简单的优化模型

第三章
部分习题
1. 在3.1节存储模型的总费用中增加购买货物本身的费用，重新确定最优定货周期和定货批量。

证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优定货周期和定货批量都比原来结果减小
3. 在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度λ与开始救火时的火势b 有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型。

4. 在3.4节`最优价格模型中，如果考虑到成本q 随着产量x 的增加而降低，试做出合理的假设，重新求解模型。

7. 要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学，模型讨论是否跑都越快，淋雨量越少。

将人体简化成一个长方体，高m a 5.1=（颈部以下），宽m b 5.0=厚m c 2.0=，设跑步距离
,1000m d =跑步最大速度s m v m /5=，雨速s m u /4= ，降雨量h cm w /2=，记跑步速度为v ，按以下步骤进行讨论；
（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量
（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为θ，如图1建立总淋雨量与速度v 及参数θ,,,,,,w u d c b a 之间的关系，问速度v 多大，总淋雨量最少，计算0
30,0==θθ时的总淋雨量。

（3））雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为∂，如图2建立总淋雨量与速度v 及参数∂,,,,,,w u d c b a 之间的关系，问速度v 多大，总淋雨量最少，计算030=θ时的总淋雨量。

（4）以总淋雨量为纵轴，速度v 为横轴，对（3）作图（考虑α的影响），并解释结果的实际意义。

（5）若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化。

参考答案
1. 设购买单位重量货物的费用为k ，对于不允许缺货模型，每天平均费用为()Q T kr rT c T c T c ,,2
21++=，的最优结果不变，对于允许缺货模型，每天平均费用为()()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-++=kQ Q rT r c r Q c c T Q T c 23221221,，利用0,0=∂∂=∂∂Q c T c ，可求出Q T ,的最优结果为
()32232222332321*32233221*2,2c c kr c c c r k c c c c c r c Q c c k c c c rc c T +-+-+=-+=
*T ，*Q 均不考虑费用k 时的结果减小.
3. 不妨设()1'
+=b b λλ，表示火势b 越大，灭火速度λ越小，分母1+b 中的1是防止0
→b 时∞→λ而加的，最优解为
()[]()
()''322'
1121122λβλβλ+++++=b c b b b c b c x .
4. 不妨设()k kx q x q ,0-=，是产量增加一个单位时成本的降低，最优价格为()b
a k
b ka q p 2120*+--=
. 7. 1) 全身面积22.222m bc ac ab s =++=，淋雨时间s v d t m 200==，降雨量
s m h cm 181024-==ω，所以总淋雨量44.2≈=ωst Q 升
2) 顶部淋雨量v bcd Q θωcos 1=；雨速水平分量θsin u ，方向与v 相反，合速度v u +θsin ，迎面单位时间、单位面积的淋雨量()u v u +θωsin ，迎面淋雨量()uv v u abd Q +=θωsin 2，所以总淋雨量()v v u a cu u bd Q Q Q ++=+=θθωsin cos 21。

m v v =时Q 最小，15.1,0≈=Q θ升。

55.1,300≈=Q θ升。

3) 与2）不同的是，合速度为v u -αsin ，于是总淋雨量
()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-=-+≤-+=-+=αααωααωαααωααωsin ,sin cos sin cos sin ,sin cos sin cos u v v av a c u u bd v u v a cu u
bd u v v av a c u u bd v v u a cu u bd Q ，若,0sin cos <-ααa c 即a c >αtan ，则αs i n u v =时Q 最小。

否则m v v =时Q 最小（见下图）当24.0,2,5.12.0tan ,300≈=>=Q s
m v αα升最小，可与93.0,≈=Q v v m 升相比. 4) 雨从背面吹来，只要α不太大，满足a
c >αtan （07.62.0,5.1〉时，αm c m a ==即可），Q u v ,sin α=最小，此时人体背面不淋雨，只有顶部淋雨.
5) 再用一个角度表示雨的方向，应计算侧面的淋雨量，问题本质上没有变化.。