浙大2000年-2002年数学分析考研试题及解答
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浙江大学2000年数学分析考研试题及解答
一、（1）求极限()1
1lim
t
t t e
t
→+-；
解 ()1
1
1
ln(1)
ln(1)1
11
lim
lim
lim
t t t
t
t t t t t e
e
e
e
e t
t
t
++-→→→+---==
1
ln(1)1
ln(1)1
1lim
ln(1)
1
t t
t t e t e t t
t
+-→+--=+-
2
00
ln(1)
1
1
1
ln(1)1lim
lim
lim lim
22(1)
2
t t t t t t t
t e t t
e e e e t
t
t
t t →→→→+--+--+=====-
+；
或()1
ln(1)
1
1
ln(1)
2
1ln(1)
(
)
1(1)
lim
lim
lim
1
t t
t t
t
t t t t e t e
e e
t t t
t t ++→→→+-
+--+==
2
ln(1)1lim t t
t t
e t
→-++=2
1
1
(1)
1lim
2t t t
e t
→-
++=2
lim
2(1)
2
t t e e t t →-==-
+。
（2）设01,x a x b ==，211()2
n n n x x x --=
-，求
n n x lim
∞
→.
解 由条件，得 12111211()()2
2
n n n n n n n x x x x x x x ------+=-+=
+，
反复使用此结果
11
11011()()()()22
n n n n x x x x b a ---+=+=+， ,2,1=n ；
于是 21212221100()()()n n n n n x x x x x x x x ++-=+-++++-
221
11()()()()()22
n n a b a b a b a -=++-++++- 21
11()
222
()
()13
3
1()
2
n b a a b a a b a +--
-=+-→+-=
--
，)(∞→n ；
22212122100()()()n n n n n x x x x x x x x ---=+-++-++
212211()()()()()22
n n a b a b a b a --=+-++-++ 21
1()
222()
()1331()
2
n
a b a b a a b a --
-=-++→-++=
--，)(∞→n ， 当2a b =时，lim 0n n x →∞
=；当2a b ≠时，lim n n x →∞
不存在。
二、（1）设()f x 在0x =可导，0,0,()n n a b n -+→→→∞，
证明： ()()
l i m
(0
)n n n n n
f b f a f b a →∞
-'=-. 证明 由0
()(0)
lim
(0)0
x f x f f x →-'=-,得对任意0ε>,存在0δ> ,当0||x δ<<时,成立
()(0)
|
(0)|f x f f x
ε-'-<;
因为0,0n n a b -+→→,对上述0ε>及确定的0δ>,存在正整数0δ>,当n N >时, 便有0,0n n a b δδ-<<<<,()(0)
|
(0)|n n
f a f f a ε-'-<,()(0)
|
(0)|n n
f b f f b ε-'-<,
于是|()(0)(0)|()n n n f a f f a a ε'--<-,|()(0)(0)|n n n f b f f b b ε'--<, 从而
|()()(0)()|n n n n f b f a f b a '---|()(0)(0)||()(0)(0)|n n n n f b f f b f a f f a ''≤--+-++ ()n n b a ε<-,即得()()|
(0)|()
n n n n f b f a f b a ε-'-<-,故有()()lim
(0)n n n n n
f b f a f b a →∞
-'=- .
(2)设函数()f x 在[,]a b 上连续, 在(,)a b 内二阶可导, 则存在(,)a b ξ∈, 使得
2
()()2()()24a b b a f b f f a f ξ+-⎛⎫
''-+= ⎪
⎝⎭
.
证明 ：由于()2()()()222a b a b a b f b f f a f b f f f a +⎡+⎤⎡+⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-+=---
⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦
. 作辅助函数()(),,22b a a b F x f x f x x a -+⎛⎫
⎡⎤
=+
-∈ ⎪⎢⎥
⎝
⎭⎣⎦
, 于是 ()()2()22a b a b F F a f b f f a ++⎛⎫⎛⎫
-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 在,
2a b a +⎡
⎤⎢⎥⎣
⎦上对)(x F 运用拉格朗日中值定理, 1,2a b a ξ+⎛⎫
∃∈ ⎪⎝⎭ , 使得 1
1()()222a b b a b a F F a f f ξξ+⎡-⎤-⎛⎫
⎛⎫''-=+-⋅
⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
.