第四章更新过程

证明：先证K(t)有界，因为H(t)有界， M(t) 有界不减，所以，对任何T>0有
再证K(t)满足更新方程，
最后证明解的惟一性，设 K% 是方程
t
K (t) = H (t) + ò0 K (t - s)dF (s)
的解，且满足有界性条件，则
K% = H + F * K%
连续代换有
K% = H + F *(H + F * K% ) = H + F * H + F *(F * K% ) = H + F * H + F2 * K% = H + F * H + F2 * H + F3 * K%
关键更新定理
1 m
¥
ò0
h(x)dx
=
a m
即关键更新定理成立推出布莱克威尔(Blackwell)定理成立。
反过来， 若布莱克威尔(Blackwell)定理成立，即
lim H (t) = lim[M (t)- M (t - a)] = a
t®¥
t®¥
m
则lim M (t)- M (t - a) = 1
N (t ) = sup{n;Tn = X1 +K + X n £ t}
则 {X n , n ³ 1} 是一个新的更新过程。
由于 X n 只取0和 a两个常数所以过程 N (t ) 只能在
t = na, n = 0,1, 2,L 时刻出现更新。
比如在时刻 t = a 出现k次更新，就意味着：
事件“ X k ³ a ”第k次首次出现，
即：若关键更新定理成立 且假设F(x)不是格点的，令 代入更新方程的解，有
h(t)
=
ì1, íî0,
0£t<a t³a
H
(t
)
=
h(t
)
+
t
ò0
h(t
-
x
)dM
(x
)
=
t
òt -a
dM
(
x
)
=
M
(t
)
-
M
(t
-
a
)
所以有：lim H (t) = lim[M (t)- M (t - a)]
t ®¥
t®¥
n
å 而
Tn = X i
i =1
而Tn作为独立同分布的随机变量的和的分布近似正态，所
以更新过程在时间充分长后，其分布就近似正态分布.
Theorem： 若EX n = m,Var ( X n ) = s 2 < ¥,有
N (t)- t
m ® N (0,1) st
m3
(t ® ¥)
即当t充分大时
N
(t
)
0
m0
m0
所以，
ò lim
t®¥
H
(t
)
=
lim
t®¥
êëéh(t
)
+
t 0
h(t
-
x
)dM
(x
)úûù
ò = lim h(t)+ lim t h(t - x)dM (x)
t®¥
t®¥ 0
( ) ò = 0 + lim t h(x)dx 注意：lim h(t) = 0
t®¥ 0
t®¥
ò = lim t h(x)dx t®¥ 0
用N (t)表示[0,t)内更换部件的数目， Ti为更新间距，各Ti相互独立且同分布F (t)
则：
(1)若更新时间X i = 0
对任意的时刻t ¹ 0,系统是在工作着的。
前n个更换部件的寿命t
的分布：
n
Ft1 (t) = P{T1 £ t}= F (t) = F1(t)
ò Ft2 (t) = P{T1 + T2
t
K (t) = H (t) + ò0 K (t - s)dF (s)
其中H(t)，F(t)为已知，且当t<0时， H(t)，F(t) 均为0，当H(t)在任何区间上有界时称此方程为 适定更新方程，简称更新方程。
更新方程的解 定理4.2.2：设更新方程中H(t)为有界函数，则
方程存在惟一的在有限区间内有界的解
故：
P(在时刻 t = a 的更新次数=k)
= ( P ( X n < a )) k-1 P ( X n ³ a )
即在这些时刻的更新次数是独立同分布的几何随机变
量，其均值为
1
P{Xn ³a}
在[0,t]内出现更新的时刻个数不超过 均更新次数
t +1 a
，于是在[0,t]内的平
E
éë N
(t
)ùû
即布莱克威尔(Blackwell)定理成立推出关键更新定理成立。
4、剩余寿命和年龄的极限分布
考虑一个更新过程，{Xn,n≥1}为事件来到时间间隔， 用A(t)表示[0,t]内最后一次更新到t时刻的时间，用Y(t)表示t 时刻到下一次更新的时间，即
Y (t ) = TN(t)+1 - t A(t ) = t - TN(t)
一、更新方程
设M(t)为更新函数，其导数称为更新密度，记为 m(t)，则
¥
M (t) = å Fn (t) n=1 ¥
m(t) = M ¢(t) = å fn (t) n=1
其中 fn (t) 是 Fn (t)的密度函数。
定理4.2.1
定义4.2.1（更新方程）如下形式的积分方程称 为更新方程
Tn ® m n
(n ® ¥)
所以，if n ® ¥, Then Tn ® ¥
从而，无穷多次更新只可能在无限长的时间内发生，即 有限的时间内最多只能发生有限次更新。
N (t ) = sup{n;Tn £ t} = max{n;Tn £ t}
2、更新函数
令M(t)=E[N(t)]，称m(t)为更新函数。显然M(t) 是单调递增的，因而其反函数m-1(t)存在
近似
~
N
(
t m
,
ts 2 m3
)
三、 关键更新定理 1、定义：非负随机变量X称为格点的，若X只取某 个非负数d的整数倍。即存在d≥0，使得
¥
å P ( X = nd ) = 1
n=0
具有这个性质的最大的d称为X的周期。若X是格点 的，F(x)是X的分布函数，则称F(x)是格点的。
2、布莱克威尔(Blackwell)定理 设F(x)为非负随机变量X的分布函数 (1) 若F(x)不是格点的，则对任意的a≥0，有
0¢ t - x
( ) 记 K (t) = E TN (t)+1 , 则
( ) K (t) = E TN (t)+1 = E[E(TN (t)+1 X1)]
+¥
ò= 0
E(TN (t)+1 X1 = x)dF (x)
t
¥
ò ò = 0 [x + E(TN (t-x)+1)]dF (x) + t xdF (x)
例题：
设t = 0时安装了某设备，它一直使用到失效，失效后更换 一个同类型的设备，继续使用，然后再失效在更新同类型设备。
设第i个设备的寿命为Ti，更换第i个设备所需要的更换时间为X i , 设各Ti独立同分布，各X i独立同分布.
n
å 令t n = Ti , 表示被更换的n个设备的寿命总和， i =1
£
æ çè
t a
+ 1ö÷ø
P(Xn ³a)< ¥
Q Xn £ Xn, \N (t) ³ N (t) \ E éëN (t )ùû £ E éëN (t )ùû < ¥
因为，几何分布的各阶矩都存在，所以，我们实际上已证明了
"t ³ 0, r > 0, E éëN r (t )ùû < ¥
第二节 更新方程
t
ò = E( X1) +
K (t - x)dF (x)
0
这就是更新方程，其解为
4.2.2更新方程在人口学中的一个应用
4.3 更新定理
一、基本更新定理 Theorem： （Feller初等更新定理）
设 m = E[ X n ] ，则
二、N(t)的渐近正态分布
Q{N (t ) ³ n} Û {Tn £ t}
此时要讨论的是系统在时刻t的工作状态（是工作
还是失效），要讨论维修工的配置个数问题等。
4.1.2 N(t)的分布及E[N(t)]的一些性质
1、N(t)的分布
因为 N (t ) ³ n Û Tn £ t
所以
P{N (t ) = n} = P{N (t ) ³ n} - P{N (t ) ³ n +1}
£ t}=
t 0
F1
(t
-
u
)dF
(u
)
L
Ftn (t) = P{t n £ t}= P{T1 + T2 +L+ Tn £ t}
ò=
t 0
Fn
-1
(tห้องสมุดไป่ตู้
-
u
)dFn
(u
)
即Ftn (t)是F (t)的n重卷积。
(2)若X i ¹ 0,且失效后马上更新（即时更新）。 (3)若X i = 0，不能及时更新，需等待（延迟更新）。 (4)若X i ¹ 0，不能及时更新，需等待（延迟更新）。
0
x
t
TN (t )+1
Y (t - x) = TN (t-x)+1 - (t - x)
0¢ t - x 由全概公式得
TN (t-x)+1
P(Y (t) > y X1 = x) = P(Y (t - x) > y) = Ry (t - x)
å =LL= H + (n-1 Fk )* H + Fn * K% k =1
与定理中解的形式一致。
例题4.2.1瓦尔德（Wald）等式
设{Xn,n≥1}为独立同分布随机变量序列 ，m = EXn < ¥
å 则
E
æ çè
N n=1
X
n
ö ÷ø
=
E
(
N
)
E
(
X
n
)
( ) ( ) 特别的，E TN (t)+1 = E X1 + X 2 +L + X N (t)+1
的解。那么 （1）若F(x)不是格点的
ò ì 1
lim
H
(t
)
=
ï í
m
+¥ h (t )dt,
0
t®¥
ïî 0,
m<¥ m =¥
（2）若F(x) 是格点的，对于 0 £ c < d
å lim
n®¥
H (c
+
nd )
=
ìd
ï í
m
ïî
¥
h(c
n=0
0,
+
nd ),
m<¥ m =¥
注：关键更新定理与布莱克威尔(Blackwell)定理是等 价性的。
4更新过程
4.1更新过程及其若干分布
4.1.1更新过程的定义
设{Xn,n≥1}是独立同分布的非负随机变量，分布 函数为F(x)，且F(0)<1，令
n
å T0 = 0, Tn = X k
记
k =1
¥
N (t ) = sup{n;Tn £ t} 或 å ( ) N t = I(Tn£t) n=1
称{N(t),t≥0}更新过程。
(2)若F(x)是格点的，周期为d，则
容易看出，基本更新定理是Blackwell定理的特殊 情况。
3、关键更新定理
记
m
=
EX n
，设h(t)
≥0满足(1)
h(t)
非负不增；(2)
ò +¥ h (t )dt 0
< ¥。
H(t)是更新方程
òt
H (t) = h(t) + H (t - x)dF (x) 0
t®¥
a
m
所以lim lim M (t)- M (t - a) = 1
a®0 t®¥
a
m
交换求极限的顺序：有lim dM (t) = 1
t®¥ dt
m
即当t很大时dM (t) = 1 dt
m
ò ò ò 所以：t h(t - x)dM (t) » 1
t
h(t
-
x)dx
t -x= y
=
1
t h(y)dy
= P{Tn £ t} - {P Tn+1 £ t} = Fn (t ) - Fn+1 (t )
其Fn(x)中是Tn的分布函数，它是F(x)自身的n次卷积。
注1：
F(x)是单调增函数，
Q F1 ( x ) = F ( x )
ò Fn ( x ) =
x 0
Fn -1
(
x
-
u
)dF
(u
)
x-u<x 故F(x-u)<F(x)
0< x£t
(1) 当 x>t+y 时，
Y (t)
TN (t )+1
0
t
y
t+y x
(2) 当t<x≤t+y时，
Y (t) TN (t )+1
0
t
x
y
t+y
P(Y (t) > y X1 = x) =1
P(Y (t) > y X1 = x) =0
(3) 当0<x≤t 时，
Y (t) = TN (t)+1 - t
A(t)
---------剩余寿命 ---------年龄
Y (t)
TN (t)
t
解：令
X N (t)+1
Ry (t) = P(Y (t) > y)
TN (t)+1
对第一次更新时刻X1取条件，得
ì 1,
P(Y (t)
>
y
X1
=
x)
=
ï í
0,
ï î
Ry
(t
-
x),
x >t+ y t < x£t+ y
N (t )+1
å = E[ X k ] = E( X1)E(N (t) +1) k =1
证明：对第一次更新时刻X1取条件
( ) ìx,
E
TN (t)+1 X1 = x
=
í î
x
+
E (TN
(t
- x )+1 ),
TN (t )+1
x>t x£t
0
t
x
TN (t )+1
0
x
t
TN (t -x)+1
定理4.1.1
定理4.1.2
M (t)是t的不减函数，且对0 £ t < +¥,有M (t) < +¥
所以：
证明方法2：
Pr oof Q F (0) < 1,即P{X n = 0} < 1 \$a > 0,使得 P{X n ³ a} > 0,
令
ì0, X n = íîa
若X n < a 若X n ³ a
\
F2
(
x
)
=
x
ò0
F1
(
x
-
u
)dF
(u
)
£
x
ò0
F
(
x
)dF
(u
)
=
F
2
(
x
)
F3
(
x
)
=
x
ò0
F2
(
x
-
u
)dF
(u
)
£
x
ò0
F2
(
x )dF
(u
)
=
F
3
(
x
)
\ Fn ( x ) £ F n ( x )
注2： 在有限的时间内不可能有无限多次更新发生。
因为
If EX k = m > 0
由强大数定律知，依概率1有