致了不同的优化方法。
主要有：梯度法、共轭导致了不同的优化方法主要有：梯度法共轭梯度法、牛顿法、变尺度法、坐标轮换法、Powell法。
z思想函数值变化最快的方向是其梯度方向，而且负梯度方向是函数值下降最快的方向。
故沿负梯度方向搜索。
方向是函数值下降最快的方向故沿负梯度方向搜索z迭代格式z步骤1）给定初始点，迭代精度，维数。
2）置0→k。
3）确定搜索方向：计算迭代点x k的剃度，以及剃度的模，进而确定搜索方向s k。
4）求最优步长αk：从x k点出发，沿负剃度方向进行维搜索求最优步长α，f(xαS)min f(xαS)。
一维搜索求最优步长k k+k k＝min f(x k+k5）检验是否满足终止条件，若满足，终止迭代，输k→x*k)→f(x*)，否则，进入下一步出最优解x x，f(x f(x)，否则，进入下步。
6）计算新的迭代点x k＋1＝x k+αk S k。
z搜索路线z特点1）迭代过程简单，存储量小，对初始点的选择要求低；2）在远离函数极小点的地方，函数值下降较快。
但是，由于所谓的最速下降方向函数在某点的负剃度方是，由于所谓的最速下降方向－函数在某点的负剃度方向，仅是对该点而言，一旦离开了这点，其方向就不再是最速方向了。
因而在这个优化过程中，沿某点的负剃是最速方向了因而在这个优化过程中沿某点的负剃度方向寻优，并不总是具有最速下降方向的性质。
因此，从局部看，在一点附近函数的下降是最快的，但从整体从局部看在点附近函数的下降是最快的但从整体看，函数的下降并不算快，而且越是接近极值点，收敛越慢。
越慢3）应用该方法可使目标函数在头几步下降很快，因此可以与其他无约束优化方法配合使用。
例子z目标函数f(x)=60-10x1-4x 2+x 12+x 22-x 1x 2，设初始点[00]精度001用梯度法求极小点和极小x 0=[0 0]T ，精度ε=0.01，用梯度法求极小点和极小值。
运筹学第3章：运输问题-数学模型及其解法
整数规划模型
01
整数规划模型是线性规划模型 的扩展，它要求所有变量都是 整数。
02
整数规划模型适用于解决离散 变量问题，例如车辆路径问题 、排班问题等。
03
在运输问题中，整数规划模型 可以用于解决车辆调度、装载 等问题，以确保运输过程中的 成本和时间效益达到最优。
混合整数规划模型
混合整数规划模型是整数规划和线性规划的结合，它同时包含整数变量和 连续变量。
运筹学第3章：运输问题-数学模 型及其解法
目录
• 引言 • 运输问题的数学模型 • 运输问题的解法 • 运输问题的应用案例 • 结论
01 引言
运输问题的定义与重要性
定义
运输问题是一种线性规划问题，主要 解决如何将一定数量的资源（如货物 、人员等）从起始地点运送到目标地 点，以最小化总运输成本。
总结词
资源分配优化是运输问题在资源管理 领域的应用，主要解决如何将有限的 资源合理地分配到各个部门或项目， 以最大化整体效益。
详细描述
资源分配优化需要考虑资源的数量、 质量、成本等多个因素，通过建立运 输问题的数学模型，可以找到最优的 资源分配方案，提高资源利用效率， 最大化整体效益。
05 结论
运输问题的发展趋势与挑战
生产计划优化
总结词
生产计划优化是运输问题在生产领域的应用，主要解决如何合理安排生产计划， 满足市场需求的同时降低生产成本。
详细描述
生产计划优化需要考虑原材料的采购、产品的生产、成品的销售等多个环节，通 过建立运输问题的数学模型，可以找到最优的生产计划和调度方案，提高生产效 率，降低生产成本。
资源分配优化
发展趋势
随着物流行业的快速发展，运输问题变得越来越复杂，需要更高级的数学模型和算法来 解决。同时，随着大数据和人工智能技术的应用，运输问题的解决方案将更加智能化和
《数学建模》课程教学大纲
《数学建模》课程教学大纲课程编号： 90907011学时：32学分：2适用专业：本科各专业开课部门：各学院一、课程的性质与任务数学建模是研究如何将数学方法和计算机知识结合起来用于解决实际问题的一门边缘交叉学科，是集经典数学、现代数学和实际问题为一体的一门新型课程，是应用数学解决实际问题的重要手段和途径。
本课程主要介绍初等模型、简单优化模型、微分方程模型、概率统计模型、数学规划模型等模型的基本建模方法及求解方法。
通过数学模型有关概念、特征的学习和数学模型应用实例的介绍，培养学生数学推导和简化分析能力，熟练运用计算机能力；培养学生联想、洞察能力,综合分析能力；培养学生应用数学方法解决实际问题的能力。
三、实践教学的基本要求（无）四、课程的基本教学内容及要求第一章数学模型概述1.教学内容数学模型与数学建模、数学建模的基本方法和步骤、数学模型的特点和分类。
2.重点与难点重点：数学模型与数学建模。
难点：数学建模的基本方法和步骤。
3.课程教学要求了解数学模型与数学建模过程；了解数学建模竞赛规程；掌握几个简单的智力问题模型。
第二章初等模型1.教学内容双层玻璃窗的功效、动物的身长与体重。
2.重点与难点重点：初等方法建模的思想与方法。
难点：初等方法建模的思想与方法。
3.课程教学要求了解比例模型及其应用。
第三章简单的优化模型1.教学内容存贮模型、最优价格。
2.重点与难点重点：存贮模型。
难点：存贮模型。
3.课程教学要求掌握利用导数、微分方法建模的思想方法；能解决简单的经济批量问题和连续问题模型。
第四章数学规划模型1.教学内容线性规划建模、非线性规划建模，奶制品的生产与销售、接力队的选拔与选课策略、钢管和易拉罐下料。
2.重点与难点重点：线性规划方法建模、非线性规划建模。
难点：非线性规划方法建模、Lingo软件的使用。
3.课程教学要求掌握线性规划建模方法；了解对偶单纯形的经济意义；了解Lingo数学软件在解决规划问题中的作用。
(完整版)数学模型姜启源-第三章(第五版)
平均每天费用950元 • 50天生产一次,每次5000件, 贮存费4900+4800+…+100 =122500元，准备费5000元，总计127500元.
平均每天费用2550元
c2 t1x x
c3 x
其中 c1,c2,c3, t1, ,为已知参数
模型求解 求 x使 C(x)最小
dC 0 dx
x
c t 2 2c t
11
21
2c 2
3
结果解释 x c1t12 2c2t1
2c32
dB
dt
/ 是火势不继续蔓延的最少队员数
x
x 0.45
0.4 0.35
0.3 0.25
0.2 0.15
0.1 0.05
0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 a
a
1
空杯质量w2取决于材料 (纸杯、塑料杯、玻璃杯).
设w2=150g 半升啤酒杯w1=500g a=0.3 x=0.3245
一杯啤酒约剩1/3时重心最低，最不容易倾倒！
问题分析与模型假设 x
w1 ~ 啤酒 (满杯) 质量
1
w2 ~空杯侧壁质量, w3 ~空杯底面质量
啤酒杯重心s(x)由啤酒重心和空杯 重心合成.
• s2=1/2 •xs(x) 液面 • s1=x/2 0
液面高度x时啤酒质量w1x, 啤酒重心位置 s1=x/2
忽略空杯底面质量w3 空杯重心位置 s2=1/2
优化模型
离散优化模型：目标函数和约束函数非连续 离散优化模型： 连续优化模型： 连续优化模型：目标函数和约束函数连续 线性规划模型：如果一个优化问题满足以下性质， 线性规划模型：如果一个优化问题满足以下性质，该优化问 题成为线性规划
1）有唯一的目标函数 当一个决策变量出现在目标函数和任何约束函数中时， 2）当一个决策变量出现在目标函数和任何约束函数中时， 它只以一次幂的形式出现（可以乘以一个常数）。 它只以一次幂的形式出现（可以乘以一个常数）。 目标函数和任何约束函数中不包含决策变量的乘积项。 3）目标函数和任何约束函数中不包含决策变量的乘积项。 目标函数和任何约束函数中的决策变量的系数是常数。 4）目标函数和任何约束函数中的决策变量的系数是常数。 决策变量可以是整数，也可以是分数。 5）决策变量可以是整数，也可以是分数。 如果一个优化问题不满足其中任何一条，它就是非线性的。 如果一个优化问题不满足其中任何一条，它就是非线性的。
优化模型简介
优化问题基本模型
Opt f j ( X ) s .t . ≥ g i ( X ) = bi ≤
j∈J
i∈I
分析： 分析：
下标指出 优化目标可以是一个或多个函数。 优化目标可以是一个或多个函数。我们的目的是找到向量 X 0 使 取到最优值， 这些函数 f j ( X ) 取到最优值，向量 X 的各个分量成为模型的 决策变量。 称为目标函数。S.t.（ to)的 决策变量。而函数 f j ( X ) 称为目标函数。S.t.（subject to)的 意思是决策变量必须满足某些边界条件， 意思是决策变量必须满足某些边界条件，这些边界条件通常称为 约束。 约束。每一个常数 b 表示的是相关约束函数 g i ( X ) 必须满足的 i 水平，通常称为模型的右端项。所以，解向量 X 0 必须使每个目 水平，通常称为模型的右端项。所以， 达到最优，并同时满足每一个约束关系。 标函数 f j ( X )达到最优，并同时满足每一个约束关系。 的意思是优化（最大或最小化）， Opt(Optimize) 的意思是优化（最大或最小化），
工程最优化第三章
最优点同时与目标函数及约束函数的性质有关。存在两种情况：
x2
x2
x(0) =x*
x(0)
x*
S x1
(a) 无约束极值点x(0)S
S x1
(b) 无约束极值点x(0)S
! 目标函数的梯度等于零并不是约束问题的最优性必要条件！
带有不等式约束的优化问题的最优性条件通常是一组不等式与 方程，比较复杂的，很难求解，所以在一般情况下，不是直接 求解这些条件来获得极值点，而是使用各种迭代法求出近似的 极值点。但它在理论上很重要，是各种迭代方法的基础和依据。
（一）可行方向与起作用约束
定义：设点xS，p是一个方向，如果存在实数a1>0, 使对所有
a[0, a1]，有x+apS，则称p为点x 的一个可行方向,或容许
方向、允许方向。
p
几何上，若从x处沿方 向p引一射线，若该射 线起始端有一段在可 行域内，则这个方向p
就叫可行方向。
x S
! 是否为可行方向与起始点的位置有关！
例3.5.1 验证下面的非线性规划在最优点x*处不满足约束规范,
最优点不是K-T点：
min
f
(x) (x1 3)2
x
2 2
s.t g1 (x) x 2 (1 x1 )3 0
g 2 (x) x1 0
g3 (x) x2 0
解：显然最优点 min
fx*(=x[)x1*,(xx21*]T=3[)12,
0]T,
x
2 2
f
=
f
(x*)
=
4.
x2
下面验证在 s.t
因为 g1(x*)
gx*1 (=x[)1,0x]T2处不(1满足x1约)3束 规0 范。 =g02 ,(xg2)(x*) <x10,g03(x*)=0,
《数学模型》第3章简单的优化模型
3.2 生猪的出售时机
问 饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设 题 备，估计可使80kg重的生猪体重增加2kg.
市场价格目前为8元/kg，但是预测每天会降低 0.1元，问生猪应何时出售?
如果估计和预测有误差，对结果有何影响?
分 投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随 析 时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大.
A
=QT/2
Q rT
0
T
t
一周期贮存费为
c2
T 0
q(t)dt
c2
QT 2
一周期 总费用
C~
c1
c2
QT 2
c1
c2
rT 2 2
每天总费用平均 值（目标函数）
C(T)C ~c1c2rT TT 2
模型求解 求 T 使C(T)c1c2rTmin
T2
dC 0 dT
T 2 c1 rc 2
模型解释
Q rT 2c1r c2
平均每天费用950元 • 50天生产一次,每次5000件, 贮存费4900+4800+…+100 =122500元，准备费5000元，总计127500元.
平均每天费用2550元
10天生产一次,平均每天费用最小吗?
问题分析与思考
• 周期短，产量小
贮存费少，准备费多
• 周期长，产量大
准备费少，贮存费多
（目标函数）
求 T ,Q 使 C(T,Q) m in
C 0, C 0 为与不允许缺货的存贮模型
T Q
相比，T记作T´, Q记作Q´.
T 2c1 c2 c3 rc2 c3
Q 2c1r c3 c2 c2 c3
允许 缺货 模型
数学建模组合优化模型
数学建模组合优化模型数学建模是一种将实际问题转化为数学模型，并通过数学方法进行求解的技术。
在实际应用中，很多问题都可以使用组合优化模型来描述和解决。
组合优化模型主要研究如何在给定的约束条件下，找到最优的组合方式。
组合优化模型最早出现在20世纪50年代，当时主要应用于军事领域。
随着计算机技术的发展和应用范围的扩大，组合优化模型的研究逐渐扩展到了经济、交通、电力、通信等各个领域。
组合优化模型的基本思想是将问题抽象为一个图或者网络，通过定义合适的目标函数和约束条件，寻找使得目标函数最优的节点或者路径。
在组合优化模型中，最常见的问题包括最短路径问题、旅行商问题、背包问题、任务调度问题等。
在组合优化模型中，最常见的方法是枚举法、贪心法、动态规划法和分支定界法等。
枚举法是最简单的方法，它逐个考虑每种组合情况，然后计算出目标函数的值，并找出最优解。
贪心法是一种局部最优的方法，它每次都选择使得目标函数最优的节点或者路径，然后不断迭代直到找到最优解。
动态规划法是一种通过将问题划分成若干个子问题，并通过求解子问题的最优解得到原问题的最优解的方法。
分支定界法是一种通过将问题划分成若干个子问题，并剪枝掉不可能成为最优解的子问题，从而找到最优解的方法。
为了解决组合优化模型，需要建立合适的数学模型，并采用适当的求解方法。
建立数学模型的过程主要包括以下几步：明确问题目标、确定决策变量、建立目标函数、建立约束条件。
在建立模型的过程中，需要根据实际问题的特点选择合适的模型和方法。
总之，组合优化模型是一种将实际问题抽象为数学模型，并通过数学方法进行求解的技术。
组合优化模型已经广泛应用于各个领域，并取得了很多重要的成果。
未来，随着计算机技术的进一步发展和应用需求的不断增加，组合优化模型将会发挥越来越重要的作用。
数学建模-黑龙江省精品课程网络制作系统2007高校版(精)
美国大学生数学建模竞赛题 2003--2004
• 03A The Stunt Person mcm03.doc • 03B Gamma Knife Treatment Planning • 03C Aviation Baggage Screening Strategies: To Screen or Not to Screen, That is the Question icm03.doc • 04A Are Fingerprints Unique? • 04B A Faster Quick Pass System • 04C To Be Secure or Not to Be? mcm04.doc
SST
参考网址：
中国工业与应用数学学会 /mcm/ 全国大学生数学建模竞赛 美国：数学及其应用联合会 /undergraduate/ 中国数学建模网站 / 04 研究生 “中国电机工程学会杯”全国大学生电工数学建模竞赛 / 04电力AB 哈工大综合信息服务—公告公示—学生活动 /class/1_1_26.htm
SST
哈工大数学建模竞赛题 2002--2004
• • • • • • 02A 02B 03A 03B 04A 04B 垃圾运输问题 02工大.doc 奥运会场馆的人员疏散问题 SARS疫情分析与预测 不同水厂的水分界线 03工大.doc 西大直街的交通线联动信号控制问题 股市全流通方案的设想 04工大.doc
SST
全国大学生数学建模竞赛题 2003--2004
• • • • • • • • 03A 03B 03C 03D 04A 04B 04C 04D SARS的传播 露天矿生产的车辆安排 SARS的传播 抢渡长江 奥运会临时超市网点设计 电力市场的输电阻塞管理 饮酒驾车 公务员招聘 03A.doc 03B.doc 03C.doc 03D.doc 04A.doc 04B.doc 04C.doc 04D.doc
【优化方案】2012高中数学 第3章3.2.2一元二次不等式及其解法习题课课件 新人教A版必修5
【思路点拨】 思路点拨】
2
a2－1＝0时转化不等式求解 → ＝ 时转化不等式求解
2
a －1≠0时数形结合转化 → 解不等式组 → 得解 ≠ 时数形结合转化
【解】 ①若 a －1＝0, 即 a＝±1 时， ＝ ＝ 若 a＝1，不等式化为－1＜0，解集为 R； ＝ ，不等式化为－ ＜ ， ； ＝－1， 若 a＝－ ，不等式变为 2x－1＜0，解集为 ＝－ － ＜ ，解集为{x|x 1 ＜ }．∴a＝1 时满足条件． ． ＝ 时满足条件． 2
3．2.2 一元二次不等式及其解法习题课 ．
3.2.2 一元 二次 不等 式及 其解 法习 题课
课堂互动讲练
知能优化训练
课堂互动讲练
考点突破 一元二次不等式恒成立问题
不等式对任意实数恒成立， 不等式对任意实数恒成立，就是不等式的解集为 R，对于一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0，它的解 ， ＋ ＞ ，
某企业上年度的年利润为200万元，本 万元， 变式训练 某企业上年度的年利润为 万元 年度为适应市场需求，计划提高产品档次， 年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适量 增加投入成本，投入成本增加的比例为x(0＜ ＜ 增加投入成本，投入成本增加的比例为 ＜x＜ 1)．现在有甲、乙两种方案可供选择，通过市场 ．现在有甲、乙两种方案可供选择， 调查后预测，若选用甲方案，则年利润y万元与投 调查后预测，若选用甲方案，则年利润 万元与投 入成本增加的比例x的函数关系式为 的函数关系式为y＝ 入成本增加的比例 的函数关系式为 ＝f(x)＝－ ＝－ 20x2＋60x＋200(0＜x＜1)；若选用乙方案，则y与 ＋ ＜ ＜ ；若选用乙方案， 与 x的函数关系式为 ＝g(x)＝－ 的函数关系式为y＝ ＝－30x2＋65x＋200(0＜ 的函数关系式为 ＝－ ＋ ＜ x＜1)．试讨论根据投入成本增加的比例 ，如何 ＜ ．试讨论根据投入成本增加的比例x， 选择最适合的方案？ 选择最适合的方案？
第3章 最终理想解
第三章最终理想解TRIZ理论，在解决问题之初，首先抛开各种客观限制条件，通过理想化来定义问题的最终理想解(idealfinal result，IFR)，以明确理想解所在的方向和位置，保证在问题解决过程中沿着此目标前进并获得最终理想解，从而避免了传统创新设计方法中缺乏目标的弊端，提升了创新设计的效率。
如果将TRIZ创造性解决问题的方法比作通向胜利的桥，那么最终理想解就是这座桥的桥墩。
3.1理想化简介理想化是科学研究中创造性思维的基本方法之一。
它主要是在大脑之中设立理想的模型，通过思想实验的方法来研究客体运动的规律。
一般的操作程序为:首先要对经验事实进行抽象，形成一个理想客体，然后通过想象，在观念中模拟其实验过程，把客体的现实运动过程简化和升华为一种理想化状态，使其更接近理想指标的要求。
理想化方法最为关键的部分是思想实验，或称理想实验。
它是从一定的原理出发，在观念中按照实验的模型展开的思维活动，模型的运转完全是在思维中进行操作的，然后运用推理得出符合逻辑的实验结论。
思想实验是形象思维和逻辑思维共同作用的结果，同时也体现了理想化和现实性的对立统一。
诚然，思想实验还不是科学实践活动，它的结论还需要科学实验等实践活动来检验，但这并不能否认思想实验在理论创新中的地位和作用。
新的理论往往与常识相距甚远，人们常常为传统观念所束缚，不易走向理论创新，因此，借助于思想实验来进行理论创新以及对新理论加以认同，不失为一种有效的手段。
理想化方法的另一个关键部分是如何设立理想模型。
理想模型建立的根本指导思想是最优化原则，即在经验的基础上设计最优的模型结构，同时也要充分考虑到现实存在的各种变量的容忍程度，把理想化与现实性结合起来。
理想中的优化模型往往具有超前性，这是创新的天然标志。
但是，超前行为只有在现实条件所容许的情况下，其模型的构造才具有可行性。
应当指出的是，理想模型的设计并不一定非要迁就现实的条件，有时候也需要改造现实，改变现实中存在的不合理之处，特别是需要彻底扭转人们传统的落后的思维方式和生活方式，为理想模型的建立和实施创造条件。
简单的优化模型
每天：50桶牛奶 时间: 480小时 至多加工100千克A1
制订生产计划，使每天获利最大
• 35元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少? • 可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? • A1的获利增加到 30元/千克，是否应改变生产计划？
建立模型 决策变量 目标函数
约束条件
x1桶牛奶生产A1 x2桶牛奶生产A2
例2 选课策略
课号
课名
学分
所属类别
先修课要求
1
微积分
5
数学
2
线性代数
4
数学
3
最优化方法
4
数学；运筹学 微积分；线性代数
4
数据结构
3
数学；计算机
计算机编程
5
应用统计
4
数学；运筹学 微积分；线性代数
6
计算机模拟
3
计算机；运筹学
计算机编程
7
计算机编程
2
计算机
8
预测理论
2
运筹学
应用统计
9
数学实验
3
运筹学；计算机 微积分；线性代数
78
70
67.4
j=2
75.6
66
67.8
74.2
71
j=3
87
66.4
84.6
69.6
83.8
j=4
58.6
53
59.4
57.2
62.4
若选择队员i参加泳姿j 的比赛，记xij=1, 否则记xij=0
目标 函数
45
Min Z
cij xij
j 1 i1
约束 条件
每人最多入选泳姿之一
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模型2 允许缺货的存储模型 模型建立
一个周期 T 内的储存费是
c2 q(t )dt c2QT 1 2
0 T1
一个周期 T 内的缺货损失费是
c3 q (t ) dt c3r T T1 2
T 2 T1
模型2 允许缺货的存储模型 模型建立
一个周期 T 内的总费用是 2 C c1 c2QT1 2 c3rT T1 2 利用(8)式，得到每天的平均费用是
第3章 简单的优化模型 3.1 存储模型
建立数学模型来优化存储 量，使总费用最小
模型1 不允许缺货的存储模型 问题的提出
配件厂为装配线生产若干种部件。 轮换生产不同的部件时，因更换设备要付生 产准备费（与生产数量无关）。 同一部件的产量大于需求时，因积压资金、 占用仓库要付储存费。 今已知某一部件的日需求量100件，生产准备 费5000元，储存费每日每件1元。 如果生产能力远大于需求，并且不允许出现 缺货，试安排该产品的生产计划，即多少天 生产一次（称为生产周期），每次产量多少， 可使总费用最小。
模型1 不允许缺货的存储模型 模型假设
设生产周期 T 和产量 Q 均为连续量， 1.产品每天的需求量为常数 r； 2.每次生产准备费为 c1 ， 每天每件产品存储 费为 c2 ； 3.生产能力为无限大（相对于需求量） ，不 允许缺货，即当存储量降到零时，Q 件产 品立即生产出来供给需求。
模型1 不允许缺货的存储模型 模型建立
求得最优生产周期为
2c1 c2 c3 T c2c3r
模型2 允许缺货的存储模型 模型求解
每周期初的最优存储量为
Q 2c1c3 r c2 c2 c3
每周期的最优供货量为
R 2c1 c2 c3 r c2 c3
模型2 允许缺货的存储模型 模型求解
c2 c3 记 c3
第3章 简单的优化模型
3.1 存储模型 3.2 生猪的出售时机 3.7 冰山运输
第3章学习指导
ห้องสมุดไป่ตู้
本章介绍简单的优化模型，归结为微积 分中的函数极值问题，可以直接用微分 法求解。 首先要对实际问题作若干合理的简化假 设，确定优化的目标是什么，寻求的决 策是什么，有哪些约束条件，引入变量、 常数和函数来表示它们。 最后，在用微分法求出最优决策后，要 对结果作一些定性、定量的分析和必要 的检验。
C(T , Q) c1 T c2Q 2rT c3 rT Q 2rT
2 2
(10) (10)式为这个优化模型的目标函数， 是 T 和 Q 的二元函数。
模型2 允许缺货的存储模型 模型求解
用微分法求 T 和 Q 使(10)式的 C(T,Q)最小。令
C T 0， C Q 0
T T dT c 2 1 2c1 S (T , c 2 ) 3 c 2 c 2 dc2 T 2 c2 r c2 2c1 c2 r 0.5
模型1 不允许缺货的存储模型 敏感性分析
3. T 对 r 的敏感度
T T dT r 1 2c1 S (T , r ) r r dr T 2 c2 r 3 r 2c1 c2 r 0.5
讨论参数 c1 ，c2 ，r 的微小变化对 生产周期 T 的影响。 1. T 对 c1 的敏感度
T T dT c1 1 S (T , c1 ) c1 c1 dc1 T 2c1c2 r c1 2c1 c2 r 0.5
模型1 不允许缺货的存储模型 敏感性分析
2. T 对 c2 的敏感度
可见， c1 增加 1%，T 增加 0.5%； c2 或 r 增加 1%，T 减少 0.5%。 所以参数 c1 ，c2 ， r 的微小变化对生产周 期 T 的影响是很小的。
模型2 允许缺货的存储模型 模型假设
1.产品每天的需求量为常数 r； 2.每次生产准备费为 c1 ，每天每件产 品存储费为 c2 ； 3a. 生产能力为无限大（相对于需求 量） ，允许缺货，每天每件产品缺 货损失费为 c3 ，但缺货数量需在下 次生产（或订货）时补齐。
2 C ( T ) c T c2 r 2 0，( T 0) 由方程 1
求得最优生产周期为 最优产量为
T
2c1 c2 r
(4)
Q
2c1r c2
(5)
C 2c1c2r (6) 最小费用为 (4),(5)成为经济订货批量公式 (EOQ 公式)。
模型1 不允许缺货的存储模型 敏感性分析
模型2 允许缺货的存储模型 模型建立
因储存量不足造成缺货时，可认为 储存量函数 q(t)为负值， 周期仍记作 T， Q 是每周期初的存储量，当 t T1 T 时 q(t)＝0，于是有
q(t ) rt Q，Q rT1
(8)
模型2 允许缺货的存储模型 模型建立
在 T1 到 T 这段缺货时段内，需求 率 r 不变，q(t)按原斜率继续下降。 由于规定缺货量需补足，所以在 t＝T 时数量为 R 的产品立即到达，使下周 期初的储存量恢复到 Q．
设时刻 t 的存储量为 q(t)， 把 q(t) 视作连续函数，t=0 时生产 Q 件，储存 量 q(0)=Q，q(t)以需求速率 r 递减，直 到 q(T)=0．于是
q(t ) rt Q， Q rT
(1)
模型1 不允许缺货的存储模型 模型建立
一个周期 T 内的储存费是
c2 q(t )dt c2QT 2
，则 1 ，与不允许缺货
模型的结果(4)，(5)式比较，有 T T T， Q Q Q， R Q Q 即允许缺货时， 周期和供货量应增加， 周期初的储存量减少。 不允许缺货模型可以看成是允许缺货 模型当缺货损失费 c3 时的特例。
0 T
一个周期 T 内的总费用是
C c1 c2QT 2 c1 c2 rT 2 2
(2)
模型1 不允许缺货的存储模型 模型建立
每天的平均费用是
C(T ) C T c1 T c2rT 2
(3)
(3)式为这个优化模型的目标函 数，求 T>0 使(3)式的 C 最小。
模型1 不允许缺货的存储模型 模型求解