数学模型期末考试试题及答案
2009数学建模试题与答案
华南农业大学期末考试试卷（A卷）2009学年第二学期考试科目：数学模型考试类型：（闭卷）考试时间：120分钟学号姓名年级专业1、（13分）设已知某正方形板材边长20cm，现将之加工出半径为1cm的圆盘，请对下面给出的两种排列方法，写出能加工出的尽可能多的圆盘数。
（1）排列1：圆盘中心按正方形排列（如右图）的尽可能多的圆盘数。
（4分）解：圆盘总数：202010022⨯=排列2：圆盘中心按六角形排列（如右图）的尽可能多的圆盘数。
（4分）解：行数：111+=圆盘总数：20111110522-⨯+=（2）设计出不同于(1)(2)的方案，且加工出的圆盘更多。
（5分）解：前三行正方形，后八行六角形，圆盘总数为106（此题考虑的是当两种方案当两种方案被提出的时候，但仍需改进的时候，应该考虑这两者的综合是否可行，如果可行，则给出方案。
）2、（10分）在举重比赛中，运动员在高度和体重方面差别很大，请就下面两种假设，建立一个举重能力和体重之间关系的模型：（1）假设肌肉的强度和其横截面的面积成比例。
5分（2）假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关，请给出一个改进模型。
5分解：设体重w（千克）与举重成绩y （千克）（1）由于肌肉强度(I)与其横截面积(S)成比例，所以y∝I∝S设h为个人身高，又横截面积正比于身高的平方，则S ∝ h2再体重正比于身高的三次方，则w ∝ h3（2）a, 则一个最粗略的模型为更好的模型：()y k w aγ=-3、 （10分）在超币购物时你压意到大包发商品比小包装面品便宜这种现象了吗？比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g 装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1，试用比例方法构造模型解释这个现象。
（1）请写出商品价恪c 与商品重量w 的关系，其中价格由生产成本、包装成本和其它成本等决定，这些成本中有的与重量w 成正比，有的与表面积成正比，还有与w 无关的因素。
（5分） （2）给出单位重量价格c与w 的关系，并解释。
河南省漯河市舞阳县2022-2023学年七年级下学期期末数学试题(含答案)
2022~2023学年下学期期末考试试卷（Y ）七年级数学注意事项：1．本试卷共8页，三大题，满分120分，考试时间100分钟，闭卷考试，请将答案直接写在试卷或答题卡上．2．答卷前请将密封线内的项目填写清楚；使用答题卡时，请认真阅读答题须知，并按要求去做．一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后括号内．1．二元一次方程x ＋2y ＝6的一个解是（）A ．22x y =⎧⎨=⎩B ．23x y =⎧⎨=⎩C ．24x y =⎧⎨=⎩D ．26x y =⎧⎨=⎩2．不等式410x -<的解集是（）A ．4x >B ．4x <C ．14x >D ．14x <3．为了解我县2023年参加中考的4964名学生的身高情况，抽查了其中300名学生的身高进行统计分析．下列叙述正确的是（）A ．4964名学生是总体B ．从中抽取的300名学生的身高是总体的一个样本C ．每名学生是总体的一个个体D ．样本容量是300名学生4．下列说法正确的是（）A ．－9的立方根是－3B ．7±是49的平方根C ．有理数与数轴上的点一一对应D 95．在某次考试中，某班级的数学成绩统计图如图所示，下列说法中错误的是（）A ．得分在70~80分之间的人数最多B ．该班总人数为40人C ．得分在90~100分之间的人数最少D ．不低于60分为及格，该班的及格率为80%6．若a ＞b ，则下列四个选项中一定成立的是（）A ．22a b +>+B ．33a b->-C ．44a b <D ．11a b -<-7．已知12x y =⎧⎨=⎩和23x y =⎧⎨=-⎩都满足方程y kx b =-，则k b 、的值分别为（）A ．5,5--B ．5,7--C ．5，3D ．5，78．把不等式组321132x xx x -<⎧⎪+-⎨≥⎪⎩中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（）A ．B．C．D ．9．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱，问人数，物价各多少？”设人数为x 人，物价为y 钱，根据题意，下面所列方程组正确的是（）A ．8374x yx y+=⎧⎨-=⎩B ．8374x y x y -=⎧⎨+=⎩C ．8374x y x y+=⎧⎨+=⎩D ．8374x y x y-=⎧⎨-=⎩10．已知关于x 的不等式组0320x a x -≥⎧⎨-≥⎩的整数解共有5个，则a 的取值范围是（）A ．3a ≤-B ．43a -<≤-C ． 3.53a -<≤-D ．342a -<<二、填空题（每小题3分，共15分）11．随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实．图1是我国自主研发的某型号战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机的亮点之一．图2是垂尾模型的示意图，现测量垂尾模型的外围得如下数据：①BC ＝8，②CD ＝2，③∠C ＝60°，④∠D ＝135°，⑤∠ABC ＝120°，垂尾模型要求的位置标准之一是AB CD ∥，则选择数据**可判断模型位置是否达标（只填序号）．12．已知,a b为两个连续的整数，且a b <<，则23a b -=**．13．不等式组24691x x +>⎧⎨->⎩的解集为**．14．若方程组321431x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩的解满足x y >，则m 的取值范围是**．15．如图，直线BC 经过原点O ，点A 在x 轴上，AD BC ⊥于点D ，若点()(),3,,5B m C n -，()6,0,9A BC =，则AD =**．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（8分）解方程组：（1）3231x y x y -=⎧⎨+=⎩（2）()35362236x y x y x y⎧-=-⎪⎨-+-=-⎪⎩17．（8分）解不等式或不等式组：（1）13132x x --≥+（218．（9分）解不等式组()3223118x x x x -⎧+≥⎪⎨⎪-->-⎩，在数轴上表示出解集，并写出该不等式组的非负整数解．19．（9分）已知关于,x y 的二元一欢方㮻组233741x y m x y m +=+⎧⎨-=+⎩．且0x y +<．（1）试用含m 的式子表示方程组的解；（2）求实数m 的取值范围；（3）化简：m m +-．20．（10分）某校为了解某年级学生一分钟跳绳情况，对该年级全体共360名学生进行一分钟跳绳测试，并把测得的数据分成四组，绘制成未完成的频数表和频数分布直方图（每一组不含前一个边界值，含后一个边界值）．某校某年级360名学生一分钟跳绳次数的频数表组别（次）频数100~13048130~16096160~190a 190~22072（1）求a 的值；（2）把频数分布直方图补充完整；（3）求该年级一分钟跳绳次数在190次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比．21．（10分）围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有4000多年的历史．中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．某学校为活跃学生课余生活，欲购买一批象棋和围棋．已知购买4副象棋和4副围棋共需220元，购买5副象棋和3副围棋共需215元．（1）求象棋和围棋的单价；（2）学校准备购买象棋和围棋总共120副，围棋的数量不少于40副，且不多于象棋数量，总费用可以是3500元吗？22．（10分）如图，点D 为射线CB 上一点，且不与点B 、C 重合，DE AB ∥交直线AC 于点E ，DF AC ∥交直线AB 于点F ．画出符合题意的图形，猜想∠EDF 与∠BAC 的数量关系，并说明理由．23．（11分）如图1，在四边形ABCD 中，AB DC ∥，AD BC ∥，点E 在AB 边上，DE 平分∠ADC ．（1）分别延长DE、CB交于点M，∠DAB与∠CMD的平分线AN、MN交于点N，若∠ADE的度数为56°，求∠N的度数；（2）如图2，已知DF⊥BC交BC边于点G，交AB边的延长线于点F，且DB平分∠EDF，若∠BDC＜45°，试比较∠F与∠EDF的大小，并说明理由．2022~2023学年下学期期末考试七年级数学参考答案及评分标准一、选择题（每小题3分，共30分）题号12345678910答案ADBBDABCBB二、填空题（每小题3分，共15分）题号1112131415答案③⑤31＜x ＜8m ＞－6163三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（1）3231x y x y -=⎧⎨+=⎩①②3⨯+①②得：510x =，解得：2x =，把2x =代入①得：23y -=，解得：1y =-，则方程组的解为21x y =⎧⎨=-⎩．（2）方程组整理得：3412x y x y -=⎧⎨-=-⎩①②，①－②得：5y =，把5y =代入①得：8x =，则方程组的解为85x y =⎧⎨=⎩．17．（1）13132x x --≥+去分母，得()()21336x x -≥-+，去括号，得22396x x -≥-+，移项，合并同类项得1x -≥-，系数化为1，得1x ≤．（2）解：()365243123x x x x ⎧+≥-⎪⎨--<⎪⎩①②由①得：8x ≤，由②得：3x >-，则不等式组的解集为38x -<≤．18．解不等式322x x -+≥．得x ≤1，解不等式3（x －1）－1＞x －8，得x ＞－2．所以，原不等式组的解集是－2＜x ≤1，在数轴上表示如图：故不等式组的非负整数解为0和1．19．（1）2337,41,x y m x y m +=+⎧⎨-=+⎩①②由②得41x m y =++，③把③代入①得()241337m y y m +++=+，解得1y m =-+．把1y m =-+代入③得32x m =+．∴方程组的解为32,1.x m y m =+⎧⎨=-+⎩（2）∵0x y +<，∴3210m m +-+<，∴32m <-．（3）∵32m <-．∴)m m m m +-=----=．20．（1）()360489672144a =-++=．（2）补全频数分布直方图如图：（3）该年级一分钟跳绳次数在190次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比为72100%20%360⨯=，21．（1）设象棋单价是x 元．围棋的单价是y 元，根据题意得4422053215x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得25,30.x y =⎧⎨=⎩答：象棋的单价是25元，围棋的单价是30元．（2）设购买象棋m 副，则购买围棋（120－m ）副，由题意得解得12040,120,m m m -≥⎧⎨-≤⎩60≤m ≤80，令()25301203500m m +-=，解得20m =，不符合6080m ≤≤，所以总费用不能是3500元．22．当点D 在线段CB 上时，如图①，∠EDF ＝∠BAC ．理由：∵DE AB ∥（已知），∴∠1＝∠BAC （两直线平行，同位角相等）．∵DF AC ∥（已知），∴∠EDF ＝∠1（两直线平行，内错角相等）．∴∠EDF ＝∠BAC （等量代换）．当点D 在线段CB 的延长线上时，如图②，∠EDF ＋∠BAC ＝180°．理由：∵DE AB ∥（已知）∴．∠EDF ＋∠F ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵DF AC ∥（已知），∴∠F ＝∠BAC （两直线平行，内错角相等）．∴∠EDF ＋∠BAC ＝180°（等量代换）．23．（1）过点N 作NF AD ∥，∴AD BC NF ∥∥，∵∠ADE ＝56°，DE 平分∠ADC ，AD BC ∥，∴∠ADC ＝112°，∠DMB ＝∠ADE ＝56°，∵AB DC ∥，∴∠DAB ＝180°－∠ADC ＝68°，∵AN 平分∠DAB ，MN 平分∠CMD ，∴∠DAN ＝∠NAE ＝34°，∠DMN ＝∠CMN ＝28°，∥∥，∠ANF＝∠DAN＝34°，∠MNF＝∠CMN＝28°，∵AD BC NF∴∠ANM＝∠ANF＋∠MNF＝62°；（2）∵DF⊥BC，∴∠BGF＝90°，∥．∴∠ADF＝∠BGF＝90°，∵AD BC∥，∴∠CDF＝∠F，∵CD AB设∠EDB＝∠BDF＝x，∠CDF＝∠F＝y，∴∠EDF＝2x，∴∠ADE＝∠EDC＝2x＋y，∵∠ADF＝∠ADE＋∠EDF，∴2x＋y＋2x＝90°，∴y＝90°－4x，∴∠F－∠EDF＝y－2x＝90°－4x－2x，∵∠BDC＜45°，∴x＋y＜45°，∴x＋90°－4x＜45°，解得：x＞15°，∴6x＞90°，∴∠F－∠EDF＝90°－6x＜0，∴∠F＜∠EDF．。
数学建模基础问题与答案!(有答案).
‘牡丹江师范学院期末考试试题库科目：数学模型与数学实验年级：2006 学期：2008-2009-2 考核方式：开卷命题教师：数学模型与数学实验课程组一、解答题：（每小题30分）x=[0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.2 0.21 0.23]';n=length(x)X=[ones(n,1) x];Y=[42 43.5 45 45.5 45 47.5 49 53 50 55 55 60]';[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X);b,bint,stats% 预测y=b(1)+b(2)*x%E误差平方和E=sum((Y-y).^2)参考结果：回归直线：ˆ28.4928130.8348=+y x误差平方和：17.4096是否重点：重点难易程度：中知识点所在章节：第十六章第一节检查数据中有无异常点、由x的取值对y作出预测。
解：参考程序(t2.m)：x=[0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.2 0.21 0.23]';Y=[42.0 41.5 45.0 45.0 45 47.5 49.0 55.0 50.0 55.0 55.5 60.5]'; scatter(x,Y);n=length(x)X=[ones(n,1) x];b,bint,stats %残差图 rcoplot(r,rint) % 预测y=b(1)+b(2)*x%剔除异常点重新建模 X(8,:)=[]; Y(8)=[];[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X); b,bint,stats,rcoplot(r,rint) 结果和图：b =27.0269 140.6194 bint =22.3226 31.7313 111.7842 169.4546 stats =0.9219 118.0670 0.0000结果分析：由20.9226,119.2528,P =0.0000R F ==知，2R 接近1，10.5(1,10)F F ->，0.05P <，故x 对y 的影响显著，回归模型可用。
数学建模期末考试A试的题目与答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2012-2013学年第 二 学期 考试科目：数学建模考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业一、(满分12分) 一人摆渡希望用一条船将一只狼，一只羊，一篮白菜从河岸一边带到河岸对面，由于船的限制，一次只能带一样东西过河，绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起；羊和白菜放在一起，怎样才能将它们安全的带到河对岸去? 建立多步决策模型,将人、狼、羊、白菜分别记为i = 1，2，3，4，当i 在此岸时记x i = 1，否则为0；此岸的状态下用s =（x 1，x 2，x 3，x 4）表示。
该问题中决策为乘船方案，记为d = (u 1, u 2, u 3, u 4)，当i 在船上时记u i = 1，否则记u i = 0。
(1) 写出该问题的所有允许状态集合；（3分）(2) 写出该问题的所有允许决策集合；（3分）(3) 写出该问题的状态转移率。
（3分）(4) 利用图解法给出渡河方案. （3分）解：(1) S={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)} 及他们的5个反状（3分）(2) D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)} （6分）(3) s k+1 = s k + (-1) k d k （9分）(4)方法：人先带羊，然后回来，带狼过河，然后把羊带回来，放下羊，带白菜过去，然后再回来把羊带过去。
或: 人先带羊过河，然后自己回来，带白菜过去，放下白菜，带着羊回来，然后放下羊，把狼带过去，最后再回转来，带羊过去。
（12分）1、 二、(满分12分) 在举重比赛中，运动员在高度和体重方面差别很大，请就下面两种假设，建立一个举重能力和体重之间关系的模型：（1） 假设肌肉的强度和其横截面的面积成比例。
6分（2） 假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关，请给出一个改进模型。
数学建模精讲_西南交通大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
数学建模精讲_西南交通大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.Lingo软件是常用的优化问题的求解软件。
参考答案:正确2.0-1规划是整数规划。
参考答案:正确3.求解整数规划一定能得到最优解。
参考答案:错误4.整数规划是指规划问题中的全部变量限制为整数。
参考答案:错误5.所有决策变量均要求为整数的整数规划称为纯整数规划。
参考答案:正确6.整数规划与线性规划不同之处在于增加了整数约束。
参考答案:正确7.分枝定界法是整数规划的常见算法。
参考答案:正确8.原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划也一定有最优解。
参考答案:错误9.整数规划最优解常可以按照实数最优解简单取整而获得。
参考答案:错误10.与线性规划连续的可行域不同，整数规划的可行域是离散的。
参考答案:正确11.整数规划由于限制变量是整数，增加了求解难度，但整数解是有限个，所以有时候可以采用枚举法。
参考答案:正确12.非线性规划已经有一般的适合所有问题的成熟的解法。
参考答案:错误13.非线性规划的局部最优解和全局最优解等价。
参考答案:错误14.多目标规划的目标函数多于1个。
参考答案:正确15.非线性规划是指规划模型的目标函数或者约束条件中至少有一个为非线性表达式。
参考答案:正确16.多目标规划的解法包括分枝定界法，单纯形法。
参考答案:错误17.根据地球上任意两点的经纬度就可以计算这两点间的距离。
参考答案:正确18.如果可能，把非线性规划转换为线性规划是非常好的一个思路，原因是线性规划有比较成熟的算法。
参考答案:正确19.Lingo软件求解非线性规划的结果都是全部最优解。
参考答案:错误20.求解多目标规划的线性加权和法，在确定权系数之前，一般要对目标函数值做统一量纲处理，其目的是避免出现大数吃小数、权系数失去其作用的问题。
参考答案:正确21.哥尼斯堡七桥问题由欧拉证明了是可以走通的。
参考答案:错误22.“健康中国2030”规划纲要其中一项主要指标是将我国人均预期寿命提升至79岁左右。
数学模型(专升本)期末考试答案
数学模型(专升本)期末考试答案1. (单选题) 说明某事物内部各组成部分所占比例应选____。
(本题2.0分)A、率B、构成比C、相对比D、标准差标准答案：B解析：得分： 22. (单选题) 两样本均数比较用t检验,其目的是检验( )(本题2.0分)A、两样本均数是否不同B、两总体均数是否不同C、两个总体均数是否相同D、两个样本均数是否相同标准答案：C解析：3. (单选题) 人该指标的数值,为推断这组人群该指标的总体均值μ与μ0之间的差别是否有显著性意义,若用t检验,则自由度应该是(本题2.0分)A、 5B、28C、29D、 4标准答案：C解析：4. (单选题) 正态分布曲线下,横轴上,从μ-1.96σ到μ+1.96σ的面积为(本题2.0分)A、95%B、49.5%C、99%D、97%标准答案：A解析：5. (单选题) 两样本均数间的差别的假设检验时,查t界值表的自由度为(本题2.0分)A、n-1B、(r-1)(c-1)C、n1+n2-2D、 1标准答案：C解析：6. (单选题) 最小二乘法是指各实测点到回归直线的( )(本题2.0分)A、垂直距离的平方和最小B、垂直距离最小C、纵向距离的平方和最小D、纵向距离最小标准答案：C解析：7. (单选题) 对含有两个随机变量的同一批资料,既作直线回归分析,又作直线相关分析。
令对相关系数检验的t值为tr,对回归系数检验的t值为tb,二者之间具有什么关系?( )(本题2.0分)A、tr>tbB、tr<tbC、tr= tbD、二者大小关系不能肯定标准答案：C解析：8. (单选题) 设配对资料的变量值为x1和x2,则配对资料的秩和检验( )(本题2.0分)A、分别按x1和x2从小到大编秩B、把x1和x2综合从小到大编秩C、把x1和x2综合按绝对值从小到大编秩D、把x1和x2的差数按绝对值从小到大编秩标准答案：D解析：9. (单选题) 四个样本率作比较,χ2>χ20.05,ν可认为( )(本题2.0分)A、各总体率不同或不全相同B、各总体率均不相同C、各样本率均不相同D、各样本率不同或不全相同标准答案：A解析：10. (单选题) 某学院抽样调查两个年级学生的乙型肝炎表面抗原,其中甲年级调查35人,阳性人数4人;乙年级调查40人,阳性人数8人。
北京市海淀区2023-2024学年高三上学期期末考试 数学含答案
海淀区2023—2024学年第一学期期末练习高三数学（答案在最后）2024.01本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3,5A =，{}1,2,3B =，则()U A B = ð（）A ．{}2,4,5,6B ．{}4,6C ．{}2,4,6D ．{}2,5,62．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，则复数12z z ⋅的虚部为（）A ．i-B ．1-C ．3i -D ．3-3．已知直线1:12yl x +=，直线2:220l x ay -+=，且12l l ∥，则a =（）A ．1B ．1-C ．4D ．4-4．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，点M 在C 上，4MF =，O 为坐标原点，则MO =（）A ．B ．4C ．5D ．5．在正四棱锥P ABCD -中，2AB =，二面角P CD A --的大小为4π，则该四棱锥的体积为（）A ．4B ．2C ．43D ．236．已知22:210C x x y ++-= ，直线()10mx n y +-=与C 交于A ，B 两点．若ABC △为直角三角形，则（）A ．0mn =B ．0m n -=C ．0m n +=D ．2230m n -=7．若关于x 的方程log 0xa x a -=（0a >且1a ≠）有实数解，则a 的值可以为（）A ．10B ．eC ．2D ．548．已知直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，倾斜角分别为1α，2α，则“()12cos 0->αα”是“120k k >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知{}n a 是公比为q （1q ≠）的等比数列，n S 为其前n 项和．若对任意的*N n ∈，11n a S q<-恒成立，则（）A ．{}n a 是递增数列B ．{}n a 是递减数列C ．{}n S 是递增数列D ．{}n S 是递减数列10．蜜蜂被誉为“天才的建筑师”．蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构．下图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF 是正六边形，棱AG ，BH ，CI ，DJ ，EK ，FL 均垂直于底面ABCDEF ，上顶由三个全等的菱形PGHI ，PIJK ，PKLG 构成．设1BC =，GPI IPK ∠=∠KPG =∠=θ10928'≈︒，则上顶的面积为（）（参考数据：1cos 3=-θ，tan2=θ）A ．B ．2C ．2D ．4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．在51x ⎫-⎪⎭的展开式中，x 的系数为______．12．已知双曲线221x my -=0y -=，则该双曲线的离心率为______．13．已知点A ，B ，C 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则AB BC ⋅=______；点C 到直线AB 的距离为______．14．已知无穷等差数列{}n a 的各项均为正数，公差为d ，则能使得1n n a a +为某一个等差数列{}n b 的前n 项和（1n =，2，…）的一组1a ，d 的值为1a =______，d =______．15．已知函数()cos f x x a =+．给出下列四个结论：①任意a ∈R ，函数()f x 的最大值与最小值的差为2；②存在a ∈R ，使得对任意x ∈R ，()()π2f x f x a +-=；③当0a ≠时，对任意非零实数x ，ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝+⎭≠；④当0a =时，存在()0,πT ∈，0x ∈R ，使得对任意n ∈Z ，都有()()00f x f x nT =+．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（本小题13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11ABB A 是正方形，平面11ABB A ⊥平面ABCD ，AB CD ∥，12AD DC AB ==，M 为线段AB 的中点，1AD B M ⊥．（Ⅰ）求证：1C M ∥平面11ADD A ；（Ⅱ）求直线1AC 与平面11MB C 所成角的正弦值．17．（本小题14分）在ABC △中，2cos 2c A b a =-．（Ⅰ）求C ∠的大小；（Ⅱ）若c =ABC △存在，求AC 边上中线的长．条件①：ABC △的面积为条件②：1sin sin 2B A -=；条件③：2222b a -=．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题13分）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：场次12345678910甲8101071288101013乙9138121411791210丙121191111998911（Ⅰ）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；（Ⅱ）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设X 表示乙得分大于丙得分的场数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（Ⅲ）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率．甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设1Y 为甲获胜的场数，2Y 为乙获胜的场数，3Y 为丙获胜的场数，写出方差()1D Y ，()2D Y ，()3D Y 的大小关系．19．（本小题15分）已知椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）过点()3,0A ，焦距为（Ⅰ）求椭圆E 的方程，并求其短轴长；（Ⅱ）过点()1,0P 且不与x 轴重合的直线l 交椭圆E 于两点C ，D ，连接CO 并延长交椭圆E 于点M ，直线AM 与l 交于点N ，Q 为OD 的中点，其中O 为原点．设直线NQ 的斜率为k ，求k 的最大值．20．（本小题15分）已知函数()2sin f x ax x x b =-+．（Ⅰ）当1a =时，求证：①当0x >时，()f x b >；②函数()f x 有唯一极值点；（Ⅱ）若曲线1C 与曲线2C 在某公共点处的切线重合，则称该切线为1C 和2C 的“优切线”．若曲线()y f x =与曲线cos y x =-存在两条互相垂直的“优切线”，求a ，b 的值．21．（本小题15分）对于给定的奇数m （3m ≥），设A 是由m m ⨯个实数组成的m 行m 列的数表，且A 中所有数不全相同，A 中第i 行第j 列的数{}1,1ij a ∈-，记()r i 为A 的第i 行各数之和，()c j 为A 的第j 列各数之和，其中{},1,2,,i j m ∈⋅⋅⋅．记()()()()2212m r r m f r A -++⋅⋅⋅+=．设集合()()(){}{},00,,1,2,,ij ij H i j a r a c j i m i j =⋅<⋅<∈⋅⋅⋅或，记()H A 为集合H 所含元素的个数．（Ⅰ）对以下两个数表1A ，2A ，写出()1f A ，()1H A ，()2f A ，()2H A 的值；1A 2A （Ⅱ）若()1r ，()2r ，…，()r m 中恰有s 个正数，()1c ，()2c ，…，()c m 中恰有t 个正数．求证：()2H A mt ms ts ≥+-；（Ⅲ）当5m =时，求()()H A f A 的最小值．海淀区2023—2024学年第一学期期末练习高三数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．A 2．D 3．B 4．D 5．C 6．A7．D8．B9．B10．D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．5-12．213．1-514．11（答案不唯一）15．②④三、解答题（共6小题，共85分）16．（共13分）解：（Ⅰ）连接1AD ．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11CDD C 为平行四边形，所以11C D CD ∥，11C D CD =．因为AB CD ∥，12CD AB =，M 为AB 中点，所以CD AM ∥，CD AM =．所以11C D AM ∥，11C D AM =．所以四边形11MAD C 为平行四边形．所以11MC AD ∥．因为1C M ⊄平面11ADD A ，所以1C M ∥平面11ADD A ．（Ⅱ）在正方形11ABB A 中，1AA AB ⊥．因为平面11ABB A ⊥平面ABCD ，所以1AA ⊥平面ABCD ．所以1AA AD ⊥．因为1AD B M ⊥，1B M ⊂平面11ABB A ，1B M 与1AA 相交，所以AD ⊥平面11ABB A ．所以AD AB ⊥．如图建立空间直角坐标系A xyz -．不妨设1AD =，则()0,0,0A ，()11,2,1C ，()10,2,2B ，()0,0,1M ．所以()11,2,1AC = ，()111,0,1C B =- ，()11,2,0MC =．设平面11MB C 的法向量为(),,n x y z = ，则1110,0,n C B n MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,20.x z x y -+=⎧⎨+=⎩令2x =，则1y =-，2z =．于是()2,1,2n =-．因为1116cos ,9AC n AC n AC n⋅==⋅，所以直线1AC 与平面11MB C 所成角的正弦值为69．17．（共14分）解：（Ⅰ）由正弦定理sin sin sin a b cA B C==及2cos 2c A b a =-，得2sin cos 2sin sin C A B A =-．①因为πA B C ++=，所以()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+．②由①②得2sin sin sin 0A C A -=．因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠．所以1cos 2C =．因为()0,πC ∈，所以π3C =．（Ⅱ）选条件②：1sin sin 2B A -=．由（Ⅰ）知，π2ππ33B A A ∠=--∠=-∠．所以2πsin sin sin sin 3B A A A -=--⎛⎫⎪⎝⎭31cos sin sin 22A A A =+-31cos sin 22A A =-πsin 3A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．所以π1sin 32A ⎛⎫-=⎪⎝⎭．因为2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以πππ,333A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭．所以ππ36A -=，即π6A =．所以ABC △是以AC 为斜边的直角三角形．因为c =2πsin sin 3AB AC C ===．所以AC 边上的中线的长为1．选条件③：2222b a -=．由余弦定理得223a b ab +-=．设AC 边上的中线长为d ，由余弦定理得2222cos 42b ab d a C =+-⋅2242b ab a =+-2222342b a b a +-=+-1=．所以AC 边上的中线的长为1．18．（共13分）解：（Ⅰ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场．设A 表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则()310P A =．（Ⅱ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场，分别是第2场、第5场、第8场、第9场．所以X 的所有可能取值为0，1，2．()202426C C 10C 15P X ===，()112426C C 81C 15P X ⋅===，()022426C C 22C 5P X ===．所以X 的分布列为X 012P11581525所以()1824012151553E X =⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）()()()213D Y DY D Y >>．19．（共15分）解：（Ⅰ）由题意知3a =，2c =．所以c =，2224b a c =-=．所以椭圆E 的方程为22194x y +=，其短轴长为4．（Ⅱ）设直线CD 的方程为1x my =+，()11,C x y ，()22,D x y ，则()11,M x y --．由221941x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()22498320m y my ++-=．所以122849m y y m -+=+．由()3,0A 得直线AM 的方程为()1133y y x x =-+．由()11331y y x x x my ⎧=-⎪+⎨⎪=+⎩，得11123y y x my -=+-．因为111x my =+，所以12y y =-，112122y my x m ⎛⎫⎭-=⎪⎝- =+．所以112,22my y N --⎛⎫ ⎪⎝⎭．因为Q 为OD 的中点，所以221x my =+，所以221,22my y Q +⎛⎫⎪⎝⎭．所以直线NQ 的斜率()212212221212884922128112912249m y y y y m m k my my m m y y m m -+++====+--+-+--+．当0m ≤时，0k ≤．当0m >时，因为912m m+≥=，当且仅当2m =时，等号成立．所以281299m k m =≤+．所以当2m =时，k取得最大值9．20．（共15分）解：（Ⅰ）①当1a =时，()()2sin sin f x x x x b x x x b =-+=-+．记()sin g x x x =-（0x ≥），则()1cos 0g x x '=-≥．所以()g x 在[)0,+∞上是增函数．所以当0x >时，()()00g x g >=．所以当0x >时，()()sin f x x x x b b =-+>．②由()2sin f x x x x b =-+得()2sin cos f x x x x x '=--，且()00f '=．当0x >时，()()1cos sin f x x x x x '=-+-．因为1cos 0x -≥，sin 0x x ->，所以()0f x '>．因为()()f x f x ''-=-对任意x ∈R 恒成立，所以当0x <时，()0f x '<．所以0是()f x 的唯一极值点．（Ⅱ）设曲线()y f x =与曲线cos y x =-的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为1x ，2x ，其斜率分别为1k ，2k ，则121k k =-．因为()cos sin x x '-=，所以1212sin sin 1x x k k ⋅==-．所以{}{}12sin ,sin 1,1x x =-．不妨设1sin 1x =，则1π2π2x k =+，k ∈Z ．因为()1111112sin cos k f x ax x x x '==--，由“优切线”的定义可知111112sin cos sin ax x x x x --=．所以1124ππa x k ==+，k ∈Z ．由“优切线”的定义可知2111111sin cos x x x b x x ⋅-+=-，所以0b =．当24ππa k =+，k ∈Z ，0b =时，取1π2π2x k =+，2π2π2x k =--，则()11cos 0f x x =-=，()22cos 0f x x =-=，()11sin 1f x x ='=，()22sin 1f x x ='=-，符合题意．所以24ππa k =+，k ∈Z ，0b =．21．（共15分）解：（Ⅰ）()110f A =，()112H A =；()212f A ，()215H A =．由定义可知：将数表A 中的每个数变为其相反数，或交换两行（列），()H A ，()f A 的值不变．因为m 为奇数，{}1,1ij a ∈-，所以()1r ，()2r ，…，()r m ，()1c ，()2c ，…，()c m 均不为0．（Ⅱ）当{}0,s m ∈或{}0,t m ∈时，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,i m =⋅⋅⋅．若0t =，结论显然成立；若0t ≠，不妨设()0c j >，1,2,,j t =⋅⋅⋅，则(),i j H ∈，1,2,,i m =⋅⋅⋅，1,2,,j t =⋅⋅⋅．所以()H A mt ≥，结论成立．当{}0,s m ∉且{}0,t m ∉时，不妨设()0r i >，1,2,,i s =⋅⋅⋅，()0c j >，1,2,,j t =⋅⋅⋅，则当1s i m +≤≤时，()0r i <；当1t j m +≤≤时，()0c j <．因为当1,2,,i s =⋅⋅⋅，1,2,,j t t m =++⋅⋅⋅时，()0r i >，()0c j <，所以()()()()()()20ij ij ij a r i a c j a r i c j ⋅=⋅⋅⋅<⋅．所以(),i j H ∈．同理可得：(),i j H ∈，1,2,,m i s s =++⋅⋅⋅，1,2,,j t =⋅⋅⋅．所以()()()2H A s m t m s t mt ms st ≥-+-=+-．（Ⅲ）当5m =时，()()H A f A 的最小值为89．对于如下的数表A ，()()89H A f A =．下面证明：()()89H A f A ≥．设()1r ，()2r ，…，()r m 中恰有s 个正数，()1c ，()2c ，…，()c m 中恰有t 个正数，{},0,1,2,3,4,5s t ∈．①若{}0,5s ∈或{}0,5t ∈，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,5i =⋅⋅⋅．所以当1ij a =时，(),i j H ∈．由A 中所有数不全相同，记数表A 中1的个数为a ，则1a ≥，且()()()()251252r r r f A +++⋅⋅⋅+=()252252a a a +--==，()H A a ≥．所以()()819H A f A ≥>．②由①设{}0,5s ∉且{}0,5t ∉．若{}2,3s ∈或{}2,3t ∈，不妨设2s =，则由（Ⅱ）中结论知：()51041011H A t t t ≥+-=+≥．因为()()()()251250122r r r f A -++⋅⋅⋅+<=≤，所以()()118129H A f A ≥>．③由①②设{}0,2,3,5s ∉且{}0,2,3,5t ∉．若{}{},1,4s t =，则由（Ⅱ）中结论知：()25817H A ≥-=．因为()012f A <≤，所以()()178129H A f A ≥>．若s t =，{}1,4s ∈，不妨设1s t ==，()10r >，()10c >，且()()1H A f A<，由（Ⅱ）中结论知：()8H A ≥．所以()()8f A H A >≥．若数表A 中存在ij a （{},2,3,4,5i j ∈）为1，将其替换为1-后得到数表A '．因为()()1H A H A '=-，()()1f A f A '≥-，所以()()()()()()11H A H A H A f A f A f A '-≤<'-．所以将数表A 中第i 行第j 列（,2,3,4,5i j =）为1的数替换为1-后()()H A f A 值变小．所以不妨设1ij a =-（,2,3,4,5i j =）．因为()5528H A ≥+-=，()9f A ≤，。
数学建模期末答案
《数学建模》期末考试A卷姓名：专业：学号：学习中心：成绩：一、判断题（每题3分，共15分）1、模型具有可转移性。
------------------------------（√）2、一个原型，为了不同的目的可以有多种不同的模型。
------（√）3、一个理想的数学模型需满足模型的适用性和模型的可靠性。
---------------------------------------------（√）4、力学中把质量、长度、时间的量纲作为基本量纲。
-------（√）5、数学模型是原型的复制品。
-------------------- （×）二、不定项选择题（每题3分，共15分）1、下列说法正确的有AC 。
A、评价模型优劣的唯一标准是实践检验。
B、模型误差是可以避免的。
C、生态模型属于按模型的应用领域分的模型。
D、白箱模型意味着人们对原型的内在机理了解不清楚。
2、建模能力包括ABCD 。
A、理解实际问题的能力B、抽象分析问题的能力C、运用工具知识的能力D、试验调试的能力3、按照模型的应用领域分的模型有AE 。
A、传染病模型B、代数模型C、几何模型D、微分模型E、生态模型4、对黑箱系统一般采用的建模方法是 C 。
A、机理分析法B、几何法C、系统辩识法D、代数法5、一个理想的数学模型需满足AC 。
A、模型的适用性B、模型的可靠性C、模型的复杂性D、模型的美观性三、用框图说明数学建模的过程。
（10分）四、建模题（每题15分，共60分）1、四条腿长度相等的椅子放在起伏不平的地面上，4条腿能否同时着地？解：4条腿能同时着地（一）模型假设对椅子和地面都要作一些必要的假设：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。
因此对这个问题我们假设:(1)地面为连续曲面(2)长方形桌的四条腿长度相同(3)相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的(4)方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。
那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。
福建师范大学2020年秋作业《数学建模》期末考试A卷答案
《数学建模》期末考试A卷姓名：专业：学号：学习中心：一、判断题（每题3分，共15分）1、模型具有可转移性。
------------------------------（对）2、一个原型，为了不同的目的可以有多种不同的模型。
----（对）3、一个理想的数学模型需满足模型的适用性和模型的可靠性。
-------------------------------------------（对）4、力学中把质量、长度、时间的量纲作为基本量纲。
------（对）5、数学模型是原型的复制品。
----------------- （错）二、不定项选择题（每题3分，共15分）1、下列说法正确的有AC 。
A、评价模型优劣的唯一标准是实践检验。
B、模型误差是可以避免的。
C、生态模型属于按模型的应用领域分的模型。
D、白箱模型意味着人们对原型的内在机理了解不清楚。
2、建模能力包括ABCD 。
A、理解实际问题的能力B、抽象分析问题的能力C、运用工具知识的能力D、试验调试的能力3、按照模型的应用领域分的模型有AE 。
A、传染病模型B、代数模型C、几何模型D、微分模型E、生态模型4、对黑箱系统一般采用的建模方法是 C 。
A、机理分析法B、几何法C、系统辩识法D、代数法5、一个理想的数学模型需满足AB 。
A、模型的适用性B、模型的可靠性C、模型的复杂性D、模型的美观性三、用框图说明数学建模的过程。
（10分）答：概括的说，数学模型就是一个迭代的过程，其一般建模步骤用框架图表示如下：四、建模题（每题15分，共60分）1、四条腿长度相等的椅子放在起伏不平的地面上，4条腿能否同时着地？解：4条腿能同时着地（一）模型假设对椅子和地面都要作一些必要的假设：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。
因此对这个问题我们假设:(1)地面为连续曲面(2)长方形桌的四条腿长度相同(3)相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的(4)方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。
人教版八年级上册数学期末考试试卷含答案
人教版八年级上册数学期末考试试题一、单选题1．下列图形中有且只有一条对称轴的是（）A ．B ．C ．D ．2．如果分式62x -有意义，那么x 满足（）A ．2x =B ．2x ≠C ．0x =D ．0x ≠3．下列各式不能用平方差公式计算的是（）A ．（2a －3b ）（3a ＋2b ）B ．（4a 2－3bc ）（4a 2＋3bc ）C ．（3a ＋2b ）（2b －3a ）D ．（3m ＋5）（5－3m ）4．从正多边形的一个顶点可以引出5条对角线,则这个正多边形每个外角的度数为（）A ．135°B ．45°C ．60°D ．120°5．如图，在△ABC 中，F 是高AD 和BE 的交点，BC ＝6，CD ＝2，AD ＝BD ，则线段AF 的长度为（）A ．2B ．1C ．4D ．36．如图，OP 平分∠MON ，PA ⊥ON 于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，若PA=2，则PQ 的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，在△ABC 中，D 是CA 延长线上一点，∠B=40°，∠BAD=76°，则∠C 的度数为（）A ．36︒B ．116︒C ．26︒D ．104︒8．已知：如图，在△ABC 中，边AB 的垂直平分线分别交BC 、AB 于点G 、D ，若△AGC 的周长为31cm ，AB=20cm ，则△ABC 的周长为（）A ．31cmB ．41cmC ．51cmD ．61cm二、填空题9．数据0.00000008m ，用科学记数法表示为______________m10．若代数式02(2)(2)m m -++-有意义，则m 的取值范围是___________.11．因式分解：22123xy -=__________．12．若23x =，25y =，则2x y +=_____．13．如图，在△ABC 中，点E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，EF ∥BC ，点D 在BC 边上，连接DE 、DF 请你添加一个条件___________________，使△BED ≌△FDE14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是__________．15．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，边AB 的垂直平分线DE 交AB 于点E ，交BC 于点D ，CD=3，则BC 的长为___________16．当x_________时，分式235x -有意义.17．甲、乙两个搬运工搬运某种货物．已知乙比甲每小时多搬运600kg ，甲搬运5000kg 所用的时间与乙搬运8000kg 所用的时间相等．设甲每小时搬运xkg 货物，则可列方程为___．18．如图，过边长为1的等边ABC ∆的边AB 上一点P ，作PE AC ⊥于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA CQ =时，连接PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为______.三、解答题19．解方程：1x -53x +=020．先化简，再求值：()()2(23)22x y x y x y +-+-，其中13x =，12y =-．21．如图，在平面直角坐标系中（1）请在图中作出△ABC 关于直线m 的轴对称图形△A 1B 1C 1（2）坐标系中有一点M(-3，3)，点M 关于直线m 的对称点为点N ，点N 关于直线n 的对称点为点E ，写出点N 的坐标；点E 的坐标．22．已知：如图，点E 、A 、C 在同一直线上，AB ∥CD ，AB ＝CE ，AC ＝CD求证：∠B ＝∠E23．如图，BD是△ABC的角平分线,AE丄BD交BD的'延长线于点E,∠ABC=72°，∠C：∠ADB=2：3,求∠BAC和∠DAE的度数.24．如图，在△ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB（1）若∠ABC=65°，则∠NMA的度数为（2）若AB=10cm，△MBC的周长是18cm①求BC的长度②若点P为直线MN上一点，则△PBC周长的最小值为cm25．问题：分解因式（a+b）2-2（a+b）+1答：将“a+b”看成整体，设M=a+b，原式=M2-2M+1=（M-1）2，将M还原，得原式=（a+b-1）2上述解题用到的是“整体思想”，这是数学解题中常用的一种思想方法．请你仿照上面的方法解答下列问题：（1）因式分解：（2a+b）2-9a2=（2）求证：（n+1）（n+2）（n 2+3n ）+1的值一定是某一个正整数的平方（n 为正整数）26．如图，△ABC 是等边三角形，D 是边AC 的中点，EC ⊥BC 与点C ，连接BD 、DE 、AE 且CE=BD ，求证：△ADE 为等边三角形27．水果店的老板用2400元购进一批仙桃，很快售完；老板又用3700元购进第二批仙桃，所购件数是第一批的32倍，但进价比第一批每件多了5元．（1）第一批仙桃每件进价是多少元？（2）老板以每件225元的价格销售第二批仙桃，售出80%后，为了尽快售完，剩下的决定打折促销．要使得第二批仙桃的销售利润不少于440元，剩余的仙桃每件售价至少打几折？（利润＝售价﹣进价）28．如图①，∠BAD=90°，AB=AD ，过点B 作BC ⊥AC 于点C ，过点D 作DE ⊥CA 的延长线点E ，由∠1+∠2=∠D+∠2=90°，得∠1=∠D ，又∠ACB=∠AED=90°，AB=AD ，得△ABC ≌△DAE 进而得到AC=DE ，BC=AE ，我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型．请应用上述“一线三等角”模型，解决下列问题：（1）如图②，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD ，AC=AE ，连接BC 、DE ，且BC ⊥AH 于点H ，DE 与直线AH 交于点G ，求证：点G 是DE 的中点．（2）如图③，在平面直角坐标系中，点A 为平面内任意一点，点B 的坐标为（4，1），若△AOB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点A 的坐标．参考答案1．D【分析】根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【详解】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；B．有4条对称轴，故此选项不合题意；C．有3条对称轴，故此选项不合题意；D．有1条对称轴，故此选项符合题意．故选：D．2．B【分析】根据分式有意义的条件：分母不为零，得到不等式解不等式即可.【详解】要使分式62x-有意义，则x-2≠0，得到2x≠，故选B3．A【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．【详解】解：A.(2a－3b)(3a＋2b)不符合平方差公式的特点，故不能用平方差公式计算；B.(4a2－3bc)(4a2＋3bc)=16a4-9b2c2，故能用平方差公式计算；C.(3a＋2b)(2b－3a)=4b2-9a2，故能用平方差公式计算；D.(3m＋5)(5－3m)=25-9m2，故能用平方差公式计算；故选：A．4．B【分析】先由n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，可求出多边形的边数，再根据正多边形的每个外角相等且外角和为360°．【详解】解：∵经过多边形的一个顶点有5条对角线，∴这个多边形有5+3=8条边，∴此正多边形的每个外角度数为360°÷8=45°，故选B5．A【分析】先求BD，AD的长，再证△BFD≌△ADC，即可得到FD的长，即可求解.【详解】∵BC＝6，CD＝2，∴BD=BC-CD ＝6-2=4，∴AD ＝BD=4∵AD 和BE 是三角形的高∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°∴∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°∴∠DAC=∠EBC在△BFD 和△ADC 中DAC EBC BD AD ADB ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BFD ≌△ADC （ASA ）∴FD=DC=2∴AF=AD-FD=2故选A6．B【分析】根据题意点Q 是射线OM 上的一个动点，要求PQ 的最小值，需要找出满足题意的点Q ，根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以我们过点P 作PQ 垂直OM ，此时的PQ 最短，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PA=PQ ，利用已知的PA 的值即可求出PQ 的最小值．【详解】解：过点P 作PQ ⊥OM ，垂足为Q ，则PQ 为最短距离，∵OP 平分∠MON ，PA ⊥ON ，PQ ⊥OM ，∴PA=PQ=2，故选：B ．7．A【详解】解：∵∠BAD 是△ABC 的一个外角，∴∠BAD=∠B+∠C ，∴∠C=∠BAD-∠B=76°-40°=36°.故选A.8．C【分析】已知△AGC 的周长，因为GB 等于AG ，所以△ABC 的周长等于AC+CG+GB+AB ，即等于△AGC 的周长+AB.【详解】∵DG 是AB 边的垂直平分线，∴GA=GB ，△AGC 的周长=AG+AC+CG=AC+BC=31cm ，又AB=20cm ，∴△ABC 的周长=AC+BC+AB=51cm ，故选C.【点睛】本题考查线段的垂直平分线的性质.把求△ABC 的周长进行转化是解题的关键.9．8810-⨯【分析】将原数写成10n a ⨯的形式，a 是大于等于1小于10的数．【详解】解：80.00000008810-=⨯．故答案是：8810-⨯．【点睛】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的表示方法．10．2m ≠±【分析】根据零指数幂的法则和负整数指数幂的法则可得关于m 的不等式组，解不等式组即可得出答案.【详解】解：根据题意，得：20m +≠且20m -≠，解得：2m ≠±.故答案为2m ≠±.【点睛】本题考查了零指数幂和负整数指数幂的知识，属于基础题型，熟知运用零指数幂和负整数指数幂的运算法则进行计算的前提条件是解此题的关键.11．3(2x+y)(2x-y)【分析】先提取公因式，然后根据平方差公式因式分解即可.【详解】解：原式=3（4x 2-y 2）=3（2x+y ）（2x-y ）.【点睛】因式分解是本题的考点，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，本题用到了提取公因式法和公式法.12．15【分析】由23x=，25y =，根据同底数幂的乘法可得222x y x y +=⋅，继而可求得答案．【详解】∵23x=，25y =，∴2223515x y x y +=⋅=⨯=，故答案为15.【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键.本题中要注意掌握公式的逆运算．13．BD=FE （答案不唯一）；【分析】根据平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定定理即可解答．【详解】当BD=FE 时，△BED ≌△FDE ，∵EF ∥BC ，当BD=FE 时，∴四边形BEFD 是平行四边形，∴∠B ＝∠DFE ，BE ＝FD∵BD ＝FE∴△BED ≌△FDE ，故答案为：BD ＝FE ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，利用了平行四边形的判定及其性质，全等三角形的判定，利用平行四边形的性质得出三角形全等的条件是解题关键．14．110°或70°【详解】解：分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+20°=110°；当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°﹣20°=70°．故答案为110°或70°．考点：1．等腰三角形的性质；2．分类讨论．15．9【详解】∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠DAE=∠B=30°，∴∠ADC＝∠DAE＋∠B=60°，∴∠CAD=30°，∴AD=2DC=6，即BD=6，∴BC=9．【点睛】本题主要考查的知识点有线段垂直平分线的性质、直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练运用各性质是解题的关键．16．5 3≠【分析】根据分母不等于0列式求解即可.【详解】由题意得3x-5≠0，x5 3≠.故答案为5 3≠.【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分母不为零时分式有意义是解答本题的关键.17．5000x＝8000600+x【分析】设甲每小时搬运x千克，则乙每小时搬运（x+600）千克，根据甲搬运5000kg所用时间与乙搬运8000kg所用时间相等建立方程求出其解就可以得出结论．【详解】解：设甲每小时搬运x千克，则乙每小时搬运（x+600）千克，由题意得：5000x＝8000600+x．故答案是：5000x ＝8000600+x ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意找到等量关系是关键．18．12【分析】过P 作PF ∥BC 交AC 于F ，得出等边三角形APF ，推出AP=PF=QC ，根据等腰三角形性质求出EF=AE ，证△PFD ≌△QCD ，推出FD=CD ，推出DE=12AC 即可．【详解】解：过P 作PF ∥BC 交AC 于F，∵PF ∥BC ，△ABC 是等边三角形，∴∠PFD=∠QCD ，∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，∠A=60°，∴△APF 是等边三角形，∴AP=PF=AF ，∵PE ⊥AC ，∴AE=EF ，∵AP=PF ，AP=CQ ，∴PF=CQ ，在△PFD 和△QCD 中PFD QCDPDF CDQ PF CQ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PFD ≌△QCD ，∴FD=CD ，∵AE=EF ，∴EF+FD=AE+CD ，∴AE+CD=DE=12AC ，∵AC=1，∴DE=12；故答案为：12.【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．19．x=34【分析】方程两边同乘以x(x+3)，得到整式方程，解整式方程，把得到的根代入最简公分母检验即可．【详解】解：x ＋3－5x=04x=3x=34检验：当x=34时，x （x+3）≠0，故x=34是原方程的根．【点睛】本题考查的是分式方程的解法，解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．20．21210xy y +，12【分析】先利用完全平方公式与平方差公式计算乘法，再合并同类项，最后代入计算即可．【详解】()()2(23)22x y x y x y +-+-()222241294x xy y x y =++--22222412941210x xy y x y xy y =++-+=+，当13x =，12y =-时，原式21111210322⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭522=-+12=．【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，涉及了完全平方公式，平方差公式，解题的关键是熟练掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则．21．（1）见解析；（2）（1，3），（1，1）．【分析】（1）利用网格结构分别找出点A 、B 、C 关于直线m 的对称点，然后顺次连接即可．（2）利用网格结构找出点M 关于直线m 的对称点N ，再找出点N 关于直线n 的对称点E ，写出其坐标即可．【详解】（1）如图即为ABC 关于直线m 的轴对称图形111A B C △．（2）如图，即可知点M 关于直线m 的对称点N 的坐标是(1，3)；点N 关于直线n 的对称点E 的坐标是(1，1)．故答案为：(1，3)；(1，1)．【点睛】本题考查画轴对称图形和轴对称-坐标的变化．了解轴对称的性质是解答本题的关键．22．见解析【分析】根据平行线的性质可得∠BAC=∠ECD ，再由条件AB=CE ，AC=CD 可证出△BAC 和△ECD 全等，再根据全等三角形对应角相等即可求证结论．【详解】证明：∵AB ∥CD∴∠BAC=∠ECD∵在△ABC 和△CED 中，AB CE BAC ECD AC CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△CED （SAS ）∴∠B=∠E【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明△ABC ≌△CED ．23．∠BAC =36°，∠DAE=18°.【分析】先根据BD 是△ABC 的角平分线，∠ABC =72°求出∠EBC=36°，由∠C ：∠ADB =2：3可设∠C=2x ，则∠ADB=3x,根据在△BCD 中的外角定理列出方程即可求解x,再根据等腰三角形的及垂直的性质求解.【详解】∵BD 是△ABC 的角平分线，∠ABC =72°∴∠EBC=36°，∵∠C ：∠ADB =2：3可设∠C=2x ，则∠ADB=3x,在△BCD 中∠ADB=∠EBC+∠C即3x=36°+2x解得x=36°，∴∠C=72°，∠ADB=108°，故∠BAC=180°-∠C-∠ABC=36°，在△DAE 中，AE 丄BD∴∠DAE=∠ADB-90°=18°.【点睛】此题主要考查角度的求解，解题的关键是熟知三角形的外角定理.24．（1）40°；（2）①8cm ；②18【分析】（1）先根据等腰三角形的性质求出∠A=50°，根据垂直平分线的定义得到∠ANM ＝90°，然后根据直角三角形两锐角互余求解即可；（2）①根据垂直平分线的性质得AM=BM ，△MBC 的周长是18cm ，AC=AB=10cm ，即可求BC 的长度；②当点P 与点M 重合时，△PBC 周长的最小，即为△MBC 的周长．【详解】解：（1）∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C∵∠ABC=65°，∴∠C=65°，∴∠A=50°，∵MN 是AB 的垂直平分线，∴∠ANM ＝90°，∴∠NMA=90°-50°=40°；（2）①∵MN 是线段AB 的垂直平分线，∴AM=MB ．∵△MBC 的周长是18cm ，AB=10cm ，∴BM+MC+BC=AM+MC+BC=AC+BC=AB+BC=18cm ，∴BC=18-AB=18-10=8cm ；②∵MN 是线段AB 的垂直平分线，∴点A 和点B 关于直线MN 对称，∴当点P 与点M 重合时，△PBC 周长的值最小，∴△PBC 的周长的最小值为18cm ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．25．（1）()()5+a b b a -；（2）见解析【分析】（1）根据平方差公式分解因式即可求解；（2）先根据多项式乘以多项式进行计算，再根据完全平方公式分解即可求解．【详解】解：（1）原式()()22=2+3a b a -()()=2+32+3a b a a b a +-()()=5+a b b a -证明（2）（n+1）（n+2）（n 2+3n ）+1=（n 2+3n+2）（n 2+3n ）+1=（n 2+3n ）2+2（n 2+3n ）+1=（n 2+3n+1）2故当n 为正整数时，（n+1）（n+2）（n 2+3n ）+1的值一定是某一个正整数的平方【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式、完全平方公式的应用．26．证明见解析【分析】利用△ABC 是等边三角形，D 为边AC 的中点，求得∠ADB=90°，再用SAS 证明△CBD ≌△ACE ，推出AE=CD=AD ，∠AEC=∠BDC=90°，根据直角三角形斜边上中线性质求出DE=AD ，即可证明．【详解】证明：∵△ABC 是等边三角形，D 是边AC 的中点，∴AD=DC ，BC=CA ，BD ⊥AC ，∴∠BDC=90°，即∠DBC+∠DCB=90°，∵EC ⊥BC ，∴∠BCE=90°，即∠ACE+∠BCD=90°，∴∠ACE=∠DBC ，在△CBD 和△ACE 中，BC CA DBC ACE BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CBD ≅△ACE （SAS ）∴CD=AE ，∴∠AEC=∠CDB=90°∵D 为AC 的中点∴AD=DE ，AD=DC ，∴AD=AE=DE ，即△ADE 为等边三角形．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上的中线等．解答此题的关键是先证明△CBD ≌△ACE ，然后再利用三边相等证明此三角形是等边三角形．27．（1）进价为180元；（2）至少打6折．【分析】（1）根据题意，列出等式24003370025x x ⨯=+，解等式，再验证即可得到答案；（2）设剩余的仙桃每件售价打y 折，由题意得到不等式，再解不等式，即可得到答案.【详解】解：（1）设第一批仙桃每件进价x 元，则24003370025x x ⨯=+，解得180x =．经检验，180x =是原方程的根．答：第一批仙桃每件进价为180元；（2）设剩余的仙桃每件售价打y 折．则：3700370022580%225(180%)0.1370044018051805y ⨯⨯+⨯⨯-⨯-≥++，解得6y ≥．答：剩余的仙桃每件售价至少打6折．【点睛】本题考查分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握分式方程的应用和一元一次不等式的应用.28．（1）见解析；（2）A(32，52)或(52，-32)．【分析】（1）过点D 作DM ⊥AM 交AG 于点M ，过点E 作EN ⊥AG 于点N ．根据“K 字模型”即可证明AH=DM 和AH=EN ，即EN=DM ，再根据全等三角形的判定和性质即可证明DG=EG ，即点G 是DE 的中点．（2）分情况讨论①当A 点在OB 的上方时，作AC 垂直于y 轴，BE 垂直于x 轴，CA 和EB 的延长线交于点D ．根据“K 字模型”即可证明AC BD OC AD DE ===，，再利用B 点坐标即可求出A 点坐标．②当A 点在OB 的下方时，作AP 垂直于y 轴，BM 垂直于x 轴，PA 和BM 的延长线交于点Q ．同理即能求出A 点坐标．【详解】（1）如图，过点D 作DM ⊥AM 交AG 于点M ，过点E 作EN ⊥AG 于点N ，则∠DMA=90°，∠ENG=90°．∵∠BHA=90，∴∠2+∠B=90°．∵∠BAD=90°，∴∠1+∠2=90°．∴∠B=∠1．在△ABH 和△DAM 中1BHA AMD B AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABH ≅△DAM （AAS ），∴AH=DM ．同理△ACH ≅△EAN （AAS ），∴AH=EN ．∴EN=DM ．在△DMG 和△ENG 中MGD NGE DMG ENG DM EN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DMG ≅△ENG （AAS ）．∴DG=EG ．∴点G 是DE的中点．（2）根据题意可知有两种情况，A 点分别在OB 的上方和下方．①当A 点在OB 的上方时，如图，作AC 垂直于y 轴，BE 垂直于x 轴，CA 和EB 的延长线交于点D ．利用“K 字模型”可知ACO BDA ≅ ，∴AC BD OC AD DE ===，，设AC x =，则BD x =，∵1DE BD BE x =+=+，∴1OC AD DE x ===+，又∵4CD AD AC =+=，即14x x ++=，解得32x =，∴32AC =，35122DE =+=．即点A 坐标为(32，52)．②当A点在OB的下方时，如图，作AP垂直于y轴，BM垂直于x轴，PA和BM的延长线交于点Q．根据①同理可得：52AP=，32MQ=．即点A坐标为(52，32-)．。
湖北省恩施市2022-2023学年八年级上学期数学期末考试题卷及解析
湖北省恩施市2022-2023学年八年级上学期数学期末考试题卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．某班开展了以迎2022年北京冬奥为主题的海报评比活动．下列海报设计中，属于轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．下列运算正确的是（ ） A ．358a a a ⋅=B ．5510a a a +=C ．()235a a -=-D ．22()ab ab =3．据学习强国介绍，在天宫二号实验室中科学家实现了最高精度的空间冷原子钟，日稳定度达到0.00000000000000072秒，即3000万年误差小于1秒，将数0.00000000000000072用科学记数法表示为（ ）A ．157.210-⨯B ．150.7210-⨯C ．177210-⨯D ．167.210-⨯4．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边对齐，则1∠的度数为（ ）．A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°5．如果把分式3xyx y-中的x ，y 都扩大3倍，那么分式的值（ ） A ．缩小3倍B ．不变C ．扩大3倍D ．扩大9倍6．如图，工人师傅在安装木制门框时，为防止变形，常常钉上两条斜拉的木条，这样做的数学依据是（ ）A ．两点确定一条直线B ．两点之间，线段最短C ．三角形具有稳定性D ．三角形的任意两边之和大于第三边7．下列等式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ）A ．()22222ab a b a b ab -=-B ．()23131x x x x -+=-+C ．()2244121a a a -+=-D ．211x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭8．以下图形中，根据尺规作图痕迹，不能判断射线AD 平分BAC ∠的是（ ）A ．①B ．①C ．①D ．①9．根据下列已知条件，能画出唯一的ABC 的是（ ） A ．3AB =，4BC =B ．4AB =，3BC =，30A ∠=︒ C ．60A ∠=︒，45B ∠=︒，4AB =D ．60C ∠=︒，6AB =10．张老师和李老师住在同一个小区，离学校3000米．某天早晨，张老师和李老师分别于7点10分，7点15分离家骑自行车上班，刚好在校门口遇上．已知李老师骑车的速度是张老师的1.2倍，为了求他们各自骑自行车的速度，设张老师骑自行车的速度是x 米/分，则可列得方程为（ ） A ．3000300051.2x x -= B ．300030005601.2x x -=⨯ C ．3000300051.2x x-= D ．300030005601.2x x-=⨯ 11．如图，在ABC 中，BAC ∠和ABC ∠的平分线,AE BF 相交于点O ，AE 交BC 于E ，BF 交AC 于F ，过点O 作OD BC ⊥于D ，下列四个结论：①90AOB C ∠=︒+∠；①当60C ∠=︒时，AF BE AB +=；①若OD a =，2AB BC CA b ++=，则ABCSab =，其中正确的是（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①①12．如图，Rt①ABC 中，①ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，AB ＝10，BD 平分①ABC ，如果点M ，N 分别为BD ，BC 上的动点，那么CM +MN 的最小值是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．4.8二、填空题13x 取值范围是______． 14．已知()2219x m x -++是一个完全平方式，则m =__________．15．如图，在①ABC 中，点P 为AB 和BC 垂直平分线的交点，点Q 与点P 关于AC 对称，连接PC ，PQ ，CQ ．若①PCQ 中有一个角是50°，则①B =__度．16．如图是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第11行第7个数为_______．（用具体数字作答）三、解答题17．（1）计算()()23223ab a b ab a b +÷-+（2）因式分解()()131x x --+18．如图，在ABC 中，AD 是ABC 的高线，AE 是ABC 的角平分线，已知80BAC ∠=︒，10DAE ∠=︒，求C ∠的大小．19．先化简，后求值：（21x x -﹣x +1）÷24411x x x-+-，其中x ＝1，﹣1，0.5，﹣0.5，选一个你喜欢的数代入求值．20．如图，平面直角坐标系中，A （﹣2，1），B （﹣3，4），C （﹣1，3），过点（1，0）作x 轴的垂线l ．(1)作出①ABC 关于直线l 的轴对称图形111A B C △；(2)直接写出1A （ ， ），1B （ ， ），1C （ ， ）；(3)在①ABC 内有一点P （m ，n ），则点P 关于直线l 的对称点1P 的坐标为（ ， ）（结果用含m ，n 的式子表示）．21．如图，在ABC 中，AB AC =，点D E F ，，分别在AB BC AC ，，边上，且BE CF =，BD CE =.(1)求证：DEF 是等腰三角形； (2)当20A ∠=︒时，求DEF ∠的度数；22．近年来，北仑春晓名优茶品屡获国际大奖，打响了茶叶区域品牌．甲茶叶店慕名来春晓进货，用4000元购进了A 品牌茶叶若干盒，用8000元购进B 品牌茶叶若干盒，所购B 品牌茶叶比A 品牌茶叶多5盒，且B 品牌茶叶每盒进价是A 品牌茶叶每盒进价的1.6倍．(1)A ，B 两种品牌茶叶每盒进价分别为多少元？(2)乙茶叶店计划用4800元购进A ，B 两种品牌茶叶试售，要求每种品牌茶叶至少购进1盒且刚好用完购茶款，请你设计进货方案．23．我国著名数学家曾说：“数无形时少直觉，形少数时难入微.”数形结合思想是解决问题的有效途径.请阅读材料完成：(1)算法赏析：若x 满足()()152x x --=，求()()2215x x -+-的值．解：设()1x a -=，()5x b -=，则()()152x x ab --==，()()154a b x x +=-+-=- ①()()222215x x a b -+-=+…… 请继续完成计算.(2)算法体验：若x 满足()()3020580x x --=-，求()()223020x x -+-的值；(3)算法应用：如图，已知数轴上A 、B 、C 表示的数分别是m 、10、13.以AB 为边作正方形ABDE ，以AC 为边作正方形ACFG ，延长ED 交FC 于P .若正方形ACFG 与正方形ABDE 面积的和为119，求长方形AEPC 的面积． 24．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】（1）如图1，90,BAD AB AD ∠︒＝＝，过点B 作BC AC ⊥于点C ，过点D 作DE AC ⊥于点E ．由12290D ∠+∠=∠+∠=︒，得1D ∠=∠．又90ACB AED ∠=∠=︒，可以推理得到ABC DAE ≌．进而得到AC ＝_______，BC ＝______．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型； 【模型应用】（2）①如图2，90,,BAD CAE AB AD AC AE ∠=∠=︒＝＝，连接,BC DE ，且BC AF ⊥于点F ，DE 与直线AF 交于点G ．求证：点G 是DE 的中点；①如图3，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()2,4，点B 为平面内任一点．若AOB △是以OA 为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B 的坐标．参考答案：1．C【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】选项A 、B 、D 不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项C 能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：C ．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，解决本题的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．A【分析】根据同底数的幂相乘，幂的乘方，积的乘方法则及合并同类项法则逐项判断． 【详解】解：a 3•a 5=a 8，故A 正确，符合题意； a 5+a 5=2a 5，故B 不正确，不符合题意； （-a 3）2=a 6，故C 不正确，不符合题意； （ab ）2=a 2b 2，故D 不正确，不符合题意； 故选：A ．【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握整式相关运算的法则． 3．D【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10≥时，n 是正整数；当原数的绝对值1<时，n 是负整数． 【详解】解：160.000000000000000727.210-=⨯． 故选：D ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．4．A【分析】根据三角板可得：①2=60°，①5=45°，然后根据三角形内角和定理可得①2的度数，进而得到①4的度数，再根据三角形内角与外角的关系可得①2的度数．【详解】解：如图：由题意得：①2=60°，①5=45°，①①2=60°，①①3=180°-90°-60°=30°，①①4=30°，①①1=①4+①5=30°+45°=75°故选：A．【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和．5．C【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答．【详解】解：由题意得：333 3333x y xyx y x y⋅=⋅--，①如果把分式3xyx y-中的x，y都扩大3倍，那么分式的值扩大3倍，故选：C．【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．6．C【分析】根据三角形具有稳定性进行求解即可．【详解】解：工人师傅在安装木制门框时，为防止变形，常常钉上两条斜拉的木条，这样做的数学依据是三角形具有稳定性，故选C．【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键．7．C【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】解：A 、()22222ab a b a b ab -=-属于整式的乘法，不是因式分解；B 、231(3)1x x x x -+=-+没把一个多项式转化成几个整式积的形式，不是因式分解；C 、()2244121a a a -+=-符合因式分解的定义；D 、211x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭没把一个多项式转化成几个整式积的形式，不是因式分解；故选C ．【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别． 8．C【分析】根据角平分线的作法以及全等三角形的判定和性质逐一进行判断即可． 【详解】图①中，利用基本作图可判断AD 平分①BAC ； 在图①中，根据作法可知：AE =AF ，AM =AN ，在△AMF 和△ANE 中，AF AE MAF NAE AM AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①AMF ①①ANE （SAS ）， ①①AMD =①AND ， ①①MDE =①NDF ， ①AE =AF ，AM =AN ， ①ME =NF ，在△MDE 和△NDF 中，MDE NDFAMD AND ME NF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①MDE ①①NDF （AAS ），所以D 点到AM 和AN 的距离相等， ①AD 平分①BAC ；在图①中，利用基本作图得到D 点为GH 的中点，则不能判定AD 平分①BAC ；在图①中，根据作法可知：AD =DB ，AD =DC ，AB =AC ， ①AD =DB =DC ， 又AD =AD ，①△ADB ①①ADC （SSS ）， ①①BAD =①CAD ， ①AD 平分①BAC ；综上，只有图①不能判定AD 平分①BAC ， 故选：C ．【点睛】本题考查了作图-基本作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握角平分线的作法． 9．C【分析】利用全等三角形的判定定理即可求解．【详解】解：A. 3AB =，4BC =，只有两边长度无法确定三角形形状，故该选项错误； B. 4AB =，3BC =，30A ∠=︒，A ∠不是这两条边的夹角，无法确定三角形形状，故该选项错误；C. 60A ∠=︒，45B ∠=︒，4AB =，满足全等三角形的判定ASA ，能确定三角形形状，故该选项正确；D. 60C ∠=︒，6AB =，一个角和一条边无法确定三角形形状，故该选项错误．故选：C【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答此题的关键．10．A【分析】根据题意列出分式方程即可．【详解】解：设张老师骑自行车的速度是x 米/分，由题意得：3000300051.2x x-=， 故选：A ．【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，解决本题的关键是根据题意列出正确的方程．11．B【分析】由角平分线的定义和三角形内角和定理可求解AOB ∠和C ∠的关系，进而判定①；根据60C ∠=︒得120BAC BCA ∠+∠=︒，根据角平分线和三角形内角和定理得60BOE ∠=︒，在AB 上取一点H ，使BH BE =，利用SAS 证明E HBO BO ≌△△可得60AOH AOF ∠=∠=︒，利用ASA 可证明HAO FAO △≌△得AF AH =，进而可判定①；作OH AC ⊥于H ，OM AB ⊥于M ，根据题意得OH OM OD a ===，根据2AB BC CA b ++=，利用三角形面积即可判断①，即可得．【详解】解：①BAC ∠和ABC ∠的平分线AE ，BF 相交于点O ， ①12OBA CBA ∠=∠，12OAB CAB ∠=∠， ①180AOB OBA OAB ∠=︒-∠-∠ =1118022CBA CAB ︒-∠-∠ =()11801802C ︒-︒-∠ =1902C ︒+∠， 故①错误；①60C ∠=︒，①120BAC BCA ∠+∠=︒，①AE ，BF 分别是BAC ∠和ABC ∠的平分线， ①()1602OAB OBA BAC ABC ∠+∠=∠+∠=︒， ①120AOB ∠=︒，①60AOF ∠=︒，①60BOE ∠=︒，如图所示，在AB 上取一点H ，使BH BE =，①BF 是ABC ∠的角平分线，①HBO EBO ∠=∠，在△HBO 和EBO 中，BH BE HBO EBO BO BO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()SAS E HBO BO ≌△△，①60BOH BOE ∠=∠=︒，①60AOH ∠=︒，①60AOH AOF ∠=∠=︒，在HAO 和FAO 中，HOA FAO AO AO AOH AOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩①()ASA HAO FAO △≌△，①AF AH =，①++AB BH AH BE AF ==，故①正确；如图所示，作OH AC ⊥于H ，OM AB ⊥于M ，①BAC ∠和ABC ∠的平分线相交于点O ，①点O 在C ∠的平分线上，①OH OM OD a ===，①2AB BC CA b ++=， ①111222ABC S AB OM AC OH BC OD =++△ =()12AB AC BC a ++ =ab ，故①正确；综上，①①正确，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点，添加辅助线．12．D【分析】先作CE ①AB 交BD 于点M ，再作MN 垂直BC ，根据角平分线的性质：角分线上的点到角的两边距离相等，即可找到动点M 和N ，进而求得CM +MN 的最小值．【详解】解：如图所示：过点C 作CE ①AB 于点E ，交BD 于点M ，过点M 作MN ①BC 于点N ，①BD 平分①ABC ，①ME =MN ，①CM +MN =CM +ME =CE ．①Rt ①ABC 中，①ACB =90°，AC =6，BC =8，AB =10，CE ①AB ， ①1122ABC S AB CE AC BC ∆=⋅=⋅， ①10CE =6×8，①CE =4.8．即CM +MN 的最小值是4.8，故应选：D ．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题、角分线的性质，找到使CM +MN 最小时的动点M 和N 是解决本题的关键．13．x ≥-5且x ≠2【分析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件解答即可．【详解】解：① ①x +5≥0，x -2≠0，解得x ≥-5且x ≠2，故答案为：x ≥-5且x ≠2．【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟记条件列得不等式是解题的关键．14．2或4-【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m 的值．【详解】解：①()2219x m x -++是一个完全平方式， ①()216m -+=±，解得：2m =或4m =-．故答案为：2或4-．【点睛】本题考查完全平方式，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．理解和掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．15．50或65【分析】连接AP、BP，由点P为AB和BC垂直平分线的交点，得P A＝PB＝PC，知①P AB ＝①PBA，①PBC＝①PCB，①P AC＝①PCA，又点Q与点P关于AC对称，可得PC＝QC，①PCA ＝①QCA，①CPQ＝①CQP，分两种情况：①当①CPQ＝①CQP＝50°时，①PCQ＝80°，可得①PCA ＝40°，①P AC＝40°，即得2①ABP+2①PBC＝100°，①ABC＝50°，①当①PCQ＝50°时，同理可得①ABC＝65°．【详解】解：连接AP、BP，如图：①点P为AB和BC垂直平分线的交点，①P A＝PB＝PC，①①P AB＝①PBA，①PBC＝①PCB，①P AC＝①PCA，①点Q与点P关于AC对称，①PC＝QC，①PCA＝①QCA，①①CPQ＝①CQP，①当①CPQ＝①CQP＝50°时，①PCQ＝80°，①①PCA＝40°，①①P AC＝40°，①①P AB+①PBA+①PBC+①PCB＝180°﹣①P AC﹣①PCA＝100°，①2①ABP+2①PBC＝100°，①①ABP+①PBC＝50°，即①ABC＝50°，①当①PCQ＝50°时，①PCA＝25°，①①P AC＝25°，①①P AB+①PBA+①PBC+①PCB＝180°﹣①P AC﹣①PCA＝130°，①2①ABP+2①PBC＝130°，①①ABP+①PBC＝65°，即①ABC＝65°，综上所述，①ABC为50°或65°，故答案为：50或65．【点睛】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握三角形内角和定理的应用及轴对称的性质．16．12288【分析】分析各行各列的规律，根据规律进行解答．【详解】解：根据数表可知，每行的第一个数依次为：第1行第一1个数：1=21-2×（1+1），第2行第1个数：3=22-2×（2+1），第3行第1个数：8=23-2×（3+1），第4行第1个数：20=24-2×（4+1），第5行第1个数：48=25-2×（5+1），…①第n行第1个数为：2n-2（n+1），又由数表可知：每行的后一个数依次比前一个数之差为：第1行为：1=21-1，第2行为：2=22-1，第3行为：4=23-1，第4行为：8=24-1，第5行为：16=25-1，…①第n行的后一个数依次比前一个数大2n-1，由上可知，这个数表中的第11行第1个数为：211-2×（11+1）=6144，①这个数表中的第11行第7个数为6144+（7-1）×211-1=6144+6144=12288．故答案为：12288．【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，数字规律探索，本题的规律不明显，不易找到，难度较大，找出每行第一个数的规律是解题的突破口．17．（1）2-ab a；（2）()22-x【分析】（1）先根据多项式除以单项式的运算法则、完全平方公式求解，再合并同类项即可；（2）先利用多项式乘以多项式展开，再利用完全平方公式分解因式即可求解．【详解】解：（1）()()23223ab a b ab a b +÷-+ ()32222=?+3?+2+ab ab a b ab a ab b - 22232=+---b ab a ab b2=-ab a ；（2）()()131x x --+2331=--++x x x244=-+x x()22=-x ． 【点睛】本题考查整式的混合运算、因式分解，熟记完全平方公式，掌握整式的混合运算法则并正确求解是解答的关键．18．40︒或者60︒【分析】分情况讨论：第一种情况，点E 在DC 之间；第二种情况，点E 在BD 之间，利用三角形外角的定义和三角形内角和定理即可作答．【详解】第一种情况，点E 在DC 之间，如图，①AE 是ABC 的角平分线， ①12BAE CAE CAB ∠=∠=∠， ①80BAC ∠=︒，①40BAE CAE ∠=∠=︒，①AD 是ABC 的高线，①AD BC ⊥，即90ADE ∠=︒，①10DAE ∠=︒，①180901080AED ∠=︒-︒-︒=︒，①AED CAE C ∠=∠+∠，40CAE ∠=︒，①804040C AED CAE ∠=∠-∠=︒-︒=︒；第二种情况，点E 在BD 之间，如图，①AE 是ABC 的角平分线， ①12BAE CAE CAB ∠=∠=∠， ①80BAC ∠=︒，①40BAE CAE ∠=∠=︒，①AD 是ABC 的高线，①AD BC ⊥，即90ADC ∠=︒，①10DAE ∠=︒，①401030CAD CAE EAD ∠=∠-∠=︒-︒=︒，①90ADC ∠=︒，①903060C ∠=︒-︒=︒，故答案为：40︒或者60︒．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形的外角的定义等知识，注意分类讨论的思想是解答本题的关键．19．112x-，当x ＝−1时，原式=13． 【分析】先算括号里，再算括号外，然后把x 的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【详解】解：（21x x -﹣x +1）÷24411x x x-+- =（21x x -﹣()211x x --）÷()2211x x -- =22211x x x x -+--()2121x x -⨯-=()2211121x x x x --⨯-- =112x-， ①x ≠1，x ≠0.5，①当x ＝−1时，原式=11123=+． 【点睛】本题考查了分式的化简求值和分式有意义的条件，注意选x 的值代入时，要选择让分母不为0的x ．20．(1)见解析(2)4，1；5，4；3，3(3)2m -，n【分析】（1）根据轴对称的性质画出①ABC 关于直线l 的轴对称图形111A B C △；（2）根据坐标系写出点的坐标；（3）根据①ABC 与111A B C △关于直线l 的轴对称，则P 与1P 关于1x =对称，据此即可求解．【详解】（1）解：如图，111A B C △为所作；（2）由图形可知：A 1（4，1），B 1（5，4），C 1（3，3）；故答案为：4，1；5，4；3，3；（3）点P 关于直线l 的对称点P 1的坐标为（2﹣m ，n ）．故答案为：2﹣m ，n ．【点睛】本题考查了画轴对称图形，轴对称的性质，坐标与图形，掌握轴对称的性质是解题的关键．21．(1)证明见解析；(2)80∠=︒DEF【分析】（1）根据等边对等角可得B C ∠=∠，利用“边角边”证明DBE ECF ≅△△，然后根据全等三角形对应边相等可得DE EF =，最后根据等腰三角形的定义即可证明结论； （2）根据全等三角形对应角相等可得BDE CEF ∠=∠，然后求出BED CEF BED BDE ∠+∠=∠+∠，再根据等腰三角形的性质求得B ∠，最后再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出B DEF ∠=∠即可解答．【详解】（1）解：①AB AC =，①B C ∠=∠，在DBE 和ECF △中，DB EC B C BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①()SAS DBE ECF ≅①DE EF =，①DEF 是等腰三角形．（2）（2）①DBE ECF ≅△△，①BDE CEF ∠=∠，①DEC B BDE ∠=∠+∠，即DEF CEF B BDE ∠+∠=∠+∠，①DEF B ∠=∠，①20A ∠=︒， ①18020802B -︒∠==︒； ①80∠=︒DEF ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质并证明出全等三角形是解题的关键．22．(1)A 品牌茶叶每盒进价为200元，B 品牌茶叶每盒进价为320元；(2)共有2种进货方案，方案1：购进16盒A 品牌茶叶，5盒B 品牌茶叶；方案2：购进8盒A 品牌茶叶，10盒B 品牌茶叶．【分析】（1）设A 品牌茶叶每盒进价为x 元，则B 品牌茶叶每盒进价为1.6x 元，利用数量＝总价÷单价，结合用8000元购进B 品牌茶叶的数量比用4000元购进了A 品牌茶叶的数量多5盒，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出A 品牌茶叶每盒的进价，再将其代入1.6x 中即可求出B 品牌茶叶每盒的进价；（2）设购进m 盒A 品牌茶叶，n 盒B 品牌茶叶，利用总价＝单价×数量，即可得出关于m ，n 的二元一次方程，结合m ，n 均为正整数，即可得出进货方案．【详解】（1）解：设A 品牌茶叶每盒进价为x 元，则B 品牌茶叶每盒进价为1.6x 元， 依题意得：8000400051.6x x-=， 解得：x ＝200，经检验，x ＝200是原方程的解，且符合题意，①1.6x ＝1.6×200＝320，答：A 品牌茶叶每盒进价为200元，B 品牌茶叶每盒进价为320元；（2）设购进m 盒A 品牌茶叶，n 盒B 品牌茶叶，依题意得：200m ＋320n ＝4800，①m ＝8245n -， ①m 、n 均为正整数，①516n m =⎧⎨=⎩或108n m =⎧⎨=⎩， ①共有2种进货方案，方案1：购进16盒A 品牌茶叶，5盒B 品牌茶叶；方案2：购进8盒A 品牌茶叶，10盒B 品牌茶叶．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．23．(1)见解析；(2)1260；(3)长方形AEPC 的面积为：55【分析】（1）根据完全平方公式可得()2222a b a b ab +=+-求解即可；（2）按（1）方法进行即可求解；（3）正方形ACFG 的边长为13m -，面积为()213m -，正方形ABDE 的边长为10m -，面积为()210m -，则有()()221310119m m -+-=，设13m p -=，10m q -=，则()()22221310119p q m m +=-+-=，13103p q m m -=--+=，利用()()2222p q p q pq +--=求解即可．【详解】（1）设()1x a -=，()5x b -=，则()()152x x ab --==，()()154a b x x +=-+-=- ①()()222215x x a b -+-=+()22a b ab =+-()2422=--⨯16412=-=； （2）设()30x a -=，()20x b -=，则()()3020580x x ab --==-，10a b +=，()()22223020x x a b -+-=+()()2210011601260a b ab =+-=--=；（3）正方形ACFG 的边长为13m -，面积为()213m -，正方形ABDE 的边长为10m -，面积为()210m -，则有()()221310119m m -+-=，设13m p -=，10m q -=，则()()22221310119p q m m +=-+-=，13103p q m m -=--+=， 所以长方形AEPC 的面积为：()()22211995522p q p q pq +---===． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式和数形结合思想，灵活变形完全平方公式成为解答本题的关键．24．（1）DE ；AE ；（2）①证明见解析；①点B 的坐标为()3,1或()1,3-【分析】（1）根据全等三角形的对应边相等解答；（2）①作DM AF ⊥于M ，EN AF ⊥于N ，证明ABF DAM ≌，根据全等三角形的性质得到EN DM ＝，再证明DMG ENG ≌，根据全等三角形的性质证明结论；①过点B 作DC x ⊥轴于点C ，过点A 作DE y ⊥轴于点E ，仿照①的证明过程解答．【详解】解：（1）①12290D ∠+∠=∠+∠=︒，①1D ∠=∠，在ABC 和DAE △中，1===D ACB DEA AB AD ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩，①ABC DAE ≌（SAS ）①AC DE ＝，BC AE ＝，故答案为：DE ；AE ；（2）①如图2，作DM AF ⊥于M ，EN AF ⊥于N ，①BC AF ⊥，①90BFA AMD ∠=∠=︒，①90BAD ∠=︒，①12190B ∠+∠=∠+∠=︒，①2B ∠=∠，在ABF △与DAM 中，BFA AMD ∠=∠，==2=BFA AMD B AB AD ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩， ①ABF DAM ≌（AAS ），①AF DM ＝，同理，AF EN ＝，①EN DM ＝，①,DM AF EN AF ⊥⊥，①90GMD GNE ∠=∠=︒，在DMG 与ENG 中，===DMG ENG DGM EGN DM EN ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩①DMG ENG ≌（AAS ），①DG EG =，即点G 是DE 的中点；①如图3，ABO △和AB O '是以OA 为斜边的等腰直角三角形，过点B 作DC x ⊥轴于点C ，过点A 作DE y ⊥轴于点E ，两直线交于点D ，则四边形OCDE 为矩形，①,DE OC OE CD ＝＝，由①可知，ADB BCO ≌，①,AD BC BD OC ＝＝，①22BD OC DE AD BC ===+=+，①24BC BC ++=，解得，1,3BC OC ＝＝， ①点B 的坐标为()3,1，同理，点B '的坐标为()1,3-，综上所述，AOB △是以OA 为斜边的等腰直角三角形，点B 的坐标为()3,1或()1,3-．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．。
2021数学建模期末试卷A及答案
2021数学建模期末试卷A及答案2021《数学建模》期末试卷A考试形式：开卷考试时间：120分钟姓名：学号：成绩： ___ 1．（10分）叙述数学建模的基本步骤，并简要说明每一步的基本要求。
2．（10分）试建立不允许缺货的生产销售存贮模型。
设生产速率为常数k，销售速率为常数r，r?k。
在每个生产周期T内，开始一段时间（0边生产边销售，后一段时间（T0?t?T?t?T0））只销售不生产，存贮量q(t)的变化如图所示。
设每次生产开工费为c1，每件产品单位时间的存贮费为c2，以总费用最小为准则确定最优周期T，并讨论r??k和r?k的情况。
3．（10分）设x(t)表示时刻t的人口，试解释阻滞增长（Logistic）模型x?dx?r(1?)x?xm?dt?x(0)?x0?中涉及的所有变量、参数，并用尽可能简洁的语言表述清楚该模型的建模思想。
4．（25分）已知8个城市v0，v1，…,v7之间有一个公路网（如图所示），每条公路为图中的边，边上的权数表示通过该公路所需的时间．（1）设你处在城市v0，那么从v0到其他各城市，应选择什么路径使所需的时间最短？（2）求出该图的一棵最小生成树。
5．（15分）求解如下非线性规划:Max z?x1?2x1?x2s.t. 0?x2?x1?2226．（20分）某种合金的主要成分使金属甲与金属乙.经试验与分析, 发现这两种金属成分所占的百分比之和x与合金的膨胀系数y之间有一定的相关关系.先测试了12次, 得数据如下表：表2 xi 37.0 37.5 38.0 38.5 39.0 39.5 40.0 yi xi yi 3.40 3.00 40.5 41.01.70 1.80 3.00 41.5 1.902.27 42.0 2.35 2.10 42.5 2.54 1.83 43.0 2.90 1.53试建立合金的膨胀系数y与两种金属成分所占的百分比之和x的模型。
7．（10分）有12个苹果，其中有一个与其它的11个不同，或者比它们轻，或者比它们重，试用没有砝码的天平称量三次，找出这个苹果，并说明它的轻重情况。
高二数学期末考试试题理含解析
二中2021-2021学年第二学期期末考制卷人：打自企； 成别使； 而都那。
审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。
高二数学〔理〕试题一、选择题〔在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题意.〕=U R ，集合{|1}A x x ＝，{|(2)(1)0}B x x x =+-<，那么〔 〕A. A B ⋂∅＝B. A B U ⋃＝C.UB A ⊆ D.UA B ⊆【答案】A 【解析】 【分析】先求得集合B 中一元二次不等式的解集.然后对四个选项进展分析判断，由此得出正确选项.【详解】由(x ＋2)(x －1)<0，解得－2<x<1，所以B ＝{x|－2<x<1}，那么A∩B＝∅，A∪B＝{x|x>－2}，∁U B ＝{x|x≥1或者x≤－2}，A ⊆∁U B ，∁U A ＝{x|x<1}，B ⊆∁U A ，应选A.【点睛】本小题主要考察一元二次不等式的解法，考察集合交集、并集、补集和子集的概念，属于根底题.2()f x =的定义域是〔 〕A. 1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B. 1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D. [0,1)【答案】D 【解析】【分析】根据求详细函数的根本原那么：分母不为零、偶次根式被开方数非负、对数中真数为正数列不等式解出x 的取值范围，即为函数的定义域。
【详解】由题意可得()10lg 310lg1310x x x ->⎧⎪+≥=⎨⎪+>⎩，即10311x x ->⎧⎨+≥⎩，解得01x ≤<，因此，函数()y f x =的定义域为[)0,1，应选：D.【点睛】此题考察详细函数的定义域的求解，求解原那么如下： 〔1〕分式中分母不为零； 〔2〕偶次根式中被开方数非负；〔3〕对数中真数大于零，底数大于零且不为1； 〔4〕正切函数tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈；〔5〕求定义域只能在原函数解析式中求，不能对解析式变形.32a log =，b ln2=，，那么〔 〕A. a b c <<B. b c a <<C. c a b <<D. c b a <<【答案】A 【解析】 【分析】先利用中间值1来比拟大小，得知1a <，1b <，1c >，再用换底公式以及不等式性质可得出a 、b 的大小关系，从而得出三个数的大小关系。
最新数学建模(数学模型)期末考试题(试卷)及答案详解(附答案)
数学建模（数学模型）期末考试卷及答案详解第一部分 基本理论和应用1、计算题(满分10分)设电路供电网内有10000盏灯，夜间每一盏灯开着的概率为0.7，假设各灯的开关是相互独立的，利用中心极限定理计算同时开着的灯数在6900与7100之间的概率.2、计算题（满分10分）设某种电子元件的使用寿命服从正态分布) ,(2σμN ，现随机抽取了10个元件进行检测， 得到样本均值(h)1500=x ，样本标准差(h)14=S . 求总体均值μ的置信概率为99％的置信区间3、计算题（满分10分）从正态总体)6 ,4.3(~2N X 中抽取容量为n 的样本，如果要求样本均值位于区间 (1.4，5.4) 内的概率不小于0.95，问样本容量n 至少应取多大？4、计算题（满分10分） 设总体X 的概率密度为：⎩⎨⎧<<+=其他，,0,10,)1();(x x x f θθθ )1(->θn X X X ,,,21 是来自总体X 的简单随机样本，求参数θ的矩估计量和极大似然估计量.5．（15分）设总体X 服从区间[0，θ]上的均匀分布，θ＞0未知，12,,,n X X X 是来自X的样本,（1）求θ的矩估计和极大似然估计；（2）上述两个估计量是否为无偏估计量，若不是请修正为无偏估计量；（3）试问（2）中的两个无偏估计量哪一个更有效？6. （15分）设),(~2σμN X ，n X X X ,,,21 是取自总体的简单随机样本，X 为样本均值，2nS 为样本二阶中心矩，2S 为样本方差，问下列统计量：（1）22σnnS ，（2）1/--n S X n μ，（3）212)(σμ∑=-ni iX各服从什么分布？7. （10分）一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布.8. （10分）设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算.9. （10分）某商品的每包重量2~(200,)X N σ.若要求{195205}0.98P X <<≥,则需要把σ控制在什么范围内.10. （15分）设系统L 由两个相互独立的子系统12,L L 联接而成,联接的方式分别为串联,并联和备用(当系统1L 损坏时,系统2L 开始工作),如图7.1所示.1L 和2L 的寿命为X 和Y ,分别有密度(0,)()()x X p x e I x αα-+∞=和(0,)()()y Y p y e I y ββ-+∞=,其中0,0αβ>>且αβ≠.请就这三种联接方式分别写出系统L 的寿命Z 的密度.答案第一部分 基本理论和应用 1、计算题(满分10分)设电路供电网内有10000盏灯，夜间每一盏灯开着的概率为0.7，假设各灯的开关是相互独立的，利用中心极限定理计算同时开着的灯数在6900与7100之间的概率. 解：设同时开着的灯数为X ，(10000,0.7)Xb ……………2分(0,1)N （近似） ……………3分 {69007100}210.971P X ≤≤=Φ-= …………5分 2、计算题（满分10分）设某种电子元件的使用寿命服从正态分布) ,(2σμN ，现随机抽取了10个元件进行检测，得到样本均值(h)1500=x ，样本标准差(h)14=S . 求总体均值μ的置信概率为99％的置信区间. 解： T =(1)X t n - 0.005{(1)}0.99P T t n <-= ………4分0.0050.005{(1)(1)}0.99P X n X X n -<<+-= ………………4分 所求为（1485.61，1514.39） …………2分3、计算题（满分10分）从正态总体)6 ,4.3(~2N X 中抽取容量为n 的样本，如果要求样本均值位于区间 (1.4，5.4) 内的概率不小于0.95，问样本容量n 至少应取多大？ 解：(0,1)X N ………………3分{1.4 5.4}21P X P <<=<=Φ- ……………4分解210.95Φ-≥ 得34.6n ≥ n 至少取35 ……………3分4、计算题（满分10分） 设总体X 的概率密度为：⎩⎨⎧<<+=其他，,0,10,)1();(x x x f θθθ )1(->θn X X X ,,,21 是来自总体X 的简单随机样本，求参数θ的矩估计量和极大似然估计量.解： 1101()(2E X dx θθθθ++==+⎰+1)x ……………3分 解12X θθ+=+，得θ的矩估计量为211X X -- ……………2分 1()1()ni i L x θθθ=+∏n＝（） 1ln ln 1ln nii L n x θθ==+∑（）+ ……………2分令1ln ln 01ni i d L nx d θθ==+=+∑ 得θ的极大似然估计量为11ln nii nX=--∑ …………3分5．（15分）设总体X 服从区间[0，θ]上的均匀分布，θ＞0未知，12,,,n X X X 是来自X的样本,（1）求θ的矩估计和极大似然估计；（2）上述两个估计量是否为无偏估计量，若不是请修正为无偏估计量；（3）试问（2）中的两个无偏估计量哪一个更有效？ 解：（1）2EX θ=，令2X θ=，得θ的矩估计量1ˆ2X θ=； ……………5分 似然函数为：()12121,0,,,(,,,;)0n n n x x x L x x x θθθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩，其它其为θ的单调递减函数，因此θ的极大似然估计为{}212()ˆmax ,,,n n X X X X θ==。
(完整版)数学建模期末考试题
班级：通工13**学号：0313****姓名：***成绩：西安邮电大学理学院2014年12月3日一、解释下列词语，并举例说明(每小题满分5分，共15分)1．模型答:为了一定的目的，人们对原型的一个抽象。
通过抽象和化简，使用数学语言，对实际问题的一个近似描述，以便于人们更深刻的认识所研究的对象。
举例：牛顿定律。
假设：(1)物体为质点，忽略物体的大小和形状。
(2)没有阻力、摩擦力及其他外力。
令x （t ）表示在t 时刻物体的位置，则F =ma =m d 2x dt 22．数学模型答:数学模型是架于数学与实际问题之间的桥梁，在数学发展的进程中无时无刻不留下数学模型的印记。
它包括三大特征：1.实践性：有实际背景，有针对性，接受实践的检验。
2.应用性：注意实际问题的要求。
强调模型的实用价值。
3.综合性：数学知识的综合，模型的综合。
举例：管道包扎问题：用带子包扎管道，使带子全部包住管道，且用料最省。
假设：(1)直圆管，粗细一致。
(2)带子无弹性等宽。
(3)带宽小于圆管截面周长。
(4)包扎时不剪断带子且不重叠。
设W 为带宽，C 为截面周长，L 为管长，M 为带长。
则M=+LC W C 2‒W 23．抽象模型答：通过人们对原型的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接存储在大脑中的模型称之谓抽象模型。
举例：如汽车司机对方向盘的操作。
二、简答题（每小题满分8分，共24分）1．模型的分类答：（1） 按研究方法和对象的数学特征分：初等模型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型、逻辑模型、稳定性模型、扩展模型等。
（2） 按研究对象的实际领域（或所属学科）分：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、经济模型、社会模型等。
（3） 按是否考虑随机因素分:确定性模型、随机性模型。
（4） 按是否考虑模型的变化分：静态模型、动态模型。
（5） 按应用的离散方法或连续方法分：离散模型、连续模型。
【2017年整理】数学建模试题与答案
【2017年整理】数学建模试题与答案华南农业大学期末考试试卷(A卷)2009学年第二学期考试科目: 数学模型考试类型:(闭卷) 考试时间: 120分钟学号姓名年级专业题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 总分得分评阅人1、 (13分)设已知某正方形板材边长20cm，现将之加工出半径为1cm的得分圆盘，请对下面给出的两种排列方法，写出能加工出的尽可能多的圆盘数。
(1) 排列1:圆盘中心按正方形排列(如右图)的尽可能多的圆盘数。
(4分)2020，,100 解:圆盘总数: 22排列2:圆盘中心按六角形排列(如右图)的尽可能多的圆盘数。
(4分)202,，，解:行数: ，,111,,3，，2011,圆盘总数: 11105，，,22(2) 设计出不同于(1)(2)的方案，且加工出的圆盘更多。
(5分)解:前三行正方形，后八行六角形，圆盘总数为106得分 2、 (10分)在举重比赛中，运动员在高度和体重方面差别很大，请就下面两种假设，建立一个举重能力和体重之间关系的模型:(1) 假设肌肉的强度和其横截面的面积成比例。
5分(2) 假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关，请给出一个改进模型。
5分解:设体重w(千克)与举重成绩y (千克)(1) 由于肌肉强度(I)与其横截面积(S)成比例，所以 y I S2 设h为个人身高，又横截面积正比于身高的平方，则S , h32 再体重正比于身高的三次方，则w , h 3ykw, 故举重能力和体重之间关系的模型为:(2) 体重中与成年人尺寸无关的重量为a, 则一个最粗略的模型为 2 3ykwa,,(),更好的模型: ykwa,,()得分3、 (10分)在超币购物时你压意到大包发商品比小包装面品便宜这种现象1了吗,比如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1，试用比例方法构造模型解释这个现象。
(1)请写出商品价恪c与商品重量w的关系，其中价格由生产成本、包装成本和其它成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。
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数学模型期末考试试题
及答案
LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】
山东轻工业学院 08/09学年 II 学期《数学模型》期末考试A
试
卷
（本试卷共4页）
说明：本次考试为开
卷考试，参加考试的同学可以携带任何资料，可以使用计算器，但上述物品严
禁相互借用。
一、简答题（本题满分16分，每小题8分）
1、在§录像机计数器的用途中，仔细推算一下（1）式，写出与（2）式的差别，并解释这个差别；
2、试说明在§中不允许缺货的存储模型中为什么没有考虑生产费用，在什
么条件下可以不考虑它；
二、简答题（本题满分16分，每小题8分） 1、对于§传染病的SIR 模型，叙述当σ
1
0>
s 时)(t i 的变化情况
并加以证明。
2、在§捕鱼业的持续收获的效益模型中，若单位捕捞强度的费用为捕捞强度E 的减函数，
即)0,0(,>>-=b a bE a c ，请问如何达到最大经济效益
三、简答题（本题满分16分，每小题8分）
1、在§ 随机存储策略中，请用图解法说明为什么s 是方程)()(0S I c x I +=的最小正根。
2、请结合自身特点谈一下如何培养数学建模的能力？
四、（本题满分20分）
某中学有三个年级共1000名学生，一年级有219人，二年级
有
316人，三年级有465人。
现要选20名校级
优秀学生，请用下列办
法分配各年级的优秀学生名额：（1）按比例加惯例的方法;（2）Q 值法。
另外如果校级优秀学
生名额增加到21个，重新进行分配，并按照席位分配的理想化准则分析分配结
果。
五、（本题满分16分） 大学生毕业生小李为选择就业岗位建立了层次分析模型，影响
就
业的因素考虑了收入情况、发展空间、社会声誉三个方面，有三个
就业岗位可供选择。
层次结构图如图，已知准则层对目标层的成对比较矩阵
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=12/15/1213/1531A ，方案层对准则层的成对比较矩阵分别为⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=1272/1147/14/111B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=13/17/1313/17312B ，⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=12/16/1214/16413B 。
请根据层次分析方法为小李确定最佳的工作岗位。
六、（本题满分16分） 某保险公司欲开发一种人寿保险，投保人需要每年缴纳一定数的额保险费，如果投保人某年未按时缴纳保费则视为保险合同终止（退保）。
保险公司需要对投保人的健康、疾病、死亡和退保的情况作出评估，从而制定合适的投保金额和理赔金额。
各种状态间相互转移的情况情况的概率各是多少？
山东轻工业学院 08/09学年 II 学期《数学模型》期末考试A 试卷
解答
一、 简答题（本题满分16分，每小题81、答：由（1）得
vt m m mr =++2
)
1(22πωπ， 。
4分
将kn m =代入得
)2(22
ωππω++
=
r v
kn
n v
k t ， 。
6分
因为ω>>r 所以r r 22≈+ω，则得
（2）。
。
8分
2、答：假设每件产品的生产费用为3c ，则平均每天的生产费用为r c 3，每天的平均费用是
选择就业岗位
收入 发展
声誉
岗位1 岗位2 岗位3
r c rT c T c T C 31
211112
)(++=
， 。
4分
下面求1T 使)(11T C 最小，发现dT
T dC dT T dC )
()(111=，所以 r
c c T T 21
12=
=，与生产费用无关，所以不考虑。
。
8分 二、 简答题（本题满分16分，每小题8分）
1、答：由（14）
),1(-=s i dt
di
σμ若σ10>s ，
当01s s <<σ时，)(,0t i dt
di
>增加; 。
4分
当σ1=s 时，)(,0t i dt di
=达到最大值m i ；
当σ1<s 时，)(,0t i dt
di
<减少且由1.知
0=∞i 。
8分 2、答：E bE a S )(-=，则
E bE a pEx S T R )(--=-=， 。
2分
将)1(0r
E
N x -=代入，得
2
)()()(E r
pN b E a pN E R -+-=，。
5分
令0='R 得
pN rb pN a r E R --⋅=2。
。
8分
三、简答题（本题满分16分，每小题8分）
1、由于方程（4）左边随着S 的增加单调递增，因此)(u J 有唯一驻点x S u -=且为最小值点。
从而)(u J 是下凸的。
而由)(u J 和)(x I 的表达式的相似性知)(x I 也是下凸的，而且在S x =处达最小值
)(S I 。
。
4分
记)}()({0S I c x I x A +≤=， )}()({0S I c x I x B +>=则集合A 与B 的分界点即为订货点
s ，此即方程)()(0S I c x I +=的最小正
根 。
8分 2、答：（回答要点）培养想象力和洞察
力。
。
8分
四、（本题满分20分）
解：20个席位：（1）、
38.4201000219=⨯，32.6201000316=⨯，30.9201000
465
=⨯因此比例加惯例分配结果为5、6、9个。
（2）三方先分得4、6、9个，=⨯=
5
42192
1Q ，=⨯=763162
2Q
=⨯=10
94652
3Q ，3Q 最大，按Q 值法分配结果为4、6、10
个。
。
8分
21个席位：（1）599.4211000219=⨯，636.6211000316=⨯，765.9211000
465
=⨯因此比例加
惯例分配结果为4、7、10个。
（2）三方先分得4、6、10个， =⨯='11
104652
3
Q ，1Q 最大，按Q 值法分配结果为5、6、10
个。
。
16分
显然此例中比例加惯例的方法违背了席位分配的理想化准则1，而Q 值法分配结果恰好也满足准则2，因此Q 值法分配结果是同时符合准则1和准则
2.。
。
20分 五、（本题满分16分）
解：用“和法”近似计算得：
矩阵A 对应的权向量为：T )12.0,23.0,65.0(，最大特征根为，0018.0=CI ，0031.0=CR
矩阵1B 对应的权向量为：T )60.0,32.0,08.0(，最大特征根为，001.0=CI ，0017.0=CR 矩阵2B 对应的权向量为：T )09.0,24.0,67.0(，最大特征根为，0035.0=CI ，006.0=CR 矩阵3B 对应的权向量为：T )11.0,19.0,70.0(，最大特征根为，0046.0=CI ，008.0=CR。
12分
组合权向量为T )423664.0,283708.0,292628.0( 因此最佳的岗位为岗位
3。
。
16分
六、（本题满分16分）
解：由题意，转移概率矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡3.06.007.003.001.7.005.015.000100001
，从而知状态“退保”和“死亡”为两个吸收状态，此为吸收
链。
。
6分
11
7.06.01.03.0)
(--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=Q I M = ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡2432324 Me y ==T )6,315(，因此在投保时健康或疾病状态下，平均需要经过3
1
5或6年投保人
就会出现退保或死亡的情
况。
。
12分
MR F ==⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡34.066.028.072.0，因此在投保时健康状态下，被“退保”和“死亡”吸收的概率分别为和；在投保时疾病状态下，被“退保”和“死亡”吸收的概率分别为和。
。
18分
ooA217JlTyW5。