数学建模 简单优化模型

3 S (t , g ) = − = −3 3 − 20 g
10
0 0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
g 0.16
生猪价格每天的降低量g增加 ，出售时间提前3%。 生猪价格每天的降低量 增加1%，出售时间提前 增加 。
强健性分析
研究 r, g不是常数时对模型结果的影响 不是常数时对模型结果的影响 w=80+rt →w = w(t) p=8-gt → p =p(t)
建模及求解
估计r=2， 估计 ， g=0.1 若当前出售，利润为 × 若当前出售，利润为80×8=640（元） （ t天 出售 生猪体重 w=80+rt 出售价格 p=8-gt 销售收入 R=pw 资金投入 C=4t
利润 Q=R-C=pw -C 求 t 使Q(t)最大 最大 Q(10)=660 > 640
40r − 60 t= , r ≥ 1.5 r
20
t 对r 的（相对）敏感度 相对）
t
15 10 5 0 1.5
∆ t / t dt r S (t , r ) = ≈ ∆ r / r dr t 60 S (t , r ) ≈ =3 40 r − 60
2
2.5
r
3
生猪每天体重增加量r 增加1%，出售时间推迟 生猪每天体重增加量 增加 ，出售时间推迟3%。 。
Q (t ) = p (t ) w(t ) − 4t
Q ′( t ) = 0
p ′( t ) w ( t ) + p ( t ) w ′( t ) = 4
每天利润的增值 每天投入的资金
保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售 由 S(t,r)=3 若 1.8 ≤ w′ ≤ 2.2(10%), 则 7 ≤ t ≤ 13 30%） （ ） 建议过一周后(t=7)重新估计 p , p ′, w , w ′ , 再作计算。 重新估计 再作计算。 建议过一周后
问题分析与思考
日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件 元。 件 准备费 日需求 元 贮存费每日每件1元 • 每天生产一次，每次 每天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费 件 无贮存费，准备费5000元。 元
每天费用5000元 元 每天费用
• 10天生产一次，每次 天生产一次， 天生产一次 每次1000件，贮存费 件 贮存费900+800+…+100 =4500 准备费5000元，总计 元，准备费 元 总计9500元。 元
Q (t ) = (8 − gt )(80 + rt ) − 4t
4r − 40 g − 2 t= =10 rg
10天后出售，可多得利润20元 天后出售，可多得利润 元 天后出售
敏感性分析
4r − 40 g − 2 t= rg
估计r=2， 估计 ， g=0.1
研究 r, g变化时对模型结果的影响 变化时对模型结果的影响 • 设g=0.1不变 不变
目标函数——每天总费用的平均值 每天总费用的平均值 目标函数
模型假设
1. 产品每天的需求量为常数 r； ； 2. 每次生产准备费为 c1, 每天每件产品贮存费为 c2； 3. T天生产一次（周期）, 每次生产 件，当贮存量 天生产一次（ 天生产一次 周期） 每次生产Q件 为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）； 件产品立即到来（ 为零时， 件产品立即到来 生产时间不计）； 4. 为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。 为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。
Q = rT
一周期贮存费为
0
T
t
2
c2 ∫0 q (t ) dt = c2 A
T
Q rT 一周期 ~ C = c1 + c2 T = c1 + c2 总费用 2 2
~ C c1 c 2 rT C (T ) = = + T T 2
每天总费用平均 目标函数） 值（目标函数）
模型求解
dC =0 dT
c1 c2 rT → Min 求 T 使C (T ) = + T 2
建模目的
已知， 使每天总费用的平均值最小。 设 r, c1, c2 已知，求T, Q 使每天总费用的平均值最小。
模型建立
Leabharlann Baidu
离散问题连续化
q
贮存量表示为时间的函数 q(t) t=0生产 件，q(0)=Q, q(t)以 生产Q件 生产 以 需求速率r递减 递减， 需求速率 递减，q(T)=0.
Q r
A=QT/2
第三章 简单的优化模型
3.1 3.2 3.3 3.4 存贮模型 生猪的出售时机 森林救火 最优价格
3.5 血管分支 3.6 消费者均衡 3.7 冰山运输
静 态 优 化 模 型
• 现实世界中普遍存在着优化问题 • 静态优化问题指最优解是数 不是函数 静态优化问题指最优解是数(不是函数 不是函数) • 建立静态优化模型的关键之一是根 据建模目的确定恰当的目标函数 • 求解静态优化模型一般用微分法
3.2 生猪的出售时机
饲养场每天投入4元资金 用于饲料、人力、 元资金， 问 饲养场每天投入 元资金，用于饲料、人力、设 题 备，估计可使 千克重的生猪体重增加 公斤。 估计可使 千克重的生猪体重增加2公斤 可使80千克重的生猪体重增加 公斤。 市场价格目前为每千克8元 但是预测每天会降 市场价格目前为每千克 元，但是预测每天会降 预测 低 0.1元，问生猪应何时出售。 元 问生猪应何时出售。 如果估计和预测有误差，对结果有何影响。 如果估计和预测有误差，对结果有何影响。 估计 有误差 投入资金使生猪体重随时间增加， 分 投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随 析 时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大 时间减少，故存在最佳出售时机，
∂C ∂C = 0, =0 ∂T ∂Q
为与不允许缺货的存贮模型 为与不允许缺货的存贮模型 相比， 记作 记作T 记作Q 相比，T记作 ’, Q记作 ’ 记作
2c1 c2 + c3 T′ = rc2 c3
2c1r c3 Q′ = c2 c2 + c3
允许 2c1 c2 + c3 T '= rc2 c3 缺货 模型 2c1r c3 Q' = c 2 c 2 + c3
原模型假设：贮存量降到零时 件 原模型假设：贮存量降到零时Q件 立即生产出来(或立即到货 或立即到货) 立即生产出来 或立即到货
0
现假设：允许缺货, 每天每件缺货损失费 c3 , 缺货需补足 现假设：允许缺货
周期T, 周期 t=T1贮存量降到零 一周期 贮存费 一周期 缺货费
c2 ∫0 q (t )dt = c2 A
问题 分析
• 关键是对 关键是对B(t)作出合理的简化假设 作出合理的简化假设. 作出合理的简化假设 失火时刻t=0, 开始救火时刻 1, 灭火时刻 2, 开始救火时刻t 灭火时刻t 失火时刻 森林烧毁面积B(t)的大致图形 画出时刻 t 森林烧毁面积 的大致图形
平均每天费用950元 元 平均每天费用
• 50天生产一次，每次 天生产一次， 天生产一次 每次5000件，贮存费 件 贮存费4900+4800+…+100 =122500元，准备费 元 准备费5000元，总计 元 总计127500元。 元
平均每天费用2550元 元 平均每天费用 10天生产一次平均每天费用最小吗? 10天生产一次平均每天费用最小吗? 天生产一次平均每天费用最小吗
q Q′ ′ r R 0 T1 T t
2c1r c3 Q′ = c 2 c 2 + c3
注意： 注意：缺货需补足 Q′~每周期初的存贮量 ′ 每周期初的存贮量 每周期的生产量 R = rT ′ = R （或订货量） 或订货量）
2c1r c2 + c3 c2 c3
R = µ Q > Q Q~不允许缺货时的产量 或订货量 不允许缺货时的产量(或订货量 不允许缺货时的产量 或订货量)
3.1
问题
存贮模型
配件厂为装配线生产若干种产品， 配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设 备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。 备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂 生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。 生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。 已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费 件 生产准备费 已知某产品日需求量 元 每日每件1元 试安排该产品的生产计划， 每日每件 元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产 一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。 ），每次产量多少 一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。 不只是回答问题，而且要建立生产周期、 要 不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与 需求量、准备费、贮存费之间的关系。 求 需求量、准备费、贮存费之间的关系。
T1
一周期总费用
c3 ∫T q(t ) dt = c3 B
T
1
QT r(T −T1)2 C = c1 + c2 1 +c3 2 2
一周期总费用
1 1 C = c1 + c2QT + c3r(T −T1 )2 1 2 2
每天总费用 C c1 c2 Q 2 c3 (rT − Q ) 2 C (T , Q ) = = + + 平均值 T T 2rT 2rT 目标函数） （目标函数） 求 T ,Q 使 C (T , Q ) → Min
问题分析与思考
• 周期短，产量小 周期短， • 周期长，产量大 周期长， 贮存费少， 贮存费少，准备费多 准备费少， 准备费少，贮存费多
存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和） 存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小 • 这是一个优化问题，关键在建立目标函数。 这是一个优化问题，关键在建立目标函数。 显然不能用一个周期的总费用作为目标函数
T = 2 c1 rc 2
2c1r Q = rT = c2
模型分析
c1 ↑⇒ T,Q↑
模型应用
• 回答问题
c2 ↑ ⇒ T, Q ↓
r ↑ ⇒T ↓, Q ↑
c1=5000, c2=1，r=100 ， T=10(天), Q=1000(件), C=1000(元) 天 件 元
• 经济批量订货公式（EOQ公式） 经济批量订货公式（ 公式） 公式
2c1r Q = rT = c2
不允许缺货的存贮模型 • 问：为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？ 为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？
允许缺货的存贮模型
当贮存量降到零时仍有需求r, 当贮存量降到零时仍有需求 出现缺货， 出现缺货，造成损失
q Q r
A
Q = rT1
T1 B T t
不允 许缺 货模 型
T =
2 c1 rc 2
2c1r Q = rT = c2
记
µ=
c 2 + c3 c3
T ′ = µT ,
Q′ =
Q
µ
不 允 许 缺 货
µ >1
T '> T , Q '< Q
c3 ↑ ⇒ µ ↓
c3 → ∞ ⇒ µ →1
T ′ → T , Q′ → Q
允许 缺货 模型
2c1 c2 + c3 T′ = rc2 c3
用于订货、供应、 用于订货、供应、存贮情形 每天需求量 r，每次订货费 c1,每天每件贮存费 c2 ， ， 每天每件贮存费 T天订货一次 周期 每次订货 件，当贮存量降到 天订货一次(周期 每次订货Q件 天订货一次 周期), 零时， 件立即到货 件立即到货。 零时，Q件立即到货。
T =
2 c1 rc 2
3.3
问题
森林救火
森林失火后，要确定派出消防队员的数量。 森林失火后，要确定派出消防队员的数量。 队员多，森林损失小，救援费用大； 队员多，森林损失小，救援费用大； 队员少，森林损失大，救援费用小。 队员少，森林损失大，救援费用小。 综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。 综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。
敏感性分析
4r − 40 g − 2 t= rg
研究 r, g变化时对模型结果的影响 估计 ， g=0.1 变化时对模型结果的影响 估计r=2， 3 − 20 g • 设r=2不变 不变 t= , 0 ≤ g ≤ 0.15 g t 对g的（相对）敏感度 的 相对）
30
t
20
∆ t /t dt g S (t , g ) = ≈ ∆ g / g dg t
问题 分析
记队员人数x, 失火时刻 开始救火时刻t 记队员人数 失火时刻t=0, 开始救火时刻 1, 灭火时刻t 时刻t森林烧毁面积 森林烧毁面积B(t). 灭火时刻 2, 时刻 森林烧毁面积
• 损失费 1(x)是x的减函数 由烧毁面积 2)决定 损失费f 的减函数, 决定. 是 的减函数 由烧毁面积B(t 决定 • 救援费 2(x)是x的增函数 由队员人数和救火时间决定 救援费f 的增函数, 是 的增函数 由队员人数和救火时间决定. 存在恰当的x， 存在恰当的 ，使f1(x), f2(x)之和最小 之和最小