北师大版-数学-九年级上册-2.1 认识一元二次方程 同步练习题 含答案
北师大版数学九年级上册第二章各节练习题含答案
第二章 一元二次方程2.1 认识一元二次方程 同步练习题1．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( )A ．x 2＋1x ＝0 B ．(x －1)2＝(x ＋3)(x －2)＋1 C ．x ＝x 2 D ．ax 2＋bx ＋c ＝02．方程(m －1)x 2＋mx ＋1＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的值为( ) A ．任何实数 B ．m≠0 C ．m≠1 D．m≠－13．方程2(x ＋2)＋8＝3x(x －1)的一般形式为________________，二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________．4．把下列关于x 的一元二次方程化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)3x 2＝5x －3；(2)(x ＋2)(x －2)＋3x ＝4.5．设一个奇数为x ，与相邻奇数的积为323，所列方程正确的是( ) A ．x(x ＋2)＝323 B ．x(x －2)＝323C ．x(x ＋1)＝323D ．x(x －2)＝323或x(x ＋2)＝3236．(1)一块长方形菜地的面积是150 m 2，如果它的长减少5 m ，那么菜地就变成正方形，若设原菜地的长为x m ，则可列方程为________________________________________________；(2)已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列方程为__________________.7．根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化为一般形式． (1)正方体的表面积为36，求正方体的边长x ；(2)在新春佳节到来之际，九(6)班所有的同学准备送贺卡相互祝贺，所有同学送完后共送了1 980张，求九(6)班的同学人数x.8．已知长方形宽为x cm ，长为2x cm ，面积为24 cm 2，则x 最大不超过( )A ．1B ．2C ．3D ．49．根据下列表格中的对应值，判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0，a ，b ，c 为常数)D ．3.25<x<3.26 10．已知m 是关于x 的方程x 2－2x －3＝0的一个根，则2m 2－4m ＝______． 11．已知关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋x ＋k 2－1＝0有一个根为0，则k 的值为________．12．方程(m －1)xm 2＋1＋2mx －3＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的值为( ) A ．m ＝±1 B ．m ＝－1 C ．m ＝1 D ．m≠1 13．若方程(k －1)x 2＋kx ＝1是关于x 的一元二次方程，则k 的取值范围是( ) A ．k ≠1 B ．k ≥0 C ．k ≥0且k ≠1 D ．k 为任意实数 2A ．解的整数部分是0，十分位是5B ．解的整数部分是0，十分位是8C ．解的整数部分是1，十分位是1D ．解的整数部分是1，十分位是215．若关于x 的方程x 2＋(m ＋1)x ＋12＝0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m 的值是( )A ．－52 B.12 C ．－52或12 D ．116．已知关于x 的方程(m 2－4)x 2＋(m －2)x ＋4m ＝0，当m ____________时，它是一元二次方程，当m________时，它是一元一次方程．17．已知关于x 的一元二次方程m(x －1)2＝－3x 2＋x 的二次项系数与一次项系数互为相反数，则m 的值为多少？18. 有这样的题目：把方程12x 2－x ＝2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项．现在把上面的题目改编成下面的两个小题，请回答问题：(1)下面式子中是方程12x 2－x ＝2化为一元二次方程的一般形式的是________．(只填写序号) ①12x 2－x －2＝0，②－12x 2＋x ＋2＝0，③x 2－2x ＝4，④－x 2＋2x ＋4＝0，⑤3x 2－23x －43＝0.(2)方程12x 2－x ＝2化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项之间具有什么关系？2.1答案： 1. C 2. C3. 3x 2－5x －12＝0 3 －5 －124. (1) 一般形式是3x 2－5x ＋3＝0，二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是3.(2) 一般形式是x 2＋3x －8＝0，二次项系数是1，一次项系数是3，常数项是－8. 5. D6. (1) x(x －5)＝150. (2) (x ＋1)2－1＝24.7. (1)6x 2＝36，一般形式为6x 2－36＝0.(2)x(x －1)＝1 980，一般形式为x 2－x －1 980＝0. 8. D 9. C 10. 6 11. －1 12. B 13. C 14. C 15. C16. ≠±2 ＝－217. 整理方程，得(m ＋3)x 2－(2m ＋1)x ＋m ＝0，由题意，得m ＋3－(2m ＋1)＝0，解得m ＝2.18. (1) ①②④⑤(2) 若设它的二次项系数为a(a≠0)，则一次项系数为－2a ，常数项为－4a.(即满足二次系数∶一次项系数∶常数项＝1∶－2∶－4即可)2.2 用配方法求解一元二次方程同步课堂练习1．用配方法解方程3x 2－6x ＋1＝0，则方程可变形为( )A ．(x －3)2＝13 B ．3(x －1)2＝13 C ．(3x －1)2＝1 D ．(x －1)2＝232．小明同学解方程6x 2－x －1＝0的简要步骤如下：解：6x 2－x －1＝0，两边同时除以6第一步x 2－16x －16＝0，移项第二步x 2－16x ＝16，配方第三步(x－19)2＝16＋19，两边开方第四步x －19＝±518，移项第五步x 1＝19＋106，x 2＝19－106.上述步骤，发生第一次错误是在( )A ．第一步B ．第二步C ．第三步D ．第四步 3．用配方法解下列方程时，配方有错误的是( ) A ．x 2－2x －99＝0化为(x －1)2＝100B ．2x 2－7x －4＝0化为(x －74)2＝8116C ．x 2＋8x ＋9＝0化为(x ＋4)2＝25D ．3x 2－4x －2＝0化为(x －23)2＝1094．用配方法解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)，此方程可变形为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＝4ac －b 24a 2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 2a 2＝4ac －b 24a 25．一个一元二次方程的二次项是2x 2，它经过配方整理得(x ＋12)2＝1，那么它的一次项和常数项分别是( )A ．x ，－34B ．2x ，－12C ．2x ，－32D ．x ，－326．若代数式16x 2＋kxy ＋4y 2是完全平方式，则k 的值为( ) A ．8 B ．16 C ．－16 D ．±167. 若代数式2x 2－6x ＋b 可化为2(x －a)2－1，则a ＋b ＝________．8．把方程2x 2＋4x －1＝0配方后得(x ＋m)2＝k ，则m ＝________，k ＝________． 9．若代数式2x 2－5x 与－2x ＋3的值互为相反数，则x 的值为____________． 10．三角形两边的长是2和5，第三边的长是方程15x 2－75x ＋2＝0的根，则该三角形的周长为________．11．已知a 为实数，则代数式2a 2－12a ＋27的最小值为________．12．已知实数m ，n 满足m －n 2＝1，则代数式m 2＋2n 2＋4m －1的最小值等于_______． 13．读诗词解题(通过列方程式)，算出周瑜去世时的年龄： 大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？14. 用配方法把代数式3x－2x2－2化为a(x＋m)2＋n的形式，并说明不论x取何值时，这个代数式的值总是负数，并求出当x取何值时，这个代数式的值最大．15. 一个正方形蔬菜园需修整并用篱笆围住．修整蔬菜园的费用是15元/平方米，而购买篱笆材料的费用是30元/米，这两项支出一共为3 600元．求此正方形蔬菜园的边长．2.2答案:1---6 DCCAC D 7. 58. 1 329. 12或310. 12 11. 3 12. 413. 设这个两位数的十位数字为x ，则个位数字为(x ＋3)，这个两位数为10x ＋(x ＋3)，依题意得10x ＋(x ＋3)＝(x ＋3)2，解得x 1＝2，x 2＝3，∴这个两位数是25或36，又∵周瑜已过而立之年，∴周瑜去世时36岁．14. 3x －2x 2－2＝－2(x －34)2－78，∵－2(x －34)2≤0，∴－2(x －34)2－78<0，∴不论x 取何值时，这个代数式的值总是负数．当x ＝34时，这个代数式的值最大，最大值为－78.15. 设此正方形蔬菜园的边长为x 米，由题意可得15x 2＋30×4x＝3 600，解得x 1＝12，x 2＝－20(舍)．故此正方形蔬菜园的边长为12米．2.3 用公式法求解一元二次方程基础题知识点1 用求根公式求解一元二次方程1．利用求根公式求方程5x 2＋12＝6x 的根时，a 、b 、c 的值分别是( )A ．5，12，6B ．5，6，12C ．5，－6，12D ．5，－6，－122．用公式法解方程3x 2＋4＝12x ，下列代入公式正确的是( ) A ．x ＝12±122－3×42B ．x ＝－12±122×3×42×3C ．x ＝12±122＋3×42D ．x ＝－（－12）±（－12）2－4×3×42×33．解方程： (1)x 2＋1＝3x ； (2)3x 2＋2x ＋1＝0.知识点2 利用根的判别式判定一元二次方程的根的情况4．已知关于x的一元二次方程3x2＋4x－5＝0，下列说法正确的是( )A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定5．若关于x的方程x2＋2x＋a＝0不存在实数根，则a的取值范围是( )A．a＜1 B．a＞1C．a≤1 D．a≥16．若关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个相等的实数根，则m＝____________.知识点3 方案设计的实际问题7．绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为( )A．x(x－10)＝900 B．x(x＋10)＝900C．10(x＋10)＝900 D．2[x＋(x＋10)]＝9008．如图，某小区规划在一块长30 m、宽20 m的长方形土地ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为78 m2，那么通道宽应设计成多少米？设通道宽为x m，则由题意列得方程为( )A．(30－x)(20－x)＝78B ．(30－2x)(20－2x)＝78C ．(30－2x)(20－x)＝6×78D ．(30－2x)(20－2x)＝6×789．如图，小明家有一块长1.50 m ，宽1 m 的矩形地毯，为了使地毯美观，小明请来工匠在地毯的四周镶上宽度相同的花色地毯，镶完后地毯的面积是原地毯面积的2倍，则花色地毯的宽为____________m.中档题10．一元二次方程x 2＋22x －6＝0的根是( ) A ．x 1＝x 2＝ 2 B ．x 1＝0，x 2＝－2 2 C ．x 1＝2，x 2＝－3 2 D ．x 1＝－2，x 2＝3 211．方程(m －2)x 2－3－mx ＋14＝0有两个实数根，则m 的取值范围是( )A ．m>52B ．m ≤52且m ≠2C ．m ≥3D ．m ≤3且m ≠212．在实数范围内定义一种运算“*”，使a*b＝(a＋1)2－ab，则方程(x＋2)*5＝0的解为____________．13．用公式法解方程：(1)(x－1)(1＋2x)＝2；(2)x2－2x＋1＝－32x.14．(泰州中考)已知：关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.(1)不解方程，判别方程的根的情况；(2)若方程有一个根为3，求m的值．15．(新疆中考)如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？综合题16．(淄博中考)关于x的一元二次方程(a－6)x2－8x＋9＝0有实根．(1)求a的最大整数值；(2)当a取最大整数值时，①求出该方程的根；②求2x2－32x－7x2－8x＋11的值．2.3参考答案1．C 2.D3．(1)将原方程化为一般形式，得x 2－3x ＋1＝0，∵a ＝1，b ＝－3，c ＝1，∴b 2－4ac ＝(－3)2－4×1×1＝5＞0.∴x ＝－（－3）±52×1.∴x 1＝3＋52，x 2＝3－52.(2)∵a ＝3，b ＝2，c ＝1，∴b 2－4ac ＝4－4×3×1＝－8<0.∴原方程没有实数根．4．B 5.B 6.94 7.B 8.C 9.0.25 10.C 11.B 12.x 1＝－1＋52，x 2＝－1－5213．(1)方程化为一般式，得2x 2－x －3＝0，x ＝－（－1）±（－1）2－4×2×（－3）2×2，x 1＝－1，x 2＝32.(2)方程化为一般式，得x 2＋22x ＋1＝0，x ＝－22±（22）2－4×1×12×1，x 1＝1－2，x 2＝－2－1.14．(1)∵b 2－4ac ＝(2m)2－4×1×(m 2－1)＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)将x ＝3代入原方程，得9＋6m ＋m 2－1＝0，解得m 1＝－2，m 2＝－4. 15．设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为(100－4x)米．根据题意，得(100－4x)x ＝400，解得x 1＝20，x 2＝5.则100－4x ＝20或100－4x ＝80.∵80＞25，∴x 2＝5舍去．∴AB ＝20，BC ＝20.答：羊圈的边长AB ，BC 分别是20米，20米． 16．(1)∵关于x 的一元二次方程(a －6)x 2－8x ＋9＝0有实根，∴a －6≠0，Δ＝(－8)2－4×(a －6)×9≥0.解得a ≤709且a ≠6.∴a 的最大整数值为7.(2)①当a ＝7时，原一元二次方程变为x 2－8x ＋9＝0，∴Δ＝(－8)2－4×1×9＝28.∴x ＝－（－8）±282，即x ＝4±7.∴x 1＝4＋7，x 2＝4－7.②∵x 是一元二次方程x 2－8x ＋9＝0的根，∴x 2－8x ＝－9.∴2x 2－32x －7x 2－8x ＋11＝2x 2－32x －7－9＋11＝2x 2－16x ＋72＝2(x 2－8x)＋72＝2×(－9)＋72＝－292.2.4用因式分解法求解一元二次方程一．选择题（共10小题）1．如果一个等腰三角形的两边长分别为方程x 2﹣5x +4=0的两根，则这个等腰三角形的周长为（ ）A ．6B ．9C ．6或9D ．以上都不正确2．已知3是关于x 的方程x 2﹣（m +1）x +2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长为（ ） A ．7 B ．10 C ．11 D ．10或113．解方程（5x ﹣1）2=3（5x ﹣1）的适当方法是（ ） A ．开平方法 B ．配方法 C ．公式法D ．因式分解法4．若分式的值为0，则x 的值为（ ）A ．3或﹣2B ．3C ．﹣2D ．﹣3或25．已知x为实数，且满足（x2+x+1）2+2（x2+x+1）﹣3=0，那么x2+x+1的值为（）A．1 B．﹣3 C．﹣3或1 D．﹣1或36．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（）A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对7．使分式的值等于零的x是（）A．6 B．﹣1或6 C．﹣1 D．﹣68．一元二次方程2x（x﹣3）=5（x﹣3）的根为（）A．x=B．x=3 C．x1=3，x2=﹣ D．x1=3，x2=9．已知关于x的方程（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣3）]=0（k是常数），则下列说法中正确的是（）A．方程一定有两个不相等的实数根B．方程一定有两个实数根C．当k取某些值时，方程没有实数根D．方程一定有实数根10．三角形的两边长是3和4，第三边长是方程x2﹣12x+35=0的根，则三角形的周长为（）A．12 B．13 C．14 D．12或14二．填空题（共5小题）11．方程3x（x﹣1）=2（x﹣1）的解为．12．若（x2+y2）2﹣5（x2+y2）﹣6=0，则x2+y2=．13．如果（x2+y2）（x2+y2﹣2）=3，则x2+y2的值是．14．关于x的一元二次方程（k﹣1）x+6x+8=0的解为．15．对任意实数a，b，若（a2+b2）（a2+b2﹣1）=12，则a2+b2=．三．解答题（共5小题）16．解方程：①2x2﹣4x﹣7=0（配方法）；②4x2﹣3x﹣1=0（公式法）；③（x+3）（x﹣1）=5；④（3y﹣2）2=（2y﹣3）2．17．解下列方程：（1）9（y+4）2﹣49=0（2）2x2+3=7x（配方法）；（3）2x2﹣7x+5=0 （公式法）（4）x2=6x+16（5）2x2﹣7x﹣18=0（6）（2x﹣1）（x+3）=4．18．用适当的方法解下列方程：（1）x2﹣5x﹣6=0；（2）（1﹣x）2﹣1=；（3）8x（x+2）=3x+6；（4）．19．阅读下面的例题与解答过程：例．解方程：x2﹣|x|﹣2=0．解：原方程可化为|x|2﹣|x|﹣2=0．设|x|=y，则y2﹣y﹣2=0．解得y1=2，y2=﹣1．当y=2时，|x|=2，∴x=±2；当y=﹣1时，|x|=﹣1，∴无实数解．∴原方程的解是：x1=2，x2=﹣2．在上面的解答过程中，我们把|x|看成一个整体，用字母y代替（即换元），使得问题简单化、明朗化，解答过程更清晰．这是解决数学问题中的一种重要方法﹣﹣换元法．请你仿照上述例题的解答过程，利用换元法解下列方程：（1）x2﹣2|x|=0；（2）x2﹣2x﹣4|x﹣1|+5=0．20．现定义一种新运算：“※”，使得a※b=4ab（1）求4※7的值；（2）求x※x+2※x﹣2※4=0中x的值；（3）不论x是什么数，总有a※x=x，求a的值．用因式分解法求解一元二次方程一．选择题（共10小题）1．（2017•新区一模）如果一个等腰三角形的两边长分别为方程x2﹣5x+4=0的两根，则这个等腰三角形的周长为（）A．6 B．9 C．6或9 D．以上都不正确2．（2016•荆门）已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（）A．7 B．10 C．11 D．10或113．（2016秋•兰州期中）解方程（5x﹣1）2=3（5x﹣1）的适当方法是（）A．开平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法4．（2016秋•利川市校级月考）若分式的值为0，则x的值为（）A．3或﹣2 B．3 C．﹣2 D．﹣3或25．（2016春•长兴县月考）已知x为实数，且满足（x2+x+1）2+2（x2+x+1）﹣3=0，那么x2+x+1的值为（）A．1 B．﹣3 C．﹣3或1 D．﹣1或36．（2015•安顺）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（）A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对7．（2015•东光县校级二模）使分式的值等于零的x是（）A．6 B．﹣1或6 C．﹣1 D．﹣68．（2015春•绍兴期末）一元二次方程2x（x﹣3）=5（x﹣3）的根为（）A．x=B．x=3 C．x1=3，x2=﹣ D．x1=3，x2=9．（2015春•下城区期末）已知关于x的方程（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣3）]=0（k是常数），则下列说法中正确的是（）A．方程一定有两个不相等的实数根B．方程一定有两个实数根C．当k取某些值时，方程没有实数根D．方程一定有实数根10．（2013秋•惠安县期中）三角形的两边长是3和4，第三边长是方程x2﹣12x+35=0的根，则三角形的周长为（）A．12 B．13 C．14 D．12或14二．填空题（共5小题）11．（2017•德州）方程3x（x﹣1）=2（x﹣1）的解为12．（2016•磴口县校级二模）若（x2+y2）2﹣5（x2+y2）﹣6=0，则x2+y2= 13．（2016秋•滨州月考）如果（x2+y2）（x2+y2﹣2）=3，则x2+y2的值是14．（2015秋•南江县期末）关于x的一元二次方程（k﹣1）x+6x+8=0的解为15．（2015春•婺城区期末）对任意实数a，b，若（a2+b2）（a2+b2﹣1）=12，则a2+b2=三．解答题（共5小题）16．解方程：①2x2﹣4x﹣7=0（配方法）；②4x2﹣3x﹣1=0（公式法）；③（x+3）（x﹣1）=5；④（3y﹣2）2=（2y﹣3）2．17．解下列方程：（1）9（y+4）2﹣49=0（2）2x2+3=7x（配方法）；（3）2x2﹣7x+5=0 （公式法）（4）x2=6x+16（5）2x2﹣7x﹣18=0（6）（2x﹣1）（x+3）=4．18．用适当的方法解下列方程：（1）x2﹣5x﹣6=0；（2）（1﹣x）2﹣1=；（3）8x（x+2）=3x+6；（4）．19．（2015春•沙坪坝区期末）阅读下面的例题与解答过程：例．解方程：x2﹣|x|﹣2=0．解：原方程可化为|x|2﹣|x|﹣2=0．设|x|=y，则y2﹣y﹣2=0．解得y1=2，y2=﹣1．当y=2时，|x|=2，∴x=±2；当y=﹣1时，|x|=﹣1，∴无实数解．∴原方程的解是：x1=2，x2=﹣2．在上面的解答过程中，我们把|x|看成一个整体，用字母y代替（即换元），使得问题简单化、明朗化，解答过程更清晰．这是解决数学问题中的一种重要方法﹣﹣换元法．请你仿照上述例题的解答过程，利用换元法解下列方程：（1）x2﹣2|x|=0；（2）x2﹣2x﹣4|x﹣1|+5=0．20．（2015秋•平南县月考）现定义一种新运算：“※”，使得a※b=4ab（1）求4※7的值；（2）求x※x+2※x﹣2※4=0中x的值；（3）不论x是什么数，总有a※x=x，求a的值．用因式分解法求解一元二次方程参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．B．2．D．3．D．4．A．5．A．6．B．7．A．8．D．9．D．10．A．二．填空题（共5小题）11．1或．12．：6．13．3．14．x1=4，x2=﹣1．15．4．三．解答题（共5小题）16．解：①x2﹣2x=x2﹣2x+1=（x﹣1）2=x﹣1=±∴x1=1+，x2=1﹣．②a=4，b=﹣3，c=﹣1，△=9+16=25x==∴x1=1，x2=﹣．③方程整理得：x2+2x﹣8=0（x+4）（x﹣2）=0∴x1=﹣4，x2=2．④（3y﹣2+2y﹣3）（3y﹣2﹣2y+3）=0 （5y﹣5）（y+1）=0∴y1=1，y2=﹣1．17．解：（1）方程变形得：（y+4）2=，开方得：y+4=±，解得：y1=﹣，y2=﹣；（2）方程整理得：x2﹣x=﹣，配方得：x2﹣x+=，即（x﹣）2=，开方得：x﹣=±，解得：x1=3，x2=；（3）这里a=2，b=﹣7，c=5，∵△=49﹣40=9，∴x=，解得：x1=2.5，x2=1；（4）方程整理得：x2﹣6x﹣16=0，即（x+2）（x﹣8）=0，解得：x1=﹣2，x2=8；（5）这里a=2，b=﹣7，c=﹣18，∵△=47+144=191，∴x=；（6）方程整理得：2x2+5x﹣7=0，即（2x+7）（x﹣1）=0，解得：x1=﹣3.5，x2=1．18．解：（1）x2﹣5x﹣6=0，（x﹣6）（x+1）=0，∴x1=6，x2=﹣1．（2）（1﹣x）2﹣1=，（1﹣x）2=+1，（1﹣x）2=，1﹣x=，∴x1=1﹣=﹣，x2=1+=．（3）8x（x+2）=3x+6，8x（x+2）﹣3（x+2）=0，（x+2）（8x﹣3）=0，∴x1=﹣2，x2=．（4）．y2﹣5=20，y2=25，y=±5，即y1=5，y2=﹣5．19．解：（1）原方程可化为|x|2﹣2|x|=0，设|x|=y，则y2﹣2y=0．解得y1=0，y2=2．当y=0时，|x|=0，∴x=0；当y=2时，∴x=±2；∴原方程的解是：x1=0，x2=﹣2，x3=2．（2）原方程可化为|x﹣1|2﹣4|x﹣1|+4=0．设|x﹣1|=y，则y2﹣4y+4=0，解得y1=y2=2．即|x﹣1|=2，∴x=﹣1或x=3．∴原方程的解是：x1=﹣1，x2=3．20．解：（1）4※7=4×4×7=112；（2）由新运算的定义可转化为：4x2+8x﹣32=0，解得x1=2，x2=﹣4；（3）∵由新运算的定义得4ax=x，∴（4a﹣1）x=0，∵不论x取和值，等式恒成立，∴4a﹣1=0，即．2.6 应用一元二次方程利润问题与增降率问题同步课时练习题1．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是( ) A．(3＋x)(4－0.5x)＝15 B．(x＋3)(4＋0.5x)＝15C．(x＋4)(3－0.5x)＝15 D．(x＋1)(4－0.5x)＝152. 某商品的售价为100元，连续两次降价x%后售价降低了36元，则x 为( )A ．8B ．20C ．36D ．183. 某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是( )A ．50(1＋x 2)＝196B ．50＋50(1＋x 2)＝196C ．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196D ．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝1964. 股票每天的涨跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为x ，则x 满足的方程是( )A ．(1＋x)2＝1110 B ．(1＋x)2＝109 C ．1＋2x ＝1110 D ．1＋2x ＝1095. 制造一种产品，原来每件成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价为第一个月降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为使两月后的销售利润与原来的销售利润一样，该产品的成本价平均每月应降低( )A ．5%B ．10%C ．20%D ．25%6. 某种文化衫，平均每天销售40件，每件盈利20元，若每件降价1元，则每天可多售出10件．如果每天要盈利1 080元，每件应降价________元．7．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价为a 元，则可卖出(350－10a)件，但物价局限定每件商品的利润不能超过进价的25%，商店计划要赚400元，需要卖出________件商品，每件商品的售价为________元．8. 某市为了更好地吸引外资，决定改善城市容貌，绿化环境．计划用两年时间，将绿地面积增加44%，则这两年平均每年绿地面积的增长率为___________．9. 李先生将10 000元存入银行，一年到期后取出2 000元购买电脑，余下8 000元及利息又存入银行，如果两次存款的年利率不变，一年到期后本息和是8 925元，则存款的年利率为________．10. 某公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入广告费为x(万元)时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y＝－x210＋710x＋710，如果把利润看作是销售额减去成本费和广告费，那么当年利润为16万元时，广告费x为________万元．11. 小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1 200元，请问她购买了多少件这种服装？12. 在一次“春风行动”捐款活动中，某单位第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；(2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？13. 某地2014年为做好“精准扶贫”，投入资金1 280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2016年在2014年的基础上增加投入资金1 600万元．(1)从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？(2)在2016年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1 000户(含第1 000户)每户每天奖励8元，1 000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？14. 毕业在即，某商店抓住商机，准备购进一批纪念品．若商店花440元可以购进50本学生纪念品和10本教师纪念品，其中教师纪念品的成本比学生纪念品的成本多8元．(1)请问这两种不同纪念品的成本分别是多少？(2)如果商店购进1 200个学生纪念品，第一周以每个10元的价格售出400个，第二周若按每个10元的价格仍可售出400个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售(根据市场调查，单价每降低1元，可多售出100个，但售价不得低于进价)，单价降低x元销售一周后，商店对剩余学生纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批纪念品共获利2 500元，问第二周每个纪念品的销售价格为多少元？15. 某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内(含10部)，每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．(1)若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为________万元；(2)如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？(盈利＝销售利润＋返利)答案：1---5 ABCBB6. 2或147. 100 258. 20%9. 5%10. 311. ∵80×10＝800元<1 200元，∴小丽买的服装数大于10件．设她购买了x 件这种服装，根据题意，得x[80－2(x－10)]＝1 200.解得x1＝20，x2＝30.∵1 200÷30＝40<50，∴x2＝30不合题意，舍去．答：她购买了20件这种服装．12. (1)设捐款增长率为x，则10 000·(1＋x)2＝12 100，解得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(不合题意，舍去)，∴捐款增长率为10%.(2)12 100×(1＋10%)＝13 310(元)，∴第四天该单位能收到13 310元的捐款．13. (1)设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意，得1 280(1＋x)2＝1 280＋1 600，解得x1＝0.5＝50%，x2＝－2.5(舍)，答：从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%.(2)设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意，得1 000×8×400＋(a－1 000)×5×400≥5 000 000，解得a≥1 900，答：今年该地至少有1 900户享受到优先搬迁租房奖励．14. (1)设学生纪念品的成本为x元，根据题意，得50x＋10(x＋8)＝440.解得x＝6.∴x＋8＝6＋8＝14.答：学生纪念品的成本为6元，教师纪念品的成本为14元．(2)第二周单价降低x元后，这周销售的销量为(400＋100x)个，由题意得400×(10－6)＋(10－x－6)(400＋100x)＋(4－6)[1 200－400－(400＋100x)]＝2 500，整理，得x2－2x＋1＝0.解得x1＝x2＝1.则10－1＝9(元)．答：第二周每个纪念品的销售价格为9元．15. (1)26.8.(2)设需要售出x 部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润为28－[27－0.1(x －1)]＝(0.1x ＋0.9)(万元)．当0<x≤10，根据题意得x·(0.1x＋0.9)＋0.5x ＝12，整理得x 2＋14x －120＝0，解得x 1＝－20(不合题意，舍去)，x 2＝6；当x>10时，根据题意得x·(0.1x＋0.9)＋x ＝12，整理得x 2＋19x －120＝0，解得x 1＝－24(不合题意，舍去)，x 2＝5，因为5<10，所以x 2＝5舍去．综上可知，需要售出6部汽车．第二章一元二次方程第Ⅰ卷 (选择题 共30分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ) A ．x 2＋1x2＝0 B ．ax 2＋bx ＋c ＝0C ．(x －1)(x ＋2)＝1D ．3x 2－2xy －5y 2＝02．已知关于x 的方程(4－a )xa 2－3a －2－ax －5＝0是一元二次方程，则它的一次项系数是( )A ．－1B ．1C ．4D ．4或－13．用配方法解一元二次方程x 2－6x －10＝0时，下列变形正确的是( ) A ．(x ＋3)2＝1 B ．(x －3)2＝1 C ．(x ＋3)2＝19 D ．(x －3)2＝194．若2x ＋1与2x －1互为倒数，则实数x 的值为( ) A ．±12 B ．±1 C ．±22D ．± 25．已知关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( )A ．a <2B ．a >2C ．a <2且a ≠1D ．a <－2 6．若关于x 的方程x 2＋2x －3＝0与2x ＋3＝1x －a有一个解相同，则a 的值为( )A ．1B ．1或－3C ．－1D ．－1或37．某品牌服装原价为173元，连续两次降价x %后售价为127元，下面所列方程中正确的是( )A ．173(1＋x %)2＝127B ．173(1－2x %)＝127C ．173(1－x %)2＝127D ．127(1＋x %)＝1738．已知3是关于x 的方程x 2－(m ＋1)x ＋2m ＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC 的两条边的长，则△ABC 的周长为( )A ．7B ．10C ．11D ．10或119．若a 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≤1，1－a 2>2，则关于x 的方程(a －2)x 2－(2a －1)x ＋a＋12＝0的根的情况是( ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．以上三种情况都有可能10．定义：如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)满足a ＋b ＋c ＝0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)满足a －b ＋c ＝0，那么我们称这个方程为“美好”方程．若一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则下列结论正确的是( )A ．方程有两个相等的实数根B ．方程有一根等于0C ．方程两根之和等于0D ．方程两根之积等于0 请将选择题答案填入下表：第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(每小题3分，共18分)11．在估算一元二次方程x 2＋12x －15＝0的根时，小彬列表如下：由此可估算方程x 2＋12x －15＝0的一个根x 的范围是________． 12．若(m 2＋n 2)(1－m 2－n 2)＋6＝0，则m 2＋n 2的值为________．13．某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克，且10≤x ≤18)之间的函数关系如图1所示，该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？列出关于x 的方程是__________________．(不需化简和解方程)图114．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是____________．15．已知x1，x2为方程x2＋4x＋2＝0的两实数根，则x13＋14x2＋5＝________.16．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有下列说法：①若a＋c＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0必有实数根；②若b2＋4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0一定有实数根；③若a－b＋c＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0一定有两个不相等的实数根；④若方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，则方程cx2＋bx＋a＝0一定有两个实数根．其中正确的有________(填序号)．三、解答题(共72分)17．(6分)用适当的方法解下列方程：(1)(x＋1)(x－2)＝x－2；(2)(2x＋1)2＝x2＋2.18．(6分)已知m是方程x2－2x－2＝0的根，且m＞0，求代数式m2－1m＋1的值．19．已知关于x的一元二次方程x(x－2)＝x－2①与一元一次方程2x＋1＝2a－x②.(1)若方程①的一个根是方程②的根，求a的值；(2)若方程②的根不小于方程①两根中的较小根且不大于方程①两根中的较大根，求a的取值范围．20．(8分)已知关于x的一元二次方程x2－(t－1)x＋t－2＝0.(1)求证：对于任意实数t，方程都有实数根；(2)当t为何值时，方程的两个根互为相反数？21．(10分)受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，某市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2015年利润为2亿元，2017年利润为2.88亿元．(1)求该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率；(2)若2018年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2018年的利润能否超过3.4亿元？22．(10分)某经销店为厂家代销一种新型环保水泥，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元．该经销店为扩大销售量、提高经营利润，计划采取降价的方式进行促销，经市场调查发现，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．(1)填空：当每吨售价是240元时，此时的月销售量是________吨；(2)若该经销店计划获得9000元的月利润而且尽可能地扩大销售量，则售价应定为每吨多少元？23．(12分)某住宅小区在住宅建设时留下一块1798平方米的矩形空地，准备建一个矩形的露天游泳池，设计图如图2所示，游泳池的长是宽的2倍，在游泳池的前侧留一块5米宽的空地，其他三侧各保留2米宽的道路及1米宽的绿化带．(1)请你计算出游泳池的长和宽；(2)已知贴1平方米瓷砖需费用50元，若游泳池深3米，现要把池底和池壁(共5个面)都贴上瓷砖，共需要费用多少元？图224．(12分)如图3，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，AD＝2 cm，点P以2 cm/s 的速度从顶点A出发沿折线A－B－C向点C运动，同时点Q以1 cm/s的速度从顶点C出发向点D运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．(1)问两动点运动几秒后，四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的49；(2)问是否存在某一时刻使得点P与点Q之间的距离为 5 cm.若存在，请求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由．图3答案1．C 2．B 3．D 4．C 5．C 6．C 7．C 8．D 9．C 10．C11．1.1＜x ＜1.2 12．313．(x －10)(－2x ＋60)＝150 [解析] 设y 与x 之间的函数表达式为y ＝kx ＋b ，把(10，40)，(18，24)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧10k ＋b ＝40，18k ＋b ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝60，∴y 与x 之间的函数表达式为y ＝－2x ＋60(10≤x ≤18)，∴W ＝(x －10)(－2x ＋60)，当销售利润为150元时，可得(x －10)(－2x ＋60)＝150.14．(3＋x)(4－0.5x)＝15 15．－43 16．①②17．解：(1)(x ＋1)(x －2)－(x －2)＝0， (x －2)(x ＋1－1)＝0， x －2＝0或x ＋1－1＝0， 所以x 1＝2，x 2＝0. (2)3x 2＋4x －1＝0，Δ＝42－4×3×(－1)＝28，x ＝－4±272±3＝－2±73，所以x 1＝－2＋73，x 2＝－2－73.18．解：x 2－2x －2＝0，x 2－2x ＝2，x 2－2x ＋1＝3， (x －1)2＝3，x ＝±3＋1. ∵m ＞0，∴m ＝3＋1.∴m2－1m＋1＝m－1＝ 3.19．解：(1)解方程①，得x1＝1，x2＝2，解方程②，得x＝2a－1 3.当2a－13＝1时，a＝2；当2a－13＝2时，a＝72.综上所述，a的值是2或7 2 .(2)由题可知，1≤2a－13≤2，解得2≤a≤72.20．解：(1)证明：∵在方程x2－(t－1)x＋t－2＝0中，Δ＝[－(t－1)]2－4×1×(t－2)＝t2－6t＋9＝(t－3)2≥0，∴对于任意实数t，方程都有实数根．(2)设方程的两个根分别为m，n.∵方程的两个根互为相反数，∴m＋n＝t－1＝0，解得t＝1.∴当t＝1时，方程的两个根互为相反数．21．解：(1)设该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率为x.L根据题意，得2(1＋x)2＝2.88，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．答：该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率为20%.(2)如果2018年仍保持相同的年平均增长率，那么2018年该企业年利润为2.88×(1＋20%)＝3.456(亿元)，因为3.456＞3.4，所以该企业2018年的利润能超过3.4亿元．22．解：(1)60(2)解法一：设每吨售价下降10x(0＜x＜16)元．由题意，可列方程(260－100－10x)(45＋7.5x)＝9000，化简，得x2－10x＋24＝0，解得x1＝4，x2＝6.所以当售价定为每吨200元或220元时，该经销店的月利润均为9000元．当售价定为每吨200元时，销量更大，所以售价应定为每吨200元．解法二：设售价定为每吨x元．由题意，可列方程(x－100)(45＋260－x10×7.5)＝9000.化简，得x2－420x＋44000＝0，解得x1＝200，x2＝220.因为要尽可能地扩大销售量，所以售价应定为每吨200元．23．解：(1)设游泳池的宽为x米，则长为2x米．根据题意，得。
北师大版九年级上册数学第二章 一元二次方程 含答案
北师大版九年级上册数学第二章一元二次方程含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、若2x2+1与4x2－2x－5互为相反数，则x为（）A.－1或B.1或C.1或D.1或2、解一元二次方程x²-4x+1=0，用配方法可变形为( )A. B. C. D.3、用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）．A.x 2-2x-99=0化为(x-1) 2=100B.x 2+8x+9=0化为(x+4) 2=25C.2t 2-7t-4=0化为D.3y 2-4y-2=0化为4、用配方法解方程x2﹣2x﹣2＝0，原方程应变形为( )A.( x+1) 2＝3B.( x﹣1) 2＝3C.( x+1) 2＝1D.( x﹣1) 2＝15、用配方法解一元二次方程x2+4x+1＝0，下列变形正确的是（）A.（x﹣2）2﹣3＝0B.（x+4）2＝15C.（x+2）2＝15D.（x+2）2＝36、用配方法解方程：x2-4x+2=0，下列配方正确的是（）A.（x-2）2=2B.（x+2）2=2C.（x-2）2=-2D.（x-2）2=67、用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（）A. B. C. D.8、用配方法解方程，配方正确的是（）A. B. C. D.9、用配方法解方程时，原方程应变形为（）A. B. C. D.10、用配方法解一元二次方程x2＋3＝4x，下列配方正确的是（）A.(x＋2) 2＝2B.(x－2) 2＝7C.(x＋2) 2＝1D.(x－2) 2＝111、用配方法解方程x2-6x-1=0，方程应变形为（）A.（x+3）2=10B.（x-6）2=1C.（x-3）2=10D.（x-3）2=912、用配方法解方程x2﹣4x+1=0，下列配方正确是（）A.（x﹣2）2=5B.（x+2）2=5C.（x﹣2）2=3D.（x+2）2=313、用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0时，下列配方正确的是（）A.（x﹣1）2+1＝0B.（x+1）2+1＝0C.（x﹣1）2﹣1＝0D.（x﹣1）2﹣2＝014、对于任意实数，代数式x2-4x+5的值是一个（）A.非负数B.正数C.负数D.无法确定15、若一元二次方程x2+bx+5=0配方后为（x-2）2+k=0，则b、k的值分别是（）A.0、5B.0、1C. 、1D. 、5二、填空题(共10题，共计30分)16、都匀市体育局要组织一次篮球赛．赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛?设应邀请x支球队参加比赛，则列方程为：________。
2.1.1认识一元二次方程课堂精练北师大版数学九年级上册
2.1.1认识一元二次方程一、选择题1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是()A.ax2+bx+c=0B.1-x=1x2C.x2-x=2D.(x-1)2+1=x22.方程2x2-6x=9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为()A.6,2,9B.2,-6,9C.2,-6,-9D.-2,6,-93.为宣传“扫黑除恶”专项行动,社区准备制作一幅宣传版面,喷绘时为了美观,要在矩形图案四周外围增加一圈等宽的白边.已知图案的长为2米,宽为1米,图案面积占整幅宣传版面面积的90%.若设白边的宽为x米,则根据题意可列出方程()A.90%×(2+x)(1+x)=2×1B.90%×(2+2x)(1+2x)=2×1C.90%×(2-2x)(1-2x)=2×1D.(2+2x)(1+2x)=2×1×90%4.将方程2(x+3)(x-4)=x2-10化为一般形式为()A.x2-2x-14=0B.x2+2x+14=0C.x2+2x-14=0D.x2-2x+14=0二、填空题5.三个连续奇数的平方和是251,求这三个数.若设最小的数为x,则可列方程为.6.已知方程(m+2)x2+(m+1)x-m=0是关于x的方程,当m满足条件:时,它是一元一次方程;当m满足条件:时,它是一元二次方程.7.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+m2-1=0的常数项为0,则m的值是.8.已知(m-1)x m2+1-3x+1=0是关于x的一元二次方程,则m=.三、解答题9.结合题意列出方程,并将其化成一元二次方程的一般形式.(1)一长方形的面积为64 cm2,若它的长是宽的2倍,则它的长,宽分别是多少?设它的宽为x cm.(2)两数之差是2,平方和是52,求此两数.设较小的数为x.(3)生物兴趣小组的同学,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组共互赠了182件,求全组有多少名同学.设全组有x名同学.10.已知关于x的方程(k2-1)x2+(k+1)x-2=0.(1)当k取何值时,此方程为一元一次方程?求出此时方程的解;(2)当k取何值时,此方程为一元二次方程?写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项.11、若x2a+b-2x a-b+3=0是关于x的一元二次方程,求a,b的值.张敏的想法如下:a,b必须满足{2a+b=2,a-b=2.张敏的想法全面吗?若不全面,请你写出a,b另外满足的条件.答案[课堂达标] 1.C2.C [解析] 方程2x 2-6x=9化成一般形式可以是2x 2-6x -9=0,∴二次项系数为2,一次项系数为-6,常数项为-9.故选C .3.B4.A5.x 2+(x+2)2+(x+4)2=2516.m=-2 m ≠-2 [解析] 当m+2=0,m+1≠0,即m=-2时,方程是一元一次方程;当m+2≠0,即m ≠-2时,方程是一元二次方程.7.-1 [解析] 根据题意,得m -1≠0,m 2-1=0,所以m=-1. 8.-19.解:(1)根据题意得2x 2=64,即x 2=32,化为一般形式为x 2-32=0(化为一般形式不唯一). (2)根据题意列方程,得x 2+(x+2)2=52, 化为一般形式为x 2+2x -24=0.(3)根据题意得x (x -1)=182,化为一般形式为x 2-x -182=0(化为一般形式不唯一). 10.解:(1)当k=1时,此方程为一元一次方程,其解为x=1.(2)当k ≠±1时,此方程为一元二次方程,二次项系数为k 2-1,一次项系数为k+1,常数项为-2. [素养提升]解:不全面,还有{2a +b =2,a -b =1或{2a +b =2,a -b =0或{2a +b =1,a -b =2或{2a +b =0,a -b =2.2.1.2一元二次方程的解的估算一、选择题1.若2是关于x 的方程x 2-3x+k=0的一个根,则常数k 的值为 ( ) A .1B .2C .-1D .-22.根据下列表格的对应值判断关于x 的方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的一个根x 的范围是 ( )x3.24 3.25 3.26ax 2+bx+c -0.02 0.01 0.03A .x<3.24B .3.24<x<3.25C .3.25<x<3.26D .3.25<x<3.283.观察表格中的数据得出方程x 2-2x -4=0的一个根的十分位上的数字应是 ( )x -2 -1.4 -1.3 -1.2 -1.1 0 x 2-2x -44 0.76 0.29 -0.16 -0.59 -4A.0B.1C.2D.34.已知关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,a,b,c满足a+b+c=0和4a-2b+c=0,则方程的两个根分别为()A.1,0B.-2,0C.1,-2D.-1,25.已知关于x的一元二次方程x2+bx+a=0有一个非零根-a,则a-b的值为()A.1B.-1C.0D.-26.已知α是一元二次方程x2-x-1=0较大的根,则下面对α的估计正确的是()A.0<α<1B.1<α<1.5C.1.5<α<2D.2<α<3二、填空题7.为估算方程x2-2x-8=0的解,列出了下表:x-2-101234x2-2x-80-5-8-9-8-50由此可判断方程x2-2x-8=0的解为.8.已知x2-3x+1=0,依据下表,它的一个解x的范围是.x-1-0.500.51x2-3x+152.751-0.25-19.若a是方程3x2-x-2=0的一个根,则2025+2a-6a2的值等于.三、解答题10.已知关于x的一元二次方程(a+1)x2-ax+a2-1=0的一个根为0,求a的值.11.对于向上抛出的物体,在没有空气阻力的条件下,有如下关系:h=vt-1gt2,其中h是离抛出点2的高度,v是初速度,g是重力加速度(g取10 m/s2),t是抛出后所经过的时间.如果将一物体以25 m/s的初速度向上抛出,几秒钟后它在离抛出点20 m高的地方?12、有一个面积为54 m2的矩形,将它的一边剪短5 m,与其相邻的另一边剪短2 m后,恰好变成一个正方形.(1)若设这个正方形的边长为x m,请根据题意列出方程;(2)x可能小于0吗?说说你的理由;(3)正方形的边长可能是2 m吗?可能是3 m吗?为什么?(4)你能求出x的值吗?请写出求解过程.答案[课堂达标]1.B[解析] ∵2是一元二次方程x2-3x+k=0的一个根,∴22-3×2+k=0,解得k=2.故选B.2.B[解析] 观察表格可知,当ax2+bx+c=0(a≠0)时,对应的一个根x的范围是3.24<x<3.25.3.C[解析] ∵当x=-1.3时,x2-2x-4=0.29>0;当x=-1.2时,x2-2x-4=-0.16<0,∴方程x2-2x-4=0的一个根x在-1.3<x<-1.2的范围内,∴方程x2-2x-4=0的一个根的十分位上的数字应是2.故选C.4.C[解析] 当x=1时,a+b+c=0;当x=-2时,4a-2b+c=0.所以方程的两个根分别为1,-2.故选C.5.B[解析] ∵关于x的一元二次方程x2+bx+a=0有一个非零根-a,∴a2-ab+a=0.∵-a≠0,∴a≠0.上式两边同时除以a,得a-b+1=0,∴a-b=-1.6.C7.x=-2或x=48.0<x<0.5[解析] ∵当x=0时,x2-3x+1=1>0;当x=0.5时,x2-3x+1=-0.25<0,∴当x在0<x<0.5的范围内取某一个值时,x2-3x+1=0,∴方程x2-3x+1=0的一个解的范围是0<x<0.5.故答案为0<x<0.5.9.2021[解析] ∵a是方程3x2-x-2=0的一个根,∴3a2-a-2=0,故3a2-a=2,则2025+2a-6a2=2025-2(3a2-a)=2025-2×2=2021.故答案为2021.10.[解析] 根据一元二次方程的定义和一元二次方程的根的定义得到a+1≠0且a2-1=0,然后解不等式和方程即可得到a的值.解:∵一元二次方程(a+1)x2-ax+a2-1=0的一个根为0,∴a+1≠0且a2-1=0,∴a=1.11.解:由题意,得25t-5t2=20,列表略,可得方程的解为t=1或t=4,所以1 s或4 s后,物体在离抛出点20 m高的地方.[素养提升]解:(1)所列方程为(x+5)(x+2)=54,即x2+7x-44=0.(2)x不可能小于0,因为x表示正方形的边长.(3)正方形的边长不可能是2 m,也不可能是3 m,因为x=2和x=3都不满足方程x2+7x-44=0.(4)能.列表如下:x12345x2+7x-44-36-26-14016所以x=4.2.2.1用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程一、选择题x2=8的根是()1.方程12A.x=2B.x=4C.x=±2D.x=±42.一元二次方程y2-y-34=0配方后可化为()A.y+122=1B.y-122=1C.y+122=34D.y-122=343.如果一元二次方程x2+bx+5=0配方后为(x-3)2=k,那么b,k的值分别为()A.0,4B.0,5C.-6,5D.-6,4二、填空题4.填空:(1)x2+10x+=(x+)2;(2)x2+()+916=[x+()]2.5.[2020·扬州] 方程(x+1)2=9的根是.6.如果方程x2+4x+n=0可以配方成(x+m)2=3,那么(n-m)2021=.三、解答题7.解下列方程:(1)(x-1)2=36;(2)x2-2x-24=0;(3)x2-x+3=4;(4)x2-3x=3x+16;(5)x2-2√2x-3=0.8.如图,在长为62米、宽为42米的矩形草地上修同样宽的路,余下部分种植草坪.要使草坪的面积为2400平方米,求道路的宽.9、有n个方程:x2+2x-8=0;x2+2×2x-8×22=0;…;x2+2nx-8n2=0.小静同学解第1个方程x2+2x-8=0的步骤为“①x2+2x=8;②x2+2x+1=8+1;③(x+1)2=9;④x+1=±3;⑤x=1±3;⑥x1=4,x2=-2.”(1)小静的解法是从步骤开始出现错误的;(2)用配方法解第n个方程x2+2nx-8n2=0(用含n的式子表示方程的根).答案[课堂达标] 1.D2.B [解析] y 2-y -34=0,y 2-y=34, y 2-y+14=1,y -122=1. 故选B .3.D [解析] ∵(x -3)2=k ,∴x 2-6x+9-k=0.∵一元二次方程x 2+bx+5=0配方后为(x -3)2=k ,∴b=-6,9-k=5,∴k=4,∴b ,k 的值分别为-6,4.故选D . 4.(1)25 5 (2)±32x ±345.x 1=2,x 2=-4 [解析] (x+1)2=9,x+1=±3,x 1=2,x 2=-4.故答案为x 1=2,x 2=-4.6.-1 [解析] 由题意得x 2+4x=-n , ∴x 2+4x+4=4-n ,即(x+2)2=4-n. 又(x+m )2=3,∴m=2,n=1, 则(n -m )2021=(1-2)2021=-1. 故答案为-1.7.解:(1)直接开平方,得x -1=±6, ∴x -1=6或x -1=-6, ∴x 1=7,x 2=-5.(2)移项,得x 2-2x=24.配方,得x 2-2x+1=24+1,即(x -1)2=25. 两边开平方,得x -1=±5. ∴x 1=6,x 2=-4. (3)移项,得x 2-x=1. 配方,得x 2-x+14=54.整理,得x -122=54,∴x -12=±√52, 即x 1=1+√52,x 2=1-√52.(4)原方程可化为x 2-6x=16. 配方,得x 2-6x+9=16+9. 整理,得(x -3)2=25,∴x -3=±5, 即x 1=8,x 2=-2. (5)移项,得x 2-2√2x=3.配方,得x 2-2√2x+(√2)2=(√2)2+3, 即(x -√2)2=5.两边开平方,得x -√2=±√5. ∴x 1=√2+√5,x 2=√2-√5. 8.解:设道路的宽为x 米. 根据题意,得(62-x )(42-x )=2400.整理,得x2-104x+204=0.解得x1=2,x2=102(不合题意,舍去).答:道路的宽是2米.[素养提升]解:(1)⑤(2)x2+2nx-8n2=0,x2+2nx=8n2,x2+2nx+n2=8n2+n2,(x+n)2=9n2,x+n=±3n,x=-n±3n,∴x1=-4n,x2=2n.2.2.2用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程一、选择题1.用配方法解方程2x2-4x+3=0,配方正确的是()A.2x2-4x+4=3+4B.2x2-4x+4=-3+4C .x 2-2x+1=32+1D .x 2-2x+1=-32+12.[2020·聊城] 用配方法解一元二次方程2x 2-3x -1=0,配方正确的是( ).A .x -342=1716B .x -342=12C .x -322=134D .x -322=1143.图中用配方法解方程12x 2-x -2=0的四个步骤中,出现错误的是( )A .①B .②C .③D .④ 4.对于任何实数m ,n ,多项式m 2+n 2-6m -10n+36的值总是 ( )A .2B .0C .大于2D .不小于2二、填空题5.一元二次方程5x 2-4x=1的解为 .6.把方程2x 2+4x -1=0配方后得(x+m )2=k ,则m= ,k= .7.若一个三角形的两边长分别为2和3,第三边长是方程2x 2-3x -5=0的一个根,则这个三角形的周长为 .8.如图,在Rt △ABC 中,∠B=90°,AB=6厘米,BC=3厘米,点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1厘米/秒的速度移动,点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2厘米/秒的速度移动,到点C 停止运动,此时点P 也停止运动.如果点P ,Q 分别从A ,B 两点同时出发,则经过 秒后,P ,Q 两点间的距离为4√2厘米.三、解答题9.用配方法解下列方程:(1)2x2-4x-6=0;(2)2x2+2=5x;=0.(3)2x2+x-1210、求y2+4y+8的最小值.阅读下面的解答过程.解:y2+4y+8=y2+4y+4+4=(y+2)2+4.∵(y+2)2≥0,∴(y+2)2+4≥4,即y2+4y+8的最小值为4.仿照上面的解答过程,解答下列问题.(1)求m2+2m+4的最小值;(2)求4-x2+2x的最大值.答案[课堂达标] 1.D2.A [解析] 移项,得2x 2-3x=1,二次项系数化为1,得x 2-32x=12,配方,得x 2-32x+342=12+342, 即x -342=1716.故选A .3.D4.D [解析] m 2+n 2-6m -10n+36=m 2-6m+9+n 2-10n+25+2=(m -3)2+(n -5)2+2. ∵(m -3)2≥0,(n -5)2≥0, ∴(m -3)2+(n -5)2+2≥2,∴多项式m 2+n 2-6m -10n+36的值总是不小于2.故选D . 5.x 1=-15,x 2=16.1 32[解析] 把方程2x 2+4x -1=0配方得(x+1)2=32.∵把方程2x 2+4x -1=0配方后得(x+m )2=k , ∴m=1,k=32. 7.1528.25 [解析] 设t 秒后PQ=4√2, 则BP=6-t ,BQ=2t. ∵∠B=90°,∴BP 2+BQ 2=PQ 2, ∴(6-t )2+(2t )2=(4√2)2. 解得t=25或t=2. 由题意,得t ≤32,∴t=25.故答案为25.9.解:(1)原方程可化为x 2-2x -3=0, 移项、配方得x 2-2x+1=3+1,即(x -1)2=4, 两边开平方,得x -1=±2, ∴x 1=1+2=3,x 2=1-2=-1. (2)原方程可化为x 2-52x=-1. 配方,得x 2-52x+2516=916,即(x -54)2=916. 两边开平方,得x -54=±34, ∴x 1=2,x 2=12.(3)原方程可化为x 2+12x=14,配方,得x 2+12x+116=14+116,即x+142=516,两边开平方,得x+14=±√54, ∴x 1=-1+√54,x 2=-1-√54.。
北师大版数学九年级上册《一元二次方程的根与系数的关系》同步练习题含答案
北师⼤版数学九年级上册《⼀元⼆次⽅程的根与系数的关系》同步练习题含答案第⼆章⼀元⼆次⽅程 2.5 ⼀元⼆次⽅程的根与系数的关系1．已知关于x的⼀元⼆次⽅程x2－x－3＝0的两个实数根分别为α，β，则(α＋3)(β＋3)等于( )A. 8B. 9C. 10D. 122. 设x1，x2是⽅程5x2－3x－2＝0的两个实数根，则1x1＋1x2的值为( )A. －4B. －3C. －2D. －323. 若关于x的⼀元⼆次⽅程x2－(a＋5)x＋8a＝0的两个实数根分别为2和b，则ab等于( )A. 4B. 3C. 2D. 14. 已知a，b是⽅程x2－x－3＝0的两个根，则代数式5a2＋b2－5a－b＋5的值为( )A. 20B. 22C. 23D. 255. 设m，n是⼀元⼆次⽅程x2＋2x－7＝0的两个根，则m2＋3m＋n等于( )A. 9B. 7C. 5D. 36. 已知⼀元⼆次⽅程-4x +3=0两根为x1、x2，则x1?x2=( )A. 4B. 3C. -4D. -37. 判断⼀元⼆次⽅程式x2-8x-a=0中的a为下列哪⼀个数时，可使得此⽅程式的两根均为整数？( )A. 12B. 16C. 20D. 248. 若关于x的⼀元⼆次⽅程x2-4x+5-a=0有实数根，则a的取值范围是( )A. a≥1B. a＞1C. a≤1D. a＜19. 已知x1，x2是⼀元⼆次⽅程x2-4x+1=0的两个实数根，则x1x2-x1-x2的值等于( )A. -3B. 0C. 3D. 510. 如果⼀元⼆次⽅程x2-3x-1=0的两根为x1、x2，那么x1+x2=( )A. -3B. 3C. -1D. 111. 若关于x的⽅程x2+3x+a=0有⼀个根为-1，则另⼀个根为12. 设x1，x2是⼀元⼆次⽅程-2x-3=0的两根，则 =13. 设α，β是⼀元⼆次⽅程x2＋2x－1＝0的两个根，则αβ的值是14. 若m，n是⼀元⼆次⽅程x2＝5x＋2的两个实数根，则m－mn＋n的值是15. 关于x的⽅程x2－ax＋2a＝0的两根的平⽅和是5，则a的值是16. 已知x1，x2是关于x的⽅程x2＋ax－2b＝0的两实数根，且x1＋x2＝－2，x1·x2＝1，则b a的值是17. 已知关于x的⽅程x2＋3x＋a＝0有⼀个根为－2，则另⼀个根为18. 已知m，n是关于x的⼀元⼆次⽅程x2－3x＋a＝0的两个根，若(m－1)(n －1)＝－6，则a＝19. 若关于x⼀元⼆次⽅程x2-x-m+2=0的两根x1，x2满⾜（x1-1）（x2-1）=-1，则m的值为20. 已知⽅程x2+mx+3=0的⼀个根是1，则它的另⼀个根是_______，m的值是_______21. 已知关于x的⼀元⼆次⽅程x2+2x+m=0有实数根，则m的取值范围是_______22. 在解⽅程x2＋px＋q＝0时，甲同学看错了p，解得⽅程的根为x1＝1，x2＝－3；⼄同学看错了q，解得⽅程的根为x1＝4，x2＝－2，则⽅程中的p＝______，q＝________．23. 已知直⾓三⾓形的两条直⾓边的长恰好是⽅程2x2-8x+7=0的两个根，则这个直⾓三⾓形的斜边长是_________24. 关于x 的⼀元⼆次⽅程（m-2）x 2+2x+1=0有实数根，求m 的取值范围.25. 设x 1，x 2是⼀元⼆次⽅程2x 2－x －3＝0的两根，求下列代数式的值．(1)x 12＋x 22；(2)x 2x 1＋x 1x 2；(3)x 12＋x 22－3x 1x 2.26. 若关于x 的⼀元⼆次⽅程x 2－4x ＋k －3＝0的两个实数根为x 1，x 2，且满⾜x 1＝3x 2，试求出⽅程的两个实数根及k 的值．27. 已知关于x 的⼀元⼆次⽅程x 2－6x ＋(2m ＋1)＝0有实数根．(1)求m 的取值范围；(2)如果⽅程的两个实数根为x 1，x 2，且2x 1x 2＋x 1＋x 2≥20，求m 的取值范围．。
北师大版九年级数学上册第二章《一元二次方程》训练试题和答案
九上专题训练《一元二次方程》含答案一．选择题（共8小题）1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（）A．2x2﹣+1＝0 B．（x+2）（2x﹣1）＝2x2C．5x2﹣1＝0 D．ax2+bx+c＝02．用配方法解方程x2﹣6x﹣7＝0，下列配方正确的是（）A．（x﹣3）2＝16 B．（x+3）2＝16 C．（x﹣3）2＝7 D．（x﹣3）2＝23．利用求根公式求的根时，a，b，c的值分别是（）A．5，，6 B．5，6，C．5，﹣6，D．5，﹣6，﹣4．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥﹣2 B．k≥﹣2且k≠﹣1 C．k≥2 D．k≤﹣25．a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式a3+2a2+2018的值是（）A．2018 B．2019 C．2020 D．20216．若（a2+b2﹣3）2＝25，则a2+b2＝（）A．8或﹣2 B．﹣2 C．8 D．2或﹣8 7．已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，则方程a （x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（）A．1，5 B．﹣1，3 C．﹣3，1 D．﹣1，5 8．《代数学》中记载，形如x2+10x＝39的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为39+25＝64，则该方程的正数解为8﹣5＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+6x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（）A．6 B．3﹣3 C．3﹣2 D．3﹣二．填空题（共5小题）9．用公式法解方程2x2﹣7x+1＝0，其中b2﹣4ac＝，x1＝，x2＝．10．关于x的方程（m2﹣1）x3+（m﹣1）x2+2x+6＝0，当m＝时为一元二次方程．11．填上适当的数，使下列各式配方成立：（1）x2﹣x+ ＝（x﹣）2；（2）x2+ +＝（x+ ）2；（3）x2﹣2x+ ＝（x﹣）2；（4）2x2﹣12x+5＝2（x﹣）2﹣．12．若m为实数，方程x2﹣3x+m＝0的一个根的相反数是方程x2+3x﹣3＝0的一个根，则x2﹣3x+m＝0的根是．13．对于实数p、q，我们用符号min{p，q}表示p、q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，若min{（x﹣1）2，x2}＝1，则x＝．三．解答题（共8小题）14．按要求解下列方程（1）用配方法解方程：2x2﹣3x﹣3＝0；（2）用公式法解方程：（x+1）（x﹣3）＝2x﹣5．15．当m是何值时，关于x的方程（m2+2）x2+（m﹣1）x﹣4＝3x2（1）是一元二次方程；（2）是一元一次方程；（3）若x＝﹣2是它的一个根，求m的值．16．阅读下列材料：（1）关于x的方程x2﹣3x+1＝0（x≠0）方程两边同时乘以得：即，，（2）a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）．根据以上材料，解答下列问题：（1）x2﹣4x+1＝0（x≠0），则＝，＝，＝；（2）2x2﹣7x+2＝0（x≠0），求的值．17．阅读下列两则材料，回答问题材料一：我们将（+）与（﹣）称为一对“对偶式”因为（+）（﹣）＝（）2﹣（）2＝a﹣b，所以构造“对俩式”相乘可以有效地将（+）和（﹣）中的“”去掉例如：已知﹣＝2，求+的值．解：（﹣）×（+）＝（25﹣x）﹣（15﹣x）＝10 ∵﹣＝2，∴+＝5材料二：如图，点A（x1，y1），点B（x2，y2），以AB为斜边作Rt△ABC，则C（x2，y1），于是AC＝|x1﹣x2|，BC＝|y1﹣y2|，所以AB＝ 1反之，可将代数式的值看作点（x1，y1）到点（x2，y2）的距离．例如＝＝＝．所以可将代数式的值看作点（x，y）到点（1，﹣1）的距离．（1）利用材料一，解关于x的方程：﹣＝2，其中x≤4；（2）①利用材料二，求代数式的最小值，并求出此时y与x的函数关系式，写出x的取值范图；②将①所得的y与x的函数关系式和x的取值范围代入y＝+中解出x，直接写出x的值．专题训练：一元二次方程参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（）A．2x2﹣+1＝0 B．（x+2）（2x﹣1）＝2x2C．5x2﹣1＝0 D．ax2+bx+c＝0【解答】解：A，2x2﹣+1＝0，不是整式方程，故不是一元二次方程；B，原方程变形为：3x﹣2＝0，故不是一元二次方程；C，5x2﹣1＝0是一元二次方程；D，ax2+bx+c＝0，当a＝0时，不是一元二次方程；故选：C．2．用配方法解方程x2﹣6x﹣7＝0，下列配方正确的是（）A．（x﹣3）2＝16 B．（x+3）2＝16 C．（x﹣3）2＝7 D．（x﹣3）2＝2 【解答】解：由原方程移项，得x2﹣6x＝7，等式两边同时加上一次项系数一半的平方32，得x2﹣6x+32＝7+32，∴（x﹣3）2＝16；故选：A．3．利用求根公式求的根时，a，b，c的值分别是（）A．5，，6 B．5，6，C．5，﹣6，D．5，﹣6，﹣【解答】解：由原方程，得5x2﹣6x，根据一元二次方程的定义，知二次项系数a＝5，一次项系数b＝﹣6，常数项c＝；故选：C．4．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥﹣2 B．k≥﹣2且k≠﹣1 C．k≥2 D．k≤﹣2【解答】解：根据题意得k+1≠0且△＝22﹣4×（k+1）×（﹣1）≥0，解得k≥﹣2且k≠﹣1．故选：B．5．a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式a3+2a2+2018的值是（）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021【解答】解：由题意可知：a2+a﹣1＝0，∴a2+a＝1，∴原式＝a3+a2+a2+2018＝a（a2+a）+a2+2018＝a+a2+2018，＝1+2018＝2019，故选：B．6．若（a2+b2﹣3）2＝25，则a2+b2＝（）A．8或﹣2 B．﹣2 C．8 D．2或﹣8【解答】解：由（a2+b2﹣3）2＝25，得a2+b2﹣3＝±5，所以a2+b2＝3±5，解得a2+b2＝8或a2+b2＝﹣2（不合题意，舍去）．故选：C．7．已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，则方程a （x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（）A．1，5 B．﹣1，3 C．﹣3，1 D．﹣1，5【解答】解：∵一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，∴方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）中x﹣2＝﹣3或x﹣2＝1，解得：x＝﹣1或3，即方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣1和3，故选：B．8．《代数学》中记载，形如x2+10x＝39的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为39+25＝64，则该方程的正数解为8﹣5＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+6x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（）A．6 B．3﹣3 C．3﹣2 D．3﹣【解答】解：x2+6x+m＝0，x2+6x＝﹣m，∵阴影部分的面积为36，∴x2+6x＝36，4x＝6，x＝，同理：先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为36+（）2×4＝36+9＝45，则该方程的正数解为﹣3＝3﹣3．故选：B．二．填空题（共8小题）9．用公式法解方程2x2﹣7x+1＝0，其中b2﹣4ac＝41 ，x1＝，x2＝．【解答】解：2x2﹣7x+1＝0，a＝2，b＝﹣7，c＝1，∴b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×2×1＝41，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝，故答案为：41，，．10．关于x的方程（m2﹣1）x3+（m﹣1）x2+2x+6＝0，当m＝﹣1 时为一元二次方程．【解答】解：∵关于x的方程（m2﹣1）x3+（m﹣1）x2+2x+6＝0，为一元二次方程，∴，解得：m＝﹣1．11．填上适当的数，使下列各式配方成立：（1）x2﹣x+＝（x﹣）2；（2）x2+ p +＝（x+）2；（3）x2﹣2x+＝（x﹣）2；（4）2x2﹣12x+5＝2（x﹣ 3 ）2﹣13 ．【解答】解：（1）x2﹣x+＝（x﹣）2；（2）x2+p+＝（x+）2；（3）x2﹣2x+＝（x2﹣x+）＝（x﹣）2；（4）2x2﹣12x+5＝2（x2﹣6x+9﹣9）+5＝2（x﹣3）2﹣13．故答案为：（1），；（2）p，；（3），；（4）3，13．12．若m为实数，方程x2﹣3x+m＝0的一个根的相反数是方程x2+3x﹣3＝0的一个根，则x2﹣3x+m＝0的根是．【解答】解：解方程x2+3x﹣3＝0的根是x＝，方程x2﹣3x+m＝0的一个根的相反数是方程x2+3x﹣3＝0的一个根，因而方程x2+3x﹣3＝0的一个根的相反数是方程x2﹣3x+m＝0的一个根，则x2﹣3x+m＝0的根是﹣即．故本题答案为x2﹣3x+m＝0的根是．13．对于实数p、q，我们用符号min{p，q}表示p、q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，若min{（x﹣1）2，x2}＝1，则x＝2或﹣1 ．【解答】解：∵min{（x﹣1）2，x2}＝1，当x＝0.5时，x2＝（x﹣1）2，不可能得出最小值为1，∴当x＞0.5时，（x﹣1）2＜x2，则（x﹣1）2＝1，x﹣1＝±1，x﹣1＝1，x﹣1＝﹣1，解得：x1＝2，x2＝0（不合题意，舍去），当x＜0.5时，（x﹣1）2＞x2，则x2＝1，解得：x1＝1（不合题意，舍去），x2＝﹣1，综上所述：x的值为：2或﹣1．故答案为：2或﹣1．三．解答题（共8小题）14．按要求解下列方程（1）用配方法解方程：2x2﹣3x﹣3＝0；（2）用公式法解方程：（x+1）（x﹣3）＝2x﹣5．【解答】解：（1）x1＝+，x2＝﹣．（2）（x+1）（x﹣3）＝2x﹣5，由原方程，得x2﹣4x+2＝0，则a＝1，b＝﹣4，c＝2，所以x＝＝2±，故x1＝2﹣，x2＝2+．15．当m是何值时，关于x的方程（m2+2）x2+（m﹣1）x﹣4＝3x2（1）是一元二次方程；（2）是一元一次方程；（3）若x＝﹣2是它的一个根，求m的值．【解答】解：原方程可化为（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣4＝0，（1）当m2﹣1≠0，即m≠±1时，是一元二次方程；（2）当m2﹣1＝0，且m﹣1≠0，即m＝﹣1时，是一元一次方程；（3）x＝﹣2时，原方程化为：2m2﹣m﹣3＝0，解得，m1＝，m2＝﹣1．16．阅读下列材料：（1）关于x的方程x2﹣3x+1＝0（x≠0）方程两边同时乘以得：即，，（2）a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）．根据以上材料，解答下列问题：（1）x2﹣4x+1＝0（x≠0），则＝ 4 ，＝14 ，＝194 ；（2）2x2﹣7x+2＝0（x≠0），求的值．【解答】解；（1）∵x2﹣4x+1＝0，∴x+＝4，∴（x+）2＝16，∴x2+2+＝16，∴x2+＝14，∴（x2+）2＝196，∴x4++2＝196，∴x4+＝194．故答案为4，14，194．（2）∵2x2﹣7x+2＝0，∴x+＝，x2+＝，∴＝（x+）（x2﹣1+）＝×（﹣1）＝．17．阅读下列两则材料，回答问题材料一：我们将（+）与（﹣）称为一对“对偶式”因为（+）（﹣）＝（）2﹣（）2＝a﹣b，所以构造“对俩式”相乘可以有效地将（+）和（﹣）中的“”去掉例如：已知﹣＝2，求+的值．解：（﹣）×（+）＝（25﹣x）﹣（15﹣x）＝10 ∵﹣＝2，∴+＝5材料二：如图，点A（x1，y1），点B（x2，y2），以AB为斜边作Rt△ABC，则C（x2，y1），于是AC＝|x1﹣x2|，BC＝|y1﹣y2|，所以AB＝ 1反之，可将代数式的值看作点（x1，y1）到点（x2，y2）的距离．例如＝＝＝．所以可将代数式的值看作点（x，y）到点（1，﹣1）的距离．（1）利用材料一，解关于x的方程：﹣＝2，其中x≤4；（2）①利用材料二，求代数式的最小值，并求出此时y与x的函数关系式，写出x的取值范图；②将①所得的y与x的函数关系式和x的取值范围代入y＝+中解出x，直接写出x的值．【解答】解：（1）根据材料一；∵（﹣）×（+）＝（20﹣x）﹣（4﹣x）＝16∵﹣＝2，∴+＝8，∴＝5＝3∴解得：x＝﹣5∴y＝2x+6（﹣2≤x≤1）（2）①解：由材料二知：＝\sqrt{{（x}^{2}﹣2x+1）+（{y}^{2}﹣16y+64）}＝＝\sqrt{{（x}^{2}+4x+4）+（{y}^{2}﹣4y+4）}＝＝．∴可将的值看作点（x，y）到点（1，8）的距离的值看作点（x，y）到点（﹣2，2）的距离∴＝+．∴当代数式取最小值即点（x，y）与点（1，8），（﹣2，2）在同一条直线上，并且点（x，y）位点（1，8）（﹣2，2）的中间∴的最小值＝＝＝3且﹣2≤x≤1设过（x，y），（1，8），（﹣2，2）的直线解析式为：y＝kx+b∴解得：∴y＝2x+6（﹣2≤x≤1）②：∵y＝+中∵y＝2x+6∴+＝2x+6 ①又∵（+）（﹣）＝2x2+5x+12﹣（2x2+3x+6）＝2x+6∴﹣＝1 ②由①+②式得：＝x+解得：x1＝＞1（舍）x2＝∴x 的值为1﹣。
北师大版九年级数学上册《第二章 一元二次方程》章节测试卷-带答案
北师大版九年级数学上册《第二章 一元二次方程》章节测试卷-带答案知识点总结：①配方法和十字叉乘法求解一元二次方程{二次项系数为±1二次项系数不是±1配方法：(a±b)2=a2+b2±2ab十字叉乘法：化简成(x±a)(x±b)=0的形式，解得x=∓a或∓b②公式法求解一元二次方程公式法：x=−b±√b2−4ac2a③因式分解法求解一元二次方程因式分解法：{(a±b)2=a2+b2±2ab a2−b2=(a−b)(a+b)④一元二次方程的根与系数的关系关系：x1+x2=−ba ；x1∙x2=ca⑤应用一元一次方程应用题第二章一元二次方程测试1（拔高题）1、下列方程为一元二次方程，求a的取值范围或者具体值：①2ax2−2bx+a=4x2②(a−1)x|a|+1−2x−7=0③ax2+6x+1=0没有实数根2、已知一元二次方程x2+k+3=0有一个根为1，则k的值为.3、已知一元二次方程为5x2+x=0，其中二次项系数为，一次项系数为，常数项为，x1x2=，x1+x2=.x2+3x−2=0 的两根，则(x1−x2)2的值为.4、设x1与x2为一元二次方程−125、关于x的一元二次方程x2−(k−3)x−k+1=0根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．实数根的个数由k的值确定6、已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2−m=0的两实数根为x1，x2，且满足x1x2=2，则x1+x2的值为（）A．4B．−4C．4或−2D．−4或27、配方法解方程x2+6x+9=23x2−2=5x8、公式法解方程(x−2)(3x−5)=19x2+6x+1=49、直接开平方法解方程2(x−1)2 −18=010、因式分解法解方程3x(x−1)=3(x+2)(1−x)3(4−x)2=x2−16(1−2x)(x−8)=8x−411、如图，在矩形ABCD 中，AB =10 cm ，AD =8 cm ，点P 从点A 出发沿AB 以2cm /s 的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发沿BC 以1cm /s 的速度向点C 运动，点P 到达终点后，P ，Q 两点同时停止运动。
北师大版九年级上册数学第二章 一元二次方程含答案
北师大版九年级上册数学第二章一元二次方程含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、用配方法解方程x2﹣8x+2＝0，则方程可变形为（）A.（x﹣4）2＝5B.（x+4）2＝21C.（x﹣4）2＝14D.（x ﹣4）2＝82、已知二次函数y＝ax2+bx+c自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：x 2 4 5y0.38 0.38 6则（a+b+c）（+ ）值为（）A.24B.36C.6D.43、若x＋1与x－1互为倒数，则实数x为（）A.0B.C.D.4、下列关于一元二次方程的四种解法叙述不正确的是（）A.公式法B.配方法C.加减法D.因式分解法5、小丽同学想用公式法解方程-x2+3x=1，你认为a、b、c的值应分别为（）A. 、3、B. 、3、1C. 、、D.1、、6、用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣8＝0，下列变形正确的是（）A.（x﹣6）2＝﹣8+36B.（x﹣6）2＝8+36C.（x﹣3）2＝8+9D.（x﹣3）2＝﹣8+97、解一元二次方程x2-2x-5=0，结果正确的是（）A. x1=－1＋， x2=－1－ B. x1=1＋， x2=1－C. x1=7， x2= 5 D. x1= 1＋， x2=1－8、用配方法解一元二次方程：，下列变形正确的是（）A. B. C. D.9、用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0时，配方后所得的方程为（）A.（x﹣1）2=2B.（x﹣1）2=0C.（x+1）2=2D.（x+1）2=010、用配方法法解方程，则方程可变形为（）A. B. C. D.11、若代数式x2-6x+5的值是12，则x的值为（）A.7或-1B.1或-5C.-1或-5D.不能确定12、用配方法解一元二次方程x2+6x﹣3＝0，原方程可变形为（）A.（x+3）2＝9B.（x+3）2＝12C.（x+3）2＝15D.（x+3）2＝3913、一元二次方程配方后化为（）A. B. C. D.14、把方程x2﹣3x=10左边配成一个完全平方式，方程两边应同加上（）A.9x 2B.C.9D.15、用配方法解一元二次方程，配方得到的方程是（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、方程的解为________.17、古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服．”若设竿长为x尺，则可列方程为________．18、若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8=0，则a+b=________．19、某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是________．20、在实数范围内分解因式：2x2﹣x﹣2=________．21、若，其中，则________.22、若x1， x2是方程的两个实数根，则代数式的值等于________.23、把方程3x2＝5x+2化为一元二次方程的一般形式是________.24、对于任意实数、，定义：◆= .若方程的两根记为、，则m2+mn+n2=________.25、对于实数a，b，我们定义一种运算“※”为：a※b=a2﹣ab，例如1※3=12﹣1×3．若x※4=0，则x= ________．三、解答题(共5题，共计25分)26、解方程①x2﹣3x+2=0②4x2﹣12x+7=0．27、将进货单价为40元的商品按50元售出，能售出500件，如果该商品涨价1元，其销售量就要减少10件，为了赚取8000元的利润，售价应定为多少元？这时应进货多少件？28、如图，一幅长、宽的图案，其中有一横一竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：1．设竖彩条的宽度为，若图案中两条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度．29、方程17+15x=245，， 2（x+1.5x）=24都只含有一个未知数，未知数的指数都是1，它们是一元一次方程，方程x2+3=4，x2+2x+1=0，x+y=5是一元一次方程吗？若不是，它们各是几元几次方程？30、根据下列问题列方程并将其化成一元二次方程的一般形式：（1）一个长方形的长比宽多1cm，面积是132cm2，长方形的长和宽各是多少？（2）参加一次聚会的每两个人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加聚会？参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、B3、D4、C5、A6、C7、B8、D9、A11、A12、B13、B14、B15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、29、30、。
北师大版九年级数学上册--第二单元2.1 认识一元二次方程 练习题(含答案)
2.1 认识一元二次方程一、判断题（下列方程中是一元二次方程的在括号内划“√”，不是一元二次方程的，在括号内划“×”）（ ）1. 5x 2+1=0 （ ）2. 3x 2+x1+1=0（ ）3. 4x 2=ax(其中a 为常数) （ ）4. 2x 2+3x=0（ ）5. 5132+x =2x （ ）6. 22)(x x + =2x（ ）7. ｜x 2+2x ｜=4二、填空题1. 一元二次方程的一般形式是____________________。
2. 将方程－5x 2+1=6x 化为一般形式为____________________。
3. 将方程(x+1)2=2x 化成一般形式为____________________。
4. 方程2x 2=－8化成一般形式后，一次项系数为__________，常数项为__________。
5. 方程5(x 2－2x+1)=－32x+2的一般形式是____________________，其二次项是__________，一次项是__________，常数项是__________。
6. 若ab ≠0，则a 1x 2+b 1x=0的常数项是__________。
7. 如果方程ax 2+5=(x+2)(x －1)是关于x 的一元二次方程，则a 的取值范围是_______。
8. 关于x 的方程(m －4)x 2+(m+4)x+2m+3=0，当m_____时，是一元二次方程，当m_____时，是一元一次方程。
9、若方程2231kx x x +=+是一元二次方程，则k 的取值范围是。
10、方程214y y --=-化为一般形式后，二次项系数是 ，一次项系数是，常数项是。
11、 若2950ax x -+=是一元二次方程，则不等式360a +>的解集是。
三、选择题1. 下列方程中，不是一元二次方程的是（ ）A. 2x 2+7=0B. 2x 2+23x+1=0C. 5x 2+x1+4=0 D. 3x 2+(1+x) 2+1=0 2. 方程x 2－2(3x －2)+(x+1)=0的一般形式是（ ）A. x 2－5x+5=0B. x 2+5x+5=0C. x 2+5x －5=0D. x 2+5=0 3. 一元二次方程7x 2－2x=0的二次项、一次项、常数项依次是（ ）A. 7x 2,2x,0B. 7x 2,－2x ，无常数项C. 7x 2,0,2xD. 7x 2,－2x,0 4. 方程x 2－3=(1－2)x 化为一般形式，它的各项系数之和可能是（ ）A.2B.－2C.32-D.3221-+5. 若关于x 的方程a(x －1)2=2x 2－2是一元二次方程，则a 的值是（ ）A. 2B. －2C. 0D. 不等于2 6. 关于x 2=－2的说法，正确的是（ ）A.由于x 2≥0，故x 2不可能等于－2，因此这不是一个方程B.x 2=－2是一个方程，但它没有一次项，因此不是一元二次方程C.x 2=－2是一个一元二次方程D.x 2=－2是一个一元二次方程，但不能解 7、下列方程中，不是整式方程的是（ ）A ．21523x x +=B 3720x +-=C ．2213x x+=D ．1725x -=8、下列各方程中一定是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．234x x m =+B ．280ax -=C ．20x y +=D ．560xy x -+=9、若方程2(1)1m x -+=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（）A ．1m ≠B ．m ≥0C ．0m ≥且1m ≠D ．m 为任意实数 10、下列各方程中属于一元二次方程的是（ ）（1）214yy -= （2）22t = （3）213x =（40= （5）325x x -= （6）22(1)20x x ++-=A ．（1）（2）（3）B ．（2）（3）（4）C ．（1）（2）（6）D ．（1）（2）11、关于x 的一元二次方程22(32)0x m x n n ---=中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） Ａ．1，3mn ，22mn n - Ｂ．1，3m -，22mn n - Ｃ．1，m -，2n - Ｄ．1，3m ，22mn n -四、填表2.1 认识一元二次方程参考答案一、1.√ 2.× 3.√ 4.√ 5.√ 6.√ 7.√二、1. ax 2+bx+c=0(a ≠0) 2. 5x 2+6x －1=0 3. x 2+1=0 4. 0 85. 5x 2－22x+3=0；5x 2；－22x ；36. 07. ≠18. ≠4 =49.3k ≠ 10.1，4-，1 11.答案：2a >-且0a ≠三、1.C 2.A 3.D 4.C 5.D 6.D 7. C 8.A 9.C 10.D 11.B。
北师大版九年级数学上册一元二次方程复习题(含答案)
一元二次方程知识讲解+例题解析+强化训练◆知识讲解1．一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0（a ，b ，c 是常数，a ≠0）2．一元二次方程的解法（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法．一元二次方程的求根公式是b 2－4ac ≥0）． 3．二元三项式ax 2+bx+c=a （x －x 1）（x －x 2）．其中x 1，x 2是关于x 的方程ax 2+bx+c=0•的两个实数根．4．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式△=b 2－4ac ．当△>0时，•方程有两个不相等的实数根x 1x 2；当△=0时，方程有两个相等实数根x 1=x 2=－2b a；当△<0时，方程没有实数根． 5．若一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个实数根为x 1，x 2，则x 1+x 2=－b a ，x 1x 2=c a ． 6．以x 1，x 2为根的一元二次方程可写成x 2－（x 1+x 2）x+x 1x 2=0．7．使用一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式△=b 2－4ac•解题的前提是二次项系数a ≠0．8．若x 1，x 2是关于x 的方程ax 2+bx+c=0的两根，则ax 12+bx 1+c=0，ax 22+bx 2+c=0．反之，若ax 12+bx 1+c=0，ax 22+bx 2+c=0，且x 1≠x 2，则x 1，x 2是关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根．9．一元二次方程的应用列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相同，但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义，凡不满足实际问题的解（虽然是原方程的解）一定要舍去．◆例题解析例1 若0是关于x 的方程（m －2）x 2+3x+m 2+2m －8=0的解，求实数m 的值，并讨论此方程解的情况．【分析】这是一道确定待定系数m的一元二次方程，•又讨论方程解的情况的优秀考题，需要考生具备分类讨论的思维能力．【解答】由题知：（m－2）×02+3×0+m2+2m－8=0，∴m2+2m－8=0．利用求根公式可解得m1=2，或m2=－4．当m=2时，原方程为3x=0，此时方程只有一个解，x=0．当m=－4时，原方程可化为2x2－x=0，解得x1=0，x2=12．例2 已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：x2－1=0 （1）x2+x－2=0 （2）x2+2x－3=0 （3）x2+（n－1）x－n=0 （n）（1）请解上述一元二次方程（1），（2），（3），（n）；（2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可．【分析】由具体到一般进行探究．【解答】（1）<1>（x+1）（x－1）=0，所以x1=－1，x2=1．<2>（x+2）（x－1）=0，所以x1=－2，x2=1．<3>（x+3）（x－1）=0，所以x1=－3，x2=1．<n>（x+n）（x－1）=0，所以x1=－n，x2=1．（2）比如：共同特点是：都有一个根为1；都有一个根为负整数；两个根都是整数根等．【点评】本例从教材要求的基本知识出发，探索具有某种特点的方程的解题规律及方程根与系数之间的关系，注重了对学生观察、类比及联想等数学思想方法的考查．例3张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，•他将此矩形铁片的四个角各剪去一个边长为1m的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体运输箱．且此长方体运输箱底面的长比宽多2m，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？【分析】首先化无形为有形，画出示意图，分清底面、侧面，底面的长与宽和长方体的高各用什么数或式子表示，然后利用体积相等列出方程求解．【解答】设这种运输箱底部宽为xm，则长为（x+2）m，依题意，有x（x+2）×1=15化简，得x2+2x－15=0．∴x1=－5（舍去）x2=2．所求铁皮的面积为：（3+2）（5+2）m2=35m2．所购矩形铁皮所需金额为：35×20元=700元．答：张大频购回这张矩形铁皮花了700元钱．【点评】画出示意图是解题的关键．另外本题所采用的是间接设未知数的方法．若直接设出购买铁皮所需金额就困难了．◆强化训练一、填空题1．方程（2x－1）（3x+1）=x2+2化为一般形式为______，其中a=____，b=____，c=____．2．方程（x－1）2=2的解是_______．3．关于x的一元二次方程mx2+nx+m2+3m=0有一个根为零，则m的值等于_____．4．配方：x2－6x+_____=（x－____）2；x2－52x+______=（x－_____）2．5．方程（x－1）（x+2）（x－3）=0的根是_______．6．关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个根为x1=1，x2=－2，则x2+mx+n分解因式的结果是______．7．若关于x的方程x2+px+1=0的一个实数根的倒数恰好是它本身，则p的值是____．8．两个连续整数的积为210，则这两个数分别是_____．9．若一个三角形的三边长均满足方程x2－6x+8=0，则此三角形的周长为_____．10．如果a，b，c为互不相等的实数，且满足关系式b2+c2=2a2+16a+14与bc=a2－4a－5，那么a的取值范围是______．二、选择题11．关于x的一元二次方程2x2－3x－a2+1=0的一个根为2，则a的值是（）A．1 B C D12．若关于x的一元二次方程（m－1）x2+5x+m2－3m+2=0的常数项为0，则m的值等于（）A．1 B．2 C．1或2 D．013．关于x的一元二次方程x2－（k+1）x+k－2=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法判断14．已知关于x 的方程x 2－（2k －1）x+k 2=0有两个不相等的实数根，那么k•的最大整数值是（ ）A ．－2B ．－1C ．0D ．115．方程mx 2－4x+1=0的根（ ）A ．14B ．2m ±C ．2mD ．以上都不对 16．关于x 的一元二次方程x 2－3x+k=0有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k<94B ．k>94C ．k ≤94D ．k ≥9417．方程组18ax y x by -=⎧⎨+=⎩的解是23x y =⎧⎨=⎩，那么方程x 2+ax+b=0 （ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．有两个根为2和318．若a ，b 是方程x 2+2x －2019=0的两个不相等的实数根，则a 2+3a+b 的值是（ ）A ．－2019B ．2019C ．2019D ．2019三、解答题19．解方程：（1）x 2－6x+9=（5－2x ）2 （2）x 2－4x+1=020．汽车产业的发展，•有效促进我国现代化建设，•某汽车销售公司2019年盈利1500万元，到2019年盈利2160万元，且从2019年到2019年，•每年盈利的年增长率相同．（1）该公司2019年盈利多少万元？（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2019年盈利多少万元？21．如果方程ax 2－bx －6=0与方程ax 2+2bx －15=0有一个公共根是3，求a ，b 的值，•并求方程的另一个根．22．某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内沿前侧内墙保留3m 宽的空地，其他三侧内墙各保留1m 宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m 2？23．黄冈百货商店服装柜在销售中发现：•“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，•商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存，经市场调查发现，•如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，•那么每件童装应降价多少元？24．近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨，•请你根据图所示的信息，帮小明计算今年5月份汽油的价格．25．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，•某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为90kg，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36kg．为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、•乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关．（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70kg，•用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，•加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，•同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1．6%，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12kg．问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？参考答案1．5x2－x－3=0 5 －1 －3 2．x1，x2=13．－34．9 3 2516545．x1=1，x2=－2，x3=3 6．（x－1）（x+2）7．p=±28．14，15或－15，－14 9．6，12，10 10．a>－111．D 12．B 13．B 14．C 15．B 16．C 17．C 18．D19．（1）x1=83，x2=2（2）x2－4x+1=0，x2－4x+4－4+1=0∴（x－2）2=3，x－2=∴x1，x2=220．（1）设每年盈利的年增长率为x，根据题意得1500（1+x）2=2160．解得x1=0.2，x2=－2.2（不合题意，舍去）∴1500（1+x）=1500（1+0.2）=1800．答：2019年该公司盈利1800万元．（2）2160（1+0.2）=2592．答：预计2019年该公司盈利2592万元．21．方程①的另外一根是－2，方程②的另外一根是－5．22．解法一：设矩形温室的宽为xm，则长为2xm，根据题意，得（x－2）·（2x－4）=288．解这个方程，得x1=－10（不合题意，舍去），x2=14．所以x=14，2x=2×14=28．答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2．解法二：设矩形温室的长为xm，则宽为12 xm．根据题意，得（12x－2）·（x－4）=288．解这个方程，得x1=－20（不合题意，舍去），x2=28．所以x=28×12x=12×28=14．答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2．23．设每件童装应降价x元，由题意，得（40－x）（20+2x）=1200，整理，得x2－30x+200=0，（x－10）（x－20）=0，∴x－10=0或x－20=0，解得x1=10，x2=20，因要尽快减少库存，故x•应取20．24．设今年5月份汽油价格为x元/升，则去年5月份的汽油价格为（x－1．8）元/升．•根据题意，得1501.8x－150x=18.75，整理得x2－1.8x－14.4=0，解这个方程，得x1=4.8，x2=－3．经检验两根都为原方程的根，但x2=－3不符合实际意义，故舍去．答：今年5月份的汽油价格为4.8元/升．25．（1）由题意，得70×（1－60%）=70×40%kg=28kg．（2）设乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为xkg．由题意，得x[1－（90－x）×1.6%－60%]=12．整理，得x2－65x－750=0，解得：x1=75，x2=－10（舍去）．（90－75）×1.6%+60%=84%．答：（1）技术革新后，甲车间加工一台大型机械设备的实际耗油量是28kg．（2）技术革新后，乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为75kg，•用油的重复利用率为84%．（北大师）九年级上册 第二章 一元二次方程知识点一：认识一元一次方程（一）一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元）并且未知数的次数是2（二次）的整式方程，这样的方程叫一元二次方程。
北师大版九年级数学第二章一元二次方程2.1--2.3课时练习题(含答案)
第1课时 用配方法解简单的一元二次方程1．一元二次方程x 2－16＝0的根是( )A ．x ＝2B ．x ＝4C ．x 1＝2，x 2＝－2D ．x 1＝4，x 2＝－4 2．对于形如(x ＋m )2＝n 的方程，下列说法正确的是( )A ．可以直接开平方得x ＝－m ±nB ．可以直接开平方得x ＝－n ±mC ．当n ≥0时，直接开平方得x ＝－m ±nD ．当n ≥0时，直接开平方得x ＝－n ±m 3．一元二次方程(x ＋6)2－9＝0的解是( )A ．x 1＝6，x 2＝－6B ．x 1＝x 2＝－6C ．x 1＝－3，x 2＝－9D ．x 1＝3，x 2＝－9 4．已知关于x 的一元二次方程(x ＋1)2－m ＝0有实数根，则m 的取值范围是( ) A ．m ≥－34B ．m ≥0C ．m ≥1D ．m ≥25．若一元二次方程(x ＋6)2＝5可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是x ＋6＝ 5，则另一个一次方程是________________．6．若把x 2＋2x －2＝0化为(x ＋m )2＋k ＝0的形式(m ，k 为常数)，则m ＋k 的值为( ) A ．－2 B ．－4 C ．2 D ．47．用配方法解关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0时，方程可变形为( ) A ．(x ＋p2)2＝p 2－4q4 B ．(x ＋p2)2＝4q －p 24 C ．(x －p 2)2＝p 2－4q 4 D ．(x －p 2)2＝4q －p248．代数式x 2＋4x ＋7的最小值是________．9．若一元二次方程ax 2＝b (ab ＞0)的两个根分别是m ＋1与2m －4，则b a＝________． 10．小明用配方法解一元二次方程x 2－4x －1＝0的过程如下所示：解：x 2－4x ＝1，① x 2－4x ＋4＝1，② (x －2)2＝1，③ x －2＝±1，④ x 1＝3，x 2＝1.⑤ (1)小明解方程的方法是________，他的求解过程从第________步开始出现错误，这一步的运算依据应该是____________________；(2)解这个方程．11．用直接开平方法解下列方程：(1)(2x ＋1)2－6＝0； (2)(x －2)2＋4＝0. (3)x 2＋4x －2＝0； (4)x 2－x －1＝0；(5)x 2－3x ＝3x ＋7； (6)x 2＋2x ＋2＝6x ＋4.7．若a 2＋2a ＋b 2－6b ＋10＝0，求a 2－b 2的值．8．定义一种运算“*”：当a ≥b 时，a *b ＝a 2＋b 2；当a ＜b 时，a *b ＝a 2－b 2，则方程x *2＝12的解是________．20．将4个数a ，b ，c ，d 排成两行两列，两边各加一条竖直线记成⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ，我们将其称为二阶行列式，并定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc .若⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1 1－x x －1 x ＋1＝6，则x ＝________． 公式法1．用公式法解－x 2＋3x ＝1时，需先求出a ，b ，c 的值，则a ，b ，c 依次为( ) A ．－1，3，－1 B ．1，－3，－1 C ．－1，－3，－1 D ．－1，3，12．用公式法解方程：(1)x 2－2x ＝1； (2)4x 2－3＝12x . (3)3x 2＋4x －4＝0； (4)2x 2＋1＝4x.3．2017·广元方程2x 2－5x ＋3＝0的根的情况是( )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．两根异号 4．2017·安顺若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则m 的值可以是( ) A ．0 B ．－1 C ．2 D ．－35．2017·长春若关于x 的一元二次方程x 2＋4x ＋a ＝0有两个相等的实数根，则a 的值是________． 6．2017·潍坊若关于x 的一元二次方程kx 2－2x ＋1＝0有实数根，则k 的取值范围是________． 7．已知关于x 的方程x 2＋2 kx －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A ．k ≥0B ．k ＞0C ．k ≥－1D ．k ＞－1 8．关于x 的一元二次方程x 2＋4kx －1＝0的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断12．已知三角形两边的长分别是3和4，第三边的长是方程x 2－12x ＋35＝0的根，则该三角形的周长是( )A ．14B ．12C ．12或14D ．以上都不对13．2017·通辽若关于x 的一元二次方程(k ＋1)x 2＋2(k ＋1)x ＋k －2＝0有实数根，则k 的取值范围在数轴上表示正确的是( )图2－3－114．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步．经过计算，你的结论是：长比宽多( )A ．12步B ．24步C ．36步D ．48步15．若在实数范围内定义一种运算“*”，使a *b ＝(a ＋1)2－ab ，则方程(x ＋2)*5＝0的解为( ) A ．x ＝－2 B ．x 1＝－2，x 2＝3C ．x 1＝－1＋32，x 2＝－1－32D ．x 1＝－1＋52，x 2＝－1－5216．已知关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根，求m 的值．17．已知关于x 的一元二次方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＝0.(1)当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？(2)为m 选取一个合适的整数值，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个根．18证明：关于x的方程(a2－8a＋20)x2＋2ax＋1＝0，不论a为何值，该方程都是一元二次方程．19．已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．20.在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q 从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．点P，Q分别从点A，B同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．(1)经过几秒钟，△PBQ的面积为8 cm2?(2)经过几秒钟，P，Q两点间的距离为53 cm?1．A . 2．D ． 3．B 4．C [5．解：(1)x 2－2x －1＝0，x ＝2±（－2）2－4×1×（－1）2×1＝1±2，∴x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2. (2)4x 2－12x －3＝0，x ＝12±（－12）2－4×4×（－3）2×4＝12±8 38 ＝3±2 32， ∴x 1＝32＋3，x 2＝32－ 3.6．B 7．D . 8．49．k ≤1且k ≠0 10．A 11．A ． 12．B13．A 14．A 15．D16．解：∵关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝(2m －1)2－4×1×4＝0，∴2m －1＝±4， ∴m ＝52或m ＝－32.17．解：(1)∵关于x 的一元二次方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0，即[－2(m ＋1)]2－4m 2＞0， 解得m ＞－12.(2)∵m ＞－12，∴可取m ＝0，此时方程为x 2－2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2.(答案不唯一) 18．解：(1)△ABC 是等腰三角形． 理由：∵x ＝－1是方程的根，∴(a ＋c )×(－1)2＋2b ×(－1)＋(a －c )＝0， ∴a ＋c －2b ＋a －c ＝0，∴a －b ＝0， 即a ＝b ，∴△ABC 是等腰三角形． (2)△ABC 是直角三角形．理由：∵方程有两个相等的实数根， ∴(2b )2－4(a ＋c )(a －c )＝0， ∴4b 2－4a 2＋4c 2＝0， 即a 2＝b 2＋c 2，∴△ABC 是直角三角形． (3)当△ABC 是等边三角形时，(a ＋c )x 2＋2bx ＋(a －c )＝0可整理为2ax 2＋2ax ＝0， ∴x 2＋x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝－1.详解1．D 2.C3．C [解析] (x ＋6)2＝9，∴x ＋6＝±3， ∴x 1＝－3，x 2＝－9.故选C. 4．B5．x ＋6＝－ 5 [解析] 直接开平方，得x ＋6＝± 5. 6．解：(1)移项，得(2x ＋1)2＝6，直接开平方，得2x ＋1＝±6，即2x ＝－1±6， 解得x 1＝－1＋62，x 2＝－1－62.(2)移项，得(x －2)2＝－4， ∵(x －2)2≥0，－4＜0， ∴该方程无实数根．7．B [解析] x 2＋2x －5＝0，x 2＋2x ＝5，x 2＋2x ＋1＝5＋1，(x ＋1)2＝6.故选B. 8．D9．B [解析] 由x 2－4x ＋p ＝(x ＋q )2＝x 2＋2qx ＋q 2，得2q ＝－4，p ＝q 2， 解得p ＝4，q ＝－2.10．a 1＝2＋11，a 2＝2－11 11．解：(1)移项，得x 2＋4x ＝2. 配方，得x 2＋4x ＋4＝6. 整理，得(x ＋2)2＝6， ∴x ＋2＝±6，即x 1＝－2＋6，x 2＝－2－ 6. (2)移项，得x 2－x ＝1. 配方，得x 2－x ＋14＝54.整理，得(x －12)2＝54，∴x －12＝±52，即x 1＝1＋52，x 2＝1－52.(3)原方程可化为x 2－6x ＝7. 配方，得x 2－6x ＋9＝7＋9. 整理，得(x －3)2＝16， ∴x －3＝±4， 即x 1＝7，x 2＝－1.(4)移项，得x 2＋2x －6x ＝4－2. 合并同类项，得x 2－4x ＝2. 配方，得x 2－4x ＋22＝2＋22. 整理，得(x －2)2＝6，所以x －2＝6或x －2＝－6， 即x 1＝2＋6，x 2＝2－ 6.12．A [解析] x 2＋2x ＝2，x 2＋2x ＋1＝3，(x ＋1)2＝3，所以m ＝1，k ＝－3，所以m ＋k ＝1－3＝－2. 故选A.13．A [解析] 首先进行移项，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方式，右边是常数的形式．14．3 [解析] x 2＋4x ＋7＝x 2＋4x ＋4＋3＝(x ＋2)2＋3≥3，则原式的最小值为3. 15．4 [解析] 利用直接开平方法得到x ＝±ba，得到方程的两个根互为相反数，所以m ＋1＋2m －4＝0，解得m ＝1，则方程的两个根分别是2与－2，则有b a ＝2，然后两边平方得到ba＝4. 16．解：(1)小明解方程的方法是配方法，他的求解过程从第②步开始出现错误，这一步的运算依据应该是等式的基本性质．故答案为：配方法，②，等式的基本性质． (2)x 2－4x ＝1，x 2－4x ＋4＝1＋4，(x －2)2＝5，x －2＝±5， x ＝2±5，∴x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5.17．解：∵a 2＋2a ＋b 2－6b ＋10＝0， ∴(a 2＋2a ＋1)＋(b 2－6b ＋9)＝0，即(a ＋1)2＋(b －3)2＝0， ∴a ＝－1，b ＝3，∴a 2－b 2＝(－1)2－32＝－8. 18．解：设道路的宽为x m ， 由题意得(32－2x )(20－x )＝570， 整理，得x 2－36x ＋35＝0， 解得x 1＝1，x 2＝35.∵x ＝35＞20，∴不合题意，舍去． 答：道路的宽为1 m.19．x 1＝2 2，x 2＝－4 [解析] 当x ≥2时，x *2＝x 2＋22＝12， 解得x 1＝2 2，x 2＝－2 2. 因为x ≥2，所以x ＝22； 当x ＜2时，x *2＝x 2－22＝12， 解得x 1＝4，x 2＝－4. 因为x ＜2，所以x ＝－4.综上可知，方程的解为x 1＝2 2，x 2＝－4.20．± 2 [解析] 定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1 1－x x －1 x ＋1＝6， 则(x ＋1)2－(x －1)(1－x )＝6， 化简得x 2＝2， 即x ＝± 2.。
北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程《认识一元二次方程》同步试题及答案
2.1 认识一元二次方程典型题讲解第1课时一元二次方程【学习目标】1．探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数，能够从实际问题中抽象出方程知识．2．在探索问题的过程中使学生感受到方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系．3．通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．【学习重点】一元二次方程的概念．【学习难点】如何把实际问题转化为数学方程．情景导入生成问题1．单项式和多项式统称为整式．2．含有未知数的等式叫做方程．3．计算：(x＋2)2＝x2＋4x＋4；(x－3)2＝x2－6x＋9．4．计算：(5－2x)(8－2x)＝4x2－26x＋40．自学互研生成能力知识模块一探索一元二次方程先阅读教材P31“议一议”前面的内容，然后完成下面问题：1．在第一个问题中，地毯的长可以表示为(8－2x)m，宽可以表示为(5－2x)m，由矩形的面积公式可以列出方程为(8－2x)(5－2x)＝18．2．在第二个问题中，如果设五个连续整数中间的一个数为x，你又能列出怎样的方程呢？答：设五个连续整数中间的一个数为x，由题意可列方程，得(x－2)2＋(x－1)2＋x2＝(x＋1)2＋(x＋2)21．问题1：有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm.在它的四个角分别切去一个面积相同的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？2．问题2：一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端滑动多少米？你能设出未知数，列出相应的方程吗？答：问题1由题意可列方程：(100－2x)(50－2x)＝3600；问题2由题意可列出方程：(x＋6)2＋72＝102.3．你能通过观察下列方程得到它们的共同特点吗？(1)(100－2x)(50－2x)＝3600(2)(x＋6)2＋72＝102归纳结论：方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式： ax 2＋bx ＋c ＝0(a 、b 、c 为常数，a ≠0)这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax 2是二次项，a 是二次项的系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．知识模块二 一元二次方程有关概念的应用解答下列各题：1．下列方程中，是一元二次方程的是( C )A ．x 2＋2y －1＝0B ．x ＋2y 2＝5C ．2x 2＝2x －1D ．x 2＋1x －2＝0 2．将方程(x ＋3)2＝8x 化成一般形式为x 2－2x ＋9＝0，其二次项系数为__1__，一次项系数是__－2__，常数项是__9__．典例讲解：关于x 的方程mx 2－3x ＝x 2－mx ＋2是一元二次方程，m 应满足什么条件？分析：先把这个方程化为一般形式，只要二次项的系数不为0即可．解：由mx 2－3x ＝x 2－mx ＋2得到(m －1)x 2＋(m －3)x －2＝0，所以m －1≠0，即m ≠1.所以关于x 的方程mx 2－3x ＝x 2－mx ＋2是一元二次方程，m 应满足m ≠1.对应练习：1．关于x 的方程(a －1)x 2＋3x ＝0是一元二次方程，则a 的取值范围是a ≠1．2．已知方程(m ＋2)x 2＋(m ＋1)x －m ＝0，当m 满足m ＝－2时，它是一元一次方程；当m 满足m ≠－2时，它是一元二次方程．3．(易错题)已知关于x 的方程(m －2)x |m |＋3x －4＝0是一元二次方程，那么m 的值是( C )A ．2B ．±2C ．－2D ．1交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 探索一元二次方程知识模块二 一元二次方程有关概念的应用检测反馈 达成目标1．在下列方程中，是一元二次方程的有( A )①2x 2－1＝0；②ax 2＋bx ＋c ＝0；③(x ＋2)(x －3)＝x 2－3；④2x 2－1x＝0. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．把方程(x －5)(x ＋5)＋(2x －1)2＝0化成一元二次方程的一般形式为( A )A ．5x 2－4x －4＝0B ．x 2－5＝0C ．5x 2－2x ＋1＝0D．5x2－4x＋6＝03．阅读材料，解答问题：有一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖盒子，想一想，应该怎样求出截去的小正方形的边长？问题：(1)如果设小正方形的边长为xcm，那么盒子底面的长为(80－2x)cm；宽为(60－2x)cm，根据题意，所列方程为(80－2x)(60－2x)＝1500．(2)所列方程的一般形式是什么？是哪一种方程？并指出其各项的系数．一般形式为x2－70x＋825＝0，是一元二次方程．二次项系数为1，一次项系数为－70，常数项为825课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________第2课时一元二次方程的根及近似解【学习目标】1．会进行简单的一元二次方程的试解．2．根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及利用试解方法解决一些具体问题．3．理解方程的解的概念，培养有条理的思考与表达的能力．【学习重点】判定一个数是否是方程的根．【学习难点】会在简单的实际问题中估算方程的解，理解方程解的实际意义．情景导入生成问题1．使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解．2．一元二次方程(x＋1)2－x＝3(x2－2)化成一般形式是2x2－x－7＝0．3．近似数2.36≈2.4(精确到十分位)．自学互研生成能力知识模块一探索一元二次方程的近似解1．先阅读教材P33“做一做”前面的内容，并完成所设计的四个小问题．答：(1)x的值不能小于0，不能大于4，不能大于2.5，因为x表示四周未铺地毯部分的宽度，所以x的值不能为负，又因为(8－2x)和(5－2x)分别表示地毯的长和宽，所以有8－2x＞0，5－2x＞0，即x＜2.5.(2)x的取值范围是0＜x＜2.5.(3)表格中的对应值分别为：28、18、10、4.(4)所求宽度为x＝1m.2．学生活动：请同学独立完成下列问题．问题1：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，那么梯子的底端距墙多少米？设梯子底端距墙为xm，那么，根据题意，可得方程为x2＋82＝102．整理，得x2－36＝0．列表：x0 1 2 3 4 5 6 7 8x2－－36 －35 －32 －27 －20 －11 0 13 2836问题2：一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？设苗圃的宽为xm，则长为(x＋2)m.根据题意，得x(x＋2)＝120．整理，得x2＋2x－120＝0．列表：x 5 6 7 8 9 10 11 x2＋2x－85 －72 －57 －40 －21 0 23 －120提问：(1)问题1中一元二次方程的解是多少？问题2中一元二次方程的解是多少？(2)如果抛开实际问题，问题1中还有其他解吗？问题2呢？教师点评：(1)问题1中x＝6是x2－36＝0的解；问题2中，x＝10是x2＋2x－120＝0的解．(2)如果抛开实际问题，问题1中还有x＝－6的解；问题2中还有x＝－12的解．为了与以前所学的一元一次方程只有一个解的情况区别，我们也称一元二次方程的解叫做一元二次方程的根．回过头来看：x2－36＝0有两个根，一个是6，另一个是－6，但－6不满足题意；同理，问题2中的x＝－12的根也不满足题意．知识模块二一元二次方程根的判定及应用解答下列各题：1．已知关于x的方程x2－kx－6＝0的一个根为x＝3，则实数k的值为( A) A．1 B．－1 C．2 D．－22．下面哪些数是方程2x2＋10x＋12＝0的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.解：将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足该等式方程，所以x＝－2或x ＝－3是一元二次方程2x2＋10x＋12＝0的两根．典例讲解：若x＝1是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝1(a≠0)的一个根，求代数式2016(a＋b＋c)的值．分析：如果一个数是方程的根，那么把该数代入方程，一定能使左右两边相等，这一点同学们要深刻理解．解：将x＝1代入得a＋b＋c＝1，故2016(a＋b＋c)＝2016.对应练习：1．若x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解，则a＋b＋c＝__0__；若x＝－1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解，则a－b＋c＝__0__．2．若x＝－1是一元二次方程ax2＋bx－2＝0的根，则a－b＝__2__．3．如果x＝1是方程ax2＋bx＋3＝0的一个根，求(a－b)2＋4ab的值．解：由已知，得a＋b＝－3，原式＝(a＋b)2＝(－3)2＝9交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一探索一元二次方程的近似解知识模块二一元二次方程根的判定及应用检测反馈达成目标1．已知长方形宽为xcm，长为3xcm，面积为24cm2，则x最大不超过( C) A．1 B．2 C．3 D．42．根据关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0，可列表如下：x0 0.5 1 1.1 1.2 1.3则方程x2＋px＋q＝0的正数解满足( D)A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1 C．1＜x＜1.1 D．1.1＜x＜1.23．根据下表得知，方程x2＋2x－10＝0的一个近似解为x≈－4.3．(精确到0.1)课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________。
北师大版九年级数学上册同步练习 第2章
北师大版数学九年级上册第二章第1节认识一元二次方程同步练习1．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ) A ．x 2＋21x＝0 B ．ax 2＋bx ＋c ＝0 C ．(x －1)(x ＋2)＝1 D ．3x 2－2xy －5y 2＝0 2．若方程(m ＋2)x ∣m ∣＋3x －1＝0是关于x 的一元二次方程，则m ＝______．3．下列数中：－1，2，－3，－2，3，是一元二次方程x 2－2x ＝3的解的有 ___________． 4．方程()45x x －＝化为一般形式为( )A ．2450x x =－＋B ．2450x x =＋＋C ．2450x x =－－D ．2450x x =＋－ 5．方程23740x x =－＋中二次项的系数，一次项的系数及常数项分别是( )A ．3、7、4B ．3、7、﹣4C ．3、﹣7、4D ．3、﹣7、﹣4 6．将一元二次方程2514x x =－化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为( )A ．5、－4B ．5、4C ．5x 2、4xD ．5x 2、－4x 、 7．一元二次方程x 2－4＝0的根是( )A ．－2B ．±2C ．2D ．以上都不对 8．关于x 的方程x 2＋x －a ＝0一个解是x ＝1，则a 为( )A ．2B ．－2C ．1D ．－19．下列方程中关于x 2203x =－；②21kx x =－3；③211x x x－－＝；④()210x x x －＋＝；⑤()2320k x kx ＋－＝；⑥221x ax =－；是关于x 一元二次方程的个数有( )A ．1B ．2C ．3D ．4 10．把一元二次方程2(x 2＋7)＝x ＋2化成一般形式是 ．11．下列数中－1，－2，1，2，是一元二次方程一元二次方程x 2－x －2＝0的根是___________． 12．若0是一元二次方程22610x x m ＋＋－＝的一个根，则m 的取值为( )A ．1B ．－1C ．±1D ．以上都不是 13．已知关于x 的方程20x bx a =＋＋有一个根是－a (a≠0)，则a －b 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．214．在一次聚会时，x 个人见面后每两人握一次手，共握手10次，则可列方程( )A ．()110x x =－B ．()2110x x =－C ．()1102x x =⨯＋D ．()1102x x =⨯－15．某地区的消费品月零售总额持续增长，九月份为⒈2亿元，十月、十一月两个月一共为2．8亿元．设九月份到十一月份平均每月增长的百分率为x ，则可列方程( )A ．()1.212 2.8x ＋＝ B ．()21.212.8x ＋＝ C ．()1.2.21 2.8x =＋1＋ D ．()()21.21 1.212.8x x =＋＋＋16．已知m 是方程x 2－x －2＝0的一个根，求代数式4m 2－4m －2的值． 17．若()1160m m x mx -＋＋＋2＝是关于x 的一元二次方程，求m 的值．18．把下列一元二次方程化成一元二次方程的一般形式，并写出方程的二次项系数，一次项系数，常数项．(1)(3x －2)(2x －3)＝x 2－5； (2)(x 2＋7)＝x ＋2．19．若方程x 2－2x ＋m ＝0的一个根是x ＝－1，求m 的值．20． 若关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2＋5x ＋m 2﹣3m ＋2＝0有一个根为0，求m 的值．21． 已知x 2＋3x ＋5的值为7，求代数式3x 2＋9x ﹣2的值22．试判断：关于x 的方程（2a —4）x 2－2bx ＋c ＝0． （1）何时为一元二次方程？（2）何时为一元一次方程？答案：1．C2．m＝23．－1,34．C5．C6．A7．B8．A9．B10．2x2－x＋12＝0；a＝2，b＝－1，c＝12；11．2，－112．C13．A14．D15．D16．解：由已知，得m2－m－2＝0∴m2－m＝2∴4m2－4m－2＝4(m2－m)－2＝4×2－2＝6．17．m＝118．（1）3x2－5x＋1＝0；a＝3，b＝－5，c＝1；（2）3x2－5x＋1＝0；a＝3，b＝－5，c＝1；19．m＝－320．m＝221．解：由已知，得x2＋3x＋5＝7∴x2＋3x＝2∴3x2＋9x－2＝3(x2＋3x)－2＝3×2－2＝4．22．（1）a≠2；（2）a＝2且b≠0；北师大版数学九年级上册第二章第2节用配方法解一元二次方程（第1课时）1．16的平方根是( )A ．4B ．－4C ．±4D ．±8 2．方程x 2＝9的解是( )A ．x 1＝x 2＝3B ．x 1＝x 2＝－3C ．x 1＝3，x 2＝－3D ．x ＝33．方程x 2＝3的解是( )A ．12x x =＝B ．12x x =＝C ．1x 2x =D ．x ＝34．方程()210x -=的解是( )A ．x 1＝1，x 2＝－1B ．x 1＝x 2＝1C ． x 1＝x 2＝－1D ． x 1＝1，x 2＝－25．方程()219x -=的解是( )A ．x 1＝1，x 2＝－3B ． x 1＝4，x 2＝－4C ． x 1＝4，x 2＝－2D ． x ＝36．若1是一元二次方程x 2＋x －m 2＝0的一个根，则m 为 ． 7．直接写出方程的解：（1）()2190x -=＋的解是__________；（2）()2316x -=的解是__________． 8．直接写出方程的解：（1）x 2＋2x ＋1＝9的解是 ； （2）x 2－2x －3＝0的解是__________． 9．用直接开方法解方程．⑴9x 2＝25 ⑵2x 2－98＝0⑶3(x －2)2＝0 ⑷3(x －1)2＝2710．如果12x =是关于x 的方程22320x ax a -=＋的根，求关于y 的方程23y a -=的解．11．一元二次方程2+2990x x -=变形正确的是( )A ．()2+1100x =B ．()21100x =﹣C ．()2+2100x = D ．()22100x -=12．将方程2250x x --=变形为()2+x m n =的形式正确的是( )A ．()2+16x =B ．()2+29x =C ．()216x -= D ．()229x -=13．方程3x 2＝2的根是___________．14．一元二次方程22426x x -＋＝的根是___________．15．解下列方程：⑴()22510x +-= ⑵（x －2）2＝9⑶()23175y -= ⑷2215x x -＋＝⑸()2531250x --= ⑹24415x x -＋＝16．用配方法解下列方程：⑴x 2＋2x －3＝0 ⑵x 2－6x －8＝0⑶x 2－8x ＋7＝0 (4)x 2－4x ＝1(5)x 2－4x －6＝0， (6) x 2＋12x +36＝017．已知x 、y 、z 满足2246130＋＋-=x x y y ，求代数式()zxy 的值．答案：1．C 2．C 3．C 4．B 5．C 6．±27．（1）4或-2；（2）7或-1； 8．（1）2或-4；（2）3或-1；9．（1）x 1＝53，x 2＝－53；（2）x 1＝7，x 2＝－7；（3）x 1＝2＋33，x 2＝2－33；（4）x 1＝4，x 2＝－2； 10．y 1＝2，y 2＝－2； 11．A 12．C13．x 1=63，x 2=-63； 14．x 1＝1＋3，x 2＝1－3； 15．（1）x 1＝－2，x 2＝－3；（2）x 1＝5，x 2＝－1；（3）y 1＝6，y 2＝－4； （4）x 1＝1＋5，x 2＝1－5； （5）x 1＝8，x 2＝－2；（6）x 1＝1＋52，x 2＝1－52；16．（1）x 1＝1，x 2＝－3；（2）x 1＝3＋17，x 2＝3－17； （3）x 1＝7，x 2＝－1； （4）x 1＝2＋5，x 2＝2－5；（5）x 1＝2＋10，x 2＝2－10； （6）x 1＝x 2＝－6； 17．解：由已知，得x 2－4x ＋4＋y 2＋6y ＋9＋z ＋2＝0∴（x －2）2＋（y ＋3）2＋z ＋2＝0 ∴x ＝2，y ＝－3，z ＝－2．∴（xy）z＝[2×（－3）]－2＝（－6）－2＝1 36．北师大版数学九年级上册第二章第4节用因式分解法解一元二次方程同步练习1．方程x（x+3）＝x的解是（）A．x1＝x2＝﹣3 B．x1＝1，x2＝3 C．x1＝0，x2＝﹣3 D．x1＝0．x2＝﹣2 2．一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（）A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝﹣2，x2＝3C．x1＝﹣2，x2＝﹣3 D．x1＝2，x2＝33．方程（x+1）（x﹣3）＝﹣4的解是（）A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝0 C．x1＝1，x2＝﹣1 D．x1＝x2＝14解方程（5x﹣3）2＝2（5x﹣3），选择最适当的方法是（）A．.直接开平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法5．方程x2－3x－4＝0的所有根为( )A．x1＝－1，x2＝－4；B．x1＝－1，x2＝4 ；C．x1＝1，x2＝4 D．x1＝1，x2＝－46．方程(x－2)(x＋3)＝0的解是( )A．x＝2 B．x＝－3 C．x1＝2，x2＝－3 D．x1＝－2，x2＝37．方程x(x－2)＝x－2的根是( )A．x＝1 B．x1＝2，x2＝0 C．x1＝1，x2＝2 D．x＝28．若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（）A．16 B．24 C．16或24 D．489．若一个三角形的两边长分别是2和6，第三边的边长是方程x2﹣10x+21＝0的一个根，则这个三角形的周长为（）A．7 B．3或7 C．15 D．11或15 10．将下列多项式分解因式（1）x2－5x＝＝___________；（2）2x(x－3)－5(x－3) ＝___________；（3）x2＋2x－8 ＝___________；（4）9x2－6x＋1＝0＝___________；11．元二次方程x(x－1)＝x的解是____ ．12．小华在解一元二次方程x2－4x＝0时，得出一个根是x1＝4，则另一个根是x2＝______．13．用适当解下列方程：(1)5x2－2x＝0；（可提公因式）⑵9x2－4＝0（平方差公式）(3)y2＋2y＝15．(4) (x－1)2－2(x－1)＝02＝3x（可移项再提公因式）； (6)(x－2)(x＋3)＝0(5)x14．已知：m是关于x的一元二次方程mx2－2x＋m＝0的一个根，求m的值．15．阅读材料，解答问题：为解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0，我们可以将x2－1视为一个整体，然后设x2－1＝y，则(x2－1)2＝y2，原方程化为y2－5y＋4＝0．解得y1＝4，y2＝1．①当y＝4时，x2－1＝4，∴x2＝5，∴x＝±5．②当y＝1时，x2－1＝1，∴x2＝2，∴x＝±2．∴原方程的解为x 1＝2，x 2＝－2，x 3＝5，x 4＝－5．在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想．利用上面的方法解方程x 4－x 2－6＝0．16．已知：在平面直角坐标系中，点A 、B 分别在x 轴正半轴上，且线段OA 、OB （OA ＜OB ）的长分别等于方程x 2﹣5x +4＝0的两个根，点C 在y 轴正半轴上，且OB ＝2OC ． （1）求A 、B 、C 三点坐标；（2）将△OBC 绕点C 顺时针旋转90°后得到△O ′B ′C ，求直线B ′C 的表达式．xy –1–2–3–41234–1–2–3–41234O答案： 1．D 2．D 3．D 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B 9．C10．（1）x (x －5)；（2）(x －3)(2x －5)；（3）(x ＋4)(x －2)；（4）(3x －1)2； 11．x 1＝0，x 2＝2； 12．013．（1）x 1＝0，x 2＝25； （2）x 1＝23，x 2＝－23； （3）y 1＝－5，y 2＝3；（4）x 1＝1，x 2＝3； （5）x 1＝0，x 2＝3； （6）x 1＝2，x 2＝－3； 14．m ＝0，－1,1； 15．x ＝± 316．解：（1）解方程x 2﹣5x +4＝0得x 1＝1，x 2＝4， ∵OA ＜OB ， ∴OA ＝1，OB ＝4，∵A 、B 分别在x 轴正半轴上， ∴A （1，0）、B （4，0）；又∵OB ＝2OC ，且点C 在y 轴正半轴上 ∴OC ＝2，则C （0，2）；（2）∵将△OBC 绕点C 顺时针旋转90°后得△O ′B ′C ，∴OB ＝O ′B ′＝4，OC ＝O ′C ′＝2，∠COB ＝∠C O′B ′＝90°，∠OCO ′＝∠BCB ′＝90° ∴O ′（﹣2，2）、B ′（﹣2，﹣2）， 设直线B ′C 的解析式为y ＝kx +b ， 把B ′（﹣2，﹣2），C （0，2）代入得⎩⎨⎧－2k ＋b ＝－2b ＝2，解得⎩⎨⎧k ＝2b ＝2， ∴直线B ′C 的解析式为y ＝2x +2．xyA BCB'O'O北师大版数学九年级上册第二章第5节一元二次方程根与系数的关系同步练习1．若x 1、x 2是一元一次方程x 2－5x ＋6＝0的两个根，则x 1＋x 2的值是 ( ) A ．1 B ．5 C ．－5 D ．6 2．若x 1、x 2是一元一次方程x 2＋x －2＝0的两个根，则x 1·x 2的值是 ( ) A ．－1 B ．－2 C ．1 D ．2 3．以3和—2为根的一元二次方程是（ ）A ．x 2＋x －6＝0 B ．x 2＋x ＋6＝0 C ．x 2－x －6＝0 D ．x 2－x ＋6＝0 4．已知x 2－(m －1)x －(2m －2)＝0两根之和等于两根之积，则m 的值为（ ） A ．1 B ．—1 C ．2 D ．—2 5．已知方程3x 2－5x －7＝0的两根为x 1、x 2，则下列各式中正确的是 ( ) A ．x 1＋x 2＝5，x 1·x 2＝7 B ．x 1＋x 2＝－5，x 1·x 2＝－7 C ．x 1＋x 2＝53，x 1·x 2＝－73 D ．x 1＋x 2＝－53，x 1·x 2＝－73 6．设方程x 2＋x ﹣2＝0的两个根为α，β，那么α＋β﹣αβ的值等于（ ） A ．﹣3B ．﹣1C ．1D ．37．关于x 的一元二次方程x 2＋（a 2﹣3a ）x ＋a ＝0的两个实数根互为倒数，则a 的值为（ ） A ．﹣3B ．0C ．1D ．﹣3 或 08．关于x 的一元二次方程2x 2＋kx ﹣4＝0的一个根x 1＝﹣2，则方程的另一个根x 2和k 的值为（ ） A ．x 2＝1，k ＝2B ．x 2＝2，k ＝2C ．x 2＝1，k ＝﹣1D ．x 2＝2，k ＝﹣19．关于x 的一元二次方程x 2﹣5x ＋2p ＝0的一个根为1，则另一根为（ ） A ．﹣6B ．2C ．4D ．110．已知m 、n 是一元二次方程x 2﹣3x ﹣1＝0的两个实数根，则1m +1n ＝（ ） A ．3B ．﹣3C ．13D ．﹣1311．一元二次方程x 2－4x －c ＝0的一个根是3，则c ＝_________，另一个根是_________． 12．一元二次方程x 2－x －3＝0两根的倒数和等于__________．13．关于x 的方程x 2＋px ＋a ＝0的根为x 1＝1＋2，x 2＝1－2，则p ＝______，q ＝____． 14．若x 1、x 2是方程x 2－5x －7＝0的两根，那么（1）x 2 1＋x 2 2＝________；（2）(x 1－x 2)2＝__________；15．阅读材料：设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca ．根据该材料填空：已知x 1、x 2是方程x 2＋6x ＋3＝0的两实数根，则x 1x 2＋ x 2x 1＝ ．16．利用方程的根与系数的关系，求方程的两根之和、两根之积： （1）x 2－3x －5＝0 （2）2x 2＋5x －5＝017．已知x 1、x 2是一元二次方程2x 2－2x ＋1－3m ＝0的两个实数根，且x 1·x 2＋2(x 1＋x 2)＞0，求实数m 的取值范围．18．已知实数a 、b 满足等式a 2－2a －1＝0，b 2－2b －1＝0，求b a ＋ab 的值．19．已知关于x 的方程x 2－(k ＋1)x ＋14k 2＋1＝0的两根是一个长方形形两邻边的长．（1）k 为何值时，方程有两个实数根； （2）当该长方形形的对角线长为5时，求k ． （3）当k 为何值时，矩形变为正方形？20．关于x 的一元二次方程x 2＋2mx ＋m 2＋m ＝0有两个不相等的实数根． （1）求m 的取值范围．（2）设出x 1、x 2是方程的两根，且x 12＋x 22＝12，求m 的值．21．已知：关于x 的一元二次方程x 2＋πx ﹣2＝0有两个实数根． （1）求m 的取值范围；（2）设方程的两根为x 1、x 2，且满足（x 1﹣x 2）2﹣17＝0，求m 的值．22．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＋k＋2＝0的两个实数根．（1）求k的取值范围．（2）是否存在实数k，使得等式1x1＋1x2＝k﹣2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由．答案： 1．B 2．B 3．C 4．A 5．C 6．C 7．C 8．A 9．C 10．B 11．－3；1 12．－13 13．－2；－1 14．39；53 15．10；16．（1）x 1＋x 2＝3，x 1•x 2＝-5；（2）x 1＋x 2＝-52，x 1•x 2＝-52． 17．解：∵x 1、x 2是一元二次方程2x 2﹣2x ＋1﹣3m ＝0的两个实数根， ∴x 1＋x 2＝1，x 1•x 2＝1－3m2．又∵x 1﹣x 2＋2（x 1＋x 2）＞0， ∴1－3m 2＋2＞0 解得：m ＜53 （4分），又∵原方程有实数根，∴b 2﹣4ac ＝（﹣2）2﹣4×2×（1﹣3m ）＝4﹣8＋24m ＝﹣4＋24m ≥0， ∴m ≥16 （7分） ∴16≤m ＜53 （8分）18解：当a ＝b 时，原式＝1＋1＝2；当a ≠b 时，可以把a 、b 看作方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根， ∴a ＋b ＝2，ab ＝﹣1，∴b a ＋a b ＝a 2＋b 2ab ＝(a ＋b )2－2ab ab ＝4＋2－1＝﹣6． 综上所述：b a ＋ab 的值为2或﹣6．19．解：（1）△＝[﹣（k ＋1）]2﹣4×1×（14k 2＋1）＝2k ﹣3， ∵方程有两个实数根， ∴△≥0，即2k ﹣3≥0， 解得：k ≥32，∴当k ≥32时，方程有两个实数根． （2）设方程x 2﹣（k ＋1）＋14k 2＋1＝0的两根分别为a 、b ，则a ＋b ＝k ＋1，ab ＝14k 2＋1，∵矩形的对角线长为5，即a 2＋b 2＝5，∴a 2＋b 2＝（a ＋b ）2﹣2ab ＝（k ＋1）2﹣2×（14k 2＋1）＝5， 整理得：k 2＋4k ﹣12＝0， 解得：k ＝2或k ＝﹣6（舍去）．∴当矩形的对角线长为5时，k 的值为2． （3）当矩形为正方形时，方程两根相等， ∴△＝2k ﹣3＝0， 解得：k ＝32．∴当k 为32时，矩形变为正方形． 20．解：（1）根据题意得： △＝（2m ）2﹣4（m 2＋m ）＞0， 解得：m ＜0．∴m 的取值范围是m ＜0．（2）根据题意得：x 1＋x 2＝﹣2m ，x 1x 2＝m 2＋m ， ∵x 12＋x 22＝12， ∴(x 1＋x 2)2﹣2x 1x 2＝12，∴（﹣2m ）2﹣2（m 2＋m ）＝12，∴解得：m 1＝﹣2，m 2＝3（不合题意，舍去）， ∴m 的值是﹣2．21．解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2＋πx ﹣2＝0有两个实数根，∴△＝[π]2﹣4×1×（﹣2）＝m ＋8≥0，且m ≥0， 解得：m ≥0．（2）∵关于x 的一元二次方程x 2＋πx ﹣2＝0有两个实数根x 1、x 2，∴x1＋x2＝﹣π，x1•x2＝﹣2，∴（x1﹣x2）2﹣17＝（x1＋x2）2﹣4x1•x2﹣17＝0，即m＋8﹣17＝0，解得：m＝9．22．解：（1）∵一元二次方程x2﹣2x＋k＋2＝0有两个实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（k＋2）≥0，解得：k≤﹣1．（2）∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＋k＋2＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝2，x1·x2＝k＋2．∵1x1＋1x2＝k﹣2，∴x1＋x2x1·x2＝2k+2＝k﹣2，∴k2﹣6＝0，解得：k1＝﹣6，k2＝6．又∵k≤﹣1，∴k＝﹣6．∴存在这样的k值，使得等式1x1＋1x2＝k﹣2成立，k值为﹣6．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（1）x1＝，x2＝；（2）x1＝，x2＝；（3）x1＝，x2＝；（4）x1＝，x2＝；（5）x1＝，x2＝；（6）x1＝，x2＝；北师大版数学九年级上册第二章第6节应用一元二次方程（第1课时）同步练习1．在长为100m，宽为80m的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644m2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽应为xm，则可列方程为（）A．100×80－100x－80x＝7644 B．(100－x)(80－x)＋x2＝7644C．(100－x)(80－x)＝7644 D．100x＋80x＝3562．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A．100(1＋x)＝121 B．100(1－x)＝121 C．100(1＋x)2＝121D．100(1－x)2＝1213．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（）A．560(1＋x)2＝315 B．560(1－x)2＝315 C．560(1－2x)2＝315D．560(1＋x2)＝3154．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为()A．200(1＋x)2＝1000 B．200＋200×2x＝1000C．200＋200×3x＝1000 D．200[1＋(1＋x)＋(1＋x)2]＝10005．某厂今年一月的总产量为500吨，前三个月的总产量为720吨，平均每月增长率是x，根据题意可列方程___________ _____．6．市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。
九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》测试题-北师大版(含答案)
九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》测试题-北师大版（含答案）（满分120分）一、选择题（每题3分，共30分）1.方程（x+1）（x-1）=0的根是（）A. x1=x²=1B. x1= x²=-1C. x1=1，x²=-1D. x1=1，x²=02.一元二次方程x²-2x-5 =0用配方法解可变形为（）A. （x+1）2=6B. （x+2）2=9C. （x-1）2=6D. （x-2）2=93.方程x²-2x+3 =0的根的情况是：（）A.有两个相等的实数根7B.无实C.有两个不相等的实数根D.只有一个实根4.关于x的一元二次方程（a-1）x²+x+a2-1 =0有一个根为0，则a的值为（）A.1B.-1C.+1D.05.一个等腰三角形的两边是方程x²-6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为（）A.8B.10 DBC.8或10D. 66.方程x-2x+m=0有两个相等的实数解，则m的值为（）A.1B.-1C.2D. -27.以1，3为根的一元二次方程是.（）A. x²+4x+3=0B. x²-4x+3=0C. x²+4x-3=0D. -x²+4x+3=08.两个连续偶数的积为120，若设较小的偶数为x，则可列方程（）A. x（x+1）=120B. x（x+2）=120C. x（x-1）=120D. x（x-2）=1209.一个长方形的长比宽多1，面积为12，则长方形的宽为（）A.3B.4C.523D.610.在某次会议中，每两人都握了一次手，共握手10次，设有x人参加会议，则可列方程为（）A. x（x+1）=10B. x（x-1）= 10C. 12（x+1）=10D. 12（x-1）=10二、填空题（每题4分，共28分）11.方程x²=1的解为。
12. 已知m和n是方程3x²-6x-9=0的两根，则m +n= .13.已知代数式x²与2x-1的值相等，则x的值为.14.如果关于x的一元二次方程x²+2x-m=0没有实根，那么m的取值范围是.15.若关于x的方程x²+mx-3=0有一个根为2，则m的值为.16. 一个长方形的周长为8，面积为4，设宽为x，则可列方程为.17.已知关于x的一元二次方程x²+（2m-1）x+m²=0有两个实数根x1和x2，且x1+x2+ x1x2=1，出m的值为.三、解答题（一）（每题6分，共18分）18.解方程：（1）x²-4x+3=0；（2）2x²-3x-1 =0；（3）（x+4）2 =2（x +4）.19.已知x=-1是方程x2+mx-5=0的一个根，求m的值及方程的另一根.20.如图，在长为10m，宽为8m的矩形试验田上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，要使种植面积（空白部分）为63m2，求道路的宽.四、解答题（二）（每题8分，共24分）21.已知关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+m=0.（1）当m=0时，求方程的解；（2）当m=1时，求方程的解.22.雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款1000元，第三天收到捐款1440元（1）如果第二天第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款?23.已知关于x的一元二次方程（x-2）（x-3）=p2.求证：无论p取何值，方程总有两个不相等的实数根五、解答题（三）（每题10分，共20分）24.如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米?25.设等腰三角形的三条边分别为3，m，n，已知m，n是关于x的方程x²-4x+k=0的两个根，求k的值.参考答案一、1.C 2.C 3.B 4.B 5.B 6. A 7.B 8.B 9.A 10.D二、11. X1=1，x2=-1 12.2 13. 114.m< -1 15. -1 216.x(4-x) =4 17.0三、18.解：(1)x2 -4x+4= -3+4 (x-2)2=1x-2=土1x1=1 +2=3x2=-1+2=1(2)∵ a=2，b= -3，c= -1△=b2 -4ac=( -3)2-4x2x( -1)=9+8= 17∴x=24317=24b b aca--±x1317±x2317=4(3)(x+4)(x+4-2) =0(x +4)(x+2) =0X1=-4x2=-2.19.解：把x= -1代人方程x2 +mx-5 =0则：(-1)2-m-5=0- m=4m= -4把m= -4代人x2 +mx-5=0则：x2 -4x-5=0X2 -4x+4=5 +4(x-2)2 =9x-2=土3x1 =3+2=5x2= -3+2= -1∴m的值为-4，方程的另一根为520.解：设道路寬x m.根据题意，得(10-x)(8-x) =63x2 -18x +80= 63(x-9)2 =64x-9=土8x 1=8 +9=17(不合题意，舍去)x2 = -8+9=1∴道路宽1m四、21.解：(1)当m=0时，x2 +(m+1)x+m=0 x2 +x+0=0x(x+1) =0∴x=0或x+1 =0∴x1 =0，x2=-1(2)当m=1时，x2 +(m+1)x+m=0X2+(1 +1)x+1=0x2 +2x+1 =0(x+1)2 =0∴x1=x2=-122.解：(1)设捐款增长率为x，依题意，得1 000(1 +x)2=1 440(1 +x)2=1.441 +x= +1.2x= ±1.2-1∴x1 =1.2-1 =0.2 = 20%x2= -1.2-1= -2.2(不合题意，舍去)答：捐款增长率为20%(2)1440x(1 +20%) =1 728元答：第四天该单位能收到1728元捐款。
北师大版九年级上册 第二章 一元二次方程 2.1 认识一元二次方程 同步练习题 含答案
北师大版九年级上册 第二章 一元二次方程 2.1 认识一元二次方程 同步练习题1．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( )A ．x 2＋1x ＝0B ．(x －1)2＝(x ＋3)(x －2)＋1C ．x ＝x 2D ．ax 2＋bx ＋c ＝02．方程(m －1)x 2＋mx ＋1＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的值为( )A ．任何实数B ．m≠0C ．m≠1 D．m≠－13．方程2(x ＋2)＋8＝3x(x －1)的一般形式为________________，二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________．4．把下列关于x 的一元二次方程化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．(1)3x 2＝5x －3；(2)(x ＋2)(x －2)＋3x ＝4.5．设一个奇数为x ，与相邻奇数的积为323，所列方程正确的是( )A ．x(x ＋2)＝323B ．x(x －2)＝323C ．x(x ＋1)＝323D ．x(x －2)＝323或x(x ＋2)＝3236．(1)一块长方形菜地的面积是150 m 2，如果它的长减少5 m ，那么菜地就变成正方形，若设原菜地的长为x m ，则可列方程为________________________________________________；(2)已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列方程为__________________.7．根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化为一般形式．(1)正方体的表面积为36，求正方体的边长x ；(2)在新春佳节到来之际，九(6)班所有的同学准备送贺卡相互祝贺，所有同学送完后共送了1 980张，求九(6)班的同学人数x.8．已知长方形宽为x cm ，长为2x cm ，面积为24 cm 2，则x 最大不超过( )A ．1B ．2C ．3D ．49．根据下列表格中的对应值，判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0，a ，b ，c 为常数)的一个解x3.25<x<3.2610．已知m 是关于x 的方程x 2－2x －3＝0的一个根，则2m 2－4m ＝______．11．已知关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋x ＋k 2－1＝0有一个根为0，则k 的值为________．12．方程(m －1)xm 2＋1＋2mx －3＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的值为( )A ．m ＝±1B ．m ＝－1C ．m ＝1D ．m ≠113．若方程(k －1)x 2＋kx ＝1是关于x 的一元二次方程，则k 的取值范围是( )A ．k ≠1B ．k ≥0C ．k ≥0且k ≠1D ．k 为任意实数 2A ．解的整数部分是0，十分位是5B ．解的整数部分是0，十分位是8C ．解的整数部分是1，十分位是1D ．解的整数部分是1，十分位是215．若关于x 的方程x 2＋(m ＋1)x ＋12＝0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m 的值是( ) A ．－52 B.12 C ．－52或12 D ．116．已知关于x 的方程(m 2－4)x 2＋(m －2)x ＋4m ＝0，当m ____________时，它是一元二次方程，当m________时，它是一元一次方程．17．已知关于x 的一元二次方程m(x －1)2＝－3x 2＋x 的二次项系数与一次项系数互为相反数，则m 的值为多少？18. 有这样的题目：把方程12x 2－x ＝2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项．现在把上面的题目改编成下面的两个小题，请回答问题：(1)下面式子中是方程12x 2－x ＝2化为一元二次方程的一般形式的是________．(只填写序号)①12x 2－x －2＝0，②－12x 2＋x ＋2＝0，③x 2－2x ＝4，④－x 2＋2x ＋4＝0，⑤3x 2－23x －43＝0.(2)方程12x 2－x ＝2化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项之间具有什么关系？答案：1. C2. C3. 3x2－5x－12＝0 3 －5 －124. (1) 一般形式是3x2－5x＋3＝0，二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是3.(2) 一般形式是x2＋3x－8＝0，二次项系数是1，一次项系数是3，常数项是－8.5. D6. (1) x(x－5)＝150.(2) (x＋1)2－1＝24.7. (1)6x2＝36，一般形式为6x2－36＝0.(2)x(x－1)＝1 980，一般形式为x2－x－1 980＝0.8. D9. C10. 611. －112. B13. C14. C15. C16. ≠±2＝－217. 整理方程，得(m＋3)x2－(2m＋1)x＋m＝0，由题意，得m＋3－(2m＋1)＝0，解得m＝2.18. (1) ①②④⑤(2) 若设它的二次项系数为a(a≠0)，则一次项系数为－2a，常数项为－4a.(即满足二次系数∶一次项系数∶常数项＝1∶－2∶－4即可)。
北师大版九年级数学上册 第2章一元二次方程 解答专项练习题 (含答案)
北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》解答专项练习题（附答案）1．关于x的方程（a2﹣4a+5）x2+2ax+4＝0：（1）试证明无论a取何实数这个方程都是一元二次方程；（2）当a＝2时，解这个方程．2．已知关于x的方程（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0（1）当k取何值时，它是一元一次方程？（2）当k取何值时，它是一元二次方程？3．若方程（m﹣2）x﹣（m+3）x+5＝0是一元二次方程，求m的值．4．把下列方程化一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项（1）2x2＝1﹣3x （2）5x（x﹣2）＝4x2﹣3x．5．已知是关于x的方程x2﹣x+a＝0的一个根，求a﹣2﹣的值．6．若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根分别为m+1与2m﹣4．（1）求m的值；（2）求的值．7．按要求解下列方程（1）用配方法解方程：2x2+7x﹣4＝0；（2）用公式法解方程：3x2﹣1＝4x．8．用适当的方法解方程（1）x2﹣2x﹣8＝0 （2）（2x﹣1）2﹣16＝0（3）2x（x﹣3）﹣5（3﹣x）＝0．9．解下列方程：（1）x2﹣3x＝0；（2）5x2﹣4x﹣1＝0．10．已知关于x的方程x2+（m﹣2）x﹣9＝0（1）求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）若这个方程两个根α，β满足2α+β＝m+1，求m的值．11．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长为4，另两边长m，n恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长．12．已知α、β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根．（1）试确定m的取值范围；（2）当+＝﹣1时，求m的值．13．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？请完成下列问题：（1）未降价之前，某商场衬衫的总盈利为元；（2）降价后，设某商场每件衬衫应降价x元，则每件衬衫盈利元，平均每天可售出件（用含x的代数式进行表示）；（3）请列出方程，求出x的值．14．一块长方形铁皮长为4dm，宽为3dm，在四角各截去一个面积相等的正方形，做成一个无盖的盒子，要使盒子的底面积是原来铁皮的面积一半，若设盒子的高为xdm，根据题意列出方程，并化成一般形式．15．【问题提出】在2020年抗击新冠肺炎的斗争中，某中学响应政府“停课不停学”的号召进行线上学习，七年级一班的全体同学在自主完成学习任务的同时，全班每两个同学都通过一次视频电话，彼此关怀，互相勉励，共同提高，若每两名同学之间仅通过一次视频电话，如何求全班50名同学共通过多少次电话呢？【模型构建】用点M1、M2、M3、…、M50分别表示第1、2、3、…、50名同学，把该班级人数n与视频通话次数S之间的关系用如图模型表示：【问题解决】（1）填写如图中第5个图中S的值为．（2）通过探索发现，通电话次数S与该班级人数n之间的关系式为，则当n＝50时，对应的S＝．（3）若该班全体女生相互之间共通话190次，求该班共有多少名女生？【问题拓展】（4）若该班数学兴趣小组的同学，每两位同学之间互发一条微信问候，小明统计全组共发送微信110条，则该班数学兴趣小组的人数是人．16．已知关于x的方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1＝0（1）若此方程为一元一次方程，求k的值．（2）若此方程为一元二次方程，且有实数根，试求k的取值范围．17．阅读下列材料：问题：已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x＝，把x＝，代入已知方程，得（）2+﹣1＝0．化简，得y2+2y﹣4＝0，故所求方程为y2+2y﹣4＝0这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：（1）已知方程x2+2x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为；（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．18．小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程x（x+4）＝6．解：原方程可变形，得：[（x+2）﹣2][（x+2）+2]＝6．（x+2）2﹣22＝6，（x+2）2＝6+22，（x+2）2＝10．直接开平方并整理，得．x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．我们称小明这种解法为“平均数法”．（1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+3）（x+7）＝5时写的解题过程．解：原方程可变形，得：[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝5．（x+a）2﹣b2＝5，（x+a）2＝5+b2．直接开平方并整理，得．x1＝c，x2＝d．上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为，，，．（2）请用“平均数法”解方程：（x﹣5）（x+3）＝6．19．先阅读后解题．已知m2+2m+n2﹣6n+10＝0，求m和n的值．解：把等式的左边分解因式：（m2+2m+1）+（n2﹣6n+9）＝0．即（m+1）2+（n﹣3）2＝0．因为（m+1）2≥0，（n﹣3）2≥0．所以m+1＝0，n﹣3＝0即m＝﹣1，n＝﹣3．利用以上解法，解下列问题：（1）已知：x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x和y的值．（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2＝12a+8b﹣52且△ABC为等腰三角形，求c．20．小明遇到下面的问题：求代数式x2﹣2x﹣3的最小值并写出取到最小值时的x值．经过观察式子结构特征，小明联想到可以用解一元二次方程中的配方法来解决问题，具体分析过程如下：x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣3﹣1＝（x﹣1）2﹣4所以，当x＝1时，代数式有最小值是﹣4．（1）请你用上面小明思考问题的方法解决下面问题．①x2﹣2x的最小值是②x2﹣4x+y2+2y+5的最小值是．（2）小明受到上面问题的启发，自己设计了一个问题，并给出解题过程及结论如下：问题：当x为实数时，求x4+2x2+7的最小值．解：∵x4+2x2+7＝x4+2x2+1+6＝（x2+1）2+6∴原式有最小值是6请你判断小明的结论是否正确，并简要说明理由．21．如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为19m，墙对面有一个2m宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长34m，围成长方形的养鸡场除门之外四周不能有空隙．（1）若要围成养鸡场的面积为160m2，则养鸡场的长和宽各为多少m？（2）围成养鸡场的面积能否达到180m2？请说明理由．22．全球疫情暴发时，医疗物资极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产500万个，第三天生产720万个，若每天增长的百分率相同．试回答下列问题：（1）求每天增长的百分率；（2）经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少50万个/天．①现该厂要保证每天生产口罩6500万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？②是否能增加生产线，使得每天生产口罩15000万个，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由．23．已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB 边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．参考答案1．解：（1）a2﹣4a+5＝（a2﹣4a+4）+1＝（a﹣2）2+1，∵（a﹣2）2≥0，∴（a﹣2）2+1≠0，∴无论a取何实数关于x的方程（a2﹣4a+5）x2+2ax+4＝0都是一元二次方程；（2）当a＝2时，原方程变为x2+4x+4＝0，解得x1＝x2＝﹣2．2．解：（1）由关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0一元一次方程，得或或，解得k＝﹣1或k＝0．故当k＝﹣1或k＝0时，关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0一元一次方程；（2）由关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0一元二次方程，得，解得k＝1．故当k＝1时，关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0一元二次方程．3．解：由题意，得m2﹣5m+8＝2且m﹣2≠0，解得m＝3，m的值是3．4．解：（1）2x2＝1﹣3x一般形式为2x2+3x﹣1＝0，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为﹣1；（2）5x（x﹣2）＝4x2﹣3x．一般形式为x2﹣7x＝0，二次项系数为1，一次项系数为﹣7，常数项为0．5．解：将x＝代入方程x2﹣x+a＝0中，得2﹣+a＝0，解得a＝﹣2，当a＝﹣2时，a﹣2﹣＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣2．6．解：（1）ax2＝b，x2＝，x＝，即方程的两根互为相反数，∵一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根分别为m+1与2m﹣4．∴m+1+2m﹣4＝0，解得：m＝1；（2）当m＝1时，m+1＝2，2m﹣4＝﹣2，∵x＝±，一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根分别为m+1与2m﹣4，∴＝（±2）2＝4．7．解：移项，得2x2+7x＝4，二次项系数化为1，得x2+x＝2，配方，得（x+）2＝2+，开方，得x+＝，x1＝，x2＝﹣4；（2）化成一般式，得3x2﹣4x﹣1＝0，a＝3，b＝﹣4，c＝﹣1，b2﹣4ac＝28＞0，x1＝＝＝，x2＝＝＝．8．解：（1）∵（x+2）（x﹣4）＝0，∴x+2＝0或x﹣4＝0，解得：x＝﹣2或x＝4；（2）∵（2x﹣1）2＝16，∴2x﹣1＝4或2x﹣1＝﹣4，解得：x＝或x＝﹣；（3）∵2x（x﹣3）+5（x﹣3）＝0，∴（x﹣3）（2x+5）＝0，∴x﹣3＝0或2x+5＝0，解得：x＝3或x＝﹣．9．解：（1）x2﹣3x＝0，x（x﹣3）＝0，x＝0或x﹣3＝0，x1＝0，x2＝3；（2）5x2﹣4x﹣1＝0，（5x+1）（x﹣1）＝0，5x+1＝0或x﹣1＝0，x1＝﹣，x2＝1．10．解：（1）证明：方程的根的判别式Δ＝（m﹣2）2﹣4×1×（﹣9）＝（m﹣2）2+36∵无论m取何实效（m﹣2）2+36＞0恒成立∴这个方程总有两个不相等的实数根（2）解由根与系数的关系．得α+β＝2﹣m则2α+β＝α+α+β＝α+2﹣m∵2α+β＝m+1，∴α+2﹣m＝m+1，则α＝2m﹣1∵α是方程的根，∴α2+（m﹣2）α﹣9＝0则（2m﹣1）2+（m﹣2）（2m﹣1）﹣9＝0整理，得2m2﹣3m一2＝0解，得m1＝2，m2＝﹣．11．（1）证明：∵Δ＝（k+2）2﹣8k＝k2+4k+4﹣8k＝（k﹣2）2≥0，∴无论k取何值，方程总有实数根；（2）解：当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个实数根为4，∴16﹣4（k+2）+2k＝0，解得k＝4，∴方程为x2﹣6x+8＝0，解得x＝4或x＝2，∴m、n的值分别为2、4，∴△ABC的周长为10；当边长为4的边为底时，则m＝n，即方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即（k﹣2）2＝0，解得k＝2，∴方程为x2﹣4x+4＝0，解得m＝n＝2，此时2+2＝4，不符合三角形的三边关系，舍去；综上可知△ABC的周长为10．12．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，即Δ＝（2m+3）2﹣4m2＞0，解得m＞﹣；（2）∵α，β是方程的两个实数根，∴α+β＝﹣（2m+3），αβ＝m2．∵+＝﹣1，∴﹣（2m+3）＝﹣m2，解得m1＝3，m2＝﹣1．∵m＞﹣，∴m＝3．13．解：（1）20×45＝900，故答案为：900；（2）降价后，设某商场每件衬衫应降价x元，则每件衬衫盈利（45﹣x）元，平均每天可售出（20+4x）件，故答案为：（45﹣x）；（20+4x）；（3）由题意得：（45﹣x）（20+4x）＝2100，解得：x1＝10，x2＝30．因尽快减少库存，故x＝30．答：每件衬衫应降价30元．14．解：由题意得：无盖长方体盒子的底面长为（4﹣2x）dm，宽为（3﹣2x）dm，由题意得，（4﹣2x）（3﹣2x）＝4×3×，整理得：2x2﹣7x+3＝0，15．解：（1）根据图形可知S＝15，故答案为：15．（2）通过几个图形，可以得出规律：S＝，∴当n＝50时，代入得S＝1225．故答案为：S＝，1225．（3）设该班共有女生x名，根据题意，得，解得x1＝20，x2＝﹣19（不符合题意，舍去），答：该班共有20名女生．（4）设该班数学兴趣小组有m人，根据题意，得m（m﹣1）＝110，解方程得m1＝11，m2＝﹣10（不符合题意，舍去），故答案为：11．16．解：（1）由（1﹣2k）x2﹣2x﹣1＝0是一元一次方程，得1﹣2k＝0，解得k＝；（2）由（1﹣2k）x2﹣2x﹣1＝0为一元二次方程，且有实数根，得Δ＝（2）2﹣4（1﹣2k）×（﹣1）≥0，且1﹣2k≠0，k+1≥0，4k+4+4（1﹣2k）≥0，﹣4k≥﹣8，k≤2，即﹣1≤k≤2，k≠此方程为一元二次方程，且有实数根，k的取值范围为﹣1≤k≤2且k≠．17．解：（1）设所求方程的根为y，则y＝﹣x，所以x＝﹣y，把x＝﹣y代入方程x2+2x﹣1＝0，得：y2﹣2y﹣1＝0，故答案为：y2﹣2y﹣1＝0；（2）设所求方程的根为y，则y＝（x≠0），于是x＝（y≠0），把x＝代入方程ax2+bx+c＝0，得a（）2+b（）+c＝0，去分母，得a+by+cy2＝0，若c＝0，有ax2+bx＝0，于是，方程ax2+bx+c＝0有一个根为0，不合题意，∴c≠0，故所求方程为a+by+cy2＝0 （c≠0）．18．解：（1）原方程可变形，得：[（x+5）﹣2][（x+5）+2]＝5．（x+5）2﹣22＝5，（x+5）2＝5+22．直接开平方并整理，得．x1＝﹣2，x2＝﹣8．上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为5、±2、﹣2、﹣8，故答案为：5、±2、﹣2、﹣8；（2）原方程可变形，得：[（x﹣1）﹣4][（x﹣1）+4]＝6．（x﹣1）2﹣42＝6，（x﹣1）2＝6+42．x﹣1＝±，∴x＝1±，直接开平方并整理，得．x1＝1+，x2＝1﹣．19．解：（1）x2﹣4x+y2+2y+5＝0，（x2﹣4x+4）+（y2+2y+1）＝0，（x﹣2）2+（y+1）2＝0，∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，∴x﹣2＝0，y+1＝0，∴x＝2，y＝﹣1；（2）a2+b2＝12a+8b﹣52，（a2﹣12a+36）+（b2﹣8b+16）＝0，（a﹣6）2+（b﹣4）2＝0，∵（a﹣6）2≥0，（b﹣4）2≥0，∴a﹣6＝0，b﹣4＝0，∴a＝6，b＝4，∵△ABC为等腰三角形，∴c＝4或6．20．解：（1）①x2﹣2x＝x2﹣2x+1﹣1＝（x﹣1）2﹣1，∴当x＝1时，代数式x2﹣2x有最小值是﹣1；②x2﹣4x+y2+2y+5＝x2﹣4x+4+y2+2y+1＝（x﹣2）2+（y+1）2，∴当x＝2，y＝﹣1时，代数式x2﹣4x+y2+2y+5有最小值是0，故答案为：①﹣1，②0；（2）小明的结论错误，理由：∵x2+1＝0时，x无解，∴（x2+1）2+6最小值不是6，∵x2≥0，∴当x2＝0时，（x2+1）2+6最小值是7．21．解：（1）设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（34+2﹣2x）米．根据题意，得：（34+2﹣2x）x＝160，整理得：x2﹣18x+80＝0，解得：x1＝8，x2＝10，当x1＝8时，34+2﹣2x＝36﹣2×8＝20＞19，不符合题意，舍去，当x2＝10时，34+2﹣2x＝36﹣2×10＝16＜19，符合题意，答：养鸡场的长为16米，宽为10米．（2）围成养鸡场的面积不能达到180m2．理由如下：设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（34+2﹣2x）米．根据题意，得：（34+2﹣2x）x＝180，整理得：x2﹣18x+90＝0，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣18）2﹣4×1×90＜0．∴方程无实数根．答：围成养鸡场的面积不能达到180m2．22．解：（1）设每天增长的百分率为x，依题意，得：500（1+x）2＝720，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：每天增长的百分率为20%；（2）①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500﹣50m）万个/天，依题意，得：（1+m）（1500﹣50m）＝6500，解得：m1＝4，m2＝25，又∵在增加产能同时又要节省投入，∴m＝4．答：应该增加4条生产线；②设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500﹣50a）万个/天，依题意，得：（1+a）（1500﹣50a）＝15000，化简得：a2﹣29a+270＝0，∵△＝（﹣29）2﹣4×1×270＝﹣239＜0，方程无解．∴不能增加生产线，使得每天生产口罩15000万个．23．解：（1）设经过x秒以后△PBQ面积为6×（5﹣x）×2x＝6整理得：x2﹣5x+6＝0解得：x＝2或x＝3答：2或3秒后△PBQ的面积等于6cm2（2）当PQ＝5时，在Rt△PBQ中，∵BP2+BQ2＝PQ2，∴（5﹣t）2+（2t）2＝52，5t2﹣10t＝0，t（5t﹣10）＝0，t1＝0（舍弃），t2＝2，∴当t＝2时，PQ的长度等于5cm．（3）设经过x秒以后△PBQ面积为8，×（5﹣x）×2x＝8整理得：x2﹣5x+8＝0△＝25﹣32＝﹣7＜0∴△PQB的面积不能等于8cm2．。
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2.1 认识一元二次方程 同步练习题
1．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( )
A ．x 2＋1x
＝0 B ．(x －1)2＝(x ＋3)(x －2)＋1 C ．x ＝x 2 D ．ax 2＋bx ＋c ＝0
2．方程(m －1)x 2
＋mx ＋1＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的值为( )
A ．任何实数
B ．m≠0
C ．m≠1 D．m≠－1
3．方程2(x ＋2)＋8＝3x(x －1)的一般形式为________________，二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________．
4．把下列关于x 的一元二次方程化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)3x 2＝5x －3；
(2)(x ＋2)(x －2)＋3x ＝4.
5．设一个奇数为x ，与相邻奇数的积为323，所列方程正确的是( )
A ．x(x ＋2)＝323
B ．x(x －2)＝323
C ．x(x ＋1)＝323
D ．x(x －2)＝323或x(x ＋2)＝323
6．(1)一块长方形菜地的面积是150 m 2，如果它的长减少5 m ，那么菜地就变成正方形，若设原菜地的长为x m ，则可列方程为________________________________________________；
(2)已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列方程为__________________.
7．根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化为一般形式．
(1)正方体的表面积为36，求正方体的边长x ；
(2)在新春佳节到来之际，九(6)班所有的同学准备送贺卡相互祝贺，所有同学送完后共送了1 980张，
求九(6)班的同学人数x.
8．已知长方形宽为x cm ，长为2x cm ，面积为24 cm 2
，则x 最大不超过( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．根据下列表格中的对应值，判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0，a ，b ，c 为常数)的一个解x 的范围是( )
A.3<x<3.23 B ．3.23<x<3.24 C ．3.24<x<3.25 D ．3.25<x<3.26
10．已知m 是关于x 的方程x 2－2x －3＝0的一个根，则2m 2－4m ＝______．
11．已知关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋x ＋k 2－1＝0有一个根为0，则k 的值为________．
12．方程(m －1)xm 2＋1＋2mx －3＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的值为( )
A ．m ＝±1
B ．m ＝－1
C ．m ＝1
D ．m≠1
13．若方程(k －1)x 2＋kx ＝1是关于x 的一元二次方程，则k 的取值范围是( )
A ．k ≠1
B ．k ≥0
C ．k ≥0且k ≠1
D ．k 为任意实数
14．根据关于x 的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，列表如下：
则方程x 2＋px ＋q ＝0的一个正数解满足( )
A ．解的整数部分是0，十分位是5
B ．解的整数部分是0，十分位是8
C ．解的整数部分是1，十分位是1
D ．解的整数部分是1，十分位是2
15．若关于x 的方程x 2＋(m ＋1)x ＋1
2＝0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m 的值是( )
A ．－5
2 B.1
2 C ．－52或1
2 D ．1
16．已知关于x 的方程(m 2－4)x 2
＋(m －2)x ＋4m ＝0，当m ____________时，它是一元二次方程，当m________时，它是一元一次方程．
17．已知关于x 的一元二次方程m(x －1)2＝－3x 2＋x 的二次项系数与一次项系数互为相反数，则m 的值为多少？
18. 有这样的题目：把方程12
x 2－x ＝2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项．现在把上面的题目改编成下面的两个小题，请回答问题：
(1)下面式子中是方程12
x 2－x ＝2化为一元二次方程的一般形式的是________．(只填写序号) ①12x 2－x －2＝0，②－12
x 2＋x ＋2＝0，③x 2－2x ＝4，④－x 2＋2x ＋4＝0，⑤3x 2－23x －43＝0. (2)方程12
x 2－x ＝2化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项之间具有什么关系？
答案：
1. C
2. C
3. 3x 2－5x －12＝0 3 －5 －12
4. (1) 一般形式是3x 2－5x ＋3＝0，二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是3.
(2) 一般形式是x 2＋3x －8＝0，二次项系数是1，一次项系数是3，常数项是－8.
5. D
6. (1) x(x－5)＝150.(2) (x＋1)2－1＝24.
7. (1)6x2＝36，一般形式为6x2－36＝0.
(2)x(x－1)＝1 980，一般形式为x2－x－1 980＝0.
8. D
9. C
10. 6
11. －1
12. B
13. C
14. C
15. C
16. ≠±2＝－2
17. 整理方程，得(m＋3)x2－(2m＋1)x＋m＝0，由题意，得m＋3－(2m＋1)＝0，解得m＝2.
18. (1) ①②④⑤
(2) 若设它的二次项系数为a(a≠0)，则一次项系数为－2a，常数项为－4a.(即满足二次系数∶一次项系数∶常数项＝1∶－2∶－4即可)。