数学分析考研试题 (1)
数学分析考研试题及答案
数学分析考研试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)在点x=a处可导，则下列说法正确的是：A. f(x)在x=a处连续B. f(x)在x=a处不可导C. f(x)在x=a处不一定连续D. f(x)在x=a处可微答案：A2. 极限lim(x→0)(sinx/x)的值为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B3. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点为：A. 1B. 2C. 3D. 1和2答案：D4. 若函数f(x)在区间(a,b)上连续，则下列说法错误的是：A. f(x)在(a,b)上必有最大值B. f(x)在(a,b)上必有最小值C. f(x)在(a,b)上可以没有最大值D. f(x)在(a,b)上可以没有最小值答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2+3x+2，则f'(x)=_________。
答案：2x+32. 函数y=x^3-3x+1在x=1处的切线斜率为_________。
答案：13. 设函数f(x)=ln(x)，则f'(x)=_________。
答案：1/x4. 若函数f(x)=x^2-4x+c在x=2处取得极小值，则c=_________。
答案：4三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的单调区间。
答案：函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-12x+11。
令f'(x)>0，解得x<1或x>3；令f'(x)<0，解得1<x<3。
因此，函数f(x)在(-∞,1)和(3,+∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减。
2. 求极限lim(x→0)(x^2sinx/x^3)。
答案：lim(x→0)(x^2sinx/x^3) = lim(x→0)(sinx/x^2) = 0。
3. 证明函数f(x)=x^3+3x^2-9x+1在x=-3处取得极小值。
安徽工程大学数学分析考研真题
安徽工程大学数学分析考研真题安徽工程大学数学分析考研真题：一、选择题（共10小题，每小题2分；共20分）1. 设A是m×n（m≥n）矩阵，则“m-rank(A)=n”的正确表达是（）A. A矩阵的行秩等于nB. A矩阵的列秩等于nC. A矩阵的秩等于nD. A矩阵的空间秩等于n2. 已知向量u = (a ,b ,c)，v = (d,e,f)，w = (g,h,k)，则 (u * v)*w 的值等于（）A. ae+bf+cgB. af+bd+ceC. de+fg+hkD. ad+be+cf3. 设a、b、c、d是实数，如果空间内两个向量x = (a,b)和y = (c,d)满足|x – y| = 1，则a2 + b2 + c2 + d2的值为（）A. 2B. 4C. 8D. 164. 若函数f(x)在[2，4]上有极大值并且 f(4)=f'(4)=0，则f''(4)的值为（）A. > 0B. < 0C. = 0D. 不能确定5. 设函数f(x)在区间[-1,1]上的图形呈现凹形态，则f'(-1)=f'(1)=（）A. > 0B. < 0C. = 0D. 不能确定6. 若集合A={x∈R |x^2+x−6=0}，则A与R的交集为（）A. {-2, 0, 3}B. {-2, 2, 3}C. {-2, 2, 6}D. {-3, 0, 2}7. 设f (x ) 和g (x )为定义在R上的可导函数，若f (0 ) = g (0 ) , f' (0 ) = g' (0) , f'' (0 ) = g'' (0 )，则f (x)=g(x)成立的必要条件是（）A. f(x)和g (x )同时为奇函数B. f(x)和g (x )同时为偶函数C. f(x)和g (x )均为常函数D. 以上都不正确8.运用投影原理，若一边长a的正方形投影到直角坐标系XOY上，一条边长为4a的矩形投影到直角坐标系XOY上，则该矩形的面积为（）A. 16a2B. 12a2C. 8a2D. 4a29.若函数f(x)在区间[-1,1]上满足f(x)=2x2-1,则f(-2)的值为（）A. 15B. 7C. 5D. -310.设P={(x, y)|2x+y≤3, x≥0, y≥0}，若= (3,1)∈P，则P 的解集为（）A. {(0, 3), (1,2)}B. {(0, 2), (1,1)}C. {(0, 3), (1,1)}D. {(0, 2), (1,2)}二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）11. 已知向量u=(1,2,3)，v=(-1,1,2)，则u*v的值为 _______。
武汉大学近二十年数学分析考研真题
其中 N > 0 为一常数，且逐点有 fn (x) → f (x) （当 n → +∞ ）。证明： （1） f (x) 在[a,b] 上连续。
（2） fn (x)→ f (x) 。
6．设
f
(x,
y)
=
⎪⎪⎧ g ( x, ⎨
y ) sin
⎪0,
⎪⎩
1, x2 + y2
(x, y) ≠ (0,0)
，证明
+
1 32
−
1 4
+
1 52
+"+
1 (2n −1)2
−
1 2n
+ " 是否收敛？为什么？
∑ 3．求级数 ∞ ⎜⎛1 + 1 ⎟⎞n(n+1) x n 的收敛区域。
n=1 ⎝ n ⎠ 4．求函数 f (x, y, z) = xyz 在条件 x + y = 1 及 x − y + z 2 = 1下的极值。
∫+∞⎡
lim
n→+∞
−∞⎢⎣
f
⎜⎛ ⎝
y
+
1 n
⎟⎞ − ⎠
f
⎤ ( y)⎥⎦dy
=
0。
3．设 f (x, y) 为连续函数，且当 (x, y) ≠ (0,0) 时，f (x, y) > 0 ，及满足 f (cx,cy) = cf (x, y) ，
∀c > 0 。证明存在α , β > 0 ，使得α x2 + y 2 ≤ f (x, y) ≤ β x2 + y 2 。
其中
∆u
=
∂2u ∂x 2
+
华东师范大学《数学分析》历年考研真题(1997年-2010年)
华东师范大学数学分析历年考研真题（1997年-2010年）华东师范大学1997年攻读硕士学位研究生入学试题一（12分）设f(x)是区间I 上的连续函数。
证明：若f(x)为一一映射，则f(x)在区间I 上严格单调。
二（12分）设1,()0x D x x ⎧=⎨⎩为有理数，为无理数证明：若f(x), D(x)f(x) 在点x=0处都可导，且f(0)=0,则'(0)0f =三（16分）考察函数f(x)=xlnx 的凸性，并由此证明不等式： 2()(0,0)a b a ba b ab a b +≥>>四（16分）设级数1n a∞=∑收敛，试就1n n d ∞=∑为正项级数和一般项级数两种情况分别证明1nn a∞=∑五（20分）设方程(,)0F x y =满足隐函数定理条件，并由此确定了隐函数y=f(x)。
又设(,)Fx y 具有连续的二阶偏导数。
（1） 求''()f x（2）若0000(,)0,()F x y y f x ==为f(x)的一个极值，试证明：当00(,)y F x y 与00(,)xx F x y 同号时，0()f x 为极大值； 当00(,)y F x y 与00(,)xx F x y 异号时，0()f x 为极小值。
（3）对方程2227xxy y ++=，在隐函数形式下（不解出y ）求y=f(x)的极值，并用（2）的结论判别极大或极小。
六（12分）改变累次积分4204842(4)x x xI dx y dy --=-⎰⎰的积分次序，并求其值。
七（12分）计算曲面积分222(cos cos cos )sI x y z ds αβγ=++⎰⎰其中s 为锥面z =上介于0z h ≤≤的一块，{}c o s,c o s ,c o s αβγ为s 的下侧法向的方向余弦。
华东师范大学1998年攻读硕士学位研究生入学试题一． 简答题（20分） （1） 用定义验证：22323lim 212n n n n →∞+=++；（2） '2cos ,0(),()ln(1),0x x f x f x x x <⎧=⎨+≥⎩求； （3）计算3.二（12分）设f(x)有连续的二阶导函数，且''0()2,[()()]sin 5,f f x f x xdx ππ=+=⎰求f(0).三（20分）（1）已知1n n a ∞=∑为发散的一般项级数，试证明11(1)n n a n∞=+∑也是发散级数。
华东师范大学数学分析考研真题
1 n )an
也是发散级数。
四（12 分）设
D : x2 y 2 z 2 t 2 , F (t) f (x2 y2 z2)dxdydz, 其中 f 为连续
D
函数，f(1)=1.证明 F '(1) 4.
五（12 分）设 D 为由两抛物线 y x2 1 与 y x2 1 所围成的闭
的下侧法向的方向余弦。
2
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
数学分析考研试题及答案
数学分析考研试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪个不是有界函数？A. f(x) = sin(x)B. f(x) = e^xC. f(x) = x^2D. f(x) = 1/x2. 函数f(x) = x^3在区间(-∞, +∞)上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 有增有减D. 常数函数3. 如果函数f(x)在点x=a处连续，那么：A. f(a)存在B. f(a) = 0C. lim(x->a) f(x) = f(a)D. lim(x->a) f(x) 不存在4. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 2/35. 函数序列fn(x) = x^n在[0, 1]上一致收敛的n的取值范围是：A. n = 1B. n > 1C. n < 1D. n = 26. 级数∑(1/n^2)是：A. 收敛的B. 发散的C. 条件收敛的D. 无界序列7. 如果函数f(x)在区间[a, b]上可积，那么：A. f(x)在[a, b]上连续B. f(x)在[a, b]上一定有界C. f(x)在[a, b]上单调递增D. f(x)在[a, b]上无界8. 函数f(x) = |x|在x=0处：A. 连续B. 可导C. 不连续D. 不可导9. 微分方程dy/dx + y = 0的通解是：A. y = Ce^(-x)B. y = Ce^xC. y = Csin(x)D. y = Ccos(x)10. 函数f(x) = e^x在x=0处的泰勒展开式是：A. f(x) = 1 + x + ...B. f(x) = x + ...C. f(x) = 1 + x^2 + ...D. f(x) = 1 + x^3 + ...二、填空题（每题4分，共20分）11. 极限lim(x->0) (sin(x)/x) 的值是 _______。
12. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的拐点是 _______。
考研数学分析试题及答案
考研数学分析试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a) = f(b) = 0，若f(x)在区间(a, b)内至少有一个最大值点，则下列说法正确的是（）。
A. f(x)在[a, b]上必有最大值B. f(x)在[a, b]上必有最小值C. 函数f(x)在[a, b]上单调递增D. 函数f(x)在[a, b]上单调递减2. 下列级数中，发散的是（）。
A. ∑(-1)^n / nB. ∑1/n^2C. ∑(1/n - 1/(n+1))D. ∑sin(n)3. 已知函数F(x)在点x=c处可导，且F'(c)≠0，那么下列说法中正确的是（）。
A. F(x)在x=c处连续B. 函数F(x)在x=c处一定取得最大值或最小值C. 可导性不能保证函数的连续性D. F(x)在x=c处取得极值4. 对于函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 5，其在区间[1, 5]上的最大值是（）。
A. 5B. 10C. 15D. 205. 设f(x)在[a, b]上可积，若∫[a, b] f(x) dx = 10，则下列说法中错误的是（）。
A. f(x)在[a, b]上非负B. 存在x₀∈[a, b]，使得f(x₀) > 0C. 存在x₀∈[a, b]，使得f(x₀) = 10/b - aD. f(x)可以是负函数6. 函数f(x) = e^x / (1 + e^x)的值域是（）。
A. (-∞, 0)B. (0, 1/2)C. (0, 1)D. (1/2, +∞)7. 下列选项中，不是有界函数的是（）。
A. y = sin xB. y = e^xC. y = x^2D. y = 1/x8. 设函数f(x)在点x=1处可导，且f'(1) = 2，那么f(1 + h) - f(1)在h趋近于0时的表达式是（）。
A. 2hB. 2h + o(h)C. h^2D. o(h)9. 对于函数f(x) = x^2，其在区间[-1, 1]上满足拉格朗日中值定理的条件，且存在ξ∈(-1, 1)，使得（）。
伍胜健《数学分析》(第1册)-名校考研真题【圣才出品】
第一部分 名校考研真题说明：本部分从指定伍胜健主编的《数学分析》为考研参考书目的名校历年考研真题中挑选最具代表性的部分，并对其进行了详细的解答。
所选考研真题既注重对基础知识的掌握，让学员具有扎实的专业基础；又对一些重难点部分（包括教材中未涉及到的知识点）进行详细阐释，以使学员不遗漏任何一个重要知识点。
第1章 函 数一、填空题设（ ）．[浙江大学研]A ．0 B ．1 C ． D ．【答案】B 【解析】二、解答题1．使用确界原理证明单调递减的有界数列必有极限。
[天津大学研]证明：确界原理，即有上界的非空集必有上确界，有下界的非空集必有下确界。
设为单调递减且有界的数列，则由确界原理可知，存在。
下面证该下确界就是的极限。
由下确界定义：（1）对任意的n ，有，当然成立，这ε为任意小的正数。
（2）对上述任意的ε，存在N ，当n>N 时，有。
又因为条件（1），所以成立。
2．设S 是非空集合，ξ＝infS ，试证明：若ξ∈S，则S 中必存在一个严格单调递减的，使得[北京航空航天大学研]证明：若ξ＝infS ，即（1）对任意的x∈S，有X≥ξ：（2）对任意的ε>0，存在，使得取，存在，使得。
改变n 的值，有依次类推，有而且满足很明显，为一个严格单调递减的数列，且3．设{xy}为所有xy 乘积的集合，其中，且x≥0及y≥0．证明：[武汉大学研]证明：设 ①②又，可取．且使③由，∴存在由③有 ④由②，④得证4．设．[同济大学研]解：当当－1≤x＜0时，当x＜－1时，5．证明：函数为R上的有界函数．[湖北大学2001研]证：∴取ε＝1，存在N＞0，当又f （x ）在内连续．从而有界，即综上两式知f （x ）在R 上有界．6．设，求f （x ）的定义域和f （f （－7））．[中国人民大学研]解：由3－x ＞0，3－x≠1，49－x 2≥0，解得，从而f （x ）的定义域为又第2章 序列的极限1．求下列极限：（1）．[北京大学研]（2）f （x ）在[－1，1]上连续，恒不为0，求．[华中师范大学研]解法1：①由①式及两边夹法则，．（2）故解法2：f 在[－1，1]上连续；因而f （x ）有界2．设数列单调递增趋于 ①证明：（1）（2）设 ②证明：，并利用（1），求极限．[中国人民大学研]证明：（1）（i ）先设，由①式，，存在N>0，当n>N 时有特别取n＝N＋1，N ＋2，……将这些式子统统相加得此即 ③而由于以及③式，（ii ）再当时．由①有 ④ ⑤下证递增趋于，由④知，．当n>N 1时，有 ⑥，即单调递增．由⑥式有，。
广东财经大学数学分析考研真题试题2018、2019年
欢迎报考广东财经大学硕士研究生，祝你考试成功！（第 1 页 共 1 页） 广东财经大学硕士研究生入学考试试卷考试年度：2018年 考试科目代码及名称：614-数学分析(自命题)适用专业：071400 统计学［友情提醒：请在考点提供的专用答题纸上答题，答在本卷或草稿纸上无效！］ 《数学分析》 [共150分]一、计算题（6题，每题10分，共60分）1.求极限()21sin 1lim 1x x x →-- 。
2.设函数()f x 在a 可导，求极限()()02lim 2t f a t f a t t →+-+ 。
3.求不定积分 。
4.求极限230lim 1nn x dx x→∞+⎰ 。
5.判别级数12!n n n n n ∞=∑的敛散性。
6.求复合函数的偏导数：(),,,u f x y x s t y st ==+= 。
二、应用题（4题，每题15分，共60分）1.已知圆柱形罐头盒的体积是V （定数），问它的高与底半径多大才能使罐头盒的表面积达到最小？2.求一条平面曲线方程，该曲线通过点(1,0)A ，并且曲线上每一点(,)P x y 的切线斜率是22,x x R -∈。
3.求以下曲线绕指定轴旋转所成旋转体的侧面积：2,06y x x =≤≤，绕x 轴。
4.已知矩形的周长为24cm ，将它绕其一边旋转而成一圆柱体，试求所得圆柱体体积最大时的矩形面积。
三、证明题（2题，每题15分，共30分）1.证明：若存在常数c ，n N ∀∈，有21321||||||n n x x x x x x c --+-++-< ，则数列{}n x 收敛。
2.证明：方程2sin (0)x x a a -=>至少有一个正实根。
欢迎报考广东财经大学硕士研究生，祝你考试成功！（第 1 页 共 1 页）广东财经大学硕士研究生入学考试试卷考试年度：2019年 考试科目代码及名称：601-数学分析(自命题) 适用专业：071400 统计学［友情提醒：请在考点提供的专用答题纸上答题，答在本卷或草稿纸上无效！］一、计算题（6题，每题10分，共60分）1.求数列极限();!)!2(!)!22(lim 1n n n n n -+++∞→2.求函数极限 ();sin 1ln sin tan lim 20x x x x x +-→3.设是可微函数，由所确定函数.求φ0),=--bz cy az cx （φ),(y x f z =. yz b x z a ∂∂+∂∂4.求函数级数的和函数和收敛域.∑+∞=-12n nx xe 5.设，确定使得满足方程 y x ex y x f 42),(-=ααf .122⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂x f x x x y f 6.设.求全微分xyz u =.3u d 二、应用题（4题，每题15分，共60分）1.已知满足求的取值范围.,x y ()22+21.x y -=w =2.曲线在点处得切线与轴得正向所夹得角度是多⎪⎩⎪⎨⎧=+=4222y y x z )5,4,2(x 少？3.求由方程确定的隐函数的二阶导数012=-+y x e xy )(x y y =).(''x y 4.求不定积分.⎰xdx e x sin 三、证明题（2题，每题15分，共30分）1. 已知在区间上连续. 求证)(x f ],[b a ().)()()(2122⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰-b a n n b a dx x f a b dx x f n2. 已知证明存在唯一使得 .,0为自然数n x >），（10∈θ.11lim 00+==+→⎰n xe dt e x x x t n n θθ且。
2008年华中科技大学数学分析考研试题(1)
lim f ( x) = 1
。证明 f ( x) = e ， ∀x ∈ (0,+∞ ) 。
x
9 计算第一类曲面积分
x2 + y 2 + z 2 = a2 , y ≤ 0 。
∫∫ ( x + y + z ) dS
Σ
，其中 Σ 是左半球面
其边界 Σ 为封闭光滑曲面； 10 设 Ω 是空间区域且不包含原点，
ρ 用 n 表 示 Σ 的 单 位 外 法 向 量 ， r = ( x, y , z ) 和
ρ
ρ r = | r | = x 2 + y 2 + z 2 ，证明 ∫∫∫ Ω
ρ ρ dxdydz 1 = ∫∫ cos(n , r ) dS r 2 Σ 。
a
y
1 b (b − x) n +1 f ( x)dx n + 1∫a
cos nx 2 5 讨论函数项级数 n=1 + 1 的和函数 S ( x) 在 (0,2π ) 上的连续性与
∑n
∞
可导性。 （15）
xy , x2 + y2 ≠ 0 2 2 f ( x, y ) = x + y 0, x 2 + y 2 = 0 在原点 (0,0) 处的连续 6 讨论函数
性、偏导数的存在性与可微性。 （15） 7 设反常积分 ∫ 收敛。
x 8 设 f ( x) 在 (0,+∞ ) 上 满 足 函 数 方 程 f (2 x) = e f ( x) ， 且
+∞
1
f ( x)dx
绝对收敛且
x → +∞
lim f ( x ) = 0
， 证明 ∫
(完整版)数学分析_各校考研试题及答案
2003南开大学年数学分析一、设),,(x y x y x f w-+=其中),,(z y x f 有二阶连续偏导数，求xy w解：令u=x+y ，v=x-y ，z=x 则z v u x f f f w ++=；)1()1()1(-++-++-+=zv zu vv vu uv uu xy f f f f f f w二、设数列}{n a 非负单增且a a nn =∞→lim ,证明a a a a n n n n n n =+++∞→121][lim解：因为an 非负单增，故有n n n nnn n n n na a a a a 1121)(][≤+++≤由a a nn =∞→lim ；据两边夹定理有极限成立。
三、设⎩⎨⎧≤>+=0,00),1ln()(2x x x x x f α试确定α的取值范围，使f(x ）分别满足：（1） 极限)(lim 0x f x +→存在（2） f(x ）在x=0连续 （3） f （x ）在x=0可导 解：(1）因为)(lim 0x f x +→=)1ln(lim 20x x x ++→α=)]()1(2[lim 221420n nn x x o nxx x x +-++--→+α极限存在则2+α0≥知α2-≥（2）因为)(lim 0x f x -→=0=f(0）所以要使f(x)在0连续则2->α（3）0)0(='-f 所以要使f （x ）在0可导则1->α四、设f （x)在R 连续，证明积分ydy xdx y x f l ++⎰)(22与积分路径无关解;令U=22y x+则ydy xdx y x f l ++⎰)(22=21du u f l )(⎰又f （x ）在R 上连续故存在F(u ）使dF （u ）=f(u ）du=ydy xdx y x f ++)(22所以积分与路径无关。
（此题应感谢小毒物提供思路）五、设f(x)在［a,b ］上可导，0)2(=+b a f 且M x f ≤')(，证明2)(4)(a b M dx x f b a-≤⎰证：因f(x)在[a ，b]可导，则由拉格朗日中值定理，存在)2)(()2()(),(ba x fb a f x f b a +-'=+-∈ξξ使即有dx ba x f dx x f bab a)2)(()(+-'=⎰⎰ξ222)(4])2()2([)2)((a b M dx b a x dx x b a M dx b a x f bb a ba a ba-=+-+-+≤+-'≤⎰⎰⎰++ξ六、设}{n a 单减而且收敛于0。
复旦大学数学分析考研真题
复旦大学 数学分析考研真题一．填空题（1）0lim x →ln(1)1cos x x x+-=_____(2)微分方程'y =(1)y x x-的通解是____,这是变量可分离方程（3）设∑是锥面z=22x y +(0≤z ≤1)的下侧，则23(1)x d y d z y d z d x z d x d y ++-=∑⎰⎰____(4)点（2，1，0）到平面3x+4y+5z=0的距离d=____ (5)设A=2112⎛⎫⎪-⎝⎭,2阶矩阵B 满足BA=B+2E,则B =____(6)设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{m a x (,)1}P x y ≤=____一、 选择题（1） 设函数()y f x =具有二阶导数，且'()0f x >，''()0f x >，x 为自变量x 在x，处的增量，y 与dy 分别为()f x 在点x处对应的增量与微分，若0x >，则（ ）（A ）0dx y << （B ）0y dy << （C ）0y dy << （D ）0dy y << （2）设(,)f x y 为连续函数，则41(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于（ ）（A ）2210(,)xx dx f x y dy -⎰⎰（B ）22100(,)xdx f x y dy -⎰⎰（C ）2210(,)yydy f x y dx -⎰⎰（D ）2210(,)ydy f x y dx -⎰⎰（3）若级数1nn a∞-∑收敛，则级数（ ）（A ）1nn a∞-∑收敛 （B ）1(1)n nn a ∞--∑收敛（C ）11n n n a a ∞+-∑收敛 （D ）112n n n a a ∞+-+∑收敛（4）设(,)f x y 和(,)x y ϕ均为可微函数，且'(,)y x y ϕ≠0，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是（ ） （A ）若'00(,)0x f x y =，则'00(,)0y f x y = （B ）若'00(,)0x f x y =，则'00(,)0y f x y ≠ （C ）若'00(,)0x f x y ≠，则'00(,)0y f x y = （D ）若'00(,)0x f x y ≠，则'00(,)0y f x y ≠ （5）设12,,,s ααα都是n 维向量，A 是m n ⨯矩阵，则（ ）成立（Ａ）若12,,,s ααα线性相关，则12,,s A A A ααα线性相关 （Ｂ）若12,,,s ααα线性相关，则12,,s A A A ααα线性无关 （Ｃ）若12,,,s ααα线性无关，则12,,s A A A ααα线性相关 （Ｄ）若12,,,s ααα线性无关，则12,,s A A A ααα线性无关（６）设Ａ是３阶矩阵，将A 的第2列加到第1列上得B ，将B 的第一列的1-倍加到第2列上得C ，记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（ ）（A ）1C P AP -= （B ）1C PAP -= （C ）TC P AP = （D ）TC PAP =（7）设A ，B 为随机事件，()0P B >，()|1P A B =,则必有（ ） （A ）()()P A B P A ⋃> （B ）()()P A B P B ⋃> （C ）()()P A B P A ⋃= （D ）()()P A B P B ⋃=（8）设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布222(,)N μσ，且12{1}{1}P X P Y μμ-<>-<，则（ ）（A ）12σσ< （B ）12σσ> （C ）12μμ< （Ｄ）12μμ>三、简答题（1） 设区域22{(,)|1,0}D x y x y x =+≤≥，计算二重积分2211DxyI dxdy x y +=++⎰⎰ （2） 设数列{}n x 满足110,sin n n x x x π+<<=（n=1,2）,求：（I ）证明lim n x x →∞存在，并求之（II ）计算211lim n x n x n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭（3） 设函数()f u 在（0，∞）内具有二阶导数，且22()z f x y =+满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂ （I ）验证'''()()0f u f u u+= （II ）若'(1)0,(1)1f f ==，求函数()f u 的表达式（4） 设在上半平面{(,)|0}D x y y =>内，函数(,)f x y 是有连续偏导数，且对任意的0t >都有2(,)(,)f tx ty t f x y =证明：对L 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线Ｌ，都有(,)(,)0Lyf x y dx xf x y dy -=⎰（5）已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩有３个线性无关的解（Ｉ）证明方程组系数矩阵Ａ的秩 ()2r A = （II ）求 a , b 的值及方程组的通解（6）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3，向量1(1,2,1)T α=--，2(0,1,1)T α=-实线性方程组0Ax =的两个解，（I ）求A 的特征值与特征向量（II ）求：正交矩阵Ｑ与对角矩阵Ａ，使得TQ AQ A =（7）随机变量X 的概率密度为1,1021(),0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩其他令2,(,)y x F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数（Ｉ）求Ｙ的概率密度()Y f y (II)1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭(8)设总体X 的概率密度,01(,0)1,120,x F X x θθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他其中θ实未知参数（01θ<<），12,,,n X X X 为来自总体X 的简单随即样本，记N 为样本值12,,,n x x x 中小于1的个数，求θ的最大似然估计。
数学分析考研试题
3．设 f (x) = sin 2 (x2 + 1) .
(1)求 f (x) 的麦克劳林展开式。
(2)求 f (n) (0) 。 (n = 1,2,3 )
4．试作出定义在 R 2 中的一个函数 f (x, y) ，使得它在原点处同时满足以下三个条件：
∫∫ 恒有 P(x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy = 0. Sr
求证: ∀(x, y, z), R(x, y, z) = 0, Px (x, y, z) + Qy (x, y, z) = 0.
4
武汉科技学院理学院
北京大学 2005 年
1. 设 f (x) = x 2 sin x − 1 sin x ，试求 lim sup f (x) 和 lim inf f (x) .
p→+∞ 0
0
6
武汉科技学院理学院
南京理工大; 0 ，n=1,2，
an → a ≠ 0, (n → ∞) ,证
lim n
n→∞
an
= 1。
∫∫ 二、（15 分）求积分 F ⋅ nds 其中 F＝（xy，yz，xy），Σ 为半球面，x 2＋y2＋z 2＝1，z ≥ 0 Σ
（1） f (x, y) 的两个偏导数都存在；（2）任何方向极限都存在；（3）原点不连续
∫ 5．计算 x2ds .其中 L 是球面 x 2 + y 2 + z 2 = 1与平面 x + y + z = 0 的交线。 L
6．设函数列{ fn (x)} 满足下列条件：（1） ∀n ， f n (x) 在 [a, b] 连续且有 f n (x) ≤ f n+1 (x) （ x ∈[a, b] ）；（2）{ fn (x)} 点点收敛于[a, b] 上的连续函数 s(x)
北京大学1996-2021历年数学分析_考研真题试题(1)
x n a z ) d x d y d z 考试科目：数学分析一、（10 分）将函数 f (x ) = arctan2x1- x 2在 x = 0 点展开为幂级数，并指出收敛区间。
+∞ ln(1+ x )二、（10 分）判别广义积分的收敛性： ⎰0 d x 。
x p 三、（15 分）设 f (x ) 在(-∞, +∞) 上有任意阶导数 f (n ) (x ) ，且对任意有限闭区间[a , b ] ，f (n ) (x ) 在[a , b ] 上一致收敛于φ(x )(n → +∞) ，求证：φ(x ) = ce x ， c 为常数。
四、（15 分）设 x n > 0( n = 1, 2 ⋅⋅⋅) 及 lim x n = a ，用ε - N 语言证明： lim= 。
n →+∞n →+∞五、（15 分）求第二型曲面积分⎰⎰ (x d y d z + cos y d z d x + d x d y ) ，其中S 为Sx 2 + y 2 + z 2 = 1的外侧。
∂f ∂g 六、（20 分）设 x = f (u , v ) ， y = g (u , v ) ，w = w (x , y ) 有二阶连续偏导数，满足 ∂u = ∂v，∂f = - ∂g∂v ∂u ∂2w ， ∂x 2 ∂2w + = 0 ，证明： ∂y 2（1） ∂2( fg ) ∂u 2∂2( fg ) + = 0 ， ∂v 2（2） w (u , v ) = w ( f (u , v ), g (u , v )) 满足 ∂2w ∂u 2 ∂2w+ = 0 。
∂v 2七、（15 分）计算三重积分⎰⎰⎰Ω:x 2+ y 2 + z 2 ≤2 z(x 2 + y 2 +25/ 2。
n 1+ a nx ∞∑ ⎰ y+ x = = = 考试科目：数学分析 一、（26 分）选一个最确切的答案，填入括号中：1.设 f (x ) 定义在[a , b ] 上，若对任意的 g ∈ R ([a , b ]) ，有 f ⋅ g ∈ R ([a , b ]) ，则（ ）A. f ∈ R ([a , b ]) ，B. g ∈ C ([a , b ]) ，C. f 可微，D. f 可导。
东华理工大学数学分析考研真题试题2016年—2018年
13．设 f 在 (a, b) 内连续，且 lim f (x) = lim f (x) = 0 . 证明： f 在 (a, b) 内有最大值或最
x→a+
x→b−
小值.
+∞
∫ 14. 证明：若 f 在[ A,+∞) 上一致连续，且 f (x)dx 收敛，则 lim f (x) = 0 .
a
x→+∞
15. 设 f (x) 为二阶可微函数, F (x) 为可微函数.证明函数
∫ u(x,t) = 1 [ f (x − at) + f (x + at)] + 1
x + at
F (z)dz
2
2a x−at
满足弦振动方程
∂2u ∂t 2
= a2
∂2u ∂x 2
及初值条件 u(x,0) =
f (x),ut (x,0) =
F(x) .
16. 设 S 为光滑闭曲面，V 为 S 所围的区域。函数 u(x, y, z) 在 V 与 S 上具有二阶连续偏导数，
lim( n 2 2 n 1 n).
n
2．求下列函数极限:
lim 1 ( 1 cos x) . x0 x x sin x
3. 计算不定积分
x
3
x5 3x2
4
dx.
2
4．求曲线 x 3 y 3
2
a 3 在点(
2 a,
4
2 a)处的切线方程和法线方程.
4
n
5.
确定幂级数 ( n 0 2n
逆时针方向.
10． 计算下列三重积分
z2dxdydz
其中是两个球 x2y2z2R2 和 x2y2z22Rz(R0)的公共部分.
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南京理工大学2005年数学分析试题
一、（10分）设0>n a ，n=1,2， )(,0∞→≠→n a a n ,证 1lim
=∞→n n n a 。
二、（15分）求积分
⎰⎰∑⋅ds n F ϖϖ其中），，＝（x y yz x y F ϖ，∑为半球面，0z 1z y x 222≥，＝＋＋和圆1y x 0z 22≤＋，
＝的外侧 三、（15分）设f 为一阶连续可微函数，且）
（0f ''存在，f （0）＝0， 定义⎪⎩⎪⎨⎧≠'0 x x f x
10 x 0f x g ）（＝）（）＝（ 证 g 是一个可微，且g '在0点连续。
四、（15分）证明 级数
∑∞1n x n 2e ＝－ 在），＋（∞0上不一致收敛，但和函数在）
，＋（∞0上无穷次可微。
五、（15分）设〕，〔b a C f ∈，证明，0>∀ε存在连续折线函数g ，使得 ε<）（）－（x g x f ，〕〔b a,x ∈
∀。
六、（15分）设），（t x u 为二元二阶连续可微函数且u 的各一阶偏导关于x 是以1为周期
函数，且2222x
u t u ∂∂∂∂＝，证明⎰∂∂∂∂E 1022dx x u t u 21t ））＋（）（（）＝（是一个与t 无关的函数。
七、（15分）设f 为〕
，＋〔∞1上实值函数，且f （1）＝1，）（）（＋）＝（1x x f x 1x f 22≥'，证明）（＋x f lim x ∞→存在且小于4
1π＋。
八、（15分）设∑∞1n n n x a
＝为一幂函数，在（－R ，R ）上收敛，和函数为f ，若数列{}j x 满足
0x x R 21>>>>Λ且0lim =∞
→j j x ，Λ1,2j 0x f j ＝，）＝（，证明 Λ210n 0a n ，，＝，＝ 九、（15）设f 是 〕〔〕，〔b a b a ⨯⨯上的二元连续映射，定义
{}〕
，〔），（）＝（b a y y x f max x g ∈，证明 g 在〔a ，b 〕上连续。
十、（20分）讨论二元函数连续、可偏导、可微三个概念之间的关系，要有论证和反例。