精品2018_2019学年高二数学上学期期中试题(8)Word版
2018-2019学年江苏省常州市“14校合作联盟”高二(上)期中数学试卷(解析版)
2018-2019学年江苏省常州市“14校合作联盟”高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.若直线l的倾斜角为60°，则直线l的斜率为______．2.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，面对角线A1D与AC所在直线的位置关系为______．（填“平行”、“相交”、“异面”）3.如图，若线段AB的端点A，B到平面α的距离分别为2，4，且A，B在平面α的同侧，则线段AB的中点M到平面α的距离为______．4.若直线4x+ay=2a+2与直线2x+y=a+2平行，则实数a的值为______．5.如果用半径为2的半圆形铁皮卷成一个无底圆锥筒，那么此圆锥筒的高为______．6.函数y=1−x2的图象绕x轴旋转360°所得几何体的体积为______．7.下列三个命题在“（）”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中l，m为直线，α，β为平面），则此条件是______．①⇒l∥m；②⇒m⊥l；③⇒l∥β8.已知三点A（-1，2），B（1，0），C（2，1），那么△ABC外接圆的方程为______．9.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=6cm，AD=3cm，AA1=2cm，则三棱锥C-A1BC1的体积为______cm3．10.若圆O：x2+y2=10与圆M：（x-a）2+y2=90（a∈R）相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是______．11.如图，一个实心六角螺帽毛坯（正六棱柱）的底边长为4，高为3，若在中间钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，则孔的半径为______．12.设点A（1，0），B（3，2），如果直线ax+by-1=0与线段AB有一个公共点，那么1的最大值为______．a+b13.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若平面A1B1CD⊥平面AEP，则线段AP长度的取值范围是______．14.在△ABC中，BC=3，∠A的平分线交BC于点D，且BD=2，则△ABC面积的最大值是______．二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.如图，在三棱锥O-AEF中，侧棱OA⊥OE，OA⊥OF，M，N分别为EF，OF的中点．求证：（1）MN∥平面AOE；（2）平面AOE⊥平面OEF．16.已知三条直线l1：x+y-3=0，l2：3x-y-1=0，l3：2x+my-8=0经过同一点M．（1）求实数m的值；（2）求点M关于直线l：x-3y-5=0的对称点N的坐标．17.如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC，D为BC上一点，A1B∥平面AC1D．（1）求证：D为BC的中点；（2）若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：△AC1D为直角三角形．18.已知圆C的方程为x2+y2-2ax-4y+a2+a-8=0（a∈R）．（1）若a=1，过点（2，3）的直线l交圆C于M，N两点，且MN=210，求直线l的方程；（2）直线x+y+2=0与圆C相交于A，B两点，问是否存在实数a，使得以AB为直径的圆经过原点？若存在，求出实数a的值；若不存在，说明理由．19.如图，某市有相交于点O的一条东西走向的公路l，与南北走向的公路m，这两条公路都与一块半径为1（单位：千米）的圆形商城A相切．根据市民建议，欲再新建一条公路PQ，点P、Q分别在公路l、m上，且要求PQ与圆形商城A也相切．（1）当P距O处4千米时，求OQ的长；（2）当公路PQ长最短时，求OQ的长．20.已知圆C：（x+1）2+y2=a（a＞0），定点A（m，0），B（0，n），其中m，n为正实数．（1）当a=m=n=3时，判断直线AB与圆C的位置关系；（2）当a=4时，若对于圆C上任意一点P均有PA=λPO成立（O为坐标原点），求实数m，λ的值；（3）当m=2，n=4时，对于线段AB上的任意一点P，若在圆C上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】3【解析】解：因为直线的倾斜角为60°，所以直线的斜率k=tan60．故答案为：．通过直线的倾斜角为60°求出直线的斜率即可．本题考查直线的倾斜角与直线的斜率的关系，基本知识的考查．2.【答案】异面【解析】解：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D∩平面ABCD=D，AC⊂平面ABCD，D∉AC，∴面对角线A1D与AC所在直线的位置关系为异面．故答案为：异面．A1D∩平面ABCD=D，AC⊂平面ABCD，D∉AC，由此能求出面对角线A1D与AC所在直线的位置关系．本题考查空间中两直线的位置关系的判断，考查异面直线判定定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】3【解析】解：∵线段AB的端点A，B到平面α的距离分别为2，4，且A，B在平面α的同侧，∴线段AB的中点M到平面α的距离为：d==3．故答案为：3．由线段AB的端点A，B到平面α的距离分别为2，4，且A，B在平面α的同侧，结合图形能求出线段AB的中点M到平面α的距离．本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．4.【答案】2【解析】解：∵直线4x+ay=2a+2与直线2x+y=a+2平行，∴，解得a=2，∴实数a的值为2．故答案为：2．利用直线与直线平行的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】3【解析】解：用半径为2的半圆形铁皮卷成一个无底圆锥筒，如图所示；设圆锥母线为l，底面圆半径为r，高为h，则l=2，且πrl=πl2，∴r=l=1，∴此圆锥筒的高为h==．故答案为：．由题意设圆锥母线为l，底面圆半径为r，高为h，由侧面积列方程求出r的值，再用勾股定理求出h的值．本题考查了圆锥侧面积的计算问题，是基础题．6.【答案】4π3【解析】解：函数的图象是半圆，且半圆的圆心为原点，半径为1，则该半圆绕x轴旋转360°所得几何体是半径为1的球，所以该球的体积为π•13=．故答案为：．由函数的图象是半圆知该半圆绕x轴旋转360°所得几何体是球，求出球的体积即可．本题考查了旋转体的体积计算问题，是基础题．7.【答案】l⊂α【解析】解：在（1）中，⇒l∥m，在（2）中，⇒m⊥l，在（3）中，⇒l∥β，∴l⊂α．故答案为：l⊂α．利用空间中线线、线面、面面间的位置关系直接求解．本题考查线线平行、线线垂直、线面平行的条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8.【答案】x2+y2-x-3y=0【解析】解：根据题意，设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，又由该圆经过三点A（-1，2），B（1，0），C（2，1），则有，解可得：D=-1，E=-3，F=0；则圆的方程为x2+y2-x-3y=0；故答案为：x2+y2-x-3y=0．根据题意，设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将三点的坐标代入圆的方程，可得，解可得D、E、F的值，即可得答案．本题考查圆的一般方程的求法，关键是设出圆的方程，属于基础题．9.【答案】6【解析】解：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=6cm，AD=3cm，AA1=2cm，则三棱锥C-A1BC1的体积就是A1-CBC1的体积，可得V===6．故答案为：6．根据长方体的结构特征，利用等体积法，转化求解即可．本题考查锥体体积计算，对于三棱锥体积计算，要选择好底面，便于求解．10.【答案】6【解析】解：由题意得：O（0，0），r1=，M（a，0），r2=，∴＜|a|＜，∵OA⊥MA，∴在Rt△AOM中，根据勾股定理得：OM2=OA2+MA2，即a2=2+（32=100，∴a=10或a=-10（不合题意，舍去），则线段AB的长度为2AC=2×=2×=6，故答案为：6．画出草图，由OA⊥MA，结合勾股定理可得a的值，再用等面积法，求线段AB 的长度．本题考查了圆的标准方程，直线与圆的位置关系，利用了数形结合的思想，画出相应的图形是解本题的关键，是中档题．11.【答案】3【解析】解：设孔的半径为r，∵一个实心六角螺帽毛坯（正六棱柱）的底边长为4，高为3，在中间钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，∴2×πr2=2πr×3，解得r=3，∴孔的半径为3．故答案为：3．设孔的半径为r，推导出2×πr2=2πr×3，由此能求出孔的半径．本题考查反函数的求法，考查反函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12.【答案】13【解析】解：∵直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，∴点A（1，0），B（3，2）在直线ax+by=1的两侧，∴（a-1）（3a+2b-1）≤0，画出它们表示的平面区域，如图所示．∵a2+b2表示原点到区域内的点的距离的平方，由图可知，当原点O到直线3a+2b-1=0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值即，则的最大值为13．故答案为：13由题意得：点A（1，0），B（3，2）在直线ax+by=1的两侧，那么把这两个点代入ax+by-1=0，它们的符号相反，乘积小于等于0，即可得出关于a，b的不等关系，画出此不等关系表示的平面区域，结合线性规划思想求出a2+b2的取值范围．本题考查二元一次不等式组与平面区域问题、函数的最值及其几何意义，是基础题．准确把握点与直线的位置关系，找到图中的“界”，是解决此类问题的关键．13.【答案】（5，3]【解析】解：依题意可得BC1⊥平面A1B1CD，故只需EP∥BC1即可，取CC1中点为F，故P在线段EF上（不含端点）．AE=，AF=．∴线段AP长度的取值范围是（，3]．故答案为：（，3]．依题意可得只需EP∥BC1即可，取CC1中点为F，故P在线段EF上（不含端点）．求得AE，AF，即可得线段AP长度的取值范围．本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P点位置．14.【答案】3【解析】解：∵BC=3，∠A的平分线交BC于点D，且BD=2，可得：CD=1，根据三角形内角平分线的性质可得AB=2AC，不妨设AC=b，则AB=2b；∴cos∠BAC==，∴sin∠BAC==；∴△ABC的面积为S△ABC=•2b•b•sin∠BAC=，则b2=5时，S△ABC取得最大值为3．故答案为：3．根据三角形内角平分线的性质可得AB=2AC，设AC=b，利用余弦定理求得cos∠BAC的值，再计算sin∠BAC，写出△ABC的面积，计算最大值即可．本题考查了三角形的内角平分线定理应用问题，也考查了余弦定理和三角形面积公式应用问题，是中档题．15.【答案】证明：（1）∵M，N分别为EF，OF的中点，∴MN∥OE．……………………（3分）∵MN⊄平面AOE，OE⊂面AOE，∴MN∥面AOE．………………………………………………………（7分）（2）∵侧棱OA⊥OE，OA⊥OF，OE，OF⊂平面OEF，且OE∩OF=O，∴AO⊥面OEF．……………………………………………………（10分）∵AO⊂面AOE，∴面AOE⊥面OEF．…………………………（14分）【解析】（1）由M ，N 分别为EF ，OF 的中点，得MN ∥OE ，由此能证明MN ∥面AOE ． （2）推导出AO ⊥面OEF ，由此能证明面AOE ⊥面OEF ．本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．16.【答案】解：（1）解方程组 3x −y −1=0x +y−3=0，得交点M （1，2）． ……………………………（3分）将点M （1，2）的坐标代入直线l 3：2x +my -8=0的方程，得m =3．…………（6分）（2）法一：设点N 的坐标为（m ，n ），则由题意可 n−2m−1×13=−1m +12−3×n +22−5=0………（9分）解得 n =−4m =3…………………………………………………………………………（12分）所以，所求对称点N 的坐标（3，-4）．………………………………………………（14分）法二：由（1）知M （1，2），所以，过M 且与x -3y -5=0垂直的直线方程为：y -2=-3（x -1），即3x +y -5=0．…………………………………………………………………（8分） 解方程组 x −3y −5=03x +y−5=0得交点为H （2，-1）………………………………………（10分）因为M ，N 的中点为H ，所以，x N =2×2-1=3，y N =2×（-1）-2=-4．……（13分）所以，所求对称点N 的坐标（3，-4）．………………………………………………（14分） 【解析】（1）求出M ，将M 代入直线方程求出m 的值即可；（2）法一：设N （m ，n ），根据对称性以及斜率的关系得到关于m ，n 的方程组，解出即可；法二：由M 的坐标以及过M 且与x-3y-5=0垂直的直线方程，联立方程组求出H 的坐标，结合中点坐标公式计算即可．本题考查了直线的交点坐标，考查直线的位置关系以及中点坐标公式，考查转化思想，是一道综合题．17.【答案】证明：（1）连接A 1C 交AC 1于O ，连接OD ，如图所示；…………（2分） ∵四边形ACC 1A 1是棱柱的侧面，∴四边形ACC 1A 1是平行四边形；∵O 为平行四边形ACC 1A 1对角线的交点， ∴O 为A 1C 的中点；……………（4分）∵A 1B ∥平面AC 1D ，平面A 1BC ∩平面AC 1D =OD ，A 1B ⊂平面A 1BC ， ∴A 1B ∥OD ；……………（6分） ∴OD 为△A 1BC 的中位线，∴D 为BC 的中点； ……（7分） （2）∵AB =AC ，D 为BC 的中点， ∴AD ⊥BC ；………………（8分）∵平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，AD ⊂平面ABC ，平面ABC ∩平面BCC 1B 1=BC ， ∴AD ⊥平面BCC 1B 1；……………………（11分） ∵C 1D ⊂平面BCC 1B 1，∴AD ⊥C 1D ，……………………（13分）∴△AC 1D 为直角三角形．……………………（14分） 【解析】（1）连接A 1C 交AC 1于O ，连接OD ，利用线面平行的性质定理和中位线的定义，即可证明D 为BC 的中点； （2）由等腰三角形的性质和面面垂直的性质定理，证明AD ⊥C 1D 即可． 本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，是中档题． 18.【答案】解：（1）∵a =1，∴圆C 为（x -1）2+（y -2）2=11，设圆心C 到直线l 的距离为d ，∵MN =2 10，∴2 2=2 10，得d =1． 若l 的斜率不存在，则l ：x =2符合题意；若l 的斜率存在，设为k ，则l ：y -3=k （x -2），即kx -y -2k +3=0． 由d =2=1，解得k =0，可得l ：y =3．综上，直线l 的方程为x =2或y =3．（2）将x 2+y 2-2ax -4y +a 2+a -8=0配方得，（x -a ）2+（y -2）2=12-a ． ∵直线x +y +2=0与圆C 相交，∴ 12−a ＞0212−a．∴−5− 33＜a ＜−5+ 33．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则其坐标是方程组x +y +2=0x 2+y 2−2ax −4y +a 2+a−8=0的解，消去y 得到关于x 的一元二次方程为2x 2+（8-2a ）x +a 2+a +4=0，由韦达定理得，x 1+x 2=a -4，x 1x 2=12a 2+12a +2．∵以AB 为直径的圆过原点，∴OA ⋅OB=0， ∴x 1x 2+y 1y 2=0，即x 1x 2+（x 1+2）（x 2+2）=0，则x 1x 2+x 1+x 2+2=0， ∴12a 2+12a +2+a −4+2=0， 解得，a =0或a =-3．满足−5− 33＜a ＜−5+ 33，∴a =0或a =-3． 【解析】（1）把a=1代入圆的方程，化为标准方程，求出圆心坐标与半径，由垂径定理可得圆心到直线l 的距离，然后分类求解可得l 的方程；（2）化圆的方程为标准方程，由圆心到直线的距离小于半径求得a 的范围，联立直线方程与圆的方程，利用根与系数的关系结合求解a 值．本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查点到直线的距离公式，考查向量垂直与数量积间的关系，考查计算能力，是中档题．19.【答案】解：（1）以O 为原点，直线l 、m 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系； ………………（1分）设PQ 与圆A 相切于点B ，连结AB ，以1千米为单位长度，则圆A 的方程为（x -1）2+（y -1）2=1，…………………………………………（2分） 由题意可设直线PQ 的方程为x4+yb =1，即bx +4y -4b =0，（b ＞2），……………………………………………………………（3分） ∵PQ 与圆A 相切，∴ b 2+42=1，解得b =3，故当P 距O 处4千米时，OQ 的长为3千米；……………………（5分）（2）设P （a ，0），Q （0，b ）（a ＞2，b ＞2），………………………………（6分） 则直线PQ 方程为xa +yb =1，即bx +ay -ab =0． 因为PQ 与圆A 相切，所以22=1．……………………（8分）化简得ab -2（a +b ）+2=0，即ab =2（a +b ）-2；……………………（10分）法一：因此PQ =2+b 2= (a +b )2−2ab = (a +b )2−4(a +b )+4= (a +b −2)2； 因为a ＞2，b ＞2，所以a +b ＞4，于是PQ =（a +b ）-2；……………………（12分） 又ab =2(a +b )−2≤(a +b 2)2，解得0＜a +b ≤4−2 2，或a +b ≥4+2 2；因为a +b ＞4，所以a +b ≥4+2 2，………………………………（14分） PQ =（a +b ）-2≥2+2 2，当且仅当a =b =2+ 2时取等号，所以PQ 最小值为2+2 2，此时a =b =2+ 2；……………………（15分） 答：当P 、Q 两点距离两公路的交点O 都为2+ （千米）时，新建公路PQ 最短．……………（16分）法二：化简得ab -2（a +b ）+2=0，即b =2(a−1)a−2=2+2a−2，……………………（10分）因此PQ = a 2+b 2 = a 2+(2+2a−2)2= (a −2+2)2+(2+2a−2)2=(a−2)2+4(a−2)+4((a−2)+2a−2)+8=((a−2)+2a−2)2+4((a−2)+2a−2)+4=((a−2)+2a−2+2)2=|(a−2)+2a−2+2|；………………（12分）因为a＞2，所以PQ=(a−2)+2a−2+2≥2(a−2)×2a−2+2=22+2；………………（14分）当且仅当a−2=2a−2，即a=b=2+2时取到等号，………………（15分）答：当P、Q两点距离两公路的交点O都为2+2（千米）时，新建公路PQ最短．……………（16分）法三：解：（2）设PQ与圆A相切于点B，连结AB、AP、AQ，设∠OPA=θ，则∠APB=∠APO，∠BQA=∠OQA，且∠OPQ+∠OQP=π2，∴∠AQB=π4−θ，…………………（8分）又∵AB⊥PQ，∴PB=1tanθ，BQ=1tan(π4−θ)θ∈(0，π4)；……………………………………………（10分）∴PQ=1tanθ+1tan(π4−θ)=1tanθ+11−tanθ1+tanθ=1tanθ+1+tanθ1−tanθ…………………………………（12分）=1 tanθ+21−tanθ−1=(1tanθ+21−tanθ)(tanθ+1−tanθ)−1=1+1−tanθtanθ+2tanθ1−tanθ+2−1≥2+21−tanθtanθ⋅2tanθ1−tanθ=2+22，…………………………（14分）（当且仅当tanθ=2−1取等号）；……………………………………………………………………（15分）答：当P、Q两点距离两公路的交点O都为2+2（千米）时，新建公路PQ最短．………………（16分）法四：设PQ与⊙A相切于点B，设BP=x，BQ=y（x＞0，y＞0），……………………………（6分）则OP=x+1，OQ=y+1，PQ=x+y；………………………………………………………………（8分）在RT△OPQ中，由OP2+OQ2=PQ2得：（x+y）2=（x+1）2+（y+1）2，………………………（10分）化简得：xy=x+y+1，∴x+y+1≤(x+y2)2，解得：x+y≥2+22或x+y≤2−22（舍）；………………………………………………………（13分）（当且仅当x=y=2+1时等号成立）∴当OP=OQ=2+2时，PQ有最小值2+ 22；……………………………………………………（15分）答：当P 、Q 两点距离公路交点O 都为2+ 2（千米）时，新建公路PQ 最短．……………（16分） 【解析】（1）建立适当的平面直角坐标系，利用直线与圆相切求出对应数值； （2）设出点P 、Q 的坐标，利用直线与圆相切，得出对应关系； 法一，利用两点间的距离公式和基本不等式求得PQ 的最小值．法二，利用两点间的距离公式和代入法，结合基本不等式求得PQ 的最小值． 法三，利用三角函数表示出PQ ，根据三角恒等变换和基本不等式计算PQ 的最小值．法四：由题意设BP=x ，BQ=y ，利用直角三角形的勾股定理求出x 、y 的关系，利用基本不等式求出PQ 的最小值．本题考查了直线与圆的方程应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是中档题．20.【答案】解：（1）当a =3时，圆心为（-1，0），半径为 3，当m =n =3时，直线AB 方程为x +y -3=0， ∴圆心到直线距离为d =2=2 2，∵ 3＜2 2，∴直线与圆相离；（2）设点P （x ，y ），则PO = x 2+y 2PA = (x −m )2+y 2∵PA =λPO ，∴（x -m ）2+y 2=λ2（x 2+y 2），即（λ2-1）x 2+（λ2-1）y 2+2mx -m 2=0，由（x +1）2+y 2=4得，x 2+y 2+2x -3=0，∴x 2+y 2=3-2x ，代入得，（λ2-1）（3-2x ）+2mx -m 2=0，化简得2（m -λ2+1）x -m 2+3（λ2-1）=0，∵P 为圆C 上任意一点，∴ −m 2+3(λ2−1)=0m −λ2+1=0， 又m ，λ＞0，解得m =3，λ=2；（3）直线AB 的方程为x 2+y4=1，设P （t ，4-2t ）（0≤t ≤2），N （x ，y ）， ∵点M 是线段PN 的中点，∴M (x +t 2，2−t +y2)，又M ，N 都在圆C ：（x +1）2+y 2=a 上，(x +1)2+y 2=a (x +t 2+1)2+(2−t +y 2)2=a，即 (x +t +2)2+(y +4−2t )2=4a (x +1)2+y 2=a ．∵该关于x ，y 的方程组有解，即以（-1，0）为圆心， a 为半径的圆与以（-t -2，2t -4）为圆心，2 a 为半径的圆有公共点，∴a ≤（t +1）2+（2t -4）2≤9a ，又P 为线段AB 上的任意一点，∴a ≤（t +1）2+（2t -4）2≤9a 对所有0≤t ≤2成立． 而f （t ）=（t +1）2+（2t -4）2=5(t −75)2+365在[0，2]上的值域为[365，17]， ∴ a ≤3659a ≥17，即179≤a ≤365． 又线段AB 与圆C 无公共点，∴ a ＜ 5，则a ＜365．故实数a 的取值范围为[179，365)． 【解析】（1）把a=m=n=3分别代入圆与直线方程，由圆心到直线的距离大于半径可得直线与圆相离；（2）设点P （x ，y ），由PA=λPO ，得（λ2-1）x 2+（λ2-1）y 2+2mx-m 2=0，结合（x+1）2+y 2=4，得（λ2-1）（3-2x ）+2mx-m 2=0，化简得2（m-λ2+1）x-m 2+3（λ2-1）=0，由P为圆C 上任意一点，可得，由此求得实数m ，λ的值；（3）求出直线方程，设P （t ，4-2t ）（0≤t≤2），N （x ，y ），求得M 坐标，由M ，N 都在圆C ：（x+1）2+y 2=a 上，得，该关于x ，y 的方程组有解，即以（-1，0）为圆心，为半径的圆与以（-t-2，2t-4）为圆心，为半径的圆有公共点，转化为a≤（t+1）2+（2t-4）2≤9a ，可得a≤（t+1）2+（2t-4）2≤9a对所有0≤t≤2成立．求出函数f （t ）=（t+1）2+（2t-4）2在[0，2]上的值域，可得a 的范围．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查逻辑思维能力与推理运算能力，难度较大．。
上海市上海中学2018-2019学年高二上学期期中数学试题(原卷+解析版)
由
由于B在直线 上，故m=1
故选：A
【点睛】本题考查了线性规划，考查了学生数形结合，转化与划归的能力，属于中档题.
16.如图， 的 边长为 ， 分别是 中点，记 ， ，则（）
A. B.
C. D. ，但 的值不确定
【答案】C
【解析】
试题分析：因为 分别是 中点，所以根据平面向量的线性运算 可得 ,所以 由 可得 ,故选C.
（1）求向量 与 的夹角 ；
（2）若 ，且 ，求实数t的值及 .
【答案】（1） ；（2） ， = .
【解析】
【分析】
（1）由向量的数量积，代值计算即可；
（2）由数量积为0，代入计算即可.
【详解】（1）因为
故
解得：
因为 ，所以 .
（2）
则
化简得：
解得：此时=Fra bibliotek==
=
【点睛】本题考查向量数量积的运算，属基础题.
19.
如图，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(3 ，2)的入射光线l1
被直线l：y= x反射．反射光线l2交y轴于B点，圆C过点A且与l1,l2都相切.
(1)求l2所在直线的方程和圆C的方程；
(2)设 分别是直线l和圆C上的动点，求 的最小值及此时点 的坐标．
【答案】（1） 所在的直线方程为 ，圆C的方程为 （2）
【解析】
【详解】（1）直线 设 .
的倾斜角为 ， 反射光线 所在的直线方程为
.即 .
已知圆C与 , 圆心C在过点D且与 垂直的直线上，
考点：平面向量的线性运算与数量积运算.
三、解答题
17.已知二元一次方程组的增广矩阵为 ，请利用行列式求解此方程组.
河北省石家庄市第二中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题(含精品解析)
2018-2019学年河北省石家庄二中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（ ）A．2B．2C．4D．42．若平面α与β的法向量分别是，则平面α与β的位置关系是（ ）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法确定3．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），点（0，﹣3）在椭圆上，则椭圆的方程为（ ）A． +=1B． +=1C． +=1D． +=14．双曲线﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A．B．C．D．5．若平面α的一个法向量为=（1，2，2），A=（1，0，2），B=（0，﹣1，4），A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为（ ）A．1B．2C．D．6．已知直线l1：4x﹣3y+7=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（ ）A．B．C．2D．7．椭圆的焦点F1，F2，P为椭圆上的一点，已知PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．128．已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ABC =120°，AB =2，BC =CC 1=1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．9．若直线l ：y =ax ﹣1与抛物线C ：y 2=（a ﹣1）x 恰好有一个公共点，则实数a 的值构成的集合为（ ）A ．{﹣1，0}B ．{﹣1， }C ．{0， }D ．{1，，0}10．直线kx ﹣y ﹣2k +2=0恒过定点A ，若点A 是双曲线﹣=1的一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为（ ）A ．x +4y ﹣10=0B ．2x ﹣y ﹣2=0C ．4x +y ﹣10=0D ．4x ﹣y ﹣6=011．如图F 1、F 2是椭圆C 1： +y 2=1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知椭圆C 1：+=1（a ＞b ＞0）与双曲线C 2：﹣=1（m ＞0，n ＞0）有共同的焦点F 1，F 2，且在第一象限的交点为P ，满足2•=2（其中O 为原点）设C 1，C 2的离心率分别为e 1，e 2当3e 1+e 2取得最小值时，e 1的值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）13．设椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于4，则曲线C2的标准方程为 ．14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱AA1的中点，则直线D1B与平面MBC所成角的正弦值为 ．15．已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，现以F2（1，0）为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的长轴长为 ．16．已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l交双曲线的左支于点A，过F2作直线l的垂线交双曲线的左支于点B，若直线AB过F1，则△ABF2的内切圆圆心到F2的距离为 ．三、解答题（本题共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知椭圆的对称轴为坐标轴且焦点在x轴上，离心率e=，短轴长为4．（I）求椭圆的方程（Ⅱ）过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，求AB的中点坐标及弦长|AB|．18．（12分）在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（1）求证：MN∥平面BDE；（2）求二面角CEMN的正弦值．19．（12分）已知抛物线y2=﹣x与直线l：y=k（x+1）相交于A、B两点，点O为坐标原点．（1）求的值；（2）若△OAB的面积等于，求直线l的方程．20．（12分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则：（Ⅰ）求双曲线C的渐进线方程．（Ⅱ）当a=1时，已知直线x﹣y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值．21．（12分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（Ⅰ）若，求直线AB的斜率；（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．22．（12分）已知动点M到定直线x=﹣4的距离是它到定点F1（﹣1，0）的距离的2倍．（Ⅰ）求动点M的轨迹方程．（Ⅱ）是否存在过点P（2，1）的直线l与动点M的轨迹相交于不同的两点A，B，满足•=？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．2018-2019学年河北省石家庄二中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（ ）A．2B．2C．4D．4【分析】根据题意，将双曲线的方程变形可得标准方程，分析可得其a的值，由双曲线实轴的定义计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线方程为：2x2﹣y2=8，则其标准方程为：﹣=1，其中a==2，则其实轴长2a=4；故选：C．【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意要现将其方程变形为标准方程．2．若平面α与β的法向量分别是，则平面α与β的位置关系是（ ）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法确定【分析】先计算向量与向量的数量积，根据数量积为0得到两向量垂直，从而判断出两平面的位置关系．【解答】解： =﹣2+8﹣6=0∴⊥∴平面α与平面β垂直故选：B．【点评】本题主要考查了向量数量积以及向量垂直的充要条件，同时考查了两平面的位置关系，属于基础题．3．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），点（0，﹣3）在椭圆上，则椭圆的方程为（ ）A． +=1B． +=1C． +=1D． +=1【分析】由条件根据椭圆的标准方程和简单性质可得a2﹣b2=9，0+=1，求得a2和b2的值，可得椭圆的方程．【解答】解：由题意可得a2﹣b2=9，0+=1，∴a2=18，b2=9，故椭圆的方程为+=1，故选：D．【点评】本题主要考查椭圆的标准方程和简单性质，属于基础题．4．双曲线﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A．B．C．D．【分析】求出双曲线的渐近线方程，顶点坐标，利用点到直线的距离求解即可．【解答】解：双曲线﹣y2=1的顶点坐标（，0），其渐近线方程为x±y=0，所以所求的距离为=．故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．5．若平面α的一个法向量为=（1，2，2），A=（1，0，2），B=（0，﹣1，4），A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为（ ）A．1B．2C．D．【分析】求出，点A到平面α的距离：d=，由此能求出结果．【解答】解：∵平面α的一个法向量为=（1，2，2），A=（1，0，2），B=（0，﹣1，4），A∉α，B∈α，∴=（1，1，﹣2），点A到平面α的距离：d===．故选：C．【点评】本题考查点到平面的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．6．已知直线l1：4x﹣3y+7=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（ ）A．B．C．2D．【分析】如图所示，过点F（1，0）作FQ⊥l1，交抛物线于点P，垂足为Q，过点P作PM⊥l2，垂足为M．则|PF|=|PM|，可知：|FQ是|抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值．【解答】解：如图所示，过点F（1，0）作FQ⊥l1，交抛物线于点P，垂足为Q，过点P作PM⊥l2，垂足为M．则|PF|=|PM|，可知：|FQ是|抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值．|FQ|==．故选：A．【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．椭圆的焦点F1，F2，P为椭圆上的一点，已知PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为（ ）A．8B．9C．10D．12【分析】先设出|PF1|=m，|PF2|=n，利用椭圆的定义求得n+m的值，平方后求得mn和m2+n2的关系，代入△F1PF2的勾股定理中求得mn的值，即可求出△F1PF2的面积．【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，由椭圆的定义可知m+n=2a，∴m2+n2+2nm=4a2，∴m2+n2=4a2﹣2nm由勾股定理可知m2+n2=4c2，求得mn=18，则△F1PF2的面积为9．故选：B．【点评】本题主要考查了椭圆的应用，椭圆的简单性质和椭圆的定义．考查了考生对所学知识的综合运用．8．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（ ）A．B．C．D．【分析】【解法一】设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，得出AB1、BC1夹角为MN 和NP夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC、MQ，MP和∠MNP的余弦值即可．【解法二】通过补形的办法，把原来的直三棱柱变成直四棱柱，解法更简洁．【解答】解：【解法一】如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角（因异面直线所成角为（0，]），可知MN=AB1=，NP=BC1=；作BC中点Q，则△PQM为直角三角形；∵PQ=1，MQ=AC，△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+1﹣2×2×1×（﹣）=7，∴AC=，∴MQ=；在△MQP中，MP==；在△PMN中，由余弦定理得cos∠MNP===﹣；又异面直线所成角的范围是（0，]，∴AB1与BC1所成角的余弦值为．【解法二】如图所示，补成四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，求∠BC1D即可；BC1=，BD==，C1D=，∴+BD2=，∴∠DBC1=90°，∴cos∠BC1D==．故选：C．【点评】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题．9．若直线l：y=ax﹣1与抛物线C：y2=（a﹣1）x恰好有一个公共点，则实数a的值构成的集合为（ ）A．{﹣1，0}B．{﹣1， }C．{0， }D．{1，，0}【分析】讨论若a=1，当a=﹣1时，将直线方程代入曲线方程，运用判别式为0，解方程即可得到所求值．【解答】解：若a=1，则曲线C为y=0，直线l：y=x﹣1，即有直线与曲线的交点为（1，0），满足题意；若a=0，则曲线C为y2=﹣x，直线l：y=﹣1，即有直线与曲线的交点为（﹣1，﹣1），满足题意；若a≠1，a≠0时，则抛物线y2=（a﹣1）x的对称轴为x轴，由y=ax﹣1与抛物线y2=（a﹣1）x相切，可得：a2x2﹣（3a﹣1）x+1=0，由判别式为0，可得（3a﹣1）2﹣4a2=0，解得a=（a=1舍去），综上可得，a=0，1或．故选：D．【点评】本题考查直线与曲线的交点的个数问题，注意讨论直线与曲线相切或与对称轴平行，考查运算能力，属于中档题和易错题．10．直线kx﹣y﹣2k+2=0恒过定点A，若点A是双曲线﹣=1的一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为（ ）A．x+4y﹣10=0B．2x﹣y﹣2=0C．4x+y﹣10=0D．4x﹣y﹣6=0【分析】求出定点A（2，2），设A是弦P1P2的中点，且P1（x1，y1），P2（x2，y2），利用点差法能求出以A（2，2）为中点的双曲线的弦所在的直线方程．【解答】解：直线kx﹣y﹣2k+2=0恒过定点A（2，2），双曲线﹣=1方程可化为：4x2﹣y2=8，设A（2，2）是弦P1P2的中点，且P1（x1，y1），P2（x2，y2），则x1+x2=4，y1+y2=4．∵P1，P2在双曲线上，∴，∴4（x1+x2）（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）（y1+y2）=0，∴4×4（x1﹣x2）=4（y1﹣y2），∴k==4，∴以A（2，2）为中点的双曲线的弦所在的直线方程为：y﹣2=4（x﹣2），整理得4x﹣y﹣6=0．故选：D．【点评】本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法和根的判别式的合理运用．11．如图F1、F2是椭圆C1： +y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（ ）A．B．C．D．【分析】不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．【解答】解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1： +y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2c=2，∴双曲线C2的离心率e===．故选：D．【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．12．已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与双曲线C2：﹣=1（m＞0，n＞0）有共同的焦点F1，F2，且在第一象限的交点为P，满足2•=2（其中O为原点）设C1，C2的离心率分别为e1，e2当3e1+e2取得最小值时，e1的值为（ ）A．B．C．D．【分析】由2•=2，故||=2||cos∠POF2，即x P=，由焦半径公式可得：PF1=a+=x P+m⇒e1e2=2，3e1+e2取，当且仅当3e1=e2时取等号，即．【解答】解：∵2•=2，故||=2||cos∠POF2，即x P=由焦半径公式可得：PF1=a+=x P+m⇒2c2=am⇒e1e2=23e1+e2取，当且仅当3e1=e2时取等号，即故选：A．【点评】本题考查了双曲线离心率，属于中档题．二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）13．设椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于4，则曲线C2的标准方程为 ﹣=1 ．【分析】在椭圆C1中，由题设条件能够得到a，b，曲线C2是以F1（﹣5，0），F2（5，0），为焦点，实轴长为4的双曲线，由此可求出曲线C2的标准方程．【解答】解：在椭圆C1中，椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为26，a=13，c=5，b=12，椭圆C1的焦点为F1（﹣5，0），F2（5，0），椭圆方程为：．曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于4，a=2，则c=5，则b=．故C2的标准方程为：，故答案为：．【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，注意区分椭圆和双曲线的性质．14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱AA1的中点，则直线D1B与平面MBC所成角的正弦值为 ．【分析】设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线D1B与平面MBC所成角的正弦值．【解答】解：设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，如图建立空间直角坐标系，则D1（0，0，2），B（2，2，0），M（2，0，1），C（0，2，0），=（﹣2，﹣2，2），=（0，﹣2，1），=（﹣2，0，0），设平面MBC的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，2），设直线D1B与平面MBC所成角为θ，则sinθ===．故直线D1B与平面MBC所成角的正弦值为．故答案为：．【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．15．已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，现以F2（1，0）为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的长轴长为 +1 ．【分析】由题意画出图形，利用椭圆定义可得|MF1|=2a﹣1，则Rt△F1MF2中，由勾股定理求得a，则答案可求．【解答】解：如图，由题意可知，|MF2|=c=1，则|MF1|=2a﹣1，则Rt△F1MF2中，由勾股定理可得（2a﹣1）2+12=4，解得：a=．∴椭圆的长轴长为．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．16．已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l交双曲线的左支于点A，过F2作直线l的垂线交双曲线的左支于点B，若直线AB过F1，则△ABF2的内切圆圆心到F2的距离为 2 ．【分析】设内切圆的圆心为I，由直线AF2和直线BF2垂直，运用内角平分线定可得ABF2为等腰直角三角形，运用勾股定理和三角形的等积法，可得半径r，即可得到所求距离．【解答】解：设内切圆的圆心为I，由直线AF2和直线BF2垂直，可得I在x轴上， ====1，可得三角形ABF2为等腰直角三角形，设|AF2|=m，则设|BF2|=m，|AB|=m，即有内切圆的半径r满足r•（4m﹣4）=m2，又m=2m﹣4，解得r=2，m=4+2，即有|IF2|=r=2，故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，注意定义法和内角平分线定理的运用，考查三角形的等积法和勾股定理的应用，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本题共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知椭圆的对称轴为坐标轴且焦点在x轴上，离心率e=，短轴长为4．（I）求椭圆的方程（Ⅱ）过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，求AB的中点坐标及弦长|AB|．【分析】（Ⅰ）由已知， =，2b=4，由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）椭圆的右焦点为（1，0），直线AB方程为：y=2（x﹣1），由，得3x2﹣5x=0，由此能求出A（0，﹣2），B（），进而能求出|AB|．【解答】解：（Ⅰ）由已知， =，2b=4，∴b=2∵b2=a2﹣c2=5c2﹣c2=4c2=4，∴c2=1，a2=5，∴椭圆的标准方程为： +=1．……………………（4分）（Ⅱ）椭圆的右焦点为（1，0），∴直线AB方程为：y=2（x﹣1）…………………………设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得3x2﹣5x=0，解得x1=0，x2=，…………………………（7分）设AB中点坐标为（x0，y0），则=，，所以AB的中点为（），…………………………（9分）∵A（0，﹣2），B（），∴|AB|==．…………………………（10分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查弦长的求法，考查椭圆、直线方程、中点坐标公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18．（12分）在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（1）求证：MN∥平面BDE；（2）求二面角CEMN的正弦值．【分析】（1）取AB中点F，连接MF、NF，由已知可证MF∥平面BDE，NF∥平面BDE．得到平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（2）由PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．可以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．求出平面MEN与平面CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角CEMN的余弦值，进一步求得正弦值．【解答】（1）证明：取AB中点F，连接MF、NF，∵M为AD中点，∴MF∥BD，∵BD⊂平面BDE，MF⊄平面BDE，∴MF∥平面BDE．∵N为BC中点，∴NF∥AC，又D、E分别为AP、PC的中点，∴DE∥AC，则NF∥DE．∵DE⊂平面BDE，NF⊄平面BDE，∴NF∥平面BDE．又MF∩NF=F．∴平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（2）解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．∴以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵PA=AC=4，AB=2，∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2），则=（1，2，﹣1），=（0，2，1），设平面MEN的一个法向量为=（x，y，z），由，得，取z=2，得=（4，﹣1，2）．由图可得平面CME的一个法向量为=（1，0，0）．∴cos＜，＞==．∴二面角CEMN的余弦值为，则正弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．19．（12分）已知抛物线y2=﹣x与直线l：y=k（x+1）相交于A、B两点，点O为坐标原点．（1）求的值；（2）若△OAB的面积等于，求直线l的方程．【分析】（1）联立直线与抛物线方程，化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系求出A，B两点的横纵坐标的和与积，直接运用数量积的坐标运算求解；（2）直接代入三角形面积公式求解即可【解答】解：（1）设，由题意可知：k≠0，∴，联立y2=﹣x得：ky2+y﹣k=0显然：△＞0，∴，∴=（﹣y12）（﹣y22）+y1y2=（﹣1）2+1=0，（2）∵S△OAB=×1×|y1﹣y2|===，解得：k=±，∴直线l的方程为：2x+3y+2=0或2x﹣3y+2=0．【点评】本题考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了平面向量数量积的坐标运算，训练了三角形面积的求法，是中档题．20．（12分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则：（Ⅰ）求双曲线C的渐进线方程．（Ⅱ）当a=1时，已知直线x﹣y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值．【分析】（Ⅰ）由题意通过离心率推出c2=3a2，得到，然后求解双曲线的渐近线方程．（Ⅱ）当a=1时，双曲线C的方程为x2﹣．设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，结合已知条件求解m即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意，得，∴c2=3a2∴b2=c2﹣a2=2a2，即∴所求双曲线C的渐进线方程………………（Ⅱ）由（1）得当a=1时，双曲线C的方程为x2﹣．……6分设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），由，得x2﹣2mx﹣m2﹣2=0（判别式△＞0），∴x0==m，y0=x0+m=2m，…………（10分）∵点M（x0，y0），在圆x2+y2=5上，∴m2+4m2=5，∴m=±1．……（12分）（本题学生用“点差法”也给分）【点评】本题考查圆锥曲线的综合应用，直线与双曲线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．21．（12分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（Ⅰ）若，求直线AB的斜率；（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．【分析】（Ⅰ）依题意F（1，0），设直线AB方程为x=my+1．将直线AB的方程与抛物线的方程联立，得y2﹣4my﹣4=0．由此能够求出直线AB的斜率．（Ⅱ）由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB．由此能求出四边形OACB的面积最小值．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意F（1，0），设直线AB方程为x=my+1．…（1分）将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2﹣4my﹣4=0．…（3分）设A（x1，y1），B（x2，y2），所以y1+y2=4m，y1y2=﹣4．①…（4分）因为，所以y1=﹣2y2．②…联立①和②，消去y1，y2，得．…（6分）所以直线AB的斜率是．…（7分）（Ⅱ）解：由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB．…（9分）因为…（10分）=，…（12分）所以m=0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4．…（13分）【点评】本题考查直线斜率的求法，考查四边形面积的最小值的求法，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．22．（12分）已知动点M到定直线x=﹣4的距离是它到定点F1（﹣1，0）的距离的2倍．（Ⅰ）求动点M的轨迹方程．（Ⅱ）是否存在过点P（2，1）的直线l与动点M的轨迹相交于不同的两点A，B，满足•=？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）设M（x，y）（x＞﹣4），由题意得==|x+4|=2+，由此能求出动点M的轨迹方程．（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x﹣2）+1，由，得（4k2+3）x2﹣8（2k2﹣k）x+8（2k2﹣2k﹣1）=0，利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出存在直线l满足条件，其方程为x﹣2y=0．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y）（x＞﹣4），由题意得==|x+4|=2+，…………………………（2分）整理得动点M的轨迹方程为： =1．…………………………（4分）（Ⅱ）假设存在符合题意的直线l，由题意知直线斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣2）+1，由，消去y得（4k2+3）x2﹣8（2k2﹣k）x+8（2k2﹣2k﹣1）=0，由△=64（2k2﹣k）k2﹣32（4k2+3）（2k2﹣2k﹣1）＞0，得6k+3＞0，解得k＞﹣，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，x1x2=，…………………………（8分）由，得（x1﹣2）（x2﹣2）+（y1﹣1）（y2﹣1）=，则（x1﹣2）（x2﹣2）（k2+1）=，即[x1x2﹣2（x1+x2）+4]（k2+1）=，所以[﹣+4]（k2+1）=，整理得=，解得k=，…………………………（10分）又k＞﹣，所以k=，故存在直线l满足条件，其方程为y=，即x﹣2y=0．…………………………（12分）【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，考查根的判别式、韦达定理、向量的数量积等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．。
山西省范亭中学2018-2019学年高二数学上学期期中试题 文
范亭中学高二数学第一学期期中考试试题高二文科数学本试题分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟第I 卷（选择题）一 选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.设{}11≤≤-=x x M ，{}0≥=x x N ，则N M =（ ）A. {}10≤≤x xB. {}01≤≤-x xC. {}0≥x xD. {}1≥x x2、直线0133=++y x 的倾斜角是（ ）A ．30°B ．60°C ．120° D.135°3、下列函数中，定义域与值域相同的是A.2x y =B.2y x =C.2log y x =D.2y x= 4. 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面A 、 一定平行B 、一定相交C 、平行或相交D 、一定重合5. 两圆229x y +=和22430x y x +-+=的位置关系是Ａ、相离 Ｂ、相交 Ｃ、内切 Ｄ、外切6、在空间直角坐标系中，点)3,2,1(--P 关于原点O 的对称点坐标是（ ）A ．(1,2,3)--B ．(1,2,3)C ．(1,2,3)--D ．(1,2,3)-7、如图：直线L 1 的倾斜角α1=30０，直线L 1⊥L 2 ，则L 2的斜率为（ ） Ａ、33-Ｂ、 33 Ｃ、3- Ｄ、38、若a ，b 是异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是（ ）A 、 相交B 、 异面C 、 平行D 、异面或相交9、已知向量AB →＝(cos120°，sin120°)，AC →＝(cos30°，sin30°)，则△ABC 的形状为A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形10. 直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于Ｅ、F 两点，则∆EOF （O 为原点）的面积为（ ）A 、 23B 、 43 C 、 52 D 、 556 11．已知{a n }是首项为1的等比数列，且4a 1，2a 2，a 3成等差数列，则数列{a n }的前5项的和为A ．3116B ．3132C ．32D ．31 12.在圆22260x y x y +--=内，过点()0,1E 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为为（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）第II 卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
高二上学期期中考试数学试卷含答案(共5套)
高二上学期期中考试数学试题本卷分Ⅰ（选择题）、Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中Ⅰ卷1至2页，第二卷2至4页，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共12个小题，每小题5分1．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．有下列四个命题：（1）“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若（4）“若，则，则有实数解”的逆否命题；”的逆否命题.其中真命题为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（1）（2）（3）3．若则为（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．有一个内角为30°的直角三角形D．有一个内角为30°的等腰三角形4．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞)B．(－∞，3)C．(1，3)D．5．为的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积A．B．C．D．6．已知中，，则等于（）A．B．或C．D．或7．等差数列的前项和为，若，则等于（）A．58B．54C．56D．528．已知等比数列中，，，则（）A．2B．C．D．49．已知，则z=22x+y的最小值是A．1B．16C．8D．4）10．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（A．B．C．D．11．当ａ＞０，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值无最大值B．有最大值无最小值C．有最小值也有最大值D．无最小值也无最大值12．在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为A．B．3C．4D．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分13．命题的否定是______________．114．已知的三边长构成公差为 2 的等差数列，且最大角的正弦值为 ，则这个三角形的周长为________.15．已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ，a 1＝1，当 n≥2时，a n ＋2S n － ＝n ，则 S 2017的值____ ___16．已知变量满足约束条件 若目标函数 的最小值为2，则的最小值为__________．三、解答题：共 6 题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
浙江省余姚中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题
2018学年度余姚中学高二数学期中考试试卷第一学期命题老师：龚凤 审题老师：朱丽君一、 选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知椭圆22132x y +=与轴交于、两点，为椭圆上一动点（不与、重合），则PA PB k k ⋅=（ ▲ ） A.32 B.32- C.23 D.23- 2. 下列命题一定正确的是（ ▲ ）A. 三点确定一个平面B. 依次首尾相接的四条线段必共面C. 直线与直线外一点确定一个平面D. 两条直线确定一个平面 3. 边长为（ ▲ ）A.4B. 1C.D. 8 4. 已知,a b 都是实数，那么“0a b >>”是“22a b >”的（ ▲ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件5. 已知方程22(1)(3)(1)(3)m x m y m m -+-=--表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ▲ ） A.()1,2 B.()2,3 C.(),1-∞ D.()3,+∞6. 设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ▲ ） A. //,,//m m n m n βααβ⊂=⇒ B. ,,m n m n αβαββ⊥=⊥⇒⊥C. ,,//m n m n αβαβ⊥⊥⇒⊥D. //,//m n m n αα⊂⇒ 7. 一个正方体纸盒展开后如右图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB ⊥EF ； ②AB 与CM 所成的角为60°； ③EF 与MN 是异面直线；④MN ∥CD ．其中正确的个数为（ ▲ ）个A.1B.2C.3D.48. 如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且1MD N B ==，G 为线段MC 的中点．则下列结论中不正确的是（ ▲ ）A.MC AN ⊥B.//GB 平面AMNC.平面CMN ⊥平面AMND.平面//DCM 平面ABN9. 已知,,A B C 是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>上的三个点，直线AB 经过原点O ，直线AC 经过椭圆右焦点，若BF AC ⊥，且4BF CF =，则椭圆的离心率是（ ▲ ）A.2 B. C. D. 510. 在正方体1111ABCD A BC D -中，点Q 为对角面11A BCD 内一动点，点,M N 分别在直线AD 和AC 上自由滑动，直线DQ 与MN 所成角的最小值为θ，则下列结论中正确的是（ ▲ ） A. 若15θ=︒，则点Q 的轨迹为椭圆的一部分 B. 若30θ=︒，则点Q 的轨迹为椭圆的一部分 C. 若45θ=︒，则点Q 的轨迹为椭圆的一部分 D. 若60θ=︒，则点Q 的轨迹为椭圆的一部分二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11. 已知原命题为“若01x <<，则21x <”,写出它的逆否命题形式：___▲___；它是___▲___.(填写”真命题”或”假命题”) ． 12. 某几何体的三视图如右图所示，若俯视图是边长为2的等边三角形，则这个几何体的体积等于___▲___；表面积等于___▲___.13. 已知椭圆C ：2212x y +=，则其长轴长为___▲___；若为椭圆C 的右焦点，为上顶点，为椭圆C 上位于第一象限内的动点，则四边形OBPF 的面积的最大值___▲___.14. 已知椭圆C :22149x y +=与动直线3:2l y x m =+相交于,A B 两点,则实数的取值范围为___▲___；设弦AB 的中点为M ，则动点M 的轨迹方程为___▲___.15. 在四面体S ABC -中，,2AB BC AB BC SA SC ⊥====，，二面角S AC B --的余弦值是___▲___. 16. 椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点.关于原点的对称点为，为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=且,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率的取值范围为___▲___. 17. 已知0a >，b R ∈，若对任意的0x >，关于的不等式2(1)(4)0ax x bx -+-≥恒成立，则2b a+的最小值是___▲___.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 18. 已知条件：实数满足使对数22log (275)t t -+-有意义；条件：实数满足不等式2(3)20t a t a -+++<.（1）若命题p ⌝为真，求实数的取值范围；（2）若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围． 19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ,90ABC BCD ∠=∠=︒,12PA PD DC CB AB ====,是线段PB 的中点. （1）求证： //EC 平面APD ；（2）求PB 与平面ABCD 所成的角的正切值； （3）求二面角P AB D --的余弦值.20. 设椭圆方程22221(0)x y a b a b+=>>，12,F F 是椭圆的左右焦点，以12,F F. （1）求椭圆方程；（2）过12,F F 分别作直线12,l l ，且12l l ⊥，设1l 与椭圆交于,A C 两点，2l 与椭圆交于,B D 两点，求四边形ABCD 面积的取值范围.21. 如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，PA AC ⊥2AB BC CA AP ====，G 是ABC ∆重心，是线段PC 上一点，且CE CP λ=.（1）当//EG 平面PAB 时，求λ的值； （2）当直线CP 与平面ABE所成角的正弦值为7时，求λ的值.22. 如图，已知椭圆：22221(0)x y a b a b+=>>的离心)P是椭圆上一点。
江苏省七校联盟2018-2019学年高二上学期期中联考数学试题 Word版含答案
“七校联盟”2018-2019学年度第一学期期中联合测试高二数学试题（盐城卷）（考试时间：120分钟，总分160分）注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、班级、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．参考公式：样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅L 的方差s 2=n121)(x x ni i-∑=，其中x =n 1∑=ni ix1一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1、命题“0x ∀≥，20x ≥”的否定是 ▲ .2、抛物线24x y =的焦点坐标为 ▲ ．3、已知某人连续5次投掷飞镖所得环数依次是8,9,10,10,8，则该组数据的方差为 ▲ ．4、已知x R ∈ ,则“2|1|<-x 成立”是“03xx <-成立”的 ▲ 条件．（请在“充分不必要、必要不充分、充分必要”中选择一个合适的填空）．5、右图给出的伪代码运行结果x 是 ▲ .6、焦点在x 轴上的椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是 ▲ .7、某学校要从A ，B ，C ，D 这四名老师中等可能的选择两名去新疆支教，则A ，B 两名老师都被选中的概率是 ▲ ．8、设z ＝2x+y ，其中x ，y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥03010y x y x y ，则z 的最大值为 ▲ ．9、若正实数a ，b满足12a b+=，则ab 的最小值为 ▲ ． 10、记函数()f x =的定义域为D ，在区间[]5,4-上随机取一个数x ，则x ∈D的概率是 ▲11、经过点(2,2)A -且与双曲线2212x y -=有公共渐近线的双曲线方程为 ▲ ． 12、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，P 是椭圆上一点，l 为左准线，PQ l ⊥，垂足为Q.若四边形PQFA 为平行四边形，则椭圆的离心率e 的取值范围是 ▲ ．13、若方程21-2x x m =+有实根，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 14、已知不等式xy≤ax 2＋2y 2，若对任意x∈[1，2]，且y∈[2，3]，该不等式恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15、（本小题满分14分）已知中心在坐标原点的椭圆C ，F 1，F 2 分别为椭圆的左、右焦点，长轴长为6，离心率为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P 在椭圆C 上，且PF 1=4，求点P 到右准线的距离．16、（本小题满分14分）某校从高二年级学生中随机抽取100名学生，将他们某次考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到频率分布直方图（如图所示）， （1）求分数在[70，80）中的人数；（2）若用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人，该5 人中成绩在[40，50）的有几人？（3）在（2）中抽取的5人中，随机选取2 人，求分数在[40，50）和[50，60）各1 人的概率．17、（本小题满分14分）已知命题p ：二次函数2()76f x x x =-+在区间[,)m +∞是增函数；命题q ：双曲线22141x y m m -=--的离心率的范围是)+∞. （1）分别求命题“p ” 、命题“q ”均为真命题时m 的取值范围. （2）若“p 且q ” 是假命题，“p 或q ”是真命题，求实数m 的取值范围．18、(本题满分16分)设函数()=f x 2(2)30)ax b x a +-+≠，(（1）若不等式()0f x >的解集为(-1,3),求a,b 的值； （2）若(1)2,0,-1,f a b =>>求的最小值． (3)若b a =-,求不等式()1f x ≤的解集.19、(本题满分16分）如图，在C 城周边有两条互相垂直的公路12l l 、，在点O 处交汇，且它们的夹角为90°.已知OC ＝4 km ，OC 与公路1l 夹角为60°.现规划在公路12l l 、上分别选择A ，B 两处作为交汇点(异于点O)直接新建一条公路通过C 城，设OA ＝x km ，OB ＝y km. (1) 求出y 关于x 的函数关系式并指出它的定义域； (2) 试确定点A ，B 的位置，使△AOB 的面积最小．20、(本小题满分16分)已知直线220x y -+=经过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 为椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线,AS BS 与直线10:3l x =分别交于,M N 两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）求证：直线AS 与BS 的斜率的乘积为定值； （3）求线段MN 的长度的最小值七校联盟2018-2019学年度第一学期期中联合测试高二数学试题参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，） 1、命题“0x ∀≥，20x ≥”的否定是 200x x ∃≥<，.2、抛物线24x y =的焦点坐标为 (0,1) ．3、已知某人连续5次投掷飞镖所得环数依次是8,9,10,10,84、已知x R ∈ ,则“2|1|<-x 成立”是“03xx <-成立”的 必要不充分 条件．（请在“充分必要、充分不必要、必要不充分”中选一个合适的填空）．5、 右图给出的伪代码运行结果x 是 16 ．6、焦点在x 轴上的椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是___5_____．7、某学校要从A ，B ，C ，D 这四名老师中等可能的选择两名去新疆支教， 则A，B 两名老师都被选中的概率是． 8、设z ＝2x+y ，其中x ，y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥03010y x y x y ，则z 的最大值为 6 ．9、若正实数a ，b 满足abba =+21，则ab的最小值为 10、记函数()f x =的定义域为D ，在区间[]5,4-上随机取一个数x ，则x ∈ D的概率是5911、经过点(2,2)A -且与双曲线2212x y -=有公共渐近线的双曲线方程为22124y x -=12、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，P 是椭圆上一点，l 为左准线，PQ l ⊥，垂足为Q.若四边形PQFA 为平行四边形，则椭圆的离心率e 的取值范围是 -+2,1（1）．13、若方程21-2x x m =+有实根，则实数m 的取值范围是 [-2,3]． 14、已知不等式xy ≤ax 2＋2y 2，若对任意x ∈[1，2]，且y ∈[2，3]，该不等式恒成立， 则实数a 的取值范围是 [－1，＋∞)．解析：由题意得，当x∈[1，2]，且y∈[2，3]时，不等式xy≤ax 2＋2y 2，即a≥xy －2y2x2＝y x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x －142＋18.在坐标平面内画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x≤2，2≤y ≤3表示的平面区域，注意到y x 可设为该区域内的点(x ，y)与原点连线的斜率，结合图形可知，yx 的取值范围是[1，3]，此时－2(y x －14)2＋18的最大值是－1，因此实数a 的取值范围是a≥－1.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15、（本小题满分14分）已知中心在坐标原点的椭圆C ，F 1，F 2 分别为椭圆的左、右焦点，长轴长为6，离心率为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P 在椭圆C 上，且PF 1=4，求点P 到右准线的距离． 解：（1）根据题意：，解得，.............4分∴b 2=a 2﹣c 2=4， .............6分 ∴椭圆C 的标准方程为； .............7分 （2）由椭圆的定义得：PF 1+PF 2=6，可得PF 2=2， .............10分设点P 到右准线的距离为d ，根据第二定义，得， .............13分解得：． ..............14分16、（本小题满分14分）某校从高二年级学生中随机抽取100名学生，将他们某次考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到频率分布直方图（如图所示）， （1）求分数在[70，80）中的人数；（2）若用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人，该5 人中成绩在[40，50）的有几人；（3）在（2）中抽取的5人中，随机选取2 人，求分数在[40，50）和[50，60）各1 人的概率．解：（1）由频率分布直方图知小长方形面积为对应区间概率， 所有小长方形面积和为1，因此分数在[70，80）内的概率为： 1﹣（0.005+0.010+0.015×2+0.025）×10=0.3，∴分数在[70，80）中的人数为：0.3×100=30人． ……………4分 （2）分数在[40，50）的学生有：0.010×10×100=10人， 分数在[50，60）的学生有：0.015×10×100=15人，用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人， 抽取的5人中分数在[40，50）的人有：10=210+155 人 ……………8分 （3）分数在[40，50）的学生有10人，分数在[50，60）的学生有15人， 用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人， 抽取的5人中分数在[40，50）的有2人，设为1a ，2a分数在[50，60）的有3人，设为1b ，2b ，3b5人中随机抽取2 人共有n=10种可能，它们是：),(21a a ，),(11b a ，),(21b a ，),(31b a ，),(12b a ，),(22b a ，),(32b a ，),(21b b ， ),(31b b ，),(32b b分别在不同区间上有m=6种可能．),(11b a ，),(21b a ，),(31b a ，),(12b a ，),(22b a ，),(32b a所以分数在[40，50）和[50，60）各1 人的概率． …………… 14分．17、（本小题满分14分）已知命题p ：二次函数2()76f x x x =-+在区间[,)m +∞是增函数；命题q ：双曲线22141x y m m -=--的离心率的取值范围是3,)+∞， （1）分别求命题“p ” 、命题“q ”均为真命题时m 的取值范围. （2）若“p 且q ” 是假命题，“p 或q ”是真命题，求实数m 的取值范围． 解：(1)对于p ：因为二次函数2()76f x x x =-+的对称轴为72x =，由题意知72m ≥， 若p 真，则7[,)2m ∈+∞； …………4分对于q ：∵22141x y m m -=--双曲线，∴（4-m ）(m-1)>0,得14m <<∴2413344m m e m m-+-==>--得3m >，故34m <<，即若q 真，则(3,4)m ∈ ………………8分 (2)由题意知：p ，q 一真一假， ………………10分 若p 真q 假，则[4,)m ∈+∞； 若p 假q 真，则7(3,)2m ∈；综合得实数m 的取值范围为7(3,)[4,)2+∞U ………………14分18、（本小题满分16分）设函数()=f x 2(2)30)ax b x a +-+≠，(（1）若不等式()0f x >的解集为(-1,3),求a,b 的值； （2）若(1)2,0,-1,f a b =>>求的最小值． (3)若b a =-,求不等式()1f x ≤的解集.解 （1）由不等式f(x)>0的解集为(-1,3)可得：方程2(2)30ax b x +-+=的两根为1,3-且0a < .............2分 由根与系数的关系可得：⎩⎨⎧=-=41b a .............4分（2）若(1)2,00f a b =>>、，则1a b +=， .............5分+12a b +=（）， 1[+112a b +=（）] 所以141141+149[+1)]()[5]+12+12+12b a a b a b a b a b +=++=++≥（ ………………8分14-,33a b ==时式中等号成立）…………9分(3) 当b a =- ，不等式()1f x ≤即2(2)200)ax a x a -++≤≠，(即(2)(1)00)ax x a --≤≠，( ……………………… 10分①0a <时，不等式可化为2()()0x x a≥－1－， 原不等式的解集为2{|1}x x x a≤≥或 …………………… 12分② 0a >时，原不等式可化为2()()0x x a≤－1－ ∴当02a <<时，原不等式的解集为2{|1}x x a≤≤………………………………… 14分当2a =时，原不等式的解集为{|1}x x =………………………………………… 15分当2a >时，原不等式的解集为2{|1}x x a≤≤…………………………………… 16分 19、(本题满分16分）如图，在C 城周边有两条互相垂直的公路12l l 、，在点O 处交汇，且它们的夹角为 90°. 已知OC ＝4 km ，OC 与公路1l 夹角为60°.现规划在公路12l l 、上分别选择A ，B 两处作为交汇点(异于点O)直接新建一条公路通过C 城，设OA ＝x km ，OB ＝y km. (1) 求出y 关于x 的函数关系式并指出它的定义域； (2) 试确定点A ，B 的位置，使△AOB 的面积最小．解：(1) ∵ S △AOC ＋S △BOC ＝S △AOB ，∴ 12x·4sin60°＋12y ·4sin30°＝12xy ， …………………4分整理得y ＝23x x －2，…………………6分过C 作OB 平行线与OA 交于D ，OA>OD ，故x>2.定义域为{x|x>2}．…………………7分(2) S △AOB ＝12xy ＝3x2x －2，(x>2)，S △AOB ＝3x 2x －2＝3（x －2）2＋4（x －2）＋4x －2＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －2）＋4x －2＋4.∵ x －2>0，∴ x －2＋4x －2≥4，当且仅当()x －22＝4即x ＝4时取等号．所以当x ＝4时，S △AOB 有最小值为8 3.…………………15分答：当OA ＝4 km ，OB ＝4 3 km 时，使△AOB 的面积最小．…………………16分20、(本小题满分16分)已知直线220x y -+=经过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 为椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线,AS BS 与直线10:3l x =分别交于,M N 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）求证：直线AS 与BS 的斜率的乘积为定值；（3）求线段MN 的长度的最小值解：（I ）由已知得，椭圆C 的左顶点为(2,0),A -上顶点为(0,1),2,1D a b ∴== 故椭圆C 的方程为2214x y +=…………………4分 （Ⅱ）设2222000000(,),1144x x S x y y y +=∴=-得 2000200012244SA SB y y y k k x x x ⋅=⋅==-+--故……………………9分 （Ⅲ）（常规方法，函数思想）直线AS 的斜率k 显然存在，且0k >，故可设直线AS 的方程为(2)y k x =+，从而1016(,)33k M ………………11分 由22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)16164k x k x k +++-=0 设11(,),S x y 则212164(2),14k x k --=+得2122814k x k -=+，从而12414k y k =+即222284(,),1414k k S k k -++又(2,0)B 由1(2)4103y x k x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得10313x y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩101(,)33N k ∴-……13分 故161||33k MN k=+又16180,||333k k MN k >∴=+≥= 当且仅当16133k k =，即14k =时等号成立14k ∴=时，线段MN 的长度取最小值83………16分 （Ⅲ）方法二：利用第2问结论设1010(,),(,),0,033M N M N M y N y y y ><则 9116,()101064492233N M N M SA SD M N y y y y k k y y ⋅=⋅==-∴⋅-=+-则………13分故8,3M N MN y y =+≥=当且仅当4()3M N y y =-=时等号成立 即M,N 的长度的最小值为83……………16分。
江苏省苏州市2018-2019学年高二上学期期中考试数学试卷(含精品解析)
2018-2019学年江苏省苏州市高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.直线x+y+√3=0的倾斜角为______．2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AD1与平面ABCD所成的角的大小为______．3.已知A（-1，-3），B（5，3），则以线段AB为直径的圆的方程为______．（写成标准方程）4.直线l经过点（1，1），且在两坐标轴上的截距相反，则直线l的方程是______．5.若直线l1：（m+3）x+4y+3m-5=0与l2：2x+（m+5）y-8=0平行，则m的值为______．6.经过圆x2+2x+y2=0的圆心C，且与直线x+y=0垂直的直线方程是______．7.圆（x-2）2+（y-3）2=1关于直线x+y-1=0对称的圆的方程是______．8.正三棱锥P-ABC中，若底面边长为a，侧棱长为√2a，则该正三棱锥的高为______．9.已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列命题：①若m⊂β，α∥β，则m∥α；②若m∥β，α∥β，则m∥α；③若m⊥α，β⊥α，m∥n，则n∥β；④若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n．其中正确的结论有______．（请将所有正确结论的序号都填上）10.设点A（-2，3），B（3，2）若直线ax+y+2=0与线段AB有公共点，则a的取值范围是______．11.有一根高为3π，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为______（结果用π表示）．12.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2-2x+2y+1=0的两条切线，A，B为切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为______．13.△ABC的一个顶点是A（3，-1），∠B，∠C的平分线分别是x=0，y=x，则直线BC的方程是______．14.已知定点M（0，2），N（-2，0），直线l：kx-y-3k+2=0（k为常数），对l上任意一点P，都有∠MPN为锐角，则k的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.如图：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点（1）求证：BD1∥平面AEC（2）求证：AC⊥BD1．16.设△ABC顶点坐标A（0，a），B（-√3a，0），C（√3a，0），其中a＞0，圆M为△ABC的外接圆．（1）求圆M的方程（2）当a变化时，圆M是否过某一定点，请说明理由．17.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，BC⊥BC1，AB=BC1，E，F分别为线段AC1，A1C1的中点．（1）求证：EF∥面BCC1B1；（2）求证：BE⊥平面AB1C1．18.已知直线l过点P（1，1），并与直线l1：x-y+3=0和l2：2x+y-6=0分别交于点A、B，若线段AB被点P平分．求：（1）直线l的方程；√5的圆的方程．（2）以O为圆心且被l截得的弦长为8519.已知等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，PD=BC=√2，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：平面PAD⊥平面PCD．（2）在线段PB上是否存在一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分的体积之比为V多面体PDCMA：V三棱锥M-ACB=2：1？（3）在M满足（2）的条件下，判断PD是否平行于平面AMC．20.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3）和直线l：y=2x-4，设圆C的半径为1，圆心在直线l上．（1）若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线．①求圆C的方程；②求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．答案和解析1.【答案】135°【解析】解：直线x+y+=0的斜率为-1；所以直线的倾斜角为135°．故答案为135°．求出直线的斜率，即可得到直线的倾斜角．本题考查直线的有关概念，直线的斜率与直线的倾斜角的关系，考查计算能力．2.【答案】45°【解析】解：∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，∴D1D⊥平面ABCD，∴直线AD是直线AD1在平面ABCD内的射影，∴∠D1AD=α，就是直线AD1平面ABCD所成角，在直角三角形AD1AD中，AD1=D1D，∴∠D1AD=45°故答案为：45°在正方体ABCD-A1B1C1D1中，证明D1D⊥平面ABCD，则∠D1AD=α，就是直线AD1平面ABCD所成角，解直角三角形D1AD即可．考查直线和平面所成的角，求直线和平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解，属基础题3.【答案】（x-2）2+y2=18【解析】解：∵A（-1，-3），B（5，3），则以线段AB为直径的圆的圆心C（2，0），半径为AC==3，故圆的方程为（x-2）2+y2=18，故答案为：为（x-2）2+y2=18．先根据条件求出圆心坐标和半径，可得线段AB为直径的圆的方程．本题主要考查求圆的方程的方法，关键是求出圆心坐标和半径，属于基础题．4.【答案】x-y=0【解析】解：当直线l经过原点时，直线l在两坐标轴上截距均等于0，故直线l的斜率为1，∴所求直线方程为y=x，即x-y=0．当直线l不过原点时，设其方程+=1，又l经过点（1，1），则可得-=0≠1，此时不存在，故所求直线l的方程为x-y=0．故答案为x-y=0当直线l经过原点时，直线l在两坐标轴上截距均等于0，所求直线方程为y=x，当直线l不过原点时，此时a不存在．本题主要考查用点斜式、截距式求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．5.【答案】-7【解析】解：∵直线l1：（m+3）x+4y+3m-5=0与l2：2x+（m+5）y-8=0平行，∴，解得m=-7．∴m的值为-7．故答案为：-7．由直线l1：（m+3）x+4y+3m-5=0与l2：2x+（m+5）y-8=0平行，能求出m的值．本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】x-y+1=0【解析】解：易知点C为（-1，0），而直线与x+y=0垂直，我们设待求的直线的方程为y=x+b，将点C的坐标代入马上就能求出参数b的值为b=1，故待求的直线的方程为x-y+1=0．故答案为：x-y+1=0．先求圆心，再求斜率，可求直线方程．明确直线垂直的判定，会求圆心坐标，再求方程，是一般解题思路．7.【答案】（x+2）2+（y+1）2=1【解析】解：（x-2）2+（y-3）2=1的圆心为（2，3），半径为1点（2，3）关于直线x+y-1=0对称的点为（-2，-1）∴圆（x-2）2+（y-3）2=1关于直线x+y-1=0对称的圆的圆心为（-2，-1），半径为1 即圆的方程为（x+2）2+（y+1）2=1故答案为：（x+2）2+（y+1）2=1先求出圆心和半径，然后根据对称性求出圆心关于直线x+y-1=0对称的圆的圆心，而圆对称形状不变，从而半径不变，即可求得圆的方程．本题主要考查了关于直线对称的圆的方程，同时考查了对称点的求解，属于基础题．8.【答案】√15a3【解析】解：如图，取BC中点D，连接AD，并取底面中心O，则O为AD的三等分点，且OA=，PA=，在Rt△POA中，求得OP=a，即该正三棱锥的高为，故答案为：．作出底面中心O，利用直角三角形POA容易求出高．此题考查了三棱锥高的求法，属容易题．9.【答案】①④【解析】解：①是正确命题，因为两个平面平行时，一个平面中的线与另一个平面一定没有公共点，故有线面平行；②不正确，因为一条直线平行于两个平行平面中的一个平面，则它与另一个平面的位置关系是平行或者在面内，故不正确；③不正确，因为由m⊥α，m∥n可得出n⊥α，再由β⊥α，可得n∥β或n⊂β，故不正确；④是正确命题，因为两个直线分别垂直于两个互相平行的平面，一定可以得出两线平行．综上，①④是正确命题故答案为①④本题研究空间中线面平行与线线平行的问题，根据相关的定理对四个命题进行探究，得出正误，即可得到答案，①②③由线面平行的条件判断，④由线线平行的条件判断，易得答案本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，熟练掌握线面平行的方法与线线平行的方法是准确判断正误的关键，几何的学习，要先记牢定义与定理，再对应其几何特征进行理解培养出空间形象感知能力，方便做此类题 10.【答案】（-∞，-43]∪[52，+∞）【解析】解：∵直线ax+y+2=0恒过定点（0，-2），斜率为-a ， 如图，，，∴若直线ax+y+2=0与线段AB 有交点， 则-a≥或-a≤-．即a≤-或a≥． 故答案为：（-∞，-]∪[，+∞）． 由题意画出图形，数形结合得答案．本题考查了直线系方程的应用，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题． 11.【答案】5π【解析】解：∵圆柱型铁管的高为3π，底面半径为1，又∵铁丝在铁管上缠绕2圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则我们可以得到将圆柱面展开后得到的平面图形如下图示：其中每一个小矩形的宽为圆柱的周长2πcm，高为圆柱的高3π，则大矩形的对称线即为铁丝的长度最小值．此时铁丝的长度最小值为：=5π故答案为：5π．本题考查的知识点是圆柱的结构特征，数形结合思想、转化思想在空间问题中的应用，由圆柱型铁管的高为3π，底面半径为1，铁丝在铁管上缠绕2圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则我们可以得到将圆柱面展开后得到的平面图形，然后根据平面上求两点间距离最小值的办法，即可求解．解答本题的关键是要把空间问题转化为平面问题，另外使用数形结合的思想用图形将满足题目的几何体表示出来，能更加直观的分析问题，进而得到答案．12.【答案】2√65【解析】解：如图，直线3x+4y+8=0与圆x2+y2-2x+2y+1=0相离，化圆x2+y2-2x+2y+1=0为（x-1）2+（y+1）2=1，圆心坐标为C（1，-1），半径为1．连接CA，CB，则CA⊥PA，CB⊥PB，则四边形PACB的面积等于两个全等直角三角形PAC与PBC的面积和．∵AC 是半径，为定值1，要使三角形PAC 的面积最小，则PC 最小， |PC|=，∴|PA|=．∴四边形PACB 面积的最小值为2×．故答案为：．由题意画出图形，可知要使四边形PACB 面积最小，则P 为过圆心作直线3x+4y+8=0的垂线得垂足，由点到直线的距离公式求得PC ，再由勾股定理得弦长，代入三角形面积公式得答案．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．13.【答案】2x -y +5=0【解析】解：∵∠B 、∠C 的平分线分别是x=0，y=x ，∴AB 与BC 对于x=0对称，AC 与BC 对于y=x 对称． ∴A （3，-1）关于x=0的对称点A'（-3，-1）在直线BC 上， A 关于y=x 的对称点A''（-1，3）也在直线BC 上． 代入两点式方程可得，故所求直线BC 的方程：2x-y+5=0． 故答案为：2x-y+5=0分析题意，求出A 关于x=0，y=x ，的对称点的坐标，都在直线BC 上，利用两点式方程求解即可．本题考查点关于直线对称点的求法，直线方程的求法，属中档题．14.【答案】（-∞，4−√3014）∪（4+√3014，+∞） 【解析】解：由于对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，故以MN 为直径的圆与直线l ：kx-y-3k+2=0相离．而MN的中点，即圆心为H（-1，1），则点H到直线l：kx-y-3k+2=0的距离大于半径MN=，即＞，即（1-4k）2＞2（1+k2），解得k＜，或 k＞，故答案为：（-∞，）∪（，+∞）由题意可得，以MN为直径的圆与直线l：kx-y-2k+2=0相离，故圆心H（-1，1）到直线l：kx-y-3k+2=0的距离大于半径，即＞，由此解得k 的范围．本题主要考查点到直线的距离公式，直线和圆的位置关系，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．15.【答案】证明：（1）连接BD交AC于F，连EF．因为F为正方形ABCD对角线的交点，所长F为AC、BD的中点．在DD1B中，E、F分别为DD1、DB的中点，所以EF∥D1B．又EF⊂平面EAC，所以BD1∥平面EAC．（2）由正方形的性质可得AC⊥BD又由正方体的几何特征可得：D1D⊥平面ABCD又∵AC⊂平面ABCD∴AC⊥D1D又∵D1D∩BD=D∴AC⊥平面D1DB∵BD1⊂平面D1DB∴AC⊥BD1【解析】（1）欲证BD1∥平面EAC，只需在平面EAC内找一条直线BD1与平行，根据中位线定理可知EF∥D1B，满足线面平行的判定定理所需条件，即可得到结论；（2）根据正方形的性质及正方体的几何特征，结合线面垂直的性质，可得AC⊥BD，AC⊥D1D，由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面D1DB，再由线面垂直的性质即可得到AC⊥BD1本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，熟练掌握空间线线，线面垂直及平行的判定定理，性质定理及几何特征是解答此类问题的关键．16.【答案】解：（1）△ABC是等腰三角形，对称轴为x=0．外接圆的圆心肯定在x=0上．作AC的中垂线，垂足为D，交y轴于M，M即为外接圆的圆心．AC=a．因为A（0，a），C（√3a，0），故∠MAC=60°，AD=12△AMD又是一个∠MAD=60°的直角三角形．故AM=2a．所以，点M的坐标为（0，-a），圆的半径r=MA=MB=MC=2a．故圆M的方程为：x2+（y+a）2=4a2（a＞0）．（2）假设圆M过某一定点（x，y）．那么当a变化时，圆M仍然过点（x，y），此点不会随着a的变化而变化．那么，现在令a变成了b，即a≠b．有x2+（y+b）2=4b2，两式相减化简得：（2y+a+b）（a-b）=4（a+b）（a-b）．因为a≠b，即a-b≠0，所以，2y+a+b=4（a+b）．得：y=3（a+b）．2得出，y是一个根据a和b取值而变化的量．与我们之前假设的y是一个不随a变化而变化的定量矛盾，所以，圆M不过定点．【解析】（1）确定圆心与半径，即可求圆M的方程（2）利用反证法进行判断．本题考查圆的方程，考查反证法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）∵E，F分别为线段AC1，A1C1的中点．∴EF是三角形AA1C1的中位线，∴EF∥AA1，又AA1∥BB1，∴EF∥BB1，∵EF⊄面BCC1B1，BB1⊂面BCC1B1，∴EF∥面BCC1B1．（2）∵AB⊥BC，BC⊥BC1，∴BC⊥面ABC1，∴BC⊥BE，同时BC∥B1C1，∵AB=BC1，E是线段AC1的中点．∴BC⊥AC1，∵AC1∩B1C1=C1，∴BE⊥平面AB1C1【解析】（1）根据线面平行的判定定理，证明EF∥BB1；从而证明EF∥面BCC1B1；（2）根据线面垂直的判定定理证明BE⊥平面AB1C1．本题主要考查空间直线和平面平行和垂直的判定，要求熟练掌握线面平行和垂直的判定定理．并能灵活应用．18.【答案】解：（1）依题意可设A （m ，n ）、B （2-m ，2-n ），则{2(2−m)+(2−n)−6=0m−n+3=0，即{2m +n =0m−n=−3，解得m =-1，n =2．即A （-1，2），又l 过点P （1，1），用两点式求得AB 方程为y−12−1=x−1−1−1，即：x +2y -3=0． （2）圆心（0，0）到直线l 的距离d =|0+0−3|√1+4=3√5，设圆的半径为R ，则由R 2=d 2+(4√55)2， 求得R 2=5，故所求圆的方程为x 2+y 2=5．【解析】（1）依题意可设A （m ，n ）、B （2-m ，2-n ），分别代入直线l 1 和l 2的方程，求出m=-1，n=2，用两点式求直线的方程．（2）先求出圆心（0，0）到直线l 的距离d ，设圆的半径为R ，则由，求得R 的值，即可求出圆的方程．本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，用两点式求直线的方程，属于中档题．19.【答案】解：（1）因为PDCB 为等腰梯形，PB =3，DC =1，PA =1，则PA ⊥AD ，CD ⊥AD ．又因为面PAD ⊥面ABCD ，面PAD ∩面ABCD =AD ，CD ⊂面ABCD ，故CD ⊥面PAD ．又因为CD ⊂面PCD ，所以平面PAD ⊥平面PCD ． （2）所求的点M 即为线段PB 的中点，证明如下： 设三棱锥M -ACB 的高为h 1，四棱锥P -ABCD 的高为h 2当M 为线段PB 的中点时，ℎ1ℎ2=MB PB =12．所以V M−ACBVp−ABCD=13S MCB ℎ113S ABCD ℎ2=13所以截面AMC 把几何体分成的两部分V PDCMA ：V M -ACB =2：1．（3）当M 为线段PB 的中点时，直线PD 与面AMC 不平行．证明如下：（反证法）假设PD ∥面AMC ，连接DB 交AC 于点O ，连接MO ． 因为PD ⊂面PDB ，且面AMC ∩面PBD =MO ，所以PD ∥MO ． 因为M 为线段PB 的中点时，则O 为线段BD 的中点，即DOOB =11． 面AB ∥DC ，故DOOB =DCAB =12，故矛盾．所以假设不成立，故当M 为线段PB 的中点时，直线PD 与平面AMC 不平行． 【解析】（1）证明平面与平面垂直是要证明CD ⊥面PAD ；（2）已知V 多面体PDCMA ：V 三棱锥M-ACB 体积之比为2：1，求出V M-ACB ：V P-ABCD 体积之比，从而得出两多面体高之比，从而确定M 点位置．（3）利用反证法证明当M 为线段PB 的中点时，直线PD 与平面AMC 不平行． 本题主要考查面面垂直的判定定理、多面体体积、线面平行判定以及反证法的应用，属于中等难度题．20.【答案】解：（1）由{y =x −1y=2x−4得圆心C 为（3，2），∵圆C 的半径为1，∴圆C 的方程为：（x -3）2+（y -2）2=1，显然切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为y =kx +3，即kx -y +3=0， ∴√k 2+1=1∴|3k +1|=√k 2+1，∴2k （4k +3）=0∴k =0或者k =−34，∴所求圆C 的切线方程为：y =3或者y =−34x +3．即y =3或者3x +4y -12=0．（2）∵圆C 的圆心在在直线l ：y =2x -4上， 所以，设圆心C 为（a ，2a -4），则圆C 的方程为：（x -a ）2+[y -（2a -4）]2=1， 又∵MA =2MO ，∴设M 为（x ，y ）则√x 2+(y −3)2=2√x 2+y 2整理得：x 2+（y +1）2=4设为圆D ， ∴点M 应该既在圆C 上又在圆D 上 即：圆C 和圆D 有交点，∴1≤CD ≤3，∴|2−1|≤√a 2+[(2a −4)−(−1)]2≤|2+1|， 由5a 2-12a +8≥0得a ∈R ， 由5a 2-12a ≤0得0≤a ≤125，综上所述，a 的取值范围为：[0，125]． 【解析】（1）求出圆心C 为（3，2），圆C 的半径为1，得到圆的方程，切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为y=kx+3，即kx-y+3=0，利用圆心到直线的距离等于半径，求解k 即可得到切线方程．（2）设圆心C 为（a ，2a-4），圆C 的方程为：（x-a ）2+[y-（2a-4）]2=1，设M 为（x ，y ）列出方程得到圆D的方程，通过圆C和圆D有交点，得到1≤CD≤3，转化求解a的取值范围．本题考查直线与圆的方程的综合应用，圆心切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．。
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长春外国语学校2018-2019学年第一学期期中考试高二年级
数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页。
考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信
息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书
写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；
在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.椭圆2
214
x y +=的离心率等于
A. 2
B. 2
C.
D. 12
2.为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了
解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是
A ．简单随机抽样
B ．按性别分层抽样
C ．按学段分层抽样
D ．系统抽样
3.下列命题是真命题的是
A ．若x y ==
B.若21x =，则1x =
4.有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为
A.45
B.35
C.25
D.15
5.“
”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.给出下列四个命题：
（1）∧p q （2）（3）∨p q （4）()⌝∨p q
若这四个命题中只有一个是真命题，则这个真命题的序号是（）
A.（1）B ．（2）C ．（3）D ．（4）
7.执行如图所示的程序框图，若输出的S ＝88，则判断框内应填入的条件是()
A ．k ＞4?
B ．k ＞5?
C ．k ＞6?
D ．k ＞7?(第8题图)
8.如上图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于
正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（） A.
14B ．π8C ．12
D ．π 4
9.若执行如图所示的程序框图，输出S 的值为
A ．2log 23
B ．log 27
C ．3
D ．2
10.某校高一、高二年级各有7个班参加歌咏比赛，他们的得分的茎叶图如图所示，对这组数据分析正确的是
A ．高一的中位数大，高二的平均数大
B ．高一的平均数大，高二的中位数大。