机械振动学MATLAB实验指导书1

实验名称单自由度系统数值模拟

一、实验目的、要求

1．熟悉单自由度系统强迫振动特性和求解方法；2．掌握强迫振动系统的计算机模拟仿真方法。二、实验设备及仪器1.计算机

2.Matlab 软件

3.c 语言三、实验步骤

图，其激励力为：0F F =0F ω为激励频率，为常值。

强迫振动的运动方程：

0cos mx

F t kx ω=-- 2．对方程进行求解。

令n ω=

，00F X k =，2c n c m ω==，2c n c c c m ζω=

==则原方程可以变形为：

2202cos n n n x x

x X t ζωωωω++=

这是一个非齐次二阶常系数微分方程，根据微分方程理论，它的解由两部分组成

12

x x x =+其中，1x 代表齐次微分方程2

20n n x x x ζωω++=

的解，简称齐次解，当1ζ<时，由前面的单自由度阻尼自由振动可得：

()112cos sin cos()

n n t t d d d x e B t B t Ae t ζωζωωωωϕ--=+=-其中：d n ωω=，称为衰减振动的固有频率。

A =1000tan n d x x ζωϕω-+= 由于激励为简谐的，根据微分方程的理论，上述微分方程有如下形式的特解：

()

2cos x X t ωφ=-其中的,

X φ可以如下得到：

将()2cos x X t ωφ=-()2sin x X t ωωφ=-- ()

22cos x X t ωωφ=-- 代入到微分方程2

2

2cos n n n x x x A t ζωωωω++=

中，()()()222

cos 2sin cos cos n n n X t X t X t A t

ωωφζωωωφωωφωω----+-=()()()2

22

cos 2sin cos n

n n X t X t A t

ω

ωωφζωωωφωω----=()()222

cos cos sin sin 2sin cos cos sin cos n n n X t t t t A t ωωωφωφζωωωφωφωω⎡⎤-+--=⎣⎦

要想等式成立，等式两边对应的cos t ω和sin t ω系数应该相等（cos t ω和sin t ω正交）

()()22222

cos 2sin sin 2cos 0n n n n n X A X ωωφζωωφωωωφζωωφ⎧⎡⎤-+=⎪⎣⎦

⎨⎡⎤-+=⎪⎣⎦⎩

可以采用如下写法：

()()()222

cos cos cos cos sin sin n n n A t A t A t t ωωωωφφωωφφωφφ=-+⎡⎤⎣⎦

=---⎡⎤⎣⎦

()()()

()()()()

2

2222cos 2sin cos cos sin sin cos cos sin sin n

n n n n X t X t A t t A t A t ω

ωωφζωωωφωωφφωφφωφωφωφωφ----=---⎡⎤⎣⎦=---从而：

()222

cos n

n X A ω

ωωφ

-=22sin n n X A ζωωωφ

=()

()2

11021cos ,,2sin 2tan 1n X X X X X X X γφζγφζγφγ-⎧

=⎪⎧-=⎪⎪⇒⎨

⎨=⎪⎪⎩=⎪-⎩

则系统的稳态解：

()1

022cos tan 1X t x ζγωγ-⎛⎫ ⎪- ⎪-=

微分方程的通解为：

cos()n t d x Ae t ζωωϕ-

-=-+

其中：1000tan n d A x x x ζωϕω-⎧⎪=⎪⎨

⎪+=⎪⎩

()122tan 1X ζγφγ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪-⎩

右端第一项是齐次解，代表衰减的自由振动；第二项是特解，代表与激励力同频率的简谐运动。自由振动，在运动开始后很短的时间内迅速消失，通常可以不加考虑。强迫振动却不因阻尼而衰减，它的振幅x 与相角φ也与运动的初始条件无关，对于一定的振动系统，

x 与φ是激励力的幅值0F 和激励频率ω的函数，只要0F 和ω保持不变，x 与φ是常值。强

迫振动是稳态振动，通常称为稳态响应，特解2x 也称为稳态解。在自由振动消失后，2x 代表物体的全部运动。令0

X

M

X =

，称为系统的放大因子M =

3.利用计算机程序MATLAB 或者C 语言编写程序对单自由度系统强迫振动的特性进行模拟仿真。

4．取0.1,0.2,0.3,0.5,0.7,1.0ζ=时，绘制单自由度系统放大因子M 与频率比关系的响应曲线。

四、实验结果与分析：1.程序如下：clear

r=0:0.1:4;

for x=0.1:0.1:1;

a=sqrt((1-r.^2).^2+(2*x*r).^2);M=a.\1;

plot(r,M),hold on;

end

title('单自由度系统放大因子M与频率比r关系的响应曲线');

xlabel('r轴');

ylabel('M轴');

grid on

axis([0405]);

text(1.03,4.5,'\leftarrow0.1');

text(1,2.5,'\leftarrow0.2');

text(1.083,1.5,'\leftarrow0.3');

text(1,1,'\leftarrow0.5');

text(1,0.732,'\leftarrow0.7');

text(1,0.5,'\leftarrow1.0');

2.图形如下：

五、实验心得

通过本次上机实验我熟悉了单自由度系统强迫振动特性和求解方法；掌握了强迫振动系统的计算机模拟仿真方法。