数学建模 简单的优化模型
优化模型一：线性规划模型数学建模课件
混合整数线性规划问题求解
要点一
混合整数线性规划问题的复杂性
混合整数线性规划问题是指包含整数变量的线性规划问题 。由于整数变量的存在，混合整数线性规划问题的求解变 得更加困难，需要采用特殊的算法和技术来处理。
要点二
混合整数线性规划模型的求解方 法
为了解决混合整数线性规划问题，可以采用一些特殊的算 法和技术，如分支定界法、割平面法等。这些方法能够将 问题分解为多个子问题，并逐步逼近最优解，从而提高求 解效率。
目标函数的类型
常见的目标函数类型包括最小化、最大化等。
确定约束条件
约束条件
01
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为数学不等式
或等式。
确定约束条件的原则
02
根据问题的实际情况，选择能够反映问题约束条件的条件作为
约束条件。
约束条件的类型
03
常见的约束条件类型包括等式约束、不等式约束等。
线性规划模型的建立
也可以表示为
maximize (c^T x) subject to (A x geq b) and (x leq 0)。
线性规划的应用场景
生产计划
物流优化
在制造业中，线性规划可以用于优化生产 计划，确定最佳的生产组合和数量，以满 足市场需求并降低成本。
在物流和运输行业中，线性规划可以用于 优化运输路线、车辆调度和仓储管理，降 低运输成本和提高效率。
初始基本可行解
在线性规划问题中，一个解被称为基 本可行解，如果它满足所有的约束条 件。
在寻找初始基本可行解时，可以采用 一些启发式算法或随机搜索方法，以 快速找到一个可行的解作为起点。
初始基本可行解是线性规划问题的一 个起始点，通过迭代和优化，可以逐 渐逼近最优解。
数学建模简单13个例子全解
数学建模简单13个例子全解1. 线性回归模型线性回归是一种基本的数学建模方法，用于预测一个因变量与一个或多个自变量之间的关系。
通过最小化误差平方和来拟合一个直线或平面，使其能够最好地拟合数据。
2. 逻辑回归模型逻辑回归是一种用于分类问题的建模方法。
它通过将线性回归模型的输出变换为一个概率值，从而将输入样本分为两个不同的类别。
3. K-means聚类模型K-means聚类是一种无监督学习算法，用于将样本分为若干个不同的簇。
它根据样本之间的相似性将它们分配到不同的簇中。
4. 决策树模型决策树是一种基于规则的分类模型。
它通过一系列的决策节点和叶节点来对输入样本进行分类。
5. 随机森林模型随机森林是一种集成学习模型，它由多个决策树组成。
它通过对每个决策树的预测结果进行投票来进行分类。
6. 支持向量机模型支持向量机是一种基于最大间隔原则的分类模型。
它通过寻找一个超平面来将数据样本分成不同的类别。
7. 主成分分析模型主成分分析是一种降维技术，它将原始数据投影到一个低维空间中，以便尽可能保留数据的方差。
8. 马尔可夫链模型马尔可夫链是一种离散时间概率模型，它假设过去的状态对于预测未来的状态是有用的。
9. 指数平滑模型指数平滑是一种时间序列预测方法，它使用加权平均法来对下一个时间点的预测值进行估计。
10. 神经网络模型神经网络是一种模拟人类神经系统的方法，它通过多层神经元之间的连接来进行学习和预测。
11. 遗传算法模型遗传算法是一种通过模拟生物进化过程来求解优化问题的方法。
它通过交叉、变异和选择等操作来生成新的解，并逐步优化。
12. 时间序列模型时间序列模型用于分析和预测随时间变化的数据。
常用的时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA）、自回归整合移动平均模型（ARIMA）等。
13. 蒙特卡洛模拟模型蒙特卡洛模拟是一种概率方法，用于通过随机模拟来解决复杂的数学问题。
它通常通过重复随机抽样和运算来估计问题的解。
数学模型-第03章(第五版)
存在恰当的x，使f1(x), f2(x)之和最小.
分析
• 关键是对B(t)作出合理的简化假设.
失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 画出时刻t森林烧毁面积B(t)的大致图形.
B
分析B(t)比较困难, 转而讨论单位时间 烧毁面积 dB/dt (森林烧毁的速度).
第三章
材料强度最大
简单优化模型
利润最高 风险最小
优化——工程技术、经济管理、科学研究中的常见问题. 运输费用最低
用数学建模方法解决优化问题的过程 优化目标与决策 模型假设与建立 数学求解与分析
简单优化模型归结为函数极值问题，用微分法求解. 属于数学规划的优化模型在第四章讨论.
第 三 章 简 单 优 化 模 型
3.2 森林救火
问题
森林失火后，要确定派出消防队员的数量. 队员多，森林损失小，救援费用大； 队员少，森林损失大，救援费用小. 综合考虑损失费和救援费，确定队员数量.
分析
记队员人数x, 失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 时刻t森林烧毁面积B(t).
• 损失费f1(x)是x的减函数, 由烧毁面积B(t2)决定.
啤酒杯重心s(x)只与质量比a有关 对于每个a, s(x) 有一最小点. a=0.3, x=0.35左右 s最小, 即重心最低.
0.5
s
0.45 a=1 0.4 a=0.5 0.35 a=0.3 0.3
0.25 a=0.1 0.2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
建立啤酒杯重心模型一
啤酒杯重心模型一
x
s=s(x) ~ 液面高度x的啤酒杯重心
数学建模 四大模型总结
四类基本模型1 优化模型1.1 数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。
1.2 微分方程组模型阻滞增长模型、SARS 传播模型。
1.3 图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。
1.4 概率模型决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov 链模型。
1.5 组合优化经典问题● 多维背包问题(MKP)背包问题：n 个物品，对物品i ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何将尽可能多的物品装入背包。
多维背包问题：n 个物品，对物品i ，价值为i p ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。
多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。
该问题属于NP 难问题。
● 二维指派问题(QAP)工作指派问题：n 个工作可以由n 个工人分别完成。
工人i 完成工作j 的时间为ij d 。
如何安排使总工作时间最小。
二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n 台机器要布置在n 个地方，机器i 与k 之间的物流量为ik f ，位置j 与l 之间的距离为jl d ，如何布置使费用最小。
二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。
● 旅行商问题(TSP)旅行商问题：有n 个城市，城市i 与j 之间的距离为ij d ，找一条经过n 个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。
● 车辆路径问题(VRP)车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n 个客户的位置坐标和货物需求，在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。
TSP 问题是VRP 问题的特例。
● 车间作业调度问题(JSP)车间调度问题：存在j 个工作和m 台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。
数学建模最优化模型
或[x，fval]= fminsearch（...） （4）[x，fval，exitflag]= fminunc（...）；
或[x，fval，exitflag]= fminsearch （5）[x，fval，exitflag，output]= fminunc（...）；
41m外点法sutm内点法障碍罚函数法1罚函数法2近似规划法罚函数法罚函数法基本思想是通过构造罚函数把约束问题转化为一系列无约束最优化问题进而用无约束最优化方法去求解这类方法称为序列无约束最小化方法简称为sumt法其一为sumt外点法其二为sumt内点法其中txm称为罚函数m称为罚因子带m的项称为罚项这里的罚函数只对不满足约束条件的点实行惩罚
曲线不一定通过那m个测量点,而要产生“偏差”.
将测量点沿垂线方向到曲线的距离的
y
平方和作为这种“偏差”的度量.即
2
x
S
m i 1
yi
a1
1 a3
a2 ln 1 exp
xi a4 a5
显然偏差S越小,曲线就拟合得越好,说明参数值就选择得越好，从而 我们的问题就转化为5维无约束最优化问题。即：
一下是否达到了最优。 （比如基金人投资）
• 在各种科学问题、工程问题、生产管理、社会 经济问题中，人们总是希望在有限的资源条件 下，用尽可能小的代价，获得最大的收获。
（比如保险）
数学家对最优化问题的研究已经有很多年的 历史。
以前解决最优化问题的数学方法只限于古典 求导方法和变分法（求无约束极值问题），拉格 朗日（Lagrange）乘数法解决等式约束下的条件 极值问题。
数学建模：第五章 运筹与优化模型
max c j x j
n
s.t aij x j bi
j 1
n
j 1
i 1.2 m
xj 0
j 1.2 n
8
二、整数规划模型
n min f c j x j j 1 n aij x j bi j 1 x j 0
对于线性规划：
22
二、货机装运
问题 某架货机有三个货舱：前仓、中仓、后仓。三个 货舱所能装载的货物的最大重量和体积都有限制，如表 3所示。并且，为了保持飞机的平衡，三个货舱中实际 装载货物的重量必须与其最大容许重量成比例。
重量限制 （吨）
前仓 中仓 后仓 10 16 8 6800 8700 5300
体积限制 （米3）
5
解：设x ij 表示 Ai (i=1.2)煤厂提供给 B j （j=1.2.3)居民区的煤量； f表示总运输费 此问题归结为：
min f 10 x11 5 x12 6 x13
s.t
x11 x12 x13 60 x21 x22 x23 100 x11 x21 50
s.t gi ( X ) 0
hi ( X ) 0
(1)
(2)
(3)
i 1,2,, m .
j 1,2,, l .
X D
其中X ( x1 , x2 ,, xn )T , D R n为可行集
f(X)为目标函数，(2)、(3)为约束条件， (2)为不等式约束，(3)为等式约束； 若只有(1)称为无约束问题。
max f x1 x2 15 x1 12 x2 85 如 5 x1 11 x , x 0 1 2 x1 , x2 为整数
数学建模讲座之七最优化模型
什么是七最优化模型
七最优化模型是一种数学建模方法，旨在解决具有多个决策 变量和约束条件的优化问题。它通过寻找满足一定条件下的 最优解，为实际问题的解决提供数学模型。
七最优化模型的核心思想是在给定的约束条件下，寻找使目 标函数达到最优值的决策变量值。这个过程涉及到对数学方 程、不等式以及函数的运用，通过建立数学模型来描述实际 问题中的最优化问题。
物流优化
总结词
物流优化是利用七最优化模型来规划物流运输和配送路线，以最小化运输成本、 最大化运输效率的过程。
详细描述
通过数学建模，将物流问题转化为最优化问题，利用七最优化模型求解，可以找 到最优的运输和配送路线，包括车辆调度、货物配载、路径规划等，从而实现运 输成本最小化、运输效率最大化的目标。
物流优化
线性规划的解法包括单纯形法、 对偶理论和分解算法等。
非线性规划
非线性规划是优化技术中的一种， 它处理的是目标函数或约束条件
是非线性的问题。
非线性规划的应用领域包括机器 学习、图像处理、化学工程等。
非线性规划的解法包括梯度下降 法、牛顿法、拟牛顿法等。
非线性规划
非线性规划是优化技术中的一种， 它处理的是目标函数或约束条件
动态规划的解法包括递归法、自底向 上法等。
动态规划的应用领域包括机器学习、 控制系统、生物信息学等。
动态规划
动态规划是数学优化技术中的一种， 它处理的是决策过程具有时间顺序或 阶段性的问题。
动态规划的解法包括递归法、自底向 上法等。
动态规划的应用领域包括机器学习、 控制系统、生物信息学等。
启发式算法
详细描述
人工智能优化主要考虑算法复杂度、计算精 度、系统稳定性等多个因素，通过建立数学 模型，对算法进行优化，提高人工智能系统 的性能和效率。具体来说，可以采用遗传算 法、模拟退火算法、粒子群算法等方法，对
数学建模中经济与金融优化模型分析
数学建模中经济与金融优化模型分析在当今复杂多变的经济与金融领域，数学建模已成为一种不可或缺的工具。
通过建立数学模型，我们能够对经济和金融现象进行定量分析，预测趋势，制定优化策略，从而为决策提供有力支持。
本文将深入探讨数学建模中常见的经济与金融优化模型，分析它们的原理、应用以及优缺点。
一、线性规划模型线性规划是数学建模中最基本也是应用最广泛的优化模型之一。
它主要用于解决在一组线性约束条件下，如何使线性目标函数达到最优值的问题。
在经济领域，线性规划常用于生产计划的制定。
例如，一家工厂生产多种产品，每种产品需要不同的原材料、生产时间和劳动力，同时市场对每种产品的需求也有限制。
通过建立线性规划模型，工厂可以确定每种产品的生产数量，以在满足各种约束条件的前提下，实现利润最大化。
在金融领域，线性规划可用于资产配置。
投资者拥有一定的资金，并希望在多种资产（如股票、债券、基金等）之间进行分配，以在风险限制和预期收益目标下，实现投资组合的最优配置。
线性规划模型的优点在于计算简单、易于理解和求解。
然而，它也有局限性，比如只能处理线性关系，无法准确描述现实中许多复杂的非线性现象。
二、整数规划模型整数规划是在线性规划的基础上，要求决策变量取整数值的优化模型。
在经济领域，整数规划常用于项目选择和人员分配问题。
例如，一个企业有多个项目可供投资，但每个项目的投资金额是整数，且资源有限。
通过整数规划模型，可以确定投资哪些项目，以实现企业的长期发展目标。
在金融领域，整数规划可用于股票的买卖决策。
假设投资者只能以整数股买卖股票，且有资金和风险限制，整数规划可以帮助确定购买哪些股票以及购买的数量。
整数规划模型相较于线性规划更加符合实际情况，但求解难度也更大，往往需要更复杂的算法和计算资源。
三、非线性规划模型非线性规划用于处理目标函数或约束条件中包含非线性函数的优化问题。
在经济领域，非线性规划可用于研究成本函数和需求函数为非线性的企业生产决策。
数学建模第二讲：简单的优化模型
B1的右边 (
A2B2过Q1点 ).
l2在l1上？ 如果l2在l1上方，Q2的效用函数值将大于Q1, l2在l1下？ 对消费者来说征收入税比征销售税好.
例2 价格补贴给生产者还是消费者
政府为鼓励商品的生产或者减少消费者的负担所采取的
两种价格补贴办法：
补贴前的消费点Q(x1*, x2*)
• 把补贴款直接给生产者 ~自然鼓励商品生产,对消费者无影响
优化模型
简单的优化模型
--静态优化模型
3.1 存贮模型
3.2 消费者的选择
3.3 生产者的决策
简单的优化模型(静态优化)
• 现实世界中普遍存在着优化问题. • 静态优化问题指最优解是数(不是函数). • 建立静态优化模型的关键之一是根据
建模目的确定恰当的目标函数. • 求解静态优化模型一般用微分法.
定性分析 c1 T,Q c2 T,Q r T ,Q 敏感性分析 参数c1,c2, r的微小变化对T,Q的影响
T对c1的(相 对)敏感度
S (T , c1)
ΔT /T Δ c1 / c1
dT dc1
c1 T
1 2
c1增加1%, T增加0.5%
S(T,c2)=–1/2, S(T,r)=–1/2 c2或r增加1%, T减少0.5%
模型应用 T 2 c1
rc 2
Q rT 2c1r c2
• 回答原问题 c1=5000, c2=1，r=100
T=10(天), Q=1000(件), C=1000(元)
思考: 为什么与前面计算的C=950元有差别?
• 用于订货供应情况: 每天需求量 r，每次订货费 c1, 每天每件贮存费 c2 , T天订货一次(周期), 每次订货Q 件，当贮存量降到零时，Q件立即到货.
数学建模中的优化模型
数学建模中的优化模型发展前景
01
随着大数据和人工智能技术的快速发展，优化模型的应用领域将进一 步扩大。
02
优化模型将与机器学习、深度学习等算法结合，实现更加智能化的决 策支持。
03
优化模型将面临更多大规模、复杂问题的挑战，需要发展更加高效、 稳定的算法和求解技术。
04
优化模型将与可持续发展、环境保护等社会问题结合，为解决全球性 挑战提供解决方案。
优化模型的应用领域
工业生产
金融投资
优化模型在工业生产中广泛应用于生产计 划、工艺流程、资源配置等方面，以提高 生产效率和降低成本。
优化模型在金融投资领域中用于资产配置 、风险管理、投资组合等方面，以实现最 优的投资回报和风险控制。
交通运输
科学研究
优化模型在交通运输领域中用于路线规划 、车辆调度、物流配送等方面，以提高运 输效率和降低运输成本。
，为决策提供依据。
优化模型在实际应用中需要考虑各种约束条件和目标 函数，同时还需要处理大规模数据和复杂问题。
优化模型在数学建模中占据重要地位，用于解 决各种实际问题，如生产计划、物流运输、金 融投资等。
优化模型有多种类型，包括线性规划、非线性规 划、动态规划、整数规划等，每种类型都有其适 用的场景和特点。
非线性规划模型
非线性规划模型的定义与特点
总结词
非线性规划模型是一种数学优化模型，用于解决目标函数和约束条件均为非线性函数的 问题。
详细描述
非线性规划模型通常由目标函数、约束条件和决策变量三个部分组成。目标函数是要求 最小化或最大化的非线性函数，约束条件可以是等式或不等式，决策变量是问题中需要 优化的未知数。非线性规划模型的特点在于其非线性性，即目标函数和约束条件不能用
数学建模之优化模型
数学建模之优化模型在我们的日常生活和工作中，优化问题无处不在。
从如何规划一条最短的送货路线，到如何安排生产以最小化成本并最大化利润，从如何分配资源以满足不同的需求，到如何设计一个系统以达到最佳的性能，这些都涉及到优化的概念。
而数学建模中的优化模型，就是帮助我们解决这些复杂问题的有力工具。
优化模型，简单来说，就是在一定的约束条件下，寻求一个最优的解决方案。
这个最优解可以是最大值，比如利润的最大化；也可以是最小值，比如成本的最小化；或者是满足特定目标的最佳组合。
为了更好地理解优化模型，让我们先来看一个简单的例子。
假设你有一家小工厂，生产两种产品 A 和 B。
生产一个 A 产品需要 2 小时的加工时间和 1 个单位的原材料，生产一个 B 产品需要 3 小时的加工时间和 2 个单位的原材料。
每天你的工厂有 10 小时的加工时间和 8 个单位的原材料可用。
A 产品每个能带来 5 元的利润，B 产品每个能带来 8 元的利润。
那么，为了使每天的利润最大化，你应该分别生产多少个A 产品和 B 产品呢？这就是一个典型的优化问题。
我们可以用数学语言来描述它。
设生产 A 产品的数量为 x，生产 B 产品的数量为 y。
那么我们的目标就是最大化利润函数 P ＝ 5x ＋ 8y。
同时，我们有加工时间的约束条件 2x ＋3y ≤ 10，原材料的约束条件 x ＋2y ≤ 8，以及 x 和 y 都必须是非负整数的约束条件。
接下来，我们就可以使用各种优化方法来求解这个模型。
常见的优化方法有线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划等等。
对于上面这个简单的例子，我们可以使用线性规划的方法来求解。
线性规划是一种用于求解线性目标函数在线性约束条件下的最优解的方法。
通过将约束条件转化为等式，并引入松弛变量，我们可以将问题转化为一个标准的线性规划形式。
然后，使用单纯形法或者图解法等方法，就可以求出最优解。
在这个例子中，通过求解线性规划问题，我们可以得到最优的生产方案是生产 2 个 A 产品和 2 个 B 产品，此时的最大利润为 26 元。
简单的优化模型
血管，分叉点附近两条血管共面；
2.物理上假设
体在刚性管道中的运动； 根据粘性流体在管道中流
动时所受的阻力定律知，血液流动时所受阻力与流程
成正比，与半径的4次方成反比。即血液流动时所受 L 阻力 R k 4 ，这里L为血管长度，r为血管半径，R r 为阻力，k为比例常数。
模型建立（机理建模法）
设主动脉与辅助动脉夹角为θ， PQ a , QR b 当血液沿着通路 PSR 流动时 所受阻力大小为
例 生猪出售的时机问题 一饲养场每天投入4元资金用于饲料、设备、人力。 估计可使一头80公斤重的生猪每天增加2公斤，目前生 猪出售的市场价格为每公斤8元，但是预测每天会降低 0.1元，问该场应该什么时候出售这样的生猪。 问题分析 投入资金可使生猪体重随时间增长，但 售价随时间减少，应该存在一个最佳出售时机，使获 得利润最大，这是一个优化问题。
设计变量（决策变量） 目标函数 可行域
下的最大值或最小值，其中
x f (x ) x
min(or max) u f ( x) x
s. t. hi ( x ) 0, i 1,2,..., m.
gi ( x ) 0( gi ( x ) 0), i 1,2,..., p.
MB M
为最小。其中
水陆联运问题 有一工厂A距运河为a公里， 运河线上的B城与运河上离A厂最近的点D为b 公里，今欲修一公路AC到运河边，将A厂的产 品经由公路运到C，再水运到B城，设每吨货物 每公里的水、陆运费分别 A 为α与β元（α>β）， D C B 问C的位臵应在何处才 b 能使运费最省（如图）
A M
Ⅰ
B Ⅱ
对于所有的值，f (x)的一、二阶导数都存在，并且 f ( x ) 0 ，于是 f ( x ) 在 ( , ) 上单调增加，所 以最多有一次等于零，但是 c c f ( 0 ) 0 f ( c ) 0 2 2 2 2 v2 b c v1 a c 所以方程 f ( x ) 0 在0与c之间唯一的根 x 0 ，又因 f ( x0 ) 0 因此，此根对应函数值 f ( x0 )为极小值， 也是最小值。但要从 f ( x ) 0 中求 x 0比较繁复，为 此，引入两角（物理学中分别叫入射角和折射角）
优化模型特殊的整数规划
在生活中竞赛，在竞赛中生活
数学建模——优化模型
线性规划
3、标准模型
max z cjxj
j 1 n
求和 符号
max z c1 x1 c2 x2 ,..., cn xn a11 x1 a12 x2 ,..., a1n xn b1 a x a x ,..., a x b 21 1 22 2 2n n 2 s.t. ... a x a x ,..., a x b m3 3 m m1 1 m 2 2 x1 , x2 ,..., xn 0
在生活中竞赛，在竞赛中生活
数学建模——优化模型
有约束的优化问题的数学模型
一般形式为：
min f ( x) gi ( x) 0 s.t. hi ( x) 0
f ( x)为目标函数， gi ( x), hi ( x) 即是对目标函数的约束条件
在生活中竞赛，在竞赛中生活
数学建模——优化模型
f=[4000;3000]; A=[2 1;1 1;0 1]; b=[10;8;7]; lb=zeros(2,1); [x,fval,exitflag,output,lambda]= linprog(f,A,b,[],[],lb)
目标函数为一组平行直线，其在可 行域（黄色部分）内有最大值时， 取点（2,6），最大值为260000
在生活中竞赛，在竞赛中生活
数学建模——优化模型 无约束的优化问题
Eg.有边长为3m的正方形铁板，在四个角剪去相等的正方形 以制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？ 3 2 V (3 2 x ) x , x (0, ) 解：设减去正方形的边长为x，则水槽容积为： 建立无约束优化模型
在生活中竞赛，在竞赛中生活
简单优化模型-渡河问题
渡河问题设河流两岸为平行线，起点至终点的横向距离为1000米，河流宽度为400米，见图1。
请你借助数学模型解决如下问题：（1）假定在渡河过程中小船的速度大小和方向不变，且区域中每点的水速均为 1.2 米/秒。
试说明小船到达终点的最短时间是沿着怎样的路线前进的，设小船到达终点的最短时间是500秒，求小船速度的大小和方向？（2）如何根据小船自身的速度选择渡河方向，试为一个速度能保持在1.1米/秒的小船选择渡河方向，并估计它到达终点的最短时间？（3）当小船以垂直河岸的方向行驶时，通过数学建模指出它能否到达终点？ （4）若水速离岸边距离的分布为 (设从起点垂直向上为 y 轴正向) ：1/02/3001/300400()y v y <≤≤⎧⎪=⎨⎪⎩米秒，米米秒，米米秒，米米小船的速度大小（1.1米/秒）仍全程保持不变，试用两种不同方法为它选择渡河方向和路线，并估计它到达终点的最短时间。
问题一：(cos )*(1)sin *(2)u v T L u T Hθθ+=⎧⎨=⎩由（1）得cos (3)sin (4)L u v TH u Tθθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得u =arccos L vT uT θ-=400m水流方向终点起点 图1问题二：由cos (5)sin (6)L vT uT H uT θθ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得22222()2()0v u T vLT L H --++=当0∆≥时，也即22LH H vu +≥ （7）1,2T =(8)T =（本题中v > u ）,cos(9)L vT arc uTθ-=,所求,T θ有解的必要条件是（7）式成立问题四：方法一：（较具一般性，容易推广到水速分为更多段的情况） 模型建立：对于三段水速的问题可以建立各个量满足的关系如下（已知,,,i i u v H L ）31(cos )*(10)sin *(11)(12)i i i ii i i i i u v T Lu T H L L θθ=⎧⎪+=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩∑本问题可以归结为在已知,,,i i u v H L ，且,i i T θ满足(10)、（11）、（12）的前提下，求31min i i T T ==∑由（11）可得,1,2,3sin ii iH T i u θ==，再由（10）及（12）式可得本问题的数学模型如下：目标函数 31231min (,,)(0)sin ii i iH T f u θθθθπθ===<<∑约束条件：31(cos )sin i i ii i u v H L u θθ=+=∑模型求解：本问题是一个多元函数的条件极值问题，构造辅助函数123123(,,)(,,)[F f θθθθθθλ=+31(cos )]sin i i ii iu v H L u θθ=+-∑123(,,)f θθθ的极值点满足如下方程组：12331000(cos )sin i i i i i F F F u v H L u θθθθθ=∂⎧=⎪∂⎪∂⎪=⎪∂⎪⎨∂⎪=⎪∂⎪+⎪=⎪⎩∑ 经计算偏导数并化简可得11223331cos (13)1cos (14)1cos (15)1(cos )(16)sin i i i i i u v u v u v u v H L u λθλλθλλθλθθ=-⎧=⎪+⎪-⎪=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎪+⎪=⎪⎩∑将（13）、（14）、（15）及s i n1,2,3i i θ==，代入（16）得到一个关系λ的一元无理方程，在λ满足11,1,2,31iui v λ--<<=+的前提下可以用求方程近似解的方法（如二分法）求出λ，并进而求出i θ与T 。
数学建模30种经典模型matlab
一、概述数学建模是数学与实际问题相结合的产物，通过建立数学模型来解决现实生活中的复杂问题。
Matlab作为一个强大的数学计算工具，在数学建模中具有重要的应用价值。
本文将介绍30种经典的数学建模模型，以及如何利用Matlab对这些模型进行建模和求解。
二、线性规划模型1. 线性规划是数学建模中常用的一种模型，用于寻找最优化的解决方案。
在Matlab中，可以使用linprog函数对线性规划模型进行建模和求解。
2. 举例：假设有一家工厂生产两种产品，分别为A和B，要求最大化利润。
产品A的利润为$5，产品B的利润为$8，而生产每单位产品A 和B分别需要8个单位的原料X和10个单位的原料Y。
此时，可以建立线性规划模型，使用Matlab求解最大化利润。
三、非线性规划模型3. 非线性规划是一类更加复杂的规划问题，其中目标函数或约束条件存在非线性关系。
在Matlab中，可以使用fmincon函数对非线性规划模型进行建模和求解。
4. 举例：考虑一个有约束条件的目标函数，可以使用fmincon函数在Matlab中进行建模和求解。
四、整数规划模型5. 整数规划是一种特殊的线性规划问题，其中决策变量被限制为整数。
在Matlab中，可以使用intlinprog函数对整数规划模型进行建模和求解。
6. 举例：假设有一家工厂需要决定购物哪种机器设备，以最大化利润。
设备的成本、维护费用和每台设备能生产的产品数量均为已知条件。
可以使用Matlab的intlinprog函数对该整数规划模型进行建模和求解。
五、动态规划模型7. 动态规划是一种数学优化方法，常用于多阶段决策问题。
在Matlab 中，可以使用dynamic programming toolbox对动态规划模型进行建模和求解。
8. 举例：考虑一个多阶段生产问题，在每个阶段都需要做出决策以最大化总利润。
可以使用Matlab的dynamic programming toolbox对该动态规划模型进行建模和求解。
优化模型
MIN 66.8x11+75.6x12+87x13+58.6x14 +… … +67.4x51+71 x52+83.8x53+62.4x54 SUBJECT TO x11+x12+x13+x14 <=1 …… x41+x42+x43+x44 <=1 x11+x21+x31+x41+x51 =1 …… x14+x24+x34+x44+x54 =1 END INT 20
最优化模型
主讲人
张兴永
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最优化模型
在数学建模竞赛中，经常会遇到有关最优化问题， 下面介绍几个简单的最优化模型。 最优化模型是在解决实际问题中应用最广泛的模 型之一，它涉及面广、内容丰富，且随着计算机的发 展，解决问题的范围越来越宽。一般地，人们做的任 何一件事情，小的如日常生活、学习工作等，大的如 工农业生产，国防建设及科学研究等，为了达到预先 设想的目的，都要做计划，选择好的方案，进行优化 处理。最优化模型主要有线性规划模型、整数规划模 型、非线性规划模型、动态规划模型等。
这样把多目标规划变成一个目标的线性规划，下 面给出三个单目标优化模型：
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1、在实际投资中，投资者承受风险的程度不一样， 若给定风险一个界限a，使最大的一个风险qixi/M≤a， 可找到相应的投资方案。 模型1 固定风险水平，优化收益 目标函数：Q=max (ri pi ) xi i 0 约束条件： q x ≤a
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问题二 混合泳接力队的选拔
5名候选人的百米成绩
蝶泳 仰泳 蛙泳 自由泳 甲 1’06”8 1’15”6 1’27” 58”6 乙 57”2 1’06” 1’06”4 53” 丙 1’18” 1’07”8 1’24”6 59”4 丁 1’10” 1’14”2 1’09”6 57”2 戊 1’07”4 1’11” 1’23”8 1’02”4