圆锥曲线中的热点问题提高篇

圆锥曲线中的热点问题【提高篇】〖考点整合〗

命题角度1圆锥曲线中的最值、范围

【例1】已知椭圆C：x2

a2＋

y2

b2＝1(a>b>0)的离心率e＝

3

2，直线x＋3y－1＝0被以椭圆C的

短轴为直径的圆截得的弦长为 3.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点M(4，0)的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且λ＝|MA|·|MB|，求λ的取值范围.

【训练1－1】(2018·浙江卷)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，

抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上.

(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；

(2)若P是半椭圆x2＋y2

4＝1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围.

【训练1－2】已知点A(0，－2)，椭圆E：x2

a2＋

y2

b2＝1(a>b>0)的离心率为

3

2，F是椭圆E的

右焦点，直线AF的斜率为23

3，O为坐标原点.

(1)求E的方程；

(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程. 命题角度2圆锥曲线中的定值

【例2】已知椭圆C：x2

a2＋

y2

b2＝1(a>b>0)的焦距为23，斜率为

1

2的直线与椭圆交于A，B两

点，若线段AB的中点为D，且直线OD的斜率为－1 2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若过左焦点F斜率为k的直线l与椭圆交于M，N两点，P为椭圆上一点，且满足

OP⊥MN，问：

1

|MN|＋

1

|OP|2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由.

【训练2－1】已知椭圆C ：x a 2＋y b 2＝1过点A (2，0)，B (0，1)两点.

(1)求椭圆C 的方程及离心率；

(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.

【训练2－2】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)标原点.

(1)求椭圆C 的方程；

(2)已知点P ，M ，N 为椭圆C 的面积S 为定值，并求该定值.

命题角度3 圆锥曲线中的定点问题

P 在y 轴上的投影是Q ，且2PA →·PB

→＝|PQ →|2. C 于点G ，H ，M ，N ，且E 1，E 2分别是GH ，

(x －1)2＋y 2＝4(x ≥1)，直线l 与曲线C 交于A ，B

坐标为(1，0))的最大值.

【训练3－2】已知焦距为22的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，直线y ＝43与椭圆

C 交于P ，Q 两点(P 在Q 的左边)，Q 在x 轴上的射影为B ，且四边形ABPQ 是平行四边形.

(2)斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点M ，N .若M 是椭圆的左顶点，D 是直线MN 上一点，且DA ⊥AM .点G 是x 轴上异于点M 的点，且以DN 为直径的圆恒过直线AN 和DG 的交点，求证：点G 是定点.

命题角度4 圆锥曲线中的存在性问题

【例4】设椭圆M ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为A (－1，0)，B (1，0)，C 为椭圆M

上的点，且∠ACB ＝π3，S △ABC ＝33.

(1)求椭圆M 的标准方程；

(2)设过椭圆M 右焦点且斜率为k 的动直线与椭圆M 相交于E ，F 两点，探究在x 轴上是否

存在定点D ，使得DE →·DF

→为定值？若存在，试求出定值和点D 的坐标；若不存在，请说明理由.

的离心率为12，且过点P ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1，32，F 为其右焦点. ，N 两点(点M 在A ，N 两点之间)，是否存在直l 的方程；若不存在，请说明理由.

F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B C 于点Q .

(1)D 是抛物线C 上的动点，点E (－1，3)，若直线AB 过焦点F ，求|DF |＋|DE |的最小值；

(2)是否存在实数p ，使|2QA

→＋QB →|＝|2QA →－QB →|？若存在，求出p 的值；若不存在，说明理由.

〖对接高考〗

1.若双曲线x 2λ－y 2

1－λ

＝1(0<λ<1)的离心率e ∈(1，2)，则实数λ的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B .(1，2) C .(1，4) D.⎝ ⎛⎭

⎪⎫14，1 2.已知圆M ：(x －2)2＋y 2＝1经过椭圆C ：x 2m ＋y 23＝1的一个焦点，圆M 与椭圆C 的公共点

为A ，B ，点P 为圆M 上一动点，则P A .210－5 B .210－4 C 3.(2018·全国Ⅲ卷)设F 1，F 2是双曲线C 点.过F 2作C A. 5 B .2 4.(2018·浙江卷)已知点P (0，1)，椭圆x 24＋_______时，点B 横坐标的绝对值最大. 5.设双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)x 0，若x 0>1，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是________.

6.已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作x 轴，y 轴垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________.

7.(2019·全国Ⅰ卷)已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为

32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．

（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；

（2）若3AP PB =，求|AB |．

8.(2019·全国Ⅱ卷)已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .

（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；

（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .