数学必修二点线面的位置关系
最新数学必修二点线面的位置关系教学讲义ppt
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2.点、线、面之间的关系 (1)直线在平面内的概念: 如果直线 l 上的 所有点 都在平面 α 内,就说直线 l 在平面 α 内, 或者说平面 α 经过直线 l. (2)一些文字语言与数学符号的对应关系:
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3.平面的基本性质 平面的基本性质,即教科书中的三个公理,它们是研究立体几 何的基本理论基础,每个都必须掌握好. 公理 1 的作用:既可判定直线是否在平面内,点是否在平面内, 又可用直线检验平面. 公理 2 的作用:一是确定平面,二是证明点、线共面问题. 公理 3 的作用:一它是判断两个平面是否相交的依据.二它可 以判定点在直线上,点是某两个平面的公共点,线是这两个平 面的公共交线,则这点在交线上.
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(2)几何符号的用法必须符合有关国家标准的规定,使用时原则 上与集合符号的含义一致,但为了方便起见,个别地方与集合 符号略有差异.例如:不再用 a∩b={A}来表示直线 a,b 相交 于点 A,而简记为 a∩b=A,这里的 A 既是一个点,又可以理 解为只含一个元素(点)的集合.
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名师点睛 1.平面的概念 “平面”是一个只描述而不定义的原始概念(像“点”、“直 线”、“集合”等概念一样),常见的桌面、黑板面、平静的水 面等都给我们以平面的形象,几何里的平面就是从这些物体抽 象出来的.但是,几何里的平面是理想的,绝对的平且无大小, 无厚薄,不可度量.它与平面图形的区别在于:平面图形如三 角形、正方形、梯形等有大小,可以度量.
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高中数学必修2点、直线、平面之间的位置关系(1)
1.空间中的平行关系1.集合的语言:点A 在直线l 上,记作: A ∈l ;点A 在平面α内,记作: A ∈α;直线在平面α内(即直线上每一个点都在平面α内),记作l ⊂α ; 注意:点A 是元素,直线是集合,平面也是集合。
2.平面的三个公理:(1)公理一:如果一条直线上的两点在同一个平面内那么这条直线上所有的点都在这个平而内.符号语言表述:A ∈l ,B ∈l , A ∈α, B ∈α⇒l ⊂α ; (2)公理二:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面,即不共线的三点确定一个平面.符号语言表述: A,B,C 三点不共线⇒有且只有一个平面α,使A ∈a, B ∈a, C ∈(3)公理三:如果不重合的两个平面有一个公共点,那么它们 有且只有一条过这个点的公共直线,符号语言表述: A ∈α∩β⇒α∩β= a, A ∈a.3. 平面基本性质的推论推论1:经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面。
推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面。
推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面。
【例1.【解析】(1)D;直线上有两点在一个平面内,则这条直线一定在平面内,公理1保证了A 正确;公理2保证了C 正确;如果两个平面有两个公共点,则它们的交线是过这两点的直线,公理3保证了B 正确;直线不在平面内,可以与平面有一个交点,故D 错误.(2)①错误,如果这三条直线交于一点,比如过正方体同一顶点的三条棱就无法确定一个平面;②正确,两条相交直线确定一个平面;③错误,必须是不共线的三点,如果是共线三点,则有无数个平面;④正确,两条相交的对角线确定一个平面,四个顶点都在这个平面内,故是平面图形;⑤错误,两个平面若相交,公共点必是一条直线;⑥错误;若四点共线,则可以有无穷多个平面过这四点,若是对不共线的四点,该命题正确.【备选】 已知点A ,直线l ,平面α,① αα∉⇒⊄∈A l l A , ② αα∈⇒∈∈A l l ,A ③ αα∉⇒⊂∉A l l A , ④ αα⊄⇒∉∈l A l A , 以上说法表达正确的有______________【解析】④直线不在平面内,可以与平面有一个交点,故①错误; 直线是点集,故只能用l ⊂α,②错误;直线是平面的真子集,故不在直线上的点可以在平面内,③错误; 一条直线在一个平面内,则直线上任一点都在平面内,故④正确。
数学必修二点线面的位置关系
规律方法 解决立体几何问题首先应过好三大语言关,即“文 字语言、图形语言、符号语言”,能实现这三种语言的相互转 换.文字语言和符号语言在转换的时候,要注意符号语言所代 表的含义,由符号语言作出直观图时,要注意实虚线的标注.
第二十一页,编辑于星期日:十三点 十二分。
【变式 1】 根据下列条件,画出图形: 平面 α∩平面 β=AB,直线 CD⊂α,CD∥AB,E∈CD,直线 EF∩β=F,F∉AB. 解 根据条件,画出图形 如图.
第五页,编辑于星期日:十三点 十二分。
想一想:立体几何中的平面与平面几何中的平面图形有什么区 别? 提示 (1)平面图形如三角形、正方形、梯形等,它们有大小之 分;(2)平面是无.大.小.、厚.薄.之分的, 是不.可.度.量.的,无大小, 无面积,它可以无.限.延.展.,没.有.边.界...
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题型三 线共点问题 【例 3】 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 AB 的 中点,F 为 AA1 的中点.求证:CE、D1F、DA 三线交于一点.
[思路探索] 可先证明两条直线相交于一点,再证明该交点也在 另外一条直线上.
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【变式 2】 过直线 l 外一点 P 引两条直线 PA,PB 和直线 l 分 别相交于 A,B 两点,求证:三条直线 PA,PB,l 共面.
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证明 如图,∵点 P,A,B 不共线,
∴点 P,A,B 确定一个平面 α. ∴P∈α,A∈α,B∈α.∴PA⊂α,PB⊂α. 又 A∈l,B∈l,∴l⊂α,∴PA,PB,l 共面.
人教高中数学必修第二册8.4空间点线面之间的位置关系 知识点
位置关系
交点个数图形Βιβλιοθήκη 言符号语言直线在平面内
无数个
直线在平面外
直线与平面相交
只有一个
直线与平面平行
没有
2、直线和平面平行
1.定义:如果一条直线和一个平面没有公共点,那么这条直线与这个平面平行.
2.判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.
推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.
(1)以上是确定平面的四个不同的条件,是判断两个平面重合的依据,是证明点线共面的依据,也是作截面、辅助面的依据.
(2)“有且只有一个”的含义要准确理解.这里的“有”是说图形的存在,“只有一个”是说图形唯一.因此,在证明有关这类语句的命题时,要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证.
(3)异面直线所成角的范围是 .
2.求异面直线所成角的步骤
(1)恰当选点,由平移构造出一个交角;
(2)证平行关系成立;
(3)把角放入三角形或其它平面图形中求出;
(4)作结论:若求出的角是锐角或直角,则它就是所求异面直线所成的角;若求出的角是钝角,则它的补角才是所求异面直线所成的角.
七、直线、平面的位置关系
5.直线与平面垂直的性质
(1)性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.
符号语言:a⊥α,b⊥α⇒a∥b,
如图:
(2)一条直线垂直于一个平面,它就和平面内的任意一条直线垂直.
符号语言:a⊥α,b⊂α⇒a⊥b,
如图:
6.设P是三角形ABC所在平面α外一点,O是P在α内的射影
(1)若PA=PB=PC,则O为△ABC的外心.特别地当∠C=90°时,O为斜边AB中点.
高中数学必修二点、线、面之间的位置关系
1.2点、线、面之间的位置关系考纲要求:①理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.◆公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,这条直线上所有的点在此平面内.◆公理2:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.◆公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.◆公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.◆定理:空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补.②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定.理解以下判定定理.◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行.◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行.◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直.◆如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直.理解以下性质定理,并能够证明.◆如果一条直线与一个平面平行,经过该直线的任一个平面与此平面相交,那么这条直线就和交线平行.◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行.◆垂直于同一个平面的两条直线平行.◆如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线于另一个平面垂直.③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.1.2.1 平面的基本性质重难点:理解平面的概念及表示,掌握平面的基本性质并注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.经典例题:如图,设E,F,G,H,P,Q分别是正方体ABCD-A1B1C1D1所在棱上的中点,求证:E,F,G,H,P,Q共面.当堂练习:1.下面给出四个命题:①一个平面长4m, 宽2m; ②2个平面重叠在一起比一个平面厚; ③一个平面的面积是25m2; ④一条直线的长度比一个平面的长度大, 其中正确命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.32.若点N在直线a上,直线a又在平面内,则点N,直线a与平面之间的关系可记作()A.N B.N C.N D.N3.空间不共线的四点,可以确定平面的个数为()A.0B.1C.1或4D.无法确定4.空间四点A,B,C,D共面但不共线,则下面结论成立的是()A.四点中必有三点共线B.四点中必有三点不共线C.AB,BC,CD,DA四条直线中总有两条平行D.直线AB与CD必相交5.空间不重合的三个平面可以把空间分成()A.4或6或7个部分B.4或6或7或8个部分C.4或7或8个部分D.6或7或8个部分6.下列说法正确的是()①一条直线上有一个点在平面内, 则这条直线上所有的点在这平面内; ②一条直线上有两点在一个平面内, 则这条直线在这个平面内; ③若线段AB, 则线段AB延长线上的任何一点一点必在平面内; ④一条射线上有两点在一个平面内, 则这条射线上所有的点都在这个平面内.A.①②③B.②③④C.③④D.②③7.空间三条直线交于同一点,它们确定平面的个数为n,则n的可能取值为()A.1 B.1或3 C.1或2或3 D.1或48.如果那么下列关系成立的是()A.B.C.D.9.空间中交于一点的四条直线最多可确定平面的个数为()A.7个B.6个C.5个D.4个10.两个平面重合的条件是它们的公共部分有()A.两个公共点B.三个公共点C.四个公共点D.两条平行直线11.一条直线和直线外的三点所能确定的平面的个数是()A.1或3个B.1或4个C.1个、3个或4个D.1个、2个或4个12.三条直线两两相交,可以确定平面的个数是()A.1个B.1个或2个C.1个或3个D.3个13.空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点,如果EF GH=P,则点P()A.一定在直线BD上B.一定在直线AC上C.在直线AC或BD上D.不在直线AC上也不在直线BD上14.设平面与平面交于直线, 直线, 直线,, 则M_______.15.直线AB、AD,直线CB、CD,点E AB,点F BC,点G CD,点H DA,若直线HE直线FG=M,则点M必在直线___________上.16.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别为AA1、C1D1的中点,过D、M、N三点的平面与直线A1B1交于点P,则线段PB1的长为_______________.17.如图, 正方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线BD1与过A1、D、C1的平面交于点M,则BM:MD1=________________.18.如图,E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点,且EH与FG交于点O.求证:B、D、O三点共线.19.证明梯形是平面图形.20.已知: 直线, 且直线与a, b, c都相交.求证: 直线共面.21.在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 直线A1C交平面ABC1D1于点M , 试作出点M 的位置.参考答案:经典例题:证明:连接EF,QG,E,F,Q,G分别是A1D1,D1C1,A1A,C1C的中点,EF||A1C1||QG, 同理FG||EP,设E,F,G,Q确定平面,F,G,E,P确定平面,由于都经过不共线的三点E,F,G,故重合,即E,F,G,P,Q五点共面,同理可证E,F,G,H,Q五点共面,故E,F,G,H,P,Q共面.当堂练习:1.A;2.B;3.C;4.B;5.B;6.B;7.B;8.A;9.B; 10.D; 11.C; 12.C; 13.A; 14.; 15. BD; 16.; 17. 2:1;18.证明:E,. .. 同理可证O, , 即B、D、O三点共线.20.证明: 如图,设与分别交于A ,B ,C ,经过可确定一个平面经过a, b可确定一个平面.,同理B,则AB, 即因经过的平面有且只有一个, 与为同一平面.同理即共面.21.解: 连结D1B , A1B , CD1, 则D1B与A1C的交点即为所求作的点M.证明: D1B平面ABC1D1 , D1B平面A1BCD1 ,平面ABC1D1平面A1BCD1= D1B.A1C平面ABC1D1=M, M平面AB C1D1, M平面A1BCD1 ,M D1B.故M为D1B与A1C的交点.。
必修二第2章点线面的位置关系归纳整合
(2)证明线线垂直的方法 ①线线垂直的定义:两条直线所成的角是直角,在研究异面直 线所成的角时,要通过平移把异面直线转化为相交直线; ②线面垂直的性质:a⊥α,b⊂α⇒a⊥b; ③线面垂直的性质:a⊥α,b∥α⇒a⊥b.
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2.线面关系 直线与平面之间的位置关系有且只有线在面内、相交、平行三 种 . (1)证明直线与平面平行的方法 ①线面平行的定义; ②判定定理:a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α; ③平面与平面平行的性质:α∥β,a⊂α⇒a∥β.
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3.三线共点问题 证明三线共点问题,先证两条直线交于一点,再证明第三条直 线经过这点,把问题转化为证明点在直线上的问题.
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【例 1】 如图所示,空间四边形 ABCD 中 E,F 分别为 AB, AD 的中点,G,H 分别在 BC,CD 上,且 BG∶GC=DH∶HC =1∶2.求证:
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(2)证明面面垂直的方法 ①面面垂直的定义:两个平面相交所成的二面角是直二面角; ②面面垂直的判定定理:a⊥β,a⊂α⇒α⊥β.
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4.证明空间线面平行或垂直需注意的三点 (1)由已知想性质,由求证想判定. (2)适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一. (3)用定理时要先明确条件,再由定理得出相应结论. 5.“升降维”思想 用降维的方法把空间问题转化为平面或直线问题,可以使问题得 到解决.用升维的方法把平面或直线中的概念、定义或方法向空 间推广,可以从已知探索未知,是“学会学习”的重要方法. 平面图形的翻折问题的分析与解决,就是升维与降维思想方法的 不断转化运用的过程.
第1节.点线面的位置关系
B
文字语言:公理1.如果一条直线上两点 在一个平面内,那么这条直 线在此平面内(即这条直线 上的所有的点都在这个平面 图形语言:内)。
l α A B
符号表示: 符号语言: A l , B l , 且A , B l
观察下列问题,你能得到什么结论_?
B
A
B
C
必修二第二章
第一节.空间点、直线、 平面之间的位置关系
一.平面的概念: 光滑的桌面、平静的湖面等都 是我们熟悉的平面形象,数学中的 平面概念是现实平面加以抽象的结 果。
二.平面的特征:
平面没有大小、厚薄和宽窄,平面 在空间是无限延伸的。
三.平面的画法:
(1)水平放置的平 (2)垂直放置的平 面: 面: ß
2 3
3
1
1
2
3
l1
C
l2
A
B
l3
多线共点问题的证明
例2:如图,已知三个平面 , , , 且 a, b, c, a b P, 求证:点P在直线c
上.
b
c P
a
补充练习:
l 上的点,又点A不在平面 内, 1、A为直线 则l 与 的公共点最多有 _______ 1 个.
概念巩固
下列五个命题中,正确的是( C、E ) A、四边形一定是平面图形 B、空间的三个点确定一个平面 C、梯形一定是平面图形 D、六边形一定是平面图形 E、三角形一定是平面图形
和平面 相交的图形 练习2:画出平面
练习3:画出满足下列条件的图形(其中 , a, b, l 为直线) 为平面,
五.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关 系: (1)点与直线的位置关系:
高中数学必修2第二章-空间点、直线、平面之间的位置关系PPT
思考
在同一平面内两条相交直线形成四个角,常
取较小的一组角来度量这两条直线的位置关系,这
个角叫做两条直线的夹角.在空间中怎样度量两条
异面直线的位置关系呢?
a
a
b b
平面内两条相交直线 空间中两条异面直线
25
已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直
线 a//a,•b/b /,把 a 与b 所成的锐角(或直角)叫
“点P在直线l 外”,“点A在平面α外”Pl,A
直线 l 在平面α内,或者说平面α经过直线 l
直线 l 在平面α外.
l ,l
10
平面的基本性质
思考1:如何让一条直线在一个平面内?
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内 ,那么这条直线在此平面内.
平面经过这条直线 集合符号表示
A.
B.
α
A l,B l,且 A ,B l
如:AD 与 BB,AD与 BB等.
D
(2)如果两条平行直线中的 A
一条与某一条直线垂直,那么,
D
另一条直线是否也与这条直线 A
垂直?
垂直
C B
C B
(3)垂直于同一条直线的两条直线是否平行?
不一定,如上图的立方体中
直线AB与BC相交, A B B B ,B C B B ,
28
本节小结
基本知识 (1)空间直线的三种位置关系. (2)平行线的传递性. (3)等角定理. (4)异面直线所成的角.
基本方法 把空间中问题通过平移转化为平面问题.
29
2.1.3
空间中直线与平面之间 的位置关系
30
主要内容
直线与平面的位置关系 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行
人教高中数学必修第二册8.4空间点线面之间的位置关系 知识点
空间点线面之间的位置关系一、平面1.平面的概念:平面是一个不加定义,只需理解的原始概念.立体几何里所说的的平面是从现实生活中常见的平面抽象出来的.常见的桌面、平静的水面等都给我们以平面的局部形象.平面是理想的、绝对的平且无大小,无厚度,不可度量. 2.平面的表示方法:(1)一个平面: 当平面是水平放置的时候,通常把平行四边形的锐角 画成45o,横边画成邻边的2倍长,如右图. (2)两个相交平面:画两个相交平面时,通常要化出它们的交线,当一个平面的一部分被另一个平面遮住,应把被遮住部分的线段画成虚线或不画(如下图)3. 运用集合观点准确使用图形语言、符号语言和文字语言空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看,点动成线,线动成面,从而可以把直线、平面看成是点的集合,因此还可借用集合中的符号语言来表示点、线、面的基本位置关系如下表所示:αBA βαABαβαβBAAβαBA a ∉ 点A 不在直线a 上A α∈ 点A 在平面α内A α∉点A 不在平面α内b a Aa b A =I直线a 、b 交于A 点a α⊂直线a 在平面α内a α=∅I 直线a 与平面α无公共点a A α=I 直线a 与平面α交于点Al αβ=I 平面α、β相交于直线l二、平面的基本性质1. 公理1 如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内推理模式:A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭. 如图示: 或者:∵,A B αα∈∈,∴AB α⊂ 公理1的作用:①判定直线是否在平面内;②判定点是否在平面内; ③检验面是否是平面.2. 公理2 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面推理模式:,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合或者:∵,,A B C 不共线,∴存在唯一的平面α,使得,,A B C α∈. 推论1:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面; 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面;BA αA αAαA aaαaαa Aα推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.(1)以上是确定平面的四个不同的条件,是判断两个平面重合的依据,是证明点线共面的依据,也是作截面、辅助面的依据.(2)“有且只有一个”的含义要准确理解.这里的“有”是说图形的存在,“只有一个”是说图形唯一.因此,在证明有关这类语句的命题时,要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证. 2. 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点,有且只有一条过该点的公共直线推理模式:A A l A ααββ∈⎫⇒∈=⎬∈⎭I 如图示: 或者:∵,A A αβ∈∈,∴,l A l αβ=∈I 公理3的作用:(1)判断两个平面是否相交及交线位置; (2)判断点是否在线上 1、证明空间三点共线问题通常证明这些点都在两个平面的交线上,即先确定出某两点在两个平面的交线上,再证明第三点既在第一个平面内,又在第二个平面内。
高中数学必修二课件:空间点、直线、平面之间的位置关系
5.若点M是两条异面直线a,b外的一点,则过点M且与a,b都平行的平面 有__0_或__1___个.
解析 当点M在过a且与b平行的平面或过b且与a平行的平面内时,没有满足 条件的平面;当点M不在上述两个平面内时,满足题意的平面只有1个.
那么这两个平面的位置关系一定是( C )
A.平行
B.相交
C.平行或相交
D.以上都不对
(2)已知平面α,β ,且α∥β ,直线a⊂α,直线b⊂β,则直线a与直线b具
有怎样的位置关系?画出图形.
【思路】 由α∥β,a⊂α,b⊂β,可知直线a,b无公共点.
【解析】 由题意得直线a,b无公共点,所以直线a,直线b可能平行或异 面.如图所示,在长方体模型中若直线AC就是直线a,B1D1就是直线b,则直线a 与直线b异面;若直线BD就是直线a,B1D1就是直线b,则直线a与直线b平行.
综合①②可知c与b相交或异面.
探究1 判断两直线的位置关系,不能局限于平面内,要把直线置身于空间 考虑,有时可分为平面和空间两种情形讨论.
思考题1 (1)正方体ABCD-A1B1C1D1中和AB平行的棱有_A_1_B_1,__C_D_,_C_1_D_1; 和AB异面的棱有__C_C_1_,_D_D_1_,_A_1_D_1,__B_1C_1___.
平面α与β平行,记作α∥β.
1.如何画异面直线?
答:画异面直线时,为了充分显示出它们既不平行又不相交的特点,即不 共面的特点,常常需要以辅助平面作为衬托,以加强直观性,如下图①②③, 若画成如图④的情形,就区分不开了,因此千万不能画成如图④的图形.
2.如何判断异面直线? 答:①定义法.②两直线既不平行也不相交.
③直线a不平行于平面α,则a不平行于α内任何一条直线.
高中数学 1.2点线面之间的位置关系课件 新人教A版必修2
文字语言 点P在直线AB上 (或直线AB经过点P)
符号语言
图形语言
P AB
P A C A B M A1 A A C A C B
A
A1 平面AC
AB BC B
C
B
C B
AB 平面AC
AA1 平面AC
A
A A A1
A C A A1
C
练习.正方体的各顶点如图所示,正方体的三个面所在平 面 A1C1 , A1B1 , B1C1,分别记作 、、 ,试用适当的 符号填空. (1) A1 _______ ∈ , B1 _______ ∈
(5)、经过空间任意三点有且只有一个平面;
(6)、如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面就 重合为一个平面。
思考:
1、当线段AB在平面内时,直线AB是否 在此平面内?说明理由。
公理2 经过不在同一条直线上 的三点有且只有一个平面
•A
B• •C
现在,你能回答下列问题了吗?
用两个合页和一把锁就可以将一扇门固定, 为什么? 将一把直尺置于桌面上,通过是否漏光就能 检查桌面是否平整,为什么? 照相机支架为什么只需三条腿就够了? 为什么许多自行车后轮旁只安装一只撑脚?
练习:画两个相交的平面,并标上字母。
1.根据下列符号表示的语句,说出 有关点、线、面的关系,并画出图形. (1) A , B (2)l , m
(3) l
(4) P l , P , Q l , Q
高中数学必修2第二章点、线、面的位置关系知识点+习题+答案(K12教育文档)
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D CB Aα 第二章 直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系1 平面含义:平面是无限延展的2 平面的画法及表示(1)平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成450,且横边画成邻边的2倍长(如图)(2)平面通常用希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC 、平面ABCD 等。
3 三个公理:(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 公理1作用:判断直线是否在平面内(2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
符号表示为:A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α, 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
公理2作用:确定一个平面的依据。
推论1:一条直线与它外一点确定一个平面。
推论2:两条平行直线确定一个平面。
推论3:两条相交直线确定一个平面。
(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号表示为:P ∈α∩β =〉α∩β=L,且P ∈L 公理3作用:判定两个平面是否相交的依据2。
高中数学必修2《第2章:点线面的位置关系(2.1空间点、直线、平面之间的位置关系)》学生版
个性化辅导教案学员姓名科目年级高一授课时间课时 3 授课老师教学目标重点难点第二章:点线面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1平面平面[导入新知]1.平面的概念几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是无限延展的.2.平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形,它的锐角通常画成45°,且横边长等于其邻边长的2倍.如图①.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,把被遮挡部分用虚线画出来.如图②.3.平面的表示法图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.[化解疑难]几何里的平面有以下几个特点(1)平面是平的;(2)平面是没有厚度的;(3)平面是无限延展而没有边界的;平面的基本性质[导入新知]平面的基本性质公理内容图形符号公理1如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒l⊂α公理2过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面A,B,C三点不共线⇒存在唯一的α使A,B,C∈α公理3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α,P∈β⇒α∩β=l,且P∈l[化解疑难]从集合角度理解点、线、面之间的关系(1)直线可以看成无数个点组成的集合,故点与直线的关系是元素与集合的关系,用“∈”或“∉”表示;(2)平面也可以看成点集,故点与平面的关系也是元素与集合的关系,用“∈”或“∉”表示;(3)直线和平面都是点集,它们之间的关系可看成集合与集合的关系,故用“⊂”或“⊄”表示.文字语言、图形语言、符号语言的相互转化[例1]根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系.(1)点P与直线AB;(2)点C与直线AB;(3)点M与平面AC;(4)点A1与平面AC;(5)直线AB与直线BC;(6)直线AB与平面AC;(7)平面A1B与平面AC.[解](1)点P∈直线AB;(2)点C∉直线AB;(3)点M∈平面AC;(4)点A1∉平面AC;(5)直线AB∩直线BC=点B;(6)直线AB⊂平面AC;(7)平面A1B∩平面AC=直线AB.[类题通法]三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别.[活学活用]1.根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应的图形:(1)A∈α,B∉α;(2)l ⊂α,m∩α=A,A∉l;(3)P∈l,P∉α,Q∈l,Q∈α.点、线共面问题[例2]证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内.[解]已知:如图所示,l 1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.求证:直线l1、l2、l3在同一平面内.证法1:(纳入平面法)∵l1∩l2=A,∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3=B,∴B∈l2.又∵l2⊂α,∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3,C∈l3,∴l3⊂α.∴直线l1、l2、l3在同一平面内.证法2:(辅助平面法)∵l1∩l2=A,∴l1、l2确定一个平面α.∵l2∩l3=B,∴l2、l3确定一个平面β.∵A∈l2,l2⊂α,∴A∈α.∵A∈l2,l2⊂β,∴A∈β.同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内,又在平面β内.∴平面α和β重合,即直线l1、l2、l3在同一平面内.证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2,常用方法有(1)先由部分点、线确定一个面,再证其余的点、线都在这个平面内,即用“纳入法”;(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α,其余点、线确定另一个平面β,再证平面α与β重合,即用“同一法”;(3)假设不共面,结合题设推出矛盾,用“反证法”.[活学活用]2.下列说法正确的是()①任意三点确定一个平面②圆上的三点确定一个平面③任意四点确定一个平面④两条平行线确定一个平面A.①②B.②③C.②④D.③④共线问题[例3]已知△ABC在平面α外,其三边所在的直线满足AB∩α=P,BC∩α=Q,AC∩α=R,如图所示.求证:P,Q,R三点共线.[证明]法一:∵AB∩α=P,∴P∈AB,P∈平面α.又AB⊂平面ABC,∴P∈平面ABC.∴由公理3可知:点P在平面ABC与平面α的交线上,同理可证Q,R也在平面ABC与平面α的交线上.∴P,Q,R三点共线.法二:∵AP∩AR=A,∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α=P,AC∩α=R,∴平面APR∩平面α=PR.∵B∈平面APR,C∈平面APR,∴BC⊂平面APR.∵Q∈BC,∴Q∈平面APR,又Q∈α,∴Q∈PR,∴P,Q,R三点共线.[类题通法]点共线:证明多点共线通常利用公理3,即两相交平面交线的唯一性,通过证明点分别在两个平面内,证明点在相交平面的交线上,也可选择其中两点确定一条直线,然后证明其他点也在其上.3.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q,求证:B,Q,D1三点共线.2.证明三线共点问题[典例]如图,在四面体ABCD中,E,G分别为BC,AB的中点,F在CD上,H在AD上,且有DF∶FC=DH∶HA=2∶3.求证:EF,GH,BD交于一点.[解题流程]欲证EF、GH、BD交于一点,可先证两条线交于一点,再证此点在第三条直线上.由DF∶FC=DH∶HA=2∶3可得GE∥FH且GE≠FH,即EFHG是梯形,由此得到GH与EF交于一点.证明E 、F 、H 、G 四点共面―→EFHG 为梯形―→GH 和EF 交于一点O ―→证O ∈平面ABD ―→O ∈平面BCD ―→平面ABD ∩平面BCD =BD ―→O ∈BD ―→得出结论.[规范解答]因为E ,G 分别为BC ,AB 的中点,所以GE ∥AC .又因为DF ∶FC =DH ∶HA =2∶3,所以FH ∥AC ,从而FH ∥GE .∴GE ≠FH .(4分)故E ,F ,H ,G 四点共面.又因为GE =12AC ,FH =25AC ,所以四边形EFHG 是一个梯形,设GH 和EF交于一点O .(6分)因为O 在平面ABD 内,又在平面BCD 内,所以O 在这两平面的交线上,而这两个平面的交线是BD ,(9分)且交线只有这一条,所以点O 在直线BD 上.(10分)这就证明了GH 和EF 的交点也在BD 上,所以EF ,GH ,BD 交于一点.(12分)[名师批注]如何证明四点共面?,根据公理2的推论可知,本题可利用HF ∥GE 即可确定E ,F ,H ,G 四点共面.为什么GH 和EF 交于一点?,因为E ,F ,H ,G 四点共面,且GE 綊12AC ,HF 綊25AC ,所以GE ∥HF 且GE ≠HF ,即EFHG 为梯形,梯形两腰延长线必相交于一点.怎样确定第三条直线也过交点?只要证明交点在第三条直线上,这条直线恰好是分别过GH 和EF 的两个平面的交线.[活学活用]如图所示,在空间四边形各边AD ,AB ,BC ,CD 上分别取E ,F ,G ,H 四点,如果EF ,GH 交于一点P ,求证:点P 在直线BD 上.[随堂即时演练]1.若点Q在直线b上,b在平面β内,则Q,b,β之间的关系可记作()A.Q∈b∈βB.Q∈b⊂βC.Q⊂b⊂βD.Q⊂b∈β2.两个平面若有三个公共点,则这两个平面()A.相交B.重合C.相交或重合D.以上都不对3.下列对平面的描述语句:①平静的太平洋面就是一个平面;②8个平面重叠起来比6个平面重叠起来厚;③四边形确定一个平面;④平面可以看成空间中点的集合,它当然是一个无限集.其中正确的是________.4.设平面α与平面β交于直线l,A∈α,B∈α,且直线AB∩l=C,则直线AB∩β=________. 5.将下列符号语言转化为图形语言.(1)a⊂α,b∩α=A,A∉a.(2)α∩β=c,a⊂α,b⊂β,a∥c,b∩c=P.2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系空间两直线的位置关系[导入新知]1.异面直线(1)定义:不同在任何一个平面内的两条直线.(2)异面直线的画法2.空间两条直线的位置关系位置关系 特 点相交 同一平面内,有且只有一个公共点平行 同一平面内,没有公共点 异面直线不同在任何一个平面内,没有公共点[化解疑难]1.对于异面直线的定义的理解异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线.注意异面直线定义中“任何”两字,它指空间中的所有平面,因此异面直线也可以理解为:在空间中找不到一个平面,使其同时经过a 、b 两条直线.例如,如图所示的长方体中,棱AB 和B 1C 1所在的直线既不平行又不相交,找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线,故AB 与B 1C 1是异面直线.2.空间两条直线的位置关系①若从有无公共点的角度来看,可分为两类:直线⎩⎨⎧有且仅有一个公共点——相交直线,无公共点——⎩⎪⎨⎪⎧平行直线,异面直线.②若从是否共面的角度看,也可分两类:直线⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线,平行直线,不共面直线:异面直线.平行公理及等角定理[导入新知]1.平行公理(公理4)(1)文字表述:平行于同一条直线的两条直线互相平行.这一性质叫做空间平行线的传递性. (2)符号表述:⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c . 2.等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.3.异面直线所成的角(1)定义:已知两条异面直线a ,b ,经过空间任一点O 作直线a ′∥a ,b ′∥b ,我们把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角).(2)异面直线所成的角θ的取值范围:0°<θ≤90°. (3)当θ=π2时,a 与b 互相垂直,记作a ⊥b .[化解疑难]对平行公理与等角定理的理解公理4表明了平行的传递性,它可以作为判断两直线平行的依据,同时也给出了空间两直线平行的一种证明方法.等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的,它是公理4的直接应用,并且当这两个角的两边方向分别相同时,它们相等,否则它们互补.两直线位置关系的判定[例1]如图,正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,判断下列直线的位置关系: ①直线A 1B 与直线D 1C 的位置关系是________; ②直线A 1B 与直线B 1C 的位置关系是________; ③直线D 1D 与直线D 1C 的位置关系是________; ④直线AB 与直线B 1C 的位置关系是________.[解析] 直线D 1D 与直线D 1C 相交于D 1点,所以③应该填“相交”;直线A 1B 与直线D 1C 在平面A 1BCD 1中,且没有交点,则两直线平行,所以①应该填“平行”;点A 1、B 、B 1在平面A 1BB 1内,而C 不在平面A 1BB 1内,则直线A 1B 与直线B 1C 异面.同理,直线AB 与直线B 1C 异面.所以②④应该填“异面”.[答案] ①平行 ②异面 ③相交 ④异面 [类题通法]1.判定两条直线平行或相交的方法判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断,而两条直线平行也可以用公理4判断. 2.判定两条直线是异面直线的方法(1)定义法:由定义判断两直线不可能在同一平面内.(2)重要结论:连接平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为A∉α,B∈α,l⊂α,B∉l⇒AB与l是异面直线(如图).[活学活用]1.(2012·台州高一检测)如图,AA1是长方体的一条棱,这个长方体中与AA1异面的棱的条数是()A.6B.4C.5 D.82.若a,b,c是空间三条直线,a∥b,a与c相交,则b与c的位置关系是________.平行公理及等角定理的应用[例2]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD和A1D1的中点.(1)求证:四边形BB1M1M为平行四边形;(2)求证:∠BMC=∠B1M1C1.[证明](1)在正方形ADD1A1中,M、M1分别为AD、A1D1的中点,∴MM1綊AA1.又∵AA1綊BB1,∴MM1∥BB1,且MM1=BB1,∴四边形BB1M1M为平行四边形.(2)法一:由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知,∠BMC和∠B1M1C1都是锐角.∴∠BMC=∠B1M1C1.法二:由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,∴B1M1=BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,∴C1M1=CM.又∵B1C1=BC,∴△BCM≌△B1C1M1.∴∠BMC=∠B1M1C1.[类题通法]1.证明两条直线平行的方法:(1)平行线定义(2)三角形中位线、平行四边形性质等(3)公理42.空间中,如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补,当两个角的两边方向都相同时或都相反时,两个角相等,否则两个角互补,因此,在证明两个角相等时,只说明两个角的两边分别对应平行是不够的.[活学活用]3.如图,已知E ,F ,G ,H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 的中点.(1)求证:E ,F ,G ,H 四点共面;(2)若四边形EFGH 是矩形,求证:AC ⊥BD .两异面直线所成的角[例3] 如图,已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,A 1A =AB ,E 、F 分别是BD 1和AD 中点,求异面直线CD 1,EF 所成的角的大小.[解] 取CD 1的中点G ,连接EG ,DG ,∵E 是BD 1的中点,∴EG ∥BC ,EG =12BC .∵F 是AD 的中点,且AD ∥BC ,AD =BC ,∴DF ∥BC ,DF=12BC ,∴EG ∥DF ,EG =DF ,∴四边形EFDG 是平行四边形, ∴EF ∥DG ,∴∠DGD 1(或其补角)是异面直线CD 1与EF 所成的角.又∵A 1A =AB ,∴四边形ABB 1A 1,四边形CDD 1C 1都是正方形,且G 为CD 1的中点,∴DG ⊥CD 1,∴∠D 1GD =90°,∴异面直线CD 1,EF 所成的角为90°. [类题通法]求两异面直线所成的角的三个步骤(1)作:根据所成角的定义,用平移法作出异面直线所成的角; (2)证:证明作出的角就是要求的角; (3)计算:求角的值,常利用解三角形得出.可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角范围是(0°,90°]. [活学活用]4.已知ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体,求异面直线A 1C 1与B 1C 所成角的大小.2.探究空间中四边形的形状问题[典例] 如图,空间四边形ABCD 中,E ,F ,G ,H 分别是AB ,BC ,CD ,DA 的中点. 求证:四边形EFGH 是平行四边形. [证明] 连接BD .因为EH 是△ABD 的中位线, 所以EH ∥BD ,且EH =12BD .同理,FG ∥BD ,且FG =12BD .因此EH ∥FG . 又EH =FG ,所以四边形EFGH 为平行四边形. [多维探究] 1.矩形的判断本例中若加上条件“AC ⊥BD ”,则四边形EFGH 是什么形状?证明:由例题可知EH ∥BD ,同理EF ∥AC , 又BD ⊥AC , 因此EH ⊥EF ,所以四边形EFGH 为矩形. 2.菱形的判断本例中,若加上条件“AC =BD ”,则四边形EFGH 是什么形状? 证明:由例题知EH ∥BD ,且EH =12BD ,同理EF ∥AC ,且EF =12AC .又AC =BD , 所以EH =EF .又EFGH 为平行四边形, 所以EFGH 为菱形. 3.正方形的判断本例中,若加上条件“AC ⊥BD ,且AC =BD ”,则四边形EFGH 是什么形状? 证明:由探究1与2可知, EFGH 为正方形. 4.梯形的判断若本例中,E 、H 分别是AB 、AD 中点,F 、G 分别是BC ,CD 上的点,且CF ∶FB =CG ∶GD =1∶2,那么四边形EFGH 是什么形状?证明:由题意可知EH 是△ABD 的中位线,则EH ∥BD 且EH =12BD .又CF FB =CG GD =12, ∴FG ∥BD , FG BD =FC BC =13, ∴FG =13BD ,∴FG ∥EH 且FG ≠EH , ∴四边形EFGH 是梯形. [方法感悟]根据三角形的中位线、公理4证明两条直线平行是常用的方法.公理4表明了平行线的传递性,它可以作为判断两条直线平行的依据,同时也给出空间两直线平行的一种证明方法.[随堂即时演练]1.不平行的两条直线的位置关系是()A.相交B.异面C.平行D.相交或异面2.已知AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30°,则∠PQR等于()A.30°B.30°或150°C.150°D.以上结论都不对3.已知正方体ABCD-EFGH,则AH与FG所成的角是________.4.正方体AC1中,E,F分别是线段C1D,BC的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是________.5.如图所示,空间四边形ABCD中,AB=CD,AB⊥CD,E、F分别为BC、AD的中点,求EF和AB所成的角.2.1.3 & 2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系空间中直线与平面的位置关系[导入新知]直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α=A a∥α图形表示[化解疑难]1.利用公共点的个数也可以理解直线与平面的位置关系.(1)当直线与平面无公共点时,直线与平面平行.(2)当直线与平面有一个公共点时,直线与平面相交.(3)当直线与平面有两个公共点时,它们就有无数个公共点,这时直线在平面内.2.直线在平面外包括两种情形:a∥α与a∩α=A.空间中平面与平面的位置关系[导入新知]两个平面的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行α∥β没有公共点两平面相交α∩β=l有无数个公共点(在一条直线上)[化解疑难]1.判断面面位置关系时,要利用好长方体(或正方体)这一模型.2.画两个互相平行的平面时,要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行.直线与平面的位置关系[例1]下列说法:①若直线a在平面α外,则a∥α;②若直线a∥b,直线b⊂α,则a∥α;③若直线a∥b,b⊂α,那么直线a就平行于平面α内的无数条直线.其中说法正确的个数为()A.0个B.1个C.2个D.3个[解析]对于①,直线a在平面α外包括两种情况:a∥α或a与α相交,∴a和α不一定平行,∴①说法错误.对于②,∵直线a∥b,b⊂α,则只能说明a和b无公共点,但a可能在平面α内,∴a不一定平行于α.∴②说法错误.对于③,∵a∥b,b⊂α,∴a⊂α或a∥α,∴a与平面α内的无数条直线平行.∴③说法正确.[答案] B[类题通法]空间中直线与平面只有三种位置关系:直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行.在判断直线与平面的位置关系时,这三种情形都要考虑到,避免疏忽或遗漏.另外,我们可以借助空间几何图形,把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中,以便于正确作出判断,避免凭空臆断.[活学活用]1.下列说法中,正确的个数是()①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交,那么另一条直线也和这个平面相交;②一条直线和另一条直线平行,它就和经过另一条直线的任何平面都平行;③经过两条异面直线中的一条直线,有一个平面与另一条直线平行;④两条相交直线,其中一条与一个平面平行,则另一条一定与这个平面平行.A.0 B.1C.2 D.3平面与平面的位置关系[例2](1)平面α内有无数条直线与平面β平行,问α∥β是否正确,为什么?(2)平面α内的所有直线与平面β都平行,问α∥β是否正确,为什么?[解](1)不正确.如图所示,设α∩β=l,则在平面α内与l平行的直线可以有无数条:a1,a2,…,a n,…,它们是一组平行线,这时a1,a2,…,a n,…与平面β都平行(因为a1,a2,…,a n,…与平面β无交点),但此时α与β不平行,α∩β=l.(2)正确.平面α内所有直线与平面β平行,则平面α与平面β无交点,符合平面与平面平行的定义.[类题通法]两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系类似,可以从有无公共点区分:如果两个平面有一个公共点,那么由公理3可知,这两个平面相交于过这个点的一条直线;如果两个平面没有公共点,那么就说这两个平面互相平行.这样我们可以得出两个平面的位置关系:①平行——没有公共点;②相交——有且只有一条公共直线.若平面α与β平行,记作α∥β;若平面α与β相交,且交线为l,记作α∩β=l.[活学活用]2.在底面为正六边形的六棱柱中,互相平行的面视为一组,则共有________组互相平行的面.与其中一个侧面相交的面共有________个.3.如图所示,平面ABC 与三棱柱ABC -A 1B 1C 1的其他面之间有什么位置关系?3.有关截面图形的形状问题[典例] 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点Q 是棱DD 1上的动点,判断过A ,Q ,B 1三点的截面图形的形状.[解题流程]欲判断过A ,Q ,B 1三点的截面图形的形状,需分析Q 点的位置.点Q 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱DD 1上的动点,首先讨论Q 位置.⎭⎪⎬⎪⎫点Q 与D 1重合点Q 与D 重合点Q 不与D ,D 1重合―→分别判断―→得出结论.[规范解答]由点Q 在线段DD 1上移动,当点Q 与点D 1重合时,截面图形为等边三角形AB 1D 1,如图甲.(4分)甲 [名师批注]因为Q是棱DD1上的动点,所以当Q与D1重合时,D1B1,AB1,AD1均为正方形的对角线,即D1B1=AB1=AD1,所以,△AB1D1为正三角形.当点Q与点D重合时,截面图形为矩形AB1C1D,如图乙.(8分)乙[名师批注]点Q在DD1上,两个端点是特殊位置,所以Q与D重合时,由DC1∥AB1知,截面是矩形AB1C1D.当点Q不与点D,D1重合时,截面图形为等腰梯形AQRB1,如图丙.(12分)丙[名师批注]当Q在DD1两点之间时,延长AQ交A1D1延长线于O点,连接B1O交C1D1于R点,则AB1RQ为截面图形.[活学活用]如图所示,G是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1延长线上的一点,E,F是棱AB,BC的中点.试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线.(1)过点G及AC;(2)过三点E,F,D1.[随堂即时演练]1.M∈l,N∈l,N∉α,M∈α,则有()A.l∥αB.l⊂αC.l与α相交D.以上都有可能2.如图所示,用符号语言可表示为()A.α∩β=lB.α∥β,l∈αC.l∥β,l⊄αD.α∥β,l⊂α3.平面α∥平面β,直线a⊂α,则a与β的位置关系是________.4.(2012·临沂高一检测)经过平面外两点可作该平面的平行平面的个数是________.5.三个平面α、β、γ,如果α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b,且直线c⊂β,c∥b.(1)判断c与α的位置关系,并说明理由;(2)判断c与a的位置关系,并说明理由.。