圆锥曲线中的热点问题提高篇
圆锥曲线压轴难题及解答
圆锥曲线提高题20)?(p2y?px2)(0,A BFBFA到该抛物.，点．设抛物线若线段在抛物线上，则的中点的焦点为1 。
线准线的距离为_____________21，2到抛物线的值为B，pB点坐标为（）所以点解析：利用抛物线的定义结合题设条件可得出432，本题主要考察抛物线的定义及几何性质，属容易题准线的距离为42FB3AF?x4y?的中点到准线的距离为AB上的两点A、2．已知以F为焦点的抛物线B满足,则弦___________.由抛物线的定义知解析：设BF=m,ABC?? AC=2m,AB=4m,中，3?k AB y?3(x?1)直线AB方程为23x?10x?3?0 y得与抛物线方程联立消x?x5821?1??1?AB中点到准线距离为所以23322xm2?1?yC:l:?0x?my?FF C，直线1，椭圆的左、右焦点. 3 .已知m，＞分别为椭圆21,2m2ll F的方程；时，求直线过右焦点（Ⅰ）当直线2Cl A,B V AFF V BFF的重（Ⅱ）设直线，与椭圆两点，交于2211OGH mH,G的在以线段.若原点心分别为为直径的圆内，求实数取值范围.解析：本题主要考察椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。
22mm222?myx??m0?1?1,0)mF(?:l?2m，,所以得（Ⅰ）解：因为直线，经过222m?21m?，，所以又因为22的方程为故直线l0??x?2y。
2)x,y,y),B(A(x。
（Ⅱ）解：设22112?mx??my??2x得由，消去?2x?21??y?2m?2m2208?mm?8(???1)???由则知，428m?，21mm??yy,yy???。
且有2121282,0),(cc,0),F(F?由于，21O FF为的中点，故21HO2?GO,BHAG?2由，yxxy1112),),hG((,,可知3333y?xyx?2121)M(,GHM是，的中点，则设66,?MOGH2由题意可知22)y(y(?yx?x)?xx?y2222112211??4[()?()]即96960y?xx?y即211222mmy))((my?my??y?xy?xy而222121112221m0??所以2824m?即0??m1?又因为且2m1??。
第3讲 圆锥曲线中的热点问题
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解析 由题意知双曲线的渐近线方程为 y＝±bax.因为 D，E 分别为直线 x＝a 与双曲 线 C 的两渐近线的交点，所以不妨设 D(a，b)，E(a，－b)，所以 S△ODE＝12×a×|DE| ＝12×a×2b＝ab＝8，则 c2＝a2＋b2≥2ab＝16，当且仅当 a＝b＝2 2时等号成立， ∴c≥4.故曲线 C 的焦距 2c 的最小值为 8. 答案 B
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4.圆锥曲线中的存在性问题的解题步骤：
(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式 (组). (2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在. (3)下结论.
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热点一 圆锥曲线中的最值、范围问题 角度 1 求线段长度、三角形面积的最值 【例 1】 已知点 A(－2，0)，B(2，0)，动点 M(x，y)满足直线 AM 与 BM 的斜率之积
为－12.记 M 的轨迹为曲线 C. (1)求C的方程，并说明C是什么曲线. (2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连 接QE并延长交C于点G. ①证明：△PQG是直角三角形； ②求△PQG面积的最大值.
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(1)解 由题设得x＋y 2·x－y 2＝－12，化简得x42＋y22＝1(|x|≠2)，所以 C 为中心在坐标原
(2)证明 设C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(6，t). 若t≠0，设直线CD的方程为x＝my＋n， 由题意可知－3<n<3. 易知直线 PA 的方程为 y＝线 PB 的方程为 y＝3t (x－3)，所以 y2＝3t (x2－3).
高考数学(深化复习+命题热点提分)专题17 圆锥曲线中的热点问题 理
专题17 圆锥曲线中的热点问题1．已知椭圆C 1：x 2m ＋2－y 2n ＝1与双曲线C 2：x 2m ＋y 2n＝1有相同的焦点，则椭圆C 1的离心率e 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 C ．(0,1)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：由题意知m >0，n <0，椭圆与双曲线的焦点都在x 轴上，∵椭圆与双曲线有相同的焦点，∴m ＋2＋n ＝m －n ，n ＝－1，∴e ＝m ＋2＋nm ＋2＝m ＋1m ＋2＝1－1m ＋2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1. 答案：A2．椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1 解析：椭圆的左顶点为A 1(－2,0)，右顶点为A 2(2,0)，设点P (x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1，得y 20x 20－4＝－34.而k 2PA ＝y 0x 0－2，k 1PA ＝y 0x 0＋2，所以k 2PA ·k 1PA ＝y 20x 20－4＝－34.又k 2PA ∈[－2，－1]，所以k 1PA ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34.答案：B3．过定点C (0，p )的直线与抛物线x 2＝2py (p >0)相交于A ，B 两点，若点N 是点C 关于坐标原点的对称点，则△ANB 面积的最小值为( ) A ．22p B.2p C ．22p 2D.2p 24．若以F 1(－3,0)，F 2(3,0)为焦点的双曲线与直线y ＝x －1有公共点，则该双曲线的离心率的最小值为( )A.62B.355C.32D. 3解析：依题意，设题中的双曲线方程是x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则有a 2＋b 2＝9，b 2＝9－a 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1x 2a 2－y 2b 2＝1消去y ，得x 2a 2－x －2b 2＝1，即(b 2－a 2)x 2＋2a 2x －a 2(1＋b 2)＝0(*)有实数解，注意到当b 2－a 2＝0时，方程(*)有实数解，此时双曲线的离心率e ＝2；当b 2－a 2≠0时，Δ＝4a 4＋4a 2(b 2－a 2)(1＋b 2)≥0，即a 2－b 2≤1，a 2－(9－a 2)≤1(b 2＝9－a 2>0且a 2≠b 2)，由此解得0<a 2≤5且a 2≠92，此时e ＝3a ≥35＝355.综上所述，该双曲线的离心率的最小值是355，选B.答案：B5．已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(1,2) C ．(2,1＋2)D ．(1,1＋2)解析：若△ABE 是锐角三角形，只需∠AEF <45°，在Rt△AFE 中，|AF |＝b 2a ，|FE |＝a ＋c ，则b 2a<a ＋c ⇒b 2<a2＋ac ⇒2a 2－c 2＋ac >0⇒e 2－e －2<0⇒－1<e <2，又e >1，则1<e <2，故选B. 答案：B6．已知点P 是椭圆x 216＋y 28＝1(x ≠0，y ≠0)上的动点，F 1，F 2分别为椭圆的左，右焦点，O 是坐标原点，若M是∠F 1PF 2的平分线上一点，且F 1M →·MP →＝0，则|OM →|的取值范围是( ) A ．[0,3) B ．(0,22) C ．[22，3)D ．(0,4]答案：B7．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线上一点且|PF 1|＝2|PF 2|，则此双曲线离心率的取值范围是________．解析：由双曲线定义有|PF 1|－|PF 2|＝2a ，而由题意|PF 1|＝2|PF 2|，故|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4a .又|F 1F 2|＝2c ，由三角不等式有6a ≥2c .又由定义有c >a ，故离心率e ＝c a∈(1,3]． 答案：(1,3]8．已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是________．9．设抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，已知A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝60°，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线为MN ，垂足为N ，则|MN ||AB |的最大值为________．解析：过A ，B 分别向准线作垂线，垂足分别为A 1，B 1，设|AF |＝a ，|BF |＝b ，如图，根据递形中位线性质知|MN |＝a ＋b2.在△AFB 中，由余弦定理得|AB |2＝a 2＋b 2－2ab cos 60°＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ≥(a ＋b )2－3⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝a ＋b24.所以|AB |≥a ＋b2，∴|MN ||AB |≤1. 答案：110．已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，且椭圆C 上的点到一个焦点的距离的最小值为3－ 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知过点T (0,2)的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，若在x 轴上存在一点E ，使∠AEB ＝90°，求直线l 的斜率k 的取值范围．解析：(1)设椭圆的半焦距长为c ，则由题设有：⎩⎪⎨⎪⎧ca ＝63a －c ＝3－2，解得：a ＝3，c ＝2，∴b 2＝1， 故椭圆C 的方程为y 23＋x 2＝1.(2)由已知可得，以AB 为直径的圆与x 轴有公共点． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点为M (x 0，y 0)，将直线l ：y ＝kx ＋2代入y 23＋x 2＝1，得(3＋k 2)x 2＋4kx ＋1＝0，Δ＝12k 2－12， ∴x 0＝x 1＋x 22＝－2k 3＋k 2，y 0＝kx 0＋2＝63＋k2， |AB |＝1＋k 2·12k 2－123＋k 2＝23k 4－13＋k 2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝12k 2－12>063＋k 2≤12|AB |，解得：k 4≥13，即k ≥413或k ≤－413.11．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，D 、E 分别是椭圆的上顶点与右顶点，且S △DEF 2＝1－32. (1)求椭圆C 1的方程；(2)在椭圆C 1落在第一象限的图象上任取一点作C 1的切线l ，求l 与坐标轴围成的三角形的面积的最小值．(2)∵直线l 与椭圆C 1相切于第一象限内的一点， ∴直线l 的斜率必存在且为负． 设直线l 的方程为：y ＝kx ＋m (k <0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 24＋y 2＝1，消去y 整理可得：⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋14x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0，①根据题意可得方程①只有一实根，∴Δ＝(2km )2－4⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋14(m 2－1)＝0，整理得：m 2＝4k 2＋1.②∵直线l 与两坐标轴的交点分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m k，0，(0，m )且k <0，∴l 与坐标轴围成的三角形的面积S ＝12·m2－k ，③将②代入③可得：S ＝－2k ＋1－2k≥2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当k ＝－12时取等号， ∴l 与坐标轴围成的三角形面积的最小值为2.12．如图所示，已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于32，它的一个顶点恰好在抛物线x 2＝8y 的准线上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)点P (2，3)，Q (2，－3)在椭圆上，A ，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点，当A ，B 运动时，满足∠APQ ＝∠BPQ ，试问直线AB 的斜率是否为定值？请说明理由．解析：(1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线x 2＝8y 的准线y ＝－2上， ∴－b ＝－2，解得b ＝2. 又c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2， ∴a ＝4，c ＝2 3.可得椭圆C 的标准方程为x 216＋y 24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵∠APQ ＝∠BPQ ，则PA ，PB 的斜率互为相反数， 可设直线PA 的斜率为k ，则PB 的斜率为－k ，直线PA 的方程为：y －3＝k (x －2)， 联立⎩⎨⎧y －3＝k x －x 2＋4y 2＝16，化为(1＋4k 2)x 2＋8k (3－2k )x ＋4(3－2k )2－16＝0， ∴x 1＋2＝8kk －31＋4k2. 同理可得：x 2＋2＝－8k －2k －31＋4k2＝8k k ＋31＋4k2， ∴x 1＋x 2＝16k 2－41＋4k 2，x 1－x 2＝－163k1＋4k2，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k x 1＋x 2－4k x 1－x 2＝36.∴直线AB 的斜率为定值36. 13．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1的右焦点为F (c,0)且a >b >c >0，设短轴的一个端点为D ，原点O 到直线DF 的距离为32，过原点和x 轴不重合的直线与椭圆E 相交于C ，G 两点，且|GF →|＋|CF →|＝4. (1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 与椭圆E 相交于不同的两点A ，B 且使得OP →2＝4PA →·PB →成立？若存在，试求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解析：(1)由椭圆的对称性知|GF →|＋|CF →|＝2a ＝4，∴a ＝2.又原点O 到直线DF 的距离为32，∴bc a ＝32，∴bc＝3，又a 2＝b 2＋c 2＝4，a >b >c >0，∴b ＝3，c ＝1. 故椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线l 与x 轴垂直时不满足条件．故可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1，代入椭圆方程得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0， ∴x 1＋x 2＝8kk －3＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－16k －83＋4k2， Δ＝32(6k ＋3)>0，∴k >－12.∵OP →2＝4PA →·PB →，即4[(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)·(y 2－1)]＝5， ∴4(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 2)＝5，即4[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 2)＝5，∴4⎣⎢⎡⎦⎥⎤16k 2－16k －83＋4k 2－2×8k k －3＋4k 2＋4(1＋k 2)＝4×4＋4k 23＋4k 2＝5，解得k ＝±12，k ＝－12不符合题意，舍去．∴存在满足条件的直线l ，其方程为y ＝12x .14.如图，过顶点在原点、对称轴为y 轴的抛物线E 上的定点A (2,1)作斜率分别为k 1、k 2的直线，分别交抛物线E 于B 、C 两点．(1)求抛物线E 的标准方程和准线方程； (2)若k 1＋k 2＝k 1k 2，证明：直线BC 恒过定点． 解析：(1)设抛物线E 的标准方程为x 2＝ay ，a >0， 将A (2,1)代入得，a ＝4.所以抛物线E 的标准方程为x 2＝4y ，准线方程为y ＝－1.15.已知抛物线y 2＝2px (p >0)上点T (3，t )到焦点F 的距离为4.(1)求t ，p 的值；(2)设A ，B 是抛物线上分别位于x 轴两侧的两个动点，且OA →·OB →＝5(其中O 为坐标原点)． ①求证：直线AB 必过定点，并求出该定点P 的坐标；②过点P 作AB 的垂线与抛物线交于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最小值． 解析：(1)由已知得3＋p2＝4⇒p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x ， 代入可解得t ＝±2 3.②由①得|AB |＝1＋m 2|y 2－y 1| ＝1＋m 2·16m 2＋80， 同理得|CD |＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m 2|y 2－y 1|＝1＋1m 2·16m2＋80，则四边形ACBD 面积S ＝12|AB |·|CD |＝121＋m 2·16m 2＋80·1＋1m 2·16m2＋80＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1m 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤26＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1m 2. 令m 2＋1m2＝μ(μ≥2)，则S ＝85μ2＋36μ＋52是关于μ的增函数，故S min ＝96，当且仅当m ＝±1时取到最小值96.。
圆锥曲线的热点问题—定点、定值、探索性问题
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1.定点问题 圆锥曲线中的定点问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个 难点.解决这个难点没有常规的方法，但解决这个难点的基本思想是明确的， 定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变量表示问 题中的直线方程、数量积、比例关系等，而这些直线方程、数量积、比例关 系中不受变量影响的某个点，就是要求的定点.求解这类难点问题的关键就是 引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式恒成立、数 式变换等寻找不受参数影响的量.
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圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变 化的量与参数何时没有关系，找到定点. (2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与 变量无关.
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类型二 定值问题
例 2 已知椭圆的中心为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，斜率为 1 且过椭圆右焦点 →→
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代入椭圆方程整理得 λ2(x21＋3y21)＋μ2(x22＋3y22)＋2λμ(x1x2＋3y1y2)＝3b2. 又∵x21＋3y21＝3b2，x22＋3y22＝3b2， x1x2＋3y1y2＝4x1x2－3c(x1＋x2)＋3c2＝32c2－92c2＋3c2＝0， ∴λ2＋μ2＝1，故 λ2＋μ2 为定值.
索引
又∵O→N∥a，∴13＝ba22，∴a2＝3b2， 故椭圆方程为 x2＋3y2＝3b2. 又过右焦点的直线 AB 的方程为 y＝x－c. 联立yx＝2＋x3－y2c＝，3b2， 得 4x2－6cx＋3c2－3b2＝0. ∴x1＋x2＝32c，x1x2＝3c2－4 3b2＝38c2. 设 M(x，y)，则由O→M＝λO→A＋μO→B可得xy＝＝λλyx11＋＋μμyx22，，
第3讲 圆锥曲线中的热点问题
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1.(2018·浙江卷)已知点 P(0，1)，椭圆x42＋y2＝m(m>1)上两点 A，B 满足A→P＝2P→B，则当 m ＝________时，点 B 横坐标的绝对值最大.
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(1)求曲线E的方程； (2)当直线l与圆x2＋y2＝1相切时，四边形ACBD的面积是否有最大值？若有，求出其最 大值及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由. 解 (1)设点 P(x，y)，由题意，可得 （x－|x－1）2| 2＋y2＝ 22，得x22＋y2＝1. ∴曲线 E 的方程是x22＋y2＝1.
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(1)解 由于点 P3，P4 关于 y 轴对称，由题设知 C 必过 P3，P4.又由a12＋b12>a12＋43b2知，椭 圆 C 不经过点 P1， 所以点P2在椭圆C上. 因此ab1122＝ ＋143， b2＝1，解得ab22＝ ＝41， . 故 C 的方程为x42＋y2＝1.
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(2)证明 设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2. 如果直线l的斜率不存在，此时l垂直于x轴. 设l：x＝m，A(m，yA)，B(m，－yA)，
k1＋k2＝yAm－1＋－ymA－1＝－m2＝－1，得 m＝2， 此时l过椭圆C右顶点，与椭圆C不存在两个交点，故不满足. 从而可设l：y＝kx＋m(m≠1). 将 y＝kx＋m 代入x42＋y2＝1 得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
数学高考二轮专题16 圆锥曲线中的热点问题(解析版)
专题16 圆锥曲线中的热点问题【命题热点突破一】轨迹方程、存在探索性问题 例1、（本小题满分14分）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b+=＞＞ 的离心率是32，抛物线E ：22x y =的焦点F是C 的一个顶点. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .（i ）求证：点M 在定直线上;（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S的最大值及取得最大值时点P 的坐标.【答案】（Ⅰ）1422=+y x ;（Ⅱ）（i ）见解析；（ii ）12S S 的最大值为49，此时点P 的坐标为)41,22( （Ⅱ）由（Ⅰ）知直线l 方程为22m mx y -=，令0=x 得22m y -=，所以)2,0(2m G -， 又21(,),(0,),22m P m F D ))14(2,142(2223+-+m m m m ，所以)1(41||2121+==m m m GF S ， )14(8)12(||||2122202++=-⋅=m m m x m PM S ， 所以222221)12()1)(14(2+++=m m m S S ， 令122+=m t ，则211)1)(12(2221++-=+-=t tt t t S S ， 当211=t ，即2=t 时，21S S 取得最大值49，此时22=m ，满足0∆>，所以点P 的坐标为)41,22(，因此12SS 的最大值为49，此时点P 的坐标为)41,22(. 【命题热点突破二】圆锥曲线中的定点、定值问题 例2、（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y --=，抛物线2:y 2(0)C px p => （1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； （2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2,).p p --； ②求p 的取值范围.【答案】（1）x y 82=（2）①详见解析，②)34,0( 【解析】【变式探究】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)经过点(1，32)，离心率为32，过椭圆右顶点的两条斜率之积为－14的直线分别与椭圆交于点M ，N.(1)求椭圆C 的标准方程．(2)直线MN 是否过定点D ？若过，求出点D 的坐标；若不过，请说明理由．设直线AN 的斜率为k′，则kk′＝－14，即k′＝－14k ，把点M 坐标中的k 替换为－14k ，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8k 24k 2＋1，4k 4k 2＋1.当M ，N 的横坐标不相等，即k≠±12时，k MN ＝2k 1－4k 2，直线MN 的方程为y －4k 4k 2＋1＝2k1－4k 2（x －2－8k 24k 2＋1），即y ＝2k1－4k 2x ，该直线恒过定点（0，0）. 当k ＝±12时，M ，N 的横坐标为零，直线MN 也过定点（0，0）.综上可知，直线MN 过定点D （0，0）.方法二：当直线MN 的斜率存在时，设MN ：y ＝kx ＋m ， 代入椭圆方程得（1＋4k 2）x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2.设右顶点为A （2，0），根据已知y 1x 1－2·y 2x 2－2＝－14，即4y 1y 2＋（x 1－2）（x 2－2）＝0，即（1＋4k 2）x 1x 2＋（4km －2）（x 1＋x 2）＋4m 2＋4＝0， 所以（1＋4k 2）·4m 2－41＋4k 2＋（4km －2）（－8km1＋4k 2）＋4m 2＋4＝0， 即（4km －2）（－8km ）＋8m 2（1＋4k 2）＝0，即m 2＋2km ＝0，得m ＝0或m ＝－2k. 当m ＝0时，直线y ＝kx 经过定点D （0，0）.由于AM ，AN 的斜率之积为负值，故点M ，N 在椭圆上位于x 轴的两侧，直线MN 与x 轴的交点一定在椭圆内部，而当m ＝－2k 时，直线y ＝kx －2k 过定点（2，0），这是不可能的.当MN 的斜率不存在时，点M ，N 关于x 轴对称，此时AM ，AN 的斜率分别为一12，12，此时M ，N 恰为椭圆的上下顶点，直线MN 也过定点（0，0）.综上可知，直线MN 过定点D （0，0）.【命题热点突破三】向量、圆锥曲线性质、点线距与基本不等式问题 例4、已知抛物线y 2＝42x 的焦点为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的右焦点F 2，且椭圆的长轴长为4，左、右顶点分别为A ，B ，经过椭圆左焦点F 1的直线l 与椭圆交于C ，D(异于A ，B)两点．(1)求椭圆的标准方程．(2)求四边形ADBC 的面积的最大值．(3)若M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)是椭圆上的两动点，且满足x 1x 2＋2y 1y 2＝0，动点P 满足OP →＝OM →＋2ON →(其中O 为坐标原点)，是否存在两定点G 1，G 2使得|PG 1|＋|PG 2|为定值？若存在，求出该定值；若不存在，说明理由．【解析】：（1）由题设知，因为抛物线y 2＝4 2x 的焦点为（2，0）， 所以椭圆中的c ＝2，又由椭圆的长轴长为4，得a ＝2， 所以b 2＝a 2－c 2＝2，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.（2）易知A （－2，0），B （2，0），F 1（－2，0）， 当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝－2，此时S 四边形ADBC ＝4.当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝k （x ＋2）（其中k≠0），即x ＝1k y －2，代入椭圆方程得（2k 2＋1）y 2－2 2ky －2k 2＝0，设C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），则有y 3＋y 4＝2 2k 2k 2＋1，y 3y 4＝－2k 22k 2＋1.S 四边形ADBC ＝S △ABC ＋S △ABD ＝12|AB||y 3|＋12|AB||y 4|＝12|AB|·|y 3－y 4|＝12×4×（y 3＋y 4）2－4y 3y 4＝2（2 2k 2k 2＋1）2＋4×2k 22k 2＋1＝8 k 4＋k 22k 2＋1＝81k 2＋1＋11k 2＋1<4. 综上所述，四边形ADBC 的面积的最大值为4.（3）设P （x ，y ），因为M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），由OP →＝OM →＋2ON →，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2.①因为M ，N 是椭圆上的点，所以x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4. 由①及x 1x 2＋2y 1y 2＝0可得x 2＋2y 2＝（x 1＋2x 2）2＋2（y 1＋2y 2）2＝（x 21＋2y 21）＋4（x 22＋2y 22）＝20， 所以x 2＋2y 2＝20，即x 220＋y 210＝1，即为点P 的轨迹方程，由椭圆的定义可得，存在两定点G 1，G 2使得|PG 1|＋|PG 2|＝4 5.【高考题型解读】 1.（本小题满分14分）设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA e OA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线的l 斜率的取值范围.【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）),46[]46,(+∞--∞Y 由（Ⅰ）知，)0,1(F ，设),0(H y H ，有FH u u u r (1,)H y =-，2229412(,)4343k kBF k k -=++u u u r .由HF BF ⊥，得0BF HF ⋅=u u u r u u u r ，所以222124904343Hky k k k -+=++，解得kk y H 12492-=.因此直线MH 的方程为kk x k y 124912-+-=.设),(M M y x M ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=)2(124912x k y k k x k y 消去y ，解得)1(1292022++=k k x M . 在MAO △中，||||MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即2222)2(M M M M y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即1)1(1292022≥++k k ，解得46-≤k 或46≥k . 所以，直线l 的斜率的取值范围为),46[]46,(+∞--∞Y . 2.（本题满分15分）如图，设椭圆2221x y a+=（a ＞1）.（I ）求直线y =kx +1被椭圆截得的线段长（用a 、k 表示）；（II ）若任意以点A （0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值 范围.【答案】（I ）2222211a k k a k ++II ）202e <≤．【解析】（Ⅱ）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足AP AQ =．记直线AP ，AQ 的斜率分别为1k ，2k ，且1k ，20k >，12k k ≠． 由（Ⅰ）知，2211121a k k AP +=2222221a k k AQ +=，22221122122121a k k a k k ++=，所以()()22222222121212120k k k k a a k k ⎡⎤-+++-=⎣⎦．由于12k k ≠，1k ，20k >得()2222221212120k k a a k k +++-=，因此22221211(1)(1)1(2)a a k k ++=+-， ① 因为①式关于1k ，2k 的方程有解的充要条件是221(2)1a a +->，所以a >因此，任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a <≤，由c e a a ==得，所求离心率的取值范围为0e <≤．3.已知椭圆C ：22221+=x y a b（0a b >>）的离心率为2 ，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；【答案】（1）2214x y +=； 【解析】（Ⅰ）由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===,,121,23222c b a ab a c 解得1,2==b a . 所以椭圆C 的方程为1422=+y x . 4.已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线:3l y x =-+与椭圆E 有且只有一个公共点T .（Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；【答案】（Ⅰ）22163x y +=，点T 坐标为（2,1）； 【解析】（I ）由已知，222(2)a a c +=，即a =，所以a =，则椭圆E 的方程为222212x y b b+=.由方程组22221,23,x y b b y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得22312(182)0x x b -+-=.①方程①的判别式为2=24(3)b ∆-，由=0∆，得2=3b ， 此方程①的解为=2x ，所以椭圆E 的方程为22163x y +=. 点T 坐标为（2,1）.5.本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.双曲线2221(0)y x b b-=>的左、右焦点分别为12F F 、，直线l 过2F 且与双曲线交于A B 、两点。
高考压轴题之——圆锥曲线热点问题
圆锥曲线的综合问题「考情研析」 1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题． 2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大.核心知识回顾1.最值问题求解最值问题的基本思路是选择变量，建立求解目标的函数解析式，然后利用函数知识、基本不等式等知识求解其最值．2．范围问题求参数范围的问题，牢记“先找不等式，有时需要找出两个量之间的关系，然后消去另一个量，保留要求的量”．不等式的来源可以是Δ>0或圆锥曲线的有界性或题目条件中的某个量的范围等．3．定点问题在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题．4．定值问题在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题．5．存在性问题的解题步骤(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)．(2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在．热点考向探究考向1 最值与范围问题角度1最值问题例1已知抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)，点R(1，2)在抛物线C上．(1)求抛物线C的方程；(2)过点Q(1,1)作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B，若直线AR，BR 分别交直线l：y＝2x＋2于M，N两点，求|MN|最小时直线AB的方程．解析几何中最值问题的基本解法有几何法和代数法．几何法是根据已知的几何量之间的相互关系，结合平面几何和解析几何知识加以解决的(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等)；代数法是建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数，通过求解函数的最值(利用普通方法、基本不等式法或导数法等)解决的．(2019·湘赣十四校高三联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，左焦点为F 1，点A 是椭圆C 上位于x 轴上方的一个动点，当直线AF 1的斜率为1时，|AF 1|＝ 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线AF 1与椭圆C 的另外一个交点为B ，点A 关于x 轴的对称点为A ′，求△F 1A ′B 面积的最大值．角度2 范围问题例2 (2019·广东高三联考)已知椭圆C 1，抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心和C 2的顶点均为原点O ，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是(3，－23)，(－2,0)，(4，－4)，⎝⎛⎭⎪⎫2，22.(1)求C 1，C 2的标准方程；(2)过点M (0,2)的直线l 与椭圆C 1交于不同的两点A ，B ，且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k 的取值范围．与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出临界位置后数形结合求解． (2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解．(3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长为22，P 为椭圆C 上异于顶点的一个动点，O 为坐标原点，A 2为椭圆C 的右顶点，点M 为线段P A 2的中点，且直线P A 2与直线OM 的斜率之积恒为－12.(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的左焦点F 1且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点N ，点N 的横坐标的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，求线段AB 长的取值范围．考向2 定点与定值问题 角度1 定点问题例3 动点P 在圆E ：(x ＋1)2＋y 2＝16上运动，定点F (1,0)，线段PF 的垂直平分线与直线PE 的交点为Q .(1)求Q 的轨迹T 的方程；(2)过点F 的直线l 1，l 2分别交轨迹T 于A ，B 两点和C ，D 两点，且l 1⊥l 2.证明：过AB 和CD 中点的直线过定点．过定点问题的两大类型及解法(1)动直线l 过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k (x ＋m )，故动直线过定点(－m,0)．(2)动曲线C 过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．(2019·白银市靖远县高三联考)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，下顶点为A ，O 为坐标原点，点O 到直线AF 2的距离为22，△AF 1F 2为等腰直角三角形．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，若直线AM 与直线AN 的斜率之和为2，证明：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标．角度2 定值问题例4 (2019·凯里市第一中学高三下学期模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点A (2，2)在椭圆上，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P ，M ，N 为椭圆C 上的三点，若四边形OPMN 为平行四边形，证明四边形OPMN 的面积S 为定值，并求出该定值．定值问题的两种解法(1)首先由特例得出一个值(此值一般就是定值)然后证明定值：即将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关．(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项相抵消或分子、分母约分得定值．已知抛物线E ：y 2＝2px (p >0)，直线x ＝my ＋3与E 交于A ，B 两点，且OA →·OB →＝6，其中O 为坐标原点．(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点C 的坐标为(－3,0)，记直线CA ，CB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：1k 21＋1k 22－2m 2为定值．考向3 探索性问题例5 如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，离心率e ＝12，直线l 的方程为x ＝4.(1)求椭圆C 的方程；(2)线段AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记直线P A ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3.问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型，解决这类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明确化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．(2019·南通市高三阶段测试)已知A (－2,0)，B (2,0)，点C ，D 依次满足|AC →|＝2，AD →＝12(AB →＋AC →)．(1)求点D 的轨迹；(2)过点A 作直线l 交以A ，B 为焦点的椭圆于M ，N 两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为45，且直线l 与点D 的轨迹相切，求该椭圆的方程；(3)在(2)的条件下，设点Q 的坐标为(1,0)，是否存在椭圆上的点P 及以Q 为圆心的一个圆，使得该圆与直线P A ，PB 都相切，若存在，求出P 点坐标及圆的方程；若不存在，请说明理由．真题押题『真题模拟』1．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．2．(2019·天津市高三4月联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为A ，B ，过右焦点F 2且垂直于长轴的直线交椭圆于G ，H 两点，|GH |＝3，△F 1GH 的周长为8.过A 点作直线l 交椭圆于第一象限的M 点，直线MF 2交椭圆于另一点N ，直线NB 与直线l 交于点P .(1)求椭圆的标准方程；(2)若△AMN 的面积为1827，求直线MN 的方程； (3)证明：点P 在定直线上．3．(2019·江西省八所重点中学高三4月联考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2为其左、右焦点，B 1，B 2为其上、下顶点，四边形F 1B 1F 2B 2的面积为2.(1)求椭圆E 的长轴A 1A 2的最小值，并确定此时椭圆E 的方程；(2)对于(1)中确定的椭圆E ，设过定点M (－2,0)的直线l 与椭圆E 相交于P ，Q 两点，若MP →＝λMQ →，当λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12时，求△OPQ 面积S 的取值范围．4．(2019·玉溪市第一中学高三下学期第五次调研)已知抛物线x 2＝2py (p >0)，准线方程为y ＋2＝0，直线l 过定点T (0，t )(t >0)，且与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)求抛物线方程；(2)OA →·OB →是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)当t ＝1时，设AT →＝λTB →，记|AB |＝f (λ)，求f (λ)的最小值及取最小值时对应的λ.『金版押题』5．已知直线l 1：ax －y ＋1＝0，直线l 2：x ＋5ay ＋5a ＝0，直线l 1与l 2的交点为M ，点M 的轨迹为曲线C .(1)当a 变化时，求曲线C 的方程；(2)已知点D (2,0)，过点E (－2,0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，求△ABD 面积的最大值．6．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)与直线x －2y ＋4＝0相切． (1)求该抛物线的方程；(2)在x 轴的正半轴上，是否存在某个确定的点M ，过该点的动直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，使得1|AM |2＋1|BM |2为定值．如果存在，求出点M 的坐标；如果不存在，请说明理由．配套作业1．已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，直线x＝4与x轴的交点为P，与抛物线的交点为Q，且|QF|＝54|PQ|.(1)求抛物线的方程；(2)如图所示，过F的直线l与抛物线相交于A，D两点，与圆x2＋(y－1)2＝1相交于B，C两点(A，B两点相邻)，过A，D两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点M，求△ABM与△CDM面积之积的最小值．2．(2019·福建省高三3月质量检测)在平面直角坐标系xOy中，圆F：(x－1)2＋y2＝1外的点P在y轴的右侧运动，且点P到圆F上的点的最小距离等于它到y轴的距离，记点P的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)如图，过点F的直线交E于A，B两点，以AB为直径的圆D与平行于y 轴的直线相切于点M，线段DM交E于点N，证明：△AMB的面积是△AMN的面积的4倍．3．(2019·南开中学高三第三次教学质量检测)已知A(0，2)，B(3，1)是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设O为坐标原点，M为椭圆C上一动点，点P(3,0)，线段PM的垂直平分线交y轴于点Q，求|OQ|的最小值．4．(2019·郴州市高三第二次教学质量监测)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点．(1)若以A，B为直径的圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝16，求抛物线C的标准方程；(2)过A，B分别作抛物线的切线l1，l2，证明：l1，l2的交点在定直线上．5．已知动圆C与圆x2＋y2＋2x＝0外切，与圆x2＋y2－2x－24＝0内切．(1)试求动圆圆心C的轨迹方程；(2)过定点P(0,2)且斜率为k(k≠0)的直线l与(1)中的轨迹交于不同的两点M，N，试判断在x轴上是否存在点A(m,0)，使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数m的范围；若不存在，请说明理由．6．已知椭圆C的中心在原点，它的焦距为方程2x2－3x－20＝0的一个根，它的一个短轴端点恰好是抛物线x2＝83y的焦点．(1)求椭圆C的方程；(2)如图，已知P(2，m)在椭圆C上，且P关于x轴的对称点为Q，A，B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点．①若直线AB的斜率为12，求四边形APBQ面积的最大值；②当A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由．7．(2019·闽粤赣三省十校联考)已知动点P到点F(0，1)的距离比它到直线y ＝－3的距离少2.(1)求点P的轨迹E的方程；(2)过点F的两直线l1，l2分别与轨迹E交于A，B两点和C，D两点，且满足AB →·CD →＝0，设M ，N 两点分别是线段AB ，CD 的中点，问直线MN 是否恒过一定点，若经过，求定点的坐标；若不经过，请说明理由．8．(2019·门头沟区高三年级综合练习)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为其左、右焦点，过F 1的直线与此椭圆相交于D ，E 两点，且△F 2DE 的周长为8，椭圆C 的离心率为22.(1)求椭圆C 的方程；(2)在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (0,1)与点Q (0,2)，过P 的动直线l (不与x 轴平行)与椭圆相交于A ，B 两点，点B 1是点B 关于y 轴的对称点．求证：①Q ，A ，B 1三点共线； ②|QA ||QB |＝|P A ||PB |.解析几何类解答题(12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1和F 2，由M (－a ，b )，N (a ，b )，F 2和F 1四个点构成了一个高为3，面积为33的等腰梯形．(1)求椭圆的方程；(2)过点F 1的直线和椭圆交于A ，B 两点，求△F 2AB 面积的最大值． 解题思路 (1)由梯形的高得出椭圆的基本量b 的值，由梯形的面积得出a ＋c ，利用a 2－c 2＝b 2求出a ，c ，写出椭圆的方程；(2)先依题判断过点F 1的直线AB 的斜率不为0，设出直线的方程，将直线方程代入椭圆方程，消去x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，即可得到y 1＋y 2和y 1y 2，将△F 2AB 的面积表示为S △F 2AB ＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|，构造函数，利用函数的单调性即可求最大值．解 (1)由条件，得b ＝3，且2a ＋2c2×3＝33， ∴a ＋c ＝3.(2分)又a 2－c 2＝3，解得a ＝2，c ＝1.(4分) ∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(5分) (2)显然，直线AB 的斜率不能为0，设直线AB 的方程为x ＝my －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，x ＝my －1，消去x 得，(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0，(6分) ∴Δ＝36m 2＋36(3m 2＋4)>0，y 1＋y 2＝6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，(8分)∴S △F 2AB ＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝|y 1－y 2| ＝ (y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12m 2＋1(3m 2＋4)2＝4m 2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1＋132＝41m 2＋1＋23＋19(m 2＋1).(10分)令t ＝m 2＋1≥1，设f (t )＝t ＋19t (t ≥1)，易知函数f (t )在[1，＋∞)上单调递增， ∴当t ＝m 2＋1＝1，即m ＝0时，f (t )min ＝109，此时S △F 2AB 取得最大值为3.(12分)1．由梯形的面积得到a 与c 的关系给2分． 2．由a 2－c 2＝b 2得到a 与c 的值给2分． 3．正确写出椭圆方程给1分．4．联立方程消元得到一元二次方程给1分． 5．写出“Δ>0”和根与系数的关系给2分． 6．构建目标变量的函数关系给2分．7．通过求解函数的值域，确定面积的最值给2分．1．写全得分步骤，直线方程和曲线方程联立后，要写出Δ>0和根与系数的关系，这是解题过程中的得分点．2．写明得分关键，在求解函数的最值时，要注意变量条件的制约，检查最值取得的条件，不指明最值取得的条件扣1分．[跟踪训练](2019·福建省高三模拟)(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－12，且它的焦距是短轴长的3倍．(1)求椭圆C 的方程；(2)若A ，B 是椭圆C 上的两个动点(A ，B 两点不关于x 轴对称)，O 为坐标原点，OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，问是否存在非零常数λ，使当k 1k 2＝λ时，△AOB 的面积S 为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－12，所以3a 2＋14b 2＝1，(1分)又因为该椭圆的焦距是短轴长的3倍，所以c ＝3b ，从而a 2＝b 2＋c 2＝4b 2. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋14b 2＝1，a 2＝4b 2，(2分)解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(3分)(2)设存在这样的常数λ，使k 1k 2＝λ，△AOB 的面积S 为定值．(4分) 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2)，则由k 1k 2＝λ知y 1y 2－λx 1x 2＝0，(kx 1＋m )(kx 2＋m )－λx 1x 2＝0，所以(k 2－λ)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0. ①(5分)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2， ②x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2. ③(7分)点O 到直线AB 的距离d ＝|m |1＋k 2， △AOB 的面积S ＝12|AB |·d ＝|m |2·|x 1－x 2| ＝2(4k 2＋1)m 2－m 44k 2＋1. ④(8分)将②③代入①得(k 2－λ)(4m 2－4)－8k 2m 2＋m 2(1＋4k 2)＝0， 化简得m 2＝4(k 2－λ)1－4λ， ⑤(10分)将⑤代入④得⎝ ⎛⎭⎪⎫S 22＝(4k 2＋1)·4(k 2－λ)(1－4λ)－16(k 2－λ)2(1－4λ)2(4k 2＋1)2＝－64λk 4＋(64λ2＋4)k 2－4λ16k 4＋8k 2＋1·1(1－4λ)2，(11分)要使上式为定值，只需－64λ16＝64λ2＋48＝－4λ1， 即需(4λ＋1)2＝0，从而λ＝－14，此时⎝ ⎛⎭⎪⎫S 22＝14，S ＝1，所以存在这样的常数λ＝－14，此时S △AOB ＝1.(12分)。
圆锥曲线高考热点
动中求静，变化之中研究不变关系
一、综述
解析几何的核心思想是坐标法思想，是用代数 方法研究几何问题，动中求静，变化之中研究 不变关系，成为解析几何的核心研究问题．对 江苏省近三年高考及各地模拟考试试题抽样调 查统计表明：定点定值问题约占50﹪ ．
x2 y2 例 1．已知椭圆 2 ＋m＝1 的右焦点 F，右准线为 l，且 m ＋m 直线 y＝x 与 l 相交于 A 点． （1）若⊙C 经过点 O（O 为坐标原点） 、F、A 三点，求⊙C 的方程； （2）当 m 变化时，求证：⊙C 经过除原点 O 外的另一个定 点 B； → •AB → ＜5 时，求椭圆离心率 e 的范围． （3）若AF
4k2－12k－3 3 －12k2－6k 所以点 E（ ， ＋ ） ． 2 4 k 2＋ 3 4k2＋3
点 F 坐标则是用－k 代替 k 就行了， 4k2＋12k－3 3 12k2＋6k 1 所以点 F（ ， ＋ ） ．所以 kEF＝ ． 2 2 4k2＋3 4k2＋3
说明：在研究定值（定点）问题时，也可以先把问题特殊化， 将定值（定点）求出来． （突出研究问题的方法：一般问题 特殊化，先找出定值． ）例如本题中，可以先令 F 为椭圆右 顶点，直线 AF 的斜率就可求出，从而，直线 AE 的方程就 确定， 进一步求出点 E 坐标． 就可以得出直线 EF 的斜率． 上 一题中先利用特殊化求出定点坐标，再证明三点共线．
x2 y2 3 例 3，已知椭圆 C： ＋ ＝1 上一点 A（1， ） ，E、F 是椭 4 3 2 圆 C 上的两个动点，若直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相 反数，直线 EF 的斜率是否为定值？如果是，求出定值；反 之，请说明理由．
解析 基本解题思路：先求出点E、F的坐标，再 研究直线3) (1－x)(1＋x) ，即 ＝ ． 4 12 4
最新高考数学圆锥曲线中的热点问题(强力推荐)
圆锥曲线中的热点问题1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离．(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0时，直线与双曲线相离．②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点．(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①当a≠0时，用Δ判定，方法同上．②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点．2．有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝1＋k2|x2－x1|或|P1P2|＝1＋1k2|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：|x2－x1|＝x1＋x22－4x1x2，|y2－y1|＝y1＋y22－4y1y2.(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．3．弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．考点一圆锥曲线的弦长及中点问题例1 已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点(22，0)，斜率为1的直线l与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)． (1)求椭圆G 的方程； (2)求△PAB 的面积． 解 (1)由已知得c ＝22，ca ＝63. 解得a ＝23，又b 2＝a 2－c 2＝4. 所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y24＝1.得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.①设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m4；因为AB 是等腰△PAB 的底边， 所以PE ⊥AB .所以PE 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0. 解得x 1＝－3，x 2＝0. 所以y 1＝－1，y 2＝2. 所以|AB |＝3 2.此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△PAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．椭圆x 22＋y 2＝1的弦被点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12平分，则这条弦所在的直线方程是____________．答案 2x ＋4y －3＝0解析 设弦的两个端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1.∵A ，B 在椭圆上，∴x 212＋y 21＝1，x 222＋y 22＝1.x 1＋x 2x 1－x 22＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22y 1＋y 2＝－12， 即直线AB 的斜率为－12.∴直线AB 的方程为y －12＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即2x ＋4y －3＝0.考点二 圆锥曲线中的定值、定点问题例2 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1经过点(0，3)，离心率为12，直线l 经过椭圆C 的右焦点F交椭圆于A 、B 两点，点A 、F 、B 在直线x ＝4上的射影依次为D 、K 、E . (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 交y 轴于点M ，且MA →＝λAF →，MB →＝μBF →，当直线l 的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，说明理由；(3)连接AE 、BD ，试探索当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．(1)待定系数法；(2)用直线的斜率为参数建立直线方程，代入椭圆方程消y 后可得点A ，B 的横坐标的关系式，然后根据向量关系式MA →＝λAF →，MB →＝μBF →把λ，μ用点A ，B的横坐标表示出来，只要证明λ＋μ的值与直线的斜率k 无关即证明了其为定值，否则就不是定值；(3)先根据直线l 的斜率不存在时的特殊情况，看两条直线AE ，BD 的交点坐标，如果直线AE ，BD 相交于定点的话，这个特殊位置时的交点就是这个定点，这样只要证明直线AE ，BD 都经过这个定点即证明了两直线相交于定点，否则两直线就不相交于定点．解 (1)依题意得b ＝3，e ＝c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝2，c ＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)因直线l 与y 轴相交，故斜率存在，设直线l 方程为y ＝k (x －1)，求得l 与y 轴交于M (0，－k )，又F 坐标为(1,0)，设l 交椭圆于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， ∴x 1＋x 2＝8k 23＋4k ，x 1x 2＝4k 2－123＋4k，又由MA →＝λAF →，∴(x 1，y 1＋k )＝λ(1－x 1，－y 1)， ∴λ＝x 11－x 1，同理μ＝x 21－x 2， ∴λ＋μ＝x 11－x 1＋x 21－x 2＝x 1＋x 2－2x 1x 21－x 1＋x 2＋x 1x 2＝8k 23＋4k 2－24k 2－123＋4k 21－8k 23＋4k 2＋4k 2－123＋4k2＝－83. 所以当直线l 的倾斜角变化时，直线λ＋μ的值为定值－83.(3)当直线l 斜率不存在时，直线l ⊥x 轴，则ABED 为矩形，由对称性知，AE 与BD 相交于FK 的中点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0， 猜想，当直线l 的倾斜角变化时，AE 与BD 相交于定点N ⎝⎛⎭⎪⎫52，0， 证明：由(2)知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴D (4，y 1)，E (4，y 2)，当直线l 的倾斜角变化时，首先证直线AE 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，∵l AE ：y －y 2＝y 2－y 14－x 1(x －4)， 当x ＝52时，y ＝y 2＋y 2－y 14－x 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝24－x 1·y 2－3y 2－y 124－x 1＝24－x 1·k x 2－1－3k x 2－x 124－x 1＝－8k －2kx 1x 2＋5k x 1＋x 224－x 1＝－8k 3＋4k 2－2k 4k 2－12＋5k ·8k 224－x 1·3＋4k 2＝0. ∴点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0在直线l AE 上． 同理可证，点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0也在直线l BD 上． ∴当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0. (1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的． (2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )． (陕西)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点．(1)解 如图，设动圆圆心为O 1(x ，y )，由题意，得|O 1A |＝|O 1M |， 当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中 点，∴|O 1M |＝x 2＋42， 又|O 1A |＝x －42＋y 2，∴x －42＋y 2＝x 2＋42，化简得y 2＝8x (x ≠0)．又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标为(0,0)也满足方程y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明 由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中， 得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0. 其中Δ＝－32kb ＋64>0.由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝8－2bkk2， ①x 1x 2＝b 2k2，②因为x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1， 即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0③将①，②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ>0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1,0)． 考点三 圆锥曲线中的最值范围问题例3 (浙江)如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D . (1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2.所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)． 由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ， 则直线l 1的方程为y ＝kx －1. 又圆C 2：x 2＋y 2＝4， 故点O 到直线l 1的距离d ＝1k 2＋1，所以|AB |＝24－d 2＝24k 2＋3k 2＋1. 又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2＝4.消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0，故x 0＝－8k4＋k 2.所以|PD |＝8k 2＋14＋k2.设△ABD 的面积为S ，则S ＝12·|AB |·|PD |＝84k 2＋34＋k 2， 所以S ＝324k 2＋3＋134k 2＋3≤3224k 2＋3·134k 2＋3＝161313， 当且仅当k ＝±102时取等号． 所以所求直线l 1的方程为y ＝±102x －1. 求最值及参数范围的方法有两种：①根据题目给出的已知条件列出一个关于参数的函数关系式，将其代入由题目列出的不等式(即为消元)，然后求解不等式；②由题目条件和结论建立目标函数，进而转化为求函数的值域．已知椭圆C 1与抛物线C 2的焦点均在x 轴上且C 1的中心和C 2的顶点均为坐标原点O ，从每条曲线上的各取两个点，其坐标如下表所示：(1)求C 1，C 2(2)过点A (m,0)作倾斜角为π6的直线l 交椭圆C 1于C ，D 两点，且椭圆C 1的左焦点F 在以线段CD 为直径的圆的外部，求m 的取值范围．解 (1)先判断出(－6，0)在椭圆上，进而断定点(1，－3)和(4，－6)在抛物线上，故(3，1)在椭圆上，所以椭圆C 1的方程为x 26＋y 22＝1，抛物线C 2的方程为y 2＝9x .(2)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝33(x －m )， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x －m x 26＋y 22＝1，消去y 整理得2x 2－2mx ＋m 2－6＝0， 由Δ>0得Δ＝4m 2－8(m 2－6)>0， 即－23<m <23，①而x 1x 2＝m 2－62，x 1＋x 2＝m ，故y 1y 2＝33(x 1－m )·33(x 2－m ) ＝13[x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2] ＝m 2－66.欲使左焦点F 在以线段CD 为直径的圆的外部， 则FC →·FD →>0，又F (－2,0)，即FC →·FD →＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2) ＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋4>0. 整理得m (m ＋3)>0， 即m <－3或m >0.②由①②可得m 的取值范围是(－23，－3)∪(0,23)．1． 求轨迹与轨迹方程的注意事项(1)求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变．(2)求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上)，又要检验是否丢解(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示)．检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形． 2． 定点、定值问题的处理方法定值包括几何量的定值或曲线过定点等问题，处理时可以直接推理求出定值，也可以先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明．对于客观题，通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果．3． 圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ④利用基本不等式求出参数的取值范围； ⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.设直线l ：y ＝k (x ＋1)与椭圆x 2＋3y 2＝a 2(a >0)相交于A 、B 两个不同的点，与x 轴相交于点C ，记O 为坐标原点． (1)证明：a 2>3k 21＋3k2；(2)若AC →＝2CB →，求△OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程． (1)证明 依题意，直线l 显然不平行于坐标轴， 故y ＝k (x ＋1)可化为x ＝1ky －1.将x ＝1ky －1代入x 2＋3y 2＝a 2，消去x ，得⎝⎛⎭⎪⎫3＋1k 2y 2－2y k＋1－a 2＝0，①由直线l 与椭圆相交于两个不同的点，得 Δ＝4k2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋3(1－a 2)>0，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫1k2＋3a 2>3，即a 2>3k21＋3k2.(2)解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由①， 得y 1＋y 2＝2k1＋3k， 因为AC →＝2CB →，得y 1＝－2y 2， 代入上式，得y 2＝－2k1＋3k2.于是，△OAB 的面积S ＝12|OC |·|y 1－y 2|＝32|y 2|＝3|k |1＋3k 2≤3|k |23|k |＝32. 其中，上式取等号的条件是3k 2＝1，即k ＝±33. 由y 2＝－2k 1＋3k 2，可得y 2＝±33. 将k ＝33，y 2＝－33及k ＝－33， y 2＝33这两组值分别代入①， 均可解出a 2＝5.所以，△OAB 的面积取得最大值的椭圆方程是x 2＋3y 2＝5.(推荐时间：70分钟)一、选择题 1． 已知方程x 2k ＋1＋y 23－k＝1(k ∈R )表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是 ( ) A ．k <1或k >3 B ．1<k <3 C ．k >1D ．k <3答案 B解析 若椭圆焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1>03－k >0k ＋1>3－k，解得1<k <3.选B.2． △ABC 的顶点A (－5,0)、B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( ) A.x 29－y 216＝1B.x 216－y 29＝1 C.x 29－y 216＝1(x >3) D.x 216－y 29＝1(x >4) 答案 C解析 如图|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |， 所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线 的右支，方程为x 29－y 216＝1(x >3)．3． 设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 C解析 依题意得：F (0,2)，准线方程为y ＝－2，又∵以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线的准线相交，且|FM |＝|y 0＋2|， ∴|FM |>4，即|y 0＋2|>4， 又y 0≥0，∴y 0>2.4． 若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8 答案 C解析 设P (x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1，即y 2＝3－3x 24， 又因为F (－1,0)，所以OP →·FP →＝x 0·(x 0＋1)＋y 20＝14x 20＋x 0＋3＝14(x 0＋2)2＋2， 又x 0∈[－2,2]，即OP →·FP →∈[2,6]， 所以(OP →·FP →)max ＝6.5． 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F 1、F 2，且两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若|PF 1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1·e 2的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(13，＋∞)C ．(15，＋∞)D ．(19，＋∞)答案 B解析 设椭圆与双曲线的半焦距为c ，PF 1＝r 1，PF 2＝r 2.由题意知r 1＝10，r 2＝2c ， 且r 1>r 2,2r 2>r 1， ∴2c <10,2c ＋2c >10， ∴52<c <5⇒1<25c 2<4， ∴e 2＝2c 2a 双＝2c r 1－r 2＝2c 10－2c ＝c5－c； e 1＝2c 2a 椭＝2c r 1＋r 2＝2c 10＋2c ＝c 5＋c. ∴e 1·e 2＝c 225－c 2＝125c2－1>13. 二、填空题6． 直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1恒有公共点，则m 的取值范围是________．答案 m ≥1且m ≠5解析 ∵方程x 25＋y 2m＝1表示椭圆，∴m >0且m ≠5.∵直线y ＝kx ＋1恒过(0,1)点， ∴要使直线与椭圆总有公共点，应有： 025＋12m≤1，m ≥1， ∴m 的取值范围是m ≥1且m ≠5.7． 设F 1、F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P ，Q 两点，当四边形PF 1QF 2面积最大时，PF →1·PF →2的值等于________． 答案 －2解析 易知当P ，Q 分别在椭圆短轴端点时，四边形PF 1QF 2面积最大． 此时，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，不妨设P (0,1)， ∴PF →1＝(－3，－1)，PF →2＝(3，－1)，∴PF →1·PF →2＝－2.8． 已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，在抛物线上有一动点P 到y轴的距离为d 1，P 到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为________． 答案522－1 解析 过点P 作抛物线的准线的垂线，垂足为A ，交y 轴于B ，由抛物线方程为y 2＝4x 得焦点F 的坐标为(1,0)，准线为x ＝－1，则由抛物线的定义可得d 1＋d 2＝|PA |－|AB |＋d 2＝|PF |－1＋d 2，|PF |＋d 2大于或等于焦点F 点P 到直线l ， 即|PF |＋d 2的最小值为|1－0＋4|2＝522，所以d 1＋d 2的最小值为522－1.9． (安徽)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB为直角，则a 的取值范围为________． 答案 [1，＋∞)解析 以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y －a )2＝a ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2x 2＋y －a 2＝a得y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0.即(y －a )[y －(a －1)]＝0，由已知⎩⎪⎨⎪⎧a >0a －1≥0，解得a ≥1.三、解答题10．已知直线x －2y ＋2＝0经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C的右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线l ：x ＝103分别交于M ，N 两点． (1)求椭圆C 的方程；(2)求线段MN 的长度的最小值．解 (1)如图，由题意得椭圆C 的左顶点为A (－2,0)，上顶点为D (0,1)，即a ＝2，b ＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)直线AS 的斜率显然存在且不为0，设直线AS 的方程为y ＝k (x ＋2)(k ＞0)，解得M (103，16k3)，且将直线方程代入椭圆C的方程，得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0.设S (x 1，y 1)，由根与系数的关系得(－2)·x 1＝16k 2－41＋4k 2.由此得x 1＝2－8k 21＋4k 2，y 1＝4k 1＋4k 2，即S (2－8k 21＋4k 2，4k1＋4k 2)．又B (2,0)，则直线BS 的方程为y ＝－14k (x －2)，联立直线BS 与l 的方程解得N (103，－13k )．∴|MN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪16k 3＋13k ＝16k 3＋13k≥216k 3·13k ＝83. 当且仅当16k 3＝13k ，即k ＝14时等号成立，故当k ＝14时，线段MN 的长度的最小值为83.11．在平面直角坐标系中，点P (x ，y )为动点，已知点A (2，0)，B (－2，0)，直线PA与PB 的斜率之积为－12.(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)过点F (1,0)的直线l 交曲线E 于M ，N 两点，设点N 关于x 轴的对称点为Q (M 、Q 不重合)，求证：直线MQ 过x 轴上一定点． (1)解 由题知：yx ＋2·y x －2＝－12.化简得x 22＋y 2＝1(y ≠0)．(2)证明 方法一 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，Q (x 2，－y 2)，l ：x ＝my ＋1，代入x 22＋y 2＝1(y ≠0)整理得(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0. y 1＋y 2＝－2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2，MQ 的方程为y －y 1＝y 1＋y 2x 1－x 2(x －x 1)，令y ＝0， 得x ＝x 1＋y 1x 2－x 1y 1＋y 2＝my 1＋1＋my 1y 2－y 1y 1＋y 2＝2my 1y 2y 1＋y 2＋1＝2.∴直线MQ 过定点(2,0)．方法二 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，Q (x 2，－y 2)，l ：y ＝k (x －1)，代入x 22＋y 2＝1(y ≠0)整理得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k2，MQ 的方程为y －y 1＝y 1＋y 2x 1－x 2(x －x 1)，令y ＝0，得x ＝x 1＋y 1x 2－x 1y 1＋y 2＝x 1＋k x 1－1x 2－x 1k x 1＋x 2－2＝2x 1x 2－x 1＋x 2x 1＋x 2－2＝2.∴直线MQ 过定点(2,0)．12．(课标全国Ⅰ)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A 、B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.解 (1)设圆P 的半径为r ， 则|PM |＝1＋r ，|PN |＝3－r ， ∴|PM |＋|PN |＝4>|MN |，∴P 的轨迹是以M 、N 为焦点的椭圆，左顶点除外， 且2a ＝4,2c ＝2，∴a ＝2，c ＝1， ∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴P 的轨迹曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1(x ＝－2)．(2)由(1)知：2r ＝(|PM |－|PN |)＋2≤|MN |＋2＝4， ∴圆P 的最大半径为r ＝2.此时P 的坐标为(2,0)． 圆P 的方程为(x －2)2＋y 2＝4.①当l 的方程为x ＝0时，|AB |＝23， ②设l 的方程为y ＝kx ＋b (k ∈R )，⎩⎪⎨⎪⎧|－k ＋b |1＋k 2＝1|2k ＋b |1＋k 2＝2解之得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝24b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－24b ＝－2.∴l 的方程为y ＝24x ＋2，y ＝－24x － 2. 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1y ＝24x ＋2化简：7x 2＋8x －8＝0∴x 1＋x 2＝－87，x 1x 2＝－87，∴|AB |＝1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2＝187.。
高考数学(考点解读+命题热点突破)专题17 圆锥曲线中的
专题17 圆锥曲线中的热点问题【命题热点突破一】轨迹方程、存在探索性问题 例1、【2016高考山东理数】（本小题满分14分）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b+=＞＞ 的离心率是32，抛物线E ：22x y =的焦点F是C 的一个顶点. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M . （i ）求证：点M 在定直线上;（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S的最大值及取得最大值时点P 的坐标.【答案】（Ⅰ）1422=+y x ;（Ⅱ）（i ）见解析；（ii ）12S S 的最大值为49，此时点P 的坐标为)41,22( 【解析】（Ⅰ）由题意知2322=-a b a ，可得：b a 2=. 因为抛物线E 的焦点为)21,0(F ，所以21,1==b a ， 所以椭圆C 的方程为1422=+y x .（Ⅱ）（Ⅰ）设)0)(2,(2>m m m P ，由y x 22=可得y'x =， 所以直线l 的斜率为m ，因此直线l 的方程为)(22m x m m y -=-，即22m mx y -=. 设),(),,(),,(002211y x D y x B y x A ，联立方程222241m y mx x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得014)14(4322=-+-+m x m x m ，由0∆>，得520+<<m 且1442321+=+m m x x ， 因此142223210+=+=m m x x x , 将其代入22m mx y -=得)14(2220+-=m m y ， 因为m x y 4100-=，所以直线OD 方程为x my 41-=. 联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=-=m x x m y 41，得点M 的纵坐标为M14y =-， 即点M 在定直线41-=y 上. （Ⅱ）由（Ⅰ）知直线l 方程为22m mx y -=，令0=x 得22m y -=，所以)2,0(2m G -， 又21(,),(0,),22m P m F D ))14(2,142(2223+-+m m m m ， 所以)1(41||2121+==m m m GF S ，)14(8)12(||||2122202++=-⋅=m m m x m PM S ， 所以222221)12()1)(14(2+++=m m m S S ， 令122+=m t ，则211)1)(12(2221++-=+-=tt t t t S S ， 当211=t ，即2=t 时，21S S 取得最大值49，此时22=m ，满足0∆>，所以点P 的坐标为)41,22(，因此12SS 的最大值为49，此时点P 的坐标为)41,22(. 【变式探究】椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点P(1，12)作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点Q(－5，0)任作一直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，记MQ →＝λQN →，线段MN 上的点R 满足MR →＝－λRN →，求点R 的轨迹方程．解：（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则切线PA 的方程为x 1＋12y 1＝1，同理切线PB 的方程为x 2＋12y 2＝1，故直线AB 的方程为x ＋12y ＝1.由此得b ＝2，c ＝1，a ＝5，所以椭圆C 的方程为x 25＋y24＝1.（2）方法一：设M （x 3，y 3），N （x 4，y 4），R （x ，y ）.由MQ →＝λQN →，得（－5－x 3，－y 3）＝λ（x 4＋5，y 4），得⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝－λx 4－5（1＋λ），y 3＝－λy 4.因为点M ，N 在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 235＋y 234＝1，x 245＋y 244＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧[－λx 4－5（λ＋1）]25＋（－λy 4）24＝1，x 245＋y 244＝1，第二个等式两边同乘λ2，两式相减得x 4＝－3－2λ①.由MR →＝－λRN →，得（x －x 3，y －y 3）＝－λ（x 4－x ，y 4－y ），即x －x 3＝－λ（x 4－x ），即（1－λ）x ＝x 3－λx 4＝－2λx 4－5（1＋λ）②.把①代入②得（1－λ）x ＝λ－1，根据已知λ≠1，所以x ＝－1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，x ＝－1解得y ＝±4 55.所以点R 的轨迹方程为x ＝－1（－4 55<y<4 55）.得x ＝x 3－λx 41－λ＝ty 3－5－λ（ty 4－5）1－λ＝－λty 4－5－λty 4＋5λ1－λ＝－2λ1－λty 4－5＝（－2λ1－λ）40t 2（1－λ）（4t 2＋5）－5＝－λ（1－λ）2·80t 24t 2＋5－5，把（1－λ）2λ＝－20t24t 2＋5代入得x ＝－1. y ＝y 3－λy 41－λ＝－2λ1－λy 4＝－2λ1－λ·40t （1－λ）（4t 2＋5）＝－λ（1－λ）2·80t 4t 2＋5＝4t ，由于t 2>5，所以－4 55<y<4 55，所以点R 的轨迹方程为x ＝－1（－4 55<y<4 55）.【特别提醒】求动点的轨迹方程的基本方法有直接法、待定系数法(定义法)和代入法，在圆锥曲线的解答题中往往第一个问题就是求出圆锥曲线的方程．当求出的曲线方程含有可变参数时，要根据参数范围确定方程表示的曲线． 【变式探究】已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，该椭圆的离心率为22，A 是椭圆上一点，AF 2⊥F 1F 2，原点O 到直线AF 1的距离为13.(1)求椭圆的方程．(2)是否存在过F 2的直线l 交椭圆于B ，C 两点，且满足△BOC 的面积为23？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：（1）设F 1（－c ，0），F 2（c ，0）.由e ＝c a ＝22，得a＝2c ，b ＝c ，所以椭圆的方程为x 22c 2＋y2c 2＝1.直线AF 2：x ＝c ，与椭圆方程联立得y ＝±22c ，根据对称性取A （c ，22c ），则kAF 1＝22c c －（－c ）＝24，所以AF 1的方程为y ＝24（x ＋c ），即x －2 2y ＋c ＝0， 所以坐标原点到该直线的距离d ＝|c|1＋8＝13，解得c ＝1（舍去定值），故所求的椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.【特别提醒】解析几何中存在探索性问题的解法和其他的存在探索性问题的解法的思想是一致的，即在假设其存在的情况下进行计算和推理，根据得出的结果是否合理确定其存在与否． 【命题热点突破二】圆锥曲线中的定点、定值问题 例2、【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y --=，抛物线2:y 2(0)C px p => （1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； （2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2,).p p --； ②求p 的取值范围.【答案】（1）x y 82=（2）①详见解析，②)34,0( 【解析】解：（1）抛物线2:y 2(0)C px p =>的焦点为(,0)2p 由点(,0)2p 在直线:20l x y --=上，得0202p--=，即 4.p = 所以抛物线C 的方程为28.y x =（2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，线段PQ 的中点00(,)M x y 因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ， 于是直线PQ 的斜率为1-，则可设其方程为.y x b =-+①由22y px y x b⎧=⎨=-+⎩消去x 得2220(*)y py pb +-=因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以12,y y ≠ 从而2(2)4(2)0p pb ∆=-->，化简得20p b +>.方程（*）的两根为1,2y p =-120.2y y y p +==- 因为00(,)M x y 在直线l 上，所以02.x p =- 因此，线段PQ 的中点坐标为(2,).p p -- ②因为(2,).M p p --在直线y x b =-+上 所以(2)p p b -=--+，即22.b p =-由①知20p b +>，于是2(22)0p p +->，所以4.3p < 因此p 的取值范围为4(0,).3【变式探究】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)经过点(1，32)，离心率为32，过椭圆右顶点的两条斜率之积为－14的直线分别与椭圆交于点M ，N.(1)求椭圆C 的标准方程．(2)直线MN 是否过定点D ？若过，求出点D 的坐标；若不过，请说明理由．解：（1）由e ＝c a ＝32以及1a 2＋34b 2＝1，且a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.（2）方法一：直线MN 恒过定点D （0，0）.证明如下：设右顶点为A （2，0），根据已知得直线AM ，AN 的斜率存在且不为零.设AM ：y ＝k （x －2），代入椭圆方程，得（1＋4k 2）x 2－16k 2x ＋16k 2－4＝0，设M （x 1，y 1），则2x 1＝16k 2－41＋4k2，即x 1＝8k 2－21＋4k 2，y 1＝k （x 1－2）＝－4k 1＋4k 2，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－21＋4k 2，－4k 1＋4k 2. 设直线AN 的斜率为k′，则kk′＝－14，即k′＝－14k ，把点M 坐标中的k 替换为－14k ，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8k24k 2＋1，4k 4k 2＋1.当M ，N 的横坐标不相等，即k≠±12时，k MN ＝2k 1－4k 2，直线MN 的方程为y －4k 4k 2＋1＝2k 1－4k 2（x －2－8k24k 2＋1），即y ＝2k1－4k2x ，该直线恒过定点（0，0）. 当k ＝±12时，M ，N 的横坐标为零，直线MN 也过定点（0，0）.综上可知，直线MN 过定点D （0，0）.由于AM ，AN 的斜率之积为负值，故点M ，N 在椭圆上位于x 轴的两侧，直线MN 与x 轴的交点一定在椭圆内部，而当m ＝－2k 时，直线y ＝kx －2k 过定点（2，0），这是不可能的.当MN 的斜率不存在时，点M ，N 关于x 轴对称，此时AM ，AN 的斜率分别为一12，12，此时M ，N 恰为椭圆的上下顶点，直线MN 也过定点（0，0）. 综上可知，直线MN 过定点D （0，0）.【特别提醒】证明直线过定点的基本思想是使用一个参数表示直线方程，根据方程的成立与参数值无关得出关于x ，y 的方程组，以方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点． 【变式探究】已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点是F(－1，0)，上顶点是B ，且|BF|＝2，直线y ＝k(x ＋1)与椭圆C相交于M ，N 两点． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若在x 轴上存在点P ，使得PM →·PN →与k 的取值无关，求点P 的坐标． 解：（1）因为椭圆C 的左焦点是F （－1，0），且|BF|＝2， 所以c ＝1，a ＝2，所以由a 2＝b 2＋c 2，得b 2＝3， 所以椭圆C 的标准方程是x 24＋y23＝1.（2）因为直线y ＝k （x ＋1）与椭圆C 相交于M ，N 两点，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x 24＋y 23＝1，消去y ，得（3＋4k 2）x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，Δ＝144k 2＋144>0.设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），P （x 0，0），则x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.PM →·PN →＝（x 1－x 0，y 1）·（x 2－x 0，y 2） ＝（x 1－x 0）·（x 2－x 0）＋y 1y 2＝x 1x 2－x 0（x 1＋x 2）＋x 20＋k 2（x 1＋1）（x 2＋1） ＝（1＋k 2）x 1x 2＋（k 2－x 0）（x 1＋x 2）＋k 2＋x 20 ＝（1＋k 2）·4k 2－123＋4k 2＋（k 2－x 0）·－8k 23＋4k2＋k 2＋x 20＝4k 2－12＋4k 4－12k 2－8k 4＋8x 0k 2＋3k 2＋4k 43＋4k 2＋x 20 ＝（8x 0－5）k 2－123＋4k2＋x 20， 若PM →·PN →与k 的取值无关，则只需8x 0－5－12＝43，解得x 0＝－118，所以在x 轴上存在点P ，使得PM →·PN →与k 的取值无关，P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－118，0.【特别提醒】定值问题就是证明一个量与其他的变化因素无关，这些变化的因素可能是直线的斜率、截距，也可能是动点的坐标等，这类问题的一般解法是用变化的量表达求证目标，通过运算求证目标的取值与变化的量无关．当使用直线的斜率和截距表达直线方程时，在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系，把双参数问题化为单参数问题来解决．【命题热点突破三】圆锥曲线中的范围与最值问题 例3. 【2016高考天津理数】（本小题满分14分）设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA eOA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线的l 斜率的取值范围.【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）),46[]46,(+∞--∞Y 【解析】（Ⅰ）解：设(,0)F c ，由113||||||e OF OA FA +=，即113()c c a a a c +=-，可得2223a c c -=，又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为22143x y +=. （Ⅱ）解：设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)2(-=x k y .设),(B B y x B ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)2(13422x k y y x ，消去y ，整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k . 解得2=x ，或346822+-=k k x ，由题意得346822+-=k k x B ，从而34122+-=k k y B. 由（Ⅰ）知，)0,1(F ，设),0(H y H ，有FH u u u r (1,)H y =-，2229412(,)4343k kBF k k -=++u u u r .由HF BF ⊥，得0BF HF ⋅=u u u r u u u r ，所以222124904343Hky k k k -+=++，解得kk y H 12492-=.因此直线MH 的方程为kk x k y 124912-+-=.设),(M M y x M ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=)2(124912x k y k k x k y 消去y ，解得)1(1292022++=k k x M . 在MAO △中，||||MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即2222)2(M M M M y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即1)1(1292022≥++k k ，解得46-≤k 或46≥k . 所以，直线l 的斜率的取值范围为),46[]46,(+∞--∞Y . 【变式探究】已知圆心在x 轴上的圆C 过点(0，0)和(－1，1)，圆D 的方程为(x －4)2＋y 2＝4. (1)求圆C 的方程；(2)由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于A ，B 两点，求|AB|的取值范围．（2）设圆D 上的动点P 的坐标为（x 0，y 0），则（x 0－4）2＋y 20＝4，即y 20＝4－（x 0－4）2≥0，解得2≤x 0≤6. 设点A （0，a ），B （0，b ），则直线PA ：y －a ＝y 0－ax 0x ，即（y 0－a ）x －x 0y ＋ax 0＝0.因为直线PA 与圆C 相切，所以|a －y 0＋ax 0|（y 0－a ）2＋x 2＝1，化简得（x 0＋2）a 2－2y 0a －x 0＝0.① 同理得（x 0＋2）b 2－2y 0b －x 0＝0.②由①②知a ，b 为方程（x 0＋2）x 2－2y 0x －x 0＝0的两根，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2yx 0＋2，ab ＝－x0x 0＋2，所以|AB|＝|a －b|＝（a ＋b ）2－4ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 0x 0＋22＋4x 0x 0＋2＝4y 20＋4x 0（x 0＋2）（x 0＋2）2. 因为y 20＝4－（x 0－4）2，所以|AB|＝2 2 5x 0－6（x 0＋2）2＝2 2－16（x 0＋2）2＋5x 0＋2. 令t ＝1x 0＋2，因为2≤x 0≤6，所以18≤t≤14， 所以|AB|＝2 2 －16t 2＋5t ＝2 2－16⎝ ⎛⎭⎪⎫t －5322＋2564，所以当t ＝532时，|AB|max ＝5 24；当t ＝14时，|AB|min ＝ 2.所以|AB|的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，5 24. 【特别提醒】解析几何中产生范围的有如下几种情况：(1)直线与曲线相交(判别式)；(2)曲线上点的坐标的范围；(3)题目中要求的限制条件．这些产生范围的情况可能同时出现在一个问题中，在解题时要注意全面把握范围产生的原因．【变式探究】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1和F 2，上顶点为B ，BF 2的延长线交椭圆于点A ，△ABF 1的周长为8，且BF 1→·BA →＝0. (1)求椭圆的方程；(2)过点P(1，0)的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，点T(4，3)，记直线TM ，TN 的斜率分别为k 1，k 2，当k 1·k 2最大时，求直线l 的方程．解：（1）由椭圆定义得△ABF 1的周长为4a ，所以4a ＝8，a ＝2.因为BF 1→·BA →＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，△F 1BF 2为等腰直角三角形，所以b ＝c ＝22a ＝2，所以椭圆的方程为x 24＋y22＝1. （2）①当直线l 的斜率为0时，取M （－2，0），N （2，0），k 1·k 2＝34＋2×34－2＝34.②当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，代入椭圆方程得（m 2＋2）y 2＋2my －3＝0，则Δ＝4m 2＋12（m 2＋2）>0.设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则y 1＋y 2＝－2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2，x 1＝my 1＋1，x 2＝my 2＋1.k 1·k 2＝y 1－3x 1－4·y 2－3x 2－4＝y 1y 2－3（y 1＋y 2）＋9m 2y 1y 2－3m （y 1＋y 2）＋9＝3m 2＋2m ＋54m 2＋6＝34＋4m ＋18m 2＋12.令t ＝4m ＋1，则k 1·k 2－34＝2tt 2－2t ＋25.当t≤0时，2t t 2－2t ＋25＝2t（t －1）2＋24≤0； 当t>0时，2tt 2－2t ＋25＝2t ＋25t－2≤14，当且仅当t ＝5，即m ＝1时等号成立. 综上可知，当m ＝1时，k 1·k 2取得最大值34＋14＝1，此时直线l 的方程为x ＝y ＋1，即x －y －1＝0.【特别提醒】解析几何中最值问题的基本解法有几何法和代数法．几何法是根据已知几何量之间的相互关系，利用平面几何和解析几何知识解决问题的方法(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等)；代数法是建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数，通过求解函数的最值(普通方法、基本不等式方法、导数方法等)解决问题的方法．【命题热点突破四】向量、圆锥曲线性质、点线距与基本不等式问题例4、已知抛物线y 2＝4 2x 的焦点为椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点F 2，且椭圆的长轴长为4，左、右顶点分别为A ，B ，经过椭圆左焦点F 1的直线l 与椭圆交于C ，D(异于A ，B)两点． (1)求椭圆的标准方程．(2)求四边形ADBC 的面积的最大值．(3)若M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)是椭圆上的两动点，且满足x 1x 2＋2y 1y 2＝0，动点P 满足OP →＝OM →＋2ON →(其中O 为坐标原点)，是否存在两定点G 1，G 2使得|PG 1|＋|PG 2|为定值？若存在，求出该定值；若不存在，说明理由．解：（1）由题设知，因为抛物线y 2＝4 2x 的焦点为（2，0）， 所以椭圆中的c ＝2，又由椭圆的长轴长为4，得a ＝2， 所以b 2＝a 2－c 2＝2，所以椭圆的标准方程为x 24＋y22＝1.（2）方法一：A （－2，0），B （2，0），F 1（－2，0）， 显然直线l 的斜率不为零，设l ：x ＝my －2， 代入椭圆方程得（m 2＋2）y 2－2 2my －2＝0.设C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），则有y 3＋y 4＝2 2m m 2＋2，y 3y 4＝－2m 2＋2.S 四边形ADBC ＝S △ABC ＋S △ABD ＝12|AB||y 3|＋12|AB||y 4|＝12|AB|·|y 3－y 4|＝12×4×（y 3＋y 4）2－4y 3y 4＝2（2 2m m 2＋2）2＋4×2m 2＋2＝8 m 2＋1m 2＋2＝8m 2＋1＋1m 2＋1≤4，当且仅当m 2＋1＝1m 2＋1，即m ＝0时等号成立.故四边形ADBC 的面积的最大值为4.方法二：易知A （－2，0），B （2，0），F 1（－2，0）， 当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝－2，此时S 四边形ADBC ＝4.当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝k （x ＋2）（其中k≠0），即x ＝1k y －2，代入椭圆方程得（2k2＋1）y 2－2 2ky －2k 2＝0，设C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），则有y 3＋y 4＝2 2k 2k 2＋1，y 3y 4＝－2k22k 2＋1.S 四边形ADBC ＝S △ABC ＋S △ABD ＝12|AB||y 3|＋12|AB||y 4|＝12|AB|·|y 3－y 4|＝12×4×（y 3＋y 4）2－4y 3y 4＝2（2 2k 2k 2＋1）2＋4×2k 22k 2＋1＝8 k 4＋k22k 2＋1＝81k2＋1＋11k2＋1<4.综上所述，四边形ADBC 的面积的最大值为4.（3）设P （x ，y ），因为M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），由OP →＝OM →＋2ON →，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2.①因为M ，N 是椭圆上的点，所以x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4.由①及x 1x 2＋2y 1y 2＝0可得x 2＋2y 2＝（x 1＋2x 2）2＋2（y 1＋2y 2）2＝（x 21＋2y 21）＋4（x 22＋2y 22）＝20， 所以x 2＋2y 2＝20，即x 220＋y210＝1，即为点P 的轨迹方程，由椭圆的定义可得，存在两定点G 1，G 2使得|PG 1|＋|PG 2|＝4 5.【易错提醒】 (1)错用圆锥曲线中系数的意义，如误以为长轴长就是a ，焦距就是c ；(2)忽视特殊情况，如使用直线的斜率时，忽视直线的斜率可能不存在；(3)不能正确地把几何条件(一般的几何条件、向量式表达的几何条件)转化为以坐标、方程表达的代数条件；(4)运算错误．【变式探究】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线y 22－x 2＝1的焦点重合，过点P(4，0)且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点． (1)求椭圆C 的方程； (2)求OA →·OB →的取值范围．解：（1）由题意知e ＝c a ＝12，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，得a 2＝43b 2.又∵双曲线的焦点坐标为（0，±3），∴b＝3，∴a 2＝4，b 2＝3， 所以椭圆的方程为x 24＋y23＝1.【高考真题解读】1.【2016高考天津理数】（本小题满分14分）设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA e OA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线的l 斜率的取值范围.【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）),46[]46,(+∞--∞Y 【解析】（Ⅰ）解：设(,0)F c ，由113||||||e OF OA FA +=，即113()c c a a a c +=-，可得2223a c c -=，又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为22143x y +=. （Ⅱ）解：设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)2(-=x k y .设),(B B y x B ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)2(13422x k y y x ，消去y ，整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k . 解得2=x ，或346822+-=k k x ，由题意得346822+-=k k x B ，从而34122+-=k k y B . 由（Ⅰ）知，)0,1(F ，设),0(H y H ，有FH u u u r (1,)H y =-，2229412(,)4343k kBF k k -=++u u u r .由HF BF ⊥，得0BF HF ⋅=u u u r u u u r ，所以222124904343Hky k k k -+=++，解得kk y H 12492-=.因此直线MH 的方程为kk x k y 124912-+-=.设),(M M y x M ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=)2(124912x k y k k x k y 消去y ，解得)1(1292022++=k k x M . 在MAO △中，||||MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即2222)2(M M M M y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即1)1(1292022≥++k k ，解得46-≤k 或46≥k . 所以，直线l 的斜率的取值范围为),46[]46,(+∞--∞Y . 2.【2016高考新课标3理数】已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ P ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）21y x =-．（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ， 则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF-=--=-=∆∆. 由题设可得221211ba x ab -=--，所以01=x （舍去），11=x .设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x yb a . 而y ba =+2，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为12-=x y . ....12分3.【2016高考浙江理数】（本题满分15分）如图，设椭圆2221x y a+=（a ＞1）.（I ）求直线y =kx +1被椭圆截得的线段长（用a 、k 表示）；（II ）若任意以点A （0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值 范围.【答案】（I ）2222211a k k a k ++（II ）202e <≤．【解析】（Ⅰ）设直线1y kx =+被椭圆截得的线段为AP ，由22211y kx x y a =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222120a k x a kx ++=，故10x =，222221a kx a k=-+． 因此22212222111a k AP k x k a k=+-=++ （Ⅱ）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足AP AQ =．记直线AP ，AQ 的斜率分别为1k ，2k ，且1k ，20k >，12k k ≠．由（Ⅰ）知，2211121a k k AP +=2222221a k k AQ +=，22221122122121a k k a k k ++=，所以()()22222222121212120k k k k a a k k ⎡⎤-+++-=⎣⎦．由于12k k ≠，1k ，20k >得()2222221212120k k a a k k +++-=，因此22221211(1)(1)1(2)a a k k ++=+-， ① 因为①式关于1k ，2k 的方程有解的充要条件是221(2)1a a +->，所以2a >．因此，任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为12a <≤，由21c a e a -==得，所求离心率的取值范围为202e <≤．4.【2016高考新课标2理数】已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥． （Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ∆的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）()32,2.（Ⅱ）由题意3t >，0k >，(),0A t .将直线AM 的方程(y k x t =+代入2213x y t +=得()222223230tk x ttk x t k t +++-=. 由(221233t k tx t tk -⋅-=+得)21233t tk x tk -=+，故()221611t k AM x tk +=++=.由题设，直线AN 的方程为(1y x t k=-+，故同理可得()261k t k AN +==，由2AM AN =得22233ktk k t=++，即()()32321k t k k -=-. 当32k =因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()232332122022k k k k k k k -+-+-=<--， 即3202k k -<-.由此得32020k k ->⎧⎨-<⎩，或32020k k -<⎧⎨->⎩，解得322k <<. 因此k 的取值范围是()32,2.5.【2016年高考北京理数】（本小题14分）已知椭圆C ：22221+=x y a b（0a b >>）的离心率为32 ，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 的椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N. 求证：BM AN ⋅为定值.【答案】（1）2214x y +=；（2）详见解析. 【解析】（Ⅰ）由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===,,121,23222c b a ab a c 解得1,2==b a . 所以椭圆C 的方程为1422=+y x . （Ⅱ）由（Ⅰ）知，)1,0(),0,2(B A ，设),(00y x P ，则442020=+y x .当00≠x 时，直线PA 的方程为)2(200--=x x y y .令0=x ，得2200--=x y y M ，从而221100-+=-=x y y BM M . 直线PB 的方程为110+-=x x y y . 令0=y ，得100--=y x x N ，从而12200-+=-=y x x AN N . 所以221120000-+⋅-+=⋅x y y x BM AN 228844224844400000000000000002020+--+--=+--+--++=y x y x y x y x y x y x y x y x y x4=.当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM 所以4=⋅BM AN . 综上，BM AN ⋅为定值.6.【2016年高考四川理数】（本小题满分13分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线:3l y x =-+与椭圆E 有且只有一个公共点T .（Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线l’平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P ．证明：存在常数λ，使得2PTPA PB λ=⋅，并求λ的值.【答案】（Ⅰ）22163x y +=，点T 坐标为（2,1）；（Ⅱ）45λ=. 【解析】（I ）由已知，222(2)a a c +=，即a =，所以a =，则椭圆E 的方程为222212x y b b+=.由方程组22221,23,x y b b y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得22312(182)0x x b -+-=.①方程①的判别式为2=24(3)b ∆-，由=0∆，得2=3b ， 此方程①的解为=2x ，所以椭圆E 的方程为22163x y +=. 点T 坐标为（2,1）.（II ）由已知可设直线l ' 的方程为1(0)2y x m m =+≠， 有方程组123y x m y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，， 可得22321.3m x m y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 所以P 点坐标为（222,133m m -+），2289PT m =. 设点A ，B 的坐标分别为1122(,)(,)A x y B x y ， .由方程组2216312x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，， 可得2234(412)0x mx m ++-=.②方程②的判别式为2=16(92)m ∆-，由>0∆，解得323222m -<<. 由②得212124412=,33m m x x x x -+-=. 所以221112252(2)(1)3323m m m PA x y x =--++-=-- ， 同理25223m PB x =--， 所以12522(2)(2)433m mPA PB x x ⋅=---- 21212522(2)(2)()433m mx x x x =---++225224412(2)(2)()43333m m m m -=----+ 2109m =.故存在常数45λ=，使得2PT PA PB λ=⋅. 7. 【2016高考上海理数】本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.双曲线2221(0)y x b b-=>的左、右焦点分别为12F F 、，直线l 过2F 且与双曲线交于A B 、两点。
高考复习 第9篇 第9讲 圆锥曲线的热点问题知识点+例题+练习 含答案
第9讲 圆锥曲线的热点问题知 识 梳 理1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程． 即⎩⎨⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0，消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C 无公共点．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行． 2．圆锥曲线的弦长 (1)圆锥曲线的弦长直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长． (2)圆锥曲线的弦长的计算设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋1k 2·|y 1－y 2|(抛物线的焦点弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2θ，θ为弦AB 所在直线的倾斜角)．3．圆锥曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0；在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0；在抛物线y 2＝2px (p ＞0)中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝py 0.辨 析 感 悟1．对直线与圆锥曲线交点个数的理解(1)直线y ＝k x ＋1与椭圆x 25＋y 29＝1恒有两个公共点．(√)(2)经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛物线有一个公共点．(×) (3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点．(√) 2．对圆锥曲线中有关弦的问题的理解(4)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为x 24＋y 23＝1.(√)(5)已知点(2,1)是直线l 被椭圆x 24＋y 22＝1所截得线段的中点，则l 的方程为x ＋4y －6＝0.(×)(6)(2014·潍坊一模改编)直线4k x －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于94.(√)[感悟·提升]两个防范 一是在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况，如(2)；二是中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证Δ＞0或说明中点在曲线内部，如(5).考点一 直线与圆锥曲线位置关系【例1】 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程． 解 (1)因为椭圆C 1的左焦点为F 1(－1,0)，所以c ＝1. 把点P (0,1)代入椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，得1b 2＝1，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝2.所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率显然存在，且不等于0，设直线l 的方程为y ＝k x ＋m .联立⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝k x ＋m ，消去y 并整理得(1＋2k 2)x 2＋4k mx ＋2m 2－2＝0. 因为直线l 与椭圆C 1相切，所以Δ1＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝0， 整理得2k 2－m 2＋1＝0.① 联立⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝k x ＋m ，消去y 并整理得k 2x 2＋(2k m －4)x ＋m 2＝0. 因为直线l 与抛物线C 2相切， 所以Δ2＝(2k m －4)2－4k 2m 2＝0. 整理得k m ＝1.②综合①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝22，m ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，m ＝－ 2.所以直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2. 规律方法 将直线与圆锥曲线的两个方程联立成方程组，然后判断方程组是否有解，有几个解，这是直线与圆锥曲线位置关系的判断方法中最常用的方法，注意：在没有给出直线方程时，要对是否有斜率不存在的直线的情况进行讨论，避免漏解．【训练1】 在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q . (1)求k 的取值范围；(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，是否存在常数k ，使得向量OP →＋OQ →与AB →垂直？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由． 解 (1)由已知条件，直线l 的方程为y ＝k x ＋2， 代入椭圆方程得x 22＋(k x ＋2)2＝1，整理得()12＋k 2x 2＋22k x ＋1＝0.①直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于①中 Δ＝8k 2－4()12＋k 2＝4k 2－2＞0， 解得k ＜－22或k ＞22. 即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞. (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则O P →＋O Q →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)由方程①得x ＝－22k ±4k 2－21＋2k 2，则x 1＋x 2＝－42k1＋2k 2， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋22＝－42k 21＋2k 2＋2 2.∵(OP →＋OQ →)⊥A B →，∴(x 1＋x 2)·(－2)＋y 1＋y 2＝0， 即：－42k 1＋2k 2·(－2)－42k 21＋2k 2＋22＝0.解得：k ＝－24，由(1)知k 2＞12，与此相矛盾， 所以不存在常数k 使O P →＋OQ →与AB →垂直．考点二 圆锥曲线中的弦长问题【例2】 (2012·北京卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值． 解 (1)由题意得⎩⎨⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝ 2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由⎩⎨⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 22＝1得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.则x ＝2k 2±6k 2＋41＋2k 2.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)， x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2.所以|MN |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2(1＋k 2)(4＋6k 2)1＋2k 2.又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k 2，所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2.由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，解得k ＝±1.规律方法 直线与圆锥曲线的弦长问题，较少单独考查弦长的求解，一般是已知弦长的信息求参数或直线的方程．解此类题的关键是设出交点的坐标，利用求根公式得到弦长，将已知弦长的信息代入求解． 【训练2】 已知点Q (1，－6)是抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)上异于坐标原点O 的点，过点Q 与抛物线C 2：y ＝2x 2相切的两条直线分别交抛物线C 1于点A ，B . 求直线AB 的方程及弦AB 的长．解 由Q (1，－6)在抛物线y 2＝2px 上，可得p ＝18，所以抛物线C 1的方程为y 2＝36x . 设抛物线C 2的切线方程为y ＋6＝k (x －1)． 联立⎩⎨⎧y ＋6＝k (x －1)，y ＝2x 2，消去y ，得2x 2－k x ＋k ＋6＝0，Δ＝k 2－8k －48.由于直线与抛物线C 2相切，故Δ＝0，解得k ＝－4或12. 由⎩⎨⎧ y ＋6＝－4(x －1)，y 2＝36x ，得A ()14，－3； 由⎩⎨⎧y ＋6＝12(x －1)，y 2＝36x ，得B ()94，9. |AB |＝()14－942＋(－3－9)2＝237，所以直线AB 的方程为12x －2y －9＝0，弦AB 的长为237.考点三 圆锥曲线中的定点、定值问题【例3】 (2013·江西卷)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，a ＋b ＝3.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，A 、B 、D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m .证明：2m －k 为定值．审题路线 (2)写出直线BP 的方程⇒与椭圆方程联立解得P 点坐标⇒写出直线AD 的方程⇒由直线BP 与直线AD 的方程联立解得M 点坐标⇒由D 、P 、N 三点共线解得N 点坐标⇒求直线MN 的斜率m ⇒作差：2m －k 为定值． (1)解 因为e ＝32＝ca， 所以a ＝23c ，b ＝13c . 代入a ＋b ＝3得，c ＝3，a ＝2，b ＝1. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 因为B (2,0)，P 不为椭圆顶点，则直线BP 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0，k ≠±12)，①①代入x 24＋y 2＝1，解得P ⎝⎛⎭⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1. 直线AD 的方程为y ＝12x ＋1.②①与②联立解得M ⎝⎛⎭⎫4k ＋22k －1，4k 2k －1.由D (0,1)，P ⎝⎛⎭⎫8k 2－24k 2＋1，－4k4k 2＋1，N (x,0)三点共线知 －4k4k 2＋1－18k 2－24k 2＋1－0＝0－1x －0， 解得N ⎝⎛⎭⎫4k －22k ＋1，0.所以MN 的斜率为m ＝4k2k －1－04k ＋22k －1－4k －22k ＋1＝4k (2k ＋1)2(2k ＋1)2－2(2k －1)2＝2k ＋14， 则2m －k ＝2k ＋12－k ＝12(定值)． 规律方法 求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．【训练3】 椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，该椭圆经过点P ()1，32且离心率为12.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝k x ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左，右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标． (1)解 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由e ＝c a ＝12，得a ＝2c ，∵a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝3c 2， 则椭圆方程变为x 24c 2＋y 23c2＝1.又椭圆过点P ()1，32，将其代入求得c 2＝1， 故a 2＝4，b 2＝3，即得椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y ＝k x ＋m ，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8m k x ＋4(m 2－3)＝0， 则x ＝－4m k ±212k 2－3m 2＋93＋4k 2.⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)＞0，x 1＋x 2＝－8m k 3＋4k2，x 1·x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2.①又y 1y 2＝(k x 1＋m )(k x 2＋m ) ＝k 2x 1x 2＋m k (x 1＋x 2)＋m 2＝3(m 2－4k 2)3＋4k 2.∵椭圆的右顶点为A 2(2,0)，AA 2⊥BA 2， ∴(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝0， ∴y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0，∴3(m 2－4k 2)3＋4k 2＋4(m 2－3)3＋4k 2＋16m k 3＋4k 2＋4＝0，∴7m 2＋16m k ＋4k 2＝0， 解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k 7，由①，得3＋4k 2－m 2＞0，当m 1＝－2k 时，l 的方程为y ＝k (x －2)， 直线过定点(2,0)，与已知矛盾．当m 2＝－2k7时，l 的方程为y ＝k ()x －27，直线过定点()27，0，∴直线l 过定点，定点坐标为()27，0.考点四 圆锥曲线中的范围与最值问题【例4】 (2013·浙江卷)已知抛物线C 的顶点为O (0,0)，焦点为F (0,1)． (1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点．若直线AO ，BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点，求|MN |的最小值．审题路线 (2)设直线AB 的方程⇒与抛物线方程联立消去y 得关于x 的一元二次方程⇒解得|x 1－x 2|⇒由直线AM 的方程与直线l 联立解得点M 的横坐标⇒由直线ON 的方程与直线l 联立解得点N 的横坐标⇒|MN |＝2|x M －x N |⇒换元、分类求|MN |的最小值．解 (1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，则p2＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝k x ＋1.由⎩⎨⎧y ＝k x ＋1，x 2＝4y 消去y ，整理得x 2－4k x －4＝0，则x ＝2k ±2k 2＋1. 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.从而|x 1－x 2|＝4k 2＋1. 又y ＝y 1x 1x ，且y ＝x －2，解得点M 的横坐标x M ＝2x 1x 1－y 1＝2x 1x 1－x 214＝84－x 1. 同理点N 的横坐标x N ＝84－x 2. 所以|MN |＝2|x M －x N |＝2⎪⎪⎪⎪84－x 1－84－x 2＝82⎪⎪⎪⎪x 1－x 2x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＝82k 2＋1|4k －3|， 令4k －3＝t ，t ≠0，则k ＝t ＋34. 当t >0时，|MN |＝2225t 2＋6t＋1>2 2. 当t <0时，|MN |＝22()5t ＋352＋1625≥852.综上所述，当t ＝－253，即k ＝－43时， |MN |的最小值是852.规律方法 圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．【训练4】 (2014·湘潭一模)设点P (x ，y )到直线x ＝2的距离与它到定点(1,0)的距离之比为2，并记点P 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)设M (－2,0)，过点M 的直线l 与曲线C 相交于E ，F 两点，当线段EF 的中点落在由四点C 1(－1,0)，C 2(1,0)，B 1(0，－1)，B 2(0,1)构成的四边形内(包括边界)时，求直线l 斜率的取值范围． 解 (1)由题意得|x －2|(x －1)2＋y 2＝2，整理得x 22＋y 2＝1，所以曲线C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)有点M 满足(－2)22＋02＝2＞1，则点M 在曲线C 外．显然直线l 的斜率存在，所以可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)． 设点E ，F 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 线段EF 的中点为G (x 0，y 0)，由⎩⎨⎧y ＝k (x ＋2)，x 22＋y 2＝1，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－2＝0， 由Δ＝(8k 2)2－4(1＋2k 2)(8k 2－2)＞0， 解得－22＜k ＜22. 由求根公式得x ＝－4k 2±2－4k 21＋2k 2，x 1＋x 2＝－8k 21＋2k 2，于是x 0＝x 1＋x 22＝－4k 21＋2k 2，y 0＝k (x 0＋2)＝2k 1＋2k 2， 因为x 0＝－4k 21＋2k 2≤0，所以点G 不可能在y 轴的右边，又直线C 1B 2和C 1B 1的方程分别为y ＝x ＋1，y ＝－x －1，所以点G 在正方形内(包括边界)的充要条件为⎩⎨⎧y 0≤x 0＋1，y 0≥－x 0－1，即⎩⎨⎧2k 1＋2k 2≤－4k 21＋2k 2＋1，2k 1＋2k 2≥4k21＋2k 2－1，亦即⎩⎨⎧2k 2＋2k －1≤0，2k 2－2k －1≤0.解得－3－12≤k ≤3－12，由①②知，直线l 斜率的取值范围是⎣⎡⎦⎤－3－12，3－12.1．涉及弦长的问题时，应熟练地利用求根公式，设而不求计算弦长；涉及垂直关系往往也是利用根与系数的关系设而不求简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑利用圆锥曲线的定义求解． 2．关于圆锥曲线的中点弦问题直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何的内容之一，也是高考的一个热点问题．这类问题一般有以下三种类型：(1)求中点弦所在直线方程问题；(2)求弦中点的轨迹方程问题；(3)弦长为定值时，弦中点的坐标问题．其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等． 3．圆锥曲线综合问题要四重视：(1)重视定义在解题中的作用；(2)重视平面几何知识在解题中的作用；(3)重视求根公式在解题中的作用；(4)重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用．答题模板11——圆锥曲线中的探索性问题【典例】 (14分)(2012·广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝23，且椭圆C 上的点到Q (0,2)的距离的最大值为3. (1)求椭圆C 的方程；(2)在椭圆C 上，是否存在点M (m ，n )，使得直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点A ，B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由． [规范解答] (1)因为e ＝ 23＝ca ＝a 2－b 2a， 所以a 2＝3b 2，即椭圆C 的方程可写为x 23b 2＋y 2b2＝1.(2分)设P (x ，y )为椭圆C 上任意给定的一点， 则d ＝x 2＋(y －2)2＝3b 2－3y 2＋(y －2)2 ＝－2(y ＋1)2＋3b 2＋6(－b ≤y ≤b )．(3分) 当－b ≤－1，即b ≥1，d max ＝6＋3b 2＝3得b ＝1； 当－b >－1，即b <1，d max ＝b 2＋4b ＋4＝3得b ＝1(舍)． ∴b ＝1，a ＝3，(5分)故所求椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(6分)(2)存在点M 满足要求，使△OAB 的面积最大．(7分)假设存在满足条件的点M ，因为直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点A ，B ，则圆心O 到l 的距离d ＝1m 2＋n 2<1.(8分) 因为点M (m ，n )在椭圆C 上，所以m 23＋n 2＝1<m 2＋n 2，于是0<m 2≤3.因为|AB |＝21－d 2＝2m 2＋n 2－1m 2＋n 2，(10分)所以S △OAB ＝12·|AB |·d ＝m 2＋n 2－1m 2＋n 2＝23|m |1＋23m 2≤23|m |2 1·23m 2＝12， 当且仅当1＝23m 2时等号成立，所以m 2＝32∈(0,3]．因此当m ＝±62，n ＝±22时等号成立．(12分) 所以满足要求的点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫62，22，⎝⎛⎭⎫62，－22，⎝⎛⎭⎫－62，22或⎝⎛⎭⎫－62，－22，此时对应的三角形的面积均达到最大值12.(14分)[反思感悟] (1)本题是圆锥曲线中的探索性问题，也是最值问题，求圆锥曲线的最值问题是高考考查的一个重点，通常是先建立一个目标函数，然后利用函数的单调性或基本不等式求最值．(2)本题的第一个易错点是表达不出椭圆C 上的点到Q (0,2)的距离的最大值；第二个易错点是没有掌握探索性问题的解题步骤；第三个易错点是没有正确使用基本不等式．错误!【自主体验】(2013·安徽卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，且过点P (2，3)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设Q (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)为椭圆C 上一点，过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E .取点A (0,22)，连接AE ，过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D .点G 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QG ，问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由． 解 (1)因为焦距为4，所以a 2－b 2＝4.又因为椭圆C 过点P (2，3)，所以2a 2＋3b 2＝1，故a 2＝8，b 2＝4，从而椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)一定有唯一的公共点，理由： 由题意，E 点坐标为(x 0,0)，设D (x D,0)， 则AE →＝(x 0，－22)，AD →＝(x D ，－22)． 再由AD ⊥AE 知，AE →·AD →＝0，即x 0x D ＋8＝0，由于x 0y 0≠0，故x D ＝－8x 0.因为点G 是点D 关于y 轴的对称点，所以点G ()8x 0，0.故直线QG 的斜率k QG ＝y 0x 0－8x 0＝x 0y 0x 20－8.又因Q (x 0，y 0)在椭圆C 上，所以x 20＋2y 20＝8.①从而k QG ＝－x 02y 0.故直线QG 的方程为y ＝－x 02y 0()x －8x 0.② 将②代入椭圆C 的方程，得(x 20＋2y 20)x 2－16x 0x ＋64－16y 20＝0.③再将①代入③，化简得x 2－2x 0x ＋x 20＝0.解得x ＝x 0，y ＝y 0，即直线QG 与椭圆C 一定有唯一的公共点.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1．(2014·南京模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F (2，0)为其右焦点，过F 垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C 的方程为________． 解析 由题意，得⎩⎨⎧c ＝2，b2a＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.答案x 24＋y 22＝1 2．直线y ＝k x ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为________．解析 由⎩⎨⎧y ＝k x ＋2，y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k －8)x ＋4＝0，若k ＝0，则y ＝2，若k ≠0，若Δ＝0，即64－64k ＝0，解得k ＝1，因此直线y ＝k x ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝0或1. 答案 1或03．(2014·济南模拟)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与直线y ＝3x 无交点，则离心率e 的取值范围是________．解析 因为双曲线的渐近线为y ＝±ba x ，要使直线y ＝3x 与双曲线无交点，则直线y ＝3x 应在两渐近线之间，所以有ba ≤3，即b ≤3a ，所以b 2≤3a 2，c 2－a 2≤3a 2，即c 2≤4a 2，e 2≤4，所以1<e ≤2.答案 (1,2]4．已知双曲线方程是x 2－y 22＝1，过定点P (2,1)作直线交双曲线于P 1，P 2两点，并使P (2,1)为P 1P 2的中点，则此直线方程是________．解析 设点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则由x 21－y 212＝1，x 22－y 222＝1，得k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝2(x 2＋x 1)y 2＋y 1＝2×42＝4，从而所求方程为4x －y －7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x 2－56x ＋51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件． 答案 4x －y －7＝05．(2014·烟台期末考试)已知与向量v ＝(1,0)平行的直线l 与双曲线x 24－y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________．解析 由题意可设直线l 的方程为y ＝m ，代入x 24－y 2＝1得x 2＝4(1＋m 2)，所以x 1＝4(1＋m 2)＝21＋m 2，x 2＝－21＋m 2，所以|AB |＝|x 1－x 2|＝41＋m 2，所以|AB |＝41＋m 2≥4，即当m ＝0时，|AB |有最小值4. 答案 46．(2014·西安模拟)已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为________．解析 设点P (x ，y )，其中x ≥1.依题意得A 1(－1,0)，F 2(2,0)，则有y 23＝x 2－1，y 2＝3(x 2－1)，P A 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝(x ＋1)(x －2)＋y 2＝x 2＋3(x 2－1)－x －2＝4x 2－x －5＝4()x －182－8116，其中x ≥1.因此，当x ＝1时，P A 1→·PF 2→取得最小值－2. 答案 －27．(2014·宁波十校联考)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，过F 2的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则e 2＝________. 解析如图，设|AF 1|＝m ，则|BF 1|＝2m ，|AF 2|＝m －2a ，|BF 2|＝2m －2a ，∴|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝m －2a ＋2m －2a ＝m ，得m ＝22a ，又由|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2，可得m 2＋(m －2a )2＝4c 2， 即得(20－82)a 2＝4c 2，∴e 2＝c 2a 2＝5－2 2. 答案 5－2 28．(2014·青岛调研)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值是________． 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1>x 2，易知直线AB 的方程为y ＝3x －32p ，代入抛物线方程y 2＝2px ，可得x 1＋x 2＝53p ，x 1x 2＝p 24，可得x 1＝32p ，x 2＝p 6，可得|AF ||BF |＝x 1＋p 2x 2＋p 2＝3p 2＋p2p 6＋p2＝3.答案 3 二、解答题9．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与直线x ＋y －1＝0相交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ (O 为原点)．(1)求证：1a 2＋1b 2等于定值；(2)若椭圆的离心率e ∈⎣⎡⎦⎤33，22，求椭圆长轴长的取值范围．(1)证明 由⎩⎨⎧b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2，x ＋y －1＝0消去y ，得(a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋a 2(1－b 2)＝0，① ∵直线与椭圆有两个交点，∴Δ＞0，即4a 4－4(a 2＋b 2)a 2(1－b 2)＞0⇒a 2b 2(a 2＋b 2－1)＞0， ∵a ＞b ＞0，∴a 2＋b 2＞1.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1 、x 2是方程①的两实根． x ＝a 2±a 2b 2(a 2＋b 2－1)a 2＋b 2∴x 1＋x 2＝2a 2a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(1－b 2)a 2＋b 2.②由OP ⊥OQ 得x 1x 2＋y 1y 2＝0， 又y 1＝1－x 1，y 2＝1－x 2， 得2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝0.③式②代入式③化简得a 2＋b 2＝2a 2b 2.④ ∴1a 2＋1b2＝2. (2)解 利用(1)的结论，将a 表示为e 的函数 由e ＝ca⇒b 2＝a 2－a 2e 2，代入式④，得2－e 2－2a 2(1－e 2)＝0. ∴a 2＝2－e 22(1－e 2)＝12＋12(1－e 2). ∵33≤e ≤22，∴54≤a 2≤32. ∵a ＞0，∴52≤a ≤62. ∴长轴长的取值范围是[5，6]．10．(2014·佛山模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 为圆x 2＋y 2＋2x ＝0的圆心，且椭圆上的点到点F 的距离最小值为2－1. (1)求椭圆方程；(2)已知经过点F 的动直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，点M ()－54，0，证明：M A →·M B →为定值． 解 (1)化圆的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝1，则圆心为(－1,0)，半径r ＝1，所以椭圆的半焦距c ＝1.又椭圆上的点到点F 的距离最小值为2－1，所以a －c ＝2－1，即a ＝ 2. 故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)①当直线l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝－1. 可求得A ⎝⎛⎭⎫－1，22，B ⎝⎛⎭⎫－1，－22.此时，M A →·M B →＝⎝⎛⎭⎫－1＋54，22·⎝⎛⎭⎫－1＋54，－22＝－716.②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎨⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x ＝－2k 2±2k 2＋21＋2k 2则x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.因为M A →·M B →＝()x 1＋54，y 1·()x 2＋54，y 2＝()x 1＋54()x 2＋54＋y 1y 2＝x 1x 2＋54(x 1＋x 2)＋()542＋k (x 1＋1)·k (x 2＋1)＝(1＋k 2)x 1x 2＋()k 2＋54(x 1＋x 2)＋k 2＋2516＝(1＋k 2)·2k 2－21＋2k 2＋()k 2＋54⎝⎛⎭⎫－4k 21＋2k 2＋k 2＋2516＝－4k 2－21＋2k 2＋2516＝－2＋2516＝－716.所以，M A →·M B →为定值，且定值为－716. 能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1．(2014·石家庄模拟)若AB 是过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)中心的一条弦，M 是椭圆上任意一点，且AM 、BM与两坐标轴均不平行，k AM ，k BM 分别表示直线AM ，BM 的斜率，则k AM ·k BM ＝________. 解析 设A (x 1，y 1)，M (x 0，y 0)， 则B (－x 1，－y 1)， k AM ·k BM ＝y 0－y 1x 0－x 1·y 0＋y 1x 0＋x 1＝y 20－y 21x 20－x 21＝－b 2a 2x 20＋b 2＋b 2a 2x 21－b 2x 20－x 21＝－b 2a 2. 答案 －b 2a22．(2014·兰州诊断)若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为________．解析 ∵直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点， ∴4m 2＋n 2>2，∴m 2＋n 2<4，∴m 29＋n 24<m 24＋n 24<1，∴点(m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，∴过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点有2个．答案 23．(2014·上海普陀一模)若C (－3，0)，D (3，0)，M 是椭圆x 24＋y 2＝1上的动点，则1|MC |＋1|MD |的最小值为________．解析 由椭圆x 24＋y 2＝1知c 2＝4－1＝3，∴c ＝3，∴C 、D 是该椭圆的两焦点， 令|MC |＝r 1，|MD |＝r 2， 则r 1＋r 2＝2a ＝4，∴1|MC |＋1|MD |＝1r 1＋1r 2＝r 1＋r 2r 1r 2＝4r 1r 2， 又∵r 1r 2≤(r 1＋r 2)42＝164＝4，∴1|MC |＋1|MD |＝4r 1r 2≥1. 当且仅当r 1＝r 2时，上式等号成立． 故1|MC |＋1|MD |的最小值为1. 答案 1 二、解答题4．(2014·合肥一模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1和F 2，由四个点M (－a ，b )、N (a ，b )、F 2和F 1组成了一个高为3，面积为33的等腰梯形． (1)求椭圆的方程；(2)过点F 1的直线和椭圆交于两点A ，B ，求△F 2AB 面积的最大值． 解 (1)由条件，得b ＝3，且2a ＋2c2×3＝33， 所以a ＋c ＝3.又a 2－c 2＝3，解得a ＝2，c ＝1. 所以椭圆的方程x 24＋y 23＝1.(2)显然，直线的斜率不能为0，设直线方程为x ＝my －1，直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1，x ＝my －1，消去x ，得(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0，因为直线过椭圆内的点，无论m 为何值，直线和椭圆总相交．y ＝3m ±6m 2＋13m 2＋4.∴y 1＋y 2＝6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4. S △F 2AB ＝12|F 1F 2||y 1－y 2|＝|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12m 2＋1(3m 2＋4)2＝4m 2＋1()m 2＋1＋132＝41m 2＋1＋23＋19(m 2＋1)，令t ＝m 2＋1≥1，设y ＝t ＋19t，易知t ∈()0，13时，函数单调递减，t ∈()13，＋∞函数单调递增，所以当t＝m 2＋1＝1，即m ＝0时，y min ＝109. S △F 2AB 取最大值3.能力提升练——解析几何 (对应学生用书P293)(建议用时：90分钟)一、填空题1．(2014·武汉一模)已知圆C 经过A (5,2)，B (－1,4)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程是________． 解析 设圆心坐标为C (a,0)，则|AC |＝|BC |，即(a －5)2＋22＝(a ＋1)2＋42，解得a ＝1，所以半径r ＝(1＋1)2＋42＝20＝25，所以圆C 的方程是(x －1)2＋y 2＝20. 答案 (x －1)2＋y 2＝202．(2014·洛阳模拟)椭圆x 216＋y 29＝1的焦距为________．解析 由题意知a 2＝16，b 2＝9，所以c 2＝a 2－b 2＝16－9＝7，所以c ＝7，即焦距为2c ＝27. 答案 273．(2014·山东省实验中学诊断)已知两条直线y ＝ax －2和3x －(a ＋2)y ＋1＝0互相平行，则a 等于________． 解析 因为直线y ＝ax －2的斜率存在且为a ，所以－(a ＋2)≠0，所以3x －(a ＋2)y ＋1＝0的斜截式方程为y ＝3a ＋2x ＋1a ＋2，由两直线平行，得3a ＋2＝a 且1a ＋2≠－2，解得a ＝1或a ＝－3. 答案 1或－34．(2014·济南一模)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点在直线x －2y －2＝0上，则该抛物线的准线方程为________．解析 抛物线的焦点坐标为()p 2，0，代入直线x －2y －2＝0方程，得p2－2＝0，即p ＝4，所以抛物线的准线方程为x ＝－p 2＝－42＝－2.答案 x ＝－25．(2014·长沙模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长等于________． 解析 圆心到直线的距离d ＝|－5|32＋42＝1，弦AB 的长l ＝2r 2－d 2＝24－1＝2 3.答案 2 36．(2014·郑州模拟)以双曲线x 26－y 23＝1的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是________．解析 双曲线的右焦点为(3,0)，双曲线的渐近线为y ＝±22x ，不妨取渐近线y ＝22x ，即2x －2y ＝0，所以圆心到渐近线的距离等于圆的半径，即r ＝|32|(2)2＋22＝326＝33＝ 3.所以圆的方程为(x －3)2＋y 2＝3. 答案 (x －3)2＋y 2＝37．(2014·湖州模拟)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的焦点为(5,0)，则该双曲线的离心率等于________．解析 因为双曲线的焦点为(5,0)，所以c ＝5，又a 2＋9＝c 2＝25，所以a 2＝16，a ＝4，所以离心率为e ＝ca＝54. 答案548．(2014·汕头一模)若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．解析 抛物线的焦点坐标为()p 2，0，椭圆的右焦点为(2,0)，所以由p2＝2，得p ＝4.答案 49．(2014·宿迁一模)已知抛物线x 2＝4y 上一点P 到焦点F 的距离是5，则点P 的横坐标是________． 解析 由抛物线定义知，y P ＋1＝5，即y P ＝4，所以有x 2P ＝16，解得x P ＝±4. 答案 ±410．(2014·湖州一模)已知抛物线y 2＝4px (p ＞0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为________．解析 依题意，得F (p,0)，因为AF ⊥x 轴，设A (p ，y )，y >0，y 2＝4p 2，所以y ＝2p .所以A (p,2p )．又点A 在双曲线上，所以p 2a 2－4p 2b 2＝1.又因为c ＝p ，所以c 2a 2－4c 2c 2－a2＝1，化简，得c 4－6a 2c 2＋a 4＝0，即()c a 4－6()ca 2＋1＝0.所以e 2＝3＋22，e ＝2＋1.答案 2＋111．(2013·上海卷)设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且∠CBA ＝π4.若AB ＝4，BC ＝2，则Γ的两个焦点之间的距离为________．解析 设D 在AB 上，且CD ⊥AB ，AB ＝4，BC ＝2，∠CBA ＝45°，所以有CD ＝1，DB ＝1，AD ＝3，所以有C (1,1)，把C (1,1)代入椭圆的标准方程得1a 2＋1b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2且2a ＝4，解得，b 2＝43，c 2＝83，则2c＝43 6. 答案43612．(2013·安徽卷)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．解析 以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y －a )2＝a . 由⎩⎨⎧y ＝x 2，x 2＋(y －a )2＝a ，得y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0， 即(y －a )[y －(a －1)]＝0.由已知⎩⎨⎧a >0，a －1≥0，解得a ≥1.答案 [1，＋∞)13．(2014·淄博二模)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1和F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点分成5∶3两段，则此双曲线的离心率为________． 解析 抛物线的焦点坐标为()b2，0，由题意知b2－(－c )c －b 2＝53，c ＝2b ，所以c 2＝4b 2＝4(c 2－a 2)，即4a 2＝3c 2，所以2a ＝3c ，所以e ＝c a ＝23＝233. 答案23314．(2014·杭州模拟)已知两点M (－5,0)和N (5,0)，若直线上存在点P ，使|PM |－|PN |＝6，则称该直线为“R 型直线”．给出下列直线：①y ＝x ＋1；②y ＝2；③y ＝43x ；④y ＝2x ＋1，其中为“R 型直线”的是________．解析 由题意可知，点P 的轨迹是在双曲线的右支上，其中2a ＝6，a ＝3，c ＝5，所以b 2＝c 2－a 2＝16.所以双曲线方程为x 29－y 216＝1(x ＞0)．显然当直线y ＝x ＋1与y ＝2和双曲线的右支有交点，所以为“R 型直线”的是①②. 答案 ①② 二、解答题15．(2013·广东卷)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点． (1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程． 解 (1)依题意，设抛物线C 的方程为x 2＝4cy (c >0)， 则|c ＋2|2＝322，c >0，解得c ＝1.所以抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)抛物线C 的方程为x 2＝4y ， 即y ＝14x 2，求导得y ′＝12x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则切线P A ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2，所以切线P A 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 212＋y 1，即x 1x －2y －2y 1＝0.同理可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0， 又点P (x 0，y 0)在切线P A 和PB 上，所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0，所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程x 0x －2y 0－2y ＝0 的两组解， 所以直线AB 的方程为x 0x －2y －2y 0＝0.16．(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.解 (1)设圆P 的半径为r ，则|PM |＝1＋r ，|PN |＝3－r ，∴|PM |＋|PN |＝4>|MN |，∴P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆(左顶点除外)，且2a ＝4,2c ＝2，∴a ＝2，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3. ∴P 的轨迹曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．(2)由(1)知2r ＝(|PM |－|PN |)＋2≤|MN |＋2＝4， ∴圆P 的最大半径为r ＝2.此时P 的坐标为(2,0)． 圆P 的方程为(x －2)2＋y 2＝4.①当l 的倾斜角为90°，方程为x ＝0时，|AB |＝23， ②当l 的倾斜角不为90°， 设l 的方程为y ＝k x ＋b (k ∈R )，⎩⎨⎧|－k ＋b |1＋k 2＝1，|2k ＋b |1＋k 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝24，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－24，b ＝－ 2.∴l 的方程为y ＝24x ＋2，y ＝－24x － 2.联立方程 ⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y23＝1，y ＝24x ＋2，化简得7x 2＋8x －8＝0，x 1＝－4＋627，x 2＝－4－627.∴x 1＋x 2＝－87，x 1x 2＝－87， ∴|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝187. 当k ＝－24时，由图形的对称性可知|AB |＝187. 综上，|AB |＝23或187.17．(2014·东北三校联考)如图，已知点E (m,0)(m ＞0)为抛物线y 2＝4x 内一个定点，过E 作斜率分别为k 1，k 2的两条直线交抛物线于点A ，B ，C ，D ，且M ，N 分别是AB ，CD 的中点． (1)若m ＝1，k 1k 2＝－1，求△EMN 面积的最小值； (2)若k 1＋k 2＝1，求证：直线MN 过定点． 解 (1)当m ＝1时，E 为抛物线y 2＝4x 的焦点， ∵k 1k 2＝－1，∴AB ⊥CD .设直线AB 的方程为y ＝k 1(x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎨⎧y ＝k 1(x －1)，y 2＝4x ，得k 1y 2－4y －4k 1＝0, 则y ＝2±2k 21＋1k 1y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4.∵M ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，∴M ()2k 21＋1，2k 1， 同理，点N (2k 21＋1，－2k 1)， ∴S △EMN ＝12|EM |·|EN |＝12()2k 212＋()2k 12·(2k 21)2＋(－2k 1)2＝2k 21＋1k 21＋2≥22＋2＝4，当且仅当k 21＝1k 21，即k 1＝±1时，△EMN 的面积取得最小值4. (2)设直线AB 的方程为y ＝k 1(x －m )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎨⎧y ＝k 1(x －m )，y 2＝4x 得k 1y 2－4y －4k 1m ＝0， y ＝2±21＋k 21m k 1y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4m ，∵M ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，∴M ()2k 21＋m ，2k 1， 同理，点N ()2k 22＋m ，2k 2，∴k MN ＝k 1k 2k 1＋k 2＝k 1k 2. ∴直线MN 的方程为 y －2k 1＝k 1k 2⎣⎡⎦⎤x －()2k 21＋m ，即y ＝k 1k 2(x －m )＋2，∴直线MN 恒过定点(m,2)．18．(2013·山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为22. (1)求椭圆C 的方程；(2)A ，B 为椭圆C 上满足△AOB 的面积为64的任意两点，E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P .设OP →＝tOE →，求实数t 的值．解 (1)设椭圆C 的方程为：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意知⎩⎨⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝22，2b ＝2，解得a ＝2，b ＝1，因此椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)(ⅰ)当A ，B 两点关于x 轴对称时，设直线AB 的方程为x ＝m ，由题意得－2<m <0或0<m < 2.将x ＝m 代入椭圆方程x 22＋y 2＝1，得|y |＝2－m 22， 所以S △AOB ＝|m |2－m 22＝64. 解得m 2＝32或12.① 又OP →＝tOE →＝12t (OA →＋OB →)＝12t (2m,0)＝(mt,0)， 因为P 为椭圆C 上一点，所以(mt )22＝1.② 由①②，得t 2＝4或43. 又因为t >0，所以t ＝2或233. (ⅱ)当A ，B 两点关于x 轴不对称时，设直线AB 的方程为y ＝k x ＋h ，将其代入椭圆的方程x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4k hx ＋2h 2－2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由判别式Δ＞0可得1＋2k 2＞h 2，此时x ＝－2k h ±4k 2－2h 2＋21＋2k 2. 则x 1＋x 2＝－4k h 1＋2k 2，x 1x 2＝2h 2－21＋2k 2， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2h ＝2h 1＋2k 2. 所以|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝221＋k 21＋2k 2－h 21＋2k 2. 因为点O 到直线AB 的距离d ＝|h |1＋k 2. 所以S △AOB ＝12|AB |d ＝12×221＋k 21＋2k 2－h 21＋2k 2|h |1＋k 2. ＝21＋2k 2－h 21＋2k 2|h |. 又S △AOB ＝64，所以21＋2k 2－h 21＋2k 2|h |＝64.③ 令n ＝1＋2k 2，代入③整理得3n 2－16h 2n ＋16h 4＝0. 解得n ＝4h 2或43h 2， 即1＋2k 2＝4h 2或1＋2k 2＝43h 2.④ 又OP →＝tOE →＝12t (OA →＋OB →)＝12t (x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝⎝⎛⎭⎫－2k ht 1＋2k 2，ht 1＋2k 2.因为P 为椭圆C 上一点， 所以t 2⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫－2k h 1＋2k 22＋⎝⎛⎭⎫h1＋2k 22＝1， 即h 21＋2k 2t 2＝1.⑤ 将④代入⑤得t 2＝4或43， 又知t ＞0，故t ＝2或233， 经检验，适合题意．综合(ⅰ)(ⅱ)得t ＝2或233.。
专题37 圆锥曲线的探索性、存在性问题--《2023年高考数学命题热点聚焦与扩展》【解析版】
专题37 圆锥曲线的探索性、存在性问题【热点聚焦】纵观近几年的高考试题，圆锥曲线的证明、探索性、存在性问题是热点之一.从命题的类型看，主要是大题.一般说来，考查直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系问题，综合性较强，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长、面积、参数、几何量为定值，或定点在某直线上、定直线过某点、探索性、存在性问题等.难度往往大些.【重点知识回眸】1.圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法.2.探索性问题的求解方法：先假设成立，在假设成立的前提下求出与已知、定理或公理相同的结论，说明结论成立，否则说明结论不成立．处理这类问题，一般要先对结论做出肯定的假设，然后由此假设出发，结合已知条件进行推理论证．若推出相符的结论，则存在性随之解决；若推出矛盾，则否定了存在性；若证明某结论不存在，也可以采用反证法.3.解析几何中存在性问题的求解方法：（1）通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化，其步骤为：假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在，用待定系数法设出，列出关于特定参数的方程组，若方程组有实数解，则元素（点、直线、曲线或参数）存在，否则（点、直线、曲线或参数）不存在． （2）反证法与验证法也是求解存在性问题的常用方法．【典型考题解析】热点一 圆锥曲线中的证明问题【典例1】（2019·全国·高考真题（理））已知曲线C ：y =，D 为直线y =上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B . （1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (0，)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.22x 12-52得带参数的直线方程和抛物线方程联立，的中点，得出坐标和的值，弦长公式和韦达定理代入求解即可证明：设，所以.则切线由于，而，与向量时，；当时 因此，四边形的面积为.AB EM AB ⊥t EM 2221,1d t =+1(,)2D t -y'x =2⎭EM AB ⊥(2,EM t t =AB 0=3S =1t =±2ADBE 2【典例2】（2018年理新课标I 卷）设椭圆C:x 22+y 2=1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A,B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：∠OMA =∠OMB . 【答案】(1) AM 的方程为y =−√22x +√2或y =√22x −√2.(2)证明见解析.【解析】分析：(1)首先根据l 与x 轴垂直，且过点F(1,0)，求得直线l 的方程为x =1，代入椭圆方程求得点A 的坐标为(1,√22)或(1,−√22)，利用两点式求得直线AM 的方程； (2)分直线l 与x 轴重合、l 与x 轴垂直、l 与x 轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果. 详解：（1）由已知得F(1,0)，l 的方程为x =1.由已知可得，点A 的坐标为(1,√22)或(1,−√22). 所以AM 的方程为y =−√22x +√2或y =√22x −√2.（2）当l 与x 轴重合时，∠OMA =∠OMB =0°.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以∠OMA =∠OMB .当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y =k(x −1)(k ≠0)，A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则x 1<√2,x 2<√2，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA +k MB =y 1x 1−2+y 2x2−2.由y 1=kx 1−k,y 2=kx 2−k 得k MA +k MB =2kx 1x 2−3k(x 1+x 2)+4k(x 1−2)(x 2−2).将y =k(x −1)代入x 22+y 2=1得(2k 2+1)x 2−4k 2x +2k 2−2=0.所以，x 1+x 2=4k 22k 2+1,x 1x 2=2k 2−22k 2+1.则2kx 1x 2−3k(x 1+x 2)+4k =4k 3−4k−12k 3+8k 3+4k2k 2+1=0.从而k MA +k MB =0，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以∠OMA =∠OMB .综上，∠OMA =∠OMB .【点评】解决本题的关键是把图形中“角相等”关系转化为相关直线的斜率之和为零，体现了“直接转化法证明几何图形问题”；类似的还有圆过定点问题，转化为在该点的圆周角为直角，进而转化为斜率之积为－1；线段长度的比问题转化为线段端点的纵坐标或横坐标之比． 【典例3】（2018年全国卷Ⅲ理）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ： x 24+y 23=1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M(1 ， m)(m >0)． （1）证明：k <−12；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且FP ⃑⃑⃑⃑⃑ +FA ⃑⃑⃑⃑⃑ +FB ⃑⃑⃑⃑⃑ =0．证明：|FA ⃑⃑⃑⃑⃑ |，|FP ⃑⃑⃑⃑⃑ |，|FB ⃑⃑⃑⃑⃑ |成等差数列，并求该数列的公差．【答案】（1）k <−12（2）3√2128或−3√2128【解析】分析：（1）设而不求，利用点差法进行证明。
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圆锥曲线中的热点问题【提高篇】〖考点整合〗命题角度1圆锥曲线中的最值、范围【例1】已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率e＝32，直线x＋3y－1＝0被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为 3.(1)求椭圆C的方程；(2)过点M(4，0)的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且λ＝|MA|·|MB|，求λ的取值范围.【训练1－1】(2018·浙江卷)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上.(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x2＋y24＝1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围.【训练1－2】已知点A(0，－2)，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点.(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程. 命题角度2圆锥曲线中的定值【例2】已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的焦距为23，斜率为12的直线与椭圆交于A，B两点，若线段AB的中点为D，且直线OD的斜率为－1 2.(1)求椭圆C的方程；(2)若过左焦点F斜率为k的直线l与椭圆交于M，N两点，P为椭圆上一点，且满足OP⊥MN，问：1|MN|＋1|OP|2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由.【训练2－1】已知椭圆C ：x a 2＋y b 2＝1过点A (2，0)，B (0，1)两点.(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.【训练2－2】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)标原点.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P ，M ，N 为椭圆C 的面积S 为定值，并求该定值.命题角度3 圆锥曲线中的定点问题P 在y 轴上的投影是Q ，且2PA →·PB→＝|PQ →|2. C 于点G ，H ，M ，N ，且E 1，E 2分别是GH ，(x －1)2＋y 2＝4(x ≥1)，直线l 与曲线C 交于A ，B坐标为(1，0))的最大值.【训练3－2】已知焦距为22的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，直线y ＝43与椭圆C 交于P ，Q 两点(P 在Q 的左边)，Q 在x 轴上的射影为B ，且四边形ABPQ 是平行四边形.(2)斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点M ，N .若M 是椭圆的左顶点，D 是直线MN 上一点，且DA ⊥AM .点G 是x 轴上异于点M 的点，且以DN 为直径的圆恒过直线AN 和DG 的交点，求证：点G 是定点.命题角度4 圆锥曲线中的存在性问题【例4】设椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为A (－1，0)，B (1，0)，C 为椭圆M上的点，且∠ACB ＝π3，S △ABC ＝33.(1)求椭圆M 的标准方程；(2)设过椭圆M 右焦点且斜率为k 的动直线与椭圆M 相交于E ，F 两点，探究在x 轴上是否存在定点D ，使得DE →·DF→为定值？若存在，试求出定值和点D 的坐标；若不存在，请说明理由.的离心率为12，且过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，F 为其右焦点. ，N 两点(点M 在A ，N 两点之间)，是否存在直l 的方程；若不存在，请说明理由.F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B C 于点Q .(1)D 是抛物线C 上的动点，点E (－1，3)，若直线AB 过焦点F ，求|DF |＋|DE |的最小值；(2)是否存在实数p ，使|2QA→＋QB →|＝|2QA →－QB →|？若存在，求出p 的值；若不存在，说明理由.〖对接高考〗1.若双曲线x 2λ－y 21－λ＝1(0<λ<1)的离心率e ∈(1，2)，则实数λ的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B .(1，2) C .(1，4) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 2.已知圆M ：(x －2)2＋y 2＝1经过椭圆C ：x 2m ＋y 23＝1的一个焦点，圆M 与椭圆C 的公共点为A ，B ，点P 为圆M 上一动点，则P A .210－5 B .210－4 C 3.(2018·全国Ⅲ卷)设F 1，F 2是双曲线C 点.过F 2作C A. 5 B .2 4.(2018·浙江卷)已知点P (0，1)，椭圆x 24＋_______时，点B 横坐标的绝对值最大. 5.设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)x 0，若x 0>1，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是________.6.已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作x 轴，y 轴垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________.7.(2019·全国Ⅰ卷)已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若3AP PB =，求|AB |．8.(2019·全国Ⅱ卷)已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i）证明：PQG△是直角三角形；（ii）求PQG△面积的最大值.9.(2019·全国Ⅲ卷)已知曲线C：y=22x，D为直线y=12-上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点：（2）若以E(0，52)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.10.(2019·北京卷)已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．（1）求抛物线C的方程及其准线方程；0的直线l交抛物线C于两点M，N，直．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的短轴（2）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y 轴的负半轴上．若||||ON OF=（O为原点），且OP MN⊥，求直线PB的斜率．12.(2018·北京卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1，2).过点Q (0，1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N .(1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值.13.(2017·全国Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎪⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上. (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点.14.已知动圆M 恒过点(0，1)，且与直线y ＝－1相切.A ，B 两点，点C 与点B 关于y 轴对称， ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ≥1)过点P (2，1)，且离心率e A ，B 两点，求△PAB 面积的最大值.16.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当该直线与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y＝53上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足PM→＝NQ→？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.17.在平面直角坐标系xOy中，过点C(2，0)的直线与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2).(1)求证：y1y2为定值；(2)是否存在平行于y轴的定直线被以AC为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线的方程和弦长，如果不存在，说明理由.18.如图，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A，B，P为椭圆C上任一点(不与A，B重合).已知△PF1F2的内切圆半径的最大值为2－2，椭圆C的离心率为2 2.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l过点B且垂直于x轴，延长AP交l于点N，以BN为直径的圆交BP于点M，求证：O，M，N三点共线.19. 已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，M(－2，y0)是C上一点，且|MF|＝2.(1)求C的方程；(2)过点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，分别过A，B两点作抛物线C的切线l1，l2，两条切线相交于点P，点P关于直线AB的对称点Q，判断四边形P AQB是否存在外接圆，如果存在，求出外接圆面积的最小值；如果不存在，请说明理由.20. 已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，离心率为12，P是椭圆C上的一个动点，且△PF1F2面积的最大值为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线 PF 2斜率为 ()0k k ≠，且PF 2与椭圆C 的另外一个交点为Q ，是否存在点()0T t ，，使得|TP |=|TQ |，若存在，求t 的取值范围；若不存在，请说明理由.21. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C 的短轴为直径的圆O 经过这两个焦点，点AB 分别是椭圆C 的左右顶点.(1)求圆O 和椭圆C 的方程；(2)已知P ，Q 分别是椭圆和圆上的动点（P ，Q 位于y 轴的两侧），且直线PQ 与x 轴平行，直线AP ，BP 分别与y 轴交于点M ，N ，求证：∠MQN 为定值.22.已知点P 32⎛⎫ ⎪⎝⎭1，-在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，椭圆C 的左焦点为(－1，0). (1)求椭圆C 的方程； ，N 两点，AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，且 若存在，请求出m 的值；若不存在，请说的离心率为32，且过点A (2，1).若P ，Q 是椭圆C 上的两轴，试判断直线PQ 的斜率是否为定值？若是，。