指数与指数函数(经典)
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§2.5 指数与指数函数
1．分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a m n
＝n
a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分
数指数幂的意义是a －m n ＝1
n
a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0
的负分数指数幂没有意义．
(2)有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋
s ，(a r )s ＝a rs ，(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q . 2．指数函数的图象与性质
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)(4
(－4))4＝－4.
( × ) (2)(－1)24＝(－1)1
2
＝－1.
( × ) (3)函数y ＝a －
x 是R 上的增函数．
( × ) (4)函数y ＝ax 2＋1(a >1)的值域是(0，＋∞)． ( × ) (5)函数y ＝2x
－1
是指数函数．
( × )
(6)函数y ＝(14
)1－
x 的值域是(0，＋∞)．
( √ ) 2．若a ＝(2＋3)－
1，b ＝(2－3)－
1，则(a ＋1)－
2＋(b ＋1)
－2
的值是
( )
A ．1 B.14 C.2
2
D.23
答案 D
解析 a ＝(2＋3)－1＝2－3，b ＝(2－3)－1＝2＋3， ∴(a ＋1)－2＋(b ＋1)－2＝(3－3)－2＋(3＋3)－2
＝112－63＋112＋63＝23. 3．设函数f (x )＝a
－|x |
(a >0，且a ≠1)，f (2)＝4，则
( )
A ．f (－2)>f (－1)
B ．f (－1)>f (－2)
C ．f (1)>f (2)
D ．f (－2)>f (2)
答案 A
解析 ∵f (x )＝a －|x |(a >0，且a ≠1)，f (2)＝4，∴a －2＝4，∴a ＝1
2，∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－|x |＝2|x |，∴f (－2)>f (－1)．
4．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是__________． 答案 (－2，－1)∪(1，2)
解析 由y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，得0 5．已知0≤x ≤2，则y ＝4x －1 2 －3·2x ＋5的最大值为________． 答案 52 解析 令t ＝2x ，∵0≤x ≤2，∴1≤t ≤4， 又y ＝22x －1－3·2x ＋5，∴y ＝1 2 t 2－3t ＋5 ＝12(t －3)2＋12 ， ∵1≤t ≤4，∴t ＝1时，y max ＝5 2 . 题型一 指数幂的运算 例1 化简： (2)(－278 )32 -＋(0.002)21 -－10(5－2)－ 1＋(2－3)0. 思维启迪 运算中可先将根式化成分数指数幂，再按照指数幂的运算性质进行运算． 思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数． (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． (1)化简4 16x 8y 4(x <0，y <0)得 ( ) A ．2x 2y B ．2xy C ．4x 2y D ．－2x 2y 答案 (1)D (2)8 5 题型二 指数函数的图象、性质 例2 (1)函数f (x )＝a x －b 的图象如 图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是 ( ) A ．a >1，b <0 B ．a >1，b >0 C ．00 D ．0 (2)若函数f (x )＝e －(x －μ)2 (e 是自然对数的底数)的最大值是m ，且f (x )是偶函数，则m ＋μ＝________. 思维启迪 对于和指数函数的图象、性质有关的问题，可以通过探求已知函数和指数函数的关系入手． 答案 (1)D (2)1 解析 (1)由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减，所以0 即e －(－x －μ)2＝e －(x －μ)2，∴(x ＋μ)2＝(x －μ)2，∴μ＝0， ∴f (x )＝e －x 2.又y ＝e x 是R 上的增函数，而－x 2≤0， ∴f (x )的最大值为e 0＝1＝m ，∴m ＋μ＝1. 思维升华 (1)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象． (2)对复合函数的性质进行讨论时，要搞清复合而成的两个函数，然后对两层函数分别进行研究． (1)函数y ＝e x ＋e － x e x －e －x 的图象大致为 ( ) (2)若函数f (x )＝a x －1(a >0且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________. 答案 (1)A (2) 3 解析 (1)y ＝e x ＋e －x e x －e －x ＝1＋2 e 2x －1 ，当x >0时，e 2x －1>0，且随着x 的增大而增大，故y ＝1＋2 e 2x －1>1随着x 的增大而减小，即函数y 在(0，＋∞)上恒大于1且单调递减．又函数y 是奇函数，故只有A 正确． (2)当a >1时，x ∈[0,2]，y ∈[0，a 2－1]，∴a 2－1＝2，即a ＝ 3.