指派问题
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
以新矩阵C′为效率矩阵的指派问题的wenku.baidu.com标函数为
Z′=ΣΣCij′xij=ΣΣ（Cij-ai-bj）xij =ΣΣCijxij-Σai-Σbj
=Z-Σai-Σbj 可见新问题的最优解与原问题的最优解相同，只是目标值相差一个 常数。证毕。
利用这个性质，可以使原效率矩阵变换为含有多个0元素的新
效率矩阵，而最优解不变。在新的效率矩阵中如果能找到n个不同
另外，如果任务数与人数不相等，可以象不平衡运输问题一样， 虚设一项任务或人，并且令相应的Cn+1,j或Ci,n+1等于0，（i,j=1,2…n ）然后用匈牙利法求解。
例6 今欲指派张王李赵四人加工A、B、C、D四种不同的零件，
每人加工四种零件所需要的时间如下表所示，问应该派谁加工何种 零件可使总的花费时间最少？
零件 人
张 王 李 赵
A BCD
4 6 58 6 10 7 8 7 8 11 9 9 3 84
在类似问题中都必须给出一个像上表一样的矩阵C，称为效率矩阵。
行且不同列的0元素，则可以令它们对应的xij等于1，其它xij等于0，
显然，该解一定是最优解。这就是匈牙利算法的基本思想。
具体步骤如下：
第一步 变换效率矩阵，使各行各列都出现 0 元素。 1°效率矩阵每行元素都减去该行最小元素； 2°效率矩阵每列元素都减去该列最小元素。
第二步 圈出不同行且不同列的 0 元素，进行试指派。 1°（行搜索）给只有一个0 元素的行中的0 画圈，记作 “◎”，并划去与其同列的其余0元素； 2°（列搜索）给只有一个0 元素的列中的0 画圈，记作 “◎”，并划去与其同行的其余0元素； 3°反复进行1°、2°，直至所有0元素都有标记为止。 4°若行（列）的0元素均多于一个，则在0元素最少的行（列） 中选定一个0元素，标“◎”,并划去与其同行同列的其余0元素。
下面用上述算法求解例6。
解：先变换效率矩阵，然后圈出不同行不同列的0元素，结果如下：
4 6 5 8 0 2 1 4 ∕0 2 ○0 3
6
7
10 8
7 11
8
0
9 0
4 1
1 4
○ 2
∕0
2 0
4 1
∕0 3
1
1
○
9 3 8 4 6 0 5 1 6 0 4 ∕ 0
由于不同行不同列的0元素仅有3个，所以要继续第三步及第四步。
√√
∕0 2 ○0 3 √
∕0 4 ∕ 0 1 √
○0 1
3
1 √
6
○0
4
∕ 0
调整量θ=1，调整效率矩 阵使之出现更多0元素。
而后，再重新圈出不同行 且不同列的 0 元素，进行 再指派。结果如右：
∕0 1 ○0 2
○0 3 ∕0 ∕0
∕0 ∕0
3 ○0
7
○0
5
∕0
由于◎的个数已达n=4个，所以令◎所对应的xij =1，其余xij =0，已 得最优解。即最优指派方案为：张—C；王—A；李—D；赵—B。
所需最少总时间为：5+6+9+3=23。注意，本例的最优方案不唯一，
张—A；王—C；李—B；赵—D也是最优方案。
以上讨论仅限于极小化问题，对于极大化问题，不能按
minZ′=ΣΣ(-Cij)xij求解，因为匈牙利法要求效率矩阵的元素Cij≥0，这
时可取M=max｛Cij｝,令bij=M-Cij,以B=（bij）n×n为效率矩阵求解。 ∵ΣΣ（M-Cij）xij=nM-ΣΣCijxij ∴当ΣΣ（M-Cij）xij取最小时，ΣΣCijxij便为最大。
5°若不同行且不同列的 “◎”已达n个，则令它们对应的xij =1，其余xij =0，已得最优解，计算停，否则转第三步。
第三步 用最少直线覆盖效率矩阵中的0元素。 1°对没有“◎”的行打“√”； 2°对打“√”行中的0元素所在列打“√”； 3°对打“√”列中“◎”所在行打“√”； 4°反复进行2°、 3°，直至打不出新 “√”为止。 5°对没 打“√”的行画横线，对打“√”列画竖线，则效率矩 阵中所有0元素被这些直线所覆盖。 第四步 调整效率矩阵，使出现新的0元素。 1°找出未被划去元素中的最小元素，以其作为调整量θ； 2°矩阵中打“√”行各元素都减去θ，打“√”列各元素都加θ （以保证原来的0元素不变），然后去掉所有标记，转第二步。
C
11
C12
C
C
21
C22
C
n1
Cn2
C 1n
C
2n
Cnn
矩阵中的元素Cij表示指派第i个人去完成第j项任务时的效率。 求解这类问题时，通常引入0—1变量： x ij 10,,不指指派派第第i人i人去去完完成成第第j项j项任任务务,i, j 1,2, ,n
于是，对于极小化问题，指派问题数学模型为：
minZ
m
i 1
jn1cij
x
ij
n x ij 1, j 1,2, ,n
i 1
n x ij 1,i 1,2, ,n
j 1
xij=1或0
从模型看，指派问题是特 殊的0—1规划，也是特殊 的运输问题，可以用这两 种问题的求解方法求解。 但这样做是不合算的。
根据指派问题的特殊结构，我们有更为简便的方法。这就是下 面将介绍的匈牙利法，这个方法是由匈牙利数学家康尼格（D.Konig) 给出的。
运筹学
第四章 整数规划
§5 指派问题
在实际问题中，常常会碰到这样的问题，要指派n个人去完成n 项不同任务，每个人必须完成其中一项而且仅仅一项。但由于个人 的专长不同，任务的难易程度不一样，所以完成不同任务的效率就 不同，那么应该指派哪个人去完成哪项任务，能使总的效率最好呢？ 这就是典型的指派问题。
匈牙利算法是以指派问题最优解的性质为根据的。
指派问题最优解性质：如果将指派问题的效率矩阵的每一行 （列）的各个元素都减去该行（列）的最小元素，得到一新的矩阵 C′，则以C′为效率矩阵的指派问题的最优解与原问题的最优解相同。
证明：设C的第i行元素都减去该行最小元素ai，第j列元素都减 去该列最小元素bj ，则新矩阵C′第i行第j列的元素为Cij′=Cij-ai-bj，
Z′=ΣΣCij′xij=ΣΣ（Cij-ai-bj）xij =ΣΣCijxij-Σai-Σbj
=Z-Σai-Σbj 可见新问题的最优解与原问题的最优解相同，只是目标值相差一个 常数。证毕。
利用这个性质，可以使原效率矩阵变换为含有多个0元素的新
效率矩阵，而最优解不变。在新的效率矩阵中如果能找到n个不同
另外，如果任务数与人数不相等，可以象不平衡运输问题一样， 虚设一项任务或人，并且令相应的Cn+1,j或Ci,n+1等于0，（i,j=1,2…n ）然后用匈牙利法求解。
例6 今欲指派张王李赵四人加工A、B、C、D四种不同的零件，
每人加工四种零件所需要的时间如下表所示，问应该派谁加工何种 零件可使总的花费时间最少？
零件 人
张 王 李 赵
A BCD
4 6 58 6 10 7 8 7 8 11 9 9 3 84
在类似问题中都必须给出一个像上表一样的矩阵C，称为效率矩阵。
行且不同列的0元素，则可以令它们对应的xij等于1，其它xij等于0，
显然，该解一定是最优解。这就是匈牙利算法的基本思想。
具体步骤如下：
第一步 变换效率矩阵，使各行各列都出现 0 元素。 1°效率矩阵每行元素都减去该行最小元素； 2°效率矩阵每列元素都减去该列最小元素。
第二步 圈出不同行且不同列的 0 元素，进行试指派。 1°（行搜索）给只有一个0 元素的行中的0 画圈，记作 “◎”，并划去与其同列的其余0元素； 2°（列搜索）给只有一个0 元素的列中的0 画圈，记作 “◎”，并划去与其同行的其余0元素； 3°反复进行1°、2°，直至所有0元素都有标记为止。 4°若行（列）的0元素均多于一个，则在0元素最少的行（列） 中选定一个0元素，标“◎”,并划去与其同行同列的其余0元素。
下面用上述算法求解例6。
解：先变换效率矩阵，然后圈出不同行不同列的0元素，结果如下：
4 6 5 8 0 2 1 4 ∕0 2 ○0 3
6
7
10 8
7 11
8
0
9 0
4 1
1 4
○ 2
∕0
2 0
4 1
∕0 3
1
1
○
9 3 8 4 6 0 5 1 6 0 4 ∕ 0
由于不同行不同列的0元素仅有3个，所以要继续第三步及第四步。
√√
∕0 2 ○0 3 √
∕0 4 ∕ 0 1 √
○0 1
3
1 √
6
○0
4
∕ 0
调整量θ=1，调整效率矩 阵使之出现更多0元素。
而后，再重新圈出不同行 且不同列的 0 元素，进行 再指派。结果如右：
∕0 1 ○0 2
○0 3 ∕0 ∕0
∕0 ∕0
3 ○0
7
○0
5
∕0
由于◎的个数已达n=4个，所以令◎所对应的xij =1，其余xij =0，已 得最优解。即最优指派方案为：张—C；王—A；李—D；赵—B。
所需最少总时间为：5+6+9+3=23。注意，本例的最优方案不唯一，
张—A；王—C；李—B；赵—D也是最优方案。
以上讨论仅限于极小化问题，对于极大化问题，不能按
minZ′=ΣΣ(-Cij)xij求解，因为匈牙利法要求效率矩阵的元素Cij≥0，这
时可取M=max｛Cij｝,令bij=M-Cij,以B=（bij）n×n为效率矩阵求解。 ∵ΣΣ（M-Cij）xij=nM-ΣΣCijxij ∴当ΣΣ（M-Cij）xij取最小时，ΣΣCijxij便为最大。
5°若不同行且不同列的 “◎”已达n个，则令它们对应的xij =1，其余xij =0，已得最优解，计算停，否则转第三步。
第三步 用最少直线覆盖效率矩阵中的0元素。 1°对没有“◎”的行打“√”； 2°对打“√”行中的0元素所在列打“√”； 3°对打“√”列中“◎”所在行打“√”； 4°反复进行2°、 3°，直至打不出新 “√”为止。 5°对没 打“√”的行画横线，对打“√”列画竖线，则效率矩 阵中所有0元素被这些直线所覆盖。 第四步 调整效率矩阵，使出现新的0元素。 1°找出未被划去元素中的最小元素，以其作为调整量θ； 2°矩阵中打“√”行各元素都减去θ，打“√”列各元素都加θ （以保证原来的0元素不变），然后去掉所有标记，转第二步。
C
11
C12
C
C
21
C22
C
n1
Cn2
C 1n
C
2n
Cnn
矩阵中的元素Cij表示指派第i个人去完成第j项任务时的效率。 求解这类问题时，通常引入0—1变量： x ij 10,,不指指派派第第i人i人去去完完成成第第j项j项任任务务,i, j 1,2, ,n
于是，对于极小化问题，指派问题数学模型为：
minZ
m
i 1
jn1cij
x
ij
n x ij 1, j 1,2, ,n
i 1
n x ij 1,i 1,2, ,n
j 1
xij=1或0
从模型看，指派问题是特 殊的0—1规划，也是特殊 的运输问题，可以用这两 种问题的求解方法求解。 但这样做是不合算的。
根据指派问题的特殊结构，我们有更为简便的方法。这就是下 面将介绍的匈牙利法，这个方法是由匈牙利数学家康尼格（D.Konig) 给出的。
运筹学
第四章 整数规划
§5 指派问题
在实际问题中，常常会碰到这样的问题，要指派n个人去完成n 项不同任务，每个人必须完成其中一项而且仅仅一项。但由于个人 的专长不同，任务的难易程度不一样，所以完成不同任务的效率就 不同，那么应该指派哪个人去完成哪项任务，能使总的效率最好呢？ 这就是典型的指派问题。
匈牙利算法是以指派问题最优解的性质为根据的。
指派问题最优解性质：如果将指派问题的效率矩阵的每一行 （列）的各个元素都减去该行（列）的最小元素，得到一新的矩阵 C′，则以C′为效率矩阵的指派问题的最优解与原问题的最优解相同。
证明：设C的第i行元素都减去该行最小元素ai，第j列元素都减 去该列最小元素bj ，则新矩阵C′第i行第j列的元素为Cij′=Cij-ai-bj，