数学分析考研试题集锦

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数学分析试卷及答案6套

一. (8分)用数列极限的N ε-定义证明1n =.二. (8分)设有复合函数[()]f g x , 满足: (1) lim ()x ag x b →=;(2) 0()x U a ∀∈,有0()()g x U b ∈ (3) lim ()u bf u A →=用εδ-定义证明, lim [()]x af g x A →=.三. (10分)证明数列{}n x :cos1cos 2cos 1223(1)n nx n n =+++⋅⋅⋅+收敛.四. (12分)证明函数1()f x x=在[,1]a (01)a <<一致连续,在(0,1]不一致连续. 五. (12分)叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界. 六. (10分)证明任一齐次多项式至少存在一个实数零点.七. (12分)确定,a b 使lim )0x ax b →+∞-=.八. (14分)求函数32()2912f x x x x =-+在15[,]42-的最大值与最小值.九. (14分)设函数()f x 在[,]a b 二阶可导, ()()0f a f b ''==.证明存在(,)a b ξ∈,使24()()()()f f b f a b a ζ''≥--.一. (10分)设数列{}n a 满足: 1a =, 1()n a n N +=∈, 其中a 是一给定的正常数, 证明{}n a 收敛,并求其极限.二. (10分)设0lim ()0x x f x b →=≠, 用εδ-定义证明011lim()x x f x b→=. 三. (10分)设0n a >,且1lim1nn n a l a →∞+=>, 证明lim 0n n a →∞=.四. (10分)证明函数()f x 在开区间(,)a b 一致连续⇔()f x 在(,)a b 连续,且lim ()x a f x +→,lim ()x bf x -→存在有限. 五. (12分)叙述确界定理并以此证明闭区间连续函数的零点定理.六. (12分)证明:若函数在连续,且()0f a ≠,而函数2[()]f x 在a 可导,则函数()f x 在a 可导.七. (12分)求函数()1f x x x ααα=-+-在的最大值,其中01α<<.八. (12分)设f 在上是凸函数,且在(,)a b 可微,则对任意1x ,2x (,)a b ∈, 12x x <,都有12()()f x f x ''≤.九. (12分)设(),0()0,0g x x f x x x ⎧ ≠⎪=⎨⎪ =⎩ 且(0)(0)0g g '==, (0)3g ''=, 求(0)f '.一.(各5分,共20分)求下列不定积分与定积分: 1. arctan x x dx ⎰2. x e dx -⎰3.ln 0⎰4.20sin 1cos x xdx xπ+⎰二.(10分)设()f x 是上的非负连续函数, ()0baf x dx =⎰.证明()0f x = ([,])x a b ∈.三. (10分)证明20sin 0xdx xπ>⎰. 四. (15分)证明函数级数0(1)n n x x ∞=-∑在不一致收敛, 在[0,]δ(其中)一致收敛.五. (10分)将函数,0(),0x x f x x x ππππ+ ≤≤⎧=⎨- <≤⎩展成傅立叶级数.六. (10分)设22220(,)0,0xy x y f x y x y ⎧ +≠⎪=⎨⎪ +=⎩证明: (1) (0,0)x f ', (0,0)y f '存在; (2) (,)x f x y ',(,)y f x y '在(0,0)不连续;(3) (,)f x y 在(0,0)可微.七. (10分)用钢板制造容积为V 的无盖长方形水箱,怎样选择水箱的长、宽、高才最省钢板?八. (15分)设01σ<<, 证明111(1)n n n σσ∞=<+∑.一. (各5分,共20分)求下列不定积分与定积分:1.(0)a >2.1172815714x x dx x x++⎰3.1arcsin x dx ⎰4. 1000π⎰二. (各5分,共10分)求下列数列与函数极限:1. 221lim nn k nn k →∞=+∑2. 20lim1xt xx xe dt e →-⎰三.(10分)设函数在[,]a b 连续,对任意[,]a b 上的连续函数()g x , ()()0g a g b ==,有()()0baf xg x dx =⎰.证明()0f x = ([,])x a b ∈.四. (15分)定义[0,1]上的函数列2212,211()22211n n x x n f x n n x x n n x n ⎧ , 0≤≤⎪⎪⎪=- , <≤⎨⎪⎪0 , <≤⎪⎩证明{()}n f x 在[0,1]不一致收敛.五. (10分)求幂级数0(1)n n n x ∞=+∑的和函数.六. (10分)用εδ-定义证明2(,)(2,1)lim (43)19x y x y →+=.七. (12分)求函数22(2)(2)(0)u ax x by y ab =-- ≠的极值.八. (13分)设正项级数1n n a ∞=∑收敛,且1()n n a a n N ++≥ ∈.证明lim 0n n na →∞=.一 (10分) 证明方程11(, )0F x zy y zx --++=所确定的隐函数(, )z z x y =满足方程.z z xy z xy x y∂∂+=-∂∂ 二 (10分) 设n 个正数12, , , n x x x 之和是a ，求函数 n u x =的最大值.三 (14分) 设无穷积分() af x dx +∞⎰收敛，函数()f x 在[, )a +∞单调，证明1()() ().f x o x x=→+∞四 (10分) 求函数1220() ln() F y x y dx =+⎰的导数(0).y >五 (14分) 计算0sin sin (0, ).pxbx axI e dx p b a x+∞--=>>⎰六 (10分) 求半径为a 的球面的面积S . 七 (10分) 求六个平面111111122222223333333 ,, = 0 , , a x b y c z h a b c a x b y c z h a b c a x b y c z h a b c ++=±⎧⎪++=±∆≠⎨⎪++=±⎩ 所围的平行六面体V 的体积I ，其中, , , i i i i a b c h 都是常数，且0 (1, 2, 3).i h i >= 八 (12分) 求22Cxdy ydxx y-+⎰，其中C 是光滑的不通过原点的正向闭曲线. 九 (10分) 求dS z∑⎰⎰，其中∑是球面2222x y z a ++=被平面 (0)z h h a =<<所截的顶部.数学分析-3样题(二)一 (10分) 求曲面2233, , x u v y u v z u v =+=+=+在点(0, 2)对应曲面上的点的切平面与法线方程.二 (10分) 求在两个曲面2221x xy y z -+-=与221x y +=交线上到原点最近的点. 三 (14分) 设函数()f x 在[1, )+∞单调减少，且lim ()0x f x →+∞=，证明无穷积分1() f x dx +∞⎰与级数1001()n f n =∑同时收敛或同时发散.四 (12分) 证明ln (0).ax bx e e bdx a b x a--+∞-=<<⎰五 (12分) 设函数()f x 在[, ]a A 连续，证明 [, ]x a A ∀∈，有01lim [()()] ()().xa h f t h f t dt f x f a h→+-=-⎰六 (10分) 求椭圆区域221112221221: ()() 1 (0)R a x b y c a x b y c a b a b +++++≤-≠的面积A .七 (10分) 设222()() VF t f x y z dx dy dz =++⎰⎰⎰，其中2222: (0)V x y z t t ++≤≥，f 是连续函数，求'()F t .八 (10分) 应用曲线积分求(2sin )(cos )x y dx x y dy ++的原函数.九 (12分) 计算 Sxyz dx dy ⎰⎰，其中S 是球面2221x y z ++=在0, 0x y ≥≥部分并取球面外侧.。

数学分析考研试题及答案

数学分析考研试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)在点x=a处可导，则下列说法正确的是：A. f(x)在x=a处连续B. f(x)在x=a处不可导C. f(x)在x=a处不一定连续D. f(x)在x=a处可微答案：A2. 极限lim(x→0)(sinx/x)的值为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B3. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点为：A. 1B. 2C. 3D. 1和2答案：D4. 若函数f(x)在区间(a,b)上连续，则下列说法错误的是：A. f(x)在(a,b)上必有最大值B. f(x)在(a,b)上必有最小值C. f(x)在(a,b)上可以没有最大值D. f(x)在(a,b)上可以没有最小值答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2+3x+2，则f'(x)=_________。

答案：2x+32. 函数y=x^3-3x+1在x=1处的切线斜率为_________。

答案：13. 设函数f(x)=ln(x)，则f'(x)=_________。

答案：1/x4. 若函数f(x)=x^2-4x+c在x=2处取得极小值，则c=_________。

答案：4三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的单调区间。

答案：函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-12x+11。

令f'(x)>0，解得x<1或x>3；令f'(x)<0，解得1<x<3。

因此，函数f(x)在(-∞,1)和(3,+∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减。

2. 求极限lim(x→0)(x^2sinx/x^3)。

答案：lim(x→0)(x^2sinx/x^3) = lim(x→0)(sinx/x^2) = 0。

3. 证明函数f(x)=x^3+3x^2-9x+1在x=-3处取得极小值。

武汉大学近二十年数学分析考研真题

其中 N > 0 为一常数，且逐点有 fn (x) → f (x) （当 n → +∞ ）。证明：（1） f (x) 在[a,b] 上连续。
（2） fn (x)→ f (x) 。
6．设
f
(x,
y)
=
⎪⎪⎧ g ( x, ⎨
y ) sin
⎪0,
⎪⎩
1, x2 + y2
(x, y) ≠ (0,0)
，证明
+
1 32
−
1 4
+
1 52
+"+
1 (2n −1)2
−
1 2n
+ " 是否收敛？为什么？
∑ 3．求级数 ∞ ⎜⎛1 + 1 ⎟⎞n(n+1) x n 的收敛区域。
n=1 ⎝ n ⎠ 4．求函数 f (x, y, z) = xyz 在条件 x + y = 1 及 x − y + z 2 = 1下的极值。
∫+∞⎡
lim
n→+∞
−∞⎢⎣
f
⎜⎛ ⎝
y
+
1 n
⎟⎞ − ⎠
f
⎤ ( y)⎥⎦dy
=
0。
3．设 f (x, y) 为连续函数，且当 (x, y) ≠ (0,0) 时，f (x, y) > 0 ，及满足 f (cx,cy) = cf (x, y) ，
∀c > 0 。证明存在α , β > 0 ，使得α x2 + y 2 ≤ f (x, y) ≤ β x2 + y 2 。
其中
∆u
=
∂2u ∂x 2
+

考研数学分析真题答案

考研数学分析真题答案一、选择题1. 根据极限的定义，下列哪个选项是正确的？A. $\lim_{x \to 0} x^2 = 0$B. $\lim_{x \to 0} \sin x = 1$C. $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = 1$D. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$答案：A2. 函数 $f(x) = \sin x + x^2$ 在 $x = 0$ 处的导数是多少？A. 1B. 2C. 0D. -1答案：A二、填空题1. 函数 $y = \ln x$ 的定义域是 _________。

答案：$(0, +\infty)$2. 若 $\int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3}$，那么$\int_{0}^{1} x^3 dx$ 的值是 _________。

答案：$\frac{1}{4}$三、解答题1. 证明：对于任意正整数 $n$，$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)} = \frac{n}{n+1}$。

证明：首先，我们可以将求和式拆分为部分和的形式：\[\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right)\]通过观察，我们可以看到这是一个望远镜求和，大部分项会相互抵消，最终只剩下：\[1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}\]2. 求函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ 在 $x = 2$ 处的泰勒展开式，并计算其近似值。

解：首先，我们计算函数在 $x = 2$ 处的各阶导数：\[f'(x) = 3x^2 - 6x + 2, \quad f''(x) = 6x - 6, \quad f'''(x) = 6\]在 $x = 2$ 处，$f(2) = 0$，$f'(2) = -2$，$f''(2) =6$，$f'''(2) = 6$。

数学考研试题大全及答案

数学考研试题大全及答案# 数学考研试题大全及答案## 一、高等数学### 1.1 函数、极限与连续例题：设函数 $ f(x) = \frac{1}{x} $，求 $ \lim_{x \to 0^+} f(x) $。

解答：函数 $ f(x) $ 在 $ x = 0 $ 处不连续，因此$ \lim_{x \to 0^+} f(x) $ 不存在。

### 1.2 导数与微分例题：求函数 $ f(x) = x^3 - 2x^2 + x $ 的导数。

解答：$ f'(x) = 3x^2 - 4x + 1 $。

### 1.3 微分中值定理例题：设 $ f(x) $ 在闭区间 [1, 2] 上连续，在开区间 (1, 2) 内可导，且 $ f(1) = f(2) $，证明存在 $ c \in (1, 2) $ 使得 $ f'(c) = 0 $。

解答：由罗尔定理可知，由于 $ f(1) = f(2) $，故存在 $ c \in (1, 2) $ 使得 $ f'(c) = 0 $。

## 二、线性代数### 2.1 矩阵与向量例题：设矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix} $，求 $ A $ 的逆矩阵。

解答：$ A $ 的逆矩阵为 $ A^{-1} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix} $。

### 2.2 线性方程组例题：解线性方程组：\[\begin{cases}x + y = 1 \\2x + 3y = 5\end{cases}\]解答：解得 $ x = 1 $，$ y = 0 $。

### 2.3 特征值与特征向量例题：求矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 3\end{bmatrix} $ 的特征值和特征向量。

数学分析考研试题及答案

数学分析考研试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪个不是有界函数？A. f(x) = sin(x)B. f(x) = e^xC. f(x) = x^2D. f(x) = 1/x2. 函数f(x) = x^3在区间(-∞, +∞)上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 有增有减D. 常数函数3. 如果函数f(x)在点x=a处连续，那么：A. f(a)存在B. f(a) = 0C. lim(x->a) f(x) = f(a)D. lim(x->a) f(x) 不存在4. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 2/35. 函数序列fn(x) = x^n在[0, 1]上一致收敛的n的取值范围是：A. n = 1B. n > 1C. n < 1D. n = 26. 级数∑(1/n^2)是：A. 收敛的B. 发散的C. 条件收敛的D. 无界序列7. 如果函数f(x)在区间[a, b]上可积，那么：A. f(x)在[a, b]上连续B. f(x)在[a, b]上一定有界C. f(x)在[a, b]上单调递增D. f(x)在[a, b]上无界8. 函数f(x) = |x|在x=0处：A. 连续B. 可导C. 不连续D. 不可导9. 微分方程dy/dx + y = 0的通解是：A. y = Ce^(-x)B. y = Ce^xC. y = Csin(x)D. y = Ccos(x)10. 函数f(x) = e^x在x=0处的泰勒展开式是：A. f(x) = 1 + x + ...B. f(x) = x + ...C. f(x) = 1 + x^2 + ...D. f(x) = 1 + x^3 + ...二、填空题（每题4分，共20分）11. 极限lim(x->0) (sin(x)/x) 的值是 _______。

12. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的拐点是 _______。

【精选资料】数学分析考研试题集锦.pdf

x .由于 f n ( x) 一致收敛于 f(x), 对任意 >0, 存在正整数 N,当 n>N
时 , 对任意 x [a,b], 有 | fn ( x) f ( x) | . 从而 | f nk ( xnk ) f ( xnk ) | |f (xnk ) | 故
lim
k
f ( xnk )
f ( x)
n
0
0
4 设函数 f ( x) 在 [a, ) 上可导 , 且积分
f ( x)dx 与 f ( x)dx 都收敛 , 证明
a
a
lim f (x )存在且为 0. （南京理工大学）
x
证 : 由于
a
f ( x)dx 收敛 ,所以有
A
lim f ( x)dx lim ( f ( A)
A
a
A
f ( a))
f ( x)dx．
| f ( 0) |
(1
x )2
| f ( ) |x2
2
2
2M 0
M 2 [(1 x )2 2
x2]
2M 0
M2 . 2
因此 M 1
2M 0
1 M 2.
2
７设 f ( x) 在 [0, ) 上连续非负 , 且积分
f ( x)dx 收敛，证明：
a
1n lim xf ( x)dx
a
故 lim f ( A) lim f ( x) 存在 .
A
x
若 lim f ( x) k 0, 不妨设 k 0 ,则存在 M
0,当 x
M 时,有 | f ( x)
k|
k .即
x
2
k

考研数学分析试题及答案

考研数学分析试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a) = f(b) = 0，若f(x)在区间(a, b)内至少有一个最大值点，则下列说法正确的是（）。

A. f(x)在[a, b]上必有最大值B. f(x)在[a, b]上必有最小值C. 函数f(x)在[a, b]上单调递增D. 函数f(x)在[a, b]上单调递减2. 下列级数中，发散的是（）。

A. ∑(-1)^n / nB. ∑1/n^2C. ∑(1/n - 1/(n+1))D. ∑sin(n)3. 已知函数F(x)在点x=c处可导，且F'(c)≠0，那么下列说法中正确的是（）。

A. F(x)在x=c处连续B. 函数F(x)在x=c处一定取得最大值或最小值C. 可导性不能保证函数的连续性D. F(x)在x=c处取得极值4. 对于函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 5，其在区间[1, 5]上的最大值是（）。

A. 5B. 10C. 15D. 205. 设f(x)在[a, b]上可积，若∫[a, b] f(x) dx = 10，则下列说法中错误的是（）。

A. f(x)在[a, b]上非负B. 存在x₀∈[a, b]，使得f(x₀) > 0C. 存在x₀∈[a, b]，使得f(x₀) = 10/b - aD. f(x)可以是负函数6. 函数f(x) = e^x / (1 + e^x)的值域是（）。

A. (-∞, 0)B. (0, 1/2)C. (0, 1)D. (1/2, +∞)7. 下列选项中，不是有界函数的是（）。

A. y = sin xB. y = e^xC. y = x^2D. y = 1/x8. 设函数f(x)在点x=1处可导，且f'(1) = 2，那么f(1 + h) - f(1)在h趋近于0时的表达式是（）。

A. 2hB. 2h + o(h)C. h^2D. o(h)9. 对于函数f(x) = x^2，其在区间[-1, 1]上满足拉格朗日中值定理的条件，且存在ξ∈(-1, 1)，使得（）。

数学分析考研真题试题推荐

数学分析考研真题试题推荐数学分析是考研数学科目中的一项重要内容，也是很多考生头疼的难点。

在备考过程中，了解和熟悉真题试题是非常重要的，因为真题试题能够帮助考生更好地了解考试的难度和出题的规律。

本文将推荐一些数学分析的真题试题，希望对考生备考有所帮助。

一、极限与连续1. 设函数f(x)满足f(0)=0，且对任意x，y满足|f(x)-f(y)|≤|x-y|^2，证明f(x)在x=0处可导，并求出f'(0)的值。

这道题考察了函数的局部性质和极限的定义。

通过对函数的性质进行分析，可以得出函数在x=0处可导，并且求出导数的值。

2. 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且对任意的x∈[a,b]，有f(x)≥0。

证明：若∫[a,b]f(x)dx=0，则在[a,b]上f(x)恒为0。

这道题考察了积分与连续函数之间的关系。

通过对积分的性质进行分析，可以得出函数在[a,b]上恒为0的结论。

二、微分中值定理与导数的应用1. 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0。

证明：存在ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0。

这道题考察了导数的中值定理的应用。

通过对函数在区间[a,b]上连续和可导的性质进行分析，可以得出存在ξ使得f'(ξ)=0的结论。

2. 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f'(x)≠0。

证明：f(x)在区间(a,b)上严格单调。

这道题考察了导数与函数单调性的关系。

通过对导数的性质进行分析，可以得出函数在区间(a,b)上严格单调的结论。

三、积分与定积分1. 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且对任意的x∈[a,b]，有f(x)≥0。

证明：∫[a,b]f(x)dx=0的充要条件是f(x)在[a,b]上恒为0。

这道题考察了定积分与连续函数之间的关系。

通过对定积分的性质进行分析，可以得出函数在[a,b]上恒为0的充要条件。

硕士研究生数学分析真题试卷

硕士研究生数学分析真题试卷一、选择题（每小题 5 分，共 30 分）1、函数＄f(x) ＝＼frac{x^2 1}｛x 1}＄在＄x ＝ 1$ 处（）A 连续B 可导C 有极限但不连续D 以上都不对2、设函数＄f(x)＄在＄a,b$ 上连续，在＄（a,b)＄内可导，且＄f(a) ＝ f(b)＄，则在＄（a,b)＄内（）A 至少存在一点＄＼xi$，使得＄f'（＼xi) ＝ 0$B 一定不存在点＄＼xi$，使得＄f'（＼xi) ＝ 0$C 恰存在一点＄＼xi$，使得＄f'（＼xi) ＝ 0$D 不一定存在点＄＼xi$，使得＄f'（＼xi) ＝ 0$3、下列级数收敛的是（）A ＄＼sum_{n=1}＾｛＼infty} ＼frac{1}｛n}＄B ＄＼sum_{n=1}＾｛＼infty} ＼frac{（－1)＾n}｛n}＄ C ＄＼sum_{n=1}＾｛＼infty}＼frac{1}｛n^2}＄ D ＄＼sum_{n=1}＾｛＼infty} ＼frac{1}｛＼sqrt{n}｝＄4、函数＄f(x) ＝ x^3 3x^2 ＋ 2$ 的单调递增区间是（）A ＄（＼infty, 0)＄B ＄（0, 2)＄C ＄（2, ＋＼infty)＄D ＄（＼infty, 0) ＼cup （2, ＋＼infty)＄5、设函数＄f(x)＄具有二阶连续导数，且＄f(0) ＝ 0$，＄f'（0)＝ 1$，＄f'＇（0) ＝ 2$，则＄＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{f(x) x}｛x^2}＄等于（）A 0B 1C 2D 不存在6、曲线＄y ＝＼ln x$ 上与直线＄x ＋ y ＝ 1$ 垂直的切线方程为（）A ＄y ＝ x 1$B ＄y ＝ x ＋ 1$C ＄y ＝ x ＋ 1$D ＄y ＝ x 1$二、填空题（每小题 5 分，共 30 分）1、极限＄＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin 3x}｛x}＄＝＿_______。

[考试必备]武汉大学数学分析考研试题集锦(1992,1994-2012年)

（3）在 (0,0) 附近，是否存在过在 (0,0) 的唯一连续隐函数？为什么？
（3）若存在隐函数过 (0,0) 点，问其导函数为何？
武汉大学数学分析 1996
1．设 an → a(n → +∞) ，令
a
+ n
=
⎩⎨⎧a0n,,
an an
> ≤
0 ，a
0
=
⎧a, ⎩⎨0,
a>0 a≤0
证明：
a
+ n
4．设 u = u(t, x, y, z) 有二阶连续偏导数， Ω 为 (x, y, z) 空间的一有界闭集，它有光滑边界
∂Ω ， ∂Ω 处的单位外法向矢量为 ν ，证明：
∫∫∫ Ω
∂u ∂t
⋅
∆udxdydz
=
∫∫
∂Ω
∂u ∂t
⋅
∂u ∂ν
dS
−
1 2
d dt
∫∫∫ Ω
∇u
2
dxdydz
(外侧）
其中 N > 0 为一常数，且逐点有 fn (x) → f (x) （当 n → +∞ ）。证明：（1） f (x) 在[a,b] 上连续。
（2） fn (x)→ f (x) 。
6．设
f
(x,
y)
=
⎪⎪⎧ g ( x, ⎨
y ) sin
⎪0,
⎪⎩
1, x2 + y2
(x, y) ≠ (0,0)
，证明
→
a+ (n
→
+∞) 。
( ) 2．设 lim ( x, y)→( x0 , y0 )
f
(x,
y)

华南师范大学考研数学分析试题汇总

2000年华南师范大学数学分析一、填空题（3*10=30分） 1.设_______lim _______,lim ,,2,1,4sin )1(===+-=∞→∞→n n n n nn a a n n a 则 π；2.设处连续；在则为无理数为有理数____)(, , ,)(=∈⎩⎨⎧-=x x f R x x x x x x f 3._____;1lim 10=+⎰∞→dx xx n n4._________;)cos (sin lim 10=+→xx x x5.方程)(032为实常数c c x x =+-在区间[0,1]中至多有_________个根； 6._______;__________),1()(1122=>+=++⎰n n n n I I n n a x dxI 的递推公式，写出为自然数设_;__________)(,)(),(cos sin 0==⎰+du t f dt t f y x u y x 是可微函数，则8.),(y x f 设在P 0(2,0)处可微，且在P 0处指向P 1(2,2)的方向导数是1，指向原点的方向导数是-3，则在P 0处指向P 2(1,2)的方向导数是_____________;9.写出函数在x=0处的幂级数展开式：____;____________________sin 2=x 10.曲线π20,sin ,cos 33≤≤==t t a y t a x 的弧长s=___________________.二、(12分)设f(x)在[0,+∞)上连续，)(lim x f x +∞→存在，证明：f(x)在[0,+∞)上可取得最大值或最小值.三、(12分)设函数z=z(x,y),由方程)(222yzyf z y x =++所确定，其中f 是可微函数，试证：xz yz xy x z z y x 22)(222=∂∂+∂∂--.四、（12分）求极限：)22211(lim 222nn nn n n n n ++++++++∞→ .五、（12分）已知a,b 为实数，且1<a<b,证明不等式：ab b a ln ln )1(1+>+）（.六、(12分)计算曲面积分：.32dxdy z dzdx y xdydz I S++=⎰⎰其中S 是球面1222=++z y x 的外侧.七、(10分)设0)(≥x u n ,在[a,b]上连续，n=1,2,…,∑∞=1)(n nx u在[a,b]上收敛于连续函数f(x),证明：∑∞=1)(n nx u在[a,b]上一致收敛于f(x).一、(12分)求极限).)12)(12(1531311(lim +-++⋅+⋅∞→n n n 二、(12分)设{}.,11,11:),(2dxdy x y y x y x D D⎰⎰-≤≤-≤≤-=求积分三、(12分)证明∑∞=+1331n xn nx在[a,b]上一致收敛(其中，0<a<b<+∞);在(0,+∞)上不一致收敛；并证明：函数S(x)=∑∞=+1331n x n nx在(0,+∞)上连续.四、(12分)求第二型曲线积分dy x dx y L 333132+-⎰，其中，12:22=+y x L ，取逆时针方向。

北京大学1996-2021历年数学分析_考研真题试题(1)

x n a z ) d x d y d z 考试科目：数学分析一、（10 分）将函数 f (x ) = arctan2x1- x 2在 x = 0 点展开为幂级数，并指出收敛区间。

+∞ ln(1+ x )二、（10 分）判别广义积分的收敛性： ⎰0 d x 。

x p 三、（15 分）设 f (x ) 在(-∞, +∞) 上有任意阶导数 f (n ) (x ) ，且对任意有限闭区间[a , b ] ，f (n ) (x ) 在[a , b ] 上一致收敛于φ(x )(n → +∞) ，求证：φ(x ) = ce x ， c 为常数。

四、（15 分）设 x n > 0( n = 1, 2 ⋅⋅⋅) 及 lim x n = a ，用ε - N 语言证明： lim= 。

n →+∞n →+∞五、（15 分）求第二型曲面积分⎰⎰ (x d y d z + cos y d z d x + d x d y ) ，其中S 为Sx 2 + y 2 + z 2 = 1的外侧。

∂f ∂g 六、（20 分）设 x = f (u , v ) ， y = g (u , v ) ，w = w (x , y ) 有二阶连续偏导数，满足 ∂u = ∂v，∂f = - ∂g∂v ∂u ∂2w ， ∂x 2 ∂2w + = 0 ，证明： ∂y 2（1） ∂2( fg ) ∂u 2∂2( fg ) + = 0 ， ∂v 2（2） w (u , v ) = w ( f (u , v ), g (u , v )) 满足 ∂2w ∂u 2 ∂2w+ = 0 。

∂v 2七、（15 分）计算三重积分⎰⎰⎰Ω:x 2+ y 2 + z 2 ≤2 z(x 2 + y 2 +25/ 2。

n 1+ a nx ∞∑ ⎰ y+ x = = = 考试科目：数学分析一、（26 分）选一个最确切的答案，填入括号中：1.设 f (x ) 定义在[a , b ] 上，若对任意的 g ∈ R ([a , b ]) ，有 f ⋅ g ∈ R ([a , b ]) ，则（）A. f ∈ R ([a , b ]) ，B. g ∈ C ([a , b ]) ，C. f 可微，D. f 可导。

数学分析考研真题答案

数学分析考研真题答案一、选择题1. 极限的概念是数学分析中最基本的概念之一。

下列选项中，哪一个是极限的定义？A. 函数在某一点的值B. 函数在某一点的左极限与右极限相等时的值C. 函数在某一点的值趋于一个常数D. 函数在某一点附近的行为答案： C2. 以下哪个选项是连续函数的定义？A. 在某点可导B. 在某点的极限存在且等于函数值C. 在某区间内的所有点都有定义D. 在某区间内的所有点都有定义且可导答案： B二、填空题1. 若函数$ f(x) $在点$ x_0 $处可导，则$ f(x) $在$ x_0 $处的导数定义为$ \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) -f(x_0)}{h} $。

答案： $ \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} $2. 定积分$ \int_{a}^{b} f(x) \, dx $的几何意义是函数$ f(x) $在区间$ [a, b] $上的曲线与x轴所围成的面积。

答案：曲线与x轴所围成的面积三、解答题1. 证明：若函数$ f(x) $在区间$ [a, b] $上连续，则定积分$ \int_{a}^{b} f(x) \, dx $存在。

证明：由于$ f(x) $在$ [a, b] $上连续，根据连续函数的性质，$ f(x) $在$ [a, b] $上是一致连续的。

根据达布定理（Darboux's Theorem），对于任意的分割$ P $，上和$ U(f, P) $与下和$ L(f, P) $之差$ U(f, P) - L(f, P) $可以任意小。

因此，存在一个共同的极限$ I $，即$ \lim_{||P|| \to 0} U(f, P) = \lim_{||P|| \to 0} L(f, P) = I $，这就证明了定积分$ \int_{a}^{b} f(x) \, dx $的存在性。

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数学分析考研试题集锦
一. 连续性问题
1 ．设f(x)是[a,b]上的连续函数,f(a)<0,f(b)>0,求证:存在c(a,b),使
f(c)=0,且对任何
,有f(x)>0．(华东理工大学2004年)
二.无穷级数与函数列
1．设在[0,1]上
一致收敛于f(x),且每个
有界，求证：
(1) 极限函数f(x)在[0,1]上有界；
(2) 函数列
在[0,1]上一致有界．(华东理工大学2004年)
2. 设{fn(x)}是定义在(-,+)上的可导函数列,且存在常数M>0,对所有的n和x(-,+),有
假设对任意x(-,+),有
则g(x)在(-,+)上连续.
证明:对任意x0 (-,+),有
对任意>0,由于对任意x(-,+),有
所以存在正整数N,当n>N时,有
由微分中值定理,
其中在x与x0之间,故取
当|x-x0|<时,有
故当|x-x0|<时
即f(x)在x0连续,由x0的任意性,知f(x)在(-,+)上连续.
三．连续性
１．设Ｉ为一区间，f(x)在Ｉ上一致连续，若对任意xI,f(x)0,试证：在Ｉ上一致连续．(华东理工大学200６年)
四．定积分
１．
2．设
有二阶连续偏导数，
证明：
证明：设
，则
所以
由于
所以
（华中科技大学）
3．设
讨论积分
的敛散性.
解:
,故P>1时积分收敛,p1时积分发散.
数学分析考研题集锦
1 设函数
为
上的非负递减函数,且
收敛,则
证明：由于
收敛，根据柯西准则，对任意＞０,存在Ｍ＞０,对任意Ａ,Ｂ＞Ｍ,有．因此当
时,
但
为
上的非负递减函数,所以
,故
(南京理工大学2001年)
2.设函数
在
上一阶连续可导,
证明存在M>0,使得
证明：由于
所以
故
取
得证. （南京理工大学）
3 设
是
上的连续函数,证明:
证明: 由积分中值定理
.
故由定积分定义,
（南京理工大学）
4 设函数
在
上可导,且积分
与
都收敛,证明
存在且为0. （南京理工大学）证: 由于
收敛,所以有
．
故
存在.
若
不妨设
,则存在
当
时,有
即
从而
不收敛,矛盾,因此
５计算（东南大学2001）
６设
在
上二阶连续可导，设
证明：
（东南大学2001）
证明：由泰勒公式
两式相减得
所以
因此
７设
在
上连续非负,且积分
收敛，证明：
（南京理工大学2000）
7. 设a,b>0,证明不等式:
证: 设
则
令
得
由于
因此f(x)在
取最小值,所以对(0,1)的任意x,有
故
8. 设f(x)在[a,b]上二次连续可微, 证明:
9. 证明:
其中C是与n无关的常数,
证:由于
故
另一方面,若设
则
故数列
单调递减有下界,因此
收敛.设
则
其中C是与n无关的常数,
10.设
求极限
解: 设
由拉格朗日定理,
其中
由于
故
所以
11．设
是[a,b]上的连续函数，当
时，
一致收敛于f(x)，每个
在[a,b]上有零点，f(x)在[a,b]上至少有一个零点。

证：设
在[a,b]上的零点为xn，则
为有界点列，从而必有收敛子列
，设
.由于
一致收敛于f(x),对任意>0,存在正整数N,当n>N时,对任意
有
从而
故
即f(x)在[a,b]上至少有一个零点.
12. 设f(x,y)在x,y0上连续,在x,y>0内可微,存在唯一(x0,y0)使得设
证明:
是f(x,y)在x,y0上的最大值.
证:设
,由于
故对任意>0,存在R>0,对任意x>R,或y>R,有
记
,则f(x,y)在D上连续,故f(x,y)在D上必取最大值M,且
下面证明:
(1) M是f(x,y)在X上的最大值.
对任意点
,当
时,有x>2R或y>2R,所以
时显然有
(2)
由于D的边界是线段
故对OA和OC上任意点(x,y),由已知条件可知f(x,y)=0<M,,对AB上的任意点(x,y)有x=2R>R,而对BC上的任意点(x,y)有y=2R>R,所以
故f(x,y)在最大值M在D的内部取得,因此M也是f(x,y)的极大值,由极值的必要条件,极大值点(x,y)必满足
由已知条件
是满足
的唯一点,故
12. 设f(x)是区间[0,1]上的可微函数,f(0)=f(1)=0.当0<x<1时,
证明:存在
,使得
证明:设
,则F(0)=F(1)=0,且F(x)在[0,1]上可微,由洛尔定理,存在
,使得
故有
所以
13.设f(x)在[0,+)上连续,广义积分
绝对收敛,试证:
证:由于
所以
由于f(x)在[0,+)上连续,广义积分
绝对收敛,根据黎曼引理,
故
14. 假设h(x)是处处不可导的连续函数,以此为基础构造连续函数f(x),使f(x)仅在两点可导,并说明理由.
解:设f(x)=(x-a)(x-b)h(x),则f(x)仅在x=a,x=b可导.事实上
所以f(x)在x=a可导,且
同理f(x)在x=b可导,且
而对任意x0a,b,由于
由已知条件,h(x)不可导,因此
不存在,而
故
不存在,故f(x)在x0不可导.由x0的任意性,f(x)在x0a,b,时不可导.
15 设函数f在[a,b]上连续,且f>0,记
证明:
并应用上述等式证明:
证明:
继续阅读。