函数图像的变换课件
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函数y=Asin(ωx+φ)图像变换优质课课件
振动控制
在振动控制领域，函数y=asin(ωx+φ)可以用于设计振动控制器。通过调整控制器的参数， 可以实现振动的有效抑制或放大，提高机械设备的稳定性和可靠性。
振动信号处理
在振动信号处理中，函数y=asin(ωx+φ)可以用于信号的调制和解调。通过对信号进行变换， 可以实现信号的增强、降噪和特征提取，为故障诊断和状态监测提供依据。
控制系统稳定性分析
利用函数y=asin(ωx+φ)可以分析控制系统的稳定性。通过分析系统的极点和零点分布，可以判断系统的稳定性和动态性 能，为控制系统校正和优化提供指导。
控制系统校正与优化
在控制系统设计中，函数y=asin(ωx+φ)可以用于控制系统校正与优化。通过调整控制器的参数，可以提 高系统的性能指标，如响应速度、超调和稳态误差等，使系统更好地适应实际应用需求。
ω<0的周期变换
无界周期
当ω<0时，函数y=asin(ωx+φ)的周 期是无界的，这意味着函数在x轴上的 移动是无限循环的。
波形变化
随着ω的减小，函数的波形会变得更加 平缓或尖锐，这取决于绝对值的大小。
04 振幅变换
A>1的振幅变换
总结词
当振幅系数A大于1时，函数y=asin(ωx+φ)的图像将呈现放大 的效果。
φ=0的相位变换
总结词
当相位φ等于0时，函数图像不发生平移。
详细描述
当相位φ的值等于0时，函数y=asin(ωx+φ)就变成了标准正弦函数y=asin(ωx)，图 像没有发生平移。这是因为此时函数的周期性没有改变，所以图像在x轴方向上没有 移动。
03 周期变换
ω>1的周期变换
周期缩短
在振动控制领域，函数y=asin(ωx+φ)可以用于设计振动控制器。通过调整控制器的参数， 可以实现振动的有效抑制或放大，提高机械设备的稳定性和可靠性。
振动信号处理
在振动信号处理中，函数y=asin(ωx+φ)可以用于信号的调制和解调。通过对信号进行变换， 可以实现信号的增强、降噪和特征提取，为故障诊断和状态监测提供依据。
控制系统稳定性分析
利用函数y=asin(ωx+φ)可以分析控制系统的稳定性。通过分析系统的极点和零点分布，可以判断系统的稳定性和动态性 能，为控制系统校正和优化提供指导。
控制系统校正与优化
在控制系统设计中，函数y=asin(ωx+φ)可以用于控制系统校正与优化。通过调整控制器的参数，可以提 高系统的性能指标，如响应速度、超调和稳态误差等，使系统更好地适应实际应用需求。
ω<0的周期变换
无界周期
当ω<0时，函数y=asin(ωx+φ)的周 期是无界的，这意味着函数在x轴上的 移动是无限循环的。
波形变化
随着ω的减小，函数的波形会变得更加 平缓或尖锐，这取决于绝对值的大小。
04 振幅变换
A>1的振幅变换
总结词
当振幅系数A大于1时，函数y=asin(ωx+φ)的图像将呈现放大 的效果。
φ=0的相位变换
总结词
当相位φ等于0时，函数图像不发生平移。
详细描述
当相位φ的值等于0时，函数y=asin(ωx+φ)就变成了标准正弦函数y=asin(ωx)，图 像没有发生平移。这是因为此时函数的周期性没有改变，所以图像在x轴方向上没有 移动。
03 周期变换
ω>1的周期变换
周期缩短
高一必修1-函数图象的变换ppt课件.ppt
如:y=f(x)±h的图象可由y=f(x)的图象 _向__上__（__下__）__平__移__h_个__单__位__而得到.
练习： 将直线y=2x+1向左平移5个单位，
得到的函数为__y_=_2_x+_1_1_______
左右平移时，发生变化的仅是x本身，如果x的系 数不是1时，需要把系数提出来，再进行变换.
(6)y=f(|x|)的图象:可先作出y=f(x)当x≥0 时的图象,再利用_偶__函__数__的__图__象__关__于__y_轴__对__称, 作出y=f(x)(x≤0)的图象.
函数y=|log2x|的图象是( A )
解析
f
(x)
|
lo g2
x
|
lo g2
lo
g1
2
x, x x,0
1, x
课前练习：
当a>2时,函数 y ax和y (a 1)x2 的图 象只可能是( )
y
y
y
y
0
x
A
0
x
B
0x
C
0x
D
知识回顾：基本初等函数及图象（大致图象）
函数 一次函数 y=kx+b
图象
二次函数
y=ax2+bx+ c
指数函数 y=ax
对数函数 y=logax
知识回顾：
下列二次函数的图象，是由 抛物线y=x2通过怎样的平移变换得 到的？
y f 1(x) 与y=f(x)的图象关于直线y=x对称.
设奇函数 f(x) 的定义域为[-5, 5], 若当x∈[0, 5]时, f(x)的图象如右图所
示. 则不等式 f(x)<0 的解集
是 (-2, 0)∪(2, 5]
练习： 将直线y=2x+1向左平移5个单位，
得到的函数为__y_=_2_x+_1_1_______
左右平移时，发生变化的仅是x本身，如果x的系 数不是1时，需要把系数提出来，再进行变换.
(6)y=f(|x|)的图象:可先作出y=f(x)当x≥0 时的图象,再利用_偶__函__数__的__图__象__关__于__y_轴__对__称, 作出y=f(x)(x≤0)的图象.
函数y=|log2x|的图象是( A )
解析
f
(x)
|
lo g2
x
|
lo g2
lo
g1
2
x, x x,0
1, x
课前练习：
当a>2时,函数 y ax和y (a 1)x2 的图 象只可能是( )
y
y
y
y
0
x
A
0
x
B
0x
C
0x
D
知识回顾：基本初等函数及图象（大致图象）
函数 一次函数 y=kx+b
图象
二次函数
y=ax2+bx+ c
指数函数 y=ax
对数函数 y=logax
知识回顾：
下列二次函数的图象，是由 抛物线y=x2通过怎样的平移变换得 到的？
y f 1(x) 与y=f(x)的图象关于直线y=x对称.
设奇函数 f(x) 的定义域为[-5, 5], 若当x∈[0, 5]时, f(x)的图象如右图所
示. 则不等式 f(x)<0 的解集
是 (-2, 0)∪(2, 5]
函数图像的变换PPT
总结词
当函数图像在y轴方向上伸缩时，其形状和位置会发生变化，但对称性保持不变。
详细描述
沿y轴伸缩是指保持x轴不变，只改变y轴的长度。当y增大时，整个函数图像向上平移；当y减小时， 整个函数图像向下平移。这种变换不会改变函数的值，只是改变了图像在y轴上的位置。
同时沿x轴和y轴伸缩
总结词
当函数图像在x轴和y轴方向上都发生 伸缩时，其形状和位置会发生变化， 但对称性保持不变。
03
伸缩变换
沿x轴伸缩
总结词
当函数图像在x轴方向上伸缩时，其 形状和位置会发生变化，但对称性保 持不变。
详细描述
沿x轴伸缩是指保持y轴不变，只改变x 轴的长度。当x增大时，整个函数图像 向右平移；当x减小时，整个函数图像 向左平移。这种变换不会改变函数的 值，只是改变了图像在x轴上的位置。
沿y轴伸缩
详细描述
旋转角度的大小对函数图像的形状和位置有 直接影响。例如，当一个正弦函数图像顺时 针旋转90度时，它将变成一个余弦函数图像 ；而当它逆时针旋转90度时，它将变成一个 正切函数图像。此外，旋转角度也会影响图 像的位置，例如，当图像逆时针旋转30度时 ，图像上的所有点都会沿着顺时针方向移动
30度。
旋转变换实例
总结词
旋转变换是指函数图像绕原点旋转的过程。
详细描述
旋转变换可以通过将直角坐标转换为极坐标 来实现。例如，函数$y = f(x)$的图像绕原 点逆时针旋转$theta$角度后，新的函数可 以表示为$y = f(rcostheta), x = rsintheta$。
复合变换实例
总结词
复合变换是指同时进行平移、伸缩和旋转变换的过程 。
与顺时针旋转相反，如果函数图像按照逆时针方向旋转 ，那么图像上的每一个点都会沿着顺时针方向移动。例 如，如果一个函数图像是关于x轴对称的，那么当它逆时 针旋转90度时，原来的对称轴将变成垂直轴，而原来的y 轴将变成水平轴。
当函数图像在y轴方向上伸缩时，其形状和位置会发生变化，但对称性保持不变。
详细描述
沿y轴伸缩是指保持x轴不变，只改变y轴的长度。当y增大时，整个函数图像向上平移；当y减小时， 整个函数图像向下平移。这种变换不会改变函数的值，只是改变了图像在y轴上的位置。
同时沿x轴和y轴伸缩
总结词
当函数图像在x轴和y轴方向上都发生 伸缩时，其形状和位置会发生变化， 但对称性保持不变。
03
伸缩变换
沿x轴伸缩
总结词
当函数图像在x轴方向上伸缩时，其 形状和位置会发生变化，但对称性保 持不变。
详细描述
沿x轴伸缩是指保持y轴不变，只改变x 轴的长度。当x增大时，整个函数图像 向右平移；当x减小时，整个函数图像 向左平移。这种变换不会改变函数的 值，只是改变了图像在x轴上的位置。
沿y轴伸缩
详细描述
旋转角度的大小对函数图像的形状和位置有 直接影响。例如，当一个正弦函数图像顺时 针旋转90度时，它将变成一个余弦函数图像 ；而当它逆时针旋转90度时，它将变成一个 正切函数图像。此外，旋转角度也会影响图 像的位置，例如，当图像逆时针旋转30度时 ，图像上的所有点都会沿着顺时针方向移动
30度。
旋转变换实例
总结词
旋转变换是指函数图像绕原点旋转的过程。
详细描述
旋转变换可以通过将直角坐标转换为极坐标 来实现。例如，函数$y = f(x)$的图像绕原 点逆时针旋转$theta$角度后，新的函数可 以表示为$y = f(rcostheta), x = rsintheta$。
复合变换实例
总结词
复合变换是指同时进行平移、伸缩和旋转变换的过程 。
与顺时针旋转相反，如果函数图像按照逆时针方向旋转 ，那么图像上的每一个点都会沿着顺时针方向移动。例 如，如果一个函数图像是关于x轴对称的，那么当它逆时 针旋转90度时，原来的对称轴将变成垂直轴，而原来的y 轴将变成水平轴。
5.6 第1课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换(课件)
第一步：列表.
ωx＋φ 0
π 2
π
3π 2
x
－ωφ 2πω－ωφ
ωπ －ωφ
23ωπ －ωφ
f(x)
0
A
0
－A
第二步：在同一坐标系中描出各点．
第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．
2π 2ωπ－ωφ
0
数学 必修 第一册 A
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第五章 三角函数
[跟踪训练 1] 作出函数 y＝ 2sin2x－π4在 x∈π8， 34π上的图象． 解 令 X＝2x－π4，列表如下：
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第五章 三角函数
探究三 三角函数图象的伸缩变换 如何由函数 y＝sin x 的图象通过变换得到 y＝12sin 2x 的图象？
解 方法一：y＝sin x横坐标变为―原―来的→12纵坐标不变 y＝sin 2x纵坐标变为―原―来的→12横坐标不变y＝12sin 2x. 方法二：y＝sin x纵坐标变为―原―来的→12横坐标不变y＝12sin x横坐标变为―原―来的→21纵坐标不变y＝12sin 2x.
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第五章 三角函数
[微体验] 把函数y＝2sin 3x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3 倍，得到________的图象． 答案 y＝6sin32x
数学 必修 第一册 A
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第五章 三角函数
课堂互动探究
探究一 “五点法”作函数图象及相关问题
的关系．
作出函数 y＝3sin2x＋π3，x∈R 的简图，并说明它与 y＝sin x 的图象之间
第五章 三角函数
5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)
第一课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换
第五章 三角函数
指数函数图像的变换(采用)ppt课件
x x ( 2 ) 当 x 0 时，总有 a b 1 ;
x x ( 3 ) 当 x 0 时，总有 0 a b 1 ;
以上时a>1时的情况，那0<a<1是什么样的呢？ x x x 0 . 2,y 0 . 3 与 y 0 . 5 图像， 画出 y 并比较0<a<1 时a对函数图象变化的影响.
特别当x<0时，指数函数的底数越小，函数值减少越快 即0<a<1时，a越小，图像越 “陡”.
综上总结， ya中 ,指数 x 与底数 a 满足以下
x
即a>1时，a越大，图像越“陡”. 即0<a<1时，a越小，图像越 “陡”.
x x
同一 x 下，比较 y a与 y b的大小方法
x
x 正半轴（即 x 0 ），同一 x 下， a 越大， y a 的值
f( x m ) )与 y 推广:比较函数 y f (x 的关系
向左平行移动m个单位长度 y f ( x ) 当m>0时,
yf( x m )
) 向右平行移动|m|个单位长度 yf( x m ) 当m<0时, y fቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(x
作业：
P A 组第 3 题， B 组第 2 题 77
ya中 ,指数 x 与底数 a 满足以下规律
x
即a>1时，a越大，图像越“陡”. 即0<a<1时，a越小，图像越 “陡”.
x x
同一 x 下，比较 y a与 y b的大小方法
x
x 正半轴（即 x 0 ），同一 x 下， a 越大， y a 的值
x x 负半轴（即 x 0 ），同一 x 下， a 越大， y a 的值 .
x x ( 3 ) 当 x 0 时，总有 0 a b 1 ;
以上时a>1时的情况，那0<a<1是什么样的呢？ x x x 0 . 2,y 0 . 3 与 y 0 . 5 图像， 画出 y 并比较0<a<1 时a对函数图象变化的影响.
特别当x<0时，指数函数的底数越小，函数值减少越快 即0<a<1时，a越小，图像越 “陡”.
综上总结， ya中 ,指数 x 与底数 a 满足以下
x
即a>1时，a越大，图像越“陡”. 即0<a<1时，a越小，图像越 “陡”.
x x
同一 x 下，比较 y a与 y b的大小方法
x
x 正半轴（即 x 0 ），同一 x 下， a 越大， y a 的值
f( x m ) )与 y 推广:比较函数 y f (x 的关系
向左平行移动m个单位长度 y f ( x ) 当m>0时,
yf( x m )
) 向右平行移动|m|个单位长度 yf( x m ) 当m<0时, y fቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(x
作业：
P A 组第 3 题， B 组第 2 题 77
ya中 ,指数 x 与底数 a 满足以下规律
x
即a>1时，a越大，图像越“陡”. 即0<a<1时，a越小，图像越 “陡”.
x x
同一 x 下，比较 y a与 y b的大小方法
x
x 正半轴（即 x 0 ），同一 x 下， a 越大， y a 的值
x x 负半轴（即 x 0 ），同一 x 下， a 越大， y a 的值 .
三角函数的图像变换省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
看作是把y sin(x )上所有点的纵坐标
伸长(当A 1时)或缩短(当0 A 1时) 到原来的A倍(横坐标不变)而得到.
A引起图象旳纵向伸缩，决定函 数旳最大（最小）值,我们把A 叫做振幅。
思索3: 怎么样由y sin x的图象得到y 2sin(2x )的图象？
3
1、 画出函数y sin x的图象;
1.5 y=Asin(ωx+φ)旳图像
新课引入
在物理中,简谐运动中单摆对平衡位置旳位移y与时间x旳关系：
新课引入
某次试验测得旳交流电旳电流y随时间x变化旳图象：
y
y
6
6
4 4
2
2
o2 4 6 8
-2
x
o 0.01 0.02 0.03 0.04
x
-2
-4
-4
-6
-6
将测得旳图像放大，能够看出它和正弦曲线很相同
5
把C上所有的点 C
( A)横坐标伸长到原来的 4 倍,纵坐标不变 3
(B)横坐标缩短到原来的 3 倍,纵坐标不变 4
(C)纵坐标伸长到原来的 4 倍,横坐标不变 3
(D)纵坐标缩短到原来的 3 倍,横坐标不变 4
2.把y sin(2x )的图象向右平移 个单位,
3
6
这时图象所表示的函数为 D
以上两个函数都是形如y=Asin(ωx+φ) 旳函数（其中A, ω, φ都是常数）.
交流电电流随时间变化旳图象与正弦曲线有 何关系?
答 : 交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线很相似,
从解析式来看,函数y sin x就是函数y Asin(x )在 A 1, 1, 0时的情况.
你认为怎样讨论参数,, A对y Asin(x )的
伸长(当A 1时)或缩短(当0 A 1时) 到原来的A倍(横坐标不变)而得到.
A引起图象旳纵向伸缩，决定函 数旳最大（最小）值,我们把A 叫做振幅。
思索3: 怎么样由y sin x的图象得到y 2sin(2x )的图象？
3
1、 画出函数y sin x的图象;
1.5 y=Asin(ωx+φ)旳图像
新课引入
在物理中,简谐运动中单摆对平衡位置旳位移y与时间x旳关系：
新课引入
某次试验测得旳交流电旳电流y随时间x变化旳图象：
y
y
6
6
4 4
2
2
o2 4 6 8
-2
x
o 0.01 0.02 0.03 0.04
x
-2
-4
-4
-6
-6
将测得旳图像放大，能够看出它和正弦曲线很相同
5
把C上所有的点 C
( A)横坐标伸长到原来的 4 倍,纵坐标不变 3
(B)横坐标缩短到原来的 3 倍,纵坐标不变 4
(C)纵坐标伸长到原来的 4 倍,横坐标不变 3
(D)纵坐标缩短到原来的 3 倍,横坐标不变 4
2.把y sin(2x )的图象向右平移 个单位,
3
6
这时图象所表示的函数为 D
以上两个函数都是形如y=Asin(ωx+φ) 旳函数（其中A, ω, φ都是常数）.
交流电电流随时间变化旳图象与正弦曲线有 何关系?
答 : 交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线很相似,
从解析式来看,函数y sin x就是函数y Asin(x )在 A 1, 1, 0时的情况.
你认为怎样讨论参数,, A对y Asin(x )的
函数图像专题PPT课件图文
答案 B
2．(2011·福州质检)函数y＝log2|x|的图象大致是( ) 答案 C 解析 函数y＝log2|x|为偶函数，作出x>0时y＝log2x的图象，图象关于y轴对称，应选C.
答案 A
4．(08·山东)设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－a|的图象关于直线x＝1对称，则a的值为( ) A．3 B．2 C．1 D．－1 答案 A 解析 ∵函数f(x)图象关于直线x＝1对称，∴f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(2)＝f(0)．即3＋|2－a|＝1＋|a|，用代入法知选A.
思考题1 将函数y＝lg(x＋1)的图象沿x轴对折，再向右平移一个单位，所得图象的解析式为________． 【答案】 y＝－lgx
题型二 知式选图或知图选式问题 例2 (2011·合肥模拟)函数f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的图象大致为( )
【解析】 首先分析奇偶性，知函数为偶函)＝1，∴选A.
1.函数图象的三种变换 (1)平移变换：y＝f(x)的图象向左平移a(a>0)个单位，得到y＝f(x＋a)的图象；y＝f(x－b)(b>0)的图象可由y＝f(x)的图象向右平移b个单位而得到；y＝f(x)的图象向下平移b(b>0)个单位，得到y＝f(x)－b的图象；y＝f(x)＋b(b>0)的图象可由y＝f(x)的图象向上平移b个单位而得到．总之，对于平移变换，记忆口诀为：左加右减上加下减．
【答案】 C
题型三 函数图象的对称性 例3 (1)已知f(x)＝ln(1－x)，函数g(x)的图象与f(x)的图象关于点(1,0)对称，则g(x)的解析式为________________． (2)设函数y＝f(x)的定义域为实数集R，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像关于( ) A．直线y＝0对称 B．直线x＝0对称 C．直线y＝1对称 D．直线x＝1对称
2．(2011·福州质检)函数y＝log2|x|的图象大致是( ) 答案 C 解析 函数y＝log2|x|为偶函数，作出x>0时y＝log2x的图象，图象关于y轴对称，应选C.
答案 A
4．(08·山东)设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－a|的图象关于直线x＝1对称，则a的值为( ) A．3 B．2 C．1 D．－1 答案 A 解析 ∵函数f(x)图象关于直线x＝1对称，∴f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(2)＝f(0)．即3＋|2－a|＝1＋|a|，用代入法知选A.
思考题1 将函数y＝lg(x＋1)的图象沿x轴对折，再向右平移一个单位，所得图象的解析式为________． 【答案】 y＝－lgx
题型二 知式选图或知图选式问题 例2 (2011·合肥模拟)函数f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的图象大致为( )
【解析】 首先分析奇偶性，知函数为偶函)＝1，∴选A.
1.函数图象的三种变换 (1)平移变换：y＝f(x)的图象向左平移a(a>0)个单位，得到y＝f(x＋a)的图象；y＝f(x－b)(b>0)的图象可由y＝f(x)的图象向右平移b个单位而得到；y＝f(x)的图象向下平移b(b>0)个单位，得到y＝f(x)－b的图象；y＝f(x)＋b(b>0)的图象可由y＝f(x)的图象向上平移b个单位而得到．总之，对于平移变换，记忆口诀为：左加右减上加下减．
【答案】 C
题型三 函数图象的对称性 例3 (1)已知f(x)＝ln(1－x)，函数g(x)的图象与f(x)的图象关于点(1,0)对称，则g(x)的解析式为________________． (2)设函数y＝f(x)的定义域为实数集R，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像关于( ) A．直线y＝0对称 B．直线x＝0对称 C．直线y＝1对称 D．直线x＝1对称
函数y=Asin(wx φ)的图象变换课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
No.1 Senior Middle School of Siping
课前预学
深问：步步设疑，激发思考
任务2: ω(ω>0)对y=sin(ωx+φ)的图象的影响
阅读教材,观察下面的图象.
No.1 Senior Middle School of Siping
课前预学
深问：步步设疑，激发思考
问题 1:函数 y=sin
课前预学
深问：步步设疑，激发思考
No.1 Senior Middle School of Siping
任务1:φ(φ≠0)对函数y=sin(x+φ) ,x∈R的图象的影响
通过对筒车运动的研究,我们得到了形如 y=Asin(ωx+φ)的函数,只要清楚函数
y=Asin(ωx+φ)的性质,就可以把握筒车的运动规律.这个函数由参数 A,ω,φ 所确
将函数 y=sin(x+φ)(φ≠0)图象上的所有点向左(当φ>0 时)或向右(当φ<0 时)
平移|φ|个单位长度,就得到函数 y=sin(x+φ)的图象.
课前预学
深问：步步设疑，激发思考
No.1 Senior Middle School of Siping
(1)将函数 y=sin x 的图象向左平移
B.横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变
C.纵坐标伸长到原来的 4 倍,横坐标不变
D.纵坐标缩短到原来的 ,横坐标不变
4
1
4
π
(2)将函数 y=sin x 的图象上所有的点向右平移 个单位长度,再把所得图象上各点的
3
横坐标扩大到原来的 3 倍,得到的函数图象的解析式为( B ).
A.y=sin
高中数学人教A版必修1《函数的图象变换》PPT
例：作出下列函数的图象． (1)y＝12|x|；(2)y＝|log2(x＋1)|；(3)y＝2xx－－11.
分析：作函数图象的方法有：列表描点法（列表， 描点，连线）和图象变换法(平移变换、对称变换、 翻折变换）
解析：(1)作出 y＝12x 的图象，保留 y＝12x 图象中 x≥0 部分，加上 y＝12x 的图象中 x＞0 部分关于 y 轴的对称部分，
答案：A
课堂总结：
本节课从特殊到一般的思路学习函数图 象的三种变换（平移变换、对称变换、翻 折变换）及其应用。利用图象变换解题， 关键是理清图象变换的过程，掌握好基本 初等函数的图象及变换的实质（要通过具 体的实例作为载体来理解掌握三种变换）。 在后续的学习中我们将进一步学习它的应 用。
谢谢！！！
翻折到y轴左侧，便得到g(x) x2 2 | x | f (| x |)的图象，
（2）画函数h(x) | x2 2x |的图象，并说由函数
f (x) x2 2x的图象怎样变换而得到？
解析：h(
x)
x2
x
2
2x (x 2x (0
0或x x
2) 2)
保留f (x) x2 2x图象在x轴上方部分，把位于x轴下
5
f (x) x2
4
3
2
h(x) x2 - 2
1
又h(x) f (x) 2
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 x
g (x) x2 2的图象是由f (x) x2的图象向上平移2个单位得到， h(x) x2 - 2的图象是由f (x) x2的图象向下平移2个单位得到。
平移变换—竖直平移
A．向右平行移动 2 个单位长度 B．向右平行移动 1 个单位长度 C．向左平行移动 2 个单位长度 D．向左平行移动 1 个单位长度
高中数学《函数图象的变换》课件
将y = f(x)在 x 轴上方的图 象保留，下方的图象以 x 轴为对 称轴翻折到上方可得到 y =|f(x)| 的图象.（保上方，下方翻上方）
翻折变换
y = f(x) 的图象
y =|f( x )| 的图象
将y = f(x)在 x 轴上方的图 象保留，下方的图象以 x 轴 为对称轴翻折到上方可得到 y =|f(x)|的图象.
平移变换
左上 右下 平平 移移
对称变换
关关关 于于于 x y原 轴轴点
翻折变换
上左 下右 翻翻 折折
归纳总结
平 y = f(x) 左移 h (h>0) y = f(x + h)
移 的图象 个 单 位
的图象
变 换
y = f(x) 右移 h (h>0) y = f(x - h)
的图象 个 单 位
的图象
问题与思考——复习
1、在同一坐标系中作下列函数 的图象，并说明每组两函数图象间的 关系.
(1) y = |log2x| (2) y = x2 - 2x，y = |x2 - 2x|
yy= log2 x
o
o
1
x
1
x
将 y = log2x 在 x 轴上方的图象保留， 下方的图象以 x 轴为对称轴翻折到上方可
翻 的图象 折 变 换
y =f( |x| ) 的图象
？
谢 谢
翻折变换
问题与思考：
2、在同一坐标系中作下列函数 的图象，并说明每组两函数图象间的 关系.
(1) y = 2x，y = 2|x| (2) y = x2 - 2x，y = |x|2 - 2|x|
y
y
y = 2x 11
o x
y = 2|x| 1
翻折变换
y = f(x) 的图象
y =|f( x )| 的图象
将y = f(x)在 x 轴上方的图 象保留，下方的图象以 x 轴 为对称轴翻折到上方可得到 y =|f(x)|的图象.
平移变换
左上 右下 平平 移移
对称变换
关关关 于于于 x y原 轴轴点
翻折变换
上左 下右 翻翻 折折
归纳总结
平 y = f(x) 左移 h (h>0) y = f(x + h)
移 的图象 个 单 位
的图象
变 换
y = f(x) 右移 h (h>0) y = f(x - h)
的图象 个 单 位
的图象
问题与思考——复习
1、在同一坐标系中作下列函数 的图象，并说明每组两函数图象间的 关系.
(1) y = |log2x| (2) y = x2 - 2x，y = |x2 - 2x|
yy= log2 x
o
o
1
x
1
x
将 y = log2x 在 x 轴上方的图象保留， 下方的图象以 x 轴为对称轴翻折到上方可
翻 的图象 折 变 换
y =f( |x| ) 的图象
？
谢 谢
翻折变换
问题与思考：
2、在同一坐标系中作下列函数 的图象，并说明每组两函数图象间的 关系.
(1) y = 2x，y = 2|x| (2) y = x2 - 2x，y = |x|2 - 2|x|
y
y
y = 2x 11
o x
y = 2|x| 1
高中数学：131《三角函数图像的变换》课件必修
这些操作包括平移、伸缩、翻折和旋转等，可以单独或组合使用。
变换的目的是为了更好地理解三角函数的性质，解决实际问题，以及进行图像处理 等。
变换的种类和特点
01
02
03
04
平移变换
将图像沿x轴或y轴方向移动 ，保持图像形状不变。
伸缩变换
通过改变x轴和y轴的比例来 改变图像的大小，可以横向或
纵向伸缩。
翻折变换
利用伸缩变换的性质求解函数的极值
例如，利用正弦函数的伸缩性质，可以求解y=sin(3x)在x=π/9处的极小值为1。
利用对称变换的性质求解函数的对称轴或对称中心
例如，利用正弦函数的对称性质，可以求解y=sin(x)的对称轴为x=kπ+π/2，k∈Z。
变换在实际问题中的应用
物理学中的应用
三角函数图像的综合变换在物理学中有广泛的应用，如振 动和波动现象、交流电等。通过变换可以更好地理解物理 现象和解决实际问题。
x轴缩短为原来的1/2，则图像的 周期变为原来的2倍。
01
03
02 04
总结词：影响相位
详细描述：沿x轴伸缩不仅改变 了图像的周期，还会影响函数的 相位。例如，将x轴缩短为原来 的1/2，相当于将相位滞后了π。
沿y轴伸缩
总结词：改变振幅
详细描述：沿y轴伸缩是 指保持x轴不变，通过改 变y轴的长度来改变整个 图像的振幅。例如，将y 轴放大为原来的2倍，则 图像的振幅变为原来的2 倍。
翻折变换
旋转变换
$y = -f(-x)$ 或 $y = f(x)$，前者表示沿x 轴翻折，后者表示沿y轴翻折。
$x = xcostheta - ysintheta$ 和 $y = xsintheta + ycostheta$，其中$theta$为 旋转角度。
变换的目的是为了更好地理解三角函数的性质，解决实际问题，以及进行图像处理 等。
变换的种类和特点
01
02
03
04
平移变换
将图像沿x轴或y轴方向移动 ，保持图像形状不变。
伸缩变换
通过改变x轴和y轴的比例来 改变图像的大小，可以横向或
纵向伸缩。
翻折变换
利用伸缩变换的性质求解函数的极值
例如，利用正弦函数的伸缩性质，可以求解y=sin(3x)在x=π/9处的极小值为1。
利用对称变换的性质求解函数的对称轴或对称中心
例如，利用正弦函数的对称性质，可以求解y=sin(x)的对称轴为x=kπ+π/2，k∈Z。
变换在实际问题中的应用
物理学中的应用
三角函数图像的综合变换在物理学中有广泛的应用，如振 动和波动现象、交流电等。通过变换可以更好地理解物理 现象和解决实际问题。
x轴缩短为原来的1/2，则图像的 周期变为原来的2倍。
01
03
02 04
总结词：影响相位
详细描述：沿x轴伸缩不仅改变 了图像的周期，还会影响函数的 相位。例如，将x轴缩短为原来 的1/2，相当于将相位滞后了π。
沿y轴伸缩
总结词：改变振幅
详细描述：沿y轴伸缩是 指保持x轴不变，通过改 变y轴的长度来改变整个 图像的振幅。例如，将y 轴放大为原来的2倍，则 图像的振幅变为原来的2 倍。
翻折变换
旋转变换
$y = -f(-x)$ 或 $y = f(x)$，前者表示沿x 轴翻折，后者表示沿y轴翻折。
$x = xcostheta - ysintheta$ 和 $y = xsintheta + ycostheta$，其中$theta$为 旋转角度。
函数图象的变换PPT
总结词
水平平移是指函数图像在水平方向上移动一定的距离。
详细描述
水平平移不改变函数的值，只是改变了图像的位置。对于函数y=f(x)，若图像向 右平移a个单位，则新的函数为y=f(x-a)；若图像向左平移a个单位，则新的函 数为y=f(x+a)。
垂直平移
总结词
垂直平移是指函数图像在垂直方向上移动一定的距离。
函数图象的变换
• 函数图象变换概述 • 平移变换 • 伸缩变换 • 翻折变换 • 旋转变换 • 应用实例
01
函数图象变换概述
函数图象变换的定义
01
函数图象变换是指通过平移、伸 缩、翻转等几何变换操作，改变 函数图象的位置、形状和大小。
02
这些变换操作可以通过代数表达 式或矩阵变换来实现，使得函数 图象在坐标系中按照特定的规则 进行移动、旋转和缩放。
详细描述
当函数图像在y轴方向上伸缩时，其形状和大小会发生变化，但x轴上的比例保持不变。例如，将函数y=f(x)的图 像在y轴方向上放大2倍，得到新的函数y=2f(x)。
斜向伸缩
要点一
总结词
斜向伸缩是指同时沿x轴和y轴方向对函数图像进行放大或 缩小。
要点二
详细描述
当函数图像在x轴和y轴方向上同时伸缩时，其形状和大小 会发生变化，x轴和y轴上的比例都会改变。例如，将函数 y=f(x)的图像在x轴方向上放大2倍，在y轴方向上放大3倍 ，得到新的函数y=3f(2x)。
逆时针旋转
总结词
当函数图像按照逆时针方向旋转时，其形状和大小也不会发生变化，同样只是位置发生 了移动。
详细描述
与顺时针旋转相反，当函数图像按照逆时针方向旋转一定的角度时，每个点的坐标同样 会发生变化，但方向是远离原点。同样地，这种变化也可以用三角函数的性质来描述。
水平平移是指函数图像在水平方向上移动一定的距离。
详细描述
水平平移不改变函数的值，只是改变了图像的位置。对于函数y=f(x)，若图像向 右平移a个单位，则新的函数为y=f(x-a)；若图像向左平移a个单位，则新的函 数为y=f(x+a)。
垂直平移
总结词
垂直平移是指函数图像在垂直方向上移动一定的距离。
函数图象的变换
• 函数图象变换概述 • 平移变换 • 伸缩变换 • 翻折变换 • 旋转变换 • 应用实例
01
函数图象变换概述
函数图象变换的定义
01
函数图象变换是指通过平移、伸 缩、翻转等几何变换操作，改变 函数图象的位置、形状和大小。
02
这些变换操作可以通过代数表达 式或矩阵变换来实现，使得函数 图象在坐标系中按照特定的规则 进行移动、旋转和缩放。
详细描述
当函数图像在y轴方向上伸缩时，其形状和大小会发生变化，但x轴上的比例保持不变。例如，将函数y=f(x)的图 像在y轴方向上放大2倍，得到新的函数y=2f(x)。
斜向伸缩
要点一
总结词
斜向伸缩是指同时沿x轴和y轴方向对函数图像进行放大或 缩小。
要点二
详细描述
当函数图像在x轴和y轴方向上同时伸缩时，其形状和大小 会发生变化，x轴和y轴上的比例都会改变。例如，将函数 y=f(x)的图像在x轴方向上放大2倍，在y轴方向上放大3倍 ，得到新的函数y=3f(2x)。
逆时针旋转
总结词
当函数图像按照逆时针方向旋转时，其形状和大小也不会发生变化，同样只是位置发生 了移动。
详细描述
与顺时针旋转相反，当函数图像按照逆时针方向旋转一定的角度时，每个点的坐标同样 会发生变化，但方向是远离原点。同样地，这种变化也可以用三角函数的性质来描述。
函数图像的变换课件
向右平移
总结词
图像沿x轴正方向移动
数学表达式
y=f(x-a)
详细描述
对于函数y=f(x)，若图像向右平移a个单位，则新的函数 解析式为y=f(x-a)。
举例
函数y=cos(x)的图像向右平移π/2个单位后，得到新的函 数y=cos(x-π/2)，其图像与原图像相比沿x轴正方向移动 了π/2个单位。
双向伸缩
总结词
同时改变x轴和y轴的长度。
详细描述
当函数图像在x轴和y轴方向上都发生伸缩时，x轴和y轴的长度都会发生变化。这 种变换可以通过将函数中的x和y都替换为其倍数来实现，例如将f(2x)/3替换为 f(x)会使x轴压缩为原来的一半，同时y轴拉伸为原来的三倍。
04
函数图像的旋转变换
逆时针旋转
关于y轴对称
总结词
函数图像关于y轴对称时，图像在y轴两侧对称分布，x值 不变，y值相反。
详细描述
当一个函数图像关于y轴对称时，图像在y轴两侧呈现出 对称分布的特点。这意味着对于任意一个点$(x, y)$在图 像上，关于y轴对称的点$(x, -y)$也在图像上。这种对称 变换不会改变x值，只是将y值取反。例如，函数$f(x) = x^3$的图像关于y轴对称，因为$f(-y) = (-y)^3 = -y^3 = -f(y)$。
任意角度旋转
总结词
任意角度旋转是指将函数图像按照任意角度进行旋转。
详细描述
任意角度旋转函数图像是指将图像上的每个点都按照任意指定的角度进行旋转。这种旋转可以通过参数方程或极 坐标系来实现，其中参数方程为$x = x cos theta - y sin theta$，$y = x sin theta + y cos theta$，极坐标系 下的表示为$x = r cos theta$，$y = r sin theta$。
函数的图象及变换省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
高考第一轮复习
考点16 函数旳图象及变换
一、知识要点
周期性
定义域 解析式
性质
奇偶性
单调性
x轴 y轴
原点 y=x
y=－x
x=a
直线 x=a 直线 x=a
解析：措施一：设(x1，y1)是y＝f(x－a)图像 上任意一点，则y1＝f(x1－a)，而f(x1－a)＝f[a－ (2a－x1)]，阐明点(2a－x1，y1)－定是函数y＝f(a －x)上旳一点，而点(x1，y1)与点(2a－x1，y1)有 关直线x＝a对称，所以y＝f(x－a)旳图像与y＝f(a －x)旳图像有关直线x＝a对称，所以选D.
当a＞1时，如图，要使在(1,2)上，f1(x)＝(x－ 1)2旳图像在f2(x)＝logax旳下方，只需f1(2)≤f2(2)．
即(2－1)2≤loga2，loga2≥1，∴1＜a≤2.
规律措施：从常见函数旳图像入手，巧妙地 利用图像与不等式(方程)之间旳关系，将不等式 (方程)转化为求函数图像旳交点问题，数形结合 是处理此类题旳有效措施．
【预测4】 已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|. (1)求函数f(x)旳单调区间； (2)求m旳取值范围，使得方程f(x)＝mx有四个 不等实根．
f(x)旳图像如图所示． 函数f(x)旳单调区间有(－∞，1]、 [1,2]、[2,3]、[3，＋∞)， 其中增区间有[1,2]、[3，＋∞)， 减区间有(－∞，1]、[2,3]．
答案：A
规律措施：注意从f(x)，g(x)旳奇偶性、单调 性等方面寻找f(x)·g(x)旳图像特征．
【预测2】 (1)已知函数y＝f(x)旳图像如图① 所示，y＝g(x)旳图像如图②所示，
则函数y＝f(x)·g(x)旳图像可能是下图中旳 ()
考点16 函数旳图象及变换
一、知识要点
周期性
定义域 解析式
性质
奇偶性
单调性
x轴 y轴
原点 y=x
y=－x
x=a
直线 x=a 直线 x=a
解析：措施一：设(x1，y1)是y＝f(x－a)图像 上任意一点，则y1＝f(x1－a)，而f(x1－a)＝f[a－ (2a－x1)]，阐明点(2a－x1，y1)－定是函数y＝f(a －x)上旳一点，而点(x1，y1)与点(2a－x1，y1)有 关直线x＝a对称，所以y＝f(x－a)旳图像与y＝f(a －x)旳图像有关直线x＝a对称，所以选D.
当a＞1时，如图，要使在(1,2)上，f1(x)＝(x－ 1)2旳图像在f2(x)＝logax旳下方，只需f1(2)≤f2(2)．
即(2－1)2≤loga2，loga2≥1，∴1＜a≤2.
规律措施：从常见函数旳图像入手，巧妙地 利用图像与不等式(方程)之间旳关系，将不等式 (方程)转化为求函数图像旳交点问题，数形结合 是处理此类题旳有效措施．
【预测4】 已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|. (1)求函数f(x)旳单调区间； (2)求m旳取值范围，使得方程f(x)＝mx有四个 不等实根．
f(x)旳图像如图所示． 函数f(x)旳单调区间有(－∞，1]、 [1,2]、[2,3]、[3，＋∞)， 其中增区间有[1,2]、[3，＋∞)， 减区间有(－∞，1]、[2,3]．
答案：A
规律措施：注意从f(x)，g(x)旳奇偶性、单调 性等方面寻找f(x)·g(x)旳图像特征．
【预测2】 (1)已知函数y＝f(x)旳图像如图① 所示，y＝g(x)旳图像如图②所示，
则函数y＝f(x)·g(x)旳图像可能是下图中旳 ()
沪教版(上海)数学高一上册-4.1函数图像变换课件
（1）画出y轴右边及y轴上的点 （2）再将y轴右侧部分关于y轴
对称向左翻折
f (x) x2 4x 3
翻折变换
y f x
y f x
y | f x |
（1）保留x轴上方及x轴上部分 （2）将x轴下方部分关于x轴
对称向上翻折
y f | x |
（1）画出y轴右边及y轴上的点 （2）再将y轴右侧部分关于y轴
((22,, 01) ) f (x) (x 2)2 1 f (x) 1 (x 2)2 2
(2, 21)
发现 y f x 发现 y f x
y f x 1 往上平移了1个单位 y f x 1 往下平移了1个单位
上下平移变换：y f x y f x a
a 0 往上平移a个单位 a 0 往下平移|a|个单位
操作二
已知 f (x) x2 4x 3，给定 y f (x) 的图像， 试着分别作出y f (x) 1和 y f (x) 1的图像，
并视察图像间的联系与区分
f (x) x2 4x 3
f (x) 1 x2 4x 4
f (x) 1 x2 4x 2
f (x) 1 (x 2)2 f (x) (x 2)2 1
操作二
已知 f (x) x2 4x 3，给定 y f (x) 的图像， 试着作出 y f (x) 的图像，并视察图像间的
联系与区分
f (x) x2 4x 3
(a, f ((a))) (a, f (a))
(a, f (a))
发现整个函数图像关于y轴对称
f (x) x2 4x 3
（1）保留x轴上方及x轴上的点 （2）将x轴下方部分关于x轴
对称向上翻折
f (x) x2 4x 3
操作二
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函数图像的变换
平移变换—水平平移
f(x+2)=(x+2)2
y
f(x)=x2
f(x-2)=(x-2)2
-2 O
2
x
平移变换—水平平移
小结： y=f(x) y=f(x+a) 当a>0时，向左平移 a个单位 当a<0时，向右平移 |a|个单位 规律：左加右减
沿x轴
平移变换—竖直平移 y
2 y=x
2、
y x2 4 x 3
y
0,3
4 y x2 4x 3 3 2 1
注意区分
y
y x2 4x 3
4 3 2
2,1 1,0
2
3,0
3 4
y f ( x )与 y f ( x) 的表
x
0,3
-4
-3 -2
-1
0 1 -1 -2 -3
现形式哦!
y f ( x)
关于x 轴对称
y f ( x)
关于直线 y＝x对称
反函数
y f ( x)
关于原点对称
y f ( x)
y f ( x)
2、用图像变换法画函数图像时，往往要找出该函数的基本初等函数，分析其 通过怎样变换得到所求函数图像，有时要先对解析式进行适当变形。 3、利用函数的图像判定单调性、求方程根的个数、解不等式、求最值等，体现 了数形结合的数学思想。
-4
-3 -2
-1
2
3
4
1 y ( ) 2
0 1 2 1 ,1 2 -1 1,1 -2 1 ,2
2
3
4
x
x
y log2 1
-2 -3
-3
函数
1 x y( ) 2
定义域
R
值域
(0,1]
奇偶性
偶 非奇非偶
单调性
增区间（ : ,0） 减区间（ : 0， ） 增区间（ : 2,） 减区间（ : 0， 2）
函数图像的翻折变换规律：
由 由
y f ( x) y f ( x)
保留y轴右侧图像，再将y轴 右方图像对称翻折到y轴左方
y f ( x) y f ( x)
保留x轴上方图像，再将x轴
下方图像对称翻折到x轴上方
五、适应练习Ⅱ
分别作出下列函数的图像：
2 1、 y x 4 x 3
+1
2 f(x)=x
1
O
2 y=x
-1 x
-1
平移变换—竖直平移 小结： 沿y轴 y=f(x) y =f(x) +a 当a>0时，向上平移a个单位 当a<0时，向下平移|a|个单 位 规律：上加下减
1 1 (1) y 向左平移 个单位得到 。 2x 2 (2)y f ( x)恒过点(1,1), 则y f ( x - 4)过 点 关于 。 对称。 (3)f ( x)图像关于x 1对称，则f ( x - 4)
x y log2 1 {x | x 0}
[0,)
六、实例讲解
例2：求关于x的方程 x 2 x 3 a ( a R ) 的不同实根的个数。
2
解：在同一坐标系
中，作出 y=|x2+2x-3|和y=a 的图像。 由图可知： 当a<0时, 方程无解; 当a=0时, 方程有两个解;
1 2
x
2、 y log2 1
x
y
4 3
y (
1 1, 2
y
1 x ) 2
4 3
y log2
x
1,2
1 1, 2
2 1 0,1 0 1 -1
x
y log2 1
x
-4 -3 -2 -1
x
2 1
1 , 1
1,0
4,2 4,1
y=a(a<0) 没有交点
y=a(a=0) 有两个交点
求方程 x 4 x 3 m 的根的个数。
2
.
求方程的 lg 个数。
x
x 3 0 实数解的
七、抽像概括
1、图像变换法：
（1）对称变换法
y f ( x)
关于y轴对称
（2）翻折变换法
y f ( x)
保留y轴右侧图像， 再将y轴右方图像对 称翻折到y轴左方 保留x轴上方图像， 再将x轴下方图像对 称翻折到x轴上方
1 x
四、问题探究Ⅱ
画出函数
y
log22x y log
4 3 2
x
的图像，并指出它与
y log2
y
4 3 2 1
x
的图像有何联系？
x
y log2
x
y log2
x
y log2
1,0 1,0
-4 -3 -2 -1 0 1 -1 -2 -3 2 3 4
1
1,0
2 3 4
3,0
-4 -3 -2
1,0
-1
1 0 1 -1 -2 -3
1,0
2
3,0
3 4
2,1
y x 4x 3
2
x
2,1
y x 4 x 3
2
2,1
图1
图2
六、实例讲解
例1、作出下列函数的图像，并指出函数的定义域、值域、奇偶性、单调性：
1、 y ( )
x
x
-4 -3 -2
-1
x
0 1 -1 -2 -3
x
x
y log2
y log2
y log2
y log2
x
log2 x ( x 0) x log 2 ( x 0)
y log2
x
log2 x ( x 1) x log 2 (0 x 1)
函数图像的平移变换规律：
本质上是函数图像上的每个点的平移 左加右减 上加下减
y f ( x)
y f ( x a)
y f ( x)
y f ( x) k
二、问题探究Ⅰ
在同一坐标系下作出函数 你能得出什么结论？
y
4 3
x x x ，的图像，观察函数图像的特征， y 2x 与 y 22
y=a(a=4) 有三个交点
y 4 3
y=a(a>4) 有二个交点
y=a(0<a<4) 有四个交点
2 1 -3 -2 -1 0 1 -1 -2 -3 -4 2 3 x
当0<a<4时, 方程有四个解; a=4或 时， 方程有三个解 ; . 当a>4 a=0 时,方程有两个解 当a>4时, 方程有两个解.
y
y
4 3 2 1
y2
x
4 3 2 1
y 2x
y 2x
y2
x
2 1 -1 0 1 -1 -2 -3 2
-2
x
-2
-1
0 1 -1 -2 -3
2
x
-2
-1
0 1 -1 -2 -3
2
x
y 2 x
y 2 x
关于y轴对称
关于x轴对称
关于原点对称
函数图像的对称变换规律：
关于y轴对称 y f ( x) 1、 y f ( x) （x,y)换成（-x,y)
2、y f ( x) 关于x轴对称 y f ( x) （x,y)换成（x,-y) 关于原点对称 y f ( x) 3、y f ( x) （x,y)换成（-x,-y)
三、适应练习Ⅰ
1、y
x
2
与
y x
2
x 轴 的图像关于_____________ 对称；
x 1 f ( x ) 2 y 轴 2、 与 g ( x) 2 的图像关于_____________ 对称；
平移变换—水平平移
f(x+2)=(x+2)2
y
f(x)=x2
f(x-2)=(x-2)2
-2 O
2
x
平移变换—水平平移
小结： y=f(x) y=f(x+a) 当a>0时，向左平移 a个单位 当a<0时，向右平移 |a|个单位 规律：左加右减
沿x轴
平移变换—竖直平移 y
2 y=x
2、
y x2 4 x 3
y
0,3
4 y x2 4x 3 3 2 1
注意区分
y
y x2 4x 3
4 3 2
2,1 1,0
2
3,0
3 4
y f ( x )与 y f ( x) 的表
x
0,3
-4
-3 -2
-1
0 1 -1 -2 -3
现形式哦!
y f ( x)
关于x 轴对称
y f ( x)
关于直线 y＝x对称
反函数
y f ( x)
关于原点对称
y f ( x)
y f ( x)
2、用图像变换法画函数图像时，往往要找出该函数的基本初等函数，分析其 通过怎样变换得到所求函数图像，有时要先对解析式进行适当变形。 3、利用函数的图像判定单调性、求方程根的个数、解不等式、求最值等，体现 了数形结合的数学思想。
-4
-3 -2
-1
2
3
4
1 y ( ) 2
0 1 2 1 ,1 2 -1 1,1 -2 1 ,2
2
3
4
x
x
y log2 1
-2 -3
-3
函数
1 x y( ) 2
定义域
R
值域
(0,1]
奇偶性
偶 非奇非偶
单调性
增区间（ : ,0） 减区间（ : 0， ） 增区间（ : 2,） 减区间（ : 0， 2）
函数图像的翻折变换规律：
由 由
y f ( x) y f ( x)
保留y轴右侧图像，再将y轴 右方图像对称翻折到y轴左方
y f ( x) y f ( x)
保留x轴上方图像，再将x轴
下方图像对称翻折到x轴上方
五、适应练习Ⅱ
分别作出下列函数的图像：
2 1、 y x 4 x 3
+1
2 f(x)=x
1
O
2 y=x
-1 x
-1
平移变换—竖直平移 小结： 沿y轴 y=f(x) y =f(x) +a 当a>0时，向上平移a个单位 当a<0时，向下平移|a|个单 位 规律：上加下减
1 1 (1) y 向左平移 个单位得到 。 2x 2 (2)y f ( x)恒过点(1,1), 则y f ( x - 4)过 点 关于 。 对称。 (3)f ( x)图像关于x 1对称，则f ( x - 4)
x y log2 1 {x | x 0}
[0,)
六、实例讲解
例2：求关于x的方程 x 2 x 3 a ( a R ) 的不同实根的个数。
2
解：在同一坐标系
中，作出 y=|x2+2x-3|和y=a 的图像。 由图可知： 当a<0时, 方程无解; 当a=0时, 方程有两个解;
1 2
x
2、 y log2 1
x
y
4 3
y (
1 1, 2
y
1 x ) 2
4 3
y log2
x
1,2
1 1, 2
2 1 0,1 0 1 -1
x
y log2 1
x
-4 -3 -2 -1
x
2 1
1 , 1
1,0
4,2 4,1
y=a(a<0) 没有交点
y=a(a=0) 有两个交点
求方程 x 4 x 3 m 的根的个数。
2
.
求方程的 lg 个数。
x
x 3 0 实数解的
七、抽像概括
1、图像变换法：
（1）对称变换法
y f ( x)
关于y轴对称
（2）翻折变换法
y f ( x)
保留y轴右侧图像， 再将y轴右方图像对 称翻折到y轴左方 保留x轴上方图像， 再将x轴下方图像对 称翻折到x轴上方
1 x
四、问题探究Ⅱ
画出函数
y
log22x y log
4 3 2
x
的图像，并指出它与
y log2
y
4 3 2 1
x
的图像有何联系？
x
y log2
x
y log2
x
y log2
1,0 1,0
-4 -3 -2 -1 0 1 -1 -2 -3 2 3 4
1
1,0
2 3 4
3,0
-4 -3 -2
1,0
-1
1 0 1 -1 -2 -3
1,0
2
3,0
3 4
2,1
y x 4x 3
2
x
2,1
y x 4 x 3
2
2,1
图1
图2
六、实例讲解
例1、作出下列函数的图像，并指出函数的定义域、值域、奇偶性、单调性：
1、 y ( )
x
x
-4 -3 -2
-1
x
0 1 -1 -2 -3
x
x
y log2
y log2
y log2
y log2
x
log2 x ( x 0) x log 2 ( x 0)
y log2
x
log2 x ( x 1) x log 2 (0 x 1)
函数图像的平移变换规律：
本质上是函数图像上的每个点的平移 左加右减 上加下减
y f ( x)
y f ( x a)
y f ( x)
y f ( x) k
二、问题探究Ⅰ
在同一坐标系下作出函数 你能得出什么结论？
y
4 3
x x x ，的图像，观察函数图像的特征， y 2x 与 y 22
y=a(a=4) 有三个交点
y 4 3
y=a(a>4) 有二个交点
y=a(0<a<4) 有四个交点
2 1 -3 -2 -1 0 1 -1 -2 -3 -4 2 3 x
当0<a<4时, 方程有四个解; a=4或 时， 方程有三个解 ; . 当a>4 a=0 时,方程有两个解 当a>4时, 方程有两个解.
y
y
4 3 2 1
y2
x
4 3 2 1
y 2x
y 2x
y2
x
2 1 -1 0 1 -1 -2 -3 2
-2
x
-2
-1
0 1 -1 -2 -3
2
x
-2
-1
0 1 -1 -2 -3
2
x
y 2 x
y 2 x
关于y轴对称
关于x轴对称
关于原点对称
函数图像的对称变换规律：
关于y轴对称 y f ( x) 1、 y f ( x) （x,y)换成（-x,y)
2、y f ( x) 关于x轴对称 y f ( x) （x,y)换成（x,-y) 关于原点对称 y f ( x) 3、y f ( x) （x,y)换成（-x,-y)
三、适应练习Ⅰ
1、y
x
2
与
y x
2
x 轴 的图像关于_____________ 对称；
x 1 f ( x ) 2 y 轴 2、 与 g ( x) 2 的图像关于_____________ 对称；