高中 圆与直线的典型大题

1.

已知方程x2+y2-2x-4y+m=0。

（Ⅰ）若此方程表示圆，求m的取值范围；

（Ⅱ）若（Ⅰ）中的圆与直线x+2y-4=0相交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求以MN为直径的圆的方程。

解：（Ⅰ），D=-2，E=-4，F=m，

=20-4m＞0，解得：m＜5。

（Ⅱ），

将x=4-2y代入得，∴，，

∵OM⊥ON，得出：，

∴，

∴。

（Ⅲ）设圆心为（a，b），，

半径，

∴圆的方程为。

法 2.

2. 已知圆C方程为x²+y²-2x-4y-20=0，直线l的方程为：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0. 证明：无论m取何

圆C恒有两个公共点。

2、求直线l被圆C截得的线段的最短长度，并求出此时m的值

1、将直线方程化为：m(2x+y-7)+(x+y-4)=0，不论m取何值，直线总过定点，令2x+y-7=0，x+y-4=0

解得x=3，y=1，所以直线过定点(3，1），将点(3,1)代入圆方程左边可知<0，所以点(3,1)在圆内

所以直线与圆相交，直线与圆恒有两个公共点

2、当直线与过A(3,1)点的直径垂直时，直线l被圆C截得的线段的最短，圆心C(1,2)，

AC的斜率= -1/2，所以L的斜率=2，所以- (2m+1)/(m+1)=2，所以m= - 3/4

3、已知圆C：（x-1）2+（y-2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0．

（Ⅰ）证明：不论m为何值时，直线l和圆C恒有两个交点；

（Ⅱ）判断直线l被圆C截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时m的值以及最短长度．

4.已知圆C：x2+y2-2x-4y-20=0，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0．

（Ⅰ）求圆C的圆心坐标和圆C的半径；

（Ⅱ）求证：直线l过定点；

（Ⅲ）判断直线l被圆C截得的弦何时最长，何时最短？并求截得的弦长最短时m的值，以及最短长度．

（I）将圆的方程化为标准方程，可得圆C的圆心坐标和圆C的半径；

（Ⅱ）分离参数可得（2x+y-7）m+（x+y-4）=0，再建立方程组，可得结论；

（Ⅲ）直线l被圆C截得的弦最长时，圆心（1，2）在直线l上，圆C截得的弦为直径；当圆心C（1，2）与A（3，1）的连线与l垂直时，直线l被圆C截得的弦最短，由此可得结论．

5. 求与圆x2+y2-2x=0外切，且与直线x+根号3y＝0相切与点（3，-根号3）的圆的方程

所求圆心（x,y),半径r

圆x2+y2-2x=0圆心（1,0),半径1 圆心距等于半径和

（x-1)^2+y^2=(1+r)^2

到直线距离r

|x+√3y|/2=r

√[（x-1)^2+y^2]=|x+√3y|/2+1 化简：

x^2-2√3xy-y^2-8x-√3y-2=0

或x^2-2√3xy-y^2+√3y-2=0