2018年合肥一模数学试卷(文)(含答案)

共有 21 种不同的情况，其中获得额外礼品的 2 人都在[20，30）的情况有 3 种，……10 分所以，获得额外礼品的 2 人年龄
都在[20，30)内的概率为
. ……12 分
19.（Ⅰ）证明：设 AC 与 BD 交于点 N，则 N 为 AC 的中点， MN EC/ / .
MN 平面 EFC, EC 平面 EFC ,
记选出年龄在[20，30）的 3 人为 A, , B C，其他 4 人为 a b c d，，， ，7 个人中选取 2
……7 分
人赠送额外礼品，有以下情况：
AB AC Aa Ab Ac Ad， ， ， ， ， ， BC Ba Bb Bc Bd， ， ， ， ， Ca Cb Cc Cd， ， ， ， ab ac ad， ， ， bc bd， ， cd.
MN / /平面 EFC .
……3 分
BF 平面 ABCD，DE 平面 ABCD,且 BF DE ， BF/ /DE ，
BDEF 为平行四边形， BD EF/ / . BD 平面 EFC
BD / /平面 EFC. 又 MN BD N 平面 BDM Ⅰ平面 EFC.
， ……6 分
EF, E
F
平面 EFC，
调递减，即当 x 1 时，g x( ) 取得最大值，
2) 2 Biblioteka Baidux x 0，
1) 2 (x x 1) ……10 分 g x( )在(0， 1)上单调递增，在(1,
)上单
故 g x( ) g
x1
1 0，即 f x( )
成立，得证.
……12 分
……11 分
22.（Ⅰ）由 因为 2
2
2cos ＝0 得：
②当
0 ，即 a 2 或 a 0 时，由 x2 2(1 a x)
10得x a
1 a2 2a . 若 a 0 ，则 f
( )x 0 恒成立，此时 f ( )x 在(0, )上单调递增；若 a 2 ，则 a 1
a2 2a a
1 a2 2a
0 ，此时 f ( )x 0 0 x a
1 a2 2a 或 x a
合肥市 2018 年高三第一次教学质量检测
数学试题（文科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
B
C
A
C
D
A
C
D
C
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. 1 14.
15.
6
323
2
16. 27
10 11 12
y kx 1
2
同理，直线 l2 : y
kx
，由
1
2 消去 y 得 x
4kx
4
0，
x
4y
由 16 k2 1
0 得 k2 1，| CD |
1
k2 1 ，
又 直线 l l1, 2 间的距离 d
2 2
，
k
1
1 k 216 k 2 1
4 k2
12
则四边形 ABDC 的面积 S
d AB CD
4
k2 1 k2 1 . ……10 分解方程 4
1 a2 2a ;
f ( )x 0 a 的单调递增区间为(0,
1 a2 2a x a
1 a2 2a . 综上，当 a 2 时，函数 f ( )x
)，无单调递减区间，当 a 2 时， f ( )x 的单调递增区间为(0，a 1
，
a2 2 )a
a 1 a2 2a，
，
单调递减区间为(a
1a2 2a，a
1a2 2 )a .
抛物线 E 的准线为 y
p ， 4 p 5,
2
2
解得 p 2 ， 抛物线的方程为 x2 4y
（Ⅰ）由已知得，直线 l1 : y kx 1.
y kx 1
2
由 2 消去 y 得 x 4kx 4 0， x 4y
……3 分 ……5 分
这时， 16 k2 1
0 恒成立，| AB | 1 k2 16 k2 1
4 k2 1 . ……7 分
k2 1
4
3 1 得，k2 有唯一实数解 2（满足大于 1），
满足条件的 k 的值为 2 .
……12 分 x2 2(1 a x) 1
21.（Ⅰ） f ( )x 的定义域为(0, )， f ( )x
2
.
……1 分
x x( 1)
k2 1
考虑 y x2 2(1 a x) 1，x 0. ①当 0，即 0
a 2 时， f ( )x 0 恒成立， f ( )x 在(0, )上单调递增； ……3 分
2 84
0, 得 B C
18．（Ⅰ）由表可知，该商场使用移动支付的顾客的比例为
，
若当天该商场有 12000 人购物，则估计该商场要准备环保购物袋 12000
7000 个；
……5 分
（Ⅰ）按年龄分层抽样时，抽样比例为
15:1，所以应从[20，30）
内抽取 3 人，从[30，40）内抽取 2 人，从[40，50）内抽取 1 人，从[50，60）内抽取 1 人.
0，由 B C, ……6 分
（Ⅰ）由（Ⅰ）知 b c ，cos A 又因为 ABC 的周长为 a b c
故 ABC 的面积 S bcsin A
b2 c2 a2 2b2 a2 7
2
b
2bc
2b 8
5a 5，得 a 1，b 2 .
1 22 1
17
2a.
……10 分
2
15 ． ……12 分
2 （也可通过求出等腰三角形底边上的高计算面积）
A
CD
三.解答题： 17．（Ⅰ）根据正弦定理，由 bcosC
acos2 B bcos AcosB 可得
sin BcosC sin Acos2 B sin Bcos AcosB cosB sin AcosB sin Bcos A
cosBsin A B 即 sin BcosC cos Bsin C ，故 sin B C , ，故 B C，所以 ABC 是等腰三角形；
x1
x1
（Ⅰ）当 a 1 时， f x( )
f x( )
0.
……6 分
令 g x( ) f x( )
2 2x 1 2 x 1
ln x
,
……7 分
2
x1 2
1 2 1 2 x x3 (x 1)(x2 x
g x ()
2
2 2 . x (x 1) 2
当 x 1 时， g x ( ) 0；当 0 x 1 时， g x ( )
（Ⅰ）连接 EN，FN .在正方形 ABCD 中，AC BD , 又 M
BF 平面 ABCD， BF AC .
BF BD B ，
D
AC 平面 BDEF，且垂足为 N， ……9 分 C
N
VA CEF
AC S 3
1 NEF 3
11 2 22
2 2 3，
AB
三棱锥 A CEF 的体积为 . ……12 分注：第（Ⅱ）题用补体法求解，应相应给分. 20.（Ⅰ）由抛物线定义知，点 P 到抛物线 E 的准线的距离为 5.