第八届全国大学生数学竞赛决赛试题参考答案(非数学类 2017)

2017-2018全国大学生数学竞赛试题及答案（最完整版）.pdf

=0
绕 y 轴旋转形成的椭球面的上半
部分（ z ≥ 0 ）取上侧，Π 是 S 在 P ( x, y, z ) 点处的切平面， ρ ( x, y, z ) 是原点到切平面Π
的距离， λ, μ,ν 表示 S 的正法向的方向余弦。计算：
（1）
∫∫
S
ρ
(
z x, y,
z
)
dS
；
（2） ∫∫ z (λx + 3μ y +ν z)dS 。 S 165
L
2
五、（本题满分 10 分）已知 y1 = xex + e2x ， y2 = xex + e−x ， y3 = xe x + e2x − e−x 是某二
阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程。
六、（本题满分 10 分）设抛物线 y = ax2 + bx + 2 ln c 过原点。当 0 ≤ x ≤ 1 时, y ≥ 0 ,又已
2
f (x)dx − 2 , 则 f (x) =
0
；
3．曲面 z = x2 + y2 − 2 平行平面 2x + 2 y − z = 0 的切平面方程是
；
2
4．设函数 y = y(x) 由方程 xe f ( y) = e y ln 29 确定，其中 f 具有二阶导数，且 f ′ ≠ 1 ，则
d2y =
an Snα
收敛；
∑ （2）当α ≤ 1且 sn
→
∞(n
→
∞)
时，级数
+∞ n=1
an Snα
发散。
五、（本题满分 15 分）设 l 是过原点、方向为 (α , β ,γ ) ，（其中α 2 + β 2 + γ 2 = 1) 的直线，

2017年数学竞赛预赛(非数学类)试题评分标准及参考答案 .doc

2017年数学竞赛预赛（非数学类）试题评分标准及参考答案一 1. 已知可导函数满足, 则()f x解：在方程两边求导得'()c o s +()s i n f x x f x x =,'()+()tan sec f x f x x x =.从而tan tan ()sec xdx xdx f x e xe dx c -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰l n c o sl n c o s211==cos cos cos x x ee dx c x dx c x x --⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ ()=c o s t a n =s i n c o sx x c x cx ++ 由于(0)1f =，故()sin cos f x x x =+。

2．求()n n n +∞→22sin lim π解由于 ()=+n n 22sin π()ππn n n -+22sin=2sin 1⎛⎫→。

3. 设(,)w f u v =具有二阶连续偏导数，且==+u x cy v x cy -，，其中c 为非零常数。

则21xx yy w w c-=_________。

解: 12+x w f f =，1112222xx w f f f =++，21()y w c f f =-，()()()22111122122111222=2yy w cf f c cf cf cf cf c f f f y∂=-=--+-+∂。

所以1221=4xx yy w w f c-。

4. 设()f x 有二阶导数连续，且(0)'(0)0,"(0)6f f f ===，则24(s i n )l i m x f xx →=______解：21()(0)'(0)"()2f x f f x f x ξ=++，所以241(sin )"()sin 2f x f x ξ=。

这样244400(sin )"()sin lim=lim 32x x f x f xx x ξ→→=。

第八届全国大学生数学竞赛决赛(数学类3、4)参考答案一面

其中: x0 ∈ E , x2 ∈ E , · · · , xn ∈ E ; x1 ∈ / E, x3 ∈ / E, · · · , xn−1 ∈ / E. 构造如下: ∀n ⩾ 1, 先取 x0 = 0, x2 , x4 , · · · , xn−2 ∈ E, xn = 1
数学家
|χE (xi ) − χE (xi−1 )| → ∞, 即
因此, 当且仅当 a > 27 或 a < −37 时方程有虚根 ∫∫ ax dy dz + (x + a)2 dx dy √ (a > 0 为常数)， 3. 计算曲面积分 I = x2 + y 2 + z 2 S √ 其中 S : z = − a2 − x2 − y 2 , 取上侧. I = π 答案：− a3 2 x2 + y 2 ⩽ a2 解: 令曲面 S1 : , 取下侧, 则 S1 ∩ S 为闭下半球的内侧. z = 0 令其内部区域为 Ω, 令 D 为 xOy 平面上的圆域 x2 + y 2 ⩽ a2 , 则利用高斯公式, 得 {∫ ∫ } ∫∫ [ ] 1 2 I= − axdy dz + (z + a) dxdy a S ∪S1 S1 [ ∫∫∫ ] ∫∫ 1 − (3a + 2z )dv + = a2 dxdy a Ω D [ ] ∫∫∫ 1 4 4 = −2πa − 2 z dv + πa a Ω ∫ ∫ a ∫ 0 2 2π = −πa3 − dθ rdr √ z dz a 0 0 − a2 −r 2 π = − a3 2
ˆ(x) ∈ S . 于是, 在 R 上有界, 从而 f ∫
A
数学家
−∞
ˆ(x)e2πixy dy 收敛, 而 f

第八届全国大学生数学竞赛决赛试题参考答案(非数学类,

（3）
∫∫∫( ) ∫ ∫ ∫ I = 1
1− (x2 + y2 + z2)
x2 + y2 + z2 dv = 1
2π dθ
π sin ϕ
1
(1 −
ρ 2 )ρ 3dρ
=
π
.
2Ω
20
0
0
6
3
五、设 n 阶方阵 A, B 满足 AB = A+B ，证明：若存在正整数 k ，使 Ak = O ( O 为零矩阵)，则行列式 B + 2017 A = B .
1 k
−
ln
n
.
（1）证明：极限
lim
n→∞
an
存在；
∞
∑ （2）记
lim
n→∞
an
=
C
，讨论级数
n =1
(an
−C)
的敛散性.
解（1）利用不等式：当 x > 0 时， x < ln(1+ x) < x ，有 1+ x
1
an
−
an−1
=
1 n
−
ln
n n −1
=
1 n
−
ln
⎛⎜⎝1 +
1⎞ n −1⎟⎠
第八届全国大学生数学竞赛决赛试题参考答案
(非数学类, 2017 年)
一、填空题
1.过单叶双曲面
x2 4
+
y2 2
− 2z2
= 1 与球面
x2
+
y2
+
z2
=
4
的交线且与直线
⎧x = 0 ⎨⎩3y + z

第8届全国大学生数学竞赛(非数学类)预赛试卷及答案

2 2 −1
从而
x0
=
2
,
y0
=
1
,
得
z0
=
x20 2
+ y02
=
3
,
从而所求切平面为
2(x − 2) + 2(y − 1) − (z − 3) = 0
即二 (本题满分 14 分)
2x + 2y − z = 3
设 f (x) 在 [0, 1] 可导, f (0) = 0, 且当 x ∈ (0, 1) , 0 < f ′(x) < 1 .
座位号
考场号
姓名
第八届全国大学生数学竞赛预赛试卷参考答案
(非数学类, 2016 年 10 月)
绝密 ⋆ 启用前
(14 金融工程-白兔兔)
考试形式：闭卷考试时间： 150 分钟满分： 100 分
题号一
二
三
四
五
六
总分
满分 30
14
14
14
14
14
100
得分
注意：1.所有答题都须写在试卷密封线右边, 写在其他纸上一律无效. 2.密封线左边请勿答题, 密封线外不得有姓名及相关标记. 3.如答题空白不够, 可写在当页背面, 并标明题号.
(∫ a
)2 ∫ a
试证当 a ∈ (0, 1) ,
f (x) dx > f 3(x) dx .
0
0
(∫ x
)2 ∫ x
证明设 F (x) =
f (t) dt − f 3(t) dt , 则 F (0) = 0 且要证明 F ′(x) > 0
0
0
∫x
设 g(x) = 2 f (t) dt − f 2(x) , 则 F ′(x) = f (x)g(x)

全国大学生数学竞赛初赛2016年第八届《非数学专业》竞赛题目及答案解析高清无水印版

2016年第八届全国大学生数学竞赛初赛（非数学类）试卷及参考答案一、填空题(满分30分，每小题5分)1．若()f x 在点x a =处可导，且()0f a ≠，则()()1/lim n n f a n f a →+∞⎡⎤+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.【参考解答】：由于 101lim limxx x x f a f a x x f a f a , 由已知条件： f x 在点x a 处可导，且 0f a ，由带皮亚诺余项的泰勒公式，有()()()()()f x f a f a x a o x a '=+-+-可得()()()()f a x f a f a x o x '+=++，将其代入极限式，则有111011lim1lim lim lim 1lim 1.n xxxn n x f a x o x x f a f a o x f a f a x o x f a x f a f a n f a x f a f a x o x f a x o x f a f a f a f a x o x ee f a2．若()()10,1f f '=存在，则极限()220sin cos tan 3lim1sin x x f x x xI e x →+==⎛⎫⎪- ⎪⎪ ⎝⎭.【参考解答】：22220sin cos 3sin cos lim3limx x f x x xf x x I x x x 22220sin cos 1sin cos 13lim sin cos 1x f x x f x x x x x 2222200sin cos 1sin cos 131lim 31lim x x x x x x f f x x x133111.22f f 3．设()f x 有连续导数，且()1 2.f = 记()2x z f e y =，若zz x∂=∂，()f x 在0x >的表达式为.【参考解答】：由题设，得222x x x zf e y e y f e y x. 令2x u e y ，得到当0u ,有 f u u f u ,即1ln ln .f u f u u f u u所以有 1ln ln , f u u C f u Cu . 再由初值条件 12 f ，可得2C =，即 2f u u .所以当0x 时，有 2.f x x 4．设()sin 2x f x e x =，则()()40f=.【参考解答】：由带皮亚诺余项余项的麦克劳林公式，有323341111222!3!3!f x x x x o x x x o x所以 f x 展开式的4次项为 3441223!3!x x x x ，即有4014!f ，故 4024.f 5．曲面222x z y =+平行于平面220x y z +-=的切平面方程为.【参考解答】：移项，曲面的一般式方程为 22,,02x F x y z y z ，有,,,,,2,1x y z n x y z F F F x y . ()()()121221,,//,,//,,n x y z n x y ⇒--，可得21.221x y 由此可得2,1 x y ，将它代入到曲面方程，可得3 z ，即曲面上点()213,,处切平面与已知平面平行，所以由平面的点法式方程可得切平面方程为222130x y z ，即22 3.x y z 第二题： (14分)设()f x 在[0,1]上可导，()00f =，且当()0,1x ∈，()01f x '<<. 试证：当()0,1a ∈时，有()()2300d d .a a f x x f x x ⎛⎫ ⎪> ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰ 【参考解答】：不等式的证明转换为证明不等式2300.aaf x dx f x dx 于是对函数求导，302xF x f x f t dt f x202xf x f t dt f x 已知条件 00f ，可得()00F '=，并且由 01f x ，所以函数()f x 在()01,内单调增加，即()0f x >，所以只要证明 220 xg x f t dt f x .又()00g =，所以只要证明()0g x '>，于是有22210g x f x f x f x f x f x 所以()g x 单调增加，所以 0,0g x x . 所以也就有 202xg x f t dt f x ，即()0F x '>，可得()0F x >，因此230xxF x f t dtf t dt单调增加，所以()()00F a F >=，即有2233aaaaF a f t dt f t dt f t dt f t dt.第三题：(14分)某物体所在的空间区域为222:22x y z x y z ++≤++，密度函数为222x y z ++，求质量()222d d d .M xy z x y z=++⎰⎰⎰【参考解答】：令111222,,u x v y w z ⎫⎪=-=-=-⎪⎪⎭，即111222,,x u y v z =+=+=+,则椭球面转换为变量为,,u v w 的单位球域，即222:1 uvw u v w . 则由三重积分的换元法公式，即222,,,,.,,uvwx y z M x y z dxdydz F u v w dudvdw u v w2222221113,,22224w F u v w u v u u v v10,,01,,00x x x uv w x y z yy y u v w uv w z y yuv w所以原积分就等于222324uvw w M u u v v由于单元圆域222:1 uvwu v w关于三个坐标面都对称，所以积分也就等于2222uvw uvw w M uv dudvdw dudvdwuvwdudvdw由于积分区域具有轮换对称性，所以有222uvwuvwuvwu dudvdw v dudvdw w dudvdw222222255226uvw uvw uvww u v dudvdw u dudvdw u v w dudvdw所以222222152122000021sin 2cos .255uvw uvw w u v dudvdw u v w dudvdw r d d r r dr所以最终的结果就为M=+=+=第四题：(14分)设函数()f x在闭区间0,1⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有连续导数，()()00,1 1.f f==证明：()1111lim d.2nn kkn f x x fn n→∞=⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪-=-⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎪⎝⎭∑⎰【参考解答】：将区间0,1n等份，分点kkxn，则1kxn，且111111lim lim kkn n nxk kxn nk k kkn f x dx f n f x dx f x xn n1111lim limk kk kn nx x kk kx xn nk k kf x f xn f x f x dx n x x dxx x111lim,,kkn xk kk k k kxnk k kf f xn x x dx x xx1211111011lim lim2111lim.222kkn nxk k k k kxn nk knk k knkn f x x dx n f x xf x x f x dx第五题：(14分)设函数()f x在区间0,1⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续，且()1d0.I f x x=≠⎰证明：在()0,1内存在不同的两点12,x x，使得()()12112.If x f x+=【参考解答】：设1,xF x f t dtI则00,1 1.F F由介值定理，存在0,1，使得1.2F 在两个子区间0,,,1上分别应用拉格朗日中值定理：11122201/2,0,,11/2,,1,11f x F FF x xIf x F FF x xI12121112.1/21/2I If x f x F x F x第六题：(14分) 设()f x在(),-∞+∞上可导，且()()(2f x f x f x=+=+，用傅里叶(Fourier)级数理论证明()f x为常数。

全国大学生数学竞赛决赛试题

希望延长 AB 到 R 的右边，若只许用直尺，且作图过程中直尺不通过 R，请问应该如何实现？ E
I
F G
A
B
R
A
CB D
ⅴ：探究完直线和平面的射影性质后，接下来我们探究二次曲线与二次曲面及其摄影性质：
ⅴ-1：请证明：当平面与正圆锥的一叶相交时，交线 E 是一椭圆：
ⅴ-2：实际上，直线在射影下不变的几何性质在椭圆中也同样成立：，如图 10，椭圆中有四
第八届全国大学生数学竞赛决赛试卷
（本卷为中国 985、211 工程大学数学学科科学硕士录取唯一官方指定认证试卷）
考生在答题前应仔细阅读下列注意事项： 1.本卷共 5 个板块，满分 150 分，考试时间：7 天，考试形式：封闭式，7 天内考生在指定场所独立完成试卷，考生日常食宿等一律由学校负责供应，考生在考试期间不得离开考场； 2.考试前，考生应将个人信息填涂在答题卡指定区域内，本卷所有试题答案均需在答题卡上作答，在试卷上作答一律无效。考试结束后，考生需将试卷，答题卡和草稿纸一并上交。
ⅳ-1：如图 8，是一个由任意四条直线组成，且它们其中任意三条不共点，一共相交于 6 个
点的完全四边形，其中经过 AB、EG、IF 的直线是此四边形的对角线，任取一条对角线，
如 AB，在在上面标出与其他两条对角线的交点 C、D，请证明：C、D 调和的分开 A、B：
ⅳ-2：根据上题给你的提示，如图 9 所示，在平面上给出一线段 AB 与一区域 R，如果现在
Ⅹ：[素数] 在历史上，人们一直想找出一个只产生素数的简单公式，下面我们简单选择几例进行介绍：
①费马的猜测：所有形如 22n 1的数都是素数，1732 年欧拉发现 225 1 641 6700417

大学数学竞赛题库及答案

大学数学竞赛题库及答案大学数学竞赛通常涵盖了高等数学、线性代数、概率论与数理统计、数学分析等多个领域。

以下是一些典型的大学数学竞赛题目及其答案。

# 题目一：高等数学题目：求函数 \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \) 在区间 \( [1, 2] \)上的最大值和最小值。

答案：首先，我们找到函数的导数 \( f'(x) = 6x - 2 \)。

令导数等于零，解得 \( x = \frac{1}{3} \)。

这个点不在给定区间内，所以我们需要检查区间端点的函数值。

在 \( x = 1 \) 时，\( f(1) = 3(1)^2 - 2(1) + 1 = 2 \)。

在 \( x = 2 \) 时，\( f(2) = 3(2)^2 - 2(2) + 1 = 9 \)。

因此，函数在区间 \( [1, 2] \) 上的最大值为 9，最小值为 2。

# 题目二：线性代数题目：求解线性方程组：\[ \begin{cases}x + y + z = 6 \\2x - y + z = 1 \\3x + y + 2z = 8\end{cases} \]答案：我们可以使用高斯消元法来解这个方程组。

首先将方程组写成增广矩阵的形式，然后进行行操作：\[ \left[\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 6 \\2 & -1 & 1 & 1 \\3 & 1 & 2 & 8\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 6 \\0 & -3 & -1 & -11 \\0 & 1 & 1 & 2\end{array}\right] \]继续行操作，得到：\[ \left[\begin{array}{ccc|c}1 & 0 & -2 & -5 \\0 & 1 & 1 & 2 \\0 & 0 & 3 & 13\end{array}\right] \]最后，我们得到解为 \( x = 1, y = 2, z = 3 \)。

全国大学生数学竞赛第八届答案

2 2 −1
从而
x0
=
2
,
y0
=
1
,
得
z0
=
x20 2
+ y02
=
3
,
从而所求切平面为
2(x − 2) + 2(y − 1) − (z − 3) = 0
即二 (本题满分 14 分)
2x + 2y − z = 3
设 f (x) 在 [0, 1] 可导, f (0) = 0, 且当 x ∈ (0, 1) , 0 < f ′(x) < 1 .
,n
.
lim
(∫ n
1
f (x) dx −
1
∑n ( k )) f
n→∞
0
( ∑n
∫
xk
n
n
k=1
)
∑n
= lim n
f (x) dx − hf (xk)
n→∞
k=1 xk1
k=1
∑n ∫ xk (
)
= lim n
f (x) − f (xk) dx
n→∞ k=1 xk1
∑n ∫ xk = lim n
2π ∫ dφ
π∫ dθ
1 r2 · r2 sin θ dr = 4π
0
0
0
5
Σ
由于 u2, v2, w2 在 Σ 上积分都是 I , 故 3
(
)
√
M = √1
111
52
+ + I+A= π
23 3 6
6
准考证号
学校
省市
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四 (本题满分 14 分)

山东省大学生数学竞赛(专科)试卷2017决赛试卷(含答案)

数学竞赛试题第 3 页（共 5 页）
证明： (1)设F ( x) f ( x) x, x [1,1]， f ( x)是奇函数， f ( 0) 0 F (0) f (0) 0 0, F (1) f (1) 1 0, 而F ( x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，由罗尔定理知，存在 (0,1)使得F ( ) f ( ) 1 0，即f ( ) 1.
身份证号：
2. lim
x 1
3 x 1 x ___________ . x2 x 2
3 x 1 x 2(1 x) 1 lim lim x 1 x 1 ( x 1)( x 2) ( x 1)( x 2) 3 x 1 x
解：原式 lim
1.(10分)求 lim
x 0
sin 2 x x 2 cos 2 x . x(e 2 x 1) ln(1 tan 2 x)
解：原式 lim
sin 2 x x 2 cos 2 x 1 (sin x x cos x)(sin x x cos x) lim 2 x 0 x 2x x 2 x 0 x4 1 sin x x cos x sin x x cos x 1 sin x x cos x lim lim lim 2 3 x 0 2 x 0 x x 2 x 0 x3 cos x cos x x sin x x2 1 lim lim . x 0 x 0 3 x 2 3x 2 3
原式sinsincos所以法线方程为所以法线斜率为从而cossincoslncoscossin二综合题本题共70分请写出相应演算步骤
绝密★启用前
山东省大学生数学竞赛（专科）决赛试卷（非数学类，2017）