机械振动学MATLAB实验指导书1

实验名称单自由度系统数值模拟一、实验目的、要求1．熟悉单自由度系统强迫振动特性和求解方法；2．掌握强迫振动系统的计算机模拟仿真方法。

二、实验设备及仪器1.计算机2.Matlab 软件3.c 语言三、实验步骤图，其激励力为：0F F =0F ω为激励频率，为常值。

强迫振动的运动方程：0cos mxF t kx ω=-- 2．对方程进行求解。

令n ω=，00F X k =，2c n c m ω==，2c n c c c m ζω===则原方程可以变形为：2202cos n n n x xx X t ζωωωω++=这是一个非齐次二阶常系数微分方程，根据微分方程理论，它的解由两部分组成12x x x =+其中，1x 代表齐次微分方程220n n x x x ζωω++=的解，简称齐次解，当1ζ<时，由前面的单自由度阻尼自由振动可得：()112cos sin cos()n n t t d d d x e B t B t Ae t ζωζωωωωϕ--=+=-其中：d n ωω=，称为衰减振动的固有频率。

A =1000tan n d x x ζωϕω-+= 由于激励为简谐的，根据微分方程的理论，上述微分方程有如下形式的特解：()2cos x X t ωφ=-其中的,X φ可以如下得到：将()2cos x X t ωφ=-()2sin x X t ωωφ=-- ()22cos x X t ωωφ=-- 代入到微分方程222cos n n n x x x A t ζωωωω++=中，()()()222cos 2sin cos cos n n n X t X t X t A tωωφζωωωφωωφωω----+-=()()()222cos 2sin cos nn n X t X t A tωωωφζωωωφωω----=()()222cos cos sin sin 2sin cos cos sin cos n n n X t t t t A t ωωωφωφζωωωφωφωω⎡⎤-+--=⎣⎦要想等式成立，等式两边对应的cos t ω和sin t ω系数应该相等（cos t ω和sin t ω正交）()()22222cos 2sin sin 2cos 0n n n n n X A X ωωφζωωφωωωφζωωφ⎧⎡⎤-+=⎪⎣⎦⎨⎡⎤-+=⎪⎣⎦⎩可以采用如下写法：()()()222cos cos cos cos sin sin n n n A t A t A t t ωωωωφφωωφφωφφ=-+⎡⎤⎣⎦=---⎡⎤⎣⎦()()()()()()()22222cos 2sin cos cos sin sin cos cos sin sin nn n n n X t X t A t t A t A t ωωωφζωωωφωωφφωφφωφωφωφωφ----=---⎡⎤⎣⎦=---从而：()222cos nn X A ωωωφ-=22sin n n X A ζωωωφ=()()211021cos ,,2sin 2tan 1n X X X X X X X γφζγφζγφγ-⎧=⎪⎧-=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⎩=⎪-⎩则系统的稳态解：()1022cos tan 1X t x ζγωγ-⎛⎫ ⎪- ⎪-=微分方程的通解为：cos()n t d x Ae t ζωωϕ--=-+其中：1000tan n d A x x x ζωϕω-⎧⎪=⎪⎨⎪+=⎪⎩()122tan 1X ζγφγ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪-⎩右端第一项是齐次解，代表衰减的自由振动；第二项是特解，代表与激励力同频率的简谐运动。

自由振动，在运动开始后很短的时间内迅速消失，通常可以不加考虑。

强迫振动却不因阻尼而衰减，它的振幅x 与相角φ也与运动的初始条件无关，对于一定的振动系统，x 与φ是激励力的幅值0F 和激励频率ω的函数，只要0F 和ω保持不变，x 与φ是常值。

强迫振动是稳态振动，通常称为稳态响应，特解2x 也称为稳态解。

在自由振动消失后，2x 代表物体的全部运动。

令0XMX =，称为系统的放大因子M =3.利用计算机程序MATLAB 或者C 语言编写程序对单自由度系统强迫振动的特性进行模拟仿真。

4．取0.1,0.2,0.3,0.5,0.7,1.0ζ=时，绘制单自由度系统放大因子M 与频率比关系的响应曲线。

四、实验结果与分析：1.程序如下：clearr=0:0.1:4;for x=0.1:0.1:1;a=sqrt((1-r.^2).^2+(2*x*r).^2);M=a.\1;plot(r,M),hold on;endtitle('单自由度系统放大因子M与频率比r关系的响应曲线');xlabel('r轴');ylabel('M轴');grid onaxis([0405]);text(1.03,4.5,'\leftarrow0.1');text(1,2.5,'\leftarrow0.2');text(1.083,1.5,'\leftarrow0.3');text(1,1,'\leftarrow0.5');text(1,0.732,'\leftarrow0.7');text(1,0.5,'\leftarrow1.0');2.图形如下：五、实验心得通过本次上机实验我熟悉了单自由度系统强迫振动特性和求解方法；掌握了强迫振动系统的计算机模拟仿真方法。

实验名称两自由度系统数值模拟一、实验目的、要求1．熟悉两自由度系统的分析和求解方法；2．掌握两自由度系统计算机求解和表达方法。

二、实验设备及仪器1.计算机2.Matlab 软件3.c 语言三、实验步骤1.利用图中所示的受力分析，得出双自由度系统强迫振动的运动方程。

原理：如图所示，由质量m1和弹簧k1组成的系统是主系统。

为了在相当宽的工作速度范围内，使主系统的振动能够减小到要求的强度，设计了由质量m2和弹簧k2组成的系统，这两个系统组成两自由度系统。

其运动方程为：⎢⎣⎡01m ⎥⎦⎤20m ⎭⎬⎫⎩⎨⎧21x x+⎢⎣⎡-c c ⎥⎦⎤-c c ⎭⎬⎫⎩⎨⎧21x x +⎢⎣⎡-+221k k k ⎥⎦⎤-22k k ⎭⎬⎫⎩⎨⎧21x x =wt F sin 0⎭⎬⎫⎩⎨⎧2.求解方程。

解此方程得：Fw Z jwcm w k w X )()(222+-=Fw Z jwck w X )()(22+=式中=)(w Z )_(21221jwc k jwc m w k k -+-+jwcm w k jwc k +-+-2222)(=)())((22121222222121m w m w k jwc m k w m w k m w k --+---因而有：222222222222211)()(b a wc k F X X b a c w m w k F X X ++==++-==式中)())((22121222222121m w m w k wc b m k w m w k m w k a --=---=引入下列符号：,,22211101m k w m k w X k F===，2211121,,,21200.1,0.32m w w c r m w w m w μδζμς======如果0ζ=，可以得到无阻尼吸振器的主系统振幅的表达式：[]2222222222221)()1()(δμδδr r rr X X ----=3.利用计算机程序MATLAB 或者C 语言编写程序对双自由度系统强迫振动的特性进行模拟仿真。

4．取120μ=，δ=1时，∞==ζζ,0时；以及0.1,0.32ς=时，绘制两自由度系统X 1/X 2的绝对值与频率比关系的响应曲线。

四、实验结果与分析clearr=0.6:0.01:1.3;X11=(1-r.^2).^2;X01=((1-r.^2).^2-0.05*(r.^2)).^2;X12=(1-r.^2).^2+0.04*(r.^2);X02=((1-r.^2).^2-0.05*(r.^2)).^2+0.04*(r.^2).*((1-1.05*(r.^2)).^2);X13=(1-r.^2).^2+0.4096*(r.^2);X03=((1-r.^2).^2-0.05*(r.^2)).^2+0.4096*(r.^2).*((1-1.05*(r.^2)).^2);X14=1;X04=(1-1.05*(r.^2)).^2;a1=sqrt(X11./X01);a2=sqrt(X12./X02);a3=sqrt(X13./X03);a4=sqrt(X14./X04);plot(r,a1,r,a2,r,a3,r,a4);title('两自由度系统放大因子M 与频率比r 的关系响应曲线');xlabel('r 轴');ylabel('X1/X0轴');grid onaxis([0.61.3016]);text(0.9,9.60,'\leftarrow0.10');text(1.025,10,'\leftarrow∞');text(0.97,14.03,'\leftarrow0.32');text(0.8713,14,'\leftarrow0');text(0.7,11,'μ=1/20δ=1');五、实验心得通过本次上机实验我熟悉了两自由度系统的分析和求解方法；掌握了两自由度系统计算机求解和表达方法。