透镜傅里叶变换性质共25页
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傅里叶光学第4章-透镜的位相调制和傅里叶变换性质课件
其中，
tl
x,
y
exp
j
k 2f
x2 y2
P
x,
y
exp
j
k 2f
x2 y2
表示透镜对入射波前的位相调制；
P x, y 表示透镜对于入射波前大小范围的限制。
2、透镜的傅里叶变换性质
✓ 回顾一下：利用透镜实现夫琅和费衍射，可以在透镜的焦平面上得到 入射场的空间频谱，即实现傅里叶变换的运算。
下面具体分析一下厚度函数(x,y)和透镜主要结构参数(构成透镜的两个球 面的曲率半径R1和R2)之间的关系。
x, y 1 x, y 2 x, y
将透镜一剖为二
x2 y2
1 R12
1
x2 y2 2R12
1
x,
y
01
R1
R12
x2 y2
01
R1
1
1
x2 y2
U f
xf , yf
Af jd
2
exp
j
k 2d
xf 2 yf 2
•T
xf d
,
yf d
对应的强度分布为
I f
xf , yf
Af d 2
2
T
xf d
,
yf d
2
2、透镜的傅里叶变换性质
总结一下：
✓ 在单色平面波照明下，无论物体位于透镜前方、后方还是紧靠透镜， 在透镜的后焦面上都可以得到物体的功率谱；对于这样的照明方式，透 镜后焦面常称为傅里叶变换平面或（空间）频谱面。
2、透镜的傅里叶变换性质
✓ 如果d=f，物体在透镜前 焦面，二次位相弯曲消失， 后焦面的光场分布是物体准 确的傅里叶变换。
✓ 如果d=0，物体在透镜前端面， 由于变换式前的二次位相因子， 使物体的频谱也产生一个位相 弯曲。
信息光学之透镜的傅里叶变换特性
r0 l
1
2
1 2
e jar02
e jar02 2
c irc
r0 l
1
2
1 4
exp[
ja(x2
y2
)]
1 4
exp[
ja(x2
y2
) ]c irc
x2 y2 l
#
§4-1 透镜的位相调制作用: 例 (续)
t(
x,
y)
1 2
1 4
exp[
ja(x2
y
2
)]
1 4
exp[
0 R1 1
1
(
x
2
y R12
2
)
R2
1
1
(
x
2
R22
y
2
)
取近轴近似, x,y足够小, (1-)1/21-/2 成立
透镜的厚度函数
(x,
y)
0
x2
2
y2
1 R1
1 R2
代入光程方程后再代入透过率方程, 得透镜的复振幅透过率函数:
tl (x, y) exp[ jkL(x, y)] exp( jk0 ) exp[ jk (n 1)(x, y)]
∴透镜的复振幅透过率:
tl
(x,
y)
Ul '(x, y) Ul (x, y)
exp[
j (x,
y)]
exp[
jk L( x,
y)]
#
§4-1 透镜的位相调制作用
光程函数
L(x,y) = n(x,y)+[0-(x,y)]=0 + (n-1)(x,y)
适合于任意形状的薄位相物体
傅里叶变换及其性质
αt
1
单边指数函数e-αt; (b) e-αt
的幅度谱
o
(b)
F(j) f(t)ejtdt etejtdt
01 02 e(j)t (j)
01j
1
ja rcta n
ea
a22
其振幅频谱及相位频谱分
解
别为
F ( ) 1
2 2
( ) arctan
例 2.4-3 求图 2.43(a)所示 双边指数 函数的频 谱函数。
02 或
2
B
2(rad/s)
1
Bf
(Hz)
周期信号的能量是无限的，而其平均功率是有界的， 因而周期信号是功率信号。为了方便，往往将周期信 号在1Ω电阻上消耗的平均功率定义为周期信号的功率。 显然，对于周期信号f(t)， 无论它是电压信号还是电
流信号，其平均功率均为 T
12 2
P f (t)dt 2.3.3 周期信号的功率T T2
( )
02
－
4
－
2
o
门函数； (b) 门函数的频谱；－ 4(c)－幅2 度谱； (d) 相位谱
o 2 4
2 4
－
(c)
(d )
f
(t)
e at
0
f (t)
例 2.4-2 求指数函数f(t)
的1频 谱 函 数 。 e－t (＞0)
o
t
(a)
t 0 ( 0)
t 0
图 2.4-2 单边指F(数)函数e-
性。
2.2 周期信号的连续时间傅里叶级数
f (t) Fnejnt
2.2.1 指数形式的傅里叶级数 n
满足Dirichlet条件的周期函数可以展成复指数形式的傅里叶级数:
第四章 透镜的位相调制 和傅里叶变换
傍轴近似下单色点光源的发散球面波在平面上造成的光场分布为
U 1 ( x, y ) = A exp( jkp ) exp[ j k ( x 2 + y 2 )] 2p
球面波经透镜变换后向点会聚，在平面上造成的复振幅分布为
k U 1' ( x,y )= Aexp( jkq )exp j (x 2 + y 2 ) 2q
照明光源和观察平面的位置始终保持共轭关系，因此观察平面位 照明光源和观察平面的位置始终保持共轭关系 置由照明光源位置决定（当照明光源位于光轴上无穷远，即平面 波垂直照明时，这时观察平面位于透镜后焦面上） 输入平面位于透镜前焦面，由于 d 0 = f ，衍射物体的复振幅透 输入平面位于透镜前焦面 过率与衍射场的复振幅分布存在准确的傅里叶变换关系，而且只 要照明光源和观察平面满足共轭关系，与照明光源的具体位置无 关。也就是说，不管照明光源位于何处，均不影响观察面上空间 频率与位置坐标的关系
= mm
50 = 463mm 3 0.6 10 180
( f d0 )(x2 + y2 ) ∞ f (x0 x + y0 y) ′ exp jk U(x, y) = c ]dx0dy0 ∫∫ t(x0 , y0 ) exp[ jk q( f d0 ) + fd0 2[q( f d0 ) + fd0 ]∞
两个特殊位置的讨论 两个特殊位置的讨论
( f d 0 )(x 2 + y 2 ) ∞ d0 d0 U ( x,y )=c ′exp jk ∫ ∫t (x0 ,y 0 )P x 0 + x,y 0 + 2f 2 f f ∞ x0 x+ y 0 y exp jk dx0 dy 0 f y ×
傅里叶变换的性质
§3–4傅里叶变换的性质设f(t) ←→F(jω)，f1(t) ←→F1(jω)，f2(t) ←→F2(jω)；α、α1、α2为实数，则有如下性质：一、线性：α1 f1(t) + α2 f2(t)←→α1F1(jω) + α2 F2(jω)二、对称性：F(jt)←→2πf(-ω)证明：将上式中的t换为ω，将原有的ω换为t，或：，即：F(jt)←→2π f(-ω)P.67例3-3：已知，再令==> ←→2πG(-ω)三、尺度变换：(α≠0的实数)可见信号持续时间与占有频带成反比(此性质易由积分变量代换证得)。
推论(折叠性)：f(-t) ←→F(-jω)四、时移性：(此性质易由傅氏变换的定义证得)推论(同时具有尺度变换与时移)：P.69-70例3-4请大家浏览。
五、频移性：(此性质易由傅氏变换的定义证得) π.70例3-5请大家浏览。
频移性的重要应用——调制定理：欧拉公式?例如门信号的调制：显然，当ω0足够大时，就可使原频谱密度函数被向左、右复制时几乎不失真。
六、时域卷积：f1(t)* f2(t) ←→F1(jω)F2(jω)证明：时域卷积的重要应用——求零状态响应的频域法：时域：yf(t) = f(t)* h(t) ==> 频域：Y f(jω) = F(jω)H(jω)七、频域卷积：f1(t). f2(t) ←→1/2π[F1(jω)*F2(jω)]八、时域微分性：df(t)/dt←→ jωF(jω) (其证明请自学P.72-73有关内容)推论:条件：例如：d(t) ←→1 ==>δ'(t) ←→jω九、时域积分性：证：故信号t轴上、下面积相等时F(0)=0，否则微分性与积分性是不可逆的。
十、频域微分性：例如：十一、频域积分性：f(0)=0时频域微分性与频域积分性才是可逆的。
十二、帕塞瓦尔定理：若f(t)为实函数，则能量表3-2傅里叶变换的基本性质下面再举几个例子说明性质的综合运用。
透镜的傅立叶变换性质全文
U
(
x,
y)
c
exp
jk
( f d0)(x2 2[q( f d0 )
y2)
f
d0
]
t(x0 , y0 )
exp
jk
f (x0x y0 y) q( f d0 ) fd0
dx0dy0
二次位相 因子
F.T.的核
(1) d0=f, 输入平面位于透镜前焦面:
U (x, y) c
2.无论物体相对于透镜的距离d0是多少，后焦面上 的强度分布不受影响,它仍然是物体的功率谱。
I x f , y f
A
f
2
T
xf
f
, yf
f
2
3.透镜的后焦面通常称为傅立叶变换平面或频谱面。
作业
一个边长为 a 的方孔，放在焦距为 f 的透镜的前焦面上，孔中心位于透镜
的光轴。用波长为 的单色平面波垂
y0
z
yl
yi
d0
di
分析时注意：
确定坐标系. 一个特定平面用一组固定的xy坐标描述, 不要混淆 正确描述入射光波复振幅U (x, y)
(平面波:垂直入射或斜入射; 球面波:会聚或发散) 光波由左向右传播,传播距离标绝对值 遇到孔径: 乘上透过率函数t(x, y), 遇到透镜: 乘上位相变换因子 传播过程: 看成菲涅耳衍射, 采用适当的形式
U0 (x0,y0,0-) x0 U0 (x0,y0,0+) y0 t(x0,y0)
U0 (x0,y0,0+)= U0 (x0,y0,0-) t(x0,y0)
实现位相变换:
Ul '(x',
y')
Ul (x',
第十四章傅里叶光学-文档资料
22 H u , v exp j d u v 0
u
x y 1 v 1 d0 d0
~ x E 2, y 2
Ex ,y 1 1
~ Ex, y
t x ,y l 2 2
t x ,y 1 1
~ 而 FT E x ,y 1 1 A FT tx ,y A T u , v 1 1
2 f
~ ~ x E ,y 1 1 E x ,y 1 1
~ Ex, y
f
f
表明：透镜后焦面上的光场分布正比于 tl x ,y 衍射物体平面上复振幅的傅里叶变换。 tx 1 1 f ,y 1 1
jk 2 2 exp 2f x y ，后焦面上的位相分布与物体频谱的位相分布不
tx, y
tl x, y f
~ 2）紧靠透镜之后的平面上的复振幅分布E x ,y 1 1
~ 3）后焦面上的复振幅分布 Ex, y
,y 物体的复振幅透过率为tx ，则物体与透镜之间的平面上的 1 1 复振幅分布为 ~ E x , y A t x , y 1 1 1 1
k 2 2 代入上式得到 ~ 将 E x , y A t x , y exp j x y 1 1 1 1 1 1
jk 2 1 2 Ex, y exp x y j f 2f ~ x y FTEx 1, y 1 u 1 v 1
但是这种FT关系不是准确的。由于变换式前存在位相因子
一样，但他对观察平面上的强度分布没有影响，其光强为
A x y I x , y T , f f f f
u
x y 1 v 1 d0 d0
~ x E 2, y 2
Ex ,y 1 1
~ Ex, y
t x ,y l 2 2
t x ,y 1 1
~ 而 FT E x ,y 1 1 A FT tx ,y A T u , v 1 1
2 f
~ ~ x E ,y 1 1 E x ,y 1 1
~ Ex, y
f
f
表明：透镜后焦面上的光场分布正比于 tl x ,y 衍射物体平面上复振幅的傅里叶变换。 tx 1 1 f ,y 1 1
jk 2 2 exp 2f x y ，后焦面上的位相分布与物体频谱的位相分布不
tx, y
tl x, y f
~ 2）紧靠透镜之后的平面上的复振幅分布E x ,y 1 1
~ 3）后焦面上的复振幅分布 Ex, y
,y 物体的复振幅透过率为tx ，则物体与透镜之间的平面上的 1 1 复振幅分布为 ~ E x , y A t x , y 1 1 1 1
k 2 2 代入上式得到 ~ 将 E x , y A t x , y exp j x y 1 1 1 1 1 1
jk 2 1 2 Ex, y exp x y j f 2f ~ x y FTEx 1, y 1 u 1 v 1
但是这种FT关系不是准确的。由于变换式前存在位相因子
一样，但他对观察平面上的强度分布没有影响，其光强为
A x y I x , y T , f f f f
光学信息处理：2.2 透镜的傅立叶变换性质
P′
透镜将平面波变成球面 波
(x,y)
t1
L
t
Q
r1
x2 y2
t2 L′
Q′
r2
z
导出透镜O 位t相0 变换函数
a(x, y) A2 / A1 1
T~L (x, y) exp[iL (x, y)]
T (x,
y)
eiL ( x, y )
i 2 [QQ ']
e
透镜相位 变换函数
[QQ '] t1 n0t t2 t1 t2 n0 (t0 t1 t2 )
EF'(x ',
y
')
eik ( f
i
'd0 )
f'
exp[ ik 2f
'
(1
d0 )(x '2 f'
y
'2 )]
t
( x0 ,
y0 )exp[i2
( x0x 'f 'Fra biblioteky0 y
f
' ' )]dx0dy0
eik ( f
i
'd0 )
f'
exp[ ik 2f
'
(1
d0 )(x '2 f'
y
'2 )]F
f 'F d
{t (x0 ,
物在透镜后的傅里叶变 换
y0 )}
接收 屏上 振幅 分布
相干平面波照明物平面--透镜后焦面上光场 的复振幅分布正比于物函数的傅立叶变换和 一个二次相位因子的乘积
输出面上光场的复振幅分布和物函数的准确 傅里叶变换相比--产生了相位弯曲
光学透镜的傅立叶变换
振 幅 滤 波 器
位 相 滤 波 器
例1:
例2:
原彩色像
恢复的彩色像
(4)图像识别
联合傅里叶变换(joint Fourier transform)是重要 的相关处理器，大量应用于图象、特征识别，在指 纹识别、字符识别、空中目标和地面遥感图识别等 领域已逐步进入实用化阶段
原理: 将一对待识别的图象通过马赫—曾特干涉仪并
排写入光寻址空间光调制器LCLV，将联合傅里叶 变换的复振幅谱转化为功率谱，用激光读出，再次 通过傅里叶变换由CCD探测后，经过数字图象处理 系统进行后处理，判别图象相关性。
联合变换相关图象识别系统
ST LA
CCD
BS1 SP
L2
L1
A
M1
DP2
DP1 PBS
LCL P
O1
V
FTL2
FTL BS3 计算机⎯1 数字图
例1:
例2:
装备在导弹头部的图像识别系统
总结Байду номын сангаас
从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一 个函数转换为一系列周期函数来处理的。从 物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域 转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域 转换到空间域。换句话说，傅立叶变换的物 理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像 的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的 频率分布函数变换为灰度分布函数。
象处理系统
O2
CRT
M3
BS2 DP3 M2
LA，激光器；ST, 光束升降器；SP，空间（针孔）滤波器； BS1~BS3, 分光镜; O1~O2,待识别物体; L1~ L2，准直镜； FTL1~FTL2，傅里叶变换透镜；DP1~DP2，可变光栏； P,偏振片；LCLV,液晶光阀；PBS, 偏振分光镜; A,可变减光板
位 相 滤 波 器
例1:
例2:
原彩色像
恢复的彩色像
(4)图像识别
联合傅里叶变换(joint Fourier transform)是重要 的相关处理器，大量应用于图象、特征识别，在指 纹识别、字符识别、空中目标和地面遥感图识别等 领域已逐步进入实用化阶段
原理: 将一对待识别的图象通过马赫—曾特干涉仪并
排写入光寻址空间光调制器LCLV，将联合傅里叶 变换的复振幅谱转化为功率谱，用激光读出，再次 通过傅里叶变换由CCD探测后，经过数字图象处理 系统进行后处理，判别图象相关性。
联合变换相关图象识别系统
ST LA
CCD
BS1 SP
L2
L1
A
M1
DP2
DP1 PBS
LCL P
O1
V
FTL2
FTL BS3 计算机⎯1 数字图
例1:
例2:
装备在导弹头部的图像识别系统
总结Байду номын сангаас
从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一 个函数转换为一系列周期函数来处理的。从 物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域 转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域 转换到空间域。换句话说，傅立叶变换的物 理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像 的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的 频率分布函数变换为灰度分布函数。
象处理系统
O2
CRT
M3
BS2 DP3 M2
LA，激光器；ST, 光束升降器；SP，空间（针孔）滤波器； BS1~BS3, 分光镜; O1~O2,待识别物体; L1~ L2，准直镜； FTL1~FTL2，傅里叶变换透镜；DP1~DP2，可变光栏； P,偏振片；LCLV,液晶光阀；PBS, 偏振分光镜; A,可变减光板
第十四章傅里叶光学
1 1
E ( x1 , y1 )
2、点物在距透镜有限远的光轴上 、 设点物S位于距透镜为 l 的光轴上， 设点物 位于距透镜为 的光轴上， 则投射到透镜上的光波就是从S点 则投射到透镜上的光波就是从 点 发出的发散球面波。在傍轴近似下， 发出的发散球面波。在傍轴近似下， 它在透镜前平面上的场分布为
x12 + y12 ~ E ( x1 , y1 ) = A exp ik 2l
由于不考虑透镜的有限孔径大小， 由于不考虑透镜的有限孔径大小，则透镜的复振幅透过率为
2 2 x1 + y1 tl (x1 , y1 ) = exp − ik 2f
则紧靠透镜之后的平面上的复振幅分布为
E ′(x1 , y1 ) = tl ( x1 , y1 ) ⋅ E ( x1 , y1 ) k 2 2 = A ⋅ t (x1 , y1 ) exp− j x1 + y1 2f
(
)
{
}
所以
~ (x , y ) = A exp jk E jλ f 2 f
x y d0 2 2 1 − x + y ⋅ T , λf λf f
(
)
可见后焦面上的复振幅分布仍然正比于物体的傅里叶变换， 可见后焦面上的复振幅分布仍然正比于物体的傅里叶变换，到 有一个位相弯曲。 物体紧靠透镜结论与前面一致， 有一个位相弯曲。当 d 0 = 0 时，物体紧靠透镜结论与前面一致， 当 时 d 0 = f，式子变为 x y
tl ( x1 , y1 ) f
但是这种FT关系不是准确的。 但是这种 关系不是准确的。由于变换式前存在位相因子 关系不是准确的
jk 2 exp x + y2 2 f
E ( x1 , y1 )
2、点物在距透镜有限远的光轴上 、 设点物S位于距透镜为 l 的光轴上， 设点物 位于距透镜为 的光轴上， 则投射到透镜上的光波就是从S点 则投射到透镜上的光波就是从 点 发出的发散球面波。在傍轴近似下， 发出的发散球面波。在傍轴近似下， 它在透镜前平面上的场分布为
x12 + y12 ~ E ( x1 , y1 ) = A exp ik 2l
由于不考虑透镜的有限孔径大小， 由于不考虑透镜的有限孔径大小，则透镜的复振幅透过率为
2 2 x1 + y1 tl (x1 , y1 ) = exp − ik 2f
则紧靠透镜之后的平面上的复振幅分布为
E ′(x1 , y1 ) = tl ( x1 , y1 ) ⋅ E ( x1 , y1 ) k 2 2 = A ⋅ t (x1 , y1 ) exp− j x1 + y1 2f
(
)
{
}
所以
~ (x , y ) = A exp jk E jλ f 2 f
x y d0 2 2 1 − x + y ⋅ T , λf λf f
(
)
可见后焦面上的复振幅分布仍然正比于物体的傅里叶变换， 可见后焦面上的复振幅分布仍然正比于物体的傅里叶变换，到 有一个位相弯曲。 物体紧靠透镜结论与前面一致， 有一个位相弯曲。当 d 0 = 0 时，物体紧靠透镜结论与前面一致， 当 时 d 0 = f，式子变为 x y
tl ( x1 , y1 ) f
但是这种FT关系不是准确的。 但是这种 关系不是准确的。由于变换式前存在位相因子 关系不是准确的
jk 2 exp x + y2 2 f
4_透镜的傅里叶变换性质
透镜的傅里叶变换
• 1、透镜对入射波前的变换作用
• 2、透镜的富里叶变换分析方法
– 传统分析方法(三种情况分析) – 普遍性推导（二次菲涅尔衍射推导，有一定新意） – 物体放置在透镜距离一定距离后的详解(更加科学） – 透镜为什么具有傅里叶变换性质？
• 3、透镜的傅里叶变换性质
– 透镜为什么具有傅里叶变换特性 – 4F系统为什么可以成镜像
• 4、透镜的孔径对傅里变换的影响
• 5、共轭照明下透镜的傅里叶变换特性（新）
• 6、透镜傅里叶变换的应用
2015/4/2
第四章 透镜的傅里叶变换性质
1
一、透镜的光波变换性质
– 1.0 棱镜与透镜
2015/4/2
第四章 透镜的傅里叶变换性质
2
一、透镜的光波变换性质
– 1.1、透镜的几何光学表述
透镜成像图解
L(x,y)表示光线在入射和出射平面的光程
L(x,y)=n△(x,y)+[△0-△(x,y)]=△0+(n-1)△(x,y)
tl(x,y) exp( jkΔ0 ) exp jk(n-1)Δ(x,y)
2015/4/2
第四章 透镜的傅里叶变换性质
7
一、透镜的光波变换性质
– 1.3、透镜的厚度函数
tl (x, y) exp( jkn0 ) exp
j
k 2f
(x2
y2 )
注意：大多数情况下， kn0 绝对位相并不重要，可以忽略
2015/4/2
第四章 透镜的傅里叶变换性质
9
透镜的光波变换性质
– 1.3、透镜的相移函数：特例
当入射光波为平面波时
Ul(x, y)
• 1、透镜对入射波前的变换作用
• 2、透镜的富里叶变换分析方法
– 传统分析方法(三种情况分析) – 普遍性推导（二次菲涅尔衍射推导，有一定新意） – 物体放置在透镜距离一定距离后的详解(更加科学） – 透镜为什么具有傅里叶变换性质？
• 3、透镜的傅里叶变换性质
– 透镜为什么具有傅里叶变换特性 – 4F系统为什么可以成镜像
• 4、透镜的孔径对傅里变换的影响
• 5、共轭照明下透镜的傅里叶变换特性（新）
• 6、透镜傅里叶变换的应用
2015/4/2
第四章 透镜的傅里叶变换性质
1
一、透镜的光波变换性质
– 1.0 棱镜与透镜
2015/4/2
第四章 透镜的傅里叶变换性质
2
一、透镜的光波变换性质
– 1.1、透镜的几何光学表述
透镜成像图解
L(x,y)表示光线在入射和出射平面的光程
L(x,y)=n△(x,y)+[△0-△(x,y)]=△0+(n-1)△(x,y)
tl(x,y) exp( jkΔ0 ) exp jk(n-1)Δ(x,y)
2015/4/2
第四章 透镜的傅里叶变换性质
7
一、透镜的光波变换性质
– 1.3、透镜的厚度函数
tl (x, y) exp( jkn0 ) exp
j
k 2f
(x2
y2 )
注意：大多数情况下， kn0 绝对位相并不重要，可以忽略
2015/4/2
第四章 透镜的傅里叶变换性质
9
透镜的光波变换性质
– 1.3、透镜的相移函数：特例
当入射光波为平面波时
Ul(x, y)
透镜傅里叶变换
透镜傅里叶变换透镜傅立叶变换一、定义透镜傅立叶变换（Lens Fourier Transformation），是一种基于蒙特卡罗法（而不是傅立叶变换）的非线性变换，它利用光学镜头将光线聚集在非正弦函数中，从而将其转换为波形，生成新的函数，其中会出现极大的变化，有时被称为“大波形变换”。
二、原理透镜傅立叶变换是一种基于蒙特卡罗法的变换，它利用光学镜头将光线聚焦在一族非正弦函数中，从而转换成波形，看上去它们细微不同。
非正弦函数以一种分布变化的形式，把函数变成一种局部性。
透镜傅立叶变换是一种非线性变换，通过对数据进行非线性变换，可以把数据从某种特定的形式变换为另一种特定的形式。
它可以使数据和信号以新的方式展示出来，使得原本不能描述的特性可观察到，从而创造出新的信息。
三、应用1. 图像处理：利用透镜傅立叶变换，可以从图像中提取出特征和细节，这在图像压缩、模式识别、图像复原等方面具有重要的作用；2. 声音处理：透镜傅立叶变换可以精确定位和检测声音中的特定频率，从而实现音频处理；3. 量子计算：透镜傅立叶变换可以模拟量子里的特殊事件，从而帮助实现量子计算；4. 高斯投影：透镜傅立叶变换可以将几何图形映射到平行的高精度平面图上，从而实现高斯正变化；5. 光学成像：透镜傅立叶变换可以用来分析和估计光场的分布，以推导出小型微片、大型成像系统的行为。
四、优点1. 精确可控：透镜傅立叶变换对所处理数据的可控性非常强，变换的分布可以实时调节；2. 高效率：比起傅立叶变换，透镜傅立叶变换更加简单高效，一般来说比傅立叶变换快得多；3. 全面直观：透镜傅立叶变换可以更好地揭示数据背后潜在的一致性，能够全面直观地展示所传输的信息。
大学物理 透镜的傅立叶变换性质
对应的细节-透镜的作用是什么 定性讨论
薄透镜的位相变换作用定性研究
R1
R2
薄透镜：厚度与曲率半径相比足够小
透镜作用的定性讨论
平面波同一波阵 面上不同点经过 的光程不同，位 相增量也不同， 因此经过透镜之 后，造成波阵面 弯曲，形成会聚 球面波。 凹透镜的分析类 似
A A‘
B
B’
F’
光学计算机
二维输入输出，并行处理，模拟量超高速运算， 装置简单价廉是其优点
缺点一：只能输入输出光学图像
缺点二：模拟量容易受到噪声干扰，精度问题 缺点三：只能直接进行傅立叶变换，实用范围 窄
本节结束，谢谢
d0 f 如果输入平面位于透镜的前焦面
xx0 yy0 x, y c ' t x0 , y0 exp jk dx0 dy0 f
xx0 yy0 U x, y c ' t x0 , y0 exp j 2 dx0 dy0 f
有二次相位因子
频谱可以随q变化（缩放）
物位于透镜后方
分析方法同物体位于透镜前方一致
依然是球面波传播，两次透过和两次菲涅
尔衍射的过程
分析结论：物体无论放在透镜前方还是后
方，在照明光源的共轭面上均可以获得衍
射物体的傅立叶变换，不同的是二次位相 因子的存在
重要结论
物体置于透镜的前焦面，在光源的共轭面
上可以获得衍射物体的复振幅透过率的准确 的傅立叶变换分布。 前焦面 光源的共轭面 准确的傅立叶变换
引申：光学模拟计算机
透镜能够实现傅立叶变换＝光学计算机 特点一：光学计算机无需对输入信号进行 抽样，而是对模拟信号直接处理－模拟输 入 特点二：可以直接处理二维图像（信号）， 并行输入 特点三：光学计算机按照图像－角谱－空 间谱的方式进行运行，速度为光波从输入 到输出面的传播时间，速度极快 特点四：光学计算机就是透镜，价廉，简
4_透镜的傅里叶变换性质
14
二、透镜的傅里叶变换推导
– 2.1、物在透镜前任意位置的两次菲涅尔衍射推导
第一次菲涅尔衍射
物面（x0,,y0）
透镜（,）
像面（xi,yi）
Uo
do
Ul
Ul’
di
Ui
Ul(,)
1 j d0
exp(jkd0)exp j
k 2d
0
(
2
2) .
U 0(x0,y 0)
U0 (x0,y0) Ul
Ul'
Uf (xf,yf)
t(x0,y0)
d0
f
位置
分析方法
物体紧靠透镜 会聚球面波照明下的菲涅尔衍射即是入射场的FT 前后
物体在透镜后 经过透镜后任意距离处照明物面上的光波仍是会聚的球面 一定距离处 波，其会聚点在焦面上
透镜前任意距 将物看做是谱，物面到镜头前的空间传递函数是可以知道
2 y2
2R
2 2
( x,
y)
0
(x2
2
y2)
1 R1
1 R2
ti (x,
y)
exp(
jkn0 ) exp
jk(n 1)
x2
2
y2
1 R1
1 R2
1 f
(n
1)
1 R1
1 R2
(x, y) 1(x, y) 2(x, y)
01 02 R1 1
1
x2 y2 R12
+R2
1
1
第四章 透镜位相调制和傅里叶变换性质.
Af xi yi xi yi k 2 2 exp j ( x y ) T , P , i i 2 j d 2d d d d d
当物体限度小于投影孔径函数时，物体上的信息全 部到达频谱面，投影孔径没有影响；当物体大于投影孔
一般情况下，透镜的位相调制作用为
x2 y 2 tl ( x, y ) exp( jk ) 2f
对于凸透镜，f >0，对于凹透镜，f<0。 如果透镜的孔径函数为P(x,y)
x2 y 2 tl ( x, y) p x, y exp( jk ) 2f
§4—2 透镜的傅里叶变换性质
xi=f fx ，也是固定的。
物在透镜后： 对固定的空间频率fx， fx=xi /d， xi=fd，d 越大， xi 也越大。从而使得频谱分的更开，便于进行滤波处理。
三、透镜孔径对傅里叶变换的影响 以上讨论时并没有考虑透镜孔径的影响，实际上，透镜孔 径是有限的，设孔径函数为P(x,y)，透镜透过率函数为
再如图所示当焦距为f 的透镜对 点光源成像时，物点光源S照射 在透镜前表面的光场为
Ui Ui S d0 di
S
x2 y2 U i ( x, y ) U 0i exp( jk ) 2d 0
透镜后表面的场是会聚于像点的场在后平面上的分布
x2 y 2 exp( jk Ui( x, y) U 0 ) 2di
d
由于X=Y=0
xi2 yi2 U ( xi , yi ) C exp( jk )ℱt ( x0 , y0 ) 2d
xi d y fy i d fx
结论：照明光源的像平面是透镜的傅里叶变换平面。
物在透镜前： 平行光照明，fx=xi /f，对固定的空间频率fx，由于f 给定，
透镜的傅里叶变换性质
透镜的作用
:透镜将照明光波变换成会聚球面波, 会聚点是照明点光 源的共轭像点.从而在此会聚点处(注意:不是物本身的像 点)得到物的F.T., 但比例尺度改变.
§3.2 透镜的傅里叶变换性质：小结
我们特别关注物在透镜前, q=f, d0=f 的特殊情形。此时
U (x, y) c
t(x0 , y0 ) exp
透镜的复振幅 透过率：
t(x,透y)镜 e的xpF[.T.j性k质(x2 y 2 )]
2f
物体放在焦距为 f 的透镜的前焦面， 用波长为 的单色平面波垂直入射照明，
物函数t(x0,y0)的准确
的傅里叶变换
在透镜后焦面上得到：
变换的空频坐标与后焦面空 间坐标 xf, yf 的关系：
fx
xf
f,Βιβλιοθήκη fyyf关系。
利用菲涅耳公式，透镜前表面:
dUl
( x0
',
y0
';
x,
y)
exp( jkd0 )
jd0
(
x0
x0
,
y0
y0
)
exp
jk
(x
x0
)2 ( 2d0
y
y0
)2
dx0dy0
可写成:
exp[ jkd0
jd 0
]
exp
jk
(x
x0
)2 (y 2d 0
y0
)2
dUl (x0 , y0; x, y)
§3.2 透镜的傅里叶变换性质
透镜的后焦面是输入物体的频谱面
透镜后焦面上不同位置的点,对应物体衍射光场的不同空间频 率分量
x0 fx2
xf
fx2> fx1
:透镜将照明光波变换成会聚球面波, 会聚点是照明点光 源的共轭像点.从而在此会聚点处(注意:不是物本身的像 点)得到物的F.T., 但比例尺度改变.
§3.2 透镜的傅里叶变换性质：小结
我们特别关注物在透镜前, q=f, d0=f 的特殊情形。此时
U (x, y) c
t(x0 , y0 ) exp
透镜的复振幅 透过率：
t(x,透y)镜 e的xpF[.T.j性k质(x2 y 2 )]
2f
物体放在焦距为 f 的透镜的前焦面， 用波长为 的单色平面波垂直入射照明，
物函数t(x0,y0)的准确
的傅里叶变换
在透镜后焦面上得到：
变换的空频坐标与后焦面空 间坐标 xf, yf 的关系：
fx
xf
f,Βιβλιοθήκη fyyf关系。
利用菲涅耳公式，透镜前表面:
dUl
( x0
',
y0
';
x,
y)
exp( jkd0 )
jd0
(
x0
x0
,
y0
y0
)
exp
jk
(x
x0
)2 ( 2d0
y
y0
)2
dx0dy0
可写成:
exp[ jkd0
jd 0
]
exp
jk
(x
x0
)2 (y 2d 0
y0
)2
dUl (x0 , y0; x, y)
§3.2 透镜的傅里叶变换性质
透镜的后焦面是输入物体的频谱面
透镜后焦面上不同位置的点,对应物体衍射光场的不同空间频 率分量
x0 fx2
xf
fx2> fx1