您的位置：360文档中心› 2020年江苏省盐城市高三一模数学试题

2020年江苏省盐城市高三一模数学试题

合集下载

江苏省盐城市20202020学年度高三第一次调研考试数学试题 人教版

江苏省盐城市20202020学年度高三第一次调研考试数学试题 人教版

江苏省盐城市20202020学年度高三第一次调研考试数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，恰．有一项．．．是符合题目要求的．）1．若cos 0θ>，且sin 20θ<，则角θ的终边所在象限是A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设数列{}n a 是各项互不相等的等比数列，1239,18a a a =+=，则公比q 等于 Ａ．2- Ｂ． 1- Ｃ．12-Ｄ． 1 3． 已知m ，n 是不重合的两条直线，α，β，γ是不重合的三个平面，下列四个命题正确的是A ．若m ∥α，则m 平行于α内的任意一条直线B ．若α∥β ，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥nC ．若m ∥n ，m ⊥α， n ⊥β，则α∥βD ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β4．已知圆2210x y +=，动点M 在以P (1,3)为切点的切线上运动，则线段OM 中点的轨迹方程为 Ａ．340x y -+= Ｂ．350x y +-= Ｃ．3100x y +-= Ｄ． 3200x y +-= 5．若两个函数的图像经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数．给出下列三个函数：1()sin cos f x x x =+，2()f x x =3()sin f x x =，则Ａ．123(),(),()f x f x f x 为“同形”函数Ｂ．12(),()f x f x 为“同形”函数，且它们与3()f x 不为“同形”函数 Ｃ．13(),()f x f x 为“同形”函数，且它们与2()f x 不为“同形”函数 Ｄ．23(),()f x f x 为“同形”函数，且它们与1()f x 不为“同形”函数6． 某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元．某人从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号，将这7个号组成一注，若这个人把这种特殊要求的所有注买全，至少要花费Ａ．3360元 B ．6720元 C ．4320元 D ．8640元7．若椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，线段21F F 被抛物线bx y 22=的焦点F 分成5﹕3的两段，则此椭圆的离心率为A ．552 B ． 54 C ． 1716D ．17174 8．若向量(cos ,sin )x αα=r ，(cos ,sin )y ββ=u r，则下列结论一定成立的是Ａ． x r ∥y r Ｂ． x y ⊥r rＣ．x r 与y u r 的夹角等于αβ- Ｄ．()()x y x y +⊥-r r r r9．菱形ABCD 中，2AB =，060BCD ∠=，现将其沿对角线BD 折成直二面角A BD C --（如图），则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为 AB ．C ．14D ．3410．定义{}max ,aa b a b ba b≥⎧=⎨<⎩，设实数,x y 满足约束条件22x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，{}max 4,3z x y x y =+-，则z 的取值范围是A ．[－6，10]B ．[－7，10]C ．[－6，8]D ． [－7，8] 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．设2012(1)n nn x a a x a x a x +=+++L ，若322a a =，则n = ▲ ．12．如图所示两个带指针的转盘，每个转盘被分成5个区域，指针落在5个区域的可能性相等，每个区域内标有一个数字，则两个指针同时落在奇数所在区域内的概率为 ▲ ．13．若函数32()234f x x x ax a =+++有一个极大值和一个极小值，则a 的取值范围是 ▲ ． 14．已知函数cos ()cos()6xf x x π=-，则()()3f x f x π+-的值为 ▲ ．15．点O 是四边形ABCD 内一点，满足0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，若AB AD DC AO λ++=u u u r u u u r u u u r u u u r， 则λ= ▲ ．16．函数()f x 满足1(0,1)1()xa a a f x =>≠+，若12()()1f x f x +=，则12()f x x +的最大值为 ▲ ．三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2a =，cos 2cos()A B C =+，2AB AC ⋅=u u u r u u u r．求角A 及边,b c 的大小．18．（本小题满分14分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右两个焦点分别为12,F F ．过右焦点2F 且与x 轴DCBA垂直的直线l 与双曲线C相交，其中一个交点为M ． （１） 求双曲线C 的方程；（２）设双曲线C 的虚轴一个端点为(0,)B b -，求1F BM ∆的面积． 19．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，090ACB ∠=，2AC =，11BC BB ==，D 是棱11A C 的中点．（１） 设平面1BB D 与棱AC 交于点E ，确定点E 的位置并给出理由；（２） 求直线AB 与平面1BB D 所成角的大小； （３） 求二面角1B AD B --的大小． 20．（本小题满分16分）已知“接龙等差”数列12101120213031,,,,,,,,,,,a a a a a a a a L L L L 构成如下：11a =，1210,,,a a a L 是公差为1的等差数列；101120,,,a a a L 是公差为d 的等差数列；202130,,,a a a L 是公差为2d 的等差数列；L ；101011021010,,,,n n n n a a a a +++L 是公差为n d 的等差数列（*n N ∈）；其中0d ≠． （１） 若2080a =，求d ； （２） 设10n n b a =．求n b ；（３） 当1d >-时，证明对所有奇数n 总有5n b >．1B 1BA21．（本小题满分14分）已知集合{}121212(,)0,0,D x x x x x x k =>>+=．其中k 为正常数．（1）设12u x x =，求u 的取值范围． （2）求证：当1k ≥时不等式21212112()()()2k x x x x k--≤-对任意12(,)x x D ∈恒成立； （3）求使不等式21212112()()()2k x x x x k--≥-对任意12(,)x x D ∈恒成立的k 的范围．[参考答案]一、选择题二 填空题11． 8 ；12． 625；13． 4(,)9-∞ ．14．；15． 3 ； 16． 54．三、解答题 17．（本小题满分12分）解 由cos 2cos()A B C =+得22cos cos 10A A +-=， …………２分∴1cos 2A =或cos 1A =-（不合题意舍去）．∴60A =︒ …………4分 由题意，cos 2AB AC c b A ⋅=⋅⋅=u u u r u u u r，∴4b c ⋅= ①， …………7分由余弦定理得2222cosa b c bc A =+-，将2a =，cos 2b c A ⋅⋅=代入得228b c += ② …………10分 由①②解得2b c ==． …………12分 18．（本小题满分14分） 解(1)由条件可知c =21MF =，…………２分在直角12F F M ∆中13MF===，根据双曲线的定义得122312,1a MF MF a =-=-==，从而1b=， …………６分 所以双曲线方程为221x y -=． ………………………８分(2)由题意知1((0,1)M F B -,直线1MF 420y -+=，…10分 点B 到直线1MF 的距离d ==， ………………………12分又13MF =，所以11122F BMS MF d ∆==． ………………………14分19．（本小题满分14分）解（1）E 是AC 的中点． ………………………1分由棱柱的性质知1B B ∥平面11ACC A ,∵AB ⊆平面ABD ,平1B 1BA面11ACC A I 平面1BB D DE =，∴所以DE ∥1B B ，∴DE ∥1A A ，由D 是11A C 的中点知E 是AC 中点．………………………4分（2）∵1BB ⊥底面ABC ，∴平面1BB DE ⊥底面ABC ，过A 点作AM ⊥BE ，M 是垂足，M 在BE 的延长线上，∴AM ⊥平面1BB DF ，ABM ∠就是直线AB 与平面1BDB 所成角．………………………6分在直角ACB ∆中，AB =045BEC AEM ∠=∠=，所以AM =∴sin 10ABM ∠==，ABM ∠=． …………8分（或在△ABC 中，∠ABM ＝∠ABE ＝∠ABC －∠CBE ＝arctan 24π-）（3）解法一．如图１，在直角1AA D中AD =1BB D ∆中BD =，在直角ACB ∆中AB =222AB AD BD =+，∴AD DB ⊥．在1ADB ∆中，11AD DB AB ===01120ADB ∠=，01130DAB DB A ∠=∠=过点D 作DP AD ⊥，垂足为P ，则PDB ∠是二面角1B AD B --的平面角． ……11分 连BP ．在等腰1ADB ∆中1DP B P ==，在直角1ABB ∆中1BP =， 在PDB ∆中，222cos 2DP DB PBPDB DP DB+-∠=⋅2213+-==, ∴二面角1B AD B --的大小为． ………14分 解法二：设平面ABD 与棱11B C 交于点F ，则F 为11B C 中点，如图，过点1B 作1B N ⊥DF ,垂足N 在DF 的延长线上,连BN ,∵1BB DF ⊥,∴DF ⊥平面1BB N ,作1B H BN ⊥,H 为垂足,∵11,B H BN B H DF ⊥⊥，∴1B H ⊥平面A1ABFD ，作1,B O AD O ⊥为垂足，连OH ，由三垂线逆定理知OH AD ⊥，∴1B OH ∠是二面角1B AD B --的平面角． ………………11分 在直角1B NF 中,得1B N =1BB N ∆中得1B H = 在1ADB中，11AD DB AB，得1B O =…………12分 在直角1B HO ∆中，11sin 3B OH ∠==，所以二面角1B AD B --的大小是1arcsin 3． ………………14分 20、（本小题满分16分）解(1) 由1210,,,a a a L 是首项为1，公差为1的等差数列得1010a =，101120,,,a a a L 是公差为d 的等差数列得201010101080a a d d =+=+=，解得7d =． ……………4分(2) 由题意有 201010a a d =+，2302010a a d =+，3403010a a d =+， (1)1010(1)10n n n a a d--=+累加得211010101010n n a a d d d -=++++L 2110101010n d d d -=++++L ……………8分所以2110101010n n b d d d -=++++L 10(1)(1)110(1)n d d dn d ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩, ……………10分 （3）设n 为奇数,当(0,)d ∈+∞时211010101010n n b d d d-=++++>L ……………13分 当(1,0)d ∈-时, 10(1)1n n d b d -=-，由112d <-<及11nd ->有10(1)10512n n d b d -=>=- 综上所述，当n 为奇数且1d >-时，恒有5n b >． ……………16分21.（本小题满分14分）（1）221212()24x x k x x +≤=，当且仅当122kx x ==时等号成立，故u 的取值范围为2(0,]4k ． ……………3分（2）解法一（函数法）121212121221111()()x x x x x x x x x x x x --=+-- 222212121212121211122x x k k x x x x u x x x x x x u+--=+-=-+=-+ ……………4分由204k u <≤，又1k ≥，210k -≥，∴21()2k f u u u -=-+在2(0,]4k 上是增函数， ……………6分所以121211()()x x x x --=212k u u --+22222214222()4424k k k kk k k -≤-+=-+=- 即当1k ≥时不等式21212112()()()2k x x x x k--≤-成立． ……………8分解法二（不等式证明的作差比较法）21212112()()()2k x x x x k ----=21212212211424x x k x x x x x x k +----+ 212122122114()(2)4x x k x x x x k x x =----+-2221212122121244()4k x x k x x x x k x x x x ---=--， 将2212124()k x x x x -=-代入得21212112()()()2k x x x x k ----2221212212()(44)4x x k x x k k x x ---=， ……………5分 ∵212()0x x -≥，1k ≥时22221212444(1)0k x x k k k x x --=--<，∴2221212212()(44)04x x k x x k k x x ---≤，即当1k ≥时不等式21212112()()()2k x x x x k --≤-成立． ……………8分（3）解法一（函数法）记121211()()x x x x --=212()k u f u u -++=，则222()()22k k f k -=， 即求使2()()4k f u f ≥对2(0,]4k u ∈恒成立的k 的范围． ……………9分由（2）知，要使21212112()()()2k x x x x k--≥-对任意12(,)x x D ∈恒成立，必有01k <<，因此210k ->，∴函数21()2k f u u u-=++在上递减，在)+∞上递增， ……………11分要使函数()f u 在2(0,]4k 上恒有2()()4k f u f ≥，必有24k ≤，即4216160k k +-≤，解得0k <≤． ……………14分解法二（不等式证明的作差比较法）由(2)可知21212112()()()2k x x x x k ----=2221212212()(44)4x x k x x k k x x ---， 要不等式恒成立，必须2212440k x x k --≥恒成立， ……………10分即212244k x x k -≤恒成立， ……………11分 由21204k x x <≤得222444k k k-≤，即4216160k k +-≤， ……………13分解得0k <≤因此不等式21212112()()()2k x x x x k--≥-恒成立的k的范围是0k <≤．……………14分。

2020年江苏省盐城中学高考数学一模试卷 (含答案解析)

2020年江苏省盐城中学高考数学一模试卷 (含答案解析)

2020年江苏省盐城中学高考数学一模试卷一、填空题（本大题共14小题，共42.0分）1. 若集合A ={x|1<x <3}，B ={0,1，2，3}，则A ∩B =_________．2. 已知i 为虚数单位，若a+bi1+i =2+i(a,b ∈R)，则ab = ______ ． 3. 运行如图所示的程序，输出的结果是________．4. 某学生参加2门选修课的考试．假设该学生第一门、第二门课程取得A 的概率依次为45、35，且不同课程是否取得A 相互独立．则该生只取得一门课程A 的概率为______ 5. 设函数f(x)=k−2x 1+k⋅2x，则k =−1是函数f(x)为奇函数的______条件(选填“充分不必要、必要不充分、既不充分又不必要、充要”之一)6. 若k 1,k 2,⋯,k 8的方差为3，则2(k 1−3),2(k 2−3),⋯,2(k 8−3)的方差为________．7. 已知一个正四棱柱的底面边长为1，其侧面的对角线长为2，则这个正四棱柱的侧面积为 ．8. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且是以2为周期的函数，当x ∈[0,1]时，f(x)=x ，则f(7.5)=________．9. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若2(a 1+a 2)=3a 1a 2，且4S 3，3S 4，2S 5成等差数列，则S 10的值为___________． 10. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的离心率为2，焦点与椭圆x 225+y 29=1的焦点相同，那么双曲线渐近线方程为______ ．11. 已知点P 在直线x +2y −l =0上，点Q 在直线x +2y +3=0，PQ 的中点为M(x 0,y 0)，且−1≤y 0−x 0≤7，则y 0x 0 的取值范围是______．12. 已知f(x)=6−12x +x 3,x ∈[−13,1]，则函数的最大值为______ ，最小值为______ ． 13. 若b ⃗ =(1,1)，a ⃗ ⋅b ⃗ =2，|a ⃗ −b ⃗ |=√7，则|a ⃗ |= ______ ． 14. 曲线y =e x +2x +1在点A(0,2)处的切线方程______ ． 二、解答题（本大题共10小题，共112.0分）15.已知向量a⃗=(1,cos2x),b⃗ =(sin2x,−√3)，函数．f(x)=a⃗⋅b⃗(I)若f(θ2+2π3)=65，求cos2θ的值；(II)若x∈[0,π2]，求函数f(x)的值域．16.如图，在三棱柱A1B1C1−ABC中，已知E，F，G分别为棱AB，AC，A1C1的中点，∠ACB=90°，A1F⊥平面ABC，CH⊥BG，H为垂足．求证：(1)A1E//平面GBC；(2)BG⊥平面ACH．17.椭圆C：x2a2+y2b2=1过点A(1,32)，离心率为12，左右焦点分别为F1、F2.过点F1的直线l交椭圆于A、B两点．(1)求椭圆C的方程．(2)当△F2AB的面积为12√27时，求l的方程．18.如图，在四边形ABCD中，∠B=2π3，AB=√3，△ABC的面积为3√34．(1)求AC；(2)若BC⊥CD，∠D=π4，求AD．19.已知数列{a n}的前n项和S n，a1=t(t≠−1)，S n+2a n+1+n+1=0，且数列{a n+1}为等比数列．(1)求实数t的值；(2)设T n为数列{b n}的前n项和，b1=1，且T n+1n+1−T nn=1.若对任意的n∈N∗，使得不等式b1+1a1+1+b2+1 a2+1+⋯+b n+1a n+1≥ma n+1恒成立，求实数m的最大值．20. 已知函数f(x)=exx ．(1)求曲线y =f(x)在点P(2,e 22)处的切线方程； (2)证明：．21. 已知矩阵M =[ab cd ]，N =[10012]，且(MN)−1=[14002]，求矩阵M ．22. 已知在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为{x =3+2cosθy =−4+2sinθ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ−π4)=√2 (1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程(2)设M 是直线l 上任意一点，过M 做圆C 切线，切点为A 、B ，求四边形AMBC 面积的最小值．23. 设(3x −1)n =a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x n ，已知展开式中二项式系数最大的是四、五两项，求：(1)∑|n i=1a i |； (2)∑|n i=1ia i |；(3)求展开式中系数绝对值最大的项．24. 已知a ，b ，c ，d ∈(0,+∞)，求证ac +bd ≤√(a 2+b 2)(c 2+d 2)．-------- 答案与解析 --------1.答案：{2}解析：【分析】本题考查了交集及其运算，是基础题．根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|1<x<3}，B={0,1，2，3}，则A∩B={2}．故答案为：{2}．2.答案：3=2+i，解析：解：∵a+bi1+i∴a+bi=(1+i)(2+i)=2+2i+i−1=1+3i，∴a=1，b=3，a⋅b=3．故答案为：3．化简复数的表达式，利用复数的相等，求出a，b即可求出a+bi．本题考查复数代数形式的乘除运算，复数相等的充要条件，高考常考题型．3.答案：3解析：【分析】本题主要考查了赋值语句，理解赋值的含义是解决问题的关键，属于基础题．【解答】解：a=1，b=2，接下来：a=1+2=3，故最后输出3．故答案为3．4.答案：1125解析：解：某学生参加2门选修课的考试．假设该学生第一门、第二门课程取得A 的概率依次为45、35，且不同课程是否取得A 相互独立． ∴该生只取得一门课程A 的概率为： p =45×(1−35)+(1−45)×35=1125．故答案为：1125．利用相互独立事件概率乘法公式能求出该生只取得一门课程A 的概率．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5.答案：充分不必要解析： 【分析】本题主要考查充要条件的应用，属于基础题． 【解答】解：由题意得，f (x )=−1−2x 1−2x,f (−x )=−1−2−x 1−2−x=−f (x )，充分性满足，f (x )+f (−x )=0，则k 不一定是−1，则k =−1是函数f(x)为奇函数的充分不必要条件． 故答案为充分不必要．6.答案：12解析： 【分析】本题考查平均数和方差的变换特点，若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变．已知一组数据的方差，求在这一组上同时乘以2，再减去6的方差，根据在一组数据上都乘以一个数，则方差的变化是乘以一个数据的平方得到结果，在这组数据上减去6，方差不变． 【解答】解：∵k 1，k 2，…，k 8的方差为3，∴2k 1，2k 2，…，2k 8的方差是22×3=12， ∴2k 1−6，2k 2−6，…，2k 8−6的方差是12， 即2(k 1−3),2(k 2−3),⋯,2(k 8−3)的方差为12． 故答案为：12．。

2020届江苏省盐城中学高三下学期一模考试数学试卷及解析

2020届江苏省盐城中学高三下学期一模考试数学试卷及解析

2020届江苏省盐城中学高三下学期一模考试数学试卷★祝考试顺利★(解析版)1.已知集合{}13A x =-<<,{}|2=≤B x x ,则A B =_________ .【答案】(-1,2]【解析】根据交集定义求解．【详解】由题意{|12}A B x x =-<≤故答案为：(1,2]-．2.设,R a b ∈,i 为虚数单位,若()25a bi i i +=-,则ab 的值为__________【答案】10【解析】根据复数乘法法则计算()a bi i +,利用复数相等即可求解.【详解】()25a bi i b ai i +=-+=-,5,2a b ∴=-=-,10ab ∴=,故答案为：103.如图所示的流程图的运行结果是______．【答案】20试题分析：第一次循环：5,4S a ==,第二次循环：20,34S a ==<,结束循环,输出20.S = 考点：循环结构流程图4.某校开设5门不同的选修课程,其中3门理科类和2门文科类,某同学从中任选2门课程学习,则该同学“选到文科类选修课程”的概率为______. 【答案】710【解析】先求出基本事件总数为2510n C ==,该同学恰好“选到文科类选修课程”包含的基本事件个数为2112327m C C C =+=,由此能求出该同学“选到文科类选修课程”的概率． 【详解】某校开设5门不同的选修课程,其中3门理科类和2门文科类,某同学从中任选2门课程学习,基本事件总数为2510n C ==,该同学恰好“选到文科类选修课程”包含的基本事件个数为2112327m C C C =+=. ∴该同学“选到文科类选修课程”的概率是710m p n ==. 故答案为：710. 5.“2a =”是“直线210ax y ++=和直线()3120x a y ++-=平行”的______条件.(填“充分不必要”,“必要不充分”,“充分必要”或“既不充分又不必要”)【答案】充分不必要【解析】根据充分条件和必要条件的定义以及直线平行的性质,即可得到结论．【详解】若“2a =”则直线2210x y ++=和直线3310x y +-=平行,即充分性成立,若0a =,直线210ax y ++=和直线()3120x a y ++-=平行为210y +=和直线310x y +-=不平行,若0a ≠,若直线210ax y ++=和直线()3120x a y ++-=平行,则312a a +=, 即(1)6a a +=,解得2a =或3a =-,经检验3a =-或2a =均满足,即必要性不成立,故“2a =”是直线210ax y ++=和直线()3120x a y ++-=平行的充分不必要条件,。

2020年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷

2020年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷

2020年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷一、填空题（共14题，每题5分）1．（2020•江苏一模）已知集合A＝（0，+∞），全集U＝R，则∁U A＝（﹣∞，0]．2．（2020•江苏一模）设复数z＝2+i，其中i为虚数单位，则z•＝5．3．（2020•江苏一模）学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为．4．（2020•江苏一模）命题“∀θ∈R，cosθ+sinθ＞1”的否定是真命题．（填“真”或“假”）5．（2020•江苏一模）运行如图所示的伪代码，则输出的I的值为6．6．（2020•江苏一模）已知样本7，8，9，x，y的平均数是9，且xy＝110，则此样本的方差是2．7．（2020•江苏一模）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2＝4x上的点P到其焦点的距离为3，则点P到点O的距离为2．8．（2020•江苏一模）若数列{a n}是公差不为0的等差数列，lna1、lna2、lna5成等差数列，则的值为3．9．（2020•江苏一模）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点P是棱CC1上一点，记三棱柱ABC﹣A1B1C1与四棱锥P﹣ABB1A1的体积分别为V1与V2，则＝．10．（2020•江苏一模）设函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象与y轴交点的纵坐标为，y轴右侧第一个最低点的横坐标为，则ω的值为7．11．（2020•江苏一模）已知H是△ABC的垂心（三角形三条高所在直线的交点），＝+，则cos∠BAC的值为．12．（2020•江苏一模）若无穷数列{cos（ωn）}（ω∈R）是等差数列，则其前10项的和为10．13．（2020•江苏一模）已知集合P＝{（x，y）|x|x|+y|y|＝16}，集合Q＝{（x，y）|kx+b1≤y ≤kx+b2}，若P⊆Q，则的最小值为4．14．（2020•江苏一模）若对任意实数x∈（﹣∞，1]，都有||≤1成立，则实数a 的值为．二、解答题（共6题，满分90分）15．（2020•江苏一模）已知△ABC满足sin（B+）＝2cos B．（1）若cos C＝，AC＝3，求AB；（2）若A∈（0，），且cos（B﹣A）＝，求sin A．16．（2020•江苏一模）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知底面ABCD是正方形，点P 是侧棱CC1上的一点．（1）若AC1∥平面PBD，求的值；（2）求证：BD⊥A1P．17．（2020•江苏一模）如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从⊙O中裁剪出两块全等的圆形铁皮⊙P与⊙Q做圆柱的底面，裁剪出一个矩形ABCD做圆柱的侧面（接缝忽略不计），AB为圆柱的一条母线，点A、B 在⊙O上，点P、Q在⊙O的一条直径上，AB∥PQ，⊙P、⊙Q分别与直线BC、AD相切，都与⊙O内切．（1）求圆形铁皮⊙P半径的取值范围；（2）请确定圆形铁皮⊙P与⊙Q半径的值，使得油桶的体积最大．（不取近似值）18．（2020•江苏一模）设椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，离心率是e，动点P（x0，y0）在椭圆C上运动．当PF2⊥x轴时，x0＝1，y0＝e．（1）求椭圆C的方程；（2）延长PF1，PF2分别交椭圆C于点A，B（A，B不重合）．设＝λ，＝μ，求λ+μ的最小值．19．（2020•江苏一模）定义：若无穷数列{a n}满足{a n+1﹣a n}是公比为q的等比数列，则称数列{a n}为“M（q）数列”．设数列{b n}中b1＝1，b3＝7．（1）若b2＝4，且数列{b n}是“M（q）数列”，求数列{b n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为S n，且b n+1＝2S n﹣n+λ，请判断数列{b n}是否为“M（q）数列”，并说明理由；（3）若数列{b n}是“M（2）数列”，是否存在正整数m，n使得＜＜？若存在，请求出所有满足条件的正整数m，n；若不存在，请说明理由．20．（2020•江苏一模）若函数f（x）＝e x﹣ae﹣x﹣mx（m∈R）为奇函数，且x＝x0时f（x）有极小值f（x0）．（1）求实数a的值；（2）求实数m的取值范围；（3）若f（x0）≥﹣恒成立，求实数m的取值范围．四、选做题（任选2道，每道10分）21．（2020•江苏一模）已知圆C经矩阵M＝变换后得到圆C′：x2+y2＝13，求实数a的值．22．（2020•江苏一模）在极坐标系中，直线ρcosθ+2ρsinθ＝m被曲线ρ＝4sinθ截得的弦为AB，当AB是最长弦时，求实数m的值．23．（2020•江苏一模）已知正实数a，b，c满足++＝1，求a+2b+3c的最小值．五、必做题（每题10分，共计2题）24．（2020•江苏一模）如图，AA1、BB1是圆柱的两条母线，A1B1、AB分别经过上下底面圆的圆心O1、O，CD是下底面与AB垂直的直径，CD＝2．（1）若AA1＝3，求异面直线A1C与B1D所成角的余弦值；（2）若二面角A1﹣CD﹣B1的大小为，求母线AA1的长．25．（2020•江苏一模）设（1﹣2x）i＝a0+a1x+a2x2+…+a2n x2n（n∈N*），记S n＝a0+a2+a4+…+a2n．（1）求S n；（2）记T n＝﹣S1∁n1+S2∁n2﹣S3∁n3+…+（﹣1）n S n∁n n，求证：|T n|≥6n3恒成立．。

南京盐城2020年高三一模数学试卷及答案

南京盐城2020年高三一模数学试卷及答案

把答案写在答题卡的指定区域内．
15．(本小题满分 14 分)
已知△ABC 满足 sin(B＋π)＝2cosB． 6
（1）若 cosC＝ 6，AC＝3，求 AB；
3
（2）若 A∈(0，π)，且 cos(B－A)＝4，求 sinA．
3
5
16．(本小题满分 14 分)
如图，长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，已知底面 ABCD 是正方形，点 P 是侧棱 CC1 上的一点．
方法二：由点 A ， B 不重合可知直线 PA 与 x 轴不重合，故可设直线 PA 的方程为 x my 1 ，
联立

x2 2

y2
1
，消去
x
得 (m2

2) y2

2my
1
0 （☆），
x my 1
设 A(x1, y1) ，则 y1 与 y0 为方程（☆）的两个实根，
高三数学答案 第 2 页 共 7 页
数学参考答案
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.
1． (, 0]
2． 5
3．
2 3
4．真
8． 3
9．
2 3
10． 7
11．
3 3
5． 6
12．10
6． 2 13． 4
7． 2 3
14．

1 2
二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写 在答题纸的指定区域内.
又由
x02 2

y02
1得
y02
1
x02 2
，代入（＃）式得 ( x0

江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试 数学(word版含答案)

江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试 数学(word版含答案)

盐城市、南京市 2020 届高三年级第一次模拟考试数学2020.01注意事项：1. 本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题~第 14 题）、解答题（第 15 题~第 20 题）两部分．本试卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟．2. 答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答．题．卡．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 参考公式：柱体体积公式：V ＝Sh ，锥体体积公式：V ＝1Sh ，其中 S 为底面积，h 为高．3n n样本数据 x 1，x 2，···，x n 的方差 s 2＝1 ∑ (x i －)2，其中＝1 ∑ x i ．n i ＝1 n i ＝1一､ 填空题:本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分．不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上．1．已知集合 A ＝(0，＋∞)，全集 U ＝R ，则∁ A ＝ ▲． U2. 设复数 z ＝2＋i ，其中 i 为虚数单位，则 z ·—z ＝▲．3. 学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查， 则甲被选中的概率为 ▲ ． 4. 命题“ θ∈R ，cos θ＋sin θ＞1”的否定是 ▲ 命题．(填“真”或“假”) 5. 运行如图所示的伪代码，则输出的 I 的值为 ▲ ． 6. 已知样本 7，8，9，x ，y 的平均数是 9，且 xy ＝110，则此样本的方差是 ▲ ．（第 5 题图）7. 在平面直角坐标系 xOy 中，若抛物线 y 2＝4x 上的点 P 到其焦点的距离为 3，则点 P 到点 O的距离为 ▲ ．8. 若数列{a n }是公差不为0 的等差数列，ln a 1、ln a 2、ln a 5 成等差数列，则a 2的值为 ▲ ． a 19. 在三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 中，点 P 是棱 CC 1 上一点，记三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 与四棱锥 P －ABB 1A 1 的体积分别为 V 1 与 V 2，则V 2＝ ▲ ．V 110. 设函数 f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的图象与 y y 轴右侧第一个22最低点的横坐标为π，则ω的值为 ▲．6S ←0I ←0 While S ≤10 S ←S ＋I I ←I ＋1End WhilePrint I→11.已知H 是△ABC 的垂心(三角形三条高所在直线的交点)，AH ＝的值为▲．→AB ＋4→AC ，则cos∠BAC212.若无穷数列{cos(ωn)}(ω∈R)是等差数列，则其前10 项的和为▲．13．已知集合P＝{(x，y)|x|x|＋y|y|＝16}，集合Q＝{(x，y)|kx＋b1≤y≤kx＋b2}，若P Q，则|b1－b2|k2＋1 的最小值为▲．14.若对任意实数x∈(－∞，1]，都有| e xx2－2ax＋1|≤1 成立，则实数a 的值为▲．二､解答题:本大题共 6 小题，计90 分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内．15．(本小题满分14 分)已知△ABC 满足sin(B＋π)＝2cos B．6（1）若cos C AC＝3，求AB；3（2）若A∈(0，π)，且cos(B－A)＝4，求sin A．3 516．(本小题满分14 分)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1 中，已知底面ABCD 是正方形，点P 是侧棱CC1 上的一点．（1）若AC1//平面PBD，求PC1的值；PC（2）求证：BD⊥A1P．1A（第16 题图）11QA DOB CPyPA F1 O F2 xB如图，是一块半径为4 米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从⊙O 中裁剪出两块全等的圆形铁皮⊙P 与⊙Q 做圆柱的底面，裁剪出一个矩形ABCD 做圆柱的侧面(接缝忽略不计)，AB 为圆柱的一条母线，点A、B 在⊙O 上，点P、Q 在⊙O 的一条直径上，AB∥PQ，⊙P、⊙Q 分别与直线BC、AD 相切，都与⊙O 内切．（1）求圆形铁皮⊙P 半径的取值范围；（2）请确定圆形铁皮⊙P 与⊙Q 半径的值，使得油桶的体积最大．(不取近似值)（第17 题图）18．(本小题满分16 分)设椭圆C：x2＋y2＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，离心率是e，动点P(x0，y0)在椭圆C 上a2 b2运动．当PF2⊥x 轴时，x0＝1，y0＝e．（1）求椭圆C 的方程；→→→→（2）延长PF ，PF 分别交椭圆C 于点A，B(A，B 不重合)．设＝，＝，1 2AF1λF1P BF2 μF2P 求λ＋μ的最小值．（第18 题图）定义：若无穷数列{a n}满足{a n＋1－a n}是公比为q的等比数列，则称数列{a n}为“M(q)数列”．设数列{b n}中b1＝1，b3＝7．（1）若b2＝4，且数列{b n}是“M(q)数列”，求数列{b n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为S n，且b n＋1＝2S n－1n＋λ，请判断数列{b n}是否为“M(q)数列”，2并说明理由；（3）若数列{b n}是“M(2)数列”，是否存在正整数m，n 使得4039＜b m＜4040?若存在，请求2019b n2019出所有满足条件的正整数m，n；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分16 分)若函数f(x)＝e x－a e－x－mx(m∈R)为奇函数，且x＝x0时f(x)有极小值f(x0)．（1）求实数a 的值；（2）求实数m 的取值范围；（3）若f(x0)≥－2恒成立，求实数m 的取值范围．e盐城市、南京市 2020 届高三年级第一次模拟考试数学附加题2020.01注意事项：1.附加题供选修物理的考生使用．2.本试卷共40 分，考试时间30 分钟．3.答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答．题．卡．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸卡．21.【选做题】在A、B、C 三小题中只能选做2 题，每小题10 分，共计20 分．请在答．卷．卡．指．定．区．域．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.选修4—2：矩阵与变换a 3已知圆C 经矩阵M＝3 －2 变换后得到圆C′：x2＋y2＝13，求实数a 的值．B.选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线ρcosθ＋2ρsinθ＝m 被曲线ρ＝4sinθ截得的弦为AB，当AB 是最长弦时，求实数m 的值．C.选修4—5：不等式选讲已知正实数a，b，c 满足1＋2＋3＝1，求a＋2b＋3c 的最小值．a b c【必做题】第22 题、第23 题，每题10 分，共计20 分．请在答．卷．卡．指．定．区．域．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10 分)如图，AA1、BB1 是圆柱的两条母线，A1B1、AB 分别经过上下底面圆的圆心O1、O，CD 是下底面与AB 垂直的直径，CD＝2．（1）若AA1＝3，求异面直线A1C 与B1D 所成角的余弦值；（2）若二面角A1－CD－B1 的大小为π，求母线AA1 的长．3（第22 题图）23．(本小题满分10 分)2n设∑ (1－2x)i＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2n x2n(n∈N*)，记S n＝a0＋a2＋a4＋…＋a2n．i＝1（1）求S n；（2）记T n＝－S1C1＋S2C2－S3C3＋…＋(－1)n S n C n，求证：|T n|≥6n3恒成立．n n n n盐城市､南京市2020 届高三年级第一次模拟考试数学参考答案及评分标准2020.01说明：1.本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4.只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14 小题，每小题 5 分，计70 分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）4．真5．6 6．2 7．2 31．(－∞，0] 2．5 3．238．3 9．210．7 1112．10 13．414．－1332二、解答题：本大题共 6 小题，计90 分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．15．(本小题满分14 分)解：（1）由sin(B＋π)＝2cos B，可知B＋1cos B＝2cos B，即sin B＝3cos B．6 2 2因为cos B≠0，所以tan B＝3．又B∈(0，π)，故B＝π．........................................ 2 分3由cos C C∈(0，π)，3可知sin C＝1－cos2C................................... 4 分3AC ＝AB ，在△ABC 中，由正弦定理b ＝ c ，可得sin Csin B sin C sinπ3所以AB＝2．................................................ 7 分（2）由（1）知B＝π，所以A∈(0，π)时，π－A∈(0，π)，3 3 3 3由 cos(B －A )＝4，即 cos(π－A )＝4，所以 sin(π－A )＝ 1－cos 2(π－A )＝3， ................. 10 分3 3 5 所以 sin A ＝sin[π－(π－A )]＝sin πcos(π－A )－cos πsin(π－A )3 3 3 3 3 3＝ 3×4－1×3＝4 3－3． ............................. 14 分2 5 2 5 1016．(本小题满分 14 分)证明：（1）连结 AC 交 BD 于点 O ，连结 OP ．因为 AC 1//平面 PBD ，AC 1 平面 ACC 1， 平面 ACC 1∩平面 BDP ＝OP ，所以 AC 1//OP ． ............................. 3 分因为四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC 交 BD 于点 O ， 所以点 O 是 AC 的中点，所以 AO ＝OC ，所以在△ACC 1 中，PC 1＝AO＝1． ................ 6 分D 1C 1A 1B 1PD C（2）连结 A 1C 1．PC OC O因为 ABCD －A 1B 1C 1D 1 为长方体，所以侧棱 C 1C ⊥平面 ABCD ． （第 16 题图）又 BD 平面 ABCD ，所以 CC 1⊥BD ． ...................... 8 分因为底面 ABCD 是正方形，所以 AC ⊥BD ． ................. 10 分又 AC ∩CC 1＝C ，AC 面 ACC 1A 1， CC 1面 ACC 1A 1，所以 BD ⊥面 ACC 1A 1． .......................................... 12 分又因为 A 1P 面 ACC 1A 1，所以 BD ⊥A 1P ． .......................... 14 分17．(本小题满分 14 分)解：（1）设⊙P 半径为 r ，则 AB ＝4(2－r )，所以⊙P 的周长 2πr ＝BC ≤2 16－4(2－r )2， ............................ 4 分 解 得 r ≤ 16 ，π2＋4故⊙P 半径的取值范围为(0， 16 ]． ................................. 6 分π2＋4 （2）在（1）的条件下，油桶的体积 V ＝πr 2·AB ＝4πr 2(2－r )． ..................... 8 分设函数 f (x )＝x 2(2－x )，x ∈(0， 16 ]，π2＋4所以 f '(x)＝4x－3x2，由于16 ＜4，π2＋4 3所以 f '(x)＞0 在定义域上恒成立，故f(x)在定义域上单调递增，即当r＝16 时，体积取到最大值．................................. 13 分π2＋4答：⊙P 半径的取值范围为(0，16 ]．当r＝16 米时，体积取到最大值． ....... 14 分18．(本小题满分16 分)π2＋4 π2＋4解：（1）由当PF2⊥x轴时，x0＝1，可知c＝1． ................................................... 2分将x0＝1，y0＝e 代入椭圆方程得1 ＋e2＝1．a2 b2由e＝c＝1，b2＝a2－c2＝a2－1，所以1 ＋ 1 ＝1，a a a2 a2(a2－1)解得a2＝2，故b2＝1，所以椭圆C 的方程为x2＋y2＝1．..................................... 4分2→→1－x1＝λ(x0＋1)，（2）方法一：设A(x1，y1)，由AF1＝λF1P y1＝λy0，1＝－λx0－λ－1，y1＝－λy0，代入椭圆方程，得(－λx0－λ－1)2＋(－λy)2＝1．...................... 8 分2x2(λx)2 2 2(λ＋1)(2λx0＋λ＋1) 2又由0＋y0＝1，得20 ＋(λy0) ＝λ ，两式相减得2 2＝1－λ ．因为λ＋1≠0，所以2λx0＋λ＋1＝2(1－λ)，故λ＝ 1 ．.................................................. 12 分3＋2x0同理可得μ＝ 1 ，............................................ 14 分3－2x0故λ＋μ＝ 1 ＋ 1 ＝ 6 ≥2，3＋2x0 3－2x0 9－4x23当且仅当x0＝0 时取等号，故λ＋μ的最小值为2． ....................... 16 分3方法二：由点A，B 不重合可知直线PA 与x 轴不重合，故可设直线PA 的方程为x＝my－1，x2 22＋y ＝1，消去x，得(m2＋2)y2－2my－1＝0．x＝my－1，设A(x1，y1)，则y0y1＝－1m2＋2，所以y1＝－1 ．................ 8 分(m2＋2)y0将点P(x ，y ) x2 y 2＝1，0 0代入椭圆的方程得0＋020 0 0 0代入直线 PA 的方程得 x 0＝my 0－1，所以 m ＝x 0＋1．y 0→ → y 1 1 1 由AF 1＝λF 1P ，得－y 1＝λy 0，故λ＝－ ＝ ＝y 0 (m 2＋2)y 2 (x 0＋1)2＋2y 2＝ 1＝ 1 ． .................................... 12 分 (x 0＋1)2＋2(1－1x 2) 3＋2x 02同理可得μ＝ 1 ． ............................................. 14 分3－2x 0故λ＋μ＝ 1 ＋ 1 ＝ 6 ≥2，3＋2x 0 3－2x 0 9－4x 23 当且仅当 x 0＝0 时取等号，故λ＋μ的最小值为2． ...................... 16 分3注：（1）也可设 P ( 2cos θ，sin θ)得λ＝ 1 ，其余同理． 3＋2 2cos θ（2）也可由1＋1＝6，运用基本不等式求解λ＋μ的最小值．λ μ 19．(本小题满分 16 分)解：（1）因为 b 2＝4，且数列{b n }是“M (q )数列”，所以 q ＝b 3－b 2＝7－4＝1，所以b n ＋1－b n ＝1，n ≥2，b 2－b 1 4－1b n －b n －1 即 b n ＋1－b n ＝b n －b n －1 ，n ≥2， .................................................................. 2 分 所以数列{b n }是等差数列，其公差为 b 2－b 1＝3，所以数列{b n }通项公式为 b n ＝1＋(n －1)×3，即 b n ＝3n －2． ............... 4 分 （2）由 b n ＋1＝2S n －1n ＋λ，得 b 2＝3＋λ，b 3＝4＋3λ＝7，故λ＝1．2 2方法一：由 b n ＋1＝2S n －1n ＋1，得 b n ＋2＝2S n ＋1－1(n ＋1)＋1，2 2 两式作差得 b n ＋2－b n ＋1＝2b n ＋1－1，即 b n ＋2＝3b n ＋1－1，n ∈N *．2 2又 b 2＝5，所以 b 2＝3b 1－1，22所以 b n ＋1＝3b n －1对 n ∈N *恒成立， ............................................ 6 分2b n ＋1－1则 b n ＋1－1＝3(b n －1)．因为 b 1－1＝3≠0，所以 b n －1≠0，所以4＝3， 4 4 4 4 4 b n －14 即{b n －1}是等比数列， ....................................... 8 分4＋ 所以 b n －1＝(1－1)×3n －1＝1×3n ，即 b n ＝1×3n ＋1，4 4 4 4 4(1×3n ＋2＋1)－(1×3n ＋1＋1)所以b n ＋2－b n ＋1＝ 44 4 4 ＝3， b n ＋1－b n(1×3n ＋1＋1)－(1×3n ＋1)4444所以{b n ＋1－b n }是公比为 3 的等比数列，故数列{b n }是“M (q )数列”．………10 分 方法二：同方法一得 b n ＋1＝3b n －1对 n ∈N *恒成立， ....................................... 6 分2 则 b n ＋2＝3b n ＋1－1，两式作差得 b n ＋2－b n ＋1＝3(b n ＋1－b n )． .............................. 8 分2因为 b 2－b 1＝3≠0，所以 b n ＋1－b n ≠0，所以b n ＋2－b n ＋1＝3，2b n ＋1－b n所以{b n ＋1－b n }是公比为 3 的等比数列，故数列{b n }是“M (q )数列”．………10 分（3）由数列{b n }是“M (2)数列”，得 b n 1－b n ＝(b 2－b 1)×2n －1． 又b 3－b 2＝2，即7－b 2＝2，所以 b 2＝3，所以 b 2－b 1＝2，所以 b n ＋1－b n ＝2n ，b 2－b 1 b 2－1 所以当 n ≥2 时，b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝2n －1．当 n ＝1 时上式也成立，所以 b n ＝2n －1． ...........................12 分 假设存在正整数 m ，n ，使得4039＜b m ＜4040，则4039＜2m－1＜4040．2019 b n 2019 2019 2n －1 2019由2m－1＞4039＞1，可知 2m －1＞2n －1，所以 m ＞n ．2n －1 2019又 m ，n 为正整数，所以 m －n ≥1．又2m －1＝2m －n (2n －1)＋2m －n －1＝2m －n ＋2m －n－1＜4040， 2n －1 2n －1 2n －1 2019所以 2m －n ＜4040＜3，所以 m －n ＝1， .............................................................. 14 分2019 所以2m－1＝2＋ 1 ，即4039＜2＋ 1 ＜4040，所以2021＜2n ＜2020，2n －12n －1 2019 2n －1 2019 2 所以 n ＝10，m ＝11，故存在满足条件的正整数 m ，n ，其中 m ＝11，n ＝10． ................... 16 分20．(本小题满分 16 分)解：（1）由函数 f (x )为奇函数，得 f (x )＋f (－x )＝0 在定义域上恒成立，所以 e x －a e －x －mx ＋e －x －a e x ＋mx ＝0，化简可得 (1－a )·(e x ＋e －x )＝0，所以 a ＝1． .................................................. 3 分（2）方法一：由（1）可得f(x)＝e x－e－x－mx，所以f'(x)＝e x＋e－x－m＝e2x－m e x＋1．e x①当m≤2 时，由于e2x－m e x＋1≥0 恒成立，即f '(x)≥0 恒成立，故不存在极小值．........................... 5 分②当m＞2 时，令e x＝t，则方程t2－mt＋1＝0 有两个不等的正根t1，t2 (t1＜t2)，故可知函数f(x)＝e x－e－x－mx在(－∞，ln t1)，(ln t2，＋∞)上单调递增，在(ln t1，ln t2)上单调递减，即在ln t2 处取到极小值，所以，m 的取值范围是(2，＋∞)．................................. 9分方法二：由（1）可得f(x)＝e x－e－x－mx，令g(x)＝f'(x)＝e x＋e－x－m，则g′(x)＝e x－e－x＝e2x－1．e x故当x≥0 时，g′(x)≥0；当x＜0 时，g′(x)＜0，........................... 5 分故g(x)在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增，所以g(x)min＝g(0)＝2－m．①若2－m≥0，则g(x)≥0 恒成立，所以f(x)单调递增，此时f(x)无极值点．……6 分②若2－m＜0，即m＞2 时，g(0)＝2－m＜0．取t＝ln m，则g(t)＝1 ＞0．m又函数g(x)的图象在区间[0，t]上不间断，所以存在x0∈(0，t)，使得g(x0)＝0．又g(x)在(0，＋∞)上递增，所以x∈(0，x0)时，g(x)＜0，即f '(x)＜0；x∈(x0，＋∞)时，g(x)＞0，即f '(x)＞0，所以f(x0)为f(x)极小值，符合题意．所以，m 的取值范围是(2，＋∞)．................................. 9 分（3）由x0满足e x0＋e－x0＝m，代入f(x)＝e x－e－x－mx,消去m，可得f(x0)＝(1－x0)e x0－(1＋x0)e－x0． ................................................ 11分构造函数h(x)＝(1－x)e x－(1＋x)e－x，所以h′(x)＝x(e－x－e x)．当x≥0时，e－x－e x＝1－e2x0，所以当x≥0 时，h′(x)≤0 恒成立，e x故h(x)在[0，＋∞)上为单调减函数，其中h(1)＝－2, ............................... 13 分e则f(x0)≥－2可转化为h(x0)≥h(1)，故x0≤1．.................... 15 分e由e x0＋e－x0＝m，设y＝e x＋e－x，可得当x≥0时，y’＝e x－e－x≥0，所以y＝e x＋e－x在(0，1]上递增，故m≤e＋1．e 综上，m 的取值范围是(2，e＋1]． .............................. 16 分e≤盐城市、南京市 2020 届高三年级第一次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准2020.01说明：1. 本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照 评分标准制订相应的评分细则．2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的 解答有较严重的错误，就不再给分．3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4. 只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在 A 、B 、C 三小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分．请在答．卷．纸．指．定．区．域．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. 选修 4—2：矩阵与变换解：设圆 C 上任一点(x ，y )，经矩阵 M 变换后得到圆 C’上一点(x’，y’)，a 3所以 3 －2x ＝x′y y′ ax ＋3y ＝x′，3x －2y ＝y′． ......................... 5 分又因为(x′)2＋(y′)2＝13，所以圆 C 的方程为(ax ＋3y )2＋(3x －2y )2＝13, 化简得(a 2＋9)x 2＋(6a －12)xy ＋13y 2＝13， a 2＋9＝13，6a －12＝0 解得 a ＝2．所以，实数 a 的值为 2． ........................................... 10 分B. 选修 4—4：坐标系与参数方程解：以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴(单位长度相同)建立平面直角坐标系，由直线ρcos θ＋2ρsin θ＝m ，可得直角坐标方程为 x ＋2y －m ＝0．又曲线ρ＝4sin θ，所以ρ2＝4ρsin θ，其直角坐标方程为 x 2＋(y －2)2＝4， ........... 5 分所以曲线ρ＝4sin θ是以(0，2)为圆心，2 为半径的圆．为使直线被曲线(圆)截得的弦 AB 最长，所以直线过圆心(0，2)， 于是 0＋2×2－m ＝0，解得 m ＝4．所以，实数 m 的值为 4． ............................................ 10 分C. 选修 4—5：不等式选讲解：因为1＋2＋3＝1，所以1＋ 4 ＋ 9 ＝1． a b c a 2b 3c，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)(1＋4 ＋9 )≥(1＋2＋3)2，a 2b 3c即a＋2b＋3c≥36，....................................................... 5分1 4 9当且仅当a＝2b＝3c，即a＝b＝c 时取等号，解得a＝b＝c＝6，a 2b 3c所以当且仅当a＝b＝c＝6 时，a＋2b＋3c 取最小值36．......................... 10 分22．（本小题满分10分）解：（1）以CD，AB，OO1所在直线建立如图所示空间直角坐标系O－xyz．由CD＝2，AA1＝3，所以A(0，－1，0)，B(0，1，0)，C(－1，0，0)，D(1，0，0)，A1(0，－1，3)，B1(0，1，3)，→→从而A1C＝(－1，1，－3)，B1D＝(1，－1，－3)，→→－1×1＋1×(－1)＋(－3)×(－3) 7所以cos＜A1C，B1D＞＝＝，(－1)2＋12＋(－3)2×12＋(－1)2＋(－3)2 11所以异面直线A1C 与B1D 所成角的余弦值为7 ． ........... 4 分11（2）设AA1＝m＞0，则A1(0，－1，m)，B1(0，1，m)，→→→所以A1C＝(－1，1，－m)，B1D＝(1，－1，－m)，CD＝(2，0，0)，→n1·CD＝2x1＝0，设平面A1CD 的一个法向量n1＝(x1，y1，z1)，则所以x1＝0，令z1＝1，则y1＝m，所以平面A1CD 的一个法向量n1＝(0，m，1)．→n1·A1C＝－x1＋y1－mz1＝0，同理可得平面B1CD 的一个法向量n2＝(0，－m，1)．因为二面角A1－CD－B1 的大小为π，3所以|cos＜n1，n2＞|＝|m×(－m)＋1×1 |＝1，m2＋12×(－m)2＋12 2解得m＝3或m＝3，3由图形可知当二面角A1－CD－B1 的大小为π时，m＝3．............... 10 分3注：用传统方法也可，请参照评分．23．（本小题满分10分）解：（1）令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2n＝0．令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…－a2n－1＋a2n＝31＋32＋…＋32n＝3(9n－1)．2两式相加得2(a0＋a2＋a4＋…＋a2n)＝3(9n－1)，2所以S n＝3(9n－1)．......................... 3 分4（2）T n＝－S1C1＋S2C2－S3C3＋…＋(－1)n S n C nn n n n＝3{[－91C1＋92C2－93C3＋…＋(－1)n9n C n]－[－C1＋C2－C3＋…＋(－1)n C n]}n n n4n n n n n＝3{[90C0－91C1＋92C2－93C3＋…＋(－1)n9n C n]－[C0－C1＋C2－C3＋…＋(－1)n C n]} n n n n4n n n n n n ＝3[90C0－91C1＋92C2－93C3＋…＋(－1)n9n C n]n n n n n4＝3[C0(－9)0＋C1(－9)1＋C2(－9)2＋…＋C n(－9)n]n n n n4＝3[1＋(－9)]n＝3×(－8)n．...................................... 7 分4 4要证|T n|≥6n3，即证3×8n≥6n3，只需证明8n－1≥n3，即证2n－1≥n．4当n＝1，2时，2n－1≥n显然成立．当n≥3时，2n－1＝C0＋C1＋…＋C n－1≥C0＋C1＝1＋(n－1)＝n，即2n－1≥n，n－1 n－1 n－1 n－1 n－1所以2n－1≥n对n∈N*恒成立．综上，|T n|≥6n3恒成立．......................................... 10 分注：用数学归纳法或数列的单调性也可证明2n －1≥n 恒成立，请参照评分．。

2020届江苏南京市、盐城市高三上学期第一次模拟考试数学(理)试题(解析版)

2020届江苏南京市、盐城市高三上学期第一次模拟考试数学(理)试题(解析版)

盐城市、南京市2020届高三年级第一次模拟考试数 学 理 试 题2020．01(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡．．．相应的位置上．．．．．．．） 1．已知集合A ＝(0，+∞)，全集U ＝R ，则U A ð＝ ． 答案：(-∞，0] 考点：集合及其补集解析：∵集合A ＝(0，+∞)，全集U ＝R ，则U A ð＝(-∞，0]． 2．设复数2z i =+，其中i 为虚数单位，则z z ⋅＝ ． 答案：5 考点：复数解析：∵2z i =+，∴2(2)(2)45z z i i i ⋅=+-=-=．3．学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为 ． 答案：23考点：等可能事件的概率解析：所有基本事件数为3，包含甲的基本事件数为2，所以概率为23． 4．命题“θ∀∈R ，cos θ＋sin θ＞1 ”的否定是 命题（填“真”或“假”）． 答案：真 考点：命题的否定解析：当θπ=-时，cos θ＋sin θ＝﹣1＜1，所以原命题为假命题，故其否定为真命题． 5．运行如图所示的伪代码，则输出的I 的值为 ．答案：6考点：算法（伪代码）解析：第一遍循环 S ＝0，I ＝1，第二轮循环S ＝1，I ＝2 ，第三轮循环S ＝3，I ＝3，第四轮循环S ＝6，I＝4，第五轮循环S ＝10，I ＝5，第六轮循环S ＝15，I ＝6，所以输出的 I ＝6． 6．已知样本7，8，9，x ，y 的平均数是9，且xy ＝110，则此样本的方差是 ． 答案：2考点：平均数，方差解析：依题可得x ＋y ＝21，不妨设x ＜y ，解得x ＝10，y ＝11，所以方差为22222210(1)(2)5+++-+-＝2．7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝4x 上的点P 到其焦点的距离为3，则点P 到点O 的距离为 ．答案：考点：抛物线及其性质解析：抛物线的准线为x ＝−1，所以P 横坐标为2，带入抛物线方程可得P(2，±)，所以OP＝8．若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，ln 1a 、ln 2a 、ln 5a 成等差数列，则21a a 的值为 ． 答案：3考点：等差中项，等差数列的通项公式 解析：∵ln 1a 、ln 2a 、ln 5a 成等差数列，∴2152a a a =，故2111(4)()a a d a d +=+，又公差不为0，解得12d a =，∴21111133a a d a a a a +===． 9．在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，点P 是棱CC 1上一点，记三棱柱ABC —A 1B 1C 1与四棱锥P —ABB 1A 1的体积分别为V 1与V 2，则21V V ＝ ． 答案：23考点：棱柱棱锥的体积解析：1111121123C ABB A C A B C V V V V V ==-=——，所以2123V V =．10．设函数()sin()f x x ωϕ=+ (ω＞0，0＜ϕ＜2π)的图象与y轴交点的纵坐标为2， y 轴右侧第一个最低点的横坐标为6π，则ω的值为 ． 答案：7考点：三角函数的图像与性质解析：∵()f x 的图象与y轴交点的纵坐标为2，∴sin ϕ=，又0＜ϕ＜2π，∴3πϕ=， ∵y 轴右侧第一个最低点的横坐标为6π， ∴3632ππωπ+=，解得ω＝7． 11．已知H 是△ABC 的垂心（三角形三条高所在直线的交点），11AH AB AC 42=+u u u r u u u r u u u r，则 cos ∠BAC 的值为 ．考点：平面向量解析：∵H 是△ABC 的垂心， ∴AH ⊥BC ，BH ⊥AC ，∵11AH AB AC 42=+u u u r u u u r u u u r，∴1131BH AH AB AB AC AB AB AC 4242=-=+-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r则11AH BC (AB AC)(AC AB)042⋅=+⋅-=u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r ，31BH AC (AB AC)AC 042⋅=-+⋅=u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r ，即22111AC AB AC AB 0244--⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，231AC AB AC 042-⋅+=u u ur u u u r u u u r ，化简得：22111cos BAC 0244b c bc --∠=，231cos BAC+042bc b -∠=则2222 cos BAC3b c bbc c-∠==，得3b c=，从而3cos BAC∠=．12．若无穷数列{}cos()nω(ω∈R)是等差数列，则其前10项的和为．答案：10考点：等差数列解析：若等差数列公差为d，则cos()cos(1)n d nωω=+-，若d＞0，则当1cos1ndω->+时，cos()1nω>，若d＜0，则当1cos1ndω-->+时，cos()1nω<-，∴d＝0，可得cos2cosωω=，解得cos1ω=或1cos2ω=-（舍去），∴其前10项的和为10．13．已知集合P＝{}()16x y x x y y+=，，集合Q＝{}12()x y kx b y kx b+≤≤+，，若P⊆Q，则1221b bk-+的最小值为．答案：4考点：解析几何之直线与圆、双曲线的问题解析：画出集合P的图象如图所示，第一象限为四分之一圆，第二象限，第四象限均为双曲线的一部分，且渐近线均为y x=-，所以k＝−1，所求式为两直线之间的距离的最小值，所以1b=，2y kx b=+与圆相切时最小，此时两直线间距离为圆半径4，所以最小值为4．14．若对任意实数x∈(-∞，1]，都有2121xex ax≤-+成立，则实数a的值为．答案：12-考点：函数与不等式，绝对值函数解析：题目可以转化为：对任意实数x ∈(-∞，1]，都有2211xx ax e -+≥成立，令221()x x ax f x e -+=，则(1)[(21)]()xx x a f x e --+'=，当211a +≥时，()0f x '≤，故()f x 在(-∞，1]单调递减，若(1)0f ≤，则()f x 最小值为0，与()1f x ≥恒成立矛盾；若(1)0f >，要使()1f x ≥恒成立，则(1)f =121a e -≥，解得12ea ≤-与211a +≥矛盾．当211a +<时，此时()f x 在(-∞，21a +)单调递减，在(21a +，1)单调递增，此时min ()(21)f x f a =+，若(21)0f a +≤，则()f x 最小值为0，与()1f x ≥恒成立矛盾；若(21)0f a +>，要使()1f x ≥恒成立，则min 2122()(21)a a f x f a e ++=+=1≥． 接下来令211a t +=<，不等式21221a a e++≥可转化为10te t --≤， 设()1tg t e t =--，则()1tg t e '=-，则()g t 在(-∞，0)单调递减，在(0，1)单调递增，当t ＝0时，()g t 有最小值为0，即()0g t ≥，又我们要解的不等式是()0g t ≤，故()0g t =，此时210a +=，∴12a =-． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）已知△ABC 满足sin(B )2cos B 6π+=．（1）若cosC AC ＝3，求AB ； （2）若A ∈(0，3π)，且cos(B ﹣A)＝45，求sinA ．解：16．（本题满分14分）如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知底面ABCD 是正方形，点P 是侧棱CC 1上的一点． （1）若A 1C//平面PBD ，求1PC PC的值； （2）求证：BD ⊥A 1P ．证明：17．（本题满分14分）如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从⊙O 中剪裁出两块全等的圆形铁皮⊙P 与⊙Q 做圆柱的底面，剪裁出一个矩形ABCD 做圆柱的侧面（接缝忽略不计），AB 为圆柱的一条母线，点A ，B 在⊙O 上，点P ，Q 在⊙O 的一条直径上，AB ∥PQ ，⊙P ，⊙Q 分别与直线BC 、AD 相切，都与⊙O 内切．（1）求圆形铁皮⊙P 半径的取值范围；（2）请确定圆形铁皮⊙P 与⊙Q 半径的值，使得油桶的体积最大．（不取近似值）解：18．（本题满分16分）设椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率是e ，动点P(0x ，0y ) 在椭圆C上运动．当PF 2⊥x 轴时，0x ＝1，0y ＝e ．（1）求椭圆C 的方程；（2）延长PF 1，PF 2分别交椭圆于点A ，B （A ，B 不重合）．设11AF FP λ=u u u r u u u r ，22BF F P μ=u u u r u u u r，求λμ+的最小值．解：19．（本题满分16分）定义：若无穷数列{}n a 满足{}1n n a a +-是公比为q 的等比数列，则称数列{}n a 为“M(q )数列”．设数列{}n b 中11b =，37b =．（1）若2b ＝4，且数列{}n b 是“M(q )数列”，求数列{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且1122n n b S n λ+=-+，请判断数列{}n b 是否为“M(q )数列”，并说明理由；（3）若数列{}n b 是“M(2)数列”，是否存在正整数m ，n ，使得4039404020192019mn b b <<？若存在，请求出所有满足条件的正整数m ，n ；若不存在，请说明理由． 解：20．（本题满分16分）若函数()x xf x e aemx -=--(m ∈R)为奇函数，且0x x =时()f x 有极小值0()f x ．（1）求实数a 的值； （2）求实数m 的取值范围； （3）若02()f x e≥-恒成立，求实数m 的取值范围． 解：附加题，共40分21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A ．选修4—2：矩阵与变换已知圆C 经矩阵M ＝ 33 2a ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦变换后得到圆C ′：2213x y +=，求实数a 的值． 解：B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线cos 2sin m ρθρθ+=被曲线4sin ρθ=截得的弦为AB ，当AB 是最长弦时，求实数m 的值．解：C ．选修4—5：不等式选讲已知正实数 a ，b ，c 满足1231a b c++=，求23a b c ++的最小值． 解：【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，AA 1，BB 1是圆柱的两条母线，A 1B 1，AB 分别经过上下底面的圆心O 1，O ，CD 是下底面与AB 垂直的直径，CD ＝2．（1）若AA 1＝3，求异面直线A 1C 与B 1D 所成角的余弦值；（2）若二面角A 1—CD —B 1的大小为3，求母线AA 1的长．解：23．（本小题满分10分）设22201221(12)n i n n i x a a x a x a x =-=++++∑L (n N *∈)，记0242n n S a a a a =++++L ．（1）求n S ；（2）记123123(1)n nn n n n n n T S C S C S C S C =-+-++-L ，求证：36n T n ≥恒成立． 解：。

南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试数学及答案

南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试数学及答案

南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 参考公式：柱体体积公式：V Sh =，锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高.样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合(0,)A =+∞，全集U R =，则ðU A= ▲ ． 2．设复数2z i =+，其中i 为虚数单位，则z z ⋅= ▲ ．3．学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 三个小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）A .（选修4-2：矩阵与变换）已知圆C 经矩阵332a M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦变换后得到圆22:13C x y '+=，求实数a 的值. 00 101 S I While S S S I I I End For Print I←←≤←+←+(第5题图)B ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线cos 2sin m ρθρθ+=被曲线4sin ρθ=截得的弦为AB ，当AB 是最长弦时，求实数m 的值.C ．(选修4-5：不等式选讲）已知正实数,,a b c 满足1231a b c++=，求23a b c ++的最小值.[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）如图，1AA 、1BB 是圆柱的两条母线， 11A B 、AB 分别经过上下底面圆的圆心1O 、O ，CD 是下底面与AB 垂直的直径，2CD =.（1）若13AA =，求异面直线1A C 与1B D 所成角的余弦值； （2）若二面角11A CD B --的大小为3π，求母线1AA 的长.23．（本小题满分10分）设22201221(12)nin n i x a a x a x a x =-=++++∑L (n N *∈)，记0242n n S a a a a =++++L .（1）求n S ；（2）记123123(1)n n n n n n n n T S C S C S C S C =-+-++-L ，求证：3||6n T n ≥恒成立.数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．(,0]-∞ 2．5 3．234．真 5．6 6．2 7．23 8．3 9．23 10．7 11．33 12．10 13．4 14．12-二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．解：（1）由sin()2cos 6B B π+=可知B B B cos 2cos 21sin 23=+， 移项可得3tan =B ，又),0(π∈B ，故3π=B ， ……………………………………………2分又由6cos 3C =，),0(π∈C 可知33cos 1sin 2=-=C C ， ……………………………4分故在ABC ∆中，由正弦定理C c B b sin sin =可得 C ABAC sin 3sin =π，所以2=AB . ………………7分 （2）由（1）知3π=B ，所以0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，)3,0(3ππ∈-A ，由()4cos 5B A -=即54)3cos(=-A π可得53)3(cos 1)3sin(2=--=-A A ππ ， ……………10分 ∴1033453215423)3sin(3cos )3cos(3sin))3(3sin(sin -=⋅-⋅=---=--=A A A A ππππππ.…14分16．（1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结OP ，又因为1//AC 平面PBD ，⊂1AC 平面1ACC平面1ACC I 平面OP BDP =，所以1//AC OP ……………3分 因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ， 所以点O 是AC 的中点，所以AO OC =，所以在1ACC ∆中，11PC AOPC OC==. ……………6分 （2）证明：连结11A C .因为1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以侧棱1C C 垂直于底面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥．…………………………………………………………………8分 因为底面ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥． ……………………………………………………10分 又1AC CC C =I ，AC ⊂面11ACC A ， 1CC ⊂面11ACC A ，所以BD ⊥面11ACC A . ……………………………………… …………………………………………12分 又因为1111,P CC CC ACC A ∈⊂面,所以11P ACC A ∈面，又因为111A ACC A ∈面，所以A 1P Ì面ACC 1A 1,所以1BD A P ⊥． ………………………………………………14分17．解：（1）设P e 半径为r ，则)2(4r AB -=，所以P e 的周长2)2(41622r BC r --≤=π， ………………………………………………4分解得 4162+≤πr ，故P e 半径的取值范围为]416,0(2+π. ……………………………………………6分（2）在（1）的条件下，油桶的体积)2(422r r AB r V -=⋅=ππ， ……………………………………8分设函数),2()(2x x x f -=]416,0(2+∈πx ，所以234)(x x x f -='，由于 344162<+π， 所以()0f x '>在定义域上恒成立，故()f x 在定义域上单调递增，即当4162+=πr 时，体积取到最大值. ………………………………………………13分 答：P e 半径的取值范围为]416,0(2+π，当4162+=πr 时，体积取到最大值. ………………………14分18.解：（1）由当2PF x ⊥轴时01x =，可知1c =， …………………………………………………2分将01x =，0y e =代入椭圆方程得22211e a b+=（※），而1c e a a==，22221b a c a =-=-，代入（※）式得222111(1)a a a +=-， 解得22a =，故21b =，∴椭圆C 的方程为2212x y +=.…………………………………………………4分 （2）方法一：设11(,)A x y ，由11AF F P λ=u u u r u u u r 得10101(1)x x y y λλ--=+⎧⎨-=⎩，故10101x x y y λλλ=---⎧⎨=-⎩，代入椭圆的方程得2200(1)()12x y λλλ---+-=（＃）， ………………………………………………8分又由220012x y +=得220012x y =-，代入（＃）式得222001(1)2(1)22x x λλλ+++-=， 化简得203212(1)0x λλλλ+-++=，即0(1)(312)0x λλλ+-+=，显然10λ+≠，∴03120x λλ-+=，故0132x λ=+.……………………………………………………………………12分同理可得0132u x =-，故200011623232943x x x λμ+=+=≥+--， 当且仅当00x =时取等号，故λμ+的最小值为23. ………………………………………………16分方法二：由点A ，B 不重合可知直线PA 与x 轴不重合，故可设直线PA 的方程为1x my =-，联立22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去x 得22(2)210m y my +--=（☆），设11(,)A x y ，则1y 与0y 为方程（☆）的两个实根，由求根公式可得0,122m y m =+，故01212y y m -=+，则1201(2)y m y -=+，……………………8分将点00(,)P x y 代入椭圆的方程得220012x y +=， 代入直线PA 的方程得001x my =-，∴001x m y +=，由11AF F P λ=u u u r u u u r 得10y y λ-=，故10y y λ=-2222000111(2)[()2]x m y y y ==+++ 2222000001111(1)232(1)2(1)2x y x x x ===+++++-.…………………………………………………12分同理可得0132u x =-，故200011623232943x x x λμ+=+=≥+--， 当且仅当00x =时取等号，故λμ+的最小值为23. ………………………………………………16分注：（1）也可设,sin )P θθ得λ=，其余同理.（2）也可由116λμ+=运用基本不等式求解λμ+的最小值.19．解：（1）∵24b =，且数列{}n b 是“()M q 数列”， ∴322174141b b q b b --===--，∴111n n n n b bb b +--=-，∴11n n n n b b b b +--=-，………………………………2分故数列{}n b 是等差数列，公差为213b b -=，故通项公式为1(1)3n b n =+-⨯，即32n b n =-. ………………………………………………4分（2）由1122n n b S n λ+=-+得232b λ=+，3437b λ=+=，故1λ=. 方法一：由11212n n b S n +=-+得2112(1)12n n b S n ++=-++，两式作差得211122n n n b b b +++-=-，即21132n n b b ++=-，又252b =，∴21132b b =-，∴1132n n b b +=-对n N *∈恒成立，……………………6分则1113()44n n b b +-=-，而113044b -=≠，∴104n b -≠，∴114314n n b b +-=-， ∴1{}4n b -是等比数列， ………………………………………………………………………………8分∴1111(1)33444n n n b --=-⨯=⨯，∴11344n n b =⨯+，∴2121111111(3)(3)444431111(3)(3)4444n n n n n n n nb b b b ++++++⨯+-⨯+-==-⨯+-⨯+， ∴{}1n n b b +-是公比为3的等比数列，故数列{}n b 是“()M q 数列”.………………………………10分方法二：同方法一得1132n n b b +=-对n N *∈恒成立， 则21132n n b b ++=-，两式作差得2113()n n n n b b b b +++-=-，而21302b b -=≠， ∴10n n b b +-≠，∴2113n n n nb b b b +++-=-，以下同方法一. ……………………………………10分 （3）由数列{}n b 是“()2M 数列”得1121()2n n n b b b b -+-=-⨯，又32212b b b b -=-，∴22721b b -=-，∴23b =，∴212b b -=，∴12n n n b b +-=，∴当2n ≥时，112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+L12222121n n n --=++++=-L ，当1n =时上式也成立，故21nn b =-， ……………………………………12分假设存在正整数,m n 使得4039404020192019m n b b <<，则40392140402019212019m n -<<-， 由2140391212019m n->>-可知2121m n ->-，∴m n >，又,m n 为正整数，∴1m n -≥，又212(21)2121404022121212019m m n n m n m n m nn n n ------+--==+<---，∴4040232019m n-<<，∴1m n -=，∴21122121m n n -=+--，∴40391404022019212019n <+<-， ∴2020222021<<n ，∴10n =，∴11m =，故存在满足条件的正整数,m n ，11m =，10n =. ……………………………………16分20．解：（1）由函数)(x f 为奇函数，得0)()(=-+x f x f 在定义域上恒成立， 所以 0=+-+----mx ae e mx ae e x x x x ，化简可得 0)()1(=+⋅--xxe e a ，所以1=a . ………………………………………………3分（2）法一：由（1）可得mx ee xf xx--=-)(，所以xx x xxeme e m e e x f 1)(2+-=-+='-， 其中当2≤m 时，由于012≥+-x x me e 恒成立，即0)(≥'x f 恒成立，故不存在极小值. ………………………………………………5分当2>m 时，方程012=+-mt t 有两个不等的正根)(,2121t t t t <， 故可知函数mx ee xf xx--=-)(在),(ln ),ln ,(21+∞-∞t t 上单调递增，在)ln ,(ln 21t t 上单调递减，即在2ln t 处取到极小值，所以，m 的取值范围是),2(+∞. ………………………………………………9分 法二：由（1）可得mx ee xf xx--=-)(，令m ee xf xg xx-+='=-)()(，则xx xxe e e e x g 1)(2-=-='-，故当0≥x 时，0)(≥'x g ；当0<x 时，0)(<'x g ， …………………………………………5分故)(x g 在)0,(-∞上递减，在),0(+∞上递增， ∴m g x g -==2)0()(min ，若02≥-m ，则0)(≥x g 恒成立，)(x f 单调递增，无极值点；所以02)0(<-=m g ，解得2>m ，取m t ln =，则01)(>=mt g ， 又函数)(x g 的图象在区间],0[t 上连续不间断，故由函数零点存在性定理知在区间),0(t 上，存在0x 为函数)(x g 的零点，)(0x f 为)(x f 极小值.所以，m 的取值范围是),2(+∞. ………………………………………………9分 （3）由0x 满足m e e x x =+-00， 代入mx ee xf xx--=-)(，消去m 可得00)1()1()(000x x e x ex x f -+--=， ……………………………………11分构造函数xxe x e x x h -+--=)1()1()(，所以)()(xxe ex x h -='-，当0≥x 时，012≤-=--xxxxe e e e，所以当0≥x 时，0)(≤'x h 恒成立，故h (x )在[0，+∞)上为单调减函数，其中eh 2)1(-=， ……13分 则02()f x e≥-可转化为0()(1)h x h ≥， 故10≤x ，由m e e x x =+-00，设xx e e y -+=，可得当0≥x 时，0≥-='-xxee y ，x x e e y -+=在]1,0(上递增，故ee m 1+≤， 综上，m 的取值范围是]1,2(ee + . ………………………………………………16分附加题答案21.（A ）解：设圆C 上一点(,)x y ，经矩阵M 变换后得到圆C '上一点(,)x y ''，所以332a x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以332ax y x x y y '+=⎧⎨'-=⎩，………………………………………………………5分又圆22:13C x y '+=，所以圆C 的方程为22(3)(32)13ax y x y ++-=，化简得222(9)(612)1313a x a xy y ++-+=，所以29136120a a ⎧+=⎨-=⎩，解得2a =. ………………………………………………………10分21.（B ）解：以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴（单位长度相同）建立平面直角坐标系， 由直线cos 2sin m ρθρθ+=，可得直角坐标方程为20x y m +-=，又曲线4sin ρθ=，所以24sin ρρθ=，其直角坐标方程为22(2)4x y +-=， ………………5分所以曲线4sin ρθ=是以(0,2)为圆心，2为半径的圆，为使直线被曲线（圆）截得的弦AB 最长，所以直线过圆心(0,2)，于是0220m +⋅-=，解得4m =. ……………………………………………………10分21.（C ）解：因1231a b c ++=，所以149123a b c++=， 由柯西不等式得214923(23)()(123)23a b c a b c a b c++=++++≥++， 即2336a b c ++≥， …………………………………………………………………………………5分当且仅当1492323a b c a b c==，即a b c ==时取等号，解得6a b c ===，所以当且仅当6a b c ===时，23a b c ++取最小值36. ……………………………………10分22．解：（1）以CD ，AB ，1OO 所在直线建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，由2CD =，13AA =，所以(0,1,0)A -，(0,1,0)B ，(1,0,0)C -，(1,0,0)D ，1(0,1,3)A -，1(0,1,3)B ，从而1(1,1,3)AC =--u u u u r ，1(1,1,3)B D =--u u u u r ， 所以112222227cos ,11(1)1(3)1(1)(3)A C B D <>==-++-⋅+-+-u u u u r u u u u r ， 所以异面直线1A C 与1B D 所成角的余弦值为711. …………………………………………4分 （2）设10AA m =>，则1(0,1,)A m -，1(0,1,)B m ，所以1(1,1,)A C m =--u u u u r ，1(1,1,)B D m =--u u u u r ，(2,0,0)CD =u u u r，设平面1A CD 的一个法向量1111(,,)n x y z =u u r，所以1111111200n CD x n ACx y mz ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u u r， 所以10x =，令11z =，则1y m =，所以平面1A CD 的一个法向量1(0,,1)n m =u u r， 同理可得平面1B CD 的一个法向量2(0,,1)n m =-u u r，因为二面角11A CD B --的大小为3π，所以122222()111cos ,21()1m m n n m m ⋅-+⋅<>==+⋅-+u u r u u r ， 解得3m =或33m =， 由图形可知当二面角11A CD B --的大小为3π时, 3m =. …………………………………10分 注：用传统方法也可，请参照评分.23．解：（1）令1=x 得01220n a a a a ++++=L ，高三数学答案 第 11 页 共 11 页 令1-=x 得12201232123333(91)2n n n n a a a a a a --+-+-+=+++=-L L ， 两式相加得024232()(91)2n n a a a a ++++=-L ，∴3(91)4n n S =-.…………………………………3分 （2）123123(1)n n n n n n n n T S C S C S C S C =-+-++-L{}1122331233[999(1)9][(1)]4n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C =-+-++---+-++-L L {}0011223301233[9999(1)9][(1)]4n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C =-+-++---+-++-L L 001122333[9999(1)9]4n n n n n n n n C C C C C =-+-++-L 0011223[(9)(9)(9)(9)]4n n n n n n C C C C =-+-+-++-L 33[1(9)](8)44n n =+-=⨯-…………………………………………………………………………………7分 要证3||6n T n ≥，即证384n ⨯36n ≥，只需证明138n n -≥，即证12n n -≥， 当1,2n =时，12n n -≥显然成立； 当3n ≥时，1011011111121(1)n n n n n n n C C C C C n n -------=+++≥+=+-=L ，即12n n -≥， ∴12n n -≥对*n N ∈恒成立.综上，3||6n T n ≥恒成立.……………………………………………………………………………………10分注：用数学归纳法或数列的单调性也可证明12n n -≥恒成立，请参照评分.。

江苏省南京市、盐城市2020届高三数学第一次模拟考试(1月)试题

江苏省南京市、盐城市2020届高三数学第一次模拟考试(1月)试题

南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 参考公式：柱体体积公式：V Sh =，锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高.样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合(0,)A =+∞，全集U R =，则 U A= ▲ ． 2．设复数2z i =+，其中i 为虚数单位，则z z ⋅= ▲ ． 3．学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为 ▲ ．4．命题“R θ∀∈，cos sin 1θθ+>”的否定是 ▲ 命题.(填“真”或“假”)5．运行如图所示的伪代码，则输出的I 的值为 ▲ ．6．已知样本y x ,,9,8,7的平均数是9，且110=xy ，则此样本的方差是 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线24y x =上的点P 到其焦点的距离为3，则点P 到点O 的距离为 ▲ ．00 101 S I While S S S I I I End For Print I←←≤←+←+(第5题图)8．若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，1ln a 、2ln a 、5ln a 成等差数列，则21a a 的值为 ▲ ． 9．在三棱柱111ABC A B C -中，点P 是棱1CC 上一点，记三棱柱111ABC A B C -与四棱锥11P ABB A -的体积分别为1V 与2V ，则21V V = ▲ ． 10．设函数()sin()f x x ωϕ=+（0,02πωϕ><<）的图象与y 轴交点的纵坐标为32， y 轴右侧第一个最低点的横坐标为6π，则ω的值为 ▲ ． 11．已知H 是△ABC 的垂心（三角形三条高所在直线的交点），1142AH AB AC =+u u u r u u u r u u u r，则cos BAC ∠的值为 ▲ .12．若无穷数列{}cos()n ω()R ω∈是等差数列，则其前10项的和为 ▲ ． 13．已知集合{(,)16}P x y x x y y =+=，集合12{(,)}Q x y kx b y kx b =+≤≤+，若P Q ⊆1221b b k -+的最小值为 ▲ ．14．若对任意实数]1,(-∞∈x ，都有1122≤+-ax x e x成立，则实数a 的值为 ▲ .二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分) 已知ABC ∆满足sin()2cos 6B B π+=．（1）若6cos C =3AC =，求AB ； （2）若0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()4cos 5B A -=，求sin A ．如图，长方体1111D C B A ABCD -中，已知底面ABCD 是正方形，点P 是侧棱1CC 上的一点．（1）若1AC //平面PBD ，求PCPC 1的值； （2）求证：P A BD 1⊥．(第16题图)17．(本小题满分14分)如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从O e 中裁剪出两块全等的圆形铁皮P e 与Q e ，做圆柱的底面，裁剪出一个矩形ABCD 做圆柱的侧面（接缝忽略不计），AB 为圆柱的一条母线，点A 、B 在O e 上，点P 、Q 在O e 的一条直径上，P e 、Q e 分别与直线BC 、AD 相切，都与O e 内切． （1）求圆形铁皮P e 半径的取值范围；（2）请确定圆形铁皮P e 与Q e 半径的值，使得油桶的体积最大．(不取近似值)(第17题图)设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率是e ，动点00(,)P x y 在椭圆C 上运动，当2PF x ⊥轴时，01x =，0y e =． （1）求椭圆C 的方程；（2）延长12,PF PF 分别交椭圆C 于点,A B （,A B 不重合），设11AF F P λ=u u u r u u u r，22BF F P μ=u u u u r u u u u r，求λμ+的最小值．(第18题图)19．(本小题满分16分)定义:若无穷数列{}n a 满足{}1n n a a +-是公比为q 的等比数列，则称数列{}n a 为“()M q 数列”．设数列{}n b 中11b =，37b =．（1）若24b =，且数列{}n b 是“()M q 数列”，求数列{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且1122n n b S n λ+=-+，请判断数列{}n b 是否为 “()M q 数列”，并说明理由；（3）若数列{}n b 是“()2M 数列”，是否存在正整数,m n 使得4039404020192019m n b b <<?若存在，请求出所有满足条件的正整数,m n ;若不存在，请说明理由．20．(本小题满分16分)若函数()x xf x e ae mx -=--()m R ∈为奇函数，且0x x =时()f x 有极小值0()f x ．（1）求实数a 的值；（2）求实数m 的取值范围； （3）若02()f x e≥-恒成立，求实数m 的取值范围．南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试y数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1．(,0]-∞ 2．5 3．234．真 5．6 6．2 7．238．3 9．2310．7 11．33 12．10 13．4 14．12- 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．解：（1）由sin()2cos 6B B π+=可知B B B cos 2cos 21sin 23=+， 移项可得3tan =B ，又),0(π∈B ，故3π=B ， ……………………………………………2分又由6cos C =，),0(π∈C 可知33cos 1sin 2=-=C C ， ……………………………4分 故在ABC ∆中，由正弦定理C c B b sin sin =可得 C ABAC sin 3sin =π，所以2=AB . ………………7分（2）由（1）知3π=B ，所以0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，)3,0(3ππ∈-A ，由()4cos 5B A -=即54)3cos(=-A π可得53)3(cos 1)3sin(2=--=-A A ππ ， ……………10分∴1033453215423)3sin(3cos )3cos(3sin ))3(3sin(sin -=⋅-⋅=---=--=A A A A ππππππ.…14分16．（1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结OP ， 又因为1//AC 平面PBD ，⊂1AC 平面1ACC平面1ACC I 平面OP BDP =，所以1//AC OP ……………3分 因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ，所以点O 是AC 的中点，所以AO OC =，所以在1ACC ∆中，11PC AOPC OC==. ……………6分 （2）证明：连结11A C .因为1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以侧棱1C C 垂直于底面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥．…………………………………………………………………8分因为底面ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥． ……………………………………………………10分 又1AC CC C =I ，AC ⊂面11ACC A ， 1CC ⊂面11ACC A ， 所以BD ⊥面11ACC A . ……………………………………… …………………………………………12分又因为1111,P CC CC ACC A ∈⊂面,所以11P ACC A ∈面，又因为111A ACC A ∈面， 所以A 1P ⊂面ACC 1A 1,所以1BD A P ⊥． ………………………………………………14分17．解：（1）设P e 半径为r ，则)2(4r AB -=， 所以Pe 的周长2)2(41622r BC r --≤=π， ………………………………………………4分解得 4162+≤πr ，故P e 半径的取值范围为]416,0(2+π. ……………………………………………6分 （2）在（1）的条件下，油桶的体积)2(422r r AB r V -=⋅=ππ， ……………………………………8分设函数),2()(2x x x f -=]416,0(2+∈πx ，所以234)(x x x f -='，由于 344162<+π， 所以()0f x '>在定义域上恒成立， 故()f x 在定义域上单调递增，即当4162+=πr 时，体积取到最大值. ………………………………………………13分 答：P e 半径的取值范围为]416,0(2+π，当4162+=πr 时，体积取到最大值. ………………………14分18.解：（1）由当2PF x⊥轴时01x =，可知1c =， …………………………………………………2分将01x =，0y e =代入椭圆方程得22211e a b+=（※），而1c e a a==，22221b a c a =-=-，代入（※）式得222111(1)a a a +=-， 解得22a =，故21b =，∴椭圆C 的方程为2212x y +=.…………………………………………………4分 （2）方法一：设11(,)A x y ，由11AF F P λ=u u u r u u u r 得10101(1)x x y y λλ--=+⎧⎨-=⎩，故10101x x y y λλλ=---⎧⎨=-⎩， 代入椭圆的方程得2200(1)()12x y λλλ---+-=（＃）， ………………………………………………8分又由220012x y +=得220012x y =-，代入（＃）式得222001(1)2(1)22x x λλλ+++-=， 化简得203212(1)0x λλλλ+-++=，即0(1)(312)0x λλλ+-+=，显然10λ+≠，∴03120x λλ-+=，故132x λ=+.……………………………………………………………………12分同理可得0132u x =-，故200011623232943x x x λμ+=+=≥+--， 当且仅当00x =时取等号，故λμ+的最小值为23. ………………………………………………16分 方法二：由点A ，B 不重合可知直线PA 与x 轴不重合，故可设直线PA 的方程为1x my =-，联立22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去x 得22(2)210m y my +--=（☆），设11(,)A x y ，则1y 与0y 为方程（☆）的两个实根，由求根公式可得0,1y =，故01212y y m -=+，则1201(2)y m y -=+，……………………8分将点00(,)P x y 代入椭圆的方程得220012x y +=， 代入直线PA 的方程得001x my =-，∴001x m y +=，由11AF F P λ=u u u r u u u r 得10y y λ-=，故10y y λ=-2222000111(2)[()2]x m y y y ==+++ 2222000001111(1)232(1)2(1)2x y x x x ===+++++-.…………………………………………………12分同理可得0132u x =-，故200011623232943x x x λμ+=+=≥+--， 当且仅当00x =时取等号，故λμ+的最小值为23. ………………………………………………16分 注：（1）也可设,sin )P θθ得λ=，其余同理.（2）也可由116λμ+=运用基本不等式求解λμ+的最小值.19．解：（1）∵24b =，且数列{}n b 是“()M q 数列”，∴322174141b b q b b --===--，∴111n n n n b b b b +--=-，∴11n n n n b b b b +--=-，………………………………2分故数列{}n b 是等差数列，公差为213b b -=， 故通项公式为1(1)3n b n =+-⨯，即32n b n =-. ………………………………………………4分（2）由1122n n b S n λ+=-+得232b λ=+，3437b λ=+=，故1λ=.方法一：由11212n n b S n +=-+得2112(1)12n n b S n ++=-++，两式作差得211122n n n b b b +++-=-，即21132n n b b ++=-，又252b =，∴21132b b =-，∴1132n n b b +=-对n N *∈恒成立，……………………6分则1113()44n n b b +-=-，而113044b -=≠，∴104n b -≠，∴114314n n b b +-=-， ∴1{}4n b -是等比数列， ………………………………………………………………………………8分 ∴1111(1)33444n n n b --=-⨯=⨯，∴11344n n b =⨯+，∴2121111111(3)(3)444431111(3)(3)4444n n n n n n n nb b b b ++++++⨯+-⨯+-==-⨯+-⨯+， ∴{}1n n b b +-是公比为3的等比数列，故数列{}n b 是“()M q 数列”.………………………………10分方法二：同方法一得1132n n b b +=-对n N *∈恒成立， 则21132n n b b ++=-，两式作差得2113()n n n n b b b b +++-=-，而21302b b -=≠， ∴10n n b b +-≠，∴2113n n n nb b b b +++-=-，以下同方法一. ……………………………………10分（3）由数列{}n b 是“()2M 数列”得1121()2n n n b b b b -+-=-⨯，又32212b b b b -=-，∴22721b b -=-，∴23b =，∴212b b -=，∴12n n n b b +-=，∴当2n ≥时，112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+L12222121n n n --=++++=-L ， 当1n =时上式也成立，故21n n b =-， ……………………………………12分假设存在正整数,m n 使得4039404020192019m n b b <<，则40392140402019212019m n -<<-， 由2140391212019m n->>-可知2121m n ->-，∴m n >，又,m n 为正整数，∴1m n -≥，又212(21)2121404022121212019m m n n m n m n m nn nn ------+--==+<---，∴4040232019m n-<<，∴1m n -=，∴21122121m n n -=+--，∴40391404022019212019n <+<-， ∴2020222021<<n ，∴10n =，∴11m =，故存在满足条件的正整数,m n ，11m =，10n =. ……………………………………16分20．解：（1）由函数)(x f 为奇函数，得0)()(=-+x f x f 在定义域上恒成立， 所以 0=+-+----mx ae e mx ae e x x x x ， 化简可得)()1(=+⋅--x x e e a ，所以1=a . ………………………………………………3分（2）法一：由（1）可得mx e e x f xx --=-)(，所以xx x xxeme e m e e x f 1)(2+-=-+='-， 其中当2≤m 时，由于012≥+-x x me e 恒成立，即0)(≥'x f 恒成立，故不存在极小值. ………………………………………………5分 当2>m 时，方程012=+-mt t 有两个不等的正根)(,2121t t t t <， 故可知函数mx ee xf xx--=-)(在),(ln ),ln ,(21+∞-∞t t 上单调递增，在)ln ,(ln 21t t 上单调递减，即在2ln t 处取到极小值，所以，m 的取值范围是),2(+∞. ………………………………………………9分法二：由（1）可得mx e e x f xx--=-)(，令m ee xf xg xx-+='=-)()(，则xx xxe e e e x g 1)(2-=-='-，故当0≥x 时，0)(≥'x g ；当0<x 时，0)(<'x g ， …………………………………………5分 故)(x g 在)0,(-∞上递减，在),0(+∞上递增， ∴m g x g -==2)0()(min ，若02≥-m ，则0)(≥x g 恒成立，)(x f 单调递增，无极值点；所以02)0(<-=m g ，解得2>m ，取m t ln =，则01)(>=mt g ， 又函数)(x g 的图象在区间],0[t 上连续不间断，故由函数零点存在性定理知在区间),0(t 上，存在0x 为函数)(x g 的零点，)(0x f 为)(x f 极小值.所以，m 的取值范围是),2(+∞. ………………………………………………9分（3）由0x 满足m e e x x =+-00，代入mx e e x f x x --=-)(，消去m 可得00)1()1()(000x x e x e x x f -+--=， ……………………………………11分 构造函数x x e x e x x h -+--=)1()1()(，所以)()(x x e e x x h -='-，当0≥x 时，012≤-=--x xx x e e e e ，所以当0≥x 时，0)(≤'x h 恒成立，故h (x )在[0，+∞)上为单调减函数，其中e h 2)1(-=， ……13分 则02()f x e ≥-可转化为0()(1)h x h ≥，故10≤x ，由m e e x x =+-00，设x x e e y -+=，可得当0≥x 时，0≥-='-x x e e y ，x x e e y -+=在]1,0(上递增，故ee m 1+≤， 综上，m 的取值范围是]1,2(e e + . ………………………………………………16分。

江苏省南京市、盐城市2020届高三数学第一次模拟考试(1月)试题

江苏省南京市、盐城市2020届高三数学第一次模拟考试(1月)试题

南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 参考公式：柱体体积公式：V Sh =，锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高.样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合(0,)A =+∞，全集U R =，则 U A= ▲ ． 2．设复数2z i =+，其中i 为虚数单位，则z z ⋅= ▲ ． 3．学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为 ▲ ．4．命题“R θ∀∈，cos sin 1θθ+>”的否定是 ▲ 命题.(填“真”或“假”)5．运行如图所示的伪代码，则输出的I 的值为 ▲ ．6．已知样本y x ,,9,8,7的平均数是9，且110=xy ，则此样本的方差是 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线24y x =上的点P 到其焦点的距离为3，则点P 到点O 的距离为 ▲ ．00 101 S I While S S S I I I End For Print I←←≤←+←+(第5题图)8．若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，1ln a 、2ln a 、5ln a 成等差数列，则21a a 的值为 ▲ ．9．在三棱柱111ABC A B C -中，点P 是棱1CC 上一点，记三棱柱111ABC A B C -与四棱锥11P ABB A -的体积分别为1V 与2V ，则21V V = ▲ ． 10．设函数()sin()f x x ωϕ=+（0,02πωϕ><<）的图象与y 3 y 轴右侧第一个最低点的横坐标为6π，则ω的值为 ▲ ． 11．已知H 是△ABC 的垂心（三角形三条高所在直线的交点），1142AH AB AC =+u u u r u u u r u u u r，则cos BAC ∠的值为 ▲ .12．若无穷数列{}cos()n ω()R ω∈是等差数列，则其前10项的和为 ▲ ． 13．已知集合{(,)16}P x y x x y y =+=，集合12{(,)}Q x y kx b y kx b =+≤≤+，若P Q ⊆1221b b k -+的最小值为 ▲ ．14．若对任意实数]1,(-∞∈x ，都有1122≤+-ax x e x成立，则实数a 的值为 ▲ . 二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分) 已知ABC ∆满足sin()2cos 6B B π+=．（1）若6cos 3C =，3AC =，求AB ； （2）若0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()4cos 5B A -=，求sin A ．如图，长方体1111D C B A ABCD -中，已知底面ABCD 是正方形，点P 是侧棱1CC 上的一点．（1）若1AC //平面PBD ，求PCPC 1的值； （2）求证：P A BD 1⊥．(第16题图)17．(本小题满分14分)如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从O e 中裁剪出两块全等的圆形铁皮P e 与Q e ，做圆柱的底面，裁剪出一个矩形ABCD 做圆柱的侧面（接缝忽略不计），AB 为圆柱的一条母线，点A 、B 在O e 上，点P 、Q 在O e 的一条直径上，P e 、Q e 分别与直线BC 、AD 相切，都与O e 内切．（1）求圆形铁皮P e 半径的取值范围；（2）请确定圆形铁皮P e 与Q e 半径的值，使得油桶的体积最大．(不取近似值)(第17题图)设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率是e ，动点00(,)P x y 在椭圆C 上运动，当2PF x ⊥轴时，01x =，0y e =． （1）求椭圆C 的方程；（2）延长12,PF PF 分别交椭圆C 于点,A B （,A B 不重合），设11AF F P λ=u u u r u u u r，22BF F P μ=u u u u r u u u u r，求λμ+的最小值．(第18题图)19．(本小题满分16分)定义:若无穷数列{}n a 满足{}1n n a a +-是公比为q 的等比数列，则称数列{}n a 为“()M q 数列”．设数列{}n b 中11b =，37b =．（1）若24b =，且数列{}n b 是“()M q 数列”，求数列{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且1122n n b S n λ+=-+，请判断数列{}n b 是否为 “()M q 数列”，并说明理由；（3）若数列{}n b 是“()2M 数列”，是否存在正整数,m n 使得4039404020192019m n b b <<?若存在，请求出所有满足条件的正整数,m n ;若不存在，请说明理由．20．(本小题满分16分)若函数()xxf x e aemx -=--()m R ∈为奇函数，且0x x =时()f x 有极小值0()f x ．（1）求实数a 的值；（2）求实数m 的取值范围； （3）若02()f x e≥-恒成立，求实数m 的取值范围．南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1．(,0]-∞ 2．5 3．234．真 5．6 6．2 y7．238．3 9．2310．7 11．33 12．10 13．414．12-二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．解：（1）由sin()2cos 6B B π+=可知B B B cos 2cos 21sin 23=+， 移项可得3tan =B ，又),0(π∈B ，故3π=B ， ……………………………………………2分又由6cos 3C =，),0(π∈C 可知33cos 1sin 2=-=C C ， ……………………………4分 故在ABC ∆中，由正弦定理C c B b sin sin =可得 C ABAC sin 3sin =π，所以2=AB . ………………7分（2）由（1）知3π=B ，所以0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，)3,0(3ππ∈-A ，由()4cos 5B A -=即54)3cos(=-A π可得53)3(cos 1)3sin(2=--=-A A ππ ， ……………10分∴1033453215423)3sin(3cos )3cos(3sin ))3(3sin(sin -=⋅-⋅=---=--=A A A A ππππππ.…14分16．（1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结OP ， 又因为1//AC 平面PBD ，⊂1AC 平面1ACC平面1ACC I 平面OP BDP =，所以1//AC OP ……………3分 因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ， 所以点O 是AC 的中点，所以AO OC =，所以在1ACC ∆中，11PC AOPC OC==. ……………6分 （2）证明：连结11A C .因为1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以侧棱1C C 垂直于底面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥．…………………………………………………………………8分因为底面ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥． ……………………………………………………10分 又1AC CC C =I ，AC ⊂面11ACC A ， 1CC ⊂面11ACC A ，所以BD ⊥面11ACC A . ……………………………………… …………………………………………12分又因为1111,P CC CC ACC A ∈⊂面,所以11P ACC A ∈面，又因为111A ACC A ∈面， 所以A 1P ⊂面ACC 1A 1,所以1BD A P ⊥． ………………………………………………14分17．解：（1）设P e 半径为r ，则)2(4r AB -=， 所以Pe 的周长2)2(41622r BC r --≤=π， ………………………………………………4分解得 4162+≤πr ，故P e 半径的取值范围为]416,0(2+π. ……………………………………………6分 （2）在（1）的条件下，油桶的体积)2(422r r AB r V -=⋅=ππ， ……………………………………8分设函数),2()(2x x x f -=]416,0(2+∈πx ，所以234)(x x x f -='，由于 344162<+π， 所以()0f x '>在定义域上恒成立， 故()f x 在定义域上单调递增，即当4162+=πr 时，体积取到最大值. ………………………………………………13分 答：P e 半径的取值范围为]416,0(2+π，当4162+=πr 时，体积取到最大值. ………………………14分18.解：（1）由当2PF x⊥轴时01x =，可知1c =， …………………………………………………2分 将01x =，0y e =代入椭圆方程得22211e a b+=（※），而1c e a a==，22221b a c a =-=-，代入（※）式得222111(1)a a a +=-， 解得22a =，故21b =，∴椭圆C 的方程为2212x y +=.…………………………………………………4分 （2）方法一：设11(,)A x y ，由11AF F P λ=u u u r u u u r 得10101(1)x x y y λλ--=+⎧⎨-=⎩，故10101x x y y λλλ=---⎧⎨=-⎩，代入椭圆的方程得2200(1)()12x y λλλ---+-=（＃）， ………………………………………………8分又由220012x y +=得220012x y =-，代入（＃）式得222001(1)2(1)22x x λλλ+++-=， 化简得203212(1)0x λλλλ+-++=，即0(1)(312)0x λλλ+-+=，显然10λ+≠，∴03120x λλ-+=，故132x λ=+.……………………………………………………………………12分同理可得0132u x =-，故200011623232943x x x λμ+=+=≥+--， 当且仅当00x =时取等号，故λμ+的最小值为23. ………………………………………………16分 方法二：由点A ，B 不重合可知直线PA 与x 轴不重合，故可设直线PA 的方程为1x my =-，联立22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去x 得22(2)210m y my +--=（☆），设11(,)A x y ，则1y 与0y 为方程（☆）的两个实根，由求根公式可得0,122m y m ±=+，故01212y y m -=+，则1201(2)y m y -=+，……………………8分将点00(,)P x y 代入椭圆的方程得220012x y +=， 代入直线PA 的方程得001x my =-，∴001x m y +=，由11AF F P λ=u u u r u u u r 得10y y λ-=，故10y y λ=-2222000111(2)[()2]x m y y y ==+++ 2222000001111(1)232(1)2(1)2x y x x x ===+++++-.…………………………………………………12分同理可得0132u x =-，故200011623232943x x x λμ+=+=≥+--， 当且仅当00x =时取等号，故λμ+的最小值为23. ………………………………………………16分注：（1）也可设,sin )P θθ得λ=，其余同理.（2）也可由116λμ+=运用基本不等式求解λμ+的最小值.19．解：（1）∵24b =，且数列{}n b 是“()M q 数列”， ∴322174141b b q b b --===--，∴111n nn n b b b b +--=-，∴11n n n n b b b b +--=-，………………………………2分故数列{}n b 是等差数列，公差为213b b -=， 故通项公式为1(1)3n b n =+-⨯，即32n b n =-. ………………………………………………4分（2）由1122n n b S n λ+=-+得232b λ=+，3437b λ=+=，故1λ=.方法一：由11212n n b S n +=-+得2112(1)12n n b S n ++=-++，两式作差得211122n n n b b b +++-=-，即21132n n b b ++=-，又252b =，∴21132b b =-，∴1132n n b b +=-对n N *∈恒成立，……………………6分则1113()44n n b b +-=-，而113044b -=≠，∴104n b -≠，∴114314n n b b +-=-， ∴1{}4n b -是等比数列， ………………………………………………………………………………8分∴1111(1)33444n n n b --=-⨯=⨯，∴11344n n b =⨯+，∴2121111111(3)(3)444431111(3)(3)4444n n n n n n n nb b b b ++++++⨯+-⨯+-==-⨯+-⨯+， ∴{}1n n b b +-是公比为3的等比数列，故数列{}n b 是“()M q 数列”.………………………………10分方法二：同方法一得1132n n b b +=-对n N *∈恒成立， 则21132n n b b ++=-，两式作差得2113()n n n n b b b b +++-=-，而21302b b -=≠， ∴10n n b b +-≠，∴2113n n n nb b b b +++-=-，以下同方法一. ……………………………………10分（3）由数列{}n b 是“()2M 数列”得1121()2n n n b b b b -+-=-⨯，又32212b b b b -=-，∴22721b b -=-，∴23b =，∴212b b -=，∴12n n n b b +-=，∴当2n ≥时，112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+L12222121n n n --=++++=-L ， 当1n =时上式也成立，故21n n b =-， ……………………………………12分假设存在正整数,m n 使得4039404020192019m n b b <<，则40392140402019212019m n -<<-， 由2140391212019m n->>-可知2121m n ->-，∴m n >，又,m n 为正整数，∴1m n -≥，又212(21)2121404022121212019m m n n m n m n m nn n n ------+--==+<---， ∴4040232019m n-<<，∴1m n -=，∴21122121m n n -=+--，∴40391404022019212019n <+<-， ∴2020222021<<n ，∴10n =，∴11m =，故存在满足条件的正整数,m n ，11m =，10n =. ……………………………………16分20．解：（1）由函数)(x f 为奇函数，得0)()(=-+x f x f 在定义域上恒成立， 所以 0=+-+----mx ae e mx ae e x x x x ， 化简可得)()1(=+⋅--x x e e a ，所以1=a . ………………………………………………3分（2）法一：由（1）可得mx e e x f xx --=-)(，所以xx x xxeme e m e e x f 1)(2+-=-+='-， 其中当2≤m 时，由于012≥+-x x me e 恒成立，即0)(≥'x f 恒成立，故不存在极小值. ………………………………………………5分 当2>m 时，方程012=+-mt t 有两个不等的正根)(,2121t t t t <， 故可知函数mx ee xf xx--=-)(在),(ln ),ln ,(21+∞-∞t t 上单调递增，在)ln ,(ln 21t t 上单调递减，即在2ln t 处取到极小值，所以，m 的取值范围是),2(+∞. ………………………………………………9分法二：由（1）可得mx e e x f xx--=-)(，令m ee xf xg xx-+='=-)()(，则xx xxee e e x g 1)(2-=-='-， 故当0≥x 时，0)(≥'x g ；当0<x 时，0)(<'x g ， …………………………………………5分 故)(x g 在)0,(-∞上递减，在),0(+∞上递增，∴m g x g -==2)0()(min ，若02≥-m ，则0)(≥x g 恒成立，)(x f 单调递增，无极值点；所以02)0(<-=m g ，解得2>m ，取m t ln =，则01)(>=mt g ， 又函数)(x g 的图象在区间],0[t 上连续不间断，故由函数零点存在性定理知在区间),0(t 上，存在0x 为函数)(x g 的零点，)(0x f 为)(x f 极小值.所以，m 的取值范围是),2(+∞. ………………………………………………9分 （3）由0x 满足m e e x x =+-00，代入mx e e x f xx--=-)(，消去m 可得00)1()1()(000x x e x e x x f -+--=， (11)分构造函数xxex e x x h -+--=)1()1()(，所以)()(xxe e x x h -='-，当0≥x 时，012≤-=--xxxxe e e e ，所以当0≥x 时，0)(≤'x h 恒成立，故h (x )在[0，+∞)上为单调减函数，其中eh 2)1(-=， ……13分则02()f x e≥-可转化为0()(1)h x h ≥，故10≤x ，由m e e x x =+-00，设xx e e y -+=，可得当0≥x 时，0≥-='-x x e e y ，xx e e y -+=在]1,0(上递增，故ee m 1+≤，综上，m 的取值范围是]1,2(ee + . ………………………………………………16分。

2020届南京盐城高三年级第一次模拟考试(试卷+解析)可编辑

2020届南京盐城高三年级第一次模拟考试(试卷+解析)可编辑

盐城市、南京市2020届高三年级第一次模拟考试数 学 2020.01注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题．．卡．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 参考公式：柱体体积公式：V ＝Sh ，锥体体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为底面积，h 为高．样本数据x 1，x 2，···，x n 的方差s 2＝1n ∑n i ＝1(x i －)2，其中＝1n ∑n i ＝1x i ．一､ 填空题:本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上．1．已知集合A ＝(0，＋∞)，全集U ＝R ，则∁UA ＝ ▲ ．2．设复数z ＝2＋i ，其中i 为虚数单位，则z ·—z ＝ ▲ ． 3．学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查， 则甲被选中的概率为 ▲ ．4．命题“ θ∈R ，cos θ＋sin θ＞1”的否定是 ▲ 命题．(填“真”或“假”) 5．运行如图所示的伪代码，则输出的I 的值为 ▲ ．6．已知样本7，8，9，x ，y 的平均数是9，且xy ＝110，则此样本的方差 是 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y 2＝4x 上的点P 到其焦点的距离为3，则点P 到点O 的距离为 ▲ ．8．若数列{a n }是公差不为0的等差数列，ln a 1、ln a 2、ln a 5成等差数列，则a2a 1的值为 ▲ ．9．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点P 是棱CC 1上一点，记三棱柱ABC －A 1B 1C 1与四棱锥P －ABB 1A 1的体积分别为V 1与V 2，则V2V 1＝ ▲ ．10．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π2)的图象与y 轴交点的纵坐标为32，y 轴右侧第一个最低点的横坐标为π6，则ω的值为 ▲．（第5题图）11．已知H 是△ABC 的垂心(三角形三条高所在直线的交点)，AH →＝14AB →＋12AC →，则cos ∠BAC的值为 ▲ ．12．若无穷数列{cos(ωn )}(ω∈R )是等差数列，则其前10项的和为 ▲ ．13．已知集合P ＝{(x ，y )| x |x |＋y |y |＝16}，集合Q ＝{(x ，y )| kx ＋b 1≤y ≤kx ＋b 2}，若P Q ，则|b 1－b 2|k 2＋1的最小值为 ▲ ．14．若对任意实数x ∈(－∞，1]，都有|e xx 2－2ax ＋1|≤1成立，则实数a 的值为 ▲ ．二､解答题:本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内． 15．(本小题满分14分)已知△ABC 满足sin(B ＋π6)＝2cos B ．（1）若cos C ＝63，AC ＝3，求AB ；（2）若A ∈(0，π3)，且cos(B －A )＝45，求sin A ．16．(本小题满分14分)如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知底面ABCD 是正方形，点P 是侧棱CC 1上的一点．（1）若AC 1//平面PBD ，求PC1PC的值；（2）求证：BD ⊥A 1P ．A 1P （第16题图）如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从⊙O 中裁剪出两块全等的圆形铁皮⊙P 与⊙Q 做圆柱的底面，裁剪出一个矩形ABCD 做圆柱的侧面(接缝忽略不计)，AB 为圆柱的一条母线，点A 、B 在⊙O 上，点P 、Q 在⊙O 的一条直径上，AB ∥PQ ，⊙P 、⊙Q 分别与直线BC 、AD 相切，都与⊙O 内切． （1）求圆形铁皮⊙P 半径的取值范围；（2）请确定圆形铁皮⊙P 与⊙Q 半径的值，使得油桶的体积最大．(不取近似值)18．(本小题满分16分)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率是e ，动点P (x 0，y 0)在椭圆C 上运动．当PF 2⊥x 轴时，x 0＝1，y 0＝e ． （1）求椭圆C 的方程；（2）延长PF 1，PF 2分别交椭圆C 于点A ，B (A ，B 不重合)．设AF 1→＝λF 1P →，BF 2→＝μF 2P →，求λ＋μ的最小值．（第17题图）（第18题图）定义：若无穷数列{a n }满足{a n ＋1－a n }是公比为q 的等比数列，则称数列{a n }为“M (q )数列”． 设数列{b n }中b 1＝1，b 3＝7．（1）若b 2＝4，且数列{b n }是“M (q )数列”，求数列{b n }的通项公式；（2）设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ＋1＝2S n －12n ＋λ，请判断数列{b n }是否为“M (q )数列”，并说明理由；（3）若数列{b n }是“M (2)数列”，是否存在正整数m ，n 使得40392019＜b m b n ＜40402019?若存在，请求出所有满足条件的正整数m ，n ；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分16分)若函数f (x )＝e x －a e －x －mx (m ∈R )为奇函数，且x ＝x 0时f (x )有极小值f (x 0)． （1）求实数a 的值；（2）求实数m 的取值范围；（3）若f (x 0)≥－2e恒成立，求实数m 的取值范围．盐城市、南京市2020届高三年级第一次模拟考试数学附加题 2020.01注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题．．卡．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸卡． 21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷．．卡．指．定区域内．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知圆C 经矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤a 33 －2变换后得到圆C′：x 2＋y 2＝13，求实数a 的值．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线ρcos θ＋2ρsin θ＝m 被曲线ρ＝4sin θ截得的弦为AB ，当AB 是最长弦时，求实数m 的值．C ．选修4—5：不等式选讲已知正实数a ，b ，c 满足1a ＋2b ＋3c＝1，求a ＋2b ＋3c 的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)如图，AA 1、BB 1是圆柱的两条母线， A 1B 1、AB 分别经过上下底面圆的圆心O 1、O ，CD 是下底面与AB 垂直的直径，CD ＝2．（1）若AA 1＝3，求异面直线A 1C 与B 1D 所成角的余弦值； （2）若二面角A 1－CD －B 1的大小为π3，求母线AA 1的长．23．(本小题满分10分)设∑2n i ＝1(1－2x )i ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n (n ∈N *)，记S n ＝a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n ． （1）求S n ；（2）记T n ＝－S 1C 1n ＋S 2C 2n －S 3C 3n ＋…＋(－1)n S n C nn ，求证：|T n |≥6n 3恒成立．南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．(,0]-∞ 2．5 3．234．真 5．6 6．2 7．8．3 9．23 10．7 11．3 12．10 13．4 14．12- 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.（第22题图）15．解：（1）由sin()2cos 6B B π+=可知B B B cos 2cos 21sin 23=+， 移项可得3tan =B ，又),0(π∈B ，故3π=B ， ……………………………………………2分又由cos C =，),0(π∈C 可知33cos 1sin 2=-=C C ， ……………………………4分故在ABC ∆中，由正弦定理C c B b sin sin =可得 C ABAC sin 3sin =π，所以2=AB . ………………7分（2）由（1）知3π=B ，所以0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，)3,0(3ππ∈-A ， 由()4cos 5B A -=即54)3cos(=-A π可得53)3(cos 1)3sin(2=--=-A A ππ ， ……………10分 ∴1033453215423)3sin(3cos )3cos(3sin ))3(3sin(sin -=⋅-⋅=---=--=A A A A ππππππ.…14分16．（1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结OP ， 又因为1//AC 平面PBD ，⊂1AC 平面1ACC平面1ACC 平面OP BDP =，所以1//AC OP ……………3分 因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ， 所以点O 是AC 的中点，所以AO OC =，所以在1ACC ∆中，. ……………6分 （2）证明：连结11A C .因为1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以侧棱1C C 垂直于底面ABCD ， 又BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥．…………………………………………………………………8分因为底面ABCD是正方形，所以A C ⊥． ……………………………………………………10分 又1AC CC C =，AC ⊂面11ACC A ， 1CC ⊂面11ACC A ， 所以BD ⊥面11ACC A . ……………………………………… …………………………………………12分又因为1111,P CC CC ACC A ∈⊂面,所以11P ACC A ∈面，又因为111A ACC A ∈面， 所以A 1P ⊂面ACC 1A 1,所以1BD A P ⊥． ………………………………………………14分11PC AOPC OC==17．解：（1）设P 半径为r ，则)2(4r AB -=，所以P的周长2)2(41622r BC r --≤=π， ………………………………………………4分解得 4162+≤πr ，故P 半径的取值范围为]416,0(2+π. ……………………………………………6分 （2）在（1）的条件下，油桶的体积)2(422r r AB r V -=⋅=ππ， ……………………………………8分设函数),2()(2x x x f -=]416,0(2+∈πx ， 所以234)(x x x f -='，由于 344162<+π， 所以()0f x '>在定义域上恒成立， 故()f x 在定义域上单调递增，即当4162+=πr 时，体积取到最大值. ………………………………………………13分 答：P 半径的取值范围为]416,0(2+π，当4162+=πr 时，体积取到最大值. ………………………14分18.解：（1）由当2PF x ⊥轴时01x =，可知1c =， …………………………………………………2分将01x =，0y e =代入椭圆方程得22211e a b+=（※），而1c e a a==，22221b a c a =-=-，代入（※）式得222111(1)a a a +=-， 解得22a =，故21b =，∴椭圆C的方程为2212x y +=.…………………………………………………4分 （2）方法一：设11(,)A x y ，由11AF F P λ=得10101(1)x x y y λλ--=+⎧⎨-=⎩，故10101x x y y λλλ=---⎧⎨=-⎩， 代入椭圆的方程得2200(1)()12x y λλλ---+-=（＃）， ………………………………………………8分又由220012x y +=得220012x y =-，代入（＃）式得222001(1)2(1)22x x λλλ+++-=， 化简得203212(1)0x λλλλ+-++=，即0(1)(312)0x λλλ+-+=，显然10λ+≠，∴03120x λλ-+=，故132x λ=+.……………………………………………………………………12分同理可得0132u x =-，故200011623232943x x x λμ+=+=≥+--， 当且仅当00x =时取等号，故λμ+的最小值为23. ………………………………………………16分 方法二：由点A ，B 不重合可知直线PA 与x 轴不重合，故可设直线PA 的方程为1x my =-，联立22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去x 得22(2)210m y my +--=（☆），设11(,)A x y ，则1y 与0y 为方程（☆）的两个实根，由求根公式可得0,122m y m ±=+，故01212y y m -=+，则1201(2)y m y -=+，……………………8分将点00(,)P x y 代入椭圆的方程得220012x y +=， 代入直线PA 的方程得001x my =-，∴001x m y +=，由11AF F P λ=得10y y λ-=，故10y y λ=-2222000111(2)[()2]x m y y y ==+++ 2222000001111(1)232(1)2(1)2x y x x x ===+++++-.…………………………………………………12分同理可得0132u x =-，故200011623232943x x x λμ+=+=≥+--， 当且仅当00x =时取等号，故λμ+的最小值为23. ………………………………………………16分注：（1）也可设,sin )P θθ得λ=，其余同理.（2）也可由116λμ+=运用基本不等式求解λμ+的最小值.19．解：（1）∵24b =，且数列{}n b 是“()M q 数列”， ∴322174141b b q b b --===--，∴111n nn n b b b b +--=-，∴11n n n n b b b b +--=-，………………………………2分故数列{}n b 是等差数列，公差为213b b -=， 故通项公式为1(1)3n b n =+-⨯，即32n b n =-. ………………………………………………4分（2）由1122n n b S n λ+=-+得232b λ=+，3437b λ=+=，故1λ=.方法一：由11212n n b S n +=-+得2112(1)12n n b S n ++=-++，两式作差得211122n n n b b b +++-=-，即21132n n b b ++=-，又252b =，∴21132b b =-，∴1132n n b b +=-对n N *∈恒成立，……………………6分则1113()44n n b b +-=-，而113044b -=≠，∴104n b -≠，∴114314n n b b +-=-， ∴1{}4n b -是等比数列， ………………………………………………………………………………8分∴1111(1)33444n n n b --=-⨯=⨯，∴11344n n b =⨯+，∴2121111111(3)(3)444431111(3)(3)4444n n n n n n n nb b b b ++++++⨯+-⨯+-==-⨯+-⨯+， ∴{}1n n b b +-是公比为3的等比数列，故数列{}n b 是“()M q 数列”.………………………………10分方法二：同方法一得1132n n b b +=-对n N *∈恒成立， 则21132n n b b ++=-，两式作差得2113()n n n n b b b b +++-=-，而21302b b -=≠， ∴10n n b b +-≠，∴2113n n n nb b b b +++-=-，以下同方法一. ……………………………………10分（3）由数列{}n b 是“()2M 数列”得1121()2n n n b b b b -+-=-⨯，又32212b b b b -=-，∴22721b b -=-，∴23b =，∴212b b -=，∴12n n n b b +-=，∴当时，112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+12222121n n n --=++++=-，当1n =时上式也成立，故21n n b =-， ……………………………………12分假设存在正整数,m n 使得4039404020192019m n b b <<，则40392140402019212019m n -<<-， 2n ≥由2140391212019m n->>-可知2121m n ->-，∴m n >，又,m n 为正整数，∴1m n -≥，又212(21)2121404022121212019m m n n m n m n m nn n n ------+--==+<---， ∴4040232019m n-<<，∴1m n -=，∴21122121m n n -=+--，∴40391404022019212019n <+<-， ∴2020222021<<n ，∴10n =，∴11m =，故存在满足条件的正整数,m n ，11m =，10n =. ……………………………………16分20．解：（1）由函数为奇函数，得0)()(=-+x f x f 在定义域上恒成立， 所以 0=+-+----mx ae e mx ae e x x x x ， 化简可得)()1(=+⋅--x x e e a ，所以1=a . ………………………………………………3分 （2）法一：由（1）可得mx e e x f x x --=-)(，所以xx x xxeme e m e e x f 1)(2+-=-+='-， 其中当2≤m 时，由于012≥+-x x me e 恒成立，即0)(≥'x f 恒成立，故不存在极小值. ………………………………………………5分 当2>m 时，方程012=+-mt t 有两个不等的正根)(,2121t t t t <，故可知函数mx e e x f x x --=-)(在),(ln ),ln ,(21+∞-∞t t 上单调递增， 在)ln ,(ln 21t t 上单调递减，即在2ln t 处取到极小值， 所以，m 的取值范围是),2(+∞. ………………………………………………9分法二：由（1）可得mx e e x f x x --=-)(， 令m ee xf xg xx-+='=-)()(，则xx xxee e e x g 1)(2-=-='-， 故当0≥x 时，0)(≥'x g ；当0<x 时，0)(<'x g ， …………………………………………5分故)(x g 在)0,(-∞上递减，在),0(+∞上递增， ∴m g x g -==2)0()(min ，若02≥-m ，则0)(≥x g 恒成立，)(x f 单调递增，无极值点；所以02)0(<-=m g ，解得2>m ，取m t ln =，则01)(>=mt g ， 又函数)(x g 的图象在区间],0[t 上连续不间断，故由函数零点存在性定理知在区间),0(t 上，存在0x 为函数)(x g 的零点，)(0x f 为)(x f 极小值.所以，m 的取值范围是)(x f),2(+∞. ………………………………………………9分 （3）由0x 满足m e e x x =+-00，代入mx e e x f x x --=-)(， 消去m可得00)1()1()(000x x e x e x x f -+--=， ……………………………………11分构造函数， 所以，当0≥x 时，012≤-=--xxxxee e e， 所以当0≥x 时，恒成立，故h (x )在[0，+∞)上为单调减函数，其中， ……13分则02()f x e≥-可转化为0()(1)h x h ≥， 故10≤x ，由m e e x x =+-00，设x x e e y -+=，可得当0≥x 时，0≥-='-x x e e y ，x x e e y -+=在上递增，故ee m 1+≤， 综上，m的取值范围是]1,2(ee + . ………………………………………………16分附加题答案21.（A ）解：设圆C 上一点(,)x y ，经矩阵M 变换后得到圆C '上一点(,)x y ''， 所以332a x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以332ax y x x y y'+=⎧⎨'-=⎩，………………………………………………………5分又圆22:13C x y '+=，所以圆C 的方程为22(3)(32)13ax y x y ++-=，化简得222(9)(612)1313a x a xy y ++-+=，所以29136120a a ⎧+=⎨-=⎩，解得2a =. ………………………………………………………10分21.（B ）解：以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴（单位长度相同）建立平面直角坐标系， 由直线cos 2sin m ρθρθ+=，可得直角坐标方程为20x y m +-=，又曲线4sin ρθ=，所以24sin ρρθ=，其直角坐标方程为22(2)4x y +-=， ………………5分所以曲线4sin ρθ=是以(0,2)为圆心，2为半径的圆，x x e x e x x h -+--=)1()1()()()(xxe ex x h -='-0)(≤'x h eh 2)1(-=]1,0(为使直线被曲线（圆）截得的弦AB 最长，所以直线过圆心(0,2)，于是0220m +⋅-=，解得4m =. ……………………………………………………10分21.（C ）解：因1231a b c ++=，所以149123a b c++=， 由柯西不等式得214923(23)()(123)23a b c a b c a b c++=++++≥++，即2336a b c ++≥， (5)分当且仅当1492323a b c a b c==，即a b c ==时取等号，解得6a b c ===，所以当且仅当6a b c ===时，23a b c ++取最小值36. (10)分22．解：（1）以CD ，AB ，1OO 所在直线建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，由2CD =，13AA =，所以(0,1,0)A -，(0,1,0)B ，(1,0,0)C -，(1,0,0)D ，1(0,1,3)A -，1(0,1,3)B ，从而1(1,1,3)AC =--，1(1,1,3)B D =--，所以117cos ,11A CB D <>==， 所以异面直线1A C与1B D所成角的余弦值为711. …………………………………………4分 （2）设10AA m =>，则1(0,1,)A m -，1(0,1,)B m ， 所以1(1,1,)A C m =--，1(1,1,)B D m =--，(2,0,0)CD =， 设平面1A CD 的一个法向量1111(,,)n x y z =，所以1111111200n CD x n ACx y mz ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，所以10x =，令11z =，则1y m =， 所以平面1A CD 的一个法向量1(0,,1)n m =，同理可得平面1B CD 的一个法向量2(0,,1)n m =-，因为二面角11A CD B --的大小为3π，所以121cos ,2n n <>==，解得m =m =， 由图形可知当二面角11A CDB --的大小为3π时,m = …………………………………10分注：用传统方法也可，请参照评分. 23．解：（1）令1=x 得01220n a a a a ++++=，令1-=x 得12201232123333(91)2n n n n a a a a a a --+-+-+=+++=-，两式相加得024232()(91)2n n a a a a ++++=-，∴3(91)4nn S =-.…………………………………3分（2）123123(1)n nn n n n n n T S C S C S C S C =-+-++-{}1122331233[999(1)9][(1)]4n n n n nn n n n n n n n C C C C C C C C =-+-++---+-++- {}0011223301233[9999(1)9][(1)]4n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C =-+-++---+-++- 001122333[9999(1)9]4n n n n n n n n C C C C C =-+-++- 0011223[(9)(9)(9)(9)]4n n n n n n C C C C =-+-+-++- 33[1(9)](8)44n n =+-=⨯-…………………………………………………………………………………7分要证3||6n T n ≥，即证384n⨯36n ≥，只需证明138n n -≥，即证12n n -≥， 当1,2n =时，12n n -≥显然成立；当3n ≥时，1011011111121(1)n n n n n n n C C C C C n n -------=+++≥+=+-=，即12n n -≥， ∴12n n -≥对*n N ∈恒成立.综上，3||6n T n ≥恒成立.……………………………………………………………………………………10分-≥恒成立，请参照评分. 注：用数学归纳法或数列的单调性也可证明12n n。

2020年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷答案解析

2020年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷答案解析

2020年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷答案解析一、填空题（共14题，每题5分）1．（2020•江苏一模）已知集合A＝（0，+∞），全集U＝R，则∁U A＝（﹣∞，0]．【解答】解：∵A＝（0，+∞），U＝R，∴∁U A＝（﹣∞，0]．故答案为：（﹣∞，0]．2．（2020•江苏一模）设复数z＝2+i，其中i为虚数单位，则z•＝5．【解答】解：∵z＝2+i，∴．故答案为：5．3．（2020•江苏一模）学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为．【解答】解：学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，基本事件总数n＝＝3，甲被选中包含的基本事件个数m＝＝2，则甲被选中的概率为P＝＝．故答案为：．4．（2020•江苏一模）命题“∀θ∈R，cosθ+sinθ＞1”的否定是真命题．（填“真”或“假”）【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃θ0∈R，cosθ0+sinθ0≤1为真命题，故答案为：真．5．（2020•江苏一模）运行如图所示的伪代码，则输出的I的值为6．【解答】解：模拟程序的运行，可得S＝0，I＝0满足条件S≤10，执行循环体，S＝0，I＝1满足条件S≤10，执行循环体，S＝1，I＝2满足条件S≤10，执行循环体，S＝3，I＝3满足条件S≤10，执行循环体，S＝6，I＝4满足条件S≤10，执行循环体，S＝10，I＝5满足条件S≤10，执行循环体，S＝15，I＝6不满足条件S≤10，退出循环，输出I的值为6．故答案为：6．6．（2020•江苏一模）已知样本7，8，9，x，y的平均数是9，且xy＝110，则此样本的方差是2．【解答】解：∵样本7，8，9，x，y的平均数是9，且xy＝110，∴，解得x＝10，y＝11或x＝11，y＝10，∴此样本的方差为：S2＝[（7﹣9）2+（8﹣9）2+（9﹣9）2+（10﹣9）2+（11﹣9）2]＝2．故答案为：2．7．（2020•江苏一模）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2＝4x上的点P到其焦点的距离为3，则点P到点O的距离为2．【解答】解：∵抛物线y2＝4x＝2px，∴p＝2，准线方程为：x＝﹣1，抛物线y2＝4x上的点P到其焦点的距离为3，所以P（2，）则点P到点O的距离为：＝，故答案为：2．8．（2020•江苏一模）若数列{a n}是公差不为0的等差数列，lna1、lna2、lna5成等差数列，则的值为3．【解答】解：数列{a n}是公差不为0的等差数列，lna1、lna2、lna5成等差数列，∴2ln（a1+d）＝lna1+ln（a1+4d），∴＝a1（a1+4d），∴，解得d＝2a1，∴＝＝3．故答案为：3．9．（2020•江苏一模）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点P是棱CC1上一点，记三棱柱ABC﹣A1B1C1与四棱锥P﹣ABB1A1的体积分别为V1与V2，则＝．【解答】解：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点P是棱CC1上一点，记三棱柱ABC﹣A1B1C1与四棱锥P﹣ABB1A1的体积分别为V1与V2，设AB＝a，△ABC的高为b，三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为h，则，，∴＝＝．故答案为：．10．（2020•江苏一模）设函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象与y轴交点的纵坐标为，y轴右侧第一个最低点的横坐标为，则ω的值为7．【解答】解：∵f（x）的图象与y轴交点的纵坐标为，∴f（0）＝sinφ＝，∵0＜φ＜，∴φ＝，则f（x）＝sin（ωx+），∵y轴右侧第一个最低点的横坐标为，∴由五点对应法得ω+＝得φ＝7，故答案为：7．11．（2020•江苏一模）已知H是△ABC的垂心（三角形三条高所在直线的交点），＝+，则cos∠BAC的值为．【解答】解：∵＝+，令，∴如图，点B，H，E三点共线，则有，，∴．∴，即．∴，∴＝（其中点F为边AB的中点），则有，边AB上的中线与垂线重合，即CB＝CA．∵且．由对称性可知，且．建立如图所示的平面直角坐标系，则有，D（0，0），B（2，0），C（1，0），设A（0，4t），∴H（0，t），t＞0．由BC＝CA可得，．cos∠BAC＝＝．故答案为．12．（2020•江苏一模）若无穷数列{cos（ωn）}（ω∈R）是等差数列，则其前10项的和为10．【解答】解：∵无穷数列{cos（ωn）}（ω∈R）是等差数列，∴ω＝0，∴cos（ωn）＝1，∴无穷数列{cos（ωn）}（ω∈R）的前10项的和为：S10＝10×1＝10．故答案为：10．13．（2020•江苏一模）已知集合P＝{（x，y）|x|x|+y|y|＝16}，集合Q＝{（x，y）|kx+b1≤y ≤kx+b2}，若P⊆Q，则的最小值为4．【解答】解：当x≥0，y≥0时，x2+y2＝16，即y＝；当x≥0，y＜0时；x2﹣y2＝16，即当x＜0，y≥0时；﹣x2+y2＝16，即y＝当x＜0，y＜0时，x2+y2＝﹣16，舍去．作出图象，x2﹣y2＝16的一条渐近线为y＝﹣x，与该渐近线平行，且与圆x2+y2＝16的一条切线为，由图可知，k＝﹣1，最小值为＝．故答案为：4．14．（2020•江苏一模）若对任意实数x∈（﹣∞，1]，都有||≤1成立，则实数a 的值为．【解答】解：依题意，，令，若x2﹣2ax+1＝0的判别式△＝4a2﹣4≥0，则x2﹣2ax+1＝0有解，设一解为x1，则当x→x1时，|f（x）|→+∞，不满足|f（x）|≤1恒成立，故﹣1＜a＜1，，①当2a+1＜0，即时，函数f（x）在（2a+1，1）单调递减，f（0）＝1，则f（2a+1）＞1，不满足题意；②当2a+1＞0，即时，记1，2a+1中的较小值为x0，则函数f（x）在（﹣∞，x0）单调递增，由f（0）＝1可得f（x0）＞f（0）＝1，不满足题意；③当2a+1＝0，即时，f（x）在（﹣∞，0），（0，1）单调递减，则f（x）≤f（0）＝1，＞0，则|f（x）|≤1恒成立．故答案为：．二、解答题（共6题，满分90分）15．（2020•江苏一模）已知△ABC满足sin（B+）＝2cos B．（1）若cos C＝，AC＝3，求AB；（2）若A∈（0，），且cos（B﹣A）＝，求sin A．【解答】解：（1）由sin（B+）＝2cos B，可知sin B+cos B＝2cos B，即sin B＝cos B，因为cos B≠0，所以tan B＝，又B∈（0，π），故B＝，由cos C＝，C∈（0，π），可知sin C＝，在△ABC中，由正弦定理，所以AB＝2；（2）由（1）知B＝，所以A∈（0，）时，﹣A∈（0，），由cos（B﹣A）＝，即cos（）＝，所以sin（）＝，所以sin A＝sin[﹣（）]＝sin cos（）﹣cos sin（）＝＝．16．（2020•江苏一模）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知底面ABCD是正方形，点P 是侧棱CC1上的一点．（1）若AC1∥平面PBD，求的值；（2）求证：BD⊥A1P．【解答】解：（1）连结AC交BD于点O，连结OP．因为AC1∥平面PBD，AC1⊂平面ACC1，平面ACC1∩平面BDP＝OP，所以AC1∥OP．因为四边形ABCD是正方形，对角线AC交BD于点O，所以点O是AC的中点，所以AO＝OC，所以在△ACC1中，＝＝1．（2）证明：连结A1C1．因为ABCD﹣A1B1C1D1为长方体，所以侧棱C1C⊥平面ABCD．又BD⊂平面ABCD，所以CC1⊥BD．因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD．又AC∩CC1＝C，AC⊂面ACC1A1，CC1⊂面ACC1A1，所以BD⊥面ACC1A1，又因为A1P⊂面ACC1A1，所以BD⊥A1P．17．（2020•江苏一模）如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从⊙O中裁剪出两块全等的圆形铁皮⊙P与⊙Q做圆柱的底面，裁剪出一个矩形ABCD做圆柱的侧面（接缝忽略不计），AB为圆柱的一条母线，点A、B 在⊙O上，点P、Q在⊙O的一条直径上，AB∥PQ，⊙P、⊙Q分别与直线BC、AD相切，都与⊙O内切．（1）求圆形铁皮⊙P半径的取值范围；（2）请确定圆形铁皮⊙P与⊙Q半径的值，使得油桶的体积最大．（不取近似值）【解答】解：（1）设⊙P的半径为r，则AB＝4（2﹣r），所以⊙P的周长，解得，故⊙P半径的取值范围为；（2）在（1）的条件下，油桶的体积V＝πr2•AB＝4πr2（2﹣r），设函数，则f′（x）＝4x﹣3x2，由于，所以f′（x）＞0在定义域上恒成立，即函数f（x）在定义域上单调递增，故当时，体积取倒最大值．18．（2020•江苏一模）设椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，离心率是e，动点P（x0，y0）在椭圆C上运动．当PF2⊥x轴时，x0＝1，y0＝e．（1）求椭圆C的方程；（2）延长PF1，PF2分别交椭圆C于点A，B（A，B不重合）．设＝λ，＝μ，求λ+μ的最小值．【解答】解：（1）由题意知当PF2⊥x轴时，x0＝1，y0＝e．知c＝1，＝e＝，∴b ＝c＝1，又a2＝b2+c2＝2，所以椭圆的方程为：＝1；（2）由（1）知F1（﹣1，0），F2（1，0）设A（x0，y0），由＝λ得，即，代入椭圆方程得：+（﹣λy0）2＝1，又＝1，得，两式相减得：＝1﹣λ2，因为λ+1≠0，所以2λx0+λ+1＝2（1﹣λ），故；同理可得：，故λ+μ＝+＝，当且仅当x0＝0时取等号，故λ+μ的最小值为．19．（2020•江苏一模）定义：若无穷数列{a n}满足{a n+1﹣a n}是公比为q的等比数列，则称数列{a n}为“M（q）数列”．设数列{b n}中b1＝1，b3＝7．（1）若b2＝4，且数列{b n}是“M（q）数列”，求数列{b n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为S n，且b n+1＝2S n﹣n+λ，请判断数列{b n}是否为“M（q）数列”，并说明理由；（3）若数列{b n}是“M（2）数列”，是否存在正整数m，n使得＜＜？若存在，请求出所有满足条件的正整数m，n；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因为b2＝4，且数列{b n}是“M（q）数列”，所以q＝＝＝1，所以＝1，n≥2，即b n+1﹣b n＝b n﹣b n﹣1，n≥2，所以数列{b n}是等差数列，其公差为b2﹣b1＝3，所以数列{b n}通项公式为b n＝1+（n﹣1）×3＝3n﹣2．（2）由，得，b3＝4+3λ＝7，解得λ＝7，由，得，两式作差，得：，∴，n∈N*，∵，∴，∴对n∈N*恒成立，则＝3（），∵，∴，∴＝3，∴是等比数列，∴，∴，∴＝＝3，∴{b n+1﹣b n}是公比为3的等比数列，故数列{b n}是“M（q）数列“．（3）由数列{b n}是“M（2）”数列，∴b n+1﹣b n＝（b2﹣b1）×2n+1，∵＝2，∴＝2，∴b2＝3，∴b2﹣b1＝2，∴b n+1﹣b n＝2n，∴当n≥2时，b n＝（b n﹣b n﹣1）+（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1，＝2n﹣1+2n﹣2+…+2+1＝2n﹣1，假设存在正整数m，n，使得，则，由＝，∴，∴m﹣n＝1，∴，即，∴，∴n＝10，m＝11．∴存在满足条件的正整数m，n，其中m＝11，n＝10．20．（2020•江苏一模）若函数f（x）＝e x﹣ae﹣x﹣mx（m∈R）为奇函数，且x＝x0时f（x）有极小值f（x0）．（1）求实数a的值；（2）求实数m的取值范围；（3）若f（x0）≥﹣恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由函数f（x）为奇函数，得f（x）+f（﹣x）＝0在定义域上恒成立，∴e x﹣ae﹣x﹣mx+e﹣x﹣ae x+mx＝0，化简可得（1﹣a）（e x+e﹣x）＝0，故a＝1；（2）由（1）可得f（x）＝e x﹣e﹣x﹣mx，则，①当m≤2时，由于e2x﹣me x+1≥0恒成立，即f′（x）≥0恒成立，故不存在极小值；②当m＞2时，令e x＝t，则方程t2﹣mt+1＝0有两个不等的正根t1，t2（t1＜t2），故可知函数f（x）＝e x﹣e﹣x﹣mx在（﹣∞，lnt1），（lnt2，+∞）上单调递增，在（lnt1，lnt2）上单调递减，即在lnt2出取到极小值，所以，实数m的取值范围为（2，+∞）；（3）由x0满足代入f（x）＝e x﹣e﹣x﹣mx，消去m得，构造函数h（x）＝（1﹣x）e x﹣（1+x）e﹣x，则h′（x）＝x（e﹣x﹣e x），当x≥0时，，故当x≥0时，h′（x）≤0恒成立，故函数h（x）在[0，+∞）上单调减函数，其中，则，可转化为h（x0）≥h（1），故x0≤1，由，设y＝e x+e﹣x，可得当x≥0时，y′＝e x﹣e﹣x≥0，∴y＝e x+e﹣x在（0，1]上递增，故，综上，实数m的取值范围为．四、选做题（任选2道，每道10分）21．（2020•江苏一模）已知圆C经矩阵M＝变换后得到圆C′：x2+y2＝13，求实数a的值．【解答】解：设圆C上任一点（x，y），经矩阵M变换后得到圆C’上一点（x’，y’），所以，所以，又因为（x′）2+（y′）2＝13，所以圆C的方程为（ax+3y）2+（3x﹣2y）2＝13，化简得（a2+9）x2+（6a﹣12）xy+13y2＝13，所以解得a＝2．所以，实数a的值为2．22．（2020•江苏一模）在极坐标系中，直线ρcosθ+2ρsinθ＝m被曲线ρ＝4sinθ截得的弦为AB，当AB是最长弦时，求实数m的值．【解答】解：以极点为原点，极轴为x轴的正半轴（单位长度相同）建立平面直角坐标系，由直线ρcosθ+2ρsinθ＝m，可得直角坐标方程为x+2y﹣m＝0．又曲线ρ＝4sinθ，所以ρ2＝4ρsinθ，其直角坐标方程为x2+（y﹣2）2＝4，所以曲线ρ＝4sinθ是以（0，2）为圆心，2为半径的圆．为使直线被曲线（圆）截得的弦AB最长，所以直线过圆心（0，2），于是0+2×2﹣m＝0，解得m＝4．所以，实数m的值为4．23．（2020•江苏一模）已知正实数a，b，c满足++＝1，求a+2b+3c的最小值．【解答】解：根据题意，因为++＝1，则++＝1，由柯西不等式得a+2b+3c＝（a+2b+3c）（++）≥（1+2+3）2；即a+2b+3c≥36，当且仅当a＝b＝c时取等号，解得a＝b＝c＝6，所以当且仅当a＝b＝c＝6时，a+2b+3c取最小值36．五、必做题（每题10分，共计2题）24．（2020•江苏一模）如图，AA1、BB1是圆柱的两条母线，A1B1、AB分别经过上下底面圆的圆心O1、O，CD是下底面与AB垂直的直径，CD＝2．（1）若AA1＝3，求异面直线A1C与B1D所成角的余弦值；（2）若二面角A1﹣CD﹣B1的大小为，求母线AA1的长．【解答】解：（1）以CD，AB，OO1所在直线建立如图所示空间直角坐标系O﹣xyz．由CD＝2，AA1＝3，所以A（0，﹣1，0），B（0，1，0），C（﹣1，0，0），D（1，0，0），A1（0，﹣1，3），B1（0，1，3），从而＝（﹣1，1，﹣3），＝（1，﹣1，﹣3），所以cos＝，所以异面直线A1C与B1D所成角的余弦值为：．（2）设AA1＝m＞0，则A1（0，﹣1，m），B1（0，1，m），所以＝（﹣1，1，﹣m），＝（1，﹣1，﹣m），，＝（2，0，0），设平面A1CD的一个法向量＝（x1，y1，z1），则所以x1＝0，令z1＝1，则y1＝m，所以平面A1CD的一个法向量＝（0，m，1）．同理可得平面B1CD的一个法向量＝（0，﹣m，1）．因为二面角A1﹣CD﹣B1的大小为，所以|cos＜，＞|＝＝，解得m＝或m＝，由图形可知当二面角A1﹣CD﹣B1的大小为时，m＝．25．（2020•江苏一模）设（1﹣2x）i＝a0+a1x+a2x2+…+a2n x2n（n∈N*），记S n＝a0+a2+a4+…+a2n．（1）求S n；（2）记T n＝﹣S1∁n1+S2∁n2﹣S3∁n3+…+（﹣1）n S n∁n n，求证：|T n|≥6n3恒成立．【解答】解：（1）由题意，令x＝1，得a0+a1+a2+…+a2n＝＝0；令x＝﹣1，得a0﹣a1+a2﹣a3+…﹣a2n﹣1+a2n＝＝31+32+…+32n＝•（9n﹣1）．两式相加，得2（a0+a2+a4+…+a2n）＝•（9n﹣1），即2S n＝•（9n﹣1），∴S n＝（9n﹣1），n∈N*．（2）由题意，T n＝﹣S1∁n1+S2∁n2﹣S3∁n3+…+（﹣1）n S n∁n n＝{[﹣91+92﹣93+…+（﹣1）n9n]﹣[﹣+﹣+…+（﹣1）n]}＝{[90﹣91+92﹣93+…+（﹣1）n9n]﹣[﹣+﹣+…+（﹣1）n ]}＝[90﹣91+92﹣93+…+（﹣1）n9n]＝[（﹣9）0﹣（﹣9）1+（﹣9）2﹣（﹣9）3+…+（﹣9）n]＝（1﹣9）n＝•（﹣8）n．故|T n|＝|•（﹣8）n|＝•8n．要证|T n|≥6n3，即证×8n≥6n3，只需证明8n﹣1≥n3，即证2n﹣1≥n．当n＝1，2时，2n﹣1≥n显然成立．当n≥3时，2n﹣1＝++…+≥＝+＝1+（n﹣1）＝n，即2n﹣1≥n，所以2n﹣1≥n对n∈N*恒成立．综上，|T n|≥6n3恒成立．。

2020年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷答案解析

2020年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷答案解析

2020年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷答案解析一、填空题（共14题，每题5分）1．（2020•江苏一模）已知集合A＝（0，+∞），全集U＝R，则∁U A＝（﹣∞，0]．【解答】解：∵A＝（0，+∞），U＝R，∴∁U A＝（﹣∞，0]．故答案为：（﹣∞，0]．2．（2020•江苏一模）设复数z＝2+i，其中i为虚数单位，则z•＝5．【解答】解：∵z＝2+i，∴．故答案为：5．3．（2020•江苏一模）学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为．【解答】解：学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，基本事件总数n＝＝3，甲被选中包含的基本事件个数m＝＝2，则甲被选中的概率为P＝＝．故答案为：．4．（2020•江苏一模）命题“∀θ∈R，cosθ+sinθ＞1”的否定是真命题．（填“真”或“假”）【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃θ0∈R，cosθ0+sinθ0≤1为真命题，故答案为：真．5．（2020•江苏一模）运行如图所示的伪代码，则输出的I的值为6．【解答】解：模拟程序的运行，可得S＝0，I＝0满足条件S≤10，执行循环体，S＝0，I＝1满足条件S≤10，执行循环体，S＝1，I＝2满足条件S≤10，执行循环体，S＝3，I＝3满足条件S≤10，执行循环体，S＝6，I＝4满足条件S≤10，执行循环体，S＝10，I＝5满足条件S≤10，执行循环体，S＝15，I＝6不满足条件S≤10，退出循环，输出I的值为6．故答案为：6．6．（2020•江苏一模）已知样本7，8，9，x，y的平均数是9，且xy＝110，则此样本的方差是2．【解答】解：∵样本7，8，9，x，y的平均数是9，且xy＝110，∴，解得x＝10，y＝11或x＝11，y＝10，∴此样本的方差为：S2＝[（7﹣9）2+（8﹣9）2+（9﹣9）2+（10﹣9）2+（11﹣9）2]＝2．故答案为：2．7．（2020•江苏一模）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2＝4x上的点P到其焦点的距离为3，则点P到点O的距离为2．【解答】解：∵抛物线y2＝4x＝2px，∴p＝2，准线方程为：x＝﹣1，抛物线y2＝4x上的点P到其焦点的距离为3，所以P（2，）则点P到点O的距离为：＝，故答案为：2．8．（2020•江苏一模）若数列{a n}是公差不为0的等差数列，lna1、lna2、lna5成等差数列，则的值为3．【解答】解：数列{a n}是公差不为0的等差数列，lna1、lna2、lna5成等差数列，∴2ln（a1+d）＝lna1+ln（a1+4d），∴＝a1（a1+4d），∴，解得d＝2a1，∴＝＝3．故答案为：3．9．（2020•江苏一模）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点P是棱CC1上一点，记三棱柱ABC﹣A1B1C1与四棱锥P﹣ABB1A1的体积分别为V1与V2，则＝．【解答】解：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点P是棱CC1上一点，记三棱柱ABC﹣A1B1C1与四棱锥P﹣ABB1A1的体积分别为V1与V2，设AB＝a，△ABC的高为b，三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为h，则，，∴＝＝．故答案为：．10．（2020•江苏一模）设函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象与y轴交点的纵坐标为，y轴右侧第一个最低点的横坐标为，则ω的值为7．【解答】解：∵f（x）的图象与y轴交点的纵坐标为，∴f（0）＝sinφ＝，∵0＜φ＜，∴φ＝，则f（x）＝sin（ωx+），∵y轴右侧第一个最低点的横坐标为，∴由五点对应法得ω+＝得φ＝7，故答案为：7．11．（2020•江苏一模）已知H是△ABC的垂心（三角形三条高所在直线的交点），＝+，则cos∠BAC的值为．【解答】解：∵＝+，令，∴如图，点B，H，E三点共线，则有，，∴．∴，即．∴，∴＝（其中点F为边AB的中点），则有，边AB上的中线与垂线重合，即CB＝CA．∵且．由对称性可知，且．建立如图所示的平面直角坐标系，则有，D（0，0），B（2，0），C（1，0），设A（0，4t），∴H（0，t），t＞0．由BC＝CA可得，．cos∠BAC＝＝．故答案为．12．（2020•江苏一模）若无穷数列{cos（ωn）}（ω∈R）是等差数列，则其前10项的和为10．【解答】解：∵无穷数列{cos（ωn）}（ω∈R）是等差数列，∴ω＝0，∴cos（ωn）＝1，∴无穷数列{cos（ωn）}（ω∈R）的前10项的和为：S10＝10×1＝10．故答案为：10．13．（2020•江苏一模）已知集合P＝{（x，y）|x|x|+y|y|＝16}，集合Q＝{（x，y）|kx+b1≤y ≤kx+b2}，若P⊆Q，则的最小值为4．【解答】解：当x≥0，y≥0时，x2+y2＝16，即y＝；当x≥0，y＜0时；x2﹣y2＝16，即当x＜0，y≥0时；﹣x2+y2＝16，即y＝当x＜0，y＜0时，x2+y2＝﹣16，舍去．作出图象，x2﹣y2＝16的一条渐近线为y＝﹣x，与该渐近线平行，且与圆x2+y2＝16的一条切线为，由图可知，k＝﹣1，最小值为＝．故答案为：4．14．（2020•江苏一模）若对任意实数x∈（﹣∞，1]，都有||≤1成立，则实数a 的值为．【解答】解：依题意，，令，若x2﹣2ax+1＝0的判别式△＝4a2﹣4≥0，则x2﹣2ax+1＝0有解，设一解为x1，则当x→x1时，|f（x）|→+∞，不满足|f（x）|≤1恒成立，故﹣1＜a＜1，，①当2a+1＜0，即时，函数f（x）在（2a+1，1）单调递减，f（0）＝1，则f（2a+1）＞1，不满足题意；②当2a+1＞0，即时，记1，2a+1中的较小值为x0，则函数f（x）在（﹣∞，x0）单调递增，由f（0）＝1可得f（x0）＞f（0）＝1，不满足题意；③当2a+1＝0，即时，f（x）在（﹣∞，0），（0，1）单调递减，则f（x）≤f（0）＝1，＞0，则|f（x）|≤1恒成立．故答案为：．二、解答题（共6题，满分90分）15．（2020•江苏一模）已知△ABC满足sin（B+）＝2cos B．（1）若cos C＝，AC＝3，求AB；（2）若A∈（0，），且cos（B﹣A）＝，求sin A．【解答】解：（1）由sin（B+）＝2cos B，可知sin B+cos B＝2cos B，即sin B＝cos B，因为cos B≠0，所以tan B＝，又B∈（0，π），故B＝，由cos C＝，C∈（0，π），可知sin C＝，在△ABC中，由正弦定理，所以AB＝2；（2）由（1）知B＝，所以A∈（0，）时，﹣A∈（0，），由cos（B﹣A）＝，即cos（）＝，所以sin（）＝，所以sin A＝sin[﹣（）]＝sin cos（）﹣cos sin（）＝＝．16．（2020•江苏一模）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知底面ABCD是正方形，点P 是侧棱CC1上的一点．（1）若AC1∥平面PBD，求的值；（2）求证：BD⊥A1P．【解答】解：（1）连结AC交BD于点O，连结OP．因为AC1∥平面PBD，AC1⊂平面ACC1，平面ACC1∩平面BDP＝OP，所以AC1∥OP．因为四边形ABCD是正方形，对角线AC交BD于点O，所以点O是AC的中点，所以AO＝OC，所以在△ACC1中，＝＝1．（2）证明：连结A1C1．因为ABCD﹣A1B1C1D1为长方体，所以侧棱C1C⊥平面ABCD．又BD⊂平面ABCD，所以CC1⊥BD．因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD．又AC∩CC1＝C，AC⊂面ACC1A1，CC1⊂面ACC1A1，所以BD⊥面ACC1A1，又因为A1P⊂面ACC1A1，所以BD⊥A1P．17．（2020•江苏一模）如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从⊙O中裁剪出两块全等的圆形铁皮⊙P与⊙Q做圆柱的底面，裁剪出一个矩形ABCD做圆柱的侧面（接缝忽略不计），AB为圆柱的一条母线，点A、B在⊙O上，点P、Q在⊙O的一条直径上，AB∥PQ，⊙P、⊙Q分别与直线BC、AD相切，都与⊙O内切．（1）求圆形铁皮⊙P半径的取值范围；（2）请确定圆形铁皮⊙P与⊙Q半径的值，使得油桶的体积最大．（不取近似值）【解答】解：（1）设⊙P的半径为r，则AB＝4（2﹣r），所以⊙P的周长，解得，故⊙P半径的取值范围为；（2）在（1）的条件下，油桶的体积V＝πr2•AB＝4πr2（2﹣r），设函数，则f′（x）＝4x﹣3x2，由于，所以f′（x）＞0在定义域上恒成立，即函数f（x）在定义域上单调递增，故当时，体积取倒最大值．18．（2020•江苏一模）设椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，离心率是e，动点P（x0，y0）在椭圆C上运动．当PF2⊥x轴时，x0＝1，y0＝e．（1）求椭圆C的方程；（2）延长PF1，PF2分别交椭圆C于点A，B（A，B不重合）．设＝λ，＝μ，求λ+μ的最小值．【解答】解：（1）由题意知当PF2⊥x轴时，x0＝1，y0＝e．知c＝1，＝e＝，∴b ＝c＝1，又a2＝b2+c2＝2，所以椭圆的方程为：＝1；（2）由（1）知F1（﹣1，0），F2（1，0）设A（x0，y0），由＝λ得，即，代入椭圆方程得：+（﹣λy0）2＝1，又＝1，得，两式相减得：＝1﹣λ2，因为λ+1≠0，所以2λx0+λ+1＝2（1﹣λ），故；同理可得：，故λ+μ＝+＝，当且仅当x0＝0时取等号，故λ+μ的最小值为．19．（2020•江苏一模）定义：若无穷数列{a n}满足{a n+1﹣a n}是公比为q的等比数列，则称数列{a n}为“M（q）数列”．设数列{b n}中b1＝1，b3＝7．（1）若b2＝4，且数列{b n}是“M（q）数列”，求数列{b n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为S n，且b n+1＝2S n﹣n+λ，请判断数列{b n}是否为“M（q）数列”，并说明理由；（3）若数列{b n}是“M（2）数列”，是否存在正整数m，n使得＜＜？若存在，请求出所有满足条件的正整数m，n；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因为b2＝4，且数列{b n}是“M（q）数列”，所以q＝＝＝1，所以＝1，n≥2，即b n+1﹣b n＝b n﹣b n﹣1，n≥2，所以数列{b n}是等差数列，其公差为b2﹣b1＝3，所以数列{b n}通项公式为b n＝1+（n﹣1）×3＝3n﹣2．（2）由，得，b3＝4+3λ＝7，解得λ＝7，由，得，两式作差，得：，∴，n∈N*，∵，∴，∴对n∈N*恒成立，则＝3（），∵，∴，∴＝3，∴是等比数列，∴，∴，∴＝＝3，∴{b n+1﹣b n}是公比为3的等比数列，故数列{b n}是“M（q）数列“．（3）由数列{b n}是“M（2）”数列，∴b n+1﹣b n＝（b2﹣b1）×2n+1，∵＝2，∴＝2，∴b2＝3，∴b2﹣b1＝2，∴b n+1﹣b n＝2n，∴当n≥2时，b n＝（b n﹣b n﹣1）+（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1，＝2n﹣1+2n﹣2+…+2+1＝2n﹣1，假设存在正整数m，n，使得，则，由＝，∴，∴m﹣n＝1，∴，即，∴，∴n＝10，m＝11．∴存在满足条件的正整数m，n，其中m＝11，n＝10．20．（2020•江苏一模）若函数f（x）＝e x﹣ae﹣x﹣mx（m∈R）为奇函数，且x＝x0时f（x）有极小值f（x0）．（1）求实数a的值；（2）求实数m的取值范围；（3）若f（x0）≥﹣恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由函数f（x）为奇函数，得f（x）+f（﹣x）＝0在定义域上恒成立，∴e x﹣ae﹣x﹣mx+e﹣x﹣ae x+mx＝0，化简可得（1﹣a）（e x+e﹣x）＝0，故a＝1；（2）由（1）可得f（x）＝e x﹣e﹣x﹣mx，则，①当m≤2时，由于e2x﹣me x+1≥0恒成立，即f′（x）≥0恒成立，故不存在极小值；②当m＞2时，令e x＝t，则方程t2﹣mt+1＝0有两个不等的正根t1，t2（t1＜t2），故可知函数f（x）＝e x﹣e﹣x﹣mx在（﹣∞，lnt1），（lnt2，+∞）上单调递增，在（lnt1，lnt2）上单调递减，即在lnt2出取到极小值，所以，实数m的取值范围为（2，+∞）；（3）由x0满足代入f（x）＝e x﹣e﹣x﹣mx，消去m得，构造函数h（x）＝（1﹣x）e x﹣（1+x）e﹣x，则h′（x）＝x（e﹣x﹣e x），当x≥0时，，故当x≥0时，h′（x）≤0恒成立，故函数h（x）在[0，+∞）上单调减函数，其中，则，可转化为h（x0）≥h（1），故x0≤1，由，设y＝e x+e﹣x，可得当x≥0时，y′＝e x﹣e﹣x≥0，∴y＝e x+e﹣x在（0，1]上递增，故，综上，实数m的取值范围为．四、选做题（任选2道，每道10分）21．（2020•江苏一模）已知圆C经矩阵M＝变换后得到圆C′：x2+y2＝13，求实数a的值．【解答】解：设圆C上任一点（x，y），经矩阵M变换后得到圆C’上一点（x’，y’），所以，所以，又因为（x′）2+（y′）2＝13，所以圆C的方程为（ax+3y）2+（3x﹣2y）2＝13，化简得（a2+9）x2+（6a﹣12）xy+13y2＝13，所以解得a＝2．所以，实数a的值为2．22．（2020•江苏一模）在极坐标系中，直线ρcosθ+2ρsinθ＝m被曲线ρ＝4sinθ截得的弦为AB，当AB是最长弦时，求实数m的值．【解答】解：以极点为原点，极轴为x轴的正半轴（单位长度相同）建立平面直角坐标系，由直线ρcosθ+2ρsinθ＝m，可得直角坐标方程为x+2y﹣m＝0．又曲线ρ＝4sinθ，所以ρ2＝4ρsinθ，其直角坐标方程为x2+（y﹣2）2＝4，所以曲线ρ＝4sinθ是以（0，2）为圆心，2为半径的圆．为使直线被曲线（圆）截得的弦AB最长，所以直线过圆心（0，2），于是0+2×2﹣m＝0，解得m＝4．所以，实数m的值为4．23．（2020•江苏一模）已知正实数a，b，c满足++＝1，求a+2b+3c的最小值．【解答】解：根据题意，因为++＝1，则++＝1，由柯西不等式得a+2b+3c＝（a+2b+3c）（++）≥（1+2+3）2；即a+2b+3c≥36，当且仅当a＝b＝c时取等号，解得a＝b＝c＝6，所以当且仅当a＝b＝c＝6时，a+2b+3c取最小值36．五、必做题（每题10分，共计2题）24．（2020•江苏一模）如图，AA1、BB1是圆柱的两条母线，A1B1、AB分别经过上下底面圆的圆心O1、O，CD是下底面与AB垂直的直径，CD＝2．（1）若AA1＝3，求异面直线A1C与B1D所成角的余弦值；（2）若二面角A1﹣CD﹣B1的大小为，求母线AA1的长．【解答】解：（1）以CD，AB，OO1所在直线建立如图所示空间直角坐标系O﹣xyz．由CD＝2，AA1＝3，所以A（0，﹣1，0），B（0，1，0），C（﹣1，0，0），D（1，0，0），A1（0，﹣1，3），B1（0，1，3），从而＝（﹣1，1，﹣3），＝（1，﹣1，﹣3），所以cos＝，所以异面直线A1C与B1D所成角的余弦值为：．（2）设AA1＝m＞0，则A1（0，﹣1，m），B1（0，1，m），所以＝（﹣1，1，﹣m），＝（1，﹣1，﹣m），，＝（2，0，0），设平面A1CD的一个法向量＝（x1，y1，z1），则所以x1＝0，令z1＝1，则y1＝m，所以平面A1CD的一个法向量＝（0，m，1）．同理可得平面B1CD的一个法向量＝（0，﹣m，1）．因为二面角A1﹣CD﹣B1的大小为，所以|cos＜，＞|＝＝，解得m＝或m＝，由图形可知当二面角A1﹣CD﹣B1的大小为时，m＝．25．（2020•江苏一模）设（1﹣2x）i＝a0+a1x+a2x2+…+a2n x2n（n∈N*），记S n＝a0+a2+a4+…+a2n．（1）求S n；（2）记T n＝﹣S1∁n1+S2∁n2﹣S3∁n3+…+（﹣1）n S n∁n n，求证：|T n|≥6n3恒成立．【解答】解：（1）由题意，令x＝1，得a0+a1+a2+…+a2n＝＝0；令x＝﹣1，得a0﹣a1+a2﹣a3+…﹣a2n﹣1+a2n＝＝31+32+…+32n＝•（9n﹣1）．两式相加，得2（a0+a2+a4+…+a2n）＝•（9n﹣1），即2S n＝•（9n﹣1），∴S n＝（9n﹣1），n∈N*．（2）由题意，T n＝﹣S1∁n1+S2∁n2﹣S3∁n3+…+（﹣1）n S n∁n n＝{[﹣91+92﹣93+…+（﹣1）n9n]﹣[﹣+﹣+…+（﹣1）n]}＝{[90﹣91+92﹣93+…+（﹣1）n9n]﹣[﹣+﹣+…+（﹣1）n ]}＝[90﹣91+92﹣93+…+（﹣1）n9n]＝[（﹣9）0﹣（﹣9）1+（﹣9）2﹣（﹣9）3+…+（﹣9）n]＝（1﹣9）n＝•（﹣8）n．故|T n|＝|•（﹣8）n|＝•8n．要证|T n|≥6n3，即证×8n≥6n3，只需证明8n﹣1≥n3，即证2n﹣1≥n．当n＝1，2时，2n﹣1≥n显然成立．当n≥3时，2n﹣1＝++…+≥＝+＝1+（n﹣1）＝n，即2n﹣1≥n，所以2n﹣1≥n对n∈N*恒成立．综上，|T n|≥6n3恒成立．。

江苏省南京市盐城市2020届高三一模数学卷+附加题(空白卷)

江苏省南京市盐城市2020届高三一模数学卷+附加题(空白卷)

南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试数学2020.01.08注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题纸内．试题的答案写在答题．．纸．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 参考公式：柱体体积公式：V Sh =，椎体体积公式13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高.样本数据123,,,,n x x x x 的方差()2211n i i s x x n ==−∑，其中11n i i x x n ==∑.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1. 已知集合()0,A =+∞，全集U R =，则UA =___________.2. 设复数2z i =+，其中i 为虚数单位，则z z ⋅=___________.3. 学校准备从甲、乙、丙三位同学中随机选两位同学参加问卷调查，则甲被选中的概率为___________.4. 命题“,cos sin 1R θθθ∀∈+>”的否定是___________命题.（填“真”或“假”）5. 运行如图所示的伪代码，则输出的I 的值为___________.6. 已知样本7,8,9,,x y 的平均数是9，且110xy =，则此样本的方差是___________.7. 在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线24y x =上的点P 到其焦点的距离为3，则点P 到点O 的距离为___________.8. 若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，125ln ,ln ,ln a a a 成等差数列，则21a a 的值为___________.9. 在三棱柱111ABC A B C −中，点P 是棱1CC 上一点，记三棱柱111ABC A B C −与四棱锥11P ABB A −的体积分别为1V 与2V ，则21V V =___________. 10. 设函数()sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图像与y ，y 轴右侧第一个最低点的横坐标为6π，则ω的值为___________.Pr S I WhEn ←←11. 已知H 是ABC 的垂心（三角形三条高所在直线的交点），1142AH AB AC =+，则cos BAC ∠的值为___________.12. 若无穷数列{}cos()()n R ωω∈是等差数列，则其前10项的和为___________.13. 已知集合{}(,)16P x y x x y y =+=，集合{}12(,)Q x y kx b y kx b =+≤≤+，若P Q ⊆的最小值为___________.14. 若对任意实数(],1x ∈−∞，都有2121xe x ax ≤−+成立，则实数a 的值为___________.二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答题写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案填写在答题卡相应位置上． 15.（本小题满分14分）已知ABC ∆满足sin 2cos 6B B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，（1）若cos 3C =，3AC =，求AB （2）若0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()4cos 5B A −=，求sin A .16. （本小题满分14分）如图，长方体1111ABCD A B C D −，已知底面ABCD 是正方形，点P 是侧棱1CC 上的一点.（1）若1//AC 平面PBD ，求1PC PC的值； （2）求证：1BD A P ⊥.如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶，具体做法是从O 中裁剪出两块全等的圆形铁皮P 与Q 做圆柱的底面，裁剪出一个矩形ABCD 做圆柱的侧面（接缝忽略不计），AB 为圆柱的一条母线，点A B 、在O 上。

南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试数学试题(含附加题及答案)

南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试数学试题(含附加题及答案)

南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．(,0] 2．5 3．234．真 5．6 6．2 7．8．3 9．23 10．7 11．3 12．10 13．4 14．12-二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．解：（1）由sin()2cos 6B B π+=可知B B B cos 2cos 21sin 23=+， 移项可得3tan =B ，又),0(π∈B ，故3π=B ， ……………………………………………2分又由cos 3C =，),0(π∈C 可知33cos 1sin 2=-=C C ， ……………………………4分故在ABC ∆中，由正弦定理C c B b sin sin =可得 C ABAC sin 3sin =π，所以2=AB . ………………7分 （2）由（1）知3π=B ，所以0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，)3,0(3ππ∈-A ，由()4cos 5B A -=即54)3cos(=-A π可得53)3(cos 1)3sin(2=--=-A A ππ ， ……………10分∴1033453215423)3sin(3cos )3cos(3sin ))3(3sin(sin -=⋅-⋅=---=--=A A A A ππππππ.…14分16．（1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结OP ， 又因为1//AC 平面PBD ，⊂1AC 平面1ACC平面1ACC 平面OP BDP =，所以1//AC OP ……………3分 因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ， 所以点O 是AC 的中点，所以AO OC =，所以在1ACC ∆中，11PC AOPC OC==. ……………6分 （2）证明：连结11A C .因为1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以侧棱1C C 垂直于底面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥．…………………………………………………………………8分 因为底面ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥． ……………………………………………………10分 又1ACCC C =，AC ⊂面11ACC A ， 1CC ⊂面11ACC A ，所以BD ⊥面11ACC A . ……………………………………… …………………………………………12分 又因为1111,P CC CC ACC A ∈⊂面,所以11P ACC A ∈面，又因为111A ACC A ∈面，所以A 1P ⊂面ACC 1A 1,所以1BD A P ⊥． ………………………………………………14分17．解：（1）设P 半径为r ，则)2(4r AB -=，所以P 的周长2)2(41622r BC r --≤=π， ………………………………………………4分解得 4162+≤πr ，故P 半径的取值范围为]416,0(2+π. ……………………………………………6分（2）在（1）的条件下，油桶的体积)2(422r r AB r V -=⋅=ππ， ……………………………………8分设函数),2()(2x x x f -=]416,0(2+∈πx ，所以234)(x x x f -='，由于 344162<+π， 所以()0f x '>在定义域上恒成立， 故()f x 在定义域上单调递增，即当4162+=πr 时，体积取到最大值. ………………………………………………13分答：P 半径的取值范围为]416,0(2+π，当4162+=πr 时，体积取到最大值. ………………………14分18.解：（1）由当2PF x ⊥轴时01x =，可知1c =， …………………………………………………2分将01x =，0y e =代入椭圆方程得22211e a b+=（※），而1c e a a==，22221b a c a =-=-，代入（※）式得222111(1)a a a +=-， 解得22a =，故21b =，∴椭圆C 的方程为2212x y +=.…………………………………………………4分 （2）方法一：设11(,)A x y ，由11AF F P λ=得10101(1)x x y y λλ--=+⎧⎨-=⎩，故10101x x y y λλλ=---⎧⎨=-⎩， 代入椭圆的方程得2200(1)()12x y λλλ---+-=（＃）， ………………………………………………8分又由220012x y +=得220012x y =-，代入（＃）式得222001(1)2(1)22x x λλλ+++-=， 化简得203212(1)0x λλλλ+-++=，即0(1)(312)0x λλλ+-+=，显然10λ+≠，∴03120x λλ-+=，故0132x λ=+.……………………………………………………………………12分同理可得0132u x =-，故200011623232943x x x λμ+=+=≥+--， 当且仅当00x =时取等号，故λμ+的最小值为23. ………………………………………………16分方法二：由点A ，B 不重合可知直线PA 与x 轴不重合，故可设直线PA 的方程为1x my =-，联立22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去x 得22(2)210m y my +--=（☆），设11(,)A x y ，则1y 与0y 为方程（☆）的两个实根，由求根公式可得0,122m y m =+，故01212y y m -=+，则1201(2)y m y -=+，……………………8分将点00(,)P x y 代入椭圆的方程得220012x y +=， 代入直线PA 的方程得001x my =-，∴001x m y +=，由11AF F P λ=得10y y λ-=，故10y y λ=-2222000111(2)[()2]x m y y y ==+++ 2222000001111(1)232(1)2(1)2x y x x x ===+++++-.…………………………………………………12分同理可得0132u x =-，故200011623232943x x x λμ+=+=≥+--， 当且仅当00x =时取等号，故λμ+的最小值为23. ………………………………………………16分注：（1）也可设,sin )P θθ得λ=，其余同理.（2）也可由116λμ+=运用基本不等式求解λμ+的最小值.19．解：（1）∵24b =，且数列{}n b 是“()M q 数列”， ∴322174141b b q b b --===--，∴111n n n n b bb b +--=-，∴11n n n n b b b b +--=-，………………………………2分故数列{}n b 是等差数列，公差为213b b -=，故通项公式为1(1)3n b n =+-⨯，即32n b n =-. ………………………………………………4分（2）由1122n n b S n λ+=-+得232b λ=+，3437b λ=+=，故1λ=. 方法一：由11212n n b S n +=-+得2112(1)12n n b S n ++=-++，两式作差得211122n n n b b b +++-=-，即21132n n b b ++=-，又252b =，∴21132b b =-，∴1132n n b b +=-对n N *∈恒成立，……………………6分则1113()44n n b b +-=-，而113044b -=≠，∴104n b -≠，∴114314n n b b +-=-， ∴1{}4n b -是等比数列， ………………………………………………………………………………8分∴1111(1)33444n n n b --=-⨯=⨯，∴11344n n b =⨯+，∴2121111111(3)(3)444431111(3)(3)4444n n n n n n n nb b b b ++++++⨯+-⨯+-==-⨯+-⨯+， ∴{}1n n b b +-是公比为3的等比数列，故数列{}n b 是“()M q 数列”.………………………………10分方法二：同方法一得1132n n b b +=-对n N *∈恒成立， 则21132n n b b ++=-，两式作差得2113()n n n n b b b b +++-=-，而21302b b -=≠，∴10n n b b +-≠，∴2113n n n nb b b b +++-=-，以下同方法一. ……………………………………10分（3）由数列{}n b 是“()2M 数列”得1121()2n n n b b b b -+-=-⨯，又32212b b b b -=-，∴22721b b -=-，∴23b =，∴212b b -=，∴12n n n b b +-=，∴当2n ≥时，112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+12222121n n n --=++++=-，当1n =时上式也成立，故21nn b =-， ……………………………………12分假设存在正整数,m n 使得4039404020192019m n b b <<，则40392140402019212019m n -<<-， 由2140391212019m n->>-可知2121m n ->-，∴m n >，又,m n 为正整数，∴1m n -≥，又212(21)2121404022121212019m m n n m n m n m nn nn ------+--==+<---， ∴4040232019m n-<<，∴1m n -=，∴21122121m n n -=+--，∴40391404022019212019n <+<-， ∴2020222021<<n ，∴10n =，∴11m =，故存在满足条件的正整数,m n ，11m =，10n =. ……………………………………16分20．解：（1）由函数)(x f 为奇函数，得0)()(=-+x f x f 在定义域上恒成立，所以 0=+-+----mx ae e mx ae e x x x x ，化简可得 0)()1(=+⋅--x x e e a ，所以1=a . ………………………………………………3分 （2）法一：由（1）可得mx e e x f x x --=-)(，所以xx x xxeme e m e e x f 1)(2+-=-+='-， 其中当2≤m 时，由于012≥+-x x me e 恒成立，即0)(≥'x f 恒成立，故不存在极小值. ………………………………………………5分 当2>m 时，方程012=+-mt t 有两个不等的正根)(,2121t t t t <， 故可知函数mx e e x f x x --=-)(在),(ln ),ln ,(21+∞-∞t t 上单调递增， 在)ln ,(ln 21t t 上单调递减，即在2ln t 处取到极小值，所以，m 的取值范围是),2(+∞. ………………………………………………9分法二：由（1）可得mx e e x f x x --=-)(， 令m ee xf xg xx-+='=-)()(，则xx xxee e e x g 1)(2-=-='-， 故当0≥x 时，0)(≥'x g ；当0<x 时，0)(<'x g ， …………………………………………5分 故)(x g 在)0,(-∞上递减，在),0(+∞上递增， ∴m g x g -==2)0()(min ，若02≥-m ，则0)(≥x g 恒成立，)(x f 单调递增，无极值点；所以02)0(<-=m g ，解得2>m ，取m t ln =，则01)(>=mt g ， 又函数)(x g 的图象在区间],0[t 上连续不间断，故由函数零点存在性定理知在区间),0(t 上，存在0x 为函数)(x g 的零点，)(0x f 为)(x f 极小值.所以，m 的取值范围是),2(+∞. ………………………………………………9分 （3）由0x 满足m e e x x =+-00， 代入mx e e x f x x --=-)(，消去m 可得00)1()1()(000x x e x e x x f -+--=， ……………………………………11分构造函数x x e x e x x h -+--=)1()1()(， 所以)()(x x e e x x h -='-，当0≥x 时，012≤-=--x xxx e e e e ， 所以当0≥x 时，0)(≤'x h 恒成立，故h (x )在[0，+∞)上为单调减函数，其中eh 2)1(-=， ……13分 则02()f x e≥-可转化为0()(1)h x h ≥， 故10≤x ，由m e e x x =+-00，设x x e e y -+=， 可得当0≥x 时，0≥-='-x x e e y ，x x e e y -+=在]1,0(上递增，故ee m 1+≤， 综上，m 的取值范围是]1,2(ee + . ………………………………………………16分 附加题答案21.（A ）解：设圆C 上一点(,)x y ，经矩阵M 变换后得到圆C '上一点(,)x y ''，所以332a x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以332ax y x x y y '+=⎧⎨'-=⎩，………………………………………………………5分 又圆22:13C x y '+=，所以圆C 的方程为22(3)(32)13ax y x y ++-=，化简得222(9)(612)1313a x a xy y ++-+=，所以29136120a a ⎧+=⎨-=⎩，解得2a =. ………………………………………………………10分21.（B ）解：以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴（单位长度相同）建立平面直角坐标系，由直线cos 2sin m ρθρθ+=，可得直角坐标方程为20x y m +-=，又曲线4sin ρθ=，所以24sin ρρθ=，其直角坐标方程为22(2)4x y +-=， ………………5分 所以曲线4sin ρθ=是以(0,2)为圆心，2为半径的圆，为使直线被曲线（圆）截得的弦AB 最长，所以直线过圆心(0,2)，于是0220m +⋅-=，解得4m =. ……………………………………………………10分21.（C ）解：因1231a b c ++=，所以149123a b c++=， 由柯西不等式得214923(23)()(123)23a b c a b c a b c++=++++≥++， 即2336a b c ++≥， …………………………………………………………………………………5分 当且仅当1492323a b c a b c==，即a b c ==时取等号，解得6a b c ===， 所以当且仅当6a b c ===时，23a b c ++取最小值36. ……………………………………10分22．解：（1）以CD ，AB ，1OO 所在直线建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，由2CD =，13AA =，所以(0,1,0)A -，(0,1,0)B ，(1,0,0)C -，(1,0,0)D ，1(0,1,3)A -，1(0,1,3)B ，从而1(1,1,3)AC =--，1(1,1,3)B D =--，所以117cos ,11A CB D <>==， 所以异面直线1AC 与1BD 所成角的余弦值为711. …………………………………………4分 （2）设10AA m =>，则1(0,1,)A m -，1(0,1,)B m ，所以1(1,1,)A C m =--，1(1,1,)B D m =--，(2,0,0)CD =，设平面1A CD 的一个法向量1111(,,)n x y z =，所以1111111200n CD x n ACx y mz ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩， 所以10x =，令11z =，则1y m =，所以平面1A CD 的一个法向量1(0,,1)n m =，同理可得平面1B CD 的一个法向量2(0,,1)n m =-，因为二面角11A CD B --的大小为3π，所以121cos ,2n n <>==， 解得m =3m =， 由图形可知当二面角11A CD B --的大小为3π时, m =…………………………………10分注：用传统方法也可，请参照评分.23．解：（1）令1=x 得01220n a a a a ++++=， 令1-=x 得12201232123333(91)2n n n n a a a a a a --+-+-+=+++=-， 两式相加得024232()(91)2n n a a a a ++++=-，∴3(91)4n n S =-.…………………………………3分 （2）123123(1)n n n n n n n n T S C S C S C S C =-+-++- {}1122331233[999(1)9][(1)]4n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C =-+-++---+-++- {}0011223301233[9999(1)9][(1)]4n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C =-+-++---+-++- 001122333[9999(1)9]4n n n n n n n n C C C C C =-+-++- 0011223[(9)(9)(9)(9)]4n n n n n n C C C C =-+-+-++- 33[1(9)](8)44n n =+-=⨯-…………………………………………………………………………………7分 要证3||6n T n ≥，即证384n ⨯36n ≥，只需证明138n n -≥，即证12n n -≥， 当1,2n =时，12n n -≥显然成立； 当3n ≥时，1011011111121(1)n n n n n n n C C C C C n n -------=+++≥+=+-=，即12n n -≥， ∴12n n -≥对*n N ∈恒成立.综上，3||6n T n ≥恒成立.……………………………………………………………………………………10分注：用数学归纳法或数列的单调性也可证明12n n -≥恒成立，请参照评分.。

2020届江苏省盐城市、南京市高三第一次模拟数学试题(解析版)

2020届江苏省盐城市、南京市高三第一次模拟数学试题(解析版)

2020届江苏省盐城市、南京市高三第一次模拟数学试题一、填空题1．已知集合(0,)A =+∞，全集U =R ，则U A =ð________. 【答案】(,0]-∞【解析】直接根据补集运算得到答案. 【详解】因为(0,)A =+∞，所以(,0]U A =-∞ð. 故答案为：(,0]-∞. 【点睛】本题考查了补集的计算，属于简单题.2．设复数2z i =+，其中i 为虚数单位，则z z ⋅=_________. 【答案】5【解析】计算得到2z i =-，再计算z z ⋅得到答案. 【详解】2z i =-，所以5z z ⋅=.故答案为：5. 【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.3．学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为________. 【答案】23【解析】计算基本事件数为233C =，包含甲的基本事件数为122C =，得到答案. 【详解】所有基本事件数为233C =，包含甲的基本事件数为122C =，所以概率为23. 故答案为：23. 【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力.4．命题“,cos sin 1R θθθ∀∈+>”的否定是_________命题.（填“真”或“假”）【答案】真【解析】判断原命题为假命题得到答案. 【详解】θπ=-时，cos sin 10θθ+=-<，所以原命题为假命题，故其否定为真命题.故答案为：真. 【点睛】本题考查了命题的否定的真假判断，转化为原命题的真假判断是解题的关键. 5．运行如图所示的伪代码，则输出的I 的值为_______.【答案】6【解析】根据伪代码依次计算得到答案. 【详解】第一遍循环0,1S I ==，第二轮循环1,2S I ==， 第三轮循环3,3S I ==，第四轮循环6,4S I ==， 第五轮循环10,5S I ==，第六轮循环15,6S I ==， 所以输出的6I =. 故答案为：6. 【点睛】本题考查了伪代码的计算，意在考查学生的理解能力和计算能力.6．已知样本7，8，9，,x y 的平均数是9，且110xy =，则此样本的方差是______. 【答案】2【解析】根据题意可得21x y +=，解得10,11x y ==，再计算方差得到答案. 【详解】依题可得：78995x y++++=，则21x y +=，不妨设x y <，解得10,11x y ==，所以方差22222210(1)(2)25+++-+-=.故答案为：2. 【点睛】本题考查了平均值和方差的计算，意在考查学生的计算能力.7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24y x =上的点P 到其焦点的距离为3，则点P 到点O 的距离为______.【答案】【解析】计算得到(2,P ±，再利用两点间距离公式计算得到答案. 【详解】拋物线的准线为1x =-，所以P 横坐标为2，代入抛物线方程可得(2,P ±，所以OP =故答案为：【点睛】本题考查了抛物线相关的距离的计算，意在考查学生的计算能力.8．若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，1ln a 、2ln a 、5ln a 成等差数列，则21a a 的值为______. 【答案】3【解析】根据题意得到2125a a a =，化简得到12d a =，计算得到答案.【详解】依题可得152ln ln 2ln a a a +=，即2125a a a =，设数列公差为d ，可得()()21114a a d a d +=+，解得12d a =，所以213a a =，213a a =. 故答案为：3. 【点睛】本题考查了等差数列的计算，意在考查学生的计算能力.9．在三棱柱111ABC A B C -中，点P 是棱1CC 上一点，记三棱柱111ABC A B C -与四棱锥11P ABB A -的体积分别为1V 与2V ，则21V V =________. 【答案】23【解析】计算得到11121123C ABB A C AB C V V V V V --==-=，得到答案. 【详解】11121123C ABB A C AB C V V V V V --==-=，所以2123V V =.故答案为：23. 【点睛】本题考查了三棱柱，四棱锥的体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 10．设函数()sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的图象与y轴交点的纵坐标为y轴右侧第一个最低点的横坐标为6π，则ω的值为_______.【答案】7【解析】根据题意计算得到3πϕ=，再根据最低点得到3632πππω+=，计算得到答案. 【详解】依题可得sin ϕ=，即3πϕ=，又因为sin 163ππω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，且为第一个最低点，所以3632πππω+=，解得7ω=. 故答案为：7. 【点睛】本题考查了三角函数的图像与性质，意在考查学生的综合应用能力.11．已知H 是ABC V 的垂心（三角形三条高所在直线的交点），1142AH AB AC =+u u u r u u u r u u u r，则cos BAC ∠的值为_______.【答案】3【解析】根据垂心得到0BH AC ⋅=u u u r u u u r，得到213cos 024b bc A -=，即2cos 3bA c=，cos 2cA b=，计算得到答案.【详解】因为H 是ABC V 的垂心，所以0BH AC ⋅=u u u r u u u r，因为1324BH AH AB AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，且0BH AC ⋅=u u u r u u u r ，所以213cos 024b bc A -=，所以2cos 3b A c =，同理211cos 042c bc A -=，即cos 2c A b=，所以b =，所以cos A =故答案为：3. 【点睛】本题考查了三角形的垂心，向量的运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 12．若无穷数列{cos()}()n R ωω∈是等差数列，则其前10项的和为________. 【答案】10【解析】讨论0d >和0d <均不成立，故0d =，得到前10项的和. 【详解】若等差数列公差为d ，则cos (1)n a d n ω=+-，若0d >，则当1cos 1n dω->+时，cos()1n ω>， 若0d <，则当1cos 1n dω-->+时，cos()1n ω<-，均不符， 所以0d =，取前两项知：cos2cos ωω=，解得cos 1ω=或1cos 2ω=-（验证不成立），所以前10项和为10. 故答案为：10. 【点睛】本题考查了等差数列求和，确定0d =是解题的关键.13．已知集合{(,)|||||16}P x y x x y y =+=，集合{}12(,)|Q x y kx b y kx b =+≤≤+，若P Q ⊆的最小值为___________.【答案】4【解析】画出函数图像，根据渐近线得到1k =-，10b =，2y kx b =+与圆相切时最小，得到答案. 【详解】画出集合P 的图象如图所示：第一象限为四分之一圆，第二象限，第四象限均为双曲线的一部分，且渐近线均为y x =-，所以1k =-，所求式为两直线之间的距离的最小值，所以10b =，2y kx b =+与圆相切时最小， 此时两直线间距离为圆半径4，所以最小值为4. 故答案为：4.【点睛】本题考查了根据集合的包含关系求参数，画出图像是解题的关键.14．若对任意实数(,1]x ∈-∞，都有2121xe x ax ≤-+成立，则实数a 的值为________. 【答案】12-【解析】设2()21xe f x x ax =-+，先计算11a -<<，再讨论210a +<，210a +>，210a +=三种情况计算得到答案.【详解】设2()21xe f x x ax =-+，若221x ax -+判别式2440a -≥，则2210x ax -+=有解，设一解为1x ， 则1x x →时|()|f x →+∞，不满足|()|1f x ≤恒成立， 则11a -<<，此时2210x ax -+>， 因为()()22222(22)12(1)(21)()2121x x e x a x a e x x a f x xax xax ⎡⎤-+++---⎣⎦'==-+-+，①210a +<即12a <-时，函数()f x 在(21,1)a +单调递减，(0)1f =，则(21)1f a +>，即|(21)|1f a +>，不满足题意；②210a +>即12a >-时，记1,21a +较小值为0x ，则()f x 在()0,x -∞单调递增， 由(0)1f =可得()0(0)1f x f >=，即()01f x >，不满足题意； ③210a +=即12a =-时，()f x 在(,0)-∞，(0,1)递减， 则()(0)1f x f ≤=，2()01xe f x x x =>++，则|()|1f x ≤成立，综上12a =-.故答案为：12-. 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握.二、解答题15．已知ABC V 满足sin 2cos 6B B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）若cos 33C AC ==，求AB ； （2）若0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且4cos()5B A -=，求sin A .【答案】（1）2AB =；（2【解析】（1）化简得到tan B =3B π=，再利用正弦定理计算得到答案.（2）令3A πα-=，计算4cos 5α=，在利用和差公式计算得到答案. 【详解】（1）1sin cos 2cos 62B B B B π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，所以sin B B =，得tan B =B 为三角形内角，所以3B π=，由cos C =，得sin 3C =， 由正弦定理得：sin sin AC AB B C=，解得2AB =；（2）3B π=，及4cos 35A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，令3A πα-=，则4,cos 35A παα-==，因为0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0,33A ππα⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，所以3sin 5α=， 31433sin sin cos sin 32A πααα-⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了正弦定理，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 16．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，已知底面ABCD 是正方形，点P 是侧棱1CC 上的一点.（1）若1//AC 平面PBD ，求1PC PC的值； （2）求证：1BD A P ⊥.【答案】（1）1；（2）见解析；【解析】（1）连结AC 交BD 与点O ，连结PO ，得到1//AC PO ，PO 为中位线，得到答案.（2）1DB AA ⊥，DB AC ⊥，得到BD ⊥平面11A ACC ，得到证明. 【详解】（1）连结AC 交BD 与点O ，连结PO ，因为1//AC 平面PBD ，且1AC ⊂平面1AC C 平面PBD I 平面1AC C PO =，由线面平行的性质定理得：1//AC PO ， 在1AC C △中，由于O 为AC 中点，所以PO 为中位线，则11PC PC=； （2）因为ABCD 为正方形，所以DB AC ⊥，又因为1111ABCD A B C D -为长方体，所以1AA ⊥平面ABCD ，所以1DB AA ⊥，又因为1AA AC A =I ，且1,AA AC ⊂平面11A ACC ， 所以BD ⊥平面11A ACC ，因为1A P ⊂平面11A ACC ，所以1BD A P ⊥.【点睛】本题考查了根据线面平行求线段比，线线垂直，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.17．如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶.具体做法是从O e 中剪裁出两块全等的圆形铁皮P e 与Q e 做圆柱的底面，剪裁出一个矩形ABCD 做圆柱的侧面（接缝忽略不计），AB 为圆柱的一条母线，点,A B 在O e 上，点,P Q 在O e 的一条直径上，//AB PQ ，,P Q e e 分别与直线BC 、AD 相切，都与O e 内切.（1）求圆形铁皮P e 半径的取值范围；（2）请确定圆形铁皮P e 与Q e 半径的值，使得油桶的体积最大.（不取近似值） 【答案】（1）2160,4π⎛⎤ ⎥+⎝⎦；（2）2164r π=+ 【解析】（1）记P e 与BC 切于点M ，记P e ，Q e 的半径为r ，根据2BC BM ≤得到224r r r π≤-.（2）()223(84)42V r r r r ππ=-=-，设23216()2,0,4f r r r r π⎛⎤=-∈ ⎥+⎝⎦，求导得到单调性得到最值. 【详解】（1）记P e 与BC 切于点M ，记P e ，Q e 的半径为r ， 则84,42AB r OM r =-=-，224BM r r =-， 要想围成圆柱，则2BC BM ≤，即2244r r r π≤-， 解得2164r π≤+，即P e 半径的取值范围为2160,4π⎛⎤ ⎥+⎝⎦.（2）()223(84)42V r r r r ππ=-=-，记23216()2,0,4f r r r r π⎛⎤=-∈ ⎥+⎝⎦，2()43f r r r '=-，令()0f r '=，得1240,3r r ==， 所以当40,3r ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f r '>，()f r 递增，()()()2222248416164480343434πππππ-+--==>+++， 所以在定义域上，体积随着r 的增大而增大，所以2164r π=+时，体积最大.【点睛】本题考查了圆和圆的位置关系，圆柱体积的最值，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.18．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率是e ，动点()00,P x y 在椭圆C 上运动，当2PF x ⊥轴时，001,x y e ==.（1）求椭圆C 的方程；（2）延长12,PF PF 分别交椭圆于点,A B （,A B 不重合）.设1122,AF F P BF F Pλμ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，求λμ+的最小值.【答案】（1）2212x y +=；（2）23【解析】（1）根据题意直接计算得到1b =，2222a b c =+=，得到椭圆方程. （2）不妨设(,)P m n ，且0n >，设()()1122,,,A x y B x y ，代入 数据化简得到[(32)1](1)0m λλ+-+=，故2116323294m m m λμ+=+=+--，得到答案.【详解】（1）c e a =，所以1,,1c P c a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，222211c a a b+=，化简得2222211b c a b b +==， 所以1b =，2222a b c =+=，所以方程为2212x y +=；（2）由题意得，P 不在x 轴上，不妨设(,)P m n ，且0n >，设()()1122,,,A x y B x y ，所以由11AF F P λ=u u u r u u u r，得()111,(1,)x y m n λ---=+，所以111,x m y n λλλ-=++-=，由221112x y +=，得22(1)()12m n λλλ+++=，代入2212m n +=， 化简得：[(32)1](1)0m λλ+-+=，由于10λ+≠，所以132m λ=+，同理可得132mμ=-，所以2116323294m m m λμ+=+=+--，所以当0m =时，λμ+最小为23【点睛】本题考查了椭圆方程，椭圆中的向量运算和最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.19．定义：若无穷数列{}n a 满足{}1n n a a +-是公比为q 的等比数列，则称数列{}n a 为“()M q 数列”.设数列{}n b 中131,7b b ==（1）若24b =，且数列{}n b 是“()M q 数列”，求数列{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且1122n n b S n λ+=-+，请判断数列{}n b 是否为“()M q 数列”，并说明理由；（3）若数列{}n b 是“(2)M 数列”，是否存在正整数,m n ，使得4039404020192019m n b b <<？若存在，请求出所有满足条件的正整数,m n ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）32n b n =-；（2）是“()M q 数列”，证明见解析；（3）存在，11,10m n ==； 【解析】（1）计算21323,3b b b b -=-=，故{}1n n b b +-是公比为1的等比数列，计算得到答案.（2）{}n b 是“()M q ”数列，化简得到1122n n n b b b +-=-，即()2113n n n n b b b b +++-=-，得到证明.（3）{}1n n b b +-是公比为2的等比数列，12n n n b b +-=，利用累加法得到21nn b =-，得到1m n =+，计算得到答案. 【详解】（1）由题意可得21323,3b b b b -=-=，由数列{}n b 为“()M q 数列”可得()3221b b q b b -=-，即1q =，则{}1n n b b +-是公比为1的等比数列，即21*13,n n b b b b n N +-=-=∈，则{}n b 是首项为1，公差为3的等差数列，32n b n =-； （2）{}n b 是“()M q ”数列，，理由如下：2n ≥时，由1122n n b S n λ+=-+，可得112(1)2n n b S n λ-=--+， 两式作差可得1122n n n b b b +-=-即113,22n n b b n +-=-≥，则21132n n b b ++-=-，两式作差可得21133n n n n b b b b +++-=-，即()2113,2n n n n b b b b n +++-=-≥，由32313,72b b b -=-=，可得252b =，则()3221933322b b b b -==⨯=-， 则()2113n n n n b b b b +++-=-对任意*n N ∈成立，则{}1n n b b +-为首项是32，公比为3的等比软列，则{}n b 为()M q 数列；（3）由{}n b 是(2)M 数列，可得{}1n n b b +-是公比为2的等比数列，即()11212n n n b b b b -+-=-，则()32212b b b b -=-，由131,7b b ==，可得23b=，则12n n n b b +-=，则()()()2112132122222n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-=+++=-L L ，则21nn b =-，若正整数,m n 满足4039404020192019m n b b <<，则40392140402019212019m n -<<-， 由210,210n m ->->，则2121m n ->-，则m n >，若2m n ≥+，则22121344212121m n n n n +--≥=+>---，不满足40392140402019212019m n -<<-， 若1m n =+，则140392140402019212019n n +-<<-，则403914040222019212019n -<<--，即1122019212019n <<-， 则2021220202n <<，则正整数10n =，则11m =； 因此存在满足条件的,,11,10m n m n ==. 【点睛】本题考查了数列的新定义，累加法求通项公式，解数列不等式，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用和理解能力.20．若函数()()x xf x e ae mx m R -=--∈为奇函数，且0x x =时()f x 有极小值()0f x .（1）求实数a 的值； （2）求实数m 的取值范围； （3）若()02f x e≥-恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）1；（2）(2,)+∞；（3）12,e e⎛⎤+ ⎥⎝⎦【解析】（1）计算(0)0f =，根据奇函数得到()()x xf x e e mx f x --=-+=-解得答案.（2）()x xf x e e m -'=+-，讨论2m ≤和2m >两种情况，得到函数的单调区间和极值，计算得到答案. （3）根据题意000,0xx e em x -+=>，令()(1)(1)x xp x x e x e -=--+，求导得到0x >时()p x 单调递减，令0x t e =，则(1,]t e ∈，1m t t=+，得到答案.【详解】（1）由函数()f x 为奇函数可得(0)(0)f f =-，则(0)0f =，100a m --⨯=，则1a =，此时()x xf x e emx -=--，对任意x ∈R ，()()x x f x e e mx f x --=-+=-，满足()f x 为奇函数，1a =；（2）()x xf x e e m -'=+-，①2m ≤时，由0x e >，可得2x x e e -+≥=，则()0f x '≥，仅当0x =时可能为0，则()f x 在R 上单调递增，无极小值；②2m >时，240m ->，令()0f x '=，可得()210xx e me -+=，则xe =，0=>0>，即1ln 2m x -=，2ln 2m x +=，则()0f x '=的解为1212,,x x x x <，()f x 单调性如下表：则()f x 在2x x =处取得极小值，即02x x =，满足题意； 综上，m 的取值范围是(2,)+∞；（3）根据第二问可得00020,ln 02x x e e m x -++==>=，则()()()()00000000000011xx x x x x x f x e emx e x e e x e x e ---=--=-+=--+，令()(1)(1)x x p x x e x e -=--+，()2()1x xx x p x xe xe xe e --'=-+=-，则0x >时()0,()p x p x '<单调递减， 由2(1)p e =-，()02p x e≥-，00x >，可得0(0,1]x ∈， 令0x t e =，则(1,]t e ∈，1m t t =+在(1,]e 单调递增，则m 的取值范围是12,e e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了根据奇偶性求参数，根据极值求参数，不等式恒成立问题，将恒成立问题转化为最值问题是解题的关键.21．已知圆C 经矩阵332a M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦变换后得到圆22:13C x y '+=，求实数a 的值.【答案】2a =【解析】设圆C 上任一点(,)x y ，经M 变换后得到(),x y ''，则332x ax yy x y =+⎧⎨=-''⎩，代入计算得到答案. 【详解】设圆C 上任一点(,)x y ，经M 变换后得到(),x y ''，则332x a x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 则332x ax y y x y=+⎧⎨=-''⎩，由(),x y ''在22:13C x y '+=上， 可得22(3)(32)13ax y x y ++-=，即()22292(36)1313a x a xy y ++-+=，由方程表示圆，可得2913a +=，2(36)0a -=，则2a =. 【点睛】本题考查了圆的矩阵变换，意在考查学生的应用能力.22．在极坐标系中，直线cos 2sin m ρθρθ+=被曲线4sin ρθ=截得的弦为AB ，当AB 是最长弦时，求实数m 的值. 【答案】4【解析】直线和曲线的直角坐标方程分别为：222,40x y m x y y +=+-=，当AB 是最长弦时，直线经过圆心(0,2)，得到答案. 【详解】以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，则直线和曲线的直角坐标方程分别为：222,40x y m x y y +=+-=， 即曲线为圆，圆心(0,2)，AB 是最长弦时，直线经过圆心(0,2)，则4m =.【点睛】本题考查了极坐标和直角坐标的转化，直线和圆的位置关系，意在考查学生的转化能力. 23．已知正实数,,a b c 满足1231a b c++=，求23a b c ++的最小值. 【答案】36【解析】变换12323(23)a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭，再利用柯西不等式得到答案.【详解】由,,0a b c >，由柯西不等式可得：212312323(23)2336a b c a b c a b c a b c a b c ⎛⎫⎛⎫++=++++≥⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当222a b c ==即6a b c ===时等号成立. 【点睛】本题考查了利用柯西不等式求最值，变换12323(23)a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭是解题的关键.24．如图，11,AA BB 是圆柱的两条母线，11,A B AB 分别经过上下底面的圆心1,,O O CD 是下底面与AB 垂直的直径，2CD =.（1）若13AA =，求异面直线1A C 与1B D 所成角的余弦值；（2）若二面角11A CD B --的大小为3π，求母线1AA 的长. 【答案】（1）711；（2）3 【解析】（1）以O 为原点，射线1,,OD OB OO 方向为x 轴、y 轴，z 轴正方向建系，1(1,1,3)AC =--u u u r ，1(1,1,3)B D =--u u u u r ，计算夹角得到答案. （2）设1AA h =，11AOB ∠即为二面角11A CD B --的平面角，利用夹角公式计算到答案. 【详解】（1）以O 为原点，射线1,,OD OB OO 方向为x 轴、y 轴，z 轴正方向建系， 由2CD =，13AA =，则11(1,0,0),(1,0,0),(0,1,3),(0,1,3)D C A B --，则11(1,1,3),(1,1,3)AC B D =--=--u u u r u u u u r ， 设1A C 与1B D 所成角为θ，则117cos |cos ,|11AC B D θ=〈〉=u u u r u u u u r ； （2）设1AA h =，同第一问建系，则11(0,1,),(1,0,0),(1,0,0),(0,1,)A h D C B h --，则11(2,0,0),0CD CD OA CD OB =⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则11,CD OA CD OB ⊥⊥， 平面1ACD ⋂平面1B CD CD =，1OA Ì平面1A CD ，1OB ⊂平面1B CD ， 则11AOB ∠即为二面角11ACD B --的平面角， 则113AOB π∠=，则111112||||OA OB OA OB ⋅=u u u r u u u ru u u r u u u r ，则221112h h -=+，则3h =， 则母线1AA 长为3.【点睛】本题考查了异面直线夹角，根据二面角求长度，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 25．设()222*01221(12)nin n i x a a x a x a x n N =-=++++∈∑L ，记0242n n S a a a a =++++L .（1）求n S ；（2）记123123(1)n nn n n n n n T S C S C S C S C =-+-++-L ，求证：36n T n ≥恒成立.【答案】（1）21334n n S +-=；（2）见解析【解析】（1）分别取1x =和1x =-代入计算得到两式，相加得到答案.（2）计算得到384nn T =⨯，36n n n c T =，计算得到1n n c c +≤，故11n c c ≤=，计算得到答案. 【详解】（1）令1x =可得201221(1)0nin i a a a a =++++=-=∑L ，令1x =-可得()2212201232131333(1)3132n n nni n i a a a a a +=---+-++-===-∑L ，两式相加可得213322n n S +-=，则21334n n S +-=（2）()2113(1)(1)314nnkk kk kn knn k k T S CC ===-=--∑∑ 11333(9)(1)(19)(11)(8)444n nk k k k n n nn n k k C C ==⎡⎤⎡⎤=---=---=⨯-⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑， 则384nn T =⨯，令36n n n c T =，则33168n n n n n c T -==，333211(1)7331888n n n n nn n n n n c c +-+-+++-=-=， ()()()3232337331331n n n n n n n n -+++=------ ()()2233(1)311n n n n n =------*n N ∈时，2310,10,10n n n -≥-≥-≥，则3273310n n n -+++≤即1n n c c +≤，则*n N ∈时11n c c ≤=，即361nnT ≤，则36n T n ≥. 【点睛】本题考查了数列的通项公式，数列不等式恒成立问题，确定数列36n nn c T =的单调性是解题的关键.。

2020年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷(理科)

2020年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷(理科)

2020年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上．1．已知集合A ＝（0，+∞），全集U ＝R ，则∁U A ＝ ． 【点睛】直接取补集即可． 【答案】（﹣∞，0]【解答】因为A ＝（0，+∞），U ＝R ，所以∁U A ＝（﹣∞，0]．故答案为（﹣∞，0]． 【点评】本题考查补集的运算，是基础题．2．设复数z ＝2+i ，其中i 为虚数单位，则z •z = ． 【点睛】先求z =2−i ,再求z •z ． 【答案】5【解答】因为z ＝2+i ，所以z =2−i ，所以z ⋅z =4−i 2=4+1=5．故答案为5． 【点评】本题考查复数的概念与运算，是基础题．3．学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为 ．【点睛】分别求出所有基本事件总数、所求事件中基本事件个数，问题即可解决． 【答案】23【解答】由题意得：基本事件有N =C 32=3个，甲被选中所包含的基本事件有n =C 11C 21=2个，则所求概率P =n N =23．故答案为：23． 【点评】本题考查古典概型，可以用枚举法，也可以用排列组合来解决，是基础题． 4．命题“∀θ∈R ，cosθ+sinθ＞1”的否定是 命题．（填“真”或“假”） 【点睛】全称命题的否定为特称命题． 【答案】真【解答】由题意得该命题的否定为“∃θ0∈R ，cosθ0+sinθ0≤1”；因为cosθ+sinθ=√2cos (θ+δ)∈[−√2,√2],所以命题“∀θ∈R ，cosθ+sinθ＞1”的否定是真命题， 故答案为真．【点评】本题考查含有量词的命题的否定，辅助角公式，是基础题． 5．运行如图所示的伪代码，则输出的I 的值为 ．【点睛】每次循环得S 、I 的值，当S ＝15时，不满足S ≤10跳出循环，得I 的值为6． 【答案】6【解答】循环开始之前：S ＝0，I ＝0； 满足S ≤10，第1次循环后：S ＝0，I ＝1； 满足S ≤10，第2次循环后：S ＝1，I ＝2； 满足S ≤10，第3次循环后：S ＝3，I ＝3； 满足S ≤10，第4次循环后：S ＝6，I ＝4； 满足S ≤10，第5次循环后：S ＝10，I ＝5； 满足S ≤10，第6次循环后：S ＝15，I ＝6；此时不满足S ≤10，结束循环，输出的I 的值为6．故答案为6．【点评】本题考查循环结构的伪代码，看懂伪代码是解题的关键，是基础题． 6．已知样本7，8，9，x ，y 的平均数是9，且xy ＝110，则此样本的方差是 ． 【点睛】求出x 、y 的值，便能求出样本方差． 【答案】2【解答】由题意得{xy =1107+8+9+x+y5=9，解得{x =10y =11或{x =11y =10；由方差公式得S 2=15[（7﹣9）2+（8﹣9）2+（9﹣9）2+（10﹣9）2+（11﹣9）2]＝2．故答案为2．【点评】本题考查平均数与方差，是基础题．7．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y 2＝4x 上的点P 到其焦点的距离为3，则点P 到点O 的距离为 ．【点睛】由抛物线定义将已知条件转化，求出P 点，即可求出PO ． 【答案】2√3【解答】抛物线y 2＝4x ＝2px ，所以p ＝2，其准线方程为x ＝﹣1；因为抛物线y 2＝4x 上的点P 到其焦点的距离为3，由抛物线的定义得P 到准线x ＝﹣1的距离为3，所以x p ＝2,点P 在抛物线，所以P （2，±2√2），所以PO =√22+(±2√2)2=2√3.即点P 到点O 的距离为2√3.故答案为2√3．【点评】本题考查抛物线的定义、两点间的距离公式，是基础题． 8．若数列{a n }是公差不为0的等差数列，lna 1、lna 2、lna 5成等差数列，则a 2a 1的值为 ．【点睛】由已知推出d ＝2a 1，可得a 2a 1．【答案】3【解答】因为lna 1、lna 2、lna 5成等差数列，所以2lna 2= lna 1+lna 5；又因为{a n }是公差不为0的等差数列，所以2ln （a 1+d ）＝lna 1+ln （a 1+4d ），所以(a 1+d)2=a 1（a 1+4d ），化简得d ＝2a 1；所以a 2a 1=a 1+d a 1=3．故答案为3．【点评】本题考查对数运算、等差数列，是基础题．9．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，点P 是棱CC 1上一点，记三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1与四棱锥P ﹣ABB 1A 1的体积分别为V 1与V 2，则V 2V 1= ．【点睛】将三棱柱、四棱锥的体积表示出来，即可求出V 2V 1． 【答案】23【解答】令AB ＝a ，△ABC 中AB 上的高为b ，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的高为h ，由题意得V 2=13×aℎ⋅b =13abℎ，V 1=12abℎ=12abℎ，所以V 2V 1=13abℎ12abℎ=23．故答案为23．【点评】本题考查空间几何体的体积，考查空间想象能力，是中档题． 10．设函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜π2）的图象与y 轴交点的纵坐标为√32，y 轴右侧第一个最低点的横坐标为π6，则ω的值为 ．【点睛】由已知列出等式，求出φ、ω． 【答案】7【解答】因为f （x ）的图象与y 轴交点的纵坐标为√32，所以f （0）＝sinφ=√32；又因为0＜φ＜π2，所以φ=π3，即f （x ）＝sin （ωx +π3）；因为y 轴右侧第一个最低点的横坐标为π6，所以π6ω+π3=3π2，解得ω＝7.故答案为7．【点评】本题考查三角函数的图象和性质，是中档题．11．已知H 是△ABC 的垂心（三角形三条高所在直线的交点），AH →=14AB →+12AC →，则cos∠BAC 的值为 ．【点睛】先由题意得到BC ＝AC ，再由向量的夹角公式求出cos ∠BAC ． 【答案】√33【解答】因为AH →=14AB →+12AC →，设AE →=λAC →，所以AH →=14AB →+12λAE →；如图由点B 、H 、E 三点共线得14+12λ=1，解得λ=23；所以AH →=14AB →+34AE →，所以BH →=3HE →；所以CH →−CB →=3(CE →−CH →)，令点F 为边AB 的中点，所以CH →=14CB →+34CE →=14(CB →+CA)→=2CF →，因为AB 上的垂线与中线重合，所以CB ＝CA ；又因为BH →=3HE →且AE →=23AC →，所以AH →=3HD →且BD →=23BC →；如图建立平面直角坐标系，则B （-2，0），C （1，0）；令A （0，4x ），则H （0，x ），x ＞0；由BC ＝CA 得x 2=12．所以cos ∠BAC =BA →⋅BC →|BA →||BC→|=2√16x 2+4×√16x 2+1=23×3=√33．故答案为√33．【点评】本题考查平面向量的线性运算与数量积．12．若无穷数列{cos（ωn）}（ω∈R）是等差数列，则其前10项的和为．【点睛】由题意得ω＝0，即cos（ωn）＝1，问题便可解决．【答案】10【解答】因为无穷数列{cos（ωn）}是等差数列，所以{cos（ωn）}是常数列，所以ω=0,所以cos（ωn）＝1，所以S10＝10×1＝10．故答案为10．【点评】本题考查数列的概念、等差数列、余弦函数的性质等，是中档题．13．已知集合P＝{（x，y）|x|x|+y|y|＝16}，集合Q＝{（x，y）|kx+b1≤y≤kx+b2}，若P⊆Q，则12√k2+1的最小值为．【点睛】先去绝对值，再画出集合P表示的图形，数形结合即可求解．【答案】4【解答】当x＜0且y＜0时，x2+y2＝﹣16(舍去)；当x＜0且y≥0时，﹣x2+y2＝16；当x≥0且y＜0时，x2﹣y2＝16；当x≥0且y≥0时，x2+y2＝16；作出集合P中曲线的图象：x2﹣y2＝16的一条渐近线为y＝﹣x，与该渐近线平行且与圆x2+y2＝16相切的直线为y=−x+4√2；因为P⊆Q，由图可得k＝﹣1；所以12√k2+1=12√2≥√2−0|√2=4,所以12√k2+1的最小值为4．故答案为4．【点评】本题考查圆、双曲线的图象与性质，考查转化与化归思想、数形结合思想，是中档题．14．若对任意实数x ∈（﹣∞，1]，都有|e xx 2−2ax+1|≤1成立，则实数a 的值为 ．【点睛】先构造函数求出﹣1＜a ＜1，再对a 进行分类讨论即可． 【答案】−12【解答】由题意得−1≤e x x 2−2ax+1≤1；令f(x)=e xx 2−2ax+1；若x 2﹣2ax +1＝0有解，设一解为x 1，当x →x 1时，|f （x ）|→+∞，不满足|f （x ）|≤1恒成立；所以x 2﹣2ax +1＝0无解，所以△＝4a 2﹣4<0，解得﹣1＜a ＜1；f′(x)=e x [(x−1)(x−(2a+1))](x 2−2ax+1)2；①当a ＞−12时，记1，2a +1中的较小值为x 0，则f （x ）在（﹣∞，x 0）单增，所以f （x 0）＞f （0）＝1，矛盾，舍去；②当a ＜−12时，即2a +1＜0，f （x ）在（2a +1，1）单减，则f （2a +1）＞f （0）＝1，矛盾，舍去；③当a =−12时，即2a +1＝0，f （x ）在（0，1）与（﹣∞，0）上单减，则f （x ）≤f （0）＝1，f(x)=e x x 2−2ax+1＞0，满足题意，所以a =−12.故答案为−12．【点评】本题考查不等式恒成立问题，导数在研究函数中的应用，考查分类讨论思想、化归与转化思想，是难题． 二、解答题（共6小题，满分90分） 15．已知△ABC 满足sin （B +π6）＝2cos B ． （1）若cos C =√63，AC ＝3，求AB ；（2）若A ∈（0，π3），且cos （B ﹣A ）=45，求sin A ． 【点睛】（1）先求出tan B ，即得B ，再由正弦定理求出AB ； （2）先求出cos （π3−A ）、sin （π3−A ），再利用差角公式求出sin A ．【解析】（1）由sin （B +π6）＝2cos B 得√32sin B +12cos B ＝2cos B ，化简得sin B =√3cos B ； 因为cos B ≠0，所以tan B =√3，又B ∈（0，π），故B =π3； 因为C ∈（0，π）且cos C =√63，所以sin C =√33；在△ABC 中，由正弦定理得ACsin π3=AB sinC，即√32=√33;解得AB ＝2；（2）由（1）知B =π3，又因为A ∈（0，π3），所以B −A ∈（0，π3）；因为cos （B ﹣A ）=45，即cos （π3−A ）=45，所以sin （π3−A ）=35；所以sin A ＝sin[π3−（π3−A ）]＝sin π3cos （π3−A ）﹣cos π3sin （π3−A ）=4√3−310． 【点评】本题考查和角差角公式、同角三角函数的基本关系、正弦定理，中档题． 16．如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知底面ABCD 是正方形，点P 是侧棱CC 1上的一点．（1）若AC 1∥平面PBD ，求PC 1PC的值；（2）求证：BD ⊥A 1P ．【点睛】（1）由线面平行推出AC 1∥OP ，再结合AO ＝OC 得PC 1PC=AO OC=1．（2）由线面垂直得CC 1⊥BD ，再结合AC ⊥BD 推出BD ⊥面ACC 1A 1，即得BD ⊥A 1P ． 【解析】（1）连AC 交BD 于点O ，连结OP ．因为AC 1∥平面PBD ，AC 1⊂平面ACC 1，平面ACC 1∩平面BDP ＝OP ， 由线面平行的性质得AC 1∥OP ．因为四边形ABCD 是正方形，所以点O 是AC 的中点，即AO ＝OC ， 在△ACC 1中，PC 1PC=AO OC=1．（2）证明：连结A 1C 1．因为ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1为长方体，所以侧棱C 1C ⊥底面ABCD ． 又BD ⊂平面ABCD ，所以CC 1⊥BD ． 因为底面ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ．又AC∩CC1＝C，AC⊂面ACC1A1，CC1⊂面ACC1A1，所以BD⊥面ACC1A1，又因为A1P⊂平面ACC1A1，所以BD⊥A1P．【点评】本题考查线面平行与垂直，是中档题．17．如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从⊙O中裁剪出两块全等的圆形铁皮⊙P与⊙Q做圆柱的底面，裁剪出一个矩形ABCD做圆柱的侧面（接缝忽略不计），AB为圆柱的一条母线，点A、B在⊙O上，点P、Q在⊙O的一条直径上，AB∥PQ，⊙P、⊙Q分别与直线BC、AD相切，都与⊙O内切．（1）求圆形铁皮⊙P半径的取值范围；（2）请确定圆形铁皮⊙P与⊙Q半径的值，使得油桶的体积最大．（不取近似值）【点睛】（1）由图形列出不等式，即可求解;（2）先求出油桶的体积，再求导即可．【解析】（1）令⊙P的半径为r，由题意得AB＝8﹣4r，由题意得⊙P的周长BC=2πr≤2√42−(4−2r)2，解得r≤162，所以⊙P半径的取值范围为(0，16π2+4]；（2）由（1）得油桶的体积V＝πr2•AB＝4πr2（2﹣r），令f(x)=4πx 2(2−x)，x ∈(0，16π2+4]，则f ′（x ）＝4πx 2(4x ﹣3x 2)， 因为16π2+4＜43，所以f ′（x ）＞0，所以f （x ）在(0，16π2+4]上单增，故当r =16π2+4时，体积取到最大值． 所以圆形铁皮⊙P 与⊙Q 半径为16π+4，油桶的体积最大．【点评】本题考查导数在研究函数中的应用、圆柱的体积等，属于中档题． 18．设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率是e ，动点P （x 0，y 0）在椭圆C 上运动．当PF 2⊥x 轴时，x 0＝1，y 0＝e ． （1）求椭圆C 的方程；（2）延长PF 1，PF 2分别交椭圆C 于点A ，B （A ，B 不重合）．设AF 1→=λF 1P →，BF 2→=μF 2P →，求λ+μ的最小值．【点睛】（1）由已知条件求出c 、b 、a ，即得椭圆的方程；（2）先求出F 1、F 2，再将λ、μ用x 0表示出，最终求出λ+μ的最小值． 【解析】（1）因为当PF 2⊥x 轴时，x 0＝1，y 0＝e ， 所以c ＝1，b 2a=e =ca，所以b ＝c ＝1，a 2＝b 2+c 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 22+y 2=1；（2）因为C ：x 22+y 2=1，所以F 1（﹣1，0），F 2（1，0）；令A （x 1，y 1），因为P （x 0，y 0），由AF 1→=λF 1P →得{−1−x 1=λ(x 0+1)−y 1=λy 0，整理得{x 1=−λx 0−λ−1y 1=−λy 0，将A （x 1，y 1）代入椭圆方程得(−λx 0−λ−1)22+（﹣λy 0）2＝1①，又x 022+y 02=1，两边同乘λ得(λx 0)22+(λy 0)2=λ2②，①－②得：(λ+1)(2λx 0+λ+1)2=1﹣λ2，因为λ+1≠0，所以2λx 0+λ+1＝2（1﹣λ），解得λ=13+2x 0；同理求得μ=13−2x 0， 所以λ+μ=13+2x 0+13−2x 0=69−4x 02≥23(当且仅当x 0＝0时等号成立)所以λ+μ的最小值为23．【点评】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，是中难题．19．定义：若无穷数列{a n }满足{a n +1﹣a n }是公比为q 的等比数列，则称数列{a n }为“M （q ）数列”．设数列{b n }中b 1＝1，b 3＝7．（1）若b 2＝4，且数列{b n }是“M （q ）数列”，求数列{b n }的通项公式；（2）设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n +1＝2S n −12n +λ，请判断数列{b n }是否为“M （q ）数列”，并说明理由；（3）若数列{b n }是“M （2）数列”，是否存在正整数m ，n 使得40392019＜b m b n＜40402019？若存在，请求出所有满足条件的正整数m ，n ；若不存在，请说明理由． 【点睛】（1）先推出q ，进而推出b n+1−b n b n −b n−1=1，可得{b n }是等差数列及b n ．（2）先求得λ＝7，再由递推公式做差得b n+1=3b n −12，变形可证{b n −14}是等比数列，推出{b n +1﹣b n }是等比数列，可得{b n }是“M （q ）数列“． （3）累加得b n ＝2n ﹣1，先假设存在，消元整理得20212＜2n ＜2020，求出m 、n ．【解析】（1）因为{b n }是“M （q ）数列”，b 2＝4，所以q =b 3−b2b 2−b 1=7−44−1=1；由M （q ）数列的定义得b n+1−b n b n −b n−1=1，n ≥2，即b n +1﹣b n ＝b n ﹣b n ﹣1，n ≥2，所以{b n }是等差数列，其公差d =b 2﹣b 1＝3，所以b n ＝1+3（n ﹣1）＝3n ﹣2 所以数列{b n }通项公式b n ＝3n ﹣2．（2）由b n+1=2S n −12n +λ，得b 2=32+λ，b 3＝4+3λ＝7，解得λ＝7， 由b n+1=2S n −12n +λ，得b n+2=2S n+1−12(n +1)+1，两式相减得b n+2−b n+1=2b n+1−12，所以b n+2=3b n+1−12，n ∈N *，又因为b 2=52=3b 1−12，即b n+1=3b n −12对n ∈N *恒成立， 所以b n+1−14=3（b n −14）， 因为b 1−14=34≠0，所以b n −14≠0，所以b n+1−14b n −14=3，所以{b n −14}是等比数列，所以b n −14=(1−14)×3n−1=14×3n ，所以b n =14×3n +14， 所以b n+2−b n+1b n+1−b n=(14×3n+2+14)−(14×3n+1+14)(14×3n+1+14)−(14×3n +14)=3，所以{b n +1﹣b n }是公比为3的等比数列，所以数列{b n }是“M （q ）数列“．（3）因为数列{b n }是“M （2）”数列，所以b n +1﹣b n ＝（b 2﹣b 1）×2n -1， 因为b 3−b 2b 2−b 1=2，即7−b 2b 2−1=2，解得b 2＝3，所以b 2﹣b 1＝2；所以b n +1﹣b n ＝2×2n -1=2n ，所以当n ≥2时，b n ＝（b n ﹣b n ﹣1）+（b n ﹣1﹣b n ﹣2）+…+（b 2﹣b 1）+b 1，＝2n ﹣1+2n ﹣2+…+2+1＝2n ﹣1，假设存在正整数m ，n ，使得40392019＜b m b n＜40402019，则40392019＜2m −12n −1＜40402019，由2m −12n −1=2m−n (2n −1)+2m−n −12n −1=2n−m+2m−n −12n −1＜40402019，所以2m−n ＜40402019＜3，所以m ﹣n ＝1， 所以2m −12−1=2+12−1，所以40392019＜2+12−1＜40402019，解得20212＜2n ＜2020，解得n ＝10，m ＝11．所以存在满足条件的正整数m ，n ，其中m ＝11，n ＝10．【点评】本题考查等差、等比数列的定义与通项、数列求和，数列新定义问题，是难题． 20．若函数f （x ）＝e x ﹣a e ﹣x ﹣mx （m ∈R ）为奇函数，且x ＝x 0时f （x ）有极小值f （x 0）．（1）求实数a 的值； （2）求实数m 的取值范围；（3）若f （x 0）≥−2e 恒成立，求实数m 的取值范围． 【点睛】（1）由f （x ）+f （﹣x ）＝0列出等式，求出a ； （2）先求导，再对m 分情况讨论即可；（3）m =f (x 0)=e x 0+e −x 0，先求导得出x 0≤1，再由f (x 0)的单调性得m 的范围．【解析】（1）因为f （x ）为奇函数，所以f （x ）+f （﹣x ）＝0， 代入得e x ﹣a e ﹣x ﹣mx +e ﹣x ﹣a e x +mx ＝0，整理得（a ﹣1）（e x +e ﹣x ）＝0，因为e x +e ﹣x >0,所以a ﹣1=0；解得a ＝1；（2）由（1）得f （x ）＝e x ﹣e ﹣x ﹣mx ，所以f′(x)=e x +e −x −m =e 2x −me x +1e x， ①当m ≤2时，因为e 2x ﹣m e x +1≥0恒成立，所以f ′（x ）≥0恒成立， 所以f （x ）单增，所以f （x ）不存在极小值，舍去;②当m ＞2时，令e x ＝t ，则方程t 2﹣mt +1＝0有两个不等的正根t 1，t 2（不妨设t 1＜t 2）， 因为x ＝x 0时f （x ）有极小值，所以f （x ）＝e x ﹣e ﹣x ﹣mx 在（lnt 1，lnt 2）上单调递减，在（﹣∞，lnt 1），（lnt 2，+∞）上单调递增， 所以f （x ）在lnt 2处取到极小值，满足题意； 所以m 的取值范围为（2，+∞）； （3）x 0满足e x 0+e −x 0=m ，将x 0代入f （x ）＝e x ﹣e ﹣x ﹣mx ，消去m 得f(x 0)=(1−x 0)e x 0−(1+x 0)e −x 0，令h （x ）＝（1﹣x ）e x ﹣（1+x ）e ﹣x ，则h ′（x ）＝x （e ﹣x ﹣e x ），当x ≥0时，e−x−e x=1−e 2xe x≤0，即h ′（x ）≤0，所以h （x ）在[0，+∞）上单减，因为f (x 0)≥−2e=ℎ(1)，所以x 0≤1，y ＝e x +e ﹣x ，当x ≥0时，y ′＝e x ﹣e ﹣x ≥0，所以y ＝e x +e﹣x在（0，1]上递增；因为m =e x 0+e −x 0且x 0≤1，所以e x 0+e −x 0≤e +e −1= e +1e ，即m ≤e +1e ， 所以实数m 的取值范围为(2，e +1e]．【点评】本题考查函数的性质，导数在研究函数中的应用，是中档题．【选做题】在21、22、23三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21．[选修4-2：矩阵与变换]已知圆C 经矩阵M =[a33−2]变换后得到圆C ′：x 2+y 2＝13，求实数a 的值． 【点睛】通过矩阵变换列出变量间的关系式即可.【解析】设圆C 上一点（x ，y ）经矩阵M 变换后得到圆C ′上一点（x′，y′），由题意得[a33−2][x y ]=[x′y′]，所以{ax +3y =x′3x −2y =y′，因为点（x′，y′）在圆C ′x 2+y 2＝13上，所以（x ′）2+（y ′）2＝13； 消去x′、y′得圆C 的方程为（ax +3y ）2+（3x ﹣2y ）2＝13， 整理得（a 2+9）x 2+（6a ﹣12）xy +13y 2＝13，由圆的方程可得{a 2+9=136a −12=0，解得a ＝2．所以实数a 的值为2．【点评】本题考查矩阵变换、圆的方程，是基础题． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，直线ρcosθ+2ρsinθ＝m 被曲线ρ＝4sinθ截得的弦为AB ，当AB 是最长弦时，求实数m 的值．【点睛】先建立平面直角坐标系，求出直线与曲线的直角坐标方程，要使直线被圆截得的弦AB 最长，则直线过圆心，便可求出m ．【解析】以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系（单位长度相同）， 因为直线ρcosθ+2ρsinθ＝m ，所以可得其直角坐标方程x +2y ﹣m ＝0． ρ＝4sinθ两边同乘ρ得：ρ2＝4ρsinθ，其直角坐标方程为x 2+（y ﹣2）2＝4，其表示以（0，2）为圆心，2为半径的圆． 即曲线ρ＝4sinθ是以（0，2）为圆心，2为半径的圆．要使直线被圆截得的弦AB 最长，则直线过圆心（0，2），即0+2×2﹣m ＝0，解得m ＝4． 所以实数m =4．【点评】本题考查直角坐标与极坐标、直线与圆的位置关系，是中档题． 23．[选修4-5：不等式选讲]已知正实数a ，b ，c 满足1a +2b+3c =1，求a +2b +3c 的最小值．【点睛】先将1a +2b +3c =1变形为1a+42b +93c=1，再利用柯西不等式求解．【解析】因为1a+2b+3c=1，变形可得1a+42b+93c =1， 所以a +2b +3c ＝（a +2b +3c ）×1=（a +2b +3c ）（1a+42b+93c）由柯西不等式得： （a +2b +3c ）（1a +42b+93c）≥（1+2+3）2=36(当且仅当a ＝b ＝c=6时等号成立)所以a +2b +3c ≥36，所以a +2b +3c 的最小值为36．【点评】本题考查柯西不等式，注意等式的恒等变形，是基础题．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．如图，AA 1、BB 1是圆柱的两条母线，A 1B 1、AB 分别经过上下底面圆的圆心O 1、O ，CD 是下底面与AB 垂直的直径，CD ＝2．（1）若AA 1＝3，求异面直线A 1C 与B 1D 所成角的余弦值； （2）若二面角A 1﹣CD ﹣B 1的大小为π3，求母线AA 1的长．【点睛】（1）建立恰当的空间直角坐标系，利用空间向量即可求解． （2）求出面A 1CD 、面B 1CD 的法向量，通过空间向量的数量积即可求解． 【解析】（1）如图，建立空间直角坐标系O ﹣xyz ． 因为CD ＝2，AA 1＝3，所以A （0,﹣1,0），A 1（0,﹣1,3），B （0,1,0），B 1（0,1,3），C （﹣1,0,0），D （1,0,0）; 所以B 1D →=（1,﹣1,﹣3），A 1C →=（﹣1,1,﹣3）， 所以cos ＜B 1D →,A 1C →＞=−1×1+1×(−1)+(−3)×(−3)√1+(−1)2+(−3)2⋅√(−1)2+1+(−3)2=711， 所以异面直线A 1C 与B 1D 所成角的余弦值为711．（2）令AA 1＝m ＞0，则A 1（0，﹣1，m ），B 1（0，1，m ），所以A 1C →=（﹣1，1，﹣m ），B 1D →=（1，﹣1，﹣m ），CD →=（2，0，0）， 设平面A 1CD 的法向量n 1→=（x 1，y 1，z 1），在平面A 1CD 中，CD →=（2，0，0），A 1C →=（﹣1，1，﹣m ）所以{n 1→⋅CD →=2x 1=0，n 1→⋅A 1C →=−x 1+y 1−mz 1=0，解得x 1＝0，令z 1＝1，则y 1＝m ，所以n 1→=（0，m ，1）． 同理得平面B 1CD 的法向量n 2→=（0，﹣m ，1）．因为二面角A 1﹣CD ﹣B 1的大小为π3，所以|cos ＜n 1→，n 2→＞|=√m +1⋅√(−m)2+1=12，解得m =√3或m =√33，由图形知当A 1﹣CD ﹣B 1的大小为π3时，m =√3．所以母线AA 1=√3.【点评】本题考查空间向量、空间角，化归与转化思想，是中档题.25．设∑ 2n i=1（1﹣2x ）i ＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 2n x 2n（n ∈N *），记S n ＝a 0+a 2+a 4+…+a 2n ． （1）求S n ；（2）记T n ＝﹣S 1∁n 1+S 2∁n 2﹣S 3∁n 3+…+（﹣1）n S n ∁n n ，求证：|T n |≥6n 3恒成立． 【点睛】（1）先赋值得两等式，再两式相加即可求出S n ．（2）先将T n 化简整理，再对不等式|T n |≥6n 3化简，利用放缩法即可证明．【解析】（1）令x ＝﹣1得a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+…﹣a 2n ﹣1+a 2n =∑ 2n i=13i=32•（9n ﹣1）． 令x ＝1得a 0+a 1+a 2+…+a 2n =∑ 2n i=1(−1)i =0；两式相加得2（a 0+a 2+a 4+…+a 2n ）=32•（9n ﹣1），即2S n =32•（9n ﹣1）， 所以S n =34（9n ﹣1），n ∈N *． （2）由(1)得：T n ＝﹣S 1∁n 1+S 2∁n 2﹣S 3∁n 3+…+（﹣1）n S n ∁n n=34{[﹣91C n 1+92C n 2−93C n 3+⋯+（﹣1）n 9n C n n ]﹣[−C n 1+C n 2−C n 3+⋯+（﹣1）n C n n ]} =34{[90C n 0−91C n 1+92C n 2−93C n 3+⋯+（﹣1）n 9n C n n ]﹣[C n 0−C n 1+C n 2−C n 3+⋯+（﹣1）n C nn ]}=34[90C n 0−91C n 1+92C n 2−93C n 3+⋯+（﹣1）n 9n C n n]=34[C n 0（﹣9）0−C n 1（﹣9）1+C n 2（﹣9）2−C n 3（﹣9）3+⋯+C n n （﹣9）n ]=34（1﹣9）n =34•（﹣8）n ．故|T n |＝|34•（﹣8）n |=34•8n ．要证|T n |≥6n 3恒成立，即证34×8n ≥6n 3恒成立，只需证8n ﹣1≥n 3恒成立，即证2n ﹣1≥n 恒成立．下面证明2n ﹣1≥n 恒成立：当n ＝1、2时，2n ﹣1≥n 显然成立．当n ≥3时，2n ﹣1=C n−10+C n−11+⋯+C n−1n−1≥C n−10+C n−11=1+（n ﹣1）＝n ，即2n ﹣1≥n ，所以2n ﹣1≥n 对n ∈N *恒成立．所以|T n |≥6n 3恒成立．【点评】本题考查等比数列、二项式定理等，是中难题．。

江苏省盐城中学2020届高三第一次阶段性质量检测数学试题 Word版含解析

江苏省盐城中学2020届高三第一次阶段性质量检测数学试题 Word版含解析

2019-2020学年江苏省盐城中学高三（上）第一次质检数学试卷（10月份）一、填空题（本大题共14小题）1.己知集合，0，，则______2.设幂函数的图象经过点，则______．3.若命题“，”是真命题，则实数a的取值范围是______．4.函数的定义域为______．5.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点，则______．6.已知等差数列的前n项和为，，，则的值为______．7.定义在R上的奇函数，当时，，则______．8.已知函数的最大值与最小正周期相同，则函数在上的单调增区间为______ ．9.设向量，，则“”是“”成立的______ 条件选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”．10.已知函数，若在上单调递增，则实数a的取值范围是______11.如图，在直角梯形ABCD中，，，，，E为BC中点，若，则______．12.若函数，在区间上有两个零点，则实数a的范围为______．13.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，己知，且且角A为锐角，则m的取值范围是______．14.己知函数，，若函数在上是增函数，且在定义域上恒成立，则实数t的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题）15.已知集合，集合B为函数的值域，集合，命题p：；命题q：．若命题p为假命题，求实数a的取值范围；若命题为真命题，求实数a的取值范围．16.中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，且．求的值；若，求面积的最大值．17.在中，，，，D是边BC上一点，．求的值；若，求t的值．18.某公园为了美化环境和方便顾客，计划建造一座圆弧形拱桥，已知该桥的剖面如图所示，共包括圆弧形桥面ACB和两条长度相等的直线型路面AD、BE，桥面跨度DE的长不超过12米，拱桥ACB所在圆的半径为3米，圆心O在水面DE上，且AD和BE所在直线与圆O分别在连结点A和B处相切．设，已知直线型桥面每米修建费用是a元，弧形桥面每米修建费用是元．若桥面线段AD、BE和弧的修建总费用为W元，求W关于的函数关系式；当为何值时，桥面修建总费用W最低？19.已知函数．当时，求函数在处的切线方程；当时，证明：函数只有一个零点；若函数的极大值等于0，求实数a的取值范围．20.已知正项数列的前n项和为，且．求数列的通项公式；若，数列的前n项和为，求的取值范围；若，从数列中抽岀部分项奇数项与偶数项均不少于两项，将抽出的项按照某一顺序排列后构成等差数列．当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列．答案和解析1.【答案】【解析】解：集合，0，，．故答案为：．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】【解析】解：根据幂函数的定义，可得，图象经过点，可得：解得：那么：故答案为：．根据幂函数的图象及性质求解．本题考查了幂函数的图象及性质．属于基础题．3.【答案】【解析】解：命题“，”是真命题，．，则实数a的取值范围是：．故答案为：．命题“，”是真命题，可得．本题考查了不等式的解法、函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】【解析】解：由题意得：，解得：，故函数的定义域是，故答案为：．根据对数函数的性质以及二次根式的性质求出函数的定义域即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数以及二次根式的性质，是一道基础题．5.【答案】【解析】解：由题意可得，，，，，，故答案为：．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．6.【答案】24【解析】解：在等差数列中，设首项为，公差为d，由，，得，解得：．．故答案为：24．由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，代入等差数列的通项公式求解．本题考查等差数列的前n项和，考查等差数列的通项公式，是基础题．7.【答案】【解析】解：是奇函数，，故答案为：根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可．本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键．8.【答案】【解析】解：函数的最大值为2，最小正周期，，，函数，由，，解得：，，当时，函数在上的单调增区间：．故答案为：．求出函数的最大值以及函数最小正周期，即可求出，然后利用正弦函数的单调性，求出函数的单调增区间．本题考查三角函数的最值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，考查计算能力，熟练掌握正弦函数的图象与性质是解本题的关键．9.【答案】必要不充分【解析】解：若，则，即，即，则或，故”是“”成立必要不充分条件，故答案为：必要不充分．根据向量平行的坐标关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量平行的坐标公式是解决本题的关键．10.【答案】【解析】解：根据题意，函数，则，设，则，在区间上，，即在上为增函数，故在有最小值，没有最大值，若在上单调递增，则在上恒成立；即在上恒成立，即在上恒成立，必有，故a的取值范围为；故答案为：．根据题意，求出函数的导数可得，设，求出的导数，结合函数的导数与单调性的关系可得在上为减函数，在上为增函数，据此可得故在有最小值；进而分析可得若在上单调递增，则在上恒成立；即在上恒成立，据此分析可得答案．本题考查利用导数分析函数的单调性，注意函数的导数与函数单调性的关系，属于基础题．11.【答案】【解析】解：过C作于F，则四边形AFCD是矩形，，，又，．为BC中点，，．故答案为：．根据求出AC，用表示出，从而得出答案．本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．12.【答案】【解析】解：当时，，函数是减函数，时，是增函数，在区间上有两个零点，可知分段函数，两个区间各有一个零点，可得，解得．故答案为：．利用分段函数判断函数的单调性，判断函数的零点，推出实数a的范围．本题考查函数的零点的判断，分段函数的应用，考查计算能力．13.【答案】【解析】解：，由正弦定理得，又．．，又由，可得，，即m的取值范围是故答案为：由已知利用正弦定理可得：，且，进而利用余弦定理、不等式的解法即可求解．本题考查了正弦定理、余弦定理、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.【答案】【解析】解：，由题意，恒成立，则，即恒成立，所以，在上恒成立，时显然不满足条件，当时，恒成立，则在上恒成立，即恒成立，令，则，显然，当时，函数取得最小值为，；当时，在上恒成立，当，即时，恒成立，则，解得，当，即时，恒成立，则，解得，故，综上，实数t的取值范围是．故答案为：．利用导数可得，则在上恒成立，且时显然不满足条件，再以及两种情况讨论即可．本题考查导数的运用，考查分类讨论思想，同时注意在分类的时候保证不重不漏，本题属于中档题．15.【答案】解：，，，由命题p为假命题可得命题为真命题命题，q都为真命题即且．解可得【解析】由题意可得，，，由命题p为假命题可得，可求a由题意可得且，结合集合之间的基本运算可求a的范围本题考查解决二次不等式的求解，二次函数值域的求解，集合的基本运算及复合命题的真假与构成其简单命题真假的关系．16.【答案】解：．在中，，可得：，由余弦定理可得，即有，当且仅当时，取得等号，则面积，即有时，的面积取得最大值．【解析】本题考查三角函数的化简和求值，注意运用诱导公式和二倍角公式，考查三角形的余弦定理和面积公式，以及基本不等式的运用，属于中档题．利用诱导公式及二倍角的余弦公式对式子化简，代入即可得到所求值；运用余弦定理和面积公式，结合基本不等式，即可得到最大值．17.【答案】解：．，，．．，．，，即，解得．【解析】用表示，代入数量积公式计算；求出，，代入原式可得关于t的方程，解出t即可．本题考查了平面向量的数量积运算，用表示出其他向量是关键．18.【答案】解：设C为弧AB的中点，连结OA，OC，则具体如下图：在中，．又，弧AC长为．当时，；当时，．．，．根据，可设，则．令，解得当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．当时，函数取得最小值，此时桥面修建总费用最低．【解析】本题第题根据题意结合图形，解直角三角形求出AD，利用弧长公式求出弧AC，即可列出总费用算式；第题在第题找到W关于的函数关系式的基础上构造函数，对进行求导分析，即可找到的值．本题主要考查理解题意能力，解直角三角形，弧长公式的应用，构造函数法，对函数进行一阶导数分析，以及数学计算能力．本题属中档题．19.【答案】解：当时，，，，切线方程为．，令，则，当时，，在上单调递减，，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，故函数只有一个零点．由可知，当时，的极大值为0，符合题意，当时，若，，单调递增，若，，单调递减，又，，因为，则，，所以，当时，单调递减，，所以即，故存在，满足，当时，，函数单调递减，当，，函数单调递增，又时，，函数单调递增，时，，函数单调递减，故是函数唯一极大值点，且符合题意；当时，时，，单调递增，时，，单调递减，又，故，从而在上单调递减，没有极值；不符合题意；当时，时，，单调递增，时，，单调递减，且，，令，则，故在上单调递减，从而有，所以即，因为，故存在满足，当时，函数单调递增，当，函数单调递减，故是函数唯一极小值点，是函数唯一极大值点，，不符合题意，综上可得，．【解析】根据导数的几何意义即可求解，先对函数求导，，结合单调性即可求解，结合函数的单调性及函数的零点判定定理进行分类讨论进行求解．考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于较难题．20.【答案】解：当时，由得，，得，当时，由得，，两式相减得，，即，数列各项均为正数，，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，数列的通项公式为；由知，，，，令，则，是单调递增函数，数列递增，，又，的取值范围为；，设奇数项取了s项，偶数项取了k项，其中s，，，，因为数列的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数，因此，若抽出的项按照某种顺序构成等差数列，则该数列中相等的项必定一个是奇数，一个是偶数，假设抽出的数列中有三个偶数，则每两个相邻偶数的等差中项为奇数，设抽出的三个偶数从小到大依次为，，，则为奇数，而，，则为偶数，为奇数，所以，又为奇数，而，，则，均为偶数，矛盾，又，，即偶数项只有两项，则奇数项最多有3项，即的最大值为5，设此等差数列为，，，，，则，，为奇数，，为偶数，且，同理，若从大到小排列，此数列为5，4，3，2，1．综上，当等差数列的项数最大时，满足条件的数列为1，2，3，4，5或5，4，3，2，1．【解析】先求得，再根据，的关系可得，得出数列是以1为首项，2为公差的等差数列，由此求出通项公式；运用裂项相消法可得，研究其函数性质，利用单调性即可求得取值范围；由题意，偶数项只有两项，奇数项最多有3项，故设此等差数列为，，，，，则，，为奇数，，为偶数，且，由此得解．本题考查数列的综合运用，涉及了利用递推关系求数列通项，等比数列的判断，裂项相消法的运用，同时还考查了学生的逻辑推理能力，运算求解能力，属于较难题目．。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

数学试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{
}
{}
11,022
<<-=<-=x x N x x x M , 则M 与N 的并集．．N M Y = ▲ .
2．设复数()0>+=a i a z ，若2=z z ,则正实数a 的值为 ▲ .
3．某电视台对一节目的喜爱程度进行网络调查，共有12000人参与调查，喜爱、一般、不 喜爱的人分别为6000人、5000人、1000 人，为进一步了解被调查人的具体想法，现利 用分层抽样的方法抽取60人，则抽取不喜爱的人数为 ▲ .
4．某校志愿者小组有2名男生和1名女生，现从中任选2人参加活动，则 女生入选的概率是 ▲ .
5．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ▲ .
6．若双曲线()0,012222>>=-b a b
y a x 的离心率为2.则其两条渐近线所成的锐
角为 ▲ .
7．设三棱锥ABC P -的体积为1V ，点N M ,分别满足2=，=，记三棱锥
BMN A -的体积为2V ，则
1
2
V V = ▲ . 8．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 若
c a c
a b
B A 2,sin sin =+=则A cos = ▲ . 9．已知数列{}{
}n n b a 、满足,log 2n n a b =且数列{}n b 是等差数列.若9,2103==b b ,则数列
{}n a 的前n 项和n S = ▲ .
10．若函数()()θ+=x x f 2sin 关于直线4
π
=
x 对称，则θ的最小正值．．．．
为 ▲ . 11．若存在．．
实数()4,0∈x ，使不等式01623
<+-ax x 成立，则实数a 的取值范围是 ▲ . 12．在锐角ABC △中，已知AH 是BC 边上的高，且满足AC AB AH 3231+=,则AB
AC
的取 值范围是 ▲ .
13．设函数()x
b ax x x f 222
⋅+-=，若函数()x f y =与函数()()x f f y =都有零点，且它
们的零点完全相同，则实数a 的取值范围是 ▲ .
14．若圆()16:2
2
1=+-y m x C 与圆()16:2
2
2=+-y n x C 相交，点P 为其在x 轴下方的交点，
且8-=mn ，则点P 到直线01=-+y x 距离的最大值为 ▲ .
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
若sin cos 22x x m ⎛⎫= ⎪⎝⎭u r ，
，cos 22x x n ⎛⎫
= ⎪⎝
⎭r
，设()2f x m n =⋅-u r r ．
（1）求函数()f x 在[]π，0上的单调减区间；
（2）在△ABC ，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若)()(B f A f =，b a 2=，求B sin 的值．
16．（本小题满分14分）
如图，在三棱柱111C B A ABC -中，AC AA =1，11AC B A ⊥，设O 为AC 1与A 1C 的交点，点P 为BC 的中点． 求证：（1）OP ∥平面ABB 1A 1；
（2）平面1ACC ⊥平面OCP ．
17．（本小题满分14分）
如图1是淋浴房示意图，它的底座是由正方形截去一角得到，这一角是一个与正方形两邻边相切的圆的
4
1
圆弧（如图2），现已知正方形的边长是1米，设该底座的面积为S 平方米，周长为l 米（周长是指图．．．．．2．的实线部分．．．．．
），圆的半径为r 米.设计的理想要求是面积S 尽可能大，周长l 尽可能小.但显然S 、l 都是关于r 的减函数，于是设l
S
r f =
)(，当)(r f 的值越大，满意度就越高.试问r 为何值时，该淋浴房底座的满意度最高？（解答时．．．π以．3．代入运算．．．．
）．
18．（本小题满分16分）
如图，A 、B 为椭圆C ：12
22=+y a
x 短轴的上、下顶点，P 为直线l ：2=y 上一动点，连接
P A 并延长交椭圆于点M ，连接PB 交椭圆于点N .已知直线MA ，MB 的斜率之积恒为2
1-
． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）求直线MN 与x 轴平行，求直线MN 的方程；
（3）求四边形AMBN 面积的最大值，并求对应的点P 的坐标．
19．（本小题满分16分）
已知数列{}n a 满足121+=-+n a a n n ．
（1）若数列{}n a 的首项为1a ，其中301<<a ，且1a ，2a ，3a 构成公比小于0的等比数列，求1a 的值；
（2）若n a 是公差为d （d >0）的等差数列{}n b 的前n 项和，求1a 的值；
（3）若1a =1，22-=a ，且数列{}1-2n a 单调递增，数列{}n a 2单调递减，求数列{}n a 的通项公式．
20．（本小满分16分）
设函数x
e x x
f )
()(ϕ=
，)
(ln )(x x
x g ϕ=
，其中)(x ϕ恒不为0. （1）设2
)(x x =ϕ，求函数)(x f 在1=x 处的切线方程；
（2）若0x 是函数)(x f 与)(x g 的公共极值点，求证：0x 存在且唯一；
（3）设b ax x +=)(ϕ，是否存在实数a ，b ，使得0)()(<'⋅'x g x f 在()∞+，
0上恒成立？若存在，请求出实数a ，b 满足的条件；若不存在，请说明理由．
数学Ⅱ(附加题)
21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
直线l 经矩阵M=⎢⎣⎡θθsin cos ⎥
⎦
⎤
-θθcos sin （其中()πθ，0∈）作用变换后得到直线x y l 2:='，若直线l 与直线l '垂直，求θ的值.
B.[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程112x y t ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，
（t 为参数）．以坐标原点为极
点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C
的极坐标方程为ρ=，设P 为上动点，
求直线l 被曲线C 截得的弦长．
C ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）
若实数a b c ，，满足243a b c ++=，求111123a b c +++++的最小值．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（本小题满分10分）
已知某高校综合评价有两步：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试.只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格.现有A ，B ，C 三名学生报名参加该高校的综合评价，假设A ，B ，C 三位学生材料初审合格的概率分别是
31，21，41；面试合格的概率分别是21，31，3
2
. （1）求A ，B 两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率；
（2）记随机变量X 为A ，B ，C 三位同学获得该高校综合评价录取资格的人数，求X 的概率
分布与数学期望.
23.（本小题满分10分）
设集合{}n T n ,,3,2,1⋅⋅⋅=（其中*∈≥N n n ,3），将n T 的所有3元子集（含有3个元素的子集）
中的最小元素的和记为n S . （1）求3S ，4S ，5S 的值； （2）试求n S 的表达式.。

相关文档
最新文档