数学建模 简单优化模型
优化模型一：线性规划模型数学建模课件
混合整数线性规划问题求解
要点一
混合整数线性规划问题的复杂性
混合整数线性规划问题是指包含整数变量的线性规划问题 。由于整数变量的存在，混合整数线性规划问题的求解变 得更加困难，需要采用特殊的算法和技术来处理。
要点二
混合整数线性规划模型的求解方 法
为了解决混合整数线性规划问题，可以采用一些特殊的算 法和技术，如分支定界法、割平面法等。这些方法能够将 问题分解为多个子问题，并逐步逼近最优解，从而提高求 解效率。
目标函数的类型
常见的目标函数类型包括最小化、最大化等。
确定约束条件
约束条件
01
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为数学不等式
或等式。
确定约束条件的原则
02
根据问题的实际情况，选择能够反映问题约束条件的条件作为
约束条件。
约束条件的类型
03
常见的约束条件类型包括等式约束、不等式约束等。
线性规划模型的建立
也可以表示为
maximize (c^T x) subject to (A x geq b) and (x leq 0)。
线性规划的应用场景
生产计划
物流优化
在制造业中，线性规划可以用于优化生产 计划，确定最佳的生产组合和数量，以满 足市场需求并降低成本。
在物流和运输行业中，线性规划可以用于 优化运输路线、车辆调度和仓储管理，降 低运输成本和提高效率。
初始基本可行解
在线性规划问题中，一个解被称为基 本可行解，如果它满足所有的约束条 件。
在寻找初始基本可行解时，可以采用 一些启发式算法或随机搜索方法，以 快速找到一个可行的解作为起点。
初始基本可行解是线性规划问题的一 个起始点，通过迭代和优化，可以逐 渐逼近最优解。
数学建模中的优化模型
数学建模中的优化模型优化模型在数学建模中起着重要的作用。
通过优化模型，我们可以找到最优的解决方案，以满足不同的约束条件和目标函数。
本文将介绍优化模型的基本概念、常见的优化方法以及在实际问题中的应用。
让我们来了解一下什么是优化模型。
优化模型是指在给定的约束条件下，寻找使目标函数达到最大或最小的变量值的过程。
这个过程可以通过建立数学模型来描述，其中包括目标函数、约束条件以及变量的定义和范围。
在优化模型中，目标函数是我们希望最大化或最小化的指标。
它可以是一个经济指标，如利润最大化或成本最小化，也可以是一个物理指标，如能量最小化或距离最短化。
约束条件是对变量的限制，可以是等式约束或不等式约束。
变量则是我们需要优化的决策变量，可以是连续变量或离散变量。
常见的优化方法包括线性规划、非线性规划、整数规划和动态规划等。
线性规划是指目标函数和约束条件都是线性的优化模型。
它可以通过线性规划算法来求解，如单纯形法和内点法。
非线性规划是指目标函数和约束条件中包含非线性项的优化模型。
它的求解方法相对复杂，包括梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。
整数规划是指变量取值只能是整数的优化模型。
它的求解方法包括分支定界法和割平面法等。
动态规划是一种递推的优化方法，适用于具有最优子结构性质的问题。
优化模型在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在生产计划中，我们可以通过优化模型来确定最佳的生产数量和生产时间，以最大化利润或最小化成本。
在资源分配中，我们可以通过优化模型来确定最佳的资源分配方案，以最大化资源利用率或最小化资源浪费。
在交通调度中，我们可以通过优化模型来确定最短路径或最优路径，以最小化行驶时间或最大化交通效率。
优化模型还可以应用于金融投资、供应链管理、电力系统调度、网络优化等领域。
通过建立数学模型和选择合适的优化方法，我们可以在复杂的实际问题中找到最优的解决方案，提高效率和效益。
优化模型在数学建模中是非常重要的。
它通过建立数学模型和选择合适的优化方法，帮助我们找到最优的解决方案，以满足不同的约束条件和目标函数。
(完整版)数学模型姜启源-第三章(第五版)
平均每天费用950元 • 50天生产一次,每次5000件, 贮存费4900+4800+…+100 =122500元，准备费5000元，总计127500元.
平均每天费用2550元
c2 t1x x
c3 x
其中 c1,c2,c3, t1, ,为已知参数
模型求解 求 x使 C(x)最小
dC 0 dx
x
c t 2 2c t
11
21
2c 2
3
结果解释 x c1t12 2c2t1
2c32
dB
dt
/ 是火势不继续蔓延的最少队员数
x
x 0.45
0.4 0.35
0.3 0.25
0.2 0.15
0.1 0.05
0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 a
a
1
空杯质量w2取决于材料 (纸杯、塑料杯、玻璃杯).
设w2=150g 半升啤酒杯w1=500g a=0.3 x=0.3245
一杯啤酒约剩1/3时重心最低，最不容易倾倒！
问题分析与模型假设 x
w1 ~ 啤酒 (满杯) 质量
1
w2 ~空杯侧壁质量, w3 ~空杯底面质量
啤酒杯重心s(x)由啤酒重心和空杯 重心合成.
• s2=1/2 •xs(x) 液面 • s1=x/2 0
液面高度x时啤酒质量w1x, 啤酒重心位置 s1=x/2
忽略空杯底面质量w3 空杯重心位置 s2=1/2
数学建模课程内容
2
微分 3. 运用这些规律列出方程和定解条件。 HOW？ 方程 建模 采用如下一种或多种方法进行微分方程建模：
（i）按规律直接列方程 —— 在数学、力学、物理、化学等学科
中许多自然现象所满足的规律已为人们所熟悉，并直接由微分方程所描述。
（ii）微元分析法与任意区域上取积分的方法——自然
假设
建模
区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)
1）总人数N不变，病人和健康
人的 比例分别为 i(t), s(t)
SI 模型
2）每个病人每天有效接触人数
为, 且使接触的健康人致病 ~ 日接触率
N[i(t t) i(t)] [s(t)]Ni(t)t
di si
dt
s(t) i(t) 1
di dt
传染病蔓延 1/σ ~
传染病不蔓延 阈值
14
模型4 SIR模型 预防传染病蔓延的手段
传染病不蔓延的条件——s0<1/ • 提高阈值 1/ 降低 (=/)
,
(日接触率) 卫生水平
(日治愈率) 医疗水平
• 降低 s0
的估计
提高 r0
s0 i0 r0 1
s0
i0
s
1
ln s s0
27
上图中，共有三条曲线，代表三个 状态参数随时间变化的图形
上图中只出现一条曲线，此曲线代表以 三个状态参数为坐标、以时间为参数的 一条三维空间中的曲线
28
小提示： 要观看Lorenz 混沌方程随时间而变的动画， 可在MATLAB 命令窗口下执行"lorenz"命令。
29
界中也有许多现象所满足的规律是通过变量的微元之间的关系式来表达的。 可是通过微元分析法，利用已知的规律建立一些变量（自变量与未知函数） 的微元之间的关系式，然后再通过取极限的方法得到微分方程，或等价地 通过任意区域上取积分的方法来建立微分方程。
数学建模 四大模型总结
四类基本模型1 优化模型1.1 数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。
1.2 微分方程组模型阻滞增长模型、SARS 传播模型。
1.3 图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。
1.4 概率模型决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov 链模型。
1.5 组合优化经典问题● 多维背包问题(MKP)背包问题：n 个物品，对物品i ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何将尽可能多的物品装入背包。
多维背包问题：n 个物品，对物品i ，价值为i p ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。
多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。
该问题属于NP 难问题。
● 二维指派问题(QAP)工作指派问题：n 个工作可以由n 个工人分别完成。
工人i 完成工作j 的时间为ij d 。
如何安排使总工作时间最小。
二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n 台机器要布置在n 个地方，机器i 与k 之间的物流量为ik f ，位置j 与l 之间的距离为jl d ，如何布置使费用最小。
二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。
● 旅行商问题(TSP)旅行商问题：有n 个城市，城市i 与j 之间的距离为ij d ，找一条经过n 个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。
● 车辆路径问题(VRP)车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n 个客户的位置坐标和货物需求，在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。
TSP 问题是VRP 问题的特例。
● 车间作业调度问题(JSP)车间调度问题：存在j 个工作和m 台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。
数学建模论文--优化模型（完整版）
会议筹备的优化模型摘要：本文针对会议筹备过程中的有关问题，从经济、方便、代表满意等方面，为会议筹备组制定一个预订宾馆客房、租借会议室、租用客车的合理方案。
在尚不知道实际参加会议人数的情况下，我们根据以往几届会议代表回执和与会情况（详见附表3），通过Excel进行数据拟合，建立起指数函数拟合，从而预测出本届会议代表的实际参加人数。
我们把整个会议筹备方案分成三个子方案，即预订宾馆客房方案、租借会议室方案、租用客车方案。
在满足经济、方便、代表满意这三个方面的前提下，对其逐一进行解决，最后再进行汇总，即可得到我们所需要的会议筹备方案。
以下是本文的简要流程。
首先，我们根据附表2，分析了本届会议的代表回执中有关住房要求的信息，运用比例权重的方法，确定每一类型住房要求所占的权重，从而得出本届会议代表每一类型住房的房间个数。
其次，我们通过对附表2进行统计分析，运用比例权重的方法，计算出附表2中各项住房要求所占的权重，得出每一项住房要求在总体中所占的比例。
再依据假设7，可得到实际参加会议代表的不同类型住房的人数，从而解决了住房要求的问题。
在确定不同类型住房的人数的情况下，考虑各代表的满意度及路程上的远近，从经济的角度出发，从低价选起，对备选的10家宾馆进行筛选，即可得出预订宾馆客房方案。
接着，对于租借会议室方案，我们运用0-1规划的方法来进行解决。
通过考虑第i个宾馆第j种会议室和第i个宾馆第j种会议室的价格之间的关系，以及有关的约束条件，将目标函数设为租借会议室的费用达到最低，然后运用LINDO 求解，即可得到租借会议室的最优方案。
最后，关于租用客车方案，我们考虑了代表满意度和租车费用之间的动态平衡，采取就近原则策略，运用初等数学知识，确定需要达到各宾馆的人数。
并以此为租用客车方案的理论人数依据，得到租用客车的优化方案。
关键字：指数函数拟合，0-1规划模型，最优方案，会议筹备1.问题重述某市的一家会议服务公司负责承办某专业领域的一届全国性会议，会议筹备组要为与会代表预订宾馆客房，租借会议室，并租用客车接送代表。
数学建模：第五章 运筹与优化模型
max c j x j
n
s.t aij x j bi
j 1
n
j 1
i 1.2 m
xj 0
j 1.2 n
8
二、整数规划模型
n min f c j x j j 1 n aij x j bi j 1 x j 0
对于线性规划：
22
二、货机装运
问题 某架货机有三个货舱：前仓、中仓、后仓。三个 货舱所能装载的货物的最大重量和体积都有限制，如表 3所示。并且，为了保持飞机的平衡，三个货舱中实际 装载货物的重量必须与其最大容许重量成比例。
重量限制 （吨）
前仓 中仓 后仓 10 16 8 6800 8700 5300
体积限制 （米3）
5
解：设x ij 表示 Ai (i=1.2)煤厂提供给 B j （j=1.2.3)居民区的煤量； f表示总运输费 此问题归结为：
min f 10 x11 5 x12 6 x13
s.t
x11 x12 x13 60 x21 x22 x23 100 x11 x21 50
s.t gi ( X ) 0
hi ( X ) 0
(1)
(2)
(3)
i 1,2,, m .
j 1,2,, l .
X D
其中X ( x1 , x2 ,, xn )T , D R n为可行集
f(X)为目标函数，(2)、(3)为约束条件， (2)为不等式约束，(3)为等式约束； 若只有(1)称为无约束问题。
max f x1 x2 15 x1 12 x2 85 如 5 x1 11 x , x 0 1 2 x1 , x2 为整数
数学建模组合优化模型
数学建模组合优化模型数学建模是一种将实际问题转化为数学模型，并通过数学方法进行求解的技术。
在实际应用中，很多问题都可以使用组合优化模型来描述和解决。
组合优化模型主要研究如何在给定的约束条件下，找到最优的组合方式。
组合优化模型最早出现在20世纪50年代，当时主要应用于军事领域。
随着计算机技术的发展和应用范围的扩大，组合优化模型的研究逐渐扩展到了经济、交通、电力、通信等各个领域。
组合优化模型的基本思想是将问题抽象为一个图或者网络，通过定义合适的目标函数和约束条件，寻找使得目标函数最优的节点或者路径。
在组合优化模型中，最常见的问题包括最短路径问题、旅行商问题、背包问题、任务调度问题等。
在组合优化模型中，最常见的方法是枚举法、贪心法、动态规划法和分支定界法等。
枚举法是最简单的方法，它逐个考虑每种组合情况，然后计算出目标函数的值，并找出最优解。
贪心法是一种局部最优的方法，它每次都选择使得目标函数最优的节点或者路径，然后不断迭代直到找到最优解。
动态规划法是一种通过将问题划分成若干个子问题，并通过求解子问题的最优解得到原问题的最优解的方法。
分支定界法是一种通过将问题划分成若干个子问题，并剪枝掉不可能成为最优解的子问题，从而找到最优解的方法。
为了解决组合优化模型，需要建立合适的数学模型，并采用适当的求解方法。
建立数学模型的过程主要包括以下几步：明确问题目标、确定决策变量、建立目标函数、建立约束条件。
在建立模型的过程中，需要根据实际问题的特点选择合适的模型和方法。
总之，组合优化模型是一种将实际问题抽象为数学模型，并通过数学方法进行求解的技术。
组合优化模型已经广泛应用于各个领域，并取得了很多重要的成果。
未来，随着计算机技术的进一步发展和应用需求的不断增加，组合优化模型将会发挥越来越重要的作用。
数学建模作业---优化模型
P104页，复习题题目：考虑以下“食谱问题"：某学校为学生提供营养套餐，希望以最小的费用来满足学生对基本营养的需求按照营养学家的建设，一个人一天要对蛋白质，维生素A和钙的需求如下：50g蛋白质、4000IU维生素A和1000mg的钙，我们只考虑以不食物构成的食谱：苹果，香蕉，胡萝卜，枣汁和鸡蛋，其营养含量见下表。
制定食谱，确定每种食物的用量，以最小费用满足营养学家建议的营养需求，并考虑：（1）对维生素A的需求增加一个单位时是否需要改变食谱？成本增加多少？如果对蛋白质的需求增加1g呢？如果对钙的需求增加1mg呢？（2）胡萝卜的价格增加Ⅰ角时，是否需要改变食谱？成本增加多少？问题分析：（1）此优化问题的目标是使花费最小.（2）所做的决策是选择各种食物的用量，即用多少苹果，香蕉，胡萝卜，枣汁，鸡蛋来制定食谱。
（3）决策所受限制条件：最少应摄入的蛋白质、维生素和钙的含量（4）设置决策变量：用x1表示苹果的个数、x2表示香蕉的个数、x3表示胡萝卜的个数、x4表示枣汁的杯数量、x5表示鸡蛋的个数（5）x1个苹果花费10·x1角x2个香蕉花费15·x2角x3个胡萝卜花费5·x3角x4杯枣汁花费60·x4角x5个鸡蛋花费8·x5角目标函数为总花费金额：z=10·x1+15·x2+5·x3+60·x4+8·x5 (角)（6）约束条件为：最少摄入蛋白质的含量：0.3x1+1.2x2+0.7x3+3.5x4+5.5x5≥50最少摄入维生素A的含量：73x1+96x2+20253x3+890x4+279x5≥4000最少摄入钙的含量：10x1+15x2+5x3+60x4+8x5≥1000非负约束：x 1,x 2,x 3,x 4,x 5≥0优化模型：minz =10x 1+15x 2+5x 3+60x 4+8x 5s.t. 0.3x 1+1.2x 2+0.7x 3+3.5x 4+5.5x 5≥5073x 1+96x 2+20253x 3+890x 4+279x 5≥4000 9.6x 1+7x 2+19x 3+57x 4+22x 5≥1000 x 1,x 2,x 3,x 4,x 5≥0由线性规划模型的定义，容易得到线性规划的性质：1. 比例性 每个决策变量的对目标函数的“贡献”与该决策变量的取值成正比；每个决策变量对每个约束条件右端项的“贡献”，与该决策变量的取值成正比.2. 可加性 各个决策变量对目标函数的“贡献”，与其他决策变量的取值无关；各个决策变量对每个约束条件右端项的“贡献”，与其他决策变量的取值无关.3. 连续性 每个决策变量的取值是连续的. 考察本题，实际上隐含下面的假设 ：1.购买苹果、香蕉、胡萝卜、枣汁、鸡蛋每个（杯）的花费是与各自的用量无关的常数；苹果、香蕉、胡萝卜、枣汁、鸡蛋每个（杯）所包含的蛋白质、维生素、钙的含量是与各自的用量无关的常数.（线性规划性质1—比例性）2.购买苹果、香蕉、胡萝卜、枣汁、鸡蛋每个（杯）的花费是与它们相互间用量无关的常数；苹果、香蕉、胡萝卜、枣汁、鸡蛋每个（杯）所包含的蛋白质、维生素A 、钙的含量是与它们相互间的用量无关的常数. （线性规划性质2—可加性）3. 购买苹果、香蕉、胡萝卜、枣汁、鸡蛋的数量都是实数. (线性规划性质3—连续性) 模型求解：（决策变量是5维的，不适用图解法求解模型）软件求解：线性规划模型：min z=10x1+15x2+5x3+60x4+8x5s.t. 0.3x1+1.2x2+0.7x3+3.5x4+5.5x5≥5073x1+96x2+20253x3+890x4+279x5≥40009.6x1+7x2+19x3+57x4+22x5≥1000x1,x2,x3,x4,x5≥0模型全局最优解：(Global optimal solution)x1=0x2=0x3=49.38272x4=0x5=2.805836z的最优值为269.3603角用LINGO 软件求解，得到如下输出：结果分析：1. 3个约束条件的右端项可视为3种资源：蛋白质含量、维生素A 含量、钙含量.LINGO 的输出项Row Slack or Surplus ，给出了3种资源在最优解下的剩余.2.目标函数可视为“支出（成本）”，紧约束的“资源”增加1单位时，“支出”的增加由LINGO 的输出项 Dual Price 给出。
数学建模中的模型优化与参数校准
数学建模中的模型优化与参数校准数学建模是解决实际问题的一个重要手段，通过对实际问题进行抽象和建模，可以利用数学方法求解问题并得到结果。
模型的优化和参数校准是数学建模过程中的两个重要的环节，本文将对这两个环节进行详细的探讨。
一、模型优化模型优化是指对已有的模型进行改进，使其更加适合于解决实际问题。
在实际应用中，我们往往会发现原有的模型存在一些缺陷，或者不能满足我们的需求，这时就需要对模型进行优化。
模型优化的方法很多，常用的方法包括参数调整、模型结构调整、数据采集等。
其中，参数调整是最常用的方法之一。
在建立模型时，我们往往需要确定一些参数，这些参数对模型的性能有着重要的影响。
如果模型的参数选择不合适，那么模型的预测结果可能会偏差较大。
因此，在实际应用中，我们需要对模型的参数进行调整，以获得更好的预测效果。
模型参数的调整通常有两种方法，一种是手动调节，另一种是自动调节。
手动调节的方式需要根据实际经验和知识对参数进行调整，这种方法虽然简单，但存在人为主观性较强的问题。
自动调节的方式则通过计算机算法自动调整模型参数，可以较好地解决人为主观性较强的问题，并且可以快速找到最优的参数组合，提高模型的预测精度。
另外，模型结构调整也是模型优化的一个重要方法。
模型的结构可以根据实际问题进行调整，例如，可以增加一些变量来改进模型的预测效果。
此外，数据采集也是模型优化的一个重要环节，通过增加更多的数据可以提高模型的预测精度，但同时也需要保证数据的质量和可靠性。
二、参数校准参数校准是指对模型中的参数进行调整，使得模型更加符合实际情况。
在实际应用中，我们往往需要将模型对实际问题进行预测，而模型中的参数是根据历史数据确定的，这些参数未必完全适用于实际问题。
因此，我们需要对模型中的参数进行校准，以获得更准确的预测结果。
参数校准通常需要依赖于实验数据，通过实验数据对模型中的参数进行调整，以获得更符合实际情况的模型。
参数校准的方法很多，常用的方法包括随机搜索、改进的遗传算法、模拟退火算法等。
数学建模第二讲：简单的优化模型
B1的右边 (
A2B2过Q1点 ).
l2在l1上？ 如果l2在l1上方，Q2的效用函数值将大于Q1, l2在l1下？ 对消费者来说征收入税比征销售税好.
例2 价格补贴给生产者还是消费者
政府为鼓励商品的生产或者减少消费者的负担所采取的
两种价格补贴办法：
补贴前的消费点Q(x1*, x2*)
• 把补贴款直接给生产者 ~自然鼓励商品生产,对消费者无影响
优化模型
简单的优化模型
--静态优化模型
3.1 存贮模型
3.2 消费者的选择
3.3 生产者的决策
简单的优化模型(静态优化)
• 现实世界中普遍存在着优化问题. • 静态优化问题指最优解是数(不是函数). • 建立静态优化模型的关键之一是根据
建模目的确定恰当的目标函数. • 求解静态优化模型一般用微分法.
定性分析 c1 T,Q c2 T,Q r T ,Q 敏感性分析 参数c1,c2, r的微小变化对T,Q的影响
T对c1的(相 对)敏感度
S (T , c1)
ΔT /T Δ c1 / c1
dT dc1
c1 T
1 2
c1增加1%, T增加0.5%
S(T,c2)=–1/2, S(T,r)=–1/2 c2或r增加1%, T减少0.5%
模型应用 T 2 c1
rc 2
Q rT 2c1r c2
• 回答原问题 c1=5000, c2=1，r=100
T=10(天), Q=1000(件), C=1000(元)
思考: 为什么与前面计算的C=950元有差别?
• 用于订货供应情况: 每天需求量 r，每次订货费 c1, 每天每件贮存费 c2 , T天订货一次(周期), 每次订货Q 件，当贮存量降到零时，Q件立即到货.
数学建模中的优化模型
数学建模中的优化模型发展前景
01
随着大数据和人工智能技术的快速发展，优化模型的应用领域将进一 步扩大。
02
优化模型将与机器学习、深度学习等算法结合，实现更加智能化的决 策支持。
03
优化模型将面临更多大规模、复杂问题的挑战，需要发展更加高效、 稳定的算法和求解技术。
04
优化模型将与可持续发展、环境保护等社会问题结合，为解决全球性 挑战提供解决方案。
优化模型的应用领域
工业生产
金融投资
优化模型在工业生产中广泛应用于生产计 划、工艺流程、资源配置等方面，以提高 生产效率和降低成本。
优化模型在金融投资领域中用于资产配置 、风险管理、投资组合等方面，以实现最 优的投资回报和风险控制。
交通运输
科学研究
优化模型在交通运输领域中用于路线规划 、车辆调度、物流配送等方面，以提高运 输效率和降低运输成本。
，为决策提供依据。
优化模型在实际应用中需要考虑各种约束条件和目标 函数，同时还需要处理大规模数据和复杂问题。
优化模型在数学建模中占据重要地位，用于解 决各种实际问题，如生产计划、物流运输、金 融投资等。
优化模型有多种类型，包括线性规划、非线性规 划、动态规划、整数规划等，每种类型都有其适 用的场景和特点。
非线性规划模型
非线性规划模型的定义与特点
总结词
非线性规划模型是一种数学优化模型，用于解决目标函数和约束条件均为非线性函数的 问题。
详细描述
非线性规划模型通常由目标函数、约束条件和决策变量三个部分组成。目标函数是要求 最小化或最大化的非线性函数，约束条件可以是等式或不等式，决策变量是问题中需要 优化的未知数。非线性规划模型的特点在于其非线性性，即目标函数和约束条件不能用
数学建模之优化模型
数学建模之优化模型在我们的日常生活和工作中，优化问题无处不在。
从如何规划一条最短的送货路线，到如何安排生产以最小化成本并最大化利润，从如何分配资源以满足不同的需求，到如何设计一个系统以达到最佳的性能，这些都涉及到优化的概念。
而数学建模中的优化模型，就是帮助我们解决这些复杂问题的有力工具。
优化模型，简单来说，就是在一定的约束条件下，寻求一个最优的解决方案。
这个最优解可以是最大值，比如利润的最大化；也可以是最小值，比如成本的最小化；或者是满足特定目标的最佳组合。
为了更好地理解优化模型，让我们先来看一个简单的例子。
假设你有一家小工厂，生产两种产品 A 和 B。
生产一个 A 产品需要 2 小时的加工时间和 1 个单位的原材料，生产一个 B 产品需要 3 小时的加工时间和 2 个单位的原材料。
每天你的工厂有 10 小时的加工时间和 8 个单位的原材料可用。
A 产品每个能带来 5 元的利润，B 产品每个能带来 8 元的利润。
那么，为了使每天的利润最大化，你应该分别生产多少个A 产品和 B 产品呢？这就是一个典型的优化问题。
我们可以用数学语言来描述它。
设生产 A 产品的数量为 x，生产 B 产品的数量为 y。
那么我们的目标就是最大化利润函数 P ＝ 5x ＋ 8y。
同时，我们有加工时间的约束条件 2x ＋3y ≤ 10，原材料的约束条件 x ＋2y ≤ 8，以及 x 和 y 都必须是非负整数的约束条件。
接下来，我们就可以使用各种优化方法来求解这个模型。
常见的优化方法有线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划等等。
对于上面这个简单的例子，我们可以使用线性规划的方法来求解。
线性规划是一种用于求解线性目标函数在线性约束条件下的最优解的方法。
通过将约束条件转化为等式，并引入松弛变量，我们可以将问题转化为一个标准的线性规划形式。
然后，使用单纯形法或者图解法等方法，就可以求出最优解。
在这个例子中，通过求解线性规划问题，我们可以得到最优的生产方案是生产 2 个 A 产品和 2 个 B 产品，此时的最大利润为 26 元。
数学建模中的模型评价与优化
数学建模中的模型评价与优化在数学建模中，模型评价和优化是不可或缺的步骤。
模型评价旨在评估所构建数学模型的准确性和可靠性，而模型优化则旨在找到最优解或使模型的性能达到最佳状态。
本文将探讨数学建模中的模型评价和优化的重要性以及常用的方法和技巧。
1. 模型评价模型评价是数学建模过程中的关键一步。
它的目的是衡量模型的准确性和可靠性，以确定该模型是否能够有效地解决现实问题。
以下是一些常用的模型评价方法：1.1 准确性评估准确性评估是评价模型预测结果与实际观测值之间的吻合程度。
常见的准确性评估指标包括均方根误差（RMSE）、平均绝对误差（MAE）和决定系数（R-squared）。
通过计算这些指标，可以评估模型在不同数据集上的预测能力。
1.2 稳定性评估稳定性评估是评价模型对输入数据的变化的敏感程度。
模型应该对于轻微的数据扰动不敏感，以确保其可靠性和鲁棒性。
可以使用灵敏度分析、蒙特卡洛模拟等方法来评估模型的稳定性。
1.3 可解释性评估可解释性评估是评价模型的可解释性和可理解性。
模型应该能够提供直观的解释和解释其预测结果的原因。
一些方法，如局部敏感度分析和决策树，可以帮助评估模型的可解释性。
2. 模型优化模型优化旨在找到最优解或使模型的性能达到最佳状态。
模型优化常用的方法包括以下几种：2.1 参数优化参数优化是通过调整模型中的参数来最小化或最大化某个指标。
常见的参数优化方法包括梯度下降法、遗传算法和模拟退火算法等。
通过寻找最优参数组合，可以使模型的性能得到提升。
2.2 约束优化约束优化是在考虑某些限制条件下，寻找使目标函数达到最优的变量值。
常见的约束优化方法包括线性规划、整数规划和非线性规划等。
约束优化可以用于解决实际问题中的资源分配、路径规划等问题。
2.3 多目标优化多目标优化是在存在多个相互竞争的目标的情况下，寻找一组最优解。
常见的多目标优化方法包括多目标遗传算法和多目标粒子群优化等。
多目标优化可以用于解决实际问题中的多目标决策和多目标规划等。
第三章 无约束优化模型
每天总费用平均 值（目标函数）
~ C c1 c2 rT C (T ) T T 2
模型求解
dC 0 dT
c1 c2 rT Min 求 T 使 C (T ) T 2
T 2c1 rc2
Q rT
2c1r c2
模型分析
c1 T , Q
模型应用
• 回答问题
c2 T , Q
2.根据决策变量的性质
静态问题和动态问题。
3.根据目标函数和约束条件表达式的性质
线性规划，非线性规划， 二次规划，多目标规划等。
（1）非线性规划
目标函数和约束条件中，至少有一个非线性函数。
min u f ( x) x
s. t. hi ( x) 0, i 1,2,...,m.
gi ( x) 0( gi ( x) 0),i 1,2,..., p.
Q~每周期初的存贮量
每周期的生产量 R （或订货量）
R rT
2c1r c2 c3 c2 c3
R Q Q Q~不允许缺货时的产量(或订货量)
案例2
生猪的最佳销售时机
问 饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设 题 备，估计可使80千克重的生猪体重增加2公斤。
市场价格目前为每千克8元，但是预测每天会降 低 0.1元，问生猪应何时出售。 如果估计和预测有误差，对结果有何影响。
2c1 c2 c3 rc2 c3
Q
2c1r c3 c2 c2 c3
允许 2c1 c2 c3 T ' 缺货 rc2 c3 模型 2c1r c3
Q'
c2 c2 c3
不允 许缺 货模 型
T
优化模型
MIN 66.8x11+75.6x12+87x13+58.6x14 +… … +67.4x51+71 x52+83.8x53+62.4x54 SUBJECT TO x11+x12+x13+x14 <=1 …… x41+x42+x43+x44 <=1 x11+x21+x31+x41+x51 =1 …… x14+x24+x34+x44+x54 =1 END INT 20
最优化模型
主讲人
张兴永
1
最优化模型
在数学建模竞赛中，经常会遇到有关最优化问题， 下面介绍几个简单的最优化模型。 最优化模型是在解决实际问题中应用最广泛的模 型之一，它涉及面广、内容丰富，且随着计算机的发 展，解决问题的范围越来越宽。一般地，人们做的任 何一件事情，小的如日常生活、学习工作等，大的如 工农业生产，国防建设及科学研究等，为了达到预先 设想的目的，都要做计划，选择好的方案，进行优化 处理。最优化模型主要有线性规划模型、整数规划模 型、非线性规划模型、动态规划模型等。
这样把多目标规划变成一个目标的线性规划，下 面给出三个单目标优化模型：
24
1、在实际投资中，投资者承受风险的程度不一样， 若给定风险一个界限a，使最大的一个风险qixi/M≤a， 可找到相应的投资方案。 模型1 固定风险水平，优化收益 目标函数：Q=max (ri pi ) xi i 0 约束条件： q x ≤a
9
问题二 混合泳接力队的选拔
5名候选人的百米成绩
蝶泳 仰泳 蛙泳 自由泳 甲 1’06”8 1’15”6 1’27” 58”6 乙 57”2 1’06” 1’06”4 53” 丙 1’18” 1’07”8 1’24”6 59”4 丁 1’10” 1’14”2 1’09”6 57”2 戊 1’07”4 1’11” 1’23”8 1’02”4
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Q (t ) = p (t ) w(t ) − 4t
Q ′( t ) = 0
p ′( t ) w ( t ) + p ( t ) w ′( t ) = 4
每天利润的增值 每天投入的资金
保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售 由 S(t,r)=3 若 1.8 ≤ w′ ≤ 2.2(10%), 则 7 ≤ t ≤ 13 30%） （ ） 建议过一周后(t=7)重新估计 p , p ′, w , w ′ , 再作计算。 重新估计 再作计算。 建议过一周后
T = 2 c1 rc 2
2c1r Q = rT = c2
模型分析
c1 ↑⇒ T,Q↑
模型应用
• 回答问题
c2 ↑ ⇒ T, Q ↓
r ↑ ⇒T ↓, Q ↑
c1=5000, c2=1，r=100 ， T=10(天), Q=1000(件), C=1000(元) 天 件 元
• 经济批量订货公式（EOQ公式） 经济批量订货公式（ 公式） 公式
Q = rT
一周期贮存费为
0
T
t
2
c2 ∫0 q (t ) dt = c2 A
T
Q rT 一周期 ~ C = c1 + c2 T = c1 + c2 总费用 2 2
~ C c1 c 2 rT C (T ) = = + T T 2
每天总费用平均 目标函数） 值（目标函数）
模型求解
dC =0 dT
c1 c2 rT → Min 求 T 使C (T ) = + T 2
∂C ∂C = 0, =0 ∂T ∂Q
为与不允许缺货的存贮模型 为与不允许缺货的存贮模型 相比， 记作 记作T 记作Q 相比，T记作 ’, Q记作 ’ 记作
2c1 c2 + c3 T′ = rc2 c3
2c1r c3 Q′ = c2 c2 + c3
允许 2c1 c2 + c3 T '= rc2 c3 缺货 模型 2c1r c3 Q' = c 2 c 2 + c3
3.1
问题
存贮模型
配件厂为装配线生产若干种产品， 配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设 备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。 备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂 生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。 生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。 已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费 件 生产准备费 已知某产品日需求量 元 每日每件1元 试安排该产品的生产计划， 每日每件 元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产 一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。 ），每次产量多少 一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。 不只是回答问题，而且要建立生产周期、 要 不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与 需求量、准备费、贮存费之间的关系。 求 需求量、准备费、贮存费之间的关系。
建模目的
已知， 使每天总费用的平均值最小。 设 r, c1, c2 已知，求T, Q 使每天总费用的平均值最小。
模型建立
离散问题连续化
q
贮存量表示为时间的函数 q(t) t=0生产 件，q(0)=Q, q(t)以 生产Q件 生产 以 需求速率r递减 递减， 需求速率 递减，q(T)=0.
Q r
A=QT/2
问题分析与思考
日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件 元。 件 准备费 日需求 元 贮存费每日每件1元 • 每天生产一次，每次 每天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费 件 无贮存费，准备费5000元。 元
每天费用5000元 元 每天费用
• 10天生产一次，每次 天生产一次， 天生产一次 每次1000件，贮存费 件 贮存费900+800+…+100 =4500 准备费5000元，总计 元，准备费 元 总计9500元。 元
原模型假设：贮存量降到零时 件 原模型假设：贮存量降到零时Q件 立即生产出来(或立即到货 或立即到货) 立即生产出来 或立即到货
0
现假设：允许缺货, 每天每件缺货损失费 c3 , 缺货需补足 现假设：允许缺货
周期T, 周期 t=T1贮存量降到零 一周期 贮存费 一周期 缺货费
c2 ∫0 q (t )dt = c2 A
3.2 生猪的出售时机
饲养场每天投入4元资金 用于饲料、人力、 元资金， 问 饲养场每天投入 元资金，用于饲料、人力、设 题 备，估计可使 千克重的生猪体重增加 公斤。 估计可使 千克重的生猪体重增加2公斤 可使80千克重的生猪体重增加 公斤。 市场价格目前为每千克8元 但是预测每天会降 市场价格目前为每千克 元，但是预测每天会降 预测 低 0.1元，问生猪应何时出售。 元 问生猪应何时出售。 如果估计和预测有误差，对结果有何影响。 如果估计和预测有误差，对结果有何影响。 估计 有误差 投入资金使生猪体重随时间增加， 分 投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随 析 时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大 时间减少，故存在最佳出售时机，
Q (t ) = (8 − gt )(80 + rt ) − 4t
4r − 40 g − 2 t= =10 rg
10天后出售，可多得利润20元 天后出售，可多得利润 元 天后出售
敏感性分析
4r − 40 g − 2 t= rg
估计r=2， 估计 ， g=0.1
研究 r, g变化时对模型结果的影响 变化时对模型结果的影响 • 设g=0.1不变 不变
不允 许缺 货模 型
T =
2 c1 rc 2
2c1r Q = rT = c2
记
µ=
c 2 + c3 c3
T ′ = µT ,
Q′ =
Q
µ
不 允 许 缺 货
µ >1
T '> T , Q '< Q
c3 ↑ ⇒ µ ↓
c3 → ∞ ⇒ µ →1
T ′ → T , Q′ → Q
允许 缺货 模型
2c1 c2 + c3 T′ = rc2 c3
问题分析与思考
• 周期短，产量小 周期短， • 周期长，产量大 周期长， 贮存费少， 贮存费少，准备费多 准备费少， 准备费少，贮存费多
存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和） 存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小 • 这是一个优化问题，关键在建立目标函数。 这是一个优化问题，关键在建立目标函数。 显然不能用一个周期的总费用作为目标函数
建模及求解
估计r=2， 估计 ， g=0.1 若当前出售，利润为 × 若当前出售，利润为80×8=640（元） （ t天 出售 生猪体重 w=80+rt 出售价格 p=8-gt 销售收入 R=pw 资金投入 C=4t
利润 Q=R-C=pw -C 求 t 使Q(t)最大 最大 Q(10)=660 > 640
用于订货、供应、 用于订货、供应、存贮情形 每天需求量 r，每次订货费 c1,每天每件贮存费 c2 ， ， 每天每件贮存费 T天订货一次 周期 每次订货 件，当贮存量降到 天订货一次(周期 每次订货Q件 天订货一次 周期), 零时， 件立即到货 件立即到货。 零时，Q件立即到货。
T =
2 c1 rc 2
问题 分析
记队员人数x, 失火时刻 开始救火时刻t 记队员人数 失火时刻t=0, 开始救火时刻 1, 灭火时刻t 时刻t森林烧毁面积 森林烧毁面积B(t). 灭火时刻 2, 时刻 森林烧毁面积
• 损失费 1(x)是x的减函数 由烧毁面积 2)决定 损失费f 的减函数, 决定. 是 的减函数 由烧毁面积B(t 决定 • 救援费 2(x)是x的增函数 由队员人数和救火时间决定 救援费f 的增函数, 是 的增函数 由队员人数和救火时间决定. 存在恰当的x， 存在恰当的 ，使f1(x), f2(x)之和最小 之和最小
第三章 简单的优化模型
3.1 3.2 3.3 3.4 存贮模型 生猪的出售时机 森林救火 最优价格
3.5 血管分支 3.6 消费者均衡 3.7 冰山运输
静 态 优 化 模 型
• 现实世界中普遍存在着优化问题 • 静态优化问题指最优解是数 不是函数 静态优化问题指最优解是数(不是函数 不是函数) • 建立静态优化模型的关键之一是根 据建模目的确定恰当的目标函数 • 求解静态优化模型一般用微分法
平均每天费用950元 元 平均每天费用
• 50天生产一次，每次 天生产一次， 天生产一次 每次5000件，贮存费 件 贮存费4900+4800+…+100 =122500元，准备费 元 准备费5000元，总计 元 总计127500元。 元
平均每天费用2550元 元 平均每天费用 10天生产一次平均每天费用最小吗? 10天生产一次平均每天费用最小吗? 天生产一次平均每天费用最小吗
40r − 60 t= , r ≥ 1.5 r
20
t 对r 的（相对）敏感度 相对）
t
15 10 5 0 1.5
∆ t / t dt r S (t , r ) = ≈ ∆ r / r dr t 60 S (t , r ) ≈ =3 40 r − 60
2
2.5
r
3
生猪每天体重增加量r 增加1%，出售时间推迟 生猪每天体重增加量 增加 ，出售时间推迟3%。 。
问题 分析
• 关键是对 关键是对B(t)作出合理的简化假设 作出合理的简化假设. 作出合理的简化假设 失火时刻t=0, 开始救火时刻 1, 灭火时刻 2, 开始救火时刻t 灭火时刻t 失火时刻 森林烧毁面积B(t)的大致图形 画出时刻 t 森林烧毁面积 的大致图形
2c1r Q = rT = c2
不允许缺货的存贮模型 • 问：为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？ 为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？