R软件一元线性回归分析(非常详细)

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用R软件进行一元线性回归实验报告

数理统计上机报告上机实验题目：用R软件进行一元线性回归上机实验目的：1、进一步理解假设实验的基本思想，学会使用实验检验和进行统计推断。

2、学会利用R软件进行假设实验的方法。

一元线性回归基本理论、方法：基本理论：假设预测目标因变量为Y，影响它变化的一个自变量为X，因变量随自变量的增（减）方向的变化。

一元线性回归分析就是要依据一定数量的观察样本（Xi, Yi），i=1，2…，n，找出回归直线方程Y=a+b*X方法：对应于每一个Xi，根据回归直线方程可以计算出一个因变量估计值Yi。

回归方程估计值Yi 与实际观察值Yj之间的误差记作e-i=Yi-Yi。

显然，n个误差的总和越小，说明回归拟合的直线越能反映两变量间的平均变化线性关系。

据此，回归分析要使拟合所得直线的平均平方离差达到最小，据此，回归分析要使拟合所得直线的平均平方离差达到最小，简称最小二乘法将求出的a和b 代入式（1）就得到回归直线Yi=a+bXi 。

那么，只要给定Xi值，就可以用作因变量Yi的预测值。

（一）实验实例和数据资料：有甲、乙两个实验员，对同一实验的同一指标进行测定，两人测定的结果如试问：甲、乙两人的测定有无显著差异？取显著水平α=0.05.上机实验步骤：1（1）设置假设：H0：u1-u-2=0：H1：u1-u-2<0（2）确定自由度为n1+n2-2=14；显著性水平a=0.05 （3）计算样本均值样本标准差和合并方差统计量的观测值alpha<-0.05;n1<-8;n2<-8;x<-c(4.3,3.2,3.8,3.5,3.5,4.8,3.3,3.9);y<-c(3.7,4.1,3.8,3.8,4.6,3.9,2.8,4.4);var1<-var(x);xbar<-mean(x);var2<-var(y);ybar<-mean(y);Sw2<-((n1-1)*var1+(n2-1)*var2)/(n1+n2-2)t<-(xbar-ybar)/(sqrt(Sw2)*sqrt(1/n1+1/n2));tvalue<-qt(alpha,n1+n2-2)；（4）计算临界值：tvalue<-qt(alpha,n1+n2-2)（5）比较临界值和统计量的观测值，并作出统计推断实例计算结果及分析：alpha<-0.05;> n1<-8;> n2<-8;> x<-c(4.3,3.2,3.8,3.5,3.5,4.8,3.3,3.9);> y<-c(3.7,4.1,3.8,3.8,4.6,3.9,2.8,4.4);> var1<-var(x);> xbar<-mean(x);> var2<-var(y);> ybar<-mean(y);> Sw2<-((n1-1)*var1+(n2-1)*var2)/(n1+n2-2)> t<-(xbar-ybar)/(sqrt(Sw2)*sqrt(1/n1+1/n2));> var1[1] 0.2926786> xbar[1] 3.7875> var2[1] 0.29267862> ybar[1] 3.8875Sw2[1] 0.2926786> t[1] -0.3696873tvalue[1] -1.76131分析：t=-0.3696873>tvalue=-1.76131，所以接受假设H1即甲乙两人的测定无显著性差异。

R语言实现线性回归的示例

R语⾔实现线性回归的⽰例在统计学中，线性回归(Linear Regression)是利⽤称为线性回归⽅程的最⼩平⽅函数对⼀个或多个⾃变量和因变量之间关系进⾏建模的⼀种回归分析。

简单对来说就是⽤来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的⼀种统计分析⽅法。

回归分析中，只包括⼀个⾃变量和⼀个因变量，且⼆者的关系可⽤⼀条直线近似表⽰，这种回归分析称为⼀元线性回归分析。

如果回归分析中包括两个或两个以上的⾃变量，且因变量和⾃变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。

⼀元线性回归分析法的数学⽅程：y = ax + by 是因变量的值。

x 是⾃变量的值。

a 与b 为⼀元线性回归⽅程的参数。

接下来我们可以创建⼀个⼈体⾝⾼与体重的预测模型：1、收集样本数据：⾝⾼与体重。

2、使⽤ lm() 函数来创建⼀个关系模型。

3、从创建的模型中找到系数，并创建数学⽅程式。

4、获取关系模型的概要，了解平均误差即残差（估计值与真实值之差）。

5、使⽤ predict() 函数来预测⼈的体重。

准备数据以下是⼈的⾝⾼与体重数据：# ⾝⾼，单位 cm151, 174, 138, 186, 128, 136, 179, 163, 152, 131# 体重，单位 kg63, 81, 56, 91, 47, 57, 76, 72, 62, 48lm() 函数在 R 中，你可以通过函数 lm() 进⾏线性回归。

lm() 函数⽤于创建⾃变量与因变量之间的关系模型。

lm() 函数语法格式如下：lm(formula,data)参数说明：formula - ⼀个符号公式，表⽰ x 和 y 之间的关系。

data - 应⽤数据。

创建关系模型，并获取系数：# 样本数据x <- c(151, 174, 138, 186, 128, 136, 179, 163, 152, 131)y <- c(63, 81, 56, 91, 47, 57, 76, 72, 62, 48)# 提交给 lm() 函数relation <- lm(y~x)print(relation)执⾏以上代码输出结果为：Call:lm(formula = y ~ x)Coefficients:(Intercept) x-38.4551 0.6746使⽤ summary() 函数获取关系模型的概要:x <- c(151, 174, 138, 186, 128, 136, 179, 163, 152, 131)y <- c(63, 81, 56, 91, 47, 57, 76, 72, 62, 48)# 提交给 lm() 函数relation <- lm(y~x)print(summary(relation))执⾏以上代码输出结果为：Call:lm(formula = y ~ x)Residuals:Min 1Q Median 3Q Max-6.3002 -1.6629 0.0412 1.8944 3.9775Coefficients:Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)(Intercept) -38.45509 8.04901 -4.778 0.00139 **x 0.67461 0.05191 12.997 1.16e-06 ***---Signif. codes: 0 ‘***' 0.001 ‘**' 0.01 ‘*' 0.05 ‘.' 0.1 ‘ ' 1 Residual standard error: 3.253 on 8 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.9548, Adjusted R-squared: 0.9491F-statistic: 168.9 on 1 and 8 DF, p-value: 1.164e-06 predict() 函数predict() 函数⽤于根据我们建⽴的模型来预测数值。

R语言回归分析

2
2
n n ( xi x)( yi y ) ( xi x)2 2 ˆ S i 1 F 1 2 xx i 1 n ˆ ˆi )2 / (n 2) ( yi y i 1
n n ˆ ˆ xi yi nx ( 0 1 x ) xi yi nxy i 1 i 1
一元线性回归模型
y 0 1 x
称为一元线性回归模型。１．一元线性回归模型只含有一个自变量 x；２．误差项为随机变量；３．描述因变量 y 与自变量 x 和误差项的关系；

0 和４．
1 称为模型的参数；
一元线性回归模型的基本假定：１．x 为确定性变量；２．误差项满足 E ( ) 0 , ３. E ( y) 0 1 x 即当 x 0 时， E( y) 0 , 而 1 则是 x 变动一个单
Estimate Left Right (Intercept) 28.49282 24.97279 32.01285 x 130.83483 109.25892 152.41074 parametre X1 X2 X3 1 (Intercept) 28.49282 24.97279 32.01285 2 x 130.83483 109.25892 152.41074
i 1 i i 2 n i 1 i i 1 i
n
n ˆi y ) ( xi x)( yi y ) ( xi x) ( y i 1 i 1 i 1
( x x) ( y y )
2
对于给定的显著性水平α,查相关系数临界值表可得r α(n-2),则检验的拒绝域为:

一元线性回归分析

一元线性回归模型是回归分析中最简单的模型之一。它假设因变量与自变量之间存在线性关系，并通过最小化残差的平方和来确定模型的参数。
模型评估指标
模型评估指标用于衡量回归模型的拟合优度和预测精度。常用的指标包括均方误差、决定系数和标准化残差等，可以帮助我们评估模型的有效性和适用性。
参数估计方法
参数估计是确定回归模型中各个参数的取值的过程。常用的参数估计方法包括最小二乘法、最大似然估计法和贝叶斯估计法等，可以帮助我们找到最优的参数估计结果。
一元线性回归分析
回归分析是一种用于建立变量之间关系的统计方法。本演示将介绍一元线性回归模型的构建、参数估计、模型假设检验以及模型预测和应用。
回归分析的概述
回归分析是一种通过建立变量之间的关系来描述和预测现象的统计方法。它可以帮助我们理解变量之间的因果关系，并从中推断出未知的检验
模型假设检验用于验证回归模型的假设是否成立。常见的假设检验包括检验回归系数的显著性、整体模型的显著性以及模型的线性关系等，可以帮助我们判断模型是否可靠。
回归诊断和残差分析
回归诊断和残差分析通过检查模型的残差来评估模型的拟合优度和假设的满足程度。常用的诊断方法包括残差图、QQ图和离群值分析等，可以帮助我们发现模型的不足和改进方向。
模型预测和应用
回归模型可以用于预测未知观测值，并帮助我们做出决策和制定策略。它在经济学、社会科学、医学等领域具有广泛的应用，可以为决策者提供有力的数据支持。

一元线性回归分析的作用方法步骤

一元线性回归分析的作用方法步骤一元线性回归分析是一种用于探究两个变量之间线性关系的统计方法。

它的作用是根据给定的自变量和因变量数据，建立一个线性回归模型，以预测未来的因变量值或者对自变量进行解释。

以下是一元线性回归分析的方法步骤：1. 收集数据：收集自变量（x）和因变量（y）的数据。

确保数据具有代表性，容量足够大，并且是可靠的。

2. 绘制散点图：根据所收集的数据，绘制自变量（x）和因变量（y）的散点图，以查看它们之间的大致关系。

3. 计算相关系数：计算自变量（x）和因变量（y）的相关系数，以评估它们之间的线性相关性。

通常使用皮尔逊相关系数来进行衡量。

4. 建立模型：使用最小二乘法来建立一元线性回归模型。

该模型的方程可表示为y = β₀+ β₁x，其中β₀是截距，β₁是斜率。

最小二乘法通过最小化残差平方和来确定最佳拟合的直线。

5. 评估模型：评估回归模型的拟合程度。

可以使用多种统计指标，如可决系数（R²）和均方根误差（RMSE），来评估模型的精度和稳定性。

6. 预测和推断：使用建立的回归模型进行预测和推断。

可以利用模型来预测因变量的值，或者对自变量进行解释和推断。

7. 检验假设：对回归系数进行假设检验，以判断自变量对因变量是否具有统计上显著的影响。

常见的方法是计算回归系数的t值和p值，并根据显著性水平来确定是否拒绝或接受假设。

8. 验证和诊断：验证回归模型的有效性和适用性。

可以使用残差分析、正态概率图和残差图等方法来检查模型的假设前提和模型的良好性。

以上是一元线性回归分析的一般方法步骤。

实际分析中，可能会根据具体问题进行调整和扩展。

一元线性回归

一元线性回归简介回归分析是研究存在相关关系而且存在因果关系的变量之间的依存关系的一种理论分析与方法。

只含有一个解释变量的线性回归模型称为一元线性回归模型，含有多个解释变量的线性回归模型称为多元线性回归模型。

一元线性模型是最基本的线性回归模型。

在R语言中实现线性回归最重要的函数是lm()函数。

接下来我们以一个例子详细说明如何在R语言中实现一元线性回归模型的参数估计和检验，并用得到的模型进行预测。

本例选取“城镇居民家庭人均消费支出”为被解释变量Y，选取“城镇居民家庭人均可支配收入”为解释变量X。

与变量的选择相对应，从1981—2005年各年的《中国统计年鉴》中选取了1980—2004年我国城镇居民家庭的人均消费支出与人均可支配收入数据，为剔除价格水平的影响，又进一步以1978年为基期，利用城镇居民消费价格指数，将所有名义数据调整为实际数据。

我们将数据复制到Excel中，然后另存为CSV文件，保存文件为consume.csv。

操作指南在R语言中，要完成一个一元线性回归模型分析，大致有5个步骤：读入数据、作散点图、估计参数、检验和预测。

下面我们将写出实现这些步骤的代码。

‘>’表示命令提示符，后面是我们要输入的命令，注释以#开头。

#读入数据，并保存在变量consume中>consume<-read.csv('consume.csv')#作散点图，如图1-1>plot(Y~X,data=consume,main='城镇居民人均消费支出和人均可支配收入散点图',ylab='人均消费支出',xlab='人均可支配收入')>fit<-lm(Y~X,data=consume)#用lm()函数建立线性回归模型>summary(fit)#查看回归结果，包括参数估计和检验Call:lm(formula=Y~X,data=consume)Residuals:Min1Q Median3Q Max-29.932-7.298-2.6308.90042.619Coefficients:(Intercept)93.2408277.08040213.17 3.38e-12***X0.7184320.007009102.51<2e-16***---Signif.codes:0‘***’0.001‘**’0.01‘*’0.05‘.’0.1‘’1Multiple R-squared:0.9977F-statistic: 1.051e+04on 1and 23DF,p-value:< 2.2e-16#根据以上结果，在5%的显著性水平下，模型的参数通过了t 检验和F 检验。

一元线性回归分析

一元线性回归分析摘要：一元线性回归分析是一种常用的预测和建模技术，广泛应用于各个领域，如经济学、统计学、金融学等。

本文将详细介绍一元线性回归分析的基本概念、模型建立、参数估计和模型检验等方面内容，并通过一个具体的案例来说明如何应用一元线性回归分析进行数据分析和预测。

1. 引言1.1 背景一元线性回归分析是通过建立一个线性模型，来描述自变量和因变量之间的关系。

通过分析模型的拟合程度和参数估计值，我们可以了解自变量对因变量的影响，并进行预测和决策。

1.2 目的本文的目的是介绍一元线性回归分析的基本原理、建模过程和应用方法，帮助读者了解和应用这一常用的数据分析技术。

2. 一元线性回归模型2.1 模型表达式一元线性回归模型的基本形式为：Y = β0 + β1X + ε其中，Y是因变量，X是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。

2.2 模型假设一元线性回归模型的基本假设包括：- 线性关系假设：自变量X与因变量Y之间存在线性关系。

- 独立性假设：每个观测值之间相互独立。

- 正态性假设：误差项ε服从正态分布。

- 同方差性假设：每个自变量取值下的误差项具有相同的方差。

3. 一元线性回归分析步骤3.1 数据收集和整理在进行一元线性回归分析之前，需要收集相关的自变量和因变量数据，并对数据进行整理和清洗，以保证数据的准确性和可用性。

3.2 模型建立通过将数据代入一元线性回归模型的表达式，可以得到回归方程的具体形式。

根据实际需求和数据特点，选择适当的变量和函数形式，建立最优的回归模型。

3.3 参数估计利用最小二乘法或最大似然法等统计方法，估计回归模型中的参数。

通过最小化观测值与回归模型预测值之间的差异，找到最优的参数估计值。

3.4 模型检验通过对回归模型的拟合程度进行检验，评估模型的准确性和可靠性。

常用的检验方法包括：残差分析、显著性检验、回归系数的显著性检验等。

4. 一元线性回归分析实例为了更好地理解一元线性回归分析的应用，我们以房价和房屋面积之间的关系为例进行分析。

第一节一元线性回归分析-

Yx, ～ N(0,2). ,,2是不依赖于 x的未知参数 .
一元线性回归模型
x的线性函数随机误差
二、未知参数的估计
Y x , ～ N (0 ,2 ).
对于样本 ( x 1 , Y 1 ) , ( x 2 , Y 2 ) ,, ( x n , Y n ) , 它满足
n
x2
] 2
(xi x)2
i 1
则ˆ ~N(,[1
n
n
x2
]2)
(xi x)2
i1
3 .对 x x 0 , 回归方程 Y ˆ 0 = ˆ ˆ x 0 的分布
n
Y ˆ0ˆˆx0i n1(n 1n (x(ixi x)xx)2)Yi in 1((xxiixx))x20Yi
(
n i 1
xi
n
( xi
i 1
)ˆ (
) ˆ
n i 1
xi2
n i 1
)ˆ
yi
n i 1
xi
yi
12ˆ 800ˆ 811 800ˆ 53418ˆ 54107
求解得
ˆ＝ 35.82 ˆ0.476
则 Y 关于 x 的线性回归方程为
i 1
i 1
2. (,)的最大似然估根计 Y 据 1,Y2, ,Yn的独立性可度得函到数联
Li n 11 2πexp 2 12(yixi)2
(1 2π)nexp 2 12i n 1(yixi)2 .
观察散点图 ,( x ) 具有线性函数 x 的形式 .
2.建立回归模型
(x)x一元线性回归问题

用R软件实现一元线性回归

> plot(X,Y,main="每周加班时间和签发的新保单的散点图")> abline(lm(Y~X))结果分析：从图可发现，每周加班时间和签发的新保单成线性关系，因而可以考虑一元线性模型。

2.求出回归方程，并对相应的方程做检验> #求出回归方程，并对相应方程做检验> a<-lm(Y~X)> summary(a)Call:lm(formula = Y ~ X)Residuals:Min 1Q Median 3Q Max-0.87004 -0.12503 0.09527 0.37323 0.45258Coefficients:Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)(Intercept) 0.1215500 0.3588377 0.339 0.745X 0.0036427 0.0004303 8.465 6.34e-05 ***1 2 3 4 5 60.37322742 0.09527080 -0.01923262 -0.12503171 -0.87004313 -0.539186957 8 90.19457445 0.43784500 0.45257674> #标准化残差> ZRE<-e/1.319 ##计算回归a的标准化残差> ZRE1 2 3 4 5 60.28296241 0.07222957 -0.01458121 -0.09479281 -0.65962330 -0.408784657 8 90.14751664 0.33195224 0.34312111> #学生化残差> SRE<-rstandard(a) ##计算学生化残差> SRE1 2 3 4 5 60.81860384 0.24031521 -0.04418688 -0.27814114 -1.96460005 -1.435064557 8 90.46314803 0.95992536 1.10394132结果分析：可以看出，学生氏残差绝对值都小于2，因而模型符合基本假定。

R软件实现线性回归模型

R软件实现线性回归模型R软件是一种基于S语言的开源统计分析软件，具有强大的数据分析和建模能力。

在R中，可以使用lm(函数来实现线性回归模型的建立和预测。

下面将介绍如何使用R软件实现线性回归模型。

首先，我们需要准备数据，以便进行回归分析。

假设我们有以下数据集，包含了自变量x和因变量y的观测值：```Rx<-c(10,15,20,25,30)y<-c(15,25,35,45,55)```接下来，我们可以使用lm(函数来建立线性回归模型。

lm(函数的基本语法为：```Rmodel <- lm(formula, data)```其中，formula是回归模型的公式，data是包含观测值的数据框。

回归模型的公式可以使用“y ~ x”的形式来表示，表示y是x的线性函数。

我们可以将以上数据集x和y代入lm(函数来建立线性回归模型：```Rmodel <- lm(y ~ x)```建立好线性回归模型后，可以使用summary(函数来查看模型的统计摘要：```Rsummary(model)```summary(函数将输出模型的拟合优度、回归系数的显著性等统计指标。

如果我们要对新的数据进行预测，可以使用predict(函数。

我们可以创建一个包含新数据的数据框，并将其作为predict(函数的参数。

例如，我们要预测x为35和40时的y值：```Rnewdata <- data.frame(x = c(35, 40))predictions <- predict(model, newdata)```predictions将返回预测的y值。

除了简单的一元线性回归模型，我们还可以构建多元线性回归模型。

在多元线性回归模型中，我们可以使用多个自变量来预测因变量。

假设我们有一个包含两个自变量x1和x2以及一个因变量y的数据集：```Rx1<-c(10,15,20,25,30)x2<-c(3,4,6,8,10)y<-c(25,35,45,55,65)```我们可以使用lm(函数来建立多元线性回归模型：```Rmodel <- lm(y ~ x1 + x2)```建立好模型后，可以使用summary(函数和predict(函数来进行模型的统计摘要和预测。

用R语言做回归分析

⽤R语⾔做回归分析使⽤R做回归分析整体上是⽐较常规的⼀类数据分析内容，下⾯我们具体的了解⽤R语⾔做回归分析的过程。

⾸先，我们先构造⼀个分析的数据集x<-data.frame(y=c(102,115,124,135,148,156,162,176,183,195),var1=runif(10,min=1,max=50),var2=runif(10,min=100,max=200),var3=c(235,321,412,511,654,745,821,932,1020,1123))接下来，我们进⾏简单的⼀元回归分析，选择y作为因变量，var1作为⾃变量。

⼀元线性回归的简单原理：假设有关系y=c+bx+e,其中c+bx 是y随x变化的部分，e是随机误差。

可以很容易的⽤函数lm()求出回归参数b,c并作相应的假设检验。

model<-lm(y~var1,data=x)summary(model)Call:lm(formula = x$y ~ x$var1 + 1)Residuals:Min 1Q Median 3Q Max-47.630 -18.654 -3.089 21.889 52.326Coefficients:Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)(Intercept) 168.4453 15.2812 11.023 1.96e-09 ***x$var1 -0.4947 0.4747 -1.042 0.311Signif. codes: 0 ‘’ 0.001 ‘’ 0.01 ‘’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1Residual standard error: 30.98 on 18 degrees of freedomMultiple R-squared: 0.05692, Adjusted R-squared: 0.004525F-statistic: 1.086 on 1 and 18 DF, p-value: 0.3111从回归的结果来看，p值为0.311，变量var1不不显著，正常情况下p值⼩于0.05则认为有⾼的显著性⽔平。

统计学-方法、数据与R的应用第8章一元线性回归

• 由于是通过最小二乘法得到的估计，因此，ˆ0 和 ˆ1分别
称为β0和β1的最小二乘估计
在R里面可以使用函数lm()得到最小二乘估计
8.1.2 参数估计
用该方法得到的直线叫做最小二乘回归直线，可表示为
yˆ ˆ ˆ x
0
1
最小二乘回归直线总是存在的，因为总能找到一条使竖直
距离的平方和最小的直线
分布
也能用一个类似的检验来看看截距是否为0，不过这个假
设一般没什么意义，因为没有自然的理由让这条线一定经
过原点，或者这个假设可能会让我们在数据范围之外进行
外推分析
8.4 模型检验和评价
例8.1继续为了读取一元线性回归分析假设检验等更
多的信息，我们使用summary提取更多的输出结果：
> summary(lm(income~sale))
如果结果被保存在一个变量中，之后查看输出的时候这
部分就很有用了
8.4 模型检验和评价
Residuals:
Min
-4.4066
1Q Median
-1.2755 -0.0695
3Q
Max
1.1848 5.1649
这部分简单地描述了残差的分布，可以帮助用户对分布性
的假设做快速检查。根据定义，残差的均值是0，所以中位
Multiple R-squared: 0.4536,
Adjusted Rsquared: 0.399
8.4 模型检验和评价
对输出结果进行“解剖”
Call:
lm(formula = income ~ sale)
输出的开头本质上在重复一个函数调用。如果只是在R命
令行中将其输出，那么这部分的意义不大。

R软件一元线性回归分析(非常详细)

R软件一元线性回归分析合金钢强度与碳含量的数据序号碳含量/%合金钢强度/107pa10.10 42.020.11 43.030.12 45.040.13 45.050.14 45.060.15 47.570.16 49.080.17 53.090.18 50.0100.20 55.0110.21 55.0120.23 60.0这里取碳含量为x是普通变量，取合金钢强度为y是随机变量使用R软件对以上数据绘出散点图程序如下：>x=matrix(c(0.1,42,0.11,43,0.12,45,0.13,45,0.14,45,0.15,47.5,0.16,49,0.17,53,0.18,50,0.2,55,0.21, 55,0.23,60),nrow=12,ncol=2,byrow=T,dimnames=list(1:12,c("C","E")))>outputcost=as.data.frame(x)>plot(outputcost$C,outputcost$E)0.100.120.140.160.180.200.224550556outputcost$Co u t p u t c o s t $E很显然这些点基本上（但并不精确地）落在一条直线上。

下面在之前数据录入的基础上做回归分析（程序接前文，下同）> lm.sol = lm(E~C,data = outputcost)>summary(lm.sol)得到以下结果：Call:lm(formula = E ~ C, data = outputcost)Residuals: Min 1Q Median 3Q Max-2.00449 -0.63600 -0.02401 0.71297 2.32451Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 28.083 1.567 17.92 6.27e-09 ***C 132.899 9.606 13.84 7.59e-08 ***---Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 1.309 on 10 degrees of freedomMultiple R-squared: 0.9503, Adjusted R-squared: 0.9454 F-statistic: 191.4 on 1 and 10 DF, p-value: 7.585e-08由计算结果分析：常数项=28.083，变量（即碳含量）的系数=132.8990∧β1∧β得到回归方程：=28.083+132.899x∧y 由于回归模型建立使用的是最小二乘法 ,而最小二乘法只是一种单纯的数学方法 ,存在着一定的缺陷 ,即不论变量间有无相关关系或有无显著线性相关关系 ,用最小二乘法都可以找到一条直线去拟合变量间关系。

R实现一元线性回归

R实现⼀元线性回归（⼀）、数据的读⼊与变量间关系通过read.csv函数将整理好的数据读⼊到⼯作空间中，并将数据框中的数据存储为相应的变量名下---数学成绩赋值于math、物理成绩赋值于physics.然后绘制出两门成绩间的散点图以查看两者之间是否具有函数关系：data1 <-read.csv("C:/Users/MyPC/Desktop/管理统计学/管理统计-⼀元线性回归/six.csv",fileEncoding ="GBK")math <-data1[,2];physics <-data1[,3];plot(math,physics,main="散点图",xlab="数学成绩",ylab="物理成绩")（⼆）、图形的解释与关系的确定从散点图中可以看到，两门成绩间为线性关系，且为正相关---即同增同减. 于是利⽤函数cor()求出两门成绩的相关系数如下：cor(math,physics)## [1] 0.7847639（三）、⼀元线性模型的模拟及检验由散点图以及相关系数可知，可使⽤⼀元线性回归模型对所给数据进⾏拟合，并对未来的结果进⾏相应的预测.在拟合的模型基础上对拟合结果进⾏显著性检验，取αα=0.05. 函数代码及拟合结果如下：lm.fit <-lm(physics~math,data=data1)#⼀元线性拟合summary(lm.fit)#### Call:## lm(formula = physics ~ math, data = data1)#### Residuals:## Min 1Q Median 3Q Max## -10.326 -7.793 1.067 5.852 12.223#### Coefficients:## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)## (Intercept) 5.4221 15.0617 0.360 0.724227## math 0.9427 0.1990 4.738 0.000318 ***## ---## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1#### Residual standard error: 8.509 on 14 degrees of freedom## Multiple R-squared: 0.6159, Adjusted R-squared: 0.5884## F-statistic: 22.44 on 1 and 14 DF, p-value: 0.0003178从结果中可以得知：回归⽅程为:yy=0.9427xx+5.4221⼜因PP?vvvvvv vv vv<0.05,所以⾃变量数学成绩与因变量物理成绩有线性关系，且拟合情况良好.plot(residuals(lm.fit))（四）、预测与分析当给定数学成绩为80分时，估计物理成绩的95%的置信区间. 代码及结果如下： pre.point <-data.frame(math=80)predict(lm.fit,pre.point,interval="prediction",level=0.95)## fit lwr upr## 1 80.83471 61.89853 99.77088置信区间为：[61.89853,99.77088].（五）、回归直线与进⼀步的结果回归直线的拟合如下：代码及结果如下：plot(math,physics,main="⼀元线性回归",xlab="数学成绩",ylab="物理成绩") abline(lm.fit)使⽤ggplot2包进⾏进⼀步的分析---置信区间曲线图(取αα=0.05)：library(ggplot2)ggplot(data1,aes(math,physics),xlab("math"),ylab("physics"))+geom_sm ooth(method="lm",color="red",linetype=2)其中红⾊曲线是最佳拟合曲线，阴影带状就是每⼀个math（即数学成绩）对应的physics(即物理成绩)的95%置信区间.。

R做线性回归

R做线性回归本文转载自“R语言”，己获授权。

笔者邀请您，先思考：1 线性回归是什么？2 线性回归怎么应用？本文解释了如何在R中运行线性回归。

本教程将介绍线性回归的假设以及如果假设不满足如何处理。

它还包括拟合模型和计算模型性能指标以检查线性回归模型的性能。

线性回归是最流行的统计技术之一。

它已被使用了三十多年。

它几乎在每个领域都被广泛接受，因为它很容易理解线性回归的输出。

线性回归它是一种发现称为一个连续的因变量或者目标变量与一个或者多个（连续或者不连续）的自变量之间的关系的方法论。

这是一条直线曲线。

在上图中，对角红线是一条回归线，也称为最佳拟合直线。

点与回归线之间的距离是误差（errors）。

线性回归旨在通过最小化点与回归线之间的垂直距离的平方和来找到最佳拟合直线。

变量类型线性回归需要因变量是连续的，即数值（无类别或组）。

简单与元线性回归当只有一个自变量时，线性回归是简单的线性回归（一元线性回归）。

而多元线性回归会有多个自变量。

回归方程解释：当所有自变量变量（Xs）等于0且时，b0是因变量（Y）的期望平均值的截距。

b1是斜率，它代表因变量（Y）的变化量，如果我们改变X1一个单位保持其他变量不变。

重要术语：残差观察到的（实际）因变量值与从回归线预测的因变量值之间的差异。

算法线性回归基于最小二乘估计，其表示回归系数（估计值）应该以使每个观察到的响应与其拟合值的平方距离的总和最小化的方式来选择。

最小样本量线性回归分析中需要每个自变量5个案例。

线性回归分析的假设1.线性关系：线性回归需要依赖因变量和自变量之间的线性关系。

2.残差的正态性：线性回归需要残差应该正态分布。

3.同方差性：线性回归假定所有预测的因变量值的残差大致相等。

换句话说，它意味着误差方差的不变性。

4.没有离群值问题5.多重共线性：这意味着自变量之间有很高的相关性。

线性回归模型不得面临多重共线性问题。

6.误差的独立性 - 无自相关它指出，与一个观测相关的误差与任何其他观测的误差都不相关。

R语言解读一元线性回归模型

R语⾔解读⼀元线性回归模型转载⾃：前⾔在我们的⽇常⽣活中，存在⼤量的具有相关性的事件，⽐如⼤⽓压和海拔⾼度，海拔越⾼⼤⽓压强越⼩；⼈的⾝⾼和体重，普遍来看越⾼的⼈体重也越重。

还有⼀些可能存在相关性的事件，⽐如知识⽔平越⾼的⼈，收⼊⽔平越⾼；市场化的国家经济越好，则货币越强势，反⽽全球经济危机，黄⾦等避险资产越⾛强。

如果我们要研究这些事件，找到不同变量之间的关系，我们就会⽤到回归分析。

⼀元线性回归分析是处理两个变量之间关系的最简单模型，是两个变量之间的线性相关关系。

让我们⼀起发现⽣活中的规律吧。

由于本⽂为⾮统计的专业⽂章，所以当出现与教课书不符的描述，请以教课书为准。

本⽂⼒求⽤简化的语⾔，来介绍⼀元线性回归的知识，同时配合R语⾔的实现。

⽬录1. ⼀元线性回归介绍2. 数据集和数学模型3. 回归参数估计4. 回归⽅程的显著性检验5. 残差分析和异常点检测6. 模型预测1. ⼀元线性回归介绍回归分析（Regression Analysis)是⽤来确定2个或2个以上变量间关系的⼀种统计分析⽅法。

如果回归分析中，只包括⼀个⾃变量X和⼀个因变量Y时，且它们的关系是线性的，那么这种回归分析称为⼀元线性回归分析。

回归分析属于统计学的基本模型，涉及统计学基础，就会有⼀⼤堆的名词和知识点需要介绍。

在回归分析中，变量有2类：因变量和⾃变量。

因变量通常是指实际问题中所关⼼的指标，⽤Y表⽰。

⽽⾃变量是影响因变量取值的⼀个变量，⽤X表⽰，如果有多个⾃变量则表⽰为X1, X2, …, Xn。

回归分析研究的主要步骤：1. 确定因变量Y 与⾃变量X1, X2, …, Xn 之间的定量关系表达式，即回归⽅程。

2. 对回归⽅程的置信度检查。

3. 判断⾃变量Xn(n=1,2,…,m)对因变量的影响。

4. 利⽤回归⽅程进⾏预测。

本⽂会根据回归分析的的主要步骤，进⾏结构梳理，介绍⼀元线性回归模型的使⽤⽅法。

2. 数据集和数学模型先让我们通过⼀个例⼦开始吧，⽤⼀组简单的数据来说明⼀元线性回归分析的数学模型的原理和公式。

用R语言进行简单线性回归分析

用R语言进行简单线性回归分析R语言是一种用于数据分析和统计建模的编程语言，具有丰富的数据处理和可视化功能。

在R中，可以使用线性回归模型来建立变量之间的线性关系，并根据数据拟合出最佳的回归方程。

在进行简单线性回归之前，首先需要加载数据集。

假设我们有一个包含两个变量的数据集，其中一个变量为自变量（X），另一个变量为因变量（Y）。

下面是加载数据集的代码：```Rdata <- read.csv("data.csv") # 读取csv文件x <- data$X # 提取自变量列y <- data$Y # 提取因变量列```接下来，可以使用`lm(`函数来拟合线性回归模型。

`lm(`函数的第一个参数是模型的公式，公式的形式为`Y ~ X`，表示Y是因变量，X是自变量。

第二个参数是数据集。

下面是拟合线性回归模型的代码：```Rmodel <- lm(Y ~ X, data=data) # 拟合线性回归模型```拟合完成后，我们可以使用`summary(`函数来查看回归模型的摘要信息，包括回归系数、截距、R方值等。

下面是打印回归模型摘要信息的代码：```Rsummary(model) # 打印回归模型的摘要信息```回归模型的摘要信息会显示在控制台上，该信息可以帮助我们理解模型的拟合情况和变量之间的关系。

除了摘要信息，我们还可以使用`coef(`函数来提取回归模型的系数。

下面是提取回归模型系数的代码：```Rcoefficients <- coef(model) # 提取回归模型的系数```通过提取的系数，可以得到回归方程的形式为`Y=b0+b1*X`，其中b0代表截距，b1代表自变量的系数。

接下来，我们可以使用`predict(`函数来进行预测。

`predict(`函数的第一个参数是拟合的线性回归模型，第二个参数是新的自变量值。

下面是进行预测的示例代码：```Rnew_x <- c(10, 20, 30) # 新的自变量值predicted_y <- predict(model, data.frame(X=new_x)) # 进行预测```预测结果将会是新的因变量值，它们基于拟合的线性回归模型和给定的自变量值计算得出。

用R进行一元线性回归实验报告

数理统计上机报告姓名：班级：组别：成绩： .合作者：指导教师：实验日期： .上机实验题目：假设检验上机实验目的：1．进一步理解假设检验的基本思想，学会使用u检验、t检验、2 、F检验进行统计推断。

2．学会利用R进行假设检验的方法。

假设检验基本理论、方法：假设检验在数理统计中占有重要地位，它的推理方法与数学中通常使用的方法在表面上类似，但实际大不一样。

通常的数学推理都是演绎推理，即根据给定的条件，进行逻辑推理。

而统计方法则是归纳，从样本中的表现去推断总体的性质。

假设检验是推断统计中的一项重要内容，它与参数估计都是抽样分布的一种应用。

本章将通过使用R软件来进一步理解假设检验的思想，同时介绍如何使用R解决假设检验问题。

1122假设检验采用的思想方法是先假设结论成立，在此前提下进行推导和演算，并依据“小概率事件在一次试验中几乎不可能发生”这一实际推断原理．作出接受或拒绝原假设的结论。

假设检验的一般步骤如下：(1)提出原假设0H 和备择原假设1H ：(2)根据题设选择统计量；(3)根据实际问题选择显著水平性，确定拒绝域：(4)根据样本值计算出的统计量观察值是否落在拒绝域内，作出拒绝0H 或接受0H 的结论。

实验实例和数据资料：实验一：某型号玻璃纸的横向延伸率要求不低于65%，且其服从正态分布，现对一批该型号的玻璃纸测得100个数据如下：试问：该批玻璃纸的横向延伸率是否符合要求实验二：有一种新安眠剂，据说在一定剂量下能比某种旧安眠剂平均增加睡眠时间3h ，根据资料，用某种旧安眠剂时平均睡眠时间为，标准差为。

为了检验新安眠剂的这种说法是否正确，收集到一组使用新安眠剂的睡眠时间（以h 为单位）为：,,,,,,试问：这组数据是否能说明新安眠剂已达到新的疗效上机实验步骤：实验一：，分析原题可知，原假设为H0=65，备择假设为H1<65，单边假设检验，alpha=，单个正态总体，方差未知，对均值假设，t分布x<-c(rep,7),rep,8),rep,11),rep,9),rep,9),rep,12),rep,17),rep,14),rep,5), rep,3),rep,2),rep,0),rep,2),rep,0),rep,1))> length(x)[1] 100> ##rep()复制函数，（，7）为复制7次> xbar<-mean(x)> Sn<-sd(x)> n<-100> t<-(xbar-65)/(Sn/sqrt(n))> t[1]> alpha<> tt<-qt(alpha,n-1,=TRUE)> tt[1]实验二：分析原题可知，原假设为新药睡眠时间H0=，备择假设H1<标准差不变且已知为S=，取alpha=，方差未知判断期望的单个正态总体单边假设检验。

R软件一元线性回归分析(非常详细)

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一元线性回归分析

一元线性回归分析的作用方法步骤

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第一节一元线性回归分析-

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统计学-方法、数据与R的应用 第8章 一元线性回归

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