第3讲 傅里叶变换的基本概念及基本定理
傅里叶变换基础知识
傅里叶变换基础知识《傅里叶变换基础知识：一场充满惊喜的数学冒险》嘿，大家好啊！今天咱就来聊聊傅里叶变换基础知识，这可真是一个相当有趣又神奇的领域啊！想象一下，傅里叶变换就像是一把神奇的钥匙，能打开一个我们平时难以察觉到的神秘世界的大门。
它是数学中的一个小精灵，虽然有时候有点让人摸不着头脑，但一旦你懂它了，就会发现它带来的惊喜实在太多了！你知道吗？傅里叶变换就像是一个音乐大师，能把一段复杂的声音分解成各种不同的音符。
比如说，我们听到的美妙音乐，其实就是由各种不同频率的声波组合而成的。
而傅里叶变换呢，就能帮我们把这些复杂的声波给拆解开来，让我们清楚地看到到底都有哪些频率的声波在里面捣鼓。
是不是很厉害？刚开始接触傅里叶变换的时候，我那叫一个头大啊！看着那些公式和概念，感觉自己就像是掉进了一个数学的迷宫里，怎么转都转不出来。
但是，随着逐步深入学习，我慢慢找到了一些门道。
比如说，理解傅里叶变换就像是学骑自行车，一开始你可能会摇摇晃晃，甚至摔倒好几次，但只要你坚持，慢慢地你就能掌握平衡，然后骑着车到处跑啦！一开始那些复杂的概念和公式就像是眼前的小山坡，看着很难跨越，但当你不断努力，一点一点地爬上去，就会发现后面的路越来越平坦。
而且，一旦你掌握了傅里叶变换，你就会发现它在很多领域都大有用处。
不管是信号处理啦，图像处理啦，还是通信领域等等，都有它的身影。
就像你有了一把万能钥匙，可以打开很多不同的宝藏箱子。
我还记得我第一次用傅里叶变换解决了一个实际问题的时候，那心里别提多开心了！就像是自己突然变成了一个超级英雄，拯救了世界一样。
从那以后，我对傅里叶变换的兴趣就越来越浓厚，不断地去探索它的更多奥秘。
当然啦，学习傅里叶变换可不是一件容易的事儿，需要我们有足够的耐心和毅力。
但是，只要我们坚持下去，就一定能在这场充满惊喜的数学冒险中收获满满。
总之呢，傅里叶变换基础知识就像一个隐藏在数学世界里的宝藏，等着你去挖掘。
所以，别害怕那些复杂的概念和公式，勇敢地踏上这场冒险之旅吧！相信我，你一定会被它的神奇所吸引，收获到意想不到的惊喜和快乐！。
信息光学傅里叶变换的基本性质和有关定理
1.7.3复振幅分布的空间频谱
任意的平面波可以用空间频率表示
(x, y)面上的平面波具有如下形式
在相干光照明下g(x,y)是xy面上复振幅分布
指数基元
表示传播方向余弦（cosα＝λξ，cosβ＝λη）
的单位振幅的单色平面波。而g(x,y)可看成无数基元函数代表的平 面波叠加。
空间频谱可用方向余弦表示
exp(i*x)=cos(x)+i*sin(x)
a (P)和φ(P)是P点的振幅和初相位。
通常用指数函数表示一点的光振动
优点：可以将与位置有关的φ(P)和与时间有关的2πνt分开。 定义复振幅 为单色波场P点的复振幅。它与时间无关，仅是空间的函数。 即描述了光振动的空间分布。而时间因子exp(2πνt）对各点均相 同，可省略。
3. 4.实函数
即
由于输入余弦函数的频率是任意的，上式可写为
说明在线性不变系统中，在有实值脉冲的响应情况下，余弦函 数将产生同频率的余弦输出。但有衰减和相移。其改变程度由传递 函数的模和辐角决定。
1.7 二维光场分析
光波的数学描述。 1.7.1. 单色光波场的复振幅表示 单色光波场中某点P在时刻t的振动为
1.5.2
傅里叶变换的基本定理
1. 卷积定理 如果 则
பைடு நூலகம்
2.相关定理 （1）互相关定理 如果 则 ☆ ,
称F*(ξ,η)G(ξ,η)为函数f(x,y)和g(x,y)的互谱能量密度（互谱密度）
（2）自相关定理 设 则 ☆
（3)巴塞伐定理 设 且积分
存在,则 表示能量守恒。
1.4.4.广义巴塞伐定理 设
称ξ为沿x方向的空间频率。 y方向的周期为无穷。
同样对y方向，当cosβ≠0也可得到 ，空间频率 在z方向 空间频率
傅里叶变换常用公式
傅里叶变换常用公式1. 简介傅里叶变换是一种重要的数学工具，用于将一个信号从时域转换到频域。
它常被应用于信号处理、图像处理、通信等领域。
本文将介绍傅里叶变换的基本概念和常用公式。
2. 傅里叶级数傅里叶级数是傅里叶变换的基础，它用于将周期信号表示为一系列正弦和余弦函数的和。
傅里叶级数的公式如下：傅里叶级数公式傅里叶级数公式在上述公式中，f(t)表示周期为T的函数，a0是直流成分，ak和bk是傅里叶系数。
3. 傅里叶变换傅里叶变换是将非周期信号表示为一组连续的频谱的过程。
傅里叶变换的公式如下：傅里叶变换公式傅里叶变换公式在上述公式中，F(w)表示频域信号，f(t)表示时域信号，j是虚数单位。
4. 反傅里叶变换反傅里叶变换是将频域信号恢复为时域信号的过程。
反傅里叶变换的公式如下：反傅里叶变换公式反傅里叶变换公式在上述公式中，F(w)表示频域信号，f(t)表示时域信号。
5. 常见傅里叶变换公式下面列举了一些常见的傅里叶变换公式：5.1 正弦函数的傅里叶变换正弦函数的傅里叶变换的公式如下：正弦函数的傅里叶变换公式正弦函数的傅里叶变换公式在上述公式中，f(t)是正弦函数，F(w)是其频域信号。
5.2 余弦函数的傅里叶变换余弦函数的傅里叶变换的公式如下：余弦函数的傅里叶变换公式余弦函数的傅里叶变换公式在上述公式中，f(t)是余弦函数，F(w)是其频域信号。
5.3 矩形脉冲的傅里叶变换矩形脉冲的傅里叶变换的公式如下：矩形脉冲的傅里叶变换公式矩形脉冲的傅里叶变换公式在上述公式中，f(t)是矩形脉冲，F(w)是其频域信号。
5.4 高斯函数的傅里叶变换高斯函数的傅里叶变换的公式如下：高斯函数的傅里叶变换公式高斯函数的傅里叶变换公式在上述公式中，f(t)是高斯函数，F(w)是其频域信号。
6. 结论傅里叶变换是一种非常强大的数学工具，用于将信号从时域转换到频域。
本文介绍了傅里叶级数、傅里叶变换和反傅里叶变换的基本公式，并列举了一些常见的傅里叶变换公式。
信号与系统(郑君里第二版)讲义第三章 傅里叶变换
t0
⎧0 ⎪T cos(mω1t )cos(nω1t )dt = ⎨ 1 ⎪2 ⎩T1
m≠n m=n≠0 m=n=0
∫
∫
t0 +T1
t0
0 ⎧ ⎪T sin (mω1t )sin (nω1t )dt = ⎨ 1 ⎪ ⎩2
m≠n m=n≠0
t0 +T1
t0
sin (mω1t )cos(nω1t )dt = 0 ，对于所有的 m 和 n
n =1
⎧ ⎪d 0 = a 0 ⎪ 2 2 ⎨d n = a n + bn ⎪ an ⎪θ n = arctan bn ⎩
n = 1,2,3,L n = 1,2,3,L
三、虚指数形式的傅里叶级数 任何周期信号 f (t ) 可以分解为
f (t ) =
n =−∞
∑ Fe
n
∞
jnω1t
傅里叶系数：
Fn = 1 t0 +T1 f ( t ) e − jnω1t dt ∫ t 0 T1
f (t )
E 2
−
T1 2
0
T1 2
t
奇函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = an = 0
4 bn = T1
Fn = −
∫ f (t )sin (nω t )dt
1
T1 2 0
1 π jbn ， ϕ n = − 2 2
6
奇函数的 Fn 为虚数。在奇函数的傅里叶级数中不会含有余弦项，只可能含 有正弦项。 3、奇谐函数（半波对称函数） 若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转， 此时波形并不发生变 化，即满足 ⎛ T ⎞ f (t ) = − f ⎜ t ± 1 ⎟ 2⎠ ⎝ 这样的函数称为半波对称函数或称为奇谐函数。 奇谐函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = 0 an = bn = 0 （ n 为偶数） （ n 为奇数）
第3章 连续信号的频谱——傅里叶变换
• 直到19世纪末，制造出电容器。20世纪初，谐振电路、滤波
器、正弦振荡器等一系列问题的解决为正弦函数与傅里叶分 析的在通信系统中的应用开辟了广阔的前景。 • 从此，在通信与控制系统的理论研究和实际应用之中，采用 频率域（频域）的分析方法比经典的时间域（时域）方法有 许多突出的优点。 • 当今，傅里叶分析方法已成为信号分析与系统设计不可缺少 的重要工具。 • 20世纪70年代，出现的各种二值正交函数（沃尔什函数）， 它对通信、数字信号处理等技术领域的研究提供了多种途径 和手段。使人们认识到傅里叶分析不是信息科学与技术领域 中唯一的变换域方法。
nw1 nw1
0
w
nw1
w1 0 w1
nw1
w
正、负频率相应项成对合并，才是实际频谱函数。
4.周期信号的功率特性
—时域和频域能量守恒定理
周期信号的平均功率P：在一个周期内求平方再求积分。
1 t0 T1 2 f (t )dt P f (t ) t T1 0 1 1 2 2 2 2 2 a0 ( an bn ) c0 cn 2 n 1 2 n 1
其傅里叶级数三角展开式中 仅含基波和奇次谐波
例子
例如：奇谐函数
f (t )
E 2
T1 2
f (t )
E 2
T 1 2
0
E 2
T1 2
t
0
E 2
T1 2
t
sin( w1t )
E 2
f (t )
E 2
T1 2 T 1 2 T1 2
f (t )
0
E 2
t
0
E 2
T1 2
傅里叶变换详细讲述
第三章傅里叶变换3-1 概述对于一件复杂的事情，人们总是从简单的一步开始做起，富丽堂皇的高楼大厦，是人们一块砖一块砖垒起来的。
为了简化问题的求解，人们往往也使用“变换分析”这种技巧，所起“变换”大家可能会感到陌生，其实我们在中学时已经运用了“变换分析”技巧，大家一定还记得对数运算，它实际上也是一种数学变换，我们知道两个数的乘积的对数等于两个数的对数和，两个数的商的对数等于这两个数的对数差，利用对数这个运算规则我们可以将数的乘积运算转换（准确地说变换）为数的加法运算，可以将数的除法运算转换（变换）为数的减法运算，可见“变换分析”给我们解决问题带来了方便，傅里叶变换就是给我们分析问题和解决问题极为方便的数学工具。
线性非时变系统的卷积分析实际上是基于将输入信号分解为一组加权延时的单位冲激（或样值）激励的线性组合。
本章将讨论信号和系统的另一种表示，其基本观点还是将信号分解为一组简单函数的线性组合，但是这里用的简单函数不是单位冲激（或样值）而是三角函数（或复指数函数）。
用“三角函数和”表示信号的想法至少可以追溯到古代巴比伦时代，当时他们利用这一想法来预测天体运动。
这一问题的近代研究始于1748年，欧拉在振动弦的研究中发现：如果在某一时刻振动弦的形状是标准振动（谐波）模的线性组合，那么在其后任何时刻，振动弦的形状也是这些振动模的线性组合。
另外，欧拉还证明了在该线性组合中，其后的加权系数可以直接从前面时间的加权系数中导出。
欧拉的研究成果表明了：如果一个线性非时变系统输入可以表示为周期复指数或正弦信号的线性组合，则输出也一定能表示成这种形式。
现在大家已经认识到，很多有用的信号都能用复指数函数的线性组合来表示，但是在18世纪中期，这一观点还进行着激烈的争论。
1753年D.伯努利（D.Bernoulli）曾声称：一根弦的实际运动都可以用标准（谐波）振荡模的线性组合来表示。
而以J.L.拉格朗日(grange)为代表的学者强烈反对使用三角级数来研究振动弦运动的主张，他反对的论据就是基于他自己的信念，即不可能用三角级数来表示一个具有间断点的函数。
傅里叶变换的极限定义及其基本特性定理
（时域信号）f(t)的傅里叶变换象函数是 F( ω) 而 f(t)的 1 阶导数 f ′(t) 的傅里叶变换象函数是
F 1 (ω) ；f(t)的 n 阶导数 f (n) (t) 的傅里叶变换象函数是 F n (ω) ;用 i 表示 − 1 则常见的傅里
叶变换的积分特性有下列几种表式 [1] ：
F (ω)
= ≠
x x
0 0
..时时))；............................................................................(4)..
x0 +∞
∞
...... ∫ δ (x - x0 )dx = 1.；特别是：. ∫δ (x)dx = 1.........................................................(5)
π .i n α →0 [α
1
[α + i(ω − ω0 )]n+1
−
(−1) n i(ω − ω0 )]n+1
+
−
1
[i(ω − ω0 )]n+1
1 [i(ω − ω0 )]n+1 ]
]⎪⎫ ⎪⎬..............................(11b) ⎪ ⎪⎭
信号与系统第3章 傅里叶变换
P
f
2 (t) 1 T1
t0 T1 t0
f
2 (t)d t
a0 2
1 2
n1
(an
2
bn 2 )
2
Fn _____ 帕塞瓦尔定理
n
结论：周期信号的平均功率等于傅里叶级数展开 式中基波分量及各谐波分量有效值的平方 和，即时域和频域的能量守恒。
五. 周期信f号(t)的频c0 谱 （c三n c角os函(n数1t形 式n )） n1
(1) 偶函数 f (t) f (t)
4
an T1
T1
2 0
f (t) cos(n1t)dt
Fn
Fn
an 2
bn 0
傅里叶级数中不会含有正弦项， 只可能含有直流项和余弦项。
(2) 奇函数 f (t) f (t)
a0 0 , an 0
bn
4 T1
T1
2 0
f (t) sin(n1t)d t
e j n1t
T1 n 2
画频谱图：
c0
a0
E
T1
an
2E
T1
Sa
n1
2
, n
1,2,
cn an
1）令 m
2
得
2
m
即在
2
m，m为整数处有零点。
2）
2
2
T1
T1
零点间谱线个数
3) c n值为正，相位为0，值为负，相位为π
4)谱线间隔为 1 带宽
2
T1
，第一个过零点带宽定义为信号的
1 3
s in31t
1 4
sin41t
E
1 n1
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{rect(x/t)rect(y/t)} =t2sinc(tfx)sinc(tfy)
{g(x,y)}=limt2sinc(tfx)sinc(tfy) = d(fx, fy) {1} = d(fx, fy)
按照广义变换的概念可以 得出一系列特殊函数的F.T.
例1：求
F{sgn( x)}
解:计算过程分为三个步骤： (1)选择适当的函数序列 例如
…
-2/3
0
fn
三角傅里叶展开的例子
练习 1-15：求函数 f(x)=rect(2x)*comb(x) 的傅里叶级数展开系数
三角傅里叶展开的例子
练习 0-15：求函数 g(x)=rect(2x)*comb(x) 的傅里叶级数展开系数 宽度 =1/2 周期 t =1
a0
an
t t
2
t
g ( x) exp( j 2 fx)dx exp( j 2 fx) g ( x) df
展开系数,或频率f分量的权重, G(f), 相当于分立情形的Cn
由于t ∞ 分立的n级谐波频率 n/t f, f: 连续的频率变量 相邻频率间隔: 1/t 写作df, 0, 求和 积分
展开系数Cn 频率为n/t的分量
二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 从傅里叶级数到傅里叶变换
非周期函数可以看作周期为无限大的周期函数:
1 1 1 t 2 g ( x) lim t g ( x) exp( j 2 n x)dx exp( j 2 n x) t t t 2 n t
(1.3.18)
(3)求极限:
1 F sgn( x) lim GN ( f x ) i f x N 0
fx 0
fx 0
上式就是符号函数的广义傅里叶变换.
例2：求 例如选取
F{d ( x)}
a0 c0 , 2
an jbn cn , 2
c n
an jbn 2
二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 从傅里叶级数到傅里叶变换
函数 (满足狄氏条件) 具有有限周期t,可以展为傅里叶级数:
g ( x) Cn 1
n
C
t 2 2
(2)当 f x x f y y N 时,
表示零位相线,其与x轴的夹角 arctan( f y )
fx
fx N y x fy fy
(3)引入了空间频率的概念. 沿等位相线法线方向:
f
f
2
x
f
2
yห้องสมุดไป่ตู้
综合上述分析，逆傅里叶变换的物理意义 是：物函数f(x,y)可以看成是无数振幅不同 (|F(fx,fy)|dfxdfy) ， 方 向 不 同 (cos=fx ， cos=fy )的平面波线性叠加的结果。此即傅 里叶分解。
振幅谱 位相谱
描述了各频率分量的相对幅值和相移.
傅里叶变换作为分解式
由逆变换式，可以把函数f(x,y)分解成形式 为 ei 2 ( f x f y ) 的基元 函数的线性组合，其频谱 F ( f x , f y ) 只不过是一个权重因子。
x y
这种基元函数具有下述性质： (1)代表传播方向为cos f x ,cos f y的单位振 幅的平面波.
t /2 1 exp( j 2 f x x) t / 2 j 2 f x
重要推论: 则
1 j 2 f x
(e
jtf x
e
jtf x
sin( tf x ) ) t sinc (t f x ) fx
{rect(x)} =sinc(fx)
根据广义傅立叶变换的定义和d 函数的定义:
函数f(x,y)在整个x-y平面上绝对可积且满足狄氏条件(有 有限个间断点和极值点,没有无穷大间断点), 定义函数
F ( f x , f y ) f ( x, y) exp[ j 2 ( f x x f y y)dxdy
为函数f(x,y)的傅里叶变换, 记作: F(fx,fy)= {f(x,y)}=F.T.[f(x,y)], 或 f(x,y) F.T. F(fx,fy)
{g(x,y)}=lim
t
x x )} {rect( rect (t ) exp( j 2 f x x)dx t t / 2 exp( j 2 f x x)dx
t / 2
思考题:利用 {rect(x)}=sinc(f) 计算
0
sin(f ) df f
2 2
g ( x)dx 2
4 1 4
1
dx 1
4 1 4 1
频率 f0 =1
sin( 2nx) 1 / 4 n cos( 2nx)dx sinc 1/ 4 n 2
t t
2
t
2 2
g ( x) cos( 2nx)dx 2
2 2
bn
t t
2
二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 从傅里叶级数到傅里叶变换
写成两部分对称的形式:
G( f ) g ( x) exp( j 2 fx)dx
g ( x) G( f ) exp( j 2 fx)df
这就是傅里叶变换和傅里叶逆变换
二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 一、定义及存在条件
二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 一、定义(续)
f ( x, y) F ( f x , f y ) exp[ j 2 ( f x x f y y)df x df y
F(fx,fy)是f(x,y)的频谱函数 x, y, fx , fy 均为实变量， F(fx,fy)一般是复函数, F(fx,fy) =A(fx,fy)e jf (fx,fy)
f0
1
t
展开系数
cn
t
1
t
0
g ( x) exp( j 2nf 0 x)dx
零频分量, 基频, 谐频, 频谱等概念
指数傅里叶级数和三角傅里叶级数是同一种级数的两种表 示方式，一种系数可由另一种系数导出。
二维傅里叶变换
—— 指数傅里叶级数
思考题
利用欧拉公式，证明指数傅里叶系数与三角傅里叶系数之间 的关系：
对于某些不符合狄氏条件的函数, 求F.T.的方法. 对某个可变换函数组成的系列取极限不符合狄氏条件的函数,
函数系列变换式的极限原来函数的广义F. T.
例: g(x,y)=1, 在(-, + )不可积
可定义: g(x,y)=lim 则
t
rect(x/t)rect(y/t) {rect(x/t)rect(y/t)}
a0 g ( x) (an cos 2nf0 x bn sin 2nf0 x), 2 n1
(n 0, 1, 2... ), f0
1
t
展开系数
a0
t
2
t
0
g ( x)dx
an
t
2
t
0
g ( x) cos( 2nf 0 x)dx bn
t
2
t
0
g ( x) sin( 2nf 0 x)dx
f(x,y): 原函数, F(fx,fy): 像函数或频谱函数
积分变换:
F ( x) f ( ) K ( , x)d
傅里叶变换的核:
exp(-j2fx)
变换核
二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 一、定义(续)
由频谱函数求原函数的过程称为傅里叶逆变换:
e x / N , x 0 g N ( x) 0, x 0 e x / N , x 0
(1.3.17)
1 显然有： sgn( x) lim g N x 0 N 1
x0 x0 x0
(2)求变换: F{g N ( x)}
t
g ( x) sin(2nf0 x)dx 0
采用指数傅里叶级数展开，可以使展开系数的表达式统一而简洁。
二维傅里叶变换
——指数傅里叶级数
满足狄氏条件的函数 g(x) 具有有限周期t,可以在(-,+ )展为 指数傅里叶级数:
g ( x)
n
c
n
exp( j 2nf 0 x), (n 0,1,2... ),
f ( x, y) F ( f x , f y ) exp[ j 2 ( f x x f y y)df x df y
记作:
f(x,y)=
-1{F(f
x,fy)}. 显然
-1
{f(x,y)}= f(x,y)
综合可写:
f(x,y)
F.T. F.T.-1
F(fx,fy)
f(x,y)和F(fx,fy)称为傅里叶变换对 x (y) 和 fx (fy )称为一对共轭变量, 它们在不同 的范畴(时空域或频域) 描述同一个物理对象.
零频分量, 基频, 谐频, 频谱等概念， 奇、偶函数的三角级数展开
三角傅里叶展开的例子
周期为t =1的方波函数
1.2
0 0 -1.2 1 2 3 4 5
1 2
2
cos( 2 x )
2 cos( 6 x) 3
前3项的和
1/2
an
2/
频谱图
1 3
1 2 2 f ( x) cos( 2x) cos(6x) ...... 2 3