1.指数与指数函数

第三学堂学科教师辅导教案
2．有理数指数幂
a>10<a<1
R
做一做
1．(2015·东北三校联考)函数f (x )＝a x －
1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是( )
A ．y ＝1－x
B ．y ＝|x －2|
C ．y ＝2x －1
D ．y ＝log 2(2x )
2．(2014·高考陕西卷)已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________．
3．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________．
三、例题解析
考点一 指数幂的运算
化简下列各式：
(1)0.027－
1
3－2)71(-＋21
)9
7
2(－(2－1)0；
(2))6
5(231
-b a ·(－3a －12b －1)÷(4a 23b －3)1
2·ab .
[规律方法] 指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
1.化简下列各式：
(1)(0.027)2
3
＋3
1
)125
27(
-－5.0)972(； (2)(2a 23b 1
2)(－6a 12b 13)÷(－3a 16b 56
)．
考点二 指数函数的图象及应用
(1)函数y ＝a x －1
a
(a ＞0，且a ≠1)的图象可能是( )
(2)方程2x ＝2－x 的解的个数是________．
[规律方法] 指数函数图象由其底数确定，在底数不确定时要根据其取值范围进行分类讨论．从甲函数图象通过变换得到乙函数的图象，通过顺次的逆变换，即可把乙函数的图象变换为甲函数的图象．
2．(1)函数f (x )＝a x －b
的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )
A ．a >1，b <0
B ．a >1，b >0
C ．0<a <1，b >0
D ．0<a <1，b <0
(2)若函数f (x )＝e －(x －μ)2(e 是自然对数的底数)的最大值是m ，且f (x )是偶函数，则m ＋μ＝________．
考点三 指数函数的性质及应用(高频考点)
指数函数的性质主要是其单调性，特别受到高考命题专家的青睐，常以选择题、填空题的形式出现，高考对指数函数的性质的考查主要有以下三个命题角度：
(1)比较幂值的大小； (2)解简单指数不等式； (3)研究指数型函数的性质．
(1)已知a ＝32)21(，b ＝2－
43，c ＝31
)2
1(，则下列关系式中正确的是( ) A ．c <a <b B ．b <a <c C ．a <c <b
D ．a <b <c
(2)(2015·绍兴模拟)设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( )
A ．{x |x <－2或x >4}
B ．{x |x <0或x >4}
C ．{x |x <0或x >6}
D ．{x |x <－2或x >2}
(3)函数f (x )＝)
2
1
(－x
2
＋2x ＋1
的单调减区间为______.
[规律方法] 利用指数函数的性质解题策略
(1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法．
(2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．
(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论．
3.(1)已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则( )
A ．a >b >c
B ．a >c >b
C ．c >a >b
D ．b >c >a
(2)已知函数y ＝2－x
2
＋ax ＋1
在区间(－∞，3)内递增，求a 的取值范围．
方法思想——解决与指数函数型有关的值域问题(换元法)
函数f (x )＝)41(x －)2
1(x
＋1在x ∈[－3，2]上的值域是________．
已知函数y ＝9x ＋m ·3x －3在区间[－2，2]上单调递减，则m 的取值范围为________．
四、课堂总结
五、当堂检测
1．偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且在x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，则关于x 的方程f (x )＝)10
1(x
在x ∈[0，
4]上解的个数是()
2．已知f (x )＝3x －
b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2，1)，则f (x )的值域为( )
A ．[9，81]
B ．[3，9]
C ．[1，9]
D ．[1，＋∞)
3．(2015·浙江绍兴一中月考)函数f (x )＝a |x ＋
1|(a ＞0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( ) A ．f (－4)＞f (1) B ．f (－4)＝f (1) C ．f (－4)＜f (1)
D ．不能确定
4．函数y ＝)2
1(x
＋1的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是( )
5．(2015·浙江丽水模拟)当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是( )
A ．(－2，1)
B ．(－4，3)
C ．(－1，2)
D ．(－3，4)
6．(2015·四川绵阳一诊)计算：23×31.5×612＝________．
7．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )＞f (n )，则m 、n 的大小关系为________．
8．已知函数f (x )＝a 2x －
4＋n (a >0且a ≠1)的图象恒过定点P (m ，2)，则m ＋n ＝________．
9．求下列函数的定义域和值域． (1)y ＝)2
1
(2x －x
2
；(2)y ＝
32x －
1－19
.
10．已知函数f (x )＝)
3
1
(ax 2
－4x ＋3
.
(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．。