圆锥曲线中的热点问题(总结的非常好)

第3讲圆锥曲线中的热点问题

【高考考情解读】1.本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大.2.求轨迹方程也是高考的热点与重点，若在客观题中出现通常用定义法，若在解答题中出现一般用直接法、代入法、参数法或待定系数法，往往出现在解答题的第(1)问中．

1．直线与圆锥曲线的位置关系

(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：

将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离．

(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：

将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．

①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0时，

直线与双曲线相离．

②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点．

(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：

将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．

①当a≠0时，用Δ判定，方法同上．

②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点．

2．有关弦长问题

有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．

(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝1＋k2

|x2－x1|或|P1P2|＝1＋1

k2|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：

|x2－x1|＝(x1＋x2)2－4x1x2，

|y2－y1|＝(y1＋y2)2－4y1y2.

(2)当斜率k 不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)． 3．弦的中点问题

有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．

考点一圆锥曲线的弦长及中点问题

例1已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为6

3

，右焦点(22，0)，斜率为1的直线l 与

椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)． (1)求椭圆G 的方程； (2)求△P AB 的面积．

解(1)由已知得c ＝22，c a ＝6

3.

解得a ＝23，又b 2＝a 2－c 2＝4. 所以椭圆G 的方程为x 212＋y 2

4＝1.

(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .

由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1.

得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.①

设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1

因为AB 是等腰△P AB 的底边， 所以PE ⊥AB .

所以PE 的斜率k ＝2－

m

4

－3＋

3m 4＝－1.

解得m ＝2.

此时方程①为4x 2＋12x ＝0.

解得x 1＝－3，x 2＝0. 所以y 1＝－1，y 2＝2. 所以|AB |＝3 2.

此时，点P (－3,2)到直线AB ：

x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝32

2，

所以△P AB 的面积S ＝12|AB |·d ＝9

2

.

解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方

程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．

椭圆x 2

2

＋y 2＝1的弦被点⎝⎛⎭⎫12，12平分，则这条弦所在的直线方程是____________． 答案2x ＋4y －3＝0

解析设弦的两个端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1.

∵A ，B 在椭圆上，∴x 212＋y 21＝1，x 222＋y 22

＝1. (x 1＋x 2)(x 1－x 2)

2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，

即y 1－y 2

x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2)

＝－12，

即直线AB 的斜率为－1

2

.

∴直线AB 的方程为y －12＝－1

2⎝⎛⎭⎫x －12， 即2x ＋4y －3＝0.

考点二圆锥曲线中的定值、定点问题

例2已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1经过点(0，3)，离心率为1

2

，直线l 经过椭圆C 的右焦点F 交椭

圆于A 、B 两点，点A 、F 、B 在直线x ＝4上的射影依次为D 、K 、E . (1)求椭圆C 的方程；

(2)若直线l 交y 轴于点M ，且MA →＝λAF →，MB →＝μBF →

，当直线l 的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，说明理由；

(3)连接AE 、BD ，试探索当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．

(1)待定系数法；(2)用直线的斜率为参数建立直线方程，代入椭圆方程消y 后可

得点A ，B 的横坐标的关系式，然后根据向量关系式MA →＝λAF →，MB →＝μBF →

把λ，μ用点A ，B 的横坐标表示出来，只要证明λ＋μ的值与直线的斜率k 无关即证明了其为定值，否则就不是定值；(3)先根据直线l 的斜率不存在时的特殊情况，看两条直线AE ，BD 的交点坐标，如果直线AE ，BD 相交于定点的话，这个特殊位置时的交点就是这个定点，这样只要证明直线AE ，BD 都经过这个定点即证明了两直线相交于定点，否则两直线就不相交于定点．

解(1)依题意得b ＝3，e ＝c a ＝1

2，a 2＝b 2＋c 2，

∴a ＝2，c ＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2

3

＝1.

(2)因直线l 与y 轴相交，故斜率存在，设直线l 方程为 y ＝k (x －1)，求得l 与y 轴交于M (0，－k )，

又F 坐标为(1,0)，设l 交椭圆于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1，

消去y 得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， ∴x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2

，

又由MA →＝λAF →

，∴(x 1，y 1＋k )＝λ(1－x 1，－y 1)， ∴λ＝x 11－x 1，同理μ＝x 2

1－x 2

，

∴λ＋μ＝x 11－x 1＋x 2

1－x 2＝x 1＋x 2－2x 1x 21－(x 1＋x 2)＋x 1x 2