第一章 质点运动学

速率 d s r d q r
q
dt dt
q
角加速度 d
dt
O
rx
36
大学物理学
第一章 质点运动学
匀速率圆周运动
匀变速率圆周运动
0
常量
常量 q q0 t
匀变速率直线运动
0 t
q
q0
0
t
1
2
t2
2 02 2q q0
a 常量
0 a t
x
x0
0
t
1 2
a
0
分量式： x 0 cosq
y
0
sinq
gt
31
大学物理学
第一章 质点运动学
由 d r d t (0 a t) d t
两边积分：
得：
r
r
dr
r0
r0 0 t
t
(
0
1
0 at
a
2
2
t)
d
t
r0
0
t
1 2
g
t2
j
分量式：
x
x0
(0
cosq
)t
y
y0
(0
sinq ) t
y
z
( x, y, z )
O
第一章 质点运动学
以篮板为 参考系， 并以篮板 左下角为 坐标原点 建立直角 坐标系。
x 直角坐标系
4
大学物理学
(ρ,θ) ρθ
O
x
第一章 质点运动学
(s)
s
O
平面极坐标系
自然坐标系
还有球坐标系、柱坐标系等。
5
大学物理学
第一章 质点运动学
二、质点
——只有质量而没有大小和形状的几何点
速a度(t)方程d对(tt求) 导得加速度方程： O
x R
dt
( R 2 cos t)i ( R 2 sin t) j
加速度大小：a R 2 ，方向指向圆心。 28
大学物理学
第一章 质点运动学
例1.4 已知质点沿 x 轴作匀变速直线运动，加
速度不随时间变化，初始时刻质点位置为x0 ，
初速度为υ0 。求：⑴ 质点运动的速度；
内的位置变化
11
大学物理学
第一章 质点运动学
位移的大小
r
x2 y2 z2
r
位矢大小的增量
r r2 r1 x22 y22 z22 x12 y12 z12
12
大学物理学
第一章 质点运动学
★位移与位矢的区别
位矢
r
位移
r
物 描述质点某一瞬时的 描述质点在一段时间
理 位置，是描述运动状 间隔内的位置变化，
0
0
0
得： 0ek t
y 33
大学物理学
第一章 质点运动学
由
y
dy dt
d y d t (0ek t ) d t
两边积分：
y
d y
0
t 0
( 0e k
t
)
d
t
得：
y 0 (1 ek t )
k
υ 0
0ekt
y
0
k
y 0 (1 ek t )
k
O 1k
t O 1k
t 34
x(t)i y(t) j z(t)k r(t)
分量式
O
x
x x(t)
y
y(t)
z z(t )
消去时间 t 即 可得轨道方程
z 描述质点任意 时刻的位置
9
大学物理学
以平抛运动为例
质点的运动方程为 O
x
y
x(t) 0 t
y(t) 1 g t 2 2
质点的轨道方程为
y( x)
g
202
D太地≈1.5×108 km
R地≈6.4×103 km
地球能否看成质点？ 公转 √
自转 ×
6
大学物理学
第一章 质点运动学
1.2 质点运动的描述
一、位置矢量 运动方程
1. 位置矢量（位矢）
在 直角坐 标系Oxyz
中，
r xi y jzk
y P ( x, y, z )
r
O
x
位矢的大小
r r
x2 y2 z2
t2
2 02 2ax x0
37
大学物理学
第一章 质点运动学
二、圆周运动的自然坐标描述
1. 自然坐标系
et
沿质点的运动轨道建立 et
的坐标系。
质点的位置 s ：
en en
s O
切用向质单点位到矢坐量标et原：点O的轨迹的长度来表示。 沿质点所在点 的轨道切线方向。
法向单位矢量 en ：
垂直于在同一点的切向单位矢量而指向曲线
意 态的物理量。
是描述运动过程的物
义
理量。
决 与坐标原点的选取有 与坐标原点无关，但
定 关。
与参考系有关。
因
素
13
大学物理学
第一章 质点运动学
★位移与路程的区别
位移
r
是矢量。反映
在Δt 时间内，质点位
A
s
y
B
置的变化，不关心中间
r
过程。
路程 s是标量。反映
O
x
在Δt 时间内，质点实 际走过的轨道长度。
⑵ 质点运动的运动方程 。
解： ⑴ 一维直线运动中，a
ax
dx
dt
d
dt
d a d t
t
两边积分： d a d t
0
0
得： 0 a t
29
大学物理学
第一章 质点运动学
⑵
一维直线运动中，
x
dx dt
d x d t (0 a t) d t
两边积分：
x
dx
x0
t
0 (0 a t) d t
第一章 质点运动学
1 y2
q a
O
x
z
<90°速率增大
q =90°速率不变 描述质点某一瞬时速度变
化趋势的快慢及方向 >90°速率减小
22
大学物理学
第一章 质点运动学
由速度方程对时间求导即可得加速度方程。
a(t
)
d
(t
)
dt
a
dx
i
dy
j
dz
k
d t d t d t
3.
加速度的大小
x(m)
20
大学物理学
第一章 质点运动学
四、加速度
1
1a. 平均加速度2
1
t t2 t1
1 y
A
a
B 2
2
方向同速度增量
一致
O
x
大小：
a
z
t 描述质点一段时间Δt 内速
度变化的快慢及方向
21
大学物理学
2. 瞬时加速度（加速度）
lim
d
a
t0 t d t
方向指向 t 时刻质点所在 处的轨道曲线凹的一侧。
第一章 质点运动学
大学物理学
第一章 质点运动学
1.1 参考系 坐标系 质点 1.2 质点运动的描述 1.3 圆周运动 1.4 相对运动
2
大学物理学
第一章 质点运动学
1.1 参考系 坐标系 质点 一、参考系 坐标系
1. 运动的绝对性与相对性
运动的绝对性
运动的相对性
3
大学物理学
2. 参考系与坐标系
z
一般情况下，s r
当Δt
→
0
时，
d
s
d
r
14
大学物理学
三、速度
第一章 质点运动学
1.平均速r度
r2
r1
t t2 t1
方向同位矢增量
r
一致
A
y
r
r1 O
B
r2
x
大小：
r
z
t
描述质点一段时间 Δt 内
位置变化的快慢及方向
15
大学物理学
2. 瞬时速度（速度）
lim
r d r
a
x
i
ay
j
az k
d
在直角坐标系中，
a a dt
a ax2 ay2 az2
d
一维直线运动情况下， a dt
23
大学物理学
第一章 质点运动学
例1.2 已知质点的运动方程为 x = t 2+ 2，
y = t 3 / 6 ， 求： t = 2 s时的速度、加速度。
解： 由运动方程
r(t)
平均速度； ⑶ t = 2 s时的速度。
解： ⑴
x y
t t2
4
2
2
消去 t
轨道方程：
( x 2)2
y
2
4
位矢：
r(t)
xi
y
t2
j (t 2) i (
2) j
4
18
大学物理学
第一章 质点运动学
y(m)
⑵
t
=
0
时 ，
r0 2 i 2 j
t=
4
s
时 ，
r4 6 i 6 j
始条件，求速度或运动方程。
a(t), 0
(t), r0
积分 积分
t
(t) 0
a(t)d t
0
t
r (t) r0
(t)d t
0
26
大学物理学
第一章 质点运动学
例 1.3 已知质点的运动方程为
r(t) (Rcos t)i (Rsin t) j
， 其中R 、
ω为常数。求： ⑴ 质点运动的轨道方程；
大学物理学
第一章 质点运动学
1.3 圆周运动 一、圆周运动的角量描述
1. 平面极坐标系与直角坐标系
y
x r cosq
y
r
sinq
r
q
O
x
35
大学物理学
2. 圆周运动的角量描述
第一章 质点运动学
角位置 q q (t ) 角位移 q q2 q1
角速度 d q
路程 s r q
dt
s
4i 2 j
a 2i 2 j
y(m) x=t2+2 y = t 3/ 6
a2
2
1
O1
x(m)
25
大学物理学
第一章 质点运动学
五、质点运动学的两类基本问题
1. 第一类基本问题：已知运动方程，求速度
或加速度。
求导
r(t) (t)
d
r (t )
求导
a(t
)
d
(t )
dt
dt
2. 第二类基本问题：已知加速度或速度及初
位移：
r r4 r0
1
x y
t t2
4
2
2
r
r4
r0
4i 4 j
平均速度：
O r
1
i
j
x(m)
t
19
大学物理学
⑶ 运动方程对
y(m)
时间(t求) 导d：r(t )
dt
i
t
j
2
t = 2 s 时，
1
2 i j
O
第一章 质点运动学
x y
t t2
4
2
2
r
2
1
en
en
r
en
39
大学物理学
d
a
dt
d
d t et
d et
dt
第一章 质点运动学
d 2
d t et r en
切向加速度
at
d
dt
et
描述速度大小变化
法向加速度
an
2
r
en
a at an
描述速度方向变化
a
at2 an2
d
dt
2
2
r
2
40
大学物理学
4. 线量与角量的关系
得：
x
x0
0
t
1 2
a
t2
30
大学物理学
第一章 质点运动学
例1.5
质点在X-Y平面内以初速度
0
作斜上抛
解运运：动动质，方点程的0。与加水速平度方为向a的 夹角g为j θ。y求r：0 质a q点0的
由
d a d t
t
两边积分： d a d t
（
O a
x 为常矢量）
得：
0
0 a
t
0 g t j
的凹侧。 38
大学物理学
第一章 质点运动学
2. 速度的表示
3. 加速度的表示
et et2 et1
d et lim et
et d
a d t
(q )en
et 2
ds d t et
d
d t et et1
r q
d et
dt
et q
d t t0 t
lim
t 0
q
t
en
dq
dt
⑴ 杆自静止由θ0=π/6 开始
转至θ=π/3 时，杆上任意
1 2
gt2
32
大学物理学
第一章 质点运动学
例1.6 有一个小球在某液体中竖直下落，已知
其初速度数值为υ0 ,其加速度数值与速度大小成
正比，加速度方向与运动方向相反，求：任意
时刻小球所处的位置。
a
解：令小球的加速度为 a k
O
由 d a d t k d t
移项并积分：
d
t
k dt
z t
k
3. 速度的大d小r （速d率s）
dt dt
在直角坐标系中，
2 x
2 y
z2
*平均速率 s
t
17
大学物理学
第一章 质点运动学
例1.1 已知质点的运动方程为 x = t + 2，
y = t 2 / 4 + 2， 求： ⑴ 质点运动的轨道方程，
任意时刻的位置矢量； ⑵ t = 0到4 s内的位移、
z
描述质点某一 瞬时的位置
7
大学物理学
第一章 质点运动学
位矢的方向余弦
cos x
r
cos y
r
cos z
r
方向余弦的关系：
y
P ( x, y, z )
r
x
O
z
wenku.baidu.com
cos2 cos2 cos2 1
8
大学物理学
2. 运动方程
第一章 质点运动学
质点运动，位矢随时间变化 y
r r(t)
x2
y
第一章 质点运动学
x
10
大学物理学
第一章 质点运动学
二、位移
质点在 Δt = t2 – t1 时间间 隔内，位矢改变了
r r2 r1
在直角坐标系中，
r1
A
r (t1)
y
r r1 O
r x i y j z k
z
r2 r (t2 )
B
r2
x
其中 x x2 x1 ...... 描述质点一段时间
第一章 质点运动学
路程与角位移：s rq
速率与角速度： d s r
dt
加速度与角加速度： at
d
dt
r
an
2
r
r2
41
大学物理学
第一章 质点运动学
例1.7 一细杆可绕通过其一端的水平轴在竖直
平面内转动。当杆与水平线夹角为θ时，
杆上任意一点的角加速度为 3g cosq
，l为杆长。试求：
2l
⑵ 质点的速度和加速度 。
解： ⑴由运动方程的分量式
x R cos t
r (t )
y
R sin
t
y
t x
O
R
消去 t ，得轨道方程：
x2 y2 R2
27
大学物理学
第一章 质点运动学
(⑵t)运 动d r方(t程) 对 (t求R导得sin速度t方)i程 (：R
cos
t
)
j
dt
y
速率： R ，方向沿轨道切向。
(t
2
2)i
(t
3
/
6)
j
对(tt)求导d 得r(速t)度 方(2程t)i：
(
t
2
/
2)
j
dt
再对 t 求导得加速度方程：
d (t)
a(t)
(2)i (t) j
dt
24
大学物理学
(t
)
(2t
)i
(t
2
/
2)
j
第一章 质点运动学
a(t) (2)i (t) j
t
=2s
时的速度和加速度：
t0 t d t
第一章 质点运动学
y
r
r2
r1 O
x
方向沿着 t 时刻质点所在
z
处的轨道切线方向。
描述质点某一瞬时位置变 化趋势的快慢及方向
16
大学物理学
第一章 质点运动学
由运动方程对时间求导
即可得速度方程。
(t )
d
r (t )
dt
d d
x i
x t
i
y
d
y
j
d t
j z
k
d d