全国高考试题分类解析 直线与圆 含答案
高考数学复习专题训练—直线与圆(含答案及解析)
高考数学复习专题训练—直线与圆一、单项选择题1.(2021·全国甲,文5)点(3,0)到双曲线x 216−y29=1的一条渐近线的距离为()A.95B.85C.65D.452.(2021·湖南湘潭模拟)已知半径为r(r>0)的圆被直线y=-2x和y=-2x+5所截得的弦长均为2,则r的值为()A.54B.√2C.32D.√33.(2021·北京清华附中月考)已知点P与点(3,4)的距离不大于1,则点P到直线3x+4y+5=0的距离的最小值为()A.4B.5C.6D.74.(2021·江西鹰潭一中月考)已知点M,N分别在圆C1:(x-1)2+(y-2)2=9与圆C2:(x-2)2+(y-8)2=64上,则|MN|的最大值为()A.√7+11B.17C.√37+11D.155.(2021·湖北黄冈中学三模)已知直线l:mx+y+√3m-1=0与圆x2+y2=4交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=2,则|CD|=()A.2B.4√33C.2√3D.46.(2021·重庆八中月考)已知圆C:x2+y2-4x-2y+1=0及直线l:y=kx-k+2(k∈R),设直线l与圆C相交所得的最长弦为MN,最短弦为PQ,则四边形PMQN的面积为()A.4√2B.2√2C.8D.8√27.(2021·山西临汾适应性训练)直线x+y+4=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-4)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是()A.[8,12]B.[8√2,12√2]C.[12,20]D.[12√2,20√2]8.(2021·山东青岛三模)已知直线l:3x+my+3=0,曲线C:x2+y2+4x+2my+5=0,则下列说法正确的是()A.“m>1”是曲线C表示圆的充要条件B.当m=3√3时,直线l与曲线C表示的圆相交所得的弦长为1C.“m=-3”是直线l与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件D.当m=-2时,曲线C与圆x2+y2=1有两个公共点9.(2021·河北邢台模拟)已知圆M:(x-2)2+(y-1)2=1,圆N:(x+2)2+(y+1)2=1,则下列不是M,N 两圆公切线的直线方程为()A.y=0B.4x-3y=0C.x-2y+√5=0D.x+2y-√5=0二、多项选择题10.(2021·广东潮州二模)已知圆C:x2-2ax+y2+a2-1=0与圆D:x2+y2=4有且仅有两条公共切线,则实数a的取值可以是()A.-3B.3C.2D.-211.(2021·海南三亚模拟)已知圆O1:x2+y2-2x-3=0和圆O2:x2+y2-2y-1=0的交点为A,B,则()A.圆O1和圆O2有两条公切线B.直线AB的方程为x-y+1=0C.圆O2上存在两点P和Q,使得|PQ|>|AB|D.圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+√2三、填空题12.(2021·辽宁营口期末)若直线l1:y=kx+4与直线l2关于点M(1,2)对称,则当l2经过点N(0,-1)时,点M到直线l2的距离为.13.(2021·山东滨州检测)已知圆M:x2+y2-12x-14y+60=0,圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,则圆N的标准方程为.14.(2021·山东烟台二模)已知两条直线l1:y=2x+m,l2:y=2x+n与圆C:(x-1)2+(y-1)2=4交于A,B,C,D四点,且构成正方形ABCD,则|m-n|的值为.15.(2021·河北沧州模拟)已知圆C:x2+y2-4x+2my+1=0(m>0),直线l:y=kx+m与直线x+√3y+1=0垂直,则k=,直线l与圆C的位置关系为.答案及解析1.A 解析 由题意,双曲线的一条渐近线方程为y=34x ,即3x-4y=0,点(3,0)到该渐近线的距离为√32+(−4)2=95.故选A . 2.C 解析 直线y=-2x 和y=-2x+5截圆所得弦长相等,且两直线平行,则圆心到两条直线的距离相等且为两条平行直线间距离的一半,故圆心到直线y=-2x 的距离d=12×√4+1=√52,2√r2-d 2=2√r 2-54=2,解得r=32.3.B 解析 设点P (x ,y ),则(x-3)2+(y-4)2≤1,圆心(3,4)到3x+4y+5=0的距离为d=√32+42=6,则点P 到直线3x+4y+5=0的距离的最小值为6-1=5. 4.C 解析 依题意,圆C 1:(x-1)2+(y-2)2=9,圆心C 1(1,2),半径r 1=3.圆C 2:(x-2)2+(y-8)2=64,圆心C 2(2,8),半径r 2=8, 故|MN|max =|C 1C 2|+r 1+r 2=√37+11.5.B 解析 直线过定点(-√3,1),该点在圆上.圆半径为r=2,且|AB|=2,所以△OAB 是等边三角形,圆心O 到直线AB 的距离为√3,所以√3m-1|√1+m 2=√3,m=-√33,直线斜率为k=-m=√33,倾斜角为θ=π6, 所以|CD|=|AB|cosθ=2cosπ6=4√33. 6.A 解析 将圆C 的方程整理为(x-2)2+(y-1)2=4,则圆心C (2,1),半径r=2.将直线l 的方程整理为y=k (x-1)+2,则直线l 恒过定点(1,2),且(1,2)在圆C 内. 最长弦MN 为过(1,2)的圆的直径,则|MN|=4,最短弦PQ 为过(1,2),且与最长弦MN 垂直的弦,∵k MN =2−11−2=-1,∴k PQ =1.直线PQ 方程为y-2=x-1,即x-y+1=0. 圆心C 到直线PQ 的距离为d=√2=√2,|PQ|=2√r 2-d 2=2√4−2=2√2.四边形PMQN 的面积S=12|MN|·|PQ|=12×4×2√2=4√2.7.C 解析 直线x+y+4=0分别与x 轴、y 轴交于A ,B 两点,A (-4,0),B (0,-4),故|AB|=4√2.设圆心(4,0)到直线x+y+4=0的距离为d ,则d=√1+1=4√2.设点P 到直线x+y+4=0的距离为h ,故h max =d+r=4√2+√2=5√2,h min =d-r=4√2−√2=3√2,故h 的取值范围为[3√2,5√2],即△ABP 的高的取值范围是[3√2,5√2],又△ABP 的面积为12·|AB|·h ,所以△ABP 面积的取值范围为[12,20].8.C 解析 对于A,曲线C :x 2+y 2+4x+2my+5=0整理为(x+2)2+(y+m )2=m 2-1,曲线C 要表示圆,则m 2-1>0,解得m<-1或m>1,所以“m>1”是曲线C 表示圆的充分不必要条件,故A 错误;对于B,m=3√3时,直线l :x+√3y+1=0,曲线C :(x+2)2+(y+3√3)2=26, 圆心到直线l 的距离d=√3×(−3√3)+1|√1+3=5,所以弦长=2√r 2-d 2=2√26−25=2,故B错误;对于C,若直线l 与圆相切,圆心到直线l 的距离d=2√9+m 2=√m 2-1,解得m=±3,所以“m=-3”是直线l 与曲线C 表示的圆相切的充分不必要条件,C 正确;对于D,当m=-2时,曲线C :(x+2)2+(y-2)2=3,其圆心坐标为(-2,2),r=√3,曲线C 与圆x 2+y 2=1两圆圆心距离为√(-2-0)2+(2−0)2=2√2>√3+1,故两圆相离,不会有两个公共点,D 错误.9.D 解析 由题意,圆M :(x-2)2+(y-1)2=1的圆心坐标为M (2,1),半径为r 1=1,圆N :(x+2)2+(y+1)2=1的圆心坐标为N (-2,-1),半径为r 2=1.如图所示,两圆相离,有四条公切线.两圆心坐标关于原点O 对称,则有两条切线过原点O , 设切线l :y=kx ,则圆心M 到直线l 的距离为√1+k 2=1,解得k=0或k=43.故此时切线方程为y=0或4x-3y=0.另两条切线与直线MN 平行且相距为1,又由l MN :y=12x , 设切线l':y=12x+b ,则√1+14=1,解得b=±√52, 此时切线方程为x-2y+√5=0或x-2y-√5=0. 结合选项,可得D 不正确.10.CD 解析 圆C 方程可化为(x-a )2+y 2=1,则圆心C (a ,0),半径r 1=1;由圆D 方程知圆心D (0,0),半径r 2=2.因为圆C 与圆D 有且仅有两条公切线,所以两圆相交.又两圆圆心距d=|a|,有2-1<|a|<2+1,即1<|a|<3,解得-3<a<-1或1<a<3.观察4个选项,可知C,D两项中的a的取值满足题意.11.ABD解析对于A,因为两个圆相交,所以有两条公切线,故A正确;对于B,将两圆方程作差可得-2x+2y-2=0,即得公共弦AB的方程为x-y+1=0,故B正确;对于C,直线AB经过圆O2的圆心(0,1),所以线段AB是圆O2的直径,故圆O2中不存在比AB长的弦,故C错误;对于D,圆O1的圆心坐标为(1,0),半径为2,圆心到直线AB:x-y+1=0的距离为√2=√2,所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+√2,D正确.12.√5解析因为直线l1:y=kx+4恒过定点P(0,4),所以P(0,4)关于点M(1,2)对称,所以P(0,4)关于点M(1,2)的对称点为(2,0),此时(2,0)和N(0,-1)都在直线l2上,可得直线l2的方程y-0-1-0=x-20−2,即x-2y-2=0,所以点M到直线l2的距离为d=√1+4=√5.13.(x-6)2+(y-1)2=1解析圆的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,于是圆N的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=1.因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.14.2√10解析由题设知:l1∥l2,要使A,B,C,D四点构成正方形ABCD,正方形的边长等于.直线l1,l2之间的距离d,则d=√5若圆的半径为r,由正方形的性质知d=√2r=2√2,故=2√2,即有|m-n|=2√10.√515.√3相离解析x2+y2-4x+2my+1=0,即(x-2)2+(y+m)2=m2+3,圆心C(2,-m),半径r=√m2+3,)=-1,解得k=√3.因为直线l:y=kx+m与直线x+√3y+1=0垂直,所以k·√3=√3+m.直线l:y=√3x+m.因为m>0,所以圆心到直线l的距离d=√3+m+m|√3+1因为d2=m2+2√3m+3>m2+3=r2,所以d>r.所以直线l与圆C的位置关系是相离.。
高考数学历年(2018-2022)真题按知识点分类平面解析几何(直线与方程)练习(附答案)
高考数学历年（2018-2022）真题按知识点分类平面解析几何（直线与方程）练习一、单选题1．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（ ）A B C ．12D ．132．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD ''''是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DD CC BB AAk k k OD DC CB BA ====．已知123,,k k k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（ ）A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.93．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+的距离为p =（ ）A ．1B ．2C ．D ．44．（2020ꞏ全国ꞏ统考高考真题）点(0，﹣1)到直线()1y k x =+距离的最大值为（ ）A．1BC D ．25．（2020ꞏ浙江ꞏ统考高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|P A |–|PB |=2，且P 为函数y =图像上的点，则|OP |=（ ）A ．2B ．5C D6．（2020ꞏ山东ꞏ统考高考真题）直线2360x y +-=关于点()1,2-对称的直线方程是（ ） A ．32100x y --= B ．32230x y --= C ．2340x y +-=D ．2320x y +-=7．（2020ꞏ山东ꞏ统考高考真题）已知直线sin cos :y x l θθ=+的图像如图所示，则角θ是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角8．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）已知双曲线22221(00)x y C a b a b -=>>：，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为A B ．2 C ．2D ．9．（2018ꞏ北京ꞏ高考真题）在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．410．（2019ꞏ北京ꞏ高考真题）已知直线l 的参数方程为13,24x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），则点（1,0）到直线l 的距离是A ．15B ．25C ．45D ．65二、多选题11．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（ ）A ．直线AB 的斜率为B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒三、填空题12．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）设点(2,3),(0,)A B a -，若直线AB 关于y a =对称的直线与圆22(3)(2)1x y +++=有公共点，则a 的取值范围是________．13．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）设点M 在直线210x y +-=上，点(3,0)和(0,1)均在M 上，则M 的方程为______________．14．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________．15．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知函数12()1,0,0xf x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是_______． 16．（2019ꞏ江苏ꞏ高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____.四、解答题17．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.18．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN ∠=∠．19．（2019ꞏ江苏ꞏ高考真题）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求:线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小．．于圆．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位:百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．五、双空题20．（2020ꞏ北京ꞏ统考高考真题）已知双曲线22:163x yC-=，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线的距离是_________．参考答案1．A【要点分析】设()11,P x y ，则()11,Q x y -，根据斜率公式结合题意可得2122114y x a =-+，再根据2211221x y a b +=，将1y 用1x 表示，整理，再结合离心率公式即可得解. 【答案详解】[方法一]：设而不求 设()11,P x y ，则()11,Q x y - 则由14AP AQk k ⋅=得：21112211114AP AQ y y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+， 由2211221x y a b +=，得()2221212b a x y a-=， 所以()2221222114b a x ax a -=-+，即2214b a =， 所以椭圆C的离心率c e a === A.[方法二]：第三定义设右端点为B ，连接PB ，由椭圆的对称性知：PB AQ k k =-故14AP AQ PA AQ k k k k ⋅=⋅-=-，由椭圆第三定义得：22PA AQb k k a⋅=-，故2214b a = 所以椭圆C的离心率c e a === A.2．D【要点分析】设11111OD DC CB BA ====，则可得关于3k 的方程，求出其解后可得正确的选项.【答案详解】设11111OD DC CB BA ====，则111213,,CC k BB k AA k ===， 依题意，有31320.2,0.1k k k k -=-=，且111111110.725DD CC BB AA OD DC CB BA +++=+++，所以30.530.30.7254k +-=，故30.9k =，故选：D 3．B【要点分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值. 【答案详解】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，其到直线10x y -+=的距离：d == 解得：2p =(6p =-舍去). 故选：B. 4．B【要点分析】首先根据直线方程判断出直线过定点(1,0)P -，设(0,1)A -，当直线(1)y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x =+距离最大，即可求得结果. 【答案详解】由(1)y k x =+可知直线过定点(1,0)P -，设(0,1)A -， 当直线(1)y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x =+距离最大，即为||AP =故选：B.【名师点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解题的关键，属于基础题. 5．D【要点分析】根据题意可知，点P既在双曲线的一支上，又在函数y =的图象上，即可求出点P 的坐标，得到OP 的值．【答案详解】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a =-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P还在函数y =的图象上，所以，由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP ==故选：D.【名师点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题． 6．D【要点分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为()x y ，,则其关于点()1,2-对称的点的坐标为(2,4)x y ---，代入已知直线即可求得结果.【答案详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为()x y ，， 则其关于点()1,2-对称的点的坐标为(2,4)x y ---， 因为点(2,4)x y ---在直线2360x y +-=上， 所以()()223460x y --+--=即2320x y +-=. 故选：D.7．D【要点分析】本题可根据直线的斜率和截距得出sin 0θ<、cos 0θ>，即可得出结果. 【答案详解】结合图像易知，sin 0θ<，cos 0θ>， 则角θ是第四象限角， 故选：D.8．D【答案详解】要点分析：由离心率计算出ba，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可．答案详解：e c a === 1ba∴= 所以双曲线的渐近线方程为x y 0±=所以点（4，0）到渐近线的距离d== 故选D名师点睛：本题考查双曲线的离心率，渐近线和点到直线距离公式，属于中档题．9．C【要点分析】P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，则根据几何意义得d 的最大值为1OA +.【答案详解】22cos sin 1θθ+=∴Q ，P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ， 所以d 的最大值为1213OA +=+=，选C.【名师点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．10．D【要点分析】首先将参数方程化为直角坐标方程，然后利用点到直线距离公式求解距离即可. 【答案详解】直线l 的普通方程为()()41320x y ---=,即4320x y -+=,点()1,0到直线l 的距离65d ==,故选D. 【名师点睛】本题考查直线参数方程与普通方程的转化,点到直线的距离,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.11．ACD【要点分析】由AF AM =及抛物线方程求得3(42p A ，再由斜率公式即可判断A 选项；表示出直线AB的方程，联立抛物线求得(,33p B -，即可求出OB 判断B 选项；由抛物线的定义求出2512pAB =即可判断C 选项；由0OA OB ⋅< ，0MA MB ⋅< 求得AOB ∠，AMB∠为钝角即可判断D 选项.【答案详解】对于A ，易得(,0)2pF ，由AF AM =可得点A 在FM 的垂直平分线上，则A 点横坐标为3224p pp +=， 代入抛物线可得2233242p y p p =⋅=，则3()42p A ，则直线AB的斜率为2342p p =-，A 正确；对于B，由斜率为可得直线AB的方程为2px y =+，联立抛物线方程得220y py p -=，设11(,)B x y1p y p +=，则1y =2123p x ⎛⎫-=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭，解得13p x =，则(,)33p B ，则2p OB OF =≠=，B 错误； 对于C ，由抛物线定义知：325244312p p pAB p p OF =++=>=，C 正确； 对于D，2333(,(,0423343234p p p p p OA OB ⎛⎫⋅=⋅-=⋅+⋅-=-< ⎪ ⎪⎝⎭，则AOB ∠为钝角，又2225()(,)0423343236p p p p p MA MB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅--=-⋅-+⋅=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则AMB ∠为钝角，又360AOB AMB OAM OBM ∠+∠+∠+∠= ，则180OAM OBM ∠+∠< ，D 正确. 故选：ACD.12．13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【要点分析】首先求出点A 关于y a =对称点A '的坐标，即可得到直线l 的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；【答案详解】解：()2,3A -关于y a =对称的点的坐标为()2,23A a '--，()0,B a 在直线y a =上，所以A B '所在直线即为直线l ，所以直线l 为32a y x a -=+-，即()3220a x y a -+-=； 圆()()22:321C x y +++=，圆心()3,2C --，半径1r =， 依题意圆心到直线l 的距离1d =≤，即()()2225532a a -≤-+，解得1332a ≤≤，即13,32a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；故答案为：13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦13．22(1)(1)5x y -++=【要点分析】设出点M 的坐标，利用(3,0)和(0,1)均在M 上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.【答案详解】[方法一]：三点共圆∵点M 在直线210x y +-=上，∴设点M 为(,12)-a a ，又因为点(3,0)和(0,1)均在M 上，∴点M到两点的距离相等且为半径R ， ∴==R ，222694415-++-+=a a a a a ，解得1a =，∴(1,1)M -，R=M 的方程为22(1)(1)5x y -++=. 故答案为：22(1)(1)5x y -++= [方法二]：圆的几何性质由题可知，M 是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线210xy +-=的交点(1,-1).R =M 的方程为22(1)(1)5x y -++=. 故答案为：22(1)(1)5x y -++= 14【要点分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【答案详解】由已知，3c ==，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线280x y +-===.15．()0,1【要点分析】结合导数的几何意义可得120x x +=，结合直线方程及两点间距离公式可得1A x M =，2B x N =，化简即可得解.【答案详解】由题意，()1011,0,xx x e x f x e e x <=⎧---≥⎪=⎨⎪⎩，则()0,,0xx x f x e e x ⎧-⎪=<>⎨'⎪⎩，所以点()11,1x A x e -和点()22,1x B x e -，12,x xAM BN k e k e =-=,所以12121,0x xe e x x -⋅=-+=，所以()()111111,0:,11x x x xe e x x e AM e y M x -+=---+，所以1x AM ==，同理2B x N =,所以()10,1x e N AM B ===∈=. 故答案为：()0,1【名师点睛】关键点名师点睛：解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件120x x +=，消去一个变量后，运算即可得解. 16．4.【要点分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离【答案详解】当直线0x y +=平移到与曲线4y x x=+相切位置时，切点Q 即为点P 到直线0x y +=的距离最小.由2411y x '=-=-，得)x =，y =即切点Q ，则切点Q 到直线0x y +=4=，故答案为4．【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.17．（1）AM的方程为2y x =-2y x =（2）证明见解析. 【要点分析】（1）根据l 与x 轴垂直，且过点()1,0F ，求得直线l 的方程为=1x ，代入椭圆方程求得点A的坐标为2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或1,2⎛-⎝⎭，利用两点式求得直线AM 的方程； （2）方法一：分直线l 与x 轴重合、l 与x 轴垂直、l 与x 轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果.【答案详解】（1）由已知得()1,0F ，l 的方程为=1x .由已知可得，点A的坐标为1,2⎛ ⎝⎭或1,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 所以AM的方程为2y x =+2y x =. （2）［方法一］：【通性通法】分类＋常规联立 当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=o .当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为()()10y k x k =-≠，()()1122,,,A x y B x y ，则12x x <<MA 、MB 的斜率之和为121222MA MB y yk k x x +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得()()()12121223422MA MB kx x k x x kk k x x -+++=--.将()1y k x =-代入2212x y +=得()2222214220k x k x k +-+-=.所以，22121222422,2121k k x x x x k k -+==++. 则()33312122441284234021k k k k kkx x k x x k k --++-++==+.从而0MA MB k k +=，故MA 、MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠. 综上，OMA OMB ∠=∠.［方法二］：角平分线定义的应用当直线l 与x 轴重合或垂直时，显然有OMA OMB ∠=∠．当直线l 与x 轴不垂直也不重合时，设直线l 的方程为1x my =+，交椭圆于()11,A x y ，()22,B x y ． 由22+=12=+1x y x my ⎧⎪⎨⎪⎩得()222210m y my ++-=． 由韦达定理得12122221,22m y y y y m m --+==++． 点A 关于x 轴的对称点()11,N x y -，则直线BN 的方程为()()()()121121y y x x y y x x +-=+-．令=0y ，()()221211212122111212122122222222mm y x x my y y y x y x y m m x x m y y y y y y m -⋅--+++++=+====-++++，则直线BN 过点M ，OMA OMB ∠=∠． ［方法三］：直线参数方程的应用设直线l 的参数方程为=1+cos =sin x t y t αα⎧⎨⎩（t 为参数）．（*）将（*）式代入椭圆方程2212x y +=中，整理得()221sin 2cos 10t t αα++-=．则12211sin t t α-⋅=+，1222cos 1sin t t αα+=-+． 又()()11221cos ,sin ,1cos ,sin A t t B t t αααα++，则MA MB k k +=1212sin sin 1cos 21cos 2t t t t αααα+=+-+-1212sin sin cos 1cos 1t t t t αααα+=--()(()()122112sin cos 1+sin cos=cos 1cos 1t t t t t t αα-αα-α-()()()1212122sin cos sin cos 1cos 1t t t t t t ααααα-+=--()()22122sin cos 2sin cos 1sin 1sin 0cos 1cos 1t t αααααααα-+++=--， 即MA MB k k =-．所以OMA OMB ∠=∠． ［方法四］：【最优解】椭圆第二定义的应用 当直线l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒．当直线l 与x 轴不重合时，如图6，过点A ，B 分别作准线=2x 的垂线，垂足分别为C ，D ，则有AC BD x ∥∥轴．由椭圆的第二定义，有e AF AC=，||e ||BF BD =，得||||||||AF BF AC BD =，即||||||||AF AC BF BD =．由AC BD x ∥∥轴，有||||||||AF BF CM DM =，即||||||||AF CM BF DM =，于是||||||||AC CM BD DM =，且90ACM BDM ∠=∠=︒．可得AMC BMD ∠=∠，即有∠=∠AMO BMO ．［方法五］：角平分线定理逆定理＋极坐标方程的应用椭圆22:12x C y +=以右焦点为极点，x轴正方向为极轴，得ρ=设()()12,,,A B ρθρθπ+．22221122||12cos ,||12cos AM BM ρρθρρθ=+-=++．所以1||||AM AF ==2||||BM BF ==由角平分线定理的逆定理可知，命题得证． ［方法六］：角平分线定理的逆定理的应用设点O （也可选点F ）到直线,MA MB 的距离分别为12,d d ，根据角平分线定理的逆定理，要证OMA OMB ∠=∠，只需证12d d =． 当直线l 的斜率为0时，易得120d d ==．当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：()()11221,,,,x my A x y B x y =+．由方程组22+=1,2=+1,x y x my ⎧⎪⎨⎪⎩得()222210,Δ0m y my ++-=>恒成立，12222m y y m +=-+．12212y y m =-+． 直线MA 的方程为：()1111220,y x x y y d ---==因为点A 在直线l 上，所以111x my =+，故1d =同理，2d =()()()()12121222122222112242121121y y y y my y d d m y my m y my -+-⎡⎤⎣⎦-=⎡⎤⎡⎤+-++-+⎣⎦⎣⎦．因为()121222222022m m y y my y m m +-=-+=++，所以22120d d -=，即12d d =． 综上，OMA OMB ∠=∠．［方法七］：【通性通法】分类＋常规联立当直线l 与x 轴重合或垂直时，显然有OMA OMB ∠=∠．当直线l 与x 轴不垂直也不重合时，设直线l 的方程为1x my =+，交椭圆于()11,A x y ，()22,B x y ．由22+=12=+1x y x my ⎧⎪⎨⎪⎩得()222210m y my ++-=． 由韦达定理得12122221,22m y y y y m m --+==++． 所以()()()1212121212121220221111MA MB my y y y y y y y k k x x my my my my -++=+=+==------， 故MA 、MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠. ［方法八］：定比点差法设()0,1AF FB λλ=≠± ，()()1122,,,A x y B x y ，所以1212+1=1++0=1+x x y y λλλλ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，由22112222222+=12+=2x y x y λλλ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩作差可得，()12121212112111x x x x y y y y λλλλλλλλ+-+-⨯+⨯=+-+-，所以， ()1221x x λλ-=-，又121x x λλ+=+，所以，()121113,322x x λλ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故()1222120111221122MA MB y y y y k k x x λλλ-+=+=+=--⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭，MA 、MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠.当1λ=时，l 与x 轴垂直，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠. 故OMA OMB ∠=∠．【整体点评】（2）方法一：通过分类以及常规联立，把角相等转化为斜率和为零，再通过韦达定理即可实现，是解决该类问题的通性通法；方法二：根据角平分线的定义可知，利用点A 关于x 轴的对称点N 在直线BM 上，证直线AN 过点M 即可；方法三：利用直线的参数方程证明斜率互为相反数；方法四：根据点M 是椭圆的右准线=2x 与x 轴的交点，用椭圆的第二定义结合平面几何知识证明，运算量极小，是该题的最优解；方法五：利用椭圆的极坐标方程以及角平分线定理的逆定理的应用，也是不错的方法选择； 方法六：类比方法五，角平分线定理的逆定理的应用； 方法七：常规联立，同方法一，只是设直线的方程形式不一样； 方法八：定比点差法的应用．18．（1）112y x =+或112y x =--；（2）证明见解析.【要点分析】（1）根据题意可得直线l 的方程为=2x ，从而得出点M 的坐标为()2,2或()2,2-，利用两点式求得直线BM 的方程；（2）方法一：设直线l 的方程为2x ty =+，点()11,M x y 、()22,N x y ，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由斜率公式并结合韦达定理计算出直线BM 、BN 的斜率之和为零，从而得出所证结论成立.【答案详解】（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为=2x ，可得M 的坐标为()2,2或()2,2-． 所以直线BM 的方程为112y x =+或112y x =--；（2）［方法一］：【通性通法】韦达定理＋斜率公式 设l 的方程为2x ty =+，()11,M x y 、()22,N x y ，由2=+2=2x ty y x ⎧⎨⎩，得2240y ty --=，可知122y y t +=，124y y =-． 直线BM 、BN 的斜率之和为()()()()()()()()21122112121212122244222222BM BN x y x y ty y ty y y yk k x x x x x x +++++++=+==++++++()()()()()()1212121224244202222ty y y y t tx x x x ++⨯-+⨯===++++，所以0BM BN k k +=，可知BM 、BN 的倾斜角互补，所以ABM ABN ∠=∠. ［方法2］：【最优解】斜率公式＋三点共线的坐标表示因为M ，N 在抛物线上，可设()2112,2M t t ，()2222,2N t t ，故()21122,2AM t t =- ，()22222,2AN t t =- ．而A ，M ，N 共线，故AM AN ∥，即()()2221122222220t t t t -⋅--⋅=，化简得()()1221410t t t t +-=．而M ，N 是不同的点，故12t t ≠，可得1210t t +=．这样()()()()121212222212121220222211BM BN t t t t t t k k t t t t +++=+==++++．故ABM ABN ∠=∠． 【整体点评】（2）方法一：通过联立方程得出根与系数的关系，再直接使用斜率公式化简即可证出，是此题问题的通性通法；方法二：通过设点，根据三点共线的坐标表示寻找关系，再利用斜率公式化简证出，省略了联立过程，适当降低了运算量，是此类问题的最优解． 19．（1）15（百米）； （2）见解析；（3）17+. 【要点分析】解：解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .利用几何关系即可求得道路PB 的长； （2）分类讨论P 和Q 中能否有一个点选在D 处即可.（3）先讨论点P 的位置，然后再讨论点Q 的位置即可确定当d 最小时，P 、Q 两点间的距离． 解法二：（1）建立空间直角坐标系，分别确定点P 和点B 的坐标，然后利用两点之间距离公式可得道路PB 的长；（2）分类讨论P 和Q 中能否有一个点选在D 处即可.（3）先讨论点P 的位置，然后再讨论点Q 的位置即可确定当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【答案详解】解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====. 因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知10AD ==，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求； 当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，115PB =， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，CQ===此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ=d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+.解法二：（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，−3. 因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.从而A（4，3），B（−4，−3），直线AB的斜率为3 4 .因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为43 -，直线PB的方程为42533 y x=--.所以P（−13，9），15PB==.因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（−4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处，连结AD，由（1）知D（−4，9），又A（4，3），所以线段AD：36(44)4y x x=-+-剟.在线段AD上取点M（3，154），因为5OM=<=，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求； 当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，115PB =，此时()113,9P -；当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.【名师点睛】本题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识要点分析和解决实际问题的能力.20． ()3,0【要点分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【答案详解】在双曲线C 中，a =b =3c ==，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，即0x =，所以，双曲线C.故答案为：()3,0【名师点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能力，属于基础题.。
高中数学 直线和圆的方程十年高考题(带详细解析) 知识点+例题
直线和圆的方程一、选择题1.（2003北京春文12，理10）已知直线ax +by +c =0（abc ≠0）与圆x 2+y 2=1相切，则三条边长分别为|a |，|b |，|c |的三角形（ ）A.是锐角三角形B.是直角三角形C.是钝角三角形D.不存在2.（2003北京春理，12）在直角坐标系xOy 中，已知△AOB 三边所在直线的方程分别为x =0，y =0，2x +3y =30，则△AOB 内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（ ）A.95B.91C.88D.75 3.（2002京皖春文，8）到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ） A.x －y =0 B.x +y =0 C.|x |－y =0 D.|x |－|y |=04.（2002京皖春理，8）圆2x 2＋2y 2＝1与直线x sin θ＋y －1＝0（θ∈R ,θ≠2π＋k π，k ∈Z ）的位置关系是（ ） A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定的5.（2002全国文）若直线（1+a ）x +y +1=0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值为（ ）A.1，－1B.2，－2C.1D.－16.（2002全国理）圆（x －1）2＋y 2＝1的圆心到直线y =33x 的距离是（ ） A.21 B.23 C.1D.37.（2002北京，2）在平面直角坐标系中，已知两点A （co s 80°,sin80°）,B （co s 20°，sin20°），则|AB |的值是（ ）A.21B.22C.23D.18.（2002北京文，6）若直线l ：y ＝kx 3-与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A.)3,6[ππB.)2,6(ππC.)2,3(ππD.]2,6[ππ9.（2002北京理，6）给定四条曲线：①x 2＋y 2＝25，②4922y x +＝1，③x 2＋42y ＝1，④42x ＋y 2＝1．其中与直线x +y －5=0仅有一个交点的曲线是（ ）A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④10.（2001全国文，2）过点A （1，－1）、B （－1，1）且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是（ ）A.（x －3）2＋（y ＋1）2＝4B.（x ＋3）2＋（y －1）2＝4C.（x －1）2＋（y －1）2＝4D.（x ＋1）2＋（y ＋1）2＝4 11.（2001上海春，14）若直线x =1的倾斜角为α，则α（ ）A.等于0B.等于4π C.等于2π D.不存在12.（2001天津理，6）设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2且|P A |=|PB |，若直线P A 的方程为x －y +1=0，则直线PB 的方程是（ ）A.x +y －5=0B.2x －y －1=0C.2y －x －4=0D.2x +y －7=013.（2001京皖春，6）设动点P 在直线x =1上，O 为坐标原点．以OP 为直角边，点O 为直角顶点作等腰Rt △OP Q ，则动点Q 的轨迹是（ ）A.圆B.两条平行直线C.抛物线D.双曲线14.（2000京皖春，4）下列方程的曲线关于x =y 对称的是（ ） A.x 2－x ＋y 2＝1 B.x 2y ＋xy 2＝1 C.x －y =1 D.x 2－y 2＝115.（2000京皖春，6）直线（23-）x +y =3和直线x +（32-）y =2的位置关系是（ ） A.相交不垂直 B.垂直 C.平行 D.重合16.（2000全国，10）过原点的直线与圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（ ）A.y =3xB.y =－3xC.y =33xD.y =－33x17.（2000全国文，8）已知两条直线l 1：y =x ，l 2：ax －y =0，其中a 为实数，当这两条直线的夹角在（0，12π）内变动时，a 的取值范围是（ ）A.（0，1）B.（3,33） C.（33，1）∪（1，3） D.（1，3）18.（1999全国文，6）曲线x 2+y 2+22x －22y =0关于（ ） A.直线x =2轴对称B.直线y =－x 轴对称C.点（－2，2）中心对称D.点（－2，0）中心对称19.（1999上海，13）直线y =33x 绕原点按逆时针方向旋转30°后所得直线与圆（x －2）2+y 2=3的位置关系是（ ）A.直线过圆心B.直线与圆相交，但不过圆心C.直线与圆相切D.直线与圆没有公共点20.（1999全国，9）直线3x +y －23=0截圆x 2＋y 2＝4得的劣弧所对的圆心角为（ ）A.6πB.4π C ．3πD.2π21.（1998全国，4）两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是（ ）A.A 1A 2＋B 1B 2＝0B.A 1A 2－B 1B 2＝0C.12121-=B B A A D.2121A A B B =122.（1998上海）设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线sin A ·x +ay +c =0与bx －sin B ·y +sin C =0的位置关系是（ ）A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直23.（1998全国文，3）已知直线x =a （a >0）和圆（x －1）2+y 2=4相切，那么a 的值是（ ）A.5B.4C.3D.224.（1997全国，2）如果直线ax +2y +2=0与直线3x －y －2=0平行，那么系数a 等于（ ）A.－3B.－6C.－23 D.32 25.（1997全国文，9）如果直线l 将圆x 2+y 2－2x －4y =0平分，且不通过第四象限，那么直线l 的斜率的取值范围是（ ）A.［0，2］B.［0，1］C.［0，21］ D.［0，21） 26.（1995上海，8）下列四个命题中的真命题是（ ）A.经过定点P 0（x 0，y 0）的直线都可以用方程y －y 0=k （x －x 0）表示B.经过任意两个不同的点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）的直线都可以用方程（y －y 1）·（x 2－x 1）=（x －x 1）（y 2－y 1）表示C.不经过原点的直线都可以用方程1=+bya x 表示 D.经过定点A （0，b ）的直线都可以用方程y =kx +b 表示 27.（1995全国文，8）圆x 2＋y 2－2x ＝0和x 2＋y 2＋4y ＝0的位置关系是（ ） A.相离 B.外切 C.相交 D.内切28.（1995全国，5）图7—1中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则（ ）A.k 1＜k 2＜k 3B.k 3＜k 1＜k 2C.k 3＜k 2＜k 1D.k 1＜k 3＜k 2 29.（1994全国文，3）点（0，5）到直线y =2x 的距离是（ ） A.25B.5C.23D.25图7—130.（2003上海春，2）直线y=1与直线y=3x+3的夹角为_____.31.（2003上海春，7）若经过两点A（－1，0）、B（0，2）的直线l与圆（x －1）2+（y－a）2=1相切，则a=_____.32.（2002北京文，16）圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线3x＋4y ＋8＝0距离的最小值为．33.（2002北京理，16）已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，P A，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，那么四边形P ACB 面积的最小值为．34.（2002上海文，6）已知圆x2＋（y－1）2＝1的圆外一点P（－2，0），过点P作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是．35.（2002上海理，6）已知圆（x＋1）2＋y2＝1和圆外一点P（0，2），过点P作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是．36.（2002上海春，8）设曲线C1和C2的方程分别为F1（x，y）＝0和F2（x，y）＝0，则点P（a，b） C1∩C2的一个充分条件为．37.（2001上海，11）已知两个圆：x2＋y2＝1①与x2＋（y－3）2＝1②，则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程．将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例．推广的命题为：38.（2001上海春，6）圆心在直线y=x上且与x轴相切于点（1，0）的圆的方程为.39.（2000上海春，11）集合A＝｛（x，y）|x2＋y2＝4｝，B＝｛（x，y）|(x－3)2＋(y－4)2＝r2｝，其中r＞0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是_____.40.（1997上海）设圆x2+y2－4x－5=0的弦AB的中点为P（3，1），则直线AB的方程是.41.（1994上海）以点C（－2，3）为圆心且与y轴相切的圆的方程是.42.（2003京春文，20）设A（－c，0），B（c，0）（c>0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a>0），求P点的轨迹.43.（2003京春理，22）已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=－1相切，点C在l上.（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M的方程；（Ⅱ）设过点P，且斜率为－3的直线与曲线M相交于A、B两点.（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.44.（2002全国文，21）已知点P 到两个定点M （－1，0）、N （1，0）距离的比为2，点N 到直线PM 的距离为1．求直线PN 的方程．45.（1997全国文，25）已知圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l ：x －2y =0的距离为55，求该圆的方程.46.（1997全国理，25）设圆满足：（1）截y轴所得弦长为2；（2）被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．在满足条件（1）、（2）的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程.47.（1997全国文，24）已知过原点O的一条直线与函数y=lo g8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y＝lo g2x的图象交于C、D 两点.（1）证明点C、D和原点O在同一条直线上.（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.48.（1994上海，25）在直角坐标系中，设矩形OPQR的顶点按逆时针顺序依次为O（0，0），P（1，t），Q（1－2t，2+t），R（－2t，2），其中t∈（0，＋∞）.（1）求矩形OPQR在第一象限部分的面积S（t）.（2）确定函数S（t）的单调区间，并加以证明.49.（1994全国文，24）已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ>0）.求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线.答案解析1.答案：B解析：圆心坐标为（0，0），半径为 1.因为直线和圆相切.利用点到直线距离公式得：d =22||b a c +=1，即a 2+b 2=c 2.所以，以|a |，|b |，|c |为边的三角形是直角三角形.评述：要求利用直线与圆的基本知识，迅速找到a 、b 、c 之间的关系，以确定三角形形状.2.答案：B 解析一：由y =10－32x （0≤x ≤15，x ∈N ）转化为求满足不等式y ≤10－32x （0≤x ≤15，x ∈N ）所有整数y 的值.然后再求其总数.令x =0，y 有11个整数，x =1，y 有10个，x =2或x =3时，y 分别有9个，x =4时，y 有8个，x =5或6时，y 分别有7个，类推：x =13时y 有2个，x =14或15时，y 分别有1个，共91个整点.故选B.解析二：将x =0，y =0和2x +3y =30所围成的三角形补成一个矩形.如图7—2所示.对角线上共有6个整点，矩形中（包括边界）共有16×11=176.因此所求△AOB 内部和边上的整点共有26176+=91（个） 评述：本题较好地考查了考生的数学素质，尤其是考查了思维的敏捷性与清晰的头脑，通过不等式解等知识探索解题途径.3.答案：D解析：设到坐标轴距离相等的点为（x ，y ） ∴|x |＝|y | ∴|x |－|y |＝0 4.答案：C解析：圆2x 2＋2y 2＝1的圆心为原点（0，0）半径r 为22，圆心到直线x sin θ＋y －1＝0的距离为：1sin 11sin |1|22+=+=θθd∵θ∈R ，θ≠2π＋k π，k ∈Z∴0≤sin 2θ＜1 ∴d ＞22∴d ＞r ∴圆2x 2＋2y 2＝1与直线x sin θ＋y －1＝0（θ∈R ，θ≠2π＋k π，k ∈Z ）的位置关系是相离．图7—2解析：将圆x 2＋y 2－2x ＝0的方程化为标准式：（x －1）2＋y 2＝1 ∴其圆心为（1，0），半径为1，若直线（1＋a ）x ＋y ＋1＝0与该圆相切，则圆心到直线的距离d 等于圆的半径r∴11)1(|11|2=++++a a ∴a ＝－16.答案：A解析：先解得圆心的坐标（1，0），再依据点到直线距离的公式求得A 答案． 7.答案：D解析：如图7—3所示，∠AOB ＝60°，又|OA |＝|OB |＝1 ∴|AB |＝1 8.答案：B方法一：求出交点坐标，再由交点在第一象限求得倾斜角的范围⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++=⇒⎩⎨⎧=-+-=k k y kx y x kx y 3232632)32(306323 ∵交点在第一象限，∴⎩⎨⎧>>00y x∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+->++032326032)32(3kk k∴k ∈（33，＋∞）∴倾斜角范围为（2,6ππ）方法二：如图7—4，直线2x +3y －6=0过点A （3，0），B （0，2），直线l 必过点（0，－3），当直线过A 点时，两直线的交点在x 轴，当直线l 绕C 点逆时针旋转时，交点进入第一象限，从而得出结果.评述：解法一利用曲线与方程的思想，利用点在象限的特征求得，而解法二利用数形结合的思想，结合平面几何中角的求法，可迅速、准确求得结果.9.答案：D解析：联立方程组，依次考查判别式，确定D. 10.答案：C解析一：由圆心在直线x ＋y －2＝0上可以得到A 、C 满足条件,再把A 点坐标（1，－1）代入圆方程.A 不满足条件.∴选C.解析二:设圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r ,因为圆心C 在直线x +y －2=0上,∴b =2－a . 由|CA |=|CB |，得（a －1）2+（b +1）2=（a +1）2+（b －1）2，解得a =1，b =1 因此所求圆的方程为（x －1）2+（y －1）2=4评述：本题考查圆的方程的概念，解法一在解选择题中有广泛的应用，应引起重视.图7—3图7—4解析：直线x =1垂直于x 轴，其倾斜角为90°. 12.答案：A解析：由已知得点A （－1，0）、P （2，3）、B （5，0），可得直线PB 的方程是x +y －5=0. 评述：本题考查直线方程的概念及直线的几何特征. 13.答案：B解析一：设P =1+bi ，则Q =P （±i ）， ∴Q =（1+bi ）（±i ）=±b i ，∴y =±1 解析二：设P 、Q 点坐标分别为（1，t ），（x ，y ）， ∵OP ⊥OQ ，∴1t·xy=－1，得x +ty =0 ①∵|OP |=|OQ |，∴2221y x t +=+，得x 2+y 2=t 2+1②由①得t =－y x ，将其代入②，得x 2+y 2=22y x +1，（x 2+y 2）（1－21y）=0.∵x 2+y 2≠0，∴1－21y=0，得y =±1. ∴动点Q 的轨迹为y =±1，为两条平行线. 评述：本题考查动点轨迹的基本求法. 14.答案：B解析：∵点（x ，y ）关于x =y 对称的点为(y ，x ),可知x 2y ＋xy 2＝1的曲线关于x =y 对称． 15.答案：B 解析：直线（23-）x +y =3的斜率k 1＝32-，直线x +（32-）y =2的斜率k 2＝23+，∴k 1·k 2＝)23)(32(+-＝－1．16.答案：C解析一：圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0化为标准式（x +2）2＋y 2＝1，圆心C （－2，0）．设过原点的直线方程为y =kx ，即kx －y =0.由1|2|2+-k k ＝1，解得k =±33，∵切点在第三象限， ∴k ＞0，所求直线方程为y =33x ． 解析二：设T 为切点，因为圆心C （－2，0），因此CT =1，OC =2，△OCT 为Rt △.如图7—5，∴∠CO T=30°，∴直线OT 的方程为y =33x . 评述：本题考查直线与圆的位置关系，解法二利用数与形的完美图7—5结合，可迅速、准确得到结果.17.答案：C解析：直线l 1的倾斜角为4π，依题意l 2的倾斜角的取值范围为（4π－12π，4π）∪（4π，4π+12π）即:（6π，4π）∪（4π，3π）,从而l 2的斜率k 2的取值范围为:（33，1）∪（1,3）. 评述：本题考查直线的斜率和倾斜角，两直线的夹角的概念，以及分析问题、解决问题的能力.18.答案：B解析：由方程（x +2）2+（y －2）2=4如图7—6所示，故圆关于y =－x 对称 故选B.评述：本题考查了圆方程，以及数形结合思想.应注意任何一条直径都是圆的对称轴.19.答案：C解析：直线y =33x 绕原点逆时针旋转30°所得的直线方程为：y =3x .已知圆的圆心（2，0）到y =3x 的距离d =3，又因圆的半径r =3，故直线y =3x 与已知圆相切.评述：本题考查直线的斜率和倾斜角以及直线与圆的位置关系. 20.答案：C解析：如图7—7所示，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+4032322y x y x消y 得：x 2－3x +2=0 ∴x 1=2，x 2=1 ∴A （2，0），B （1，3）∴|AB |=22)30()12(-+-=2又|OB |＝|OA |=2∴△AOB 是等边三角形，∴∠AOB =3π，故选C.评述：本题考查直线与圆相交的基本知识，及正三角形的性质以及逻辑思维能力和数形结合思想，同时也体现了数形结合思想的简捷性.如果注意到直线AB 的倾斜角为120°.则等腰△OAB 的底角为60°.因此∠AOB =60°.更加体现出平面几何的意义.21.答案：A图7—6图7—7解法一：当两直线的斜率都存在时，－11B A ·（22B A -）＝－1，A 1A 2＋B 1B 2＝0. 当一直线的斜率不存在，一直线的斜率为0时，⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==0001221B A B A 或， 同样适合A 1A 2＋B 1B 2＝0，故选A. 解法二：取特例验证排除.如直线x +y =0与x －y =0垂直，A 1A 2＝1，B 1B 2＝－1，可排除B 、D. 直线x =1与y =1垂直，A 1A 2＝0，B 1B 2＝0，可排除C ，故选A.评述：本题重点考查两直线垂直的判定、直线方程的一般式等基本知识点，重点考查分类讨论的思想及逻辑思维能力.22.答案：C解析：由题意知a ≠0，s i n B ≠0，两直线的斜率分别是k 1=－a A sin ，k 2=Bbsin . 由正弦定理知k 1·k 2=－a A sin ·Bbsin =－1，故两直线垂直. 评述：本题考查两直线垂直的条件及正弦定理.23.答案：C解析:方程（x －1）2+y 2=4表示以点（1，0）为圆心，2为半径的圆，x =a 表示与x 轴垂直且与圆相切的直线，而此时的切线方程分别为x =－1和x =3，由于a >0，取a =3.故选C.评述：本题考查圆的方程、圆的切线方程及图象.利用数形结合较快完成此题. 24.答案：B解析一：若两直线平行，则22123-≠-=a ， 解得a ＝－6，故选B.解析二：利用代入法检验，也可判断B 正确.评述：本题重点考查两条直线平行的条件，考查计算能力. 25.答案：A解析：圆的标准方程为：（x －1）2+（y －2）2=5.圆过坐标原点.直线l 将圆平分，也就是直线l 过圆心C （1，2），从图7—8看到：当直线过圆心与x 轴平行时，或者直线同时过圆心与坐标原点时都不通过第四象限，并且当直线l 在这两条直线之间变化时都不通过第四象限.当直线l 过圆心与x 轴平行时，k =0， 当直线l 过圆心与原点时，k =2. ∴当k ∈［0，2］时，满足题意.评述：本题考查圆的方程，直线的斜率以及逻辑推理能力，数形结合的思想方法. 26.答案：B解析：A 中过点P 0（x 0，y 0）与x 轴垂直的直线x =x 0不能用y －y 0=k （x －x 0）表示，因为其斜率k 不存在；C 中不过原点但在x 轴或y 轴无截距的直线y =b （b ≠0）或x =a （a ≠0）图7—8不能用方程bya x +=1表示；D 中过A （0，b ）的直线x =0不能用方程y =kx +b 表示. 评述：本题考查直线方程的知识，应熟练掌握直线方程的各种形式的适用范围. 27.答案：C解析：将两圆方程分别配方得（x －1）2＋y 2＝1和x 2＋（y －2）2＝4，两圆圆心分别为O 1（1，0），O 2（0，2），r 1＝1，r 2＝2，|O 1O 2|＝52122=+，又1＝r 2－r 1＜5＜r 1＋r 2＝3，故两圆相交，所以应选C.评述：本题考查了圆的一般方程、标准方程及圆的关系以及配方法. 28.答案：D解析：直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2、α3均为锐角，且α2＞α3，所以k 2＞k 3＞0，因此k 2＞k 3＞k 1，故应选D.评述：本题重点考查直线的倾斜角、斜率的关系，考查数形结合的能力. 29.答案：B解析：直线方程可化为2x －y =0，d =55|5|=-. 评述：本题重点考查直线方程的一般式及点到直线的距离公式等基本知识点，考查运算能力.30.答案：60°解析：因为直线y =3x +3的倾斜角为60°，而y =1与x 轴平行，所以y =1与y =3x +3的夹角为60°.评述：考查直线方程的基本知识及几何知识，考查数形结合的数学思想.31.答案：a =4±5解析：因过A （－1，0）、B （0，2）的直线方程为：2x －y +2=0.圆的圆心坐标为C （1，a ），半径r =1.又圆和直线相切，因此，有：d =5|22|+-a =1，解得a =4±5. 评述：本题考查直线方程、直线和圆的位置关系及点到直线的距离公式等知识. 32.答案：2解析：圆心到直线的距离d ＝5|843|++＝3 ∴动点Q 到直线距离的最小值为d －r ＝3－1＝2 33.答案：22解法一：∵点P 在直线3x +4y +8=0上.如图7—9. ∴设P （x ，432-- x ），C 点坐标为（1，1）， S 四边形P ACB ＝2S △P AC图7—9＝2·21·|AP |·|AC |＝|AP |·|AC |＝|AP | ∵|AP |2＝|PC |2－|AC |2＝|PC |2－1∴当|PC |最小时，|AP |最小，四边形P ACB 的面积最小． ∴|PC |2＝（1－x ）2＋（1＋2＋43x ）2＝9)145(1025162522++=++x x x ∴|PC |min ＝3 ∴四边形P ACB 面积的最小值为22．解法二：由法一知需求|PC |最小值，即求C 到直线3x +4y +8=0的距离，∵C （1，1），∴|PC |=5|843|++=3，S P ACD =22. 34.答案：34解法一：圆的圆心为（0，1）设切线的方程为y ＝k （x ＋2）.如图7—10. ∴kx ＋2k －y ＝0 ∴圆心到直线的距离为1|12|2+-k k ＝1∴解得k ＝34或k ＝0， ∴两切线交角的正切值为34． 解法二：设两切线的交角为α∵tan212=α，∴tan α＝3441112tan 12tan22=-=-αα． 35.答案：34解析：圆的圆心为（－1，0），如图7—11. 当斜率存在时，设切线方程为y ＝kx ＋2 ∴kx －y ＋2＝0 ∴圆心到切线的距离为1|2|2++-k k ＝1 ∴k ＝43， 图7—10图7—11即tan α＝43 当斜率不存在时，直线x ＝0是圆的切线 又∵两切线的夹角为∠α的余角 ∴两切线夹角的正切值为34 36.答案：F 1（a ，b ）≠0，或F 2（a ，b ）≠0，或F 1（a ，b ）≠0且F 2（a ，b ）≠0或C 1∩C 2=∅或P ∉C 1等解析：点P （a ，b ）∉C 1∩C 2，则 可能点P 不在曲线C 1上； 可能点P 不在曲线C 2上；可能点P 既不在曲线C 1上也不在曲线C 2上； 可能曲线C 1与曲线C 2不存在交点.37.答案：可得两圆对称轴的方程2（c －a ）x +2（d －b ）y +a 2+b 2－c 2－d 2=0 解析：设圆方程（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2 ① （x －c ）2＋（y －d ）2＝r 2 ② （a ≠c 或b ≠d ），则由①－②，得两圆的对称轴方程为： （x －a ）2－（x －c ）2+（y －b ）2－（y －d ）2=0， 即2（c －a ）x +2（d －b ）y +a 2+b 2－c 2－d 2=0.评述：本题考查圆的方程、圆的公共弦方程的概念，考查抽象思维能力和推广数学命题的能力.38.答案：（x －1）2+（y －1）2=1 解析一：设所求圆心为（a ，b ），半径为r . 由已知，得a =b ，r =|b |=|a |.∴所求方程为（x －a ）2+（y －a ）2=a 2又知点（1，0）在所求圆上，∴有（1－a ）2+a 2=a 2，∴a =b =r =1. 故所求圆的方程为：（x －1）2+（y －1）2=1. 解析二：因为直线y =x 与x 轴夹角为45°. 又圆与x 轴切于（1，0），因此圆心横坐标为1，纵坐标为1，r =1.评述：本题考查圆的方程等基础知识，要注意利用几何图形的性质，迅速得到结果. 39.答案：3或7解析：当两圆外切时，r =3，两圆内切时r =7，所以r 的值是3或7．评述：本题考查集合的知识和两圆的位置关系，要特别注意集合代表元素的意义. 40.答案：x +y －4=0解析一：已知圆的方程为（x －2）2+y 2=9，可知圆心C 的坐标是（2，0），又知AB 弦的中点是P （3，1），所以k CP =2301--=1，而AB 垂直CP ，所以k AB =－1.故直线AB 的方程是x +y －4=0.解析二：设所求直线方程为y －1=k （x －3）.代入圆的方程，得关于x 的二次方程：（1+k 2）x 2－（6k 2－2k +4）x +9k 2－6k －4=0，由韦达定理：x 1+x 2=221426k k k ++-=6，解得k =1.解析三：设所求直线与圆交于A 、B 两点，其坐标分别为A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则有⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-9)2(9)2(22222121y x y x②－①得（x 2+x 1－4）（x 2－x 1）+（y 2－y 1）（y 2+y 1）=0 又AB 的中点坐标为（3，1），∴x 1+x 2=6，y 1+y 2=2. ∴1212x x y y --=－1，即AB 的斜率为－1，故所求方程为x +y －4=0.评述：本题考查直线的方程与圆的有关知识.要特别注意圆所特有的几何性质. 41.答案：（x +2）2+（y －3）2=4 解析：因为圆心为（－2，3），且圆与y 轴相切，所以圆的半径为2.故所求圆的方程为（x +2）2+（y －3）2=4.42.解：设动点P 的坐标为P （x ，y ）由||||PB PA =a （a >0），得2222)()(yc x y c x +-++=a ，化简，得：（1－a 2）x 2+2c （1+a 2）x +c 2（1－a 2）+（1－a 2）y 2=0.当a ≠1时，得x 2+221)1(2aa c -+x +c 2+y 2=0.整理， 得：（x －1122-+a a c ）2+y 2=（122-a ac ）2当a =1时，化简得x =0.所以当a ≠1时，P 点的轨迹是以（1122-+a a c ，0）为圆心，|122-a ac |为半径的圆；当a =1时，P 点的轨迹为y 轴.评述：本题考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力.43.（Ⅰ）解法一，依题意，曲线M 是以点P 为焦点，直线l 为准线的抛物线，所以曲线M 的方程为y 2=4x .解法二：设M （x ，y ），依题意有|MP |=|MN |，所以|x +1|=22)1(y x +-.化简得：y 2=4x .（Ⅱ）（i ）由题意得，直线AB 的方程为y =－3（x －1）.由⎪⎩⎪⎨⎧=--=.4),1(32x y x y 消y 得3x 2－10x +3=0，解得x 1=31，x 2=3. ① ②图7—12所以A 点坐标为（332,31），B 点坐标为（3，－23）， |AB |=x 1+x 2+2=316. 假设存在点C （－1，y ），使△ABC 为正三角形，则|BC |=|AB |且|AC |=|AB |，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+++.)316()32()131()316()32()13(222222y y 由①－②得42+（y +23）2=（34）2+（y －332）2，解得y =－9314. 但y =－9314不符合①， 所以由①，②组成的方程组无解.因此，直线l 上不存在点C ，使得△ABC 是正三角形.（ii ）解法一：设C （－1，y ）使△ABC 成钝角三角形，由⎩⎨⎧-=--=.1),1(3x x y 得y =23，即当点C 的坐标为（－1，23）时，A 、B 、C 三点共线，故y ≠23.又|AC |2=（－1－31）2+（y －332）2=334928y -+y 2， |BC |2=（3+1）2+（y +23）2=28+43y +y 2，|AB |2=（316）2=9256.当∠CAB 为钝角时，co sA =||||2||||||222AC AB BC AC AB ⋅-+<0.即|BC |2 >|AC |2+|AB |2，即9256334928342822++->++y y y y ，即y >392时，∠CAB 为钝角. 当|AC |2>|BC |2+|AB |2，即9256342833492822+++>+-y y y y ，即y <－3310时，∠CBA 为钝角. 又|AB |2>|AC |2+|BC |2，即2234283349289256y y y y++++->， 即0)32(,03433422<+<++y y y. 该不等式无解，所以∠ACB 不可能为钝角.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是)32(9323310≠>-<y y y 或. 解法二：以AB 为直径的圆的方程为（x －35）2+（y +332）2=（38）2. 圆心（332,35-）到直线l ：x =－1的距离为38，所以，以AB 为直径的圆与直线l 相切于点G （－1，－332）. 当直线l 上的C 点与G 重合时，∠ACB 为直角，当C 与G 点不重合，且A 、B 、C 三点不共线时，∠ACB 为锐角，即△ABC 中，∠ACB 不可能是钝角.因此，要使△ABC 为钝角三角形，只可能是∠CAB 或∠CBA 为钝角.过点A 且与AB 垂直的直线方程为)31(33332-=-x y . 令x =－1得y =932. 过点B 且与AB 垂直的直线方程为y +2333=（x －3）. 令x =－1得y =－3310.又由⎩⎨⎧-=--=.1),1(3x x y 解得y =23，所以，当点C 的坐标为（－1，23）时，A 、B 、C 三点共线，不构成三角形.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是y <－3310或y >932（y ≠23）.评述：该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识，充分体现了“注重学科知识的内在联系”.题目的设计新颖脱俗，能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力.比较深刻地考查了解析法的原理和应用，以及分类讨论的思想、方程的思想.该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查.对运算、化简能力要求也较高，有较好的区分度.44.解：设点P 的坐标为（x ，y ），由题设有2||||=PN PM ，即2222)1(2)1(y x y x +-⋅=++．整理得 x 2+y 2－6x +1=0． ①因为点N 到PM 的距离为1，|M Ｎ|＝2， 所以∠PMN ＝30°，直线PM 的斜率为±33， 直线PM 的方程为y =±33（x ＋1）．② 将②式代入①式整理得x 2－4x ＋1＝0． 解得x ＝2＋3，x ＝2－3．代入②式得点P 的坐标为（2＋3，1＋3）或（2－3，－1＋3）；（2＋3，－1－3）或（2－3，1－3）．直线PN 的方程为y =x －1或y =－x +1．45.解：设圆的方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2. 令x =0，得y 2－2by +b 2+a 2－r 2=0. |y 1－y 2|=222122124)(a r y y y y -=-+=2，得r 2=a 2+1①令y =0，得x 2－2ax +a 2+b 2－r 2=0， |x 1－x 2|=r b r x x x x 224)(2221221=-=-+，得r 2=2b 2②由①、②，得2b 2－a 2=1又因为P （a ，b ）到直线x －2y =0的距离为55， 得d =555|2|=-b a ，即a －2b =±1. 综上可得⎩⎨⎧=-=-;12,1222b a a b 或⎩⎨⎧-=-=-121222b a a b 解得⎩⎨⎧-=-=11b a 或⎩⎨⎧==11b a于是r 2=2b 2=2.所求圆的方程为（x +1）2+（y +1）2=2或（x －1）2+（y －1）2=2. 46.解：设所求圆的圆心为P （a ，b ），半径为r ，则P 到x 轴、y 轴的距离分别为|b |、|a |. 由题设圆P 截x 轴所得劣弧所对圆心角为90°，圆P 截x 轴所得弦长为2r ，故r 2＝2b 2，又圆P 截y 轴所得弦长为2，所以有r 2＝a 2＋1， 从而有2b 2－a 2＝1又点P （a ，b ）到直线x －2y =0距离为d ＝5|2|b a -， 所以5d 2＝|a －2b |2＝a 2＋4b 2－4ab ≥a 2＋4b 2－2（a 2＋b 2）＝2b 2－a 2＝1 当且仅当a =b 时上式等号成立，此时5d 2＝1，从而d 取得最小值，由此有⎩⎨⎧=-=1222a b b a 解方程得⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a 由于r 2＝2b 2，知r ＝2，于是所求圆的方程为（x －1）2＋（y －1）2＝2或（x ＋1）2＋（y ＋1）2＝2评述：本题考查了圆的方程，函数与方程，求最小值问题，进一步考查了待定系数法、函数与方程思想.题中求圆的方程给出的三个条件比较新颖脱俗，灵活运用几何知识和代数知识将条件恰当转化，推演，即合乎逻辑、说理充分、陈述严谨.47.（1）证明：设A 、B 的横坐标分别为x 1，x 2，由题设知x 1＞1，x 2＞1，点A （x 1，lo g 8x 1），B （x 2，lo g 8x 2）.因为A 、B 在过点O 的直线上，所以228118log log x x x x =， 又点C 、D 的坐标分别为（x 1，lo g 2x 1），（x 2，lo g 2x 2） 由于lo g 2x 1＝2log log 818x ＝3lo g 8x 1，lo g 2x 2＝2log log 828x ＝3lo g 8x 2，所以OC 的斜率和OD 的斜率分别为228222118112log 3log ,log 3log x x x x k x x x x k OD OC ====.由此得k OC ＝k OD ，即O 、C 、D 在同一条直线上.（2）解：由BC 平行于x 轴，有lo g 2x 1＝lo g 8x 2，解得 x 2＝x 13 将其代入228118log log x x x x =，得x 13lo g 8x 1＝3x 1lo g 8x 1. 由于x 1＞1，知lo g 8x 1≠0，故x 13＝3x 1，x 1＝3，于是点A 的坐标为（3，lo g 83）.评述：本小题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查运算能力和分析问题的能力.48.解：（1）当1－2t ＞0即0＜t ＜21时，如图7—13，点Q 在第一象限时，此时S （t ）为四边形OPQK 的面积，直线QR 的方程为y －2= t （x +2t ）.令x =0，得y =2t 2＋2，点K 的坐标为（P ，2t 2＋2）.t t t S S S OKR OPQR OPQK 2)22(21)1(2222⋅+-+=-=)1(232t t t -+-=当－2t +1≤0，即t ≥21时，如图7—14，点Q 在y 轴上或第二象限，S （t ）为△OP Ｌ的面积，直线PQ 的方程为y －t =－t1（x －1），令x =0得y =t +t 1，点L 的坐标为（0，t +t 1），S △OPL ＝1)1(21⋅+t t)1(21tt += 所以S （t ）＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<<-+-21 )1(21210 )1(232t t t t t t t（2）当0＜t ＜21时，对于任何0＜t 1＜t 2＜21，有S （t 1）－S （t 2）＝2（t 2－t 1）［1－（t 1＋t 2）＋（t 12＋t 1t 2＋t 22）］＞0，即S （t 1）＞ S （t 2），所以S （t ）在区间（0，21）内是减函数. 图7—13图7—14当t ≥21时，对于任何21≤t 1≤t 2，有S （t 1）－S （t 2）＝21（t 1－t 2）（1－211t t ）， 所以若21≤t 1≤t 2≤1时，S （t 1）＞S （t 2）；若1≤t 1≤t 2时，S （t 1）＜S （t 2），所以S （t ）在区间［21，1］上是减函数，在区间［1，＋∞)内是增函数，由2［121＋（21）2－(21)3］＝45＝S （21）以及上面的证明过程可得，对于任何0＜t 1＜21≤t 2＜1，S （t 2）＜45≤S （t 1），于是S （t ）的单调区间分别为（0，1］及［1，＋∞)，且S （t ）在（0，1]内是减函数，在［1，＋∞)内是增函数.49.解：如图7—15，设直线MN 切圆于N ，则动点M 组成的集合是：P ={M ||MN |=λ|MQ |}，（λ>0为常数）因为圆的半径|ON |=1，所以|MN |2=|MO |2－|ON |2=|MO |2－1.设点M 的坐标为（x ，y ），则2222)2(1y x y x +-=-+λ整理得（λ2－1）（x 2+y 2）－4λ2x +（1+4λ2）=0当λ=1时，方程化为x =45，它表示一条直线，该直线与x 轴垂直，交x 轴于点（45，0）； 当λ≠1时，方程化为（x －1222-λλ）2+y 2=)1(3122-+λλ它表示圆心在（1222-λλ，0），半径为|1|3122-+λλ的圆. 评述：本题考查曲线与方程的关系、轨迹的概念等解析几何的基本思想以及综合运用知识的能力.图7—15。
高考数学专题《直线与圆的位置关系》习题含答案解析
专题9.2 直线与圆的位置关系1．（福建高考真题（理））直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB ∆的面积为12”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】由1k =时,圆心到直线:1l y x =+的距离d =..所以1122OAB S ∆==.所以充分性成立,由图形的对成性当1k =-时,OAB ∆的面积为12.所以不要性不成立.故选A.2.（2018·北京高考真题（理））在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】22cos sin 1θθ+=∴Q ，P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，所以d 的最大值为1213OA +=+=，选C.3．（2021·全国高二单元测试）已知直线l 与直线1y x =+垂直，且与圆221x y +=相切，切点位于第一象限，则直线l 的方程是（ ）．A．0x y +=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D．0x y +=【答案】A 【分析】根据垂直关系，设设直线l 的方程为()00x y c c ++=<，利用直线与圆相切得到参数值即可.【详解】由题意，设直线l 的方程为()00x y c c ++=<．练基础圆心()0,0到直线0x y c ++=1，得c =c =，故直线l 的方程为0x y +=．故选：A4．（2020·北京高考真题）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A 【分析】求出圆心C 的轨迹方程后，根据圆心M 到原点O 的距离减去半径1可得答案.【详解】设圆心(),C x y 1=，化简得()()22341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM +≥5==，所以||514OC ≥-=，当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选：A.5.【多选题】（2021·吉林白城市·白城一中高二月考）若直线0x y m ++=上存在点P ，过点P 可作圆O ：221x y +=的两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，且60APB ∠=︒，则实数m 的取值可以为（ ）A ．3B ．C ．1D ．-【答案】BCD 【分析】先由题意判断点P 在圆224x y +=上，再联立直线方程使判别式0∆≥解得参数范围，即得结果.【详解】点P 在直线0x y m ++=上，60APB ∠=︒，则30APO OPB ∠=∠=︒，由图可知，Rt OPB V 中，22OP OB ==，即点P 在圆224x y +=上，故联立方程224x y x y m ⎧+=⎨++=⎩，得222240x mx m ++-=，有判别式0∆≥，即()2244240m m -⨯-≥，解得m -≤≤A 错误，BCD 正确.故选：BCD.6．（2022·江苏高三专题练习）已知大圆1O 与小圆2O 相交于(2,1)A ，(1,2)B 两点，且两圆都与两坐标轴相切，则12O O =____【答案】【分析】由题意可知大圆1O 与小圆2O 都在第一象限，进而设圆的圆心为(,)(0)a a a >，待定系数得5a =或1a =，再结合两点间的距离求解即可.【详解】由题知，大圆1O 与小圆2O 都在第一象限，设与两坐标轴都相切的圆的圆心为(,)(0)a a a >，其方程为222()()x a y a a -+-=，将点(1,2)或(2,1)代入，解得5a =或1a =，所以221:(5)(5)25O x y -+-=，222:(1)(1)1O x y -+-=，可得1(5,5)O ，2(1,1)O ，所以12||O O ==故答案为：7．（江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值为__________．【答案】43【解析】∵圆C 的方程为x 2+y 2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y 2=1，即圆C 是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴只需圆C ′：（x-4）2+y 2=4与直线y=kx-2有公共点即可．设圆心C （4，0）到直线y=kx-2的距离为d，2d 即3k 2≤4k，∴0≤k≤43，故可知参数k 的最大值为43.8.（2018·全国高考真题（文））直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________．【答案】【解析】根据题意，圆的方程可化为22(1)4x y ++=，所以圆的圆心为(0,1)-，且半径是2，根据点到直线的距离公式可以求得d ==，结合圆中的特殊三角形，可知AB ==，故答案为.9．（2021·湖南高考真题）过圆2240x y x +-=的圆心且与直线20x y +=垂直的直线方程为___________【答案】220x y --=【分析】根据圆的方程求出圆心坐标，再根据两直线垂直斜率乘积为1-求出所求直线的斜率，再由点斜式即可得所求直线的方程.【详解】由2240x y x +-=可得()2224x y -+=，所以圆心为()2,0，由20x y +=可得2y x =-，所以直线20x y +=的斜率为2-，所以与直线20x y +=垂直的直线的斜率为12，所以所求直线的方程为：()1022y x -=-，即220x y --=，故答案为：220x y --=.10.（2020·浙江省高考真题）设直线:(0)l y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______；b =______．【解析】设221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，由题意，12,C C到直线的距离等于半径，即1=1=，所以||4b k b =+，所以0k =（舍）或者2b k =-，解得k b ==.1．（2020·全国高考真题（理））若直线l 与曲线y和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（）A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +12【答案】D 【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.【详解】设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=l的斜率k =，设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=，由于直线l 与圆2215x y +==两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍），则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+.练提升故选：D.2.【多选题】（2021·全国高考真题）已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（ ）A ．点P 到直线AB 的距离小于10B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，PB =D ．当PBA ∠最大时，PB =【答案】ACD 【分析】计算出圆心到直线AB 的距离，可得出点P 到直线AB 的距离的取值范围，可判断AB 选项的正误；分析可知，当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，利用勾股定理可判断CD 选项的正误.【详解】圆()()225516x y -+-=的圆心为()5,5M ，半径为4，直线AB 的方程为142xy+=，即240x y +-=，圆心M 到直线AB 4=>，所以，点P 到直线AB 42-<，410<，A 选项正确，B 选项错误；如下图所示：当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，连接MP 、BM ，可知PM PB ⊥，=，4MP =CD 选项正确.故选：ACD.3．【多选题】（2021·肥城市教学研究中心高三月考）已知圆22:230A x y x +--=，则下列说法正确的是（）A ．圆A 的半径为4B ．圆A 截y 轴所得的弦长为C ．圆A 上的点到直线34120x y -+=的最小距离为1D ．圆A 与圆22:88230B x y x y +--+=相离【答案】BC 【分析】将圆的一般方程转化为标准方程即可得半径可判断A ；利用几何法求出弦长可判断B ；求出圆心A 到直线的距离再减去半径可判断C ；求出圆B 的圆心和半径，比较圆心距与半径之和的大小可判断D ，进而可得正确选项.【详解】对于A ：由22230x y x +--=可得()2214x y -+=，所以A 的半径为2r =，故选项A 不正确；对于B ：圆心为()1,0到y 轴的距离为1d =，所以圆A 截y 轴所得的弦长为==B 正确；对于C ：圆心()1,0到直线34120x y -+=3，所以圆A 上的点到直线34120x y -+=的最小距离为3321r -=-=，故选项C 正确；对于D ：由2288230x y x y +--+=可得()()22449x y -+-=，所以圆心()4,4B ，半径3R =，因为5AB r R ===+，所以两圆相外切，故选项D 不正确；故选：BC.4．（2021·全国高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的取值范围是_______.【答案】403k ≤≤【分析】求出圆C 的圆心和半径，由题意可得圆心到直线的距离小于或等于两圆的半径之和即可求解.【详解】由228150x y x +-+=可得22(4)1x y -+=，因此圆C 的圆心为(4,0)C ，半径为1，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，只需点(4,0)C 到直线2y kx =-的距离112d =≤+=，即22(21)1k k -≤+，所以2340k k -≤，解得403k ≤≤，所以k 的取值范围是403k ≤≤，故答案为：403k ≤≤.5．（2021·富川瑶族自治县高级中学高一期中（理））直线()20y kx k =+>被圆224x y +=截得的弦长为________．【答案】60 【分析】由已知求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得k ，然后利用斜率等于倾斜角的正切值求解．【详解】直线()20y kx k =+>被圆224x y +=截得的弦长为所以，圆心()0,0O 到直线20kx y -+=的距离1d ==，1=，解得)0k k =>．设直线的倾斜角为()0180θθ≤<，则tan θ=，则60θ= ．因此，直线()20y kx k =+>的倾斜角为60 ．故答案为：60 ．6．（2021·昆明市·云南师大附中高三月考（文））已知圆O : x 2+y 2=4， 以A (1,为切点作圆O 的切线l 1，点B 是直线l 1上异于点A 的一个动点，过点B 作直线l 1的垂线l 2，若l 2与圆O 交于D ， E 两点，则V AED 面积的最大值为_______.【答案】2【分析】由切线性质得2//OA l ，O 到直线2l 的距离等于A 到2l 的距离，因此ADEODE S S =!!，设O 到2l 距离为d ，把面积用d 表示，然后利用导数可得最大值．【详解】根据题意可得图，1OA l ⊥，所以2//OA l ，因此O 到直线2l 的距离等于A 到2l 的距离，ADEODE S S =!!，过点(00)O ，作直线2l 的垂线，垂足为F ，记||(20)OF d d =>>，则弦||DE =角形ADE 的面积为S ，所以12S d =g g ，将S 视为d 的函数，则S '=+ 1(2)2d d -当0d <<时，0S '>，函数()S d 2d <<时，0S '<，函数()S d 单调递减，所以函数()S d 有最大值，当d =max ()2S d =，故AED V 面积的最大值为2．故答案为：2．7．（2021·全国高三专题练习）已知ABC V 的三个顶点的坐标满足如下条件：向量(2,0)OB →=，(2,2)OC →=，,CA α→=)α，则AOB ∠的取值范围是________【答案】5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先求出点A 的轨迹是以(2,2)C . 过原点O 作此圆的切线，切点分别为M 、N ，如图所示，连接CM ，CN ，得到MOB NOB θ∠∠…….所以15BOM ∠=︒，75BON ∠=︒，即得解.【详解】由题得||CA →=所以点A 的轨迹是以(2,2)C .过原点O 作此圆的切线，切点分别为M 、N ，如图所示，连接CM ，CN ，则向量OA →与OB →的夹角θ的范围是MOB NOB θ∠∠…….由图可知45COB ∠=︒.∵||OC →=1||||||2CM CN OC →→→==知30COM CON ∠=∠=︒，∴453015BOM ∠=︒-︒=︒，453075BON ∠=︒+︒=︒.∴1575θ︒︒…….故AOB ∠的取值范围为{}1575θθ︒≤≤︒丨.故答案为：{}π5π15751212θθ⎡⎤︒≤≤︒⎢⎥⎣⎦丨或，8．（2021·全国高三专题练习）已知x 、y R ∈，2223x x y -+=时，求x y +的最大值与最小值．【答案】最小值是1，最大值是1+【分析】根据2223x x y -+=表示圆()2214x y -+=，设x y b +=表示关于原点、x 轴、y 轴均对称的正方形，然后由直线与圆的位置关系求解.【详解】2223x x y -+=的图形是圆()2214x y -+=，既是轴对称图形，又是中心对称图形．设x y b +=，由式子x y +的对称性得知x y b +=的图形是关于原点、x 轴、y 轴均对称的正方形．如图所示：当b 变化时，图形是一个正方形系，每个正方形四个顶点均在坐标轴上，问题转化为正方形系中的正方形与圆有公共点时，求b 的最值问题．当1b <时，正方形与圆没有公共点；当1b =时，正方形与圆相交于点()1,0-，若令直线y x b =-+与圆()2214x y -+=相切，2，解得1b =±所以当1b =+当1b >+故x y +的最小值是1，最大值是1+．9．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中）已知ABC V 的内切圆的圆心M 在y 轴正半轴上，半径为1，直线210x y +-=截圆M （1）求圆M 方程；（2）若点C 的坐标为()2,4，求直线AC 和BC 的斜率；（3）若A ，B 两点在x 轴上移动，且AB 4=，求ABC V 面积的最小值.【答案】（1）22(1)1y x +-=；（2）2；（3）163.【分析】（1）设ABC V 的内切圆的圆心()0,M b ，先求得圆心到直线210x y +-=的距离，再根据直线截圆M （2）当直线AC 和BC 的斜率不存在时，设直线方程为2x =，易知不成立；当直线AC 和BC 的斜率存在时，设直线方程为()42y k x -=-，然后由圆心到直线的距离等于半径求解； （3）根据AB 4=，设()()(),0,4,040A t B t t +-<<，进而得到直线AC 和直线 BC 的斜率，写出直线AC 和BC 的方程，联立求得点C 的坐标，进而得到坐标系的最小值求解.【详解】（1）设ABC V 的内切圆的圆心()0,,0M b b >，圆心到直线210x y +-=的距离为d又因为直线截圆M21+=，解得1b =，所以圆M 方程()2211x y +-=；（2）当直线AC 和BC 的斜率不存在时，设直线方程为2x =，则圆心到直线的距离 0221d r =-=≠=，不成立，当直线AC 和BC 的斜率存在时，设直线方程为()42y k x -=-，即 240kx y k --+=，圆心到直线的距离d ，解得2k =（3）因为AB 4=，设()()(),0,4,040A t B t t +-<<，所以直线AC 的斜率为：2222tan 2111ACt t k MAO t t-=∠==---，同理直线BC 的斜率为： ()()222241411BCt t k t t --+==+-- ，所以直线AC 的方程为：()221ty x t t =---，直线BC 的方程为：()()()224441t y x t t -+=--+- ，由()()()()222124441t y x t t t y x t t ⎧=--⎪-⎪⎨-+⎪=--⎪+-⎩，解得 22224412841t x t t t t y t t +⎧=⎪⎪++⎨+⎪=⎪++⎩，即2222428,4141t t t C t t t t ⎛⎫++ ⎪++++⎝⎭，又 ()2222282222414123t t y t t t t t +==-=-+++++-，当2t =-时，点C 的纵坐标取得最小值83，所以ABC V 面积的最小值.18164233ABC S =⨯⨯=V .10．（2021·新疆乌鲁木齐市·乌市八中高二期末（文））已知直线l ：43100x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的上方（1）求圆C 的方程；（2）过点()1,0M 的直线与圆C 交于A ，B 两点（A 在x 轴上方），问在x 轴正半轴上是否存在点N ，使得x 轴平分ANB ∠？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）224x y +=；（2）存在，()4,0N .【分析】（1）设出圆心坐标(),0C a ，根据直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，由此求解出a 的值（注意范围），则圆C 的方程可求；（2）当直线AB 的斜率不存在时，直接根据位置关系分析即可，当直线AB 的斜率存在时，设出直线方程并联立圆的方程，由此可得,A B 坐标的韦达定理形式，根据AN BN k k =-结合韦达定理可求点N 的坐标.【详解】解：（1）设圆心(),0C a ，∵圆心C 在l 的上方，∴4100a +>，即52a >-，∵直线l ：43100x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，∴d r =，即41025a +=，解得：0a =或5a =-（舍去），则圆C 方程为224x y +=；（2）当直线AB x ⊥轴，则x 轴平分ANB ∠，当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为()1y k x =-，(),0N t ，()11,A x y ，()22,B x y ，由224(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩得，()22221240k x k x k +-+-=，所以212221k x x k +=+，212241k x x k -=+若x 轴平分ANB ∠，则AN BN k k =-，即()()1212110k x k x x tx t--+=--，整理得：()()12122120x x t x x t -+++=，即()()222224212011k k t t k k -+-+=++，解得：4t =，当点()4,0N ，能使得ANM BNM ∠=∠总成立．1．（2021·山东高考真题）“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的（ ）A ．充分没必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要条件【答案】C 【分析】由直线与圆相切的等价条件，易判断【详解】由于“圆心到直线的距离等于圆的半径”⇒“直线与圆相切”，因此充分性成立；“直线与圆相切”⇒“圆心到直线的距离等于圆的半径”，故必要性成立；可得“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的充要条件故选：C2．（2021·北京高考真题）已知直线y kx m =+（m 为常数）与圆224x y +=交于点M N ，，当k 变化时，若||MN 的最小值为2，则m = A ．±1B．C．D ．2±【答案】C 【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出m 【详解】由题可得圆心为()0,0，半径为2，则圆心到直线的距离d =则弦长为||MN =则当0k =时，弦长|MN取得最小值为2=，解得m =故选：C.3.（2020·全国高考真题（理））已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ）练真题A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=【答案】D 【解析】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点M 到直线l的距离为2d >，所以直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAM PM AB S PA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=V，而PA =，当直线MP l ⊥时，min MP =，min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩．所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即2210x y y +--=，两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程．故选：D.4．【多选题】（2021·全国高考真题）已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是（ ）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【答案】ABD 【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为222,a b r +的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.【详解】圆心()0,0C 到直线l的距离d =若点(),A a b 在圆C 上，则222a b r +=，所以d =则直线l 与圆C 相切，故A 正确；若点(),A a b 在圆C 内，则222a b r +<，所以d =则直线l 与圆C 相离，故B 正确；若点(),A a b 在圆C 外，则222a b r +>，所以d =则直线l 与圆C 相交，故C 错误；若点(),A a b 在直线l 上，则2220a b r +-=即222=a b r +，所以d =l 与圆C 相切，故D 正确.故选：ABD.5.（2021·山东高考真题）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆22670x my m +--=的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于______．【答案】【分析】由于22670x my m +--=是圆，可得1m =，通过圆心和半径计算,,a b c ，即得解【详解】由于22670x my m +--=是圆，1m ∴=即：圆22670x y x +--=其中圆心为()3,0，半径为4那么椭圆的长轴长为8，即3c =，4a =，b ==那么短轴长为故答案为：6．（2019·北京高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．【答案】(x -1)2+y 2=4.【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2，焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1，以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4.。
备战2014年高考数学全国统考区精选理科试题(详解)分类汇编8：直线与圆
备战2014年高考之2013届全国统考区（甘肃、贵州、云南）精选理科试题（大部分详解）分类汇编8：直线与圆一、选择题1 ．（云南省玉溪一中2013届高三第五次月考理科数学）1by +=与圆221x y +=相交于A,B两点(其中a,b 是实数),且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点),则点P(a,b)与点(0,1)之间距离的最大值为 （ ）A 1B ．2C D 1【答案】A 【解析】因为△AOB 是直角三角形，所以圆心到直线的距离为2，2=，即2222a b +=。
所以2212b a =-，由22102b a =-≥，得22,b b ≤≤≤所以点P(a,b)与点(0,1)之间距离为d ====，即d ==，因为b ≤，所以当b =时，1d ====+A ． 2 ．（云南省昆明三中2013届高三高考适应性月考（三）理科数学）若直线20ax by -+=(a ＞0，b ＞0)被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则11a b+的最小值为（）A ．14B C ．32+D ．32+【答案】C 【解析】圆的标准方程为22(1)(2)4x y ++-=，所以圆心坐标为(1,2)-，半径为2r =.因为直线被圆截得的弦长为4，所以线长为直径，即直线20ax by -+=过圆心，所以220a b --+=，即22a b +=，所以12ab +=，所以222a b =，a =时取等号，所以11a b +的最小值为32+C ．3 ．（贵州省遵义四中2013届高三第四月考理科数学）过点(1,3)P 且在x 轴上的截距和在y 轴上的截距相等的直线方程为（）A ．40x y +-=B ．30x y -=C ．40x y +-=或30x y +=D ．40x y +-=或30x y -=【答案】D 【解析】若直线过原点，设直线方程为y kx =，把点(1,3)P 代入得3k=，此时直线为3y x =，即30x y -=。
历年高考直线与圆真题以及解析
【详解】（1）根据题意，圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1（a＞0）关于直线3x﹣2y=0对称，
【详解】（1） 直线 与直线 垂直，
，解得 ．
（2）当 时，直线 化为： 不满足题意．
当 时，可得直线 与坐标轴的交点 ， ．
直线 在两轴上的截距相等，
，解得： ．
该直线的方程为 ，即 .
11.
（1） ；（2）存在，理由见解析
【分析】
（1）根据题意得到 ，再解不等式即可得到答案.
（2）首先假设存在得以 为直径的圆过原点，设 ， ，直线与圆联立得到 ，再根据韦达定理和圆的性质即可得到答案.
化简可得： 即为点Q的轨迹方程.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线被圆截得的弦长公式的应用，考查直线恒过定点问题和轨迹问题，属于中档题.
10.
（1） ；（2） ．
【分析】
（1）利用两条直线垂直的条件列方程，解方程求得 的值.
（2）分成 和 两种情况，结合直线 在两轴上的截距相等求得 ，由此求得所求直线方程.
②当切线斜率存在时，设切线斜率为 ，
则切线方程为 ，即
因为圆心到切线距离等于半径，
所以 ，解得 ，此时切线方程为 ，
综上所述，过点 的圆的切线方程为 和 ．
(2)因为 即 ， 为圆上任意一点，
所以 即原点到圆上一点的直线的斜率，
令 ，则原点到圆上一点的直线的方程为 ，即
2023年高考数学真题题源解密(新高考全国卷)专题11 直线与圆(解析版)
专题11直线与圆目录一览2023真题展现考向一直线与圆相切考向二直线与圆相交真题考查解读近年真题对比考向一直线与圆相切考向二直线与圆的位置关系命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一直线与圆相切1．（2023•新高考Ⅰ•第6题）过点（0，﹣2）与圆x 2+y 2﹣4x ﹣1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝（）A ．1B ．154C ．104D ．64【答案】B解：圆x 2+y 2﹣4x ﹣1＝0可化为（x ﹣2）2+y 2＝5，则圆心C （2，0），半径为r =5；设P （0，﹣2），切线为PA 、PB ，则PC =22+22=22，△PAC中，sin �2=5cos �2==3所以sin α＝2sin �2cos �2=2×5×3=154．故选：B ．考向二直线与圆相交2．（2023•新高考Ⅱ•第15题）已知直线x ﹣my +1＝0与⊙C ：（x ﹣1）2+y 2＝4交于A ，B 两点，写出满足“△ABC 面积为85”的m 的一个值．【答案】2（或﹣2或12或−12）解：由圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4，可得圆心坐标为C （1，0），半径为r ＝2，因为△ABC 的面积为85，可得S △ABC =12×2×2×sin ∠ACB =85，解得sin ∠ACB =45，设12∠ACB ＝θ所以∴2sin θcos θ=45，可得2푠푖푛휃 푠휃푠푖푛2휃+ 푠2휃=45，∴2푡푎푛휃푡푎푛2휃+1=45，∴tan θ=12或tan θ＝2，∴cos θ=cos θ=∴圆心眼到直线x ﹣my +1＝0的距离d===解得m ＝±12或m ＝±2．故答案为：2（或﹣2或12或−12）．【命题意图】考查直线的倾斜角与斜率、直线方程、两直线平行与垂直、距离公式、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系．【考查要点】常考查直线与圆的位置关系、动点与圆、圆与圆的关系。
2019-2020年高考数学总复习专题9.1直线方程和圆的方程试题含解析
2019-2020年高考数学总复习专题9.1直线方程和圆的方程试题含解析 【三年高考】 1．【xx 江苏高考，10】在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为【答案】【考点定位】直线与圆位置关系2．【xx 江苏，理9】在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为 .【答案】【解析】圆的圆心为，半径为，点到直线的距离为2222(1)33512d +⨯--==+，所求弦长为22925522455l r d =-=-=． 【考点】直线与圆相交的弦长问题．3．【xx 江苏，理12】在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是__________．【答案】4. 【xx 高考新课标2理数改编】圆的圆心到直线的距离为1，则a ＝ ．【答案】【解析】试题分析：圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：考点：圆的方程、点到直线的距离公式.【名师点睛】直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断．若d>r，则直线与圆相离；若d＝r，则直线与圆相切；若d<r，则直线与圆相交．(2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断．如果Δ<0，方程无实数解，从而方程组也无实数解，那么直线与圆相离；如果Δ＝0，方程有唯一实数解，从而方程组也有唯一一组实数解，那么直线与圆相切；如果Δ>0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交．提醒：直线与圆的位置关系的判断多用几何法．5. 【xx高考新课标3理数】已知直线：与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若，则__________________.【答案】4考点：直线与圆的位置关系．【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．6．【xx高考山东文数改编】已知圆M：截直线所得线段的长度是，则圆M与圆N：的位置关系是．【答案】相交【解析】由（）得（），所以圆的圆心为，半径为，因为圆截直线所得线段的长度是，所以=MN ==，，因为，所以圆与圆相交． 考点：1.直线与圆的位置关系；2.圆与圆的位置关系.【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系问题，是高考常考知识内容.本题综合性较强，具有“无图考图”的显著特点，解答此类问题，注重“圆的特征直角三角形”是关键，本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.7.【xx 高考北京文数改编】圆的圆心到直线的距离为 ．【答案】【解析】试题分析：圆心坐标为，由点到直线的距离公式可知．考点：直线与圆的位置关系【名师点睛】点到直线(即)的距离公式记忆容易，对于知求，很方便.8．【xx 高考上海文科】已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则的距离________.【答案】 【解析】试题分析：利用两平行线间距离公式得d 5=== 考点：两平行线间距离公式.【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即的系数应该分别相同，本题较为容易，主要考查考生的基本运算能力.9．【xx 高考浙江文数】已知，方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______.【答案】；5．【解析】试题分析：由题意，，时方程为，即，圆心为，半径为5，时方程为224448100x y x y ++++=，不表示圆．考点：圆的标准方程.【易错点睛】由方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆可得的方程，解得的值，一定要注意检验的值是否符合题意，否则很容易出现错误．10.【xx 高考天津文数】已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点在圆C 上，且圆心到直线 的距离为，则圆C 的方程为__________.【答案】【解析】 试题分析：设，则2|2|452,25355a a r =⇒==+=，故圆C 的方程为 考点：直线与圆位置关系【名师点睛】求圆的方程有两种方法：(1)代数法：即用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a ，b ，r 的方程组求解．②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D ，E ，F 的方程组求解．(2)几何法：通过研究圆的性质，直线和圆的关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程．11．【xx 高考新课标2，理7】过三点，，的圆交y 轴于M ，N 两点，则________.【答案】412.【xx 高考陕西，理15】设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为 ．【答案】【解析】因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，设的坐标为（），则，因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，因为，所以，即，解得，因为，所以，所以，即的坐标是，所以答案应填：．13.【xx 高考湖北，理14】如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（在的上方）， 且．（Ⅰ）圆的标准．．方程为 ； （Ⅱ）过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：①； ②； ③．其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①②③【解析】（Ⅰ）依题意，设（为圆的半径），因为，所以，所以圆心，故圆的标准方程为.（Ⅱ）联立方程组，解得或，因为在的上方，所以，，令直线的方程为，此时，，所以，，，，因为，，所以. 所以2221(21)22222NBMANA MB -==-=-+，222121222222NBMANA MB +=+=+=-+14．【xx 陕西高考理第12题】若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为_______.【答案】【解析】因为圆心与点关于直线对称，所以圆心坐标为.所以圆的标准方程为：,故答案为.【xx 年高考命题预测】纵观近几年各地高考试题，对直线方程和圆的方程这部分的考查，主要考查直线的方程、圆的方程，从题型来看，高考中一般以选择题和填空的形式考查，难度较低，部分省份会在解答题中，这部分内容作为一问，和作为进一步研究其他问题的基础出现，难度较高，虽然全国各地对这部分内容的教材不同，故对这部分内容的侧重点不同，但从直线方程和圆的方程的基础知识，解析几何的基本思想的考查角度来说，有共同之处，恰当地关注图形的几何特征，提高解题效率．对直线方程的考查．一般会和倾斜角、斜率、直线方向向量或者其他知识结合．平面内两条直线的位置关系的考查，属于简单题，主要以两条直线平行、垂直为主，以小题的形式出现．对圆的方程的考查，在高考中应一般在选择题、填空题中出现，关注确定圆的条件．预测xx年对这一部分考查不会有太大变化．【xx年高考考点定位】高考对直线的方程和圆的方程的考查有二种主要形式：一是考查直线的方程；二是考查平面内两条直线的位置关系；三是考查圆的方程．【考点1】直线的方程【备考知识梳理】1、直线的倾斜角和斜率(1)直线的的斜率为k，倾斜角为α，它们的关系为：k＝tanα；(2)若Ａ（x1,y1），Ｂ（x２,y２），则．2.直线的方程a.点斜式：；b.斜截式：；c.两点式：；d.截距式：；e.一般式：，其中A、B不同时为0.【规律方法技巧】1. 斜率的定义是，其中是切斜角，故可结合正切函数的图象研究切斜角的范围与斜率的取值范围以及斜率的变化趋势．2. 直线的方向向量也是体现直线倾斜程度的量，若是直线的方向向量，则（）．3.平行或者垂直的两条直线之间的斜率关系要倍加注意.3.直线的五种直线方程，应注意每个方程的适用范围，解答完后应检验不适合直线方程的情形是否也满足已知条件．【考点针对训练】1.已知直线过直线和的交点，且与直线垂直，则直线的方程为________【答案】【解析】由题意得：直线可设为，又过直线和的交点，所以直线的方程为2.过点引直线，使点，到它的距离相等，则这条直线的方程为．【答案】【解析】显然直符合题意，此直线过线段的中点，又，时方程为，化简为，因此所求直线方程为或．【考点2】两条直线的位置关系【备考知识梳理】（1）若l 1，l 2均存在斜率且不重合：①l 1//l 2 k 1=k 2；②l 1l 2 k 1k 2=－1；③（2）若0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 当时，平行或重合，代入检验；当时，相交；当时，．【规律方法技巧】1．与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线22(00)Ax By C A B ≠＋＋＝＋垂直和平行的直线方程可设为：(1)垂直：；(2)平行：.2．转化思想在对称问题中的应用对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，利用坐标转移法．【考点针对训练】1.若直线l 1：x ＋2y －4＝0与l 2：mx ＋(2－m )y －3＝0平行，则实数m 的值为 ．【答案】【解析】由题意得：2.已知直线，直线()()2:2220l m x m y -+++=，且，则的值为____.【答案】-1或-2【解析】根据两直线平形当斜率存在时，需满足斜率相等，纵截距不等，所以当时，显然两直线平行，符合题意；当时，，，若平行需满足且，解得：，综上，答案为-1或-2.【考点3】几种距离【备考知识梳理】(1)两点间的距离：平面上的两点间的距离公式：(2)点到直线的距离：点到直线的距离.(3)两条平行线间的距离：两条平行线与间的距离.【规律方法技巧】1．点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．注意直线方程为一般式．2．动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便，如本例中|PA |＝|PB |这一条件的转化处理．1.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 ．【答案】2【解析】由题意，，所以直线方程为，即，.2.已知直线l 1：ax+2y+6=0，l 2：x+（a 1）y+a 21=0，若l 1⊥l 2，则a= ，若 l 1∥l 2，则a= ，此时l 1和l 2之间的距离为 ．【答案】， 1，；【考点4】圆的方程【备考知识梳理】标准式：，其中点（a ，b ）为圆心，r>0，r 为半径，圆的标准方程中有三个待定系数，使用该方程的最大优点是可以方便地看出圆的圆心坐标与半径的大小． 一般式：022=++++F Ey Dx y x ，其中为圆心为半径，，圆的一般方程中也有三个待定系数，即D 、E 、F ．若已知条件中没有直接给出圆心的坐标（如题目为：已知一个圆经过三个点，求圆的方程），则往往使用圆的一般方程求圆方程．【规律方法技巧】1．二元二次方程是圆方程的充要条件“A=C ≠0且B=0”是一个一般的二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的必要条件．二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件为“A=C ≠0、B=0且”，它可根据圆的一般方程推导而得．2．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法：是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数．3．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．1．已知圆的圆心为抛物线的焦点,且与直线相切,则该圆的方程为_________________.【答案】【解析】抛物线的焦点为（1,0），所以圆的圆心为（1,0），圆心到直线的距离，所以所求圆的方程为．2．已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为______________________.【答案】【解析】直线与直线两条平行线的距离，圆的半径，由，得，由，得，直径的两个端点，，因此圆心坐标，圆的方程．【两年模拟详解析】1．【xx届江苏省如东高级中学高三2月摸底】在平面直角坐标系中,已知过点的直线与圆相切,且与直线垂直,则实数__________．【答案】2．【xx届湖南省长沙市长郡中学高三下第六次月考理科】若直线和直线将圆分成长度相等的四段弧，则．【答案】18【解析】试题分析：由题意得：圆心到两直线距离相等，且等于，因此或，即18考点：直线与圆位置关系3．【xx届江苏省扬州中学高三12月月考】已知动圆与直线相切于点，圆被轴所截得的弦长为，则满足条件的所有圆的半径之积是．【答案】【解析】试题分析：设圆心，半径为，根据圆被轴所截得的弦长为得：，又切点是，所以，且，所以解得或，从而或，，所以答案应填：．考点：1、直线与圆相切；2、直线与圆相交；3、圆的标准方程．4．【xx 届南京市、盐城市高三年级第二次模拟】在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则当实数变化时，点到直线的距离的最大值为______.【答案】【解析】 由题意得，直线的斜率为，且经过点,直线的斜率为，且经过点，且直线所以点落在以为直径的圆上，其中圆心坐标，半径为，则圆心到直线的距离为，所以点到直线的最大距离为。
2021版新高考数学：直线与圆、圆与圆的位置关系含答案
42＋12＝17. ∵3－2<d <3＋2、 ∴两圆相交．]3．圆Q ：x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1、3)处的切线方程为______． x －3y ＋2＝0 [因为点P (1、3)是圆Q ：x 2＋y 2－4x ＝0上的一点、 故在点P 处的切线方程为x －3y ＋2＝0.]4．圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为________．22 [由⎩⎨⎧x2＋y2－4＝0，x2＋y2－4x ＋4y －12＝0，得x －y ＋2＝0.由于x 2＋y 2－4＝0的圆心为(0、0)、半径r ＝2、且圆心(0、0)到直线x －y ＋2＝0的距离d ＝|0－0＋2|2＝2、所以公共弦长为2r2－d2＝24－2＝22.](对应学生用书第148页)考点1 直线与圆的位置关系A ．(－∞、＋∞)B ．(－∞、0)C ．(0、＋∞)D ．(－∞、0)∪(0、＋∞)(3)圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1的点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(1)A (2)D (3)C [(1)法一：(代数法)由⎩⎨⎧mx －y ＋1－m ＝0，x2＋（y －1）2＝5，消去y 、整理得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0、 因为Δ＝16m 2＋20>0、所以直线l 与圆相交． 法二：(几何法)∵圆心(0、1)到直线l 的距离d ＝|m|m2＋1<1<5.故直线l 与圆相交．法三：(点与圆的位置关系法)直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1、1)、∵点(1、1)在圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的内部、∴直线l 与圆C 相交．(2)圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1、圆心C (1、1)、半径r ＝1.因为直线与圆相交、所以d ＝|1＋m －2－m|1＋m2<r ＝1.解得m >0或m <0.故选D.(3)如图所示、因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2、又因为圆的半径为3、所以直线与圆相交、故圆上到直线的距离为1的点有3个．](1)已知直线与圆的位置关系求参数值或取值范围、就是利用d＝r、d>r或d<r建立关于参数的等式或不等式求解；(2)圆上的点到直线距离为定值的动点个数问题多借助数形结合、转化为点到直线的距离求解．1.已知点M(a、b)在圆O：x2＋y2＝1外、则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定B[因为M(a、b)在圆O：x2＋y2＝1外、所以a2＋b2＞1、而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝1a2＋b2＜1.所以直线与圆相交．]2．若直线l：x＋y＝m与曲线C：y＝1－x2有且只有两个公共点、则m的取值范围是________．[1、2)[画出图象如图、当直线l经过点A、B时、m＝1、此时直线l与曲线y＝1－x2有两个公共点；当直线l与曲线相切时、m＝2、因此当1≤m<2时、直线l：x＋y＝m与曲线y＝1－x2有且只有两个公共点．]考点2圆与圆的位置关系C ．外切D ．相离B [由⎩⎨⎧x2＋y2－2ay ＝0，x ＋y ＝0，得两交点为(0、0)、(－a 、a ). ∵圆M 截直线所得线段长度为22、∴a2＋（－a ）2＝22.又a >0、∴a ＝2.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0、即x 2＋(y －2)2＝4、圆心M (0、2)、半径r 1＝2.又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1、圆心N (1、1)、半径r 2＝1、∴|MN |＝（0－1）2＋（2－1）2＝2.∵r 1－r 2＝1、r 1＋r 2＝3、1<|MN |<3、∴两圆相交．]2．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切、则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－11C [圆C 1的圆心为C 1(0、0)、半径r 1＝1、因为圆C 2的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m 、所以圆C 2的圆心为C 2(3、4)、半径r 2＝25－m (m ＜25).从而|C 1C 2|＝32＋42＝5.由两圆外切得|C 1C 2|＝r 1＋r 2、即1＋25－m ＝5、解得m ＝9、故选C.]考点3 直线、圆的综合问题切线问题(1)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径、从而建立关系解决问题；(2)过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条、若仅求得一条、除了考虑运算过程是否正确外、还要考虑斜率不存在的情况、以防漏解．由直线y＝x＋1上的动点P向圆C：(x－3)2＋y2＝1引切线、则切线长的最小值为()A．1 B．22C．7D．3C[如图、切线长|PM|＝|PC|2－1、显然当|PC|为C到直线y＝x＋1的距离即3＋12＝22时|PM|最小为7、故选C.]D [将圆的方程化为标准方程得(x －2)2＋(y ＋1)2＝5、圆心坐标为F (2、－1)、半径r ＝5、如图、显然过点E 的最长弦为过点E 的直径、即|AC |＝25、而过点E 的最短弦为垂直于EF的弦、|EF |＝（2－1）2＋（－1－0）2＝2、|BD |＝2r2－|EF|2＝23、∴S 四边形ABCD ＝12|AC |×|BD |＝215.]直线与圆的综合问题直线与圆的综合问题的求解策略(1)利用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)、把它转化为代数问题、通过代数的计算、使问题得到解决．所以当点N 为(4、0)时、能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．本例是探索性问题、求解的关键是把几何问题代数化、即先把条件“x 轴平分∠ANB ”等价转化为“直线斜率的关系：k AN ＝－k BN ”、然后借助方程思想求解．[教师备选例题]如图、在平面直角坐标系xOy 中、已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2、4).(1)设圆N 与x 轴相切、与圆M 外切、且圆心N 在直线x ＝6上、求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B 、C 两点、且BC ＝OA 、求直线l 的方程．[解] (1)圆M 的方程化为标准形式为(x －6)2＋(y －7)2＝25、圆心M (6、7)、半径r ＝5、由题意、设圆N 的方程为(x －6)2＋(y －b )2＝b 2(b >0).且(6－6)2＋(b －7)2＝b ＋5.解得b ＝1、∴圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.,(2)∵k OA ＝2、∴可设l 的方程为y ＝2x ＋m 、即2x －y ＋m ＝0.又BC ＝OA ＝22＋42＝25．由题意、圆M 的圆心M (6、7)到直线l 的距离为d ＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22＝25－5＝25．。
高考理科数学2010—2018真题分类 专题九 解析几何第二十五讲 直线与圆(带答案)
专题九 解析几何第二十五讲 直线与圆一、选择题1．(2018全国卷Ⅲ)直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是A ．[2,6]B ．[4,8]C．D．2．(2018天津)已知圆2220x y x +-=的圆心为C，直线1,32⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y (t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC △的面积为 ．3．(2018北京)在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 A ．1B ．2C ．3D ．44．（2017新课标Ⅲ）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为ABC．3D ．135．（2017新课标Ⅲ）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为 A ．3 B． CD ．26．（2015山东）一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射后与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为 A ．53-或35- B ．32-或23- C ．54-或45- D ．43-或34- 7．（2015广东）平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是A ．250x y ++=或250x y +-=B ．20x y +=或20x y +=C ．250x y -+=或250x y --=D ．20x y -=或20x y -=8．（2015新课标2）过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN =A ．26B ．8C ．46D ．109．（2015重庆）已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴，过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB ＝A ．2B ．C ．6D ．10．（2014新课标2）设点0(,1)M x ，若在圆22:=1O x y +上存在点N ，使得°45OMN ∠=，则0x 的取值范围是A ．[]1,1-B ．1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， C ．⎡⎣ D ．⎡⎢⎣⎦11．（2014福建）已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是A ．20x y +-=B ．20x y -+=C ．30x y +-=D ．30x y -+= 12．（2014北京）已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为A ．7B ．6C ．5D ．413．（2014湖南）若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m =A ．21B ．19C ．9D ．11-14．（2014安徽）过点P ）（1,3--的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是A ．]60π，（ B ．]30π，（ C ．]60[π， D ．]30[π， 15．（2014浙江）已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是A ．－2B ．－4C ．－6D ．－816．（2014四川）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是A ．B ．C ．D ．17．（2014江西）在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为A ．45πB ．34πC ．(6π-D ．54π18．（2013山东）过点(3，1)作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为A ．230x y +-=B ．230x y --=C ．430x y --=D ．430x y +-=19．（2013重庆）已知圆()()221:231C x y -+-=，圆()()222:349C x y -+-=，,M N分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值为A ．4B 1C ．6- D20．（2013安徽）直线250x y +-=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为A ．1B ．2C ．4D ．21．（2013新课标2）已知点()1,0A -；()1,0B ；()0,1C ，直线y ax b =+(0)a >将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是A ．(0,1)B ．112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．113⎛⎤- ⎥ ⎦⎝D ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭22．（2013陕西）已知点(,)M a b 在圆221:O x y +=外, 则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定23．（2013天津）已知过点P (2，2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切， 且与直线10ax y -+=垂直， 则a =A ．12-B ．1C ．2D ．1224．（2013广东）垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是A ．0x y +B ．10x y ++=C ．10x y +-=D ．0x y +=25．（2013新课标2）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若||3||AF BF =，则l 的方程为A ．1y x =-或1y x =-+B ．(1)3y x =-或1)3y x =--C ．1)y x =-或1)y x =-D ．(1)2y x =-或1)2y x =-- 26．（2012浙江）设a R ∈，则“1a =”是“直线1l ：210ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件27．（2012天津）设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 的取值范围是A ．[1B ．(,1[1+3,+)-∞∞C ．[2-D ．(,2[2+22,+)-∞-∞28．（2012湖北）过点(1,1)P 的直线，将圆形区域{}22(,)|4x y x y +…分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为A ．20x y +-=B ．10y -=C ．0x y -=D ．340x y +-=29．（2012天津）在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于,A B 两点，则弦AB 的长等于A ．B ．CD ．130．（2011北京）已知点A (0,2)，B (2,0)．若点C 在函数y = x 的图像上，则使得ΔABC 的面积为2的点C 的个数为 A ．4B ．3C ．2D ．131．（2011江西）若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是A ．(B ．(0)(0C ．[D ．(-∞，- ，+∞) 32．（2010福建）以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为A ．22++2=0x y xB ．22++=0x y xC ．22+y =0x x -D ．22+2=0x y x -33．（2010广东）若圆心在x O 位于y 轴左侧，且与直线20x y +=相切，则圆O 的方程是A ．22(5x y +=B ．22(5x y +=C ．22(5)5x y -+= D ．22(5)5x y ++= 二、填空题34．(2018江苏)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ．35．（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中，(12,0)A -，(0,6)B ，点P 在圆O ：2250x y +=上，若20PA PB ⋅≤，则点P 的横坐标的取值范围是 ．36．（2015湖北）如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A的上方），且2AB =．（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为 ； （Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论：①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=； ③NB MA NAMB+=其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）37．（2014江苏）在平面直角坐标系xOy 中，直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长为 ．38．（2014重庆）已知直线02=-+y ax 与圆心为C 的圆()()4122=-+-a y x 相交于B A ，两点，且ABC ∆为等边三角形，则实数=a _________．39．（2014湖北）直线1l ：y x a =+和2l ：y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b +=________．40．（2014山东）圆心在直线20x y -=上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为C 的标准方程为 ．41．（2014陕西）若圆C 的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为____．42．（2014重庆）已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆044222=--++y x y x 相交于B A ，两点，且BC AC ⊥，则实数a 的值为_________．43．（2014湖北）已知圆22:1O x y +=和点(2,0)A -，若定点(,0)B b (2)b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有||||MB MA λ=，则 （Ⅰ）b = ；（Ⅱ）λ= .44．（2013浙江）直线23y x =+被圆22680x y x y +--=所截得的弦长等于__________. 45．（2013湖北）已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1x y θθ+=(π02θ<<)．设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k = .46．（2012北京）直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长为 .47．（2011浙江）若直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m =__． 48．(2011辽宁)已知圆C 经过A (5，1)，B (1，3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__． 49．(2010新课标)圆心在原点上与直线20x y +-=相切的圆的方程为 ． 50．(2010新课标)过点A (4,1)的圆C 与直线0x y -=相切于点(2,1)B ，则圆C 的方程为 ． 三、解答题51．(2016年全国I)设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点(1,0)B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．52．(2014江苏)如图，为了保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆．且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ． 经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处， 点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，34tan =∠BCO ． （I ）求新桥BC 的长；（II ）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？53．（2013江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()03A ,，直线24l y x =-：.设圆C的半径为1，圆心在l 上.（I ）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （II ）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． 54．(2013新课标2)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为在y轴上截得线段长为 （I ）求圆心P 的轨迹方程； （II ）若P 点到直线y x =P 的方程． 55．（2011新课标）在平面直角坐标系xoy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上．（I ）求圆C 的方程；（II ）若圆C 与直线0x y a-+=交于A ，B 两点，且,OAOB ⊥求a 的值．56．（2010北京）已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(，直线y t =椭圆C 交与不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆P ,圆心为P ． （I ）求椭圆C 的方程；（II ）若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标；（Ⅲ）设(,)Q x y 是圆P 上的动点，当t 变化时，求y 的最大值．专题九 解析几何 第二十五讲 直线与圆答案部分1．A 【解析】圆心(2,0)到直线的距离d == 所以点P到直线的距离1d ∈．根据直线的方程可知A ，B 两点的坐标分别为(2,0)A -，(0,2)B -，所以||AB = 所以ABP ∆的面积111||2S AB d ==．因为1d ∈，所以[2,6]S ∈，即ABP ∆面积的取值范围是[2,6]．故选A ． 2．12【解析】直线的普通方程为20x y +-=，圆的标准方程为22(1)1x y -+=， 圆心为(1,0)C ，半径为1，点C 到直线20x y +-=的距离2d ==，所以||AB ==，所以1122ABC S ∆==． 3．C【解析】由题意可得d ====（其中cos ϕ=sin ϕ=，∵1sin()1θϕ--≤≤,d1=+，∴当0m=时，d取得最大值3，故选C．4．A【解析】以线段12A A为直径的圆是222x y a+=，直线20bx ay ab-+=与圆相切，所以圆心到直线的距离d a==，整理为223a b=，即()22222323a a c a c=-⇒=，即2223ca=，cea==，故选A．5．A【解析】如图建立直角坐标系，x则(0,1)A，(0,0)B，(2,1)D，(,)Px y所以圆的方程为224(2)5x y-+=，所以(,1)AP x y=-，(0,1)AB=-，(2,0)AD=，由AP AB ADλμ=+，得21xyμλ=⎧⎨-=-⎩，所以λμ+=12xy-+，设12xz y=-+，即102xy z-+-=，点(,)P x y在圆上，所以圆心到直线102xy z-+-=的距离小于半径，≤，解得13z≤≤，所以z的最大值为3，即λμ+的最大值为3，选A．6．D 【解析】(2,3)--关于y 轴对称点的坐标为(2,3)-，设反射光线所在直线为3(2)y k x +=-，即230kx y k ---=，则1d ==，|55|k +=43k =-或34-．7．A 【解析】 设所求直线的方程为20x y c ++=(1)≠c，则=，所以c =250x y ++=或250x y +-=．8．C 【解析】设过,,A B C 三点的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则3100422007500D E F D E F D E F +++=⎧⎪+++=⎨⎪-++=⎩，解得2,4,20D E F =-==-， 所求圆的方程为2224200x y x y +-+-=，令0x =，得24200y y +-=， 设1(0,)M y ，2(0,)N y ，则124y y +=-，1220y y ⋅=-，所以12||||MN y y =-==9．C 【解析】圆C 标准方程为22(2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此2110a +⨯-=，1a =-，即(4,1)A --，6AB ===．选C ．10．A 【解析】当点M 的坐标为(1,1)时，圆上存在点(1,0)N ，使得45OMN ∠=，所以01x =符合题意，排除B 、D ；当点M的坐标为时，OM =M 作圆O 的一条切线MN '，连接ON '，则在R t O M N '∆中，sin OMN '∠=<，则45OMN '∠<，故此时在圆O 上不存在点N ，使得°45OMN ∠=，即0x =合题意，排除C ，故选A ．11．D 【解析】直线l 过点(0,3)，斜率为1，所以直线l 的方程为30x y -+=．12．B 【解析】因为圆C 的圆心为(3,4)，半径为1，||5OC =，所以以原点为圆心、以m为半径与圆C 有公共点的最大圆的半径为6，所以m 的最大值为6，故选B ．13．C 【解析】由题意得12(0,0),(3,4)C C ，121,r r =1212||15C C r r =+==，所以9m =．14．D 【解析】设直线l 的倾斜角为θ，由题意可知min max 0,263ππθθ==⨯=．15．B 【解析】圆的标准方程为22(1)(1)2x y a ++-=-，则圆心(1,1)C -，半径r 满足22r a =-，则圆心C 到直线20x y ++=的距离d == 所以2422r a =+=-，故4a =-16．B 【解析】易知直线0x my +=过定点(0,0)A ，直线30mx y m --+=过定点(1,3)B ，且两条直线相互垂直，故点P 在以AB 为直径的圆上运动，故||||||cos ||sin PA PB AB PAB AB PAB +=∠+∠)4PAB π=∠+∈．故选B ．17．A 【解析】由题意可知以线段AB 为直径的圆C 过原点O ，要使圆C 的面积最小，只需圆C 的半径或直径最小．又圆C 与直线240x y +-=相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点O 到直线240x y +-=的距离，此时2r =，得r =，圆C 的面积的最小值为245S r ππ==． 18．A 【解析】根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3，1)，(1，0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是2-，只有选项A 中直线的斜率为2-． 19．A 【解析】圆C 1，C 2的圆心分别为C 1，C 2，由题意知|PM |≥|PC 1|－1，|PN |≥|PC 2|－3，∴|PM |＋|PN |≥|PC 1|＋|PC 2|－4，故所求值为|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值． 又C 1关于x 轴对称的点为C 3(2，－3)，所以|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值为|C 3C 2|－444=，故选A ．20．C 【解析】圆心(1,2)，圆心到直线的距离d =，半径r =，所以最后弦长为4=.21．B 【解析】（1）当y ax b =+过()1,0A -与BC 的中点D 时，符合要求，此13b =， （2）当y ax b =+位于②位置时1,0b A a ⎛⎫-⎪⎝⎭,11,11b a b D a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭， 令1112A BD S ∆=得212b a b=-,∵0a >,∴12b < (3) 当y ax b =+位于③位置时21,11b b a A a a --⎛⎫⎪--⎝⎭,21,11b a b D a a -+⎛⎫ ⎪++⎝⎭，令2212A CD S ∆=,即()111112112b b b a a --⎛⎫--= ⎪+-⎝⎭， 化简得22241a b b -=-+,∵0a >,∴22410b b -+<，解得1122b -<<+综上：112b <<，选B 22．B 【解析】点M(a ,b )在圆221x y +=外，∴221a b +>．圆(0,0)O 到直线1ax by +=距离1d =<=圆的半径，故直线与圆相交．所以选B ．23．C【解析】设直线斜率为k ，则直线方程为2(2)y k x -=-，即220kx y k -+-=，圆心(1,0)==12k =-．因为直线与直线10ax y -+=垂直，所以112k a =-=-， 即2a =，选C ． 24．A 【解析】∵圆心到直线的距离等于1r =，排除B 、C ；相切于第一象限排除D ，选A.直接法可设所求的直线方程为：()0y x k k =-+>，再利用圆心到直线的距离等于1r =，求得k =25．C 【解析】抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0)，准线方程为1x =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则因为|AF |=3|BF |，所以1213(1)x x +=+，所以1232x x =+，因为1||y =32||y ，1x =92x ，所以1x =3，2x =13，当1x =3时，2112y =，所以此时1y ==±1y =1(3,(,)33A B -,此时AB k =此时直线方程为1)y x =-。
高考数学真题练习——直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系一．选择题（共16小题）1．（2015•重庆）已知直线10x ay +-=是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴，过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||(AB = )A ．2B ．6C ．D ．2．（2014•全国）若直线21y x =+与圆222(3)(2)x y r -+-=相切，则2(r = )A ．8B ．5C ．D3．（2014•福建）已知直线l 过圆22(3)4x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是( ) A ．20x y +-=B ．20x y -+=C ．30x y +-=D ．30x y -+=4．（2014•北京）已知圆22:(3)(4)1C x y -+-=和两点(,0)A m -，(B m ，0)(0)m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．45．（2014•安徽）过点(P 1)-的直线l 与圆221x y +=有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A ．(0，]6πB ．(0，]3πC ．[0，]6πD ．[0，]3π6．（2014•浙江）已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是( ) A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-7．（2014•江西）在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为( )A ．45πB ．34πC ．(6π-D ．54π8．（2013•重庆）设P 是圆22(3)(1)4x y -++=上的动点，Q 是直线3x =-上的动点，则||PQ 的最小值为( ) A ．6B ．4C ．3D ．29．（2013•陕西）已知点(,)M a b 在圆22:1O x y +=外，则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是( ) A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定10．（2013•江西）过点引直线l 与曲线y =A ，B 两点，O 为坐标原点，当ABO ∆的面积取得最大值时，直线l 的斜率等于( )A B ．C ． D ． 11．（2013•天津）已知过点(2,2)P 的直线与圆22(1)5x y -+=相切，且与直线10ax y -+=垂直，则(a = ) A ．12-B ．1C ．2D ．1212．（2013•安徽）直线250x y +-=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为( )A ．1B ．2C ．4 D．13．（2012•天津）设m ，n R ∈，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n +的取值范围是( )A．[11+ B ．(-∞，1[13+，)+∞C．[2-2+D ．(-∞，2[222-+，)+∞14．（2012•重庆）对任意的实数k ，直线1y kx =+与圆222x y +=的位置关系一定是( ) A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心15．（2012•陕西）已知圆22:40C x y x +-=，l 为过点(3,0)P 的直线，则( ) A ．l 与C 相交 B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能16．（2012•安徽）若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=有公共点，则实数a 取值范围是( ) A ．[3-，1]-B ．[1-，3]C ．[3-，1]D ．(-∞，3][1-，)+∞二．填空题（共10小题）17．（2018•天津）已知圆2220x y x +-=的圆心为C，直线13x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，(t 为参数）与该圆相交于A ，B 两点，则ABC ∆的面积为 ．18．（2017•全国）直线20x -=被圆2220x y x +-=截得的线段长为 ．19．（2017•上海）若P 、Q 是圆222440x y x y +-++=上的动点，则||PQ 的最大值为 ．20．（2016•上海）在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 是圆22650x y x +-+=上的两个动点，且满足||AB =则||OA OB +的最小值为 ．21．（2014•湖北）直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b += ． 22．（2014•上海）已知曲线:C x =，直线:6l x =，若对于点(,0)A m ，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为 ．23．（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为 ． 24．（2013•湖北）已知圆22:5O x y +=，直线:cos sin 1(0)2l x y πθθθ+=<<．设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k = ．25．（2013•浙江）直线23y x =+被圆22680x y x y +--=所截得的弦长等于 ． 26．（2013•山东）过点(3,1)作圆22(2)(2)4x y -+-=的弦，其中最短的弦长为 ． 三．解答题（共4小题）27．（2017•上海）某景区欲建造两条圆形观景步道1M 、2M （宽度忽略不计），如图所示，已知AB AC ⊥，60AB AC AD ===（单位：米），要求圆1M 与AB 、AD 分别相切于点B 、D ，圆2M 与AC 、AD 分别相切于点C 、D ；（1）若60BAD ∠=︒，求圆1M 、2M 的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道1M 与2M 的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆1M 、2M 的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）28．（2015•陕西）如图，AB 切O 于点B ，直线AO 交O 于D ，E 两点，BC DE ⊥，垂足为C ． （Ⅰ）证明：CBD DBA ∠=∠；（Ⅱ）若3AD DC =，BC =，求O 的直径．29．（2013•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3)A ，直线:24l y x =-，设圆C 的半径为1，圆心在l 上． （1）若圆心C 也在直线3y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程； （2）若圆C 上存在点M ，使||2||MA MO =，求圆心C 的横坐标的取值范围．30．（2013•四川）已知圆C 的方程为22(4)4x y +-=，点O 是坐标原点．直线:l y kx =与圆C 交于M ，N 两点． （Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）设(,)Q m n 是线段MN 上的点，且222211||||||OQ OM ON =+．请将n 表示为m 的函数．直线与圆的位置关系参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．（2015•重庆）已知直线10x ay +-=是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴，过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||(AB = )A ．2B ．6C ．D ．【解答】解：圆22:4210C x y x y +--+=，即22(2)(1)4x y -+-=， 表示以(2,1)C 为圆心、半径等于2的圆．由题意可得，直线:10l x ay +-=经过圆C 的圆心(2,1)， 故有210a +-=，1a ∴=-，点(4,1)A --．(AC ==2CB R ==，∴切线的长||6AB ===．故选：B ．2．（2014•全国）若直线21y x =+与圆222(3)(2)x y r -+-=相切，则2(r = )A ．8B ．5C ．D【解答】解：直线21y x =+与圆222(3)(2)x y r -+-=相切，∴圆心(3,2)C 到直线的距离d r ===，25r ∴=．故选：B ．3．（2014•福建）已知直线l 过圆22(3)4x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是( ) A ．20x y +-=B ．20x y -+=C ．30x y +-=D ．30x y -+=【解答】解：由题意可得所求直线l 经过点(0,3)，斜率为1， 故l 的方程是30y x -=-，即30x y -+=， 故选：D ．4．（2014•北京）已知圆22:(3)(4)1C x y -+-=和两点(,0)A m -，(B m ，0)(0)m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4【解答】解：圆22:(3)(4)1C x y -+-=的圆心(3,4)C ，半径为1， 圆心C 到(0,0)O 的距离为5，∴圆C 上的点到点O 的距离的最大值为6．再由90APB ∠=︒可得，以AB 为直径的圆和圆C 有交点，可得12PO AB m ==，故有6m ， 故选：B ．5．（2014•安徽）过点(P 1)-的直线l 与圆221x y +=有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A ．(0，]6πB ．(0，]3πC ．[0，]6πD ．[0，]3π【解答】解：由题意可得点(P 1)-在圆221x y +=的外部，故要求的直线的斜率一定存在，设为k ，则直线方程为1(y k x +=，即10kx y -+-=．1，即22311k k -++，解得03k ，故直线l 的倾斜角的取值范围是[0，]3π，故选：D ．6．（2014•浙江）已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是( ) A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-【解答】解：圆22220x y x y a ++-+= 即22(1)(1)2x y a ++-=-，故弦心距d =再由弦长公式可得224a -=+，4a ∴=-， 故选：B ．7．（2014•江西）在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为( )A ．45πB ．34πC ．(6π-D ．54π【解答】解：如图，设AB 的中点为C ，坐标原点为O ，圆半径为r ，由已知得||||OC CE r ==，过点O 作直线240x y +-=的垂直线段OF ， 交AB 于D ，交直线240x y +-=于F ，则当D 恰为OF 中点时，圆C 的半径最小，即面积最小 此时圆的直径为(0,0)O 到直线240x y +-=的距离为：d ==此时12r d ==∴圆C 的面积的最小值为：245min S ππ=⨯=． 故选：A ．8．（2013•重庆）设P 是圆22(3)(1)4x y -++=上的动点，Q 是直线3x =-上的动点，则||PQ 的最小值为( ) A ．6B ．4C ．3D ．2【解答】解：过圆心A 作AQ ⊥直线3x =-， 与圆交于点P ，此时||PQ 最小， 由圆的方程得到(3,1)A -，半径2r =， 则||||624PQ AQ r =-=-=． 故选：B ．9．（2013•陕西）已知点(,)M a b 在圆22:1O x y +=外，则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是( ) A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定【解答】解：(,)M a b 在圆221x y +=外， 221a b ∴+>，∴圆(0,0)O 到直线1ax by +=的距离1d r <=，则直线与圆的位置关系是相交． 故选：B ．10．（2013•江西）过点引直线l 与曲线y =A ，B 两点，O 为坐标原点，当ABO ∆的面积取得最大值时，直线l 的斜率等于( )A B ．C ． D ．【解答】解：由y =221(0)x y y +=．所以曲线y =x 轴上方的部分（含与x 轴的交点）， 设直线l 的斜率为k ，要保证直线l 与曲线有两个交点，且直线不与x 轴重合，则10k -<<，直线l 的方程为0(y k x -=-，即0kx y -=．则原点O 到l 的距离d =，l则2211ABO k S k ∆-==+==令211t k =+，则ABO S ∆=34t =，即21314k =+时，ABOS ∆有最大值为12．此时由21314k =+，解得k = 故选：D ．11．（2013•天津）已知过点(2,2)P 的直线与圆22(1)5x y -+=相切，且与直线10ax y -+=垂直，则(a = ) A ．12-B ．1C ．2D ．12【解答】解：因为点(2,2)P 满足圆22(1)5x y -+=的方程，所以P 在圆上， 又过点(2,2)P 的直线与圆22(1)5x y -+=相切，且与直线10ax y -+=垂直， 所以切点与圆心连线与直线10ax y -+=平行， 所以直线10ax y -+=的斜率为：20221a -==-． 故选：C ．12．（2013•安徽）直线250x y +-=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为( )A ．1B ．2C ．4D ．【解答】解：由22240x y x y +--=，得22(1)(2)5x y -+-=，所以圆的圆心坐标是(1,2)C ，半径r =圆心C 到直线250x y +-+=的距离为1d ===．所以直线直线250x y +-=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为4． 故选：C ．13．（2012•天津）设m ，n R ∈，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n +的取值范围是( )A ．[11+B ．(-∞，1[13+，)+∞C ．[2-2+D ．(-∞，2[222-+，)+∞【解答】解：由圆的方程22(1)(1)1x y -+-=，得到圆心坐标为(1,1)，半径1r =， 直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆相切，∴圆心到直线的距离1d ==，整理得：21()2m n m n mn +++=， 设m n x +=，则有214x x +，即2440x x --，2440x x --=的解为：12x =+22x =-∴不等式变形得：(220x x ---+，解得：222x +或222x -，则m n +的取值范围为(-∞，2[222-+，)+∞． 故选：D ．14．（2012•重庆）对任意的实数k ，直线1y kx =+与圆222x y +=的位置关系一定是( ) A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心【解答】解：对任意的实数k ，直线1y kx =+恒过点(0,1)，且斜率存在 (0,1)在圆222x y +=内∴对任意的实数k ，直线1y kx =+与圆222x y +=的位置关系一定是相交但直线不过圆心故选：C ．15．（2012•陕西）已知圆22:40C x y x +-=，l 为过点(3,0)P 的直线，则( ) A ．l 与C 相交 B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能【解答】解：将圆的方程化为标准方程得：22(2)4x y -+=，∴圆心(2,0)C ，半径2r =，又(3,0)P与圆心的距离12d r ==<=，∴点P 在圆C 内，又直线l 过P 点，则直线l 与圆C 相交． 故选：A ．16．（2012•安徽）若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=有公共点，则实数a 取值范围是( ) A ．[3-，1]-B ．[1-，3]C ．[3-，1]D ．(-∞，3][1-，)+∞【解答】解：直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=有公共点∴圆心到直线10x y -+=2|1|2a ∴+31a ∴-故选：C ．二．填空题（共10小题）17．（2018•天津）已知圆2220x y x +-=的圆心为C，直线13x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，(t 为参数）与该圆相交于A ，B 两点，则ABC ∆的面积为12． 【解答】解：圆2220x y x +-=化为标准方程是22(1)1x y -+=，圆心为(1,0)C ，半径1r =；直线13x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩化为普通方程是20x y +-=，则圆心C到该直线的距离为d ==弦长||22AB =⨯=， ABC ∴∆的面积为111||2222S AB d ==⨯=． 故答案为：12． 18．（2017•全国）直线20x -=被圆2220x y x +-=【解答】解：圆2220x y x +-=化为22(1)1x y -+=，设直线20x --=与圆22(1)1x y -+=的交点为A 、B ，圆心为(1,0)O ， 线段AB 的中点为D ，半径为1r =则由圆的几何性质可知，OD AB ⊥，且1||2OD ==，||1OA r ==，||2||AB AD ∴===19．（2017•上海）若P 、Q 是圆222440x y x y +-++=上的动点，则||PQ 的最大值为 2 ． 【解答】解：圆222440x y x y +-++=，可化为22(1)(2)1x y -++=，P 、Q 是圆222440x y x y +-++=上的动点，||PQ ∴的最大值为2，故答案为2．20．（2016•上海）在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 是圆22650x y x +-+=上的两个动点，且满足||AB =则||OA OB +的最小值为 4 ．【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，AB 中点(,)M x y ''． 122x x x +'=，122y y y +'=， ∴12(OA OB x x +=+，12)2y y OM +=，圆22:650C x y x +-+=，22(3)4x y ∴-+=，圆心(3,0)C ，半径2CA =．点A ，B 在圆C 上，AB = 2221()2CA CM AB ∴-=，即1CM =．点M 在以C 为圆心，半径1r =的圆上．312OM OC r ∴-=-=．||2OM ∴，∴||4OA OB +，∴||OA OB +的最小值为4．故答案为：4．21．（2014•湖北）直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b += 2 ． 【解答】解：由题意可得，圆心(0,0)到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的14，∴cos 452==︒=，222a b ∴+=， 故答案为：2．22．（2014•上海）已知曲线:C x =，直线:6l x =，若对于点(,0)A m ，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为 [2，3] ．【解答】解：曲线:C x =，是以原点为圆心，2 为半径的圆，并且[2P x ∈-，0]， 对于点(,0)A m ，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得0AP AQ +=， 说明A 是PQ 的中点，Q 的横坐标6x =， 6[22Px m +∴=∈，3]． 故答案为：[2，3]．23．（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为 ． 【解答】解：圆22(2)(1)4x y -++=的圆心为(2,1)C -，半径2r =， 点C 到直线直线230x y +-=的距离d ，∴根据垂径定理，得直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为==． 24．（2013•湖北）已知圆22:5O x y +=，直线:cos sin 1(0)2l x y πθθθ+=<<．设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k = 4 ．【解答】解：由圆的方程得到圆心(0,0)O ，半径r =圆心O 到直线l 的距离1d ==，且11r d d -=->=，∴圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为4，即4k =．故答案为：425．（2013•浙江）直线23y x =+被圆22680x y x y +--=所截得的弦长等于 【解答】解：圆22680x y x y +--=的圆心坐标(3,4)，半径为5，=因为圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，所以直线23y x =+被圆22680x y x y +--=所截得的弦长为：2=故答案为：26．（2013•山东）过点(3,1)作圆22(2)(2)4x y -+-=的弦，其中最短的弦长为 【解答】解：根据题意得：圆心(2,2)，半径2r =，2，(3,1)∴在圆内，圆心到此点的距离d ，2r =，∴最短的弦长为=故答案为：三．解答题（共4小题）27．（2017•上海）某景区欲建造两条圆形观景步道1M 、2M （宽度忽略不计），如图所示，已知AB AC ⊥，60AB AC AD ===（单位：米），要求圆1M 与AB 、AD 分别相切于点B 、D ，圆2M 与AC 、AD 分别相切于点C 、D ；（1）若60BAD ∠=︒，求圆1M 、2M 的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道1M 与2M 的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆1M 、2M 的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）【解答】解：（1）1M 半径60tan3034.6=︒≈，2M 半径60tan1516.1=︒≈； （2）设2BAD α∠=，则总造价0.8260tan 0.9260tan(45)y παπα=+︒-， 设1tan x α+=，则1812(817)84y x x ππ=+-，当且仅当32x =，1tan 2α=时，取等号，1M ∴半径30，2M 半径20，造价263.8千元．28．（2015•陕西）如图，AB 切O 于点B ，直线AO 交O 于D ，E 两点，BC DE ⊥，垂足为C ． （Ⅰ）证明：CBD DBA ∠=∠；（Ⅱ）若3AD DC =，BC =，求O 的直径．【解答】证明：（Ⅰ）DE 是O 的直径， 则90BED EDB ∠+∠=︒， BC DE ⊥，90CBD EDB ∴∠+∠=︒，即CBD BED ∠=∠，AB 切O 于点B ，DBA BED ∴∠=∠，即CBD DBA ∠=∠；（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD 平分CBA ∠， 则3BA ADBC CD ==， 2BC =AB ∴=4AC =，则3AD =，由切割线定理得2AB AD AE =，即26AB AE AD==，故3DE AE AD =-=， 即可O 的直径为3．29．（2013•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3)A ，直线:24l y x =-，设圆C 的半径为1，圆心在l 上． （1）若圆心C 也在直线3y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程； （2）若圆C 上存在点M ，使||2||MA MO =，求圆心C 的横坐标的取值范围．【解答】解：（1）由题设，圆心C 在3y x =-上，也在直线24y x =-上，设切点的横坐标为a ， 243a a -=-，1a ∴=，(1,2)C ∴-．22:(1)(2)1C x y ∴-++=，由题，当斜率存在时，过A 点切线方程可设为3y kx =+，即30kx y -+=1=，解得：125k =-，⋯（4分）又当斜率不存在时，也与圆相切，∴所求切线为0x =或1235y x =-+， 即0x =或125150x y +-=；（2）设点(,)M x y ，由||2||MA MO =，化简得：22(1)4x y ++=，∴点M 的轨迹为以(0,1)-为圆心，2为半径的圆，可记为圆D ，又点M 在圆C 上，∴圆C 与圆D 的关系为相交或相切，1||3CD ∴，其中||CD221(23)3a a ∴+-，解得：1205a． 30．（2013•四川）已知圆C 的方程为22(4)4x y +-=，点O 是坐标原点．直线:l y kx =与圆C 交于M ，N 两点． （Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）设(,)Q m n 是线段MN 上的点，且222211||||||OQ OM ON =+．请将n 表示为m 的函数． 【解答】解：（Ⅰ）将y kx =代入22(4)4x y +-=中，得：22(1)8120(*)k x kx +-+=，根据题意得：△22(8)4(1)120k k =--+⨯>，即23k >， 则k 的取值范围为(-∞，⋃，)+∞；（Ⅱ）由M 、N 、Q 在直线l 上，可设M 、N 坐标分别为1(x ，1)kx ，2(x ，2)kx ，2221||(1)OM k x ∴=+，2222||(1)ON k x =+，22222||(1)OQ m n k m =+=+，代入222211||||||OQ OM ON =+得：22222212211(1)(1)(1)k m k x k x =++++， 即21212222221212()2211x x x x m x x x x +-=+=， 由(*)得到12281kx x k +=+，122121x x k =+， 代入得：222222824()211144(1)k kk m k -++=+，即223653m k =-， 点Q 在直线y kx =上，n km ∴=，即n k m =，代入223653m k =-，化简得225336n m -=， 由223653m k =-及23k >，得到203m <<，即(m ∈0)(0⋃， 根据题意得点Q 在圆内，即0n >，n ∴=则n 与m的函数关系式为(n m =∈0)(0⋃．。
2023年新高考(新课标)全国2卷数学试题真题(含答案解析)
2023年新高考全国Ⅱ卷数学试题一、单选题二、多选题9．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，AB 为底面直径，120APB ∠=︒和2PA =，点C 在底面圆周上，且二面角．OMN 为等腰三角形既有极大值也有极小值，则（28b ac +>信号的传输相互独立．发送0时，的概率为1-三、填空题．已知向量a ，b 满足3a b -=和2a b a b +=-，则b =______与():1C x -“ABC 面积为)ϕ，如图A ，2的两个交点，若6四、解答题．记ABC 的内角，已知ABC 的面积为60，E为⊥；BC DA满足EF DA=，求二面角．已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为的方程；(2)记C 的左、右顶点分别为1A 和2A ，过点()4,0-的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线1MA 与2NA 交于点P ．证明:点P 在定直线上.22．（1）证明：当01x <<时sin x x x x 2-<<；（2）已知函数()()2cos ln 1f x ax x =--，若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围。
2023年新高考全国Ⅱ卷数学试题答案解析1．（2023·新高考Ⅱ卷·1·★）在复平面内，(13i)(3i)+-对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 答案：A解析：2(13i)(3i)3i 9i 3i 68i +-=-+-=+，所以该复数对应的点为(6,8)，位于第一象限. 2．（2023·新高考Ⅱ卷·2·★）设集合{0,}A a =-和{1,2,22}B a a =--，若A B ⊆，则a =（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）23（D ）1-答案：B解析：观察发现集合A 中有元素0，故只需考虑B 中的哪个元素是0。
2023年新高考数学大一轮复习专题六解析几何第1讲直线与圆(含答案)
新高考数学大一轮复习专题：第1讲 直线与圆[考情分析] 1.和导数、圆锥曲线相结合，求直线的方程，考查点到直线的距离公式，多以选择题、填空题形式出现，中低难度.2.和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度．考点一 直线的方程 核心提炼1．已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 1，B 1不同时为零)，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2，B 2不同时为零)，则l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且A 1C 2－A 2C 1≠0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. 2．点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.3．两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(A ，B 不同时为零)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.例1 (1)若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( )A.2B.823C.3D.833答案 B解析 由l 1∥l 2得(a －2)a ＝1×3，且a ×2a ≠3×6， 解得a ＝－1，∴l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，∴l 1与l 2间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－2312＋－12＝823. (2)直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点N ，则直线2x ＋3y －6＝0关于点N 对称的直线方程为( )A ．2x ＋3y －12＝0B ．2x ＋3y ＋12＝0C ．2x －3y ＋12＝0D ．2x －3y －12＝0答案 B解析 由ax ＋y ＋3a －1＝0可得a (x ＋3)＋y －1＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝0，y －1＝0，可得x ＝－3，y ＝1，∴N (－3,1)．设直线2x ＋3y －6＝0关于点N 对称的直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－6)． 则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c |4＋9，解得c ＝12或c ＝－6(舍去)． ∴所求直线方程为2x ＋3y ＋12＝0. 易错提醒 解决直线方程问题的三个注意点(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．(2)要注意直线方程每种形式的局限性，点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x 轴垂直，而截距式方程即不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线． (3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．跟踪演练1 (1)已知直线l 经过直线l 1：x ＋y ＝2与l 2：2x －y ＝1的交点，且直线l 的斜率为－23，则直线l 的方程是( )A ．－3x ＋2y ＋1＝0B ．3x －2y ＋1＝0C ．2x ＋3y －5＝0D ．2x －3y ＋1＝0答案 C解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以两直线的交点为(1,1)． 因为直线l 的斜率为－23，所以直线l 的方程为y －1＝－23(x －1)，即2x ＋3y －5＝0.(2)已知直线l 1：kx －y ＋4＝0与直线l 2：x ＋ky －3＝0(k ≠0)分别过定点A ，B ，又l 1，l 2相交于点M ，则|MA |·|MB |的最大值为________． 答案252解析 由题意可知，直线l 1：kx －y ＋4＝0经过定点A (0,4)，直线l 2：x ＋ky －3＝0经过定点B (3,0)．易知直线l 1：kx －y ＋4＝0和直线l 2：x ＋ky －3＝0始终垂直，又M 是两条直线的交点，所以MA ⊥MB ，所以|MA |2＋|MB |2＝|AB |2＝25，故|MA |·|MB |≤252⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当|MA |＝|MB |＝522时取“＝”.考点二 圆的方程 核心提炼 1．圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2. 2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆．例2 (1)(2018·天津)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为____________． 答案 x 2＋y 2－2x ＝0解析 方法一 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. ∵圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，2＋D ＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝0.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0. 方法二 画出示意图如图所示，则△OAB 为等腰直角三角形， 故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1， ∴所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1， 即x 2＋y 2－2x ＝0.(2)已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.则圆C 的标准方程为________________________． 答案 (x －1)2＋(y －2)2＝2 解析 设圆心C (a ，b )，半径为r ， ∵圆C 与x 轴相切于点T (1,0)， ∴a ＝1，r ＝|b |.又圆C 与y 轴正半轴交于两点， ∴b >0，则b ＝r ，∵|AB |＝2，∴2＝2r 2－1， ∴r ＝2，故圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2. 规律方法 解决圆的方程问题一般有两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程． (2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．跟踪演练2 (1)(2020·全国Ⅱ)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为( ) A.55B.255 C.355 D.455答案 B解析 由题意可知圆心在第一象限，设为(a ，b )． ∵圆与两坐标轴都相切， ∴a ＝b ，且半径r ＝a ，∴圆的标准方程为(x －a )2＋(y －a )2＝a 2. ∵点(2,1)在圆上，∴(2－a )2＋(1－a )2＝a 2， ∴a 2－6a ＋5＝0，解得a ＝1或a ＝5. 当a ＝1时，圆心坐标为(1,1)， 此时圆心到直线2x －y －3＝0的距离为d ＝|2×1－1－3|22＋－12＝255； 当a ＝5时，圆心坐标为(5,5)， 此时圆心到直线2x －y －3＝0的距离为d ＝|2×5－5－3|22＋－12＝255. 综上，圆心到直线2x －y －3＝0的距离为255.(2)已知A ，B 分别是双曲线C ：x 2m －y 22＝1的左、右顶点，P (3,4)为C 上一点，则△PAB 的外接圆的标准方程为________________． 答案 x 2＋(y －3)2＝10解析 ∵P (3,4)为C 上一点，∴9m －162＝1，解得m ＝1，则B (1,0)，∴k PB ＝42＝2，PB 的中点坐标为(2,2)，PB 的中垂线方程为y ＝－12(x －2)＋2，令x ＝0，则y ＝3， 设外接圆圆心为M (0，t )，则M (0,3)，r ＝|MB |＝1＋32＝10， ∴△PAB 外接圆的标准方程为x 2＋(y －3)2＝10. 考点三 直线、圆的位置关系 核心提炼1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法 (1)点线距离法．(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)，方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，x －a 2＋y －b2＝r 2，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．例3 (1)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |等于( ) A ．2B ．42C ．6D ．210 答案 C解析 由题意，得圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，知圆C 的圆心为C (2,1)，半径为2.方法一 因为直线l 为圆C 的对称轴，所以圆心在直线l 上，则2＋a －1＝0，解得a ＝－1， 所以|AB |2＝|AC |2－|BC |2＝[(－4－2)2＋(－1－1)2]－4＝36，所以|AB |＝6.方法二 由题意知，圆心在直线l 上，即2＋a －1＝0，解得a ＝－1，再由图知，|AB |＝6.(2)(2020·全国Ⅰ)已知⊙M ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，直线l ：2x ＋y ＋2＝0，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，当|PM |·|AB |最小时，直线AB 的方程为( ) A ．2x －y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x ＋y ＋1＝0答案 D解析 ⊙M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4， 则圆心M (1,1)，⊙M 的半径为2. 如图，由题意可知PM ⊥AB ，∴S 四边形PAMB ＝12|PM |·|AB |＝|PA |·|AM |＝2|PA |， ∴|PM |·|AB |＝4|PA | ＝4|PM |2－4.当|PM |·|AB |最小时，|PM |最小，此时PM ⊥l . 故直线PM 的方程为y －1＝12(x －1)，即x －2y ＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，2x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，∴P (－1,0)．又∵直线x ＝－1，即PA 与⊙M 相切， ∴PA ⊥x 轴，PA ⊥MA ，∴A (－1,1)． 又直线AB 与l 平行，设直线AB 的方程为2x ＋y ＋m ＝0(m ≠2)， 将A (－1,1)的坐标代入2x ＋y ＋m ＝0，得m ＝1. ∴直线AB 的方程为2x ＋y ＋1＝0. 规律方法 直线与圆相切问题的解题策略直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．跟踪演练3 (1)已知点M 是抛物线y 2＝2x 上的动点，以点M 为圆心的圆被y 轴截得的弦长为8，则该圆被x 轴截得的弦长的最小值为( ) A ．10B ．43C ．8D ．215答案 D解析 设圆心M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ， 而r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝a44＋16，∵圆M 与x 轴交于A ，B 两点， ∴|AB |＝2r 2－a 2＝2a 44＋16－a 2＝a 4－4a 2＋64＝a 2－22＋60≥60＝215.(2)若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0(a >0)相交，公共弦的长为22，则a ＝________. 答案102解析 联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0，可得公共弦所在直线方程为ax ＋2ay －5＝0， 故圆心(0,0)到直线ax ＋2ay －5＝0的距离为 |－5|a 2＋4a2＝5a(a >0)．故222－⎝⎛⎭⎪⎫5a 2＝22，解得a 2＝52， 因为a >0，所以a ＝102. 专题强化练一、单项选择题1．过点A (1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( ) A ．y －x ＝1B ．y ＋x ＝3C ．2x －y ＝0或x ＋y ＝3D ．2x －y ＝0或y －x ＝1答案 D解析 当直线过原点时，可得斜率为2－01－0＝2，故直线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0，当直线不过原点时，设方程为x a ＋y－a＝1， 代入点(1,2)可得1a －2a＝1，解得a ＝－1，方程为x －y ＋1＝0，故所求直线方程为2x －y ＝0或y －x ＝1.2．若直线x ＋(1＋m )y －2＝0与直线mx ＋2y ＋4＝0平行，则m 的值是( ) A ．1B ．－2C ．1或－2D ．－32答案 A解析 由两直线平行的条件可得－2＋m ＋m 2＝0， ∴m ＝－2(舍)或m ＝1.3．已知圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0关于y ＝x 对称，则k 的值为( ) A ．－1B ．1C ．±1D．0 答案 A解析 化圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0为(x ＋k 2)2＋(y ＋1)2＝k 4－4k ＋1. 则圆心坐标为(－k 2，－1)，∵圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0关于y ＝x 对称， ∴直线y ＝x 经过圆心， ∴－k 2＝－1，得k ＝±1.当k ＝1时，k 4－4k ＋1<0，不合题意， ∴k ＝－1.4．(2020·厦门模拟)已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0与直线l 相切于点P (3，3)，则直线l 的方程为( ) A ．3x －3y －6＝0 B ．x －3y －6＝0 C ．x ＋3y －4＝0 D ．x ＋3y －6＝0 答案 D解析 圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0可化为(x －2)2＋y 2＝4，则圆心C (2,0)， 直线PC 的斜率为k PC ＝0－32－3＝3，∵l ⊥PC ，则直线l 的斜率为k ＝－1k PC ＝－33，∴直线l 的点斜式方程为y －3＝－33(x －3)，化为一般式得x ＋3y －6＝0. 5．(2020·长沙模拟)已知直线l 过点A (a,0)且斜率为1，若圆x 2＋y 2＝4上恰有3个点到l 的距离为1，则a 的值为( ) A ．3 2 B ．±3 2 C ．±2 D ．± 2答案 D解析 直线l 的方程为y ＝x －a ，即x －y －a ＝0.圆上恰有三个点到直线l 的距离为1，可知圆心到直线的距离等于半径的一半，即|a |2＝1，a ＝± 2.6．已知点P 为圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4上一点，A (0，－6)，B (4,0)，则|PA →＋PB →|的最大值为( ) A.26＋2 B.26＋4 C ．226＋4 D ．226＋2 答案 C解析 取AB 的中点D (2，－3)， 则PA →＋PB →＝2PD →，|PA →＋PB →|＝|2PD →|，又由题意知，圆C 的圆心C 的坐标为(1,2)，半径为2， |PD →|的最大值为圆心C (1,2)到D (2，－3)的距离d 再加半径r ， 又d ＝1＋25＝26，∴d ＋r ＝26＋2， ∴|2PD →|的最大值为226＋4， 即|PA →＋PB →|的最大值为226＋4.7．(2020·北京市陈经纶中学月考)古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A ，B 距离之比是常数λ(λ>0，λ≠1)的点M 的轨迹是圆，若两定点A ，B 的距离为3，动点M 满足|MA |＝2|MB |，则M 点的轨迹围成区域的面积为( )A ．πB．2πC．3πD．4π 答案 D解析 以A 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系(图略)，则B (3,0)．设M (x ，y )，依题意有，x 2＋y 2x －32＋y2＝2，化简整理得，x 2＋y 2－8x ＋12＝0，即(x －4)2＋y 2＝4，则M 点的轨迹围成区域的面积为4π.8．(2020·辽宁省大连一中模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＝4，直线l ：x －y ＋6＝0，在直线l 上任取一点P 向圆C 作切线，切点为A ，B ，连接AB ，则直线AB 一定过定点( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，23 B ．(1,2)C ．(－2,3) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，43 答案 A解析 设点P (x 0，y 0)，则x 0－y 0＋6＝0.过点P 向圆C 作切线，切点为A ，B ，连接AB ，以CP 为直径的圆的方程为x (x －x 0)＋y (y －y 0)＝0，又圆C ：x 2＋y 2＝4，作差可得直线AB 的方程为xx 0＋yy 0＝4，将y 0＝x 0＋6，代入可得(x ＋y )x 0＋6y －4＝0，满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，6y －4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23，y ＝23，故直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，23.二、多项选择题9．集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝4}，B ＝{(x ，y )|(x －3)2＋(y －4)2＝r 2}，其中r >0，若A ∩B 中有且仅有一个元素，则r 的值是( ) A ．3B ．5C ．7D ．9 答案 AC解析 圆x 2＋y 2＝4的圆心是O (0,0)，半径为R ＝2，圆(x －3)2＋(y －4)2＝r 2的圆心是C (3,4)，半径为r ，|OC |＝5，当2＋r ＝5，r ＝3时，两圆外切，当|r －2|＝5，r ＝7时，两圆内切，它们都只有一个公共点，即集合A ∩B 中只有一个元素． 10．下列说法正确的是( )A ．直线x －y －2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2B ．点P (0,2)关于直线y ＝x ＋1的对称点为P ′(1,1)C ．过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点的直线方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1D ．经过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为x ＋y －2＝0 答案 AB解析 选项A 中直线x －y －2＝0在两坐标轴上的截距分别为2，－2，所以围成的三角形的面积是2，所以A 正确；选项B 中PP ′的中点⎝⎛⎭⎪⎫0＋12，2＋12在直线y ＝x ＋1上，且P (0,2)，P ′(1,1)两点连线的斜率为－1，所以B 正确；选项C 中需要条件y 2≠y 1，x 2≠x 1，所以C 错误；选项D 中还有一条截距都为0的直线y ＝x ，所以D 错误．11．已知圆C 1：(x ＋6)2＋(y －5)2＝4，圆C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝1，M ，N 分别为圆C 1和C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的值可以是( ) A ．6B ．7C ．10D ．15 答案 BCD解析 圆C 2关于x 轴的对称圆C 3为(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，圆心C 3(2，－1)，r 3＝1，点N 关于x 轴的对称点N ′在圆C 3上，又圆C 1的圆心C 1(－6,5)，r 1＝2，∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PN ′|≥|PC 1|－r 1＋|PC 3|－r 3＝|PC 1|＋|PC 3|－3≥|C 1C 3|－3＝2＋62＋－1－52－3＝7，∴|PM |＋|PN |的取值范围是[7，＋∞)．12．已知点A 是直线l ：x ＋y －2＝0上一定点，点P ，Q 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，若∠PAQ 的最大值为90°，则点A 的坐标可以是( ) A ．(0，2) B ．(1，2－1) C ．(2，0) D ．(2－1,1)答案 AC 解析如图所示，坐标原点O 到直线l ：x ＋y －2＝0的距离d ＝212＋12＝1，则直线l 与圆x 2＋y2＝1相切，由图可知，当AP ，AQ 均为圆x 2＋y 2＝1的切线时，∠PAQ 取得最大值，连接OP ，OQ ，由于∠PAQ 的最大值为90°，且∠APO ＝∠AQO ＝90°，|OP |＝|OQ |＝1，则四边形APOQ为正方形，所以|OA |＝2|OP |＝ 2.设A (t ，2－t )，由两点间的距离公式得|OA |＝t 2＋2－t2＝2，整理得t 2－2t ＝0，解得t ＝0或t ＝2，因此，点A 的坐标为(0，2)或(2，0)． 三、填空题13．若直线l ：x a ＋y b＝1(a >0，b >0)经过点(1,2)，则直线l 在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值是________． 答案 3＋2 2解析 因为直线l ：x a ＋y b＝1(a >0，b >0)经过点(1,2)，所以1a ＋2b＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝3＋b a＋2ab≥3＋22，当且仅当a ＝2＋1，b ＝2＋2时等号成立．所以直线在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值是3＋2 2.14．已知⊙O ：x 2＋y 2＝1.若直线y ＝kx ＋2上总存在点P ，使得过点P 的⊙O 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是______________________． 答案 (－∞，－1]∪[1，＋∞)解析 ∵⊙O 的圆心为(0,0)，半径r ＝1， 设两个切点分别为A ，B ，则由题意可得四边形PAOB 为正方形， 故有|PO |＝2r ＝2，∴圆心O 到直线y ＝kx ＋2的距离d ≤2， 即|2|1＋k2≤2，即1＋k 2≥2，解得k ≥1或k ≤－1.15．(2020·石家庄长安区期末)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，当△AOB 的面积达到最大时，k ＝________. 答案 ±1解析 由圆O ：x 2＋y 2＝1，得到圆心坐标为O (0,0)，半径r ＝1，把直线l 的方程y ＝kx ＋1(k ≠0)，整理为一般式方程得l ：kx －y ＋1＝0，圆心O (0,0)到直线AB 的距离d ＝1k 2＋1，弦AB 的长度|AB |＝2r 2－d 2＝2k 2k 2＋1，S △AOB ＝12×2k 2k 2＋1×1k 2＋1＝|k |k 2＋1＝1|k |＋1|k |，又因为|k |＋1|k |≥2|k |·1|k |＝2，S △AOB ≤12，当且仅当|k |＝1|k |，即k ＝±1时取等号，S △AOB 取得最大值，最大值为12，此时k ＝±1.16．已知圆C 1：x 2＋y 2＝r 2，圆C 2：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)交于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，给出下列结论：①a (x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)＝0；②2ax 1＋2by 1＝a 2＋b 2；③x 1＋x 2＝a ，y 1＋y 2＝b .其中正确的结论是________．(填序号)答案 ①②③解析 公共弦所在直线的方程为2ax ＋2by －a 2－b 2＝0， 所以有2ax 1＋2by 1－a 2－b 2＝0，②正确； 又2ax 2＋2by 2－a 2－b 2＝0，所以a (x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)＝0，①正确；AB 的中点为直线AB 与直线C 1C 2的交点，又AB ：2ax ＋2by －a 2－b 2＝0，C 1C 2：bx －ay ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2ax ＋2by －a 2－b 2＝0，bx －ay ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a2，y ＝b2.。
高三高考数学总复习《直线与圆》题型归纳与汇总
高考数学总复习题型分类汇《直线与圆》篇经典试题大汇总目录【题型归纳】题型一倾斜角与斜率 (3)题型二直线方程 (3)题型三直线位置关系的判断 (4)题型四对称与直线恒过定点问题 (4)题型五圆的方程 (5)题型六直线、圆的综合问题 (6)【巩固训练】题型一倾斜角与斜率 (7)题型二直线方程 (8)题型三直线位置关系的判断 (9)题型四对称与直线恒过定点问题 (10)题型五圆的方程 (11)题型六直线、圆的综合问题 (12)高考数学《直线与圆》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 倾斜角与斜率例1 直线l 310y +-=，则直线l 的倾斜角为（ ）A. 0150B. 0120C. 060D. 030【答案】 A【解析】由直线l 的方程为310y +-=，可得直线的斜率为33-=k ，设直线的倾斜角为[)πα,0∈，则33tan -=α，∴︒=150α． 故选：A ．【易错点】基础求解问题注意不要算错【思维点拨】直线方程的基础问题（倾斜角，斜率与方程，注意倾斜角为α为2π，即斜率k 不存在的情况）应对相关知识点充分理解，熟悉熟练例2 已知三点()0,a A 、()7,3B 、()a C 9,2--在一条直线上，求实数a 的值.【答案】2=a 或92=a 【解析】597,35a k a k CB AB +=-= ∵A 、B 、C 三点在一条直线上，∴BC AB k k =，即59735a a +=-，解得2=a 或92=a ．题型二 直线方程例1 经过点()1,1M 且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ）．A. 2x y +=B. 1x y +=C. 1x =或1y =D. 2x y +=或x y =【答案】D【解析】若直线过原点，则直线为y x =符合题意，若直线不过原点设直线为1x y m m+=， 代入点()1,1解得2m =，直线方程整理得20x y +-=，故选D ．【易错点】截距问题用截距式比较简单，但截距式1=+n y m x 中要求m ，n 均非零。
全国统一高考数学试卷(新课标ⅰ)(含解析版)
全国统一高考数学试卷（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4B．C．4D．3．（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=5．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5]6．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A．B．C．D．7．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3B．4C．5D．68．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π9．（5分）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）A．5B．6C．7D．810．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E 于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0]12．（5分）设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，，，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=．14．（5分）若数列{a n}的前n项和为S n=a n+，则数列{a n}的通项公式是a n=．15．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=．16．（5分）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．20．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N 内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB 垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．24．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．全国统一高考数学试卷（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B【考点】1D：并集及其运算；73：一元二次不等式及其应用．【专题】59：不等式的解法及应用；5J：集合．【分析】根据一元二次不等式的解法，求出集合A，再根据的定义求出A∩B和A∪B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x＞0}={x|x＞2或x＜0}，∴A∩B={x|2＜x＜或﹣＜x＜0}，A∪B=R，故选：B．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，以及并集的定义，属于基础题．2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4B．C．4D．【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】由题意可得z==，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i，由此可得z的虚部．【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，∴z====+i，故z的虚部等于，故选：D．【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．3．（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样【考点】B3：分层抽样方法．【专题】21：阅读型．【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．【点评】本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．5．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5]【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；EF：程序框图．【专题】27：图表型；5K：算法和程序框图．【分析】本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t＜1我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式．【解答】解：由判断框中的条件为t＜1，可得：函数分为两段，即t＜1与t≥1，又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；不满足条件时，即t≥1时，函数的解析式为：s=4t﹣t2故分段函数的解析式为：s=，如果输入的t∈[﹣1，3]，画出此分段函数在t∈[﹣1，3]时的图象，则输出的s属于[﹣3，4]．故选：A．【点评】要求条件结构对应的函数解析式，要分如下几个步骤：①分析流程图的结构，分析条件结构是如何嵌套的，以确定函数所分的段数；②根据判断框中的条件，设置分类标准；③根据判断框的“是”与“否”分支对应的操作，分析函数各段的解析式；④对前面的分类进行总结，写出分段函数的解析式．6．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A．B．C．D．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M，可得圆心M为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R=5，用球的体积公式即可算出该球的体积．【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2=（R﹣2）2+42，解出R=5，∴根据球的体积公式，该球的体积V===．故选：A．【点评】本题给出球与正方体相切的问题，求球的体积，着重考查了正方体的性质、球的截面圆性质和球的体积公式等知识，属于中档题．7．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3B．4C．5D．6【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由a n与S n的关系可求得a m+1与a m，进而得到公差d，由前n项和公式及S m=0可求得a1，再由通项公式及a m=2可得m值．【解答】解：a m=S m﹣S m﹣1=2，a m+1=S m+1﹣S m=3，﹣a m=1，所以公差d=a m+1S m==0，m﹣1＞0，m＞1，因此m不能为0，得a1=﹣2，所以a m=﹣2+（m﹣1）•1=2，解得m=5，另解：等差数列{a n}的前n项和为S n，即有数列{}成等差数列，则，，成等差数列，可得2•=+，即有0=+，解得m=5．又一解：由等差数列的求和公式可得（m﹣1）（a1+a m﹣1）=﹣2，m（a1+a m）=0，（m+1）（a1+a m+1）=3，可得a1=﹣a m，﹣2a m+a m+1+a m+1=+=0，解得m=5．故选：C．【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式及通项a n与S n的关系，考查学生的计算能力．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】16：压轴题；27：图表型．【分析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，依据三视图的数据，得出组合体长、宽、高，即可求出几何体的体积．【解答】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4．∴长方体的体积=4×2×2=16，半个圆柱的体积=×22×π×4=8π所以这个几何体的体积是16+8π；故选：A．【点评】本题考查了几何体的三视图及直观图的画法，三视图与直观图的关系，柱体体积计算公式，空间想象能力9．（5分）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）A．5B．6C．7D．8【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】根据二项式系数的性质求得a和b，再利用组合数的计算公式，解方程13a=7b求得m的值．【解答】解：∵m为正整数，由（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，以及二项式系数的性质可得a=，同理，由（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，可得b==．再由13a=7b，可得13=7，即13×=7×，即13=7×，即13（m+1）=7（2m+1），解得m=6，故选：B．【点评】本题主要考查二项式系数的性质的应用，组合数的计算公式，属于中档题．10．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．【考点】K3：椭圆的标准方程．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2，==．∴，化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．∴椭圆E的方程为．故选：D．【点评】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．11．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0]【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】16：压轴题；59：不等式的解法及应用．【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合可得a的范围．【解答】解：由题意可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l 为曲线的切线，且此时函数y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为y=x2﹣2x，求其导数可得y′=2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]故选：D．【点评】本题考查其它不等式的解法，数形结合是解决问题的关键，属中档题．12．（5分）设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，，，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列【考点】82：数列的函数特性；8H：数列递推式．【专题】16：压轴题；54：等差数列与等比数列；55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】由a n=a n可知△A n B n C n的边B n C n为定值a1，由b n+1+c n+1﹣2a1=及+1b1+c1=2a1得b n+c n=2a1，则在△A n B n C n中边长B n C n=a1为定值，另两边A n C n、A n B n的长度之和b n+c n=2a1为定值，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，根据b n+1﹣c n+1=，得b n﹣c n=，可知n→+∞时b n→c n，据此可判断△A n B n C n的边B n C n的高h n随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．【解答】解：b1=2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1，∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1，又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴，由题意，+a n，∴b n+1+c n+1﹣2a n=（b n+c n﹣2a n），∴b n+c n﹣2a n=0，∴b n+c n=2a n=2a1，∴b n+c n=2a1，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，又由题意，b n﹣c n+1=，∴=a1﹣b n，+1﹣a1=，∴b n﹣a1=，∴b n+1∴，c n=2a1﹣b n=，∴[][]=[﹣]单调递增（可证当n=1时＞0）故选：B．【点评】本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式，综合考查学生分析解决问题的能力，有较高的思维抽象度，是本年度全国高考试题中的“亮点”之一．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=2．【考点】9H：平面向量的基本定理；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】由于•=0，对式子=t+（1﹣t）两边与作数量积可得=0，经过化简即可得出．【解答】解：∵，，∴=0，∴tcos60°+1﹣t=0，∴1=0，解得t=2．故答案为2．【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键．14．（5分）若数列{a n}的前n项和为S n=a n+，则数列{a n}的通项公式是a n=（﹣2）n﹣1．【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】把n=1代入已知式子可得数列的首项，由n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，可得数列为等比数列，且公比为﹣2，代入等比数列的通项公式分段可得答案．【解答】解：当n=1时，a1=S1=，解得a1=1当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（）﹣（）=，整理可得，即=﹣2，故数列{a n}从第二项开始是以﹣2为首项，﹣2为公比的等比数列，故当n≥2时，a n=（﹣2）n﹣1，经验证当n=1时，上式也适合，故答案为：（﹣2）n﹣1【点评】本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的判定，属基础题．15．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=﹣．【考点】GP：两角和与差的三角函数；H4：正弦函数的定义域和值域．【专题】16：压轴题；56：三角函数的求值．【分析】f（x）解析式提取，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x=θ时，函数f（x）取得最大值，得到sinθ﹣2cosθ=，与sin2θ+cos2θ=1联立即可求出cosθ的值．【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x﹣α）（其中cosα=，sinα=），∵x=θ时，函数f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=，又sin2θ+cos2θ=1，联立得（2cosθ+）2+cos2θ=1，解得cosθ=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．16．（5分）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为16．【考点】57：函数与方程的综合运用；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】11：计算题；16：压轴题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】由题意得f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，由此求出a=8且b=15，由此可得f（x）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15．利用导数研究f（x）的单调性，可得f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数，结合f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，即可得到f（x）的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，∴f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，即[1﹣（﹣3）2][（﹣3）2+a•（﹣3）+b]=0且[1﹣（﹣5）2][（﹣5）2+a•（﹣5）+b]=0，解之得，因此，f（x）=（1﹣x2）（x2+8x+15）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15，求导数，得f′（x）=﹣4x3﹣24x2﹣28x+8，令f′（x）=0，得x1=﹣2﹣，x2=﹣2，x3=﹣2+，当x∈（﹣∞，﹣2﹣）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2﹣，﹣2）时，f′（x）＜0；当x∈（﹣2，﹣2+）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2+，+∞）时，f′（x）＜0∴f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数．又∵f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，∴f（x）的最大值为16．故答案为：16．【点评】本题给出多项式函数的图象关于x=﹣2对称，求函数的最大值．着重考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】（I）在Rt△PBC，利用边角关系即可得到∠PBC=60°，得到∠PBA=30°．在△PBA中，利用余弦定理即可求得PA．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，可得PB=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化简即可求出．【解答】解：（I）在Rt△PBC中，=，∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°．在△PBA中，由余弦定理得PA2=PB2+AB2﹣2PB•ABcos30°==．∴PA=．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，PB=BCcos（90°﹣α）=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化为．∴．【点评】熟练掌握直角三角形的边角关系、正弦定理和余弦定理是解题的关键．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．【考点】LW：直线与平面垂直；LY：平面与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，由已知可证OA1⊥AB，AB⊥平面OA1C，进而可得AB⊥A1C；（Ⅱ）易证OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立坐标系，可得，，的坐标，设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，可解得=（，1，﹣1），可求|cos＜，＞|，即为所求正弦值．【解答】解：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB，又因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立如图所示的坐标系，可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），则=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，），设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，即，可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞==，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：．【点评】本题考查直线与平面所成的角，涉及直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定，属难题．19．（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，由概率得加法公式和条件概率，代入数据计算可得；（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，分别求其概率，可得分布列，进而可得期望值．【解答】解：（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，所以P（A）=P（A1B1）+P（A2B2）=P（A1）P（B1|A1）+P（A2）P（B2|A2）==（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，并且P（X=800）=，P（X=500）=，P（X=400）=1﹣﹣=，故X的分布列如下：X 400 500 800P故EX=400×+500×+800×=506.25【点评】本题考查离散型随机变量及其分布列涉及数学期望的求解，属中档题．20．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N 内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．【考点】J3：轨迹方程；J9：直线与圆的位置关系．【专题】5B：直线与圆．【分析】（I）设动圆的半径为R，由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．分①l的倾斜角为90°，此时l与y轴重合，可得|AB|．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，根据，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出．【解答】解：（I）由圆M：（x+1）2+y2=1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（x﹣1）2+y2=9，圆心N（1，0），半径3．设动圆的半径为R，∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，∴a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3．∴曲线C的方程为（x≠﹣2）．（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|=．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，则，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），由l于M相切可得：，解得．当时，联立，得到7x2+8x﹣8=0．∴，．∴|AB|===由于对称性可知：当时，也有|AB|=．综上可知：|AB|=或．【点评】本题综合考查了两圆的相切关系、直线与圆相切问题、椭圆的定义及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等基础知识，需要较强的推理能力和计算能力及其分类讨论的思想方法．21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）对f（x），g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），从而解出a，b，c，d的值；（Ⅱ）由（I）得出f（x），g（x）的解析式，再求出F（x）及它的导函数，通过对k的讨论，判断出F（x）的最值，从而判断出f（x）≤kg（x）恒成立，从而求出k的范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，而f′（x）=2x+a，g′（x）=e x（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，从而a=4，b=2，c=2，d=2；（Ⅱ）由（I）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2e x（x+1）设F（x）=kg（x）﹣f（x）=2ke x（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，则F′（x）=2ke x（x+2）﹣2x﹣4=2（x+2）（ke x﹣1），由题设得F（0）≥0，即k≥1，令F′（x）=0，得x1=﹣lnk，x2=﹣2，①若1≤k＜e2，则﹣2＜x1≤0，从而当x∈（﹣2，x1）时，F′（x）＜0，当x∈（x1，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，x1）上减，在（x1，+∞）上是增，故F（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为F（x1），而F（x1）=﹣x1（x1+2）≥0，x≥﹣2时F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．②若k=e2，则F′（x）=2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），从而当x∈（﹣2，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，+∞）上是增，而F（﹣2）=0，故当x≥﹣2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．③若k＞e2时，F′（x）＞2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），而F（﹣2）=﹣2ke﹣2+2＜0，所以当x＞﹣2时，f（x）≤kg（x）不恒成立，综上，k的取值范围是[1，e2]．【点评】此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，考查分类讨论思想，解题的关键是能够利用导数工具研究函数的性质，此题是一道中档题．四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB 垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【专题】5B：直线与圆．【分析】（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt △DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB．（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=．设DE的中点为O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到Rt△BCF的外接圆的半径=．【解答】（I）证明：连接DE交BC于点G．由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．又∵DB⊥BE，∴DE为⊙O的直径，∠DCE=90°．∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．（II）由（I）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC．故DG是BC的垂直平分线，∴BG=．设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．∴CF⊥BF．∴Rt△BCF的外接圆的半径=．【点评】本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等边三角形的性质、三角形全等、三角形的外接圆的半径等知识，需要较强的推理能力、分析问题和解决问题的能力．23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）曲线C1的参数方程消去参数t，得到普通方程，再由，能求出C1的极坐标方程．（2）曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程，与C1的普通方程联立，求出C1与C2交点的直角坐标，由此能求出C1与C2交点的极坐标．【解答】解：（1）将，消去参数t，化为普通方程（x﹣4）2+（y﹣5）2=25，即C1：x2+y2﹣8x﹣10y+16=0，将代入x2+y2﹣8x﹣10y+16=0，得ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0．∴C1的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0．（2）∵曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．。
2022年全国统一高考数学卷(新高考2卷)含答案解析(原卷版)
……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………绝密★启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试（新高考2卷）数学副标题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号 一 二 三 四 总分 得分注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知集合A ={−1,1,2,4}，B ={x||x −1|≤1}，则A ∩B =( ) A. {−1,2}B. {1,2}C. {1,4}D. {−1,4}2. (2+ 2i)(1−2i)=( ) A. −2+4iB. −2−4iC. 6+2iD. 6−2i3. 中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现.如图是某古建筑物的剖面图，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，DD 1，CC 1，BB 1，AA 1是脊，OD 1，DC 1，CB 1，BA 1是相等的步，相邻桁的脊步的比分别为DD 1OD 1=0.5，CC 1DC 1=k 1，BB1CB 1=k 2，AA 1BA 1=k 3，若k 1，k 2，k 3是公差为0.1的等差数列，直线OA 的斜率为0.725，则k 3=( )A. 0.75B. 0.8C. 0.85D. 0.94. 已知向量a ⃗ =(3,4)，b ⃗ =(1,0)，c ⃗ =a ⃗ +t b ⃗ ，若<a ⃗ ,c ⃗ >=<b ⃗ ,c ⃗ >，则实数t =( )A. −6B. −5C. 5D. 65. 甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有( )A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种6. 若sin(α+β)+cos(α+β)=2√2cos(α+π4)sinβ，则( ) A. tan(α+β)=−1 B. tan(α+β)=1 C. tan(α−β)=−1D. tan(α−β)=17. 已知正三棱台的高为1，上下底面的边长分别为3√3和4√3，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A. 100πB. 128πC. 144πD. 192π8. 若函数f(x)的定义域为R ，且f(x +y)+f(x −y)=f(x)f(y)，f(1)=1，则∑f 22k=1(k)=( )A. −3B. −2C. 0D. 1二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。
2023年高考数学试题分类解析【第十章 直线与圆】附答案解析
2023年高考数学试题分类解析【第十章直线与圆】第三节直线与圆的位置关系1.（2023全国甲卷理科8，文科9）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，其中一条渐近线与圆()()22231x y -+-=交于,A B 两点，则AB =（）A.15【解析】由e =，则222222215c a b b a a a +==+=，解得2b a =.所以双曲线的一条渐近线为2y x =，则圆心()2,3到渐近线的距离d ==，所以弦长5AB ===.故选D.2.（2023全国乙卷理科22，文科22）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2sin 42ρθθππ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，曲线22cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，2απ<<π）.（1）写出1C 的直角坐标方程；（2）若直线y x m =+既与1C 没有公共点，也与2C 没有公共点，求m 的取值范围.【分析】(1)根据极坐标与直角坐标之间的转化运算求解，注意,x y 的取值范围；(2)根据曲线12,C C 的方程，结合图形通过平移直线y x m =+分析相应的临界位置，结合点到直线的距离公式运算求解即可.【解析】(1)因为2sin ρθ=，即22sin ρρθ=，可得222x y y +=，整理得()2211x y +-=，表示以()0,1为圆心，半径为1的圆，又因为cos 2sin cos sin 2x ρθθθθ===，2sin 2sin 1cos 2y ρθθθ===-，且42θππ ，则2θππ2 ，则[]sin 20,1x θ=∈，[]1cos 21,2y θ=-∈，故()[][]221:11,0,1,1,2C x y x y +-=∈∈.(2)因为22cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，2απ<<π），整理得224x y +=，表示圆心为()0,0O ，半径为2，且位于第二象限的圆弧，如图所示，若直线y x m =+过()1,1，则11m =+，解得0m =；若直线y x m =+，即0x y m -+=与2C相切，则20m =>⎩，解得m =若直线y x m =+与12,C C均没有公共点，则m >0m <，即实数m 的取值范围为()(),0-∞+∞.4.（2023新高考I 卷6）过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（）A.1B.154C.104 D.64【解析】()222241025x y x x y +--=⇒-+=，所以圆心为()2,0B ，记()0,2A -，设切点为,M N ，如图所示.因为AB =BM =，故AM =cos cos2AM MAB AB α=∠==，sin 2α=，sin 2sin cos 2224ααα==⨯.故选B.5.（2023新高考II 卷15）已知直线10x my -+=与圆()22:14C x y -+=交于,A B 两点，写出满足“85ABC S =△”的m 的一个值______.【解析】由题意可知，直线恒过点()1,0A -，此点同时为圆C 与x 轴负半轴的交点.又圆心()1,0C ，则2AC =，所以1825ABC B B S AC y y =⨯⨯==△，解得85B y =±，115B x =或15B x =-.所以满足条件的点B 可以为12341181181818,,,,,,,55555555B B B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，代入直线方程得2m =或2m =-或12m =或12m =-.。
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2005年全国高考试题分类解析（直线与圆） 一、选择题
1．（江西卷）在△OAB 中，O 为坐标原点，]2
,
0(),1,(sin ),cos ,1(π
θθθ∈B A ，则当△OAB
的面积达最大值时，=θ
（ D ）
A ．
6
π
B ．
4
π C ．
3
π D ．
2
π 2．（江西卷） “a =b ”是“直线2
2
2()()2y x x a y b =+-++=与圆相切”的 （A ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件 3. (重庆卷)圆(x +2)2+y 2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为
(A )
(A) (x -2)2+y 2=5； (B) x 2+(y -2)2=5； (C) (x +2)2+(y +2)2=5；
(D) x 2+(y +2)2=5。
4 (浙江)点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( D )
(A)
21 (B) 3
2
(C) 22 (D)322
5．(浙江)设集合A ＝{(x ，y )|x ，y ，1－x －y 是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( A )
5.（天津卷）将直线2x －y ＋λ＝0，沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2+y 2+2x －4y=0
相切，则实数λ的值为 (A) A ．－3或7 B ．－2或8 C ．0或10 D ．1或11 6. (全国卷Ⅰ)在坐标平面上，不等式组⎩
⎨
⎧+-≤-≥131
x y x y 所表示的平面区域的面积为（C ）
（A ）2
（B ）
2
3
（C ）
2
2
3 （D ）2
7. (全国卷Ⅰ)设直线l 过点)0,2(-，且与圆12
2
=+y x 相切，则l 的斜率是（ C ）
（A ）1±
（B ）2
1±
（C ）3
3±
（D ）3±
8. (全国卷I)已知直线l 过点），（02-，当直线l 与圆x y x 22
2=+有两个交点时，其斜率k 的取值范围是（B ）
（A ）），（2222-
（B ）），（22-
（C ）
），（4
2
42-
（D ））
，（8
1
81- 9. (全国卷III)已知过点A(-2，m)和B(m ，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m 的值为（B ）
（A ）0 （B ）-8 （C ）2 （D ）10 10（北京卷）从原点向圆 x 2＋y 2－12y ＋27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为(B )
（A ）π （B ）2π （C ）4π （D ）6π
11 （辽宁卷）若直线02=+-c y x 按向量)1,1(-=平移后与圆52
2
=+y x 相切，则c 的值为（ A ） A ．8或－2
B ．6或－4
C ．4或－6
D ．2或－8
12. （湖南卷）设直线的方程是0=+By Ax ，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A 、 B 的值，则所得不同直线的条数是
（C ）
A ．20
B ．19
C ．18
D ．16 13.（湖南卷）已知点P （x ，y ）在不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-+≤-≤-022,01,
02y x y x 表示的平面区域上运动，则z
＝x －y 的取值范围是 （ C ）
A ．[－2，－1]
B ．[－2，1]
C ．[－1，2]
D ．[1，2]
14.（北京卷）“m =2
1
”是“直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m －2)x +(m +2)y －3=0相互垂直”的(B )
（A ）充分必要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件
填空题
1.(全国卷II)圆心为(1,2)且与直线512 70x y --=相切的圆的方程为2
2
(1)(2)4x y -+-=． 2.（湖南卷）设直线0132=++y x 和圆0322
2
=--+x y x 相交于点A 、B ，则弦AB 的
P
M
N
垂直平分线方程是 0323=--y x .
3．（湖南卷）已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A 、B 两点，且|AB|＝3，
则⋅ ＝ 2
1
-
. 4．（湖北卷）某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是
每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元. 在满足需要的条件下，最少要花费 500 元. 5 (福建卷)15．非负实数x 、y 满足y x y x y x 3,0
30
42+⎩⎨
⎧≤-+≤-+则的最大值为 9 .
6（江西卷）设实数x , y 满足的最大值是则x y y y x y x ,0
320420
2⎪⎩
⎪
⎨⎧≤->-+≤-- 23 .
7（上海）3．若x,y 满足条件
x+y ≤3
y ≤2x ,则z=3x+4y 的最大值是 11 ． 8（上海）直线y=
2
1
x 关于直线x ＝1对称的直线方程是 x+2y-2=0 ． 9.（上海）将参数方程⎩⎨⎧=+=θ
θ
sin 2cos 21y x （θ为参数）化为普通方程，所得方程是_ (x-1)2+y 2=4
_________。
10.(山东卷）设x 、y 满足约束条件5,3212,03,0 4.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪
⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩则使得目标函数65z x y =+的最大的点
(,)x y 是(2,3).
解答题
1.（江苏卷） 如图,圆O 1与圆O 2的半径都是1,O 1O 2=4,过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PM =
试建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨
迹方程.
解：如图，以直线12O O 为x 轴，线段12O O 的垂直平分线为y 轴，建立平面
直角坐标系，则两圆心分别为12(2,0),(2,0)O O -．设(,)P x y ，
则
2222211(2)1
PM O P O M x y =-=++-，同
理222(2)1PN x y =-+-． ∵PM =，
∴2222(2)12[(2)1]x y x y ++-=-+-，
即221230x x y -++=，即22(6)33x y -+=．这就是动点P 的轨迹方程．
2.(广东卷)在平面直角坐标系中，已知矩形ＡＢＣＤ的长为２，宽为１，ＡＢ、ＡＤ边分别在ｘ轴、ｙ轴的正半轴上，Ａ点与坐标原点重合（如图５所示）．将矩形折叠，使Ａ点落在线段ＤＣ上．
（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为ｋ，试写出折痕所在直线的方程； （Ⅱ）求折痕的长的最大值．
.解(I) （1）当0=k 时,此时A 点与D 点重合, 折痕所在的直线方程2
1=y （2）当0≠k 时，将矩形折叠后A 点落在线段CD 上的点为G(a,1) 所以A 与G 关于折痕所在的直线对称，有k a k a
k k OG -=⇒-=-=⋅11
,
1 故G 点坐标为)1,(k G -，从而折痕所在的直线与OG 的交点坐标（线段OG 的中点）为
)2
1,2(k M -
折痕所在的直线方程)2
(21k
x k y +=-，即222k k kx y ++= 由（1）（2）得折痕所在的直线方程为：
k=0时，2
1
=y ；0≠k 时222k k kx y ++
= （II ）(1)当0≠k 时，折痕的长为2;
(1) 当0≠k 时, 折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为)0,21
(),21,0(22k k P k N +-+ 2
3
22222
4)1()21()21(k
k k k k PN y +=+-++==
X
4
32222/
168)1(42)1(3k
k k k k k y ⋅+-⋅⋅+= 令0/
=y 解得22-
=k ∴216
27max <=PN 所以折痕的长度的最大值2。