球的内切与外接问题讲课 ppt课件
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正方体内切球、外接球、棱切球、图例演示ppt课件
2
S 4R2 3a 2
D A
D A11
D A
D A11
C B O
C1
B1
C B O
C1
B1
正方体的外接球
正方体的外接球
D A
D1 A1
C
B O
C1 B1
对角面 A
A1
C
O
C1
正方体的外接球直径是体对角线
例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长 为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球
球的表面积和体积
D1
A1
d
D
S
A
a
C1
c B1
C
b
B
d2 a2 b2 c2
球的体积
球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。 球(即球体):球面所围成的几何体。
它包括球面和球面所包围的空间。
半径是R的球的体积：V 4R3
3
2、球的表面积
S 4πR2
练习一：
(1)球的半径伸长为原来的2倍,体积变为原 来的——8 倍.
O的表面积。
略解：RtB1 D1ຫໍສະໝຸດ D中 :(2R)2 a 2 ( 2a)2 , 得 R 3a
2
S 4R2 3a 2
D A
D A11
D A
C B
O C1
B1
C B
D A11
O C1
B1
正方体的棱切球
正方体的棱切球直径是面对角线长
(2)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变
2
为原来的——倍。
(3)若球半径变为原来的2倍，则表面积变
4
为原来的——倍。
(4)若两球表面积之比为1:2，则其体积之
S 4R2 3a 2
D A
D A11
D A
D A11
C B O
C1
B1
C B O
C1
B1
正方体的外接球
正方体的外接球
D A
D1 A1
C
B O
C1 B1
对角面 A
A1
C
O
C1
正方体的外接球直径是体对角线
例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长 为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球
球的表面积和体积
D1
A1
d
D
S
A
a
C1
c B1
C
b
B
d2 a2 b2 c2
球的体积
球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。 球(即球体):球面所围成的几何体。
它包括球面和球面所包围的空间。
半径是R的球的体积：V 4R3
3
2、球的表面积
S 4πR2
练习一：
(1)球的半径伸长为原来的2倍,体积变为原 来的——8 倍.
O的表面积。
略解：RtB1 D1ຫໍສະໝຸດ D中 :(2R)2 a 2 ( 2a)2 , 得 R 3a
2
S 4R2 3a 2
D A
D A11
D A
C B
O C1
B1
C B
D A11
O C1
B1
正方体的棱切球
正方体的棱切球直径是面对角线长
(2)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变
2
为原来的——倍。
(3)若球半径变为原来的2倍，则表面积变
4
为原来的——倍。
(4)若两球表面积之比为1:2，则其体积之
球的内切和外接问题课件
内切与外接问题的解题思路与方法
01
认真审题，明确题目中 的已知条件和所求目标 。
02
分析几何体的结构特征 ，确定内切或外接关系 。
03
合理利用内切或外接的 性质和定理，建立方程 或不等式求解。
04
对于复杂问题，可以采 用数形结合、分类讨论 等数学思想方法。
05
典型例题解析
简单几何体的内切与外接问题
判断一个球是否是多面体的内切球。
利用内切球的性质解决一些与多面体相关的问题，如求解多面体的体积、表面积等 。
外接球的定义与性质
定义
外接球是指一个球完全包含一个多面体，且与多面体的各个 顶点都相切。
性质
外接球的半径等于多面体外接圆半径，也等于从多面体中心 到任意一个顶点的距离。
外接球的计算方法
直接法
，也希望教师能够增加一些互动环节，提高课堂的趣味性。
对未来学习的建议与展望
加强基础知识的巩固
建议学生在课后加强对基础知识的学习和巩固，为后续的学习打下 坚实的基础。
增加实践环节
希望教师能够增加一些实践环节，如小组讨论、案例分析等，帮助 学生更好地应用所学知识解决实际问题。
拓展相关领域的学习
鼓励学生拓展相关领域的学习，如学习其他几何体的内切与外接问题 、了解相关数学史等，以拓宽视野并加深对课程内容的理解。
性质
内切球的半径等于多面体的内切圆半 径，也等于多面体各个面上的内切圆 半径的最小值。
内切球的计算方法
直接法
通过已知条件直接求出内切球的半径。
间接法
利用体积关系求出内切球的半径。对于棱锥、棱柱等多面体，可以先求出其体 积和表面积，再利用体积和表面积的关系求出内切球的半径。
球专题几何体的外接球与内切球问题(教学课件)——高中数学人教A版(2019)必修第二册
温故知新
请同学回顾球的表面积与体积公式
(1)设球的半径为 R,则球的表面积 S=4πR 2 .
(2)设球的半径为 R,则球的体积 V= πR 3 .
例题解析
1
球的截面问题
用一个平面去截球，截面一定是圆面.
截面过球心，圆为球的大圆(如地球仪上
的赤道圈)；截面不过球心，圆为球的小
圆
例题解析
所以球的表面积
为2，求球的表面积.
解：如图所示，作出轴截面，因为ΔABC为正三角形，
练习巩固
练习巩固
练习3:已知OA为球O的半径,过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面
得到圆M.若圆M的面积为3π,则球O的表面积等于
解析:由题意得圆 M 的半径 r=
由勾股定理得 R2=r2+
答案:16π
,解得
,又球心到圆
1
球的截面问题
练习巩固
1
球的截面问题
练习： 过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离是球
半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球的表面积是多少？
课堂探究
2
球与几何体外接、内切问题
解决与球有关的外接、内切问题的关键
1、确定球心位置
重
要！
2、构造直角三角形，确定球的半径
球与多面体
1、多面体外接球：多面体顶点均在球面上；球心到各顶点距离为R
2、多面体内切球：多面体各面均与球面相切；球心到各面距离为R
球与旋转体
旋转体的外接球与内切球：球心都在旋转轴上
球与旋转体
①长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；
②正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点.
例题解析
2
请同学回顾球的表面积与体积公式
(1)设球的半径为 R,则球的表面积 S=4πR 2 .
(2)设球的半径为 R,则球的体积 V= πR 3 .
例题解析
1
球的截面问题
用一个平面去截球，截面一定是圆面.
截面过球心，圆为球的大圆(如地球仪上
的赤道圈)；截面不过球心，圆为球的小
圆
例题解析
所以球的表面积
为2，求球的表面积.
解：如图所示，作出轴截面，因为ΔABC为正三角形，
练习巩固
练习巩固
练习3:已知OA为球O的半径,过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面
得到圆M.若圆M的面积为3π,则球O的表面积等于
解析:由题意得圆 M 的半径 r=
由勾股定理得 R2=r2+
答案:16π
,解得
,又球心到圆
1
球的截面问题
练习巩固
1
球的截面问题
练习： 过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离是球
半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球的表面积是多少？
课堂探究
2
球与几何体外接、内切问题
解决与球有关的外接、内切问题的关键
1、确定球心位置
重
要！
2、构造直角三角形，确定球的半径
球与多面体
1、多面体外接球：多面体顶点均在球面上；球心到各顶点距离为R
2、多面体内切球：多面体各面均与球面相切；球心到各面距离为R
球与旋转体
旋转体的外接球与内切球：球心都在旋转轴上
球与旋转体
①长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；
②正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点.
例题解析
2
高考数学一轮复习第六章专题六几何体的外接球与内切球问题课件
)
A.4 3π
B.8π
C.12π
D.20π
解析：在底面△ABC 中，由正弦定理得底面△ABC 外接圆的
半径为
r＝2sin B∠CBAC＝2sin2
3π＝ 4
2.
直三棱柱 ABC-A1B1C1 的外接球的半径 R＝ ( 2)2＋12＝ 3，
r2＋A2A12＝
则直三棱柱 ABC-A1B1C1 的外接球的体积为43πR3＝4 3π.
当
λ＝12时，cos〈E→B，E→G〉＝2
3
2 .
∴cos〈E→B，E→G〉的最大值为2
3
2 .
∵A→C＝(－1，1，0)，A→F＝(0，1，1)， ∴E→B·A→C＝E→B·A→F＝0. ∴EB⊥AC，EB⊥AF. ∵AC∩AF＝A，∴EB⊥平面 AFC. ∵E→B·E→G>0，∴cos〈E→B，E→G〉即为 EG 与平面 AFC 所成角
如图 6-7 所示，把四面体 S-ABC 补全为长方体 ABCD-SPMN， 其中 SA，AB，BC 为长方体中首尾相连且两两相互垂直的三条棱， 点 H 为 PM 中点.
图 6-7
∵GH∥AP，∴G，H 两点到平面 AEF 的距离相等.
设点 H 到平面 AEF 的距离为 d.
∵△APF 是边长为 2 2的等边三角形，
[例 1]已知一个圆锥底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内
切球的表面积为( )
A.π
B.32π
C.2π
D.3π
解析：依题意，作出圆锥与球的轴截面，如图
6-1 所示.设球的半径为 r，易知轴截面三角形边 AB
上的高为 2 2，因为△SOD∽△SBE，所以SSOB＝OBED，
即2 32－r＝1r，解得 r＝ 22.所以圆锥内切球的表面
球的内切和外接问题PPT教案学习
的体积为 9 ，底面周长为３，则这个球的体积为
8
解
：
9
设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有8
6 6
x
3, 3 4
x2
h,
x
h
1, 2 3．
∴正六棱柱的底面圆的半径 r 1，球心到底面的距离
.∴外接球的半径
R
r2
d2
2
1,V球
4 3
.
d 3 2
小结 本题是运用公式 R2 r2 d2求球的半径的，该公式是求球
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，
则称这个多面体是这个球的内接多面体，
这个球是这个 多面体的外接球
。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，
则称这个多面体是这个球的外切多面体，
这个球是这个 多面体的内切球 。
第4页/共23页
图1
图2
图3
第5页/共23页
球与棱柱的组合体问题
例1 甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，
第10页/共23页
一、直接法
A
C
O
1、求正方体的外接球的有关问题 A1
C1
例1、若棱长为3的正方体的顶点都在同一
球面上，则该球的表面积为 27 .
变式题：一个正方体的各顶点均在同一球的球 面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体
积为 4 3 .
第11页/共23页
二、构造法
1、构造正方体
例2、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长
a2
3 3
a2
2 a3 12
第20页/共23页
【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外
【课件】球与多面体的内切、外接课件2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
o2
o
5πa2
●
R
r o1
课堂练习
2．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球
32π
的体积为
，那么这个正三棱柱的体积是(
3
A．96 3
C．24 3
)
B．16 3
√D．48
3
1 3
3
设正三棱柱的底面边长为a，则球的半径 R＝ × a＝ a，
3 2
6
3
正三棱柱的高为 a.
3
4 3 32π
三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥都分别可构造长方体或
A
正方体．
P
B
C
探究新知
总结：正四面体的棱长与外接球、内切球的半径总结的关系
1.若正四面体棱长为a，外接球半径为R，内切球半径为r，则
r PO R
6
R
a
4
R : r 3 :1
6
r
a
12
6
6
6
a
a
a.
3
4
12
P
P
a
a
A
V 球＝ πR ＝ .∴a＝4 3.
3
3
3
3
2
∴V 柱＝ ×(4 3) × ×4 3＝48 3.
4
3
例题讲解
（4）正棱锥、圆锥 ①内切球
P
例6 正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与
它的四个面都相切，求内切球的表面积与体积．
A
解1：如图，P-ABC为正三棱锥,
设球的半径为r，底面中心为D,取BC边中点E ∴PD=2,易知
1
V锥体 Sh
3
球的内切与外接问题讲课
综合应用举例
例1
解
已知一个三角形的三边长度，求其内切圆 半径和外接圆半径。
首先利用海伦公式求出三角形面积，再结 合半周长计算内切圆半径。对于外接圆半 径，可以通过正弦定理或余弦定理求解。
例2
解
给定一个正多边形，求其内切圆与外接圆 的半径比。
根据正多边形的性质，其所有内角相等， 且每条边与内切圆相切。由此可推导出内 切圆半径与外接圆半径的比例关系。
体对角线的长度来求解外接球的半径。
解答
03
长方体的体对角线长为$sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = sqrt{50} =
5sqrt{2}$，因此其外接球的半径为$frac{5sqrt{2}}{2}$。
典型例题分析与解答
例题2
分析
已知一个正四面体的棱长为$a$，求其 外接球的半径。
正四面体的外接球半径可以通过构造 一个包含该正四面体的正方体来求解 。
长方体的内切球半径等于长方体相邻三条棱的倒数之和的倒数的一半，即 r=1/[(1/l)+(1/w)+(1/h)]。
解答
根据内切球的定义和性质，我们知道长方体的内切球半径等于长方体相邻三条棱的倒数之 和的倒数的一半。所以，r=1/[(1/l)+(1/w)+(1/h)]。
典型例题分析与解答
例题3
分析
解答
解答
构造一个棱长为$frac{sqrt{2}}{2}a$的 正方体，则该正方体的体对角线长等 于正四面体的外接球直径，即$2R = sqrt{(frac{sqrt{2}}{2}a)^2 + (frac{sqrt{2}}{2}a)^2 + (frac{sqrt{2}}{2}a)^2} = frac{sqrt{6}}{2}a$，因此正四面体的 外接球半径为$frac{sqrt{6}}{4}a$。
球的内切与外接问题讲课
2
典型：有三个球,一球切于正方体的各 面,一球切于正方体的各侧棱,一球过 正方体的各顶点,求这三个球的体积 之比.
变题：
1. 已知长方体的长、宽、高分别是 求长方体的外接球的体积。 2. 已知球O的表面上 有P、A、B、C四点， 且PA、PB、PC两两 互相垂直，若 PA=PB=PC=a，求这 个球的表面积和体积。
正方体的内切球
中截面
正方体的内切球的半径是棱长的一半
正方体的外接球
D
A D1 A1 B1 O B
C
对角面
A
C
C1
A1
O
C1
正方体的外接球半径是体对 角线的一半
正方体的棱切球
D A B
C
正方体的棱切球
中截面
O D1 C1
.
A1
正方体的棱切球半径是面对角 线长的一半
B1
球与正方体的“接切”问题
、 5、1 ， 3
A O C P B
【典例】(2012·新课标全国卷)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边
长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，
则此棱锥的体积为( A ) (A)
2 6
(B)3 6(C)2 3(D)2 2
2.(2013·昆明模拟)一个几何体的 三视图如图所示，它们都是腰长为 1的等腰直角三角形，则该几何体 的外接球的体积等于( B ) (A) 2 2 (C)π (B) 3 (D)2π
二、球与多面体的接、切
S球面 4 R
2
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个多面体的外接球。 定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个多面体的内切球。
高中数学难点突破：球的外切和内接问题 (共10张PPT)
解析：设正方体的棱长为a
∵球的外切正方体的棱长等于球直径：2R=a ∴ S甲 = 4πR22 = π
∵球内切于正方体的棱时
正方体的面对角线等于球的直径
2Rห้องสมุดไป่ตู้=
2a
∴ S乙
=
4πR
2 2
=
2π
球的内接正方体的体对角线等于球直径： 2R = 3a S丙 =4πR32 =3π
∴三球表面积之比为1:2:3
跟踪练习2
a
r1
=
a 2
a
r2 =
2a 2
a
r3 =
3a 2
a
2a
2a
• 画出正确的截面：(1)中截面； (2)对角面
• 找准数量关系
典型例题一
若正方体的棱长为a，求：正方体的外接球的体积 .
球的内接正方体的对角线等于球直径 .
D
C
A
A
B
O
D1
C1
对角面
A1
A1
B1
V2
=
4 3
π(
3a)3 = 2
3a3 π 2
解析：作轴截面如图所示，
CC = 6 , AC = 2 6 = 2 3
设球半径为R ,则：
R2 =OO2 +CC2
=( 6 )2 +( 3)2 = 9 ∴ R =3
∴ S球 =4πR2 =36π
V球
=
4 3
πR3
=36π
D’
C’
A’
B’
D
C
A
OB
A’
O’
C’
A
O
C
C 2RO= 3a
球的外接内切问题课件-高三数学二轮专题复习
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，
外接球的半径为Ra，2＋则b2＋2Rc2＝
.
一、直接法
A
C
O
A1
C1
1、求正方体的外接球的有关问题
例1、若棱长为3的正方体的顶点都在同一
球面上，则该球的表面积为 27 .
变式题：一个正方体的各顶点均在同一球的球 面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体
球与棱柱的组合体问题 例1 甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，
丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( )
A. 1:2:3 D
B. 1: 2: 3
C
C. 1:3 4:3 9
D. 1: 8: 27
A D1
A1
B
中截面
O
C1设棱长为1
球的外切正方体的棱长等于球直径。
B1
S甲 4 R12 =
1.正方体的内切球、棱切球、外接球
设正方体的棱长为a,则: 正方体的内切球、外接球、棱切球直径
径分别为:
1 2
a、 3 2
a、 2 2
a.
2.正四面体的内切球、棱切球、外接球 设正四面体的棱长为a,则: 正四面体的内切球、棱切球、外接球
半径分别为: 6 a、 2 a、 6 a. 12 4 4
圆锥的内切球 圆锥的外接球
课时小结:
解决与球有关的内切与外接问题的
关键是：
通过寻找恰当的过球心的截面, 把立体问题转化为平面问题, 通过解三角形求出球的半径R.
30
探究二： 若正四面体的棱长为a，则
⑴正四面体的内切球直径＝ ⑵正四面体的外接球直径＝ ⑶与正四面体所有棱相切的球直＝
求棱长为a的正四面体外接球、内切球及棱切球
立体几何中的与球有关的内切外接问题分解课件
公式
设多边形的边数为$n$，则球的半径$r = frac{a}{2sinfrac{180^circ}{n}}$，其中$a$为多边形的外接圆半径。
球与圆柱体的内切总结词Fra bibliotek详细描述
当一个球完全内切于一个圆柱体时， 圆柱体的底面圆周和顶面圆周都与球 面相切，且圆柱的轴线通过球心。
设圆柱体的底面圆心为$O_1$，顶面 圆心为$O_2$，球心为$O$。由于球 内切于圆柱体，所以$OO_1 = OO_2 = r$，其中$r$为球的半径。同时， 圆柱体的底面圆周和顶面圆周都与球 面相切，所以底面圆心到球心的距离 等于底面圆的半径，顶面圆心到球心 的距离等于顶面圆的半径。
公式
设圆柱体的底面半径为$R_1$，顶面 半径为$R_2$，高为$h$，则球的半 径$r = frac{R_1 + R_2 + h}{2}$。
球与圆锥体的内切
总结词
当一个球完全内切于一个圆锥体时，圆锥体的底面圆周和侧面都与球面相切，且圆锥的轴 线通过球心。
详细描述
设圆锥体的底面圆心为$O_1$，球心为$O$。由于球内切于圆锥体，所以$OO_1 = r$， 其中$r$为球的半径。同时，圆锥体的底面圆周和侧面都与球面相切，所以底面圆心到球 心的距离等于底面圆的半径。
04
球的内切外接问题应用
球在几何题中的应用
球与多面体的内切和外接
在几何题目中，经常涉及到球与多面体的内切和外接问题，需要利用球心到多面 体的顶点的距离等于半径的原理来解决。
球的切线和割线定理
切线和割线定理是球在几何题中的重要应用，通过这些定理可以推导出球与其他 几何形状的位置关系。
球在物理题中的应用
02
球的内切问题
球与多边形的内切
设多边形的边数为$n$，则球的半径$r = frac{a}{2sinfrac{180^circ}{n}}$，其中$a$为多边形的外接圆半径。
球与圆柱体的内切总结词Fra bibliotek详细描述
当一个球完全内切于一个圆柱体时， 圆柱体的底面圆周和顶面圆周都与球 面相切，且圆柱的轴线通过球心。
设圆柱体的底面圆心为$O_1$，顶面 圆心为$O_2$，球心为$O$。由于球 内切于圆柱体，所以$OO_1 = OO_2 = r$，其中$r$为球的半径。同时， 圆柱体的底面圆周和顶面圆周都与球 面相切，所以底面圆心到球心的距离 等于底面圆的半径，顶面圆心到球心 的距离等于顶面圆的半径。
公式
设圆柱体的底面半径为$R_1$，顶面 半径为$R_2$，高为$h$，则球的半 径$r = frac{R_1 + R_2 + h}{2}$。
球与圆锥体的内切
总结词
当一个球完全内切于一个圆锥体时，圆锥体的底面圆周和侧面都与球面相切，且圆锥的轴 线通过球心。
详细描述
设圆锥体的底面圆心为$O_1$，球心为$O$。由于球内切于圆锥体，所以$OO_1 = r$， 其中$r$为球的半径。同时，圆锥体的底面圆周和侧面都与球面相切，所以底面圆心到球 心的距离等于底面圆的半径。
04
球的内切外接问题应用
球在几何题中的应用
球与多面体的内切和外接
在几何题目中，经常涉及到球与多面体的内切和外接问题，需要利用球心到多面 体的顶点的距离等于半径的原理来解决。
球的切线和割线定理
切线和割线定理是球在几何题中的重要应用，通过这些定理可以推导出球与其他 几何形状的位置关系。
球在物理题中的应用
02
球的内切问题
球与多边形的内切
球的内切与外接问题讲课
例 、正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 6 内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全
面积和球的表面积。
A
设球的半径为 r;则 VA- BCD =
VO-ABC + VO- ABD + VO-ACD + VO-BCD
O•
DVABC D1 3
3
2
2
6 1
4
2
3
B
1
3 r S全 32 23r
V多面体 13S全 Cr内 切r球 62 S 球 85 26
A
O C
P
B
四面体与球的“接切”问题
典型：正四面体ABCD的棱长为a;求其 内切球半径r与外接球半径R.
思考：若正四面体变成正三棱锥;方法 是否有变化？
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等;外接球 球心到多面体各顶点的距离均相等 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上;但不 重合 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理 5、体积分割是求内切球半径的通用做法
【解析】 如图所示，AB＝BC＝CD＝
DA＝SA＝SB＝SC＝SD＝ 2，
O 为球心，球的半径为 R，
SO⊥平面 ABCD 于 M 点，
∵四边形 ABCD 为正方形，
∴BD⊥AC，DM＝AM
＝
2 2·
2＝1，SM
＝ SA2－AM2＝ 2－1＝1，
在 Rt△AOM 中 AO2＝OM2＋AM2，即
R2＝1＋(R－1)2，解得 R＝1，
球
一、复习 球体的体积与表面积
①
V球
4
3
R3
二、球与多面体的接、切
② S球面4R2
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球的内切与外接问题讲课
变题：
1. 已知长方体的长、宽、高分别是 3 、 5 、1 ，求长方体的
外接球的体积。
2. 已知球O的表面上有P、A、B、C四点，且PA、PB、PC两两 互相垂直，若PA=PB=PC=a，求这个球的表面积和体积。
A
C P
球的内切与外接问题讲课
O B
四面体与球的“接切”问题
典型：正四面体ABCD的棱长为a，求 其内切球半径r与外接球半径R.
球的内切与外接问题讲课
• 【思路点拨】 根据球截面性质找出 球半径与截面圆半径和球心到截面距 离的关系，求出球半径．
球的内切与外接问题讲课
【解析】 如图所示，AB＝BC＝CD＝
DA＝SA＝SB＝SC＝SD＝ 2， O 为球心，球的半径为 R，
SO⊥平面 ABCD 于 M 点， ∵四边形 ABCD 为正方形，
思考：若正四面体变成正三棱锥，方法 是否有变化？
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球 球心到多面体各顶点的距离均相等 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不 重合 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理 5、体积分割是求内切球半径的通用做法
球
球的内切与外接问题讲课
一、复习 球体的体积与表面积
①
V球
4
3
R3
二、球与多面体的接、切
② S球面4R2
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个多面体的外接球。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个多面体的内切球。
球的内切与外接问题讲课
【解析】 如图．(1)设外接球的半径为 R，球心为 O，则 OA＝OC＝OS，所以 O 为△SAC 的外心，即△SAC 的外接圆的 半径就是球的半径．
∵AB＝BC＝a，∴AC＝ 2a. ∵SA＝SC＝AC＝ 2a， ∴△SAC 为正三角形．
∴R＝23SO＝23× 23× 2ª
＝
6 3 a.
因此 R＝ 36a.
球的内切与外接问题讲课
(2)设内切球的半径为 r，作 SE⊥底面于 E，作
SF⊥BC 于 F，
则有 SF＝ SB2－BF2＝
(
2a)2－a22 ＝
7 2
aS，△SBC＝12BC·SF＝12a·27a＝ 47a2，
S 棱锥全＝4S△SBC＋S 底＝( 7＋1)a2.
3 26 4
32
9 66 3
2 球的内切与外接问题讲课
例 、正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 6 内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全
面积和球的表面积。
A
作 OF ⊥ AE 于 F
设内切球半径为 r，则 OA = 1 －r
1
3 ∵ Rt △ AFO ∽ Rt △ AO1E
O• F
r 1r
B
O1
E
又 SE＝ SF2－EF2＝
27a2－a22＝
26a，
球的内切与外接问题讲课
∴V 棱锥＝13Sh＝13a2·26a＝ 66a3.
根据13r·S 全＝V 棱锥，有
r＝3VS全棱锥＝(3×7＋661a)a33＝
42－ 12
6 a.
球的内切与外接问题讲课
例 、正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 6 内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全
面积和球的表面积。
A
过侧棱AB与球心O作截面( 如图 )
在正三棱锥中，BE 是正△BCD的高
1 O1 是正△BCD的中心，且AE 为斜高
O • BC 26O1E 2且AE 3
B
O1
E
1
3
2
S全 3226
6 1
4
2
3
B
1
3 r S全 32 23r
1 C r 62 S 球 85 26
V多面体 3S全r内切球球的内切与外接问题讲课
变题球的表面积与体积
正四棱锥 S—ABCD 的底面边长和各侧棱 长都为 2，点 S、A、B、C、D 都在同一 个球面上，则该球的体积为________．
球的内切与外接问题讲课
解决“接切”问题的关键是画出正确的截面， 把空间“接切”转化为平面“接切”问题
球的内切与外接问题讲课
正方体的内切球
球的内切与外接问题讲课
正方体的内切 球的半径是棱 长的一半
球的内切与外接问题讲课
正方体的外接球
球的内切与外接问题讲课
D A
D A11
C B
O C1
B1
正方体的外接 球半径是体对 角线的一半
球的内切与外接问题讲课
正方体的棱切球
球的内切与外接问题讲课
球的内切与外接问题讲课
球的内切与外接问题讲课
正方体的棱 切球半径是 面对角线长 的一半
球的内切与外接问题讲课
球与正方体的“接切”问题
典型：有三个球,一球切于正方体的各面,一球切 于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求 这三个球的体积之比.
2
r 62 3
2 S 球 85 26 球的内切与外接问题讲课
Байду номын сангаас
例 、正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 6 内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全
面积和球的表面积。
A
在 Rt △ AO1E 中
13
O •θ
sin 3 cos 6
3
3
tan1cos 2 sin
3
2
B
O1 E 在 Rt △ OO1E 中 OO 1 62
作业
[教师选讲]已知正四棱锥的底面边长为 a，侧棱长为 2a. (1)求它的外接球半径； (2)求它的内切球半径．
球的内切与外接问题讲课
球的内切与外接问题讲课
球的表面积与体积 正四棱锥 S—ABCD 的底面边长和各侧棱 长都为 2，点 S、A、B、C、D 都在同一 个球面上，则该球的体积为________．
2 S 球 85 26 球的内切与外接问题讲课
例 、正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 6 内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全
面积和球的表面积。
A
设球的半径为 r，则 VA- BCD =
VO-ABC + VO- ABD + VO-ACD + VO-BCD
O•
DVABC D1 3
3
2
2
∴BD⊥AC，DM＝AM
＝
2 2·
2＝1，SM
＝ SA2－AM2＝ 2－1＝1，
在 Rt△AOM 中 AO2＝OM2＋AM2，即
R2＝1＋(R－1)2，解得 R＝1，
∴球的体积为43πR3＝43π. 【答案】
4 3π
球的内切与外接问题讲课
[教师选讲]已知正四棱锥的底面边长为 a，侧棱长为 2a. (1)求它的外接球半径； (2)求它的内切球半径．
变题：
1. 已知长方体的长、宽、高分别是 3 、 5 、1 ，求长方体的
外接球的体积。
2. 已知球O的表面上有P、A、B、C四点，且PA、PB、PC两两 互相垂直，若PA=PB=PC=a，求这个球的表面积和体积。
A
C P
球的内切与外接问题讲课
O B
四面体与球的“接切”问题
典型：正四面体ABCD的棱长为a，求 其内切球半径r与外接球半径R.
球的内切与外接问题讲课
• 【思路点拨】 根据球截面性质找出 球半径与截面圆半径和球心到截面距 离的关系，求出球半径．
球的内切与外接问题讲课
【解析】 如图所示，AB＝BC＝CD＝
DA＝SA＝SB＝SC＝SD＝ 2， O 为球心，球的半径为 R，
SO⊥平面 ABCD 于 M 点， ∵四边形 ABCD 为正方形，
思考：若正四面体变成正三棱锥，方法 是否有变化？
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球 球心到多面体各顶点的距离均相等 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不 重合 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理 5、体积分割是求内切球半径的通用做法
球
球的内切与外接问题讲课
一、复习 球体的体积与表面积
①
V球
4
3
R3
二、球与多面体的接、切
② S球面4R2
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个多面体的外接球。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个多面体的内切球。
球的内切与外接问题讲课
【解析】 如图．(1)设外接球的半径为 R，球心为 O，则 OA＝OC＝OS，所以 O 为△SAC 的外心，即△SAC 的外接圆的 半径就是球的半径．
∵AB＝BC＝a，∴AC＝ 2a. ∵SA＝SC＝AC＝ 2a， ∴△SAC 为正三角形．
∴R＝23SO＝23× 23× 2ª
＝
6 3 a.
因此 R＝ 36a.
球的内切与外接问题讲课
(2)设内切球的半径为 r，作 SE⊥底面于 E，作
SF⊥BC 于 F，
则有 SF＝ SB2－BF2＝
(
2a)2－a22 ＝
7 2
aS，△SBC＝12BC·SF＝12a·27a＝ 47a2，
S 棱锥全＝4S△SBC＋S 底＝( 7＋1)a2.
3 26 4
32
9 66 3
2 球的内切与外接问题讲课
例 、正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 6 内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全
面积和球的表面积。
A
作 OF ⊥ AE 于 F
设内切球半径为 r，则 OA = 1 －r
1
3 ∵ Rt △ AFO ∽ Rt △ AO1E
O• F
r 1r
B
O1
E
又 SE＝ SF2－EF2＝
27a2－a22＝
26a，
球的内切与外接问题讲课
∴V 棱锥＝13Sh＝13a2·26a＝ 66a3.
根据13r·S 全＝V 棱锥，有
r＝3VS全棱锥＝(3×7＋661a)a33＝
42－ 12
6 a.
球的内切与外接问题讲课
例 、正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 6 内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全
面积和球的表面积。
A
过侧棱AB与球心O作截面( 如图 )
在正三棱锥中，BE 是正△BCD的高
1 O1 是正△BCD的中心，且AE 为斜高
O • BC 26O1E 2且AE 3
B
O1
E
1
3
2
S全 3226
6 1
4
2
3
B
1
3 r S全 32 23r
1 C r 62 S 球 85 26
V多面体 3S全r内切球球的内切与外接问题讲课
变题球的表面积与体积
正四棱锥 S—ABCD 的底面边长和各侧棱 长都为 2，点 S、A、B、C、D 都在同一 个球面上，则该球的体积为________．
球的内切与外接问题讲课
解决“接切”问题的关键是画出正确的截面， 把空间“接切”转化为平面“接切”问题
球的内切与外接问题讲课
正方体的内切球
球的内切与外接问题讲课
正方体的内切 球的半径是棱 长的一半
球的内切与外接问题讲课
正方体的外接球
球的内切与外接问题讲课
D A
D A11
C B
O C1
B1
正方体的外接 球半径是体对 角线的一半
球的内切与外接问题讲课
正方体的棱切球
球的内切与外接问题讲课
球的内切与外接问题讲课
球的内切与外接问题讲课
正方体的棱 切球半径是 面对角线长 的一半
球的内切与外接问题讲课
球与正方体的“接切”问题
典型：有三个球,一球切于正方体的各面,一球切 于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求 这三个球的体积之比.
2
r 62 3
2 S 球 85 26 球的内切与外接问题讲课
Байду номын сангаас
例 、正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 6 内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全
面积和球的表面积。
A
在 Rt △ AO1E 中
13
O •θ
sin 3 cos 6
3
3
tan1cos 2 sin
3
2
B
O1 E 在 Rt △ OO1E 中 OO 1 62
作业
[教师选讲]已知正四棱锥的底面边长为 a，侧棱长为 2a. (1)求它的外接球半径； (2)求它的内切球半径．
球的内切与外接问题讲课
球的内切与外接问题讲课
球的表面积与体积 正四棱锥 S—ABCD 的底面边长和各侧棱 长都为 2，点 S、A、B、C、D 都在同一 个球面上，则该球的体积为________．
2 S 球 85 26 球的内切与外接问题讲课
例 、正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 6 内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全
面积和球的表面积。
A
设球的半径为 r，则 VA- BCD =
VO-ABC + VO- ABD + VO-ACD + VO-BCD
O•
DVABC D1 3
3
2
2
∴BD⊥AC，DM＝AM
＝
2 2·
2＝1，SM
＝ SA2－AM2＝ 2－1＝1，
在 Rt△AOM 中 AO2＝OM2＋AM2，即
R2＝1＋(R－1)2，解得 R＝1，
∴球的体积为43πR3＝43π. 【答案】
4 3π
球的内切与外接问题讲课
[教师选讲]已知正四棱锥的底面边长为 a，侧棱长为 2a. (1)求它的外接球半径； (2)求它的内切球半径．