精品2018_2019学年高二数学上学期期中试题(8)Word版
2018-2019学年江苏省常州市“14校合作联盟”高二(上)期中数学试卷(解析版)
2018-2019学年江苏省常州市“14校合作联盟”高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.若直线l的倾斜角为60°，则直线l的斜率为______．2.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，面对角线A1D与AC所在直线的位置关系为______．（填“平行”、“相交”、“异面”）3.如图，若线段AB的端点A，B到平面α的距离分别为2，4，且A，B在平面α的同侧，则线段AB的中点M到平面α的距离为______．4.若直线4x+ay=2a+2与直线2x+y=a+2平行，则实数a的值为______．5.如果用半径为2的半圆形铁皮卷成一个无底圆锥筒，那么此圆锥筒的高为______．6.函数y=1−x2的图象绕x轴旋转360°所得几何体的体积为______．7.下列三个命题在“（）”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中l，m为直线，α，β为平面），则此条件是______．①⇒l∥m；②⇒m⊥l；③⇒l∥β8.已知三点A（-1，2），B（1，0），C（2，1），那么△ABC外接圆的方程为______．9.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=6cm，AD=3cm，AA1=2cm，则三棱锥C-A1BC1的体积为______cm3．10.若圆O：x2+y2=10与圆M：（x-a）2+y2=90（a∈R）相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是______．11.如图，一个实心六角螺帽毛坯（正六棱柱）的底边长为4，高为3，若在中间钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，则孔的半径为______．12.设点A（1，0），B（3，2），如果直线ax+by-1=0与线段AB有一个公共点，那么1的最大值为______．a+b13.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若平面A1B1CD⊥平面AEP，则线段AP长度的取值范围是______．14.在△ABC中，BC=3，∠A的平分线交BC于点D，且BD=2，则△ABC面积的最大值是______．二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.如图，在三棱锥O-AEF中，侧棱OA⊥OE，OA⊥OF，M，N分别为EF，OF的中点．求证：（1）MN∥平面AOE；（2）平面AOE⊥平面OEF．16.已知三条直线l1：x+y-3=0，l2：3x-y-1=0，l3：2x+my-8=0经过同一点M．（1）求实数m的值；（2）求点M关于直线l：x-3y-5=0的对称点N的坐标．17.如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC，D为BC上一点，A1B∥平面AC1D．（1）求证：D为BC的中点；（2）若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：△AC1D为直角三角形．18.已知圆C的方程为x2+y2-2ax-4y+a2+a-8=0（a∈R）．（1）若a=1，过点（2，3）的直线l交圆C于M，N两点，且MN=210，求直线l的方程；（2）直线x+y+2=0与圆C相交于A，B两点，问是否存在实数a，使得以AB为直径的圆经过原点？若存在，求出实数a的值；若不存在，说明理由．19.如图，某市有相交于点O的一条东西走向的公路l，与南北走向的公路m，这两条公路都与一块半径为1（单位：千米）的圆形商城A相切．根据市民建议，欲再新建一条公路PQ，点P、Q分别在公路l、m上，且要求PQ与圆形商城A也相切．（1）当P距O处4千米时，求OQ的长；（2）当公路PQ长最短时，求OQ的长．20.已知圆C：（x+1）2+y2=a（a＞0），定点A（m，0），B（0，n），其中m，n为正实数．（1）当a=m=n=3时，判断直线AB与圆C的位置关系；（2）当a=4时，若对于圆C上任意一点P均有PA=λPO成立（O为坐标原点），求实数m，λ的值；（3）当m=2，n=4时，对于线段AB上的任意一点P，若在圆C上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】3【解析】解：因为直线的倾斜角为60°，所以直线的斜率k=tan60．故答案为：．通过直线的倾斜角为60°求出直线的斜率即可．本题考查直线的倾斜角与直线的斜率的关系，基本知识的考查．2.【答案】异面【解析】解：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D∩平面ABCD=D，AC⊂平面ABCD，D∉AC，∴面对角线A1D与AC所在直线的位置关系为异面．故答案为：异面．A1D∩平面ABCD=D，AC⊂平面ABCD，D∉AC，由此能求出面对角线A1D与AC所在直线的位置关系．本题考查空间中两直线的位置关系的判断，考查异面直线判定定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】3【解析】解：∵线段AB的端点A，B到平面α的距离分别为2，4，且A，B在平面α的同侧，∴线段AB的中点M到平面α的距离为：d==3．故答案为：3．由线段AB的端点A，B到平面α的距离分别为2，4，且A，B在平面α的同侧，结合图形能求出线段AB的中点M到平面α的距离．本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．4.【答案】2【解析】解：∵直线4x+ay=2a+2与直线2x+y=a+2平行，∴，解得a=2，∴实数a的值为2．故答案为：2．利用直线与直线平行的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】3【解析】解：用半径为2的半圆形铁皮卷成一个无底圆锥筒，如图所示；设圆锥母线为l，底面圆半径为r，高为h，则l=2，且πrl=πl2，∴r=l=1，∴此圆锥筒的高为h==．故答案为：．由题意设圆锥母线为l，底面圆半径为r，高为h，由侧面积列方程求出r的值，再用勾股定理求出h的值．本题考查了圆锥侧面积的计算问题，是基础题．6.【答案】4π3【解析】解：函数的图象是半圆，且半圆的圆心为原点，半径为1，则该半圆绕x轴旋转360°所得几何体是半径为1的球，所以该球的体积为π•13=．故答案为：．由函数的图象是半圆知该半圆绕x轴旋转360°所得几何体是球，求出球的体积即可．本题考查了旋转体的体积计算问题，是基础题．7.【答案】l⊂α【解析】解：在（1）中，⇒l∥m，在（2）中，⇒m⊥l，在（3）中，⇒l∥β，∴l⊂α．故答案为：l⊂α．利用空间中线线、线面、面面间的位置关系直接求解．本题考查线线平行、线线垂直、线面平行的条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8.【答案】x2+y2-x-3y=0【解析】解：根据题意，设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，又由该圆经过三点A（-1，2），B（1，0），C（2，1），则有，解可得：D=-1，E=-3，F=0；则圆的方程为x2+y2-x-3y=0；故答案为：x2+y2-x-3y=0．根据题意，设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将三点的坐标代入圆的方程，可得，解可得D、E、F的值，即可得答案．本题考查圆的一般方程的求法，关键是设出圆的方程，属于基础题．9.【答案】6【解析】解：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=6cm，AD=3cm，AA1=2cm，则三棱锥C-A1BC1的体积就是A1-CBC1的体积，可得V===6．故答案为：6．根据长方体的结构特征，利用等体积法，转化求解即可．本题考查锥体体积计算，对于三棱锥体积计算，要选择好底面，便于求解．10.【答案】6【解析】解：由题意得：O（0，0），r1=，M（a，0），r2=，∴＜|a|＜，∵OA⊥MA，∴在Rt△AOM中，根据勾股定理得：OM2=OA2+MA2，即a2=2+（32=100，∴a=10或a=-10（不合题意，舍去），则线段AB的长度为2AC=2×=2×=6，故答案为：6．画出草图，由OA⊥MA，结合勾股定理可得a的值，再用等面积法，求线段AB 的长度．本题考查了圆的标准方程，直线与圆的位置关系，利用了数形结合的思想，画出相应的图形是解本题的关键，是中档题．11.【答案】3【解析】解：设孔的半径为r，∵一个实心六角螺帽毛坯（正六棱柱）的底边长为4，高为3，在中间钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，∴2×πr2=2πr×3，解得r=3，∴孔的半径为3．故答案为：3．设孔的半径为r，推导出2×πr2=2πr×3，由此能求出孔的半径．本题考查反函数的求法，考查反函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12.【答案】13【解析】解：∵直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，∴点A（1，0），B（3，2）在直线ax+by=1的两侧，∴（a-1）（3a+2b-1）≤0，画出它们表示的平面区域，如图所示．∵a2+b2表示原点到区域内的点的距离的平方，由图可知，当原点O到直线3a+2b-1=0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值即，则的最大值为13．故答案为：13由题意得：点A（1，0），B（3，2）在直线ax+by=1的两侧，那么把这两个点代入ax+by-1=0，它们的符号相反，乘积小于等于0，即可得出关于a，b的不等关系，画出此不等关系表示的平面区域，结合线性规划思想求出a2+b2的取值范围．本题考查二元一次不等式组与平面区域问题、函数的最值及其几何意义，是基础题．准确把握点与直线的位置关系，找到图中的“界”，是解决此类问题的关键．13.【答案】（5，3]【解析】解：依题意可得BC1⊥平面A1B1CD，故只需EP∥BC1即可，取CC1中点为F，故P在线段EF上（不含端点）．AE=，AF=．∴线段AP长度的取值范围是（，3]．故答案为：（，3]．依题意可得只需EP∥BC1即可，取CC1中点为F，故P在线段EF上（不含端点）．求得AE，AF，即可得线段AP长度的取值范围．本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P点位置．14.【答案】3【解析】解：∵BC=3，∠A的平分线交BC于点D，且BD=2，可得：CD=1，根据三角形内角平分线的性质可得AB=2AC，不妨设AC=b，则AB=2b；∴cos∠BAC==，∴sin∠BAC==；∴△ABC的面积为S△ABC=•2b•b•sin∠BAC=，则b2=5时，S△ABC取得最大值为3．故答案为：3．根据三角形内角平分线的性质可得AB=2AC，设AC=b，利用余弦定理求得cos∠BAC的值，再计算sin∠BAC，写出△ABC的面积，计算最大值即可．本题考查了三角形的内角平分线定理应用问题，也考查了余弦定理和三角形面积公式应用问题，是中档题．15.【答案】证明：（1）∵M，N分别为EF，OF的中点，∴MN∥OE．……………………（3分）∵MN⊄平面AOE，OE⊂面AOE，∴MN∥面AOE．………………………………………………………（7分）（2）∵侧棱OA⊥OE，OA⊥OF，OE，OF⊂平面OEF，且OE∩OF=O，∴AO⊥面OEF．……………………………………………………（10分）∵AO⊂面AOE，∴面AOE⊥面OEF．…………………………（14分）【解析】（1）由M ，N 分别为EF ，OF 的中点，得MN ∥OE ，由此能证明MN ∥面AOE ． （2）推导出AO ⊥面OEF ，由此能证明面AOE ⊥面OEF ．本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．16.【答案】解：（1）解方程组 3x −y −1=0x +y−3=0，得交点M （1，2）． ……………………………（3分）将点M （1，2）的坐标代入直线l 3：2x +my -8=0的方程，得m =3．…………（6分）（2）法一：设点N 的坐标为（m ，n ），则由题意可 n−2m−1×13=−1m +12−3×n +22−5=0………（9分）解得 n =−4m =3…………………………………………………………………………（12分）所以，所求对称点N 的坐标（3，-4）．………………………………………………（14分）法二：由（1）知M （1，2），所以，过M 且与x -3y -5=0垂直的直线方程为：y -2=-3（x -1），即3x +y -5=0．…………………………………………………………………（8分） 解方程组 x −3y −5=03x +y−5=0得交点为H （2，-1）………………………………………（10分）因为M ，N 的中点为H ，所以，x N =2×2-1=3，y N =2×（-1）-2=-4．……（13分）所以，所求对称点N 的坐标（3，-4）．………………………………………………（14分） 【解析】（1）求出M ，将M 代入直线方程求出m 的值即可；（2）法一：设N （m ，n ），根据对称性以及斜率的关系得到关于m ，n 的方程组，解出即可；法二：由M 的坐标以及过M 且与x-3y-5=0垂直的直线方程，联立方程组求出H 的坐标，结合中点坐标公式计算即可．本题考查了直线的交点坐标，考查直线的位置关系以及中点坐标公式，考查转化思想，是一道综合题．17.【答案】证明：（1）连接A 1C 交AC 1于O ，连接OD ，如图所示；…………（2分） ∵四边形ACC 1A 1是棱柱的侧面，∴四边形ACC 1A 1是平行四边形；∵O 为平行四边形ACC 1A 1对角线的交点， ∴O 为A 1C 的中点；……………（4分）∵A 1B ∥平面AC 1D ，平面A 1BC ∩平面AC 1D =OD ，A 1B ⊂平面A 1BC ， ∴A 1B ∥OD ；……………（6分） ∴OD 为△A 1BC 的中位线，∴D 为BC 的中点； ……（7分） （2）∵AB =AC ，D 为BC 的中点， ∴AD ⊥BC ；………………（8分）∵平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，AD ⊂平面ABC ，平面ABC ∩平面BCC 1B 1=BC ， ∴AD ⊥平面BCC 1B 1；……………………（11分） ∵C 1D ⊂平面BCC 1B 1，∴AD ⊥C 1D ，……………………（13分）∴△AC 1D 为直角三角形．……………………（14分） 【解析】（1）连接A 1C 交AC 1于O ，连接OD ，利用线面平行的性质定理和中位线的定义，即可证明D 为BC 的中点； （2）由等腰三角形的性质和面面垂直的性质定理，证明AD ⊥C 1D 即可． 本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，是中档题． 18.【答案】解：（1）∵a =1，∴圆C 为（x -1）2+（y -2）2=11，设圆心C 到直线l 的距离为d ，∵MN =2 10，∴2 2=2 10，得d =1． 若l 的斜率不存在，则l ：x =2符合题意；若l 的斜率存在，设为k ，则l ：y -3=k （x -2），即kx -y -2k +3=0． 由d =2=1，解得k =0，可得l ：y =3．综上，直线l 的方程为x =2或y =3．（2）将x 2+y 2-2ax -4y +a 2+a -8=0配方得，（x -a ）2+（y -2）2=12-a ． ∵直线x +y +2=0与圆C 相交，∴ 12−a ＞0212−a．∴−5− 33＜a ＜−5+ 33．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则其坐标是方程组x +y +2=0x 2+y 2−2ax −4y +a 2+a−8=0的解，消去y 得到关于x 的一元二次方程为2x 2+（8-2a ）x +a 2+a +4=0，由韦达定理得，x 1+x 2=a -4，x 1x 2=12a 2+12a +2．∵以AB 为直径的圆过原点，∴OA ⋅OB=0， ∴x 1x 2+y 1y 2=0，即x 1x 2+（x 1+2）（x 2+2）=0，则x 1x 2+x 1+x 2+2=0， ∴12a 2+12a +2+a −4+2=0， 解得，a =0或a =-3．满足−5− 33＜a ＜−5+ 33，∴a =0或a =-3． 【解析】（1）把a=1代入圆的方程，化为标准方程，求出圆心坐标与半径，由垂径定理可得圆心到直线l 的距离，然后分类求解可得l 的方程；（2）化圆的方程为标准方程，由圆心到直线的距离小于半径求得a 的范围，联立直线方程与圆的方程，利用根与系数的关系结合求解a 值．本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查点到直线的距离公式，考查向量垂直与数量积间的关系，考查计算能力，是中档题．19.【答案】解：（1）以O 为原点，直线l 、m 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系； ………………（1分）设PQ 与圆A 相切于点B ，连结AB ，以1千米为单位长度，则圆A 的方程为（x -1）2+（y -1）2=1，…………………………………………（2分） 由题意可设直线PQ 的方程为x4+yb =1，即bx +4y -4b =0，（b ＞2），……………………………………………………………（3分） ∵PQ 与圆A 相切，∴ b 2+42=1，解得b =3，故当P 距O 处4千米时，OQ 的长为3千米；……………………（5分）（2）设P （a ，0），Q （0，b ）（a ＞2，b ＞2），………………………………（6分） 则直线PQ 方程为xa +yb =1，即bx +ay -ab =0． 因为PQ 与圆A 相切，所以22=1．……………………（8分）化简得ab -2（a +b ）+2=0，即ab =2（a +b ）-2；……………………（10分）法一：因此PQ =2+b 2= (a +b )2−2ab = (a +b )2−4(a +b )+4= (a +b −2)2； 因为a ＞2，b ＞2，所以a +b ＞4，于是PQ =（a +b ）-2；……………………（12分） 又ab =2(a +b )−2≤(a +b 2)2，解得0＜a +b ≤4−2 2，或a +b ≥4+2 2；因为a +b ＞4，所以a +b ≥4+2 2，………………………………（14分） PQ =（a +b ）-2≥2+2 2，当且仅当a =b =2+ 2时取等号，所以PQ 最小值为2+2 2，此时a =b =2+ 2；……………………（15分） 答：当P 、Q 两点距离两公路的交点O 都为2+ （千米）时，新建公路PQ 最短．……………（16分）法二：化简得ab -2（a +b ）+2=0，即b =2(a−1)a−2=2+2a−2，……………………（10分）因此PQ = a 2+b 2 = a 2+(2+2a−2)2= (a −2+2)2+(2+2a−2)2=(a−2)2+4(a−2)+4((a−2)+2a−2)+8=((a−2)+2a−2)2+4((a−2)+2a−2)+4=((a−2)+2a−2+2)2=|(a−2)+2a−2+2|；………………（12分）因为a＞2，所以PQ=(a−2)+2a−2+2≥2(a−2)×2a−2+2=22+2；………………（14分）当且仅当a−2=2a−2，即a=b=2+2时取到等号，………………（15分）答：当P、Q两点距离两公路的交点O都为2+2（千米）时，新建公路PQ最短．……………（16分）法三：解：（2）设PQ与圆A相切于点B，连结AB、AP、AQ，设∠OPA=θ，则∠APB=∠APO，∠BQA=∠OQA，且∠OPQ+∠OQP=π2，∴∠AQB=π4−θ，…………………（8分）又∵AB⊥PQ，∴PB=1tanθ，BQ=1tan(π4−θ)θ∈(0，π4)；……………………………………………（10分）∴PQ=1tanθ+1tan(π4−θ)=1tanθ+11−tanθ1+tanθ=1tanθ+1+tanθ1−tanθ…………………………………（12分）=1 tanθ+21−tanθ−1=(1tanθ+21−tanθ)(tanθ+1−tanθ)−1=1+1−tanθtanθ+2tanθ1−tanθ+2−1≥2+21−tanθtanθ⋅2tanθ1−tanθ=2+22，…………………………（14分）（当且仅当tanθ=2−1取等号）；……………………………………………………………………（15分）答：当P、Q两点距离两公路的交点O都为2+2（千米）时，新建公路PQ最短．………………（16分）法四：设PQ与⊙A相切于点B，设BP=x，BQ=y（x＞0，y＞0），……………………………（6分）则OP=x+1，OQ=y+1，PQ=x+y；………………………………………………………………（8分）在RT△OPQ中，由OP2+OQ2=PQ2得：（x+y）2=（x+1）2+（y+1）2，………………………（10分）化简得：xy=x+y+1，∴x+y+1≤(x+y2)2，解得：x+y≥2+22或x+y≤2−22（舍）；………………………………………………………（13分）（当且仅当x=y=2+1时等号成立）∴当OP=OQ=2+2时，PQ有最小值2+ 22；……………………………………………………（15分）答：当P 、Q 两点距离公路交点O 都为2+ 2（千米）时，新建公路PQ 最短．……………（16分） 【解析】（1）建立适当的平面直角坐标系，利用直线与圆相切求出对应数值； （2）设出点P 、Q 的坐标，利用直线与圆相切，得出对应关系； 法一，利用两点间的距离公式和基本不等式求得PQ 的最小值．法二，利用两点间的距离公式和代入法，结合基本不等式求得PQ 的最小值． 法三，利用三角函数表示出PQ ，根据三角恒等变换和基本不等式计算PQ 的最小值．法四：由题意设BP=x ，BQ=y ，利用直角三角形的勾股定理求出x 、y 的关系，利用基本不等式求出PQ 的最小值．本题考查了直线与圆的方程应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是中档题．20.【答案】解：（1）当a =3时，圆心为（-1，0），半径为 3，当m =n =3时，直线AB 方程为x +y -3=0， ∴圆心到直线距离为d =2=2 2，∵ 3＜2 2，∴直线与圆相离；（2）设点P （x ，y ），则PO = x 2+y 2PA = (x −m )2+y 2∵PA =λPO ，∴（x -m ）2+y 2=λ2（x 2+y 2），即（λ2-1）x 2+（λ2-1）y 2+2mx -m 2=0，由（x +1）2+y 2=4得，x 2+y 2+2x -3=0，∴x 2+y 2=3-2x ，代入得，（λ2-1）（3-2x ）+2mx -m 2=0，化简得2（m -λ2+1）x -m 2+3（λ2-1）=0，∵P 为圆C 上任意一点，∴ −m 2+3(λ2−1)=0m −λ2+1=0， 又m ，λ＞0，解得m =3，λ=2；（3）直线AB 的方程为x 2+y4=1，设P （t ，4-2t ）（0≤t ≤2），N （x ，y ）， ∵点M 是线段PN 的中点，∴M (x +t 2，2−t +y2)，又M ，N 都在圆C ：（x +1）2+y 2=a 上，(x +1)2+y 2=a (x +t 2+1)2+(2−t +y 2)2=a，即 (x +t +2)2+(y +4−2t )2=4a (x +1)2+y 2=a ．∵该关于x ，y 的方程组有解，即以（-1，0）为圆心， a 为半径的圆与以（-t -2，2t -4）为圆心，2 a 为半径的圆有公共点，∴a ≤（t +1）2+（2t -4）2≤9a ，又P 为线段AB 上的任意一点，∴a ≤（t +1）2+（2t -4）2≤9a 对所有0≤t ≤2成立． 而f （t ）=（t +1）2+（2t -4）2=5(t −75)2+365在[0，2]上的值域为[365，17]， ∴ a ≤3659a ≥17，即179≤a ≤365． 又线段AB 与圆C 无公共点，∴ a ＜ 5，则a ＜365．故实数a 的取值范围为[179，365)． 【解析】（1）把a=m=n=3分别代入圆与直线方程，由圆心到直线的距离大于半径可得直线与圆相离；（2）设点P （x ，y ），由PA=λPO ，得（λ2-1）x 2+（λ2-1）y 2+2mx-m 2=0，结合（x+1）2+y 2=4，得（λ2-1）（3-2x ）+2mx-m 2=0，化简得2（m-λ2+1）x-m 2+3（λ2-1）=0，由P为圆C 上任意一点，可得，由此求得实数m ，λ的值；（3）求出直线方程，设P （t ，4-2t ）（0≤t≤2），N （x ，y ），求得M 坐标，由M ，N 都在圆C ：（x+1）2+y 2=a 上，得，该关于x ，y 的方程组有解，即以（-1，0）为圆心，为半径的圆与以（-t-2，2t-4）为圆心，为半径的圆有公共点，转化为a≤（t+1）2+（2t-4）2≤9a ，可得a≤（t+1）2+（2t-4）2≤9a对所有0≤t≤2成立．求出函数f （t ）=（t+1）2+（2t-4）2在[0，2]上的值域，可得a 的范围．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查逻辑思维能力与推理运算能力，难度较大．。
上海市上海中学2018-2019学年高二上学期期中数学试题(原卷+解析版)
由
由于B在直线 上，故m=1
故选：A
【点睛】本题考查了线性规划，考查了学生数形结合，转化与划归的能力，属于中档题.
16.如图， 的 边长为 ， 分别是 中点，记 ， ，则（）
A. B.
C. D. ，但 的值不确定
【答案】C
【解析】
试题分析：因为 分别是 中点，所以根据平面向量的线性运算 可得 ,所以 由 可得 ,故选C.
（1）求向量 与 的夹角 ；
（2）若 ，且 ，求实数t的值及 .
【答案】（1） ；（2） ， = .
【解析】
【分析】
（1）由向量的数量积，代值计算即可；
（2）由数量积为0，代入计算即可.
【详解】（1）因为
故
解得：
因为 ，所以 .
（2）
则
化简得：
解得：此时=Fra bibliotek==
=
【点睛】本题考查向量数量积的运算，属基础题.
19.
如图，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(3 ，2)的入射光线l1
被直线l：y= x反射．反射光线l2交y轴于B点，圆C过点A且与l1,l2都相切.
(1)求l2所在直线的方程和圆C的方程；
(2)设 分别是直线l和圆C上的动点，求 的最小值及此时点 的坐标．
【答案】（1） 所在的直线方程为 ，圆C的方程为 （2）
【解析】
【详解】（1）直线 设 .
的倾斜角为 ， 反射光线 所在的直线方程为
.即 .
已知圆C与 , 圆心C在过点D且与 垂直的直线上，
考点：平面向量的线性运算与数量积运算.
三、解答题
17.已知二元一次方程组的增广矩阵为 ，请利用行列式求解此方程组.
河北省石家庄市第二中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题(含精品解析)
2018-2019学年河北省石家庄二中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（ ）A．2B．2C．4D．42．若平面α与β的法向量分别是，则平面α与β的位置关系是（ ）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法确定3．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），点（0，﹣3）在椭圆上，则椭圆的方程为（ ）A． +=1B． +=1C． +=1D． +=14．双曲线﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A．B．C．D．5．若平面α的一个法向量为=（1，2，2），A=（1，0，2），B=（0，﹣1，4），A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为（ ）A．1B．2C．D．6．已知直线l1：4x﹣3y+7=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（ ）A．B．C．2D．7．椭圆的焦点F1，F2，P为椭圆上的一点，已知PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．128．已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ABC =120°，AB =2，BC =CC 1=1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．9．若直线l ：y =ax ﹣1与抛物线C ：y 2=（a ﹣1）x 恰好有一个公共点，则实数a 的值构成的集合为（ ）A ．{﹣1，0}B ．{﹣1， }C ．{0， }D ．{1，，0}10．直线kx ﹣y ﹣2k +2=0恒过定点A ，若点A 是双曲线﹣=1的一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为（ ）A ．x +4y ﹣10=0B ．2x ﹣y ﹣2=0C ．4x +y ﹣10=0D ．4x ﹣y ﹣6=011．如图F 1、F 2是椭圆C 1： +y 2=1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知椭圆C 1：+=1（a ＞b ＞0）与双曲线C 2：﹣=1（m ＞0，n ＞0）有共同的焦点F 1，F 2，且在第一象限的交点为P ，满足2•=2（其中O 为原点）设C 1，C 2的离心率分别为e 1，e 2当3e 1+e 2取得最小值时，e 1的值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）13．设椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于4，则曲线C2的标准方程为 ．14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱AA1的中点，则直线D1B与平面MBC所成角的正弦值为 ．15．已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，现以F2（1，0）为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的长轴长为 ．16．已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l交双曲线的左支于点A，过F2作直线l的垂线交双曲线的左支于点B，若直线AB过F1，则△ABF2的内切圆圆心到F2的距离为 ．三、解答题（本题共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知椭圆的对称轴为坐标轴且焦点在x轴上，离心率e=，短轴长为4．（I）求椭圆的方程（Ⅱ）过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，求AB的中点坐标及弦长|AB|．18．（12分）在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（1）求证：MN∥平面BDE；（2）求二面角CEMN的正弦值．19．（12分）已知抛物线y2=﹣x与直线l：y=k（x+1）相交于A、B两点，点O为坐标原点．（1）求的值；（2）若△OAB的面积等于，求直线l的方程．20．（12分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则：（Ⅰ）求双曲线C的渐进线方程．（Ⅱ）当a=1时，已知直线x﹣y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值．21．（12分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（Ⅰ）若，求直线AB的斜率；（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．22．（12分）已知动点M到定直线x=﹣4的距离是它到定点F1（﹣1，0）的距离的2倍．（Ⅰ）求动点M的轨迹方程．（Ⅱ）是否存在过点P（2，1）的直线l与动点M的轨迹相交于不同的两点A，B，满足•=？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．2018-2019学年河北省石家庄二中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（ ）A．2B．2C．4D．4【分析】根据题意，将双曲线的方程变形可得标准方程，分析可得其a的值，由双曲线实轴的定义计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线方程为：2x2﹣y2=8，则其标准方程为：﹣=1，其中a==2，则其实轴长2a=4；故选：C．【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意要现将其方程变形为标准方程．2．若平面α与β的法向量分别是，则平面α与β的位置关系是（ ）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法确定【分析】先计算向量与向量的数量积，根据数量积为0得到两向量垂直，从而判断出两平面的位置关系．【解答】解： =﹣2+8﹣6=0∴⊥∴平面α与平面β垂直故选：B．【点评】本题主要考查了向量数量积以及向量垂直的充要条件，同时考查了两平面的位置关系，属于基础题．3．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），点（0，﹣3）在椭圆上，则椭圆的方程为（ ）A． +=1B． +=1C． +=1D． +=1【分析】由条件根据椭圆的标准方程和简单性质可得a2﹣b2=9，0+=1，求得a2和b2的值，可得椭圆的方程．【解答】解：由题意可得a2﹣b2=9，0+=1，∴a2=18，b2=9，故椭圆的方程为+=1，故选：D．【点评】本题主要考查椭圆的标准方程和简单性质，属于基础题．4．双曲线﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A．B．C．D．【分析】求出双曲线的渐近线方程，顶点坐标，利用点到直线的距离求解即可．【解答】解：双曲线﹣y2=1的顶点坐标（，0），其渐近线方程为x±y=0，所以所求的距离为=．故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．5．若平面α的一个法向量为=（1，2，2），A=（1，0，2），B=（0，﹣1，4），A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为（ ）A．1B．2C．D．【分析】求出，点A到平面α的距离：d=，由此能求出结果．【解答】解：∵平面α的一个法向量为=（1，2，2），A=（1，0，2），B=（0，﹣1，4），A∉α，B∈α，∴=（1，1，﹣2），点A到平面α的距离：d===．故选：C．【点评】本题考查点到平面的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．6．已知直线l1：4x﹣3y+7=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（ ）A．B．C．2D．【分析】如图所示，过点F（1，0）作FQ⊥l1，交抛物线于点P，垂足为Q，过点P作PM⊥l2，垂足为M．则|PF|=|PM|，可知：|FQ是|抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值．【解答】解：如图所示，过点F（1，0）作FQ⊥l1，交抛物线于点P，垂足为Q，过点P作PM⊥l2，垂足为M．则|PF|=|PM|，可知：|FQ是|抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值．|FQ|==．故选：A．【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．椭圆的焦点F1，F2，P为椭圆上的一点，已知PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为（ ）A．8B．9C．10D．12【分析】先设出|PF1|=m，|PF2|=n，利用椭圆的定义求得n+m的值，平方后求得mn和m2+n2的关系，代入△F1PF2的勾股定理中求得mn的值，即可求出△F1PF2的面积．【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，由椭圆的定义可知m+n=2a，∴m2+n2+2nm=4a2，∴m2+n2=4a2﹣2nm由勾股定理可知m2+n2=4c2，求得mn=18，则△F1PF2的面积为9．故选：B．【点评】本题主要考查了椭圆的应用，椭圆的简单性质和椭圆的定义．考查了考生对所学知识的综合运用．8．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（ ）A．B．C．D．【分析】【解法一】设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，得出AB1、BC1夹角为MN 和NP夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC、MQ，MP和∠MNP的余弦值即可．【解法二】通过补形的办法，把原来的直三棱柱变成直四棱柱，解法更简洁．【解答】解：【解法一】如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角（因异面直线所成角为（0，]），可知MN=AB1=，NP=BC1=；作BC中点Q，则△PQM为直角三角形；∵PQ=1，MQ=AC，△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+1﹣2×2×1×（﹣）=7，∴AC=，∴MQ=；在△MQP中，MP==；在△PMN中，由余弦定理得cos∠MNP===﹣；又异面直线所成角的范围是（0，]，∴AB1与BC1所成角的余弦值为．【解法二】如图所示，补成四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，求∠BC1D即可；BC1=，BD==，C1D=，∴+BD2=，∴∠DBC1=90°，∴cos∠BC1D==．故选：C．【点评】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题．9．若直线l：y=ax﹣1与抛物线C：y2=（a﹣1）x恰好有一个公共点，则实数a的值构成的集合为（ ）A．{﹣1，0}B．{﹣1， }C．{0， }D．{1，，0}【分析】讨论若a=1，当a=﹣1时，将直线方程代入曲线方程，运用判别式为0，解方程即可得到所求值．【解答】解：若a=1，则曲线C为y=0，直线l：y=x﹣1，即有直线与曲线的交点为（1，0），满足题意；若a=0，则曲线C为y2=﹣x，直线l：y=﹣1，即有直线与曲线的交点为（﹣1，﹣1），满足题意；若a≠1，a≠0时，则抛物线y2=（a﹣1）x的对称轴为x轴，由y=ax﹣1与抛物线y2=（a﹣1）x相切，可得：a2x2﹣（3a﹣1）x+1=0，由判别式为0，可得（3a﹣1）2﹣4a2=0，解得a=（a=1舍去），综上可得，a=0，1或．故选：D．【点评】本题考查直线与曲线的交点的个数问题，注意讨论直线与曲线相切或与对称轴平行，考查运算能力，属于中档题和易错题．10．直线kx﹣y﹣2k+2=0恒过定点A，若点A是双曲线﹣=1的一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为（ ）A．x+4y﹣10=0B．2x﹣y﹣2=0C．4x+y﹣10=0D．4x﹣y﹣6=0【分析】求出定点A（2，2），设A是弦P1P2的中点，且P1（x1，y1），P2（x2，y2），利用点差法能求出以A（2，2）为中点的双曲线的弦所在的直线方程．【解答】解：直线kx﹣y﹣2k+2=0恒过定点A（2，2），双曲线﹣=1方程可化为：4x2﹣y2=8，设A（2，2）是弦P1P2的中点，且P1（x1，y1），P2（x2，y2），则x1+x2=4，y1+y2=4．∵P1，P2在双曲线上，∴，∴4（x1+x2）（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）（y1+y2）=0，∴4×4（x1﹣x2）=4（y1﹣y2），∴k==4，∴以A（2，2）为中点的双曲线的弦所在的直线方程为：y﹣2=4（x﹣2），整理得4x﹣y﹣6=0．故选：D．【点评】本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法和根的判别式的合理运用．11．如图F1、F2是椭圆C1： +y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（ ）A．B．C．D．【分析】不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．【解答】解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1： +y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2c=2，∴双曲线C2的离心率e===．故选：D．【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．12．已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与双曲线C2：﹣=1（m＞0，n＞0）有共同的焦点F1，F2，且在第一象限的交点为P，满足2•=2（其中O为原点）设C1，C2的离心率分别为e1，e2当3e1+e2取得最小值时，e1的值为（ ）A．B．C．D．【分析】由2•=2，故||=2||cos∠POF2，即x P=，由焦半径公式可得：PF1=a+=x P+m⇒e1e2=2，3e1+e2取，当且仅当3e1=e2时取等号，即．【解答】解：∵2•=2，故||=2||cos∠POF2，即x P=由焦半径公式可得：PF1=a+=x P+m⇒2c2=am⇒e1e2=23e1+e2取，当且仅当3e1=e2时取等号，即故选：A．【点评】本题考查了双曲线离心率，属于中档题．二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）13．设椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于4，则曲线C2的标准方程为 ﹣=1 ．【分析】在椭圆C1中，由题设条件能够得到a，b，曲线C2是以F1（﹣5，0），F2（5，0），为焦点，实轴长为4的双曲线，由此可求出曲线C2的标准方程．【解答】解：在椭圆C1中，椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为26，a=13，c=5，b=12，椭圆C1的焦点为F1（﹣5，0），F2（5，0），椭圆方程为：．曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于4，a=2，则c=5，则b=．故C2的标准方程为：，故答案为：．【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，注意区分椭圆和双曲线的性质．14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱AA1的中点，则直线D1B与平面MBC所成角的正弦值为 ．【分析】设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线D1B与平面MBC所成角的正弦值．【解答】解：设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，如图建立空间直角坐标系，则D1（0，0，2），B（2，2，0），M（2，0，1），C（0，2，0），=（﹣2，﹣2，2），=（0，﹣2，1），=（﹣2，0，0），设平面MBC的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，2），设直线D1B与平面MBC所成角为θ，则sinθ===．故直线D1B与平面MBC所成角的正弦值为．故答案为：．【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．15．已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，现以F2（1，0）为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的长轴长为 +1 ．【分析】由题意画出图形，利用椭圆定义可得|MF1|=2a﹣1，则Rt△F1MF2中，由勾股定理求得a，则答案可求．【解答】解：如图，由题意可知，|MF2|=c=1，则|MF1|=2a﹣1，则Rt△F1MF2中，由勾股定理可得（2a﹣1）2+12=4，解得：a=．∴椭圆的长轴长为．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．16．已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l交双曲线的左支于点A，过F2作直线l的垂线交双曲线的左支于点B，若直线AB过F1，则△ABF2的内切圆圆心到F2的距离为 2 ．【分析】设内切圆的圆心为I，由直线AF2和直线BF2垂直，运用内角平分线定可得ABF2为等腰直角三角形，运用勾股定理和三角形的等积法，可得半径r，即可得到所求距离．【解答】解：设内切圆的圆心为I，由直线AF2和直线BF2垂直，可得I在x轴上， ====1，可得三角形ABF2为等腰直角三角形，设|AF2|=m，则设|BF2|=m，|AB|=m，即有内切圆的半径r满足r•（4m﹣4）=m2，又m=2m﹣4，解得r=2，m=4+2，即有|IF2|=r=2，故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，注意定义法和内角平分线定理的运用，考查三角形的等积法和勾股定理的应用，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本题共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知椭圆的对称轴为坐标轴且焦点在x轴上，离心率e=，短轴长为4．（I）求椭圆的方程（Ⅱ）过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，求AB的中点坐标及弦长|AB|．【分析】（Ⅰ）由已知， =，2b=4，由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）椭圆的右焦点为（1，0），直线AB方程为：y=2（x﹣1），由，得3x2﹣5x=0，由此能求出A（0，﹣2），B（），进而能求出|AB|．【解答】解：（Ⅰ）由已知， =，2b=4，∴b=2∵b2=a2﹣c2=5c2﹣c2=4c2=4，∴c2=1，a2=5，∴椭圆的标准方程为： +=1．……………………（4分）（Ⅱ）椭圆的右焦点为（1，0），∴直线AB方程为：y=2（x﹣1）…………………………设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得3x2﹣5x=0，解得x1=0，x2=，…………………………（7分）设AB中点坐标为（x0，y0），则=，，所以AB的中点为（），…………………………（9分）∵A（0，﹣2），B（），∴|AB|==．…………………………（10分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查弦长的求法，考查椭圆、直线方程、中点坐标公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18．（12分）在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（1）求证：MN∥平面BDE；（2）求二面角CEMN的正弦值．【分析】（1）取AB中点F，连接MF、NF，由已知可证MF∥平面BDE，NF∥平面BDE．得到平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（2）由PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．可以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．求出平面MEN与平面CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角CEMN的余弦值，进一步求得正弦值．【解答】（1）证明：取AB中点F，连接MF、NF，∵M为AD中点，∴MF∥BD，∵BD⊂平面BDE，MF⊄平面BDE，∴MF∥平面BDE．∵N为BC中点，∴NF∥AC，又D、E分别为AP、PC的中点，∴DE∥AC，则NF∥DE．∵DE⊂平面BDE，NF⊄平面BDE，∴NF∥平面BDE．又MF∩NF=F．∴平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（2）解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．∴以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵PA=AC=4，AB=2，∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2），则=（1，2，﹣1），=（0，2，1），设平面MEN的一个法向量为=（x，y，z），由，得，取z=2，得=（4，﹣1，2）．由图可得平面CME的一个法向量为=（1，0，0）．∴cos＜，＞==．∴二面角CEMN的余弦值为，则正弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．19．（12分）已知抛物线y2=﹣x与直线l：y=k（x+1）相交于A、B两点，点O为坐标原点．（1）求的值；（2）若△OAB的面积等于，求直线l的方程．【分析】（1）联立直线与抛物线方程，化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系求出A，B两点的横纵坐标的和与积，直接运用数量积的坐标运算求解；（2）直接代入三角形面积公式求解即可【解答】解：（1）设，由题意可知：k≠0，∴，联立y2=﹣x得：ky2+y﹣k=0显然：△＞0，∴，∴=（﹣y12）（﹣y22）+y1y2=（﹣1）2+1=0，（2）∵S△OAB=×1×|y1﹣y2|===，解得：k=±，∴直线l的方程为：2x+3y+2=0或2x﹣3y+2=0．【点评】本题考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了平面向量数量积的坐标运算，训练了三角形面积的求法，是中档题．20．（12分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则：（Ⅰ）求双曲线C的渐进线方程．（Ⅱ）当a=1时，已知直线x﹣y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值．【分析】（Ⅰ）由题意通过离心率推出c2=3a2，得到，然后求解双曲线的渐近线方程．（Ⅱ）当a=1时，双曲线C的方程为x2﹣．设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，结合已知条件求解m即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意，得，∴c2=3a2∴b2=c2﹣a2=2a2，即∴所求双曲线C的渐进线方程………………（Ⅱ）由（1）得当a=1时，双曲线C的方程为x2﹣．……6分设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），由，得x2﹣2mx﹣m2﹣2=0（判别式△＞0），∴x0==m，y0=x0+m=2m，…………（10分）∵点M（x0，y0），在圆x2+y2=5上，∴m2+4m2=5，∴m=±1．……（12分）（本题学生用“点差法”也给分）【点评】本题考查圆锥曲线的综合应用，直线与双曲线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．21．（12分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（Ⅰ）若，求直线AB的斜率；（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．【分析】（Ⅰ）依题意F（1，0），设直线AB方程为x=my+1．将直线AB的方程与抛物线的方程联立，得y2﹣4my﹣4=0．由此能够求出直线AB的斜率．（Ⅱ）由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB．由此能求出四边形OACB的面积最小值．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意F（1，0），设直线AB方程为x=my+1．…（1分）将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2﹣4my﹣4=0．…（3分）设A（x1，y1），B（x2，y2），所以y1+y2=4m，y1y2=﹣4．①…（4分）因为，所以y1=﹣2y2．②…联立①和②，消去y1，y2，得．…（6分）所以直线AB的斜率是．…（7分）（Ⅱ）解：由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB．…（9分）因为…（10分）=，…（12分）所以m=0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4．…（13分）【点评】本题考查直线斜率的求法，考查四边形面积的最小值的求法，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．22．（12分）已知动点M到定直线x=﹣4的距离是它到定点F1（﹣1，0）的距离的2倍．（Ⅰ）求动点M的轨迹方程．（Ⅱ）是否存在过点P（2，1）的直线l与动点M的轨迹相交于不同的两点A，B，满足•=？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）设M（x，y）（x＞﹣4），由题意得==|x+4|=2+，由此能求出动点M的轨迹方程．（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x﹣2）+1，由，得（4k2+3）x2﹣8（2k2﹣k）x+8（2k2﹣2k﹣1）=0，利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出存在直线l满足条件，其方程为x﹣2y=0．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y）（x＞﹣4），由题意得==|x+4|=2+，…………………………（2分）整理得动点M的轨迹方程为： =1．…………………………（4分）（Ⅱ）假设存在符合题意的直线l，由题意知直线斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣2）+1，由，消去y得（4k2+3）x2﹣8（2k2﹣k）x+8（2k2﹣2k﹣1）=0，由△=64（2k2﹣k）k2﹣32（4k2+3）（2k2﹣2k﹣1）＞0，得6k+3＞0，解得k＞﹣，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，x1x2=，…………………………（8分）由，得（x1﹣2）（x2﹣2）+（y1﹣1）（y2﹣1）=，则（x1﹣2）（x2﹣2）（k2+1）=，即[x1x2﹣2（x1+x2）+4]（k2+1）=，所以[﹣+4]（k2+1）=，整理得=，解得k=，…………………………（10分）又k＞﹣，所以k=，故存在直线l满足条件，其方程为y=，即x﹣2y=0．…………………………（12分）【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，考查根的判别式、韦达定理、向量的数量积等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．。
山西省范亭中学2018-2019学年高二数学上学期期中试题 文
范亭中学高二数学第一学期期中考试试题高二文科数学本试题分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟第I 卷（选择题）一 选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.设{}11≤≤-=x x M ，{}0≥=x x N ，则N M =（ ）A. {}10≤≤x xB. {}01≤≤-x xC. {}0≥x xD. {}1≥x x2、直线0133=++y x 的倾斜角是（ ）A ．30°B ．60°C ．120° D.135°3、下列函数中，定义域与值域相同的是A.2x y =B.2y x =C.2log y x =D.2y x= 4. 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面A 、 一定平行B 、一定相交C 、平行或相交D 、一定重合5. 两圆229x y +=和22430x y x +-+=的位置关系是Ａ、相离 Ｂ、相交 Ｃ、内切 Ｄ、外切6、在空间直角坐标系中，点)3,2,1(--P 关于原点O 的对称点坐标是（ ）A ．(1,2,3)--B ．(1,2,3)C ．(1,2,3)--D ．(1,2,3)-7、如图：直线L 1 的倾斜角α1=30０，直线L 1⊥L 2 ，则L 2的斜率为（ ） Ａ、33-Ｂ、 33 Ｃ、3- Ｄ、38、若a ，b 是异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是（ ）A 、 相交B 、 异面C 、 平行D 、异面或相交9、已知向量AB →＝(cos120°，sin120°)，AC →＝(cos30°，sin30°)，则△ABC 的形状为A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形10. 直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于Ｅ、F 两点，则∆EOF （O 为原点）的面积为（ ）A 、 23B 、 43 C 、 52 D 、 556 11．已知{a n }是首项为1的等比数列，且4a 1，2a 2，a 3成等差数列，则数列{a n }的前5项的和为A ．3116B ．3132C ．32D ．31 12.在圆22260x y x y +--=内，过点()0,1E 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为为（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）第II 卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
高二上学期期中考试数学试卷含答案(共5套)
高二上学期期中考试数学试题本卷分Ⅰ（选择题）、Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中Ⅰ卷1至2页，第二卷2至4页，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共12个小题，每小题5分1．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．有下列四个命题：（1）“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若（4）“若，则，则有实数解”的逆否命题；”的逆否命题.其中真命题为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（1）（2）（3）3．若则为（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．有一个内角为30°的直角三角形D．有一个内角为30°的等腰三角形4．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞)B．(－∞，3)C．(1，3)D．5．为的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积A．B．C．D．6．已知中，，则等于（）A．B．或C．D．或7．等差数列的前项和为，若，则等于（）A．58B．54C．56D．528．已知等比数列中，，，则（）A．2B．C．D．49．已知，则z=22x+y的最小值是A．1B．16C．8D．4）10．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（A．B．C．D．11．当ａ＞０，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值无最大值B．有最大值无最小值C．有最小值也有最大值D．无最小值也无最大值12．在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为A．B．3C．4D．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分13．命题的否定是______________．114．已知的三边长构成公差为 2 的等差数列，且最大角的正弦值为 ，则这个三角形的周长为________.15．已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ，a 1＝1，当 n≥2时，a n ＋2S n － ＝n ，则 S 2017的值____ ___16．已知变量满足约束条件 若目标函数 的最小值为2，则的最小值为__________．三、解答题：共 6 题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
浙江省余姚中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题
2018学年度余姚中学高二数学期中考试试卷第一学期命题老师：龚凤 审题老师：朱丽君一、 选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知椭圆22132x y +=与轴交于、两点，为椭圆上一动点（不与、重合），则PA PB k k ⋅=（ ▲ ） A.32 B.32- C.23 D.23- 2. 下列命题一定正确的是（ ▲ ）A. 三点确定一个平面B. 依次首尾相接的四条线段必共面C. 直线与直线外一点确定一个平面D. 两条直线确定一个平面 3. 边长为（ ▲ ）A.4B. 1C.D. 8 4. 已知,a b 都是实数，那么“0a b >>”是“22a b >”的（ ▲ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件5. 已知方程22(1)(3)(1)(3)m x m y m m -+-=--表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ▲ ） A.()1,2 B.()2,3 C.(),1-∞ D.()3,+∞6. 设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ▲ ） A. //,,//m m n m n βααβ⊂=⇒ B. ,,m n m n αβαββ⊥=⊥⇒⊥C. ,,//m n m n αβαβ⊥⊥⇒⊥D. //,//m n m n αα⊂⇒ 7. 一个正方体纸盒展开后如右图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB ⊥EF ； ②AB 与CM 所成的角为60°； ③EF 与MN 是异面直线；④MN ∥CD ．其中正确的个数为（ ▲ ）个A.1B.2C.3D.48. 如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且1MD N B ==，G 为线段MC 的中点．则下列结论中不正确的是（ ▲ ）A.MC AN ⊥B.//GB 平面AMNC.平面CMN ⊥平面AMND.平面//DCM 平面ABN9. 已知,,A B C 是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>上的三个点，直线AB 经过原点O ，直线AC 经过椭圆右焦点，若BF AC ⊥，且4BF CF =，则椭圆的离心率是（ ▲ ）A.2 B. C. D. 510. 在正方体1111ABCD A BC D -中，点Q 为对角面11A BCD 内一动点，点,M N 分别在直线AD 和AC 上自由滑动，直线DQ 与MN 所成角的最小值为θ，则下列结论中正确的是（ ▲ ） A. 若15θ=︒，则点Q 的轨迹为椭圆的一部分 B. 若30θ=︒，则点Q 的轨迹为椭圆的一部分 C. 若45θ=︒，则点Q 的轨迹为椭圆的一部分 D. 若60θ=︒，则点Q 的轨迹为椭圆的一部分二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11. 已知原命题为“若01x <<，则21x <”,写出它的逆否命题形式：___▲___；它是___▲___.(填写”真命题”或”假命题”) ． 12. 某几何体的三视图如右图所示，若俯视图是边长为2的等边三角形，则这个几何体的体积等于___▲___；表面积等于___▲___.13. 已知椭圆C ：2212x y +=，则其长轴长为___▲___；若为椭圆C 的右焦点，为上顶点，为椭圆C 上位于第一象限内的动点，则四边形OBPF 的面积的最大值___▲___.14. 已知椭圆C :22149x y +=与动直线3:2l y x m =+相交于,A B 两点,则实数的取值范围为___▲___；设弦AB 的中点为M ，则动点M 的轨迹方程为___▲___.15. 在四面体S ABC -中，,2AB BC AB BC SA SC ⊥====，，二面角S AC B --的余弦值是___▲___. 16. 椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点.关于原点的对称点为，为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=且,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率的取值范围为___▲___. 17. 已知0a >，b R ∈，若对任意的0x >，关于的不等式2(1)(4)0ax x bx -+-≥恒成立，则2b a+的最小值是___▲___.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 18. 已知条件：实数满足使对数22log (275)t t -+-有意义；条件：实数满足不等式2(3)20t a t a -+++<.（1）若命题p ⌝为真，求实数的取值范围；（2）若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围． 19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ,90ABC BCD ∠=∠=︒,12PA PD DC CB AB ====,是线段PB 的中点. （1）求证： //EC 平面APD ；（2）求PB 与平面ABCD 所成的角的正切值； （3）求二面角P AB D --的余弦值.20. 设椭圆方程22221(0)x y a b a b+=>>，12,F F 是椭圆的左右焦点，以12,F F. （1）求椭圆方程；（2）过12,F F 分别作直线12,l l ，且12l l ⊥，设1l 与椭圆交于,A C 两点，2l 与椭圆交于,B D 两点，求四边形ABCD 面积的取值范围.21. 如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，PA AC ⊥2AB BC CA AP ====，G 是ABC ∆重心，是线段PC 上一点，且CE CP λ=.（1）当//EG 平面PAB 时，求λ的值； （2）当直线CP 与平面ABE所成角的正弦值为7时，求λ的值.22. 如图，已知椭圆：22221(0)x y a b a b+=>>的离心)P是椭圆上一点。
江苏省七校联盟2018-2019学年高二上学期期中联考数学试题 Word版含答案
“七校联盟”2018-2019学年度第一学期期中联合测试高二数学试题（盐城卷）（考试时间：120分钟，总分160分）注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、班级、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．参考公式：样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅L 的方差s 2=n121)(x x ni i-∑=，其中x =n 1∑=ni ix1一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1、命题“0x ∀≥，20x ≥”的否定是 ▲ .2、抛物线24x y =的焦点坐标为 ▲ ．3、已知某人连续5次投掷飞镖所得环数依次是8,9,10,10,8，则该组数据的方差为 ▲ ．4、已知x R ∈ ,则“2|1|<-x 成立”是“03xx <-成立”的 ▲ 条件．（请在“充分不必要、必要不充分、充分必要”中选择一个合适的填空）．5、右图给出的伪代码运行结果x 是 ▲ .6、焦点在x 轴上的椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是 ▲ .7、某学校要从A ，B ，C ，D 这四名老师中等可能的选择两名去新疆支教，则A ，B 两名老师都被选中的概率是 ▲ ．8、设z ＝2x+y ，其中x ，y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥03010y x y x y ，则z 的最大值为 ▲ ．9、若正实数a ，b满足12a b+=，则ab 的最小值为 ▲ ． 10、记函数()f x =的定义域为D ，在区间[]5,4-上随机取一个数x ，则x ∈D的概率是 ▲11、经过点(2,2)A -且与双曲线2212x y -=有公共渐近线的双曲线方程为 ▲ ． 12、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，P 是椭圆上一点，l 为左准线，PQ l ⊥，垂足为Q.若四边形PQFA 为平行四边形，则椭圆的离心率e 的取值范围是 ▲ ．13、若方程21-2x x m =+有实根，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 14、已知不等式xy≤ax 2＋2y 2，若对任意x∈[1，2]，且y∈[2，3]，该不等式恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15、（本小题满分14分）已知中心在坐标原点的椭圆C ，F 1，F 2 分别为椭圆的左、右焦点，长轴长为6，离心率为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P 在椭圆C 上，且PF 1=4，求点P 到右准线的距离．16、（本小题满分14分）某校从高二年级学生中随机抽取100名学生，将他们某次考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到频率分布直方图（如图所示）， （1）求分数在[70，80）中的人数；（2）若用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人，该5 人中成绩在[40，50）的有几人？（3）在（2）中抽取的5人中，随机选取2 人，求分数在[40，50）和[50，60）各1 人的概率．17、（本小题满分14分）已知命题p ：二次函数2()76f x x x =-+在区间[,)m +∞是增函数；命题q ：双曲线22141x y m m -=--的离心率的范围是)+∞. （1）分别求命题“p ” 、命题“q ”均为真命题时m 的取值范围. （2）若“p 且q ” 是假命题，“p 或q ”是真命题，求实数m 的取值范围．18、(本题满分16分)设函数()=f x 2(2)30)ax b x a +-+≠，(（1）若不等式()0f x >的解集为(-1,3),求a,b 的值； （2）若(1)2,0,-1,f a b =>>求的最小值． (3)若b a =-,求不等式()1f x ≤的解集.19、(本题满分16分）如图，在C 城周边有两条互相垂直的公路12l l 、，在点O 处交汇，且它们的夹角为90°.已知OC ＝4 km ，OC 与公路1l 夹角为60°.现规划在公路12l l 、上分别选择A ，B 两处作为交汇点(异于点O)直接新建一条公路通过C 城，设OA ＝x km ，OB ＝y km. (1) 求出y 关于x 的函数关系式并指出它的定义域； (2) 试确定点A ，B 的位置，使△AOB 的面积最小．20、(本小题满分16分)已知直线220x y -+=经过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 为椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线,AS BS 与直线10:3l x =分别交于,M N 两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）求证：直线AS 与BS 的斜率的乘积为定值； （3）求线段MN 的长度的最小值七校联盟2018-2019学年度第一学期期中联合测试高二数学试题参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，） 1、命题“0x ∀≥，20x ≥”的否定是 200x x ∃≥<，.2、抛物线24x y =的焦点坐标为 (0,1) ．3、已知某人连续5次投掷飞镖所得环数依次是8,9,10,10,84、已知x R ∈ ,则“2|1|<-x 成立”是“03xx <-成立”的 必要不充分 条件．（请在“充分必要、充分不必要、必要不充分”中选一个合适的填空）．5、 右图给出的伪代码运行结果x 是 16 ．6、焦点在x 轴上的椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是___5_____．7、某学校要从A ，B ，C ，D 这四名老师中等可能的选择两名去新疆支教， 则A，B 两名老师都被选中的概率是． 8、设z ＝2x+y ，其中x ，y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥03010y x y x y ，则z 的最大值为 6 ．9、若正实数a ，b 满足abba =+21，则ab的最小值为 10、记函数()f x =的定义域为D ，在区间[]5,4-上随机取一个数x ，则x ∈ D的概率是5911、经过点(2,2)A -且与双曲线2212x y -=有公共渐近线的双曲线方程为22124y x -=12、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，P 是椭圆上一点，l 为左准线，PQ l ⊥，垂足为Q.若四边形PQFA 为平行四边形，则椭圆的离心率e 的取值范围是 -+2,1（1）．13、若方程21-2x x m =+有实根，则实数m 的取值范围是 [-2,3]． 14、已知不等式xy ≤ax 2＋2y 2，若对任意x ∈[1，2]，且y ∈[2，3]，该不等式恒成立， 则实数a 的取值范围是 [－1，＋∞)．解析：由题意得，当x∈[1，2]，且y∈[2，3]时，不等式xy≤ax 2＋2y 2，即a≥xy －2y2x2＝y x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x －142＋18.在坐标平面内画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x≤2，2≤y ≤3表示的平面区域，注意到y x 可设为该区域内的点(x ，y)与原点连线的斜率，结合图形可知，yx 的取值范围是[1，3]，此时－2(y x －14)2＋18的最大值是－1，因此实数a 的取值范围是a≥－1.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15、（本小题满分14分）已知中心在坐标原点的椭圆C ，F 1，F 2 分别为椭圆的左、右焦点，长轴长为6，离心率为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P 在椭圆C 上，且PF 1=4，求点P 到右准线的距离． 解：（1）根据题意：，解得，.............4分∴b 2=a 2﹣c 2=4， .............6分 ∴椭圆C 的标准方程为； .............7分 （2）由椭圆的定义得：PF 1+PF 2=6，可得PF 2=2， .............10分设点P 到右准线的距离为d ，根据第二定义，得， .............13分解得：． ..............14分16、（本小题满分14分）某校从高二年级学生中随机抽取100名学生，将他们某次考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到频率分布直方图（如图所示）， （1）求分数在[70，80）中的人数；（2）若用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人，该5 人中成绩在[40，50）的有几人；（3）在（2）中抽取的5人中，随机选取2 人，求分数在[40，50）和[50，60）各1 人的概率．解：（1）由频率分布直方图知小长方形面积为对应区间概率， 所有小长方形面积和为1，因此分数在[70，80）内的概率为： 1﹣（0.005+0.010+0.015×2+0.025）×10=0.3，∴分数在[70，80）中的人数为：0.3×100=30人． ……………4分 （2）分数在[40，50）的学生有：0.010×10×100=10人， 分数在[50，60）的学生有：0.015×10×100=15人，用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人， 抽取的5人中分数在[40，50）的人有：10=210+155 人 ……………8分 （3）分数在[40，50）的学生有10人，分数在[50，60）的学生有15人， 用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人， 抽取的5人中分数在[40，50）的有2人，设为1a ，2a分数在[50，60）的有3人，设为1b ，2b ，3b5人中随机抽取2 人共有n=10种可能，它们是：),(21a a ，),(11b a ，),(21b a ，),(31b a ，),(12b a ，),(22b a ，),(32b a ，),(21b b ， ),(31b b ，),(32b b分别在不同区间上有m=6种可能．),(11b a ，),(21b a ，),(31b a ，),(12b a ，),(22b a ，),(32b a所以分数在[40，50）和[50，60）各1 人的概率． …………… 14分．17、（本小题满分14分）已知命题p ：二次函数2()76f x x x =-+在区间[,)m +∞是增函数；命题q ：双曲线22141x y m m -=--的离心率的取值范围是3,)+∞， （1）分别求命题“p ” 、命题“q ”均为真命题时m 的取值范围. （2）若“p 且q ” 是假命题，“p 或q ”是真命题，求实数m 的取值范围． 解：(1)对于p ：因为二次函数2()76f x x x =-+的对称轴为72x =，由题意知72m ≥， 若p 真，则7[,)2m ∈+∞； …………4分对于q ：∵22141x y m m -=--双曲线，∴（4-m ）(m-1)>0,得14m <<∴2413344m m e m m-+-==>--得3m >，故34m <<，即若q 真，则(3,4)m ∈ ………………8分 (2)由题意知：p ，q 一真一假， ………………10分 若p 真q 假，则[4,)m ∈+∞； 若p 假q 真，则7(3,)2m ∈；综合得实数m 的取值范围为7(3,)[4,)2+∞U ………………14分18、（本小题满分16分）设函数()=f x 2(2)30)ax b x a +-+≠，(（1）若不等式()0f x >的解集为(-1,3),求a,b 的值； （2）若(1)2,0,-1,f a b =>>求的最小值． (3)若b a =-,求不等式()1f x ≤的解集.解 （1）由不等式f(x)>0的解集为(-1,3)可得：方程2(2)30ax b x +-+=的两根为1,3-且0a < .............2分 由根与系数的关系可得：⎩⎨⎧=-=41b a .............4分（2）若(1)2,00f a b =>>、，则1a b +=， .............5分+12a b +=（）， 1[+112a b +=（）] 所以141141+149[+1)]()[5]+12+12+12b a a b a b a b a b +=++=++≥（ ………………8分14-,33a b ==时式中等号成立）…………9分(3) 当b a =- ，不等式()1f x ≤即2(2)200)ax a x a -++≤≠，(即(2)(1)00)ax x a --≤≠，( ……………………… 10分①0a <时，不等式可化为2()()0x x a≥－1－， 原不等式的解集为2{|1}x x x a≤≥或 …………………… 12分② 0a >时，原不等式可化为2()()0x x a≤－1－ ∴当02a <<时，原不等式的解集为2{|1}x x a≤≤………………………………… 14分当2a =时，原不等式的解集为{|1}x x =………………………………………… 15分当2a >时，原不等式的解集为2{|1}x x a≤≤…………………………………… 16分 19、(本题满分16分）如图，在C 城周边有两条互相垂直的公路12l l 、，在点O 处交汇，且它们的夹角为 90°. 已知OC ＝4 km ，OC 与公路1l 夹角为60°.现规划在公路12l l 、上分别选择A ，B 两处作为交汇点(异于点O)直接新建一条公路通过C 城，设OA ＝x km ，OB ＝y km. (1) 求出y 关于x 的函数关系式并指出它的定义域； (2) 试确定点A ，B 的位置，使△AOB 的面积最小．解：(1) ∵ S △AOC ＋S △BOC ＝S △AOB ，∴ 12x·4sin60°＋12y ·4sin30°＝12xy ， …………………4分整理得y ＝23x x －2，…………………6分过C 作OB 平行线与OA 交于D ，OA>OD ，故x>2.定义域为{x|x>2}．…………………7分(2) S △AOB ＝12xy ＝3x2x －2，(x>2)，S △AOB ＝3x 2x －2＝3（x －2）2＋4（x －2）＋4x －2＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －2）＋4x －2＋4.∵ x －2>0，∴ x －2＋4x －2≥4，当且仅当()x －22＝4即x ＝4时取等号．所以当x ＝4时，S △AOB 有最小值为8 3.…………………15分答：当OA ＝4 km ，OB ＝4 3 km 时，使△AOB 的面积最小．…………………16分20、(本小题满分16分)已知直线220x y -+=经过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 为椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线,AS BS 与直线10:3l x =分别交于,M N 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）求证：直线AS 与BS 的斜率的乘积为定值；（3）求线段MN 的长度的最小值解：（I ）由已知得，椭圆C 的左顶点为(2,0),A -上顶点为(0,1),2,1D a b ∴== 故椭圆C 的方程为2214x y +=…………………4分 （Ⅱ）设2222000000(,),1144x x S x y y y +=∴=-得 2000200012244SA SB y y y k k x x x ⋅=⋅==-+--故……………………9分 （Ⅲ）（常规方法，函数思想）直线AS 的斜率k 显然存在，且0k >，故可设直线AS 的方程为(2)y k x =+，从而1016(,)33k M ………………11分 由22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)16164k x k x k +++-=0 设11(,),S x y 则212164(2),14k x k --=+得2122814k x k -=+，从而12414k y k =+即222284(,),1414k k S k k -++又(2,0)B 由1(2)4103y x k x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得10313x y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩101(,)33N k ∴-……13分 故161||33k MN k=+又16180,||333k k MN k >∴=+≥= 当且仅当16133k k =，即14k =时等号成立14k ∴=时，线段MN 的长度取最小值83………16分 （Ⅲ）方法二：利用第2问结论设1010(,),(,),0,033M N M N M y N y y y ><则 9116,()101064492233N M N M SA SD M N y y y y k k y y ⋅=⋅==-∴⋅-=+-则………13分故8,3M N MN y y =+≥=当且仅当4()3M N y y =-=时等号成立 即M,N 的长度的最小值为83……………16分。
江苏省苏州市2018-2019学年高二上学期期中考试数学试卷(含精品解析)
2018-2019学年江苏省苏州市高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.直线x+y+√3=0的倾斜角为______．2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AD1与平面ABCD所成的角的大小为______．3.已知A（-1，-3），B（5，3），则以线段AB为直径的圆的方程为______．（写成标准方程）4.直线l经过点（1，1），且在两坐标轴上的截距相反，则直线l的方程是______．5.若直线l1：（m+3）x+4y+3m-5=0与l2：2x+（m+5）y-8=0平行，则m的值为______．6.经过圆x2+2x+y2=0的圆心C，且与直线x+y=0垂直的直线方程是______．7.圆（x-2）2+（y-3）2=1关于直线x+y-1=0对称的圆的方程是______．8.正三棱锥P-ABC中，若底面边长为a，侧棱长为√2a，则该正三棱锥的高为______．9.已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列命题：①若m⊂β，α∥β，则m∥α；②若m∥β，α∥β，则m∥α；③若m⊥α，β⊥α，m∥n，则n∥β；④若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n．其中正确的结论有______．（请将所有正确结论的序号都填上）10.设点A（-2，3），B（3，2）若直线ax+y+2=0与线段AB有公共点，则a的取值范围是______．11.有一根高为3π，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为______（结果用π表示）．12.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2-2x+2y+1=0的两条切线，A，B为切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为______．13.△ABC的一个顶点是A（3，-1），∠B，∠C的平分线分别是x=0，y=x，则直线BC的方程是______．14.已知定点M（0，2），N（-2，0），直线l：kx-y-3k+2=0（k为常数），对l上任意一点P，都有∠MPN为锐角，则k的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.如图：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点（1）求证：BD1∥平面AEC（2）求证：AC⊥BD1．16.设△ABC顶点坐标A（0，a），B（-√3a，0），C（√3a，0），其中a＞0，圆M为△ABC的外接圆．（1）求圆M的方程（2）当a变化时，圆M是否过某一定点，请说明理由．17.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，BC⊥BC1，AB=BC1，E，F分别为线段AC1，A1C1的中点．（1）求证：EF∥面BCC1B1；（2）求证：BE⊥平面AB1C1．18.已知直线l过点P（1，1），并与直线l1：x-y+3=0和l2：2x+y-6=0分别交于点A、B，若线段AB被点P平分．求：（1）直线l的方程；√5的圆的方程．（2）以O为圆心且被l截得的弦长为8519.已知等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，PD=BC=√2，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：平面PAD⊥平面PCD．（2）在线段PB上是否存在一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分的体积之比为V多面体PDCMA：V三棱锥M-ACB=2：1？（3）在M满足（2）的条件下，判断PD是否平行于平面AMC．20.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3）和直线l：y=2x-4，设圆C的半径为1，圆心在直线l上．（1）若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线．①求圆C的方程；②求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．答案和解析1.【答案】135°【解析】解：直线x+y+=0的斜率为-1；所以直线的倾斜角为135°．故答案为135°．求出直线的斜率，即可得到直线的倾斜角．本题考查直线的有关概念，直线的斜率与直线的倾斜角的关系，考查计算能力．2.【答案】45°【解析】解：∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，∴D1D⊥平面ABCD，∴直线AD是直线AD1在平面ABCD内的射影，∴∠D1AD=α，就是直线AD1平面ABCD所成角，在直角三角形AD1AD中，AD1=D1D，∴∠D1AD=45°故答案为：45°在正方体ABCD-A1B1C1D1中，证明D1D⊥平面ABCD，则∠D1AD=α，就是直线AD1平面ABCD所成角，解直角三角形D1AD即可．考查直线和平面所成的角，求直线和平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解，属基础题3.【答案】（x-2）2+y2=18【解析】解：∵A（-1，-3），B（5，3），则以线段AB为直径的圆的圆心C（2，0），半径为AC==3，故圆的方程为（x-2）2+y2=18，故答案为：为（x-2）2+y2=18．先根据条件求出圆心坐标和半径，可得线段AB为直径的圆的方程．本题主要考查求圆的方程的方法，关键是求出圆心坐标和半径，属于基础题．4.【答案】x-y=0【解析】解：当直线l经过原点时，直线l在两坐标轴上截距均等于0，故直线l的斜率为1，∴所求直线方程为y=x，即x-y=0．当直线l不过原点时，设其方程+=1，又l经过点（1，1），则可得-=0≠1，此时不存在，故所求直线l的方程为x-y=0．故答案为x-y=0当直线l经过原点时，直线l在两坐标轴上截距均等于0，所求直线方程为y=x，当直线l不过原点时，此时a不存在．本题主要考查用点斜式、截距式求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．5.【答案】-7【解析】解：∵直线l1：（m+3）x+4y+3m-5=0与l2：2x+（m+5）y-8=0平行，∴，解得m=-7．∴m的值为-7．故答案为：-7．由直线l1：（m+3）x+4y+3m-5=0与l2：2x+（m+5）y-8=0平行，能求出m的值．本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】x-y+1=0【解析】解：易知点C为（-1，0），而直线与x+y=0垂直，我们设待求的直线的方程为y=x+b，将点C的坐标代入马上就能求出参数b的值为b=1，故待求的直线的方程为x-y+1=0．故答案为：x-y+1=0．先求圆心，再求斜率，可求直线方程．明确直线垂直的判定，会求圆心坐标，再求方程，是一般解题思路．7.【答案】（x+2）2+（y+1）2=1【解析】解：（x-2）2+（y-3）2=1的圆心为（2，3），半径为1点（2，3）关于直线x+y-1=0对称的点为（-2，-1）∴圆（x-2）2+（y-3）2=1关于直线x+y-1=0对称的圆的圆心为（-2，-1），半径为1 即圆的方程为（x+2）2+（y+1）2=1故答案为：（x+2）2+（y+1）2=1先求出圆心和半径，然后根据对称性求出圆心关于直线x+y-1=0对称的圆的圆心，而圆对称形状不变，从而半径不变，即可求得圆的方程．本题主要考查了关于直线对称的圆的方程，同时考查了对称点的求解，属于基础题．8.【答案】√15a3【解析】解：如图，取BC中点D，连接AD，并取底面中心O，则O为AD的三等分点，且OA=，PA=，在Rt△POA中，求得OP=a，即该正三棱锥的高为，故答案为：．作出底面中心O，利用直角三角形POA容易求出高．此题考查了三棱锥高的求法，属容易题．9.【答案】①④【解析】解：①是正确命题，因为两个平面平行时，一个平面中的线与另一个平面一定没有公共点，故有线面平行；②不正确，因为一条直线平行于两个平行平面中的一个平面，则它与另一个平面的位置关系是平行或者在面内，故不正确；③不正确，因为由m⊥α，m∥n可得出n⊥α，再由β⊥α，可得n∥β或n⊂β，故不正确；④是正确命题，因为两个直线分别垂直于两个互相平行的平面，一定可以得出两线平行．综上，①④是正确命题故答案为①④本题研究空间中线面平行与线线平行的问题，根据相关的定理对四个命题进行探究，得出正误，即可得到答案，①②③由线面平行的条件判断，④由线线平行的条件判断，易得答案本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，熟练掌握线面平行的方法与线线平行的方法是准确判断正误的关键，几何的学习，要先记牢定义与定理，再对应其几何特征进行理解培养出空间形象感知能力，方便做此类题 10.【答案】（-∞，-43]∪[52，+∞）【解析】解：∵直线ax+y+2=0恒过定点（0，-2），斜率为-a ， 如图，，，∴若直线ax+y+2=0与线段AB 有交点， 则-a≥或-a≤-．即a≤-或a≥． 故答案为：（-∞，-]∪[，+∞）． 由题意画出图形，数形结合得答案．本题考查了直线系方程的应用，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题． 11.【答案】5π【解析】解：∵圆柱型铁管的高为3π，底面半径为1，又∵铁丝在铁管上缠绕2圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则我们可以得到将圆柱面展开后得到的平面图形如下图示：其中每一个小矩形的宽为圆柱的周长2πcm，高为圆柱的高3π，则大矩形的对称线即为铁丝的长度最小值．此时铁丝的长度最小值为：=5π故答案为：5π．本题考查的知识点是圆柱的结构特征，数形结合思想、转化思想在空间问题中的应用，由圆柱型铁管的高为3π，底面半径为1，铁丝在铁管上缠绕2圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则我们可以得到将圆柱面展开后得到的平面图形，然后根据平面上求两点间距离最小值的办法，即可求解．解答本题的关键是要把空间问题转化为平面问题，另外使用数形结合的思想用图形将满足题目的几何体表示出来，能更加直观的分析问题，进而得到答案．12.【答案】2√65【解析】解：如图，直线3x+4y+8=0与圆x2+y2-2x+2y+1=0相离，化圆x2+y2-2x+2y+1=0为（x-1）2+（y+1）2=1，圆心坐标为C（1，-1），半径为1．连接CA，CB，则CA⊥PA，CB⊥PB，则四边形PACB的面积等于两个全等直角三角形PAC与PBC的面积和．∵AC 是半径，为定值1，要使三角形PAC 的面积最小，则PC 最小， |PC|=，∴|PA|=．∴四边形PACB 面积的最小值为2×．故答案为：．由题意画出图形，可知要使四边形PACB 面积最小，则P 为过圆心作直线3x+4y+8=0的垂线得垂足，由点到直线的距离公式求得PC ，再由勾股定理得弦长，代入三角形面积公式得答案．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．13.【答案】2x -y +5=0【解析】解：∵∠B 、∠C 的平分线分别是x=0，y=x ，∴AB 与BC 对于x=0对称，AC 与BC 对于y=x 对称． ∴A （3，-1）关于x=0的对称点A'（-3，-1）在直线BC 上， A 关于y=x 的对称点A''（-1，3）也在直线BC 上． 代入两点式方程可得，故所求直线BC 的方程：2x-y+5=0． 故答案为：2x-y+5=0分析题意，求出A 关于x=0，y=x ，的对称点的坐标，都在直线BC 上，利用两点式方程求解即可．本题考查点关于直线对称点的求法，直线方程的求法，属中档题．14.【答案】（-∞，4−√3014）∪（4+√3014，+∞） 【解析】解：由于对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，故以MN 为直径的圆与直线l ：kx-y-3k+2=0相离．而MN的中点，即圆心为H（-1，1），则点H到直线l：kx-y-3k+2=0的距离大于半径MN=，即＞，即（1-4k）2＞2（1+k2），解得k＜，或 k＞，故答案为：（-∞，）∪（，+∞）由题意可得，以MN为直径的圆与直线l：kx-y-2k+2=0相离，故圆心H（-1，1）到直线l：kx-y-3k+2=0的距离大于半径，即＞，由此解得k 的范围．本题主要考查点到直线的距离公式，直线和圆的位置关系，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．15.【答案】证明：（1）连接BD交AC于F，连EF．因为F为正方形ABCD对角线的交点，所长F为AC、BD的中点．在DD1B中，E、F分别为DD1、DB的中点，所以EF∥D1B．又EF⊂平面EAC，所以BD1∥平面EAC．（2）由正方形的性质可得AC⊥BD又由正方体的几何特征可得：D1D⊥平面ABCD又∵AC⊂平面ABCD∴AC⊥D1D又∵D1D∩BD=D∴AC⊥平面D1DB∵BD1⊂平面D1DB∴AC⊥BD1【解析】（1）欲证BD1∥平面EAC，只需在平面EAC内找一条直线BD1与平行，根据中位线定理可知EF∥D1B，满足线面平行的判定定理所需条件，即可得到结论；（2）根据正方形的性质及正方体的几何特征，结合线面垂直的性质，可得AC⊥BD，AC⊥D1D，由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面D1DB，再由线面垂直的性质即可得到AC⊥BD1本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，熟练掌握空间线线，线面垂直及平行的判定定理，性质定理及几何特征是解答此类问题的关键．16.【答案】解：（1）△ABC是等腰三角形，对称轴为x=0．外接圆的圆心肯定在x=0上．作AC的中垂线，垂足为D，交y轴于M，M即为外接圆的圆心．AC=a．因为A（0，a），C（√3a，0），故∠MAC=60°，AD=12△AMD又是一个∠MAD=60°的直角三角形．故AM=2a．所以，点M的坐标为（0，-a），圆的半径r=MA=MB=MC=2a．故圆M的方程为：x2+（y+a）2=4a2（a＞0）．（2）假设圆M过某一定点（x，y）．那么当a变化时，圆M仍然过点（x，y），此点不会随着a的变化而变化．那么，现在令a变成了b，即a≠b．有x2+（y+b）2=4b2，两式相减化简得：（2y+a+b）（a-b）=4（a+b）（a-b）．因为a≠b，即a-b≠0，所以，2y+a+b=4（a+b）．得：y=3（a+b）．2得出，y是一个根据a和b取值而变化的量．与我们之前假设的y是一个不随a变化而变化的定量矛盾，所以，圆M不过定点．【解析】（1）确定圆心与半径，即可求圆M的方程（2）利用反证法进行判断．本题考查圆的方程，考查反证法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）∵E，F分别为线段AC1，A1C1的中点．∴EF是三角形AA1C1的中位线，∴EF∥AA1，又AA1∥BB1，∴EF∥BB1，∵EF⊄面BCC1B1，BB1⊂面BCC1B1，∴EF∥面BCC1B1．（2）∵AB⊥BC，BC⊥BC1，∴BC⊥面ABC1，∴BC⊥BE，同时BC∥B1C1，∵AB=BC1，E是线段AC1的中点．∴BC⊥AC1，∵AC1∩B1C1=C1，∴BE⊥平面AB1C1【解析】（1）根据线面平行的判定定理，证明EF∥BB1；从而证明EF∥面BCC1B1；（2）根据线面垂直的判定定理证明BE⊥平面AB1C1．本题主要考查空间直线和平面平行和垂直的判定，要求熟练掌握线面平行和垂直的判定定理．并能灵活应用．18.【答案】解：（1）依题意可设A （m ，n ）、B （2-m ，2-n ），则{2(2−m)+(2−n)−6=0m−n+3=0，即{2m +n =0m−n=−3，解得m =-1，n =2．即A （-1，2），又l 过点P （1，1），用两点式求得AB 方程为y−12−1=x−1−1−1，即：x +2y -3=0． （2）圆心（0，0）到直线l 的距离d =|0+0−3|√1+4=3√5，设圆的半径为R ，则由R 2=d 2+(4√55)2， 求得R 2=5，故所求圆的方程为x 2+y 2=5．【解析】（1）依题意可设A （m ，n ）、B （2-m ，2-n ），分别代入直线l 1 和l 2的方程，求出m=-1，n=2，用两点式求直线的方程．（2）先求出圆心（0，0）到直线l 的距离d ，设圆的半径为R ，则由，求得R 的值，即可求出圆的方程．本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，用两点式求直线的方程，属于中档题．19.【答案】解：（1）因为PDCB 为等腰梯形，PB =3，DC =1，PA =1，则PA ⊥AD ，CD ⊥AD ．又因为面PAD ⊥面ABCD ，面PAD ∩面ABCD =AD ，CD ⊂面ABCD ，故CD ⊥面PAD ．又因为CD ⊂面PCD ，所以平面PAD ⊥平面PCD ． （2）所求的点M 即为线段PB 的中点，证明如下： 设三棱锥M -ACB 的高为h 1，四棱锥P -ABCD 的高为h 2当M 为线段PB 的中点时，ℎ1ℎ2=MB PB =12．所以V M−ACBVp−ABCD=13S MCB ℎ113S ABCD ℎ2=13所以截面AMC 把几何体分成的两部分V PDCMA ：V M -ACB =2：1．（3）当M 为线段PB 的中点时，直线PD 与面AMC 不平行．证明如下：（反证法）假设PD ∥面AMC ，连接DB 交AC 于点O ，连接MO ． 因为PD ⊂面PDB ，且面AMC ∩面PBD =MO ，所以PD ∥MO ． 因为M 为线段PB 的中点时，则O 为线段BD 的中点，即DOOB =11． 面AB ∥DC ，故DOOB =DCAB =12，故矛盾．所以假设不成立，故当M 为线段PB 的中点时，直线PD 与平面AMC 不平行． 【解析】（1）证明平面与平面垂直是要证明CD ⊥面PAD ；（2）已知V 多面体PDCMA ：V 三棱锥M-ACB 体积之比为2：1，求出V M-ACB ：V P-ABCD 体积之比，从而得出两多面体高之比，从而确定M 点位置．（3）利用反证法证明当M 为线段PB 的中点时，直线PD 与平面AMC 不平行． 本题主要考查面面垂直的判定定理、多面体体积、线面平行判定以及反证法的应用，属于中等难度题．20.【答案】解：（1）由{y =x −1y=2x−4得圆心C 为（3，2），∵圆C 的半径为1，∴圆C 的方程为：（x -3）2+（y -2）2=1，显然切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为y =kx +3，即kx -y +3=0， ∴√k 2+1=1∴|3k +1|=√k 2+1，∴2k （4k +3）=0∴k =0或者k =−34，∴所求圆C 的切线方程为：y =3或者y =−34x +3．即y =3或者3x +4y -12=0．（2）∵圆C 的圆心在在直线l ：y =2x -4上， 所以，设圆心C 为（a ，2a -4），则圆C 的方程为：（x -a ）2+[y -（2a -4）]2=1， 又∵MA =2MO ，∴设M 为（x ，y ）则√x 2+(y −3)2=2√x 2+y 2整理得：x 2+（y +1）2=4设为圆D ， ∴点M 应该既在圆C 上又在圆D 上 即：圆C 和圆D 有交点，∴1≤CD ≤3，∴|2−1|≤√a 2+[(2a −4)−(−1)]2≤|2+1|， 由5a 2-12a +8≥0得a ∈R ， 由5a 2-12a ≤0得0≤a ≤125，综上所述，a 的取值范围为：[0，125]． 【解析】（1）求出圆心C 为（3，2），圆C 的半径为1，得到圆的方程，切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为y=kx+3，即kx-y+3=0，利用圆心到直线的距离等于半径，求解k 即可得到切线方程．（2）设圆心C 为（a ，2a-4），圆C 的方程为：（x-a ）2+[y-（2a-4）]2=1，设M 为（x ，y ）列出方程得到圆D的方程，通过圆C和圆D有交点，得到1≤CD≤3，转化求解a的取值范围．本题考查直线与圆的方程的综合应用，圆心切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．。
四川省成都市电子科技大学实验中学2018-2019学年高二上学期期中理科数学试题
四川省成都市电子科技大学实验中学2018-2019学年高二上学期期中理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在空间直角坐标系中，点B 是(1,2,3)A 在yOz 坐标平面内的射影，O 为坐标原点，则||OB 等于（ ） ABC．D2．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为34y x =，则双曲线的离心率为（ ）. A ．54B ．43C ．53D ．453．已知椭圆2222C :1(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，且椭圆C 的长轴长与焦距之和为6，则椭圆C 的标准方程为( )A ．2241256x y +=B ．22142x y +=C ．2212x y +=D ．22143x y +=4．设x ，y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，则目标函数32z x y =-+的最小值为()A ．4B ．2-C ．6-D ．8-5．双曲线221916x y -=上一点M 到左焦点1F 的距离为7,N 是1MF 的中点，则||ON =（ ） A ．132B ．4C ．132或4 D ．132或12 6．下列四个命题,其中说法正确的是（ ） A ．若p q ∧是假命题,则p q ∨也是假命题B ．命题“若x ,y 都是偶数,则x y +也是偶数”的逆命题为真命题C ．“2340x x --=”是“4x =”的必要不充分条件D ．命题“若2340x x --=,则4x =”的否命题是“若4x ≠,则2340x x --≠”7．已知点P 是以1F 、2F 为焦点的椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点，若12PF PF ⊥，21tan 2PF F ∠=，则椭圆的离心率e =（ ）A ．3B ．13C ．23D ．128．两个圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0(a∈R)与C 2：x 2＋y 2－2by －1＋b 2＝0(b∈R)恰有三条公切线，则ab 的最大值为( ) A ．5B ．92C ．4D ．329．已知圆()()22:1225C x y -+-=及直线()()():21174l m x m y m m R +++=+∈，则直线l 过的定点及直线与圆相交得的最短弦长分别为（ ）.A ．()3,1，B ．()2,1，C ．()3,1-，D ．()2,1-，10．过点()引直线l 与曲线y =A ，B 两点，O 为坐标原点，当OA OB ⊥值时，直线l 的斜率等于（ ）.A ．3B ．-C ．3±D11．已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且1223F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率之积的范围是（ ）A ．(1)+∞，B ．(0)1，C ．D ．)+∞12．设双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b >>）的左右焦点分别为12,F F ，以12,F F 为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P ，若以1OF （O 为坐标原点）为直径的圆与2PF 相切，则双曲线C 的离心率为（ ）A B ．34-+ C D ．37+二、填空题13．设x ，y 满足约束条件04312x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则221y x ++的最大值是______.14．已知点P 在抛物线28x y =上，点(2,4)A -，F 是焦点，则||||PF PA +的最小值为_____________．15．已知圆C 的方程22100x y x +-=，求与y 轴相切且与圆C 外切的动圆圆心P 的轨迹方程______.16．设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A 、B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若(),OP OA OB λμλμ=+∈R ，18λμ=，则该双曲线的离心率为______.三、解答题17．已知命题：2214x y k k +=-表示焦点在x 轴上的椭圆，命题：22131k x k y -+-=（）（）表示双曲线．若或为真，且为假，求k 的取值范围．18．某公司计划2011年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告费用不超过9万元.甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟.假定甲、乙两个电视台为该公司每分钟所做的广告，能给公司带来的收益分别为0.3 万元和0.2万元.问：该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司收益最大，最大收益是多少万元？19．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：224x y +=和点(1,1)P -，过点P 的直线l 交圆O 于A B 、两点（1）若||AB =,求直线l 的方程； （2）设弦AB 的中点为M ,求点M 的轨迹方程20．已知抛物线2:2(03)C y px p =<<的焦点为F ，点(,Q m 在抛物线C 上，且||3QF =．（1）求抛物线C 的标准方程及实数m 的值；（2）直线l 过抛物线C 的焦点F ，且与抛物线C 交于,A B 两点，若AOB （O 为坐标原点）的面积为4，求直线l 的方程.21．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的焦距为点()0,2P 关于直线y x =-的对称点在椭圆E 上.（1）求椭圆E 的方程.（2）如图，过点P 的直线l 与椭圆E 交于两个不同的点C ，D （点C 在点D 的上方），试求COD △面积的最大值.22．P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左，右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15. (1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC OA OB λ=+，求λ的值．参考答案1．B 【详解】试题分析：因为点B 是()1,2,3A 在yOz 坐标平面内的射影，所以(0,2,3)B ，OB ∴==B ．考点：空间中两点间的距离公式． 2．A 【分析】 由渐近线方程可知34b a ，根据,,a bc 的关系直接求离心率. 【详解】因为由渐近线方程得34ba，22916b a =，222916c a a -=， 得222516c a =，54c a =. 所以双曲线的离心率为54. 故选:A. 3．D 【分析】根据椭圆的离心率为12，椭圆的长轴长与焦距之和为6，结合性质222a b c =+ ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b ，即可得结果.【详解】依题意椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12得12c a =，椭圆C 的长轴长与焦距之和为6，226a c +=，解得2a =，1c =，则b =所以椭圆C 的标准方程为：22143x y +=，故选D ．【点睛】本题考查椭圆的简单性质与椭圆方程的求法，属于简单题．用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程()222210x y a b a b +=>>或22221x y b a+=()0a b >>；③找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求. 4．C 【分析】画出约束条件表示的平面区域，结合图形找出最优解，从而求出目标函数的最小值． 【详解】画出约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩表示的平面区域，如图所示；由32z x y =-+得3122y x z =+，平移直线3122y x z =+，由图象可知当直线3122y x z =+经过点A 时，直线的截距最小，此时z 最小；由3600x y y --=⎧=⎨⎩，解得()2,0A ，此时3206min z =-⨯+=-，32z x y ∴=-+的最小值为6-．故选C ． 【点睛】本题考查了简单的线性规划的应用问题，是基础题． 5．A 【解析】由题意，左焦点坐标为(−5,0)，右顶点坐标为(3,0)，由于点M 到左焦点的距离为7，故点M 只能在左支上，点M 到右焦点的距离为23713⨯+=，根据中位线定理可得：132ON = 故选A 6．C 【解析】对于A. 若p q ∧是假命题,则p q ，至少有一个为假命题，但当p q ，一真一假时p q ∨也是真命题，A 不正确；对于B. 命题“若x ,y 都是偶数,则x y +也是偶数”的逆命题为：“若x y +都是偶数,则x y ，也是偶数”真命题，易知两个奇数的和也是偶函数，B 不正确；对于C. 由2340x x --=，得4x =或1x =-，所以“2340x x --=”是“4x =”的必要不充分条件正确；对于D. 命题“若2340x x --=,则4x =”的否命题是“若2340x x --≠,则4x ≠”，D 不正确. 故选C. 7．A 【分析】作出图形，利用椭圆的定义以及21tan 2PF F ∠=，可求得143a PF =，223aPF =，结合勾股定理可求得椭圆离心率e 的值. 【详解】点P 是以1F 、2F 为焦点的椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点，12PF PF ⊥，1212tan 2PF PF F PF ∠==，122PF PF ∴=， 122PF PF a +=，可得143a PF =，223a PF =， 由勾股定理可得2221212PF PF F F +=，即222049a c =，2259c a ∴=，因此，该椭圆的离心率为3e =. 故选：A. 【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，考查椭圆定义的应用，考查计算能力，属于中等题. 8．B 【解析】圆C 1：x 2+y 2+2ax+a 2﹣4=0的标准方程为（x+a ）2+y 2=4；圆C 2：x 2+y 2﹣2bx ﹣1+b 2=0的标准方程为x 2+（y ﹣b ）2=1∵两圆外切，=3,∵a 2+b 2≥2ab,∴ab 92≤ , 故选C ． 9．A 【分析】由直线方程有()4270x y m x y +-++-=，进而确定定点，由过定点的直线l 与圆交点的最短弦为圆心与定点连线与l 垂直时所得到的弦，应用几何法求最短弦长即可. 【详解】（1）将直线化为直线系方程：()4270x y m x y +-++-=. 联立方程40x y +-=与270x y +-=，得点()3,1； 将点()3,1代入直线方程，不论m 为何值时都满足方程， ∴直线l 恒过点()3,1；（2）当直线l 垂直于圆心(1,2)与定点()3,1所在直线时弦长最短，斜率为2，代入方程得34m =-，此时直线l 方程为250x y --=，所以最短弦为故选：A.【点睛】关键点点睛：由直线方程的特征知直线过定点，再由过定点直线与圆相交的最短弦为该直线与圆心与定点连线垂直时的弦. 10．A 【分析】方法一：利用AOB 的面积，求点到直线的距离，再求直线的斜率；方法二：设直线方程0kx y -+=，利用点到直线的距离求弦长以及面积，利用三角形的面积取得最大值时，求直线的斜率.. 【详解】方法一：根据三角形的面积公式和圆的弦的性质求解.由于y =()2210x y y +=≥，直线l 与()2210x y y +=≥交于AB 两点，如图所示，11sin 22ACB S AOB =∠≤△，且当90AOB ∠=︒时，AOBS取得最大值，此时AB =，点O 到直线l ，则30OCB ∠=︒，所以直线l 的斜角为30°，则斜率为3.方法二：由y ，得()2210x y y +=≥.所以曲线y =x 轴上方的部分（含与x 轴的交点），设直线l 的斜率为k ，要保证直线l 与曲线有两个交点，且直线不与x 轴重合， 则01k <<，直线l的方程为(0y k x -=+，即0kx y -+=. 则原点O 到l的距离d =，l 被半圆截得的半弦长为=则ABO S ==△==令211t k =+，则ABO S =△， 当3t 4=，即21314k =+时，ABO S 有最大值为12. 此时由21314k =+，解得3k =故选：A【点睛】思路点睛：本题考查直线与圆的位置关系，本题第一种方程，重点是分析几何关系，即点到直线的距离后就可知道斜率，第二种方程，重点是由条件可知当OA OB ⊥时，此时AOB 的面积最小，即用斜率k 表示面积，求最值，得到直线的斜率.11．A【解析】设椭圆方程中的定长为12a ，双曲线方程中的定长为22a ，由题意可得：12112222PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得：112212PF a a PF a a ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩， 在12PF F △中应用余弦定理有：()()()()22212121212242cos3c a a a a a a a a π=++-++-， 整理可得：2221234a a c +=，则：2212314e e +=， 结合()()120,1,1,e e ∈∈+∞取特殊值进行排除：取12e e ==此时12e e =，排除BD 选项，取12e e ==此时12e e =排除C 选项， 本题选择A 选项.12．D【解析】试题分析：解：设以1OF （O 为坐标原点）为直径的圆与2PF 相切于点K ,圆心为点M ，1PF m = ，2PF n = ，由题意可知：2222222{4n m am n c c a b -=+==+，解得：{m a a = ，设21PF F α∠=，则tan m n α==， 在2Rt MKF中可得：2tan KM KF α==，据此可得：22c b -= ，整理可得：(()422291890c a c a -++= ，则：(()4291890e e -++= ，分解因式有：(()229910e e ⎡⎤--⨯-=⎣⎦， 双曲线的离心率1e ≠，故：(2990e --= ，解得：22e == ，双曲线的离心率：e ==本题选择D 选项.点睛：在双曲线的几何性质中，涉及较多的为离心率和渐近线方程．求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e 的关系式求e 或e 的范围；另一种是建立,,a b c 的齐次关系式，将b 用,a c 表示，令两边同除以a 或2a 化为e 的关系式，进而求解．13．10【分析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求出.【详解】 约束条件04312x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，对应的平面区域如下图所示：由于221211y y x x ++=⨯++， 其中11y x ++表示的几何意义，表示平面上一定点()1,1Q --与可行域内任一点(),P x y 连线斜率，由图易得当P 为点()0,4A 时，11y x ++取得最大值5， 从而221y x ++的最大值10. 故答案为：10.【点睛】方法点睛：线性规划常见类型，（1）y b z x a-=-可看作是可行域内的点到点(),a b 的斜率； （2）z ax by =+，可看作直线a z y x b b =-+的截距问题； （3）()()22z x a y b =-+-可看作可行域内的点到点(),a b 的距离的平方. 14．6【分析】先判确定点A 在抛物线的内部，利用抛物线的定义将PF PA +的最值问题转化成d PA +的最值问题（其中d 为点P 到抛物线的准线距离），结合图形可知d PA +的最小值．【详解】因为()2284-<⨯，所以点A 在抛物线内部．如图，过点P ，A 分别作准线l 的垂线，垂足分别为Q ，B ，则PF PQ =，易知当A ，P ，Q 三点共线时，PF PA +最小，即AB ．易得点A 到准线l 的距离为()44262p ⎛⎫--=--= ⎪⎝⎭． 故PF PA +的最小值为6.【点睛】与抛物线上的点到焦点的距离有关的最值问题，一般都是利用抛物线的定义，将到准线距离转化为到准线的距离，然后通过数形结合直接判断出取最值时所满足的条件，这样就能避免繁琐的代数运算．15．()2200y x x =>或()00y x =< 【分析】可得当动圆在y 轴右侧，轨迹为抛物线，当动圆在y 轴左侧，轨迹是x 负半轴，即可得出轨迹方程.【详解】方程22100x y x +-=化为()22525x y -+=，若动圆在y 轴右侧，则动圆圆心到定点()5,0与到定直线5x =-的距离相等，其轨迹是抛物线，方程为()2200y x x =>， 若动圆在y 轴左侧，则动圆圆心轨迹是x 负半轴，方程为()00y x =<，综上，动圆圆心P 轨迹方程是()2200y x x =>或()00y x =<. 故答案为：()2200y x x =>或()00y x =<. 【点睛】本题考查抛物线的轨迹方程，解题的关键是通过已知结合抛物线的定义得出轨迹为抛物线.16【分析】先由题中得到双曲线的渐近线方程，设焦点(),0F c ，根据题中条件，求出A 、B 、P 的坐标，根据向量的坐标表示，求出λ，μ；利用18λμ=，得出,,a b c 之间关系，进而可得离心率.【详解】 双曲线的渐近线为：b y x a=±， 设焦点(),0F c ，因为过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A 、B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ， 则,bc A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，, bc B c a ⎛-⎫ ⎪⎝⎭，2, b c aP ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因为OP OA OB λμ=+，所以()()2, ,bc c a b c aλμλμ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以1λμ+=，b c λμ-=，解得：2c b c λ+=，2c b cμ-=， 又由18λμ=，得：222148c b c -=，即()2222148c c a c --=，则2212a c =，所以22e =，则e =.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据条件先得到A 、B 、P 三点的坐标，根据(),OP OA OB λμλμ=+∈R ，以及18λμ=，利用向量的坐标表示，以及双曲线的性质，即可求解.17．12k <≤或．【解析】试题分析：先分析每个命题为真命题时，k 的取值范围,p 真时有40k k >->即24k <<，q 真时有即13k <<；由p 或q 为真，p 且q 为假可知命题p 与q 一真一假，由“p 真q 假”和“p 假q 真”分别求出k 的取值范围，再求并集即可．试题解析：当p 正确时，40k k >->，即 24k <<；当q 正确时，，即 13k <<；由题设，若p 和q 有且只有一个正确，则（1）p 正确q 不正确，∴24{13k k k <<≤≥或 ∴；（2）q 正确p 不正确，∴24{13k k k ≤><<或 ∴12k <≤； ∴综上所述，若p 和q 有且仅有一个正确，k 的取值范围是12k <≤或． 考点：1．逻辑联结词与命题；2．椭圆的标准方程；3．双曲线的标准方程．18．甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大是70万元．【详解】设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，由题意得300{5002009000000.x y x y x y +≤+≤≥≥，，，目标函数为30002000z x y =+．二元一次不等式组等价于300{5290000.x y x y x y +≤+≤≥≥，，，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．如图：作直线:300020000l x y +=，即320x y +=．平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值．联立300{52900.x y x y ，+=+=解得100200x y ==，． ∴点M 的坐标为(100200)，． max 30002000700000z x y ∴=+=（元）答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．19．（1）1x =-或1y =；（2）220x y x y ++-=【分析】（1）考虑直线l 的斜率存在和不存在两种情况：斜率不存在时直接通过点的坐标计算弦长判断是否满足即可；斜率存在时，利用半径、半弦长、圆心到到直线距离构成勾股定理求解直线方程；（2）设(),M x y ，利用向量数量积的坐标运算表示OM MP ⊥，由此可求得关于,x y 的等式，即为M 的轨迹方程.【详解】（1）当l 的斜率不存在时，则:1l x =-，此时y =AB =满足， 当l 的斜率存在时，设():11l y k x =++，因为2R =，2AB =1=，，解得0k =，所以:1l y =，综上：l 的方程为1x =-或1y =；（2）设(),M x y ，因为OM MP ⊥且()(),,1,1OM x y MP x y ==---，所以0OM MP ⋅=，所以220x x y y ++-=，所以M 的轨迹方程为220x y x y ++-=.【点睛】（1）圆的问题中，已知弦长求解直线方程时要注意到直线的斜率不存在这种特殊情况； （2）求解轨迹方程的两种思路：<1>借助曲线的定义去求解轨迹方程；<2>根据题意找到等量关系，列出等式并化简得到关于,x y 的最简等式即为轨迹方程.20．(1) 24y x =,2m =(2) 1x =-.【详解】试题分析：（1）由抛物线的定义及点N 的纵坐标为1，得|NF|，结合|NF|=2，求出p 的值，即可求抛物线C 的方程；（2）设直线l 的方程为：y=kx+1，代入抛物线方程，利用弦长公式求出|AB|，再求出O 到AB 的距离，利用△AOB 的面积为4，求出k 的值，即可求直线l 的方程．试题解析：（Ⅰ）因为抛物线C 过点(Q m ，28pm ∴= 又因为3QF =， 32p m +=， 03p <<，解得：2,2p m ==24y x ∴=，2m =；（Ⅱ）24y x =的焦点()1,0F ，设所求的直线方程为：1x my =+由214x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得：2440y my --= 因为直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，216160m ∴∆=+>，设()()1122,,,A x y B x y ，121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩，12y y -== 所以AOB的面积为12142OF y y =⨯-==， 解得：23,m m =∴=l 的方程为：1x =-.21．（1）2214x y +=；（2）1. 【分析】（1）根据椭圆的焦距为c =()0,2P 关于直线y x =-的对称点在椭圆E 上，得到()2,0-在椭圆E 上，进而得到a 即可.（2）设过点()0,2P 的直线方程为2y mx =+，与椭圆方程联立，求得弦长CD 以及点O 到直线CD 的距离，代入面积公式求解. 【详解】（1）因为椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的焦距为2c ∴=c =()0,2P 关于直线y x =-的对称点在椭圆E 上，()2,0∴-在椭圆E 上，2a ∴=，2221b a c ∴=-=，2214x y ∴+=. （2）设过点()0,2P 的直线方程为2y mx =+，联立方程组可得22214y mx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消y 可得()221416120m x mx +++=，2430m =->△，设(),C C C x y ，(),y D D D x ，21614C D m x x m ∴+=-+，21214C D x x m =+，CD ∴== ∴点O 到直线CD 的距离d =142COD S CD d ∴=⋅=△， 设214m t +=，则4t >，COD S ∴===△ 当8t =时，取得最大值，即为1.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的三角形最值问题的求法：一般由直线与曲线联立求得弦长及相应点的直线的距离，得到含参数的△OMN 的面积的表达式，再应用基本不等式或函数法求最值． 22．（1）e =；（2）λ＝0或λ＝－4. 【分析】(1) 由点()00()P x y x a ≠±，在双曲线上，2200221x y a b -=，利用000015y y x a x a ⋅=-+化简得到答案.(2)联立方程根据韦达定理得到1221252354c x x b x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，设()33,OC x y OC OA OB λ==+，代入数本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
新疆乌鲁木齐市第七十中学2018-2019学年高二数学上学期期中试卷 文(含解析)
乌鲁木齐70中高二年级第一学期期中考试数学文科（2018-2019学年）一.选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.命题“，使得≥0”的否定是 ( )A. ≤，使得<0B. ≤，使得<0C. ，使得<0D. ，使得<0【答案】D【解析】【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【详解】因为全称命题的否定是全称命题，所以命题p“∃x0＞1，使得x0﹣1≥0“，则，使得<0故选：D．【点睛】全称命题的一般形式是：，，其否定为.存在性命题的一般形式是，，其否定为.2.“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：由题意得，，故是必要不充分条件，故选B．考点：1．对数的性质；2．充分必要条件．3.已知,，动点满足,则点的轨迹是（）A. 双曲线B. 椭圆C. 线段D. 不存在【答案】D【解析】试题分析：由，又,即；,则这样的点的轨迹不存在；考点：椭圆的定义。
4.为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学，初中，高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A. 简单随机抽样B. 按性别分层抽样C. 按学段分层抽样D. 系统抽样【答案】C【解析】试题分析：符合分层抽样法的定义，故选C.考点：分层抽样．视频5.对某同学的6次数学测试成绩(满分100分)进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学数学成绩的以下说法①中位数为84；②众数为85；③平均数为85；④极差为12. 其中，正确说法的序号是( )A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④【答案】B【解析】【分析】根据统计知识，将数据按从小到大排列，求出相应值，即可得出结论．【详解】将各数据按从小到大排列为：78，83，83，85，90，91．可见：中位数是=84，∴①是正确的；众数是83，②是不正确的；=85，∴③是正确的．极差是91﹣78=13，④不正确的．故选：B．【点睛】本题借助茎叶图考查了统计的基本概念，属于基础题．6.下列命题中是错误命题的个数有 ( )（1）若命题为假命题，命题为假命题，则命题“”为假命题；（2）命题“若，则或”的否命题为“若，则或”；（3）对立事件一定是互斥事件；（4）A.B为两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)。
山西省太原市2018-2019学年高二上学期期中考试数学试卷(含精品解析)
2018-2019学年山西省太原市高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1. 在空间直角坐标系Oxyz 中，点A （1，2，3）关于yOz 平面对称的点的坐标为（ ）A. (−1,2，3)B. (1,−2,3)C. (1,2，−3)D. (−1,−2,−3) 2. 由下列主体建筑物抽象得出的空间几何体中为旋转体的是（ ）A.B.C.D.3. 已知A （0，1），B （0，-1），则直线AB 的倾斜角为（ ）A. 0∘B. 90∘C. 180∘D. 不存在 4. 下列四面体中，直线EF 与MN 可能平行的是（ ）A.B.C.D.5. 已知点A （2，3）在直线11：2x +ay -1=0上，若l 2∥l 1，则直线l 2的斜率为（ ）A. 2B. −2C. 12D. −126. 设a ，b ，c 为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列纳论成立的是（ ）A. 若a ⊥b 且b ⊥c ，则a//cB. 若α⊥β且β⊥γ，则α//γC. 若a ⊥α且a//b ，则b ⊥αD. 若α⊥β且a//α，则a ⊥β7. 已知圆C 的一条直径的端点坐标分别是（4，1）和（-2，3），则圆C 的方程是（ ）A. (x +1)2+(y +2)2=10B. (x −1)2+(y −2)2=40C. (x −1)2+(y −2)2=10D. (x +1)2+(y +2)2=408. 一个长方体由同一顶点出发的三条棱的长度分别为2，2，3，则其外接球的表面积为（ ）A. 68πB. 17πC. 28πD. 7π9. 已知x ，y 满足不等式组{x −y +1≥02x −y −1≤0x +y +1≥0，则z =5x +2y 的最大值为（ ）A. 12B. 16C. 18D. 2010. 直线ax +y +a =0与直线x +ay +a =0在同一坐标系中的图象可能是（ ）A. B.C. D.11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1H⊥平面AB1D1，垂足为H，给出下面结论：①直线A1H与该正方体各棱所成角相等；②直线A1H与该正方体各面所成角相等；③过直线A1H的平面截该正方体所得截面为平行四边形；④垂直于直线A1H的平面截该正方体，所得截面可能为五边形，其中正确结论的序号为（）A. ①③B. ②④C. ①②④D. ①②③12.一条光线从点P（-2，4）射出，经直线x-y+2=0反射后与圆x2+y2+4x+3=0相切，则反射光线所在直线的方程是（）A. x+√15y−2=0B. √15x+y−2=0C. x−√15y−2=0 D. √15x−y−2=0二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）13.已知点A（3，-3），B（0，2），则线段AB的中点坐标是______．14.已知直线l1：x-2y=1，l2：mx+（3-m）y+1．若l1⊥l2，则实数m=______．15.某三棱锥的三视图如图所示，图中三个三角形均为直角三角形，则x2+y2=______．16.△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=2，M为AB中点，将△BMC沿CM折叠，当平面BMC⊥平面AMC时，A，B两点之间的距离为______．三、解答题（本大题共7小题，共68.0分）17.已知△ABC的三个顶点的坐标是A（1，1），B（2，3），C（3，-2）．（1）求BC边所在直线的方程；（2）求△ABC的面积．18.已知正方体ABCD-A1B1C1D1．（1）求证：AD1∥平面C1BD；（2）求证：AD1⊥平面A1DC．19.已知圆C的方程为x2+y2-4tx-2ty+5t2-4=0（t＞0）．（1）设O为坐标原点求直线OC的方程；（2）设直线y=x+1与圆C交于A，B两点，若|AB|=2√2，求实数t的值．20.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，且AD=2AB=√3PA=2，AE⊥PD，垂足为E．（1）求PD与平面ABCD所成角的大小；（2）求三棱锥P-ABE的休积．21.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=BC，AD=DC，E为棱PC上不与点C重合的点．（1）求证：平面BED⊥平而PAC；（2）若PA=AC=2，BD=4√3，且二面角E-BD-C的平面角为45°，求三棱锥P-BED3的体积．22.已知圆C1：（x-1）2+（y+5）2=50，圆C2：（x+1）2+（y+1）2=10．（1）证明圆C1与圆C2相交；（2）若圆C3经过圆C1与圆C2的交点以及坐标原点，求圆C3的方程．23.已知圆C1：x2+y2+2x-4y+1=0，圆C2：x2+y2-4x-5=0．（1）试判断圆C1与圆C2是否相交，若相交，求两圆公共弦所在直线的方程，若不相交，说明理由；（2）若直线y=kx+1与圆C1交于A，B两点，且OA⊥OB，求实数k的值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：在空间直角坐标系Oxyz中，点A（1，2，3）关于yOz平面对称的点的坐标为（-1，2，3）．故选：A．根据关于yOz平面对称，x值变为相反数，其它不变这一结论直接写结论即可．本题考查空间向量的坐标的概念，考查空间点的对称点的坐标的求法，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：在A中，主体建筑物抽象得出的空间几何体不为旋转体，故A错误；在B中，主体建筑物抽象得出的空间几何体为旋转体，故B正确；在C中，主体建筑物抽象得出的空间几何体不为旋转体，故C错误；在D中，主体建筑物抽象得出的空间几何体不为旋转体，故D错误．故选：B．利用旋转体的定义、性质直接求解．本题考查旋转体的判断，考查旋转体的定义及性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】B【解析】解：∵直线经过A（0，1），B（0，-1）两点，∴直线AB的斜率不存在，∴直线AB的倾斜角90°．故选：B．由直线经过A（0，1），B（0，-1）两点，直线AB的斜率不存在，从而能求出直线AB的倾斜角．本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．4.【答案】C【解析】解：根据过平面内一点和平面外一点的直线，与平面内不过该点的直线异面，可判定A，B中EF，MN异面；D中，若EF∥MN，则过EF的平面与底面相交，EF就跟交线平行，则过点N有两条直线与EF 平行，不可能；故选：C．利用异面直线判定定理可确定A，B错误；利用线面平行的性质定理和过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，可判定D错误．此题考查了异面直线的判定方法，线面平行的性质等，难度不大．5.【答案】A【解析】解：∵点A（2，3）在直线11：2x+ay-1=0上，∴2×2+3a-1=0，解得a=-1，∴直线l1：2x-y-1=0，∵l2∥l1，∴直线l2的斜率k=2．故选：A．由点A（2，3）在直线11：2x+ay-1=0上，求出直线l1：2x-y-1=0，再由l2∥l1，能示出直线l2的斜率．本题考查直线的斜率的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】C【解析】解：由a，b，c为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，知：在A中，若a⊥b且b⊥c，则a与c相交、平行或异面，故A错误；在B中，若α⊥β且β⊥γ，则α与γ相交或平行，故B错误；在C中，若a⊥α且a∥b，则由线面垂直的判定定理得b⊥α，故C正确；在D中，若α⊥β且a∥α，则a与β相交、平行或a⊂β，故D错误．故选：C．在A中，a与c相交、平行或异面；在B中，α与γ相交或平行；在C中，由线面垂直的判定定理得b⊥α；在D中，a与β相交、平行或a⊂β．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7.【答案】C【解析】解：圆C的一条直径的端点坐标分别是（4，1）和（-2，3），故利用中点公式求得圆心为（1，2），半径为=，故圆的方程为（x-1）2+（y-2）2=10，故选：C．利用中点公式求得圆心坐标，再求出半径，可得圆C的方程．本题主要考查求圆的方程的方法，关键是求出圆心和半径，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：长方体的外接球直径即为长方体的体对角线，由题意，体对角线长为：=，外接球的半径R=，=17π，故选：B．利用长方体的外接圆直径为体对角线，容易得解．此题考查了长方体的外接球面积，属容易题．9.【答案】B【解析】解：作出x，y满足不等式组对应的平面区域，由z=5x+2y，得y=x+z，平移直线y=x+z，由图象可知当直线y=x+z，经过点B时，直线y=x+z的截距最大，此时z最大．由，得A（2，3），此时z的最大值为z=5×2+2×3=16，故选：B．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．10.【答案】D【解析】解：直线ax+y+a=0与直线x+ay+a=0不可能平行，故B错误；当a＞0时，直线ax+y+a=0是减函数，直线x+ay+a=0是减函数，故A和C都错误；当a＜0时，直线ax+y+a=0是增函数，与y轴交于正半轴，直线x+ay+a=0是增函数，与y轴交于负半轴，故A，B，C和D都错误．综上，正确答案是a＞0，直线ax+y+a=0与直线x+ay+a=0在同一坐标系中的图象可能是D．故选：D．根据a的符号，分类讨论，利用数形结合思想和排除法能求出结果．本题考查函数图象的判断，考查直线的图象与性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】D【解析】解：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1H⊥平面AB1D1，垂足为H，连接A1C，可得A1C⊥AB1，A1C⊥AD1，即有A1C⊥平面AB1D1，直线A1H与直线A1C重合，直线A1H与该正方体各棱所成角相等，均为arctan，故①正确；直线A1H与该正方体各面所成角相等，均为arctan，故②正确；过直线A1H的平面截该正方体所得截面为A1ACC1为平行四边形，故③正确；垂直于直线A1H的平面与平面AB1D1平行，截该正方体，所得截面为三角形或六边形，不可能为五边形．故④错误．故选：D．由A1C⊥平面AB1D1，直线A1H与直线A1C重合，结合线线角和线面角的定义，可判断①②；由四边形A1ACC1为矩形，可判断③；由垂直于直线A1H的平面与平面AB1D1平行，可判断④．本题考查线线角和线面角的求法，以及正方体的截面的形状，考查数形结合思想和空间想象能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：点P（-2，4）关于直线x-y+2=0的对称点为Q（2，0），设反射光线所在直线方程为：y=k（x-2），即kx-y-2k=0，依题意得：=1，解得：k=±，依题意舍去k=故反射线所在直线方程为：x+y-2=0，故选：A．根据光学性质，点P（-2，4）关于直线x-y+2=0对称的点在反射线所在直线上，设出所求直线方程，然后用点到直线的距离等于半径，求出斜率，舍去正值即可．本题考查了直线与圆的位置关系．属中档题．13.【答案】（32，−12）【解析】解：设A、B的中点为P（x0，y0），由A（3，-3）、B（0，2），再由中点坐标公式得：，．∴线段AB的中点坐标为（）．故答案为：（）．直接利用中点坐标公式求解．本题考查了中点坐标公式，是基础题．14.【答案】2【解析】解：∵直线l1：x-2y=1，l2：mx+（3-m）y+1．l1⊥l2，∴1×m+-2×（3-m）=0，解得m=2．故答案为：2．利用直线与直线垂直的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】34【解析】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，侧棱PA⊥底面ABC，底面三角形ABC是以∠ABC为直角的直角三角形．则x2+y2=x2+PA2+AD2=（PA2+AB2）+AD2=52+32=34．故答案为：34．由三视图还原原几何体，该几何体为三棱锥，侧棱PA⊥底面ABC，底面三角形ABC是以∠ABC为直角的直角三角形，然后利用勾股定理转化求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．16.【答案】√102【解析】解：取MC中点O，连结AO，BO，∵△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=2，M为AB中点，∴AC=BM=AM=CM=1，∴AO==，BO===，AO⊥MC，将△BMC沿CM折叠，当平面BMC⊥平面AMC时，AO⊥平面BMC，∴AO⊥BO，∴A，B两点之间的距离|AB|===．故答案为：．取MC中点O，连结AO，BO，推导出AC=BM=AM=CM=1，AO==，BO==，AO⊥MC，AO⊥平面BMC，AO⊥BO，由此能求出A，B两点之间的距离．本题考查两点间距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：（1）∵B（2，3），C（3，-2），∴边BC所在的直线方程为y−(−2)3−(−2)=x−32−3，即5x+y-13=0；（2）设B到AC的距离为d，则S△ABC=12|AC|⋅d，|AC|=√(3−1)2+(−2−1)2=√13，AC方程为：y−(−2)1−(−2)=x−31−3即：3x+2y-5=0∴d=|3×2+2×3−5|√32+22=7√13．∴S△ABC=12×√13×7√13=72．【解析】（1）直接由两点式直线方程公式求解即可；（2）求出B到AC的距离为d，再求AC的距离，然后利用面积公式求解即可．本题考查两点式直线方程公式，考查点到直线的距离公式的应用，考查计算能力，是中档题．18.【答案】证明：（1）∵正方体ABCD-A1B1C1D1．∴C1D1∥A1B1，C1D1=A1B1，又AB∥A1B1，AB=A1B1，∴C1D1∥AB，C1D1=AB，∴四边形C1D1AB是平行四边形，∴AD1∥C1B，∵C1B⊂平面C1BD，AD1⊄平面C1BD，∴AD1∥平面C1BD．（2）∵正方体ABCD-A1B1C1D1．∴A1D⊥AD1，CD⊥平面A1ADD1，∵AD1⊂平面A1ADD1，∴CD⊥AD1，又A1D∩CD=D，∴AD1⊥平面A1DC．【解析】（1）推导出四边形C1D1AB是平行四边形，从而AD1∥C1B，由此能证明AD1∥平面C1BD．（2）推导出A1D⊥AD1，CD⊥平面A1ADD1，CD⊥AD1，由此能证明AD1⊥平面A1DC．本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：（1）圆C的方程为x2+y2-4tx-2ty+5t2-4=0（t＞0），即（x-2t）2+（y-t）2=4，故圆心C（2t，t），故直线OC的方程为y=12x．（2）圆心C（2t，t）到直线y=x+1的距离为d=√2=√2，根据弦心距、弦长、半径之间的关系，可得(√2)2+(√2)2=4，∴t=1，或t=-3 （舍去），∴t=1．【解析】（1）把圆C的方程化为标准形式，可得C的坐标，从而求得直线OC的方程．（2）求出弦心距，再根据弦心距、弦长、半径之间的关系，求得t的值．本题主要考查圆的一般方程和标准方程，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题．20.【答案】解：（1）∵PA⊥平面ABCD，∴∠PDA为PD与平面ABCD所成角，且PA⊥AD，∵AD=2AB=√3PA=2，∴tan∠PDA=PAAD =√3 3，∴PD与平面ABCD所成角的大小为π6．（2）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，∵底面ABCD为矩形，∴AD⊥AB，∵PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD，∵AE⊥PD，∴S△PAE=12×PE×AE=√36，∴三棱锥P-ABE的体积为：V P-ABE=13×S△PAE×AB=√318．【解析】（1）由PA⊥平面ABCD，得∠PDA为PD与平面ABCD所成角，由此能求出PD 与平面ABCD所成角的大小．（2）推导出PA ⊥AB ，AD ⊥AB ，从而AB ⊥平面PAD ，由此能求出三棱锥P-ABE 的体积．本题考查线面角的求法，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 21.【答案】证明：（1）∵AB =BC ，AD =DC ，∴AC ⊥BD ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥BD ， ∵PA ∩AC =A ，∴BD ⊥平面PAC ，∵BD ⊂平面BED ，∴平面BED ⊥平面PAC ． 解：（2）设AC 与BD 交于点F ，连结EF ， 由（1）知EF ⊥BD ，FC ⊥BD ， ∴∠EFC =45°，由（1）知F 为AC 中点， ∴PA =AC =2，∵PA ⊥AC ，∴∠PCF =45°，∴EF =√22，PE =3√22，且EF ⊥PC ，又PC ⊥BD ，∴PC ⊥平面BED ， ∴三棱锥P -BED 的体积： V P -BDE =13×S △BDE ×PE=13×12×BD ×EF ×PE =16×4√33×√22×3√22=√33．【解析】（1）推导出AC ⊥BD ，PA ⊥BD ，从而BD ⊥平面PAC ，由此能证明平面BED ⊥平面PAC ．（2）设AC 与BD 交于点F ，连结EF ，三棱锥P-BED 的体积V P-BDE =，由此能求出结果．本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22.【答案】解：（1）证明：由已知得C 1：（1，-5），r 1=5√2，C 2（-1，-1），r 2=√10，所以r 1+r 2=5√2+√10，|r 1-r 2|=5√2-√10，|C 1C 2|=2√5， 因为|r 1-r 2|＜|C 1C 2|＜r 1+r 2，所以两圆相交；（2）解：设圆C 3：（x -1）2+（y +5）2-50+λ[（x +1）2+（y +1）2-10]=0 因为过原点，所以12+52-50+λ（12+12-10）=0，解得λ=-3，代入C 3：（x -1）2+（y +3）2-50+（-3）[（x +1）2+（y +1）2-10]=0， 化简得x 2+y 2+4x -2y =0，所以圆C 3：x 2+y 2+4x -2y =0． 【解析】（1）用圆心距与两圆半径的关系证明；（2）设出经过两圆交点的圆系方程，然后代入原点． 本题考查了圆与圆的位置关系及其判定．属中档题．23.【答案】解（1）由已知得C 1（-1，2），r 1=2，C 2（2，0），r 2=3，所以r 1+r 2=5，|r 1-r 2|=1，|C 1C 2|=√13，因为|r 1-r 2|＜|C 1C 2|＜r 1+r 2，所以圆C 1与圆C 2相交，将两个圆方程相减，得（x +1）2+（y -2）2-（x -2）2-y 2=-5， 化简得两圆公共弦所在直线方程为：3x -2y +3=0 （2）由{y =kx +1(x+1)2+(y−2)2=4，得（x +1）2+（kx -1）2=4，化简得（1+k 2）x 2+（2-2k ）x -2=0且△=（2-2k ）2+8（1+k 2）＞0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有x 1+x 2=-2−2k1+k 2，x 1x 2=−21+k 2， 因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2+y 1y 2=0，即x 1x 2+（kx 1+1）（kx 2+1）=0， 化简得：（1+k 2）x 1x 2+k （x 1+x 2）+1= 所以-2-k(2−2k)1+k 2+1=0，化简得k 2-2k -1=0，解得k =1+√2或k =1-√2． 【解析】（1）用圆心距与两圆半径的关系判断两圆位置关系；用两圆方程相减消去二次项得相交弦所在直线方程；（2）联立直线与圆的方程，根据韦达定理以及两线垂直的向量关系列式可解得k ．本题考查了圆与圆的位置关系及其判定．属中档题．。
江苏省昆山市2018-2019学年第一学期期中考试高二数学(解析版)
昆山市2018-2019学年第一学期期中考试高二数学一、填空题1.已知倾斜角为90°的直线经过点A(2m,3)，B(2，－1)，则m的值为________.【答案】1【解析】【分析】根据直线倾斜角的定义可得，解出即可.【详解】∵倾斜角为90°的直线经过点，，∴，解得，故答案为1.【点睛】本题考查了倾斜角的应用，考查了基本概念，属于基础题．2.已知直线和直线平行，则的值为__________【答案】2【解析】【分析】根据直线平行的等量关系，解得结果.【详解】由题意得，所以，（-1舍）.【点睛】本题考查直线平行，考查基本分析求解能力，属基础题.3.若长方体的三个面的对角线分别为，则长方体的对角线长度为______________【答案】【解析】【详解】设长方体长宽高为，则，所以，即对角线长为.【点睛】本题考查长方体对角线长，考查基本分析求解能力，属基础题.4.直线被圆截得的弦长等于_______________【答案】【分析】根据垂径定理求弦长.【详解】因为，所以，因此圆心到直线距离为，弦长为【点睛】本题考查直线与圆位置关系，考查基本分析求解能力，属基础题.5.圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的标准方程为_____________【答案】【解析】【分析】设圆标准方程形式，根据条件列方程组，解得结果.【详解】设,则，解得，所以圆的标准方程为.【点睛】本题考查圆得标准方程，考查基本分析求解能力，属基础题.6.半径为的球被两个相互平行的平面截得的圆的半径分别为和，则这两个平面之间的距离是______________【答案】1或7【解析】【分析】先根据条件得球心到两平面距离，再根据两平面位置关系得结果.【详解】由题意得球心到两平面距离分别为，因此这两个平面之间的距离是或【点睛】本题考查球相关性质，考查基本分析求解能力，属基础题.7.过点作直线，使它被两条相交直线和所截得的线段恰好被点平分，则直线斜率为_______________【答案】8【分析】根据中点坐标公式求得弦端点坐标，再根据斜率公式求结果.【详解】设截得的线段AB,则，因为点为AB中点,所以，从而直线斜率为【点睛】本题考查直线位置关系，考查基本分析求解能力，属基础题.8.如图，在棱长为的正方体中，四面体 D 的体积等于________【答案】【解析】【分析】根据割补法得结果.【详解】四面体 D 的体积等于正方体体积减去四个小三棱锥体积，即.【点睛】本题考查锥体体积，考查基本分析求解能力，属基础题.9.如图，空间四边形中，平面，为1的等边三角形，，，为棱AC上的一个动点，则的最小值为_____________【答案】【解析】【分析】先展开，再在平面内利用余弦定理得结果.【详解】先将平面展开到平面,则的最小值为此时BD,.【点睛】本题考查利用展开图求距离最值，考查基本分析求解能力，属基础题.10.设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是________________【答案】【解析】【分析】可得直线分别过定点（0，0）和（1，3）且垂直，可得|PA|2+|PB|2=10．三角换元后，由三角函数的知识可得PA+PB 的最大值．【详解】由题意可得A（0，0），由于直线mx﹣y﹣m+3=0，即 m（x﹣1）﹣y+3=0，显然经过定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．设∠ABP=θ，则|PA|=sinθ，|PB|=cosθ．∵|PA|≥0且|PB|≥0，可得θ∈[0，]，∴|PA|+|PB|=sinθ+cosθ=2[sinθ+cosθ）=2sin（θ+），∵θ∈[0，]，∴θ+∈[，]，∴当θ+=时，2sin（θ+）取得最大值为 2，故答案为：2．【点睛】本题考查直线过定点问题，涉及直线的垂直关系和三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属中档题．11.关于异面直线，有下列四个命题①过直线有且只有一个平面，使得②过直线有且只有一个平面，使得③在空间存在平面，使得，④在空间不存在平面，使得，其中，一定正确的是______________【答案】①③④【解析】【分析】根据异面直线定义说明命题正确①③④，举反例说明命题②错误.【详解】①过直线上任一点P作直线平行线,则直线必相交，即确定一个平面，因为若存在平面，使得，则，与为异面直线矛盾，故过直线有且只有一个平面，使得；②当时可得，这与不一定垂直矛盾，所以②错；③过直线上任一点P作直线平行线,则直线必相交，即确定一个平面，过直线上任一点Q作直线平行线,则直线必相交，即确定一个平面，因此平面平面，再任作平面，使得，，即得，；④若，，则,与为异面直线矛盾，所以不存在平面，使得，；综上，正确的是①③④【点睛】本题考查线面位置关系，考查基本分析判断与论证能力，属中档题.12.已知圆，圆，若圆M上存在点P，过点P做圆O的两条切线，切点为A、B，使得，则实数的取值范围是_____________【答案】【解析】设P(x，y)，sin∠OPA＝sin30°＝，则x2＋y2＝4 ①.又P在圆M上，则(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1 ②.由①②得1≤≤3，所以≤a≤.13.已知P为平面内一点，且，若，，则点P的横坐标等于________【答案】【解析】【分析】先根据条件化简得方程组，解得点P的横坐标.【详解】设，则由，得，即，解得【点睛】本题考查轨迹方程及其交点坐标，考查基本分析求解能力，属基础题.14.若实数：满足，，则的最大值为_____________【答案】【解析】【分析】根据条件结构特征，转化为单位圆上两点到定直线距离和的关系，再根据圆的几何性质求最值.【详解】因为，，所以在单位圆上，且因为，所以，因为,其中为AB中点.又因为,所以,即的最大值为【点睛】本题考查向量数列积、点到直线距离公式、以及圆的性质，考查综合分析转化求解能力，属难题.二、解答题15.已知直线经过点且斜率为（1）求直线的一般式方程（2）求与直线平行，且过点的直线的一般式方程（3）求与直线垂直，且过点的直线的一般式方程【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）先写点斜式方程，再化一般式，（2）根据平行设一般式，再代点坐标得结果，（3）根据垂直设一般式，再代点坐标得结果.【详解】(1)(2)设所求方程为因为过点，所以(3) 设所求方程为因为过点，所以【点睛】本题考查直线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.16.如图一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个半径为的内接圆柱（1）试用表示圆柱的高（2）当为何值时，圆柱的全面积最大，最大全面积为多少【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据比例关系求结果，（2）先列圆柱的全面积函数关系式，再根据二次函数性质求最值.【详解】（1）（2）圆柱的全面积当时，答：当时，圆柱的全面积最大，最大全面积为【点睛】本题考查圆柱全面积以及二次函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.17.如图，在直三棱柱中，点D为AB中点，，若,求证：（1）（2）【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）连接交于，则根据三角形中位线性质得，再根据线面平行判定定理得结果，（2）根据线面垂直判定定理依次证得即得结论.【详解】连接交于，连接DE,因为直三棱柱，所以四边形为矩形，所以为的中点，又因为为的中点，所以,因为，所以（2）因为四边形为矩形，所以,又,所以,因为所以，因为四边形为矩形，，所以四边形为正方形，,因为所以.【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.18.如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为正方形，△为等边三角形，是中点，平面与棱交于点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面；（III）记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，直接写出的值.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】【分析】（Ⅰ）由为正方形，可得．再由线面平行的判定可得平面.．再由面面平行的性质可得；（Ⅱ）由为正方形，可得．结合面面垂直的性质可得平面．从而得到.．再由已知证得．由线面垂直的判定可得平面；（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，利用等积法把用表示，则的值可求．【详解】（I）证明：因为正方形，所以.因为平面，平面，所以平面.因为平面，平面平面，所以.（II）证明：因为正方形，所以.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.因为平面，所以.因为为等边三角形，是中点，所以.因为平面，平面，，所以平面.（III）解：由（Ⅰ）知，则．【点睛】本题考查直线与平面平行的判定和性质，考查线面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．19.如图，已知圆O的方程为，过点的直线与圆O交于点、，与负半轴交于点。
北京市海淀区中关村中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题Word版含解析
北京市海淀区中关村中学2018-2019学年上学期期中考试高二数学（理）试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个正确答案，请将正确答案的序号涂在答题卡上）1．线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是（ ）．A ．AB α⊂B ．AB α⊄C ．线段AB 的长短而定D ．以上都不对【答案】A【解析】∵线段AB 在平面α内， ∴直线AB 上所有的点都在平面α内，∴直线AB 与平面α的位置关系是：直线AB 在平面α内， 即AB α⊂， 故选A ．2．如图，1111ABCD A B C D -为正方体，下列结论错误．．的是（ ）．DABC C 1D 1B 1A 1A ．BD ∥平面11CB D B ．1AC BD ⊥C ．1AC ⊥平面11CB DD ．异面直线AD 与1CB 角为60︒【答案】D【解析】异面直线AD 与CB 所成的角为45︒， 所以结论错误， 故选D ．3．ABC △的斜二侧直观图如下图所示，则ABC △的面积为（ ）．A ．1B ．2CD ．以上都不对【答案】B【解析】根据斜二测画法的原则可知：ABC △为直角三角形，底为2，高为2，所以面积是2， 故选B ．4．下列说法正确的是（ ）．A ．a b ∥，b a αα⊂⇒∥B ．a b ⊥，b a αα⊂⇒⊥C ．a α⊥，b a b α⊥⇒∥D ．αβ⊥，a a βα⊂⇒⊥【答案】C【解析】由线面垂直的性质定理可知：a α⊥，b α⊥，则a b ∥， 故选C ．5．已知三棱锥的主视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的左视图可能是（ ）．俯视图主视图2211A ．1122 B ．32 C ．22D ．22【答案】B【解析】根据正视图和俯视图，作出该三棱锥的几何直观图，如图所示，223O DABC则侧视图为直角三角形，且底边边长为||AD =，高为||2OC =， 故选B ．6．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为（ ）．A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒【答案】C【解析】DACO折叠后的三棱锥如图，易知当平面ACD 垂直于平面ABC 时三棱锥的体积最大， 设AC 的中点为O ，则DBO ∠即为所求， 而DOB △是等腰直角三角形， 所以45DBO ∠=︒， 故选C ．7．如下图所示，已知A ，B ，C 三点不共线，P 为平面ABC 内一定点，O 为平面ABC 外任一点，则下列能表示向量OP 的为（ ）．A BCOPA ．22OA OB OC ++ B ．32OA AB AC -- C ．23OA AB AC +-D ．32OA AB AC +-【答案】D【解析】以AP 为对角线，以AB ，AC 所在直线为邻边做平行四边形， 则32AP AB AC =-，∴32OP AP AO AB AC OA =-=-+， 故选D ．8．如下图在直三棱柱111ABC A B C -中，π2BAC ∠=，11AB AC AA ===，已知G 与E 分别为11A B 和1CC 的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点），若GD EF ⊥，则线段DF 长度的取值范围为（ ）．DGABC EFC 1B 1A 1A．⎫⎪⎭B．⎣⎦C．D．【答案】A【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，10,1,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,0,12G ⎛⎫⎪⎝⎭，(,0,0)F x ，(0,,0)D y ．∵GD EF ⊥，∴210x y +-=，∴DF∵01x <<，01y <<， ∴102y <<， ∴当25y =时，线段DF，当0y =时，线段DF 长度的最大值是1，（因为不包括端点，故0y =不能取，即DF 长度不能等于1）， 故线段DF的长度的取值范围是：⎫⎪⎭， 故选A ．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸中）9．已知αβ⊥，平面α与平面β的法向量分别为m ，n ，且(1,2,5)m =-，(3,6,)n z =-，则z =__________．【答案】3【解析】∵αβ⊥，且平面α与平面β的法向量分别为m ，n ， ∴(1,2,5)(3,6,)31250m n z z ⋅=--=--+=， 解得：3z =．10．已知正四棱锥V ABCD -的底面面积为16，一条侧棱长为，则它的斜高．．为__________． 【答案】6【解析】设VO 为正四棱锥V ABCD -的高，连接OB ，则VO OB ⊥，VD ABCO∵底面正方形ABCD 的面积为16， ∴4BC =，OB =又∵VB =∴6VO =， ∴正四棱锥V ABCD -的高为6．11．若一个圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为__________．【解析】设圆锥的母线长为l ，∵2ππS r ==底，【注意有文字】∴π2πS rl ==侧，【注意有文字】 ∴2l =，∴圆锥的高h∴圆锥的体积11π33V S h ==⨯底．【注意有文字】12．若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如下图所示，则其表面积等于__________．【答案】6+【解析】由题意知三棱柱的底面是一个边长为2的正三角形， 侧棱长是1，且侧棱与底面垂直，∴三棱柱的表面积是：12232162⨯⨯⨯⨯=+13．二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ．已知4AB =，6AC =，8BD =，CD =__________．DA BC【答案】60︒【解析】E CBA D如图，过点B 作BE AC ∥，使得BE AC =， 连接CE ，DE ，则四边形ABEC 为平行四边形， ∴6BE AC ==，BE AB ⊥，CE AB ∥，CE AB =， 而BD AB ⊥，∴DBE ∠即是二面角AB αβ--的平面角， ∵BE AC ∥，AC AB ⊥，BD AB ⊥，CE AB ∥， ∴BE CE ⊥，BD CE ⊥， ∴CE ⊥平面BDE ， ∴CE DE ⊥，在Rt CDE △中，4CE AB ==，CD =∴DE ==在BDE △中，2221cos 22BE BD DE DBE BE BD +-∠==⋅，∴60DBE ∠=︒，故该二面角的大小为60︒．14．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面为S ，则下列命题正确的是__________（写出所有正确命题的编号）．A 1①当102CQ <<时，S 为四边形；②当12CQ =时，S 为等腰梯形；③当34CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足114C R =；④当314CQ <<时，S 为五边形； ⑤当1CQ =时，S． 【答案】①②④ 【解析】①项，12CQ =时，S 为APQD ， 而102CQ <<时，线段1DD 上同理，存在一点，与PQ 平行， 此时，S 为四边形，且是梯形，故命题①为真；M Q P D 1C 1A 1B 1CB AD②项，1AP D Q =，1AD PQ ∥，1APQD 是等腰梯形，故命题②为真；③项OQPD 1C 1A 1B 1C B AD当34CQ =时，如图所示，0AP DC =， ∵点P 是BC 的中点，∴CO CD AB ==， ∴1113C R C Q CO QC ==， ∴S 与11CD 的交点R 满足113C R =，故命题③为假．④项，如图所示，S 为五边形，故命题④为真；QP D 1C 1A 1B 1CB AD⑤项，如图所示，S2=， DAB C B 1A 1C 1D 1PQ故命题⑤为假．综上所述，命题正确的是：①②④．三、解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程） 15．已知向量(2,1,2)a =--，(1,1,4)b =-． （I ）计算23a b -和23a b -． （II ）求,a b ． 【答案】见解析【解析】解：（I ）232(2,1,2)3(1,1,4)(4,2,4)(3,3,12)(1,5,8)a b -=----=----=-．2|23|1(a b -=+=（2）cos ,||||33a b a b a b ⋅===⨯，又[],0,πa b ∈， 故π,4a b =．16．如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且2PA =，E 是侧棱PA 上的动点．A BCPE（I ）如果E 是PA 的中点，求证PC ∥平面BDE ．（II ）是否不论点E 在侧棱PA 的任何位置，都有BD CE ⊥？证明你的结论． 【答案】见解析【解析】OECBA（1）证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴O 是AC 的中点， 又∵E 是PA 的中点， ∴PC OE ∥，∵PC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ， ∴PC ∥平面BDE ．（2）不论点E 在何位置，都有BD CE ⊥，证明如下： ∵四边形ABCD 是正方形， ∴BD AC ⊥，∵PA ⊥底面ABCD ，且BP ⊂平面ABCD ， ∴BD PA ⊥， 又∵ACPA A =，∴BD ⊥平面PAC ，∵不论点E 在何位置，都有CEC 平面PAC ， ∴不论点E 在何位置，都有BD CE ⊥．17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且120ABC ∠=︒，点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F ．D ABC EF P（1）求证：AB EF ∥．（2）若2PA PD AD ===，且平面PAD ⊥平面ABCD ， 求①二面角E AF D --的锐二面角的余弦值．②在线段PC 上是否存在一点H ，使得直线BH 与平面AEF 所成角等于60︒，若存在，确定H 的位置，若不存在，说明理由． 【答案】见解析【解析】（1）证明：∵AB CD ∥，CD ⊂平面PCD ，AB ⊄平面PCD ， ∴AB ∥平面PCD ，又∵AB ⊂平面ABEF ，且平面ABEF 平面PCD EF =，∴AB EF ∥，（2）①取AD 的中点O ，连接PO ，OB ，BD ， ∵ABCD 是菱形，且120ABC ∠=︒，PA PD AD ==， ∴ABD △，PAD △是等边三角形， ∴PO AD ⊥，OB AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，∴PO ⊥平面ABCD ，以O 为原点，以OB ，OD ，OP 为坐标轴建立空间坐标系O xyz -，则：(0,1,0)A =-，(0,1,0)D，P，B，C，E ⎝⎭，10,2F ⎛ ⎝⎭．30,2AF ⎛= ⎝⎭，1,02EF ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =，则： 00n AF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴302102y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 令1x =得：(1,3,3)n =-； ∵OB ⊥平面PAD ，∴(3,0,0)OB =为平面PAD 的一个法向量．∴cos ,||||13OB n OB n OB n ⋅===故二面角E AF D -- ②假设PC 上存在点H 便得直线BH 与平面AEF 所成角等于60︒， 则BH 与n 所成夹角为30︒，设(,2)(01)CH CP λλλ==-≤≤，则：(,22)BH BC CH λ=+=-，cos ,||||13BH n BH n BH n ⋅===， 化简得：2191260λλ--=，解得：λλ， ∴线段PC 上存在一点H ，使得直线BH 与平面AEF 所成的角等于60︒．。
重庆市巴蜀中学高二数学上学期期中复习试题(2021年整理)
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巴中2018—2019学年上学期高二期中复习试卷理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．［2018·周南中学]若10a b >>>，10c -<<，则下列不等式成立的是（ ） A ．22b a -<B ．()log log a b b c <-C ．22a b <D ．2log b c a <2．［2018·南昌十中]函数()()22log 23f x x x =+-的定义域是（ ) A ．[]3,1-B ．()3,1-C ．][(),31,-∞-+∞D ．()(),31,-∞-+∞3．[2018·安徽师大附中］已知等差数列{}n a 中918S =，240n S =，()4309n a n -=>,则项数为（ ）A ．10B ．14C ．15D ．17班级 姓名 准考证号 考场号 座位号4．［2018·厦门外国语学校]已知实数x ，y 满足122022x y x y x y -≤-+≥+≥⎧⎪⎨⎪⎩，若z x ay =-只在点()4,3处取得最大值，则a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞-B ．()2,-+∞C ．(),1-∞D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭5．［2018·南海中学]已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足122n n S λ+=+，则λ的值为（ ） A ．4B ．2C ．2-D ．4-6．［2018·铜梁县第一中学］在ABC △中，内角A ，B ,C 的对边分别是a ，b ，c ， 若222sin sin sin 0A B C +-=，2220a c b ac +--=，2c =，则a =（ ) AB ．1C ．12D7．[2018·揭阳三中]已知0a >，0b >,21a b +=，则11ab+的取值范围是( ) A ．(),6-∞B ．[)4,+∞C ．[)6,+∞D．)3⎡++∞⎣8．［2018·白城一中］已知{}n a 的前n 项和241n S n n =-+,则1210a a a +++=（ ）A ．68B ．67C ．61D ．609．[2018·黑龙江模拟]在ABC △中,π3B =,2AB =,D 为AB的中点，BCD △，则AC 等于（ )A ．2BCD 10．[2018·黑龙江模拟］在数列{}n a 中，若12a =，且对任意正整数m 、k ,总有m k m k a a a +=+，则{}n a 的前n 项和为n S =（ ） A ．()31n n -B ．()32n n + C ．()1n n + D ．()312n n +11．［2018·江南十校]已知x ，y 满足02323x x y x y ≥⎧+≥+≤⎪⎨⎪⎩,z xy =的最小值、最大值分别为a ，b ，且210x kx -+≥对[],x a b ∈上恒成立，则k 的取值范围为（ ）A ．22k -≤≤B ．2k ≤C ．2k ≥-D ．14572k ≤12．[2018·盘锦市高级中学]已知锐角ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()2b a ac =+，则()2sin sin AB A -的取值范围是（ ）A．0,2⎛ ⎝⎭ B．12⎛ ⎝⎭C．122⎛ ⎝⎭D．⎛ ⎝⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．［2018·金山中学]关于x 的不等式22210x kx k k -++->的解集为{},x x a x ≠∈R ，则实数a =______．14．[2018·柘皋中学］数列{}n a 中，若11a =，11n n n a a n +=+，则n a =______．15．[2018·余姚中学］在ABC △中，角A ,B ，C 的对边分别为a ，b ，c，c =2216b a -=,则角C 的最大值为_____．16．［2018·哈尔滨市第六中学]已知数列{}n a 满足()()()12112n n n n a a n n +-⋅+=-≥，n S 是其前n 项和，若20171007S b =--，(其中10a b >），则123a b+的最小值是_________________．三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）［2018·豫南九校]（1）关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集非空,求实数a 的取值范围；（2）已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值．18．（12分）［2018·凌源二中]已知等差数列{}n a 满足13a =，515a =，数列{}n b 满足14b =，531b =，设正项等比数列{}n c 满足n n n c b a =-． (1）求数列{}n a 和{}n c 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和．19．（12分)［2018·邯郸期末］在ABC △中，A ∠,B ∠，C ∠的对边分别为a ,b ，c , 若()cos 2cos b C a c B =-， （1）求B ∠的大小；(2）若b =，4ac +=，求a ，c 的值．20．（12分）［2018·阳朔中学]若x ，y 满足1030350x y x y x y -+≥+⎧-≥--≤⎪⎨⎪⎩，求：（1）2z x y =+的最小值； (2）22z x y =+的范围； (3）y xz x+=的最大值．21．（12分）[2018·临漳县第一中学］如图,在ABCBD=，△中，BC边上的中线AD长为3，且236sin B=．（1）求sin BAD∠的值；（2）求cos ADC△外接圆的面积．∠及ABC22．（12分）［2018·肥东市高级中］已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，()1212,n n S S n n -=+≥∈*N （1)求数列{}n a 的通项公式； （2）记()12log n n b a n =∈*N ，求11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．理科数学 答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】利用特值法排除,当2a=,12 b=时：1224b aa-=>=，排除A；22144a b=>=，排除C；2log1bc a>=-，排除D,故选B．2．【答案】D【解析】不等式2230x x+->的解为3x<-或1x>．故函数的定义域为()(),31,-∞-+∞,故选D．3．【答案】C【解析】因为()19959=9182a aS a+==，52a∴=，所以()()()154230=240222n nnn a a n a a nS-+++===,15n∴=，故选C．4．【答案】C【解析】由不等式组122022x yx yx y-≤-+≥+≥⎧⎪⎨⎪⎩作可行域如图，联立221x yx y-=--=⎧⎨⎩,解得()4,3C．当0a=时，目标函数化为z x=，由图可知,可行解()4,3使z x ay=-取得最大值，符合题意；当0a>时，由z x ay=-，得1zy xa a=-,此直线斜率大于0，当在y轴上截距最大时z最大,可行解()4,3为使目标函数z x ay =-的最优解，1a <符合题意； 当0a <时,由z x ay =-，得1z y x aa=-，此直线斜率为负值，要使可行解()4,3为使目标函数z x ay =-取得最大值的唯一的最优解，则10a<,即0a <．综上，实数a 的取值范围是(),1-∞,故选C ． 5．【答案】C【解析】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+,故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=, 数列{}n a 是等比数列,则11a =，故412λ+=,解得2λ=-，故选C ．6．【答案】B【解析】因为222sin sin sin 0A B C +-=，所以2220a b c +-=，C 为直角,因为2220a c b ac +--=,所以2221cos 22a c b B ac +-==，π3B =，因此πcos 13a c ==,故选B ．7．【答案】D【解析】∵21a b +=，∴()111122333b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥++ ⎪⎝⎭2b a a b=时等号成立）．故选D ． 8．【答案】B【解析】当1n =时，112S a ==-,当2n ≥时,()()()22141141125n n n a S S n n n n n -⎡⎤==+---+=-⎣-⎦--, 故2,125,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩,据通项公式得1234100a a a a a <<<<<<，∴()()12101234101022a a a a a a a a S S +++=-++++=-+()210410122167=⨯+---=-．故选B ．9．【答案】B【解析】由题意可知在BCD △中，π3B =,1BD =，∴BCD△的面积11333sin22S BC BD B BC=⨯⨯⨯=⨯⨯=，解得3BC=,在ABC△中由余弦定理可得:2222212cos2322372AC AB BC AB BC B=+⋅⋅⋅-+⋅-==，∴7AC=，故选B．10．【答案】C【解析】递推关系m k m ka a a+=+中，令1k=可得：112m m ma a a a+=+=+，即12m ma a+-=恒成立，据此可知，该数列是一个首项12a=，公差2d=的等差数列，其前n项和为：()()()11122122nn n n nS na d n n n--=+=+⨯=+．本题选择C选项．11．【答案】B【解析】作出2323xx yx y≥⎧+≥+≤⎪⎨⎪⎩表示的平面区域（如图所示），显然z xy=的最小值为0，当点(),x y在线段()2301x y x+=≤≤上时，231312222xz xy x x x⎛⎫==-=-+≤⎪⎝⎭;当点(),x y在线段()2301x y x+=≤≤上时，()2932238z xy x x x x==-=-+≤；即0a=，98b=;当0x=时，不等式2110x kx-+=≥恒成立,若210x kx-+≥对90,8x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立，则1k xx≤+在90,8⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立，又1x x +在(]0,1单调递减,在91,8⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，即min 12x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即2k ≤．12．【答案】C【解析】因为()2b a a c =+,所以22b a ac =+，由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-,所以2222cos a c ac B a ac +-=+，所以2cos a a B c +=， 由正弦定理得sin 2sin cos sin A A B C +=,因为()πC A B =-+，所以()sin 2sin cos sin sin cos cos sin A A B A B A B A B +=+=+，即()sin sin A B A =-，因为三角形是锐角三角形，所以π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π02B A <-<,所以A B A =-或πA B A +-=，所以2B A =或πB =（不合题意），因为三角形是锐角三角形,所以π02A <<，π022A <<,π0π32A <-<，所以ππ64A <<，则()2sin 1sin ,sin 22A A B A ⎛=∈ -⎝⎭，故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】1【解析】因为关于x 的不等式22210x kx k k -++->的解集为{},x x a x ≠∈R ， 所以()()222410Δk k k =--+-=，所以440k -=，所以1a k ==，故答案是1． 14．【答案】1n【解析】11a =,11n n na a n +=+，得11n n a n a n +=+，所以324123112311234n n a a a a n a a a a n n--⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⋅⋅=，∴1n a n =．故答案为1n． 15．【答案】π6【解析】在ABC △中,由角C 的余弦定理可知22222222232cos 224b a a b a b c a b C ab ab ab -+-+-+===≥又因为0πC <<，所以max π6C =．当且仅当a =，b =16．【答案】5+【解析】根据题意，由已知得:323a a +=，545a a +=-，，201720162017a a +=-，把以上各式相加得:201711008S a -=-，即：110081007a b -=--，11a b ∴+=， 则()11111323232555a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥++ ⎪⎝⎭ 即123a b+的最小值是5+故答案为5+三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1)62a a ≤-≥或；（2）max 1y =．【解析】（1）设()2f x x ax a =--,则关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集()3f x ⇔≤-在R 上能成立()min 3f x ⇔≤-，即()2min 434a a f x +=-≤-解得6a ≤-或2a ≥．（或由230x ax a --+≤的解集非空得0Δ≥亦可得） （2)54x <,540x ∴->,11425432314554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++≤-+= ⎪--⎝⎭,当且仅当15454x x -=-，解得1x =或32x =而3524x =>，1x ∴=, 即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =． 18．【答案】（1)3n a n =，12n n c -=；（2）()3312212nn n +-+-． 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ,依题意得51434153a a d d d =+⇒+=⇒=， 所以()3313n a n n =+-=．设等比数列{}n c 的公比为q ，依题意得111431c b a =-=-=，555311516c b a =-=-=， 从而44511612c c q q q =⇒=⨯⇒=,所以11122n n n c --=⨯=．(2）因为132n n n n n n n n c b a b a c b n -=-⇒=+⇒=+,所以数列{}n b 的前n 项和为()()()()12131629232n n S n -=++++++++ ()()2136931222n n -=+++++++++()3312212nn n +-=+-． 19．【答案】(1）π3（2)1，3或3，1．【解析】（1）由已知得sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =⋅-⋅,∴()sin 2sin cos B C A B +=⋅． ∵πB C A +=-，∴sin 2sin cos A A B =⋅．∵A ，()0,πB ∈，所以sin 0A ≠，∴1cos 2B =，所以π3B =．（2）∵2222cos b a c ac B =+-,即()273a c ac =+-,∴31679ac =-=， ∴3ac =，又∵4a c +=，∴1a =,3c =或3a =，1c =．20．【答案】（1）4；(2)9,252⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）3． 【解析】（1）作出满足已知条件的可行域为ABC △内(及边界)区域，其中()1,2A ，()2,1B ,()3,4C ．目标函数2z x y =+，表示直线:2l y x z =-+,z 表示该直线纵截距，当l 过点A 时纵截距有最小值，故min 4z =．(2）目标函数22z x y =+表示区域内的点到坐标系点的距离的平方，又原点O 到AB 的距离3322d ==33,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭在线段AB 上，故22OD z OC ≤≤，即9,252z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． (3）目标函数1yz x=+，记y k x=．则k 表示区域中的点与坐标原点连线的斜率，当直线过点A 时，斜率最大，即max 2k =，即max max3y x z x +⎛⎫== ⎪⎝⎭．21．【答案】（1;（2）1cos 4ADC ∠=-,128π27S =． 【解析】(1)在ABD △中,2BD =，sin B =，3AD =， ∴由正弦定理sin sin BD ADBAD B =∠，得2sin 8sin 3BD B BAD AD∠==． （2）sin B =，cos B ∴=，sin BAD ∠=，cos BAD ∴∠=()1cos cos 4ADC B BAD ∴∠=∠+∠==-, D 为BC 中点，2DC BD ∴==,∴在ACD △中,由余弦定理得：2222cos 94316AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠=++=，4AC ∴=．设ABC △外接圆的半径为R，2sin AC R B∴==,R ∴=ABC ∴△外接圆的面积2128ππ27S =⋅=⎝⎭． 22．【答案】（1）()12n na n =∈*N；(2)1n n +． 【解析】（1）当2n =时，由121n n S S -=+及112a =，得2121S S =+，即121221a a a +=+，解得214a =． 又由121n n S S -=+，①， 可知121n n S S +=+,②②-①得12n n a a +=，即()1122n n a a n +=≥．且1n =时,2112a a =适合上式，因此数列{}n a 是以12为首项，公比为12的等比数列，故()12n n a n =∈*N ． （2)由(1)及()12log n n b a n =∈*N ，可知121log 2nn b n ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()1111111n n b b n n n n +==-++, 故1223111111111111223111n n n n T b b b b b b n n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．。
山西省太原市2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题+Word版含解析-副本
D.
【答案】 C
【解析】
【分析】
利用异面直线判定定理可确定 A， B错误；利用线面平行的性质定理和过直线外一点有且仅有
一条直线与已知直线平行，可判定 D错误．
【详解】根据过平面内一点和平面外一点的直线，与平面内不过该点的直线异面，可判定
A，
B 中 EF， MN异面；
D中，若 EF∥ MN，则过 EF的平面与底面相交， EF 就跟交线平行， 则过点 N有两条直线与 EF 平
【解析】
【分析】
利用旋转体的定义、性质直接求解．
【详解】在 A 中，主体建筑物抽象得出的空间几何体不为旋转体，故
A 错误；
在 B 中，主体建筑物抽象得出的空间几何体为旋转体，故
B 正确；
在 C中，主体建筑物抽象得出的空间几何体不为旋转体，故
C 错误；
在 D中，主体建筑物抽象得出的空间几何体不为旋转体，故
D 错误．
故选： B．
【点睛】本题考查旋转体的判断，考查旋转体的定义及性质等基础知识，考查运算求解能力，
是基础题．
3. 已知
，则直线 AB的倾斜角为（
）
A. 0 ° B. 90 ° C. 180 ° D. 不存在
【答案】 B
【解析】
【分析】
由直线经过 A（ 0，1），B（0，﹣ 1）两点，直线 AB的斜率不存在，从而能求出直线 AB的倾斜
【详解】由 a， b， c 为三条不同的直线， α ，β ， γ 为三个不同的平面，知：
在 A 中，若 a⊥ b 且 b⊥ c，则 a 与 c 相交、平行或异面，故 A错误；
【详解】在空间直角坐标系 Oxyz 中，
点 A（ 1， 2， 3）关于 yOz平面对称的点的坐考查空间向量的坐标的概念，考查空间点的对称点的坐标的求法，属于基础题．
高二数学上学期期中试题(含答案)
高二数学上学期期中试题（考试时间：120分钟，满分：150分）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一个项是符合题目要求的。
1．若a b c R ∈,,，且0b a <<，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．b a <B ．2ab a <C ．33b a <D ．22b a <2．等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 的公差为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．在ABC ∆中，若BC =sin 2sin C A =，则AB ＝（ ） A．．．．4. 已知0x >，函数x xy +=4的最小值是（ ） A.8 B.6 C.5 D.45．正项等比数列{}n a 中，26a a ,是方程234640x x -+=的两根，则4a 等于（ ） A ．7 B ．8 C ．9D ．以上都不对6．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且222a b c =-，则角B 的大小是（ ） A ．45° B ．60°C ．90°D ．135°7．若变量,x y 满足约束条件1020y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最小值为( )A ．3B ．1C ．1-D ．3-8．已知数列121,,9a a ,是等差数列，数列1231,,16b b b ,,是等比数列，则212b a a +等于（ ） A ．710 B ．12 C ．310 D ．259. 在ABC △中，,,a b c 分别为,,A B C 的对边，如果,,a b c 成等差数列，60B =， 6ac =，那么b =（ ） Ａ．2Ｃ．3Ｄ．10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-，则2018a 等于( )A.20212B. 20202C. 20192D. 2018211. 在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，2a =，45B =，4ABC S ∆=，则ABC △的外接圆直径为( )A.B.D.12. 数列{}n a 的首项为2，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈,若32b =-，1012b =，则8a =（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1第II 卷（非选择题 共90分）注意事项：用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。
上学期数学高二年级期中试题
上学期数学高二年级期中试题大家在学习的时候一定要结合题目来学习哦，今天小编就给大家分享一下高二数学，有喜欢的一起来参考一下吧高二数学上学期期中试卷阅读一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.过点，斜率是3的直线的方程是( )A. B. C. D.2.在正方体中，若是的中点，则直线垂直于( )A. B. C. D.3.在同一直角坐标系中，表示直线与正确的是( )A B C D4.若有直线、和平面、，下列四个命题中，正确的是( )A.若，，则B.若，，，，则C.若，，则D.若，，，则5.直线与的交点坐标为( )A. B. C. D.6.一个棱长为1的正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B. C. D.7.两圆和的位置关系是( )A. 相交B. 内切C. 外切D. 外离8.P、Q分别为与上任一点，则的最小值为( )A. B. C. 3 D. 69.已知，若直线过点与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是( )A. B. C. D.10圆上的点到直线的距离的最大值是( )A. B. C. D.11.正方体的全面积为,它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是( )A. B. C. D.12.过点引直线与曲线交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线的斜率等于( )A. B. C. D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13.直线过定点，定点坐标为.14.如图，正方形O'A'B'C'的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是.15.已知 , .16.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，下面四个结论：(1)AC⊥BD;(2)△ACD是等边三角形;(3)二面角B-AC-D的余弦值为 ;(4)AB与CD所成的角为60°.则正确结论的序号为.三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答时应写出文字说明、证明过程或解题步骤)17.(本小题满分10分)已知两直线，当为何值时，(1)直线∥ ;(2)直线 .18.(本小题满分12分)如图，直三棱柱中，，∠ACB=90°，AA1= ，D，F 分别是A1B1、BB1中点.(1)求证：C1D⊥AB1 ;(2)求证：AB1⊥平面C1DF.19.(本小题满分12分)如图1，在四棱锥中，底面，面为正方形，为侧棱上一点，为上一点.该四棱锥的正(主)视图和侧(左)视图如图2所示.(1)证明：∥平面 ;(2)证明：平面平面 .20.(本小题满分12分)已知圆的圆心坐标，直线：被圆截得弦长为.(1)求圆的方程;(2)从圆外一点向圆引切线，求切线方程.21. (本小题满分12分)如图，在直三棱柱中，是上的一点，，且.(1)求证：平面;(2)若，求点到平面的距离.22.(本小题满分12分)已知直线：，半径为4的圆与直线相切，圆心在轴上且在直线的右上方.(1)求圆C的方程;(2)过点M (2，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在轴上方)，问在轴正半轴上是否存在定点N，使得轴平分∠ANB?若存在，请求出点N的坐标;若不存在，请说明理由.高二数学答案一、选择题1-5 DBADD 6-10 DBCCB 11-12 BA二、填空题13、(0，-3) 14、 15、 16、(1)(2)(4)三、解答题17.解、(1)若l1∥l2，则……4分解之得m=-1.……5分(2)若l1⊥l2，则1•(m-2)+3m=0，……9分∴m= .……10分18. (1)证明：如图，∵ ABC—A1B1C1是直三棱柱，∴ A1C1=B1C1=1，且∠A1C1B1=90°.又 D是A1B1的中点，∴ C1D⊥A1B1. ………3分∵ AA1⊥平面A1B1C1，C1D 平面A1B1C1，∴ AA1⊥C1D，∴ C1D⊥平面AA1B1B.∴C1D⊥AB1 ………6分(2)证明：连结A1B，∵D，F分别是A1B1，BB1的中点，∴DF∥A1B.又直角三角形A1B1C1中，A1B12= A1C12+ B1C12，∴A1B1= ，∴A1B1= AA1，即四边形AA1B1B为正方形，∴A1B⊥AB1，即AB1⊥DF ………9分又(1)已证C1D⊥平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1 ………10分又DF C1D=D，∴AB1⊥平面C1DF. ………12分19.解(1)证明：取中点，连结，. ………1分由正(主)视图可得为的中点，所以∥ ，.……2分又因为∥ ，，所以∥ ， .所以四边形为平行四边形，所以∥ . ………………4分因为平面，平面，所以直线∥平面. ………………6分(2)证明：因为平面，所以 .因为面为正方形，所以 .所以平面.……………8分因为平面，所以 .因为，为中点，所以 .所以平面.……10分因为∥，所以平面. ………………11分因为平面，所以平面平面. ………………12分20.解(1)设圆的标准方程为：圆心到直线的距离：，………2分则………4分圆的标准方程：………6分(2)①当切线斜率不存在时，设切线：，此时满足直线与圆相切.………7分②当切线斜率存在时，设切线：，即………8分则圆心到直线的距离：………9分解得：………10分则切线方程为：………11分综上，切线方程为：………12分21.解(1)如图，连接，交于点，再连接，………1分据直棱柱性质知，四边形为平行四边形，为的中点………2分，∵当时，，∴是的中点，∴，………3分又平面，平面，∴平面.………4分(2)∵是中点，∴点到平面与点到平面距离相等，∵平面，∴点到平面的距离等于点到平面的距离，即等于点到平面距离相等，设距离为d.………6分………8分………12分22.解(1)设圆心，………1分则.………3分所以圆C的方程为x2+y2=16. ………4分(2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB.………5分当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=k(x-2)， (6)分假设符合题意，又设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k2+1) x2-4k2x+4k2-16=0，………7分所以………8分若x轴平分∠ANB，则kAN=-kBN ………9分即⇒2x1x2-(t+2)(x1+x2)+4t=0………11分所以存在点N为(8，0)时，能使得∠ANM=∠BNM总成立.………12分第一学期高二数学考试试卷题一. 选择题(共12小题，60分)1.在空间直角坐标系中，已知M(﹣1，0，2)，N(3，2，﹣4)，则MN的中点P到坐标原点O的距离为( )A. B. C.2 D.32.已知集合A={(x，y)|y=5x}，B={(x，y)|x2+y2=5}，则集合A∩B中元素的个数为( )A.0B.1C.2D.33.设a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是( )A.a∥b，b⊂α，则a∥αB.a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥bC.a⊂α，b⊂α，b∥β，则a∥βD.α∥β，a⊂α，则a∥β4.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A.20πB.24πC.28πD.32π5.一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′=1，那么原△ABO的面积是( )A. B.C. D.6.在下列图形中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有( )A.1个B.2个C.3个D.4个7.已知等比数列{an}中，各项都是正数，且，，成等差数列，则等于( )A.6B.7C.8D.98.下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是( )A.f(x)=﹣x|x|B.f(x)=log0.5xC.f(x)=﹣tanxD.f(x)=3x9.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，|φ|< )的图象如图所示，则tanφ=()A. B.C. D.10.已知函数f(x)的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能是( )A.f(x)=B.f(x)=C.f(x)=D.f(x)=11.在三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA⊥平面ABC，且PA=AB，则二面角A﹣PB﹣C的平面角的正切值为( )A. B. C. D.12.已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=2，BC=4，若AM是BC边上的高，垂足为M，点P在△ABC内部或边界上运动，则的取值范围是( )A.[﹣4，0]B.[﹣3，0]C.[﹣2，0]D.[﹣1，0]二. 填空题(共4小题，20分)13.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n，那么它的通项公式为an= .14.若x>0，y>0，且log2x+log2y=2，则的最小值为.15.如图，四边形ABCD中 .将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A'﹣BCD，则四面体A'﹣BCD体积的最大值为.16.如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则下列四个命题：①P在直线BC1上运动时，三棱锥A﹣D1PC的体积不变;②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变;③P在直线BC1上运动时，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变;④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线;其中正确的命题编号是.三. 解答题(共6小题，70分)17.(10分)已知三角形ABC的顶点坐标为A(0，3)，B(﹣2，1)，C(4，3)，M是BC边上的中点.(1)求BC边的中线所在的直线方程;(2)求点C关于直线AB对称点C’的坐标.18.(12分)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2.(1)设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积;(2)设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图.求异面直线PM与OB所成的角的正切值.19.(12分)锐角△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且∥ .(1)求B的大小;(2)如果b=2，求△ABC的面积S△ABC的最大值.20.(12分)如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC= ，AA1= ，BB1= ，点E和F分别为BC和A1C的中点.(1)求证：EF∥平面A1B1BA;(2)求证：平面AEA1⊥平面BCB1;(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小.21.(12分)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：交于点M、N两点.(1)求k的取值范围;(2)若，其中O为坐标原点，求|MN|.22.(12分)已知函数y=f(x)，x∈D，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数m，总存在非零常数T，恒有f(x+T)>m•f(x)成立，则称函数f(x)是D上的m级类增周期函数，周期为T.若恒有f(x+T)=m•f(x)成立，则称函数f(x)是D上的m级类周期函数，周期为T.(1)试判断函数是否为(3，+∞)上的周期为1的2级类增周期函数?并说明理由;(2)已知T=1，y=f(x)是[0，+∞)上m级类周期函数，且y=f(x)是[0，+∞)上的单调递增函数，当x∈[0，1)时，f(x)=2x，求实数m的取值范围.参考答案1-6 ACDCCB 7-12DACCAB13. 2n 14. 15. 16. ①③④17.解：(1)x+y-3=0(2)设点C关于直线AB对称点C′的坐标为(a，b)，则AB为线段CC′的垂直平分线，由直线AB的方程为：x﹣y+3=0，故，解得：a=0，b=7，即点C关于直线AB对称点C′的坐标为C’(0，7)18.解：(1)∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，∴圆锥的体积V= == .(2)19.解：(1)∵ =(2sinB，﹣ )， =(cos2B，2cos2 ﹣1)且∥ ，∴2sinB(2cos2 ﹣1)=﹣ cos2B，∴2sinBcosB=﹣ cos2B，即sin2B=﹣ cos2B，∴tan2B=﹣，又B为锐角，∴2B∈(0，π)，∴2B= ，则B= ;(2)当B= ，b=2时，由余弦定理cosB= 得：a2+c2﹣ac﹣4=0，又a2+c2≥2ac，代入上式得：ac≤4(当且仅当a=c=2时等号成立)，∴S△ABC= acsinB= ac≤ (当且仅当a=c=2时等号成立)，则S△ABC的最大值为 .20.(1)证明：连接A1B，在△A1BC中，∵E和F分别是BC和A1C的中点，∴EF∥A1B，又∵A1B⊂平面A1B1BA，EF⊄平面A1B1BA，∴EF∥平面A1B1BA;(2)证明：∵AB=AC，E为BC中点，∴AE⊥BC，∵AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，∴BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AE，又∵BC∩BB1=B，∴AE⊥平面BCB1，又∵AE⊂平面AEA1，∴平面AEA1⊥平面BCB1;(3)取BB1中点M和B1C中点N，连接A1M，A1N，NE，∵N和E分别为B1C和BC的中点，∴NE平行且等于 B1B，∴NE平行且等于A1A，∴四边形A1AEN是平行四边形，∴A1N平行且等于AE，又∵AE⊥平面BCB1，∴A1N⊥平面BCB1，∴∠A1B1N即为直线A1B1与平面BCB1所成角，在△ABC中，可得AE=2，∴A1N=AE=2，∵BM∥AA1，BM=AA1，∴A1M∥AB且A1M=AB，又由AB⊥BB1，∴A1M⊥BB1，在RT△A1MB1中，A1B1= =4，在RT△A1NB1中，sin∠A1B1N= = ，∴∠A1B1N=30°，即直线A1B1与平面BCB1所成角的大小为30°21.(1)由题意可得，直线l的斜率存在，设过点A(0，1)的直线方程：y=kx+1，即：kx﹣y+1=0.由已知可得圆C的圆心C的坐标(2，3)，半径R=1.故由 <1，故当(2)设M(x1，y1);N(x2，y2)，由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C 的方程(x﹣2)2+(y﹣3)2=1，可得 (1+k2)x2﹣4(k+1)x+7=0，∴x1+x2= ，x1•x2= ，∴y1•y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1= •k2+k• +1= ，由• =x1•x2+y1•y2= =12，解得 k=1，故直线l的方程为 y=x+1，即 x﹣y+1=0.圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径.所以|MN|=2.22.解：(1)∵(x+1﹣1)﹣(x﹣1)2=﹣(x2﹣3x+1)<0，即)(x+1﹣1)<(x﹣1)2，∴ > ，即 >2 ，即 f(x+1)>2f(x)对一切x∈(3，+∞)恒成立，故函数f(x)= 是(3，+∞)上的周期为1的2级类增周期函数.(2)∵x∈[0，1)时，f(x)=2x，∴当x∈[1，2)时，f(x)=mf(x﹣1)=m•2x﹣1，…当x∈[n，n+1)时，f(x)=mf(x﹣1)=m2f(x﹣2)=…=mnf(x﹣n)=mn•2x﹣n，即x∈[n，n+1)时，f(x)=mn•2x﹣n，n∈N*，∵f(x)在[0，+∞)上单调递增，∴m>0且mn•2n﹣n≥mn﹣1•2n﹣(n﹣1)，即m≥2.高二上学期数学期中试题试卷第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列则是它的(A)第项 (B)第项 (C)第项 (D)第项2.已知命题，命题，则命题是命题成立的(A)充分必要条件 (B)充分不必要条件(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件3.已知椭圆的两个焦点是，过点的直线交椭圆于两点，在中，若有两边之和是，则第三边的长度为(A)3 (B)4 (C)5 (D)64.已知是单调递增的等比数列，满足，则数列的前项和(A) (B)(C) (D)5.已知椭圆的两个焦点为，点在椭圆上，是直角三角形，则的面积为(A) (B) 或4 (C) (D) 或46.已知，且，则的最小值为(A)100 (B)10 (C)1 (D)7.已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是腰长为的等腰三角形( 为原点)，，则双曲线的方程为(A) (B)(C) (D)8.设椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆的外部，点是椭圆上的动点，满足恒成立，则椭圆离心率的取值范围是(A) (B) (C) (D)第Ⅱ卷(非选择题，共110分)二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.设等差数列的前项和为，若，则 __________.10.已知数列满足，且，则 __________.11.设直线与双曲线相交于两点，分别过向轴作垂线，若垂足恰为双曲线的两个焦点，则实数 __________.12.已知，且，则的最小值为___________.13.已知数列满足，，，则 _______.14.已知椭圆与双曲线有公共焦点，为与的一个交点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则 _______.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)解关于的不等式 .16.(本小题满分13分)已知数列满足，且 .(Ⅰ)求证：数列是等比数列，并求的通项公式;(Ⅱ)求数列的前项和.17.(本小题满分13分)设各项均为正数的数列满足 .(Ⅰ)求的通项公式;(Ⅱ)设，，求的前n项和 .18.(本小题满分13分)已知椭圆的长轴长为，点在椭圆上.(Ⅰ)求椭圆的方程.(Ⅱ)设斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，且点的横坐标取值范围是，求的取值范围.19.(本小题满分14分)已知椭圆的右焦点为，离心率为 .(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设直线与椭圆有且只有一个交点，且与直线交于点，设，且满足恒成立，求的值.20.(本小题满分14分)已知数列的前项和为，，且，为等比数列， .(Ⅰ)求和的通项公式;(Ⅱ)设，数列的前项和为，若对均满足，求整数的最大值.2018～2019学年度第一学期期中七校联考高二数学参考答案第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.第Ⅱ卷(非选择题，共80分)二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.6 10. 11. 12. 13. 4 14.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)解：(1)当时，有，即 (2)(2)当时， .①当，即时，. (4)②当，即时，且 (6)③当，即时，方程两根，，且，所以或 (9)综上，关于的不等式的解集为：当时，解集为当时，解集为且当时，解集为或当时，解集为 (13)16.(本小题满分13分)解：(Ⅰ)证明：由已知得，所以数列是等比数列， (2)公比为2，首项为所以 (4)(Ⅱ)数列的前项和即记，，则 (5)(1)(2)(1)-(2)得 (6) (8) (9) (11)所以数列的前项和 (13)17.(本小题满分13分)解：(Ⅰ)由题设知 . (1)当时，有 (3)整理可得因为数列各项均为正数， (5)所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，所以的通项公式为 . (6)(Ⅱ)由， (9)所以 (11). (13)18.(本小题满分13分)解：(Ⅰ)椭圆的长轴长为4，则所以， (1)因为点在椭圆上，所以，所以. (3)故椭圆的标准方程为. (4)(Ⅱ)设直线的方程为，设，的中点为，由消去，得， (6)所以即 (7)，故，,即 (9)所以线段的垂直平分线方程为， (10)故点的横坐标为，即所以符合式 (11)由 (12)所以 (13)19.(本小题满分14分)解：(Ⅰ)设椭圆的焦距为，由已知有 ,又由，得，故椭圆的标准方程为. (3)(Ⅱ)由消去得， (5)所以，即. (6)设，则，即. (8)因为，所以 (9)由恒成立可得，即恒成立， (11)故 (13)所以 . (14)20.(本小题满分14分)解：(Ⅰ)由题设知 .当时，有 (1)整理得 (2)故 (4)经检验时也成立，所以的通项公式为. (5)设等比数列的公比为 .由，可得，所以，故所以的通项公式为. (7)(Ⅱ)因为 (9) (11)因为所以，即单调递增 (12)故 (13)即，所以. (14)。
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长春外国语学校2018-2019学年第一学期期中考试高二年级
数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页。
考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信
息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书
写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；
在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.椭圆2
214
x y +=的离心率等于
A. 2
B. 2
C.
D. 12
2.为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了
解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是
A ．简单随机抽样
B ．按性别分层抽样
C ．按学段分层抽样
D ．系统抽样
3.下列命题是真命题的是
A ．若x y ==
B.若21x =，则1x =
4.有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为
A.45
B.35
C.25
D.15
5.“
”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.给出下列四个命题：
（1）∧p q （2）（3）∨p q （4）()⌝∨p q
若这四个命题中只有一个是真命题，则这个真命题的序号是（）
A.（1）B ．（2）C ．（3）D ．（4）
7.执行如图所示的程序框图，若输出的S ＝88，则判断框内应填入的条件是()
A ．k ＞4?
B ．k ＞5?
C ．k ＞6?
D ．k ＞7?(第8题图)
8.如上图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于
正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（） A.
14B ．π8C ．12
D ．π 4
9.若执行如图所示的程序框图，输出S 的值为
A ．2log 23
B ．log 27
C ．3
D ．2
10.某校高一、高二年级各有7个班参加歌咏比赛，他们的得分的茎叶图如图所示，对这组数据分析正确的是
A ．高一的中位数大，高二的平均数大
B ．高一的平均数大，高二的中位数大。