第3讲 傅里叶变换的基本概念及基本定理
傅里叶变换基础知识
傅里叶变换基础知识《傅里叶变换基础知识：一场充满惊喜的数学冒险》嘿，大家好啊！今天咱就来聊聊傅里叶变换基础知识，这可真是一个相当有趣又神奇的领域啊！想象一下，傅里叶变换就像是一把神奇的钥匙，能打开一个我们平时难以察觉到的神秘世界的大门。
它是数学中的一个小精灵，虽然有时候有点让人摸不着头脑，但一旦你懂它了，就会发现它带来的惊喜实在太多了！你知道吗？傅里叶变换就像是一个音乐大师，能把一段复杂的声音分解成各种不同的音符。
比如说，我们听到的美妙音乐，其实就是由各种不同频率的声波组合而成的。
而傅里叶变换呢，就能帮我们把这些复杂的声波给拆解开来，让我们清楚地看到到底都有哪些频率的声波在里面捣鼓。
是不是很厉害？刚开始接触傅里叶变换的时候，我那叫一个头大啊！看着那些公式和概念，感觉自己就像是掉进了一个数学的迷宫里，怎么转都转不出来。
但是，随着逐步深入学习，我慢慢找到了一些门道。
比如说，理解傅里叶变换就像是学骑自行车，一开始你可能会摇摇晃晃，甚至摔倒好几次，但只要你坚持，慢慢地你就能掌握平衡，然后骑着车到处跑啦！一开始那些复杂的概念和公式就像是眼前的小山坡，看着很难跨越，但当你不断努力，一点一点地爬上去，就会发现后面的路越来越平坦。
而且，一旦你掌握了傅里叶变换，你就会发现它在很多领域都大有用处。
不管是信号处理啦，图像处理啦，还是通信领域等等，都有它的身影。
就像你有了一把万能钥匙，可以打开很多不同的宝藏箱子。
我还记得我第一次用傅里叶变换解决了一个实际问题的时候，那心里别提多开心了！就像是自己突然变成了一个超级英雄，拯救了世界一样。
从那以后，我对傅里叶变换的兴趣就越来越浓厚，不断地去探索它的更多奥秘。
当然啦，学习傅里叶变换可不是一件容易的事儿，需要我们有足够的耐心和毅力。
但是，只要我们坚持下去，就一定能在这场充满惊喜的数学冒险中收获满满。
总之呢，傅里叶变换基础知识就像一个隐藏在数学世界里的宝藏，等着你去挖掘。
所以，别害怕那些复杂的概念和公式，勇敢地踏上这场冒险之旅吧！相信我，你一定会被它的神奇所吸引，收获到意想不到的惊喜和快乐！。
信息光学傅里叶变换的基本性质和有关定理
1.7.3复振幅分布的空间频谱
任意的平面波可以用空间频率表示
(x, y)面上的平面波具有如下形式
在相干光照明下g(x,y)是xy面上复振幅分布
指数基元
表示传播方向余弦（cosα＝λξ，cosβ＝λη）
的单位振幅的单色平面波。而g(x,y)可看成无数基元函数代表的平 面波叠加。
空间频谱可用方向余弦表示
exp(i*x)=cos(x)+i*sin(x)
a (P)和φ(P)是P点的振幅和初相位。
通常用指数函数表示一点的光振动
优点：可以将与位置有关的φ(P)和与时间有关的2πνt分开。 定义复振幅 为单色波场P点的复振幅。它与时间无关，仅是空间的函数。 即描述了光振动的空间分布。而时间因子exp(2πνt）对各点均相 同，可省略。
3. 4.实函数
即
由于输入余弦函数的频率是任意的，上式可写为
说明在线性不变系统中，在有实值脉冲的响应情况下，余弦函 数将产生同频率的余弦输出。但有衰减和相移。其改变程度由传递 函数的模和辐角决定。
1.7 二维光场分析
光波的数学描述。 1.7.1. 单色光波场的复振幅表示 单色光波场中某点P在时刻t的振动为
1.5.2
傅里叶变换的基本定理
1. 卷积定理 如果 则
பைடு நூலகம்
2.相关定理 （1）互相关定理 如果 则 ☆ ,
称F*(ξ,η)G(ξ,η)为函数f(x,y)和g(x,y)的互谱能量密度（互谱密度）
（2）自相关定理 设 则 ☆
（3)巴塞伐定理 设 且积分
存在,则 表示能量守恒。
1.4.4.广义巴塞伐定理 设
称ξ为沿x方向的空间频率。 y方向的周期为无穷。
同样对y方向，当cosβ≠0也可得到 ，空间频率 在z方向 空间频率
傅里叶变换常用公式
傅里叶变换常用公式1. 简介傅里叶变换是一种重要的数学工具，用于将一个信号从时域转换到频域。
它常被应用于信号处理、图像处理、通信等领域。
本文将介绍傅里叶变换的基本概念和常用公式。
2. 傅里叶级数傅里叶级数是傅里叶变换的基础，它用于将周期信号表示为一系列正弦和余弦函数的和。
傅里叶级数的公式如下：傅里叶级数公式傅里叶级数公式在上述公式中，f(t)表示周期为T的函数，a0是直流成分，ak和bk是傅里叶系数。
3. 傅里叶变换傅里叶变换是将非周期信号表示为一组连续的频谱的过程。
傅里叶变换的公式如下：傅里叶变换公式傅里叶变换公式在上述公式中，F(w)表示频域信号，f(t)表示时域信号，j是虚数单位。
4. 反傅里叶变换反傅里叶变换是将频域信号恢复为时域信号的过程。
反傅里叶变换的公式如下：反傅里叶变换公式反傅里叶变换公式在上述公式中，F(w)表示频域信号，f(t)表示时域信号。
5. 常见傅里叶变换公式下面列举了一些常见的傅里叶变换公式：5.1 正弦函数的傅里叶变换正弦函数的傅里叶变换的公式如下：正弦函数的傅里叶变换公式正弦函数的傅里叶变换公式在上述公式中，f(t)是正弦函数，F(w)是其频域信号。
5.2 余弦函数的傅里叶变换余弦函数的傅里叶变换的公式如下：余弦函数的傅里叶变换公式余弦函数的傅里叶变换公式在上述公式中，f(t)是余弦函数，F(w)是其频域信号。
5.3 矩形脉冲的傅里叶变换矩形脉冲的傅里叶变换的公式如下：矩形脉冲的傅里叶变换公式矩形脉冲的傅里叶变换公式在上述公式中，f(t)是矩形脉冲，F(w)是其频域信号。
5.4 高斯函数的傅里叶变换高斯函数的傅里叶变换的公式如下：高斯函数的傅里叶变换公式高斯函数的傅里叶变换公式在上述公式中，f(t)是高斯函数，F(w)是其频域信号。
6. 结论傅里叶变换是一种非常强大的数学工具，用于将信号从时域转换到频域。
本文介绍了傅里叶级数、傅里叶变换和反傅里叶变换的基本公式，并列举了一些常见的傅里叶变换公式。
信号与系统(郑君里第二版)讲义第三章 傅里叶变换
t0
⎧0 ⎪T cos(mω1t )cos(nω1t )dt = ⎨ 1 ⎪2 ⎩T1
m≠n m=n≠0 m=n=0
∫
∫
t0 +T1
t0
0 ⎧ ⎪T sin (mω1t )sin (nω1t )dt = ⎨ 1 ⎪ ⎩2
m≠n m=n≠0
t0 +T1
t0
sin (mω1t )cos(nω1t )dt = 0 ，对于所有的 m 和 n
n =1
⎧ ⎪d 0 = a 0 ⎪ 2 2 ⎨d n = a n + bn ⎪ an ⎪θ n = arctan bn ⎩
n = 1,2,3,L n = 1,2,3,L
三、虚指数形式的傅里叶级数 任何周期信号 f (t ) 可以分解为
f (t ) =
n =−∞
∑ Fe
n
∞
jnω1t
傅里叶系数：
Fn = 1 t0 +T1 f ( t ) e − jnω1t dt ∫ t 0 T1
f (t )
E 2
−
T1 2
0
T1 2
t
奇函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = an = 0
4 bn = T1
Fn = −
∫ f (t )sin (nω t )dt
1
T1 2 0
1 π jbn ， ϕ n = − 2 2
6
奇函数的 Fn 为虚数。在奇函数的傅里叶级数中不会含有余弦项，只可能含 有正弦项。 3、奇谐函数（半波对称函数） 若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转， 此时波形并不发生变 化，即满足 ⎛ T ⎞ f (t ) = − f ⎜ t ± 1 ⎟ 2⎠ ⎝ 这样的函数称为半波对称函数或称为奇谐函数。 奇谐函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = 0 an = bn = 0 （ n 为偶数） （ n 为奇数）
第3章 连续信号的频谱——傅里叶变换
• 直到19世纪末，制造出电容器。20世纪初，谐振电路、滤波
器、正弦振荡器等一系列问题的解决为正弦函数与傅里叶分 析的在通信系统中的应用开辟了广阔的前景。 • 从此，在通信与控制系统的理论研究和实际应用之中，采用 频率域（频域）的分析方法比经典的时间域（时域）方法有 许多突出的优点。 • 当今，傅里叶分析方法已成为信号分析与系统设计不可缺少 的重要工具。 • 20世纪70年代，出现的各种二值正交函数（沃尔什函数）， 它对通信、数字信号处理等技术领域的研究提供了多种途径 和手段。使人们认识到傅里叶分析不是信息科学与技术领域 中唯一的变换域方法。
nw1 nw1
0
w
nw1
w1 0 w1
nw1
w
正、负频率相应项成对合并，才是实际频谱函数。
4.周期信号的功率特性
—时域和频域能量守恒定理
周期信号的平均功率P：在一个周期内求平方再求积分。
1 t0 T1 2 f (t )dt P f (t ) t T1 0 1 1 2 2 2 2 2 a0 ( an bn ) c0 cn 2 n 1 2 n 1
其傅里叶级数三角展开式中 仅含基波和奇次谐波
例子
例如：奇谐函数
f (t )
E 2
T1 2
f (t )
E 2
T 1 2
0
E 2
T1 2
t
0
E 2
T1 2
t
sin( w1t )
E 2
f (t )
E 2
T1 2 T 1 2 T1 2
f (t )
0
E 2
t
0
E 2
T1 2
傅里叶变换详细讲述
第三章傅里叶变换3-1 概述对于一件复杂的事情，人们总是从简单的一步开始做起，富丽堂皇的高楼大厦，是人们一块砖一块砖垒起来的。
为了简化问题的求解，人们往往也使用“变换分析”这种技巧，所起“变换”大家可能会感到陌生，其实我们在中学时已经运用了“变换分析”技巧，大家一定还记得对数运算，它实际上也是一种数学变换，我们知道两个数的乘积的对数等于两个数的对数和，两个数的商的对数等于这两个数的对数差，利用对数这个运算规则我们可以将数的乘积运算转换（准确地说变换）为数的加法运算，可以将数的除法运算转换（变换）为数的减法运算，可见“变换分析”给我们解决问题带来了方便，傅里叶变换就是给我们分析问题和解决问题极为方便的数学工具。
线性非时变系统的卷积分析实际上是基于将输入信号分解为一组加权延时的单位冲激（或样值）激励的线性组合。
本章将讨论信号和系统的另一种表示，其基本观点还是将信号分解为一组简单函数的线性组合，但是这里用的简单函数不是单位冲激（或样值）而是三角函数（或复指数函数）。
用“三角函数和”表示信号的想法至少可以追溯到古代巴比伦时代，当时他们利用这一想法来预测天体运动。
这一问题的近代研究始于1748年，欧拉在振动弦的研究中发现：如果在某一时刻振动弦的形状是标准振动（谐波）模的线性组合，那么在其后任何时刻，振动弦的形状也是这些振动模的线性组合。
另外，欧拉还证明了在该线性组合中，其后的加权系数可以直接从前面时间的加权系数中导出。
欧拉的研究成果表明了：如果一个线性非时变系统输入可以表示为周期复指数或正弦信号的线性组合，则输出也一定能表示成这种形式。
现在大家已经认识到，很多有用的信号都能用复指数函数的线性组合来表示，但是在18世纪中期，这一观点还进行着激烈的争论。
1753年D.伯努利（D.Bernoulli）曾声称：一根弦的实际运动都可以用标准（谐波）振荡模的线性组合来表示。
而以J.L.拉格朗日(grange)为代表的学者强烈反对使用三角级数来研究振动弦运动的主张，他反对的论据就是基于他自己的信念，即不可能用三角级数来表示一个具有间断点的函数。
傅里叶变换的极限定义及其基本特性定理
（时域信号）f(t)的傅里叶变换象函数是 F( ω) 而 f(t)的 1 阶导数 f ′(t) 的傅里叶变换象函数是
F 1 (ω) ；f(t)的 n 阶导数 f (n) (t) 的傅里叶变换象函数是 F n (ω) ;用 i 表示 − 1 则常见的傅里
叶变换的积分特性有下列几种表式 [1] ：
F (ω)
= ≠
x x
0 0
..时时))；............................................................................(4)..
x0 +∞
∞
...... ∫ δ (x - x0 )dx = 1.；特别是：. ∫δ (x)dx = 1.........................................................(5)
π .i n α →0 [α
1
[α + i(ω − ω0 )]n+1
−
(−1) n i(ω − ω0 )]n+1
+
−
1
[i(ω − ω0 )]n+1
1 [i(ω − ω0 )]n+1 ]
]⎪⎫ ⎪⎬..............................(11b) ⎪ ⎪⎭
信号与系统第3章 傅里叶变换
P
f
2 (t) 1 T1
t0 T1 t0
f
2 (t)d t
a0 2
1 2
n1
(an
2
bn 2 )
2
Fn _____ 帕塞瓦尔定理
n
结论：周期信号的平均功率等于傅里叶级数展开 式中基波分量及各谐波分量有效值的平方 和，即时域和频域的能量守恒。
五. 周期信f号(t)的频c0 谱 （c三n c角os函(n数1t形 式n )） n1
(1) 偶函数 f (t) f (t)
4
an T1
T1
2 0
f (t) cos(n1t)dt
Fn
Fn
an 2
bn 0
傅里叶级数中不会含有正弦项， 只可能含有直流项和余弦项。
(2) 奇函数 f (t) f (t)
a0 0 , an 0
bn
4 T1
T1
2 0
f (t) sin(n1t)d t
e j n1t
T1 n 2
画频谱图：
c0
a0
E
T1
an
2E
T1
Sa
n1
2
, n
1,2,
cn an
1）令 m
2
得
2
m
即在
2
m，m为整数处有零点。
2）
2
2
T1
T1
零点间谱线个数
3) c n值为正，相位为0，值为负，相位为π
4)谱线间隔为 1 带宽
2
T1
，第一个过零点带宽定义为信号的
1 3
s in31t
1 4
sin41t
E
1 n1
第三章离散时间信号的傅里叶变换
第三章离散时间信号的傅里叶变换课程：数字信号处理目录第三章离散时间信号的傅里叶变换 (3)教学目标 (3)3.1引言 (3)3.2傅里叶级数CFS (4)3.2.1傅里叶级数CFS定义 (4)3.2.2傅里叶级数CFS性质 (6)3.3傅里叶变换CFT (7)3.3.1傅里叶变换CFT定义 (7)3.3.2傅里叶变换CFT的性质 (8)3.4离散时间信号傅里叶变换DTFT (9)3.4.1离散时间信号傅里叶变换DTFT定义 (9)3.4.2离散时间信号傅里叶变换的性质 (10)3.5周期序列的离散傅里叶级数(DFS) (14)3.5.1周期序列的离散傅里叶级数的定义 (14)3.5.2周期序列的离散傅里叶级数的性质 (18)3.6离散傅里叶变换(DFT) (20)3.6.1离散傅里叶变换(DFT) (20)3.6.2离散傅里叶变换的性质 (23)3.7CFS、CFT、DTFT、DFS和DFT的区别与联系 (25)3.8用DFT计算模拟信号的傅里叶分析 (28)3.9实验 (30)本章小结 (32)习题 (33)参考文献： (36)第三章离散时间信号的傅里叶变换教学目标本章讲解由时域到频域的傅里叶变换，频域观察信号有助于进一步揭示系统的本质，对于某些系统可以极大的简化其设计和分析过程。
通过本章的学习，要理解连续时间信号的傅里叶级数和傅里叶变换的和离散时间信号基本概念、性质和应用；了解一些典型信号的傅里叶变换；理解连续时间信号的傅里叶级数(CFS)、连续时间信号的傅里叶变换(CFT)、离散时间傅里叶变换(DTFT)、离散时间傅里叶级数(DTFS)和离散傅里叶变换(DFT)它们相互间的区别与联系；掌握傅里叶变换的参数选择，以及这些参数对傅里叶变换性能的影响；了解信号处理中其它算法（卷积、相关等）可以通过离散傅里叶变换(DFT)来实现。
3.1引言一束白光透过三棱镜，可以分解为不同颜色的光，这些光再通过三棱镜，就会得到白光。
第三章傅里叶变换(1)
第一节 引言
傅里叶分析发展史
• 从本章开始由时域分析转入频域分析。 • 傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产 • •
• •
生的。 傅里叶分析的研究与应用经历了一百余年。 1822 年法国数学家傅里叶（ J.Fourier,1768-1830 ）在研究 热传导理论时发表了“热的分析理论”著作，提出并证明了 将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理 论基础。 泊松（Poisson）、高斯（Gauss）等人把这一成果应用到电 学中去。 伴随电机制造、交流电的产生与传输等实际问题的需要，三 角函数、指数函数以及傅里叶分析等数学工具已得到广泛的 应用。
可见，直流分量的大小以及基波与各次谐波的 幅度、相位取决于周期信号的波形。
5、幅度谱、相位谱
频谱图：
cn c0
c1
cn ~ n1 信号的幅度谱
n ~ n1 信号的相位谱
c2
c3
其中各频率分量幅度称为“谱线”； 连各谱线顶点的曲线称为
nw1
0
w1
n
3w1
w
? 包络线”。
周期信号的主要特点： 具有离散性、谐波性、收敛性
T1 2
0
T1 2
t
其傅里叶级数表达式为：
是一偶函数
E 4E 1 1 f (t ) 2 cos(w1t ) cos(3w1t ) cos(5w1t ) 2 9 25
（2）奇函数信号
2)奇函数信号： a0 0，an 0
f (t ) －f (t )
当n 0时，Fn Fn 1 1 j n a jb F F e (an jbn ) e 2 n n n n 2 1 2 1 2 其中 Fn a n bn cn 2 2 n n (三角函数形式）
傅里叶变换超详细总结
“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示” ——傅里叶的第二个主要论点
频域分析：傅里叶变换，自变量为 j Ω 复频域分析：拉氏变换，自变量为 S = σ +j Ω Z域分析：Z 变换，自变量为z
傅立叶级数是一种三角级数，它的一般形式是
=
1• 2 (cn
e inω t
+
•
c−n
e −inω t )
=
Re⎩⎨⎧c•n
e inω
t
⎫ ⎬ ⎭
.
(2).对于n
阶谐波的振幅
•
cn = an − ibn ;
•
c−n = an + ibn
复数形式
实数形式
•
•
cn = c−n = an2 + bn2
复振幅的模,正好是 n上述脉冲信号的一个周期其傅里叶变aedt傅里叶变换的性质1线性利用傅里叶变换的线性特性可以将待求信号分解为若干基本信号之和judujudu1傅里叶级数对应的是周期信号要求在一个周期内能量有限是离散谱代表周期信号第次谐波幅度的大小傅里叶变换对应的是非周期信号要求在整个时间区间内能量有限是连续谱是频谱密度是谐波幅度除以角频率傅里叶级数和傅里叶变换的区别与联系2周期信号的傅里叶级数和用该信号的一个周期所求出的傅里叶变换的关系为
, ,
m≠n m=n
T 2
∫ sin mωt cos nωt d t = 0
−T 2
T
T
2
2
∫ 1⋅ sin nωt d t = ∫ 1⋅ cos nωt d t =0
T
T
−
−
2
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
时域循环移位定理表明：有限长序列的循环移位，在离散 频域中相当于引入一个和频率成正比的线性相移WN-mk 频域循环移位定理表明：时域序列的调制(相移)等效于频域 的循环移位
(3.1.7)
注：若x(n)实际长度为M，延拓周期为N，则当N<M时，(3.1.5) 式仍表示以N为周期的周期序列，但(3.1.6)和 (3.1.7)式仅对 N≥M时成立。
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
图3.1.2（a）中x(n)实际长度M=6，
x (n) 如图 当延拓周期N=8时，~
3.1.2（b）所示。
DTFT:X(e )= x( n)e
M 1 n0
N (n) RN (n) xN ( n) x
(k ) x N (n)WNkn DFS : X
DFT与ZT关系：
k
z e
j k N
X (k ) X ( z )
k ,, ,..., N k ,, ,..., N
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
（2）时/频域循)] X (k )
k 0,1,..., N 1
则
且
mk DFT [ x(( n m)) N RN (n)] WN X (k )
nl IDFT [ X (( k l )) N RN (k )] WN x ( n)
n 0 N 1
WN e
j
2 N
k 0,1,..., N 1 n 0,1,..., N 1
1 N 1 IDFT [ X (k )] x(n) X (k )WN kn N k 0
1 IDFT[ X (k )]N N
N 1
mk kn [ x ( m ) W ] W N N k 0 m 0 k ( mn ) W N k 0 N 1
傅里叶变换的基本性质
傅里叶变换的基本性质（一）傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。
在实际信号分析中，经常需要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。
因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质，并说明其应用。
一、线性傅里叶变换是一种线性运算。
若则其中a和b均为常数，它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。
例3-6利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数。
解因由式(3-55)得二、对称性若则证明因为有将上式中变量换为x，积分结果不变，即再将t用代之，上述关系依然成立，即最后再将x用t代替，则得所以证毕若是一个偶函数，即，相应有，则式(3-56)成为可见，傅里叶变换之间存在着对称关系，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系，其幅度之比为常数。
式中的表示频谱函数坐标轴必须正负对调。
例如：例3-7若信号的傅里叶变换为试求。
解将中的换成t，并考虑为的实函数，有该信号的傅里叶变换由式(3-54)可知为根据对称性故再将中的换成t，则得为抽样函数，其波形和频谱如图3-20所示。
三、折叠性若则四、尺度变换性若则证明因a＞0，由令，则，代入前式，可得函数表示沿时间轴压缩(或时间尺度扩展)a倍，而则表示沿频率轴扩展(或频率尺度压缩)a倍。
该性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比，信号持续时间压缩的倍数恰好等于占有频带的展宽倍数，反之亦然。
例3-8已知,求频谱函数。
解前面已讨论了的频谱函数，且根据尺度变换性，信号比的时间尺度扩展一倍，即波形压缩了一半，因此其频谱函数两种信号的波形及频谱函数如图3-21所示。
五、时移性若则此性质可根据傅里叶变换定义不难得到证明。
它表明若在时域平移时间，则其频谱函数的振幅并不改变，但其相位却将改变。
例3-9求的频谱函数。
解:根据前面所讨论的矩形脉冲信号和傅里叶变换的时移性，有六、频移性若则证明证毕频移性说明若信号乘以，相当于信号所分解的每一指数分量都乘以，这就使频谱中的每条谱线都必须平移，亦即整个频谱相应地搬移了位置。
《傅里叶变换》课件
小波变换具有多尺度分析的特点，能够同时获得 信号在时间和频率域的信息，并且在时频域具有 很好的局部化能力。
应用
在信号处理、图像处理、语音识别等领域广泛应 用。
周期性和共轭对称性
总结词
周期性和共轭对称性是傅里叶变换的重要性质。
详细描述
由于傅里叶变换将时间域的函数映射到频率域，因此频谱具有周期性，即F(ω) = F(ω+2πn)，其中n为整数。此 外，频谱还具有共轭对称性，即F*(ω) = F(-ω)，这意味着频谱在频率轴上关于原点对称。这些性质在信号处理 、图像处理等领域有着广泛的应用。
线性性质
如果a和b是常数，f(t)和g(t)是可傅里叶变换的函数，那么 a*f(t)+b*g(t)也是可傅里叶变换的，并且其频域表示为 a*F(ω)+b*G(ω)。
时移性质
如果f(t)是可傅里叶变换的，那么f(t+a)也是可傅里叶变换 的，并且其频域表示为F(ω)e^(iωa)。
频移性质
如果f(t)是可傅里叶变换的，那么f(t)e^(iω0t)也是可傅里叶 变换的，并且其频域表示为F(ω-ω0)。
04
傅里叶逆变换
傅里叶逆变换的定义
01
傅里叶逆变换是将频域函数转 换为时域函数的过程。
02
它与傅里叶变换是可逆的，即 给定一个频域函数，通过傅里 叶逆变换可以恢复原始的时域 函数。
03
傅里叶逆变换的公式为：f(t) = ∫F(ω)e^(iωt)dω，其中f(t)是 时域函数，F(ω)是频域函数。
傅里叶逆变换的性质
在图像处理中的应用
图像频域滤波
通过傅里叶变换将图像从空间域 转换到频域，可以在频域中对图 像进行滤波处理，如去除噪声、
《傅里叶变换详解》课件
原理：利用信号的稀疏性，通过测量矩阵将高维信号投影到低维空间，再 利用优化算法重构出原始信号。
单击添加标题
应用：在图像处理、通信、雷达、医学成像等领域有广泛应用，能够实现 高分辨率和高帧率成像，降低数据采集成本和存储空间。
单击添加标题
展望：随着压缩感知技术的不断发展，未来有望在人工智能、物联网、无 人驾驶等领域发挥重要作用，为信号处理领域带来更多创新和突破。
应用：傅里叶逆变换在信号处理、图像处理等领域有着广泛的应用
逆变换的应用场景
信号处理：用于信号的滤波、去噪、压缩等 图像处理：用于图像的增强、去噪、边缘检测等 音频处理：用于音频的滤波、去噪、压缩等 通信系统：用于信号的调制、解调、编码、解码等
06
傅里叶变换的计算机实现
离散傅里叶变换（DFT）
傅里叶变换的分类
连续傅里叶变换：适用于连续信号，将信号分解为不同频率的正弦波
离散傅里叶变换：适用于离散信号，将信号分解为不同频率的正弦波
快速傅里叶变换：适用于快速计算傅里叶变换，通过FFT算法实现 短时傅里叶变换：适用于分析非平稳信号，将信号分解为不同频率的正弦 波，同时考虑时间因素
03
傅里叶变换的性质
04
傅里叶变换的应用
在信号处理中的应用
滤波器设计：设计滤波器以 消除或增强特定频率的信号
信号分解：将信号分解为不 同频率的谐波
信号压缩：通过傅里叶变换 进行信号压缩，减少数据量
信号分析：分析信号的频率 成分，了解信号的特性和变
化规律
在图像处理中的应用
傅里叶变换可以用于图像的平滑处理，去除噪声 傅里叶变换可以用于图像的锐化处理，增强图像的细节 傅里叶变换可以用于图像的频域滤波，去除图像中的特定频率成分 傅里叶变换可以用于图像的压缩和编码，减少图像的数据量
23傅里叶变换性质及定理(精)
e
f x e jx dx
F je jt0
时延（移位）性说明波形在时间轴上时延，不改变信号
振幅频谱，仅使信号增加一 t0 线性相位。
例2.3-1 求如图2-15所示信号 f1 t 的频谱函数 F1 ，
并作频谱图。
解
f1 t 与门函数的关系为
0
f t e j0t e jt dt
f t e j 0 t dt F 0
j0t 相乘， e 频移(调制)特性表明信号在时域中与复因子
则在频域中将使整个频谱搬移 0 。通信技术中的调制 是将频谱在 0 附近的低频信号乘以e j0t ，使其频谱
f u t e jt dt d
f
1 j e d j
j
f e
d
1 j f e d j
利用积分特性可以简化由折线组成的信号频谱的求解。
例2-6 求如图2-21(a)所示 f t 的频谱函数 F 。
f t
E
/ 2
0
/2
t
（a）
解：
2 E 1 t f t 0
t t
2 2
2E / f1 t f t 2 E /
f1 t Ef t
f1 t
2
E
由上节门函数的变换
f t F Sa
0
t
2
2
再由线性与时移性，得到
傅里叶变换的基本概念及基本定理
g ( x) sin( 2πnf 0 x)dx = 0
采用指数傅里叶级数展开，可以使展开系数的表达式统一而简洁。 采用指数傅里叶级数展开，可以使展开系数的表达式统一而简洁。
二维傅里叶变换
——指数傅里叶级数 可以在(-∞ 可以在 展为 满足狄氏条件的函数 g(x) 具有有限周期τ,可以在 ∞,+ ∞)展为 Байду номын сангаас数傅里叶级数: 指数傅里叶级数
第三讲 二维傅里叶变换的基本概念及基本定理
• 恩格斯(Engels) 把傅里叶 傅里叶的数学成 傅里叶 就与他所推崇的哲学家黑格尔 (Hegel) 的辩证法相提并论.
他写道：傅里叶 傅里叶是一首数学的诗， 傅里叶 黑格尔是一首辩证法的诗.
1、三角傅里叶级数展开 、
满足狄氏条件的函数 g(x) 具有有限周期τ,可以在(-∞,+ ∞)展 为三角傅里叶级数:
+∞
f (x, y) = ∫∫ F( fx , f y ) exp[ j2π ( fx x + f y y)df xdf y
−∞
记作:
f(x,y)=
-1{F(f
x,fy)}.
显然
-1
{f(x,y)}= f(x,y)
综合可写:
f(x,y)
F.T. F.T.-1
F(fx,fy)
f(x,y)和F(fx,fy)称为傅里叶变换对 x (y) 和 fx (fy )称为一对共轭变量, 它们在不同 的范畴(时空域或频域) 描述同一个物理对象.
图1-5-1 函数 ei2π(fxx+fyy) 的零位相直线族
二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 广义 F.T.
对于某些不符合狄氏条件的函数, 求F.T.的方法. 对某个可变换函数组成的系列取极限→不符合狄氏条件的函数, 函数系列变换式的极限→原来函数的广义F. T.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
{rect(x/t)rect(y/t)} =t2sinc(tfx)sinc(tfy)
{g(x,y)}=limt2sinc(tfx)sinc(tfy) = d(fx, fy) {1} = d(fx, fy)
按照广义变换的概念可以 得出一系列特殊函数的F.T.
例1：求
F{sgn( x)}
解:计算过程分为三个步骤： (1)选择适当的函数序列 例如
…
-2/3
0
fn
三角傅里叶展开的例子
练习 1-15：求函数 f(x)=rect(2x)*comb(x) 的傅里叶级数展开系数
三角傅里叶展开的例子
练习 0-15：求函数 g(x)=rect(2x)*comb(x) 的傅里叶级数展开系数 宽度 =1/2 周期 t =1
a0
an
t t
2
t
g ( x) exp( j 2 fx)dx exp( j 2 fx) g ( x) df
展开系数,或频率f分量的权重, G(f), 相当于分立情形的Cn
由于t ∞ 分立的n级谐波频率 n/t f, f: 连续的频率变量 相邻频率间隔: 1/t 写作df, 0, 求和 积分
展开系数Cn 频率为n/t的分量
二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 从傅里叶级数到傅里叶变换
非周期函数可以看作周期为无限大的周期函数:
1 1 1 t 2 g ( x) lim t g ( x) exp( j 2 n x)dx exp( j 2 n x) t t t 2 n t
(1.3.18)
(3)求极限:
1 F sgn( x) lim GN ( f x ) i f x N 0
fx 0
fx 0
上式就是符号函数的广义傅里叶变换.
例2：求 例如选取
F{d ( x)}
a0 c0 , 2
an jbn cn , 2
c n
an jbn 2
二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 从傅里叶级数到傅里叶变换
函数 (满足狄氏条件) 具有有限周期t,可以展为傅里叶级数:
g ( x) Cn 1
n
C
t 2 2
(2)当 f x x f y y N 时,
表示零位相线,其与x轴的夹角 arctan( f y )
fx
fx N y x fy fy
(3)引入了空间频率的概念. 沿等位相线法线方向:
f
f
2
x
f
2
yห้องสมุดไป่ตู้
综合上述分析，逆傅里叶变换的物理意义 是：物函数f(x,y)可以看成是无数振幅不同 (|F(fx,fy)|dfxdfy) ， 方 向 不 同 (cos=fx ， cos=fy )的平面波线性叠加的结果。此即傅 里叶分解。
振幅谱 位相谱
描述了各频率分量的相对幅值和相移.
傅里叶变换作为分解式
由逆变换式，可以把函数f(x,y)分解成形式 为 ei 2 ( f x f y ) 的基元 函数的线性组合，其频谱 F ( f x , f y ) 只不过是一个权重因子。
x y
这种基元函数具有下述性质： (1)代表传播方向为cos f x ,cos f y的单位振 幅的平面波.
t /2 1 exp( j 2 f x x) t / 2 j 2 f x
重要推论: 则
1 j 2 f x
(e
jtf x
e
jtf x
sin( tf x ) ) t sinc (t f x ) fx
{rect(x)} =sinc(fx)
根据广义傅立叶变换的定义和d 函数的定义:
函数f(x,y)在整个x-y平面上绝对可积且满足狄氏条件(有 有限个间断点和极值点,没有无穷大间断点), 定义函数
F ( f x , f y ) f ( x, y) exp[ j 2 ( f x x f y y)dxdy
为函数f(x,y)的傅里叶变换, 记作: F(fx,fy)= {f(x,y)}=F.T.[f(x,y)], 或 f(x,y) F.T. F(fx,fy)
{g(x,y)}=lim
t
x x )} {rect( rect (t ) exp( j 2 f x x)dx t t / 2 exp( j 2 f x x)dx
t / 2
思考题:利用 {rect(x)}=sinc(f) 计算
0
sin(f ) df f
2 2
g ( x)dx 2
4 1 4
1
dx 1
4 1 4 1
频率 f0 =1
sin( 2nx) 1 / 4 n cos( 2nx)dx sinc 1/ 4 n 2
t t
2
t
2 2
g ( x) cos( 2nx)dx 2
2 2
bn
t t
2
二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 从傅里叶级数到傅里叶变换
写成两部分对称的形式:
G( f ) g ( x) exp( j 2 fx)dx
g ( x) G( f ) exp( j 2 fx)df
这就是傅里叶变换和傅里叶逆变换
二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 一、定义及存在条件
二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 一、定义(续)
f ( x, y) F ( f x , f y ) exp[ j 2 ( f x x f y y)df x df y
F(fx,fy)是f(x,y)的频谱函数 x, y, fx , fy 均为实变量， F(fx,fy)一般是复函数, F(fx,fy) =A(fx,fy)e jf (fx,fy)
f0
1
t
展开系数
cn
t
1
t
0
g ( x) exp( j 2nf 0 x)dx
零频分量, 基频, 谐频, 频谱等概念
指数傅里叶级数和三角傅里叶级数是同一种级数的两种表 示方式，一种系数可由另一种系数导出。
二维傅里叶变换
—— 指数傅里叶级数
思考题
利用欧拉公式，证明指数傅里叶系数与三角傅里叶系数之间 的关系：
对于某些不符合狄氏条件的函数, 求F.T.的方法. 对某个可变换函数组成的系列取极限不符合狄氏条件的函数,
函数系列变换式的极限原来函数的广义F. T.
例: g(x,y)=1, 在(-, + )不可积
可定义: g(x,y)=lim 则
t
rect(x/t)rect(y/t) {rect(x/t)rect(y/t)}
a0 g ( x) (an cos 2nf0 x bn sin 2nf0 x), 2 n1
(n 0, 1, 2... ), f0
1
t
展开系数
a0
t
2
t
0
g ( x)dx
an
t
2
t
0
g ( x) cos( 2nf 0 x)dx bn
t
2
t
0
g ( x) sin( 2nf 0 x)dx
f(x,y): 原函数, F(fx,fy): 像函数或频谱函数
积分变换:
F ( x) f ( ) K ( , x)d
傅里叶变换的核:
exp(-j2fx)
变换核
二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 一、定义(续)
由频谱函数求原函数的过程称为傅里叶逆变换:
e x / N , x 0 g N ( x) 0, x 0 e x / N , x 0
(1.3.17)
1 显然有： sgn( x) lim g N x 0 N 1
x0 x0 x0
(2)求变换: F{g N ( x)}
t
g ( x) sin(2nf0 x)dx 0
采用指数傅里叶级数展开，可以使展开系数的表达式统一而简洁。
二维傅里叶变换
——指数傅里叶级数
满足狄氏条件的函数 g(x) 具有有限周期t,可以在(-,+ )展为 指数傅里叶级数:
g ( x)
n
c
n
exp( j 2nf 0 x), (n 0,1,2... ),
f ( x, y) F ( f x , f y ) exp[ j 2 ( f x x f y y)df x df y
记作:
f(x,y)=
-1{F(f
x,fy)}. 显然
-1
{f(x,y)}= f(x,y)
综合可写:
f(x,y)
F.T. F.T.-1
F(fx,fy)
f(x,y)和F(fx,fy)称为傅里叶变换对 x (y) 和 fx (fy )称为一对共轭变量, 它们在不同 的范畴(时空域或频域) 描述同一个物理对象.
零频分量, 基频, 谐频, 频谱等概念， 奇、偶函数的三角级数展开
三角傅里叶展开的例子
周期为t =1的方波函数
1.2
0 0 -1.2 1 2 3 4 5
1 2
2
cos( 2 x )
2 cos( 6 x) 3
前3项的和
1/2
an
2/
频谱图
1 3
1 2 2 f ( x) cos( 2x) cos(6x) ...... 2 3