球的内切与外接问题讲课 ppt课件

作业
[教师选讲]已知正四棱锥的底面边长为 a，侧棱长为 2a. (1)求它的外接球半径； (2)求它的内切球半径．
球的内切与外接问题讲课
球的内切与外接问题讲课
球的表面积与体积 正四棱锥 S—ABCD 的底面边长和各侧棱 长都为 2，点 S、A、B、C、D 都在同一 个球面上，则该球的体积为________．
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6 3 a.
因此 R＝ 36a.
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(2)设内切球的半径为 r，作 SE⊥底面于 E，作
SF⊥BC 于 F，
则有 SF＝ SB2－BF2＝
(
2a)2－a22 ＝
7 2
aS，△SBC＝12BC·SF＝12a·27a＝ 47a2，
S 棱锥全＝4S△SBC＋S 底＝( 7＋1)a2.
解决“接切”问题的关键是画出正确的截面， 把空间“接切”转化为平面“接切”问题
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正方体的内切球
球的内切与外接问题讲课
正方体的内切 球的半径是棱 长的一半
球的内切与外接问题讲课
正方体的外接球
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D A
D A11
C B
O C1
B1
正方体的外接 球半径是体对 角线的一半
球的内切与外接问题讲课
正方体的棱切球
球的内切与外接问题讲课
球的内切与外接问题讲课
球的内切与外接问题讲课
正方体的棱 切球半径是 面对角线长 的一半
球的内切与外接问题讲课
球与正方体的“接切”问题
典型：有三个球,一球切于正方体的各面,一球切 于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求 这三个球的体积之比.
球的内切与外接问题讲课
变题：
1. 已知长方体的长、宽、高分别是 3 、 5 、1 ，求长方体的
外接球的体积。
2. 已知球O的表面上有P、A、B、C四点，且PA、PB、PC两两 互相垂直，若PA=PB=PC=a，求这个球的表面积和体积。
A
C P
球的内切与外接问题讲课
O B
四面体与球的“接切”问题
典型：正四面体ABCD的棱长为a，求 其内切球半径r与外接球半径R.
6 1
4
2
3
B
1
3 r S全 32 23r
1 C r 62 S 球 85 26
V多面体 3S全r内切球球的内切与外接问题讲课
变题球的表面积与体积
正四棱锥 S—ABCD 的底面边长和各侧棱 长都为 2，点 S、A、B、C、D 都在同一 个球面上，则该球的体积为________．
球的内切与外接问题讲课
球的内切与外接问题讲课
【解析】 如图．(1)设外接球的半径为 R，球心为 O，则 OA＝OC＝OS，所以 O 为△SAC 的外心，即△SAC 的外接圆的 半径就是球的半径．
∵AB＝BC＝a，∴AC＝ 2a. ∵SA＝SC＝AC＝ 2a， ∴△SAC 为正三角形．
∴R＝23SO＝23× 23× 2ª
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• 【思路点拨】 根据球截面性质找出 球半径与截面圆半径和球心到截面距 离的关系，求出球半径．
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【解析】 如图所示，AB＝BC＝CD＝
DA＝SA＝SB＝SC＝SD＝ 2， O 为球心，球的半径为 R，
SO⊥平面 ABCD 于 M 点， ∵四边形 ABCD 为正方形，
球
球的内切与外接问题讲课
一、复习 球体的体积与表面积
①
V球
4
3
R3
二、球与多面体的接、切
② S球面4R2
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个多面体的外接球。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个多面体的内切球。
∴BD⊥AC，DM＝AM
＝
2 2·
2＝1，SM
＝ SA2－AM2＝ 2－1＝1，
在 Rt△AOM 中 AO2＝OM2＋AM2，即
R2＝1＋(R－1)2，解得 R＝1，
∴球的体积为43πR3＝43π. 【答案】
4 3π
球的内切与外接问题讲课
[教师选讲]已知正四棱锥的底面边长为 a，侧棱长为 2a. (1)求它的外接球半径； (2)求它的内切球半径．
球的内切与外接问题讲课
例 、正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 6 内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全
面积和球的表面积。
A
过侧棱AB与球心O作截面( 如图 )
在正三棱锥中，BE 是正△BCD的高
1 O1 是正△BCD的中心，且AE 为斜高
O • BC 26O1E 2且AE 3
B
O1
E
1
3
2
S全 3226
思考：若正四面体变成正三棱锥，方法 是否有变化？
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球 球心到多面体各顶点的距离均相等 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不 重合 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理 5、体积分割是求内切球半径的通用做法
3 26 4
32
9 66 3
2 球的内切与外接问题讲课
例 、正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 6 内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全
面积和球的表面积。
A
作 OF ⊥ AE 于 F
设内切球半径为 r，则 OA = 1 －r
1
3 ∵ Rt △ AFO ∽ Rt △ AO1E
O• F
r 1r
B
O1
E
2 S 球 85 26 球的内切与外接问题讲课
例 、正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 6 内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全
面积和球的表面积。
A
设球的半径为 r，则 VA- BCD =
VO-ABC + VO- ABD + VO-ACD + VO-BCD
O•
DVABC D1 3
3
2
2
又 SE＝ SF2－EF2＝
27a2－a22＝
26a，
球的内切与外接问题讲课
∴V 棱锥＝13Sh＝13a2·26a＝ 66a3.
根据13r·S 全＝V 棱锥，有
r＝3VS全棱锥＝(3×7＋661a)a33＝
42－ 12
6 a.
2
r 62 3
2 S 球 85 26 球的内切与外接问题讲课
例 、正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 6 内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全
面积和球的表面积。
A
在 Rt △ AO1E 中
13
O •θ
sin 3 cos 6
3
3
tan1cos 2 sin
3
2
B
O1 E 在 Rt △ OO1E 中 OO 1 62