概率复习题(含答案)

2015－2016学年第一学期《概率统计》（公共课）复习题1. P5 例1.1 设A，B，C为3个事件，用A，B，C的运算式表示下列事件：（1）A发生而B与C不发生：A BC或A—B—C或A—( B ∪ C ).（2）A，B都发生而C不发生：AB C或AB—C .（3）A，B，C至少有一个事件发生：A ∪ B ∪ C .（4）A，B，C至少有两个事件发生：AB∪BC∪CA .（5）A，B，C恰好有两个事件发生：AB C ∪A BC∪A B C.（6）A，B，C恰好有一个事件发生：A BC ∪A B C ∪AB C.（7）A，B至少有一个事件发生：（A∪B）C.（8）A，B，C都不发生：ABC或A B C2. P10 古典概率公式：P(A) = k/n = A所包含的样本点数 / Ω中样本点总数P12 例1.8 有n个人，每个人都以同样的概率1/ N被分配在N（n < N）间房中的任一间中，求恰好有n个房间，其中各住一人的概率解：每个人都有N种分法，这是可重复排列问题，n个人共有N n 种不同分法，种选法。

对于其中每一种选法，因为没有指定是哪几间房，所以首先选出n间房，C nNn!/ N n每间房各住一人共有n！种分法，故所求概率为p = C nN3. P15 条件概率的定义：设A，B为两个时间，且P(B)>0，则称P(AB)/P(B)为事件B已发生条件下事件A发生的条件概率，记为P(A|B)，即P(A|B)= P(AB)/P(B).P16 例1.13 某科动物出生以后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的动物活到25岁以上的概率。

解：设A表示“活到20岁以上”的事件，B表示“活到25岁以上”的事件，则有 P(A)=0.7，P(B)=0.56，且B包含于A .得：P(B|A)=P(AB)/P(A)=P(B)/P(A)=0.56/0.7=0.84. P14 几何概型公式：用A表示“掷点落在区域A内”的事件，那么事件A的概率可用下列公式计算：P(A)=m(A)/m(Ω)，称它为几何概率。

P29 习题22 （1）从（0，1）中随机地取两个数，求：两个数之和小于65的概率；解：设两数为x,y，则0<x,y<1. x + y <65.11441725510.68125p=-==5．P30 习题25 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？（2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？解：设A={被调查学生是努力学习的}，则A={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P （A）=0.8，P（A）=0.2，又设B={被调查学生考试及格}.由题意知P（B|A）=0.9，P（B|A）=0.9，故由贝叶斯公式知（1）()()()()()()()()()P A P B AP ABP A BP B P A P B A P A P B A ==+0.20.110.027020.80.90.20.137⨯===⨯+⨯即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%(2)()()()()()()()()()P A P B AP ABP A BP B P A P B A P A P B A==+0.80.140.30770.80.10.20.913⨯===⨯+⨯即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.6. P36 二项分布的分布律：P{X=k}=C knp k（1- p）n-k，k=0,1，…，n，则称X服从参数为n，p的二项分布，记为X~b（n,p）.7. P40 泊松分布的分布律：若随机变量X的分布律为P{X=k}=λke-λ/k!，k=0，1，…，其中λ>0是常数，则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X~P（λ）.lim x →1-8. P44 连续型随机变量的概率特点：P{a ≤X ＜b}=P{a ＜X ≤b}=P{a ≤X ≤b}=P{a ＜X ＜b}.P48 指数分布：若随机变量X 的密度函数为： λe -λx ，x ＞0，f(x)=0， x ≤0,其中λ＞0为常数，则称X 服从参数为λ的指数分布，记作X~E(λ).9. P44 2.9 设连续型随机变量X 的分布函数为 0， x ＜0， F(x)= Ax 2， 0≤x ＜1， 1， x ≥1.试求：（1）系数A ；（2）X 落在区间（0.3,0.7）内的概率；（3）X 的密度函数。

解：（1）由于X 是连续型随机变量，故F(x)是连续函数，因此有1=F(1)= F(x)= Ax 2 =A ，即A=1，于是有 0, x ＜0， 0≤x ＜1， x ≥1.（2）P{0.3＜X ＜2-(0.3)2=0.4. 2x ，0≤x ＜1， （3）X 的密度函数为 f(x)=F ’(x)=0， 其他.10．P49 标准正态分布的密度曲线图形（略）P52 标准正态分布的上α分位点的定义和求法:设X~N(0，1)，若z α满足条件 P{X ＞z α}=α，0＜α＜1，则称点z α为标准正态分布的上α分位点。

例如，由查表可得z 0.05=1，z 0.001=3.16.故1.645与3.16分别是标准正态分布的上0.05分位点与上0.001分位点.（上图白色部分的才是α）?P59习题27 求标准正态分布的上α分位点：（1）α=0.01，求z α；（2）α=0.003，求z α，z α/2. 解：查表可得：（1）z α=2.33；（2）z α=2.75，z α/2=2.9611. P58 习题16（1） 设某种仪器内装有3只同样的电子管，电子管使用寿命X 的密度函数为：100/x 2， x ≥100，f(x)= 0， x ＜100. 求：（1）在开始150h 内没有电子管损坏的概率.解：15021001001(150)d .3P X x x ≤==⎰ 33128[(150)](327p P X =>==习题24 设随机变量X 分布函数为F （x ）=e ,0,(0),00.xt A B x ,x λ-⎧+≥>⎨<⎩（1） 求常数A ，B ；（2） 求P{X ≤2}，P{X ＞3}； （3） 求分布密度f （x ）.解：?（1）由00lim ()1lim ()lim ()x x x F x F x F x →+∞→+→-=⎧⎪⎨=⎪⎩得11A B =⎧⎨=-⎩（2）2(2)(2)1e P X F λ-≤==-33(3)1(3)1(1e )e P X F λλ-->=-=--=(3) e ,0()()0,0x x f x F x x λλ-⎧≥'==⎨<⎩?12. P59 习题 31设随机变量X~U （0,1），试求：（1） Y=e X的分布函数及密度函数；（2） Z=2lnX 的分布函数及密度函数.解：（1） (01)1P X <<= 故 (1e e)1X P Y <=<=当1y ≤时()()0Y F y P Y y =≤=当1<y<e 时()(e )(ln )XY F y P y P X y =≤=≤ln 0d ln y x y ==⎰当y ≥e 时()(e )1X Y F y P y =≤=即分布函数：0,1()ln ,1e 1,e Y y F y y y y ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩故Y 的密度函数为：11e ,()0,Y y y f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他（2） 由P （0<X<1）=1知：(0)1P Z >=当z ≤0时，()()0Z F z P Z z =≤=当z>0时，()()(2l n )Z F z P Z z P X z =≤=-≤/2(ln )(e )2z zP X P X -=≤-=≥/21/2ed 1e z z x --==-⎰即分布函数为：-/20,0()1-e ,Z z z F z z ≤⎧=⎨>⎩故Z 的密度函数为/21e ,0()20,z Z z f z z -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩013. P60 习题36 已知F （x ）=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤+<.21,1,210,21,0,0x x x x则F （x ）是（ ）随机变量的分布函数.（A ） 连续型； （B ）离散型； （C ） 非连续亦非离散型. 解：因为F （x ）在（∞,+∞）上单调不减右连续，且lim ()0x F x →-∞=lim ()1x F x →+∞=,所以F （x ）是一个分布函数。

但是F （x ）在x=0处不连续，也不是阶梯状曲线，故F （x ）是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。

选（C ）?习题42 设随机变量X 的分布函数为F(x) =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<.3,1,31,8.0,11,4.0,1,0x x x x求X 的概率分布.解：由离散型随机变量X 分布律与分布函数之间的关系，可知X 的概率?习题44 若随机变量X 在（1，6）上服从均匀分布，则方程y 2+Xy+1=0有实根的概率是多少？解：1,16()50,x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他所以 24(40)(2)(2)(2)5P X P X P X P X -≥=≥+≤-=≥=14. P74 离散型随机变量独立性的定义：P{X=x i ，Y=y i }=P{X=x i }P{Y=y i }.连续型随机变量独立性的定义：f(x ，y)=fx(x)fy(y).[f(x ，y)为(X,Y)的概率密度函数]15. P85 习题13设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布律为（2） X 与Y 是否相互独立？ 解：（1）X 和Y 的边缘分布如下表:(2) 因{2}{0.4}0.20.8P X P Y ===⨯ 0.160.15(2,0.4),P X Y =≠=== 故X 与Y 不独立.16. P86 习题19（1）设随机变量（X ，Y ）的分布律为(1) 求P{X=2｜Y=2}，P{Y=3｜X=0}；解：{2,2}{2|2}{2}P X Y P X Y P Y ======50{2,2}0.051,0.252{,2}i P X Y P X i Y ========∑{3,0}{3|0}{0}P Y X P Y X P X ======30{0,3}0.011;0.033{0,}j P X Y P X Y j ========∑17. P111 习题7 设随机变量X ，Y 相互独立，且E （X ）=E （Y ）=3，D （X ）=12，D （Y ）=16，求E （3X 2Y ），D （2X 3Y ）.解：(1) (32)3()2()3323 3.E X Y E X E Y -=-=⨯-⨯= (2) 22(23)2()(3)412916192.D X Y D X DY -=+-=⨯+⨯=18. P125 习题5有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m 的概率是多少？解：设100根中有X 根短于3m ，则X ~B （100，0.2）从而{30}1{30}1P X P X ≥=-<≈-Φ1(2.5)10.99380.0062.=-Φ=-=2 1 2 2 2 n 19. P131 χ2（n ）分布的定义：设X1，X2，…，Xn 是来自总体N （0,1）的样本，则量χ2=X +X +…+X 所服从的分布称为自由度为n 的χ2分布，记为χ2~χ2（n ）. 密度曲线图（略）上α分位点的定义：对于给定的正数α，0＜α＜1，满足条件 P{χ2＞χ2α(n)}= α的点χ2α(n)为χ2(n)分布的上α分位点.20. P132 t 分布的定义：设X~N （0,1），Y~χ2(n)，并且X ，Y 独立，则称随机变量 t=X/√Y/n 服从自由度为n 的t 分布，记为t~t(n). 密度曲线图（略）上α分位点的定义及性质：对于给定的正数α，0＜α＜1，满足条件 P{t ＞t α(n)}=α的点t α(n)为t(n)分布的上α分位点； 性质：T 1-α(n)=-T α(n)≈Z α.P133 F 分布的定义：设U~χ2(n 1)，V~χ2(n 2)，且U ，V 独立，则称随机变量F=(U/n 1)/(V/n 2)服从自由度为(n 1，n 2)的F 分布，记为F~F(n 1，n 2). 密度曲线图（略）上α分位点的定义及性质：对于给定的正数α，0＜α＜1，满足条件 P{F ＞F α(n 1，n 2)}=α的点F α(n 1，n 2)为F(n 1，n 2)分布的上α分位点； 性质：F 1-α(n 1，n 2)=1/F α(n 2，n 1).21. P136 习题2 从正态总体N （4.2，52）中抽取容量为n 的样本，若要求其样本均值位于区间（2.2,6.2）内的概率不小于0.95，则样本容量n 至少取多大？解：~(0,1)Z N =(2.2 6.2)P X P Z <<=<<2(0.410.95,=Φ-=则Φ，故即n >24.01，所以n 至少应取2522. P152 习题 5 随机变量X 服从［0，θ］上的均匀分布，今得X 的样本观测值：0.9，0.8，0.2，0.8，0.4，0.4，0.7，0.6，求θ的矩法估计和极大似然估计，它们是否为θ的无偏估计.解：(1) ()2E X θ=,令()E X X =，则ˆ2X θ=且ˆ()2()2()E E X E X θθ===, 所以θ的矩估计值为ˆ220.6 1.2x θ==⨯=且ˆ2X θ=是一个无偏估计. (2) 似然函数8811(,)i i L f x θθ=⎛⎫== ⎪⎝⎭∏,i=1,2, (8)显然L=L(θ)↓(θ>0)，那么18max{}i i x θ≤≤=时，L=L(θ)最大,所以θ的极大似然估计值ˆθ=0.9.因为E(ˆθ)=E(18max{}i i x ≤≤)≠θ,所以ˆθ=18max{}i i x ≤≤不是θ的无偏计.习题8 某车间生产的螺钉，其直径X~N （μ，σ2），由过去的经验知道σ2=0.06,今随机抽取6枚，测得其长度（单位mm ）如下：14.7 15.0 14.8 14.9 15.1 15.2 试求μ的置信概率为0.95的置信区间. 解：n=6,σ2=0.06,α=1-0.95=0.05,0.25214.95, 1.96,a x u u ===,μ的置信度为0.95的置信区间为/2(14.950.1 1.96)(14.754,15.146)x u α⎛±=±⨯= ⎝题型：填空题（10道20分），选择题（5道15分），判断题（5道15分），计算题（5道50分）。