电磁场与电磁波课后习题及答案--第四章习题解答

习题解答

4.1 如题4.1图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为

U ，求槽内的电位函数。

解 根据题意，电位(,)x y ϕ满足的边界条件为 ① (0,)(,)0y a y ϕϕ== ② (,0)0x ϕ= ③

0(,)x b U ϕ=

根据条件①和②，电位(,)x y ϕ的通解应取为

1

(,)sinh(

)sin()n n n y n x

x y A a a ππϕ∞

==∑

由条件③，有

01

sinh(

)sin()n n n b n x U A a a ππ∞

==∑

两边同乘以

sin(

)

n x a π，并从0到a 对x 积分，得到

00

2sin()d sinh()a

n U n x

A x a n b a a ππ==

⎰

02(1cos )sinh()U n n n b a πππ-=04,1,3,5,sinh()02,4,6,U n n n b a n ππ⎧

=⎪

⎨

⎪

=⎩L L ，

故得到槽内的电位分布

1,3,5,41(,)sinh()sin()

sinh()n U n y n x

x y n n b a a a ππϕπ

π==

∑

L

4.2 两平行无限大导体平面，距离为b ，其间有一极薄的导体片由d y =到b y =)(∞<<-∞x 。上板和薄片保持电位

U ，下板保持零电位，求板间电位的解。设在薄片平面上，从0=y 到

d y =，电位线性变化，0(0,)y U y d ϕ=。

a

题4.1图

解 应用叠加原理，设板间的电位为

(,)x y ϕ=12(,)(,)x y x y ϕϕ+

其中，

1(,)x y ϕ为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为

U ）的电位，即

10(,)x y U y b ϕ=；2(,)x y ϕ是两个电位为零

的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为： ①

22(,0)(,)0x x b ϕϕ==

②

2(,)0()

x y x ϕ=→∞

③

002100(0)(0,)(0,)(0,)()

U U y y d b

y y y U U y y d y b d b ϕϕϕ⎧-≤≤⎪⎪=-=⎨

⎪-≤≤⎪⎩

根据条件①和②，可设2(,)x y ϕ的通解为 21(,)sin()e

n x b

n n n y x y A b π

πϕ∞

-==∑

由条件③有

00100(0)sin()()

n n U U y y d n y b A U U b y y

d y b d b π∞

=⎧

-≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩∑

两边同乘以

sin(

)

n y

b π，并从0到b 对y 积分，得到

0002211(1)sin()d ()sin()d d

b

n d U U y n y n y A y y y b b b b d b b ππ=-+-=⎰⎰022sin()

()U b n d n d b ππ

故得到 (,)x y ϕ=0022

121sin()sin()e n x b

n U bU n d n y y b d n b b π

πππ∞-=+∑

4.3 求在上题的解中，除开0U y 一项外，其他所有项对电场总储能的贡献。并按

20

2U W C e

f =

定出边缘电容。

解 在导体板（0=y ）上，相应于

2(,)x y ϕ的电荷面密度

题 4.2图

002

200

121sin()e n x b

y n U n d y

d n b πεϕ

πσεπ∞-==∂=-=-∂∑

则导体板上（沿z 方向单位长）相应的总电荷

2220d 2d q x x σσ∞

∞

-∞===⎰⎰0010

22sin()e d n x b n U n d x n d b πεππ∞∞

-=-=∑⎰0022

141sin()n U b n d d n b εππ∞=-∑

相应的电场储能为

2002022

1211sin()2e n bU n d

W q U d n b εππ∞

===-∑ 其边缘电容为

022210241sin()

e f n W b n d

C U d n b εππ∞===∑ 4.4 如题4.4图所示的导体槽，底面保持电位

U ，其余两面电位为零，求槽内的电位的解。

解 根据题意，电位(,)x y ϕ满足的边界条件为 ① (0,)(,)0y a y ϕϕ==

② (,)0()x y y ϕ→→∞ ③

0(,0)x U ϕ=

根据条件①和②，电位(,)x y ϕ的通解应取为

1

(,)sin(

)n n n y a n x

x y A e a ππϕ∞

-==∑

由条件③，有

01

sin(

)n n n x

U A a π∞

==∑

两边同乘以

sin(

)

n x

a π，并从0到a 对x 积分，得到

002sin()d a

n U n x A x a a π==⎰0

2(1cos )U n n ππ

-=0

4,1,3,5,02,4,6,U n n n π⎧=⎪⎨⎪=⎩L L

，

故得到槽内的电位分布为

1,3,5,41(,)sin()n y a n U n x

x y e n a ππϕπ

-==

∑

L

题4.4图

a