傅里叶变换的基本性质.
傅里叶变换的性质
由于 满足绝对可积条件，其傅里叶变换不含冲激函数，故
10） 频谱如图 5.4-8(d)所示。
（5.4-
(a)
(b)
(c) 图 5.4-8 三角脉冲信号及其频谱 若傅里叶变换式对 求导，可得频域微分性质：
(d) （5.4-11）
例 5.4-6 利用频域微分性质求斜变函数 解
的傅里叶变换。
根据频域微分性质，有
4 傅里叶变换的性质
傅里叶变换建立了信号的时域与频域间的一般关系。实际上， 通过数学运算求解一个信号的傅里叶变换不是最终的目的，重要的是在信号分 析的理论研究与实际设计中能够了解当信号在时域进行某种运算后在频域将 发生何种变化，或反过来从频域的运算推测时域信号的变动。如果采用傅里叶 变换的基本性质求解复杂信号变换，不仅计算过程简单，而且物理概念清楚。
一、线性 傅里叶变换的线性性质包含齐次性与可加性，若
，
则
（5.4-1）
式中 、 为任意常数。
上面的结论可以容易地由傅里叶变换的定义式证明。即傅里 叶变换是一种线性运算，相加信号的频谱等于各个信号的频谱之和。
二、对偶性 若
则
如图 5.4-1 所示，其中
，
。
图 5.4-1 对偶性说明 证明 由逆傅里叶变换公式
（5.4-8）
图 5.4-7 符号函数及其频谱 利用常数 1 和符号函数的傅里叶变换，可求得阶跃函数的变换。由于
故有
（5.4-9）
阶跃函数的傅里叶变换在 处为
，在 处为
。
例 5.4-5 利用时域微分性质求图 5.4-8(a)所示三角脉冲 信号的傅里叶变换。
解 三角脉冲信号可表示为
对 求两次导数，波形如图 5.4-8(b)和(c)所示。根据微分性质得
信号分析与处理——傅里叶变换性质
信号分析与处理——傅里叶变换性质傅里叶变换是信号处理中常用的分析方法，通过将信号在频域上进行分解，可以获得信号的频谱信息，并对信号进行频谱分析，从而实现对信号的处理与改变。
傅里叶变换具有以下几个重要的性质，这些性质对于信号处理的理解和实际应用至关重要。
1.线性性质：傅里叶变换具有线性性质，即对于任意两个信号x(t)和y(t)，以及对应的傅里叶变换X(f)和Y(f)，有以下关系：a) 线性叠加：傅里叶变换对于信号的叠加是可线性的，即如果有h(t) = cx(t) + dy(t)，则H(f) = cX(f) + dY(f)。
b) 变换的线性组合：如果有z(t) = ax(t) + by(t)，则Z(f) =aX(f) + bY(f)。
这种线性性质为信号的分析和处理提供了很大的方便，可以通过分别对不同组成部分进行变换，再进行线性组合，得到最终的处理结果。
2. 平移性质：傅里叶变换具有平移性质，即如果一个信号x(t)的傅里叶变换为X(f)，则x(t - t0)的傅里叶变换为e^(-j2πft0)X(f)，其中t0为平移的时间。
这意味着信号在时域上的平移将对应于频域上的相位变化，而频域上的平移则对应于时域上的相位变化。
4.卷积定理：傅里叶变换还具有卷积定理，即信号的卷积在频域上等于信号的傅里叶变换之积。
具体来说，如果两个信号x(t)和h(t)的傅里叶变换分别为X(f)和H(f)，则它们的卷积y(t)=x(t)*h(t)的傅里叶变换为Y(f)=X(f)×H(f)。
这个性质在实际的信号处理中有着重要的应用。
通过将两个信号在时域上的卷积转化为频域上的乘法操作，可以方便地进行信号处理的设计和实现。
5. Parseval定理：傅里叶变换还具有Parseval定理，即信号的能量在时域和频域上是相等的。
具体来说，如果信号x(t)的傅里叶变换为X(f)，则有∫，x(t)，^2dt = ∫，X(f)，^2df。
这个性质意味着通过傅里叶变换可以实现信号的能量分析和功率谱估计，从而对信号的能量进行定量的测量。
信息光学傅里叶变换的基本性质和有关定理
1.7.3复振幅分布的空间频谱
任意的平面波可以用空间频率表示
(x, y)面上的平面波具有如下形式
在相干光照明下g(x,y)是xy面上复振幅分布
指数基元
表示传播方向余弦（cosα＝λξ，cosβ＝λη）
的单位振幅的单色平面波。而g(x,y)可看成无数基元函数代表的平 面波叠加。
空间频谱可用方向余弦表示
exp(i*x)=cos(x)+i*sin(x)
a (P)和φ(P)是P点的振幅和初相位。
通常用指数函数表示一点的光振动
优点：可以将与位置有关的φ(P)和与时间有关的2πνt分开。 定义复振幅 为单色波场P点的复振幅。它与时间无关，仅是空间的函数。 即描述了光振动的空间分布。而时间因子exp(2πνt）对各点均相 同，可省略。
3. 4.实函数
即
由于输入余弦函数的频率是任意的，上式可写为
说明在线性不变系统中，在有实值脉冲的响应情况下，余弦函 数将产生同频率的余弦输出。但有衰减和相移。其改变程度由传递 函数的模和辐角决定。
1.7 二维光场分析
光波的数学描述。 1.7.1. 单色光波场的复振幅表示 单色光波场中某点P在时刻t的振动为
1.5.2
傅里叶变换的基本定理
1. 卷积定理 如果 则
பைடு நூலகம்
2.相关定理 （1）互相关定理 如果 则 ☆ ,
称F*(ξ,η)G(ξ,η)为函数f(x,y)和g(x,y)的互谱能量密度（互谱密度）
（2）自相关定理 设 则 ☆
（3)巴塞伐定理 设 且积分
存在,则 表示能量守恒。
1.4.4.广义巴塞伐定理 设
称ξ为沿x方向的空间频率。 y方向的周期为无穷。
同样对y方向，当cosβ≠0也可得到 ，空间频率 在z方向 空间频率
傅里叶变换性质
四．尺度变换性质
第 9
页
若f
(t)
F (),则f
at
1 a
F a
, a为非零实常数
意义
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。 (2) a>1 时域压缩，频域扩展a倍。
(3) a 1 f t f t, F F 。
X
第
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。
10
页
f t
F
E
E
o t
2
0
F
0
通信中调制与解调，频分复用。
X
七．微分性质
第 16
页
时域微分性质
f (t) F()，则f (t) jF()
频域微分性质
若f (t) F( ), 则tf (t) jd F d
d F
jtf (t)
d
jt n
f
(t)
dn F
d n
或
t n f (t) jn F n
X
1．时域微分
1、f(t)是实函数
实函数傅里叶变换的幅度谱和相位谱分别为偶、 奇函数
若f(t)是实偶函数，F(ω)必为ω的实偶函数
F f ( t )e j t d t
20 f ( t )cost d t
若f(t)是实奇函数，F(ω)必为ω的虚奇函数
F
f
(
t
)e
j
t
d
t
2 j f ( t )sint d t
0
X
第
2、 f(t)是虚函数
7 页
令 f t jgt
F jgt e jt dt
jgt cos( t )dt gt sin( t )dt
傅里叶变换的基本性质
其对应的频谱函数为
X ( j ) A Sa (
因为
2
)
x1 (t ) x(t T )
故，由延时特性可得
-jT
X1 ( j) X ( j)e
A Sa (
2
) e - j T
4. 频移特性（调制定理） 若 则
x(t ) X ( j)
x(t ) e j0t X [ j ( 0 )]
2 A
0
t
p 0 p
f (t ) F ( ) A
2
2
t
2p
0
2p
f (2t )
A
1 1 F( ) 2 2 1 A 2
t
4
4
4p
0
4p
6.互易对称特性
若x(t ) X ( j)
f (t )
A
则X (t ) 2px()
2.4傅里叶变换的基本性质
1. 2. 3. 4. 5. 6. 线性特性 共轭对称特性 对称互易特性 展缩特性 时移特性 频移特性 7. 时域卷积特性
8. 频域卷积特性 9. 时域微分特性 10. 积分特性 11. 频域微分特性
能量定理
12.
1. 线性特性
8.积分特性
若x(t ) X ( j) t 1 则 x( )d X ( j ) pX (0) ( ) j
若信号不存在直流分量即X(0)=0
1 则 x( )d X ( j ) j
t
9.频域微分特性
( 0 ) ( 0 ) 1 { A Sa[ ] A Sa[ ]} 2 2 2
傅立叶变换的性质
[
1 f (t ) d t ] F ( ) . j 1 f (t ) d t 2π
2
| F ( ) |2 d .
( 直接进入 Parseval 等式举例? )
15
§8.3 傅里叶变换的性质 第 例 设 f ( t ) u( t ) 2 cos 0 t , 求 [ f ( t )]. 八 1 章 解 已知 [ u( t )] π ( ) , j 傅 f ( t ) u( t ) (e j 0t e j 0t ) , 里 又 叶 变 根据线性性质和频移性质有 换 1 1 [ f (t )] π ( 0 ) π ( 0 ) j ( 0 ) j ( 0 )
[ f (t ) ] j [ g( t ) ] ,
[
t
1 f (t ) d t ] F ( ) . j
11
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 6. 帕塞瓦尔(Parseval)等式
1 f (t ) d t 2π
2
| F ( ) |2 d .
7
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 4. 微分性质 傅 性质 若 | t lim f ( t ) 0 , 则 [ f (t ) ] jF ( ) . | 里 叶 证明 由 lim f ( t ) 0 , 有 lim f ( t ) e j t 0 , | t | | t | 变 换 [ f ( t ) ] f ( t ) e j t d t
f (t ) e
j t
j f ( t ) e j t d t
傅里叶变换的性质与应用
傅里叶变换的性质与应用傅里叶变换（Fourier Transform）是一种在信号和图像处理领域中广泛应用的数学工具。
它通过将一个函数表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合来描述时域和频域之间的关系。
在本文中，我们将探讨傅里叶变换的性质以及其在各个领域中的应用。
一、傅里叶变换的性质1. 线性性质傅里叶变换具有线性性质，即对于任意常数a和b以及函数f（t）和g（t），有以下等式成立：F（af（t） + bg（t））= aF（f（t））+ bF（g（t））其中F（f（t））表示对函数f（t）进行傅里叶变换后得到的频域函数。
2. 对称性质傅里叶变换具有一系列对称性质。
其中最为重要的对称性质为奇偶对称性。
当函数f（t）为实函数并满足奇偶对称时，其傅里叶变换具有如下关系：F（-t）= F（t）（偶对称函数）F（-t）= -F（t）（奇对称函数）3. 尺度变换性质傅里叶变换可以对函数的尺度进行变换。
对于函数f（a * t）的傅里叶变换后得到的频域函数为F（w / a），其中a为正数。
二、傅里叶变换的应用1. 信号处理傅里叶变换在信号处理中被广泛应用。
它可以将时域信号转换为频域信号，使得信号的频率成分更加明确。
通过傅里叶变换，我们可以分析和处理各种信号，例如音频信号、图像信号和视频信号等。
在音频领域中，傅里叶变换可以用于音乐频谱分析、滤波器设计和音频压缩等方面。
在图像处理领域中，傅里叶变换可以用于图像增强、图像去噪和图像压缩等方面。
2. 通信系统傅里叶变换在通信系统中具有重要的应用。
通过傅里叶变换，我们可以将信号转换为频域信号，并根据频域特性进行信号调制和解调。
傅里叶变换可以用于调制解调器的设计、信道估计和信号的频谱分析等方面。
在无线通信系统中，傅里叶变换也广泛应用于OFDM（正交频分复用）技术，以提高信号传输效率和抗干扰性能。
3. 图像处理傅里叶变换在图像处理中有广泛的应用。
通过将图像转换到频域，我们可以对图像进行滤波、增强和去噪等操作。
傅里叶变换的性质 (1)
f t cos 1t
1
F
-1
sin 1t
1
-1
t
1
0
1
F
1
t
0
1
利用的 e j1t 傅氏变换，我们还可以推导任意周期函数
的频谱函数为
fT t
F e jn1t n
2
Fn n1
n
n
证 F
fT t
F
n
Fn
e
jn1t
n
F
F e jn1t n
Fn F e jn1t 2
1 ，并乘以系数 2 ，我们得到另一对变换对
e j1t 2 1 2 1
利用上面结果，可推导周期正、余弦函数的傅氏变换。
cos1t
1 2
e j1t
e j1t
1 1
sin 1t
1 2j
e e j1t
j1t
j 1 1
cos1t 、sin 1t 的波形与频谱如图2-24 所示。
f
at
1 a
F
a
特别地，当 a 1 时，得到 f t 的折叠函数 f t ，
其频谱亦为原频谱的折叠，即 f t F 。
尺度特性说明，信号在时域中压缩，频域中就扩展；反 之，信号在时域中扩展，在频域中就一定压缩；即信号 的脉宽与频宽成反比。一般来说时宽有限的信号，其频 宽无限，反之亦然。
也称调制特性。
例2-4 求 f t cos 0t ut 的频谱函数，并画出频谱
图。
解： 已知 ut 1 ，利用频移性
j
cos0tut
2
0
0
2
1
j
0
2
1
傅里叶变换的11个性质公式
傅里叶变换的11个性质公式傅里叶变换的11个性质公式是傅立叶变换的基本性质，由他们可以推出其它性质。
其中包括线性性质、有穷性质、周期性质、旋转性质、折叠性质、应变性质、平移性质、对称性质、频域算子性质、滤波性质、压缩性质等共11条。
1、线性性质：如果x(t)和y(t)是两个信号，则有：X(ω)=F[x(t)]，Y(ω)=F[y(t)]，则有：X(ω)+Y(ω)=F[x(t)+y(t)]；αX(ω)=F[αx(t)]；X(ω)*Y(ω)=F[x(t)*y(t)]。
2、有穷性质：如果x(t)是有穷的，则X(ω)也是有穷的。
3、周期性质：如果x(t)在周期T内无穷重复，则X(ω)也在周期2π/T内无穷重复。
4、旋转性质：X(ω-ω0) = F[x(t)e^(-jω0t)]，即信号x(t)经过相位旋转成x(t)e^(-jω0t)，其傅里叶变换也会经过相位旋转成X(ω-ω0)。
5、折叠性质：X(ω+nω0)=F[x(t)e^(-jnω0t)]，即信号x(t)经过频率折叠后变为x(t)e^(-jnω0t)，其傅里叶变换也会经过频率折叠成X(ω+nω0)。
6、应变性质：X(aω)=F[x(at)]，即信号x(t)经过时间应变成x(at)，其傅里叶变换也会经过频率应变成X(aω)。
7、平移性质：X(ω-ω0) = F[x(t-t0)]，即信号x(t)经过时间平移成x(t-t0)，其傅里叶变换也会经过频率平移成X(ω-ω0)。
8、对称性质：X(-ω) = X*(-ω)，即傅里叶变换的实部和虚部对称。
9、频域算子性质：X(ω)Y(ω)=F[h(t)*x(t)]，即傅里叶变换不仅可以表示信号，还可以表示系统的频域表示，即h(t)*x(t)，其傅里叶变换为X(ω)Y(ω)。
10、滤波性质：H(ω)X(ω)=F[h(t)*x(t)]，即傅里叶变换可以用来表示滤波器的频域表示，即h(t)*x(t)，其傅里叶变换为H(ω)X(ω)。
3.7-9 傅立叶变换的基本性质
2
t 4
B f = f 3 (0).τ = 1
3.7
当=-1时 时
傅立叶变换的基本性质
1 ω FT [ f (at )] = F ( ) a a
⇓
FT [ f (−t )] = F (−ω )
这就是反转特性. 这就是反转特性
3.7
FT
傅立叶变换的基本性质
[f
( t ) ] = F (ω )
2 F (2ω )
1
2τ
−τ
0
τ t
f (2t )
0
−
π τ
1 2
π τ
ω
压缩
−τ / 4
1
0
τ
F( ) 2
ω
扩展
2
0
τ /4
t
−
4π
4π
τ
τ
ω
3.7
注意: 注意
傅立叶变换的基本性质
傅立叶变换尺度变换性质.exe 傅立叶变换尺度变换性质
尺度变换伸展与压缩后幅度的变化. 尺度变换伸展与压缩后幅度的变化.
实函数
F
对实 x(t):
共轭对称
实 偶
F
实 偶
F
实 奇
纯虚 奇
偶部的F = F的实部
奇部的F = F的虚部
本次课的主要内容
3.7 傅立叶变换的基本性质
尺度变换特性 时移特性 频移特性 微分特性 积分特性
3.8 卷积定理 3.9 周期信号的傅里叶变换
3.7
• 若 • 则
傅立叶变换的基本性质
FT [ f (t )] = F (ω )
1 ω FT [ f ( at )] = F( ) a a
傅里叶变换的性质
∫−
jtx ( t ) e
− jΩ t
dt
dX ( j Ω ) tx ( t ) ←→ j dΩ
FT
例如： 例如： du (t ) (t
dt
对应的傅里叶变换
= δ (t )
jΩ 1 = j 0 ⋅ πδ(Ω) + =1 δ(t ) ←→ jΩ[πδ(Ω) + ] jΩ jΩ
FT
再例如： 再例如：
1 d [ πδ ( Ω ) + ] jΩ FT tu ( t ) ← → j dΩ
= j π δ ′( Ω ) −
1 Ω2
七、反褶与共轭特性 设 则
FT x(t ) ←→ X ( jΩ) FT x ( − t ) ← → X ( − j Ω ) FT x * ( t ) ← → X * ( − j Ω )
由傅里叶变换公式很容易证明。 由傅里叶变换公式很容易证明。 奇偶、 八、奇偶、虚实性 1、实信号 、
FT x(t ) = x* (t ) ←→ X ( jΩ) = X * (− jΩ)
设
X ( jΩ) = X ( jΩ) e jϕ( Ω ) = X R (Ω) + jX I (Ω)
X * ( jΩ) = X ( jΩ) e − jϕ( Ω ) = X R (Ω) − jX I (Ω)
六、微分特性 设 则
FT x(t ) ←→ X ( jΩ) FT x ′( t ) ← → j Ω X ( j Ω )
------时域微分性 时域微分性 ------频域微分性 ------频域微分性
1 x (t ) = 2π
∞
dX ( j Ω ) − jtx ( t ) ← → dΩ
FT
因为， 因为，由傅里叶反变换公式 等号两边同时对时间t求导数 等号两边同时对时间 求导数
傅里叶变换的性质
证明
设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的傅里叶变换分别为 $F(w)$ 和 $G(w)$，则有 $F(w) = int f(x) e^{-2pi i x w} dx$ 和 $G(w) = int g(x) e^{-2pi i x w} dx$。对 $a f(x) + b g(x)$ 进 行傅里叶变换，得到 $(a f(x) + b g(x)) star e^{2pi i x w} = a F(w) e^{2pi i x w} + b
详细描述
在进行傅里叶变换时，如果对信号进行了尺度变换，那么需要使用逆变换来还原信号。 逆变换是将傅里叶变换的复数指数部分取共轭后再乘以原信号，从而得到还原后的信号。
尺度变换的共轭
总结词
尺度变换的共轭是指在进行尺度变换时 ，将复数指数的共轭值乘以信号的过程 。
VS
详细描述
在进行尺度变换时，为了保持信号的能量 不变，需要对复数指数取共轭。这是因为 傅里叶变换中的复数指数具有共轭对称性 ，即如果一个复数取共轭，其傅里叶变换 的结果也会取共轭。因此，在进行尺度变 换时，需要将复数指数取共轭后再乘以信 号，以保持信号的能量不变。
时移的逆变换
要信号通过傅里叶反变 换恢复到原始状态的过程。
要点二
详细描述
在傅里叶反变换中，如果已知一个频谱函数经过了相位变 化，那么可以通过逆变换将其恢复到原始的时间信号。这 个过程相当于在频率域上对相位进行补偿，以抵消时间平 移带来的影响。
时移的共轭
总结词
解释
频移的共轭表明，当函数在时间 轴上取反时，其傅里叶变换在频 率轴上取反。
03 共轭性质
共轭
共轭
如果函数$f(t)$的傅里叶变换是 $F(omega)$，那么$f(-t)$的傅里叶变换 是$F(-omega)$。
傅里叶变换的基本性质
的
傅里叶变换
不同于傅里叶系数
谐频点)取得了无穷大的频谱值。
，它不是有限值，而是冲激函数，这表明在无穷小的频带范围(即
例 3-20 图 3-27(a)表示一周期为 ，脉冲宽度为 ，幅度为 1 的周期性矩形脉冲信号，记为
。
试求其频谱函数。
解 由式(3-26)可知，图 3-27(a)所示周期性矩形脉冲信号
和积分性求
解: 因为
，又
的频谱函数。 ，根据时域积分性
例 3-14 求图 3-23 所示信号
的频谱函数
。
解:
对 求两次微分后，得
且 由时域积分性
十、频域积分性 若
则 例 3-15 已知 解: 因为
，求
。
根据频域积分性
十一、时域卷积定理 若 则 证明：
例 3-16 图 3-24(a)所示的三角形函数
对于一般周期为 T 的周期信号
，其指数型傅里叶级数展开式为
式中
,
.
对上式两边取傅里叶变换，并利用其线性和频移性，且考虑到 与时间 无关，可得
式(3-82)表明，一般周期信号的傅里叶变换(频谱函数)是由无穷多个冲激函数组成，这些冲激函数位
于信号的各谐波频率
处，其强度为相应傅里叶级数系数 的 倍。
可见，周期信号的频谱是离散的。但由于傅里叶变换是反映频谱密度的概念，因此周期信号
一、复指数信号的傅里叶变换
对于复指数信号
，
因为
，由频移性
复指数信号是表示一个单位长度的相量以固定的角频率ω0 随时间旋转，经傅里叶变换后，其频谱为 集中于 ，强度为 的冲激。这说明信号时间特性的相移对应于频域中的频率转移。
二、余弦、正弦信号的傅里叶变换
傅里叶变换的性质
03
共轭性质
共轭对称
定义
如果一个函数的傅里叶变换和其共轭函数的傅里叶变 换相等，则称该函数具有共轭对称性质。
数学表达式
如果 $f(t)$ 的傅里叶变换是 $F(omega)$，那么 $f(t)$ 的傅里叶变换是 $F(-omega)$。
应用
在信号处理中，共轭对称性质可以用于对称信号的分 析和合成。
共轭反对称
定义
01
如果一个函数的傅里叶变换和其共轭函数的傅里叶变
换互为相反数，则称该函数具有共轭反对称性质。
数学表达式
02
如果 $f(t)$ 的傅里叶变换是 $F(omega)$，那么 $f(-
t)$ 的傅里叶变换是 $-F(-omega)$。
应用
03
在信号处理中，共轭反对称性质可以用于分析信号的
周期性
傅里叶变换具有周期性，这意味着对于一个函数进行傅里叶变换后，其结果仍具有周期性。这 是因为傅里叶变换将一个时域函数转换为频域函数，而频域函数中的频率分量具有周期性。
周期性的具体表现是，对于一个具有周期T的函数f(t)，其傅里叶变换F(ω)在频域中也是周期性 的，周期为2π/T。
傅里叶级数
傅里叶级数是傅里叶变换的一种特殊形式，它适用于具有有限个离散频率 分量的信号。
总结词
频域对称性质揭示了信号在频域和时间域之间的对称关系，为信号处理提供了重要的理论依据。
时间反转与频域反转
时间反转
将信号在时间轴上反转，其傅里叶变换在频域上会产生负 频率分量。
频域反转
将信号在频域上反转，其在时间域上会产生负时间位移。
总结词
时间反转与频域反转的性质表明，信号在时间域和频域的反转 具有对应关系，这种关系在信号处理和通信领域中具有重要应
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傅里叶变换的基本性质（一）傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。
在实际信号分析中，经常需要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。
因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质，并说明其应用。
一、线性傅里叶变换是一种线性运算。
若则其中a和b均为常数，它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。
例3-6利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数。
解因由式(3-55)得二、对称性若则证明因为有将上式中变量换为x，积分结果不变，即再将t用代之，上述关系依然成立，即最后再将x用t代替，则得所以证毕若是一个偶函数，即，相应有，则式(3-56)成为可见，傅里叶变换之间存在着对称关系，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系，其幅度之比为常数。
式中的表示频谱函数坐标轴必须正负对调。
例如：例3-7若信号的傅里叶变换为试求。
解将中的换成t，并考虑为的实函数，有该信号的傅里叶变换由式(3-54)可知为根据对称性故再将中的换成t，则得为抽样函数，其波形和频谱如图3-20所示。
三、折叠性若则四、尺度变换性若则证明因a＞0，由令，则，代入前式，可得函数表示沿时间轴压缩(或时间尺度扩展) a倍，而则表示沿频率轴扩展(或频率尺度压缩) a倍。
该性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比，信号持续时间压缩的倍数恰好等于占有频带的展宽倍数，反之亦然。
例3-8已知,求频谱函数。
解前面已讨论了的频谱函数，且根据尺度变换性，信号比的时间尺度扩展一倍，即波形压缩了一半，因此其频谱函数两种信号的波形及频谱函数如图3-21所示。
五、时移性若则此性质可根据傅里叶变换定义不难得到证明。
它表明若在时域平移时间，则其频谱函数的振幅并不改变，但其相位却将改变。
例3-9求的频谱函数。
解: 根据前面所讨论的矩形脉冲信号和傅里叶变换的时移性，有六、频移性若则证明证毕频移性说明若信号乘以，相当于信号所分解的每一指数分量都乘以，这就使频谱中的每条谱线都必须平移，亦即整个频谱相应地搬移了位置。
频谱搬移技术在通信系统得到了广泛应用，诸如调幅、同步解调、变频等过程都是在频谱搬移的基础上完成的。
频谱搬移实现原理是将信号乘以所谓载频信号或，即七、时域微分性若则证明：因为两边对t求导数，得所以同理，可推出例3-10求的频谱函数。
解:因为由时域微分性例3-11图3-22所示信号为三角形函数求其频谱函数。
解:将微分两次后，得到图3-22(c)所示函数，其表达式为由微分性所以傅里叶变换的基本性质（二）八、频域微分性若则例3-12求的频谱函数。
解: 因为根据频域微分性九、时域积分性若则例3-13根据和积分性求的频谱函数。
解:因为，又，根据时域积分性例3-14求图3-23所示信号的频谱函数。
解: 对求两次微分后，得且由时域积分性十、频域积分性若则例3-15已知，求。
解:因为根据频域积分性十一、时域卷积定理若则证明：例3-16 图3-24(a)所示的三角形函数可看做为两个如图3－24(b)所示门函数卷积。
试利用时域卷积定理求其频谱函数。
解：因又所以例3-17一个信号的希伯特变换是和的卷积，即解：因为则对称性有由时域卷积定理傅里叶变换的基本性质（三）十二、频域卷积定理若则或例3-18利用频域卷积定理求的傅里叶变换。
解：因为由对称性有所以根据频域卷积定理，有即十三、帕塞瓦尔定理若则可推广若为实函数，则若,为实函数，则例3-19求。
解：因又，由帕塞瓦尔定理可得十四、奇偶性若，则(1) 当为实函数时，则若为实偶函数，即，则若为实奇函数，即，则(2) 当为虚函数，即时，则傅里叶变换的性质表格性质名称时域频域1. 线性2. 对称性3. 折叠性4. 尺度变换性周期信号的傅里叶变换周期信号虽然不满足绝对可积的条件，但其傅里叶变换是存在的。
由于周期信号频谱是离散的，所以它的傅里叶变换必然也是离散的，而且是由一系列冲激信号组成。
下面先讨论几种常见的周期信号的傅里叶变换，然后再讨论一般周期信号的傅里叶变换。
一、复指数信号的傅里叶变换对于复指数信号，因为，由频移性复指数信号是表示一个单位长度的相量以固定的角频率ω0随时间旋转，经傅里叶变换后，其频谱为集中于，强度为的冲激。
这说明信号时间特性的相移对应于频域中的频率转移。
5. 时移性6. 频移性7. 时域微分8. 频域微分9. 时域积分10. 频域积分11. 时域卷积12. 频域卷积13. 帕塞瓦尔定理二、余弦、正弦信号的傅里叶变换对于余弦信号其频谱函数对于正弦信号有它们的波形及其频谱如图3-25所示。
三、单位冲激序列的傅里叶变换若信号为单位冲激序列，即则其傅里叶级数展开式为对其进行傅里叶变换，并利用线性和频移性得式中。
可见，时域周期为的单位冲激序列，其傅里叶变换也是周期冲激序列，而频域周期为，冲激强度相等，均为。
周期单位冲激序列波形、傅里叶系数与频谱函数如图3-26所示。
四、一般周期信号的傅里叶变换对于一般周期为T的周期信号，其指数型傅里叶级数展开式为式中,.对上式两边取傅里叶变换，并利用其线性和频移性，且考虑到与时间无关，可得式(3-82)表明，一般周期信号的傅里叶变换(频谱函数)是由无穷多个冲激函数组成，这些冲激函数位于信号的各谐波频率处，其强度为相应傅里叶级数系数的倍。
可见，周期信号的频谱是离散的。
但由于傅里叶变换是反映频谱密度的概念，因此周期信号的傅里叶变换不同于傅里叶系数，它不是有限值，而是冲激函数，这表明在无穷小的频带范围(即谐频点)取得了无穷大的频谱值。
例3-20图3-27(a)表示一周期为，脉冲宽度为，幅度为1的周期性矩形脉冲信号，记为。
试求其频谱函数。
解由式(3-26)可知，图3-27(a)所示周期性矩形脉冲信号的傅里叶系数为代入式(3-82)，得（3-83）式中。
可见，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换由位于处的冲激函数所组成，其在处的强度为。
图3-27(b)给出了情况下的频谱图周期信号的频谱一、周期信号的频谱一个周期信号，只要满足狄里赫利条件，则可分解为一系列谐波分量之和。
其各次谐波分量可以是正弦函数或余弦函数，也可以是指数函数。
不同的周期信号，其展开式组成情况也不尽相同。
在实际工作中，为了表征不同信号的谐波组成情况，时常画出周期信号各次谐波的分布图形，这种图形称为信号的频谱，它是信号频域表示的一种方式。
描述各次谐波振幅与频率关系的图形称为振幅频谱，描述各次谐波相位与频率关系的图形称为相位频谱。
根据周期信号展成傅里叶级数的不同形式又分为单边频谱和双边频谱。
1单边频谱若周期信号的傅里叶级数展开式为式(3-15)，即则对应的振幅频谱和相位频谱称为单边频谱。
例3-3求图3-4所示周期矩形信号的单边频谱图。
解由波形可知，为偶函数，其傅里叶系数故因此,即, , ,, , ┅单边振幅频谱如图3-5所示。
2双边频谱若周期信号的傅里叶级数展开式为式(3-17)，即则与所描述的振幅频谱以及的相位与所描述的相位频谱称为双边频谱。
例3-4画出图3-4所示矩形周期信号的双边频谱图形。
解由式(3-18)和图3-4可知,,,,,…故, 的双边频谱图如图3-6所示。
从上例频谱图上可以看出，单边振幅频谱是指与正值的关系，双边振幅频谱是指与正负值的关系。
应注意，所以将双边振幅频谱围绕纵轴将负一边对折到一边，并将振幅相加，便得到单边振幅频谱。
当为实数，且各谐波分量的相位为零或±π，图形比较简单时，也可将振幅频谱和相位频谱合在一幅图中。
比如，例3-4中的频谱可用与关系图形反映，如图3-7所示。
3周期信号频谱的特点图3-7反映了周期矩形信号频谱的一些性质，实际上它也是所有周期信号频谱的普遍性质，这就是：(1) 离散性。
指频谱由频率离散而不连续的谱线组成，这种频谱称为离散频谱或线谱。
(2) 谐波性。
指各次谐波分量的频率都是基波频率的整数倍，而且相邻谐波的频率间隔是均匀的，即谱线在频率轴上的位置是的整数倍。
(3) 收敛性。
指谱线幅度随而衰减到零。
因此这种频谱具有收敛性或衰减性.二、周期信号的有效频谱宽度在周期信号的频谱分析中，周期矩形脉冲信号的频谱具有典型的意义，得到广泛的应用。
下面以图3-8所示的周期矩形脉冲信号为例，进一步研究其频谱宽度与脉冲宽度之间的图3-8关系。
图3-8所示信号的脉冲宽度为，脉冲幅度为，重复周期为，重复角频率为。
若将展开为式(3-17)傅里叶级数，则由式(3-18)可得在这里为实数。
因此一般把振幅频谱和相位频谱合画在一幅图中，如图3-9所示。
由此图可以看出：(1) 周期矩形脉冲信号的频谱是离散的，两谱线间隔为。
(2) 直流分量、基波及各次谐波分量的大小正比于脉幅和脉宽，反比于周期，其变化受包络线的牵制。
(3) 当时，谱线的包络线过零点。
因此称为零分量频率。
(4) 周期矩形脉冲信号包含无限多条谱线，它可分解为无限多个频率分量，但其主要能量集中在第一个零分量频率之内。
因此通常把这段频率范围称为矩形信号的有效频谱宽度或信号的占有频带，记作或显然，有效频谱宽度只与脉冲宽度有关，而且成反比关系。
有效频谱宽度是研究信号与系统频率特性的重要内容，要使信号通过线性系统不失真，就要求系统本身所具有的频率特性必须与信号的频宽相适应。
对于一般周期信号，同样也可得到离散频谱，也存在零分量频率和信号的占有频带。
三、周期信号频谱与周期的关系下面仍以图3-8所示的周期矩形信号为例进行分析。
因为所以在脉冲宽度保持不变的情况下，若增大周期，则可以看出：(1) 离散谱线的间隔将变小，即谱线变密。
(2) 各谱线的幅度将变小，包络线变化缓慢，即振幅收敛速度变慢。
(3) 由于不变，故零分量频率位置不变，信号有效频谱宽度亦不变。
图3-10给出了脉冲宽度相同而周期不同的周期矩形脉冲信号的频谱。
由图可见，这时频谱包络线的零点所在位置不变，而当周期增大时，频谱线变密，即在信号占有频带内谐波分量增多，同时振幅减小。
当周期无限增大时，变为非周期信号，相邻谱线间隔趋近于零。
相应振幅趋于无穷小量，从而周期信号的离散频谱过渡到非周期信号的连续频谱，这将在下一节中讨论。
如果保持周期矩形信号的周期不变，而改变脉冲宽度，则可知此时谱线间隔不变。
若减小，则信号频谱中的第一个零分量频率增大，即信号的频谱宽度增大，同时出现零分量频率的次数减小，相邻两个零分量频率间所含的谐波分量增大。
并且各次谐波的振幅减小，即振幅收敛速度变慢。
若增大，则反之。
四、周期信号的功率谱周期信号的平均功率可定义为在电阻上消耗的平均功率，即周期信号的平均功率可以用式(3-28)在时域进行计算，也可以在频域进行计算。
若的指数型傅里叶级数展开式为则将此式代入式(3-28)，并利用的有关性质，可得该式称为帕塞瓦尔(Parseval)定理。
它表明周期信号的平均功率完全可以在频域用加以确定。