集合中的定义新运算测试题(含答案)

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高中数学——集合新定义题目(教案)

集合新定义题目1.（已知集合22{(,)3,,}A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为（） A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】A2211311x x y y -≤≤⎧+≤⎨-≤≤⎩，解得，又因为x Z y Z ∈∈，，所以1,0,11,01x y =-=-；，339⨯=，故A 中的元素有9个.2.已知集合{}1,2,3,4,5A =，,,,{()|}B x y x A y A x y A =∈∈-∈，则B 中所含元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．10 【答案】D 解：,,,{()|}B x y x A y A x y A =∈∈-∈，{}1,2,3,4,5A =，2x ∴=，1y =；3x =，1,2y =；4x =，1,2,3y =；5x =，1,2,3,4y =.()()()()()()()()()(){}2,13,13,24,14,24,35,15,,,,,,25,,,3,5,4,B ∴=，B ∴中所含元素的个数为10.3.已知集合A ，B 满足运算{|A B x x A *=∈且}x B ∉，若集合{}1,2,3A =，{}2,4B =，则A B *=( )A.{}1,2,3B.{}2,4C.{}1,3D.{}2【答案】C4.在集合{},,,a b c d 上定义两种运算⊕和⊗如下：a b c d a a b c d b b b b b c c b cbddb b d⊕ a b c d a a a a a b a b c d c accada d a d⊗ 那么()d a c ⊗⊕=( )A. aB. bC. cD. d 【答案】A5.若集合,1{}1A =-，{}0,2B =，则集合{|}z z x y x A y B =+∈∈，，中的元素个数为( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【答案】C6.集合M 中的元素都是正整数，且若a M ∈，则6a M -∈，则所有满足条件的集合M 共有( )A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个【答案】B7.已知元素为实数的集合S 满足下列条件：①0S ∉，1S ∉；②若a S ∈，则11S a∈-．（1）若{22}S -⊆，，求使元素个数最少的集合S ；（2）若非空集合S 为有限集，则你对集合S 的元素个数有何猜测？并请证明你的猜测正确．【答案】（1）1132,1,,2,,232⎧⎫--⎨⎬⎩⎭；解：（1）2S ∈，则1S -∈，12S ∈，可得2S ∈；2S -∈，则13S ∈，32S ∈，可得2S -∈，∴{22}S -⊆，，使元素个数最少的集合S 为1132,1,,2,,232⎧⎫--⎨⎬⎩⎭．（2）非空有限集S 的元素个数是3的倍数．证明如下：①设a S ∈则0a ≠，1且a S ∈，则11S a ∈-，11111a S a a-=∈--，111a S a a=∈--，假设11a a =-，则2101a a a -+=≠（）无实数根，故11a a≠-.同理可证a ，11a -，1a a-两两不同．即若有a S ∈，则必有11,,1a a S a a -⎧⎫⊆⎨⎬-⎩⎭． ②若存在()b S b a ∈≠，必有11,,1b b S b b -⎧⎫⊆⎨⎬-⎩⎭1111,,,,11a b a b a a b b --⎧⎫⎧⎫=∅⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭于是1111,,,,,11a b a b S a ab b --⎧⎫⊆⎨⎬--⎩⎭．上述推理还可继续，由于S 为有限集，故上述推理有限步可中止，∴S 的元素个数为3的倍数． 8.已知集合(){}22,1A x y xy =+≤，{}()|,11,11B x y x y =≤≤-≤≤-，则集合()()(){}12121122,,,,,,x y x x x y y y x y A x N y B =+=∈=+∈表示的区域的面积是________．【答案】12π+解：由N 解得1212,x x x y y y =-=-，代入221x y +≤，得()()22221x x y y -+-≤，该解析式表示圆心在区域{()|,}1111x y x y ≤≤-≤≤-，内变动，变动过程中形成如图所示的平面区域，这个区域含有1个边长为2的正方形区域，以及4个四分之一圆形(半径为1)区域，个边长分别为2，1的矩形区域，故其面积是2242112ππ⨯+⨯⨯=+＋9. 设整数4n ≥，集合1,2,3,},{X n =⋯．令集合{(),,,|,S x y z x y z X =∈，且三个条件：x y z <<，y z x <<，z x y <<中恰有一个成立}，若(,,)x y z 和(,,)z w x 都在S 中，则下列选项正确的是( )A ．,,()y z w S ∈，,,()x y w S ∉B ．,,()y z w S ∈，,,()x y w S ∈C ．,,()y z w S ∉，,,()x y w S ∈D ．,,()y z w S ∉，,,()x y w S ∉ 【答案】B解：方法一：(一般方法)因为,,()x y z S ∈，,,()z w x S ∈，所以x y z <<①，y z x <<②，z x y <<③三个式子中恰有一个成立；z w x <<④，w x z <<⑤，x z w <<⑥三个式子中恰有一个成立．则x ，y ，z ，w 的大小有四种情况．第一种：①⑤成立，此时w x y z <<<，于是,,()y z w S ∈，,,()x y w S ∈；第二种：①⑥成立，此时x y z w <<<，于是,,()y z w S ∈，,,()x y w S ∈；第三种：②④成立，此时y z w x <<<，于是,,()y z w S ∈，,,()x y w S ∈；第四种：③④成立，此时z w x y <<<，于是,,()y z w S ∈，,,()x y w S ∈.综合上述四种情况，可得,,()y z w S ∈，,,()x y w S ∈.方法二：(特殊值法)不妨令2x =，3y =，4z =，1w =，则()(),1,4,,3y z w S =∈，()(),1,3,,2x y w S =∈，故选B.10.已知集合{(),|,}A x y x y R =∈，若,x y A ∈，已知()()1122,,,x x y y x y ==，定义集合A 中元素间的运算x y *，称为“*”运算，此运算满足以下运算规律： ①任意,x y A ∈有x y y x *=*；②任意,,x y z A ∈有()x y z x z y z +*=*+*，其中1212(),x x x y y y +=++；③任意,x y A ∈，a R ∈有()()ax y a x y *=*；④任意x A ∈有0x x *≥，且0x x *=成立的充分必要条件是)0(0x =，．如果()()1122,,,x x y y x y ==，那么下列运算满足“*”运算的是( ) A ．11222x y x y x y *=+ B ．1122x y x y x y *=- C ．11221x y x y x y *=++ D ．12122x y x x y y *=+ 【答案】D易知A 、B 选项中的运算均不满足规律①；C 选项中，若令)0(0x =，，则0011x x *=++=，不满足规律④.故选D。

集合的压轴小题练习题和详细的分析解答(1)新定义问题

集合的压轴小题练习题和详细的分析解答(1)新定义问题1．设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足： ①对于任意x ，y ∈S ，若x ≠y ，都有xy ∈T ②对于任意x ，y ∈T ，若x <y ，则yx∈S ；下列命题正确的是（）A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素2．对于任意两个正整数,m n ，定义某种运算，法则如下：当,m n 都是正奇数时，m n m n =+ ；当,m n 不全为正奇数时，mn mn =，则在此定义下，集合(){,|M a b a=16,*,*}b a N b N =∈∈的真子集的个数是（）A ．721-B ．1121-C ．1321-D ．1421-3．当一个非空数集G 满足“如果,a b G ∈，则,,a b a b ab G +-∈,且0b ≠时，aG b∈”时，我们称G 就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①0是任何数域的元素；②若数域G 有非零元素，则2017G ∈；③集合{}|2,P x x k k Z ==∈是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题有（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．定义一个集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为P(A)，用n(A)表示有限集A的元素个数，给出下列命题：①对于任意集合A，都有A⊆P(A)；②存在集合A，使得n[P(A)]=3；③用ø表示空集，若A∩B=ø，则P(A)∩P(B)=ø；④若A B,，则P(A)P(B)；⑤若n(A)-n(B)=1，则n[P(A)]=2×n[P(B)]其中正确的命题个数为（）．A．4B．3C．2D．15．设是直角坐标平面上的任意点集，定义．若，则称点集“关于运算*对称”．给定点集，，，其中“关于运算* 对称”的点集个数为A．B．C．D．6．设集合S={A0，A1，A2，A3}，在S上定义运算⊕为：A1⊕A=A b,其中k为I+j被4除的余数，I,j=0,1,2,3.满足关系式=（x⊕x）⊕A2=A0的x(x∈S)的个数为A.4B.3C.2 D．17．用C(A)表示非空集合A 中的元素个数，定义A*B=.若A={1,2},B=，且A*B=1，设实数的所有可能取值集合是S ，则C(S)=（）A ．4B ．3C ．2D ．18．规定：函数()y f x =，有限集合S ，如果满足：当x S ∈，则()f x S ∈，且*S N ⊆，那么称集合S 是函数()f x 的生成集，已知减函数()2ax bf x x +=-（2x >），b 为不超过10的自然数，而且()f x 有6个元素的一个生成集S ，则a b +=________.9．若集合{}1,2,3,,2019A =⋅⋅⋅,集合B A ⊆，且B ≠∅，记()W B 为B 中元素的最大值与最小值之和，则对所有的B ，()W B 的平均值是__________．10．向量集合(){},,,S a a x y x y R ==∈,对于任意,S αβ∈,以及任意()0,1λ∈,都有()1S λαλβ+-∈,则称S 为“C 类集”,现有四个命题:①若S 为“C 类集”,则集合{},M a a S R μμ=∈∈也是“C 类集”; ②若S ,T 都是“C 类集”,则集合{},M a b a S b T =+∈∈也是“C 类集”; ③若12,A A 都是“C 类集”,则12A A ⋃也是“C 类集”;④若12,A A 都是“C 类集”,且交集非空,则12A A ⋂也是“C 类集”. 其中正确的命题有________(填所有正确命题的序号)11．若X 是一个非空集合，M 是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足:（1）X M M ∈∅∈，；（2）对于X 的任意子集A B ，，当A M ∈且B M ∈时，有A B M ⋃∈；（3）对于X 的任意子集A B ，当A M ∈且B M ∈时，有A B M ⋂∈，则称M 是集合X 的一个“M ——集合类”例如:{}{}{}{}{}M b c b c a b c =∅，，，，，，，是集合{}X a b c =，，的一个“M ——集合类”.已知{}X a b c =，，，则所有含{}b c ，的“M ——集合数”的个数为（） A ．9 B ．10C ．11D ．1212．在n 元数集{}12,,,n S a a a =⋅⋅⋅中，设()12na a a x S n++⋅⋅⋅+=，若S 的非空子集A 满足()()x A x S =，则称A 是集合S 的一个“平均子集”，并记数集S 的k 元“平均子集”的个数为()S f k ．已知集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9S =，{}4,3,2,1,0,1,2,3,4T =----，则下列说法错误的是（） A ．()()91S T f f = B ．()()81S T f f = C ．()()64S T f f =D ．()()54S T f f =集合的压轴小题练习题和详细的分析解答(1)新定义问题1．设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足： ①对于任意x ，y ∈S ，若x ≠y ，都有xy ∈T ②对于任意x ，y ∈T ，若x <y ，则yx∈S ；下列命题正确的是（）A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素【答案】A 【解析】【分析】分别给出具体的集合S 和集合T ，利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即可. 【详解】首先利用排除法：若取{}1,2,4S =，则{}2,4,8T =，此时{}1,2,4,8ST =，包含4个元素，排除选项 C ；若取{}2,4,8S =，则{}8,16,32T =，此时{}2,4,8,16,32S T =，包含5个元素，排除选项D ；若取{}2,4,8,16S =，则{}8,16,32,64,128T =，此时{}2,4,8,16,32,64,128S T =，包含7个元素，排除选项B ；下面来说明选项A 的正确性：设集合{}1234,,,S p p p p =，且1234p p p p <<<，*1234,,,p p p p N ∈，则1224p p p p <，且1224,p p p p T ∈，则41p S p ∈，同理42p S p ∈，43p S p ∈，32p S p ∈，31p S p ∈，21p S p ∈，若11p =，则22p ≥，则332p p p <，故322p p p =即232p p =，又444231p p p p p >>>，故442232p p p p p ==，所以342p p =，故{}232221,,,S p p p =，此时522,p T p T ∈∈，故42p S ∈，矛盾，舍.若12p ≥，则32311p p p p p <<，故322111,p p p p p p ==即323121,p p p p ==，又44441231p p p p p p p >>>>，故441331p pp p p ==，所以441p p =，故{}2341111,,,S p p p p =，此时{}3456711111,,,,p p p p p T ⊆. 若q T ∈，则31q S p ∈，故131,1,2,3,4i qp i p ==，故31,1,2,3,4i q p i +==，即{}3456711111,,,,q p p p p p ∈，故{}3456711111,,,,p p p p p T =，此时{}234456711111111,,,,,,,S T p p p p p p p p ⋃=即S T 中有7个元素.故A 正确. 故选：A . 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 2．对于任意两个正整数,m n ，定义某种运算，法则如下：当,m n 都是正奇数时，m n m n =+ ；当,m n 不全为正奇数时，mn mn =，则在此定义下，集合(){,|M a b a=16,*,*}b a N b N =∈∈的真子集的个数是（）A ．721-B ．1121-C ．1321-D ．1421-【答案】C 【解析】由题意，当m n ，都是正奇数时，m n m n =+※ ；当m n ，不全为正奇数时，m n mn =※ ；若a b ，都是正奇数，则由16a b =※ ，可得16a b += ，此时符合条件的数对为（115313151⋯，），（，），（，）满足条件的共8个；若a b ，不全为正奇数时，m n mn =※ ，由16a b =※ ，可得16ab = ，则符合条件的数对分别为116284482161（，），（，），（，），（，），（，）共5个；故集合**{|16}M a b a b a N b N ==∈∈（，）※，，中的元素个数是13，所以集合**{|16}M a b a b a N b N ==∈∈（，）※，，的真子集的个数是1321．- 故选C ．【点睛】本题考查元素与集合关系的判断，解题的关键是正确理解所给的定义及熟练运用分类讨论的思想进行列举，3．当一个非空数集G 满足“如果,a b G ∈，则,,a b a b ab G +-∈,且0b ≠时，aG b∈”时，我们称G 就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①0是任何数域的元素；②若数域G 有非零元素，则2017G ∈；③集合{}|2,P x x k k Z ==∈是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题有（） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】【分析】逐项分析即可. 【详解】①：当0a =时，有0aG b=∈，所以0是任何数域的元素，正确； ②：取G 为实数域，令2016a G =∈，1b G =∈，则2017a b G +=∈，正确； ③：若{}|2,P x x k k Z ==∈为数域，取2a =，4b =，则12a Pb =∈不成立，错误； ④：取有理数1x ，2x ，令1a x =，2b x =，则()12a b x x +=+∈有理数集， ()12a b x x -=-∈有理数集，()12a b x x ⋅=⋅∈有理数集，且12x a b x =∈有理数集（20x ≠），所以有理数集是数域.正确的有：①②④. 故选：C .【点睛】本题考查集合中的新定义问题，难度较难.对于新定义的问题，关键是能读懂定义并能做出合理判断.4．定义一个集合A 的所有子集组成的集合叫做集合A 的幂集，记为P(A)，用n(A)表示有限集A 的元素个数，给出下列命题：①对于任意集合A ，都有A ⊆P(A)；②存在集合A ，使得n[P(A)]=3；③用ø表示空集，若A∩B=ø，则P(A)∩P(B)=ø；④若AB,，则P(A)P(B)；⑤若n(A)-n(B)=1，则n[P(A)]=2×n[P(B)]其中正确的命题个数为（）． A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】B 【解析】由()P A 的定义可知①正确，④正确，设()n A n =，则()()2nn P A = ，所以②错误；若A B =∅ ，则()(){}P A P B ⋂=∅ ，③不正确；()()1n A n B -= ，即A 中元素比B 中元素多一个，则()()2n P A n P B ⎡⎤⎡⎤=⨯⎣⎦⎣⎦,⑤正确，故选B. 【方法点睛】本题考查结合的概念与性质、新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题利用定义集合A 的幂集达到考查集合性质的目的.5．设是直角坐标平面上的任意点集，定义．若，则称点集“关于运算*对称”．给定点集，，，其中“关于运算 * 对称”的点集个数为A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】试题分析：将(1,1)y x --带入221x y +=，化简得1x y +=，显然不行，故集合A 不满足关于运算*对称，将(1,1)y x --带入1y x =-，即111x y -=--，整理得1x y +=，显然不行，故集合B 不满足关于运算*对称，将(1,1)y x --带入11x y -+=，即1111y x --+-=，化简得11x y -+=，故集合C 满足关于运算*对称，故只有一个集合满足关于运算*对称，故选B. 考点：新定义问题的求解.6．设集合S={A 0，A 1，A 2，A 3}，在S 上定义运算⊕为：A 1⊕A=A b ,其中k 为I+j 被4除的余数，I,j=0,1,2,3.满足关系式=（x ⊕x ）⊕A 2=A 0的x(x ∈S)的个数为 A.4 B.3 C.2 D ．1 【答案】B 【解析】略7．用C(A)表示非空集合A 中的元素个数，定义A*B=.若A={1,2},B=，且A*B=1，设实数的所有可能取值集合是S ，则C(S)=（）A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】B 【解析】试题分析：因为C(A)=2,A ∗B =1，所以C(B)=1或C(B)=3.由x 2+ax =0得：x 1=0,x 2=−a .当a =0时，B ={0},C(B)=1，满足题设.对，当Δ=0时，a =±2√2，此时C(B)=3符合题意.当Δ>0时，a <−2√2或a >2√2，此时必有C(B)=4，不符合题意.所以S ={0,−2√2,2√2}.选B.考点：1、新定义；2、一元二次方程.8．规定：函数()y f x =，有限集合S ，如果满足：当x S ∈，则()f x S ∈，且*S N ⊆，那么称集合S 是函数()f x 的生成集，已知减函数()2ax bf x x +=-（2x >），b 为不超过10的自然数，而且()f x 有6个元素的一个生成集S ，则a b +=________. 【答案】10【解析】【分析】利用生成集的定义和函数的单调性进行判断求解．【详解】2()22ax b a bf x a x x ++==+--，∴()f x 在(2,)+∞是单调的，显然20a b +≠，若20a b +<，()f x 单调递增，则方程()f x x =即2ax bx x +=-有6个自然数解，这是不可能的，故20a b +>，()f x 单调递减，设S 中最小值为m ，最大数为n ，则()()f m nf n m =⎧⎨=⎩，由22ma bn m na b m n +⎧=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩，解得22()a b mn m n =⎧⎨=-+⎩，22()4(2)(2)()222a b mn m n m n f x a a a x x x +-++--=+=+=+---， ∵函数定义域是(2,)+∞，S 中至少有6个元素， *S N ⊆，∴3,8m n ≥≥，∴(2)(2)6m n --≥，又10b ≤，∴(2)(2)414m n b --=+≤，S 中有6个元素，∴(2)(2)m n --一定有6个正因数，在[6,14]中有6个正因数的整数只有12，∴8b =，此时28()2x f x x +=-，{3,4,5,6,8,14}S =， ∴10a b +=，故答案为：10．【点睛】本题考查数学的中新定义问题，考查学生的创新意识，考查函数的单调性，考查学生的推理能力和计算能力，属于难题．9．若集合{}1,2,3,,2019A =⋅⋅⋅,集合B A ⊆，且B ≠∅，记()W B 为B 中元素的最大值与最小值之和，则对所有的B ，()W B 的平均值是__________．【答案】2020【解析】【分析】先归纳出集合{}()1,2,3,,n A n n N *=∈时，集合n B A '⊆且B '≠∅时，()W B '的平均值，然后令2019n =可得出()W B 的平均值. 【详解】先考虑集合时，集合n B A '⊆且B '≠∅时，()W B '的平均值.{}11A =，{}1B '=，则()112W B '=+=，此时，()W B '的平均值为221=；{}21,2A =，当{}1B '=时，()112W B '=+=，当{}2B '=时，()224W B '=+=，当{}1,2B =时，()123W B '=+=，此时，()W B '的平均值为24333++=； {}31,2,3A =，当{}1B '=时，()112W B '=+=，当{}2B '=时，()224W B '=+=，{}3B '=时，()336W B '=+=，当{}1,2B '=时，()123W B '=+=，当{}1,3B '=时，()134W B '=+=，当{}2,3B '=时，()235W B '=+=，当{}1,2,3B '=时，()134W B '=+=，此时，()W B '的平均值为246345447++++++=；依此类推，对于集合n A ，()W B '的平均值为1n +. 由于2019A A =，所以，()201912020W B =+=. 故答案为：2020. 【点睛】本题考查了集合的新定义，同时也考查了归纳推理，解题的关键就是利用归纳推理得出()W B '的表达式，考查推理论证能力，属于难题.10．向量集合(){},,,S a a x y x y R ==∈,对于任意,S αβ∈,以及任意()0,1λ∈,都有()1S λαλβ+-∈,则称S 为“C 类集”,现有四个命题:①若S 为“C 类集”,则集合{},M a a S R μμ=∈∈也是“C 类集”; ②若S ,T 都是“C 类集”,则集合{},M a b a S b T =+∈∈也是“C 类集”;③若12,A A 都是“C 类集”,则12A A ⋃也是“C 类集”;④若12,A A 都是“C 类集”,且交集非空,则12A A ⋂也是“C 类集”. 其中正确的命题有________(填所有正确命题的序号) 【答案】①②④ 【解析】【分析】因为集合(){},,,S a a x y x y R ==∈,对于任意,S αβ∈,且任意()0,1λ∈,都有()1S λαλβ+-∈,可以把这个“C 类集”理解成,任意两个S 中的向量所表示的点的连线段上所表示的点都在S 上,因此可以理解它的图象成直线,逐项判断,即可求得答案. 【详解】集合(){},,,S a a x y x y R ==∈,对于任意,S αβ∈, 且任意()0,1λ∈,都有()1S λαλβ+-∈∴可以把这个“C 类集”理解成,任意两个S 中的向量所表示的点的连线段上所表示的点都在S 上,因此可以理解它的图象成直线对于①,{},M a a S R μμ=∈∈,向量a 整体μ倍,还是表示的是直线,故①正确; 对于②,因为S ,T 都是“C 类集”,故{},M a b a S b T =+∈∈还是表示的是直线,故②正确;对于③,因为12,A A 都是“C 类集”,可得12A A ⋃是表示两条直线,故③错误;对于④,12,A A 都是“C 类集”,且交集非空,可得12A A ⋂表示一个点或者两直线共线时还是一条直线.综上所述,正确的是①②④. 故答案为:①②④. 【点睛】本题考查了集合的新定义,解题关键是要充分理解新定义,结合向量和集合知识求解,考查了分析能力和计算能力,属于难题.11．若X 是一个非空集合，M 是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足:（1）X M M ∈∅∈，；（2）对于X 的任意子集A B ，，当A M ∈且B M ∈时，有A B M ⋃∈；（3）对于X 的任意子集A B ，当A M ∈且B M ∈时，有A B M ⋂∈，则称M 是集合X 的一个“M ——集合类”例如:{}{}{}{}{}M b c b c a b c =∅，，，，，，，是集合{}X a b c =，，的一个“M ——集合类”.已知{}X a b c =，，，则所有含{}b c ，的“M ——集合数”的个数为（） A ．9 B ．10C ．11D ．12【答案】D 【解析】【分析】根据题意知M 一定包含{}{},,,,,b c a b c ∅，对剩余{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,a b c a b a c a b c 分类讨论得到答案. 【详解】{}X a b c =，，的子集有：{}{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,a b c a b a c b c a b c ∅.根据题意：M 一定包含{}{},,,,,b c a b c ∅，剩余{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,a b c a b a c a b c . 当5个都不取时，{}{}{},,,,,M b c a b c =∅，1个；当只取1个时，{}{}{}{},,,,,,M a b c a b c =∅，{}{}{}{},,,,,,M b b c a b c =∅，{}{}{}{},,,,,,M c b c a b c =∅满足，3个；当只取2个时，{}{}{}{}{},,,,,,,,M b a b b c a b c =∅，{}{}{}{}{},,,,,,,,M c a c b c a b c =∅， {}{}{}{}{},,,,,,,M b c b c a b c =∅满足，3个；当只取3个时，{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,M a b a b b c a b c =∅，{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,M c b a b b c a b c =∅，{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,M a c a c b c a b c =∅， {}{}{}{}{}{},,,,,,,,,M b c a c b c a b c =∅满足，4个；当只取4个时，不满足；当取5个时，{}{}{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,M a b c a b a c b c a b c =∅满足，1个；共12个.故选：D . 【点睛】本题考查了集合的新定义问题，分类讨论是解题的关键. 12．在n 元数集{}12,,,n S a a a =⋅⋅⋅中，设()12na a a x S n++⋅⋅⋅+=，若S 的非空子集A 满足()()x A x S =，则称A 是集合S 的一个“平均子集”，并记数集S 的k 元“平均子集”的个数为()S f k ．已知集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9S =，{}4,3,2,1,0,1,2,3,4T =----，则下列说法错误的是（） A ．()()91S T f f = B ．()()81S T f f = C ．()()64S T f f = D ．()()54S T f f =【答案】C 【解析】【分析】根据新定义求出k 元平均子集的个数，逐一判断，由此得出正确选项．【详解】()5x S =，将S 中的元素分成5组()1,9，()2,8，()3,7，()4,6，()5．则()121456S f C C =⋅=，()3464S f C ==,()4481S f C ==,()91S f =；同理：()0x T =，将T 中的元素分成5组()1,1-，()2,2-，()3,3-，()4,4-，()0．则()1111T f C ==，()2446T f C ==．∴()()91S T f f =，()()81S T f f =，()()54S T f f =，()()64S T f f ≠．故选：C ．【点睛】本小题主要考查新定义集合的概念理解和运用，考查分析、思考与解决问题的能力，属于中档题.。

定义新运算练习题(含解析)

定义新运算练习题1．定义一种新的运算*：规定a*b＝30×a＋20×b，例如5*6＝30×5＋20×6＝270，计算3*8＝＝。

2．定义新运算a△b＝（a＋b）×（a﹣b），则6.2△3.8＝。

3．定义新运算：△表示一种运算符号，其意义是a△b＝2.5a﹣b，计算（4△5）△6。

4.如果2△3＝2＋3＋4＝9，5△4＝5＋6＋7＋8＝26，照这样计算，求9△5。

5．定义一种新运算：3△2＝3＋33＝36，5△4＝5＋55＋555＋5555＝6170，那么7△4的结果是。

6．定义新运算：若2※3＝2＋3＋4，5※4＝5＋6＋7＋8，求2※（3※2）的值。

7.规定：符号“△”为选择两数中较大的数，“○”为选择两数中较小的数．例如5△2＝5，3○6＝3，求[（8○3）△5]×（4○7）。

附加题：8.2▽4＝8，5▽3＝13，3▽5＝11，9▽7＝25．按此规律计算，求10▽12。

定义新运算-解析1．定义一种新的运算*：规定a*b＝30×a＋20×b，例如5*6＝30×5＋20×6＝270，计算3*8＝＝。

【分析】根据规定a*b＝30×a＋20×b，计算3*8时，a＝3，b＝8。

运用新定义计算。

【解答】a*b＝30×a＋20×b3*8＝30×3＋20×8＝2502．定义新运算a△b＝（a＋b）×（a﹣b），则6.2△3.8＝。

【分析】△的运算是两数和与两数差的乘积；据此解答即可。

【解答】6.2△3.8＝（6.2＋3.8）×（6.2﹣3.8）＝10×2.4＝243．定义新运算：△表示一种运算符号，其意义是a△b＝2.5a﹣b，计算（4△5）△6。

【分析】根据a△b＝2.5a﹣b，把4△5改写为2.5×4﹣5，算出结果，再用这个结果的2.5倍减6，即是（4△5）△6的结果。

高二数学集合的概念试题答案及解析

高二数学集合的概念试题答案及解析1.已知集合，.（1）若= 3，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）实数的取值范围为.【解析】（1）先解出集合A、B，再把= 3代入，即可求；（2）若，写出满足条件的式子，解出实数的取值范围.（1） 4分当m=3时 7分（2） 14分【考点】集合之间的关系、集合的运算.2.设非空集合满足：当时，有.给出如下命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若,则．其中所有正确命题的序号是．【答案】①②③【解析】由定义设非空集合满足：当时，有知，符合定义的参数，这样才能保证时，有即；符合条件的，惟如此才能保证时，有即，对于①故必有②，，则对于③若所以正确命题有3个．故选D【考点】集合的确定性、互异性、无序性；元素与集合关系的判断3.在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，．给出如下四个结论：①；②；③；④当且仅当“”整数属于同一“类”．其中，正确结论的个数为．A．B．C．D．【答案】C【解析】①∵2011÷5=402…1，∴2011∈[1]，故①对；②∵-3=5×（-1）+2，∴对-3∉[3]；故②错；③∵整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③对；④∵整数a，b属于同一“类”，∴整数a，b被5除的余数相同，从而a-b被5除的余数为0，反之也成立，故“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a-b∈[0]”．故④对．∴正确结论的个数是3．故选C．.【考点】新定义.4.集合A＝｛x｜x2－ax＋a2－19＝0｝，B＝｛x｜x2－5x＋6＝0｝，C＝｛x｜x2＋2x－8＝0｝．（1）若A∩B＝A∪B，求a的值；（2）若A∩B，A∩C＝，求a的值．【答案】（1）a＝5.（2）a=－2【解析】由已知，得B＝｛2，3｝，C＝｛2，－4｝.(1)∵A∩B＝A∪B，∴A＝B于是2，3是一元二次方程x2－ax＋a2－19＝0的两个根，由韦达定理知：解之得a＝5.(2)由A∩B∩，又A∩C＝，得3∈A，2A，－4A，由3∈A，得32－3a＋a2－19＝0，解得a＝5或a=－2当a=5时，A＝｛x｜x2－5x＋6＝0｝＝｛2，3｝，与2A矛盾；当a=－2时，A＝｛x｜x2＋2x－15＝0｝＝｛3，－5｝，符合题意【考点】集合的混合运算点评：主要是考查了集合之间的关系以及基本运算的综合运用，属于基础题。

七年级定义新运算例题及答案

七年级定义新运算例题及答案在初中数学中，我们通常会学习从一些特定的数学概念以及运算法则来定义新的运算方式。

在七年级数学学习中，我们也要学习一些新的运算方式。

下面就让我们一起来看看七年级定义新运算例题及答案。

一、集合的新运算在七年级数学中，我们学习了集合的概念和有关的运算法则，并学会了两个关于集合的基本运算：并集和交集。

此外，我们还要学习新的运算：补集和差集。

1. 补集对于一个集合A，它在另一个集合B中的补集就是B中不包含A元素的所有元素所组成的集合。

用符号表示的话，可以表示成B-A。

例如，集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4,5}，则B-A={4,5}。

2. 差集对于两个集合A和B，它们的差集就是属于A但不属于B的元素所组成的集合。

用符号表示的话，可以表示成A-B或A\B。

例如，集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4,5}，则A-B={1}或A\B={1}。

二、有理数的新运算在七年级数学中，我们学习了有理数的概念和有关的运算法则，并学会了加法、减法、乘法和除法运算。

此外，我们还要学习新的运算：相反数和绝对值。

1. 相反数对于一个有理数a，它的相反数是一个数-b，它们的和等于0。

用符号表示的话，可以表示成b=-a。

例如，2的相反数是-2，-1的相反数是1。

2. 绝对值对于一个有理数a，它的绝对值表示a到0的距离。

用符号表示的话，可以表示成|a|。

例如，|-3|=3，|2|=2。

三、平方根的新运算在七年级数学中，我们还要学习平方根的概念和有关的运算法则。

我们已知的运算有两种：平方和开方运算。

在这里，我们要再学一种运算：非负实数的平方根。

1. 非负实数的平方根对于一个非负实数a，它的平方根是一个数x，它的平方等于a。

用符号表示的话，可以表示成x=√a。

例如，√4=2，√9=3。

以上就是七年级定义新运算例题及答案的内容。

虽然这些运算看起来很简单，但是在实际运用中还是需要我们去理解和掌握。

只有深入了解这些新的运算方式，才能更好地理解数学中更复杂的知识点。

集合的概念与运算例题及答案

1 集合的概念与运算（一）目标： 1.理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题2.理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质，3.能利用数轴或文氏图进行集合的运算,掌握集合问题的常规处理方法．重点： 1.集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用;2.交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用．基本知识点：知识点1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素知识点2、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N + {} ,3,2,1*=N（3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集记作N *或N + Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z *知识点3、元素与集合关系（隶属）（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉注意：“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写知识点4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）知识点5、集合与元素的表示：集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……例题精析1：1、下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数（不确定）（2）好心的人（不确定）（3）1，2，2，3，4，5．（有重复）2、设a,b 是非零实数，那么b b a a +可能取的值组成集合的元素是_-2,0,2__ 3、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（ A ）（A ）2个元素（B ）3个元素（C ）4个元素（D ）5个元素4、设集合G 中的元素是所有形如a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）的数，求证：(1) 当x ∈N 时, x ∈G;(2) 若x ∈G ，y ∈G ，则x ＋y ∈G ，而x1不一定属于集合G 证明(1)：在a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）中，令a=x ∈N,b=0,则x= x ＋0*2= a ＋b 2∈G,即x ∈G证明(2)：∵x ∈G ，y ∈G ，∴x= a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）,y= c ＋d 2（c ∈Z, d ∈Z ）∴x+y=( a ＋b 2)+( c ＋d 2)=(a+c)+(b+d)2∵a ∈Z, b ∈Z,c ∈Z, d ∈Z∴(a+c) ∈Z, (b+d) ∈Z∴x+y =(a+c)+(b+d)2 ∈G ，又∵211b a x +=＝2222222b a b b a a --+- 且22222,2b a b b a a ---不一定都是整数， ∴211b a x +=＝2222222b a b b a a --+-不一定属于集合G知识点6、集合的表示方法：（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程012=-x 的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53， (100)所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}（2）a 与{a}不同：a 表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素（2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式：{x ∈A| P （x ）}含义：在集合A 中满足条件P （x ）的x 的集合例如，不等式23>-x 的解集可以表示为：}23|{>-∈x R x 或}23|{>-x x所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形x x注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分如：{直角三角形}；{大于104的实数}（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}（3）、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法思考：何时用列举法？何时用描述法？⑴有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法如：集合},5,23,{2232y x x y x x +-+⑵有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法如：集合}1|),{(2+=x y y x ；集合{1000以内的质数}例集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？答：不是因为集合}1|),{(2+=x y y x 是抛物线12+=x y 上所有的点构成的集合，集合}1|{2+=x y y =}1|{≥y y 是函数12+=x y 的所有函数值构成的数集例题精析2：1、用描述法表示下列集合①{1，4，7，10，13} }5,23|{≤∈-=n N n n x x 且②{-2，-4，-6，-8，-10} }5,2|{≤∈-=n N n n x x 且2、用列举法表示下列集合①{x ∈N|x 是15的约数} {1，3，5，15}②{（x ，y ）|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}{（1，1），（1，2），（2，1）（2，2）}注：防止把{（1，2）}写成{1，2}或{x=1，y=2}③⎩⎨⎧=-=+}422|),{(y x y x y x )}32,38{(- ④},)1(|{N n x x n ∈-= {-1，1}⑤},,1623|),{(N y N x y x y x ∈∈=+ {（0，8）（2，5），（4，2）}⑥}4,|),{(的正整数约数分别是y x y x{（1，1），（1，2），（1，4）（2，1），（2，2），（2，4），（4，1），（4，2），（4，4）}3、关于x 的方程ax ＋b=0，当a,b 满足条件____时，解集是有限集；当a,b 满足条件_____时，解集是无限集4、用描述法表示下列集合：(1) { 1, 5, 25, 125, 625 }= ;(2) { 0,±21, ±52, ±103, ±174, ……}= 巩固提升：1、数集{}21,,x x x -中元素x 所满足的条件是 2、已知{}23,21,1A a a a =--+，其中a R ∈， ⑴若3A -∈，求实数a 的值；⑵当a 为何值时，集合A 的表示不正确。

微专题03集合常考3种新定义问题(22题)(解析版)-人教A版2019必修第一册高一数学习题

微专题03 集合常考3种新定义问题（22题）题型一集合的“新概念”题型题型二集合的“新运算”题型题型三集合的“新性质”题型一、集合的新定义问题所谓集合“新定义”问题,是指在现有集合的定义,以及相关概念、运算法则的基础上,定义一种新运算、新性质、新元素等。

下面浅析集合新定义问题的三种题型。

1.集合的“新元素”题型集合的“新元素”题型,只需准确提取信息并加工利用,再结合集合元素的“互异性”,便可顺利解决.2.集合的“新运算”题型集合中的新运算问题是通过创新给出有关集合的一个全新的运算规则．按照新的运算规则，结合数学中原有的运算和运算规则，通过相关的集合或其他知识进行计算或逻辑推理等，从而达到解答的目的．解决集合的新运算问题常分为三步:对新运算进行信息提取,确定化归的方向;对新运算所提取的信息进行加工,探求解决方法;对新运算中提出的知识进行转化,有效地输出。

其中对新运算信息的提取和转化与化归是解题的关键,也是解题的难点.3.集合的“新性质”题型集合中的新性质问题往往是通过创新集合中给定的定义与性质衍生而来的．我们通过可以结合相应的集合概念、关系、运算等相关知识，利用相应的数学思想方法来解答有关的集合的新性质问题．通过集合之间元素属性的分析,结合题中引入相应的创新性质,确定所求集合的元素。

二、解决集合新定义问题的着手点：（1）正确理解新定义：剥去新定义、新法则、新运算的外表，转化为我们熟悉的集合知识．（2）合理利用集合性质：运用集合的性质（如元素的性质、集合的运算性质等）是破解新定义型集合问题的关键．（3）对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明．三、集合新定义问题处理步骤①找：要抓住新定义的本质——新定义的要素，首先找出新定义有几个要素，少一个都不是“新的定义”哦；然后找出要素分别是什么②看：看所求是什么？③代：将已知条件代入新定义的要素④解：结合数学知识进行解答题型一集合的“新概念”题型1.（2024·江苏常州·高一校考阶段练习）已知集合{4,5,6}P =，{1,2,3}Q =，定义{|,,}P Q x x p q p P q Q -==-ÎÎ，则集合P Q -的所有真子集的个数为（）A ．32B ．31C ．30D ．29【答案】B【解析】集合{4,5,6}P =，{1,2,3}Q =，定义{|,,}P Q x x p q p P q Q -==-ÎÎ，则{1,2,3,4,5}P Q -=，元素个数为5，故集合P Q -的所有真子集的个数为52131.-=故选：B2.（2024·重庆九龙坡·高一重庆市育才中学校考期中）定义集合{},A B x x a A b B ==ÎÎe ，若{},1A n =-，}B =，且集合A B e 有3个元素，则由实数n 所有取值组成的集合的非空真子集的个数为（）A ．2B ．6C ．14D ．15【答案】B【解析】因为{},A B x x a A b B ==ÎÎe ，{},1A n =-，}B =，所以x =A B e 有3个元素，=时，即0n =时，}A B =e 满足题意，=时，即1n =，1n =-（舍去）时，A B =e ，不符合题意，=时，即n =2}A B =e 满足题意，=1n =，1n =-（舍去）时，A B =e ，不符合题意.综上，n Î，故所构成集合的非空真子集的个数为3226-=.故选：B3.（2024·河北衡水·高一校考阶段练习）定义：差集{M N x x M -=Î且}x N Ï．现有两个集合A 、B ，则阴影部分表示的集合是（）A ．()AB B-U B ．()B A B -I C ．()()A B B A --I D ．()()A B B A -È-【答案】D 【解析】集合A 中阴影部分表示的集合为{A B x x A -=Î且}x B Ï集合B 中阴影部分元表示的集合为{B A x x B -=Î且}x A Ï，故整个阴影部分表示()()A B B A -È-，故选：D.4.（23-24高二下·福建·期末）定义()A Õ为集合A 中所有元素的乘积，规定：只有一个元素时，乘积即为该元素本身，已知集合2511378342M ìü=--íýîþ，，，，，，，集合M 的所有非空子集依次记为1M 、2M 、…、127M ，则12127()()...()M M M +++=ÕÕÕ .【答案】215【分析】构造函数251()()()(1)(3)(7)(8)(342f x x x x x x x x =-+++++-，分析题意知，集合M 的所有子集的乘积之和即为()f x 展开式中所有项的系数之和减1.【详解】设251()()(1)(3)(7)(8)()342f x x x x x x x x =-+++++-，则集合的所有子集的乘积之和即为展开式中所有项的系数之和减1，令1x =，则展开式中所有项的系数之和为251(1)(1)(11)(13)(17)(18)(1)216342T -++++-==+，所以12127()()...()2161215M M M +++=-=ÕÕÕ.故答案为：215.5.（24-25高一上·上海·课堂例题）对于非负整数集合S （非空），若对任意,x y S Î，都有x y S +Î，或者x y S -Î，则称S 为一个好集合，以下记S 为S 的元素个数．(1)写出两个所有的元素均小于3的好集合；（给出结论即可）(2)设集合{},,,S a b c d =，a b c d <<<，若集合S 为好集合，求出a 、b 、c ，d 所满足的条件．（需说明理由）【答案】(1){}0,2，{}0,1(2)答案见解析【分析】（1）根据好集合的新定义来确定元素；（2）根据满足好集合的新定义来确定元素所满足的特征.【详解】（1）{}0,2，{}0,1（2）由题意：d d S +Ï，故0S Î，即0a =，考虑c 、d ，可知0d c S <-Î，∴d c c -=或d c b -=．若d c c -=，则考虑b ，c ，∵2c b c c d <+<=，∴c b S -Î，则c b b -=，∴{}0,,2,4S b b b =，但此时35b b S Ï、，不满足题意；若d c b -=，此时{}0,,,S b c b c =+，满足题意，∴{}0,,,S b c b c =+，其中b 、c 为相异正整数．6.【多选】（2024高三下·全国·专题练习）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积.两个集合A 和B ，用A 中元素为第一元素，B 中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作A 与B 的笛卡儿积，又称直积，记为A B ´.即(){,A B x y x A ´=Î且}y B Î.关于任意非空集合M N T ，，，下列说法错误的是（）A ．M N N M´=´B ．()()M N T M N T ´´=´´C ．()M N T ´U ()()M N M T ´´U D ．()()()M N T M N M T ´=´´I I 【答案】ABC【分析】对于ABC ，举例分析判断，对于D ，利用直积的定义分析判断即可.【详解】对于A ，若{}{}121,,M N ==，则()(){}()(){}1,1,1,2,1,1,2,1,M N N M M N N M ´=´=´¹´，A 错误；对于B ，若{}{}{}1,2,3M N T ===，则(){}()()(){}1,2,1,2,3M N M N T ´=´´=，而()()(){}()()1,2,3,M N T M N T M N T ´´=´´¹´´，B 错误；对于C ，若{}{}{}1,2,3M N T ===，则()()(){}1,2,1,3M N T ´=U ，(){}1,2M N ´=，(){}1,3M T ´=，()()()M N T M N M T ´=´´U U ，C 错误；对于D ，任取元素()(),x y M N T Î´I ，则x M Î且y N T ÎI ，则y N Î且y T Î，于是(),x y M N Î´且(),x y M T Î´，即()()(),x y M N M T Î´´I ，反之若任取元素()()(),x y M N M T Î´´I ，则(),x y M N Î´且(),x y M T Î´，因此x M y N ÎÎ，且y T Î，即x M Î且y N T ÎI ，所以()(),x y M N T Î´I ，即()()()M N T M N M T ´=´´I I ，D 正确.故选：ABC7.（2024·广西·模拟预测）已知集合{}12,,,n A x x x =L ，*N n Î，3n ³，若x A Î，y A Î，x y A +Î或x y A -Î，则称集合A 具有“包容”性．(1)判断集合{}1,1,2,3-和集合{}1,0,1,2-是否具有“包容”性；(2)若集合{}1,,B a b =具有“包容”性，求22a b +的值；(3)若集合C 具有“包容”性，且集合C 的子集有64个，1C Î，试确定集合C ．【答案】(1)集合{}1,1,2,3-不具有“包容”性，集合{}1,0,1,2-具有“包容”性(2)1(3){}2,1,0,1,2,3--，1131,,0,,1,222ìü--íýîþ，2112,,0,,,13333ìü--íýîþ，{}3,2,1,0,1,2---或311,1,,0,,1222ìü---íýîþ．【分析】（1）根据“包容”性的定义，逐一判断即可；（2）根据“包容”性的定义，能得到{}01,,a b Î，分类讨论，得出a 和b 的值，即可得出结果；（3）由集合C 的子集有64个，推出集合C 中共有6个元素，且0C Î，再由条件1C Î，推出集合中有正数也有负数，将这几个元素设出来，再通过对正数负数个数的讨论，即可求出结果.【详解】（1）（Ⅰ）集合{}1,1,2,3-中的{}3361,1,2,3+=Ï-，{}3301,1,2,3-=Ï-，所以集合{}1,1,2,3-不具有“包容”性．集合{}1,0,1,2-中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合{}1,0,1,2-，所以集合{}1,0,1,2-具有“包容”性．（2）（Ⅱ）已知集合{}1,,B a b =具有“包容”性，记{}max 1,,m a b =，则m 1³，易得{}21,,m a b Ï，从而必有{}01,,a b Î，不妨令0a =，则{}1,0,B b =，0b ¹且1b ¹，则{}{}1,11,0,b b b +-¹ÆI ，且{}{}1,11,0,b b b +-¹ÆI ，①当{}11,0,b b +Î时，若10b +=，得1b =-，此时{}1,0,1B =-具有包容性；若11b +=，得0b =，舍去；若1b b +=，无解；②当{}11,0,b b +Ï时，则{}{}1,11,0,b b b --Í，由0b ¹且1b ¹，可知b 无解，故{}1,0,1B =-．综上，221a b +=．（3）（Ⅲ）因为集合C 的子集有64个，所以集合C 中共有6个元素，且0C Î，又1C Î，且C 中既有正数也有负数，不妨设{}1112,,,,,,,0,k k t C b b b a a a ----L L ，其中5k l +=，10t a a <<<L ，10k b b <<<L ，根据题意1111{,,}{,,,}l l l k k a a a a b b b ----Í---L L ，且1112112{,,,}{,,,}k k l b b b b b b a a a ----ÍL L ，从而()(),2,3k l =或()3,2．①当()(),3,2k l =时，{}{}313212,,b b b b a a --=，并且由313212{,}{,}b b b b b b -+-+=--，得312b b b =+，由2112{,}a a a a -Î，得212a a =，由上可得2131322111(,)(,)(,)(2,)b b b b b b a a a a =--==，并且31213b b b a =+=，综上可知{}111113,2,,0,,2C a a a a a =---；②当()(),3,2k l =时，同理可得11111{2,,0,,2,3}C a a a a a =--．综上，C 中有6个元素，且1C Î时，符合条件的集合C 有5个，分别是{}2,1,0,1,2,3--，1131,,0,,1,222ìü--íýîþ，2112,,0,,,13333ìü--íýîþ，{}3,2,1,0,1,2---或311,1,,0,,1222ìü---íýîþ．【点睛】关键点点睛：本题是新定义题型，对于此类问题，要先弄清楚新定义的性质，按照其要求，严格“照章办事”，逐条分析验证。

高中数学集合运算练习题及参考答案2023

高中数学集合运算练习题及参考答案2023数学学科作为一门基础学科，在高中阶段的重要性不言而喻。

其中数学集合运算作为初步数学理论的基础之一，是高中数学中必不可少的部分。

本文主要针对高中数学集合运算练习题及参考答案进行详细阐述，旨在帮助读者更好的理解和掌握集合运算。

一、基础概念在进行集合运算练习题之前，我们需要了解一些数学中的基础概念，如下：1.集合：由一个或多个互异的元素所构成的整体。

2.子集：若A、B是两个集合，且集合A中的所有元素都是集合B中的元素，则A是B的子集。

3.真子集：若A是B的子集，且A≠B，则A是B的真子集。

4.并集：由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合。

5.交集：由同时属于集合A和集合B的所有元素组成的集合。

6.差集：由属于集合A但不属于集合B的所有元素组成的集合。

二、练习题及参考答案下面是一些集合运算的练习题及参考答案：1.设A={1,2,3}，B={2,3,4}，求并集A∪B。

解：A∪B={1,2,3,4}。

2.设A={1,2,3}，B={2,3,4}，求交集A∩B。

解：A∩B={2,3}。

3.设A={1,2,3}，B={2,3,4}，求差集A-B。

解：A-B={1}。

4.设A={1,2,3}，B={2,3,4}，判断A是否是B的子集。

解：A是B的子集。

5.设A={1,2,3}，B={2,3,4}，判断A是否是B的真子集。

解：A不是B的真子集。

6.设A={1,2,3}，B={2,3,4}，判断B是否包含于集合A中。

解：B不包含于集合A中。

7.设A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A和B的笛卡尔积。

解：A×B={(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4)}。

8.设A、B、C是三个集合，若A×B=C，则C包含的元素个数为多少？解：C包含的元素个数等于A集合中的元素个数乘以B集合中的元素个数。

高二数学集合的运算试题答案及解析

高二数学集合的运算试题答案及解析1.已知集合，，若，则等于（）A．1B．0或1C．﹣1或1D．0或1或﹣1【答案】D.【解析】由于，，当时，是空集，符合题意；当，由于，解得，经检验，符合题意.【考点】集合间的关系.2.下面四个命题中正确命题的个数是（）①；②任何一个集合必有两个或两个以上的子集；③空集没有子集；④空集是任何一个集合的子集。

A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B【解析】①是不含有任何元素的集合，含有元素０，故错误；②含有个元素的集合共有个子集，而，故错误；③空集是它本身的子集，故错误；④空集是任何一个集合的子集，故正确．【考点】命题真假的判定．3.已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以．【考点】集合的运算．4.集合含有个元素；【答案】1或0.【解析】分类讨论：若，则，即有0个元素；若，则.故答案为1或0.【考点】集合的基本运算.5.设集合、，有下列四个命题：①对任意都有；②；③；④存在，使得.其中真命题的序号是 .（把符合要求的命题序号都填上）【答案】④【解析】根据集合间包含关系的定义：若，都有，则，若说明集合中至少存在一个元素，使得，所以④正确；取，显然满足，但，由此可知①②③错误，所以真命题的序号是④.【考点】集合间的包含与不包含的关系.6.若全集，集合，，则( )A．{2}B．{1，2}C．{1，2，4}D．{1，3，4，5}【答案】C【解析】集合，，,故{1，2，4}，故选C.【考点】集合中交集与补集的定义.7.已知全集, 集合则( )A．B．C．D．【答案】A【解析】因为全集,对于集合【考点】全集与补集8.集合，，若，则实数的值是（）A．1B．-1C．1或-1D．1或0或-1【答案】D【解析】集合，若，则或或，所以实数的值为1或0或-1.【考点】集合的运算、集合之间的关系.9.已知全集（）A．B．C．D．【答案】B【解析】,故选B．【考点】集合的运算．10.已知集合，，则=___________．【答案】【解析】由集合交集的定义，得＝．【考点】集合的交集．11.已知集合，，则_ _.【答案】【解析】因为，，所以.【考点】1.二次不等式；2.集合的运算.12.已知集合A={x|-1≤x≤4}，B={x|-2≤x≤3}，那么集合A∩B等于（）．A．{x|-2≤x≤4}B．{x|3≤x≤4}C．{x|-2≤x≤-1}D．{x|-1≤x≤3}【解析】画数轴分析可知D正确。

高二数学集合的运算试题答案及解析

高二数学集合的运算试题答案及解析x<1}，Q＝{x||x－1.设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|log22|<1}，那么P－Q＝（）A．{x|0<x<1}B．{x|0<x≤1}C．{x|1≤x<2}D．{x|2≤x<3}【答案】B【解析】因为，所以【考点】新定义下的集合的运算.2.设全集I＝R，已知集合M＝{x|（x＋3）2≤0}，N＝{x|x2＋x－6＝0}．（1）求（∁M）∩N；IM）∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若B∪A＝A，求实数a的（2）记集合A＝（∁I取值范围．【答案】（1）{2}；（2）{a|a≥3}【解析】（1）已知两集合若求交、并、补应注意端点值以及结合数轴完成；（2）已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解恒成立问题一般需转化为最值，利用单调性证明在闭区间的单调性.（3）一元二次不等式在上恒成立，看开口方向和判别式.（4）含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立的问题通常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是分离参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单，对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：（1），（2）.试题解析：（1）∵M＝{x|≤0}＝{－3}， N＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，∴＝{x|x≠－3}，∴（）∩N＝{2}．（2）A＝（）∩N＝{2}，∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴B＝或B＝{2}，当B＝时，a－1>5－a，∴a>3；当B＝{2}时，，解得a＝3，综上所述，所求a的取值范围为{a|a≥3}．【考点】（1）集合间的基本关系；（2）利用最值证明恒成立问题.3.已知集合A={0，1，2}，B={x|1＜x＜4}，则A∩B=（）A．{0}B．{1}C．{2}D．{1，2}【答案】C.【解析】由题意所给的集合及交集定义易知，既在集合A又在集合B中的元素仅有元素2，故A∩B={2}.【考点】集合的基本运算.4.已知全集，集合，则A．B．C．D．【答案】D【解析】.【考点】集合的并集、补集运算.5.已知集合。

《新定义集合问题》专题训练

《新定义集合问题》专题训练一．选择题1．设P 和Q 是两个集合，定义集合{}|P Q x x P x Q -=∈∉，且，如果{}2|log 1P x x =<，{}|21Q x x =-<，那么P Q -等于（）A ．{}|01x x <<B ．{}|01x x <≤C ．{}|12x x ≤<D ．{}|23x x ≤<2．设全集为U 定义集合A 与B 的运算：{*|A B x x A B =∈⋃且}x A B ∉⋂，则(*)*A B A =（）A ．AB ．BC ．UAB D ．UBA3．定义集合运算：(){}|,,A B z z x x y x A y B ==-∈∈※，设集合 {}1,2A =，{}2,3B =，则集合 A B ※的所有元素个数为（） A ．2B ．3C ．4D ．54．设,A B 是两个非空集合，定义集合间的一种运算“”：{AB x x A B =∈⋃且}x A B ∉⋂.如果{}11A x x =-≤≤，{}0B x x =>，则AB =（）A ．[)()1,01,-+∞B ．[]()1,01,-+∞C ．[]0,1D ．()1,+∞5．已知集合{|12},{|15}=-<=-A x x B x x ，定义集合*{|,,}==+∈∈A B z z x y x A y B ，则*(*)B A B 等于（）A ．{|61}-<x xB ．{|112}<x xC ．{|110}-<x xD ．{|56}-<x x6．已知*()21(N )f n n n =+∈，集合{1,2,3, 4, 5},{3, 4, 5, 6, 7}A B ==，记(){|()} (){|()}f A n f n A f B m f m B =∈=∈，，()()f A f B ⋂=( ) A ．{12}， B ．{1 2 3}，， C ．{3 5}， D ．{35 7}，， 7．用()C A 表示非空集合A 中的元素的个数，定义()()A B C A C B *=-，若{}1,1A =-，()(){}22320B x ax x x ax =+++=，若1A B *=，设实数a 的所有可能取值构成集合S . 则()C S =（）A ．1B ．2C ．3D ．58．若集合,A B 中的元素都是非零实数，定义,,mA B x x m A n B n ⎧⎫⊗==∈∈⎨⎬⎩⎭，若{A a B ==，且A B ⊗中有4个元素，则a 的值为（）A ．1B ．12C ．1或D ．1或129．若集合A 满足x A ∈，必有1A x ∈，则称集合A 为自倒关系集合.在集合111,0,,,1,2,3,423M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中，具有自倒关系的集合的个数为（） A ．7 B ．8 C ．16D ．1510．用()C A 表示非空集合A 中的元素个数，定义()()()()()(),*,C B C A C B A B C A C A C B ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，若{}1,2,3A =，()(){}22|220B x x ax x ax =+++=，且*3A B =，则实数a 的取值范围是（）A ．(),22,⎡-∞-+∞⎣B ．((),22,-∞-+∞C ．-⎡⎣D ．(-11．定义集合A 与B 的运算：{|,}AB x x A x B x A B =∈∈∉⋂或，已知集合{1,2,3,4}A =，{3,4,5,6,7}B =，则()AB B 为（）A ．{1,2,3,4,5,6,7}B ．{1,2,3,4}C ．{1,2}D ．{3,4,5,6,7}12．设,P Q 是两个非空集合，定义集合间的一种运算“⊗”：{| ,}P Q x x P Q x P Q ⊗=∈⋃∉⋂.如果{}{}|02,|13P x x Q x x =≤≤=<<，则P Q ⊗=（）A ．[]()0,14,⋃+∞B ．[]()0,12,3⋃C ．[]1,4D ．()4,+∞二．填空题13．设,P Q 为两个非空集合，定义集合{}|,P Q a b a P b Q +=+∈∈．若{}{}0,2,51,2,6P Q ＝，＝，则P Q +中元素的个数是_______．14．设A ，B 为非空集合，定义{},A B x x A B x A B ⊗=∈⋃∉⋂，已知{}1A x x =>，{}220B x x x =-≥，则A B ⊗=________.15．对于任意非空集合A 、B ，定义{|,}A B a b a A b B +=+∈∈，若{}2,0,1S T ==-，则S T +=________（用列举法表示）16．设数集32|,|43M m m x m N n n x n ⎧⎫⎧⎫=≤≤+=-≤≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，且M ，N 都是集合{|01}x x ≤≤的子集，如果把b a -叫做数集{|}x a x b ≤≤的长度，那么集合M N ⋂的长度的最小值是_________. 三．解答题 17．已知1|393x A x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，239{|log log (9)0}3x B x x =⋅<. （1）求AB 和A B ；（2）定义{|A B x x A -=∈且}x B ∉，求A B -和B A -.18．设绝对值小于1的全体实数构成集合S ，在S 中定义一种运算“*”，使得*1a ba b ab+=+，求证：如果a ，b S ∈，那么*a b S ∈.19．定义一个集合A ，B 间的新运算：{|,}A B x x A x B -=∈∉.若已知{|1}A x x =>，{|12}B x x =-，{|04}C x x =<<，求：()()A B B C -⋃-.20．对任意两个集合A 和B ．A B -是指所有属于A ，但不属于B 的元素的集合；A 和B 对称差A B ∆规定为()()A B A B B A ∆=-⋃-．设集合{}2|,A y y x x R ==∈，{|33}B y y =-≤≤．求A B ∆．21．已知集合2{|430}M x x x =-+<，{|}3||1N x x =-≤．（1）求出集合M N ，；（2）试定义一种新集合运算△，使{|12}M N x x =<<；（3）若有 3.5 3.5|2.5 2.5x x P x x x ⎧--⎫=≥⎨⎬--⎩⎭，按（2）的运算，求出()N M P ．22．对于集合A ､B ,我们把集合{|x x A ∈且x B ∉}叫做集合A 与B 的差集,记作A B -.(1)若集合{{}2||1M x y N y y x ====-，,求M N -；(2)若集合{}|015=<-≤A x ax ,1|22⎧⎫=-<⎨⎬⎩⎭≤B y y ,且A B -=∅,求实数a 的取值范围.《集合---集合的新定义问题》详解1.【解析】因为{}2|log 1P x x =<=,{}|21Q x x =-<又因为{}|P Q x x P x Q -=∈∉，且，所以，故选：B2.【解析】{*|A B x x A B =∈⋃且}x A B ∉⋂ ()()UUBA AB = (*)*[(*)][(*)]()()UUUA B A AA B A B A A B BA B ∴===故选：B3.【解析】当1,2x y ==时，1(12)1z =⨯-=-；当1,3x y ==时，1(13)2z =⨯-=-；当2,2x y ==时，2(22)0z =⨯-=；当2,3x y ==时，2(23)2z =⨯-=-. 所以集合 A B ※ 的共有3个元素.故选：B 4.【解析】因为{,AB x x A B =∈⋃且}x A B ∉⋂.{}11A x x =-≤≤，{}0B x x =>，所以{|1}A B x x ⋃=≥-，{|01}A B x x =<≤，则{}{}101AB x x x x =-≤≤⋃>.即[]()1,01,-+∞，故选：B.5.【解析】因为集合{|15}=-B x x ，所以{|51}=--B x x ，则*{|61}=-<A B x x ，所以*(*){|110}=-<B A B x x .故选:C.6.【解析】根据对集合()(),f A f B 的定义：(){}(){}1,2,1,2,3f A f B ==故()()f A f B ⋂={}1,2.故选：A.7.【解析】因为{}1,1A =-，有两个元素，()(){}22320B x ax xxax =+++=，所以B 中有一个或者三个元素。

集合中的定义新运算(含答案)

集合中的定义新运算一、单选题(共10道，每道10分)1.设集合，，如果把b-a叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：新定义集合2.若集合S满足对任意的，有，则称集合S为“闭集”，下列集合不是“闭集”的是( )A.自然数集B.整数集C.有理数集D.实数集答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：新定义集合3.设和是两个集合，定义集合，如果，，那么( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：新定义集合4.对于集合A，B，规定，则( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：新定义集合5.定义，设集合，，则集合的所有元素之和为( )A.3B.0C.6D.-2答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：新定义集合6.设集合，集合，定义，则的元素个数为( )A.4B.7C.10D.12答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：新定义集合7.设集合，在上定义运算为：，其中，．那么满足条件的有序数对共有( )个．A.12B.8C.6D.4答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：新定义集合8.设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，则A的所有子集中，“孤立元”仅有1个的集合共有( )个．A.10B.11C.12D.13答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：新定义集合9.集合A的n元子集是指A的含有n个元素的子集．已知集合中所有二元子集中两个元素的和的集合为，则集合的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：新定义集合10.对于集合M，定义函数，对于两个集合M，N，定义集合．已知，，下列结论不正确的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：新定义集合。

关于集合的新定义题

关于集合的新定义题1. 集合的数学定义，在数学中，集合可以用描述性的方式定义。

一个集合是由一些确定的元素组成的整体。

集合的元素可以是任何事物，比如数字、字母、对象等。

集合中的元素是无序的，而且每个元素在集合中只能出现一次。

集合可以用大括号{}来表示，元素之间用逗号分隔。

2. 集合的特性，集合具有一些特殊的性质。

首先，集合中的元素是唯一的，即同一个元素在集合中只能出现一次。

其次，集合中的元素是无序的，即元素的排列顺序不影响集合的性质。

最后，集合中的元素是互不相同的，即不存在重复的元素。

3. 集合的运算，在集合理论中，有一些常见的集合运算，包括并集、交集、补集和差集。

并集是指将两个或多个集合中的所有元素合并成一个新的集合。

交集是指两个或多个集合中共有的元素构成的新集合。

补集是指一个集合中不属于另一个集合的元素所构成的集合。

差集是指从一个集合中去掉另一个集合中的元素所得到的集合。

4. 集合的应用，集合在数学和其他领域中有广泛的应用。

在数学中，集合论是数学的一个重要分支，它研究集合的性质和集合之间的关系。

在计算机科学中，集合被广泛应用于数据结构和算法的设计中。

在实际生活中，集合也常用于描述和分类事物，比如一个班级的学生可以看作一个集合，一个购物清单可以看作一个集合。

综上所述，集合是由一些确定的元素组成的整体，具有唯一性、无序性和互异性的特点。

集合可以进行并集、交集、补集和差集等运算，广泛应用于数学、计算机科学和实际生活中。

高一数学集合的运算试题答案及解析

高一数学集合的运算试题答案及解析1.已知集合，则下列式子表示正确的有（）①②③④A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C.【解析】由集合知，，即集合A包含两个元素1，-1.所以①，正确；由集合与集合之间的关系应为含于，即，所以②，不正确；由空集是任何非空集合的子集知，③正确；由任何非空集合是自身的子集，即④正确.所以其正确的个数为3个.故应选C.【考点】集合与集合的基本关系；元素与集合的关系.2.若，则的值为【答案】-1【解析】由集合相等的概念可知有元素，又，则，故，根据集合中元素的互异性知，故。

【考点】集合相等的概念及集合中元素的互异性。

3.设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，若k－1∉A，且k＋1∉A，则称k是A的一个“孤立元”．给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个．【答案】6【解析】由“孤立元”的定义可知，集合中不能存在一个与其他元素相差大于的元素。

故由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合有。

【考点】这是新定义问题，注意对“孤立元”定义的理解。

4.已知集合集合.（1）若,求;（2）若,求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）解不等式、可得集合A、B中的元素，然后求交集；（2）即集合A是集合B的子集，所以集合A中元素的范围比集合B中元素的范围小，依此来建立关于的不等式。

（1）当时，，解得，则.由，得，则.所以.6′（2）由，得.即.若，则解得.所以实数的取值范围是. .12′【考点】（1）解绝对值、分式不等式；（2）集合的运算；5.设关于的二次方程和的解集分别是集合和，若为单元素集，求的值.【答案】或.【解析】先解出集合，根据为单元素集，得到或，相当于二次方程只有一个根2或二次方程只有一个根3，从而将2或3代入方程中得到参数的取值，求出的取值之后，返代，得出，检验此时的是否为或，满足要求的就取，不满足要求的的值应该舍去.试题解析：解方程，得 2分由为单元素集得或 3分当时有或时不合题意6分当时有或时不合题意10分综上得或 12分.【考点】1.集合的运算；2.二次方程的解.6.已知集合A=，B=，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】,,故选B.【考点】集合的运算7.已知全集则（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】找出全集U中不属于A的元素，确定出A的补集，找出既属于A补集又属于B的元素，即可确定出所求的集合,∵全集U={1，2，3，4}，A={1，2}，∴∁UA={3，4}，又B={2，3}，则（∁UA）∪B={2，3，4},故选C.【考点】交、并、补集的混合运算．8.已知集合，集合,则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】集合为非负偶数集，所以【考点】本题考查集合的元素和运算.9.已知函数的定义域为集合，集合，集合．（1）求；（2）若 ()，求的值．【答案】（1）,（2）1．【解析】（1）求函数定义域，主要列出所有限制条件，本题一是要求分母不为零，二是要求偶次被开方数非负，结合两者得到函数定义域为；解对数不等式，注意真数要大于零及不等号的方向=，根据数轴求出集合的交集；（2）集合是解参数不等式，由于参数大于零，所以先求出集合为，再求出交集，由并结合数轴得，解此类问题需注意区间之间相互关系，并重视区间端点是否能取到.试题解析：（1）由题意得=.，=， 2分∴． 4分（2）由题意得=，∴， 6分∵，∴， 8分∴，又∵，∴=1． 10分【考点】函数定义域，解对数不等式，集合运算.A，则实数a的取值范围10.设全集U=R，A="{x|" x<－2,或x≥1}，B="{x|" a－1<x<a＋1}，B∁R是______.【答案】【解析】由题意得,由,又因为,即集合为非空集合,所以有,解得.故正确答案为.【考点】集合的运算11.设集合A＝{1,2,3},B＝{2,4,5},则______________【答案】【解析】集合的并集是由两集合的所有元素组成.【考点】1、集合的并集运算；2、集合元素的互异性.12.已知集合，，则=A．B．C．D．【答案】A【解析】,,，故选：A.【考点】集合的运算13.某班共50人，参加A项比赛的共有30人，参加B项比赛的共有33人，且A,B两项都不参加的人数比A,B都参加的人数的多1人，则只参加A项不参加B项的有人.【答案】9【解析】假设A,B都参加的设为x,所以仅参加A项的共(30-x)人,仅参加B项的共（33-x）人，都不参加的()人，有这些相加即：，解得：x=21,所以只参加A项不参加B共有30-21=9，所以填9.【考点】本题考查的内容是容斥原理，通过韦恩建立数学模型巧妙的解决.14.已知集合，.（Ⅰ）若，求()；（Ⅱ）若，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）解出集合，再根据确定集合，然后由数轴找出交集是；（Ⅱ）由可知,由子集概念求出的取值范围是.试题解析：（Ⅰ）因为当时，.所以.又因为集合，所以().（Ⅱ）因为，所以.当时，有：，此时；当时，有：，解得.综上所述，实数的取值范围是.【考点】集合的基本运算.15.已知集合，，，.（1）求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）.【解析】（1）根据全集，先求出集合的补集,再求；（2）由知，集合与有公共元素，所以.试题解析：（1）因为，集合，所以，又因为，结合数轴可知（2）结合数轴可知:当时，.【考点】集合的基本运算16.设集合，，若，则的范围是()A．B．C．D．【答案】B【解析】在数轴上画出集合A，B，如图，可知.这种与实数集有关问题借助于数轴可以很快得出结论.【考点】子集的概念．17.给出以下五个命题①集合与都表示空集.②是从到的一个映射.③函数是偶函数.④是定义在上的奇函数,则⑤是减函数.以上命题正确的序号为:【答案】②④【解析】①集合与都表示空集，不对，因为，中有元素，不是空集；②是从到的一个映射，正确，因为，对中任意一个元素，按，在中都有唯一一个元素与之对应；③函数是偶函数，不正确，定义域不关于原点对称；④是定义在上的奇函数,则，正确，因为，，；⑤是减函数，不对，只能说其在区间是减函数。

(完整)集合中的新定义题完美版

培优专题1新定义集合与抽象集合归类所谓“新定义集合”，就是在现有的运算法则和运算规律的基础上，定义一种新的运算。

“抽象集合"只给出集合元素满足的性质，探讨集合中的元素属性，要求有较高的抽象思维和逻辑推理能力。

由于此类题目编制角度新颖，突出能力立意,突出学生数学素质的考查,特别能够考查学生“现场做题"的能力，并且在近几年高考模拟试题和高考试题中出现频繁出现，甚至将大学集合论中的有关概念移植到考题中,例如2008年福建：数域的判断,2006年四川：融洽集判断.下面选取几例进行分类归纳，解题时应时刻牢记集合元素的三要素：确定性，互异性，无序性.【题型1】新运算问题【例1】定义集合A 与B 的运算：{|A B x x A =∈或,}x B x A B ∈∉⋂，已知集合{}{}1,2,3,4,3,4,5,6,7A B ==，则()A B B =( ){}.1,2,3,4,5,6,7A {}.1,2,3,4B {}.1,2C {}.3,4,5,6,7D【例2】设,M P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集为{}|,M P x x M x P -=∈∉,则()M M P --等于( ）.A P .B M P ⋂ .C M P ⋃ .D M【题型2】元素或集合的个数问题【例3】设{}{}3,4,5,4,5,6,7P Q ==，定义P ※{}(,)|,Q a b a P b Q =∈∈，则P ※Q 中元素的个数为（）.3A .4B .7C .12D【例4】设,M P 是两个非空集合,定义M 与P 的差集为{}|,M P x x M x P -=∈∉。

已知{}{}1,3,5,7,2,3,5A B ==,则集合A B -的子集个数为（）.1A .2B .3C .4D【题型3】元素的和问题【例5】定义集合,A B 的一种运算:{}1212|,,A B x x x x x A x B *==+∈∈，若{}{}1,2,3,1,2A B ==,则A B *中的所有元素之和为（ ).9A .14B .18C .21D【例6】对集合{}1,2,3,,2001A =及每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和"如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的数开始，交替的减或加后继的数所得的结果。

高一数学集合的运算试题答案及解析

高一数学集合的运算试题答案及解析1.，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】.【考点】集合的交集.2.已知全集,集合（1）求（2）求【答案】（1）（2）【解析】分别求出两集合A,B的解集，,再求出，分别求出，.由，得-6<x-1<6,解得-5<x<7，由，得（x-8）(2x-1)>0,解得x>8,或x<.(1);（2）.【考点】集合的运算.3.已知，.（1）求和；（2）定义且，求和.【答案】（1），；（2），．【解析】（1）分别求出与中不等式的解集，然后根据交集、并集的定义求出和；﹙2﹚根据元素与集合的关系，由新定义求得和．试题解析：（1），，；．（2），．【考点】1、指数与对数不等式的解法；2、集合的运算；3、创新能力．4.设求 .【答案】.【解析】有并集定义得.【考点】并集概念.5.知集合，集合.（1）当时，求；（2）若,求实数的取值范围；（3）若,求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）时，先确定集合中的元素，然后可求出；（2），说明中的元素都在中且，从而求得的取值范围；（3），说明中的元素都不在中或为空集，因为空集与任何集合的交集也是空集，分两种情况讨论可求得的取值范围.试题解析：（I）当时，，则 4分（2）由知： 6分得，即实数的取值范围为 8分（做成为开区间者扣一分）（3）由得：①若即时，,符合题意 9分②若即时，需或得或，即 11分综上知即实数的取值范围为 12分（答案为者扣一分）.【考点】1.集合的运算；2.集合间的关系；3.分类讨论的思想.6.已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】集合表示的是大于1而小于4的所有实数，所以．【考点】集合的交集运算．7.已知集合，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，所以，故选C.【考点】1.集合的运算；2.二次不等式的求解.A，则实数a的取值范围8.设全集U=R，A="{x|" x<－2,或x≥1}，B="{x|" a－1<x<a＋1}，B∁R是______.【答案】【解析】由题意得,由,又因为,即集合为非空集合,所以有,解得.故正确答案为.【考点】集合的运算9.集合，，则．【答案】【解析】根据，集合A与集合B中的公共元素为4,7，所以【考点】集合的运算10.已知，集合，.（Ⅰ）若，求,；（Ⅱ）若，求的范围.【答案】（Ⅰ）,;（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）将代入得到集合，然后计算并集和交集；（Ⅱ）结合数轴由,集合B的左端点大于等于1，右端点小于等于4，于是，特别注意端点值是否可以取等号。

专题1.1 集合中的新定义问题(解析版).

专题1.1集合中的新定义问题集合新定义问题的类型：(1)新定义性质，(2)新定义运算．解决集合新定义问题的着手点：(1)正确理解新定义：剥去新定义、新法则、新运算的外表，转化为我们熟悉的集合知识．(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．(3)对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明．1．若对任意x A ∈，有1A x ∈，就称A 是具有“伙伴关系”的集合，集合{1M =-，0，13，12，1，2，3，4}的所有非空子集中，具有“伙伴关系”的集合的个数为()A ．15B ．16C ．82D ．52【解答】解：具有伙伴关系的元素组有1-，1，12、2，13、3共四组，它们中任一组、二组、三组、四组均可组成非空伙伴关系集合，由组合数公式可得其个数依次为1234444415C C C C +++=故选：A ．2．设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，那么k 是A 的一个“孤立元”，给定{1A =，2，3，4，5}，则A 的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有()A ．10个B ．11个C ．12个D ．13个【解答】解：“孤立元“是1的集合：{1}；{1，3，4}；{1，4，5}；{1，3，4，5}；“孤立元“是2的集合：{2}；{2，4，5}；“孤立元“是3的集合：{3}；“孤立元“是4的集合：{4}；{1，2，4}；“孤立元“是5的集合：{5}；{1，2，5}；{2，3，5}；{1，2，3，5}．共有13个；故选：D ．3．对于任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“※”如下：当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m ※n m n =+；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ※n mn =．则在此定义下，集合{(,)|M a b a =※12b =，*a N ∈，*}b N ∈中的元素个数是()A ．10个B ．15个C ．16个D ．18个【解答】解：a ※12b =，a 、*b N ∈，若a 和b 一奇一偶，则12ab =，满足此条件的有11234⨯=⨯，故点(,)a b 有4个；若a 和b 同奇偶，则12a b +=，满足此条件的有11121039485766+=+=+=+=+=+共6组，故点(,)a b 有26111⨯-=个，所以满足条件的个数为41115+=个．故选：B ．4．对于任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“※”如下：当m ，n 都为正偶数或都为正奇数时，m ※n m n =+；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ※n mn =，则在此定义下，集合{(,)|M a b a =※8}b =中的元素个数是()A ．10B ．9C ．8D ．7【解答】解：由定义知，当a ，b 都为正偶数或都为正奇数时，a ※8b a b =+=，故(,)a b 是(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(7,1)；当a ，b 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，a ※8b ab ==，故(,)a b 是(1,8)，(8,1)；故共9个元素，故选：B ．5．集合{0S =，1，2，3，4，5}，A 是S 的一个子集，当x A ∈时，若有1x A -∉，且1x A +∉，则称x 为A 的一个“孤立元素”，那么S 中无“孤立元素”的非空子集有()个．A ．16B ．17C ．18D ．20【解答】解：当x A ∈时，若有1x A -∉，且1x A +∉，则称x 为A 的一个“孤立元素”，∴单元素集合都含孤立元素，S 中无“孤立元素”的2个元素的子集A 为{0，1}，{1，2}，{2，3}，{3，4}，{4，5}，共5个S 中无“孤立元素”的3个元素的子集A 为{0，1，2}，{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，共4个S 中无“孤立元素”的4个元素的子集A 为{0，1，2，3}，{0，1，3，4}，{0，1，4，5}}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，{2，3，4，5}共6个S 中无“孤立元素”的5个元素的子集A 为{0，1，2，3，4}，{1，2，3，4，5}，{0，1，2，4，5}，{0，1，3，4，5}，共4个S 中无“孤立元素”的6个元素的子集A 为{0，1，2，3，4，5}，共1个故S 中无“孤立元素”的非空子集有20个故选：D ．6．用C （A ）表示非空集合A 中的元素个数，定义()()()()()()()(),*,C A C B C A C B A B C B C A C A C B -⎧⎪=⎨-<⎪⎩当当，若{1A =，2}，2{||1|1}B x x ax =++=，且*1A B =，由a 的所有可能值构成的集合是S ，那么()C S 等于()A ．4B ．3C ．2D ．1【解答】解：22|1|111x ax x ax ++=⇔++=或211x ax ++=-，即20x ax +=①或220x ax ++=②，{1A =，2}，且*1A B =，∴集合B 要么是单元素集合，要么是三元素集合，1︒集合B 是单元素集合，则方程①有两相等实根，②无实数根，0a ∴=；2︒集合B 是三元素集合，则方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实数根，即280a a ≠⎧⎨=-=⎩，解得a =±综上所述0a =或a =±()3C S ∴=．故选：B ．7．在整数集Z 中，被5所除得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{5|}k n k n Z =+∈，0k =，1，2，3，4；给出四个结论：（1）2015[0]∈；（2）3[3]-∈；（3）[0][1][2][3][4]Z =；（4）“整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”．其中正确结论的个数是()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：201554030÷=⋯，2015[0]∴∈，故（1）正确；35(1)2-=⨯-+，3[3]∴-∉，故（2）错误；整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故[0][1][2][3][4]Z =，故（3）正确；整数a ，b 属于同一“类”，∴整数a ，b 被5除的余数相同，从而a b -被5除的余数为0，反之也成立，故“整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”．故（4）正确．故选：C ．8．设S 为复数集C 的非空子集．若对任意x ，y S ∈，都有x y +，x y -，xy S ∈，则称S 为封闭集．下列命题：①集合{|(S a bi a =+，b 为整数，i 为虚数单位）}为封闭集；②若S 为封闭集，则一定有0S ∈；③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S T C ⊆⊆的任意集合T 也是封闭集．其中真命题是．（写出所有真命题的序号）【解答】解：取集合{|(S a bi a =+，b 为整数，i 为虚数单位）}中任意两个元素m ni +和(p qi m+、n 、p 、)q Z ∈，则()()()()m ni p qi m p n q i S +++=+++∈；()()()()m ni p qi m p n q i S +-+=-+-∈；()()()()m ni p qi mp nq mq np i S +⋅+=-++∈；满足集合{|(S a bi a =+，b 为整数，i 为虚数单位）}为封闭集；①正确．当S 为封闭集时，因为x y S -∈，取x y =，得0S ∈，②正确对于集合{0}S =，显然满足所有条件，但S 是有限集，③错误取{0}S =，{0T =，1}，满足S T C ⊆⊆，但由于011-=-不属于T ，故T 不是封闭集，④错误．9．若集合{1n U =，2，3，，}n ，2n ，*n N ∈，A ，n B U ⊆，且满足集合A 中最大的数大于集合B 中最大的数，则称有序集合对(,)A B 为“兄弟集合对”．当3n =时，这样的“兄弟集合对”有对；当3n 时，这样的“兄弟集合对”有对（用含有n 的表达式作答）．【解答】解：当3n =时，{1n U =，2，3}，A 中的最大元素为2，则B 是{1}的非空子集，有1211-=个，此时A 有2个；A 中的最大元素为3，则B 是{1，2}的非空子集，有2213-=个，此时A 有4个；共有这样的“兄弟集合对”432114⨯+⨯=个，当3n 时，{1n U =，2，3，，}n ，当A 的最大元素为n ，此时A 有12n -个，B 是{1=，2，3，，1}n -的非空子集，有121n --个；当A 的最大元素为1n -，A 有22n -个，B 是{1=，2，3，，2}n -的非空子集，有221n --个；⋅⋅⋅当A 的最大元素为3，A 有22个，B 是{1=，2}的非空子集，有221-个；当A 的最大元素为2，A 有12个，B 是{1}=的非空子集，有121-个；故11223322112(21)2(21)2(21)2(21)2(21)n n n n n n -------+-+-+⋅⋅⋅+-+-22124222212122222222n n n n ----⨯⨯=-+-+⋅⋅⋅+-+-123211231_)44444(2222n n n n ----=+++⋅⋅⋅++-+++⋅⋅⋅+114(14)2(12)1412n n ----=---124233n n =⨯-+．故答案为：14；124233n n ⨯-+．10．设Q 是有理数，集合{|,,0}X x x a a b Q x ==+∈≠，在下列集合中：①|}x X ∈；②2|x X x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭；③121{|x x x +，2}x X ∈；④121{|x x x ，2}x X ∈；与X 相等的集合的序号是【解答】解：设①②③④对应的集合分别为A ，B ，C ，D ，则对于①：x X ∀∈，设,x a a b Q =+∈，则x b =，而b X +，从而x A ∈，故X A ⊆2b X =+，故A X ⊆，从而A X =；对于②：x X ∀∈，设,x a a b Q =+∈，令,x m n Q =∈，则可得2(2am bn an bm +++，从而22am bn +=，0an bm +=，解得2222a m a b =-，222bn a b=--，且m ，n Q ∈，从而x B ∈，故X B ⊆，反过来，22222a X x a b ==-，故B X ⊆，从而B X =；对于③：取1211x x ==--，则120x x X +=∉，从而C 不是X 的子集，故C X ≠；对于④：x X ∀∈，设,x a a b Q =+∈，则1(x a =⨯+，取121,x x a ==+，则x D ∈，即X D ⊆，反过来1x ，2x X ∈时，12x x X ∈，故D X ⊆，故D X =．综上，①②④正确，故答案为①②④．11．设集合1{A r =，2r ，，}{1n r ⊆，2，3，，37}，且A 中任意两数之和不能被5整除，则n 的最大值为【解答】解：设{5B =，10，15，20，25，30，35}，则card （B ）7=；可将A 集合分为4组：1{1A =，6，11，16，21，26，31，36}，则1()8card A =；2{2A =，7，12，17，22，27，32，37}，则2()8card A =；3{3A =，8，13，18，23，28，33}，则3()7card A =；4{4A =，9，14，19，24，29，34}，则4()7card A =．因为A 中的任何两个数之和不能被5整除，所以1A 和4A ，2A 和3A 中不能同时取数，且B 中最多取1个，所以最多的取法是取12A A 和B 中的一个元素，故card （A ）88117max =++=，故n 的最大值为17，故答案为：17．12．若使集合2(){|(6)(4)0A k x kx k x =--- ，}x Z ∈中元素个数最少，则实数k 的取值范围是(3,2)--，设B Z ⊆，对B 中的每一个元素x ，至少存在一个()A k ，有()x A k ∈，则B =．【解答】解：集合2{|(6)(4)0A x kx k x =--- ，}x Z ∈，方程2(6)(4)0kx k x ---=，0k ≠解得：16x k k=+，24x =，2(6)(4)0kx k x ∴--- ，x Z∈当0k =时，(A =-∞，4]；当0k >时，64k k <+，(A =-∞，64][k k+，)+∞；当0k <时，64k k +<，6[A k k=+，4]；∴当0k 时，集合A 的元素的个数无限；当0k <时，64k k +<，6[A k k =+，4]，集合A 的元素的个数有限，令函数6()g k k k=+，(0)k <则有：()g k - ，对于集合A ，[0，4]满足条件的元素只有0，1，2，3，4，只需6[k k+，0]包含的整数最小，题意要求x Z ∈，故只需65k k +>-，且64k k+- ，解得：32k -<<-，根据对()A k 的讨论，所以B Z =，故答案为：32k -<<-，B Z =．13．非空集合G 关于运算⊕满足：（1）对任意a ，b G ∈，都有a b G +∈；（2）存在e G ∈使得对于一切a G ∈都有a e e a a ==⊕⊕，则称G 是关于运算⊕的融洽集，现有下列集合与运算：①G 是非负整数集，⊕：实数的加法；②G 是偶数集，⊕：实数的乘法；③G 是所有二次三项式构成的集合，⊕：多项式的乘法；④{|G x x a ==+，a ，}b Q ∈，⊕：实数的乘法；其中属于融洽集的是（请填写编号）【解答】解：①对于任意非负整数a ，b 知道：a b +仍为非负整数，所以a b G ∈⊕；取0e =，及任意非负整数a ，则00a a a +=+=，因此G 对于⊕为整数的加法运算来说是“融洽集”；②对于任意偶数a ，b 知道：a b +仍为偶数，故有a b G +∈；但是不存在e G ∈，使对一切a G ∈都有a e e a a ==⊕⊕，故②的G 不是“融洽集”．③对于{G =二次三项式}，若a 、b G ∈时，a ，b 的两个同类项系数，则其积不再为二次三项式，故G 不是和谐集，故③不正确；④{|G x x a ==+，a ，}b Q ∈，设1x a =+，2x c =+，则设12()(x x a c b d +=+++G ，取1e =，11a a a ⨯=⨯=，因此G 对于⊕实数的乘法运算来说是“融洽集”，故④中的G 是“融洽集”．故答案为①④．14．设集合A R ∈，如果0x R ∈满足：对任意0a >，都存在x A ∈，使得00||x x a <-<，那么称0x 为集合A 的一个聚点，则在下列集合中：①{|0}x Z x ∈≠；②{|0}x R x ∈≠；③1{|x x n =，*}n N ∈；④{|1nx x n =+，*}n N ∈其中以0为聚点的集合的序号是．【解答】解：（1）对于某个0a >，比如0.5a =，此时对任意的{|0}x x Z x ∈∈≠，都有0||0x x -=或者0||1x x - ，也就是说不可能00||0.5x x <-<，从而0不是{|0}x Z x ∈≠的聚点；（2）集合{|0}x R x ∈≠，对任意的a ，都存在2ax =（实际上任意比a 小得数都可以），使得0||2ax a <=<，0∴是集合{|0}x R x ∈≠的聚点；（3）集合1{|x x n =，*}n N ∈中的元素是极限为0的数列，对于任意的0a >，存在1n a>，使10||x a n<=<，0∴是集合1{|x x n=，*}n N ∈的聚点；（4）中，集合{|1nx x n =+，*}n N ∈中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0大12，∴在12a <的时候，不存在满足得0||x a <<的x ，0∴不是集合{|1nx x n =+，*}n N ∈的聚点；故答案为：②③．15．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{5|}k n k n Z =+∈，0k =，1，2，3，4．给出如下四个结论：①2017[2]∈；②3[3]-∈；③[0][1][2][3][4]Z =；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“[0]a b -∈”．其中正确的结论序号有．【解答】解：①201754032÷=⋯，2017[2]∴∈，故①正确；②35(1)2-=⨯-+，3[3]∴-∉，故②错误；③整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，[0][1][2][3][4]Z ∴=，故③正确；④整数a ，b 属于同一“类”，∴整数a ，b 被5除的余数相同，从而a b -被5除的余数为0，反之也成立，故“整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”．故④正确．故答案为：①③④．17．设n 是正整数，集合{1M =，2，⋯，2}n ．求最小的正整数k ，使得对于M 的任何一个k 元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于41n +．【解答】解：考虑M 的2n +元子集{1P n =-，n ，1n +，⋯，2}n ，P 中任何4个不同元素之和不小于11242n n n n n -+++++=+，所以3k n + ，将M 的元配对为n 对，(,21)i B i n i =+-，1i n ，对M 的任一3n +元子集A ，必有三对1i B ，2i B ，3i B ，同属于(1A i ，2i ，3i 两两不同）又将M 的元配为1n -对，(,2)i C i n i =-，11i n - ，对M 的任一3n +元子集A ，必有一对4i C 同属于A ，这一对4i C 必与1i B ，2i B ，3i B 中至少一个无公共元素，这4个元素互不相同，且和为21241n n n ++=+，故最小的正整数3k n =+．故答案为：41n +．18．定义集合运算：{|A B z z xy ==⊗，x A ∈，}y B ∈，设{1A =，2}，{2B =，4}，则集合A B ⊗的所有元素之和为．【解答】解：有题意：{|A B z z xy ==⊗，x A ∈，}y B ∈，设{1A =，2}，{2B =，4}，那么：当1x =时：2y =或4，可得:2z 、4，当2x =时：2y =或4，可得:4z 、8，故得z 的所有元素：2、4、8，即集合A B ⊗的所有元素为：2、4、8，元素之和为：24814++=．故答案为：14．19．如果具有下述性质的x 都是集合M 中的元素，其中：,)x a a b Q =+∈，则下列元素中属于集合M 的元素的是（填序号）．①0x =，②x =③3x =-，④x⑤x =+．【解答】解：①000x ==+，其中0a =，0b Q =∈，∴①满足条件．②01x ==+，其中0a =，1b Q =∈，∴②满足条件．③3x =-，其中3a Q =∈，但2b Q π=-∉，∴③不满足条件．④3x ===+，其中3a =，2b Q =∈，∴④满足条件⑤22440x =-+=+．其中4a =，0b Q =∈，∴⑤满足条件．故答案为：①②④⑤．20．如果非空数集A 满足：①0A ∉；②若x A ∀∈，有1A x∈，那么称A 是“互倒集”．给出以下数集：①2{|10}x R x ax ∈++=；②2{|610}x x x -+ ；③2{|y y x=，[1x ∈，4]}；其中“互倒集”的是.（请在横线上写出所有正确答案的序号）【解答】解：对于①2{|10}x R x ax ∈++=，当3a =时，2{|10}x R x ax ∈++==∅，故不是互倒集；对于②2{|610}x x x -+ ；△364320=-=>，2{|610}x x x ∴-+ 是非空数集，且20{|610}x x x ∉-+ ，若21{|610}x x x x ∈-+ ，即211610x x -+ ，则221121116111(610x x x x x -+-+= ，故211{|610}x x x x ∈-+ ，故是互倒集；对于③2{|y y x =，[1x ∈，14]}[2=，2]，若11[2x ∈，2]，易知111[2x ∈，2]，故是互倒集；故答案为：②③．。

集合的概念练习题(内含详细答案)

集合的概念练习题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、单选题1．下列选项中，表示同一集合的是（）A．A={0，1}，B={（0，1）}B．A={2，3}，B={3，2}C．A={x|–1<x≤1，x∈N}，B={1}D．A=∅，2．下列各项中，不能组成集合的是（）A．所有的正数B．所有的老人C．不等于0的数D．我国古代四大发明3．下列对象能构成集合的是( )①NBA联盟中所有优秀的篮球运动员；②所有的钝角三角形；③2015年诺贝尔经济学奖得主；④大于等于0的整数；⑤我校所有聪明的学生．A．①②④B．②⑤C．③④⑤D．②③④4．下列说法正确的是（）A．我校爱好足球的同学组成一个集合B．是不大于3的自然数组成的集合C．集合和表示同一集合D．数1，0，5，，，，组成的集合有7个元素5．下列关于集合的命题正确的有（）①很小的整数可以构成集合②集合{y|y=2x2+1}与集合{(x,y) |y=2x2+1}是同一个集合;③1，2，|-|，0.5，这些数组成的集合有5个元素④空集是任何集合的子集A．0个B．1个C．2个D．3个x+=的实数解”中，能够表6．在“①个子较高的人；②所有的正方形；③方程260示成集合的是（）A ．②B ．③C ．①②③D ．②③评卷人得分二、填空题7．已知集合A ={x ，，1}，B ={x 2，x +y ，0}，若A =B ，则x 2017+y 2018=______．8．定义集合A －B ＝{x|x∈A，且x ∉B}，若集合A ＝{x|2x ＋1>0}，集合B ＝{x|<0}，则集合A －B ＝____________.9．在数集{}0,1,2x -中，实数x 不能取的值是______. 10．下列对象：①方程x 2＝2的正实根，②我校高一年级聪明的同学，③大于3小于12的所有整数，④函数y ＝2x 的图像上的点．能构成集合的个数为___________________________________．评卷人得分三、解答题11．已知集合，是否存在这样的实数，使得集合有且仅有两个子集？若存在，求出所有的的值组成的集合；若不存在，请说明理由.答案1．下列选项中，表示同一集合的是A ．A={0，1}，B={（0，1）}B ．A={2，3}，B={3，2}C ．A={x|–1<x≤1，x∈N}，B={1}D ．A=∅，【答案】B【解析】【分析】利用集合相等的定义直接求解．【详解】在A中，A={0，1}是数集，B={（0，1）}是点集，二者不表示同一集合，故A错误；在B中，A={2，3}，B={3，2}，集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等，表示同一集合，故B正确；在C中，A={x|–1<x≤1，x∈N}={0，1}，B={1}，二者不相等，不表示同一集合，故C错误；在D中，A=∅，={0}，二者不相等，不表示同一集合，故D错误．故选B．【点睛】本题考查集合相等的判断，考查集合相等的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．下列各项中，不能组成集合的是A．所有的正数B．所有的老人C．不等于0的数D．我国古代四大发明【答案】B【解析】【分析】根据集合的三要素：确定性、互异性、无序性得到选项．【详解】集合中的元素具有确定性，老人的标准不确定，元素不能确定，故所有的老人不能构成集合，故选B．【点睛】本题考查集合中元素满足的三要素：确定性、互异性、无序性．3．下列对象能构成集合的是( )①NBA联盟中所有优秀的篮球运动员；②所有的钝角三角形；③2015年诺贝尔经济学奖得主；④大于等于0的整数；⑤我校所有聪明的学生．A．①②④B．②⑤C．③④⑤D．②③④【答案】D【解析】由集合中元素的确定性知，①中“优秀的篮球运动员”和⑤中“聪明的学生”不确定，所以不能构成集合．选D4．下列说法正确的是（）A．我校爱好足球的同学组成一个集合B．是不大于3的自然数组成的集合C．集合和表示同一集合D．数1，0，5，，，，组成的集合有7个元素【答案】C【解析】【分析】根据集合的含义逐一分析判断即可得到答案【详解】选项A，不满足确定性，故错误选项B，不大于3的自然数组成的集合是，故错误选项C,满足集合的互异性，无序性和确定性，故正确选项D，数1，0，5，，，，组成的集合有5个元素，故错误故选C【点睛】本题考查了集合的含义，利用其确定性、无序性、互异性进行判断，属于基础题。

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集合中的定义新运算
一、单选题(共10道，每道10分)
1.设集合，，如果把b-a叫做集合
的“长度”，那么集合的“长度”是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：新定义集合
2.若集合S满足对任意的，有，则称集合S为“闭集”，下列集合不是“闭集”的是( )
A.自然数集
B.整数集
C.有理数集
D.实数集
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：新定义集合
3.设和是两个集合，定义集合，如果，
，那么( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：新定义集合
4.对于集合A，B，规定，则( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：新定义集合
5.定义，设集合，，则集合的所有元素之和为( )
A.3
B.0
C.6
D.-2
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：新定义集合
6.设集合，集合，定义
，则的元素个数为( )
A.4
B.7
C.10
D.12
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：新定义集合
7.设集合，在上定义运算为：，其中，
．那么满足条件的有序数对
共有( )个．
A.12
B.8
C.6
D.4
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：新定义集合
8.设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，则A的所有子集中，“孤立元”仅有1个的集合共有( )个．
A.10
B.11
C.12
D.13
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：新定义集合
9.集合A的n元子集是指A的含有n个元素的子集．已知集合中所有二元子集中两个元素的和的集合为，则集合的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：新定义集合
10.对于集合M，定义函数，对于两个集合M，N，定义集合
．已知，，下列结论不正确的是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：新定义集合。