深圳龙岗区实验学校初中部数学全等三角形综合测试卷(word含答案)

深圳龙岗区实验学校初中部数学全等三角形综合测试卷（word含答

案）

一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）

1．如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P有_____个．

【答案】4

【解析】

【分析】

由A点坐标可得OA=22，∠AOP＝45°，分别讨论OA为腰和底边，求出点P在x轴正半轴和负半轴时，△APO是等腰三角形的P点坐标即可.

【详解】

（1）当点P在x轴正半轴上，

①如图，以OA为腰时，

∵A的坐标是（2，2），

∴∠AOP＝45°，OA＝22，

当∠AOP为顶角时，OA=OP=22，

当∠OAP为顶角时，AO=AP，

∴OPA=∠AOP=45°，

∴∠OAP=90°，

∴OP=2OA=4，

∴P的坐标是（4，0）或（22，0）.

②以OA为底边时，

∵点A的坐标是（2，2），

∴∠AOP=45°，

∵AP=OP，

∴∠OAP=∠AOP=45°，

∴∠OPA=90°，

∴OP=2，

∴P点坐标为（2，0）.

（2）当点P在x轴负半轴上，

③以OA为腰时，

∵A的坐标是（2，2），

∴OA＝22，

∴OA＝OP＝22，

∴P的坐标是（﹣22，0）．

综上所述：P的坐标是（2，0）或（4，0）或（22，0）或（﹣22，0）．

故答案为：4．

【点睛】

此题主要考查等腰三角形的判定及坐标与图形性质的综合运用，注意分类讨论思想的运用是解题关键．

2．△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，AB=AC=6．现将

△DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起，使△ABC保持不动，△DEF运动，且满足点E在边BC上运动（不与B，C重合），边DE始终经过点A，EF与AC交于点M．在△DEF 运动过程中，若△AEM能构成等腰三角形，则BE的长为______．

【答案】363

【解析】 【分析】 分若AE ＝AM

则∠AME ＝∠AEM ＝45°；若AE ＝EM ；若MA ＝ME 则∠MAE ＝∠AEM ＝45°三种情况讨论解答即可；

【详解】

解：①若AE ＝AM 则∠AME ＝∠AEM ＝45°

∵∠C ＝45°

∴∠AME ＝∠C

又∵∠AME ＞∠C

∴这种情况不成立；

②若AE ＝EM

∵∠B ＝∠AEM ＝45°

∴∠BAE+∠AEB ＝135°，∠MEC+∠AEB ＝135°

∴∠BAE ＝∠MEC

在△ABE 和△ECM 中，

B BAE CEN

AE EII C ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

， ∴△ABE ≌△ECM （AAS ），

∴CE ＝AB ＝6，

∵AC ＝BC ＝2AB ＝23，

∴BE ＝23﹣6；

③若MA ＝ME 则∠MAE ＝∠AEM ＝45°

∵∠BAC ＝90°，

∴∠BAE ＝45°

∴AE 平分∠BAC

∵AB ＝AC ，

∴BE ＝12

BC ＝3． 故答案为23﹣6或3．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定，掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键．

3．如图，在等边ABC ∆中取点P 使得PA ，PB ，PC 的长分别为3， 4， 5，则APC APB S S ∆∆+=_________．

【答案】936 【解析】

【分析】

把线段AP 以点A 为旋转中心顺时针旋转60︒得到线段AD ，由旋转的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定定理SAS 证得△ADB ≌△APC ，连接PD ，根据旋转的性质知△APD 是等边三角形，利用勾股定理的逆定理可得△PBD 为直角三角形，∠BPD ＝90︒，由△ADB ≌△APC 得S △ADB ＝S △APC ，则有S △APC ＋S △APB ＝S △ADB ＋S △APB ＝S △ADP ＋S △BPD ，根据等边3S △ADP ＋S △BPD ＝332＋12×3×4＝936+． 【详解】

将线段AP 以点A 为旋转中心顺时针旋转60︒得到线段AD ，连接PD

∴AD ＝AP ，∠DAP ＝60︒，

又∵△ABC 为等边三角形，

∴∠BAC ＝60︒，AB ＝AC ，

∴∠DAB ＋∠BAP ＝∠PAC ＋∠BAP ，

∴∠DAB ＝∠PAC ，

又AB=AC,AD=AP

∴△ADB ≌△APC

∵DA ＝PA ，∠DAP ＝60︒，

∴△ADP 为等边三角形，

在△PBD 中，PB ＝4，PD ＝3，BD ＝PC ＝5，

∵32＋42＝52，即PD 2＋PB 2＝BD 2，

∴△PBD 为直角三角形，∠BPD ＝90︒，

∵△ADB≌△APC，∴S△ADB＝S△APC，

∴S△APC＋S△APB＝S△ADB＋S△APB＝S△ADP＋S△BPD＝

3

4

×32＋

1

2

×3×4＝

93

6

4

+．

故答案为：

93

6

4 +．

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质与判定，解题的关键是熟知旋转的性质作出辅助线进行求解．

4．如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=43，在BE上截取BG=2，以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为_____．

53

【解析】

试题分析：如图所示，由△ABC是等边三角形，BC=433

，

∠ABG=∠HBD=30°，由直角三角的性质，得∠BHD=90°﹣∠HBD=60°，由对顶角相等，得∠MHE=∠BHD=60°，由BG=2，得EG=BE﹣BG=6﹣2=4．由GE为边作等边三角形GEF，得FG=EG=4，∠EGF=∠GEF=60°，△MHE是等边三角形；

S△ABC=1

2

AC•BE=

1

2

AC×EH×3EH=

1

3

BE=

1

3

×6=2．由三角形外角的性质，得∠BIF=∠FGE﹣

∠IBG=60°﹣30°=30°，由∠IBG=∠BIG=30°，得IG=BG=2，由线段的和差，得IF=FG﹣IG=4﹣2=2，由对顶角相等，得∠FIN=∠BIG=30°，由∠FIN+∠F=90°，得∠FNI=90°，由锐角三角函数，得FN=1，3S五边形NIGHM=S△EFG﹣S△EMH﹣